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伟大数学家欧拉对数学的贡献

研究目的
通过对伟大数学家欧拉对数学的贡献，提高数学素质，加强对数学的兴趣，了解欧拉的精神，学习欧拉的思想。
数学是一种精神，一种理性的精神。正是这种精神，激发、促进、鼓舞并驱使人类的思维得以运用到最完善的程度，亦正是这种精神，试图决定性地影响人类的物质、道德和社会生活；试图回答有关人类自身存在提出的问题；努力去理解和控制自然；尽力去探求和确立已经获得知识的最深刻的和最完美的内涵。　——克莱因《西方文化中的数学》
目录
第一部分………………………………欧拉介绍（欧拉在数学方面的成果）4页
第二部分………………………………我对欧拉的一个定理的研究7页
第三部分………………………………对欧拉贡献总结10页
第四部分………………………………过程资料（照片）11页
欧拉介绍
一．欧拉的生平
1707年出生在瑞士的巴塞尔（Basel）城，小时候他就特别喜欢数学，不满10岁就开始自学《代数学》。这本书连他的几位老师都没读过，可小欧拉却读得津津有味，遇到不懂的地方，就用笔作个记号，事后再向别人请教。13岁就进巴塞尔大学读书，这在当时是个奇迹，曾轰动了数学界。小欧拉是这所大学，也是整个瑞士大学校园里年龄最小的学生。在大学里得到当时最有名的数学家微积分权威约翰·伯努利（Johann Bernoulli，1667-1748年）的精心指导，并逐渐与其建立了深厚的友谊。约翰·伯努利后来曾这样称赞青出于蓝而胜于蓝的学生：“我介绍高等分析时，它还是个孩子，而你将他带大成人。”两年后的夏天，欧拉获得巴塞尔大学的学士学位，次年，欧拉又获得巴塞尔大学的哲学硕士学位。1725年，欧拉开始了他的数学生涯。
　　1725年约翰·伯努利的儿子丹尼尔·伯努利赴俄国，并向沙皇喀德林一世推荐了欧拉，这样，在1727年5月17日欧拉来到了彼得堡．1733年，年仅26岁的欧拉担任了彼得堡科学院数学教授．1735年，欧拉解决了一个天文学的难题（计算彗星轨道），这个问题经几个著名数学家几个月的努力才得到解决，而欧拉却用自己发明的方法，三天便完成了．然而过度的工作使他得了眼病，并且不幸右眼失明了，这时他才28岁．1741年欧拉应普鲁士彼德烈大帝的邀请，到柏林担任科学院物理数学所所长，直到1766年，后来在沙皇喀德林二世的诚恳敦聘下重回彼得堡，不料没有多久，左眼视力衰退，最后完全失明．不幸的事情接踵而来，1771年彼得堡的大火灾殃及欧拉住宅，带病而失明的64岁的欧拉被围困在大火中，虽然他被别人从火海中救了出来，但他的书房和大量研究成果全部化为灰烬了．
　　沉重的打击，仍然没有使欧拉倒下，他发誓要把损失夺回来．欧拉完全失明以后，虽然生活在黑暗中，但仍然以惊人的毅力与黑暗搏斗，凭着记忆和心算进行研究，直到逝世，竟达17年之久．
1783年9月18日，在不久前才刚计算完气球上升定律的欧拉，在兴奋中突然停止了呼吸，享年76岁。欧拉生活、工作过的三个国家：瑞士、俄国、德国，都把欧拉作为自己的数学家，为有他而感到骄傲。
二．欧拉的名言
1.如果命运是块顽石，我就化为大锤，将它砸得粉碎！
2.虽然不允许我们看透自然界本质的秘密，从而认识现象的真实原因，但仍可能发生这样的情形：一定的虚构假设足以解释许多现象。
三．欧拉的著作
《代数学入门》、《微分学原理》、《无穷分析引论》、《积分学原理》、《寻求具有某种极大或极小性质的曲线的方法》、《关于曲面上曲线的研究》、《代数学入门》…
四．欧拉解决的著名七桥问题
1七桥问题Seven Bridges Problem
18世纪著名古典数学问题之一。在哥尼斯堡的一个公园里，有七座桥将普雷格尔河中两个岛及岛与河岸连接起来(如图)。问是否可能从这四块陆地中任一块出发，恰好通过每座桥一次，再回到起点？欧拉于1736年研究并解决了此问题，他把问题归结为如左图的“一笔画”问题，证明上述走法是不可能的。
Euler把每一块陆地考虑成一个点，连接两块陆地的桥以线表示。
后来推论出此种走法是不可能的。他的论点是这样的，除了起点以外，每一次当一个人由一座桥进入一块陆地（或点）时，他（或她）同时也由另一座桥离开此点。所以每行经一点时，计算两座桥（或线），从起点离开的线与最后回到始点的线亦计算两座桥，因此每一个陆地与其他陆地连接的桥数必为偶数。
五．欧拉在数学得出的结论
1.欧拉线
欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心在欧拉线上，即三角形的重心、垂心和外心共线。他证明了在任意三角形中，以上四点共线。欧拉线上的四点中，九点圆圆心到垂心和外心的距离相等，而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。
如又图，欧拉线（图中的红线）是指过三角形的垂心（蓝）、外心（绿）、重心（黄）和欧拉圆圆心（红点）的一条直线
2.欧拉函数
φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn),其中p1, p2……pn为x的所有质因数，x是不为0的整数。φ(1)=1（唯一和1互质的数(小于等于1)就是1本身）。 (注意：每种质因数只一个。比如12=2*2*3
若n是质数p的k次幂，φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1)，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。
设n为正整数，以 φ(n)表示不超过n且与n互
素的正整数的个数，称为n的欧拉函数值，这里函数
φ：N→N，n→φ(n)称为欧拉函数。
3.欧拉定理
在数论中，欧拉定理,（也称费马-欧拉定理）是一个关于同余的性质。欧拉定理表明，若n,a为正整数，且n,a互质，则:
4.欧拉恒等式
其中e是自然指数的底，i是虚数单位，π是圆周率。
这条恒等式第一次出现于1748年欧拉在洛桑出版的书Introduction。这是复分析的欧拉公式的特例：对任何实数x，
，作代入即给出恒等式。
理查德·费曼称这恒等式为“数学最奇妙的公式”，因为它把5个最基本的数学常数简洁地连系起来。
这个等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数学联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率π，两个单位：虚数单位i和自然数的单位1，以及数学里常见的0。数学家们评价它是“上帝创造的公式”，我们只能看它而不能理解它
5.欧拉多面体
若用f表示一个正多面体的面数，e表示棱数，v表示顶点数，则有f＋v－e=2
我对欧拉的一个定理的研究
——欧拉线
莱昂哈德·欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心在欧拉线上，即三角形的重心、垂心和外心共线。他证明了在任意三角形中，以上四点共线。欧拉线上的四点中，九点圆圆心到垂心和外心的 距离相等，而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。
欧拉线是指过三角形的垂心、外心、重心和欧拉圆圆心的一条直线。
注：三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点（连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点）九点共圆，称为欧拉圆。
证明：
证法1
作△ABC的外接圆?连结并延长BO?交外接圆于点D。连结AD、CD、AH、CH、OH。作中线AM?设AM交OH于点G’
∵ BD是直径
∴ ∠BAD、∠BCD是直角
∴ AD⊥AB，DC⊥BC
∵ CH⊥AB，AH⊥BC
∴ DA//CH，DC//AH
∴ 四边形ADCH是平行四边形
∴ AH=DC
∵ M是BC的中点，O是BD的中点
∴ OM= 1/2DC
∴ OM= 1/2AH
∵ OM//AH
∴ △OMG’ ∽△HAG’
∴AG’/MG’=AH/MO=2/1
∴ G’是△ABC的重心
∴ G与G’重合
∴ O、G、H三点在同一条直线上
∴△OMG ∽△HAG,OM/AH=1/2
∴OG/HG=1/2
证法2
设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心
。联结AG并延长交BC于D, 则可知D为BC中点。
联结OD ，又因为O为外心，所以OD⊥BC。联结AH并延长交BC于E,因H为垂心,所以 AE⊥BC。所以OD//AE，有∠ODA=∠EAD。由于G为重心，则GA:GD=2:1。
联结CG并延长交BA于F,则可知F为AB中点。同理，OF//CM.所以有∠OFC=∠MCF
联结FD，有FD平行AC,且有DF:AC=1:2。FD平行AC，所以∠DFC=∠FCA，∠FDA=∠CAD，又∠OFC=∠MCF，∠ODA=∠EAD，相减可得∠OFD=∠HCA,∠ODF=∠EAC,所以有△OFD∽△HCA,所以OD:HA=DF:AC=1:2；又GA:GD=2:1所以HA:OD=GA:GD=2:1
又∠ODA=∠EAD，所以△OGD∽△HGA。所以∠OGD=∠AGH,又联结AG并延长，所以∠AGH+∠DGH=180°,所以∠OGD+∠DGH=180°。即O、G、H三点共线。
证法3
利用向量证明，简单明了
设H,G,O,分别为△ABC的垂心、重心、外心.，D为BC边上的中点。
∵向量OH=向量OA+向量AH=向量OA+2向量OD……………………………………………………………………（1）
=向量OA+向量OB+向量BD+向量OC+向量CD
=向量OA+向量OB+向量OC；
而向量OG=向量OA+向量AG
=向量OA+1/3（向量AB+向量AC）……………………………………………（2）
=1/3[向量OA+（向量OA+向量AB）+（向量OA+向量AC）]
=1/3（向量OA+向量OB+向量OC）.
∴向量OG=1/3向量OH，
∴O、G、H三点共线且OG=1/3OH。
欧拉线的应用1 ： 平面上共圆的5个点,任取其中3点组成三角形,过其重心作另外两点连线的垂线,共有10条。则这10线交于一点。
证明：设5个点对应的向量分别是z1, z2, z3, z4, z5，且它们的模相等。
因为|z1|=|z2|，所以0, z1, z2, z1+z2这四个点构成一个菱形，所以它们的对角线垂直，所以垂直于z1、z2的连线就相当于平行于z1+z2。
这样经过三角形z3, z4, z5的重心，且垂直于z1, z2连线的直线方程就是
z(t) = (z3+z4+z5)/3 + t(z1+z2)，其中t是任意实数。
取 t=1/3，就得到(z1+z2+z3+z4+z5)/3在这直线上。同理可得这点在所有这类直线上。
2：平面上共圆的5个点,任取其中3点组成三角形,过其垂心作另外两点连线的垂线,共有10条。则这10线交于一点。
3：平面上共圆的5个点,任取其中3点组成三角形,过其九点圆圆心作另外两点连线的垂线,共有10条。则这10线交于一点。
证明：第2，3个结论缘于以下事实：欧拉线上的四点中，九点圆圆心到垂心和外心的距离相等，而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。
对欧拉贡献研究总结
一．瑞士教育与研究国务秘书Charles Kleiber曾表示：“没有欧拉的众多科学发现，今天的我们将过着完全不一样的生活。”法国数学家拉普拉斯则认为：读读欧拉，他是所有人的老师。[2]2007年，为庆祝欧拉诞辰300周年，瑞士政府、中国科学院及中国教育部于2007年4月23日下午在北京的中国科学院文献情报中心共同举办纪念活动，回顾欧拉的生平、工作以及对现代生活的影响。
我认为欧拉是是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把整个数学推至物理的领域，，平均每年写出八百多页的论文，他是数学史上最多产的数学家。正因为他的惊人的记忆力与口算速度震惊世界。
“天才在于勤奋，欧拉就是这条真理的化身。”李文林表示，“很多科学家都很勤奋，而欧拉最为典型。他失明后的十多年都是在完全看不见的情况下作研究。欧拉心算能力很强，可以通过口述让别人记录。有一次欧拉的两个学生算无穷级数求和，算到第17项时两人在小数点后第50位数字上发生争执，欧拉这时进行心算，迅速给出了正确答案。”
二．通过这次对伟大数学家欧拉对数学贡献的研究，加深了自己对数学的兴趣，同时也让我学会了欧拉锲而不舍的精神。
如果命运是块顽石，我就化为大锤，将它砸得粉碎！
研究过程资料
初等数论中欧拉定理的学习
初中竞赛时学到的欧拉线
我做出的欧拉线的证法
参考文献--------
百度网页
百度知道
中国知网
第一范文网

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