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牛顿和莱布尼茨的微积分是不严格的，特别在使用无限小概念上的随意与混乱，这使他们的学说从一开始就受到怀疑和批评。1695年，荷兰物理学家纽汶蒂在其著作《无限小分析》中指责牛顿的流数术叙述“模糊不清”，莱布尼茨的高阶微分“缺乏根据”等。最令人震撼的抨击是来自英国哲学家、牧师伯克莱，伯克莱在1734年担任克罗因（在今爱尔兰境内）主教，同年发表小册子《分析学家，或致一位不信神的数学家》，副题中“不信神的数学家”是指曾帮助牛顿出版《原理》的哈雷（E.Haley）。伯克莱在书中认为当时的数学家们以归纳代替演绎，没有为他们的方法提供合法性证明。他集中攻击牛顿流数论中关于无限小量的混乱假设，例如在首末比方法中，为了求幂的流数，牛顿假设有一个增量，并以它去除的增量得，然后又让“消失”，得到的流数，伯克莱指出这里关于增量的假设前后矛盾，是“分明的诡辩”。他讥讽地问道：“这些消失的增量究竟是什么呢？它们既不是有限量，也不是无限小，又不是零，难道我们不能称它们为消逝量的鬼魂吗？”《分析学家》的主要矛头是牛顿的流数术，但对莱布尼茨的微积分也同样竭力非难，认为其中的正确结论，是从错误的原理出发通过“错误的抵消”而获得。
牛顿和莱布尼茨的微积分有什么异同？
相同点：
①经过两人的努力微积分不再是古希腊几何的附庸 和延伸，而是一门独立的科学，用来处理较前更 为广泛的问题。
②两人都算术化了微积分，即在代数的概念上建立微积分，其中解析几何成为重要工具。两人使用的代数符号和方法，不仅给他们提供了比几何更为有效的工具，而且还允许许多不同的几何和物理问题用同样方法处理。
③两人平分的第三个极端重要的贡献是把面积、体积及其他以前作为和来处理的问题归并到反微分（即定积分）。
因此，四个主要问题——速率、切线、最大值和最小值、求和——全部归结为微分和反微分（即定积分）。
不同点：
①牛顿把x和y 的无穷小增量作为求流数或导数的手 段。当增量越来越小的时候，流数（或导数）实际上就是增量的比的极限。莱布尼茨却直接用x和y 的无穷小增量（即微分）求出它们之间的关系。这个差别反映了牛顿的物理方向和莱布尼茨 的哲学方向。
①牛顿以微分作为基础，从考虑变化率出发解决面积和体积问题。莱布尼茨首先想到求和，得到一批求面积的公式，而后才悟出这些和可以用反微分（即定积分）计算。
③牛顿自由地使用级数表示函数，而莱布尼茨宁愿用有限形式。
在创立微积分方面，莱布尼茨与牛顿功绩相当．他们各自独立地发现了微积分基本定理，并建立起一套有效的微分和积分算法；他们都把微积分作为一种适用于一般函数的普遍方法；都把微积分从几何形式中解脱出来，采用了代数方法和记号，从而扩展了它的应用范围；都把面积、体积及以前作为和来处理的问题归结到反微分(积分)．这样，四个主要问题——速度、切线、极值、求和，便全部归结为微分和积分．
但是，如果我们认真比较一下牛顿和莱布尼茨的工作，仍会发现一些明显的不同之处．
第一，牛顿微积分的出发点是力学，他以速度为模型建立起最初的微分学；而莱布尼茨的微积分工作则是从研究和、差可逆性开始的．
第二，在积分方面，牛顿偏重于不定积分，即由给定的流数来确定流量．他把面积和体积问题当作变化率的反问题来解决．而莱布尼茨则偏重于把积分看作微分的无穷和，他把这种算法叫做“求和计算”．所以，莱布尼茨的积分主要是定积分．
第三，尽管牛顿和莱布尼茨的微积分基础都是无穷小量，但他们对无穷小的理解是不同的．莱布尼茨把无穷小理解为离散的，可分为不同层次，因此他给出高阶微分的概念及符号；实际上，他认为一阶微分是横坐标x或纵坐标y的序列的差的序列，二阶微分则是这些差的差所组成的序列．反复取差，便可得到k阶微分dkx或dky．而牛顿则认为无穷小量无层次可言，他把导数定义为增量比的极限．其结果，牛顿的极限概念比莱布尼茨清楚，但却未能进入高阶微分领域．
第四，牛顿比莱布尼茨更重视微积分的应用，但对于采用什么样的微积分符号却不大关心．莱布尼茨对于符号却是精心设计，反复改进，尽量选用能反映微积分实质的、既方便又醒目的符号．其结果，牛顿的微积分理论对科学技术的影响要大一些，但他那套以点为特征的微积分至今盛行不衰．
第五，两人的学风也不相同．牛顿比较谨慎而莱布尼茨比较大胆；牛顿注重经验而莱布尼茨富于想象．牛顿之所以迟迟不愿发表他的微积分成果，就是担心自己的理论不完善，受到别人反对；而莱布尼茨一旦取得理论上的进展就大胆推广，例如他在n是整数时得到d(xn)＝nxn－1dx后，便宣布n为分数时也适用．在发表自己的著作方面，他也比牛顿大胆．他说：“我不赞成因过分的细密而阻碍了创造的技巧．”这种学风上的差异似与两人的哲学倾向有关——牛顿强调经验而莱布尼茨强调理性．
二、《数学笔记》
从莱布尼茨的《数学笔记》可以看出，他的微积分思想来源于对和、差可逆性的研究．实际上，这一问题可追溯到他于1666年发表的论文《论组合的艺术》(De Art Combinatoria)．他在这篇文章中对数列问题进行了研究，例如，他给出自然数的平方数列
0，1，4，9，16，25，36，… (1)
又给出它的一阶差序列
1，3，5，7，9，11，… (2)
及二阶差序列
2，2，2，2，2，… (3)
莱布尼茨注意到如下几个事实：自然数列的二阶差消失而平方序列的三阶差消失；如果原数列从0开始，则一阶差的和等于原数列的最后一项；数列(2)中每项是(1)中相邻两项之差而(1)中每项是(2)中左边各项之和．这些事实对他后来发明微积分是有启发的．
1673年初，莱布尼茨已经熟悉了费马、巴罗等人的数学著作，他本人对切线问题及求积问题也有了某些研究．他在惠更斯的劝告下，开始攻读帕斯卡的著作．他发现在帕斯卡三角形(见下表)中，任何元素是上面一行左边各项之和，也是下面一行相邻两项之差．他立即同自己在1666年的工作联系起来，洞察到这种和与差之间的互逆性，正和依赖于坐标之差的切线问题及依赖于坐标之和的求积问题的互逆性相一致．所不同的只是，帕斯卡三角形和平方序列中的两元素之差是有限值，而曲线的纵坐标之差则是无穷小量．
当然，要把一个数列的求和运算与求差运算的互逆关系同微积分联系起来，必须把数列看作函数的y值，而把任何两项的差看作两个y值的差．莱布尼茨正是这样做的，他用x表示数列的项数而y表示这一项的值，用dx表示数列的相邻项的序数差而用dy表示相邻项的值的差．这时，dx显然为1．借助于数学直观，莱布尼茨把在有限序列表现出来的和与差之间的可逆关系表示成y=∫dg，符号∫表示和．例如，在莱布尼茨的平方序列中，若x＝4，则y＝(9－4)＋(4-1)＋(1-0)．莱布尼茨进一步用dx表示一般函数的相邻自变量的差，用dy表示相邻函数值的差，发者说表示曲线上相邻两点的纵坐标之差．于是，∫dy便表示所有这些差的和．这说明莱布尼茨已经把求和问题与积分联系起来了．
图11．18清楚地说明了y=∫dy的几何含义，该图出现在莱布尼茨的1673年笔记中．不过他在当时还未发明dx，dy和∫等符号，图中的l相当于dy，至于dx和∫，他当时写作a和omn(即拉丁文omnia的头三个字母)．在y＝x的条件下，莱布尼茨得到omn．l=y(即∫dy=y)．若以omn．l表示首项为0的序列的一阶差的和，则上式给出序列的最　 到1675年10月，莱布尼茨已经推导出分部积分公式，即
∫xdy=xy-∫ydx．
10月29日的笔记中，他以原来的符号(即omn，l等)记录了这一公式，但他接着便改用符号∫(sum的头一个字母s的变形)代替了omn．他明确指出：“∫意味着和，d意味着差．”11月11日，他开始采用dx表示两个相邻x值的差，用dy表示相邻y值的差，即曲线上相邻两点的纵坐标之差，莱布尼茨称其为“微差”．从此，他一直采用符号∫和dx，dy来表示积分与微分(微差)．由于这些符号十分简明，逐渐流行于世界，沿用至今．
莱布尼茨深刻认识到∫同d的互逆关系，他在10—11月的笔记中断言：作为求和过程的积分是微分的逆．这一思想的产生是莱布尼茨创立微积分的标志．实际上，他的微积分理论就是以这个被称为微积分基本定理的重要结论为出发点的．在定积分中，这一定理直接导致了牛顿—莱布尼茨公式(如前所述)的发现．
从11月11日的笔记可以看出，莱布尼茨认为dy和dx可以任意小，他在帕斯卡和巴罗工作的基础上构造出一个包含dx，dy的“特征三角形”，借以表述他的微积分理论．
如图11．19，P，Q是曲线上相邻两点，PR=dx，QR=dy，所谓特征三角形即由dx，dy和弦PQ组成的无穷小三角形PRQ．莱布尼茨认为，在这个三角形中，弦PQ也是P和Q之间的曲线及过T点的切线的一部分．他进一步认为：三角形PRQ相似于由次切线SU，T点的纵坐标及切线ST组成的三角形SUT．所以dy与dx之比有确定的意义，即：尼茨利用上述理论解决了一个确定的问题，即寻求次法线与纵坐标成反比的曲线．
在图11．19中，法线是TV而次法线是UV，设UV=p，则由三角形PRQ及TUV的相似性得到

即 pdx＝ydy． (4)

1676年11月左右，莱布尼茨在微积分基本定理的基础上给出一般的分数．从莱布尼茨的笔记可以看出，他和牛顿一样，在微积分中常常采用略去无穷小的方法．例如，为了求出曲线下的面(图11．20)，需要计算曲线下各矩形之和．他说可以忽略剩余的三角形，“因为它们同矩形相比是无穷小……，所以在我的微积分中，我用∫ydx表示面积．”
1676—1677年的数学笔记中还提出如下的微积分法则：
(1)微分中的变量代换法即链式法则(1676年)；
(2)函数的和、差、积、商的微分法则(1677年)，即
d(x±y)＝dx±dy，
d(xy)＝xdy+ydx，

(4)曲线绕x轴旋转而得到的旋转体体积公式
V=π∫y2dx(1677年)．
综上所述，莱布尼茨在发现微积分基本定理的基础上，建立起一套相当系统的微分和积分方法．他成为与牛顿同时代的另一个微积分发明者．当然，他们的成果都是独立取得的，当他们开始联系时，已经各自建立起一套具有特色的微积分理论了．
三、《新方法》
这是莱布尼茨公开发表的第一篇微积分论文，是对他的微分成果的概括．
莱布尼茨在论文中对微分给出如下定义：“横坐标x的微分dx是一个任意量，而纵坐标y的微分dy则可定义为它与dx之比等于纵坐标与次切线之比的那个量．”即
用现代标准来衡量，这个定义是相当好的，因为y与次切线之比就是切线的斜率，所以该定义与我们的导数定义一致．不过莱布尼茨没有给出严格的切线定义，他只是说“求切线就是画一条连接曲线上距离为无穷小的两点的直线．”
莱布尼茨还给出微分法则d(xn)＝nxn-1dx的证明及函数的和、差、积、商的微分法则的证明．例如，为求d(uv)(其中u，v是x的函数)，先让u变为u＋du，v变为v＋dv，于是
d(uv)＝(u＋du)(v＋dv)-uv．
而 (u＋du)(v＋dv)＝uv＋udv＋vdu＋dudv，
所以 d(uv)＝udv＋vdu+dudv．
莱布尼茨认为dudv对于udv+vdu来说是无穷小，可以舍去，从而得出
d(uv)=udv+vdu．
莱布尼茨十分注意微分法的应用，他在文章中讨论了用微分法求切线、求极大值、极小值以及求拐点的方法．他指出，当纵坐标v随x增加而增加时，dv是正的；当v减少时，dv是负的；“当v既不增加也不减少时，就不会出现这两种情况，这时v是平稳的．”所以v取得极大值或极小值的必要条件是dv＝0，这对应于水平切线．他还说明了拐点的必要条件是d(dv)＝0，即二阶微分为0．
在文章的末尾，莱布尼茨解决了一个笛卡儿未能解决的问题：求纵坐标为w的曲线，使其次切距为常数a．对于这样的曲线，有
　
莱布尼茨考虑x值的一个等差数列，其公差为dx＝b，代入(1)，得

显然，w的序列与其差的序列成正比，这正是几何级数特有的性质，所以莱布尼茨断言：如果x值构成算术序列，则w值构成几何序列．换句话说，如果w是一些数，则x是它们的对数．因此，所求的曲线是对数曲线．”
莱布尼茨充分认识到微分法的威力，他说：这种方法“可以用来解决一些最困难的、最奇妙的数学问题，如果没有我们的微分学或者类似的方法，这些问题处理起来决不会这样容易．”
1686年，莱布尼茨又在《博学学报》上发表了一篇题为“论一种深刻的几何学与不可分元分析”(De Geometria recon－dita et Analysi Indivisibilium atque Infinitorum)的论文，它与《新方法》是姊妹篇，前者以讨论微分为主而本文以讨论积分为主．文中的积分号∫是在出版物中首次出现的．莱布尼茨强调说，不能在∫下忽略乘以dx，因为积分是无穷小矩形ydx之和．他在文中用积分方法导出了摆线方程，即

他说：“这个方程完全表示出纵坐标y同横坐标x间的关系，并能由此推出摆线的一切性质．”他还通过积分来计算圆在第一象限的面积，从而得到π的一个十分漂亮的表达式(图11．22)．由分部积分公式
　
　
　
1686年以后，莱布尼茨继续研究微积分．在求曲线曲率、曲线族包络、判断级数收敛和求解微分方程方面都取得出色成果．

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