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两条平行线与一组折线构造的角的一类探析
例题：如图已知，∥.分别是、
的角平分线，是两条角平分线的交点；
求证：.
分析：作辅助线，可以探究：与及
之间的关系来，结合角的平分线的性质，可以探究出
与之间的关系来：
证明：过分别作的平行线，可证明下面的结论：
,
,
所以
评注：两条平行线之间一组折线构造出的三个角，两条折线构造的角等于两条折线分别与平行线构造的角的和；其实还可以得出结论：两平行线之间有一组折线：(为交点)，分别是、的角平分线，是两条角平分线的交点；则有结论：；
一般地：如图所示：∥.一组折线交于点
如果有条件：，
（都是正整数，且＞＞0）; 交于点,那么（即）与（即）的比值是，即有：;
练习：1、如图已知，∥.分别是、
的角平分线，是两条角平分线的交点；
，，计算：（1）的度数；
（2）的度数；
答案（1）150°；（2）75°；
2、 如图已知，∥.一组折线交于点：
（1）当 , ,
交于点那么与（即）
的比值是多少？验证你的结论；
（2）当，
，交于点那么
与（即）的比值是多少？请直接写出答案；
答案（1）；（2）；
3、如图已知，∥.一组折线交于点：
且：(1)，
（其中是正整数），交于点
那么与（即）的比值是多少？
(2),（其中是正整数）, 交于点,那么与（即）的比值是多少？
答案（1）；（2）；
中考中平行线性质及应用
历年学业考试中，有不少题目都考查了平行线的性质及应用，现汲取几例，供同学们赏析，希望能达到指导学习之目的。
例1．如图，直线∥，直线与、相交，∠1 ＝70°，则∠2 ＝(　　)
A．70°　　　B．20°　　　C．110°　　　D．50°
解析：此题是一道基础题，难度不大，主要考查平行线性质及应用。要求∠2的度数，根据对顶角的定义知∠2＝∠3,所以只要求出∠3的度数即可解决问题，因为∥所以∠3=∠1=70o（两直线平行，同位角相等），所以∠2=∠3=70o,故选择A.
例2.如图，AD∥BC，BD平分∠ABC，且，则　　．
解析：此题主要考查平行线性质及角平分线定义。 因为AD∥BC ，
所以∠＋∠=180o（两直线平行，同旁内角互补）， 所以∠=180o－∠＝180o－110 o＝70o,又因为平分∠，所以
∠=∠=×70o＝35o,因为 AD∥BC，所以∠=∠=35o（两直线平行，内错角相等）。
例3．如图，AB∥CD，∠BAC的平分线和∠ACD的平分线交于点E，则∠AEC的度数是　　　　　　．
解析：本题综合了平行线的性质、角平分线的性质等内容．要探求∠的度数，可以将其分成两个角，结合平行线的性质和角平分线的性质可以求出来．
解：过点，作∵，∴，且∠＋∠＝180o， ∠＝∠1， ∠＝∠2．
又∵、分别为∠、∠的平分线，∴∠＝∠，∠＝∠，∴∠＋∠＝(∠＋∠)＝×180o＝90o
∴∠1＋∠2＝∠＋∠＝90o
∴∠＝90o
跟踪练习：如图，直线与、分别相交于、两点，平分∠，过点作垂足为，若∠＝30，则∠＝_____．
例4.如图，在甲、乙两地之间要修一条笔直的公路，从甲地测得公路的走向是北偏东48o，甲、乙两地同时开工，若干天后，公路准确接通，则乙地所修公路的走向是南偏西
解析：本题是一道实际应用题，主要考查平行线的性质的应用及有关方向角的问题。设所求的方向角为，根据两直线平行，内错角相等，可知o，即乙地所修公路的走向是南偏西 o.
温馨提示：从两直线平行，推出角相等或互补，需要用平行线的性质定理，有时还需要构造平行线来借助平行线的性质解题。
例说平行线的两种传递功能
平行线有两个方面的重要性，其一，由两平行直线被第三条直线所截，可以得出多对相等的角，故平行线有传递角的功能；其二，由平行线分线段成比例定理，知平行线有传递线段比的功能。下面以中招试题为例，谈谈这两大功能的应用。
　　一、传递角的功能
　　例1 求证：等腰梯形同一底上的两个角相等(写出已知、求证、画出图形，并进行完整的证明)。
　　已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC。求证：∠B＝∠C。
　　证明：欲证∠B＝∠C，在图形中很难找出这两个角之间的关系。考虑到AD∥BC，可利用平行线构造出一个角来传递∠B或∠C。过D作DE∥AB交BC于E，则由AD∥BE，AB∥DE，知四边形ABED是平行四边形。于是AB＝DE。又因AB＝DC，可知DE＝DC，故∠DEC＝∠C。又由DE∥AB，知∠B＝∠DEC，于是∠B＝∠C。
　　例2 如图，已知在△ABC中，AB＝AC，D是AB上一点，DE⊥BC，E是垂足，ED的延长线交CA的延长线于F。求证：AD＝AF。
　　分析与简证：欲证AD＝AF，只需证∠3＝∠F即可。但证这两个角相等很难在△ADF中直接得到，不妨构造平行线来传递。过A作AG∥FE交BC于C，则由AG∥FE，知∠1＝∠F。下面再证∠1＝∠3即可。
　　 由FE⊥BC，AG∥FE，知AG⊥BC。又由AB＝AC，知∠1＝∠2；再由AG∥FE，知∠2＝∠3，从而∠1＝∠3。于是∠3＝∠F，故AD＝AF。
　　从这两例可以看出，在某些中招试题中，用平行线传递角是解决这类问题的关键。
　　二、传递线段比的功能
　　例3 如图已知，正方形ABCD中，E是DC上一点，连结BE，作CF⊥BE于P，交AD于F点，恰好AP＝AB。求证：E为DC中点。
　　分析与简证：要证E是CD的中点，由AP＝AB，故过A作AG⊥BP交BP于M，交BC于G，则由等腰三角形底边上的高也是底边上的中线，知M为BP的中点。又由CF⊥BP，AG⊥BP，知AG∥CF。于是G是BC的中点。又AG⊥BP，知∠MBG+∠BGM
　　=90°=∠BAG+∠BGM，因此∠CBE＝∠BAG。又∠ABG＝90°＝∠BCE，AB＝BC，故△ABG≌△BCE。而BC＝CD，G是BC的中点，从而E是CD的中点。
《平行线的判定》典型例题
例1 已知：如图，在图中：①同位角共____对，内错角共____对，同旁内角共____对．
②与是______，它们是____被____截成的．
③与中____被____所截而得到的____角．
④AB和AC被BF所截而得到的同位角是____，内错角____，同旁内角____．
⑤AB和BE被AC所截而成的同位角____，内错角____，同旁内角____．
例2 如下图，四条直线组成该图形，其中，请判断一下有哪两条直线平行，并说明理由．
例3 如图，这几组角和，和，和各是什么关系，它们分别是哪两条直线被哪两条直线所截得到的？
参考答案
例1 分析：同位角、内错角、同旁内角是指两条直线与第三条直线相交所形成的角的位置关系，首先分析组成两角的所在直线的位置关系．
解： ①2，4，11 ②内错角，AD和BC，AC
③AB和CD、AC、内错角
④同位角：与，内错角不存在 同旁内角与
⑤同位角不存在，内错角：与
同旁内角：与
例2 分析：在该图中，和是同位角，和是同位角，所以由，可得，由，可得．
解：理由是，即同位角相等两条直线平行；理由是，即同位角相等两条直线平等．
说明：判断两直线是否平行，关键要看题中给的条件是否符合平行条件的要求．
例3 解： 和是AD、EC被BE所截成的同位角，和是AD、EC所截成的内错角，和是AE、AC被EC所截成的同旁内角
利用平行线解决折线问题
一、给出全部条件，然后说明结论成立的理由．
例题、如图1所示，已知∠1=25°，∠2=45°，∠3=30°，∠4=10°，证明直线AB∥CD．
证明：
经过点E作射线EM，使∠BEM=∠1=25°，
所以AB∥EM（内错角相等，两直线平行）．
又因为∠2=45°，
所以∠FEM=20°．
过点F作射线FN，使∠EFN=20°，
所以∠EFN=∠FEM=20°，
所以EM∥NF（内错角相等，两直线平行），
所以AB∥NF，
又因为∠3=30°，
所以∠NFC=30°-20°=10°．
又因为∠4=10°，
所以CD∥NF（内错角相等，两直线平行）．
所以AB∥CD．
二、补充条件，然后说明结论成立的理由
如图2所示，当∠BED、∠B、∠D满足 条件时，可以判断AB∥CD．
（1）在“ ”上填上一个条件；
（2）证明你填写的条件的正确性．
解：
（1）∠BED=∠B﹢∠D．
（2）证明：如图所示，过点E作EF∥AB，
因为EF∥AB，
所以∠1=∠B（两直线平行，内错角相等）．
又因为∠BED=∠B﹢∠D，∠BED=∠1﹢∠2，
所以∠D=∠2（等量代换）．
所以EF∥CD（内错角相等，两直线平行）．
又因为EF∥AB，
所以AB∥CD．
三、求角的度数
如图3所示，AB⊥，∥，∠ABC=130°，求∠1的度数．
解：
过点B作BE∥．
因为AB⊥，
所以∠3=90°（垂直定义）．
因为BE∥，
所以∠ABE=∠3=90°（两直线平行，同位角相等）．
因为∠ABC=130°，所以∠2=40°
又因为BE∥，∥，
所以BE∥，
所以∠1=∠2=40°（两直线平行，同位角相等）．
练习：
1、如图4所示，AB∥CD，∠AEM=140°，∠CFM=160°，则∠M等于多少度？
（答案：∠M=80°．）
2、如图5所示，AB∥CD，求∠B+∠E+∠D等于多少度？
（答案：∠B+∠E+∠D=360°）
实际问题中平行线
在实际生活中，许多问题涉及平行线，我们可以利用所学的平行的有关知识解决实际问题.
例1 在铺设铁轨时，两条直轨必须平行，如图1，已知知道∠2是直角，那么在度量图中哪个角（图中已标出的），就可以判断两条直轨是否平行？说出你的理由.
图1
解析：学习了平行线的识别方法，我们可以根据平行线的识别方法解决问题，如果根据“同位角相等，两直线平行”，只要量∠4，如果∠4=90°就可以判断两条直轨平行；如果根据“内错角相等，两直线平行”，只要量∠5，如果∠5=90°就可以判断两条直轨平行；如果根据“同旁内角互补，两直线平行”，也可以量∠3，根据∠2+∠3=180° 可以判断两条直轨平行.
例2如图2，一个弯曲管道ABCD的拐角∠ABC=120°，∠BCD=60°，这时说管道AB//CD对吗？为什么？，用什么方法可以检查相对的两边是否平行？
图2
解析：因为AB、CD可以看作两条线段，由于∠ABC和∠BCD是同旁内角，且∠ABC+∠BCD=120°+60°=180°，根据“同旁内角互补，两直线平行”可直AB//CD.
例3如图3，要在一条公路的两侧铺设平行管道，如果公路一侧铺设的角度是120°，那么，为了使管道对接，另一侧应以什么角度铺设？为什么？
图3
解析：本题是一道实际问题，可借助我们所学习的平行线的特征解决.两条平行管道可以看作两条平行线，根据两条直线平行同旁内角互补可以解决问题.
根据平行线的特征可知，另一侧应以60°的角度铺设.根据两直线平行，同旁内角互补.
平行线与三角形联姻
我们知道，平行线和三角形都是研究图形的基础知识，但它们的有机结合，却曾经叱咤风云于中考中多年，尤其近年来更是频频亮相，为方便同学们的学习，及时了解这两个知识点在中考的动态，现以中考试题为例说明如下，供同学们学习时参考.
例1如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE 过点C，且DE∥AB，若∠ACD＝55°，则∠B的度数是（ ）
A.35° B.45° C.55° D.65°
分析　要求∠B，由于∠B是直角三角形的一个锐角，若能求出另一个锐角即求得，而事实上，由DE∥AB和∠ACD＝55°即可求得另一个锐角，于是问题获解.
解　因为DE∥AB，∠ACD＝55°，所以∠A＝∠ACD＝55°，
在Rt△ABC中，因为∠ACB＝90°，所以∠B＝90°－55°＝35°.故应选A.
说明　本题的题目虽小，却象一根线，串起的知识点较多，如，平行线的性质，直角三角形的性质.
例2如图所示，已知直线AB∥CD，∠C＝125°，∠A＝45°，则∠E的度数为（ ）
A.70° B.80° C.90° D.100°
分析　在△AEF中，要求∠E的度数，已知∠A，若能通过条件再求出∠AFE，问题就解决了，而事实上，AB∥CD，∠C＝125°，利用平行线的性质即求.
解　因为AB∥CD，所以∠BFC+∠C＝180°，
又因为∠C＝125°，所以∠BFC＝180°－125°＝55°，
因为∠AFE与∠BFC是对顶角，所以∠AFE＝55°，
在△AEF中，因为∠A＝45°，∠AFE＝55°，所以∠E＝180°－45°－55°＝80°.故应选B.
说明　本题考察平行线的性质，对顶角的性质和三角形内角和定理，本题还可以借助于三角形的外角性质求解，同学们可以去试试.
例3将一副三角板按图中方式叠放，则角α等于（　　）
A.30° 　 B.45°　　　　C.60° 　 D.75°
分析　依题意，图形是一副三角板构成的，可见其中含有两个直角，而α所在的三角形的另外两个角刚好与已知的两个锐角分别互余，于是，将两个已知角利用直角三角形的两个锐角互余转化到α所在的三角形中来，再利用三角形的内角和定理即求.
解　因为每只三角板分别有一个锐角已知，即分别为45o和30o，所以各自的余角分别等于45o和60o，所以α＝180°－45°－60°＝75°.故应选D.
说明　本题也可以利用平行线的性质和三角形的外角性质去求得，也可以过α角的顶点作平行线求解.
例4如图，AB∥CD，AE交CD于点C，DE⊥AE，垂足为E，∠A＝37o，求∠D的度数.
分析　要求∠D的的大小，由DE⊥AE，那么根据三角形的内角和定理，此时，只要能知道∠DCE即可，而事实上，由AB∥CD，则∠DCE＝∠A，∠A已知，于是问题即求.
解　因为AB∥CD，∠A＝37o，所以∠DCE＝∠A＝37o，
又因为DE⊥AE，所以∠CED＝90o，
在△CED中，由三角形的内角和定理，得∠D＝180o－∠DCE－∠CED＝180o－37o－90o＝53o.
说明　对于给定的三角形来说，其三个内角和等于180o是一个隐含的条件，同学们在具体求解问题时要善于挖掘，善于运用.
下面几道题目供同学们自己练习：
1.如图，AB∥CD，EF⊥AB于E，EF交CD于F，已知∠1＝60°，则∠2＝（ ）
A.20° 　　 B.60° 　　 C.30° 　　 D.45°
2.如图，射线AC∥BD，∠A＝70°，∠B＝40°，则∠P＝＿＿＿.
3.如图所示，AB∥CD，∠ABE＝66°，∠D＝54°，则∠E的度数为＿＿＿.
参考答案：1.C.　　　2.30°.　　3.12°.
平行线中的“开放搞活”
在解决平行线问题时，有时同学们会遇到条件不全或结论不明确的题目，需要给予补充，使之成为条件和结论完整的题目，如何解决这类题目呢，请看下面几例.
开放条件 激活思维
已知中所给出条件不够，还需要根据结论再补充一个或多个使结论成立的条件，这种类型的题为条件探索型题.
例1 如图1，直线AB，CD被直线AC，点C在直线BE上，CD//AB，请写出一个能推出CD是∠ACE平分线的条件，并给出理由.
分析：要CD是∠ACE平分线，只要∠ACD=∠ECD即可，根据CD//AB，可得∠ACD=∠A，∠ECD=∠B，故只要∠A=∠B就可得到CD是∠ACE的平分线.
解：添加条件：∠A=∠B.
理由：
因为CD//AB，所以∠ACD=∠A，∠ECD=∠B，
因为∠A=∠B，所以∠ACD=∠ECD，
所以CD是∠ACE平分线.
评注：本题的解题思路是结合已知条件及图形，从问题的结论出发，探究所要添加的条件.这也是解决条件探索型的基本思路.
二、开放结论，拓宽思维
当问题中所给的结论不明确时，需要根据已知条件并结合图形进行结论探究，像这样的问题称为结论探索型题.
例2 如图2，已知F是直线AD上一点，AD//BC，根据平行写出图中所标注的角的关系.
分析：本题是一道结论开放题，解决问题应依据平行线的特征从图形中找出同位角、内错角及同旁内角.
　　解：因为AD//BC，
所以∠3=∠ABC（两直线平行，同位角相等）；
∠3=∠ABC（两直线平行，内错角相等）；
∠D=∠1（两直线平行，内错角相等）；
∠5=∠C（两直线平行，内错角相等）；
∠FAC+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补）；
评注：本题的解题思路是从已知条件出发，结合图形，利用平行线的性质等知识进行探究，进而得到结论.
三、开放组合 锻炼思维
从给出的几个论断中分别选出条件和结论，组成一个题目，然后加以说理.
例3 如图3，已知直线BC与DE交于点O，给出下面三个论断，给出下面三个论断：(1)∠B= E;(2)BC//EF,(3)AB//DE.请你给出其中的两个论断为条件,以另一个论断为结论组成一个题目,并给予解答.
分析:从三个论断中选择两个条件,一个结论组成一个题目,方法有三种,分别是(1)，(2)为条件,(3)为结论;(1)，(3)为条件，（2）为结论；（2），（3）为条件，（1）为结论.只要选择一个即可.
解：(1)，(2)为条件,(3)为结论.
因为AB//DE，所以∠B=∠COD，
因为∠B=∠E，所以∠COD=∠E，
所以BC//EF.
评注：解决此类问题，可列出所有可能出现的情况，然后再从中选择一种比较简单进行说理.
平行线中的新题型
平行线是是平面几何的基础内容，在简单的背景下，富有新意的题型也层出不穷，可谓生动活泼，奥妙无穷，下面选择几例希望对同学们有所帮助．
一、操作型
例1 如图1，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是
析解：从图中可以看出，三角板平移的过程中，
角的大小不变，因此根据的依据是同位角相等，两直线平行．
评注：平行线的条件和特征是互逆的，我们在运
用时，要搞清条件和结论，不要混淆，象本题中，不
能写成两直线平行，同位角相等．
二、网格判断型
例2 如图2，在正方形网格中，∠1、∠2、∠3的大小关系是（ ）
A．∠1=∠2∠3 B．∠1∠2∠3
C．∠1∠2∠3 D．∠1=∠2=∠3
析解：观察网格，AB、CD都是“1×3”的长方形的对角线，有AB∥CD，根据“两直线平行，内错角相等”，得到∠1=∠2，用类似的方法可以得出∠2∠3，故选A．
评注：我们常用网格研究线段的平行、垂直问题，一般的方法就是通过线段放在网格中的长方形中，作为长方形的对角线研究．
三、结论探索型
例3 将直尺与三角板按如图4所示的方式叠放在一起，在图中标示的角中，写出所有与∠1互余的角．
析解：因为∠AEB=90°，所以∠1+∠2=90°，因为AB∥CD，所以∠2=∠3，∠2=∠4，所以∠1+∠3=90°，∠1+∠4=90°，故与∠1互余的角有三个，分别是∠2，∠3，∠4．
评注：解决这类问题，同学们需要熟练掌握余角、对顶角及直线平行的条件．
四、条件、结论探索型
例4 对于同一平面内的三条直线a、b、c，给出下列五个论断：①a∥b；②b∥c；③a⊥b；④a∥c；⑤a⊥c，以其中两个论断为条件，一个论断为结论，组成一个你认为正确的判断，并以其中一个为例画出图形，简要说明理由．
解析：该题要求在五个论断中选取两个论断为条件，再从剩下的论断中选取一个为结论，组成一个正确的判断，则可以有：①②④；②③⑤；③⑤②．
以②③⑤为例，如图5所示，理由如下：
因为a⊥b
所以∠1=90°
因为b∥c
所以∠2=∠190°
所以a⊥c
评注：这类开放性问题具有较强的灵活性，解决这类问题的关建是先确定可能有哪些判断，再确定其是否正确．
平行线中的转化策略
在数学里，把一个对象转化为另一个对象，常常可以化繁为简，化未知为已知，从而达到解决问题的目的，这种思考问题的方法，就是“转化”。下面就一起看看转化思想在解决平行线的有关问题中的应用。
一、角转化
与平行线有关的角有三类：同位角、内错角、同旁内角，当问题中出现的角不是这三类角时，要将它们转化为这三类角，再利用平行线的性质解决问题。角的转化要特别注意对顶角、余（补）等性质的应用。
例1、如图，已知AB∥CD，EF分别交AB、CD于点E、F，若∠1＝64°，则∠3＝______度。
分析：题目条件是“形”，因为∠1与∠3既是AB、CD被EF所截的同位角，根据两直线平行，同位角相等，可得∠3=∠1，将“形”转化为“数”，问题得以解决。
解：因为AB∥CD，根据“两直线平行，同位角相等”，可得∠3=∠1=64°，因为∠3与∠2是对顶角，根据对顶角相等，得∠2=64°。
二、“数”与“形”的互化
平行线的条件就是把同位角、内错角、同旁内角之间的数量关系（数）转化为把两直线的位置关系（形）；而平行线的性质就是把两直线的位置关系（形）转化为同位角、内错角、同旁内角之间的数量关系（数）。
例2、如图A、B、C三点在同一直线上，∠1＝∠2，∠3＝∠D，试说明BD∥CE
分析：先由 “数”向“形”转化，即由∠1＝∠2，得 AD∥EB；再“形”向“数”转化，即由AD∥EB，得∠D＝∠DBE；再进行角的转化，即由∠D＝∠DBE 和∠3＝∠D，得∠3＝∠DBE，最后再由 “数”向“形”转化，即由∠3＝∠DBE，得BD∥CE。
解：因为∠1＝∠2
所以AD∥BE（内错角相等，两直线平行）
所以∠D＝∠DBE（两直线平行，内错角相等）
因为∠3＝∠D
所以∠3＝∠DBE（等量代换）
所以BD∥CE（内错角相等，两直线平行）
三、图形的转化
“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”，所有的与平行线有关的角都存在于这个“基本图形”中，且都分布在“第三条直线”的两旁，当发现题目的图形“不完整”时，要通过适当的辅助线将其补完整。将“非基本图形”转化为“基本图形”。
例3、小明到工厂去进行社会实践活动时，发现工人师傅生产了一种如图所示的零件，要求AB∥CD，∠BAE=30°，∠AED=70°。小明发现工人师傅只是量出∠BAE=30°，∠AED=70°后，又量了∠EDC=40°，就说AB与CD肯定是平行的。聪明的你知道什么原因吗？
分析：本题转化为数学问题就是，若∠BAE=30°，∠AED=70°，∠EDC=40°，则AB∥CD。通过观察图形，易联想过点E有一条线，图形就符合“基本图形”了。我们可以∠AED内部画一个角等于∠BAE或∠EDC即可。
解：如图，在∠AED内部画∠AFE=∠BAE，根据内错角相等，两直线平行，则EF∥AB，又因为∠BAE=30°，∠AED=70°，所以∠DEF=40°，又∠EDC=40°，所以∠DEF=∠EDC，所以EF∥CD，根据平行于同一直线的两直线平行，得AB∥CD。
从上面的过程我们可以看出，解题的过程实际上就是一个转化的过程，转化是一种正迁移。同时要实现这种转化，也离不开对知识、技能的掌握和灵活运用。
平行线的性质与判定常见错误例析
一、对平行线的性质运用错误
例1　如图，如果AB∥DC，那么（　　）
A.∠B＝∠D　　　　　　　　 B.∠BAC＝∠DCA
C.∠DAC＝∠BCA　　　　　　D.∠BAD＝∠DCB
错解：因为AB∥DC，所以∠DAC＝∠BCA.故应选C.
剖析：∠DAC与∠BCA是AD、BC被AC所截得的内错角，而与AB∥DC无关，只有∠BAC与∠DCA才是AB、DC被AC所截得的内错角，而此时AB∥DC，由此，可以得到正确的结论.
正解：因为AB∥DC，所以∠BAC＝∠DCA.故应选B.
二、平行线的性质与判定区分有误
例2　如图，∠B＝∠D＝∠E，那么图形中的平行线有＿＿＿，理由是＿＿＿.
错解：图形中的平行线有CD∥EF，理由是两直线平行，内错角相等.
剖析：由“数量关系”确定图形的“位置关系”，应该用平行线的判定，本题的错解正是混淆了平行线的判定和性质.
正解：图形中的平行线有CD∥EF，理由是内错角相等，两直线平行.
三、找不准图形中的截线，分不清三线八角
例3 如图，已知AB∥CD，直线AB、CD分别和直线MN相交与点E、F，EG平分∠BEN，FH平分∠DFN.求证：EG∥FH.
错解：因为EG平分∠BEN，所以∠BEG＝∠BEN；
因为FH平分∠DFN，所以∠DFH＝∠DFN.
又因为AB∥CD，所以∠BEN＝∠DFN，
所以∠BEG＝∠DFH，所以EG∥FH.
剖析：求解此类问题要能在复杂的图形中找出同位角，内错角和同旁内角，才能正确运用平行线的性质和判定，而认清同位角，内错角和同旁内角的关键是弄清截线和被截线，截线就是它们的公共边，其余两条边就是被截线，本题中的∠BEG和∠DFH不是直线EG、FH被某条直线所截得的同位角，错解就是由于找错了同位角造成的.
正解：因为EG平分∠BEN，所以∠GED＝∠BEN；
因为FH平分∠DFN，所以∠HFN＝∠DFN.
又因为AB∥CD，所以∠BEN＝∠DFN，
所以∠GEF＝∠HFN，所以EG∥FH.
平行线的判定和性质要分清
平行线的判定和性质是互逆定理,在学习时要分清它们之间的区别，并能灵活运用它们解题．
一、分清判定和性质的因果关系
平行线的判定是由角相等或互补推出两直线平行，其中，角相等或互补是题设，是“因”，两直线平行是结论，是“果”．
平行线的性质是由两直线平行推出角相等或互补，其中，两直线平行是题设，是“因”，角相等或互补是结论，是“果”．
由此可见，平行线的判定和性质的因果关系恰好相反，在运用它们解题时，必须弄清“因”是什么，“果”是什么，以防混淆，为了便于记忆，我们把它们的应用概括成一句话：“欲证平行用判定，已知平行用性质”．
例1 如图1，AB⊥AD，CD⊥AD，∠1=∠2，证明:DF∥AE
证明:DF∥AE，理由如下：
∵AB⊥AD，CD⊥AD
∴∠CDA=∠DAB=90°
∵∠1=∠2
∴∠CDA-∠1=∠DAB-∠2
即∠FDA=∠EDA
∴DF∥AE（内错角相等，两直线平行）
点拨：该题的目标是“判断是否平行”，所以要用平行线的判定．
例2 如图2，AB∥CD，EF平分∠BEC，若∠B=50°，求∠BEF的度数．
解：∵AB∥CD
∴∠B+∠BEC=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∴∠BEC=180°-∠B=180°-50°=130°
∵EF平分∠BEC
∴∠BEF=∠BEC=×130°=65°．
点拨：该题的目标是“由平行求角度”,所以用的是平行线的性质．
二、因果转化 综合运用
有些问题往往前面推出来的“果”,又是后面推理时所需要的 “因”,同学们要逐步学会因果转化，以便综合运用平行线的判定和性质．
例3 如图3，∠1=∠ACB，∠2=∠3，
证明CD∥FG
解析：CD∥FG，理由如下：
∵∠1=∠ACB
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）
∴∠2=∠DCB（两直线平行，内错角相等）
又∵∠2=∠3
∴∠DCB=∠3
∴CD∥FG（同位角相等，两直线平行）
平行线的判定方法举例
一、等角助阵判平行
例1 如图1，∠A＋∠D＝180°，∠A＝∠C，试说明：AD∥BC．
分析：已知图形中既无内错角也无同位角，故从同旁内角互补的角度考虑转化为判定∠A＋∠B＝180°或∠D＋∠C＝180°．
解：因为∠A＋∠D＝180°，∠A＝∠C，
所以∠D＋∠C＝180°，所以AD∥BC．
二、余角助阵判平行
例2 如图2，直线AB、CD被EF所截，H是CD与EF的交点，∠1=60°，∠2=30°，GH⊥CD于H点H，试说明AB∥CD．
分析：欲判定AB∥CD，只需说明∠1=∠4，即说明∠4=60°，这可通过通过对顶角去转化．
解：因为GH⊥CD，∴∠2+∠3=90°．
因为∠2=30°，所以∠3=60°．
所以∠4=∠3=60°．
又因为∠1=60°，所以∠1=∠4．
所以AB∥CD．
三、补角助阵判平行
例3 如图3所示，∠EDG=70°，∠FAB=55°，AF平分∠BAG，试说明AB∥CE．
分析：欲判定AB∥CE，可通过判定∠EDG=∠BAD来实现，即需要说明∠BAD=70°，这就需要通过补角去转化．
解：因为∠FAB=55°，AF平分∠BAG，所以∠BAG=2∠FAB=110°．
因为∠BAG+∠BAD=180°，所以∠BAD=180°－∠BAG=70°．　
又∠EDG=70°，所以∠EDG=∠BAD．所以AB∥CE．
四、平角助阵判平行
例4 如图4，A、C、E三点在同一条直线上，∠B=45°，∠ACB=55°，∠DCE=80°．试说明AB∥CD．
分析：欲判定AB∥CD，由已知∠B=45°，只需再求出∠BCD=45°即可由∠B=∠BCD来判定AB∥CD．
解：因为∠ACB+∠BCD+∠DCE=180°，
所以∠BCD=180°―∠ACB―∠DCE=180°―55°－80°=45°．
又∠B=45°，所以∠B=∠BCD，所以AB∥CD．
五、对顶角助阵判平行
例5 如图5所示，A、B、C三点在同一条直线上，D、E、F三点也在同一条直线上，分别连接AF、BD、CE．若∠1＝∠2，∠C＝∠D，试说明：DF∥AC.
分析：由∠1＝∠2，通过对顶角相等，可转化为∠1＝∠AMC，可判定DB∥EC，从而∠NBA＝∠C，再结合∠C＝∠D，可推出∠NBA＝∠D，从而可推出DF∥AC，问题得解．
解：因为∠1＝∠2，∠2＝∠AMC，所以∠1＝∠AMC，
所以DB∥EC，所以∠NBA＝∠C．
又因为∠C＝∠D，所以∠NBA＝∠D．
所以DF∥AC．
六、角平分线助阵判平行
例6 如图6，CD平分∠BCE，∠O=∠DCE．试说明OA//CD．
分析：要判定OA//CD，先要寻找与OA、CD都相交的第三条直线，这里有两条：OB和CE．其中与已知条件中“CD平分∠BCE，∠O=∠DCE”都有直接联系的直线是OB．联系平行线判定定理，可知∠BCD是∠O的同位角，应是我们关注的对象．由CD平分∠BCE，得∠BCD=∠DCE，再结合∠O=∠DCE可推出∠BCD=∠O．
解：因为CD平分∠BCE，所以∠BCD=∠DCE．
又∠O=∠DCE，所以∠BCD=∠O．
所以OA//CD．
平行线的性质三大技巧应用
我们已经学过了平行线的性质定理:两条直线平行,则同位角相等,内错角度相等,同旁内角互补.下面给大家列举一下,如何使用平行线的性质巧解试题.
一、三线八角必识记
所谓三线八角是指两条直线被第三条直线所截,
形成八个角,如图（1）,其中, 同位角有:∠1与∠5, ∠2与∠6,
∠4与∠8, ∠3与∠7, 内错角有:∠3与∠5, ∠4与∠6,
同旁内角有:∠3与∠6, ∠4与∠5.
例1. 如：如果两条平行线被第三条直线所截得
的八个角中,有一个角的度数已知,则( )
只能求出其余三个角的度数.
只能求出其余五个角的度数.
只能求出其余六个角的度数.
只能求出其余七个角的度数.
析解:由三线八角可知: 同位角相等的有:∠1与∠5, ∠2与∠6,
∠4与∠8, ∠3与∠7, 内错角相等的有:∠3与∠5, ∠4与∠6,
同旁内角互补的有:∠3与∠6, ∠4与∠5.所以,当一个角的度数已知时, 其余七个角的度数也就易求出,答案选D.
二、加平行线的辅助线
例2. 如图（3）,一条公路修到湖边时,需拐弯绕过湖通过.如果第一次拐的角∠A是110°, 第二次拐的角∠B是140°, 第三次拐的角∠C,这时的道路与第一条路平行,则∠C是( )
A.120°B. 130°C. 140°D. 150°
析解:作辅助线BE，把∠A转移到∠ABE，
∴∠CBE=∠ABC－∠ABE =140°－110°=30°,
∴∠C=180°－30°=150°，140°－110°=30°。
例3．已知：如图（4）,AB∥ED，
求证：∠B+∠BCD+∠D=360°。
分析：我们知道只有周角是等于360°，而图中又出现了
与∠BCD相关的以C为顶点的周角，若能把∠B、∠D移到与∠BCD相邻且以C为顶点的位置，即可把∠B、∠BCD和∠D三个角组成一个周角，则可推出结论。
证法一：如图（5）,过C作CF∥AB，∴∠BCF=∠B，
∵AB∥ED，∴CF∥ED，∴∠FCD=∠D，∵∠BCD+∠BCF+∠DCF=360°，∴∠B+∠BCD+∠D=360°。
证法二：如图（6）, 过C作FC∥AB，∴∠B+∠BCF
=180°，∵AB∥ED，∴FC∥ED，∴∠FCD+∠D=180°，
∴∠B+∠BCF+∠FCD+∠D=360°即∠B+∠BCD+∠D=360°。
证法三：如图（7）, 过B作BF∥DC，
∴∠FBC=∠BCD，又∵AB∥ED，∴∠ABF=∠D，
∵∠ABC+∠CBF+∠ABF=360°，∴∠ABC+∠BCD+∠D=360°。
例4．如图（8）,直线a∥b，∠CAE=20°，∠CBF=40°，
则∠ACB=————。
请同学们自己完成。
三．平移角
例5．如图, AB∥ED，CE平分∠BCD交AB于点E，
∠A=110°，
则∠AEC为多少度。
析解:∵AB∥ED，∴∠A+∠ACD=180°，
∠ACD=180°－∠A=180°－110°=70°，
又∵CE平分∠BCD，∴∠ACE=∠ECD=∠ACD=×70°=35°，
∵AB∥ED，∴∠AEC=∠ECD，∴∠AEC=35°。
例6．如图（9）,AD∥EG∥BC，AC∥EF，则图中与∠1相等的角（不含∠1）有-------个，若∠1=40°，则∠AHG=------。
析解:∵AC∥EF，∴∠1=∠ACB，∵AD∥EG∥BC，
∴∠1=∠HEF，∠GHC=∠ACB，∠DAC=∠ACB，
又∠AHE=∠GHC，∴∠1=∠GHC=∠AHE=∠DAC，
则与∠1相等的角有∠ACB、∠HEF、∠GHC、
∠AHE、∠DAC共5个；∵∠1=40°，∴∠AHE=40°，
则∠AHG=180°－∠AHE=180°－40°=140°。
平行线的性质学习问答
【问】平行线都有哪些性质？举例说明.
【答】平行线的性质主要包括性质公理和两个性质定理：
性质公理：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简记为：两直线平行，同位角相等.如图1，因为a∥b，所以∠1=∠4.
性质定理1：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等. 简记为：两直线平行，内错角相等.如图1，因为a∥b，所以∠2=∠4.
性质定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补. 简记为：两直线平行,同旁内角互补.如图1，因为a∥b，所以∠3＋∠4= 180°.
【评注】：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补都是平行线的性质，其前提是“两直线平行” ，切勿认为只要是同位角和内错角就相等，只要是同旁内角就互补.
【问】平行线的性质与判定有何区别和联系？
【答】1、区别：平行线的性质与判定是“互逆”关系. 平行线的判定是同位角相等（或内错角相等，或同旁内角互补）时，就可判断两直线具有平行的位置关系；平行线的性质是已知两直线平行时，可推出同位角、内错角、同旁内角之间所具有的相等或互补的数量关系.
2、联系：“判定”的条件是“性质”的结论，而“判定”的结论是“性质”的条件.
【评注】：两直线平行的判定是由角的数量关系推得直线的位置关系，而平行线的性质则是由直线的位置关系推得角的数量关系.所以，“判定”和“性质”的已知条件和结论恰好相互交换，其根本区别是因果关系相互颠倒. 简记为：已知平行用性质，要证平行用判定.
综上所述， 两条直线平行.
平行线识别中的新型题
平行线的识别是初中阶段的基础性问题．学好它有助于后续知识的学习，因此，我们必须对平行线的条件能加以灵活运用．请看这一部分的新型题：
一、开放型
例1. 如图1，已知：∠B=∠D，要使BE∥DF，还需补充什么条件?请说明你的理由．
解析：要使BE∥DF，只要使∠COE=∠D，或∠DOE+∠D=180°若有∠COE=∠B，再由∠B=∠D得∠COE=∠D，从而由“同位角相等，两直线平行”得，BE∥DF．
若有∠BOC+∠B=180°，再由∠B=∠D，∠BOC=∠DOE得∠DOE+∠D=180°，从而由“同旁内角互补，两直线平行”得，BE∥DF．
故可在∠COE=∠B，或∠BOC+∠B=180°中任选一个条件即可．
评注：若要得到某一结论，但还缺少条件，要求补充完整，往往所补充的条件是不惟一的．
二、猜想型
例2 、如图2， CE平分∠BCD，∠1=∠2=70°，∠3=40°，AB和CD平行吗？为什么？
解析：因为CE平分∠BCD，所以∠4=∠1=70°，
又∠1=∠2=70°，所以∠2=∠4，
根据内错角相等，两直线平行，得AD∥BC，
所以∠3=∠B=40°，
所以∠DCB+∠B=180°，根据同旁内角互补，两直线平行，可知AB∥CD.
评注：由题目中所给出的条件，猜想直线间平行与否，其主要的依据还是直线平行的条件，判断的过程分两个大的步骤．对题目中条件也必须加以灵活运用．
三、操作型
例3、某驾驶员驾驶汽车在公路上行驶，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（ ）
（A）第一次向左拐300，第二次向右拐300
（B）第一次向右拐500，第二次向左拐1300
（C）第一次向右拐500，第二次向右拐1300
（D）第一次向左拐500，第二次向左拐1300
解析：根据题意以及各个选项的内容，画出示意图，如图3：
从图中的角度，由平行线的判定方法，可以看出，A、C、D三个选项中的前后行驶的方向线是平行的，但，C、D中后来的方向线中的方向是相反的，并不相同．故，只有A正确．
评注：本题单纯从文字方面去分析，很难判断出结果．若画出上述图形来分析，结果是显然的．
四、探索型
例4、 如图4，已知∠1=∠2，BD平分∠ABC，可得到哪两条直线平行?如果要得到另外两条直线平行，则应将上述两个条件之一作如何改变?
解析：由BD平分∠ABC知∠1=∠DBC,又∠1=∠2，可知∠2=∠DBC，从而可知平行的两条线段了．若要另外的两直线平行，仍可仿上述条件作适当改动即可．
由已知条件可得AD∥BC．理由：因为BD平分∠ABC，所以∠l=∠DBC．又因为∠l=∠2，故∠2=∠DBC．从而AD∥BC．
若要AB∥DC，则只需∠1=∠BDC即可．而∠1=∠2，故应有∠2=∠BDC．这时可将“BD平分∠ABC”改为“DB平分∠ADC”即可．
评注：本题是围绕直线平行而设置的探索型问题，两个问题的性质各不相同，前者是探索结果，而后者则探索条件．但，它们的解决都依赖平行线的条件．
平行线错因剖析
初学几何说理的同学常因概念不清,主观臆断,思维混乱,而导致各种错误.本文仅以平行线为例进行剖析,以期引起同学们的注意.
例1 如图,若 AB∥CD,你能说明为什么
∠ABE+∠BED+∠EDC=3600 吗？
错误说理 过点E作AB、CD的平行线EF,
因为EF ∥AB,所以∠ABE+∠BEF=1800.
又因为EF ∥CD,所以∠FED+∠EDC=1800.
而∠BEF+∠FED=∠BED,所以∠ABE+∠BED+ ∠EDC=3600.
剖析 错解违背了平行公理,过直线外的一点有且只有一条直线和已知直线平行,即过点E不能作一条直线既与AB平行,又与CD平行,只能先作出和其中的一条平行的直线,然后再去证明也与另一条平行.
正确说理应为 过点E作EF ∥AB,因为AB∥CD,所以EF ∥CD.
由EF ∥AB,得到 ∠ABE+∠BEF=1800.由EF ∥CD,得到 ∠FED+∠EDC=1800.
而∠BEF+∠FED=∠BED,所以∠ABE+∠BED+ ∠EDC=3600.
例2 如图,直线AB、CD分别和直线MN相交于
点E、F,EG平分∠BEN,FH平分∠DFN,若AB∥CD,
你能说明EG和FH也平行吗？
错解 因为EG平分∠BEN,所以∠1=∠BEN.
同理,因为FH平分∠DFN,所以∠2=∠DFN.
又因为AB∥CD,所以∠BEN=∠DFN.
从而 ∠1=∠2,所以 EG∥FH.
剖析能在复杂的图形中正确地找出同位角、内错角和同旁内角,是运用平行线的判定和性质的前提;认清一对同位角、内错角和同旁内角的关键是弄清截线和被截线,截线就是它们的公共边,其余两条边就是被截线,而∠1和∠2不是直线EG、FH被某条直线所截得的同位角,错解由于找错了同位角而导致错误.
正确说理应为 因为EG平分∠BEN,所以∠3=∠BEN.
同理,因为FH平分∠DFN,所以∠4=∠DFN.
又因为AB∥CD,所以 ∠BEN=∠DFN,从而 ∠3=∠4,
而∠3、∠4是直线EG、FH被直线MN所截得的内错角,所以 EG∥FH.
例3 如图,已知∠1+∠2=1800,∠3=∠B,试判断DE与BC的位置关系,并说明理由.
结论 DE∥BC.
错解 因为∠1+∠2=1800,所以EF∥DB,所以∠3+∠BDE=1800.
因为∠3=∠B,所以∠B+∠BDE=1800,所以DE∥BC.
剖析 由∠1+∠2=1800,不能得到EF∥DB.
虽然∠1和∠2是由直线EF和DB被直线DC所截得的角,
但由于它们不是同旁内角,所以尽管∠1+∠2=1800,也不能得到EF∥DB.
这是由于思维混乱,胡拼乱凑导致错误.
正确说理应为 延长EF交BC于点G,
因为∠1=∠4(对顶角相等),又∠1+∠2=1800,所以∠4+∠2=1800.
∠4和∠2是由直线EG和DB被直线DC所截得的同旁内角,又∠4+∠2=1800,
所以EG∥DB(同旁内角互补,两直线平行).
所以∠3+∠BDE=1800(两直线平行,同旁内角互补).
因为∠3=∠B,所以∠B+∠BDE=1800.
∠B和∠BDE是由直线BC和DE被直线AB所截得的同旁内角,又∠B+∠BDE=1800,
所以DE∥BC(同旁内角互补,两直线平行).
点拨:本题的关键是要正确找出真正的同旁内角,问题就会迎刃而解.
在得到结论EG∥DB后,下面还可这样来说明
因为EG∥DB,所以∠B=∠EGC(两直线平行,同位角相等).
又∠3=∠B,所以∠3=∠EGC.
∠3和∠EGC是由直线DE和BC被直线EG所截得的内错角,又∠3=∠EGC,
所以DE∥BC(内错角相等,两直线平行).
引导学生几何证明入门的方法
初中学生初学平面几何，由于研究对象从数变到形，研究方法也从以运算为主转到以推理为主，再加上新概念大量集中出现，无论在知识的学习，技能和能力的形成，还是在学习方法和学习习惯等方面，都存在着不适应的状况。有些地区初中生提前接触平面几何，更为几何入门增添了难度。因此，引导学生学会几何证明是学习平面几何起始阶段的关键工作，将为进一步学习几何证明打下扎实的基础。
　　一、使学生初具论证的能力
　　1．翻译能力
　　学习几何，先要让学生养成联系图形据理叙述的习惯。几何语言可分为文字语言和符号语言两类，文字语言主要是术语和关键词，如“直线”、“角”等术语，“都”、“是”等关键词；符号语言是用符号来表示文字意义的，例如“∠”、“∥”、“⊥”等就是符号语言。
　　几何中的定义、定理。公理都是进行论证的依据，证明中要会将这些文字语言结合图形翻译成符号语言。
　　例如平行公理：“同位角相等，两直线平行。”结合图形，如图1译成符号语言为
　　∵∠1＝∠2，∴AB∥CD。
　　2．识图能力
　　几何证明的正确判断与推理往往是以正确的识图为先导的，学生不仅要会看规范易懂的图形，还要善于观察复杂图形中的一些基本图形，会把复杂图形简单化。例如：
　　(1)如果把图2看作是直线CD与直线AB、EF相截，那么∠1和∠2这一对角是同位角；∠3和∠4这一对角是内错角；∠2和∠4是一对同旁内角。
　　(2)如果图2看作是直线AB与直线CD、EF相截，那么∠1和∠5这一对角是同旁内角，∠4和∠5是一对内错角。
　　3．思维能力
　　几何证明的思维方法是多种多样的，在教学中要努力挖掘和开拓学生的思维能力。对于初学者，开始要求不能太高，在寻找解题途径时由因溯果，也可由果导因，多方位、多角度、多渠道去思考，学会在已知与未知之间架起通向成功的“桥梁”，善于在学习中不断积累、总结、完善，从而不断提高分析问题和解决问题的能力。
　　二、引导学生学会写证明过程
　　1．画图
　　几何题一般要画图，图形与题目内容要一致，书写过程中的字母或数字也要与图形一致，这样的图形能帮助学生理解题意，便于论证。
　　2．书写
　　(1)最简单的推理---三段论法
　　学会几何证明必须先掌握一些最简单的推理，因为复杂的几何证明都是由一些简单的推理组合在一起的。
　　例如，如图1，∵∠1＝∠2　(已知)，
　　∴AB∥CD　(同位角相等，两直线平行)。
　　这里，“同位角相等，两直线平行”是公理。像这种把定理、公理或定义作为推理的论据称为大前提；“∠1＝∠2”是本题中一组特定的相等的同位角，像这种与大前提题设部分有联系的具体对象，叫做小前提；“AB∥CD”是由两个前提得出的结论。像这种由大前提、小前提推出结论的推理方式称为三段论法。
　　(2)书写步骤
　　在推理过程的叙述中，要分为三步书写：
　　①讲原因，以“∵”开头，写出小前提；
　　②讲结论，以“∴”开头，写出结果；
　　③讲清依据，把大前提写在结果后的括号内(见上例)。
　　(3)注意条理
　　由于复杂的推理是由若干简单推理组合的，因此要让学生组织好推理步骤。
　　例 已知如图3，AB∥CD，MN与AB，CD交于点E、F，EP、FQ分别平分∠BEF和∠DFN。
求证 EP∥QF。
　　证明
　　
　　
　　
　　本题用了三次三段论法。在证明过程中应先证第(1)组，再证第(2)组，第(3)组必须放在最后。在证明过程中用到哪个已知条件才写哪个，不应该在一开始就把所有已知条件一起都写出来。
　　另外第(1)组的“∴”对第(2)组说是“∵”，第(2)组的“∴”又是第(3)组的“∵”，不必重复书写。
　　引导学生学习几何证明，仅通过较短时间的强化训练是不够的，必须在初中数学(几何)教学的各个阶段、各个环节上，有计划、按步骤实施，才能见效。
探索直线平行的条件中易误点举例
在《探索直线平行的条件》中，不少同学因才接触同位角等概念和图形，而不能正确解题，常出现找不对、找不全、画不全等方面的失误，现举例和同学们一起讨论。
一、找不对
例1、如图1、2、3、4中，∠1和∠2是同位角的是哪一个图 ？
误：选图2。
析与解：我们通过作图，只有图1中符合三线八角的图形，选图1。如图5。我们可看到组成∠1和∠2中四条射线中，有两条能在一条直线上，（用加粗的线表示），∠1和∠2都正好在另一条边的上方。
而图2、3的∠2和∠1的四条射线中，没有两条能在一条直线上；图4的∠2和∠1的四条射线中，有两条能在一条直线上，但∠1和∠2的位置不同。同学们不妨画图一试。
二、找不全
例2、如图6中， 和∠4是同位角。
误：∠1和∠2是同位角。
析与解：我们通过作图，不仅∠1和∠4符合同位角的图形，同时∠3和∠4也符合同位角的图形。答案有两个。
例3、如图7，以C为顶点，在三角形外画∠ACD＝∠A，延长BC到E，则：∠A的同旁内角有几个，分指指出来；
误：∠A的同旁内角有∠B
析与解：画图一试，对于直线较多的图，可分别把组成∠A的两边看作截线，（如若把AB看作截线，它能截哪些线，能否得到要求的角；若把AC看作截线，它能截哪些线，能否得到要求的角。）
得∠A的同旁内角有∠B和∠ACB.
三、画不全
例4、一座城市的一部分交通路线，如图8所示：
一辆汽车沿公路a行驶至交叉道口处，向右拐的角为600行驶到公路c上，在下一个交叉路口处，汽车怎样拐弯才能使它的行驶路线与第一次拐弯前（行驶在公路a上时）平行？
误：我们可以假设汽车在下次拐弯时行驶到公路b上， 得图5，此时，汽车第二次拐弯后的行驶路线如图5中的实线箭头所示，两次拐的角成为内错角. 由于“内错角相等，两直线平行”，所以汽车应该在交叉道口处向左拐的角为600.
析与解：在这个实际问题中，只保证汽车拐弯后能使它的行驶路线与第一次拐弯前（行驶在公路a上时）平行，但没用强调一定要操持原来的方向，则会出现两种情况：
一种情况是两次拐弯前后行驶方向相同. 同学已解。
另一种情况是两次拐弯前后行驶方向相反. 此时，汽车第二次拐弯后的行驶路线如图6的虚线箭头所示，两次拐的角成为同旁内角. 由于“同旁内角互补，两直线平行”，所以汽车应该在交叉道口处向右拐的角为1200 .
四、判断有误或方法用错
　例5、如图11，根据∠1＝∠2，可以判定哪两条直线平行？并说明判定的根据是什么.　
误：AD∥BC
析与解：图中线比较多，解决本例关键是要观察已知相等两角的两边所在的直线.我们仍可通过画线法，把∠1和∠2的四边画出，相重合的线就是截线，另两边必平行。得AB∥DC。理由：内错角相等，两直线平行。
另：“同旁内角互补，两直线平行”，常有同学用成：同旁内角相等，两直线平行。
分析失误，以此为鉴。
有关“平行线”中的思想方法
求解有关平行线的问题时，同样应注意数学中的思想方法的运用，常见的思想方法有：
一、方程思想
例1　如图1，直线a与直线b互相平行，则的值是（　　）
A.20 B.80 C.120 D.180
分析　要求的值，若能分别求出x和y的大小问题就容易解决了，而如图1，由直线a与直线b互相平行和x和3y是邻补角，于是利用方程即可求得.
解　因为直线a与直线b互相平行，所以x＝30°，
又因为x和3y是邻补角，所以3y+x＝180°，所以y＝50°.
所以＝＝20°.故应选A.
说明　求解有关平行线的问题时除了要能抓住已知条件，还要能及时地从图形中发现隐含条件.如本题的图形中的x和3y是邻补角.
二、转化思想
例2　如图2所示，当∠1＝∠5时，试说明直线a，b是否平行？为什么？
分析　虽然∠1＝∠5，但从图上看∠1与∠5却没有任何关系，为了能顺利地解决问题，不妨将已知进行适当地转化，即转化为同位角来处理，或转化为同位角来处理，或转化为同旁内角来处理，现以一种转化方法来求解.
解　平行.理由：因为∠1＝∠3（对顶角相等），∠1＝∠5（已知），
所以∠3＝∠5（等量代换）.所以a∥b（同位角相等，两直线平行）.
说明　有些数学题目，初看觉得无从下手，但若能将问题通过适当地转化，问题便能得到顺利解决，本题中正是利用转化思想进行角之间的转化，才使问题获解.
三、构造思想
例3　如图3，若∠BED＝∠B+∠D，则直线AB与CD平行吗？为什么？
分析　从图中找出能直接判定AB∥CD很困难，这时可从线入手，添加一条直线，即过点E作AB的平行线，然后利用“两条直线都和第三条直线平行，这两条直线互相平行”来推证出AB∥CD.
解　过点E作EF∥AB.所以∠BEF＝∠B（两直线平行，内错角相等），
又因为∠BED＝∠B+∠D（已知），∠BED＝∠BEF+∠DEF，
所以∠B+∠D＝∠BEF+∠DEF（等量代换），
所以∠D＝∠DEF（等式的性质），所以EF∥CD（内错角相等，两直线平行），
所以AB∥CD（平行于同一直线的两直线互相平行）.
说明　本题中已有两条直线和角的大小关系，但BE、DE并不是它的截线，不是“三线八角”的基本图形，因此可以添加辅助线构成“三线八角”.
四、分类思想
例4　如图4，已知直线l1∥l2，直线l3和直线l1、l2交于点C和D，在C、D之间有一点P，如果P点在C、D之间运动时，问∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系是否发生变化.若点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合），试探索∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系又是如何？
分析　若P点在C、D之间运动时，只要过点P作出l1的平行线即可知道∠APB＝∠PAC+∠PBD；若点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合），则可以分为如图5和如图6两种情形，同样分别过点P作出l1或l2的平行线，即有∠APB＝∠PBD－∠PAC或∠APB＝∠PAC－∠PBD.
解　若P点在C、D之间运动时，则有∠APB＝∠PAC+∠PBD.理由是：如图4，过点P作PE∥l1，则∠APE＝∠PAC，又因为l1∥l2，所以PE∥l2，所以∠BPE＝∠PBD，所以∠APE+∠BPE＝∠PAC+∠PBD，即∠APB＝∠PAC+∠PBD.
若点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合），则有两种情形：
（1）如图5，有结论：∠APB＝∠PBD－∠PAC.理由是：过点P作PE∥l1，则∠APE＝∠PAC，又因为l1∥l2，所以PE∥l2，所以∠BPE＝∠PBD，所以∠APB＝∠BAE+∠APE，即∠APB＝∠PBD－∠PAC.
（2）如图6，有结论：∠APB＝∠PAC－∠PBD.理由是：过点P作PE∥l2，则∠BPE＝∠PBD，又因为l1∥l2，所以PE∥l1，所以∠APE＝∠PAC，所以∠APB＝∠APE+∠BPE，即∠APB＝∠PAC+∠PBD.
说明　处理几何问题中的动点问题时，当动点没有明确所在位置，应注意分情况讨论，这样避免漏解.
生活中的平行线
平行线的应用广泛，生活可以看见很多和平行线有关的实例，现举例说明，供同学们学习时参考．
一、家中的水管
例1.如图1，是家用水暖器材中一种弯形管道，要求经过两次拐弯后还保持平行的姿态（即AB∥CD）.如果已知∠B＝80°，那么∠BCD的度数分别为 .

图1
分析：先把生活中的实物转化为数学中两条平行线被第三条直线所截的情形.利用平行线的性质可得未知的角度.
解：图1（1）中是一种“U”形管，因为AB∥CD，根据两直线平行，同旁内角互补，所以∠B＋∠BCD＝180°，所以∠BCD＝180°－80°＝100°；图1（2）和图1（3）是一种“N”形管，根据两直线平行，内错角相等，可得∠BCD＝∠B＝80°.
二、公路的弯道
例2.如图所示，是一条公路的弯道，经过两次拐弯后又回到原来的方向，如果第一次的拐角是130°，那么第二次拐弯时在刚才的方向上拐过的∠DCE度数是多少？
分析：因为经两次拐弯后方向不变，所以AB和CD是平行的，根据平行线的性质，可求得∠BCE的度数，进而求得∠DCE度数.
解：因为经两次拐弯后方向不变，所以AB∥CD，
所以∠BCE＝∠ABC＝130°，所以∠DCE＝180°－130°＝50°.
三、车灯的光线
例3.如图所示，是一汽车前灯的纵剖面，从位于O点的灯泡发出的两束光线OB、OC经车灯的凹面反射以后以平行光线射出，若∠ABO＝60°， ∠DCO＝50°,那么∠BOC的度数是多少？
分析：要求∠BOC的度数,条件中有平行,但平行的条件要和角
度产生联系必须有平行线的截线,因此需要构造一条截线,为已知和未知问题之间建立联系.
解：过O点做EF∥AB，则EF∥CD，
所以∠BOE ＝∠ABO＝60°，∠COE＝∠DCO＝50°,
又因为∠BOC＝∠BOE ＋∠COE，
所以∠AEC＝60°＋50＝110°.
四、开挖水渠
例4 如图，甲、乙两个工程队分别从两条平行的水渠的A，B两点开工，开挖一条与两平行河相通的渠道，在A处测量该渠道的方向为与过A的主水渠的所夹锐角为44°，那么乙队在B处沿什么方向施工，才能使该水渠直线对接？
分析：将两条平行水渠看作两条平行线，将所开挖水渠看作截线，可利用平行线的性质解决问题.
解：由两条水渠平行可得∠1=44°，
即乙在B处沿∠1为44°的方向施工才能使该水渠直线对接.
课件2张PPT。1. 如图，木工用角尺的一边紧靠木料边缘，另一边画两条直线a，b.这两条直线平行吗？为什么？解：a∥b，
因为有一对同位角都是直角.2.如图，丁字尺是过程技术人员常用的一种绘图工具.用丁字尺可以画平行线，说明这种画法的道理.同位角相等，两直线平行.舞动在两平行线间的折线
有一些题目由于看起来太简单，往往很少进一步思考，其实若能从多个角度进行探索思考，可能会有许多发现，使我们对数学的学习更加深入.
题目：如图1，已知AB∥EF. 试说明：∠BCF=∠B+∠F.
解：过点C作CD∥AB. 因为AB∥EF，所以CD∥EF.
所以∠BCD=∠B，∠FCD=∠F（两直线平行，内错角相等）.
所以∠BCD＋∠FCD =∠B＋∠F，即∠BCF=∠B+∠F.
我们在做完之后，可对本题做进一步的反思和探究.
1.从说明方法上探究
解法1：如图2，延长BC交EF于D.因为AB∥EF，所以∠B=∠BDF. 在三角形CFD中，∠BDF＋∠F＋∠DCF＝180°，又∠BCF＋∠DCF =180°，所以∠BCF=∠B+∠F.
解法2：如图3，过C点作DG⊥AB
分别交AB、EF于G、D.
因为AB∥EF，所以DG⊥EF.
因为∠BCF=（∠BCG+∠DCF）
=（∠BCG）+（∠FCD），即∠BCF=∠B+∠F.
2.从点C的位置上探究
在上述问题中，折线在AB、EF之间，如果改变点C的位置，点C不在AB、EF之间，而在AB、EF的外侧，如图4、图5所示，∠BCF的结果会是多少呢？
解：如图4，过点C作CD∥AB.因为AB∥EF，CD∥EF，所以∠BCD=∠B，∠DCF=∠F. 所以∠BCF＝∠BCD－∠DCF＝∠B－∠F.
如图5，过点C作CD∥AB.因为AB∥EF，CD∥EF，所以∠BCD=∠F，∠DCB=∠B. 所以∠BCF＝∠BCD－∠DCB＝∠F－∠B.

变式训练：
1.如图6，，∠1＝120°，∠2＝100°，则∠3＝ （　）
A．20° B．40° C．50° D．60°
2.如图7，AB∥CD，∠BAC的平分线和∠ACD的平分线交于点E，则∠AEC的度数是　　　　　．

3.如图8，，直线与、分别相交于、两点，平分∠，过点作垂足为，若∠＝30，则∠＝_____．
答案：1.A 2. 90o 3. 60°
识别两直线平行线的方法
判定两直线平行方法的实质就是通过角度的数量关系（相等或互补）“转化”为两线的位置关系．运用的关键是找准相等或互补的角是由哪两条直线被哪一条直线所截而形成的．我们要善于从找出最合理的思路和方法．
一、同位角相等的角度考虑
例1 如图1，直线AB、CD被EF所截，H是CD与EF的交点，∠1=60°，∠2=30°，GH⊥CD于H点H，求证：AB∥CD．
分析：欲判定AB∥CD，只需说明∠1=∠4，即说明∠4=60°．
证明：因为GH⊥CD，∴∠2+∠3=90°．
因为∠2=30°，所以∠3=60°．
所以∠4=∠3=60°．
又因为∠1=60°，所以∠1=∠4．
所以AB∥CD．
例2 如图2，∠ACF+∠F=180°，∠A=∠B，试说明AB∥BE．
分析：由∠ACF+∠F=180°，可推出AC∥BF，从而有∠EGC=∠B；再由∠A=∠B，可推得∠A=∠EGC，从而可推出AB∥BE．
解：因为∠ACF+∠F=180°，所以AC∥BF．
所以∠EGC=∠B．
又∠A=∠B，所以∠A=∠EGC，所以AB∥BE．
二、从内错角相等的角度考虑
例3 如图3所示，已知∠D=∠A，∠B=∠FCB，求证：ED∥CF．
分析：由∠D=∠A，∠B=∠FCB，可得ED∥AB，CF∥AB，由平行公理的推理可得ED∥CF．
证明：因为∠D=∠A，所以ED∥AB．
因为∠B=∠FCB，所以CF∥AB．
所以ED∥CF．
例4 如图4，A、B、C三点在同一直线上，∠1＝∠2，∠3＝∠D，求证：BD∥CE．
分析：要说明BD∥CE，只需要证明∠3＝∠DBE即可，而∠3＝∠D，也就是要证明∠D＝∠DBE，这就需要证明AD∥EB，而由∠1＝∠2不难得此结论．
证明：因为∠1＝∠2，
所以AD∥BE．所以∠D＝∠DBE．
因为∠3＝∠D，所以∠3＝∠DBE．
所以BD∥CE．
三、从同旁内角互补的角度考虑
例5 如图5，∠DAF＝∠AFE，∠ADC＋∠DCB＝1800．求证：EF∥BC．
分析：由∠DAF＝∠AFE，可推出AD∥EF，由∠ADC＋∠DCB＝1800，
可得AD∥BC，从而可推出EF∥BC．
证明：因为∠DAF＝∠AFE，
所以AD∥EF．
又因为∠ADC＋∠DCB＝1800，
所以AD∥BC．所以EF∥BC．
例6 如图6，已知AC、BC分别平分∠QAB、∠ABN，且∠1与∠2互余，求证：PQ//MN．
分析：要说明PQ//MN，关键在于确定“第三条直线”，该题中较为明显的直线是AB．在“三线八角”中，与已知条件∠1、∠2有明显联系的是∠QAB、∠ABN，这是一对同旁内角，至此，解题途径已经明朗．
证明：因为AC、BC分别平分∠QAB、∠ABN，所以∠QAB=2∠1，∠ABN=2∠2．
因为∠1+∠2=90°，所以2∠1+2∠2=180°．
所以∠QAB+∠ABN=180°．所以PQ//MN．

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