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第一章 埃及数学
第一节 埃及数学产生的背景及研究依据
　　埃及是数学古国，被人们认为是数学产生的最早国家之一，因此，在研究数学历史的时候，必须提及埃及的数学．
　　对埃及数学的产生，曾有过各种不同的看法，例如，希腊的逻辑学家亚里士多德(Aristotle，公元前384---约前322)在其《形而上学》一书中指出：“之所以在埃及能够产生数学，是受到上帝的恩赐．”对此，恩格斯在《反杜林论》中明确指出：“数学是人的需要中产生的，是从丈量土地和测量容积，从计算时间和制造器皿产生的．”事实上，埃及的数学产生，符合恩格斯的精辟阐述．
一、埃及数学产生的社会背景
　　埃及位于尼罗河岸，在古代分为两个王国，夹在两个高原中间的狭长谷地，叫做上埃及．处于尼罗河三角洲的地带叫做下埃及．这两个王国经过长时期的斗争，在公元前3200年实现了统一，并建都于下游的孟斐斯(Memphis)．
　　尼罗河经常泛滥，淹没良田．在地界被冲刷的情况下，统治者要按不同数量征粮征税，这样，必须重新丈量土地．实际上，埃及的几何学就起源于此．希腊的历史学家希罗多德(Herodo- tus，约公元前484---前424)在《历史》(Herodoti Historiae)一书中，明确指出：“塞索特拉斯(Sesostris)在全体埃及居民中间把埃及的土地作了一次划分．他把同样大小的正方形土地分给所有的人，并要求土地持有者每年向他缴纳租金，作为他的主要税收．如果河水泛滥，国王便派人调查并测量损失地段的面积．这样，他的租金就要按照减少后的土地的面积来征收了．我想，正是由于有了这样的做法，埃及才第一次有了几何学，而希腊人又从那里学到了它．”希腊数学家德谟克利特(Democritus，约公元前460---前357)也曾指出：“我不得不深信，几乎埃及人都会画证明各种直线的图形，每个人都是拉绳定界的先师．”所谓拉绳定界的先师(harpedonaptai)大概是指以拉绳为主要工具的测量师．
　　埃及人为了发展农业生产，必须注意尼罗河的泛滥周期，在实践中，积累了许多天文知识和数学知识．譬如，他们注意到当天狼星和太阳同时出没之时，就是尼罗河洪水将至之兆．并把天狼星的两个清晨上升的间隔当作一年，它包含365天．把一年分成12个月，每个月是30个昼夜．并逐步摸索出用日晷来测量时间．大约在公元前1500年，埃及人就已经使用了水钟---漏壶，它是底部有洞的容器．把这个容器灌满水，水从下面的孔里流完的这段时间作为计算时间的单位．所有这些都蕴含了计算．
　　建造著名的金字塔，可推知是公元前四、五千年前的事．根据对其结构、形状的研究，可推测古代埃及人掌握了一定的几何知识，致使底两个边与正北的偏差，一个仅仅是2'30''，一个是5'30''．这类的实际建筑，推动了埃及数学计算的发展．
　　综上，社会的生产、生活的实际需要，促使埃及数学的产生与发展．
二、研究埃及数学的依据
　　古埃及人创造出了几套文字，其中一套是象形文字．“象形文字”这个词源于希腊文，意思是神圣的文字．直到基督降生的年代，埃及在纪念碑文和器皿上还刻有象形文字．自公元前2500年左右起，开始使用象形文字的缩写，称作僧侣文(hieraticwriting)．
兰德纸草书
　　埃及的数学原典就是由象形文字书写而成，其中，对考察古埃及数学有重要价值的是“兰德纸草书”，这部纸草书是在埃及古都---底比斯(Thebes)的废墟中发现的．1858年由兰德(A．H．Rhind)购买，尔后，遗赠给伦敦大英博物馆．因此， 叫做兰德纸草书．这种纸草书长约550厘米、宽33厘米，摹本出版于1898年．
　　这部纸草书是根据底比斯人统治埃及时(约公元前1800年以后)写成的，著者阿梅斯(Ahmes)曾写道，此书是根据埃及王国时代(公元前2000---前1800)的材料写成的．
　　这部纸草书的出现，对埃及的文化产生了重要影响，对数学的发展和传播起到了一定的作用．阿梅斯认为，这是一部“洞察一切事物的存在，彻底研究一切事物的变化，揭示一切秘密……”的经典．实际上，只是传授“数”的秘密和分数计算．全书分成三部分，一是算术；二是几何；三是杂题．共有85题．记载着埃及人在生产、生活中遇到的实际问题．例如，对劳动者酬金的分配；面积和体积的计算；不同谷物量的换算等等．其中，也含有纯数学知识问题．例如，分数的难题计算等等．
　
　2．莫斯科纸草书
　　记载着古埃及数学的另一部古典书籍是莫斯科纸草书，此书是由俄罗斯收藏者于1893年获得的．约20年后，即1912年转藏于莫斯科图书馆．这部纸草书长约550厘米、宽8厘米，共记载着25个问题．由于卷首遗失，书名无法考证．俄罗斯历史学家古拉叶夫(Б．А．Гураев，1868---1920)于1917年和斯特卢威(В．В．Струве，1891---1964)于1930年对莫斯科纸草书进行了研究，后-者完成了出版工作，对进一步研究埃及的数学提供了方便．
　　总之，研究埃及数学主要是依据如上两部书，当然，也可能还有其它的有关资料，有待于进一步发现与考证．
第二节 埃及数学的主要内容
　　根据埃及纸草书的记载，古埃及人对算术、代数、几何等数学知识已经有了初步认识，并能做简单地应用．现简要介绍如下：
一、算术
　　古埃及人所创建的数系与罗马数系有很多相似之处，具有简单而又纯朴的风格，并且使用了十进位制，但是不知道位值制．
　　古埃及人是用象形文字来表示数的，例如
　　根据史料记载，上述象形文字似乎只限于表示107以前数．由于是用象形文字表示数，进行相加运算是很麻烦的，必须要数“个位数”、“十位数”、“百位数”的个数．但在计算乘法时，埃及人采取了逐次扩大2倍(duplication)的方法，运算过程比较简便．
　　乘法：古埃及人采用反复扩大倍数的方法，然后将对应结果相加．例如兰德纸草书(希特版)第32页，记载着12×12的计算方法，是从右往左读的．右边用现代数字表示，这就是倍增法(duplatio)．
　　由下表可知，计算的方法是把12依次扩大2倍，那么12×12为12的4倍加上12的8倍，恰是12的12倍，并把要加的数在右侧(现代阿拉伯数字在左侧)标记斜线，算得结果144．
　　在更早的时期，埃及人也曾采用“减半法”来计算乘法．首先是将一乘数扩大10倍，然后再计算10倍的一半．例如纸草书(卡芬版)第6页，计算16×16，是按如下方法计算的，即减半法(mediatio)．
　　/1　　　 16
　　/10　　　160
　　/5　　　 80
　　合计　　 256
　　这种乘法的计算方法是古代人计算技能的基础，是非常古老的方法．希腊时期的学校曾讲授过埃及人的计算方法，到了中世纪，还讲授“倍增法”和“减半法”．
　　除法：埃及人很早就认识到除法是乘法的逆运算，并蕴含在实际计算之中．例如，计算1120÷80(见兰德纸草书第69页)．
　 　　　1　　80
　　　/10　　 800
　　　　　2　 160
　　　/4　　　320
　　　合计　　1120
　　以上求解的基本思路是10倍的80加4倍的80，恰好是1120，即1120中含有14个80．
　　分数：古埃及人对分数的记法和计算都比现在复杂得多．例如，他
分叫做“第三部分”．例如，
　　这样，通过二个部分与第三部分；三个部分与第四部分的结合来表示出一个整体．现在的西欧，有时也用第三(third)、第四(fourth)、第五(fifth)等语言来表达三分之一、四分之一这类分数的含义．按此规律理解，五分之一可认为与四个部分结合成一个整体的第五部分．从语言的角度，五分之二(twofifths)就无法表达了．
　　随着分数范围的不断扩大，计算方法的不断改进，埃及人用“单位分数”(分子是1的分数)来表示分数：
　　对一般分数则拆成“单位分数”表示①．例如，(用现代符号表示)
二、代数
　　在兰德纸草书中，因为求含一个未知量的方程解法在埃及语中发“哈喔”(hau)音，故称其为“阿哈算法”．
　　“阿哈算法”实际上是求解一元一次方程式的方法．兰德纸草书第26题则是简单一例．用现代语言表达为：
　　
　　古埃及人是按照如下方法计算的：
　　　　
12，则12即是所求的量．
　　这种求解方法也称“暂定前提”(false assumption)法，即：首先，根据所求的量而选择一个数．在兰德纸草书第26题中，选择了4．因为
　　实际上，这个问题用列方程的方法很容易计算．设所求量为x，则：
　　
　　解之得：x＝12．
　　在用“阿哈算法”求解的问题中，也含有求平方根的问题，柏林纸草书中有如下的问题：
　　
方形，两个正方形面积的和为100，试计算两个正方形的边长．”
　　不妨从“暂定的前提”出发，首先取边长为1的正方形，那么另一
方形的边长分别为8和6．
　　如果列成现代的方程式求解，是很简单的．
　　　
　　
　　
　　所以，两个正方形的边长分别为8和6．
　　埃及人对“级数”也有了简单的认识，在纸草书中，用象形文字写出一列数7，49，343，2401，16807，并与之对应一列词：“图画”，“猫”，“老鼠”，“大麦”，“容器”，最后，给出和数为19607．实际上，这是公比为7的等比数列．对此，有的数学史家解释为：“有7个人，每人有7只猫，每只猫能吃7只老鼠，而每只老鼠吃7穗大麦，每穗大麦种植后可以长出7容器大麦．”从这个题目中，可以写出怎样的一列数，它们的和是多少？这种题目就涉及到求数列和的问题．
三、几何
　　埃及人创建的几何以适用工具为特征，以求面积和体积为具体内容．他们曾提出计算土地面积、仓库容积、粮食堆的体积、建筑中所用石料和其它材料多寡等法则．
　　埃及人能应用正确的公式来计算三角形、长方形、梯形的面积．把三角形底边二等分，乘以高；同样，把梯形两平行边之和二等分，乘以高分别作为三角形和梯形的面积．另外，埃及人还能对不同的面积单位进行互相换算．
　　在埃及埃特夫街的赫尔斯神殿的文书中，记载着很多关于三角形和四边形面积计算问题，如图1．1．但是，他们把四边形二对边之和的一半与另二对边和的一半之积作为其面积，这显然是不对的，只是长方形时，这才是正确的计算公式．
　　埃及人曾采用s＝(8d/9)2(其中s是圆的面积、d是圆的直径)来计算圆的面积．由此得到：
　　
　　能把π值精确到小数点后一位，在那个时代，应该说是一件了不起的事，巴比伦人在数学高度发展时期，还常常取π＝3．
　　在计算体积方面，经考察兰德等纸草书发现，埃及人已经知道立方体、柱体等一些简单图形体积的计算方法，并指出立方体、直棱柱、圆柱的体积公式为“底面积乘以高”．
　　有材料证实，在埃及几何中，最突出的一项工作是发现截棱锥体的体积公式，(锥体的底是正方形)，此公式若用现代数学符号表示为：
　　
　　其中h是高，a和b是下、上底的边长．
　　像这样的公式，若认为是靠经验得到的，理由则是不够充分的．按当时埃及人已掌握的数学知识，我们可做如下理论推导：
　　把正棱台分成4个部分，即1个长方体、2个棱柱、1个棱锥．如图1．2，假如棱锥的体积是已知的，可得公式：
　　
　　可推测，(1)式是由(2)式的代数变形得到的，但是，当时的埃及人比较擅长于具体数值的计算，还没掌握对一般量的推导．这里似乎埃及受巴比伦代数的影响，掌握了一定的数学推理方法．
　　从公式(2)推出公式(1)，可考虑采用了如下方法：
　　假定一个棱垂直于底面，把图1．2中的两个棱柱分别变为高是原
　
　　
是，最下层为a2，中间层为ab，最上层为b2．由此可得到其总体体积为：
　　
　　与(1)式相符．
　　按如上方法推导公式(1)，是没有超越埃及当时的数学水平的，但是，也没有充分的依据来断定埃及人就使用了这种方法．对此有各种不同的猜
是纸草书中提及的特殊情况)，埃及人才推导出公式(1)．
第三节 埃及人对数学的应用及对数学发展的贡献
一、埃及人对数学的应用
　　埃及的数学是从生产和生活实际中产生的，反过来，他们又力争把所获得的数学知识应用于实践．
　　埃及人把数学知识应用到管理国家和教会的事物中，譬如，确定付给劳役者的报酬，求谷仓的容积和田地的面积，征收按土地面积估出的地税，计算修造房屋和防御工程所需的砖数．
　　把数学应用于酿酒等方面的计算．他们利用术语“比数”(pesu)，即一个单位谷物生产出酒的量或面包的个数，按下面方法计算：
谷物的量×比数=酒量(或面包的个数)．
　　在这些简单的计算中，常常需要进行单位的换算．
　　把数学应用到天文的计算中．从第一朝代开始，尼罗河就是埃及人的生命源泉，他们日出而作，日落而息，必须掌握四季气候变迁的规律，力求准确预报洪水到来的日期，进行大量的计算．他们还把几何知识与天文知识结合起来，用于建造神庙，使一年里某些天的阳光能以特定方式照射到庙宇里．金字塔的方位也朝向天上特定的方向，而斯芬克斯(即狮面人身像)的面则是朝东的．金字塔代表了埃及人对几何的另一种用法，竭力使金字塔的底为有规则的形状，底和高的尺寸之比也是有特殊意义的．
二、埃及人对数学发展的贡献
　　当我们回顾埃及数学的产生与发展时，不难看出，埃及人推动了数学的产生和应用．其中，对数学发展产生很大影响的希腊数学，也曾借鉴过埃及数学．譬如，希腊人曾学习过埃及那种特定方式乘法和单位分数的计算，然后又发展了这种计算方法．另外，关于确定图形面积和体积的规则，可能希腊人也是从埃及人那里学来的，但是，对于这些规则的证明，是由希腊人完成的．
　　埃及人没有把零散的数学知识系统化，使之成为一门独立学科，只是做为一种工具，把形式上没有联系的简单法则，用于解决人们在日常生活中所碰到的问题．埃及人对数学的主要贡献，我们做简略地归纳：
　　(1)基本完成了特定方式的四则运算，并且把它们推广到分数上，已经有了求近似平方根的方法．
　　(2)他们能够用算术方法处理一次方程和某些类型的二次方程问题．
　　(3)他们已经有了算术级数和几何级数的知识．
　　(4)在几何方面，得到了某些平面图形和立体图形的求积方法．
　　(5)得到较好的圆周率值(在那个时期)，正确认识了把圆分为若干相等部分的问题．
　　(6)他们已经熟悉了比例的基本原理，某些数学史家还认为埃及数学有三角函数的萌芽．
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第二章 巴比伦数学
第一节 巴比伦数学产生的社会背景
　　巴比伦人是指曾居住在底格里斯河与幼发拉底河两河之间及其流域上的一些民族，他们创造了文化，也创造了具有本民族特色的数学．
　　大约在公元前1800年前，在两河流域建立了巴比伦王国Babylonia)，首都巴比伦(Babylon)是今日伊拉克的一部分，位于巴格达南面约100公里．大约在公元前4000年左右，苏默人(Sumerians)开始在两河流域(古代称美索波达米亚Mesopotamia)定居，大约在公元前3000年创造了自己的文化．到了公元前1700年左右，在汉穆拉比(Hammurabi)王统治期间国势强盛，文化得到了高度发展，以制定一部法典而垂名后世．
　　汉穆拉比把自己称为“苏默人和阿卡德人的大王”，把一切权力集于一身．汉穆拉比作为最高统治者，非常关心灌溉系统的发展，采取各种灌溉措施，制造抽水机，并在全国范围内划分土地，分配收获的粮食，修建谷仓储存粮米，发展贸易，向邻近国家输出农产品，同时也带来了高利贷的发展．所有这些都是促使数学得以产生与发展的社会因素．
　　促进巴比伦数学发展的另一个因素是货币交换制度的初步建立．开始时，巴比伦人把实物或者银器作为货币单位，国家征收税务、民间物资交换都用规定的实物或银器进行支付．后来，采用银币代替了实物交换，这样就需要进行各种单位换算，从而推进了数学的发展．
　　尽管巴比伦统治者频繁更替，而对数学知识的传播和使用，从远古时代直到亚里山大时代却始终没有间断．
　　古代巴比伦人是用祖传的泥板书记载数学内容的，然而，保存下来的泥板书却没有埃及纸草书那样多．可能是因为泥板书靠太阳或火烧烘干，遇到风吹雨淋，难于保存原样．另外，巴比伦人的书写字迹也阻碍了长篇论著的编撰．
　　在巴比伦泥板书中，引人注目的是普林顿322号．这是哥伦比亚大学普林顿(G．A．Plimpton)收集馆的第322号收藏品．此泥板书是在公元前1900年至前1600年间用古巴比伦字体写的．
　　普林顿322号是保存下来的一块残缺不全的泥板书，但仍然保存着大体形状，只是左边掉下一块，靠右边中间部分也有一个很深的洞，左上角也脱落了一片，但可以清楚地看到，有三列比较完整的数字，不妨用现代符号(10进位)表出，如图2.1．
　　经过对图表的认真分析，就会发现：两列中的对应数字(除了4个例外)构成一个边长为整数的直角三角形的斜边和一个直角边．
　　现在人们把象(3，4，5)这样的，能组成直角三角形三条边的一组正整数称为毕氏三数(Pythagorean triple)．在这样一组数中，若除1以外，没有其它因子，就称它为素毕氏三数．在普林顿泥板书之后的1000多年后，人们证明了素毕氏三数(a，b，c)能用下列参数式表示：
a=2αβ，b=α2-β2，c＝α2+β2．
　　其中α，β互素，奇偶相异，且α＞β．若α＝2，β=1，则得素毕氏三数a＝4，b=3，c＝5．
　　我们若用普林顿泥板书上给出的斜边c和直角边b来确定那个边为整数的直角三角形的另一边，则可得到下列毕氏三数：
　　应该指出，上表中的毕氏三数，除第11行和第15行外，都是素毕氏三数．为了便于讨论，我们又列出了这些毕氏三数的参数值．通过普林顿322号泥板书，不难看出，古巴比伦人早就知道素毕氏三数的一般参数表达式．
　　在书写古巴比伦数学简略历史时，我们首先举出了普林顿322号泥板书，作为在那样的社会背景之下，数学研究的重要结晶，使读者形成初步印象，以便进一步探索古巴比伦的数学内容．
第二节 巴比伦的数学
　　巴比伦人和埃及人一样，是首先对数学的萌芽作出贡献的民族，对其原始数学内容的考证，大部分来自近百年来考古研究的结果．
一、记数法与进位制
　　一百多年前，人们发现巴比伦人是用楔形文字(Cuneiform)来记数的．他们是用头部呈三角形的木笔把字刻写在软泥板上，然后，用火烧或晒干使它坚如石，以便保存下来进行数学知识交流．由于字的形状象楔子，所以人们称为楔形文字．
　　他们用垂直的楔形来表示1，如 ．用末端二个横向楔形表示10，如．用记号表示35．用记号表示9，后来简化为．
　　以上可以看出，巴比伦人创建的数的体系与埃及、罗马数字颇为相似．但是，值得我们注意的是巴比伦人已经有了位值制的观念，通常为60进制．这种认识的主要根据是地质学家劳夫特斯(W．K．Loftus)于1854年在森开莱(现在的拉山或拉莎)发掘出汉穆拉比时代的泥板书，上面记载着一串数字，前7个是1，4，9，16，25，36，49，之后中断，而在应该是64的地方，看到的却是1·4，其后接着写出1·21，再后是2·24，直到最后写的是58·1．这个数列只有假定其为60进位时，才能很自然接续，即：
　　1·4＝60＋4＝64=82，
　　1·21=60＋21＝81＝92，
　　……………………
　　58·1=58×60＋1＝3481＝592．
　　应该指出，巴比伦人的位值制有时也不甚明确；因为完整的位值制记数法，必须有表示零的记号，但在早期的泥板书上尚没有发现零号．例如，(5·6·3)可表示5×602＋6×60＋3＝18363，也可表下文来分析、确定．
　　古巴比伦的60进位法之产生年代是相当久远的．但据有的材料记载，早期的苏默人是不知道60进位制的．从他们所用的数学符号中可以看出，大约在公元前3000年以前，是用以下记号来记数的：
1，10，60的记号是用头部是圆形的木笔刻成，而1和60的记号都是半圆形，只是大小不一样，10的记号是圆形，600的记号是10和　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　到了公元前2000年左右，开始使用楔形文字，以此又建立一套数的记号，不妨做如下比较：
　　通过如上二种数码的表示法之比较，不难看出，巴比伦采用60进制是很自然的①．
二、算术运算
　　由于巴比伦从1到59的数码都是以1和10或更多一些数的记号为基本记号结合而成的，因此，在此范围内的加减法不过是加上或去掉某种记号罢了．
　　巴比伦人对整数的乘法，采取了“分乘相加”的方法．例如，某数乘以27，他们先乘20，再乘7，然后把结果相加，最后得出结果．他们还造出了一些乘法表．(左边是巴比伦人的记号，右边用现代符号表示)
　　巴比伦人在做整数除以整数时，采用了乘以倒数的方法，并且还造出了倒数表．
　　巴比伦人研究了数的平方和开平方、立方和开立方的问题．当方根是整数时，给出了准确的值．对于其它方根，由于采用60进位制，只能是近似值．并造出了简单的平方、平方根、立方、立方根表．巴比伦人也曾给出了求a2＋b型的方根近似公式：
　　
　　
数大．到了希腊时期，著名数学家阿基米德(Archi－medes)、海伦(Heron)创造出了平方后比原数小的近似公式．
三、代
　　巴比伦人不但具有数系和数字运算的一些知识，他们也具有处理一般代数问题的能力．
　　例如：在赛凯莱(Senkereh)出土的古巴比伦(汉穆拉比王朝时期)的原典AO8862，记载着下面的问题：(用现代语言叙述)
　　一块长方形土地面积加上长与宽之差为3.3①(即183)，而长与宽之和为27，这块地的长、宽、面积各几何？
　　(1)古巴比伦人的解法：(按60进制计算)
27＋3.3=3.30
2＋27=29
29÷2＝14.30
14；30×14；30＝3.30；15
3.30；15-3.30＝0；15
0；15的平方根是0；30
14；30＋0；30=15 (长)
14；30-0；30=14
　　因为原来是将27加上2，现在应从14减2，则宽是14－2= 12
　　故得到，15×12＝3.0(面积)
15-2＝13
3.0＋3＝3.
　　读者可以辨认，以上例题的解法是从6行到29行之间，是用楔形文字书写的．
　　(2)如果用现代的列二元一次方程组的方法解，则很简便．
　　设长为x，宽为y，可列成如下方程组：
　　
　　从AO8862原典的最后一行的结果看出，x＝15，y＝12是满足方程组(1)的解的．
　　在前面解题时，实际上是用新的宽y'代替原宽y，即：
　　y'=y+2，y=y'-2．
　　使用如上这种代换方法，使问题简单化了．代换后，可得到新的二元一次方程组：
　　　　
　　把方程组(2)的第1式加到方程组(1)的第2式，可立刻得出(在原典中，清楚地写着)
　　27+3.3=3.30
　　2+27＝29
　　之后，继续解方程组(2)．从上边的具体问题求解中，我们可以悟出解方程组的一般方法，用现代符号表示，可谓：
　　
　　其解为：
　　
　　
　　巴比伦人求解的各个步骤是符合解方程组的一般方法的，但是，他们没有给出求解的一般公式．
　　在巴比伦人利用楔形文字撰写的原典中，也有解一元二次方程的例子．例如：由两正方形并组成一个面积为1000，一正方形边为另一正方形边的
　　巴比伦人是按如下方法求解的：(用现代符号表示)
　　设两个正方形边长分别为x，y．
　　
　　得到一个正整数解为：x＝30．
　　以上说明巴比伦人在汉穆拉比时代已经掌握了解二元一次和一元二次方程的方法，但仍然是用算术方法求解．巴比伦人对简单的三次和四次方程也求解过．例如在原典中有这样的题目：一个立方体，其体积为
　　
长、宽、高分别为x、y、z，体积为V，实际上是求解方程组
　　解此方程组，涉及算立方根问题，巴比伦人用数表来求解(见算术运算部分的数表)．
四、几何
　　在古巴比伦时期，常常把几何问题化为代数问题来解决．在他们心目中，几何似乎不占有重要位置．但是，在20世纪中叶布尔昂(E．M．Buuins)博士和鲁达(M．Rutten)撰写的《斯萨数学书》(Textes mathè matiques de Suse，MèmoiresMission archèol en lran XXXIV，Paris，1961)中，指出了在斯萨出土的古巴比伦的楔形文字原典中，含有求正多边形和圆的面积的近似公式，说明古巴比伦人对几何问题也有一定的兴趣．
　　例如，在拉尔萨(Larsa)出土的古巴比伦原典VAT8512中，有下面的问题(用现代符号和语言叙述)．
　　已知底边b＝30的三角形，由平行于底的直线把其分成两部分，即高分别为h1、h2的梯形F1和三角形F2，且面积F1-F2＝S＝7.0 h2-h1=h＝20，求割线长(x)．
　　由以上条件，可建立如下关系式：
　　　　
　　由图2．3可知，比例式
　　h2∶h1=x∶(b-x) (5)
　　成立．
　　根据以上条件，可解出x，即：
　　
　　
　　
　　由上可知，巴比伦人建立的关于x，h1，h2的关系式是正确的．但是，还没有理由(证据)说明以上是一种纯粹代数的推演．数学史家尤伯尔(P．Huber)对(4)式做了如下解释(Isis Vol46，p104)：
　　如果在三角形一边加一个长为h1＋h2的长方形，拼成一个上、下底边长分别为c和a＝c＋b的梯形，延长割线x，把此梯形分成两部分，如图2．4其面积差为：
　　(F1-F2)-c(h2-h1)＝s-ch．
　　
的面积分成二等分z，并给出
　　
　　(参考MKT I，p131)可得到(6)式的证明：
　　
　　按照尤伯尔的解释，以上的解法思路是几何学的思想，而不是代数的．
　　巴比伦人很早就知道毕达哥拉斯定理(勾股定理)，并能应用此定理解决具体的、比较简单的问题，在古巴比伦的数学原典中有记载，并使用了1500年之久，直到赛莱乌科斯王朝时代(公元前310年以后)的著作中，仍有记载．
　　巴比伦人也会求棱柱、圆柱、棱台、圆台的体积，他们用高乘以两底面积和的一半的方法进行计算．
五、数论
　　巴比伦人不仅在代数中的工作显得很出色，在算术中，也不断推广研究范围，在《楔形文字的数学书》(Cuneiform Te－xtesmathématigues)中，也记载了一些关于初等数论的内容，有人认为，希腊的毕达哥拉斯学派继承和发展了古巴比伦人的工作．
　　巴比伦人能够求出简单的级数和．例如，可求出公比为2的等比级数的和
　　1＋2＋4＋……＋29＝29＋(29-1)＝210-1．
　　他们还给出了从1到10的整数平方和，似乎应用了下列公式：
　　
　　巴比伦人的代数中，也含有一些数论．他们求出了好几组毕达哥拉斯三元数组，还求出了x2＋y2＝2z2的整数解．
第三节 巴比伦人对数学的应用及对数学发展的贡献
一、巴比伦人对数学的应用
　　尽管巴比伦人的数学知识是粗浅的、有限的，但在他们的生产、生活中的很多方面都应用了数学．
　　1．巴比伦人把数学应用到商业方面．巴比伦位于古代贸易的通道上，为便于商品交换、发展经济，他们用简单的算术和代数知识测量长度和重量，来兑换钱币和交换商品，计算单利和复利，计算税额以及分配粮食，划分土地和分配遗产等等．
　　2．把数学应用到兴修水利上．巴比伦人应用数学知识计算挖运河、修堤坝所需人数和工作日数，也把数学应用到测定谷仓和房屋的容积，计算修筑时所需用的砖数等．
　　3．把数学应用到天文研究方面．大约在亚述时代(公元前700年左右)开始用数学解决天文学的实际问题．在公元前3世纪之后，用数学知识来计算月球和行星的运动，并通过记录的数据，确定太阳和月球的特定位置和亏蚀时间．
　　也应该注意到，巴比伦人观察天文现象，直接得出了作为以后三角学的基础概念．当时巴比伦人观察在天空中运行的星体，看它们在夭空中的位移情况．他们把天空看作半球面，因此测量不是在平面上，而必须是在球面上进行的．鉴于此，巴比伦人较早考察的是球面三角的概念，而不是平面三角的概念．
　　也应该指出，在古巴比伦时期，当产生各种科学领域基本概念的同时，假科学也获得了发展．这种假科学与天文学、数学都有密切的关系，它们阻碍了数学的发展．这种假科学主要指星相术和数的神秘论．
　　星相术认为单个人的生活和整个人类社会，都依赖于天空中的行星相互间的排列．即行星在人的生活中有“影响”，并且把它们崇拜为神．由此，他们作出了进一步的结论，由行星在天空中的相互排列，在一个人出生时就能够预言他将来的命运如何．这种星相术又从巴比伦传播到其他民族，阻碍了科学的发展．
　　巴比伦人也曾把“数”神秘化．例如，当巴比伦人崇拜三个天体(太阳、月亮、金星)时，数码3便被看作“幸福的”．更晚一些时间，当已经崇拜7个天体时，数7就被当作“幸福的”．实际上，许多民族都赋予数3和7以神秘的意义．总之，星相术和数的神秘化，阻碍了人类的正确认识的发展．
二、古巴比伦人对数学发展的贡献
　　巴比伦人从远古时代开始，已经积累了一定的数学知识，并能应用于解决实际问题．从数学本身看，他们的数学知识也只是观察和经验所得，没有综合结论和证明，但是，也要充分认识他们对数学所做出的贡献．
　　1．在算术方面，他们对整数和分数有了较系统的写法，在记数中，已经有了位值制的观念，从而把算术推进到一定的高度，并用之于解决许多实际问题，特别是天文方面的问题．
　　2．在代数方面，巴比伦人用特殊的名称和记号来表示未知量，采用了少数几个运算记号，解出了含有一个或较多个未知量的几种形式的方程，特别是解出了二次方程，这些都是代数的开端．巴比伦人能够求解的方程类型可简略归纳如下：
　　ax＝b，x2＝a，x2+ax＝b，x2-ax＝b，x3=a，x2(x+1)＝a．
　　在解决实际问题中，他们能够通过算术运算方法解二元一次方程组，例如以下几种类型：
　　3．在几何方面，巴比伦人认识到了关于平行线间的比例关系和初步的毕达哥拉斯定理，会求出简单几何图形的面积和体积，并建立了在特定情况下的底面是正方形的棱台体积公式
　　4．在天文学方面，他们已有一系列长期观察记录，并且已经发现了许多准确性很高的天文学周期．他们计算月球和行星的运动，给出天体在不同时期所处位置的数表，并计算天文历书等．
　　综上，可以看出巴比伦人对初等数学的几个方面都有一定贡献．但是，他们对圆面积度量时，常取π＝3，计算结果不如古埃及人精确．
第三章 希腊数学
　　著名数学史家克莱因(M．Kline)在其名著《古今数学思想》中指出，希腊人在文明史上首屈一指，在数学史上至高无上．他们虽然也取用了周围其他文明世界的一些东西，但希腊人创造了他们自己的文明和文化，这是一切文明中最宏伟的，是对现代西方文化的发展影响最大的……．
第一节 古希腊数学产生的背景及研究依据
　　正当数学面临着积累起来的大量资料，有待于整理、创新，使之条理化、系统化时，首先把这些零散的数学知识经过归纳、提炼、开拓、发展并著书立说的民族是希腊人．他们开始尝试对命题的证明，对今日数学的奠基起到了十分重要的作用．正如M．克莱因所说：“数学作为一门有组织的、独立的和理性的学科来说，在公元前600到300年之间的古典希腊学者登场之前是不存在的．”(《古今数学思想》)
一、古希腊数学产生、发展的背景
　　数学在希腊的发展，有其社会原因．古代希腊人定居在小亚细亚，即欧洲大陆上如今希腊所在地区以及意大利南部，西西里(Sicily)，克里特(Crete)，罗德斯(Rhodes)，第罗斯(De－los)和北非等地区．当时，希腊为奴隶社会，早期进行了一系列变革，使之变得比较完善，比较先进．马克思把她比喻为“发育正常的小孩”．恩格斯也指出，这种奴隶制“使农业和工业之间的更大规模的分工成为可能，从而为古代文化的繁荣，即为希腊文化创造了条件．没有奴隶制，就没有希腊国家，就没有希腊的艺术和科学，……”．因此，社会的变革，对希腊文化的发展，起到了非常重要的作用．
　　希腊人大约在公元前775年左右实施了文字改革，把他们用过的各种象形文字书写系统改换成腓尼基人的拼音字母．采用了拼音字母之后，希腊人变得更加通文达理，更有能力和条件来记载他们的历史和思想，也更有利于进行数学逻辑运算和推演了．
　　希腊是埃及、巴比伦的邻国．地理位置为希腊人游访埃及、巴比伦，并与之贸易往来创造了方便条件．通过这些往来活动，使希腊人有机会了解、学习埃及人、巴比伦人创造的数学．例如，被誉为希腊哲学、数学和科学的诞生地——小亚细亚、爱奥尼亚(Ionia)地区的米利都(Miletus)滨临地中海，来自希腊本土、腓尼基和埃及的船舶都驶进它的港口，并有队商大道与巴比伦相通．
　　古代希腊形成了多个数学学派，他们的活动和研究，对数学的发展和传播是有重要作用的．古希腊数学延续了1000年左右，这在数学发展史上也是屈指可数的几个国家之一．
二、研究古希腊数学的主要依据
　　在历史上，希腊曾遭受过波斯人的侵略，使希腊人受到不少磨难，文化活动中心发生转移和改变，记载数学书籍和文献也被破坏．
　　现在研究希腊数学，主要依据是拜占庭的希腊文的手抄本，这是在希腊原著写成后500年到1500年之间录写成的．其原因是，希腊的原文手稿没有保存下来(由纸草书写成易于毁坏，加之希腊的大图书馆毁于兵燹)．
　　希腊数学的抄录本，可能做了若干修改．例如，我们虽无希腊人海伦(Heron)的手稿，但我们知道他对欧几里得《几何原本》做了若干改动．他给出了不同的证明，添补了一些定理的新例子和逆定理．就是希恩自己也提到，他改动了《几何原本》的若干部分．
　　另外，研究希腊数学还要依靠两批评述本，其一是帕波斯(Pappus，公元3世纪)撰写的《数学汇编》(Sgnagoge或Mathematical Collection)；其二是普罗克洛斯(Proclus，410---485)撰写的．《评述》(Commentary)．这是研究希腊数学史的两部重要史料．
　　要从如上资料中，把希腊数学发展的历史整理出来，是一项浩繁而复杂的工作，由于学者们的艰苦努力，已经基本弄清希腊数学的基本史实．但是，有些结论也有争议，可望在深入研究和探索中，进一步澄清史实．
第二节 创建学派，师徒相传
　　古希腊数学是在先后相继几个中心地点发展起来的，每个中心地点，总是由一两个伟大学者组织成群的学者开展学术活动，为数学大厦的筑起添砖加瓦．用现在的语言描述，乃为创建学派，师徒相传，推动数学的发展与传播．
一、爱奥尼亚学派
　　这个学派是由泰勒斯(Thales，约公元前625---前547)创建的．泰勒斯早年跟随父亲从商，由于贸易往来，有机会游访埃及、巴比伦等国家和地区，在游访期间，被当时兴旺发达的文化所吸引，萌发兴趣，开始倾心学习和研究天文、几何知识．被誉为“古希腊七贤人”之首．
　　数学与哲学联系，尤其是在古代，很多数学家都懂得一定的哲学知识，正像我国古代的数学家一般都懂得历法知识一样，泰勒斯也是一位哲学家．在他的学说里，首次对自然界进行脱离宗教的解释，他认为水是万物之源，一切都是由水形成的，一切事物的本质都依水的状态而改变．结论是，植物的生命保存在它的汁液里，因为植物干燥了就会死；动物的生命保存在血液里，甚至火焰也要吸取湿润．
　　根据现存原典史料证明，泰勒斯是古希腊的第一位天文学家．由于他准确地预言公元前585年5月28日的日食时间，使泰勒斯名声大振．据说古代两个奴隶制国家交战，5年未见胜负，泰勒斯扬言上天要制止战争，以某月某日必日食来作警告．果然到了那一天，两军正在酣战不停，突然太阳失去光辉，百鸟归巢，明星闪烁，白昼顿成黑夜．双方士兵将领大为恐惧，于是停战和好，后来两国还互通婚姻．
　　泰勒斯创建的学派---爱奥尼亚学派对数学的发展起到了很大作用，尤其对几何学的发展，起到的作用更大．有人认为泰勒斯是数学历史上第一位几何学家．
　　根据欧几里得《几何原本》第一卷的注释者普罗克洛斯记载的史料，充分说明了泰勒斯学派确立和证明了为人们所公认的第一批几何定理．这种记载源于希腊数学史家欧德莫斯(Eude－mus of Rhodes，约公元前335年)所著《几何学史》，遗憾的是这部著作已经失传．
　　根据普罗克洛斯记载，泰勒斯至少证明了如下几个命题：
　　(1)圆被任一直径所平分．[Proklus：S．275(F．157；V．139)]
　　(2)等腰三角形的两底角相等．在古代，曾把角相等称作“相似”(Similar)．[Proklus S．341(F．250；V．216)]
　　(3)两条直线相交，对顶角相等．[Proklus S．374(F．299；V．255)]
　　(4)两个三角形两角与所夹边对应相等，则两个三角形全等．有人证实泰勒斯曾利用这条定理测定海上两船间的距离．[Proklus S．409(F．352；V．300)]
　　泰勒斯是用如下简单的方法测量的：
　　假设：A，B是两条船，可望不可及．在岸上引AC垂直于AB，D是AC的中点，过C点向AB相反方向，引CE垂直于CA(使B，D，E在同一条直线上)这时，CE和AB距离相等，CE是可直接测量的．
　　根据希腊历史学家普鲁塔克(Plutarch，约46---120)的记载，泰勒斯曾应用两个等角三角形对应边成比例的定理，测出金字塔的高度．具体作法是将一根标杆竖立在平地上，利用塔影长与标杆影长的比，等于塔高与标杆高的比，来算出塔高．也有的学者说泰勒斯是根据当标杆影长和标杆长相等时，塔高与塔影也相等的道理推得的．有人认为这两种说法都有不妥之处．
　　根据有的史料记载，泰勒斯还发现了“半圆上的圆周角都是直角”的命题，但是，也有的史料指出了这个命题在巴比伦的数学中已经出现了，它与计算弦到圆心的距离有关系．而其证明应属泰勒斯．
　　从以上可以看出，泰勒斯学派并不满足于知其然，还要追求所以然的道理．他迈出了对数学命题证明的关键一步，为平面上线与角的理论奠定了基础，把科学的方法渗透于数学真理之中，载入数学史册．这标志着人们对客观事物的认识从感性上升到理性，这在数学发展史上也是一个重要飞跃．因为数学中的逻辑证明，能保证命题的正确性，使理论立于不败之地，令人深信不疑，也能揭示出各定理间的内在联系，使数学构成严密的体系．
二、毕达哥拉斯学派
　　这个学派是以贵族式的观念形态作为基础，与在当时撒摩斯岛(Samos，现土耳其西岸小岛)的古希腊民主制的观念形态，形成尖锐的对立，是具有神秘色彩的组织．领头人毕达哥拉斯(Pythagoras，约公元前572---前501)生于撒摩斯岛．关于毕达哥拉斯本人有很多传说，甚至很难判断哪些传说是符合实际的，哪些是虚构的．就连他的生卒年月也很难确定．
　　毕达哥拉斯年轻时期，游历了很多地方，特别是游访古埃及和古巴比伦等地，学习了一些数学知识，大约在公元前530年回国，开始组建学派．这个学派的主张和观念曾引起撒摩斯公民的不满情绪，毕达哥拉斯为了避开人们的舆论，只好离开自己出生的本土，逃往希腊的移民区阿佩宁半岛，并定居在克罗托那(Crotona)城，重新建立学派．由于毕达哥拉斯参与政治活动，后来被杀害．他死后，其门徒散居到希腊其他学术中心，继续传授他的教诲，达200年之久．
　　毕达哥拉斯首先研究了数学的抽象概念，希腊学者亚里士多德曾说，毕达哥拉斯学派把数看作是真实物质对象的终极组成部分．数不能离开感觉到的对象而独立存在，即早期毕达哥拉斯学派认为一切对象由(整)数组成，或者说数乃宇宙的要素．因为他们心目中的数就如同我们心目中的原子一样，把数看作是现实的本源，是严谨性和次序性的根据，是在宇宙体系里控制着天然的永恒关系，企图用数来解释一切．甚至认为万物都包含数(整数)，且万物也都是数(整数)．对周围观察到的现象，也都是用数的关系来说明．例如，当听到悦耳的音乐时，觉察到“和声”谐音，毕达哥拉斯学派认为只能用3根弦才能发出此音，其长度之比为3∶4∶6，并在很多场合，也都发现这种比例关系，立方体的面数、顶点数、棱数的比为6∶8∶12．
　　由于毕达哥拉斯学派赋予数如此重大的意义，因此，毕达哥拉斯学派非常注意研究数，也就是开始研究数的理论，研究数的性质，而注重实际的计算．
　　毕达哥拉斯学派首先使用了更加方便的记数系统，采用了腓尼基人所用的希腊字母表中的字母并增加某些腓尼基的字母来表示数．现仅举数码1---9的表示法(为了把数与字母区分开，在字母的上面画一横线)．
　　毕达哥拉斯学派还依据几何和哲学的神秘性来对“数”进行分类，按照几何图形分类，可分成“三角形数”；“正方形数”；“长方形数”；“五角形数”等等．如图3．2
　　实际上，以上各种类型的象形数，可从等差级数和导出来．
　　
　　1＋3＋5＋……＋(2n-1)=n2 (正方形数)
　　2＋4＋6＋……＋2n=n(n＋1) (长方形数)
　　
　　例如，正方形数的图形可分为小正方形和曲尺形(gnomon)，反复分割，小正方形内一点和曲尺形内点的和，即是奇数系列之和：1+3+5+……
　　毕达哥拉斯学派还把“数”分成“完全数”和“相亲数”．如果一个数除其本身外的所有因数的和等于这个数，那么这个数就叫“完全数”．例如，6是完全数，因为它的每个因数之和为6，即：6＝1＋2＋3．若两个数中每个数的因数的和等于另一个数，这两个数叫做“相亲数”．按此定义，220和284是相亲数．因为220的因数之和为：1＋2＋4＋5＋10+11+20＋22＋44＋55＋110＝284，而284的各因数之和为：1＋2＋4＋71＋142=220．毕达哥拉斯学派还声称：“谁是我的朋友，就应该像数220和284一样．”
　　毕达哥拉斯发现了著名的“勾股定理”．但是，在什么情况发现的？怎样证明的？说法不尽一致．普罗克洛斯在注释欧几里得《几何原本》第1卷题47时，说得也不明确，指出在古代历史上有各种传说，据说这个定理是毕达哥拉斯发现的，毕达哥拉斯为了庆贺自己的业绩，杀了一百头牛．普洛塔克(Plutarch，约46---120)也有类似的说法，指出毕达哥拉斯是用填加面积的方法证明“勾股定理”的．
　　在直角三角形中，二条直角边分别为a，b，斜边长为c，以a＋b为一边画正方形，这样，在此正方形中，含4个直角三角形、一个以a为边的正方形和一个以b为边的正方形，如图3．4(a)
　　另外，再画一个以a＋b为边长的正方形，如图3．4(b)经过分割，这个正方形含有4个直角三角形和1个边长为c的正方形．因为两个正方形(即(a)和(b))面积相等，各减去同样的4个直角三角形的面积，立刻得到：
a2＋b2＝c2．
　　毕达哥拉斯学派通过“勾股定理”揭示了直角三角形三边之间的关
度，其“证明方法”用现代符号可叙述为：
　　
于是根据毕达哥拉斯定理得：p2＝2q2．由于p2是偶数，p必为偶数
p既然是偶数，可设p＝2α，于是p2＝4α2=2q2．因此，q2＝2α2，这样，q2是偶数，于是q也是偶数，但q同时又是奇数，产生矛盾．
　　实际上，毕达哥拉斯学派发现“勾股定理”之后，很容易过渡到对新数---无理数的发现，但毕达哥拉斯学派认为这违背了他们的信条(世界上一切都是由整数和整数之比构成)，相传毕达哥拉斯学派成员在海上游玩，把无理数的宣传者希帕索斯(Hippa－sus，约公元前5世纪)推到波涛汹涌的大海里．希腊人称不可公度量之比为αλoγos(algos，意即不能表达)，当时，人们都在回避这种量，导致了数学史上的第一次危机．
　　毕达哥拉斯学派还研究了关于正多边形和正多面体的作图问题，尤其是首先完成了正五边形的作图，为解决正多边体的作图问题奠定了基础．毕达哥拉斯学派曾作出了当时所有可能的正多面体：具有4个等边三角形面的正四面体，具有8个等边三角形面的正八面体，由20个正三角形围成的正二十面体，由6个正四边形围成的正六面体，由12个正五边形围成的正十二面体．毕达哥拉斯学派认为这些都是“宇宙图形”，将四面体称为火；八面体称为气；二十面体称为水；六面体称为土；十二面体称为宇宙．他们认为在整个几何体中最优美的是球．
　　毕达哥拉斯学派在对数学的发现中，不断追求“美”的形式．他们认为日、月、五星都是球形，浮悬在太空中，这是最完美的立体，而圆是最完美的平面图．就是曾被誉为“巧妙的比例”，并染上各种各样瑰丽诡秘色彩的“黄金分割”也是这个学派首先认识到的．
　　综上，使我们认识到，毕达哥拉斯学派对于研究解决数学问题的方法，发挥了很大作用．他们规定在数学中必须坚持严格证明，对数学的发展具有特殊意义．
三、诡辩学派
　　“诡辩”(Sophism σóφτσμα)一词含“智慧”之意，诡辩学派也译作“哲人学派”或“智人学派”．
　　诡辩学派主要是以讲授修辞学、雄辩术、文法、逻辑、数学、天文等科为职业，也经常出入群众集会场所，发表应时的演说等，其代表人物是普洛塔哥拉斯(Protagoras，约公元前481---前411)，哥尔基亚(Gorgias，约公元前487---前380)安蒂丰(Antiphon，公元前480？---前411)等．
　　值得注意的是，数学历史中著名的“三大几何难题”的研究始于诡辩学派．“三大几何难题”虽然不能精确求解，对其研究和探索，却引出了大量的数学发现．
　　(1)倍立方问题，即求作一立方体，使其体积是一已知立方体的2倍．
　　关于这个问题的产生众说纷纭其中有一种说法是，在第罗斯(Delos)岛上，瘟疫不断蔓延，岛上的人求教于巫神，巫神告诉他们应把现有立方祭坛加倍．这就产生了“倍立方问题”，也称“第罗斯问题”．
　　这个问题，实际上是已知立方体的边长为a，求作边长为x的立方
　　诡辩学派试图利用直尺(没有刻度)和圆规作出图形，据说希腊毕达哥拉斯学派的希波克拉底(Hippokrates，约公元前470---前430)曾把倍立方问题归结为求线段a与2a之间的两个等比例中项，不妨用现代数学符号表示，设：x，y为两个比例中项，有：
　　a∶x＝x∶y＝y∶2a
　　∵a∶x=x∶y 则：x2=ay (1)
　　∵x∶y＝y∶2a 则：y2=2ax (2)
　　由(1)和(2)，消掉y，则：x4=2a3x，∴x3＝2a3即为所求．
　　虽然希波克拉底没能根据所谓“几何作图法”(只用没有刻度的直尺和圆规，分别只能画直线和圆)求出x、y，但是他把立体问题转化到平面中来解决，这种思考方法是难能可贵的，是希波克拉底的重要贡献，为后人用二个矩(直角尺)作出a与2a两个等比中项奠定了基础．
　　倍立方问题虽然不能精确求解，但希腊人对它的研究与探索，推动了数学的发现．例如，门奈赫莫斯(Menaechmus，约公元前4世纪中叶)给出了这个问题的两种解法，由此发现了圆锥曲线．下边简述门奈赫莫斯的解法：
　　① 作两条有公共顶点的、其轴互相垂直的抛物线，并且使得其中一个的正焦弦为另一个的2倍．设x表示从两条抛物线的另一个交点向较小的抛物线的轴所作垂线之长．于是，以x为边的立方体的体积等于以较小的正焦弦为边的立方体的体积的2倍．(用现代解析几何证明这种作图法是正确的．)
　　② 作一正焦弦为s的抛物线，然后作一横截轴等于4s且以抛物线之轴为其渐近线的等轴双曲线，并且过抛物线顶点作其切线．设x为从两条曲线的交点向抛物线的轴所作垂线之长，则x3＝2s3．(用现代解析几何证明这种作图法是正确的．)
　　另外，狄俄克利斯(Diocles，公元前2世纪)在解决这个问题时，发现了蔓叶线．
　　(2)任意角三等分问题
　　按希腊时期几何作图法的要求，①直尺只能做连结两点的直线之用；②圆规只能做画圆之用，不许作分度计或量长度之用．在这两个条件限制下，任意角三等分是不可能的．
　　希腊学者把任意角三等分问题归结为斜向问题，对它研究与探索，发现了蚌线等等．
　　如果没有几何作图法的限制，任意角三等分问题当然可以解决，三等分法有几十种之多，不妨举两个例子．
　　如图3．6所示，首先将直尺三等分，分点是D和E，取直尺DR过B点垂直于PQ，垂足是D．以DQ为直径，E为圆心画半圆，与BC边相切于F．△BPE是等腰三角形，BD⊥PE，∴∠PBD＝∠DBE，另外，BD和BF是从圆外一点B引出的两条切线，则∠DBE＝∠EBF．所以，∠PBD=∠DBE=∠EBF，这便将∠ABC三等分了．
　　如图3．7，在已知∠ABC的一边AB上，取一点D，引DE垂直于BC，DF平行于BC，取一直尺，上面刻上三点P，Q，R，且PQ＝QR＝DB，直尺通过点B(DE过点P，DF过点R)，由此，△PDR是直角三角形，且Q是斜边PR之中点，PQ＝DQ=RQ，∴∠DQB＝2∠BRD，又∵PQ＝QR＝DB，∴DQ＝DB，∴∠DQB＝∠DBQ．另外，DF∥BC，∴∠BRD＝∠RBC，故∠DBQ＝2∠RBC，直线BR是∠ABC的三等分线．
　　上面二种作法都能将任意角三等分，但是，已经突破了希腊时期的“初等几何作图法”的要求．
　　若用代数思想解释这两个古老问题，也是很清晰的．实际上，倍立方和任意角三等分问题，都是属于求解三次方程问题．直尺画出的直线可表示为一次方程
ax＋by＋c＝0
　　而用圆规画圆，其方程可表示为二次方程
x2+y2＋ax+by+c=0
　　仅用直线和圆构成的图形是不能求解三次方程的．因此，用初等作图法解决如上两个问题是不可能的．
　　(3)化圆为方问题．即：求作一正方形，使其面积等于一已知圆．
　　远在公元前1800年，古代埃及人就取正方形的边长等于给定圆的直 
　　希腊时期的希波克拉底(Hippocrates)成功地求出了某些特殊的由两个圆弧围成的月形面积，当然没有解决化圆为方问题，但确实解决了一个有关的问题．设ABC是一等腰三角形(图3．8)，并设它内接于中心为O的半圆，设AEB是以AB为直径的半圆．则有：半圆ABC的面积∶半圆AEB的面积E＝AC2∶AB2＝2∶1，所以，OADB的面积等于半圆AEB的面积．现在把两者的公共面积ADB去掉，则有月牙形(阴影部分)的面积等于三角形AOB的面积．
　　上边的例子说明希波克拉底从探索曲边形面积与直边形面积相等的思路，试图来解决“化圆为方”的问题．
　　希波克拉底另一个月形求积问题是，设ABCD等于以AD为直径的圆的内接正六边形的一半．作该圆与以AB为直径的半圆之间的月形．试证明：梯形ABCD的面积等于该月形面积的3倍加上以AB为直径的半圆的面积．
　　若取消作图工具的限制，“化圆为方”问题也是可以解决的．欧洲文艺复兴时代的大师达·芬奇(L．Davinci，1452---1519)曾创建用圆柱来解决化圆为方问题的巧妙方法．取一圆柱，使底和已知圆相等，高是半径之半，将这圆柱在平面上滚动一周，产生一个矩形，使矩形的形．
　　2000多年来，“三大几何难题”显现出经久不息的魅力，无数具有聪明才智的有志之士曾做出不懈的努力，都未如愿以偿．直到1637年，法国数学家笛卡儿(Descartes，1596---1650)创建解析几何，尺规作图的可能性才有了准则．1837年，数学家凡齐尔(P．L．Wantzel，1814---1848)给出了“倍立方”，“任意角三等分”不可能性的证明．1882年，数学家林德曼(F．Lindemann，1852---1939)证明π的超越性，“化圆为方问题”的不可能也得以确立．1895年，克莱因(F．Kline，1849---1925)给出了三大几何难题不可能用“初等几何作图法”解决的简单而明晰的证明，彻底解决了2000多年的悬案．
　　值得注意的是，随着人们对“几何三大难题”的研究，激发了人们对数学新概念的研究和探索，例如，对圆锥曲线，三、四次代数曲线及割圆曲线等等的发现，就是在寻求解决“几何三大难题”中应刃而生的．对数学理论的发展，也是有重要作用的．譬如，在对“化圆为方”的研究中，希腊学者安蒂丰先作圆内接正方形，将边数加倍，得内接正八边形，再加倍，得正十六边形，这样继续下去，最后的正多边形必与圆周相合．也就是多边形与圆的“差”必会“穷竭”，于是可以化圆为方了．结论虽然是错误的，但提出了一种有重要价值的“穷竭法”，它是近代极限理论的雏形．
四、厄勒亚学派
　　这个学派主要活动在厄勒亚(Elea，意大利的南um耑)地区，主要代表人物是芝诺(Zeno约公元前496---430)．他首次用量的观点揭示运动中的矛盾，提出了4个违背运动常识的悖论．芝诺提出4个悖论的目的尚需进一步探索．而其背景是，当时人们对空间和时间有两种对立的看法：一种认为空间和时间无限可分，这样，运动则是连续而平滑的；另一种认为空间和时间是由不可分的小段组成的，这样，运动则是一连串的小跳动．芝诺的悖论是针对这两种理论的，他的关于运动的4条悖论的前两条是反对第一种学说的，而后两条是反对第二种学说的．我们不妨简略地考察一下4条悖论．
　　(1)二分法说(dichotomy)：认为运动不存在，因为一个物体从A到B，首先要通过AB距离的一半，但要通过一半，必须通过一半的诺认为此物体永远不能到达B地．
　　也有人把芝诺的悖论理解为：要通过有限长度就必须通过无穷多的点，这就意味着必须到达没有终点的某种东西的终点．
　　(2)追龟说：据说在希腊有一位快走如飞的阿基里斯(A－chilles)，芝诺认为他永远追不上步履迟钝的龟．譬如说，阿基里斯以10倍的速度追逐距离他100米处爬行的龟．当阿基里斯走100米时，龟爬了10米，
米，这样永远相隔1小段距离，所以，总也追不上．
　 实际上，这个问题用极限方法可以马上得出结论．他(它)们走过何处阿基里斯能追逐到龟，可从下列式子得出：
　　
　　
　　(3)飞箭静止说：芝诺认为飞箭在任一瞬刻必在一确定位置，因而是静止的，于是，所谓运动不过是多个静止点的总和．
　　(4)运动场(Stadium)论：两组个数相同的物体沿跑道相向移动，一组从终点出发，而另一组是从中点运动，两者以相同速度移动，芝诺认为一半的时间和整个时间相等．
　　按照芝诺提出的观点，设有甲、乙、丙三排运动员，(如图3．9)，并设在单位时间内，乙排往左移动一步，而丙排则往右移动一步，于是相对于乙排而看丙排就移动了两步．因此使丙向右方移动一步所需的时间为半个单位，所以半个时间单位等于一个时间单位．
　　悖论思想不仅在运动方面存在，而且渗透到社会领域．相传在远古时期就曾产生过悖论．据说一个残忍的国王，下令不许外地人进入他的领地，否则就要处以死刑．并规定进入他的领地若说真话，要处以砍头罪，若说假话处以淹死罪．一天，一个聪明的外地农民大摇大摆地进入了他的领地，说：我是来被淹死的．守卫领土的士兵无法处刑，如果认为他说的是真话，应处以砍头罪，如果一旦执行，他的话便是假话．如果认为他说的假话，应处以淹死罪，一旦执行，他的话又变成真话．这样，使国王也束手无策，只好放走农民．这说明悖论思想充满了矛盾，需要我们认真研究与探索．
　　芝诺在描述运动中，产生了悖论思想，实际上，芝诺的认识已经接近极限观念的边缘，但他最终还是否认了运动的真实性，没能认识极限．值此，应该认识到，悖论思想给数学界以极大的影响，直到集合理论建立时，仍余波未尽．
五、柏拉图学派
　　这个学派是继诡辩学派之后兴起的．其主要代表人物是柏拉图(Plato，约公元前427---347)，他年轻时曾跟随希腊哲学家苏格拉底(Socrates，公元前468---399)学习哲学，受到逻辑思想影响，尔后成为雅典举世瞩目的大哲学家．柏拉图在雅典建立了自己的学派，对其哲学思想的产生和扩大影响具有重要意义．柏拉图从毕达哥拉斯学派吸收了许多数学观点，并运用到自己的学说中，因此，柏拉图的哲学提高了对数学科学的兴趣．他认为，不知道数学的人，不可能接受哲学知识，充分认识到了数学对研究哲学和宇宙的重要作用，并积极鼓励自己的朋友、学生学习和研究数学．据说，在他的学园门口写着：“不懂几何者不得入内．”
　　柏拉图在其著作《共和国》(Republic)中，曾强调：我们必须竭力奉劝我国未来的主人学习算术，不是像业余爱好者那样来学，而必须学到唯有靠心智才能认识数的性质那种程度；也不像商人和小贩那样，仅是为着做买卖去学，而是为了军事上的应用，为了灵魂本身去学的．(学习算术)是使灵魂从暂存过渡到真理和永存的捷径．我所说的意思是算术有伟大和崇高的作用，它迫使灵魂用抽象的数来进行推理，而厌弃在辩论中引入可见和可捉摸的对象……．
　　柏拉图学派重视数学的严谨性，在教学中，坚持准确地定义数学概念，强调清晰地阐述逻辑证明，系统地运用分析方法和推理方法；例如，在推理中，假设已知所求未知数，再以这个假设为基础，得出已知量与未知量应当存在的关系式的结论，归根到底是化为求未知量．柏拉图学派把这种方法运用到作几何图形上．
　　在柏拉图思想的影响下，希腊学者重视对数学的学习和研究，出现了一批对数学发展作出贡献的数学家．例如，欧多克索斯(Eudoxus，约公元前408---355))曾是柏拉图的学生，他创造性地排除了毕达哥拉斯学派只能适用于可通约量的算术方法，用公理法建立比例论，欧几里得《几何原本》第五卷《比例论》的大部分内容是欧多克索斯的工作成果．
　　欧多克索斯曾证明了对近代极限理论发展起重要作用的命题，例如，“取去一量之半，再取去所余之半，这样继续下去，可使所余的量小于另一任给的小量．”他也曾提出过：“对任意两个正数a，b，必存在自然数n，使得na＞b”的重要命题．(这里采用现代分析学的说法)．后来，在阿基米德的名著《论球和柱》(On the Sphere and Cylinder)中，给予了几何意义的阐述，在现代数学中，被誉为“阿基米德公理”．
　　欧多克索斯比较熟练地利用“穷举法”证明了“圆锥、棱锥的体积
棱锥体积V2，两者关系有三种可能：V1＞3V2；V1＜3V2；V1=3V2，排除前二种情况，则只有V1=3V2成立．
　　柏拉图的另一位学生亚里士多德是吕园学派的创始人和领导者，被誉为形式逻辑的鼻祖，其思想影响西方数千年，他也非常重视数学的学习和研究，他所给出的点、线、面、体的定义，广为传播．他还应用演绎逻辑的方法对许多数学问题作出了证明．
　　柏拉图学派主张科学的任务是发现自然界的结构，并把它在演绎系统里表述出来，首次提出了应该把严格推理法则系统化，从而为数学走向新的阶段起到了前导作用．
综上，我们列举了希腊时期的几个学派的工作，以此来了解这个时期数学的发展．实际上，希腊学派的建立是推动数学发展和传播的重要因素，在数学历史中，产生很大影响．可谓创建学派的师徒相传，对数学发展产生莫大的推动力．
第三节 撰写名著，始创初等数学体系
　　值此之前，希腊各学派积累了很多数学知识，但都没有形成比较完整的体系，到了亚历山大时期，希腊数学家们在柏拉图几何思想的启示下，开始将数学知识进行系统整理，使之脱离哲学而成独立学科，从用实验和观察而建立起来的经验科学，过渡为演绎的科学，把逻辑证明系统地引入数学中．完成此项具有划时代意义工作的是亚历山大前期第一个大数学家欧几里得(Eu－clid，约公元前330---前270)，他撰写名著《几何原本》(Elemen-ts)开创了数学发展的新时期，使初等数学形成了体系．
一、欧几里得《几何原本》产生的背景
　　公元前338年，马其顿的菲力蒲王征服了雅典，希腊便沦为马其顿帝国的一部分，从此，雅典处于衰败的状态．在公元前336年时，菲力蒲王去世，由其子亚历山大大帝继承王位．亚历山大大帝野心勃勃，发动了空前的侵略战争，将文明世界的大部分区域并入新兴的马其顿帝国之版图．当亚历山大大帝进入埃及后，于公元前332年建造了亚历山大里亚城，公元前323年亚历山大大帝去世后，紧接着内部混乱，军阀割据，而埃及由托勒密(Ptolemy)掌管，他是亚里士多德的学生，并从老师那里学到了治学思想，便努力发展科学文化，繁荣经济，很快使亚历山大里亚成为当时世界的文化中心和商业中心，并创建了著名的博物馆和图书馆，培育了年轻一代学者．当时，这座繁荣的城市吸引着众多的有志学者，其中两个人是最主要的人物，他们有力地推动了数学的发展．他们是欧几里得和阿基米德．
　　欧几里得的生平，现在知道的甚少，由帕波斯(Pappus，约300---350)记述，欧几里得在公元前300年左右，在托勒密王的邀请下，来到亚历山大里亚教学．人们称赞欧几里得治学精神严谨、谦虚，是一个温良敦厚的数学教育家．欧几里得在从事数学教育中，总是循循善诱地启发学生，提倡刻苦钻研，弄懂弄通，反对投机取巧、急功近利的狭隘思想．斯特比亚斯记述一个有趣的故事：“一个学生学习几何时，才开始学习完一个定理，就问老师---;欧几里得，学了之后能得到什么好处呢？欧几里得说：给他三个钱币算了，他就想得到这点利益．”
　　欧几里得在从事数学教育中，善于积累数学知识，并进行了拓宽与创新．他的巨著《几何原本》是一生中最重要的工作，这部著作的形成具有无以伦比的历史意义．他精僻地总结了人类长时期积累的数学成就，建立了数学的科学体系，为后世继续学习和研究数学提供了课题和资料，使几何学的发展充满了活的生机．这部著作长时期被人崇拜、信仰，从来没有一本教科书，象《几何原本》那样长期广为传颂．从1482年到19世纪末，欧几里得《几何原本》的印刷本竟用各种文字印刷1000版以上，在此之前，它的手抄本统御几何学也已达近1800年之久．
　　欧几里得继承和发展了前人的数学知识，《几何原本》所用到的材料大部分是希腊前期各学派创建的成果．据普罗克洛斯[Proclus，410(另一说412)---472]记载，欧几里得是柏拉图的门徒，他的著作基本沿续了柏拉图的传统思想，承袭了《共和国》中所论及的科学方法．欧几里得在《几何原本》中，发展了柏拉图的以哲学为基础，“数论、几何、音乐、天文”4科为内容的科学思想．
　　另外，欧几里得还采用了欧多克索斯等学者的一些定理，并加以完善．《几何原本》所采用的公理、定理都是经过细致斟酌、筛选而成，并按严谨的科学体系进行编排，使之系统化、理论化，超过了以前的所有著作，因此，当《几何原本》问世之后，其它诸类逐渐消声匿迹了．
　　欧几里得还曾撰写过其它的著作，据一些材料记载，主要是《光学》(Optica)；《反射光学》(Catoptrica)解决镜的反射问题；《论音乐》(Sectiocanonis)研究音乐理论；《论天文现象》(Phaenomena)，天文学的初步理论，主要解决天体运转、黄道分割等问题．
二、欧几里得《几何原本》的主要内容
　　欧几里得本人撰写的《几何原本》手稿现已无存，所以他的著作只能参考其他作者的许多修订本、评注本和简评重新整理出来．欧几里得的《几何原本》的所有英文版和拉丁文版都来源于希腊人的手稿．这些来源是亚历山大里亚城的戴恩(Theon，公元4世纪末)对欧几里得《几何原本》的修订本，戴恩修订本的抄本，戴恩讲课记录以及佩拉(F．Peyrard，1760---1822)在梵蒂冈图书馆里发现的一本希腊手稿．这本10世纪的手稿是赛翁以前出版的一本欧几里得著作手抄本．数学史家海伯格(J．L Heiberg)最早编集了《欧几里得全集》八篇，这是我们能见到的标准的《欧几里得原本》，后来，又根据海伯格的深入研究，进行各种考证，开始定本．从第一篇到第五篇，有从希腊文译成的拉丁文本，并附有详细脚注，其余各篇由达塔(Data)等学者完成．
　　在这个基础上，英国数学史家希思(T．L．Heath，1861---1940)把海伯格等校订的希腊原文翻译成英文，并附有详细的注释．对现在研究《几何原本》有重要参考价值．
　　另外，有人又把海伯格版的著作译成德文．这种德文版没有希思那样的详细注释，但是对进一步研究《几何原本》，尚有方便之处．
　　希思还用现代数学符号注释希腊古代数学书籍，撰写成：Histoy of Greek Mathematics，2 Vols，Oxford，1921．
　　希思在同一年，又撰写成：Euclid in Greek，Book I，Cambridge，1921．在此著作中，收录了《几何原本》的第一篇，并对序论做了适当的注释．
　　现在流行的《几何原本》(希思版本)，由13篇组成，将内容简要介绍如下．首先看一下欧几里得《几何原本》的基本结构，归纳成下表，会一目了然．
　　在希腊时期，公理和公设是有区别的．公理是数学各分支都承认的基本道理，公设则只是几何学中所需要的基本道理．按照希腊时期的含义，不承认公理，整个数学体系都将产生变化；不承认公设，只牵涉到几何学体系．现代学者已不再将它们区分，而统称为公理了．
　　第一篇：主要叙述全等形的一些定理、平行线、毕达哥拉斯定理、初等作图法、平行四边形等．在一些命题的证明中，显现出希腊人的聪明和才智．
　　例如命题5：等腰三角形两底角相等．
　　欧几里得延长AB到F(图3．10)，延长AC到G，使BF＝CG．于是，△AFC≌△AGB．因而，FC＝GB，∠ACF=∠ABG，且∠3＝∠4．
　　∵△CBF≌△BCG，则∠5=∠6，
　　故∠1＝∠2
　　《几何原本》中的证法比目前一些初级中学课本中的证明还好，因为后者在此就假定了角A存在角平分线．但这个存在性的证明要依靠命题5．
　　第二篇：主要阐述了几何代数法．由于希腊人不承认无理数，这就很难从数量上解决长度、面积、体积等问题，他们曾用线段来代替数．第二篇的头10个命题，揭示了一些代数恒等式的几何等价关系．尤其是命题12和命题13更引人注意．这两个命题合并在一起用现代语言叙述，即：在一个钝角(锐角)三角形中，该钝角(锐角)的对边的平方等于三角形其余两边的平方和加上(减去)这两边之一与另一边在其上的投影之积的2倍．实际上，这两个命题是毕达哥拉斯定理的推广，现在我们称之为“余弦定理”．
　　第三篇：首先给出有关图的定义，然后着手讨论弦、切线、割线、圆心角及圆周角等等．这些定理多数是现代中学几何课本中的内容．例如：
　　命题16，通过圆直径一端垂直于直径的直线全在圆外，且在这直线和圆周之间的空间内不能再插入另一直线；半圆和直径夹角大于而半圆和垂线夹角小于直线间的任何锐角．
　　此定理的新颖之处在于考察了切线与圆弧间的空间，他不仅说在这空间里不能作过切点并全部在圆外的直线，并考察了切线与圆弧的夹角．
　　第四篇：主要论述圆的内接和外切图形---三角形、正方形、正五边形和正六边形，最后一命题讲怎样在一给定圆内作正15边形．
　　第五篇：对欧多克索斯比例理论作了精彩的阐述．欧多克索斯的比例定义(即两个比相等)是很重要的，即：如果有4个量，取第一个量和第三个量的任何相等的倍数，取第二个量和第四个量的任何相等的倍数，当第一个量的倍数大于、等于或小于第二个量的倍数时，相应地有第三个量的倍数大于、等于或小于第四个量的倍数，那么我们就说，第一个量与第二个量的比等于第三个量与第四个量的比．换言之，如果a，b，c，d是4个不分正负的量，a和b为同类量(均为线段或角或面积或体积)，c和d为同类量，且对于任意正整数λ和μ，相应于λc=μd(或λc＞μd或λc＜μd)有λα=μb(或λ＞αμb或λα＜μb)则a∶b=c∶d．欧多克索斯的比例理论为数学分析实数系的建立提供了条件．
　　第六篇：将比例理论应用于平面几何．主要讨论相似形问题．还有二次方程的几何解，并对毕达哥拉斯定理作了推广．
　　第七、八、九篇总共包括102个命题，主要是初等数论的内容．定义了奇数和偶数，素数和合成数，平方数和立方数，完全数等等．
　　第七篇：命题1指出，“若在两个不等数中，每当从大数中尽可能地减去小数，再从小数中尽可能地减去所得余数，又从前一余数中尽可能地减去下一余数，如此下去，并且任何余数都不是前一余数的约数，直至达到1为止，则此两给定数互为素数”．这个命题是用归谬法证明的，从此可以得出求不是互素的两个或三个数的最大公约数的方法．第七篇其余部分讨论素数的性质．
　　第八篇：研究有关连比例数的定理．该篇指出如何在两个数之间插入若干几何中项，并证明了，如果两个数a与b之比等于另外两个数c与d之比，且a与b之间有n个几何中项，则在c与d之间也有n个几何中项．
　　第九篇：在此篇中发展了素数的理论，并且指出素数的个数是无限的．命题20：“素数比任何指定的数目都多”．欧几里得对此定理的证明，已被数学家们普遍地认为是数学的典范．此证明是用间接方法即归谬法(reductio ad absurdum)完成的．现简述为：若只有有限个素数，不妨用α，β，…，l表示，设Q＝αβ…l，则Q＋1要么是素数，要么是合数．但是，因为α，β，…，l是全部素数．而Q＋1大于α，β，…，l中的任一个数，所以不可能是素数．另一方面，若Q＋1是合数，它必定能被某素数q整除．但是q必定是全部素数α，β，…，l的集合中的一个元素，这就是说， q是Q的一个因子，结果q不能整除Q＋1，于是我们最初假设(素数只有有限个)不能成立，此定理得证．
　　在本篇命题35采用了比较巧妙的方法来求几何级数的和：如果有任意多个数连成比例，并且第二个数与最后一数都可以减去第一个数，则第二个数的增量与第一个数之比，将等于最后一数的增量与最后一数前面的所有数之和的比．例如，若级数是
　　a1，a2，a3，…，an，an+1
　　 现在，如果有任意多个数成连比例，则由于任一前项与后项之比等于所有前项的和与所有后项的和之比(第七篇命题12)，故将所有前项与所有后项相加，即得
　　
　　这个关系即可确定Sn，即a1+a2+a3+…+an．但欧几里得实际上没有用这个方法来求几何级数的和，而是用它来建立确定完全数的法则．
　　第十篇：主要讨论无理量．本篇中的16个定义可分为三类，第一类(4个定义)：主要阐述可通约量(Symmetra mege－the)，不可通约量(asymmetra de)，有理性和无理性的一般定义．第二类(6个定义)：为了表示6个和无理量，确定6个二项线段(ek du honomaton)．第三类：为了表示6个差形无理量，确定6个余线段(apotome)．应该说这一篇是欧几里得的杰作，一些数学史家认为第十篇最为完美，远非其它各篇甚至第五篇所能比拟的．
　　值得注意的是命题1，它提供了穷竭法的基础，实际上，此种方法早在欧多克索斯时已经使用过，到了欧几里得手中已经能运用自如了．命题1的含意是，取两不等量，若从大量中减去一个大于或等于它本身一半的量，再从余量中减去大于或等于这余量一半的量，并且不断重复这一程序，则最后剩下的将是一个比所取二量中较小的一个还要小的量．欧几里得的证明如下：
　　设AB与c为二给定的不等量，AB＞c．同时c的某一倍数一定会大于AB(定义4)．不妨设EF是c的倍数，则EF＞AB．将EF分成几部分，即EM，MN，NF各与c相等．从AB割去大于它本身一半的AD，再从剩下的DB割去大于本身之一半的DG，这样不断继续下去，直到AB的分段数目与EF的分段数目相等．
　　设AD，DG，GB为AB的分段，其段数与EM，MN，NF的段数相等．由于EF大于AB，并从EF已经割去了小于其一半的FN从AB已经割去了大于其一半的AD，所以剩下来的NE大于剩下来的DB．
　　由于NF＞DB，并且从NE已经割去了其一半，即MN，从DB已经割去了大于其一半的DG，由此可知剩下来的EM大于剩下来的GB．但是，EM＝c即GB＜c，亦即剩下来的量小于给定二量中较小的量．此命题得证．
　　第十一篇至第十三篇集中讨论了立体几何问题．第十一篇把平面直线和平面角的几何学推广到平面和平面所构成的角上．立体角的定义是由两个以上的平面角所包围的角，这些平面角不在同一平面内，但都是从同一点作出的．
　　第十二篇：主要应用“穷竭法”证明一些命题．穷竭法(Method of exhaustion)的“穷竭”一词起源于相继作正内接多边形“穷竭”了圆的面积．希腊人并没有用这个词，到了17世纪，人们才使用这个名词．这种方法，仅仅是走向严格极限概念的一步，但是，我们会看到这种方法是严格的．它依赖于间接证法，不含明确的极限步骤，实际上，有人认为欧几里得在面积和体积方面的工作比牛顿和莱布尼兹这方面的工作严密可靠，因后者试图建立代数方法和数系并想用极限概念．
　　命题1：圆内接相似多边形之比等于圆直径平方比．
　　命题2：圆与圆之比等于其直径平方之比．
　　欧几里得对命题2的证明步骤如下：
　　设两圆分别为ABCD和abcd；BD与bd分别是两圆直径．若圆ABCD面积：圆abcd面积≠BD2∶bd2，则BD2与bd2之比将等于圆ABCD与某一大于或小于圆abcd面积之比．
　　(1)设BD2与bd2之比等于圆ABCD与一较小面积之比，令比较小面积为S．在圆abcd内作正方形abcd，如图3．12．通过a，b，c，d作圆的切线，于是构成一圆外切正方形，并且它的面积将是正方形abcd的面积的2倍．由于圆的面积小于其外切正方形的面积，所以内接正方形的面积大于圆abcd的面积的一半．
　　现在将弧ab，bc，cd，da在e，f，g，h处平分，并连接ae，eb，bf，fc，cg，gd，dh，ha．在e点作切线，于是在ab上完成了一个长方形．此长方形是三角形abe的2倍，因为弓形aeb小于此长方形，所以，三角形abe大于弓形aeb的一半．同理，对于弓形bfc等等也是如此．若把余下的各弧，例如ae再予以平分，且把它们的中点同a和e等点连接，最后就会得到一些弓形，其面积小于圆abcd的面积与面积S之差．由第十篇命题1(即：对于两个不相等的量，若从较大量减去一个比它的一半还要大量，再从所余量减去大于其半的量，并继续重复执行这一步骤，就能使所余的一个量小于原来那个较小量)，多边形aebfcgdh就大于面积S．再在圆ABCD内作内接多边形AEBFCGDH，它与多边形aebfcgdh相似．于是多边形AEBFCGDH之面积：多边形aebfcgdh的面积=BD2∶bd2．
　　而BD2∶bd2=圆AEBFCGDH∶S，
　　所以，圆AEBFCGDH∶S=多边形 AEBFCGDH∶多边形aebfcgdh，故圆AEBFCGDH∶多边形AEBFCGDH=S∶多边形aebfcgdh．又因为圆AEBFCGDH大于其内接多边形，所以面积S大于多边形aebfcgdh之面积．由假设，它也小于多边形aebfcgdh之面积，这是不对的．
　　(2)同理可证，圆ABCD与一个大于圆abcd的面积之比，不可能等于BD2与bd2之比．
　　第十三篇：叙述了球的五种内接正多面体(即四面体、立方体、八面体、十二面体和二十面体)的作图法，实际上是要建立立体的边(棱)与球的半径之间的关系．欧几里得通过巧妙的推理得出了下列结果：
　　
　　
　　在最后的命题18，证明了正多面体不能多于5种．
三、欧几里得《几何原本》的历史意义
　　欧几里得《几何原本》是一部最早且内容丰富的数学著作，是在公理法的基础上，逻辑地创造几何学的首次尝试．
　　1．欧几里得创造性地建立了初等数学体系，采用先摆出所用公理，明确提出所用的定义，由浅入深地揭示一系列定理的方法．这样编排符合人们的认识规律，所以，一直被人们所沿用．
　　2．欧几里得在《几何原本》中，对公理的选择是很出色的，使得用一小批公理证出几百个定理，其中，有很多是深奥的，尤其对平行公理的处理更显得高明．在定理的取舍方面，他是经过认真筛选的．例如：在《几何原本》中没有列入三角形三条高交于一点(在初等数学中最一般)的定理，还有一些欧几里得其它著作中的定理，在此他也不屑一顾．
　　3．欧几里得把逻辑证明系统地引入数学中，强调逻辑证明是确立数学命题真实性的一个基本方法，从而把数学作为演绎系统建立起来，使数学从经验知识上升成为理论知识，真正意义的数学科学从此诞生，并相对独立地得到发展．
　　4．欧几里得示范地规定了几何证明的方法：分析法，综合法及归谬法．有的证明相当精练，有独道之处．
　　5．对欧几里得撰写《几何原本》的目的有不同看法，有人认为是给数学家看的学术著作，也有人说是写给学生的课本，普罗克洛斯比较相信后一种说法．确实《几何原本》对数学教育产生了极为深远的影响，两千年来，一直被公认为初等数学的基础教材．
　　当然，《几何原本》也有其不完善的地方，例如，没有逻辑依据地运用了运动的概念，认为把图形从一处移动到另一处时所有性质保持不变，等等．
　　总之，欧几里得《几何原本》的著成与传播，标志着数学进入一个新的阶段．在中国，17世纪始有《几何原本》前6卷的译本，直到19世纪中叶，才有完整的《几何原本》的译本．《几何原本》的传入，曾对中国数学和数学教育产生了深远的影响．
第四节 阿基米德对数学发展的贡献
　　阿基米德(Archimedes，公元前287---前212)是数学历史上最伟大的数学家之一，近代数学史家贝尔(E．T．Bell，1883---1960)说：“任何一张列出有史以来三个最伟大的数学家的名单中，必定包括阿基米德，另外两个通常是牛顿和高斯．不过以他们的丰功伟绩和所处的时代背景来比，拿他们影响当代和后世的深邃久远来比较，还应首推阿基米德．”阿基米德的名字在他同时代的人们中成为贤明的象征，他会用简单的方法解最难的问题．古希腊著名的作家和历史学家普鲁塔克(Plutarch，公元前1世纪)说：把这样困难的题目解决得如此简单和明白，在数学里没有听到过，假如有谁尝试一下自己解这些题目，他会什么也得不到．但是，如果他熟悉了阿基米德的解法，那么他就会立刻得出这样的印象，这个解法他自己也会找到．阿基米德用如此容易和简明的方法把我们引向目的．
　　阿基米德出生于意大利半岛南端西西里岛的叙拉古，他的父亲是天文学家，曾撰写过有关太阳和月球直径的文章．阿基米德早年在亚历山大学习，以后和亚历山大的学者一直保持联系．
　　阿基米德终生倾心对科学的研究，常常沉浸于忘我的思考之中，普鲁塔克曾写道：阿基米德废寝忘食，完全忽视关心自己的身体．经常要强迫他去洗澡，在洗澡中，擦上香油膏，然而就在这时，他用手指在自己擦上油膏的身体上画几何图形．古罗马建筑师维脱罗卫(Vitruvius，公元前2世纪)记述的阿基米德发现浮体规律的情景，令人感叹不已．有一次叙拉古的亥厄洛(Hieron)王让人制造纯金的皇冠．做成后国王怀疑是否完全用纯金制成，便请素称多能的阿基米德来鉴定．阿基米德曾长时间地思考解决的方法，正在苦闷之中，他到公共浴池洗澡，当浸入装满水的浴盆中时，水漫溢到盆外，而身体重量顿觉减轻．于是，他忽然想到不同质料的东西，虽然重量相同，但因体积不同，排去的水必不相等．根据这一道理，不仅可以判断皇冠是否掺有杂质，而且知道偷去黄金的重量．这次成功的发现使阿基米德大吃一惊，他光着身子跑出浴池，大声喊：“我找到了”．经过仔细地实验，他终于发现了流体静力学的基本原理：“阿基米德原理”---物体在液体中减轻的重量，等于排去液体的重量．
　　在阿基米德一生的最后几年中，表现出了真挚的爱国热情．他为祖国的安危献出了自己全部力量和智慧．当罗马军队首领马塞拉斯率领大军进攻叙拉古时，阿基米德发挥了自己的聪明才智，制造新的机械对抗罗马当时先进的军事设施．他制造了许多武器，做好在任何情况下击退敌人的准备．若敌人离城市很远，便用巨大的远射程投射机器，发射大量的“重炮弹”和“火箭”，击败敌人的战船．当阿基米德发觉炮弹落得太远，不能击中船只时，便使用了适合较小距离的投射机器．这样，使罗马军队胆战心惊，以致他们无力再向前推进．希腊文献记载，当罗马兵船靠近城下，阿基米德用巨大火镜反射日光使兵船焚烧．另一种说法是他用投火器，将燃烧着的东西弹出去，烧毁敌人的战船．总之，阿基米德竭尽全力，发明各种新式器械，给罗马军队以沉重的打击，为保卫祖国作出了重大贡献．后来，终因叛徒的出卖，叙拉古城失守了．一种说法是阿基米德似乎并不知道城池已破，仍沉迷于数学的深思，埋头画几何图形．当一个罗马士兵冲到他面前时，阿基米德严肃地说：“走开，不要动我的图．”罗马士兵听了，觉得受到污辱，就拔剑刺死了阿基米德．终年75岁．根据阿基米德生前遗嘱，在墓碑上刻着球内切于圆柱的图形，象征着他特别珍视的发明．
　　阿基米德在数学中做出很多贡献，他的许多著作的手稿一直保存到现在．一些数学史家都把他的原著译成现代文字．例如，希思的英译本，兹瓦利那的德译本，维尔·埃斯克(P．Ver．Ee－cke)的法译本，还有荷兰的迪克特赫斯(E．J．Dijksterhuis)的名著《阿基米德》．其著作涉及的范围很广，也说明他对前人在数学中的一切发现具有渊博的知识．保存下来的阿基米德著作多半是几何内容的著作，也有一部分力学和计算问题的著作．主要是《论球与圆柱》(On the Sphere and Cylin der)，《论抛物线求积法》(On Quadrature of the Parabola)，《圆的度量》(Measurement of a Circle)，《论螺线》(OnSpirals)，《论平板的平衡》(On Plane Equilibriums)，《论锥型体与球型体》(On Conoids Spheroids)，《砂粒计算》(The Sand Reckoner)，《论方法》(On Method)(阿基米德给厄拉托塞的书信中，关于几何学的某些定理)，《论浮体》(On Floating Bodies)，《引理》．在这些著作中的几何方面，他补充了许多关于平面曲线图形求积法和确定曲面所包围体积方面的独创研究．在这些研究中，他预见到了极微分割的概念，这个观念在17世纪的数学中起到了重要作用，其本身就是微积分的先声，但缺乏极限概念．阿基米德的求积法蕴育着积分思想的萌芽，利用这种方法，发现了定理
　
　　阿基米德研究了曲线图形求积的问题，并且用穷竭法建立了这样的结果：“任何由直线和直角圆锥体的截面所包围的弓形(即抛物线)，
　
　　下面是阿基米德的简略证明，可以揭示他的研究方法．AQ1Q4是一抛物线弓形，抛物线顶点为A(如图3．14)．Q1Q4交抛物线的轴于O点．Q1O和Q4O各在Q2和Q3处平分，作图中所示的各线段就可完成图形．现在，Q1O2＝4Q2O2＝4BC2，AO＝4AC，因此BQ2＝3AC．
　　
　　
　　
　　采用同样方法重复把Q1Q2，Q2O平分就可证明(1)式的右方加上
等．在这些线上不断这样做下去，就可证明抛物线弓形面积是
　　
　　这里△是指△AQ1O4．
　　然而阿基米德没有求极限的观念，他是用归谬法来证明他的结论的．这种证法的要点是，如果所求面积不等于给定的面积S，它就一定同时大于它又小于它．而这是不合理的，由此，推知抛物线弓形的面积等于
　　阿基米德在《圆的度量》(Measurement of acircle)一文中，利用外切与内接96边形求得圆周率π：
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
史上最早给出的关于圆周率的误差估计．
　　在进行证明时，阿基米德避免了借助无穷小量这个概念，因为这个概念一直是希腊人所怀疑的．他考虑了内接多边形和外切多边形．他确立这个基本原理的方法是说明并证明：“给定二不等量，则不论大量与小量之比如何接近1，都有可能：(1)求出两条直线，使得较长的与较短的之比更小(大于1)；(2)作一圆或扇形的相似外切多边形和内接多边形，使得外切多边形的周长或面积，与内接多边形的周长或面积之比小于给定的比”．然后就像欧几里得所做过的那样，他证明如果不断把边数加倍，最后会留下一些弓形，它们加起来比任何指定的面积都要小．阿基米德对此做了一点补充，即指出若把外切多边形的边数增加到足够多，就能使多边形的面积与圆的面积之差，小于任何给定的面积．
　　阿基米德还研究了螺线，撰写了《论螺线》一书，有人认为，从某种意义来说，这是阿基米德对数学的全部贡献中最出色的部分．许多学者都在他的作螺线切线的方法中预见到了微积分方法．值得称道的是，他用运动的观点定义数学对象，如果一条射线绕其端点匀速旋转，同时有一动点从端点开始沿射线作匀速运动，那么这个点就描出一条螺线．这种螺线后来称为“阿基米德螺线”．螺线有一个基本性质，把矢径的长度和初始线从初始位置旋转时所通过的角度联系起来．此基本性质是以命题14出现的，现在都以r＝aθ这个方程来表示之．阿基米德然后证明了，在第一个周转和初始线之间所包围的面积，亦即在矢径O与2
写道：“我认为螺线和回到原处的直线所围的面积，等于以该固定点作 有一直线在螺线的末端与螺线相切’并从固定端另作一直线垂直于旋转一周后返回到原处的直线，以致与切线相遇，我认为这样做成的与切线相遇的直线，就等于这个圆的圆周”．此即为《论螺线》一书中命题24．
　　阿基米德在《砂粒计算》(论数砂)著作中，设计出了一种表示大数的计数系统，能表示超出当时希腊计数系统所能表示的数．在阿基米德之前，希腊人的计算扩大到不超过10000，并将10000叫做无数之多．阿基米德把无数之多当作一种新的单位，把无数之多引入计算，并且提出了更高位的单位．据说阿基米德向希腊数学家们提出过一个“群牛问题”．实质上要从7个方程中，得出8个正整数解，最后归结为一个二次不定方程
　　x2－472949y2＝1，
　　这个方程的解的位数相当大．
　　《引理》(Liber Assumptorum)一书是阿基米德最早的著作，其中含有15个命题，例如：
　　命题2，如果做正方形的外接圆与内切圆，那么外接圆的面积等于内切圆面积的两倍．
　　命题3，如果在圆内作两条相交成直角的弦，那么由交点分成的4条线段的平方和等于直径的平方．
　　在《论浮体》(on Floating Bodies)一文中，阿基米德首先给出了比重比流体小的物体、相同的物体、大的物体浮力?

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