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撬动数学的那根“杠杆”
文：黑骑士
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阿基米德说：“给我一根杠杆，我能撬动地球”。这里的杠杆作为阿基米德“征服”地球的工具，是必不可少的。在通往成功的途中，选对工具非常重要。所谓工欲善其事，必先利其器。那么，在数学学习过程中，有没有可以帮助我们的“杠杆”呢？别急，接下来，我们就一起细数从古至今，那些撬动数学的“杠杆”——计算工具（计算工具是指从事计算时所用的器具或辅助计算的实物，包括计数工具和计算工具，不包括计算机软件类的数学工具）。
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简单方便的“掐指”算
人类初期的数学应用主要 是计数。由于原始社会时期生产力水平低下，所以人们的计数方法是简单而形象化的，计算工具也要唾手可得。手指就是一个比较好的工具，因此，指算就这样出现 了。指算，顾名思义就是用手指进行计算，是一种原始的计算方法，也是一种使用广泛、使用时间最长的一种方法。直到现在，我们刚开始学习算术的时候，也总是 先扳动手指头，当需要表示数目时，也常常会伸出手指。
我国古代有“掐指一算”的说法，影视作品中的算命先生也经常会说“掐指一算”，“掐指一算”真的能算出什么吗？其实，在数学领域，“掐指一算”也就是我们所说的指算，我们一起来看看指算能算出什么吧。
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??????? 手掌上的乘法口诀
?????? ?乘法口诀不用背，结果照样算出来。现在，伸出你的双手，我们试着让乘法口诀在手指上“跳动”。
1.伸出双手，掌心向上。手指张开，从左到右，给每根手指依次编号为1～10（左手大拇指为1，食指为2，依次类推）。
2.根据算式，把表示乘数的手指抬高，这个手指左边的手指数就是乘积的十位数字，右边的数字就是乘积的个位数字。
例如：3×9
将第3根手指（左手中指）弯曲。中指左边是编号为1和2的这两根手指，记为2，得到乘积的十位数；中指右边是编号为4～10的七根手指，记为7，得到乘积的个位数。综合起来，乘积是27。
（此方法只适用于因数从左至右递增的乘法算式中，即第一个因数要小于第二个因数，“3×9”可以用这个方法，“9×3”就不行了。）
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?????? “掐指一算”百以内数
设想一下，如果你是一名 仓库管理员，你每天的工作就是清点货物，为了不出错，你用画“正”字的方法来记录码头正运来的每一样货物，可是恰巧你今天忘记带纸和笔，怎么办呢？别忘 了，你还有一样随身携带的计算工具——手。当然，十件以内的货物，你用十个手指就可以记下了，可是如果更多呢？下面我就教你一个新的方法。
这个掐指计数法的灵感来源于算命先生的掐指算命。它的具体方法是：如图将双手相应部位标记相应的数字，当拇指的指甲掐在左手无名指末节时（如图一左手的1号位置）， 记为数字1。然后逐一按图一所示的位置计数，当左手拇指移动到图一中数字10的位置时，右手拇指定位在图二中10的位置。之后，左手重新计数。当左手拇指 再循环一次时，右手按图二所示，移动到20的位置。依次类推，100以内的计数都可以用一双手解决，怎么样？试一下吧。
用来计算的“身外之物”
当指算已经不能满足人类的需求时，人类开始探索新的计算工具，结绳计数因此诞生了。目前我们所知道的最早的计算工具（除手之外），就是结绳计数了，它的出现早于任何文字。因此，它的发明时间和发明地点都没有记载，我们只能推测很久以前，在亚洲、非洲或者南美洲的某地，有人利用藤条、树枝或野草之类的物品，系了第一个绳结。
其实，那个时候的绳结可以看作一种记录数据的文字，每一个绳结包含的信息量是巨大的。哈佛大学人类学教授加里·默顿最近对古印加人遗留下来的一种复杂的绳结进行研究后发现，这种原来被科学家视作装饰的绳结中包含有7段二进制码，能同时表达1500多个信息。
之后，古人学会用自制工具在骨片、木片或竹片上刻上痕迹，一次性表示数目的多少，契刻计数就这样诞生了。
公元前3000～前 2000年，中国、埃及、巴比伦、希腊等地开始摆放沙盘和石子作为记事和计数方法。后来这些国家有了自己的文字，便开始用文字来计数。商周时期，或许更 早，中国古代已经有了比较完备的文字系统和文字计数系统。中国在商代就可以记录十万以内的任何自然数了。
古往今来，各个文明发源地都有自己独特的计数方式（想了解更多的计数方式，请看2015年1月《智力课堂》的《蝉都懂的数学知识》），但最值得一提的是中国的算筹。
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算筹
算筹又称策、筹策，是中国古代用于计算和占卜的重要工具，在中国历史上曾经使用了几千年之久，直到明代以后才被算盘取代，退出历史舞台。
算筹最早起源于用木头或树枝计数，从这些木头或树枝中产生了“算木”。“算木”是算筹传到日本后的名称，其实，在中国它被称为“算”或者“筹”。
算筹计数法是以纵、横两种摆放方式来表示单位数目的（如图三）。1～5通过纵向或横向排列相应数量的算筹来表示，如4记作“4条横杠”或“4条竖杠”，6～9则用横杠或竖杠以一当五，余下的部分再用相应数量的算筹表示，且两部分方向不相同。如9可以利用4条竖杠上面1条横杠或4条横杠上面1条竖杠来表示。
按照中国古代的算筹规则，算筹计数的表示方法为：个位用纵向摆放方式，十位用横向摆放方式，百位再用纵式，千位再用横式……如此纵横相间，遇到零就跳过，继续表示下面的数。这种记数方法，逢十进一，遵循十进制。
这样从右到左，纵横相间，依次类推，就可以用算筹表示出任意大小的自然数了。由于算筹位与位之间纵横变换，且每一位都有固定的摆法，所以既不会混淆，也不会错位。这种算筹计数法与我们现在通行的十进制计数法是完全一致的。
筹算
在古代，筹算是一种相当先进的计算方法，它是以算筹为工具来计数、列式和进行各种计算的方法。中国古代的筹算不仅可以演算正、负整数与分数的四则运算和开方，而且还可以演算各种特定算式。
筹算的加减法计算方法为：先将位值对齐，即个位对个位，十位对十位，百位对百位，从左至右，由高位算起。用算筹进行乘法运算，分三层：上位是被乘数，中位是积，下位是乘数。与现在的乘法计算不同，筹算的计算方法是从左至右，先由乘数的最大一位去乘被乘数，乘完后去掉这位的算筹，再用第二位数去乘，将两次乘积相同位上的结果相加。
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下面我就借助49×36这个乘法算式，给同学们讲一下如何使用算筹。
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别看这个过程对我们来说很复杂，但是对当时的人们来说却是“小菜一碟”。因为他们熟记这些规则，通过摆弄木棒就能得出结果。怎么样，你们学会了吗？快找几个木棒尝试计算一下32×27。想知道筹算的其他运算方法吗？扫一扫下面的二维码，获取更多相关知识。
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算盘
说到算筹，就不得不说一下算盘了。算盘是中国传统的计算工具，是在长期使用算筹的基础上发明的。
算盘的来历，最早可以追 溯到公元前600年。据说中国当时就有了“算板”，古人把10个算珠串成一组，一组组排列好，放入框内，然后迅速拨动算珠进行计算。算盘并不是中国独有 的，古今中外的算盘大致可以分为三大类：沙盘类、算板类和穿珠算盘类。日本和俄罗斯都有与中国相类似的穿珠算盘。相比之下中国的穿珠算盘制作更简单，价格 更便宜。
中国的算盘起源于何时，至今未有定论，但是在明代被广泛应用于数学运算中已经是确凿无疑的事情了。
珠算
珠算是以算盘为计算工具的计算方法，珠算的发明和使用在我国已有一千多年的历史。珠算是中国古代继筹算之后又一大发明。在元、明两代，筹算已经被珠算取代。珠算的四则运算有口诀指导，这样大大加快了运算的速度。想知道珠算的运算口诀吗？扫描下方二维码，获取更多精彩内容。
神奇的数学表
在数学计算中，我们常常 会用到一些数学表：平方表，对数表，三角函数表……我们可以从各种各样的数学表中直接查询数值，既简单，又节省时间。这些数学表都是经过数学家长期的探索 才逐步发展和完善的。在靠近幼发拉底河的古巴比伦庙宇图书馆遗址，曾挖掘出大量的泥板，上面用楔形文字刻着大量的数学知识，其中就有各种数学表，如乘法 表、倒数表、平方和立方表、平方根和立方根表，这些都是人类最古老的数学表，他们的影响十分深远，在人类数学发展史上留下了光辉的一页。
接下来我们就一起看一看那些神奇的数学表。
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九九乘法表
一提到数学表，就不得不 提影响深远的“九九乘法表”。它是中国历史上最早的数学表，中国敦煌等地出土的西汉竹简上就记载着不完整的“九九乘法表”。现在人们可以用电子计算器进行 快速运算，但在很多情况下，人们还在使用九九乘法表，因为它很方便。九九歌诀是背诵“九九乘法表”的一种特别的口诀。九九歌诀是中国独创的，体现了中国语 言的优越性。
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利用乘法口诀联想作图
将下面表格的下边当作坐标轴的横坐标，左边当作坐标轴的纵坐标。将下列乘法算式的第一个因数当作横坐标的数字，第二个因数当作纵坐标的数字，将结果定位在表格中。如（1）题中的4×1，结果为图中红点位置。将所有结果定位后，连接这几个点进行联想作画，看看两列不同的算式，能画出什么图画。
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下面展示了两幅糖豆的作品，你也来试一下吧。看看你的有没有他们的好看。当然，你也可以给自己出一些算式题，然后联想画图。
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九章算术乘法表
九章算术乘法表比乘法口诀出现得晚，它是九九乘法表的“进化版”，可以用来计算超大位数的乘法。方法是：两个因数纵横排列，将纵横格各个坐标上的数单独相乘，乘得结果十位写在斜格上方，个位写在斜格下方，从右下角开始，将斜格中的数字相加，逢十向下一个斜格相加之和进位，最后，将所得结果组合，即为乘积。
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纳皮尔筹
17世 纪，计算工具在西方发展较为迅速。英国数学家纳皮尔在他的著作里介绍了一种新工具，也就是后来被称为“纳皮尔筹”的器具。纳皮尔筹又叫“纳皮尔计算尺”。 它是由十根木条组成的，每根木条上都刻有数码，右边第一根木条是固定的，其余的都可根据计算的需要进行拼合或调换位置。这种简单的计算器在当时很受欢迎， 流行了许多年。在清代，它与笔算、比例规算法等一起传入中国，北京故宫博物院至今还藏有纳皮尔筹。
纳皮尔筹与中国的算筹在 原理上大相径庭,它已经显露出对数计算方法的特征。纳皮尔筹的计算原理是“格子”乘法，类似于我国的九章算式乘法表，与之不同的是，纳皮尔筹把格子的工作 事先做好，需要哪几个数字时，就将刻有这些数字的木条按格子乘法的形式拼合在一起，也很方便。例如，要计算934×314，就将9,3,4和3,1,4摆 成如下图所示，然后将每个数单独相乘，乘得结果十位写在斜格上方，个位写在斜格下方。从右下角开始，将每行斜格的数字相加，逢十向前一位斜格的和进位，所得数字组合，就得到所要求的结果293276。
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无“规矩”不成方圆
“不以规矩，不成方圆”这个成语，想必大家都知道是什么意思，那么它和我们要说的计算工具有什么联系呢？
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“规”和“矩”的产生
一说到“规”和“矩”， 其实大家都不陌生，他们是古人用来测量、画圆形和方形的工具。“规”就是我们常说的圆规，“矩”就是折成直角的曲尺，尺上有刻度。“规”和“矩”发明于中 国，但发明的确切年代已无法考证。不过在公元前15世纪的甲骨文中，已有规、矩这两个字了。用“规”和“矩”，可以画出方和圆两种图形。古人常说“不以规 矩，无以成方圆”，就来源于此。
有的同学也许会问，难道 “规”和“矩”也是计算工具？回答是肯定的。“规”和“矩”除了能帮助我们画圆、画角外，在古代还可以帮助人们进行测量并记录测量数据，这符合我们之前对 计算工具的定位。司马迁记载，夏禹治水时就曾利用“规”和“矩”进行测量，规划出了治水方案。这也说明“规”和“矩”这两种工具至少在夏禹治水的年代就开 始使用了。另外，战国时期的墨子也曾说“百工从事者，亦皆有法。百工为方以矩，为圆以规”，也是在说当时的工匠都在使用“规”和“矩”了。
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多种多样的“规”
同学们最常见的“规”要数“圆规”了，作为画圆的工具，圆规在现代的数学学习中也是常用的，但是还有一种“规”，同学们可能不是很了解，这就是“步规”。
过去丈量土地用“步”，“步”是古代的计量单位，古代的“步”非现代的步。
《孙子算经》里有记载：1里＝1800尺＝300步，当时1尺＝23.1厘米。因此，从周代到汉代，1步是6尺，也就是138.6厘米。到了唐代，“步”的尺寸有了变化，1步＝5尺。
根据“步”，人们创造出了“步规”。这种“规”，在山东民间有的地方叫“叉尺”（如下图所示），有的地方叫“五尺杆子”。它的两脚之间的距离是固定的，为五尺，也就是“1步”。使用的时候两脚轮流着地，转动起来很快。
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万能的“矩”
矩是一种曲尺，是画方形 的工具，可是除了画方形，它还有很多用途。《周髀算经》中叙述了周公与商高的一段对话，周公问商高：“数学真是了不起啊!请问怎样使用‘矩’呢？”商高答 道：“把矩放平了，可以测定水平和垂直方向；把矩立起来，可以测量高度；把矩反过来倒置，可以测量深度；把矩卧于地面，可以测定水平距离；将矩环转一周， 可以得到圆形；将两矩合起来，可以得到长方形。”
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圆规在古希腊的应用
古希腊几何学的成就达到惊人的高度。古希腊人建立了一座严密的几何大厦，而建设起这座大厦的数学工具就是圆规和直尺。不过他们的直尺和中国古代的矩有所不同，这种直尺没有刻度，只能用于画直线，而不适用于测量。
古希腊人利用“规”和“尺”解决了很多几何问题，当然，他们也制造出了著名的古希腊三大几何问题。古希腊三大几何问题的奇妙之处在于它们看似简单，但操作困难。这三道题要 求作图时只能使用圆规和无刻度的直尺，而且只能有限次地使用直尺和圆规。直尺和圆规所能作的基本图形只有：过两点画一条直线、作圆、作两条直线的交点、作 两圆的交点、作一条直线与一个圆的交点。在数学里“某个图形是可作的”是指从若干点出发，可以通过有限个上述基本图形复合得到。经过2000多年的艰苦探 索，数学家们终于弄清楚了这三道难题是“不可能用尺规完成的作图题”。
想知道古希腊三大几何难题是什么吗？扫描下方的二维码。同学们试着研究一下这几个问题，如果你们能找到答案的话，说不定就改写了数学历史哦。

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