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《九章算术》中的“勾股定理”
　　《九章算术》以前虽然已经有了勾股定理，但主要是在天文方面的应用．在《九章算术》中已经用得很广，而且在勾股章一开始就先讲了勾股定理及其变形，前三个题的“勾股术曰：勾股各自乘，并而开方除之，即弦．又股自乘，以减弦自乘，其余开方除之，即勾．又勾自乘，以减弦自乘，其余开方除之，即股”．
　　如果以a、b、c各表示直角三角形的勾、股、弦．则上述三句话即相当于：
　　
　　因此，勾股术可以理解为已知直角三角形两边推求第三边的方法．
　　刘徽在注文中，曾对勾股定理用出入相补原理来论证这一定理，可惜所绘的弦图早已散失，没有能够和注文一起留传下来．
　　《九章算术》勾股章除了勾股定理及其变形的三个题以及涉及勾股容方、容圆各一题以外，其余十九个题全是应用问题．
　　例如勾股章第六题“今有池方一，葭(音jia，一种芦苇类植物)生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何．”“答曰：水深一丈二尺；葭长一丈三尺．”
　　术曰：半池方自乘，以出水一尺自乘，减之，余，倍出水除之，即得水深、加出水数，得葭长”．
　　如图所示，设池方为2a，水深为b，葭长为c，
　　
　　现代解法：设水深为x尺，则葭长为x+1，
　　按题意由勾股定理，得 52+x2=(x+1)2．
　　整理，得 2x=52-12，∴x=12．
　　两种解法相比较，可见实质解法步骤完全一致．
印度古代有著名的“莲花问题”，其中除了只有数据与《九章算术》的“葭生中央问题”不同以外，其余完全相同．但要比中国《九章算术》晚了一千多年．
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