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例析反比例函数的易错点
反比例函数是数学中的重要内容之一，更是历年中考的热点。但初学者由于概念理解上的偏差、研究增减性时不分象限（笼统地说：当时，y随x的增大而减小，或当时，y随x的增大而增大）和数形分离（不会在函数图像中发现并采集相关信息）等现象，经常会出现一些不必要的错误，不知你是否也犯过下面的错误：
一、忽视反比例函数成立的条件“k是常数，且”
例1．若函数是反比例函数，则k的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
错解：∵是反比例函数，
∴，解得，．故选C．
剖析：根据反比例函数定义可知，反比例函数（或）中存在着隐含条件“”．本题的错误原因是只考虑到反比例满足这一条件，而忽视了隐含条件“”．
正解：由题意得，，解得，．
当时，（符合题意）
当时，（不符合题意，舍去）
所以时，是反比例函数，故选C．
二、数形分离，顾此失彼
例2．如图（1），P是反比例函数的图象上一点，过P向x轴，y轴引垂线，若S阴影=5，则此函数图象的解析式为 ．
错解：设P点的坐标为（x0，y0），则，解得．
∴或．
剖析：上述解题过程中没有考虑到图像信息而导致错误．仔细观察图像，不难发现双曲线在第二、四象限，所以．
正解：由阴影部分的面积等于5，得，解得．
∵的图像在第二、四象限，∴，即．
三、实际问题中忽视自变量的取值范围
例3．甲、乙两地相距100千米，一辆汽车从甲地开往乙地，把汽车到达乙地所用的时间t（小时）表示汽车速度v（千米/时）的函数，并画出图象。
错解：由，得。所画图象，如图（2）所示：
剖析：由自变量的实际意义可知，函数图象只能在第1象限内。解答本题容易忽视自变量这一隐含条件，导致把整个图象都画出来。
正解：由，得， 且。
用描点法画出如图（3）的图象所示：
为避免再犯以上错误，笔者建议你在学习时关注以下几个方面：
1．利用反比例函数关系式解决问题时，注意这一限制条件．
2．解与实际问题相关的图象题时，要关注自变量的实际意义，不能扩大或缩小其取值范围．
3．利用反比例函数的性质比较大小时，如果两点不在同一个象限时，需要根据图象作出合理的判断，切不可用所谓的“性质”比较大小．
4．画函数的图象时，要注意自变量不等于0这一隐含条件，不能出现图象与坐标轴有交点等现象．
反比例函数应用的数学建模
在现实世界中广泛存在着成反比例的量，要能够把生产、生活中的一些问题归结为反比例函数这种数学模型，综合地运用反比例函数的图形与性质解决.
一、行程问题
例1 (云南双柏)已知甲、乙两地相距（km），汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间（h）与行驶速度（km/h）的函数关系图象大致是（ ）.
解析：由于路程s确定，所以.（v＞0）,v,t为成反比例，在第一象限. 故选C.
评注：路程确定时，t,v成反比例，速度增大，时间减小；速度减小，时间增大.
二、学科综合
例2 （湖北襄樊）在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳,当改变容器的体积时,气体的密度也会随之改变,密度p(单位,kg/m3)是v(单位,m3)的反比例函数,它的图象如图所示,当v=10m3时,气体的密谋是（ ）
A.5kg/m3 B.2kg/m3
C.100kg/m3 D.1kg/m3
解析：先设反比列函数的解析式为，过点（5，2），求出k=10，则.当v=10m3时,p=1.答案选D.
评注：跨学科性试题，借助其他学科的知识，利用数学知识进行解答，反映出数学是各学科基础的特点.
三、图形信息
例3（四川巴中）为预防“手足口病”，某校对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量（mg）与燃烧时间（分钟）成正比例；燃烧后，与成反比例（如图所示）．现测得药物10分钟燃完，此时教室内每立方米空气含药量为8mg．据以上信息解答下列问题：
（1）求药物燃烧时与的函数关系式．
（2）求药物燃烧后与的函数关系式．
（3）当每立方米空气中含药量低于1.6mg时，对人体方能无毒害作用，那么从消毒开始，经多长时间学生才可以回教室？
解析：（1）设药物燃烧阶段函数解析式为，由题意得：，得．
∴此阶段函数解析式为
（2）设药物燃烧结束后的函数解析式为，由题意得：
，得．此阶段函数解析式为
（3）当时，得，∴1.6x＞80. ∴
∴从消毒开始经过50分钟后学生才可回教室．
评注：图像信息题要能从图像中获取信息，并能根据需要对其进行必要的处理.
对照正比学反比
甲：怎样才能学好反比例函数？
乙：对照正比例函数来学习．
甲：反比例函数不是与正比例函数唱反调的吗？
乙：表面上听起来似乎是这样没错，可它们实际上却是一对好姐妹．
甲：我原以为一正一反犹如正义与邪恶是水火不相容的．那怎么个对比法呢？
乙：先从定义开始吧．
甲：我知道正比例函数的定义是：形如的函数叫做正比例函数，那反比例函数呢？
乙：形如的函数叫做反比例函数．你看它们是不是长得很相像？
甲：的确长得有点像，可它们的性格类似吗？
乙：有些类似，有些恰恰相反．你喜欢先听什么样的？
甲：既然叫做反比例，那就先说说相反的吧，让我看看它们究竟反在哪里？
乙：首先你看它们的函数式，一个是整式，一个是分式，两者不是有相反的味道吗？
甲：这一点我已看出来了，我问的是在其它方面．
乙：那好，我问你：正比例函数的图象是什么？
甲：一条经过原点的直线．
乙：反比函数的图象是两条不经过原点的曲线．你看，一直一曲，一个经过一个不经过，一个一条一个两条，够反了吧？
甲：的确有些反，除此之外还有吗？
乙：有．你说当时，正比例函数的与之间的变化关系怎么样？
甲：随增大而增大．
乙：反比例函数恰好与此相反，也就是说时，不论是还是，都随增大而减小．
甲：如此说来，当时，正比例函数随增大而减小，而反比例函数却是随增大而增大了？
乙：应该补充说：在每个象限内．
甲：为什么要这样呢？
乙：因为正比例函数自变量的取值是连续的，而反比例函数却是，是不连续的．比如，这里的，你如果说随增大而减小，那就错了．
甲：难道是应该说：随增大而增大？
乙：错得更厉害了．
甲：为什么呢？
乙：你看，当时，；时，，从增大到，却从减小到，你说随增大而增大能是正确的吗？
甲：那为什么不能说随增大而减小呢？
乙：你看，当时，；时，，此时从增大到，从增大到，能说随增大而减小吗？
甲：我终于明白了为什么要说在每个象限内了．那还有其它相反的吗？
乙：有．还有一个更为有意思的相反．
甲：哪一个？
乙：我问你：当为何值时，函数是正比例函数？
甲：不就是吗？
乙：对．而当时，是反比例函数．你看，自变量的指数为时是正比例函数，为时是反比例函数，这里的和不就是互为相反数吗？
甲：的确有意思．那两者类似的是什么？
乙：首先是它们的外貌、长相犹如一对同父异母的姐妹，这一点我们已经说过了，更重要的一点是它们的图象所在的象限与的符号关系几乎一模一样．我问你：当时，正比例函数的图象在什么象限？
甲：第一、三象限，难道反比例函数的图象也是在第一、三象限吗？
乙：正是．而且当时，两者的图象也都是在第二、四象限．
甲：还有其它关系吗？
乙：有．不论是正比例函数还是反比例函数，它们都是存在于形如这种关系的三个量．
甲：此话怎讲？
乙：你看，在中，当一定时，与成正比例，当一定时，与成反比例．
甲：原来如此，我明白了，谢谢．
正比例和反比例的异同及典例一题
　　相同点：
　　(1)正、反比例研究的都是两种变量，即都是两种相关联的量.
　　(2)两种相关联的量是成倍数的变化(即乘、除关系)，而不是增加或减少(加、减关系).
不同点：
　　正比例是两种量中相对应的两个数的比值(也就是商)一定；
反比例是两种量中相对应的两个数的积一定.
例1 k为何值时，y＝（k＋2）是反比例函数？
参考答案
分析：根据反比例函数表达式的一般形式y＝（k≠0）也可以写成y＝kx－1（k≠0），后一种写法中的x的次数为－1，可知此函数为反比例函数，必须具备两个条件：k＋2≠0且k2－5＝－1
二者缺一不可．
解：由得
∴k＝2．∴当k＝2时，y＝（k＋2）是反比例函数．
常见错误：（1）不会把反比例函数的一般式y＝写成y＝kx－1的形式；
（2）忽略了k＋2≠0这个条件．
“点”在反比例函数图象上的应用
所谓点在反比例函数的图象上，也就是反比例函数的图象经过该点，则该点的坐标一定满足其解析式．在中考试题中，经常出现考查点在反比例函数图象上的题目，现归纳如下，供同学们参考．
一、判断点在函数图象上
例1在的三个顶点中，可能在反比例函数的图象上的点是 ．
析解：由反比例函数知，．∵，∴若点在该函数的图象上，需横坐标与纵坐标同号．则只有点B满足．
二、确定函数解析式
例2下列函数中，图象经过点的反比例函数解析式是（ ）．
（A） （B） （C） （D）
析解：设该函数解析式为，由题可得=－1，∴该反比例函数解析式为，应选（B）．
三、求字母的取值
例3已知反比例函数的图象经过点（3，2）和（m，－2），则m的值是 ．
析解：解答本题应先求函数解析式．由题可得，∴该函数的解析式为．把（m，－2）代入，得，
四、写图象上点的坐标
例4反比例函数图象上一个点的坐标是　　　　　　．
析解：本题是一道开放性试题，答案不唯一，只要满足条件的任一点均可．
五、比较值或值大小
例5若反比例函数的图象上有两点，，则______（填“”或“”或“”）．
析解：本题考查反比例函数图象的性质。∵，∴反比例函数的图象的两个分支在第二、第四两个象限，在每个象限内的值随值的增大而增大．又∵0，∴．
点评：在利用函数性质比较值或值大小时，不仅要注意已知值的大小，更要看准考查点是否位于同一象限内．
反比例函数图象及性质的应用
一、求字母的值
【例1】已知函数y＝（m2 －1）x－1是反比例函数，求m的取值范围？若当x=1时，y＝3，试确定此反比例函数的表达式.
　　【思考与分析】反比例函数的表达式y=中的比例系数k≠0，我们看到本题中的比例系数是用字母表示的，注意m2 －1≠0时满足条件.
　　解：由m2 －1＝0
　　解得m＝1或m=－1.
　　所以当m≠1且m≠－1时，函数y＝（m2 －1）x－1是反比例函数.此反比例函数式可写成y=.
　　把x=1时，y＝3代入解析式，得3＝m2 －1，
　　解得m＝2或m＝－2．
　　所以此反比例函数的表达式是y=3x－1=
　　【小结】反比例函数的表达式是y=（k为常数，k≠0），当反比例函数的比例系数用字母来表示时，注意不要忽略了比例系数不为零这一条件.求解此类问题时，要考虑全面
二、巧用函数的增减性
1.利用增减性求“k”的取值范围
　　【例2】 反比例函数y=的图象在每个象限内，y随x的增大而减小，则k的值可为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）
　　　A．－1　　B．0　　C．1　　D．2
　　【分析与解】反比例函数当k＞0时，图象在第一、三象限，并且在每个象限内图象呈下降趋势，即在每个象限内y随x的增大而减小；当k＜0时，图象在第二、四象限，并且在每个象限内图象呈上升趋势，即在每个象限内y随x的增大而增大.因为题中y随x的增大而减小，则2k－2＞0，解得k＞1.故选D.
　　
2.利用增减性比较大小
　　【例3】若A（－3，y1），B（－2，y2）， C（－1，y3）三点都在函数y=－的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（　　）
　　A．y1＞y2＞y3　　B．y1＜y2＜y3　　
C．y1＝y2＝y3　　D．y1＜y3＜y2
　　【分析与解】因为k＝－1＜0，所以反比例函数在第二、四象限内，在每个象限内y随x的增大而增大.
　　又因为－3＜－2＜－1，所以y1＜y2＜y3，故选B.
　　另外此题还可用图象法直接求解如图所示．
　　从图象上可直接看出y1＜y2＜y3.
三、如何判定函数
判定两个变量间的函数关系是不是反比例函数，有两种常用方法：1.若两个变量的积是一个不等于0的常数，则为反比例函数；2.若有式子的形式（k为非零常数），则为反比例函数.下面举例说明.
　　【例4】下列各题中的两个变量之间哪些是反比例函数，哪些不是？
　　（1）中的y和x；
　　（2）积为非零常数的两个乘数x与y；
　　（3）除数一定时，被除数和商；
　　（4）被除数一定时，除数和商；
　　（5）多边形的边数n与它的内角和y.
　　【分析与解】（1）∵，∴，
　　即y是x的正比例函数，比例系数是
　　（2）∵xy＝k（k≠0，k为常数），∴ 根据方法1，积为非零常数的两个乘数是反比例函数关系.
　　（3）设除数为a（定值），被除数为b，商为c，则＝c（a≠0），即b＝ac.因为是y＝kx（k≠0，k为常数）的形式，所以是正比例函数关系，不是反比例函数关系.
　　（4）设被除数为b（定值），除数为a，商为c，则
　　当b≠0时，是的形式，因此，是反比例函数关系；
　　当b＝0时，总有c＝0，既不是正比例函数关系，也不是反比例函数关系.
　　（5）∵y＝（n－2）·180°，即y＝180°n－360°，
　　∴多边形的边数n和它的内角和y的函数既不是正比例函数，也不是反比例函数，而是一次函数.
四、求实际中的解析式
1、根据概念求解析式
　　【例5】已知y＝（2－k）x 3－k是反比例函数，求它的解析式．??
　　【思考与分析】反比例函数的概念要满足的两个必备条件：1.自变量的指数是－1； 2.比例系数k≠0.故可求得k的值，从而得到解析式.
　　解：由反比例函数的概念可得：
　　
　　∴它的解析式是或y＝4x－1.
　　【反思】由自变量指数为－1可得k=±2，不能急于下结论，还要检验反比例系数“２－k≠0”，只有同时具备才可确定本题中k的值.
　　2、利用隐含的反比例关系求解析式
　　【例6】（1）已知当V=40m3时，ρ＝2kg/m3，试确定ρ与V之间的函数关系式；???
　　（2）一个矩形的面积是40mm2，相邻两边长分别为xmm，ymm．写出y与x之间的函数关系式.
　　（3）甲、乙两地相距72km，写出汽车行驶时间t（h）与平均速度v（km/h）之间的函数关系式．
　　【思考与分析】通过读题我们会发现上述各题中的两个变量都存在反比例函数关系，我们根据各个量之间的关系建立等式，就可以得到反比例函数的解析式.
　　解：（1）因为ρ与V存在反比例函数关系，所以设（m≠0，且m为常数），因为V=40m3时，ρ＝2kg/m3，所以2＝.解得m=80.
　　所以ρ与V之间的函数关系式为：
　　（2）因为矩形面积是相邻两边的积，即y×x＝40，
　　所以y与x之间的函数关系式是：y=
　　（3）因为汽车行驶时间t（h）×平均速度v（km/h）＝两地的距离，所以汽车行驶时间t（h）与平均速度v（km/h）之间的函数关系式是:t=.
反比例函数的图象与性质错解“诊所”
处理反比例函数问题时最容易出现的错误主要有两点：
一是忽略定义y=中的k≠0这个条件；
二是在研究反比例函数的增减性时不分象限，将双曲线不同分支上的点混在一起．
例1．若y=（k－3）x为反比例函数，则k= ．
错解：因为是反比例函数，则k－10=－1，所以．
会诊：反比例函数的定义是：一般地，形如y=（ k≠0的常数）的函数叫反比例函数．忽略“k≠0”这个条件．
正解：由k－10=－1，解得；又因为k－3≠0，所以k=－3．
例2．判断正误：反比例函数y=－中，y随着x的增大而增大．
错解：正确．
会诊：反比例函数y=（ k≠0的常数）的性质是，当k＜0时在每一象限内，y随着x的增大而增大．忽略了在“每一象限内”这一条件．只有当x＞0或x＜0时y随着x的增大而增大．
正解：错误．
例3．在函数y=－（a≠0的常数）的图像上有三个点（－2，b）、（－1，c）、（3，d），则函数值的大小关系是（ ）
A．b＜c＜d B．d＜c＜b C．c＜d＜b D．d＜b＜c。
错解：因为－a＜0，所以 y随着x的增大而增大．又因为－2＜－1＜3， b＜c＜d．
所以选择A．
会诊：此题的错误是分析反比例函数的增减性时不分象限，将双曲线不同分支上的点混在一起．本题的（－2，b）、（－1，c）两点在双曲线的第二象限的分支上，由－2＜－1，得0＜b＜c；而点（3，d）在双曲线的第四象限的分支上，d＞0．所以它们的大小关系是d＜b＜c．
正解：选择D．
例4．已知反比例函数y=的图像上两点A（a，b）、B（c，d）．当a＜0＜c时，有b＜d，则m的取值范围是（ ）
A．m＜0 B．m＞0
C．m＜1/2 D．m＞1/2
错解：因为当a＜0＜c时，有b＜d，即y随着x的增大而增大．所以1－2m＜0，得m＞1/2 ，因此选择D．
会诊：此题的错误是将双曲线不同分支上的点混在一起，来分析反比例函数的增减性．因为a＜0＜c，所以A、B两点分别位于二个象限内，点A在第二或三象限的分支上，则点B在第四或一象限的分支上．又因为b＜d，点B只能在第一象限的分支上，则点A在第三象限的分支上．所以1－2m＞0，解得m＜1/2．
正解：选择C．
根据图形解反比例函数问题
根据图形面积解决与反比例函数有关的问题是一类重要的类型题，下面通过具体的例子谈谈此类问题的解题方法.
例1如图，若点A在反比例函数的图象上，AM⊥x轴于点M，△AMO的面积为3，则 ．
分析：已知△AMO的面积为3，要求k的值，需要找到k与△AMO的面积之间的关系.可设点A的坐标为（m，n），用m，n表示出AM，OM的长即可找到k与三角形面积之间的关系.
解: 设点A（m，n），则AM=n，OM=－m，
所以S△AMO=AM·OM=－mn=3，
所以mn=－6，
又点A在反比例函数的图象，可得k=mn，
所以k=－6.
点评：解决本题的基本思路是设出点A的坐标，用点A的坐标将三角形的面积，并求到坐标的积，根据坐标积求到k.
例2若正方形AOBC的边OA、OB在坐标轴上，顶点C在第一象限且在反比例函数y=的图象上，则点C的坐标是 .
分析：解决问题可画出图，根据正方形AOBC可知AC=BC，据此可设点C的坐标为（m，m），代入函数关系式求到m即可.
解： 设点C为（m，m），因为点C在反比例函数y=的图象
所以m2=1，解得m=1或－1，
因为点C在第一象限，所以m=－1要舍去.
所以点C的坐标为（1，1）.
点评：解决本题的关键是利用点C在反比例函数图象上，点C的坐标满足函数关系式列出方程，应注意的问题是根据图象所在象限确定m的符号.
例3如图，在平面直角坐标系中，函数（，常数）的图象经过点A（1，2），B（m，n），（），过点B作y轴的垂线，垂足为C．若△ABC的面积为2，则点B的坐标为 ．
分析: 求点B的坐标,也就是求m,n的值.可根据△ABC的面积及点B在函数图象上,列出方程求解.
解：因为点A的纵坐标为2，点B的纵坐标为n，所以△ABC的BC边上的高为2－n，又BC=m，
根据△ABC的面积，得(2－n)m=2,所以m－mn=2,①
又由点A在图象上可得2=k,所以n=,所以mn=2,②
把②代入①,得m=3,所以n=.
所以点B的坐标为(3, ).
点评:本题主要利用点的坐标表示△ABC的面积,根据图象上点的坐标满足函数关系式,构造方程解决问题.
练习：反比例函数的图象如图所示，点M是该函数图象上一点，MN垂直于x轴，垂足是点N，如果S△MON＝2，则k的值为（　）。
A.2　　 B.－2 C.4　　 D.－4
参考答案：D
结识函数家族的新成员——反比例函数
一、认识反比例函数的意义：
1．定义：一般地，形如（是常数，）的函数为反比例函数．其中自变量x的取值范围是不等于零的实数．
注意：（1）要能理解反比例函数所表示两个变量的乘积是一个常数；
（2）在中，自变量x的取值范围是不等于零的实数，且；
（3）的表达形式常写成的形式便于应用．
二、了解反比例函数图象的画法：
反比例函数图象的画法是描点法，其步骤是：
1．列表：自变量的取值应以0为中心，沿0的两边取三对以上相反数，分别计算y的值；
2．描点：先画出一侧，另一侧根据关于原点的对称性去找．
3．连线：按从左到右的顺序连接各点，图象的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不能与坐标轴相交．
4．在图象上注明函数的关系式．
注意：（1）在连线过程中，应从x由大到小的顺序用平滑的曲线连接．
（2）不能把图象画成与坐标轴相交．
三、掌握反比例函数的性质：
1．反比例函数（）的图象是由两条曲线组成的，这两条分支通称为双曲线．
2．当时，双曲线的两个分支在第一、第三两上象限，在每个象限内，y值随x的增大而减小；当时，双曲线的两个分支在第二、第四两上象限，在每个象限内，y值随x的增大而增大．
注意：（1）反比例函数，因为故其图象不经过原点，不与坐标轴相交；
（2）双曲线是由两个分支组成的，故一般不说两个分支经过第一、三（或第二、四）象限，而说两个分支在第一、三（或第二、四）象限．
（3）反比例函数的增减性不是连续的，因此在谈到反比例函数值的增减性时，一般都说在各自的象限内的增减情况．
四、学会用待定系数法来确定反比例函数的解析式：
由于反比例函数中只有一个待定系数，因此只要一对对应的x、y值，或已知其图象上一个点的坐标即可求出，进而确定反比例函数的表达式．
五、正确理解反比例函数表达式中的几何意义：
如图1，过双曲线上任意一点P(x,y)作x轴，y轴的垂线PM、PN，所得矩形PMON的面积S=PM?PN=|x|?|y|,而，所以xy=k，所以S=|xy|=|k|．即过双曲线上用意一点作x轴，y轴的垂线所得矩形的面积为|k|．
六、认识反比例函数应注意的问题：
1．在研究反比例函数的增减性和大致位置时，要借助于函数的图象进行．
2．注意反比例函数与正比例函数、一次函数之间的对比，分别从函数的解析式、图象特征、函数的增减性、自变量的取值范围、与坐标轴的交点等方面进行认识．
3．认识反比例函数的图象要以形助数，用数形结合的思想来全面认识，培养数形结合思想．
反比例函数中的数学思想
数学思想是对数学内容的进一步提炼和概括，是对数学内容的一种本质认识。它是数学发现、发明的关键和动力，抓住数学思想方法，是提高解题能力的根本所在。在平时的学习过程中，如果能注意有意识地发现解题过程中的数学思想，并能加以归纳，则抓住了问题的本质，升华了思维，真正学到了数学方法。
一、分类讨论思想
例1.已知一次函数与反比例函数的图象交于点．
（1）求这两个函数的函数关系式；
（2）在给定的直角坐标系（如图1）中，画出这两个函数的大致图象；
（3）当为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？当为何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？
解：（1）设一次函数的关系式为，反比例函数的关系式为，
反比例函数的图象经过点，．
所求反比例函数的关系式为．将点的
坐标代入上式得，点的坐标为．
由于一次函数的图象过和，
解得所求一次函数的关系式为．
（2）两个函数的大致图象如图．
（3）由两个函数的图象可以看出．
当和时，一次函数的值大于反比例函数的值．
当和时，一次函数的值小于反比例函数的值．
点评：分类讨论思想是解决函数类问题中常用的一种数学思想．分类要注意两点：
（1）正确选择一个分类标准；
（2）分类要科学，既不重复，又不遗漏．
二、数形结合思想
例2．利用图象解一元二次方程时，我们采用的一种方法是：在平面直角坐标系中画出抛物线和直线，两图象交点的横坐标就是该方程的解．
（1）填空：利用图象解一元二次方程，也可以这样求解：在平面直角坐标系中画出抛物线 和直线，其交点的横坐标就是该方程的解．
（2）已知函数的图象（如图2所示），利用图象求方程的近似解（结果保留两个有效数字）．（6分）
解：（1）；
（2）画出直线的图象． 由图象得出方程的近似解为：．
点评：本题体现了数形结合思想。数形结合思想就是在研究问题时把数和形结合起来考虑，或者把问题的数量关系转化为图形的性质，或者把图形的性质转化为数量关系，从而使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化．
三、方程思想
例3．已知一次函数y=ax＋b的图象与反比例函数 的图象交于A（2，2），B(－1，m)，求一次函数的解析式．
解：因为B（－1，m）在上， 所以，所以点B的坐标为（－1，－4），又A、B两点在一次函数的图象上， 所以，
所以所求的一次函数为y=2x－2．
评注：在解决函数问题时，从未知转化为已知的手段就是通过设元，寻找已知与未知之间的等量关系，构造方程或方程组，然后求解方程完成未知向已知的转化。要做到得心应手，就得善于挖掘隐含条件，具有方程的思想意识，在平时的学习，应该不断积累用方程思想解题的方法．
四、转化思想
例4.如图3，梯形AOBC的顶点A、C在反比例函数图象上，OA∥BC，上底边OA在直线y=x上，下底边BC交x轴于E（2，0），
则四边形AOEC的面积为（ ）
A．3 B． C．－1 D．+1
解析：过点C作CD⊥OE，垂足为D，由OA∥BC，
A在直线y=x上，可知CD=ED=1，EC=而OE=2，∴OD=3，
则C（3，1）设反比例函数解析式为：，则有k=3．∴，
设A（a, a）则有，∴A（，），于是有OA=．
过点E作EF⊥OA，则△OEF为等腰直角三角形，∴EF=．
∴由梯形面积公式可求四边形AOEC的面积为：=+1，故选D．
评注：本题的主要是把已知条件中的点C的纵坐标，及OE的长，通过借助直线OA的解析式与OA和EC的平行关系，转化为梯形CAEO中的两底及高，从而求得梯形的面积．
反比例函数中的面积定值
在新课标中考试卷中，常有不少的试题涉及到反比例函数图象中的面积问题。众所周知，反比例函数的本质特征是变量y与变量x的乘积是有关常数k（定值），由此不难得到反比例函数的有关重要性质：
若A点是反比例函数图象上的任意一点，且AB垂直于x轴，垂足为B，AC垂直于y轴，垂足为C（如图1所示），
则矩形面积＝|k|。
若连接AO ,则有
现举例说明这些结论的应用。
例1．（内江市中考题）如图2，反比例函数图象上一点A与坐标轴围成的矩形ABOC的积是8 ，则该反比例函数的解析式为 .
分析：由图象在第一、三象限知，反比例函数中的k＞0，又由上述结论知|k|＝8，故k＝8，从而反比例函数的解析式为
例2．（呼和浩特市中考题）如图3，P是反比例函数（k＞0）的图象上的任意一点，过P作x轴的垂线，垂足为M，已知＝2.
（1）求k的值；
（2）若直线y＝x与反比例函数的图象在第一象限内交于A点，求过点A和点B的直线的解析式。
分析：（1）由＝|k|＝2且k＞0，知k＝4.
（2）解有x＝2，y＝2.又A点在第一象限内，
故A点的坐标为（2，2）。
设所求直线的解析式为y＝kx+b，由它过A（2，2）和B（0，2），
有，解得，所以所求的直线解析式为y＝2x－2.
例3．（成都市中考题）如图4，已知反比例函数（k＜0）的图象经过点A（－，m）过点A作ABx轴于点B，且△AOB的面积为。求k和m的值.
分析：由＝|k|＝且k＜0知：k＝。
将x＝代入y＝有y＝2，故m＝2.
例4．（福州市中考题）如图5，已知：正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A在轴上，点C在y轴上，点B、P（,）在函数（>0, >0）的图象上，过P点分别作轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F，并设矩形OEPF和正方形OABC不重合部分的面积为s.
（1）求B点坐标和的值；
（2）当=时，求点P的坐标；
（3）写出s关于的函数关系式.
解：（1）依题意，设B点坐标为（x，y），
则有S正方形OABC=xy=9，得x=y=3，即B（3，3），
因为k=xy，所以k=9；
（2）设PF交AB于G，当m＞3时，由点P（m，n）在y=上，
有S矩形OEPF=mn=9，S矩形OAGF=3n，
由已知S=9－3n=，所以n=，m=6.
故P1（6，）；
当m＜3时，同理可求得P2（，6）；
（3）当0＜ m＜3时，
因为P（m，n），所以S矩形OECG=3m，所以S=S矩形OEPF－S矩形OEGC，
即S=9－3m（0＜ m＜3）；
当m≥3时，
因为P（m，n），所以S矩形OAGF=3n，又mn=9，n=，所以S=9－3n=9－，即S=9－（m≥3）.
练习题
（江苏省泰州市中考题）如图6，正比例函数y＝kx（k＞0）与反比例函数的图象相交于A、C两点，ABx轴于B，CDx轴于D，试说明四边形ABCD 的面积为常数。
（参考答案：）
反比例函数中考题赏析
随着课程改革的进一步推进,有关反比例函数的考题出现了不少新题型,命题者往往给出一些新情境,设置一些新问题,以考查同学们的应变能力和创新能力.现就中考试题中的有关反比例函数的新题型,精选两例析解如下,供同学们鉴赏：
例1 如图，，，……在函数的图像上，，，，……都是等腰直角三角形，斜边、、，……都在轴上
(1)求的坐标；
(2)求的值.
分析:通过解直线OP1、A1P2、A2P3、……A9P10所对应的函数解析式与反比例函数的联列方程组,可以分别求得点P1、P2、P3的坐标,再通过点P1、P2、P3的坐标来探求坐标之间的规律,从而使问题得以解决.
解:(1)由题意可知直线OP1的解析式为，
解方程组得到点P1的坐标为（2，2），
(2)因为是等腰直角三角形,故可设直线P1A1的解析式为
由直线过点P1（2，2），代入可得b=4,
从而直线P1A1的解析式为
令可以求得点A1的坐标为（4，0），
又可以得到直线A1P2的解析式为，
解方程组：得到点P2的坐标为（）
同理可以求得点P3的坐标为（）
由,,……
可以得到, 从而可以得到
=
=.
评注：这道题是由05年江苏南通的一道中考题演变而来,题设条件、图形都一模一样，可所求结论增加了难度.江苏南通的那道题只要求点A2的坐标,而现在这道题不仅要求点的坐标，还要求的值.这可以看出命题者的匠心独运、用心良苦.当然江苏南通那道题的解题思路也为现在这道题作了铺垫.
求函数图像交点坐标,可以通过解函数图像所对应解析式的联立方程组,方程组的解就是函数图像交点坐标;当所求和的项比较多时,不必一一求出,可通过观察分析前几项,探求它们之间的规律,可使问题化繁为简,事半功倍.
例2已知：等腰三角形OAB在直角坐标系中的位置如图，点A的坐标为（），点B的坐标为（－6，0）.
(1)若三角形OAB关于y轴的轴对称图形是三角形O，
请直接写出A、B的对称点的坐标；
(2)若将三角形沿x轴向右平移a个单位，此时点A
恰好落在反比例函数的图像上，求a的值；
(3)若三角形绕点O按逆时针方向旋转度（）.
①当=时点B恰好落在反比例函数的图像上，求k的值．
②问点A、B能否同时落在①中的反比例函数的图像上，若能，求出的值；若不能，请说明理由.
分析：(1)根据坐标系中关于y轴对称的点纵坐标相同，横坐标互为相反数，易得点的坐标；(2)根据图形沿x轴平移，纵坐标不变，可以求得点A落在反比例函数的图像上时所对应的横坐标，再与平移前的横坐标相比较，得到平移的单位a的值.
(3)分别求得△绕点O按逆时针方向旋转30°,60°时,A、B对应点的坐标,再代入反比例函数,求得的值和进行验证.
解：(1)点的坐标为
(2)将点A的纵坐标代入反比例函数 , 即
得到对应的横坐标 ,
平移前的横坐标为,平称后的横从标为,
所以△沿x轴向右平移了个单位, 即
(3) ①将△绕点O按逆时针方向旋转30°,
此时对应点B//的坐标为 ，
将B//的坐标代入反比例函数，即 解得：
② 能将△绕点O按逆时针方向旋转60°,
，对应点的坐标分别是，
经经验：它们都在的图像上， ∴
评注：这道题涉及到等腰三角形、轴对称、平移、旋转、点的坐标和反比例函数等诸多知识点.在坐标系中，关于轴对称的点，横坐标相同,纵坐标互为相反数,关于轴对称的点,纵坐标相同，横坐标互为相反数；图形在坐标系中沿轴方向平移,纵坐标不变，沿轴方向平移，横坐标不变；点的坐标满足函数关系式，点就在函数图像上，点的坐标不满足函数关系式，点就不在函数图像上.
反比例函数图像信息型应用题例析
函数图像是沟通函数解析式与性质之间关系的一座桥梁，正确认识并利用好图像是解决函数问题的关键所在．下面以2道中考题为例加以说明，供同学们复习时参考．
例1、如图，奥运圣火抵达某市奥林匹克广场后，沿图中直角坐标系中的一段反比例函数图像传递．动点表示火炬位置，火炬从离北京路10米处的点开始传递，到离北京路1000米的点时传递活动结束．迎圣火临时指挥部设在坐标原点（北京路与奥运路的十字路口），为少先队员鲜花方阵，
（1）求图中反比例函数的关系式（不需写出自变量的取值范围）；
（2）当鲜花方阵的长是宽的4倍时，确定此时火炬的位置（用坐标表示）；
（3）设，用含的代数式表示火炬到指挥部的距离；当火炬离指挥部最近时，确定此时火炬的位置（用坐标表示）．
解析：（1）设反比例函数为．方阵始终保持矩形形状且面积恒为10000平方米（路线宽度均不计）．所以，．
（2）设鲜花方阵的宽为米，则宽为4m米，由题意得：4m2=10000，m=50，m=-50（舍取）所以此时火炬的坐标为或．
（3），在中，
．所以当时，最小，此时，又，，，，且．．
例2、为了预防流感，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒。已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为（a为常数），如图所所示，据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）写出从药物释放开始，y与t之间的两个函数关系式及相应的自变量取之范围；
（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？

解析：（1）由点P的坐标（3，）可求出反比例函数的关系式为(x＞), 则当y=1时，x=，设正比例函数的关系式为，把点（，1）代入可得k=，即正比例函数的关系式为（≥x≥0）；
（2）把y=0.25代入反比例函数(x＞)，得x=6，所以至少要经过6个小时后学生才能进入教室。
练习：1、如图，某一蓄水池每小时的排水量（m/h）与排完水池中的水所用时间（h）之间的函数图像．
（1）写出此函数图像的解析式；
（2）若要用6 h排完水池的水，那么每小时的排水量是多少？
2、某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地．为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺了若干块木块，构筑成一条临时近道．木板对地面的压强是木板面积的反比例函数，其图像如下图所示．
（1）请直接写出这一函数表达式和自变量取值范围；
（2）当木板面积为时，压强是多少？
（3）如果要求压强不超过，木板的面积至少
要多大？
答案：
1、（1）根据函数图像可知，它是一个反比例函数图像，即设函数解析式为，又因为点（12，4）在函数图像上，所以4=，解得k=48，函数解析式是，
（2）当t=6小时时，代入中，得=8，即每小时的排水量是立方米．
分析：这是一道以物理学中力学知识为背景的试题．
2、（1）．
（2）当时，．即压强是．
（3）由题意知，，所以S≥0.1，即木板面积至少要有．　
反比例函数在实际生活中的四种运用
一、在电学中的运用
在物理学中，有很多量之间的变化是反比例函数的关系，因此，我们可以借助于反比例函数的图象和性质解决一些物理学中的问题，这也称为跨学科应用。
例1 在某一电路中，保持电压不变，电流I(安培)和电阻R(欧姆)成反比例，当电阻R＝5欧姆时，电流I＝2安培．
(1)求I与R之间的函数关系式；
(2)当电流I＝0.5时，求电阻R的值．
(1)解：设I＝??∵R＝5，I＝2，于是 =2×5＝10，所以U＝10，∴I＝．
(2)当I＝0.5时，R＝=＝20(欧姆)．
点评：反比例函数与现实生活联系非常紧密，特别是为讨论物理中的一些量之间的关系打下了良好的基础。用数学模型的解释物理量之间的关系浅显易懂，同时不仅要注意跨学科间的综合，而本学科知识间的整合也尤为重要，例如方程、不等式、函数之间的不可分割的关系．
二、在光学中运用
例2 近视眼镜的度数y（度）与焦距x（m）成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25m．
（1）试求眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式；
（2）求1 000度近视眼镜镜片的焦距．
分析：把实际问题转化为求反比例函数的解析式的问题．
解：（1）设y=，把x=0.25，y=400代入，得400=，
所以，k=400×0.25=100，即所求的函数关系式为y=．
（2）当y=1000时，1000=，解得=0.1m．
点评：生活中处处有数学。用反比例函数去研究两个物理量之间的关系是在物理学中最常见的，因此同学们要学好物理，首先要打好数学基础，才能促进你对物理知识的理解和探索。
三、在排水方面的运用
例3 如图所示是某一蓄水池每小时的排水量V（m3/h）与排完水池中的水所用的时间t（h）之间的函数关系图象．
（1）请你根据图象提供的信息求出此蓄水池的蓄水量；
（2）写出此函数的解析式；
（3）若要6h排完水池中的水，那么每小时的排水量应该是多少？
（4）如果每小时排水量是5 000m3，那么水池中的水将要多少小时排完？
分析：当蓄水总量一定时，每小时的排水量与排水所用时间成反比例．
解：（1）因为当蓄水总量一定时，每小时的排水量与排水所用时间成反比例3 所以根据图象提供的信息可知此蓄水池的蓄水量为：4 000×12=48 000（m3）．
（2）因为此函数为反比例函数，所以解析式为：V=；
（3）若要6h排完水池中的水，那么每小时的排水量为：V==8000（m3）；
（4）如果每小时排水量是5 000m3，那么要排完水池中的水所需时间为：t==8000（m3）
点评：学会把实际问题转化为数学问题，充分体现数学知识来源于实际生活又服务于实际生活这一原理。
四、在解决经济预算问题中的应用．
??? 例4 某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿度，本年度计划将电价调至0.55～0.75元之间，经测算，若电价调至x元，则本年度新增用电量y(亿度)与(x－0.4)元成反比例.又当x＝0.65元时，y＝0.8
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)若每度电的成本价0.3元，电价调至0.6元，请你预算一下本年度电力部门的纯收人多少?
解：(1)∵y与x－0.4成反比例，∴设y＝ (k≠0)．
把x＝0.65，y＝0.8代入
y＝，得0.8＝， 解得k＝0.2，∴y＝
?∴y与x之间的函数关系为y＝
(2)根据题意，本年度电力部门的纯收入为：
(0.6－0.3)(1＋y)＝0.3×2＝0.6(亿元)
答：本年度的纯收人为0.6亿元。
点评：在生活中各部门，经常遇到经济预算等问题，有时关系到因素之间是反比例函数关系，对于此类问题我们往往由题目提供的信息得到变量之间的函数关系式，进而用函数关系式解决一个具体问题．
反比例函数在实际生活中的运用
反比例函数和其它函数一样，在我们的日常生活中有着广泛的应用.那么如何才能正确在利用反比例函数的关系来解决实际问题呢？具体地说应从以下两个方面入手：
一、正确地探求两个变量之间的关系
和利用其它函数解决实际问题一样，要利用反比例函数的关系解决实际问题，只要求能够正确地探求两个变量之间的关系.探索反比例函数中的两个变量之间的关系同样和列方程解应用题一样，即弄清题意和题目中的数量关系，找到能够表示应用题全部含义的一个相等的关系，根据这个相等的数量关系式，列出所需的代数式，从而列出两个变量之间的关系式.常见的表示数量之间的关系有以下几种情形：
（1）和、差、倍、分问题，即两数和=较大的数+较小的数，较大的数=较小的数×倍数±增（或减）数.
（2）行程类问题，即路程=速度×时间.
（3）工程类问题，即工作量=工作效率×工作时间.
（4）浓度类问题，即溶质质量＝溶液质量×浓度.
（5）分配类问题，即调配前后总量不变，调配后双方有新的倍比关系.
（6）等积类问题，即变形前后的质量（或体积）不变.
（7）数字类问题，即有若个位上数字为a，十位上的数字为b，百位上的数字为c，则这三位数可表示为100c+10b+a，等等.
（8）经济类问题，即利息＝本金×利率×期数；本息和＝本金+利息＝本金+本金×利率×期数；税后利息＝本金×利率×期数×（1－利息税率）；商品的利润＝商品的售价－商品的进价；商品的利润率＝×100％.
（9）增长（或降低）率问题，即实际生产数＝计划数×［1+增长率（或－减少率）］，增长率＝×100％.
（10）图形类问题，即根据图形的特征，结合规范图形的周长公式、面积公式、体积公式等等.
二、注意典型习题的训练和巩固
为了能帮助同学们正确地利用反比例函数来解决实际问题，现归类说明如下：
　　（一）在行程类问题中的应用
例1　小华的爸爸早晨骑自行车带小华到15千米的镇外去赶集，回来时让小华乘公共汽车，用的时间少了．假设两人经过的路程一样，而且自行车和汽车的速度在行驶过程中都不变，爸爸要小华找出从家里到镇上的时间和乘坐不同交通工具的速度之间的关系．
简析　设小华乘坐交通工具的速度是v千米/时，从家里到镇上的时间是t小时．因为在匀速运动中，时间＝路程÷速度，所以，从这个关系式中发现:路程一定时，时间t就是速度v的反比例函数．即速度增大了，时间变小；速度减小了，时间增大．自变量v的取值是v＞0．
（二）在平面图形中的应用
例2在□ABCD中,AB=4cm,BC=1cm,E是CD边上一动点,AE、BC的延长线交于点F,设DE=x(cm),BF=y(cm).求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.
简析　四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥CF,即，所以，则，此时自变量x的取值范围是0< x<4.
（三）在立体图形中的应用
例3一个长方体的体积是100立方厘米，它的长是y厘米，宽是5厘米，高是x厘米．
（1）写出用高表示长的函数关系式；
（2）写出自变量x的取值范围；
简析 （1）因为100＝5xy,所以．（2）由于长方体的棱长是正值，所以x＞0．
　　（四）在物理学上的应用
例4一定质量的氧气,它的密度ρ(kg/m3)是它的体积V( m3) 的反比例函数, 当V=10m3时, ρ=1.43kg/m3. （1）求ρ与V的函数关系式；（2）求当V=2m3时求氧气的密度ρ.
简析　（1）设ρ= ,当V=10m3时, ρ=1.43kg/m3,所以1.43= ,即k=14.3,所以ρ与V的函数关系式是ρ=；（2）当V=2m3时, ρ==7.15(kg/m3),所以当V=2m3时,氧气的密度为7.15(kg/m3).
　　（五）日常生活中的问题
例5　你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度y(m)是面条的粗细(横截面积)s(mm2)的反比例函数，其图像如图所示.
（1）写出y与s的函数关系式；
（2）求当面条粗1.6mm2时，面条的总长度是多少米？
　　简析（1）依题意，结合图像，不妨设反比例函数的解析式为y＝（k≠0，s≥0），由于图像经过点（4，32），则有32＝，所以k＝128，即y与s的函数关系式为y＝（s≥0），（2）当面条粗s＝1.6mm2时，面条的总长度是y＝80(mm)＝0.8(m).
反比例函数学习要点
众所周知，反比例函数在现实生活中的应用极为广泛，所以反比例函数是函数知识中的重要的内容之一，那么如何才能学好这一知识呢？笔者认为应注意抓好以下几个要点：
一、注意正确理解反比例函数的概念
①定义：一般地，函数（k是常数，k≠0）叫做反比例函数，其中自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，y的取值范围是y≠0的一切实数.
②一般形式：（k≠0），也可以写成y＝kx－1.
③反比例函数（k≠0），y与x成反比例关系.
二、知道“反比例关系”与“反比例函数”的区别与联系
反比例关系是小学里研究的概念，即如果xy＝k（k是常数，k≠0），那么x与y这两个量成反比例关系，这里的x、y既可以代表单独一个字母，也可以代表一个单项式或多项式.如：y+4与x－3成反比例，则y+4＝（k是常数，k≠0）.但成反比例的关系式，不一定是反比例函数，而反比例函数中的两个量一定成反比例.
三、熟练掌握反比例函数的图象的形状和反比例函数所具有的性质
　　①反比例函数的图象是关于坐标轴对称的两支双曲线.
②当ｋ＞0时，双曲线的两个分支分别在第一、第三象限内，在每一象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，双曲线的两个分支分别在第二、第四象限内，在每一象限内，y随x的增大而增大.
这里应特别注意“在每一象限内”不可丢掉.因为当k＞0时，整个图象并非y随x的增大而减小；只是在每一象限内的分支上才是y随x的增大而减小.
③反比例函数（k≠0）的图象与坐标轴没有交点，如图1，
四、能正确地画出反比例函数的图象
画反比例函数的图象和画一次函数的图象大致相同，即描点法：
①列表：自变量的取值应以原点O为中心，沿O的两边取三对（或三对以上）互为相反数的值，如±1，±2，±3等，填y值时，只需计算右侧的函数值，如当x＝1，2，3的函数值，那么x＝－1，－2，－3的函数值是与之对应的相反数.
②描点：由于双曲线是两条关于原点对称的曲线，所以画其图象时，可先画出一个分支，再对称地画出另一个分支.
③连线：按照从左到右的顺序，用平滑的曲线连结各点.
值得注意的是，由于x、y都不为0，所以画出的双曲线的两个分支分别体现出无限接近坐标轴，但永远不会和坐标轴相交.
五、会确定反比例函数的关系式
由于反比例函数的关系式（k≠0）中只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数的关系式，因此，只需给出一组x、y的对应值或图象上一点的坐标代入，求出k即可确定反比例函数的关系式.
如：已知反比例函数的图象经过点（－3，4），则可以把点（－3，4）代入反比例函数的关系式，求出k＝－12，所以该函数的关系式是.
六、知道反比例函数（k≠0）中的比例系数k的几何意义
如图2，设点P（x，y）是反比例函数（k≠0）图象上一点，过点P作x轴、y轴的垂线，垂足分别为M、N，所得的矩形PMON的面积S＝PM·PN＝，因此，k的几何意义是：过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为.
　　如，点P（x，y）是反比例函数图象上一点，过点P作x轴的垂线，垂足为A，连结OA，则△AOP的面积为×6＝3.
反比例函数
一. 教学内容：反比例函数
教学目标：
1、理解反比例函数、图象及其主要性质，能根据所给信息确定反比例函数表达式，画出反比例函数的图象，并利用它们解决简单的实际问题。
2、初步了解数学在实际生活中的应用，增强应用意识，体会数学的重要性。
二. 重点、难点：
重点：
1、能根据所给信息确定反比例函数表达式，画出反比例函数的图象，并利用它们解决简单的实际问题。
2、反比例函数的图象特点及性质的探究
3、通过观察图象，归纳总结反比例函数图象
难点：
1、理解反比例函数的概念
2、画反比例函数的图象，并从图象中获取信息
3、从反比例函数的图象中归纳总结反比例函数的主要性质
4、反比例函数的应用。
三、知识要点
1、经历抽象反比例函数概念的过程，并能类推归纳出反比例函数的表达式
2、一般地，如果两个变量x，y之间的关系可以表示成y=（k为常数，k不等于0）的形式，那么称y是x的反比例函数.从y=中可知，x作为分母，所以不能为零
3、画反比例函数图象时要注意以下几点
a 列表时自变量的取值应取绝对值相等而符号相反的一对数值，这样既可以简化计算，又便于标点
b 列表、描点时，要尽量多取一些数值，多描一些点，这样方便连线
c 在连线时要用“光滑的曲线”，不能用折线
4、反比例函数的性质
反比例函数
k的取值范围
图象
性质
①的取值范围是，的取值范围是
②函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每一个象限内随的增大而减小
①的取值范围是，的取值范围是
②函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每一个象限内随的增大而增大
注意：1）反比例函数是轴对称图形和中心对称图形；
2）双曲线的两个分支都与轴、轴无限接近，但永远不能与坐标轴相交；
3）在利用图象性质比较函数值的大小时，前提应是“在同一象限”内。
5、反比例函数系数的几何意义
如图，过双曲线上任意一点P作轴，轴的垂线PM，PN，所得矩形的面积为
∵ ∴ ∴，
即过双曲线上任一点作轴，轴的垂线，所得矩形的面积为
注意：①若已知矩形的面积为，应根据双曲线的位置确定k值的符号。
②在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，分别过P，Q作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2，则有S1＝S2。
四、典例解析
考点一、反比例函数的定义
例1、用电器的输出功率P与通过的电流I，用电器的电阻R之间的关系是，下面说法正确的是（ ）
A. P为定值，I与R成反比例
B. P为定值，与R成反比例
C. P为定值，I与R成正比例
D. P为定值，与R成正比例
本题的答案是：B
例2、为何值时， 是反比例函数？
解：
常见的错误：
1）不会把反比例函数的一般形式写成形式；
2）忽略了这个条件。
考点二：反比例函数的图象
例3、若三点都在函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
答案为A
例4、观察下面函数和的图象，请大家对比着探索它们的异同点
相同点：a、图象都是由两条曲线组成
b、它们都不与坐标轴相交
c、它们都不过原点
不同点：它们所在的象限不同，的两条曲线在第一和第三象限，的两条曲线在第二和第四象限，大家再仔细观察一下每个函数图象是否为对称图形，轴对称图形，中心对称图形？
由此看来，反比例函数的图象是两条双曲线，它们要么在第一、三象限，要么在第二、四象限，究竟什么时候在第一、三象限，什么时候在第二、四象限，大家能确定吗？
可以，当k大于0时，图象的两条曲线在第一、三象限内，当k小于0时，两条曲线分别位于第二、四象限。
考点三：反比例函数的性质
例5、已知反比例函数，分别根据以下条件求出的取值范围。
（1）函数图象位于第一、三象限内；
（2）在每一个象限内，随的增大而增大。
解：（1）∵双曲线在第一、三象限内，∴
（2）∵在每一个象限内随的增大而增大 ∴
例6、如图，反比例函数图象上任取两点P、Q，过点P分别作x轴，y轴的平行线与坐标轴围成的矩形面积为，过点Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为。
（1）与有什么关系？为什么？
（2）将反比例函数的图象绕原点旋转180度后，能与原来的图象重合吗？
解：（1）①P、Q两点在同一条曲线上：
设P（），过P点分别作x轴、y轴的平行线，与两坐标轴围成的矩形面积为，则
因为（）在反比例函数的图象上，所以
即所以
同理可知 所以=
②P、Q分别在不同的曲线上：
解法同1
同理可知 =
因此只要是在同一个反比例函数图象上任取两点P、Q，不管P、Q是在同一条曲线上，还是在不同的曲线上，过P、Q分别作x轴，y轴的平行线与坐标轴围成的矩形面积、都有=
（2）若将反比例函数的图象绕原点旋转180度后，能与原来的图象重合. 因为反比例函数既是轴对称图形又是中心对称图形。
考点四：反比例函数的实际应用
例7、小明将一篇24000字的社会调查报告录入电脑，打印成文.
（1）如果小明以每分钟120字的速度录入，他需要多长时间才能完成录入任务？
（2）录入文字的速度v（字/min）与完成录入的时间t（min）有怎样的函数关系．
（3）小明希望能在3h内完成录入任务，那么他每分钟至少应录入多少个字？
分析：题中的等量关系为：总字数=录入文字的速度×录入时间
解：（1）24000÷120=200（分钟） 所以他需要用200分钟才能完成录入工作。
（2）函数关系式是： （3）3h=180min
由于录入的字要为整数，所以他每分钟至少要录入134个字。
例8、蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流I（A）与电阻R（）之间的函数关系如图所示。
（1）蓄电池的电压是多少？你能写出这一函数的表达式吗？
（2）完成下表，并回答问题：如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10A，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围内？
3
4
5
6
7
8
9
10
4
解：（1）设函数表达式为， ∵在图象上，
∴ ∴ 蓄电池的电压是36伏。
（2）
3
4
5
6
7
8
9
10
12
9
7. 2
6
4. 5
4
3. 6
电流不超过10A，即I最大为10A，代入关系式中得R=3.6，为最小电阻，所用电器的可变电阻应控制在这个范围内.
例9、反比例函数的图象上有一点P（m，n）其坐标是关于t的一元二次方程的两根，且P到原点的距离为，求该反比例函数的解析式.
分析：要求反比例函数的解析式，就是要求出k，为此我们需要列出一个关于k的方程.
解：∵ m，n是关于t的方程的两根 ∴ m+n=3，mn=k，
又 PO= ∴
∴ ∴ 9－2k=13.
∴ k=－2 当 k=－2时，△=9+8＞0，
∴ k=－2符合条件， ∴反比例函数的解析式为：
考点五：反比例函数与一次函数的应用
例10、如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点。
（1）根据图象，写出B点的坐标；（2）求出两函数的解析式；
（3）根据图象回答：当为何值时，一次函数的函数值大于反比例函数的值。
解：（1）由图象可得B（4，3）
（2）把反比例函数上的点代入函数的关系式得
∴反比例函数的关系式为
由图可知一次函数与坐标轴的交点为（0，1）和（－2，0）
把这两点代入一次函数关系式+b得：
解得：
∴一次函数的关系式为：
（3）由图象可知，当时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值。
例11、如图，平行于直线的直线不经过第四象限，且与函数的图象交于点A，过点A作AB⊥轴于点B，AC⊥轴于点C，四边形ABOC的周长是8，求直线的解析式。
解：∵点A在函数的图象上，
∴设A点的横坐标为，由点A的纵坐标为，即A点的坐标为
∵AB⊥轴于点B，AC⊥轴于点C，∠BOC=90°
∴四边形ABOC是矩形，∵四边形ABOC的周长是8，
∴ 即
解得
当
∴A点坐标为（1，3）或（3，1）（由题意可知）∴A点坐标为（1，3）
设直线的解析式为 把A点代入得
3=1+bb=2 ∴直线的解析式为
《反比例函数》错例剖析
1．对反比例函数的定义理解不深刻，不透彻，忽视定义中的系数不为0的条件
例1．若函数是反比例函数，则m的值为（ ）．
（A）m=-2 （B）m=1 （C）m=2或m=1 （D）m=-2且m=-1
错解：由已知得：，解得：，故选（D）．
剖析：上述解答错误的原因是未完整地应用反比例函数定义，根据反比例函数的定义可知，反比例函数中既要满足x的指数，又要满足常数k≠0，即m+1≠0，
正解：由已知得：，所以m=-2，故选（A）．
2．解决实际问题时易忽视自变量的取值范围的问题
例2．甲、乙两地相距100千米，一辆汽车从甲地开往乙地，请将汽车到达乙地所用时间t（小时）表示为汽车速度v（千米／小时）的函数，并画出函数的图象．
错解：由s=vt，得，用描点法画出函数的图象，如图1
剖析：错解中忽视了自变量v的取值范围v＞0，而误认为v≠0．
正解：由s=vt，得（v＞0）
用描点法画出函数的图象，如图2．
3．利用反比例函数的性质时不分象限
例3．如图3，P是反比例函数图象上一点，过P分别向x轴，y轴引垂线，若，则解析式为 ．
错解：设P（）则，∴，或
剖析：上述解题过程没有考虑到由图象给出的信息条件而导致错误，由图象可知双曲线在第二、四象限，所以k＜0，．
正解：由，∴，又因为图象在第二、四象限，所以k＜0，所以k=-3，所以解析式为．
帮你解读“反比例函数的应用”
一、知识结构解读
在实际生产和生活中，应用函数知识解题的关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质，综合方程（组）、不等式以及函数图象图等知识进行求解。学习反比例函数的应用也一样，要深刻理解反比例函数的模型，其知识结构梳理如下：
二、相关知识链接
1．反比例函数的图象：反比例函数的图象是双曲线（即两个分支）．
2．反比例函数的性质：当时，两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小；当时，两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大．
3．反比例函数图象与正比例函数图象的交点问题：在反比例函数与正比例函数中，当时，两图象有交点（且两交点关于原点对称）；在当时，两图象没有交点．
三、知识应用详解
1．根据图象信息解决实际问题
例1．如图1是某一游泳池每小时的排水量V（m3/h）与排完水池中的水所用的时间t（h）之间的函数图象．
（1）请你根据图象信息写出函数关系式；
（2）若要6小时排完游泳池的水，那么每小时的排水量是多少？
分析：由图象信息可知，排水量V（m3/h）与排完水池中的水所用的时间t（h）之间成反比例关系，可利用反比例函数模型求解。
解：（1）设，把V=4，t=12代入，得，解得。
即所求函数关系式为：．
（2）把t=6代入，得=8。
所以，当6小时排完游泳池的水时，排水量为8（m3/h）．
说明：应用反比例函数的图象解题时，必须认真观察图象特征，从中收集并整理相关信息，用以解决所求问题．
2、根据反比例函数的性质研究新问题
例2 如图2，点P是x轴正半轴上的动点，过点P作x轴的垂线PA交双曲线于点A，连结OA．
（1）如图2-1，当点P在x轴正方向上运动时，Rt⊿AOP的面积大小是否在变化？若不变，请求出Rt⊿AOP的面积；若改变，试说明理由；
（2）如图2-2，在x轴上P点的右侧有一点D，过点D作x轴的垂线交双曲线于点B，连结OB交AP于点C．设⊿AOC的面积为S1，梯形BCPD的面积为S2，则S1与S2的大小关系是S1 S2（填“＞”、“＝”或“＜”）．
（3）如图2-3，AO的延长线与双曲线的另一个交点为F，FH垂直于x轴，垂足为H，连结AH、PF，试说明四边形APFH的面积为常数．
分析：根据反比例函数的性质，我们可以得到S⊿AOP==，据此可推出问题的结论。
解：（1）设A点的坐标为（m，n），则有，即。
∵S⊿AOP===，∴S⊿AOP的面积不会发生变化，其面积恒等于；
（2）由（1）的结论可得，S⊿AOP=S⊿BOD，即S⊿AOP - S⊿POC =S⊿BOD -S⊿POC ，∴S1=S2；
（3）根据反比例函数的特征，得AO=FO，PO=HO，所以四边形APFH是平行四边形，因此，S平行四边形APFH=．
说明：双曲线中隐含着许许多多的规律，我们不但要善于发现这些规律，还要善于总结这些规律，灵活应用这些规律．另外，反比例函数以它的应用性强与创新问题多的特点，成为历年中考命题的一个热点，限于篇幅，这里不再赘述。
反比例函数图象中的面积问题
反比例函数图像是双曲线，我们会经常遇到与之有关的面积问题，现对这部分内容进行拓展。
如图(1)，P 为双曲线上任一点，PM⊥x 轴, PN⊥y 轴,设p(x,y),则PM=∣y∣,PN=∣x∣，
∴S矩形PMPN=∣x∣·∣y∣=∣xy∣=∣k∣（定值）

与之有关的变式图形有：
1、如图(2),S△PMO =S矩形PMON = │k│
2、如图(3),由对称性可知PO=QO
∴S△PMO = S△OMQ ,
S△PMQ =2S△PMO =2×│k│=│k│
S□PMQR =4S⊿PMO =4×│k│=2│k│
对以上这些基本图形的透彻理解，对我们的解决具体题目带来很大方便。
例（1）：如图(4)，P,Q 是双曲线上第二象限内的任意两点，PM⊥x 轴于M,QN⊥y 轴于N，试比较梯形PMNQ 与⊿PQO面积的大小。
分析：S△PMO =S△QNO
S△PMO—S△NOR = S△QNO—S△NOR
即SPMNR =S△QRO
∴SPMNR﹢S△PRQ = S△QRO﹢S△PRQ
∴S梯形PMNQ =S⊿PQO

另外，面积S与中的k 是可互求，即已知k求S，已知S求k。不过应特别注意根据图像所在的象限确定k的符号。
有关一次函数和反比例函数综合题
一. 探求同一坐标系下的图象
例1.已知函数与在同一直角坐标系中的图象大致如图1，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
分析：由图知，一次函数中，y随x的增大而增大，
所以；反比例函数在第二、四象限，所以.
观察各选项知，应选B.
评注：本题要由所给图象结合一次函数和反比例函数的性质，
方能作出正确选择.
例2.在同一直角坐标系中，函数与的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
图2
分析：本题可采用排除法.由选项A、B的一次函数图象知，即，则一次函数图象与y轴交点应在y轴负半轴，而选项A、B都不符合要求，故都排除；由选项D的一次图象知，即，则反比例函数图象应在第一、三象限，而选项D不符合要求，故也排除；所以本题应选C.
评注：本题把一次函数和反比例函数的图象在同一坐标系中给出，有较强的综合性，解决这类问题常用排除法.
二. 探求函数解析式
例3.如图3，直线与双曲线只有一个交点A（1，2），且与x轴，y轴分别交于B，C两点，AD垂直平分OB，垂足为D，求直线与双曲线的解析式.
析解：因为双曲线过点A（1，2），
所以
得双曲线的解析式为.
因为AD垂直平分OB，A点的坐标为（1，2）.
所以B点的坐标为（2，0）.
因为过点A（1，2）和B（2，0），
所以
解得
所以直线的解析式为
评注：解决本题的关键是确定点B的坐标，由AD垂直OB知，点D和点A的横坐标应相同，所以点D的坐标为（1，0），又AD平分OB知，，所以点B坐标为（2，0），进而求出一次函数解析式.
三. 探求三角形面积
例4.如图4，反比例函数的图象与直线的交点为A，B，过点A作y轴的平行线与过点B作x轴的平行线相交于点C，则的面积为（ ）
A. 8 B. 6 C. 4 D. 2
析解：把代入，得
整理得
解得
把分别代入，
得
所以点A的坐标为
点B的坐标为
由题意知，点C的横坐标与点A的横坐标相同，点C的纵坐标与点B的纵坐标相同，所以点C的坐标为（）.
因为，
所以的面积为
故应选A.
例5.如图5，已知点A是一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限内的交点，点B在x轴的负半轴上，且OA=OB，那么的面积为（ ）
A. 2 B. C. D.
析解：把代入，得，
整理得，解得
得分别代入
得
又点A在第一象限内，所以点A的坐标为
在中
由勾股定理，得所以OB=2.
所以的面积为
，
故应选（C）
评注：例4和例5中都利用解方程来求出两函数图象的交点坐标，这是求两函数图象交点坐标的常用方法，蕴含着转化思想.
四. 探求点的坐标
例6.如图6，直线分别交x轴、y轴于点A，C，点P是直线AC与双曲线在第一象限内的交点，轴，垂足为点B，的面积为4.
求点P的坐标.
析解：在中，令，则；令，则.
所以点A的坐标为（-2，0），点C的坐标为（0，1）.
因为点P的直线上，
不妨设点P的坐标为
所以.
又因为
所以
整理得
即
解得
因为点P在第一象限，所以.
故点P的坐标为（2，2）.
评注：本题的解答过程蕴含着设元思想、方程思想和转换思想.
聚焦反比例函数新题型
反比例函数是初中数学的基础知识，也是历年各地中考的热点问题之一。近年来，命题者力举创新，设计出许多清新优美、题型新课程理念的创新型试题，现举例如下。
一、结论开放型
例1、请你写出一个函数关系式，使它满足下列条件：
（1）在第二、第四象限的每一个象限内随的增大而增大；
（2）函数图象在第二、第四象限
（3）由图象上一点向轴、轴作垂线，所得矩形的面积为3.
这个函数的解析式为______________________
分析：这是一个结论开放型问题，由三个性质特别是第三个性质知这应是反比例函数特有的性质，在函数图象上任取一点（、），则，又因为函数图象在在第二、第四象限，所以
解：
点评：由于开放型试题答案的多样性和多层性，因此对训练同学们三位的灵活性和广阔性方面有较高的价值。本题着重考查学生的逆向思维能力和发散思维能力。
二、判断说理型
例2、如图，的顶点A（，）是一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限的交点，且

（1）根据这些条件你能求出反比例函数的关系式吗？如果能，请你求出来；如果不能，请你说明理由；
（2）能求出一次函数的关系式吗？
分析：（1）根据A在的图象上，且，可求得，所以，从而确定反比例函数关系式
（2）要确定的关系式，需要知道A点的坐标，但点A无论在反比例函数图象的哪个位置，均能保证，所以A点不确定，即一次函数关系式不确定。
解：（1）∵A在的图象上，且，∴，∴，∵，∴，∴反比例函数的解析式为
（2）不能求出一次函数的关系式，A点的坐标不能唯一确定。
点评：这是一道判断说理型开放题，待定系数法求一次函数、反比例函数关系式应是我们掌握的重点，同时求反比例函数关系式的方法有多种，要灵活运用。
三、规律探索型
例3、如图，已知点A在的图象上，过点A作轴的垂线，垂足为B，当点A在其图象上移动时，的面积将发生怎样的变化？对于其他反比例函数是否也有同样的现象？怎样理解？

解析：的面积不变。设顶点A（、），则。又∵点A在反比例函数图形上，∴，即，∴，即的面积与点A的位置无关。
对于其他反比例函数也有相同的现象，
理由是：观察反比例函数的特征，从其憨厚素图象上任意一点向轴（轴）作垂线，垂足、原点和该点组成三角形的面积均为，而无论为正负，
点评：本题探索经历了从特殊到一般的探索过程，通过计算特殊情况，推广得到一般情况，都得到所组成的三角形的面积为这个定值，此方法可以拓展到求相应矩形的面积。
“反比例函数”与“闭眼打转问题”
“反比例函数”与“闭眼打转问题”，是两件风马牛不相及的事情，怎么会扯上关系？同学们别急！看了下面这段故事，你会感受到反比例函数的“神奇力量”，你会觉得数学是那么的“酷”！
?　　相传公元1896年，挪威生理学家古德贝尔对闭眼打转的问题进行了深入的研究。他收集了大量事例后分析说：这一切都是由于人自身两条腿在作怪！长年累月养成的习惯，使每个人一只脚伸出的步子，要比另一只脚伸出的步子长一段微不足道的距离。而正是这一段很小的步差x，导致了这个人走出一个半径为y的大圈子！
现在我们来研究一下x与y之间的函数关系：
假定某人两脚踏线间相隔为d。很明显，当人在打圈子时，两只脚实际上走出了两个半径相差为d的同心圆。设该人平均步长为。那么，一方面这个人外脚比内脚多走路程；另一方面，这段路程又等于这个人走一圈的步数与步差的乘积，即， 化简得?
对一般的人，d＝0.1米，＝0.7米，代入得 （米）
这就是所求的迷路人打圈子的半径公式，它是一个反比例函数！
假如设迷路人两脚差为0.1毫米，那么仅此微小的差异，就足以使他在大约三公里的范围内绕圈子！
看到这里，你是否被神奇的反比例函数所折服！且慢，我们再来看一个有趣的游戏：
在世界著名的水都威尼斯，有个马尔克广场。广场的一端有一座宽82米的雄伟教堂。教堂的前面是一片开阔地。这片开阔地经常吸引着四方游人到这里做一种奇特的游戏：把眼睛蒙上，然后从广场的一端向另一端教堂走去，看谁能到达教堂的正前面！
奇怪的是，尽管这段距离只有175米，但却没有一名游客能幸运地做到这一点！全都走成了弧线，或左或右，偏斜到了一边！
为什么是这样呢？我们就先来计算一下，当人们闭起眼睛，从广场一端中央的M点抵达教堂CD的最小的弧半径是多少。如下图，注意到矩形边（米），（米）。那么上述问题，无疑相当于几何中的以下命题：
已知：在矩形中（米），为边的中点，（米），求弧所在圆的半径。
在解这个问题之前，先介绍一下同学们马上要学的勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。（为什么有这个美妙的结论，请同学们预习接下来学习的内容）
下面我们一起来解决问题：
如图，由于是直角三角形，于是由勾股定理有
即
解这个方程，得
这就是说，游人要想成功，他所走的弧线半径必须不小于 394米。那么就让我们再计算一下，要达到上述要求，游人的两脚的步差需要什么限制。根据公式：，因为，所以（米）=0.35（毫米）
? 这表明游人的两只脚的步差必须小于0.35毫米，否则是不可能成功的！然而，在闭上眼睛的前提下，使两脚的步差这么小一般人是办不到的，这便是在游戏中为什么没有人能被蒙上眼睛走到教堂前面的道理。
同学们，看到这里你是否觉得数学真的很有用！那么，让我们一起努力学习吧。

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