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课件192张PPT。数 学 史扬州大学数学科学学院 朱家生2012 年2月参考书目:1、M?克莱因著：《古今数学思想》；
2、鲍尔加尔斯基著：《数学简史》；
3、梁宗巨著：《世界数学史简编》；
4、李 迪著：《中国数学史简编》.
绪论：学习与研究数学史的意义对数学科学有一个整体的认识；
可帮助找到最根本的教学方法；
是进行辩证唯物主义、历史唯物主义和爱国主义教育的素材；
是数学课程改革与发展的需要。 法国著名数学家庞加莱曾说过:“如果我们想要预知数学的未来,最适合的途径就是研究数学这门科学的历史和现状.”本课程以数学发展的脉络为主线,系统介绍数学科学的历史,并对其一些重要的思想方法进行探讨.
庞加莱
（Jules Henri Poincaré，
1854─1912）目 录
1、数学的萌芽
2、希腊的数学
3、印度与阿拉伯的数学
4、中国的古代数学
5、欧洲文艺复兴时期的数学
6、解析几何的产生
7、微积分的创立
8、现代数学选论1、源自河谷的古老文明—数学的萌芽
1.1 古埃及的数学
1.2 古巴比伦的数学1.1 古埃及的数学古代埃及所处的地理位置 尼罗河是世界上最长的河流之一.
公元前3000年左右古埃及人在此建立起了早期的奴隶制国家.
农业,手工业与贸易的发展推动了自然科学各学科知识的积累. 胡夫金字塔大约建于公元前2500年左右.
该金字塔呈正四棱锥形, 面向东西南北四个正方向，边长230.5m，塔高146.6m.
其底基正方形边长的相对误差不超过1∶14000，四底角的相对误差不超过1∶27000，即不超过12"，四个方向的误差也仅在2'～5'之间.古埃及的胡夫Khufu金字塔 保存至今有关数学的纸草书主要有两种：兰德纸草书,长544cm，宽33cm，共载有85个问题; 莫斯科纸草书, 长544cm，宽8cm，共载有25个问题.这两份纸草书都是公元前2000年前后的作品，为古埃及人记录一些数学问题的问题集. 古埃及纸草书 1.1.1 古埃及的记数制与算术 古埃及人也有分数的概念，但他们仅使用单位分数也就是分子为1的分数，表示整体的若干等份中的一份. 埃及人使用的是十进记数制，并且有数字的专门符号 古埃及人的乘法运算与除法运算是通过迭加、而且是通过列表的方式来进行的. 例:26×33 =858例:19÷8=2+1／4+1／8 1.1.2 古埃及的代数例4:在一个人的财产中，有七间房子，每间房子里七只猫 ，每只猫能捉七只老鼠，每只老鼠能吃七穗大麦，而每穗大麦又能长出七俄斗大麦，问这份财产中房子、猫、老鼠、麦穗和麦子总共有多少? （1）解方程的方法-----”试位法”例1:求解方程例2:卡洪纸草书中记载了下列问题：将给定的100单位的面积分为两个正方形，使二者的边长之比为3∶4.（2）等差数列和等比数列问题例3:兰德纸草书中记载了下列问题：今将10斗麦子分给10个人，每人依次递降 1/8斗，问各得多少? 1.1.3 古埃及的几何学古埃及人知道:
任何三角形的面积均为底与高的乘积的一半；
圆的面积等于直径的的平方，由此可知，他们把圆周率近似地取为3.16;
直圆柱的体积为底面积与高的乘积.
古埃及数学中“最伟大的埃及金字塔”: 1.2 古巴比伦的数学 古巴比伦，又称美索波大米亚，位于亚洲西部的幼发拉底与底格里斯两河流域. 公元前2000年左右，古巴比伦人在这里建立起了自己的奴隶制王国. 古巴比伦
空中花园全景古巴比伦空中花园一角古巴比伦的数学记载在泥版书上.所用文字为楔形文字. 1.2.1古巴比伦的记数制与算术古巴比伦人很早就有了数的写法，他们用楔形文字中较小的 (竖写)代表１，较大的 （竖写）代表60.由此可知，古巴比伦人的记数系统是60进制.他们还用 较小的 (横写) 代表10，较大的 (横写)代表100.
古巴比伦人也使用分数
古巴比伦人的算术运算也是借助于各种各样的表来进行的. 1.2.2 古巴比伦的代数(1)求解方程 :例:英国大不列颠博物馆13901号泥板记载了这样一个问题：“我把我的正方形的面积加上正方形边长的三分之二得35/60，求该正方形的边长.”这个问题相当于求解方程
其解法相当于将方程 的系数代入公式
求解 .
(2)在洛佛尔博物馆的一块泥板上，人们还发现了两个级数问题.用现代形式可表述为
哥伦比亚大学普林顿收集馆中收藏的第322号泥板 该泥板已缺损了一部分，在残留的部分上刻有三列数，专家研究认为：这是一张勾股数(即的整数解)表，并且极有可能用到了下列参数式
.
这是1000多年后古希腊数学一个极为重要的成就.1.2.3古巴比伦的几何 已熟悉了长方形、直角三角形、等腰三角形以及直角梯形面积的计算和长方体，以及特殊梯形为底的直棱柱体积计算的一般规则，他们知道取直径的三倍为圆周的长，取圆周平方的1/12为圆的面积，还用底和高相乘求得直圆柱的体积. 古巴比伦人还有把相当复杂的图形拆成一些简单图形的组合的本领. 但他们错误地认为，圆台或方棱台的体积是两底之和的一半与高的乘积.1.2.4 古巴比伦的天文学古巴比伦人已开始使用年、月、日的天文历法，一年有12个月，第一个月是以“金牛座”命名的，每月有30天，每6年加上第13个月作为闰月.
一个星期有7天，这7天是以太阳、月亮和金、木、水、火、土七星来命名的，每个星神主管一天，如太阳神主管星期日.
他们把圆周分为360度，每度60分，每分60秒，1小时60分，1分60秒的记法，也是来自古巴比伦. 在古巴比伦或古埃及数学中，虽然出现了一些令人信服的数表和许多重要的公式，但:
仅表现为对于一些实际问题观察的结果和某些经验的积累;
数学学科所特有的逻辑思维与理论概括甚至还未被他们觉察;
数学还只是作为一种用来处理日常生活中遇到的计算与度量问题的工具或者方法.
其所给出的仅仅是“如此去做”，而基本没有涉及到“为什么要这样做”，这标志着他们的数学还远远地没有进入理性思维的阶段. 第一章 思考题1、世界四大文明古国是哪几个？它们的古老文明各自又有哪些特征？
2、数学最基本、最古老的概念有哪些？它们在数学科学的发展中有什么重要作用？
3、古巴比伦人和古埃及人解方程各自用了什么方法?试举例予以说明。
4、古巴比伦人在天文学研究方面有什么创见？他们留下的遗产哪些在我们的生活中还在使用？
5、普林顿322号泥版书上记载了古巴比伦人怎样的数学成就？其有什么重要的数学意义？
6、人称古埃及数学中“最伟大的金字塔”指的是什么？它有什么重要的数学价值？2、地中海的灿烂阳光—希腊的数学2.1 希腊数学文明的一些背景材料
2.2 爱奥尼亚学派
2.3 毕达哥拉斯学派
2.4 巧辩学派
2.5 柏拉图学派
2.6 原子论学派2.1 希腊数学文明产生 公元前8世纪前后，希腊进入奴隶制形成时期，产生了许多奴隶制城邦，并在东西地中海及黑海一带兴建了许多殖民城市，这些城市加强了希腊与海外各地的联系。 公元前6世纪开始，希腊出现了欧洲文化的第一个高峰，希腊数学就是其中的最重要的成就之一。 人们通常将公元前6世纪至公元前3世纪称为古典时期，公元前3世纪至公元6世纪称为亚历山大时期。其中希腊数学古典时期的的众多数学学派的工作将数学研究推到了一个新阶段。2.2.1 爱奥尼亚学派与泰勒斯泰勒斯 （Thales，公元前636—公元前546年）诞生于爱奥尼亚的海滨城市米利都；
泰勒斯早年是一个精明的商人，青壮年时代积累了足够的财富，使他后半生能够从事游历与研究；
他的一些奇闻轶事。“希腊科学之父”——泰勒斯下述五个命题的发现是应归功于泰勒斯的：
(１)圆被任一直径二等分;
(２)等腰三角形的两底角相等；
(３)两条直线相交，对顶角相等；
(４)两个三角形，有两个角和一条边对应相等，则这两个三角形全等；
(５) (泰勒斯定理)内接于半圆的角必为直角. 泰勒斯对数学的贡献更重要的是在于泰勒斯对它们提供了某种逻辑推理.
例如对于“两条直线相交，对顶角相等”.泰勒斯是这样证明的：如图，∠a加∠c等于平角，∠b加∠c也等于平角，因为所有的平角都是相等的，所以∠a等于∠b(等量减等量，余量相等). 这表明，从泰勒斯开始，人们已不再仅仅利用直观和实验来寻求数学结论了.换句话说，实际上泰勒斯已经将逻辑学中的演绎推理引入了数学，奠定了演绎数学的基础，这使得他获得了第一位数学家和论证几何学家鼻祖的美誉. 泰勒斯还被西方学者称为“测量学的鼻祖”.
据说他曾利用相似直角三角形通过测量手杖和金字塔的影长求出金字塔的高度，还用全等三角形的知识计算出海船到海岸的距离.
爱奥尼亚学派在哲学特别是自然哲学方面的工作也是无与伦比的，他们肯定在一切表面现象的千变万化之中，有一种始终不变的东西，这一原始物质的内蕴本质是守恒的，而所有的物质形式都可用它来解释.这种理性思维的观念，正是希腊科学精神的的精髓之所在.2.1.2 毕达哥拉斯学派与“万物皆数” 毕达哥拉斯(Pythagoras，约公元前572～约公元前497)是古希腊哲学家、数学家、天文家和音乐理论家.出生于爱琴海中的萨摩斯岛(Samos，今希腊东部小岛).青年时期他曾经离开家乡到世界各地游学.40岁左右，他定居意大利半岛南部的克罗多内(Crotone)，并在这里组织了一个集政治、宗教和学术研究于一体的秘密会社，这就是著名的毕达哥拉斯学派.在学术方面，这个学派主要致力于哲学和数学的研究. 毕达哥拉斯学派认为:事物的本原是数.世界上的万事万物及其运动变化规律都可以用整数或者整数之比表示出来. 这种“万物皆数”的观念从另一个侧面强调了数学对客观世界的重要作用，这也是数学化思想的最初表述形式.1. “万物皆数”的思想2.对自然数的分类毕达哥拉斯学派的初步数学化思想促进了对自然数的研究，他们定义了许多概念.
一个数等于其（除本身以外的）全部因子之和称之为完全数，如28（＝1＋2＋4＋7＋14）;
一个数小于其（除本身以外的）全部因子之和称之为亏数，如 12（＜1＋2＋3＋4＋6);
一个数大于其（除本身以外的）全部因子之和称之为盈数,10（＞1＋2＋5）.
若两个数中任一个数（除本身以外的）全部因子之和都等于另一个数则称为亲和数.,如220与284为亲和数.因为220的因子之和为（1＋2＋4＋5＋10＋11＋20＋22＋44＋55＋110＝）284，而284的因子和为（1＋2＋4＋71＋142＝）220 .3.对形数的研究毕达哥拉斯学派许多关于数的规律的发现，都是借助图形的直观分析而得到的.他们常把数以点的形式排成各种图形.如图: 由图知易1，1+2，1+2+3，1+2+3+4+…这些和数都是三角形数，第n个三角形数是 又如 其中1，4，9，16，…是正方形数，第n个正方形数是n2 .由此易得,前n个奇数之和即为n的平方.4.关于数学美的研究毕达哥拉斯学派还认为，“美是和谐与比例”，
他们认为，最美的图形在平面上是圆，在空间是球，整个地球、天体和宇宙是一个圆球，宇宙中的各种物体都作均匀的圆周运动.
最完美的数是10，因为10＝1＋2＋3＋4，并将1，2，3，4称为四象.
在音乐研究中他们发现，如果一根弦是另一根弦长的两倍，那么两者发出的音就相差8度. 认为音乐的基本原则是数量原则，音乐节奏的和谐是由高低、长短、轻重各种不同的音调，按照一定数量比例组成的. 他们研究了一些美的比和比例关系，提出了算术平均值（以Ｍ表示）、几何平均值（以Ｇ表示）和调和平均值（以Ｈ表示）：对Ａ，Ｂ为两已知数， .他们发现，M∶G=G∶H， A∶H=M∶B，称前者为完全比例，后者为音乐比例.以此为出发点，毕达哥拉斯学派建立了他们的音乐理论.毕达哥拉斯把“美是和谐与比例”的科学美学思想用于音乐和天文学，并十分广泛地将其应用到建筑、雕刻、地学、生物学、医学等领域.5.关于勾股定理的研究 西方学者认为，有关直角三角形的“勾股定理”最早是由毕达哥拉斯学派发现的.据传，毕达哥拉斯学派为了庆祝这条定理的发现，特地宰了一百头牛来祭神，感谢科学艺术女神缪斯对他们的垂青，因此有人诙谐地将这个定理称为“百牛定理”.
但迄今为止并没有毕达哥拉斯发现和证明这一定理的直接证据.毕达哥拉斯数的探讨:通过分析正方形数的图形毕达哥拉斯得到 :这就是直角三角形整数边长的公式.当m=1，2，3，4，…时可得满足直角三角形边长的整数组为3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；等等. 6.不可公度的发现 毕达哥拉斯学派相信：在几何上相当于对于任何两条给定的线段，总能找到第三条线段作为单位线段，将所给定的两条线段划分为整数段，他们称这样的两条线段为“可公度量”，即有公共的度量单位. 毕达哥拉斯学派发现正方形的对角线和其一边构成不可公度线段.相传该学派的成员希帕索斯(Hippasus,约公元前470年左右)还因为研究这一问题被抛入大海处以极刑.由于不可公度量的发现，毕达哥拉斯学派“万物皆数”的信条受到了冲击，这在数学史上称为“第一次数学危机”. 希腊人对待这次危机的态度不是积极地去解决它，而是想方设法去回避它，这就使得从毕达哥拉斯学派开始的对数的研究转向对形的探讨，虽然这种转向最终导致了几何学的迅速发展，但在客观上使得希腊数学是代数方面的发展与其几何学的成就是很不相称的.2.1.3 芝诺悖论与巧辩学派 1.芝诺悖论
哲学家芝诺（Zeno,约公元前490-430年），针对当时对无限、运动和连续等人们认识模糊不清的概念，提出了45个违背常理的悖论，把这些矛盾暴露出来，在希腊数学界引起了巨大的震动.其中关于运动的三个悖论尤为引人注目
(1)二分说
(2)阿基里斯追龟说
(3)飞箭静止说 芝诺的这些悖论已涉及到对于当时的希腊数学家而言还很模糊的无限与连续的概念.更重要的是，人们明知他的悖论是不符合常理的，却又不能驳倒他，这就促使人们开始思考一个理论能否自圆其说的问题，毫无疑问，这也成为公理化思想方法产生的一个重要原因.2.巧辩学派所提出的三大著名作图问题 巧辩学派创立、活动于雅典.这个学派中聚集了各方面的学者大师，如文法、修辞、辩证法、人文，以及几何、天文和哲学方面的学者.他们研究的主要目标之一是用数学来探讨宇宙的运转.
该学派的名字与著名的尺规作图不能问题是紧密地联系在一起的.所谓三大尺规作图问题是指:
(1)化圆为方:只允许用圆规和直尺作一正方形，使其与给定的圆面积相等;
(2)倍立方:给定立方体的一边，求作另一立方体之边，使后者体积两倍于前者体积;
(3)三等分角:即将任一已知角三等分. 围绕这三大作图问题，希腊数学家们表现出了杰出的数学思想和方法，许多数学成果都是研究这三个问题的副产品，例如，该学派的头面人物希比亚斯(Hippias，约公元前5世纪)为解决三等分任意角Φ的问题，引入了一条割圆曲线. 希波克拉茨(Hippocrates，公元前5世纪)在探索化圆为方时，成功地解决了一个把曲边图形化为直边图形的问题。如图，设ΔABC为等腰直角三角形，斜边为AC，中点为O，半圆AEB以AB为直径，则= =2，即半圆AEB面积=扇形AOB面积.
∴月牙形AEB面积=半圆AEB面积-弓形ADB面积
=扇形AOB面积-弓形ADB面积
=△AOB面积. 希腊学者之所以要把作图工具只限于直尺和圆规，反映了他们对数学有这样的认识：即强调在研究一个概念之前必须证明它的存在，只有从真理出发，依靠演绎推理才能获得真理.在他们看来，直线和圆客观上是存在的，所以只有用直线和圆构作出来的图形才能保证在逻辑上没有矛盾.这样的思想促进了希腊数学的严密化.
2000多年来，三大问题的研究，花费了人们的大量心血.直至1831年，法国数学家万采尔(Vantzal， 1814～1848)首先证明倍立方问题和三等分任意角问题不能用尺规作图来解决，接着德国数学家林德曼(Lindemann， 1852～1939)于1882年又证明了π的超越性，因而否定了用尺规化圆为方的可能性，这三大问题才彻底得以解决.2.1.4 柏拉图学派 柏拉图(Plato，公元前427～347年),古希腊哲学家和教育家.
曾拜苏格拉底为师,是苏格拉底最杰出的学生，深受苏格拉底逻辑思想的影响.
公元前399年，因苏格拉底被雅典民主政权处死，柏拉图被迫开始了为期12年的游历生涯.
公元前387年，柏拉图在雅典创建了欧洲历史上第一所综合性的、传授知识、培养上层统治者的学校“ 柏拉图学院”.柏拉图 柏拉图学派特别强调要用数学来解释宇宙，因而特别重视对立体几何的研究.
在苏格拉底逻辑思想的影响下，柏拉图还明确提出了数学的演绎证明应遵循的逻辑规则.从柏拉图时代起，数学就已经有了公理化的思想. 柏拉图学派中最杰出的数学家应首推欧多克索斯(Eudoxus,约公元前4世纪).
他对数学的最大贡献是运用公理法建立了比例理论.
进一步完善了安蒂丰的“穷竭法”，将“穷竭法”改造成为一种严格的证明方法.
此外，他还研究了“中末比”问题，并用求两个已知量的两个比例中项的方法，解决了立方倍积问题. 欧多克索斯的学生门奈赫莫斯（Menaechmus,公元前4世纪）是圆锥曲线理论的创始人，他在用平面与圆锥的一条母线垂直相截时发现了圆锥曲线：当圆锥顶角为直角时所得截线为抛物线，顶角为锐角时为椭圆，顶角为钝角时为双曲线的一支.他还发现了双曲线的渐近线，并对这些曲线的性质作了系统的阐述，形成了最早的圆锥曲线理论.亚里士多德(Aristotle，公元前384～公元前322). 对数学的最大贡献是建立了形式逻辑学.
他把形式逻辑规范化和系统化，使之上升为一门科学.他提出了矛盾律、排中律等思维的规律；把逻辑学理解为论证的学问；从个别到一般的归纳和从一般到个别的演绎；他还研究了三段论法的格和规则，这些都为数学推理提供了基本的逻辑依据.
亚里士多德的著作中也有许多重要的几何定理.如多边形外角之和等于四直角，在包围给定面积的所有平面图形中，圆的周长最小等.亚里士多德 由于这些数学学派的工作，为希腊数学积累了丰富的素材，也为希腊数学后来的进一步发展打下了坚实的基础.2.2 希腊数学的黄金时代从公元前334年起，亚历山大举兵东征，建立了一个空前庞大的帝国.公元前323年，亚历山大病逝，其帝国被部将分割为安拉哥拉(欧洲部分)、塞流卡斯(亚洲部分)和托勒密(埃及部分)三个王国，历史上称之为希腊化国家，希腊数学从此进入亚历山大时期.
亚历山大城位于埃及北部海岸，该城的规划、施工和移民为亚历山大大帝亲自指挥，他准备将这座城市作为其庞大帝国未来的首都.
帝国分裂后，这里成为托勒密王国的首都.经历代托勒密国王的经营，成为当时整个地中海地区最大的城市.在这里兴建了藏书达六十万卷的图书馆，国家设立了研究机构，其研究人员由国家供养.优秀数学家云集于此，亚历山大学派由此产生. 这个时期的数学发展有两个方向：
其一是沿着毕达哥拉斯、柏拉图开辟的方向，继续致力于纯粹数学理论的研究，并使之系统化，其代表人物有欧几里得 (Euclid，约公元前330~公元前275)、阿波罗尼斯(Apollonius，公元前262～公元前190)；
其二是以阿基米德(Archimeds，公元前287～公元前212)为代表，致力于研究数学与天文、物理、力学、光学等学科的结合，在继承古典时期研究成果的基础上，不断开拓新的领域.
阿基米德、欧几里得、阿波罗尼斯并称亚历山大时期的三大数学巨人.他们的工作，使得希腊数学的发展达到了前所未有的最高水平. 2.2.1 欧几里得与他的《几何原本》欧几里得出生于雅典，曾受教于柏拉图学院.雅典衰落后，应托勒密国王之邀来亚历山大城主持数学学派的工作.
欧几里得首先收集、整理已有的数学成果，以命题的形式作出表述，完善前人的各种定理并给予重新证明.然后，他作出了自己的伟大创造：对定义进行筛选，选择出具有重大意义的公理，逻辑地、严密地按演绎方式组织命题及其证明，最后形成了具有公理化结构和严密逻辑体系的《几何原本》.
它是在公元前300年左右完成的. 欧几里得 欧几里得《几何原本》抄本 欧几里得《几何原本》的原稿早已丢失，现代版本是以希腊评注家泰奥恩（Theon，约比欧几里得晚七百年）编写的修订本为依据的.全书分13卷，共有465个命题.欧几里得《几何原本》的主要内容: 第 1卷首先用23个定义给出了点、线、面、圆以及平行线等原始概念，接着提出了5个公设和5个公理：
五条公设是：
从任一点到任一点作直线（是可能的）.
将有限直线不断沿直线延长（是可能的）.
以任一点为中心与任一距离为半径作一圆（是可能的）.
所有直角是相等的.
若一直线与两直线相交，且同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的一点.五个公理是：
与同一东西相等的一些东西彼此相等.
等量加等量，其和相等.
等量减等量，其差相等.
彼此重合的东西是相等的.
整体大于部分.
其后用48个命题讨论了关于直线和由直线构成的平面图形的几何学，内容涉及三角形、垂直、平行、平行四边形和正方形，最后两个命题给出了勾股定理及其逆定理的证明.第2卷主要讨论几何代数.第3卷是与圆有关的一些问题，包括圆、弦、割线、切线以及圆心角和圆周角的一些熟知的定理.
第4卷在引入了圆的内接和外切图形的概念以后讨论了给定圆的某些内接和外切正多边形的尺规作图问题.
第5卷讨论了有关量的比例理论.
第6卷主要是将比例理论应用于平面几何，其中包括相似三角形等.第7、8、9卷主要研究初等数论.从检验两个整数是否互素开始，建立起了关于数值的比例理论以及数的基本性质，给出了求两个或多个整数的最大公因子的“欧几里得算法”，讨论了比例、几何级数，还给出了许多关于数论的重要定理.例如欧几里得用归谬法证明了素数有无穷多个.
反证法的依据是逻辑学中的排中律。
哈代：“反证法是远比任何弃子术更高超的一种策略。棋手可以牺牲的只是几个棋子，而数学家可以牺牲整个一盘棋。”第10卷讨论无理数，重点研究了形如（其中a，b皆为有理线段）的无理量，并对所有25种可能的形式进行了分类.
后3卷是立体几何内容.第11卷给出了立体几何中一些概念的定义；第12卷用穷竭法证明了棱锥与棱锥、圆锥与圆锥、圆柱与圆柱以及球与球之间的体积比；第13卷论述正多边形的性质及其内接于圆时的性质、研究了如何将五种正多面体内接于一个球的问题，并依赖关于多面体各面角之和必小于3600的结论，证明了凸正多面体不多于5种.以外，欧几里得还写了许多其他出色的著作.他对天文学和光学都有研究，但在纯数学方面保留下来的仅有两本：
（１）《数据》（The Data）.这是在《几何原本》基础上进一步研究几何学的一本问题集，共９５个问题；
（２）《论图形的分割》（On Divisions of Figures）.研究将图形分割后成比例的问题，共有36个问题.2.2.2 阿基米德的数学成就阿基米德出生于意大利西西里岛的叙拉古.
青年时代的阿基米德曾到号称“智慧之都”的亚历山大城求学，阿基米德学成后返回故乡，并终身保持同亚历山大学派的联系，研讨学问，成为亚历山大学派最杰出的代表.他一直住在叙拉古.公元前212前，阿基米德死于士兵剑下，临死前他还在思考几何问题.阿基米德 阿基米德的数学著作流传至今的，按时间顺序，依次为：《抛物线的求积》、《论球和圆柱》、《论螺线》、《论劈锥曲面体与球体》、《圆之度量》、《沙粒计》.
这些论著无一不是数学创造的杰出之作，正如英国数学史家希思（Heath，1860～1941）所指出的，这些论著“无一例外地都被看作是数学论文的纪念碑.解题步骤的循循善诱，命题次序的巧妙安排，严格摒弃叙述的枝节及对整体的修饰润色，总之，给人的完美印象是如此之深，使读者油然而生敬畏的感情.”对数学的贡献主要有：
在平面几何方面
①开创计算π值的古典方法，利用内接和外切正多边形逼近，求得 ．
②证明圆面积等于以圆周长为底、半径为高的三角形的面积.
③证明任何直线截抛物线所得弓形面积等于同底等高的三角形面积的４／３.
④定义了螺线ρ＝aθ，并证明螺线第一圈与初始线所围成的面积等于半径为２πa的圆面积的１／３.
⑤椭圆与圆的面积之比等于椭圆长短轴之积与圆半径平方之比.在立体几何方面
①球表面积等于大圆面积的４倍.
②圆的外切圆柱体的体积是球体积的３／２，其表面积（包括上下底）也是球表面积的３／２.
③任一正圆柱侧面积等于以圆柱高与底面直径的比例中项为半径的圆面积.
④任一圆锥的表面积等于以圆锥母线与底面半径的比例中项为半径的圆面积.
⑤球冠侧面积等于以其大圆弧所对弦长为半径的圆面积.
⑥椭圆、抛物线和双曲线绕轴旋转而生成的旋转体体积公式.
此外，阿基米德还研究了等比级数求和公式、大数的记数法等等.阿基米德是应用力学方法进行数学规律探索的倡导者和典范. 设有半径为ｒ的球，圆锥和圆柱的高都是２ｒ，底面半径分别是2r与r.图是它的轴截面图. 考虑在三个立体上切下与Ｎ的距离为ｘ、厚为Δｘ的薄片，其近似体积为
球体：πｘ（２ｒ－ｘ）Δx
柱体： Δx
锥体： Δx
将球体和锥体的薄片挂在T点(TN=NS=2r)上，则它们关于支点N的组合矩为
把大量的这些薄片加在一起得
得
阿基米德关于圆的著作发表在单行本《圆的度量》中，全篇包括三个命题：
用“穷竭法”证明了圆面积公式；
断言圆与它的外切正方形面积之比为１１/１４；
推算出圆周率在223/71与22/7之间.阿基米德用穷竭法解决了圆的面积与一个两条直角边分别等于其周长和半径的直角三角形的面积相等.将运动观点引入数学，也是阿基米德数学思想的重要组成部分，这集中反映在《论螺线》一书中.
在这本书中，阿基米德从运动观点出发指出了螺线的定义，他说：“在平面上有一直线，把它的一个端点固定，使直线围绕定点作匀速运动，如果直线上有一点同时从定点开始，沿直线作匀速运动，那么动点最后将描出一条螺线.”用我们熟知的极坐标刻画，其方程即为ρ＝ａθ.2.2.3 阿波罗尼斯与《圆锥曲线》《圆锥曲线》共８卷，有４８７个命题，现存前７卷.第１卷给出了圆锥曲线的定义和基本性质，在这一卷中，阿波罗尼斯首创了通过改变截面的角度，从一对对顶圆锥得到三种圆锥曲线的方法，并依据曲线的作法推导出它们的特征关系式，进而导出了圆锥曲线的弦、直径、共轭直径、切线等的定义和性质，甚至还得到类似于在坐标变换下曲线性质的不变性的结论.需要指出的是，阿波罗尼斯的方程是用几何语言叙述的.
第２卷讨论双曲线渐近线的作法、性质和共轭双曲线的性质；圆锥曲线的直径和轴的求法；有心圆锥曲线的中心的概念；怎样求作满足某种条件的圆锥曲线的切线.第３卷讨论了切线与直径所围成的图形的面积；极点和极线的调和性质；椭圆和双曲线的焦点的性质.
第４卷讨论了极点和极线的其他性质；讨论了圆锥曲线相交的各种情况；证明了两条圆锥曲线至多有４个交点.
第５卷在尚存７卷中最富独创性，讨论了从一点到圆锥曲线所能作的最长和最短线段，并给出了过一定点的法线的作图和计算.
第６卷讨论了圆锥曲线的全等、相似和圆锥曲线弓形的作图和性质.
第７卷讨论有心圆锥曲线的两条共轭直径的性质.
总之，亚历山大时期出现了许多著名的数学家，他们的工作大大开拓了希腊数学的领域，正是由于这个时期的成就，希腊数学才能作为一个比较完整的体系截入史册.
在这一时期，定量研究有了很大进展，但并没有使偏重几何的方向发生逆转，算术和代数中，演绎式的逻辑结构始终没有建立起来，三角学的研究尚末摆脱天文学，这就决定了对于数的研究仍然是直观的、经验的，其发展是缓慢的，从而使几何的发展步履艰难.2.3 希腊数学的衰落希腊数学自阿波罗尼斯之后开始走下坡路，但在后来的岁月里也还是有一些数学成就值得人们去研究的.
1.代数大师丢番图
(1)第一次系统地提出代数符号
(2)以高超的技巧解不定方程
2.托勒密 写成三角学的最早系统性论著《数学汇编》.在该书中有著名的托勒密定理：在圆内接四边形中，两对角线之积等于两对对边乘积之和.
3.海伦、梅乃劳斯和帕普斯等人的工作 整个希腊数学的消亡是由于罗马人的入侵所导致的.
公元前146年，罗马人征服了希腊本土.
公元前４７年，凯撒纵火焚毁停泊在亚历山大港的埃及船队，大火延及该城，并无情地将图书馆两个半世纪以来收集的藏书毁于一炬.
罗马统治者推崇的基督教的传播，迅速地以强烈的宗教狂热淹没了丰富的科学想象，使希腊数学蒙受了更大的灾难，查封学园、禁止学习研究数学，使欧洲数学进入了漫长的黑暗时期.3、来自东方的继承者与传播者
—印度与阿拉伯的数学 在古希腊数学文明衰微、欧洲处于长达１０００年的中世纪黑暗时期,“西方不亮东方亮”，在世界的东方，希腊残留的火花得到了保存与传播，这就是印度与阿拉伯的数学. 印度的泰姬陵 3.1 印度的数学印度文明最早可以上溯到公元前3500年左右.从5世纪始，印度文明又不断受到其它民族的侵占，多民族的文化在这里交融，这就孕育了印度数学的繁荣.
大约在５０００年前印度人就兴建起了具有相当规模的城市与宫殿，并且有了书写、计算和度量衡的体系.由于印度以农业为经济来源，很早就开始观察星象，编造历书，因而带动了数学研究. 公元３世纪至１２世纪是印度数学的繁荣时期，而其繁荣的标志表现为出现了一些著名的天文学家兼数学家.他们主要是：阿耶波多（Aryabhata，约476～550）、婆罗门笈多（Brahmagupta，598～665）、摩诃毗罗（Mahavira,850年左右）和婆什迦罗（Bhaskara,1114～1185）． 阿耶波多，又译圣使，出生于华氏城（今称巴特那）. 其著作有《阿耶波多文集》，其中有一章专讲数学 ，介绍了比例、开方、二次方程、一次不定方程、算术级数等问题，他得出了圆周率为3．1416的较好的近似值. 婆罗门笈多，又译梵藏.其著作《婆罗门修正体系》，包括“算术讲义”、“不定方程讲义”等章，其中有算术、勾股定理、面积、体积等内容，并讨论了二次方程，线性方程组及一次和二次不定方程的解法.还利用 内插公式造了一张正弦表。特别是该著作曾译成阿拉伯文，对伊斯兰教国家的数学和 天文学都产生过重大影响.摩诃毗罗著有《数学九章》一书，其内容主要是算术运算、 开平方和开立方、二次方程及组合问题，也讲到解二次不定方程等.
婆什伽罗对天文学和数学都有研究，是古代印度 最杰出的数学家.他的名著有《丽罗娃提》和《算法本原》，这两部著作除了 整理前人的成果之外还论述了有理数的四则运算、线性方程组和不定方程.他 指出二次方程有两个根，并对形如的二次不定方程提出解法 ，他的著作还被译成波斯文，对海外影响很大.
12世纪以后，印度数学的发展日趋滞缓，直到19世纪才有新的起色. 3.1.1 印度的算术1.在印度数学中最值得称道的是印度数码和１０进位值制记数法.
2.印度人也很早就引进了负数.
3.印度人分数的概念也是较早的.
4.开平方和开立方的方法
5.还给出了一些级数求和公式 3.1.2 印度的代数1.使用缩写文字和记号来记述代数方程
2.常用假设法作为解方程或方程组的工具
3.不定方程的研究
4.金字塔图即二项式展开式系数所构成的三角形 3.1.3 印度的几何与三角几何相对于代数来说有些平淡无奇，主要是一些常见的几何体的体积公式。
他们的三角学研究 却继承并发展了希腊人的工作.他们把圆分成360度或21600分，把半径分为120等分. 计算半弦的长，这样，他们的“正弦”就 相当于现在的正弦线，与今天的正弦仅相差ｒ（ｒ为半径）倍.此外，婆罗门笈多还首次利用内插法编制了一张正弦表，所用的内插公式在计算效能上与牛顿-斯特林公式是等价的。3.2 阿拉伯的数学公元７世纪前期，在穆罕默德的领导下，阿拉伯半岛上分散的部落在强烈的伊斯兰宗教热情的感召下统一起来，并迅速崛起.在强悍的武力扩张下，他们建立了一个东起印度西部，西至西班牙，北抵中亚，南达北非的庞大帝国.８世纪中期，这个帝国一分为三，成为三个都讲阿拉伯语的伊斯兰国家.
阿拉伯人对数学的研究始于8世纪中叶或9世纪初.开始时，他们以翻译和学习印度、希腊的数学经典为主.随后在消化、吸收这些著作的基础上进行独立的 数学研究.
今天我们所说的“阿拉伯数学”，主要是指那些用阿拉伯文写成的数学. 3.2.1 阿拉伯数学的分期与杰出的数学家（1）早期：8世纪中叶～9世纪
这一时期最重要的数学家是阿尔·花拉子米(Al-Khowarizｍi， 约780～850) ,其最著名的是《代数学》.
塔比·库拉（Thabitibn Qurra，826～901），一位知识渊博的数学家和天文学家，曾创办了一所翻译学校，有力地推进了希腊著作的翻译. 阿尔·花拉子米 这时期是阿拉伯数学发展的高峰期，出现的著名数学家 有巴塔尼，阿布·瓦法和奥马·海雅姆.
巴塔尼(al-Battani，约858～929) 主要研究天文学，著作有《星的科学》.由于天文学研究的需要，主要致力于三角学的研究.
阿布·瓦法(Abu al-Wafa，940～998) 曾翻译过丢蕃图的著作，本人对三角学和算术都有重要贡献.
奥马·海雅姆(Omar Khayyami，1044～1223) 著作有《代数学》，在这部著作中，他详尽地研究了三次方程的根的几何作图法，提出了利用圆锥曲线图形求根的理论，这是阿拉伯数学最重大的成就之一.（2）中期：10世纪～12世纪（3）后期：１３世纪～１５世纪上半叶 这一时期阿拉伯帝国走向崩溃.这一时期的重要数学家有纳西尔丁·图西和卡西.
纳西尔丁·图西（Nasir al－Diu al－Tusi，1201～ 1274），是一位学识渊博的学者， 编制《伊尔汉历》，对科学发展有很大的影响.他 对三角学的重要贡献是编写了一本脱离天文学的著作《论四边形》.
卡西（al－Kashi，？～1429）是乌兹别克人，著名的天文学家和数学家，著有《算术之钥》.此书内容广泛，特别在二项式展开、高次方程的数值解法等方面都有引人注目的贡献.有人认为，他的高次方程的解法可能是从中国传入的.他精于计算，算得的值精确到小数点后16位.3.2.2 阿拉伯的算术与代数 阿拉伯的算术成就最杰出者首推花拉子米, 他的著作《代数学》首次把代数学作为一门有别于其他学科的、独立的数学分支来处理.此书 内容分三大部分：第一部分讲述现代意义下的初等代数；第二部分论及各种实 用算术问题；第三部分列举了有关继承遗产的各种类型的问题.其中第一部分 是全书最有价值的部分，在这里，花拉子米系统地讨论了６种类型的一次或二次方程的解法，并介绍了配平方法. 1.花拉子米的<代数学> 更加重要的是，花拉子米采取演算与论证并举的方式来阐述解方程的过程.例如,他对形如 的方程采用的解法是:如左图,在边长为x的正方形的四条边上向外作边长为x和p/4的矩形，再在这个图形的四角作边长为ｐ/4的 四个小正方形，使全图成为边长为x+(p/2)的大正方形 .由此推知 而则有(右图自己考虑) 花拉子米系统地讨论了型如下列６种类型的一次或二次方程的解法
平方等于根（根即未知数） ；
平方等于数 ；
根等于数 ；
平方加根等于数 ；
平方加数等于根 ；
根加数等于平方 .
指出：通过“复原”与“对消 ”两种变换，可将其他形式的一次、二次方程化成这６种标准方程，这里所谓的“ 复原”与“对消”相当于今天的移项和合并同类项，他将这两种变换看作是解方程的两种最基本的变换. 2.海雅姆的《代数学》 用圆锥曲线来解代数方程，是该著作中也是阿拉伯数学中最有创见的成就之一.例如，他用几何方法给出形如

的三次方程的解，其中a，b，c，ｘ都被看作是线段的长度.他首先应用求第四比例项的基本作图法，由已知线段a，b，c作出线段，如图，作AB=m 及BC=c，以AC为直径作一半圆，并过点B作BD⊥AC交半圆于D.在BD上截取BE=b，过点E作EF∥AC，在BC上作点G，使AB∶BG=ED∶BE，并作矩形DBGH， 过点H作一条以EF和ED为渐近线的等轴双曲线.设该双曲线和半圆相交于J，过J 作JL∥DB，交AC于L，则BL即为所给三次方程的一个根.3.2.3 阿拉伯的几何与三角1.卡西的工作 在阿拉伯几何中，最精彩的篇章是卡西关于圆周率的计算. 在半径为r的圆中定义弦的序列 …的值，它们所对的弧依次是：α1=30°， α2 =15°， α3 =7.5°，…如图，AB为直径，D是弧BC的中点，卡西在计算中引用了下面的公式
设 则此公式即
根据这一公式，计算了一系列具有确定的n值的圆内接正 边形的周长，其每一条边长an可据勾股定理得 ，取r=1,卡西依次计算到当n=28时， 用同样的方法，卡西求出圆的外切正边形的周长，然后取二者的算术平均数作为圆的近似周长.通过这样的计算程序，卡西最后求 得圆周率的近似值为3.1415926535897932.2.巴塔尼的三角学 巴塔尼从三角线出发，用代数方法得到下列关系(用现代记号表示)：
等等.由此可见，巴塔尼掌握了６种三角线的概念和相互关系，他还研究了三角形的解法，其基本方法是作出某一条边上的高，把问题转化为直角三角形来解.3.阿布·瓦法和纳西尔丁·图西对三角学的贡献 阿布·瓦法对三角学的贡献在于把所有三角线都定在同一个圆中，而三角学的系统化则应归功于纳西尔丁·图西，他在《论四边形》中指出，由球面三角形的三个角可以求出三条边，反之由三条边可求出三个角，并且从基本概念和比例开始，直到给出各种类型问题的解法，较完整地建立起三角学的系统.这部著作在１５世纪时即传入欧洲，对欧洲三角学的发展产生了重要的影响.由上述可知，从８世纪到１４世纪期间，在欧洲的数学发展处于低潮时期，阿拉伯人在数学方面取得了显著成绩，虽然其创造性和深刻性比不上希腊数学，但是相对于当时的欧洲和地中海地域来说，他们算得上是最有学问的人了，更重要的是，他们担负起精神财富的保存者和传输者的使命，把印度和希腊的数学传播到欧洲，对欧洲和整个世界数学的发展作出了巨大的贡献.4、源远流长、成就卓著的中国古代数学 中国是一个有着悠久历史和灿烂文化的文明古国.中国古代的四大发明曾经极大地推动了世界文明的进步.同样，作为中国文化的一个重要组成部分，中国古代数学，由于其自身的历史渊源和独特的发展过程，形成了与西方迥然不同的风格，成为世界数学发展的历史长河中的一支不容忽视的源头.
与世界上其他民族的数学相比，中国数学渊源深远流长，成就卓著.本章按照年代的顺序，巡视一下中国古代数学发展的状况.
4.1 先秦时期——中国古代数学的萌芽中国是世界著名的文明古国，和古巴比伦、埃及和印度一样，她也是人类文化的 发源地之一.数学作为中国文化的重要组成部分，它的起源可以追溯到遥远的 古代.根据古籍记载、考古发现以及其他文字资料推测，至少在公元前3000年左右，在中华古老的土地上就有了数学的萌芽.一般认为，这一时期的数学成就主要有以下几点：4.1.1 结绳记事 中国古代记数方法的起源是很早的.
《易·系辞传》称：“上古结绳而治.”
《易·九家义》解释了这种方法：“事大，大结其绳；事小，小结其绳.结之多少，随物众寡.”
《史记》记载：“伏羲始画八卦，造书契，以代结绳之治.”4.1.2 规矩的使用 《周礼》、《荀子》、《淮南子》、《庄子》等古籍都有明确的记载：“圆者中规，方者中矩.”
《史记》记载，夏禹在治水时就“左准绳，右规矩，载四时，以开九州，通九道”.
汉武梁祠 中还有“伏羲手执矩，女娲手执规”的浮雕像，将这两种工具的最早使用归功于传说中的伏羲与女娲. 4.1.３十进位制记数法、分数的应用及筹算 商代（公元前１６世纪到公元前１２世纪）甲骨文就已发展成熟.据对河南安阳发掘的殷墟甲骨文及周代金文的考古证明，中国当时已采用了“十进位值制记数法”，并有十、百、千、万等专用的大数名称. 殷墟出土甲骨文中的数名记法 中国古代对分数概念的认识也比较早，分数的概念及其应用，在《管子》 、《墨子》、《商君书》、《考工记》等春秋战国时代的书籍中都有明确的记载.
到了春秋战国时代,算术四则运算也已经发展成熟.据汉时燕人韩婴所撰的《韩诗外传》介绍，标志着乘除法运算法则成熟的“九九歌”在春秋时代已相当普及.《 吕氏春秋》所载 “齐桓公招贤” 的故事 ,从一个侧面说明了在当时九九歌已被人们广泛地应用了.算筹是中国古代的计算工具.相应的一套算法也就称为筹算.从春秋战国时期一直到元代末年，算筹在我国沿用了两千多年.用算筹表示数有纵横两种摆法: 算筹记数的表示方法 4.1.4 精湛的几何思想战国时期（公元前475-221年）的诸子百家，他们和古希腊的数学学派一样其著作包含了理论数学的萌芽.其中最为杰出的是“墨家”和“名家”.
《墨经》记载了许多几何概念. 如“平，同高也”；“中，同长也”；“圜 ，一中同长也”等等.还涉及到有穷和无穷的概念 .“或不容尺，有穷；莫不容尺，无穷也.”
《庄子》记载惠施曾提出：“至大无外谓之大一，至小无外谓之小一”. 还记载有：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”. “飞鸟之影，未尝动也；镞矢之疾，而有不行不止时” .
这些可以说与古希腊的芝诺悖论具有异曲同工之妙，也是世界数学史早期最光辉的数学思想之一.4.1.5 数学教育的开始《周礼·地官》中保氏称：“保氏掌谏王恶，而养国子以道.乃教之六艺：一曰五礼，二曰六乐，三曰五射，四曰五御，五曰六书，六曰九数.”
其中礼、乐、射、御为大艺，书、数为小艺，前者为大学所授，后者乃小学所习.并称：“六年教之数（shǔ），十年学书计.”
由此可见,早在周代国家就已把数学列为贵族子弟的必修课艺之一.对数学教学如此重视，且以典制的形式规定下来，这在世界历史上是罕见的.4.2 汉唐时期——中国传统数学体系的形成从汉代开始，中国的经济文化有了进一步的发展，经济的繁荣给科学的进步提供了物质基础，特别是从秦代开始实施的文字与度量衡的统一、铁器的使用以及大量兴修水利工程和水陆交通的工程，为人们探索大自然的奥秘增强了动力，数学也有了长足的发展，其主要标志是以《九章算术》为代表的中国传统数学体系的形成.4.2.1 《周髀算经》和勾股定理《周髀算经》
该书原名《周髀》，大约成书于公元前2世纪的西汉时期，其许多内容甚至可以追溯到西周（公元前11世纪-公元前8世纪）.这是一部介绍“盖天说”宇宙模型的天文学著作，但它包含了相当深刻的数学内容，其主要成就包括分数运算、勾股定理及其在天文测量中的应用.卷首记述：“昔者周公问于商高曰：……古者包牺立周天历度，夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？商高曰：数之法，出于圆方.圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一.故折矩以为勾广三，股修四，径隅五.……故禹之所以治天下者，此数之所生也.”接着又借陈子之口又给出了一般的勾股定理：“求邪至日者，以日下为勾 ，日高为股.勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日.”
这就是我国有关勾股定理的最早记录. 中国关于勾股定理的证明最早是由三国时期的数学家赵爽给出的.
赵爽是中国历史上首次对《周髀》 进行认真研究和注释的学者.他的工作主要包括三个方面的内容：一为文字解释；二为较详细地数学理论推演，三是补图.其中最为精彩的是 “勾股圆方图注”: “按弦图又可以勾、股相乘为朱实二，倍之为朱实四.以勾股之差自相乘，为中黄实.加差实一，亦成弦实.”另外，在这篇注文中，赵爽还给出并证明了有关解直角三角形的27个命题。此外，在《周髀算经》中还介绍了许多种利用勾股定理进行测量的方法，如测量太阳的直径、太阳的高等.同时，在勾股测量与计算中，还涉及到十分复杂的分数计算，这在以前的著作中是没有的.4.2.2 《九章算术》 标志着中国传统数学理论体系的形成.
该书的作者和成书年代难以确切地考证，多数学者认为，它成书于西汉末东汉初，即公元一世纪初.
中国的数学，经过长期的积累，到西汉时已有很丰富的内容，但这些内容之间缺乏内在的联系，以前人们曾寻求以确定的方式建立某种联系，例如墨家学派曾尝试过用逻辑方法研究数学概念，但没有成功.也许正是这种原因，决定了《九章算术》所特有的处理方式，并形成了中国传统的数学体系.宋刻本《九章算术》书影 全书采用问题集的形式，每题大致由“问”、“答”、“术”三部分组成，其中“术”通常是解题的思想方法、公式和法则。
全书共有246个应用题。大多数都是与生产实践、日常生活有联系的实际应用问题.
这些问题分别隶属于方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程和勾股九章. 第一章.“方田” 本章主要论述了各种平面图形的地亩面积算法及分数的运算法则.其中，平面图形有方田（长方 形田地）、圭田（三角形田地）、邪（斜）田（直角梯形田地）、箕田（ 等腰梯形田地）、圆田（圆形田地）、宛田（说法不一，未有定论）、弧田（弓形田地）、环田（圆环或环缺形田地）的面积算法，除宛田、弧田是近似计算方法外，其他各种图形的面积算法都是正确无误的.分数运算法则包括约分术（约分与通分）、合分术（分数加法）、减分术（分数减法）、课分术（两个分数的大小比较）、平分术（求几个分数的算术平均值）、乘分术（分数乘 法）、经分术（分数除法）和大广田术（带分数除法），这些算法也都是正确的，且与现今的计算方法在理论上是一致的.第二章.“粟米” 该章主要论述了20种粮食及其成品如稻、米、麦 、面、饭等之间的兑换比率及四项比例算法.四项比例算法当时称为“今有术”，其计算方法是：所求数＝（所有数×所求率）／所有率，这里，所有率、所求率、所有数与所求数是比例算法的四个专用名词.如“已知麦与米的比率是３∶２，现有麦子６０斤，问能兑换大米多少斤？” 在这个问题中，所有率是麦子的比率３，所求率是大米的比率２，所有数是已有麦子的斤数，所求数就是欲求的大米斤数，这样，按上述公式，能兑换大米的斤数为（６０×２）÷３＝４０(斤)，《九章算术》还将这一算法用于解决一些更复杂的问题. 第三章.“衰分” 主要论述配分比例算法，其中问题多与商业、手工业及社会制度有关.
例如:“今有大夫、不更、簪niao 、上造、 公士五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各几何？”
分配原则是“位高者多得，位卑者少得” 第四章.“少广” 主要成就包括开平方、开立方的算法. 第五章“商功” 主要论述各种立体图形的体积算法，其中包括柱、锥、台、球体等，内容涉及筑城、修堤、开渠、粮垛等施工方面的计算问题. 第六章“均输” 主要论述较为复杂的配分比例问题.其中最引人注目的是“均输术”.这是我国古代实行的“均输制”在数学上的反映，主要解决按人口多少、路途远近、谷物贵贱等条件，平均缴纳赋税或摊派徭役等实际问题，这很类似于条件极值问题. 第七章“盈不足” 主要论述盈亏问题的解法.盈不足的典型问题是这样的：若干人共买一物，若每人出a1钱，则多出b1钱;若 每人出a2(a2人数=(b1+b2)/(a1-a2).
物价=(a1b2+a2b1)/(a1-a2).
这一方法除了对于线性问题给出精确的解外，也为非线性问题提供了一个有效的近似解法.
例如“双鼠穿垣”题 第八章“方程” 主要研究线性方程组的解法，其基本思想是消元.在解方程组时，将方程组的系数（包括常数）分离出来排成一个数表，相当于现在线性代数中的增广矩阵，然后通过类似于矩阵初等变换的方法消元，这一思想方法在数学发展史上是非常重要的，在西方被称为“高斯消去法”.
“方程”章的另一个重点就是对负数的概念、运算进行了研究. 第九章“勾股” 主要讨论有关勾股问题的解法，并论及简单的勾股测量. 4.2.2 刘徽和祖氏父子刘徽，魏晋时期人，祖籍淄乡（今山东临淄或淄川一带），生卒年月不详，他年轻时十分好学，尤其喜爱数学.公元263年（魏陈留王景元四年），刘徽的《九章算术注》问世， 书中载录了刘徽在数学上的许多重要贡献. 1、刘徽的数学贡献在算术方面，刘徽阐发了《九章算术》中的分数理论.他的分数的意义、表示 方法、运算法则等代表了当时世界上的最高水平.他把分数看作比，由此发展出“率”的概念，又在“率”的基础上提出了算术中的比例理论、“盈不足”方法等.
在代数方面，给线性方程组解法以及正负数加减运算这两项算法以完整的理论说明，给出了方程的定义并揭示了方程组的同解原理. 并把正与负看成是相对存在的数的两种情况，并把数的正负与加减运算关系统一起来.还运用平面与立体图形对中国古代的开平方与开立方法作出了直观解释.此外，他由取 平方根的近似值而提出的小数概念和表示方法.
在几何方面，以别具一格的证明方法对中国古代提出的几何命题予以科学的证明， 这些方法包括“图形割补法”、“代数法”、“极限法”以及“无穷小分割法 ”等等. 刘徽对球体积计算的研究 <九章算术>少广章的“开立圆术”给出的球体积(V3)计算方法相当于公式
(这里的D为球直径)
刘徽对这一公式的正确性产生了怀疑，他使用截面法进行验证，发现内切圆柱的体积（V2）与正方体的体积（V1）之比为 ，在《九章算术》取的情况下，只有在内切球与圆柱的体积之比也是 时，上述近似公式才成立，而实际上后者是不成立的.为此，刘徽又以正方体相邻的两个侧面为底分别作两次内切圆柱切割，剔除外部，剩下的内核部分刘徽称之为“牟合方盖”（如图 )证明内切球与“牟合方盖” 的体积之比为 而明显地可以看出，“牟合方盖”的体积比圆柱要小， 故上述公式是错误的. 显然，如果能求出牟合方盖的体积，球的体积就自然可以求出了，但对于牟合方盖的体积如何求出，刘徽百思不得其解，故最后不得不“付之缺疑，以俟能言者”. 祖氏父子对球体积计算的贡献祖氏父子在研究《九章算术》及刘徽注时发现了刘徽遗留下的如何计算“牟合方盖”的体积问题，并开始沿着刘徽开辟的道路继续探索.经父子两代人不懈的努力，终于由祖日恒解决了牟合方盖体积的计算，得到牟合方盖与其外切正方体的体积比为2/3. 祖日恒还将其推导过程中所用的、事实上也是刘徽已经使用过的不可分量原理，总结提炼成一般的命题：“缘幂势既同，则积不容异”，即夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，若所得截面总相等，则此二几何体体积相等. 4.2.3 《算经十书》从隋开始，中国有了专门的数学教育机构，在其最高学府——国子监中，设立算学科，专门从事数学教学.
唐在隋的基础上，继续在国子监中设立数学教育机构，他们把数学教育与明经、明法、明书等并列为六科，称作明算科。
明算科设有算学博士与算学助教各二人，并招收算学生80人.
由数学家李淳风等人共同审定并注释了十部算经作为数学教材，这十部著作是《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《张邱建算经》、《五曹算经》、《五经算术》、《夏侯阳算经》、《缀术》和《缉古算经》，这就是历史上著名的“算经十书”，其记载了汉唐的数学成就，并成为后人数学教学与研究的重要源泉.4.3 宋元时期——中国传统数学的兴盛 这一时期包括宋元两代，即900年至1368年.众所周知，宋代结束了五代十国的封建割据的局面以后，出现了社会稳定、生产发展、经济繁荣的景象。
统治者鼓励发展科学技术，同时改革旧的科举制度，极大地推动了科学文化技术的发展.闻名于世的中国古代“四大发明”中的指南针、火药和活字印刷这三大发明就都是在宋代完成并获得广泛的应用的.
到了元代，蒙古骑兵占领了欧亚广大地区，促进了中外交流，印刷术的发展也推动了数学教育与研究，再加上前一时期数学知识的大量积累，诸多因素的汇集，促使中国以算筹为主要工具的传统数学出现了极其辉煌的成就，到达了兴盛时期.4.3.1 高次方程的数值解法《九章算术》、《缉古算经》等著作中所载的开平方、开立方方法已具备了解二次、三次方程的雏形，宋代以前，也曾经有人尝试将这种方法推广到解更高次的方程.但目前明确记载并保存下来的应是北宋数学家贾宪创造的“增乘开方法”.
秦九韶《数书九章》推广传统的 “开方法”，创立了“正负开方术”. 4.3.2 中国剩余定理主要见于秦九韶<数书九章>4.3.3 “天元术”和“四元术”李冶的《测圆海镜》和《益古演段》是现存最早的系统介绍和研究“天元术”的著作.
元代数学家朱世杰推广了“天元术”，提出用“四元术”来解四元方程，可以说这是中国筹算代数学的顶峰. 4.4 明清时期——中国传统数学的衰落与复苏从明代起，中国封建社会开始衰落，资本主义因素开始慢慢地萌发了，但由于根深蒂固的封建帝王统治的抑制，使资本主义的幼芽未能顺利得以发展.统治阶级为了维护其统治地位，规定科举制必须采用 “八股”文体，使得大批的知识分子“皓首穷经”，而鄙夷天文、数学等专门学问为“奇技淫巧”，加上生产水平低下与数学理论高度发展相脱节 的实际状况，致使中国数学由宋元时期的蓬勃发展而突然走向衰落.4.5 中国传统数学的特点(１)追求实用
(２)注重算法
(３)寓理于算5﹒希望的曙光—欧洲文艺复兴时期的数学5﹒1 欧洲中世纪的回顾 公元5世纪—15世纪为欧洲中世纪黑暗时期，主要特征是：
（1）生产停滞；
（2）经济凋敝；
（3）科学文化倒退。 对科学的影响是5世纪罗马人占领希腊后,为了建立所谓的“实业家的文化”,强行推行基督教,排斥包括数学在内的所有科学.
教皇奥古斯丁：“从圣经以外获得的任何知识，如果它是有害的，理应加以排斥，如果它是有益的，那么它就包含在圣经里了.”数学受到最大排斥，常常把它与异教徒的星相术混为一谈，因此在这个时期的法典中甚至明文禁止学习与研究数学，罗马皇帝狄奥多西法典：“任何人不得向占卜人与数学家请教.”6世纪查士丁尼法典则：“彻底禁止应受到谴责的数学技艺.”
这一时期还能够坚持科学研究的有：
博埃齐（罗马贵族）从古希腊著作中编译了一些算术、几何、音乐、天文的初级读物，称为“四大科” 。
比德（英格兰文化之父）写过一些算术著作，研究过历法及指头计算方法，是最先求得复活节的人.
培根（英国哲学家 ）号称“万能博士”.他提倡科学，重视现实，反抗权威. 菲波那契（意大利数学家）曾在埃及、叙利亚、希腊以及西西里岛等地游历，获得许多数学知识，对印度－阿拉伯计算方法的实用性尤为欣赏.
著有《算盘书》，共１５章，主要介绍算术与代数，内容包括：印度－阿拉伯数码的读法与写法；整数与分数的计算；平方根与立方根的求法；线性方程组和二次方程的解法等，书中还给出了数学在实物交易、合股、比例法和测量几何中的应用.著名的“斐波那契数列” 问题即载于此书。
还有一部纯几何著作《实用几何》，运用欧几里得等人的方法介绍了直线形的面积、圆的度量、球和圆柱等.5﹒2 文艺复兴时期的数学 这一时期在数学方面的突破最初是由艺术大师们完成的.他们所遇到的第一个难题就是如何把三维的现实世界反映到二维的画布上来.
5.2.1透视理论的创立与三角学的独立
布鲁内利斯 第一个认真研究透视法并试图运用几何方法来进行绘画.
德沙格 著有《论锥面截一平面所得结果的初稿》的小册子. 从开普勒的连续性理论出发，导出了许多关于对合、调和变程、透射、极轴、极点以及透视的基本原理.其中最引人注目的是所谓德沙格定理。
帕斯卡 16岁时开始研究投影和取景法. 他把圆锥曲线的性质简化为几个基本命题，并于1640年完成了著作《圆锥曲线论》.其中包含所谓“帕斯卡定理”。
5.2.2 三、四次方程的解法

费罗 1515年，波仑那大学费罗用代数方法求出了形如 x3+mx=n 的三次方程的解，但没有公开发表 。
泰塔格利亚 1541年，泰塔格利亚掌握了处理x3±px2=±q和x3±px=±q类型的方程的一般解法，但他也没有公开发表这一成果.但教给了米兰医生卡尔达诺。
卡尔达诺公开了泰塔格利亚教给他的方法。
与泰塔格利亚对簿公堂。
斐拉里得到了一般四次方程的代数解法 。
5.2.3韦达与符号代数
韦达的《分析方法引论》是一部最早的符号代数的著作.在这部著作中，韦达不仅用字母表示未知量和未知量的乘幂，而且还用来表示一般的系数.通常他用辅音字母来表示已知量，用元音字母表示未知量，用拉丁语表示各次方幂.
韦达一生写了许多关于三角学、代数学和几何学的著作，其中主要有：《三角学的数学基础》、《几何补编》、《有效的数值解法》和《论方程的整理与修正》. 5.2.4对数的发明
施蒂费尔 在其著作《整数算术》讨论了几何级数与其指数之间的关系，指出几何级数1,r,r2,r3,…的各项与其指数数列0，1，2，3……的各项相互对应，几何数列中两项之相商）所得的项，其项的指数等于该几何数列的指数数列中两项的和（差）.他甚至还把两个数列之间的这种联系推广到负指数和分数指数的情形.但他最终并没有提出对数的概念.
纳皮尔 借助于运动概念与连续的几何量的结合来引入对数.
布里格斯 与纳皮尔合作，决定利用y=10x关系，则当x=x1+x2时，y=y1y2来设计对数，这就是今天所谓的以10为底的常用对数. 6、解析几何的产生与发展6.1 解析几何学产生的背景
（1）阿拉伯的代数学的思想方法
（2）资本主义机器大生产的发展
（3）科学的需要6.2 笛卡尔与他的《几何学》6.2.1 笛卡尔的哲学研究
笛卡尔是一位怀疑论者，他说：“要想追求真理，我们必须在一生中尽可能地把所有事物都来怀疑一次.”
十分重视方法论的研究 ，他认为在一切领域中获得真理的方法就是数学方法，因为数学中立足于公理的证明是无懈可击的，而且是任何权威所不能左右的，数学提供了获得必然结果以及有效地证明其结果的方法.6.2.2 笛卡尔的《方法论》
1637年，笛卡尔出版了《更好地指导推理和寻求真理的方法论》（简称《方法论》），包括三个附录：《几何学》、《折光》和《气象》。
其中《几何学》大约占１００页，包括了笛卡尔关于坐标几何和代数的思想，首次明确提出了点的坐标和变数的思想，并借助坐标系用含有变数的代数方程来表示和研究曲线.
《几何学》的问世，是解析几何产生的重要标志. 6.3 费马与他的解析几何
费马关于曲线的工作，是从研究古希腊几何学家，特别是从阿波罗尼斯的工作开始的. 他在认识到阿波罗尼斯所用几何方法的困难之后，萌生了用代数来研究曲线性质的想法.
费马的坐标几何研究很可能把阿波罗尼斯的结果直接翻译成代数的形式.特别是关于研究圆锥曲线方法的探索，费马是直接从阿波罗尼斯的研究出发的. 6.4解析几何的进一步完善与发展6.4.1 范·斯柯登、瓦利斯和克拉梅等人的工作
范·斯柯登将笛卡儿的《几何》译成拉丁文，撰写介绍性评论，于1649年出版，并再版了若干次.对宣传、改进解析几何起了积极作用.
约翰·瓦里士在《论圆锥曲线》一书中有意识地引进负的纵、横坐标，使坐标几何中的曲线扩大到整个平面.
克拉梅在《代数曲线的解析引论》一书中第一次正式使用ｙ（纵）轴（1750年. 6·4·2伯努利等人关于极坐标系的工作
雅各·贝努利1691年在《教师学报》上发表了一篇关于极坐标的文章，是极坐标的发明者.
赫尔曼于 1729年正式宣布极坐标的普遍可用，且自由地应用极坐标去研究曲线，并建立了直角坐标系和极坐标系的互换公式.
欧拉扩充了极坐标的使用范围，并且明确地使用三角函数的记号.6·4·3 推广到三维空间
笛卡儿和费马都曾有三维解析几何的思想。
约翰·贝努利于1715年首次引入空间直角坐标系，
克雷略得出空间曲线可用两个空间曲面表示. 欧拉在早期对曲面方程的一些研究工作的基础上，在他的《引论》（1748年）第二卷第五章的附录中，系统地介绍了许多早已做过的工作，并研究了一般的三个变量的二次方程。
拉格朗日在一篇关于球体引力的论文中，给出了轴的旋转的对称形式的变换，即齐次线性正交变换.
在1802年Gaspard Merge和他的学生Jean Nuolas Pierre Hachette一起写的一篇论文《代数在几何中的应用》中，证明了二次曲面的每一个平面截口是一条二次曲线，还证明了平行截面截得的是相似的二次曲线.
由于上述数学家们的努力工作，解析几何变成了一个独立的而且充满活力的数学分支.7·微积分的创立7·1微积分产生的背景
7·1·1古代的思想萌芽
“无限细分，无限求和”的微积分思想，在古代的西方和中国早就已经开始萌芽：
古希腊的阿基米德关于研究了圆的周长和面积的计算问题；
西汉刘歆《西京杂记》中的“记里车”，东汉张衡的“浑天仪”，蜀汉诸葛亮使用并改进的“木牛流马”，刘徽提出的“割圆术”. 7·1·2几个基本问题
问题1 求自由落体的瞬时速度
16世纪前后，开普勒根据天文观测资料，总结出行星运动的三大定律；伽利略（1564～1642）发现了自由落体的运动规律，这个规律可表成著名的公式。
问题2 求曲边三角形的面积
古代的“割圆术”和古代劳动人民用一块块石头砌成拱形的桥洞给出启示，从整体看是曲的东西，在局部却可以“以直代曲”. 7·2 十七世纪前先驱们的探索
四个基本问题
（1）求速度与加速度
（2）求曲线的切线——笛卡尔、巴罗等人的工作
（3）求函数的最大、最小值——开普勒、费马等人的工作
（4）求曲线的长和曲线围成的面积——开普勒、卡瓦列里的工作7·3 科学的巨人——牛顿牛顿（Isaac Newton， 1642～1727）诞生于英格兰林肯郡 。
12岁时进入格兰瑟中学学习.
1661年以减费生的身份进入剑桥大学三一学院，1664年成为奖学金获得者，1665年获学士学位.
1665年8月，剑桥大学因为瘟疫流行而停课放假，牛顿回到故乡乌尔斯索普.
1667年牛顿重返剑桥大学，10月1日被选为三一学院的仲院侣，次年3月16日选为正院侣.
1669年10月27日，年仅26岁的牛顿接替巴罗担任卢卡斯讲座的教授.
1672年起他被接纳为皇家学会会员，1703年被选为皇家学会主席直到逝世. 1664年秋，当时他牛顿研究了笛卡儿的《几何学》，对笛卡儿求曲线的切线方法产生了浓厚的兴趣并试图寻找更好、更一般的方法.
1666年10月，牛顿的第一篇关于微积分的论文《流数短论》问世，首次提出了流数的概念，所谓流数就是速度，在变速运动中速度是路程对时间的微商.至于速度的变化状况就要用速度的微商来反映，即加速度是速度的微商.
1669年，牛顿又完成了关于微积分的第二篇论文《运用无穷多项方程的分析学》.在这里不仅给出了求一个变量对于另一个变量的瞬时变化率的一般方法，而且还证明了面积可以由求变化率的逆过程得到.这实际上已经初步给出了微积分基本定理. 1671年，牛顿关于微积分的第3本论著《流数术和无穷级数》写成.在此他恢复了在《流数短论》中采用的运动观点，对以物体运动为背景提出的流数概念作了进一步的论述，并清楚地陈述了流数术所提出的中心问题是：
（１）已知流量间的关系，求流数关系（即微分法）；
（２）已知表示量的流数间的关系的方程，求流量间的关系（即积分法）.
1676年，牛顿完成了他的第4篇论文《曲线求积论》，在这部著作中，他改变了过去那种“略去所有含瞬的项”的做法，认为“数学的量不是由非常小的部分组成的，而是用连续的运动来描述的.”为此他引入了最初比和最后比的概念，并借助于几何解释把流数理解为增量消逝时的最后比。这相当于求一个函数自变量与因变量变化之比的极限. 牛顿微积分学说最早的公开发表的是1687年出版的巨著《自然哲学之数学原理》。在这部著作中，牛顿以几何的语言介绍了他的“首末比方法”，并对此作出解释：“量在其中消逝的最后比，严格地说，不是最后量的比，而是无限减少的这些量的比所趋近的极限.它与这个极限虽然比任何给才的差更小，但这些量在无限缩小以前既不能越过也不能达到这个极限.”表现出了牛顿曾经试图以极限方法作为微积分基础的强烈倾向. 除了对微积分的重要贡献之外，牛顿还在函数理论、无穷级数、微分方程、变分法、代数和解析几何等领域都有杰出贡献.许多人给予他由衷的敬佩.连与他同时代的莱布尼茨也对牛顿倍加赞誉：“在从世界开始到牛顿生活的年代的全部数学中，牛顿内的工作超过了一半.”拉格朗日更是不吝言辞地说到：“他是历史上最有才能的人，也是最幸运的人—因为这个宇宙体系只能被发现一次.”然而就是这样一位科学巨人，却是十分谦虚的，他曾经说过：“我不知道世人把我看成什么样的人.但是，对于我自己来说，就象一个在海边玩耍的孩子，有时找到一块比较平滑或格外漂亮的贝壳，感到高兴，而在我面前的却是完全没有被发现的真理的海洋”.并称：“如果我比别人看得更远，那只是因为我站在了巨人的肩上”.7·4 数学大师——莱布尼茨
莱布尼茨（1646～1716）出生于德国莱比锡，是微积分的另一个奠基者，他的学识包括哲学、历史、生物学、机械、物理、数学、神学等等.
莱布尼茨于1661年（15岁）考入莱比锡大学学习法律，欧几里得几何学的教师讲解含糊不清，除了莱布尼茨外，便没有人能听懂.
1666年莱布尼茨发表了一篇关于数理逻辑的论文，虽然是极不成熟的作品，但已显示出他的数学才能. 7·5微积分的进一步发展
7·5·1微分方程
7·5·2变分法
7·5·3分析基础的严密化8·现代数学选论8·1 泛函分析的诞生
8·2 抽象代数的确立
8·3 拓扑学的起源与发展
8·4 应用数学的崛起
8·5 计算机与计算数学8·1 泛函分析的诞生 泛函分析发端于19世纪末20世纪初.前期产生的背景是变分法、集合论和积分方程的发展所引起的.
最早研究泛函分析方法的是伏尔泰拉（1860-1940）.他在经常变分法研究时，提出了一条曲线的函数就是指一个实值函数F，它的值由定义在某一区间[a，b]上的函数f(x)的全体确定，这些函数本身被看作一个空间的点，而对于该空间，可以定义点的邻域与点列的极限.
在建立泛函分析抽象理论的过程中，法国数学家弗雷歇（1878-1973）在他1906年完成的博士论文中作出了第一个具有重要意义的贡献.他用抽象的形式表达了函数空间.指出：空间中每一点都是函数，函数的极限可以看作是空间中点列的极限，并引入了一类L空间. 数学大师希尔伯特(1862～1943)在研究积分方程时，曾经将一个函数看成是由它相应的标准正交函数系的付里叶系数确定的.
1907年，德国数学家施密特（1876-1959）发展了希尔伯特这一思想，将其抽象为一般的L2空间，这通常称为希尔伯特空间.施密特还据此并导出了正交系的概念.
1910年，匈牙利数学家黎兹（1880-1956）则进一步由积分方程导出了Lp空间，开始研究抽象算子理论，并引入了范数的概念.  对泛函分析的发展作出显著贡献有波兰数学学派.该学派成立于20世纪20年代，以泛函分析为自己的主要研究方向.
领军人物是巴拿赫(1892-1945)和史坦豪斯(1887-1972). 巴拿赫的一个重要贡献是于1922年用三组公理建立了完备的赋范向量空间，后人称之为“巴拿赫空间”. 巴拿赫空间比希尔伯特空间更为一般，它包括Lp空间、连续函数空间、有界可测函数空间等.
1929年，巴拿赫引进了巴拿赫空间的对偶空间，并与史坦豪斯合作，得到了泛函分析中的一致有界定理，即“巴拿赫—史坦豪斯定理”.
他1932年出版的名著《线性算子理论》，提出了关于函数空间上线性算子的一系列重要定理，成为泛函分析达到成熟阶段的标志.因此，巴拿赫被人们称为“泛函分析之父”. 在泛函分析的发展中最卓越的成就应该是冯·诺伊曼（1903-1957）关于希尔伯特空间上对称算子的研究. 在他分别发表于1929年和1930年的两篇论文中，应用公理化方法研究了希尔伯特空间中的算子，建立了埃尔米特算子和酉算子之间的联系.并把有关结论推广到无界算子，发现了关于这种算子的谱理论，而这一理论恰好是适用于量子力学的数学工具.
法国数学家施瓦茨、前苏联数学家索伯列夫(1908-1989)和盖尔范德对广义函数即函数空间上连续线性泛函（又称“分布”）作出了巨大的贡献. 泛函分析的出现，不仅推动了分析学的发展，使得该领域的面貌发生了巨大的变化，而且，它的观点和方法还广泛渗透到其他的科学和工程技术领域.8·2 抽象代数的确立 19世纪初，由于伽罗瓦等人的工作，代数学研究的对象已经突破了传统的数（包括符号表示的数）的范畴.到了19世纪末，德国数学家戴德金、韦伯（1842-1913）和希尔伯特等人通过对许多分散出现的具体研究对象抽象出它们的共同特征，进行统一的公理化处理，使得群、环、域、模以及代数等相关概念进一步深化，并逐渐将其应用于代数学的各个领域.一个新的数学分支——抽象代数初现端倪. 这一分支的主要奠基人是德国女数学家诺特（1882-1935）. 1920年，她引入了“左模”、“右模”的概念.1921年，她发表论文《整环的理想论》，在公理化的基础上建立了一般的理想论，成为交换代数发展的里程碑.她从不同领域的相似现象出发，把不同的对象加以抽象化、公理化，提练出最简洁、最一般的概念，如同态、理想、算子环等，然后用统一的方法加以处理，得出一般性的理论，用她的这种理论可以处理各个不同领域的特殊性的问题.诺特的这套理论完成于1926年.从此代数学研究对象从研究代数方程根的计算与分布，进入到研究数字、文字和更一般元素的代数运算规律和各种代数结构，完成了古典代数到抽象代数的本质的转变. 在哥丁根大学教学期间，许多学者摹名而来，其中包括荷兰数学家范德瓦尔登、奥地利数学家阿廷和前苏联数学家亚历山大罗夫等，他们追随诺特进行抽象代数的研究，取得了丰硕的成果，形成了著名的哥丁根抽象代数学派，又称诺特学派.范德瓦尔登后来出版了二卷本的《近世代数学》，总结了该学派和其他数学家的成果，运用透彻的公理化形式对抽象代数进行了阐述，这部经典之作在很长时间内成为数学家们关注的热点.
20世纪30年代后期，格的理论得到确立。40年代中叶，作为线性代数推广的模论得到进一步发展并产生了深刻的影响，泛代数、同调代数等新领域也逐步建立与发展起来.特别是法国布尔巴基学派①的工作,他们认为数学就是“数学结构的仓库”，提出了更一般的数学结构观点，除了代数结构外，明确了另外两类结构——拓扑结构和序结构，以这三种母结构为基础，通过它们的交叉、结合产生出各种层次的新结构，导致了对数学中更一般的抽象结构的研究.在他们工作的影响下，麦克莱恩和艾伦伯格提出了所谓“范畴”结构，已成为在数学中起统一作用的概念之一.8.3 拓扑学的起源与发展 拓扑学是研究几何图形连续性质即在连续变形下保持不变性质的一门学科.
它的起源可以追溯到18世纪欧拉对著名的哥尼斯堡七桥问题的研究.
高斯在为代数基本定理所作的5个证明中就已经有两个用到了拓扑性质.另外，他还曾经考虑过结点问题.不过，他们都称这类问题为“位置几何”. 1847年，李斯廷(高斯的学生,1808-1882)发表了《拓扑学初步》，首先引用了拓扑学这一术语，其源于希腊文中的τοποζ（位置和形势）与λογοζ（学问）. 他的这一本著作被称为是第一本拓扑学著作.
1852年，格思里（1831-1879）提出的关于四色问题的猜想，对拓扑学的发展起到了进一步的推动作用.
1851年，黎曼在他的博士论文中提出了黎曼曲面的概念，强调了拓扑学对研究函数、积分的重要性，从此开始了拓扑学的系统研究.1854年，黎曼在论文《几何基础假设》中引进了流形的概念，成功解决了可定向闭曲面上的同胚分类问题.
此后，有关拓扑学方面的研究成果逐渐出现，比较著名的有：麦比乌斯大约是在1865年前后引入了现在称为麦比乌斯带的曲面；1873年，麦克斯韦尔（Maxwell,1831-1879）把拓扑学的连通性理论应用于电磁学的研究等. 组合拓扑学的系统研究始于法国数学家庞加莱（1854-1912）.他是在对关于复函数的单值化和由微分方程决定的曲线的研究中，引出组合拓扑学问题的研究的.他在1895年发表了题为《位置分析》的系列论文，创立了用剖分研究流形的方法，将几何图形剖分成有限个相互连接的基本片，然后用代数组合的方法研究其性质.在这里，他定义了n维流形、同胚、同调等概念，引进了一系列拓扑不变量，首次建立了庞加莱对偶定理，提出了庞加莱猜想等.从他开始，拓扑学分为点集拓扑学和组合拓扑学两个部分，这就使得拓扑学的发展走上了更为宽广的道路. 组合拓扑学的系统研究点集拓扑学的研究 点集拓扑学的概念是于1908年由德国数学家舍恩弗利斯（Schoenflies,1853-1928）在研究欧几里得运动和正则空间的分割理论时提出的.
1914年，德国数学家豪斯道夫（Hansdorff,1868-1942）在他的《集合论纲要》中建立了抽象空间的完整理论，并第一次抽象地使用了点集的邻域的概念，成为点集拓扑学理论形成的标志.他还在此基础上，建立了连续、同胚、连通、维数等一系列基础性的概念.拓扑学的进一步发展 拓扑学在20世纪2、30年代获得了重大进展，特别是在同调理论（包括同调环、同调群等）方面的的研究取得了一系列的重要结果.
美国数学家维布伦(1880-1960),他解决了一条闭曲线如何分割一个平面的问题，并依据序和线性连续的概念定义了曲线，他的著作《拓扑学》是那个时期仅有的一部系统的拓扑学著作，影响了那一时期拓扑学的发展.
美国数学家亚历山大(1888-1971)发展了同调论，推广了庞加莱的对偶定理，得到了曲面连续映射中的不动点和贝蒂数的不变性，证明了两个三维流形可以有相同的贝蒂数、挠系数和基本群，但却不是同胚的.
前苏联数学家亚历山德罗夫（1896-1982）和乌雷松共同创造立并发展了紧与列紧空间理论，引入了一些的基本概念和拓扑结构，建立了本质映射定理和同调维数论，并由此导出了一系列对偶性原理的基本规律，如他们得到：任何一个一般拓扑空间都与一个简单的几何图形——多面体相似；图形与集的拓扑性质有关等.8.4 应用数学的崛起8.4.1 运筹学
运筹学的思想在古今中外兵法中也多有体现.如田忌赛马等。
冯·诺伊曼的工作之前，博奕论仅仅是一种赌博、下棋和打牌的策略。
冯·诺伊曼将对策思想数量化。 8.4.2 控制论 控制论也是在第二次世界大战中兴起的一门应用学科.该学科的创始人是美国数学家维纳（N.Wiener,1894-1965）.维纳 二战期间，维纳接受了一项与火力控制有关的研究.在研究过程中，他发现机器与动物之间存在着潜在的可类比性，于1943年发表论文，首次将动物的目的性行为赋予机器，奠定了控制论的思想雏形.
1948年，他的专著《控制论——或关于在动物和机器中控制和通讯的科学》问世，这标志着一门新的综合性学科的诞生.“控制”一词源于希腊文，原意为“舵手”.在这部著作中，维纳将动物和机器的某些机制加以类比，着重论述了一切生物与机器系统在结构功能上共有的特征和本质的统一，进而把机器系统的信息、反馈等概念引入生物系统，并把生物系统的自组织、自适应等概念引入机器系统，提供了一套适于作为联系各学科纽带的共同语言、概念、模型和方法. 维纳的控制论通常被称为“经典控制论”.20世纪50年代以后，控制论得到迅速发展.前苏联数学家庞特里亚金1958年提出了极大值原理，给出了系统最优控制的一种强有力的方法；美国数学家卡尔曼1960年引进了状态空间法和“卡尔曼滤波”的概念，后者可以更有效地控制随机噪音，扩大了控制论研究的范围；贝尔曼提出了动态规划最优化原理，这些成为现代控制论的三大基石，推动了控制论的进一步发展.8.4.3 密码学 密码的研究历来带有一种神秘的色彩，早在古代就有人研究编制密码，来传递信息.
1884年，莫尔斯发明了有线电报，对保密的迫切需要，推动了密码学的研究.
第一次世界大战期间，由于对抗双方实战的需要，密码学的研究产生了一个重要的转折，它由简单的编码分为密码编制学和密码分析学两个分支.而到了第二次世界大战期间，这门学科已经完成了其关键的发展阶段：密码编制实现了机械化，密码分析也实现了数学化. 随着电子计算机的诞生，密码学的研究开始了新的变革，数字通讯技术的发展提高了通讯的可靠性和保密性.高速度和大批量的数据传输产生了对自动化的迫切要求，密码编制也进入了电子时代.同时，在密码分析学方面，计算机成为密码分析的基本手段.除了计算机网络中计算机通讯的数据传输保密问题外，数据库和操作系统的安全保密问题，尤其是第5代计算机的出现，对密码学的研究提出了更高的要求.因此，计算机密码学也就应运而生了. 密码学与数学的关系是十分密切的，除了代数学、数论、组合学、统计学等这些古老的数学分支与密码学有着紧密联系之外，新的数学分支，如信息学、自动化理论等都与密码学的发展有着直接的关系，正是这些数学分支使得密码学完全数学化.8.4.4 模糊数学 8.5 计算机与计算数学 英国科学家查尔斯·巴贝奇大约在1812年前后，他开始考虑一种可帮助计算数学用表的机器. 10年之后，他放弃了差分机，开始研制他称之为分析机的更具雄心的机器, 设想这样的机器能完全自动地进行由操作者指定的一系列算术运算.但因英国工厂根本就生产不出他所需要的高精密零件，直到1871年巴贝奇逝世，这一梦想也未能实现.但他认识到，这样的机器至少需要五个独立部分：
（1）输入机构，向机器输入为提出问题和解决问题所需的信息；
（2）存储器，保存所输入的资料以待机器需要时使用；
（3）运算器，进行实际运算；
（4）控制器，告诉机器何时和怎样使用所储存的信息；
（5）输出装置，打印出结果. 1944年，美国国际商用机器公司（IBM）和哈佛大学联合研制的马克一号计算机，实现了巴贝奇的梦想.
1946年，ENIAC（电子数字积分和计算机 ）开始正式运行，它能按照人们事先编好的程序自动地进行运算，从而体现了电子计算机最基本的特征.
二战后，冯·诺伊曼开始研究EDVAC（存储程序通用电子计算机 ），他以“关于EDVAC的报告草案”为题，广泛而具体地介绍了制造电子计算机和程序设计的新思想.报告明确规定，EDVAC计算机由计算器、逻辑控制装置、存储器、输入和输出五大部分组成，并阐述了这五大部分的职能和相互关系.这份报告是计算机发展史上一个划时代的文献，它向世界宣告：电子计算机的时代开始了. 1954年6月，冯·诺伊曼出任ISA计算机研制小组的主任职位. 他提出了更加完善的设计报告“电子计算装置逻辑结构初探”，对EDVAC中的两大设计思想作了进一步的论证，为计算机的设计树立了一座里程碑.
设计思想之一是二进制，他根据电子元件双稳工作的特点，建议在电子计算机中采用二进制.
程序内存是诺伊曼的另一杰作.
另外，冯·诺伊曼还发明了“流程图”，沟通了数学语言与计算机语言的联系；创立了自动编制程序的方法，简化了编制程序的繁琐工作并成功地将电子计算机应用于核武器的设计与天气预报等方面.由于他的这些开创性的工作，西方数学界赞誉他为“计算机之父”.

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