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课件42张PPT。1/43集合论的进一步发展和完善1/433.2集合的运算定义：由集合A和B的所有公共元素所组成的集合，称为集合A和B的交集。记作一、相交运算例如： 设A={a,b,c,d}, B={d,f,a}, C={e,f,g}则可以看出1/43一、相交运算证明：若 则 ，对任一 ，则 且 ，即 且 ，故 ，因此 。 集合的交运算具有如下性质：1/43一、相交运算类推至多个集合的情况，集合的交运算仍满足结合律。
假设有n个集合A1,A2,…An，那么这些集合的交集可表示为：1/43二、联合运算（集合的并）定义：由集合A和B的所有元素组成的集合称为A和B的并集，记作例如 设A={a,b,c}, B={c,d,f}, C={b,e}那么可以看出1/43二、集合的并集合的并运算具有如下性质：注意：假设有n个集合A1,A2,…An，那么这些集合的并集可表示为：1/43二、集合的并1/43二、集合的并证明：对于任意的x，若
由x的任意性可知(a)成立。
同理可以证明(b)。1/43二、集合的并1/43二、集合的并1/43关于交集、并集的例子 老师讲完交集、并集的概念之后，提问学生：　　（1）设A={x│x是参加百米赛跑的同学}，B={x│x是参加跳高比赛的同学}，求A∩B．　　（2）设A={x│x是红星农场的汽车}，B={x│x是红星农场的拖拉机}，求A∪B．一学生答道：
（1）中A∩B={x│x是参加百米障碍赛的同学}．　（2）中A∪B={x│x是红星农场的联合收割机}．1/43三、差分运算（集合的补）定义：设A,B是两个集合，所有属于A而不属于B的元素组成的集合，称为A和B的差集或B对A的相对补集。记作A- B
绝对补集： B对E的相对补集叫做绝对补集，简称补集，记作~ BAB A - B1/43三、差分运算（集合的补）例：设A是小于10的素数集合，B是奇数集合，求A-B。
解：A={1,2,3,5,7} B={1,3,5,7,9}
A-B={2}1/43三、差分运算（集合的补）集合的差分运算还具有如下性质：1/43三、差分运算（集合的补）定理3.2-4：设A,B为任意两个集合，则下列关系式成立。1/43三、差分运算（集合的补）定理3.2-5：设A,B为任意两个集合，则下列关系式成立。1/43三、差分运算（集合的补）定理3.2-6：设A,B,C为任意三个集合，则下列关系式成立。证：1/43三、差分运算（集合的补）1/43四、对称差分运算定义：设A、B为任意两个集合。属于A但不属于B的所有元素和属于B 但不属于A的所有元素的并集，称为A和B的对称差集，记作 。
例如：A={1,2,3}
B={3,2,4}
则 ={1,4}1/43四、对称差分运算集合的对称差分运算满足如下性质：1/43四、对称差分运算1/43四、对称差分运算1/43四、对称差分运算上述证明结果可以通过以下文氏图清楚看出。1/433.3集合定律1/433.3集合定律1/433.3集合定律1/433.3集合定律证明: (39) 转化为假设 为假，证明
为假。
由 为假可知， 和 均 __为假，即 并且 为真，也就是
为真，使得 为假。1/433.4包含排斥原理集合的运算，可用于有限个元素的技术问题。
设A1,A2是有限集合，用|A1|,|A2|分别表示它们的基数，那么可以推出：1/433.4包含排斥原理定理3.4-1：设A1,A2是有限集合，|A1|,|A2|为其基数，则1/433.4包含排斥原理例：假设在10名青年中有5名是工人，7名是学生，其中兼具有工人与学生双重身份的青年有三名，问既不是工人又不是学生的青年有几名？ 解：设工人的集合为W，学生的集合为S，则根据题设应有： 因此既不是工人又不是学生的青年有1人1/433.4包含排斥原理包含排斥原理在三个有限集和上的推广：1/433.4包含排斥原理例：某工厂装配30辆汽车，可供选择的设备是收音机﹑空气调节器和对讲机。已知其中15辆 汽车有收音机﹑8辆有空气调节器，6辆有对讲机，而且其中有3辆这三种设备都有。我们希望知道有几辆汽车没有提供任何设备。 解：设A1，A2和A3分别表示配有收音机﹑空气调节器和对讲机的汽车集合，因此由题设知 因为得1/433.4包含排斥原理把包含排斥原理推广到n个集合。
定理3.4-2：设A1,A2,…,An为n个有限集合，它们的基数分别为|A1|,|A2|,…,|An|，可得：1/433.4包含排斥原理例：求1到250之间能被2，3，5和7中任何一个整除的整数个数。
解：设A1表示1到250之间能被2整除的整数集合，A2表示能被3整除的整数集合，A3表示能被5整除的整数集合，A4表示能被7整除的整数集合。|x| 表示小于或等于x的最大整数。1/433.4包含排斥原理于是有1/433.5多重序元与迪卡尔乘积定义：由两个具有固定次序的客体组成的序列，称序偶，记作。 一、序偶{2,3}={3,2}1/43一、序偶序偶的相等：序偶中，a称为第一元素，b称为第二元素。两个元素不一定来自同一个集合，他们可以代表不同类型的事务。 1/43二、多重序元定义：n重序元是一个序偶，它的第一元素是(n-1)重序元。
3重序元：<,z>，简单记作
n重序元：<,xn>
n重序元的相等：1/43三、迪卡尔乘积定义：设A和B是任意两个集合。若序偶的第一个元素是A的一个元素，第二个元素是B的一个元素，则所有这样的序偶集合，称为A和B的笛卡尔乘积，记作 ，即 1/43三、迪卡尔乘积可见1/43三、迪卡尔乘积定理：设有A,B,C三个集合，则1/43n个集合的迪卡尔乘积定义：集合A1,A2,…,An的笛卡尔乘积可以表示成 集合A的笛卡尔乘积 记作A2 ,类推如果所有的集合Ai都是有限集合，则他们笛卡尔乘积的基数为：

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