资源简介

《生活中的立体图形》例题讲解与变式
知识点1：生活中的立体图形
例1　请你分别举出在学校中常见的类似于下列几何体的两个实例．
长方体：
圆柱体：
圆锥体：
棱柱体：
球体：
分析　要举出实例，我们必须掌握这几种几何体的特征．如长方体是由六个面组成，至少有四个面是长方形，另两个面可能是长方形，也可能是正方形，并且长方体相对的两个面是完全相同的两个长方形式正方形．所以，我们在学校常见的装墨水瓶的纸盒，桌子上平放的教科书等．
解　长方体：装墨水瓶的纸盒，桌子上平放的教科书．
圆柱体：没有使用过的圆柱形铅笔，圆柱形水桶．
圆锥体：学校实验室里用的圆锥形漏斗的圆锥形部分，圆口形防火用桶的底部．
棱柱体：师生骑的自行车上的六角螺母，楼房中的混凝土房梁．
球体：学校的体育用品足球、乒乓球．
点评：（1）我们在把学校实验室里用的圆锥形漏斗的圆锥形部分看成圆锥时，我们是把圆锥形部分和管的接口看成了一点．（2）圆柱体和棱柱体自身的上下两个底面是完全相同的两个图形，否则就不是圆柱体或棱柱体．如上底大、下底小的圆口形水桶，就不是圆柱体．
变式练习1　在下面四个物体中，最接近圆柱的是（　　）
变式练习2 如图，上面一行是一些具体的实物图形，下面一行是一些立体图形，试用线连接立体图形和类似的实物图形．

参考答案：
C
知识点2：几何体的分类
例2　把下面几何体的标号写在相对应的括号里．
长方体：（ ） 棱柱体：（ ）
圆柱体：（ ） 球体：（ ）
圆锥体：（ ）
分析　该题就是按括号前给出的几何体的名称进行分类，属于哪类的图形就把这个图形的标号写在对应的括号中．
解　长方体：（（2）（5）（8）） 棱柱体：（（2）（4）（5）（8））
圆柱体：（（1）（3）（6）） 球体：（（7）（9））
圆锥体：（（10））
点评　（1）在判断几何体的类别时应注意抓住几何体的本质特征，不要受几何体的摆放角度所影响，如（1）（3）（6）虽然大小不一样，摆放的角度也不一样，但都是圆柱体．（2）长方体、正方体都符合棱柱体的特征，所以都是棱柱体．
变式练习1 指出如图所示的立体图形中的柱体、锥体、球．
变式练习2 观察图中的立体图形：
（1）分别写出它们的名称．
（2）请将以上几何图形分类，并说明理由．
参考答案：
1、①②⑤⑦⑧是柱体；④⑥是锥体；③是球．
2、（1）它们的名称分别是：球；六棱柱；圆锥；正方体；三棱柱；圆柱；四棱锥；长方体；
（2）分类：①球体：球．
②柱体：六棱柱，正方体，三棱柱，长方体：
③锥体：圆锥、四棱锥．
知识点3：点、线、面、体
例3 图中的立体图形是由哪个平面图形旋转后得到？请用线连起来．
分析 三角形旋转可得圆锥，长方形旋转得圆柱，半圆旋转得球，结合这些规律直接连线即可．
解 如图．
点评 熟记常见平面图形旋转可得到什么立体图形是解决本题的关键．
变式练习1 如图，各图中的阴影图形绕着直线l旋转360°，各能形成怎样的立体图形？
变式练习2 如图，第二行图形绕虚线旋转一周，便能形成第一行的某个几何体，请用线连接起来．
参考答案：
圆柱、圆锥、球．
《生活中的立体图形》学习指导
学习目标
1、在具体的情景中认识圆柱、圆锥、长方体、正方体、棱柱、球，并能用自己的语言描述它们的某些特征.
2、体会点、线、面是构成图形的基本元素，进一步认识常见几何体的某些特征.
学习重点
1、在具体的情景中认识圆柱、圆锥、长方体、正方体、棱柱、球，并能用自己的语言描述它们的某些特征.
2、体会点、线、面是构成图形的基本元素.
学习难点
1、用自己的语言准确地描述常见几何体的某些特征.
2、体会点、线、面之间的关系，知道“点动成线、线动成面、面动成体”的事实.
在学习中注意两点:①多与现实生活联系；⑵多动手制作实践或画图.
知识梳理
学习指导
知识点1：生活中的立体图形
圆柱（圆柱的侧面是曲面，底面是圆）
柱 棱柱：三棱柱、四棱柱（长方体、正方体）、五棱柱、……
（棱柱的侧面是若干个小长方形构成，底面是多边形）
生活中的立体图形 球
圆锥（圆锥的侧面是曲面，底面的圆）
（按名称分） 锥 棱锥（棱锥的侧面是若干个三角形构成，底面是多边形）
1、认清常见的几何体（圆柱、圆锥、正方体、长方体、棱柱、球），说一说生活中哪些物体的形状类似于圆柱、圆锥、正方体、长方体、棱柱、球.
2、想一想.
（1）六棱柱的顶点、侧棱、侧面和底面如下图所示，指出图中其他棱柱的顶点、侧棱、侧面和底面.

三棱柱 四棱柱 五棱柱
（2）棱柱的侧棱、底面、侧面分别有什么特点？
（3）长方体、正方体是棱柱吗？
总结得出：在棱柱中，相邻两个面的交线叫做（ ），相邻两个侧面的交线叫做（ ），棱柱的所有侧棱长都（ ），棱柱的上、下底面的形状（ ），侧面的形状都是（ ）.
认识棱柱：棱柱可以分为（ ）和（ ），直棱柱的侧面是（ ）.
（注：本书只讨论直棱柱）
3、用自己的语言描述棱柱与圆柱的相同点与不同点.
4、联系实际，找出生活中由多个几何体组成的物体.
例：
知识点2：点、线、面、体
1、（1）几何图形的组成
点：线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形.
线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线.
面：包围着体的是面，分为平面和曲面.
体：几何体也简称体.
（2）点动成线，线动成面，面动成体.
2、议一议
（1）六棱柱是有几个面围成的？圆柱是有几个面围成的？他们都是平的吗？
（2）圆柱的侧面和底面相交成几条线？他们是直的还是曲的？
（3）六棱柱有几个顶点？经过每一个顶点有几条棱？
3、想一想
（1）我们可以得到：点动成（ ），线动成（ ），（ ）动成体。
（2）你能举例说明这一结论吗？
4、说一说：圆柱可以看做由哪个平面图形旋转得到？球体呢？
观察身边的几何体，想象一下它们是由什么平面图形旋转而成的？
1.1 生活中的立体图形
新知概览：
知识要点
课标要求
中考考点
节内对应例题
节内对应习题
生活中常见几何体的基本特征及其分类
认识常见几何体的基本特征，能对这些几何体进行正确的识别和简单的分类
识别柱体、锥体、球体
试练例1，2，3；易错典例1；题型典例1，2,3,4，6；
新题精炼1，2，9，10，11，12，11
棱柱的特征
知道常见几何体的特征
求棱柱的棱数，面数
试练例4，5；题型典例7；
新题精炼3,4，7,8,9,10，12
图形的构成要素
认识点、线、面，理解“点动成线、线动成面、面动成体”
探索平面图形旋转的旋转体
试练例6；易错典例2；题型典例4，5,6； 中考典例1
新题,5,6，13，14
本节重、难点
1.重点：几何体的识别、分类．
2.难点：旋转问题及几何体顶点、棱数、面数的推导转化．
知识全解
知识点1生活中常见几何体的基本特征及其分类
知识衔接：
几何图形包括立体图形和平面图形．
1.平面图形：
数学上所说的平面没有边界，可以向四面八方无限延伸．如果一个图形的各个部分都在同一个平面内，那么这个图形是平面图形，常见的平面图形有三角形、正方形、长方形、平行四边形、梯形、圆等．
2.如图1—1—1我们学过长方体,正方体等称为立体图形，这样的几何图形上的点不都在在同一平面内．

知识详解：
（1）几何体的分类：



（2）几何体的基本特征：体是由面围成的；面有两种，平面和曲面．
①柱体的相同点是上下两个面完全相同．
不同点是圆柱的底面是圆，侧面是一个曲面，直棱柱底面是多边形，侧面都是长方形；
②锥体相同点是都有一个顶点．不同点是圆锥的底面是一个圆，侧面是一个曲面，棱锥的底面是一个多边形，侧面都是三角形；
③球体由一个曲面围成．
知识警示：
（1）立体图形是由一个或几个面围成的，如：球是有一个面围成的，而长方体是由六个面围成的，组成棱柱和棱锥的面都是平的，而组成圆锥、圆柱、球的面都是曲的．
（2）我们直研究直棱柱，不作特殊说明，棱柱都指直棱柱；
（3）长方体、正方体是棱柱；
（4）几何体的分类可按“有无顶点”、“有无曲面”等不同的标准来区分．
【试练例题1】如图1—1—2所示，请分别指出下列物体的形状分别类似于哪种几何体．
思路导引：观察实物轮廓、分析轮廓特征、抽象几何体．
解：茶叶盒类似棱柱；地球仪类似球体；魔方类似棱柱；字典类似棱柱；金字塔类似棱锥；彩笔类似棱柱．
方法：由实物的形状想象几何体是一个观察、体验、抽象的过程，解决此类问题应从实物的轮廓特征入手，抽象出几何体，进而确定是哪种几何体，即“有物悟形”、“由形命名”．
【试练例题2】如图1—1—3将下列几何体进行分类，并说明理由.

思路导引：把几何体进行分类，一定要注意根据不同的分类标准，分类情况不尽相同，切记不要混淆分类标准，分类要做到不重不漏．
解：如一类是（1）（2）（4）（5）是柱体，另一类（3）（7）是椎体，第三类（6）是球体；
或一类是（1）（4）（5）（7），有平面围成，另一类（2）（3）（6），有曲面参与围成．
方法：几何体分类，先确定分类标准，按有无曲面来分较常用，在此标准下几何体可分为多面体（围成几何体的面都是平面）和旋转体（由平面图形旋转形成，围成几何体的面有曲面）．
【试练例题3】如图1—1—4所示，陀螺是由下面哪两个几何体组合而成的（　　）

A. 长方体和圆锥 B. 长方形和三角形 C. 圆和三角形 D. 圆柱和圆锥
思路导引：根据立体图形的特征对图进行分析知：该图上部分是圆柱，下部分是圆锥．
解：D.
方法：先判断原几何体是曲面还是平面围成，再判断是否能分割为柱体、锥体还是球体.
知识点2棱柱的相关概念及特征
知识衔接：
１．在小学里我们认识了六种常见的几何体，它们分别是长方体、正方体、圆柱、圆锥和球体．
2．我们通过学习，已知道圆柱的侧面展开图是长方形．
知识详解：
（1）在棱柱里，任何相邻的两个面的交线都叫做棱，相邻两个侧面的交线交做侧棱，棱柱的所有侧棱都相等．棱柱的上、下底面是相同的图形，都是多边形，侧面都是长方形．
（2）棱柱的特征是：①有两个面互相平行；②其余各面都是平行四边形；③每相邻两个四边形的公共边互相平行．
知识警示：
一般地，n棱柱有2n个顶点，3n条棱（其中有n条是侧棱），(n+2)个面（2个底面，n个侧面）．
【试练例题4】如图1—1—5所示棱柱
（1）这个棱柱的底面是____________边形．
（2）这个棱柱有____________个侧面，侧面的形状是____________边形．
（3）侧面的个数与底面的边数____________．（填“相等”或“不相等”）
（4）这个棱柱有____________条侧棱，一共有____________条棱．
（5）如果CC′=3 cm，那么BB′=____________cm．
思路导引（１）观察图形，易知此棱柱为三棱柱；所以底面是3边形，这个棱柱有3个侧面，侧面形状是四边形；利用棱柱侧棱都相等，可求得BB′．
答案：1.（1）三 （2）3 四 （3）相等 （4）3 9 （5）3．
方法：结合图形解决棱柱的问题，知识就显得较为容易．
知识点3 棱柱的分类
知识详解：
人们通常根据底面图形的边数将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱……它们底面图形的形状分别为三角形、四边形、五边形、六边形……
知识警示：
（1）底面是n边形的棱柱称为n棱柱，长方体和正方体都是四棱柱．
（2）正方体的六个面形状、大小都相同，都是正方形，正方体的12条棱都相等．
【试练例题5】如图1—1—6请说出下面物体是哪种棱柱．
思路导引根据棱柱的分类，观察这几个棱柱的底面，分别是三角形、四边形、六边形，所以这几个物体分别是：三棱柱、四棱柱、六棱柱．
答案：三棱柱、四棱柱、六棱柱．
方法：判断棱柱的种类，我们可以看棱柱底面是几边形，即可判断其是几棱柱．
知识点4图形的构成要素
知识详解：
1.几何图形都是由点、线、面、体组成的.
(1)点是构成图形的基本元素，是线与线相交的地方，即线与线相交成点.点无大小之分，只有位置之别；
（2）线无粗细，可以有长度，它可分为直线、曲线，面与面相交成线；
（3）面无厚薄，可分为平面、曲面.平面是向四周无限延伸的.
2．用运动观点看几何基本图形之间的关系：点动成线，线动成面，面动成体.如：
流星可以看作一个点，它划破夜空，就形成了线；直升飞机的螺旋桨快速旋转形成了一个圆面，这可以说线动成面；三角板绕它的一条直角边旋转一周，形成一个圆锥体.
点动成线，线动成面，面动成体，这样就组合成了各种各样的几何图形，形成了丰富多彩的图形世界.
知识警示：
（1）线、面、体都是由点组成的，即点是构成图形的基本元素；
（2）面与面的交线可能是直线，也可能是曲线；
（3）点是最简单的几何图形.
【试练例题6】用数学的眼光去观察问题，你会发现很多图形都能看成是动静结合，舒展自如的．如图1—1—7绕虚线旋转得到的几何体是（　　）

思路导引：根据旋转及线动成面的知识可得旋转后的图形为：两边为圆锥，中间为圆柱，结合实际生活经验此题易解．
解：D.
方法：长方形绕其一边所在直线旋转一周形成了一个圆柱; 半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球;三角形形绕其一边所在直线旋转一周形成圆锥.
易错易混辨析
易错点1不能正确判断几何体的类型
【易错典例1】如图1—1—8各几何体中，柱体是第_____个．
易错总结：柱体包括棱柱和圆柱，他们的上下两个底面完全相同，部分同学因忽略柱体的这一共同特征二误认为（1）（3）是柱体而出错，正确答案是（2）（4）．
易错点2判断由平面图形旋转而成的立体图形时，出现漏解或错解
【易错典例2】?以如图1—1—9所示的三角形的边为轴旋转一周后所得到的几何体可以是右图中的_________（填序号）．
易错总结：本题是一个直角三角形围绕任意一条直角边旋转一周，部分同学可能因习惯于只绕竖直的AB旋转只选（2）或分绕直角边旋转和斜边旋转两种情况而不考虑两直角边的长短漏选（3），还可能因为绕斜边AC形成图形不熟悉而漏选（4），正确为答案应是（2）（3）（4）．
基础经典全析
题型1立体图形的识别
【题型典例1】如图1—1—10下列各几何体中，直棱柱的个数是（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
思路导引：直棱柱由上、下两个底面以及侧面组成；上下两个底面可以是全等的多边形，侧面是长方形．
抓住直棱柱侧面为长方形进行选择．
题型2常见几何体的分类
【题型典例2】如图1—1—11将下列几何体分类，(1)柱体有：_________，锥体有_______（填序号）;
(2)与众不同的一个你认为是_____,因为____________;
(3)自己制定一个标准，将下列图形分类，说明你的分类标准．
思路导引：（1）根据柱体有两个底面，锥体一个底面来区分；（2）可以从围成几何体的面数和曲、平来考虑；（3）不唯一，如有无曲面等标准．
解：（1）柱体分为圆柱和棱柱，所以柱体有：1、2、3；锥体包括棱锥与圆锥，所以锥体有5、6；
（2）球属于单独的一类；
（3）分类标准是有无曲面，因此1、3、6是一类，是有平面围成，2、4、5是一类，是有至少一个曲面参与围成．
方法：几何体的分类，一般分为柱体、锥体和球，也常按组成它们的面是否有曲面来划分，还可以按有没有顶点来划分．
题型3对棱柱的基本要素的判断
【题型典例3】?如图1—1—12是一个直七棱柱，它的底面边长都是2cm，侧棱长是5cm，观察这个棱柱，请回答下列问题：
（1）这个七棱柱共有多少个面？它们的形状分别是什么形状？哪些面的形状、面积完全相同？侧面的面积和是多少？
（2）这个七棱柱一共有多少条棱？它们的长度分别是多少？
（3）这个七棱柱一共有多少个顶点？
解：（1）这个七棱柱共有9个面，上下两个面是七边形，侧面是长方形，上下两个面的形状相同，面积相等，七个侧面的形状相同，面积相等．
要求侧面的面积和只需求出1个侧面长方形的面积，再乘以7即可．2×5×7=70(cm2)．
(2）这个七棱柱一共有21条棱，它们的侧棱长都是5cm，其余棱长都是2cm．
(3)这个七棱柱一共有14个顶点．
点拨：通过对本节内容的学习，我们一定要养成善于观察、通过求解分析寻找规律的良好习惯，只有这样，才能把所学知识融会贯通.
题型4关于点、线、面、体的认识
【题型典例4】（1）笔尖可以看作一个点，这个点在纸上运动时，形成了 ，这表明了 现象；
（2）时钟秒针旋转时，形成一个圆面，这说明了_______________，一枚硬币在光滑的桌面上快速旋转形成一个球，这说明了___________________.
思路导引：根据点、线、面之间的形成关系来解答点动成线，线动成面，面动成体.
解：（1）线，点动成线；
（2）线动成面，面动成体.
方法：点动成线，线动成面，面动成体.
综合创新探究
题型5利用点、线、面、体之间的关系探索图形的旋转问题
?【题型典例5】圆柱是由长方形绕着它的一边旋转一周所得到的，如图1—1—13下列四个平面图形绕着直线旋转一周可以得到左图的是（　　）
思路导引：由于左图是由两个圆柱组合而成，根据“圆柱是由长方形绕着它的一边旋转一周所得到的”这一规律，即可作出正确判断．
解：解：根据选项中图形的特点，
A．可以通过旋转得到两个圆柱；故本选项正确；
B．可以通过旋转得到一个圆柱，一个圆筒；故本选项错误；
C．可以通过旋转得到一个圆柱，两个圆筒；故本选项错误；
D．可以通过旋转得到三个圆柱；故本选项错误
故选A．
方法：点动成线，线动成面，面动成体．解答此类题目一要理解长方形、三角形、半圆等常见平面图形旋转所形成的几何体特征，二要熟练将几何体或平面图形分解成熟悉的几何图形．
题型6 求几何体的体积
【题型典例6】一直棱柱，其中两底面为正方形，其面积和为32；四个侧面均为长方形，其面积和为80．求此直棱柱的体积．
思路导引：根据直棱柱的底面积求出直棱柱的底面边长，再根据侧面相同与面积和求出高从而计算面积．
解：直棱柱的底面积为32÷2=16，所以底面边长是4，又因为四个侧面为相同的长方形，且面积和为80，所以每个侧面面积是20，所以高位5，所以体积是16×464．
方法：棱柱、圆柱的体积公式都是底面积乘以高．
题型7 棱柱的顶点数、面数和棱数之间的关系
【题型典例7】如图1—1—14，左面的几何体叫三棱柱，它有五个面，9条棱，6个顶点，中间和右边的几何体分别是四棱柱和五棱柱．

（1）四棱柱有_______个顶点，________条棱，_______个面；
（2）五棱柱有________个顶点，______条棱，_______个面；
（3）你能由此猜出，六棱柱、七棱柱各有几个顶点，几条棱，几个面吗？
（4）n棱柱有几个顶点，几条棱，几个面吗？
思路导引：结合已知三棱柱、四棱柱和五棱柱的特点，可知n棱柱一定有（n+2）个面，2n个顶点和3n条棱．
解：（1）四棱柱有8个顶点，12条棱，6个面；
（2）五棱柱有10个顶点，15条棱，7个面；
（3）六棱柱有12个顶点，18条棱，8个面；
七棱柱有14个顶点，21条棱，9个面；
（4）n棱柱有（n+2）个面，2n个顶点和3n条棱．
方法：常见棱柱的顶点数、面数和棱数之间的熟练关系，可以总结一般规律：n棱柱有（n+2）个面，2n个顶点和3n条棱．
备战中考
考点1探索图形的旋转问题
中考典例1将如图1—1—15所示的直角三角形绕直线l旋转一周，得到的立体图形是（　　）
思路导引：根据题意作出图形，即可进行判断．
解：B．
点拨：将直角三角形绕直角边旋转一周，可得到圆锥，绕斜边旋转一周，可得到两个圆锥的组合体
（2011?铜仁．第３题．4分）
变式练习1将图1—1—16所示的直角梯形绕直线l旋转一周，得到的立体图形是（　　）
思路导引：根据直角梯形上下底不同得到旋转一周后上下底面圆的大小也不同，进而得到旋转一周后得到的几何体的形状．
解：题中的图是一个直角梯形，上底短，下底长，绕对称轴旋转后上底形成的圆小于下底形成的圆，故选C．
新题精炼
基础巩固
1．如图1—1—17观察下列实物模型，其形状是圆柱体的是（　　）
2．下列图形中不是立体图形的是（ ）
A.圆锥 B.圆柱 C.圆 D.球
3．如图1—1—18是一个生日蛋糕盒，这个盒子有几条棱（　　）
?
? A．6条????????????? B．12条??????? C．18条???? D．24条
4．下列立体图形中，有五个面的是（　　）
A．四棱锥　 B．五棱锥　 C．四棱柱　 D．五棱柱
5．将下面的直角梯形绕直线l旋转一周，可以得到如图1—1—19立体图形的是（　　）
6．?汽车的雨刷把玻璃上的雨水刷干净属于的实际应用是（　　）
A．点动成线　 B．线动成面　 C．面动成体　 D．以上都不对
7．若一个棱柱的底面是一个七边形，则它的侧面必须有_____个长方形，它一共有_____个面,______个顶点．
8．一个棱柱有18条棱，那么它的底面一定是______边形．
9．六棱柱有_____个顶点，有_______条侧棱．
知识点1
题型2
知识点1
题型1
知识点2
题型3
知识点2
题型2
知识点3
题型4
知识点3
题型4
知识点2
题型3
知识点2题型3
知识点2题型1
10．如图1—1—20至少找出下列几何体的4个共同点.
11．（1）如图1—1—21下面这些基本图形和你很熟悉，试一试在括号里写出它们的名称．
（2）将这些几何体分类，并写出分类的理由．
如图1—1—22下面的图形表示四棱柱的是（ ）
能力提升
12．多面体是由多个平面围成的几何体，如图1—1—23下列几何体中，属于多面体的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
13．若一个直四棱柱的底面是边长为1cm的正方形，侧棱长为2cm，则这个直棱柱的体积是______________cm3．
?14．（1）探索：如果把一个多面体的顶点数记为V，棱数记
为E，面数记为F，填写下表．
知识点2
题型1
知识点1
题型2
知识点2
题型1
知识点3
题型2
知识点3
题型6
知识点3
题型7
?多面体
V?
?F
?E
V+F-E?
?四面体
?
?
?
?
?长方体
?
?
?
?
?五棱柱
?
?
?
?
（2）猜想：由上面的探究你能得到一个什么结论？
（3）验证：再找出一个多面体，数一数它有几个顶点，几条棱，几个面，看看面数、顶点数、棱数是否满足上述关系．
（4）应用（2）的结论对所有的多面体都成立，伟大的数学家欧拉证明了这个关系式，上述关系式叫做欧拉公式．根据欧拉公式，想一想会不会有一个多面体，它有10个面，30条棱，20个顶点？


新题精炼答案
基础巩固
1．D思路导引:圆柱的上下底面都是圆，所以正确的是D．
2．C思路导引: 圆是平面图形
3．C思路导引: 观察图形可知上下面的棱数都是6，侧面的棱数是6．则这个盒子的棱数为：6+6+6=18．
4．A思路导引:要明确棱柱和棱锥的组成情况，棱柱有两个底面，棱锥有一个底面．
5．B面动成体．由题目中的图示可知：此几何体是直角梯形转成圆台的条件是：绕垂直于底的腰旋转．
6．B?思路导引:汽汽车的雨刷实际上是一条线，通过运动把玻璃上的雨水刷干净，所以应是线动成面．
7．7,9,14思路导引: n棱柱有个侧面且都是长方形，有（n+2）个面，2n个顶点．
8．六思路导引: n棱柱有3n条棱，两个底面共有2n条，每个底面n条棱，即故底面有n条边．
9．7．12,6思路导引通过观察六棱柱可知，六棱柱有12个顶点、有六条侧棱．
点拨：我们知道四棱柱有8个顶点，五棱柱有10个顶点，六棱柱有四个顶点……，以此类推n棱柱有2×n个顶点．
10．思路导引: 观察图形，可以从图形的组成、侧面等回答．
解：答案不惟一，如：都由平面组成，侧面都是长方形，都有上下底面，都有侧棱等．
11．（1）针对立体图形的特征，直接填写它们的名称即可．
（2）可以按柱体、锥体和球进行分类，也可以按平面和曲面进行分类，方法不同，答案不同，只要合理即可．
解：（1）从左向右依次是：球、圆柱、圆锥、长方体、三棱柱．
（2）观察图形，按柱、锥、球划分，则有圆柱、长方体、三棱柱为柱体；圆锥为锥体；球为球体．
能力提升
12．A思路导引:根据多面体意义，没有曲面参与围成，故只有第二、四符合要求．
13．2思路导引:根据棱柱体积等于底面积乘以高代入求解即可．
14．思路导引:（1）四面体为三棱锥，顶点数为4，面数为4，棱数为6，V+F-E=2；长方体的顶点数为6，面数为8，棱数为12，V+F-E=2；五棱柱的顶点数为7，面数为10，棱数为15，V+F-E=2；（2）由（1）可得V+F-E为一个定值，恒为2；（3）例如六棱柱，有顶点数为12，面数为8，棱数为18，12+8-18=2符合上述关系；（4）10+20-30不等于2，所以不会有．
解答：（1）
?多面体
V?
?F
?E
V+F-E?
?四面体
4?
?4
?6
?2
?长方体
?6
?8
?12
2?
?五棱柱
7
?10
15?
?2
（2）V+F-E=2；
（3）例如六棱柱，有顶点数为12，面数为8，棱数为18，12+8-18=2符合上述关系，所以满足；（4）因为不满足欧拉公式，所以不可能．
立体图形的实物照片
教科书对本节课给出的一些立体图形素材，其背景绝大多数都是人为产生的，如高楼、道路、生活用品等。教学中可以补充一些大自然产生的立体和平面的图形，这样一方面把生态、环境融于数学之中，让学生在学习数学的同时受到美的熏陶；另一方面可以让学生领略数学化的思想，用数学眼光观察世界，从而通过想像的桥梁把形象思维和抽象思维的培养联结起来：

张家界风景（看到圆锥吗？） 阳朔山水（看到哪些几何体？）

宜宾兴文石海斜塔（看到哪些几何体？）英格兰巨石（看到哪些几何体？）

富士山（圆台还是圆锥？） 西藏 - 珠穆朗玛峰（棱锥似的山峰）

玉米（象圆锥吗？还是象圆台？） 西瓜（象圆球吗？）
西瓜（可以看作哪一种几何体？）
生活中的立体图形
点评
本节课由六个教学环节组成：① 情境激趣，适时点题 ② 对比观察，理解概念 ③动手实践，直观感知 ④合作交流，探究新知 ⑤ 随堂练习, 巩固质疑 ⑥ 师生交流，归纳小结。这是其中① ②的教学实况，共11分钟。
好的开头是成功的一半。教师在课的开始，结合生活实例：夏季学生最喜欢的体育运动游泳和北京2008年的奥运会游泳场馆“水立方”为背景创设问题情境，并从“水立方”中抽象出一个长方体，提出问题：这个长方体有几个面？面与面相交形成了多少条线？线与线相交形成了多少个点？（教师在屏幕上给出“水立方”的几何抽象图）从而引入课题——生活中的立体图形，并让学生说出生活中常见的几何体。这样的设计有利于激发学生求知欲，活跃课堂气氛，让学生体验把实物抽象成几何图形的一般方法,同时在解答问题的过程中获得一般性结论：面与面相交可以形成线，线与线相交可以形成点。并使教学自然过渡到下一个环节——研究点、线、面、体的相关知识。
在接下来的教学中教师同样注意到了将观察和抽象相结合，不满足对正方体和圆柱体的简单观察，而是从中抽象出一般结论：面有平面和曲面之分，线也有直线和曲线之分。
如何让学生真正理解基本几何概念，是教师讲授还是让学生亲身体验？华老师选择了后者，即让学生在生活中找到点、线、面、体的实例，并借助现有的几何模型，引导学生观察、比较，促进对概念的理解。
在学生理解点动成线、线动成面、面动成体的过程中，有必要让学生观察几何动画以能更直观的感受、认识，相应的课件可参看本光盘中的“第一章第一节《生活中的立体图形》第二课时”。
几何学起源
考古资料表明，十万年前的陶制器皿上已出现了几何图形的花纹；某些器皿、工具也都呈现了几何形状。在中国，殷代的甲骨文(至少是公元前1200年)中，已有了“规”、“矩”二字；《周髀算经》(公元前100年前后)一书中，已明确了矩(相当于直角三角形)在测量中的作用。一般认为，几何学起源于测地、航海、天文学，以及日常生活的测积（长度、面积、容积）与铺地板等等。
几何的第一个来源是测地。希腊历史学家希罗多德（Herodotus, 约公元前485～425年）认为，古埃及的尼罗河常常洪水泛滥湮没田地，几乎每年都需要重新测量土地，确定其归属。Geometry（几何学）一词就是由（Geometrein）演变而来的，其中（geo）是指土地，「metrein」是指测量。测量土地的人叫做rope-stretchers (操绳师)，因为绳子是用来帮忙测量的工具，具有精湛的测量技术与丰富的几何知识。
几何的第二个来源是航海与天文学。中外的天文观测可以追溯到公元前两千多年以前，这种对星空的观察逐渐抽象出点、线、三角形、多边形、圆、方向、角度、距离等几何概念，以及三角形的测量。据公元前六世纪巴比伦的一个文件说，他们已经能够事先计算出太阳和月亮的相对位置，有可能预测日、月食了。
几何学的第三个来源是日常生活的测积。在现存的古埃及数学的《纸草纸》书中，记载了一系列的简单平面几何图形的面积计算公式。此外，还记载有计算容积、计算土方的公式等。
所以，几何是由天文、测地、求积等需要而产生的，几何知识是来源于生产实践又用于生产实践的。
展开与折叠
【课后作业】一、P9数学理解1.
难易度：★★★
关键词：几何体的展开与折叠
答案：
（1）能（2）不能（3）能
【举一反三】
将一个立方体的盒子展开，以下各示意图中可能是它的表面展开图的是（　　）.
?
?
?
?
?
?
思路导引：由平面图形的折叠及正方体的展开图解题．
标准答案：由四棱柱四个侧面和上下两个底面的特征可知，A，B，D选项不能拼成一个正方体，而C选项可以拼成一个正方体，故选C．
展开与折叠
【课后作业】二、P9。数学理解2.
难易度：★★★
关键词：几何体的展开与折叠
答案：
（1）能（2）不能
【举一反三】
将一个正方体的表面沿它的某些棱剪开，展成一个平面图形，则下面各图中不可能是正方体的展开图的是（　　）.
?
?
?
?
思路导引：由平面图形的折叠及正方体的展开图解题．
标准答案：由四棱柱四个侧面和上下两个底面的特征可知，A，B，C选项可以拼成一个正方体，而D选项，是田字格，故不是正方体的展开图．故选D．
展开与折叠
1．底面是三角形，四边形的棱柱各有多少条棱？
2．想一想，再折一折，下面两图经过折叠能否围成棱柱？
3．将图甲（A）中的平面图形按图甲（B）所示的方法折叠，能得到什么样的空间图形？图乙（A）按图乙（B）所示的方法折叠呢？
4．如图，右图是左图表面的展开图，右图已有两个面标出是长方体的下面和右面，请你在右图中把长方体的其他面标出来。
5．请你举出利用圆柱体、长方体的表面能展开成平面图形的原理，在生产和生活中做圆柱形和长方体用品的实例。
参考答案：
1．9，12．
2．A能，B不能．
3．正方体，四棱锥（你可以用自己的语言描述这个几何体）．
4．
5．圆柱形水桶、长方体包装盒。
《图形的展开与折叠》解题思路与点评
新课程标准要求同学们对空间图形有较准确的认识和感受，具体地说，包含三个方面：（1）能用平面展开图描述出该立体图形；（2）能由立体图形画出至少一种其平面展开图，设计较简单实物的平面图纸；（3）能判断一个图形是否能围成一个立体图形.因此，切实掌握图形的展开与折叠势在必行，现解读如下：
例1.　如图1，一个多面体的展开图中，每个面内的大写字母表示该面，被剪开的棱边所注的小写字母可表示该棱.
说出这个多面体的名称；
写出所有相对的面；
若把这个展开图折叠起来成立体时，哪些被剪开的棱将会重合？
（图1）
思路：选取面X相对固定，将面R，面Y想像折起，再遮挡面Q，Z，P即成.
解答：（1）这个多面体是正方体.
（2）相对的面有三对：P与X，Q与Y，R与Z.
（3）将会重合的棱有：a与h，b与i，c与n，d与e，f与g，j与k，m与.
点评：这个问题的解决，无疑对同学们形成良好的空间观念是一个很好的锻炼.
例2.　如图2是一个多面体的表面展开图，每个面都标注了字母，请回答：如果F在前面，从左面看是B，那么哪一面会在上面？
（图2）
思路：这里有两种折法：一种向里折，一种向外折.
解答：E或C会在上面.
点评：一个平面展开图，折成立方体的方式有两种，一种向里折，一种向外折.此题往往易忽略其中一种，造成漏解.这不但培养了同学们的空间观念，而且告诫同学们思考问题要全面.
例3.　将一个正方体的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，回答下列问题：
你能设法得到图3中的平面图形吗？
（图3）
你还能得到哪些平面图形？与同伴进行交流.
图4中的图形经过折叠，能否围成一个正方体？
（图4）
思路：由于一个正方体有12条棱、6个面，将其表面展开成一个平面图形，其面与面之间相连的棱（即未剪开的棱）有5条，因此需要剪开7条棱.（1）中的两个平面图形都可由一个正方体沿着某些棱剪开展成，可在原正方体上标出上、下底面，根据需要剪开7条棱即可；（2）将一个正方体沿着某些棱剪开后，可得到很多平面图形，所以答案很多；（3）有两种途径：一是动手操作，仔细观察；二是先假定出上、下底，通过想象亲自折一折，看能否折成正方体.
解答：（1）能，其中在原正方体上标出上、下底面如图5所示.
（图5）
（2）图略，请同学们动手试一试，看谁得到的多，准.
（3）第一副图不能，第二副图能.其中第二副图先假定出上、下底面如图6所示.
（图6）
点评：此题命题意图有二：1.通过观察和动手操作，经历和体验图形的变化过程；2.考查将平面图形复原成立体图形的能力.
小试牛刀
1、有一个正方体的六个面上分别写着1，2，3，4，5，6这六个数，根据图1中A、B、C三个图中所写数字想一想“？”处的数字是什么？
2、如图2，右边四个图形折叠后，能得到左边正方体的是（　　）
3、如图3所示，是一个几何体的展开图，每个面上都标有相应的字母.
（1）如果A面在几何体的底部，上面的是哪一面？
（2）若F面在前面，从左看是B面，上面是哪一面？
（3）右看是C面，D面在后面，上面是哪一面？
参考答案
1、析解：我们知道，正方体的任何一个面都与其余的五个面中的四个面相邻、一个面相对.本题中标有“1”的面与标有“4”，“5”，“2”，“3”相邻，则标有“1”的面的对面是标有“6”的面.所以“？”处应是“6”.
2、析解：左边的正方体仅给出了三个带有标记的面，由此可知，标有①、②、③的三个面相邻；但不能确定其余三个面是否带有标记.再考虑正方体的四个展开图，选项B、C中标有①和③的两个面相对，不符合要求，由此排除B、C；选项D中标有②的面与标有①和③的两个面不相邻，也不符合要求.所以本题正确的答案为：A.
3、析解：首先确定相对面：由展开图知，标有A的面与标有F的面是相对面，标有B的面与标有D的面是相对面，那么剩下的标有C的面与标有E的面应该是相对面.所以当A面在几何体的底部时，上面的面应是F面.若F面在前面，则A面在后面；从左看是B面，则右边应该是D面；由此，可以知道上面的一面是C面.类似的，当“右看是C面，D面在后面”时，上面的一面是A面.
《截一个几何体》例题讲解与变式
例1用平面截下面的几何体，找出相应的截面形状（ ）
分析：此题为用一平面截一个圆柱，且平面与圆柱的上下底面平行，所以截面形状为圆。
答案：B
变式练习1 用平面截下面的几何体，找出相应的截面形状（ ）
变式练习2 用平面截下面的几何体，找出相应的截面形状（ ）
参考答案：
C
A
例2 用一个平面去截一个几何体，截面可能都是圆的几何体是（　　）
A．圆锥、棱柱 B．球、棱柱
C．球、正方体 D．球、圆锥、圆柱
分析：根据圆柱、正方体、棱柱、球、圆锥、长方体的形状特点：如果截面的形状是圆，那么原来的几何体有可能是圆锥、圆柱、球体，由此判断即可．
解：A、B中棱柱截面一定不是圆，此选项错误；
C、正方体截面一定不是圆，此选项错误；
D、球、圆锥、圆柱都有曲面，所以截面可能都是圆．
故选：D．
点评：此题考查用一个平面去截一个几何体；一般的，截面与几何体的几个面相交，就得到几条交线，截面与平面相交就得到几边形；截面与曲面相交，得到曲线，截面是圆或不规则图形．
变式练习1 用一个平面去截一个几何体，如果截面是一个三角形，那么这个几何体不可能是（　　）
A．圆柱 B．圆锥 C．长方体 D．正方体
变式练习2 用一个平面去截一个几何体，截面形状有圆、三角形，那么这个几何体可能是
变式练习3 （1）如果用一个平面去截一个几何体，如果截面是圆，那么原来的几何体可能是什么？
（2）如果用一个平面去截一个几何体，如果截面是三角形，那么原来的几何体可能是是什么？
参考答案
1、A
2、圆锥
3、解：（1）如图所示，用平面去截球体，圆锥、圆柱等一些几何体，都可能使截面是圆。


（2）如图所示，用平面去截三棱锥、四棱锥、三棱柱，四棱柱、圆锥等一些几何体，都可能使截面是一个三角形。
《截一个几何体》学习指导
学习目标：
能够识别一些几何体截面的形状。
学习重点：
1、能够识别一些几何体截面的形状。
2、经历切截一个几何体，培养空间想象能力。
学习难点：
体会几何体在切截过程中的变化，在面与体的转换中丰富数学活动经验，发展空间观念。
学习指导
知识点1 截面：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面。
截一个正方体：用一个平面去截一个正方体，截出的面可能是三角形，四边形，五边形，六边形。

可能出现的：锐角三角型、等边、等腰三角形， 正方形、矩形、非矩形的平行四边形、 非等腰梯形、 等腰梯形、五边形、六边形、正六边形。
不可能出现：钝角三角形、直角三角形、直角梯形、正五边形、七边形或更多边形。
1、截面：________________________________
2、用一个平面去截正方体，截面可能出现那几种情况？
_____ ______ ________ _______ ________ ________
知识点2 截其他的立体图形：利用手中的教具与同伴共同探究用一个平面去截长方体、球体、圆柱体、圆锥体看截面的形状并完成下表：
几何体名称
截面形状
长方体
球体
圆柱体
圆锥体
试一试：
1、下图中的截面形状分别是什么？
（1） （2）
2、用一个平面去截一个几何体，截面形状有圆、三角形，那么这个几何体可能是_________。
3、用一个平面去截下面的几何体，能截出三角形截面的几何体有 ，能截出四边形截面的几何体有 ，能截出五边形截面的几何体有 ，能截出圆截面的几何体有 。

截一个几何体
在学习过程中，应主动观察、动手操作、大胆猜想、多与同学进行交流自己的看法。寻找一些土豆、萝卜之类的材料动手切截验证，是值得坚持的教学方法。
教师在教学中更要注重多媒体教学手段的应用，在实际操作之后尽量利用计算机让学生观看各种几何体的切截情况，通过动画课件进行探究活动。从目前来看，“Z+Z智能教育平台”立体几何软件是最易操作的，特别是具有交互性，可以现场制作并演示让学生体会在电脑上完成用一个平面对正方体无限次切截的过程，以弥补实物操作中只能进行有限次切截的不足，从中体验CT“切截”的意义，同时利用动画效果，可以从不同的角度来观察截面与几何体的情况，有利于学生发现截面的产生和变化规律，有利于提高学生探索问题、解决问题的能力．
截一个几何体
一、思维训练
1.用一个平面去截一个正方体.
(1)截面会是五边形吗?
(2) 截面会是六边形吗?
(3) 截面会是七边形吗?
讨论一下,这是为什么?有什么规律?
2. 用一个平面去截一个正四面体. 讨论一下,截面会出现什么情况?
3. 用一个平面去截一个圆柱体和圆锥体. 讨论一下,截面会出现什么情况?
4. 你能说说,用一个平面去截一个球体,为什么截面终是圆吗?
二、基础训练
1.如图，正方体的棱长为cm，用经过、、三点的平面截这个正方体，所得截面的周长是　　　　　　　cm ．
答案：6
2.已知圆柱的侧面积为10，则它的轴截面面积为（　　）
Ａ．　5　　　　Ｂ．　10　　　　　Ｃ．　12　　　　　　Ｄ．20
答案：Ｂ
3.圆锥的轴截面是（ ）
A．等腰三角形 B．矩形 C．圆 D．弓形
答案：A
4.用一个垂直于长方体底面的平面去截如图的长方体，截面应为(　　)
答案：B
5.如图，一平面经过圆锥的顶点截圆锥所得到的截面形状是（ ）
答案：B

1.3截一个几何体
易错易混辨析
易错点1：在切截的过程中，不注意切截方向，导致截面形状判断错误
【易错典例1】如图1-3-7，用一个垂直于长方体底面的平面去截长方体，截面应为（ ）
解：因为垂直于长方体底面的截面，经过长方体四个侧面，长方体中，对边平行，故可确定为平行四边形，交点垂直于底边，故为长方形．故选B．
易错总结：判断被截物体截面的形状，要特别注意切截的方向，不同的切截方向所产生的截面的形状有可能是不同的．
易错点2：立体观念不强，用平面截一个几何体时，分类讨论不全面
【易错典例2】用一个平面去截一个正方体，截得的多边形从边数来看，可能有哪些结果？请画出这些结果．
解：如图1-3-8（注意：看不见的线要画成虚线）．
易错总结：(1)用一个平面去截一个正方体，所得的多边形有多种情况，需分类讨论，且不可遗漏.(2)当平面截过同一顶点的三个面时，截得三角形，且这样的三角形肯定是锐角三角形.平面截正方体所得的四边形可能是平行四边形，也可能是梯形，但不可能是没有一对对边平行的四边形.平面截正方体所得的多边形至多为六边形，且每条边正好是平面与正方体的六个面相交所得.
1.3截一个几何体
新知概览：
知识要点
课标要求
中考考点
用平面去截几何体所得截面的形状
探索并理解几何体的截面形状。
截面的定义（掌握）
几种常见几何体的截面
掌握几种常见几何体的截面。
判断一个几何体的截面(应用)
本节重、难点
1.重点：截面的定义和形状．
2.难点：利用截面解决实际问题．
知识全解
知识点1截面
（1）截面的概念：用一个平面去截几何体，截出的面叫做截面．
（2）正方体的截面：根据面与面相交可以得到线可知用一个平面去截正方体的三个面，得到的截面是三角形.如果用一个平面去截正方体的四个面，就能得到四边形，除能得到正方形、长方形这样的四边形外，还能得到其他的四边形，如梯形、平行四边形等.
知识警示：
（1）正方体总共有六个面，用一个平面去截最多只能得到六条交线，从而截面的边数最多只能是六，还可以得到五，但不可能截得七边形.
（2）一般地，截面与几何体的几个面相交就得到几条交线，截面就是几边形.因此，若一个几何体有n个面，则截面最多的边数是n．
知识拓展
正方体的截面主要有三角形、四边形、五边形和六边形，如图1-3-1所示.
【试练例题1 】如图1-3-2所示的一块长方体木头，想象沿虚线所示位置截下去所得到的截面图形是（ ）
思路导引：首先根据两组对边平行，可确定为平行四边形；又有一角为直角，故截面图形是长方形．答案：B.长方体的截面，经过长方体四个侧面，长方体中，对边平行，故可确定为平行四边形，交点垂直于底边，故为长方形．
知识方法：
截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．对于这类题，最好是动手动脑相结合，亲自动手做一做，从中学会分析和归纳的思想方法．
知识点2几种常见几何体的截面
（1）如图1-3-3所示，用平面截圆柱体，可能出现以下的几种情况．
（2）如图1-3-4所示，用平面去截一个圆锥，能截出圆和三角形两种截面．
（3）如图1-3-5所示,用平面去截球体，只能出现一种形状的截面---圆.
知识警示：
用一个平面去截一个圆柱所得到的截面有圆、长方形、椭圆、拱形形状和梯形.
用一个平面去截圆锥，可得到圆、三角形、拱形形状和椭圆.
【试练例题2】如图1-3-6中几何体的斜截面形状是（ ）
思路导引：几何体是一个圆柱体，用一个平面斜截它，得到的截面应该是类似拱形的图形．
答案C 用一个平面去截一个圆柱体，过平行于上下底面的面去截可得到圆；圆柱体的轴截面是矩形；过侧面且不平行于上下底面的面去截可得到椭圆；过一底面不平行于另一底面的面去截可得到类似拱形的截面．
方法：平面与平面相交得直线，平面与曲面相交可能得到直线，也可能得到曲线．
课堂引入案例
通过栩栩如生的多媒体图片展现上面的问题情境，一下子使学生“身临其境”，紧紧抓住了学生的注意力.而他们能否走出森林，悬念般扣人心弦，使得所有同学在上课伊始便自然地融入教师创设的教学情境，经历“担忧小明小华能否平安走出森林”的情感体验.
通过学生的讨论和教师的适时点拨，学生可以借助树木年轮来确定方向，这样既丰富了学生的科普知识，又让学生在解决问题的过程中“自然”地接触到“截面”，从而增强学生对于截面学习必要性的认识.事实上，现实生活中截面应用的例子还有很多，如地质剖面、CT等。
1.3截一个几何体
基础经典全析
题型1截正方体问题
【题型典例1】如图1-3-9，用一个平面去截一个正方体，截面相同的是（ ）
A.①与② B.③与④ C.①与③④ D.①与②，③与④
思路导引：据图形可知①②都是截面与正方体的面平行，而③④的截面都是长为正方体的一个面的对角线的长，宽为正方体的棱长的长方形．
答案：由图形可知截面相同的是①与②，③与④．故选D．
方法：正方体截面的形状与截面的角度和方向有关，要认真观察和思考，这里最好是动手切截．
题型2截圆柱问题
【题型典例2】如图1-3-10，圆柱体被一个平面所截，其截面的形状不可能的是（ ）
思路导引：根据从不同角度截得几何体的形状判断出正确选项．
答案：当截面与轴截面平行时，得到的形状为长方形；当截面与轴截面斜交时，得到的截面的形状是椭圆；当截面与轴截面垂直时，得到的截面形状是圆；所以截面的形状不可能是A．故选A．
方法：可从截面与轴截面的不同位置关系得到截面的不同形状．
题型3截圆锥问题
【题型典例3】如图1-3-11，一平面经过圆锥的顶点截圆锥所得到的截面形状是（ ）
思路导引：经过圆锥顶点的平面与圆锥的侧面和底面截得的都是一条线，由图可知经过圆锥顶点的平面截圆锥所得的截面应该是个等腰三角形．
答案：经过圆锥顶点的平面与圆锥的侧面和底面截得的都是一条线，由图可知经过圆锥顶点的平面截圆锥所得的截面应该是个等腰三角形，故选B．
方法：判断几何体的截面，关键要理解面与面相交得到线．
题型4由截面判断几何体的形状
【题型典例4】用一个平面截一个几何体，所截出的面出现了如图1-3-12所示的四种形式，试猜想，该几何体可能是 .
思路导引：根据当截面的角度和方向不同时，截面不相同可判断几何体的形状．
答案：圆柱．平面倾斜竖截圆柱侧面和底面截圆柱截得到图①；平面倾斜圆柱底面截圆柱截得到椭圆；平面竖截圆柱得到长方形；平面平行圆柱底面截圆柱可以得到一个圆．故该几何体可能是圆柱．
方法：由截面①②④可以推断几何体不是多面体，可能是圆柱、圆锥或圆台，由截面③可以推断该几何体可能是圆柱．
综合创新探究
题型5判断截后剩余图形的顶点数、棱数、面数
【题型典例5】如图1-3-13，一正方体截去一角后，剩下的几何体有____个面，____条棱（ ）
A．6，14 B.7，14 C.7，15 D.6，15
思路导引：由图可知：截取一角后，剩下的几何体多了一个面，多了3条棱，即可求得．
答案：截取一角后，剩下的几何体多了一个面，多了3条棱，即剩下的几何体由7个面，15条棱，故选C．
方法：本题结合截面来判断多面体的顶点数、棱数、面数，这里一般可利用欧拉公式．
题型６复杂的正方体的切截问题
【题型典例６】如图1-3-14，是正方体被分割后的一部分，它的另一部分是（ ）
思路导引：解答此类问题要从正方体分割后的一部分入手来观察分析，我们会发现截口呈“F”形，因此只要在四个选项中寻找相应的“F”即可．
答案：B
方法：解决正方体的切截问题，应利用认知的角度来感知三维世界的“空间”，最好是动手制作切截模型来验证.
题型7截面知识在生产、生活中的应用
【题型典例7】某车间要切割一些外形是长方体的物体，但该种物体的内部构造不详．于是工人师傅决定用一组水平的平面切截这个物体，得到了一组（自下而上）的截面，截面形状如图所示1-3-15，这个长方体的内部构造可能是什么？
思路导引：通过观察可以发现：在正方体内部的圆自下而上由大圆逐渐变成小圆和点．
答案：这个长方体的内部构造为：长方体中间有一圆锥状空洞．
方法：由截面形状去想象几何体与给一个几何体想象它的截面是一个互逆的思维过程，要根据所给截面形状仔细分析，展开想象．
备战中考
用一个平面去截一个几何体后判断截面的形状是本节的考点，但中考中考查的量不大，主要目的是考查同学们的空间想象能力，题型一般以填空题、选择题为主，分值为3~6分，难度较小.
考法1几何体的切截问题
中考典例1用一个平面去截一个几何体，不能截得三角形截面的几何体是（ ）
A.圆柱 B.圆锥 C.三棱柱 D.正方形
思路导引：看所给选项的截面能否得到三角形即可．
答案：A选项中圆柱的截面可能是圆，长方形，符合题意；B选项中圆锥的截面可能是圆，三角形，不符合题意；C选项中三棱柱的截面可能是三角形，长方形，不符合题意；D选项中正方体的截面可能是三角形，或四边形，或五边形，或六边形，不符合题意.故选A．
点拨：本题考查常见几何体的截面的形状，注意正方体的截面经过几个面就可得到几边形．
变式练习1用平面去截下列几何体，截面的形状不可能是圆的几何体是（ ）
A．球 B.圆锥 C.圆柱 D.正方体
思路导引： 根据圆锥、圆柱、球、正方体的形状特点判断即可．
答案:正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形．故选D．
“三视图”考点汇总
由于近年来中考越来越注重能力的考查，因而几何体的三视图成为考试的一个热点，这类题不仅考查了同学们的空间想象能力，同时更注重动手操作能力的考查．现对考点归纳如下，供同学们参考．
一、由几何体，识别其视图
例1（泰州市）下图是由几个相同的小正方体搭成的一个几何体,它的俯视图是（ ）
析解：这道题主要考查的是由几何体来识别其视图．从上面看，共有2行，第一行只能看到3个小正方体，第二行2个小正方体，所以俯视图是D，故应选D．
点评：我们从正面、上面和侧面（左面或右面）三个不同方向观察同一物体，描绘三次所看到的图，即为三视图．从正面看到的图形叫做主视图；从左边看到的图形叫做左视图；从上面看到的图形叫做俯视图．
二、由视图，确定几何体
例2（眉山市）一个物体的三视图如图所示，该物体是（ ）
A．圆柱 B．圆锥
C．棱锥 D．棱柱
析解：由正（主）视图可知，此几何体是锥体，可排除A、D；再结合俯视图和左视图可知，此几何体是圆锥，故应选B．
点评：由三视图确定几何体的形状要借助三个视图进行综合分析、想象，同时合理的猜想、结合生活经验进行估测也非常重要．
三、由视图，确定小立方块个数
例3（成都市）右图是由一些完全相同的小立方块搭成的几何体的三种视图，那么搭成这个几何体所用的小立方块的个数是（ ）
A．5个 B．6个
C．7个 D．8个
析解：观察主视图，从左到右每列中小立方块的个数依次为1、2、2；将数字填入俯视图中从左到右的每列小正方形中（每个小正方形中左边的数字）；观察左视图，从左到右每行小立方块的个数依次为1、2、1，将数字填入俯视图中从上到下的每行小正方形中（每个小正方形中右边的数字）；取图中每个小正方形中一对数字中较小的一个数（两数相等则任取一个），于是可求得搭成的几何体所用的小立方块的个数是1+1+1+2+2+1=8，故应选D．
点评：解这类问题的一般思路是先根据主视图和左视图确定出俯视图中每个小正方形相应位置上的小立方块的个数，再求出组成这个几何体所用的小立方块的个数．
四、由俯视图及小立方块个数，识别其它视图
例4（常州市）下列左图表示一个由相同小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，则该几何体的主视图为（ ）

析解：根据俯视图上小立方块的数字，先确定主视图有3列，然后再根据每一列中最大的数字确定这一列的层数，第一列有4层，第二列有3层，第三列有2层．则该几何体的主视图为C，故应选C．
点评：解这类问题的一般方法是先由俯视图确定几行几列，再根据各个位置上的小立方块的个数确定每行每列的最高层数，从而识别出其它视图．
三视图情系中考
为了体现数学课程标准“由实物的形状想象出立体图形，由立体图形想象出实物的形状，进行立体图形与其三视图、展开图之间的转化”这一理念，在课改实验区的中考试卷上，五彩缤纷的视图题目令人应接不暇。现分类采撷数例，供学习参考.
一.由立体图形选三视图
1、选主视图
例1.（台州）下图几何体的主视图是（　　）
例2.（连云港）如图，水平放置的下列几何体，主视图不是长方形的是（　　）
【解析】：从正面看物体所得到的图形叫正视图,也叫主视图.
例1选C， 例2选B
2、选俯视图
例3.（龙岩）如图，一桶未启封的方便面摆放在桌面上，则它的俯视图是（ ）
例4（德州）．如图1放置的一个机器零件，若其主（正）视图如图2，则其俯视图是（　　）
【解析】:从上面往下看物体所得到的图形叫俯视图.
例3选C, 例4 选D
3、选左视图
例5（江西）桌面上放着1个长方体和1个圆柱体，按如图所示的方式摆放在一起，其左视图是（ ）
【解析】:从左边看物体所得到的图形叫左视图. 例5选C.
4、比较物体三视图的面积大小
例6（湖州）. 如图是由五个大小相同的正方体搭成的几何体，则关于它的视图，下列说法正确的是（　　）
A．正视图的面积最小 B．左视图的面积最小
C．俯视图的面积最小 D．三个视图的面积一样大
【解析】：首先由该几何体想象出三视图，再比较其面积的大小. 显然主视图有四个小正方形；俯视图也有四个小正方形，左视图只有3个小正方形，因此左视图的面积最小.故选B.
二.由俯视图选择主视图
例7（成都）右图表示一个由相同小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，那么该几何体的主视图为（　　）
【解析】：首先由物体的俯视图中小正方形位置上小立方块的个数想象出问题的形状，再想象出该问题的主视图.从正面看，从左到右，三列小正方形的个数依次应是4、3、2.故选C.
三.由三视图判断小正方体的个数
例8（荆门）如图，是由一些相同的小正方体搭成的几何体的三视图，搭成这个几何体的小正方体的个数有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．6个
例9（怀化）.一个几何体是由若干个相同的正方体组成的，其主视图和左视图如图所示，则这个几何体最多可由多少个这样的正方体组成？（　　）
A．12个 B．13个 C．14个 D．18个
【解析】:由三视图判断组成原几何体的小正方体的块数与由相同的小正方体构成的几何体画三视图正好相反,其一般解法是:（1）数出 主视图各列（竖为列）上正方形的个数，将数字分别填在俯视图所对应的列中；（2）再数出左视图各列上正方形的个数，将数字分别填在俯视图所对应的行（横为行）中；（3）在俯视图中的同一个小正方形中， 前后两次数字相同的只取一个数，前后两次数字不同的取较小的数，最后将俯视图中各小正方形上的数字相加所得结果就是组成原几何体的小正方形的总块数。
例8： 选C 例9： 选B
四.由三视图选择几何体
例10（绵阳）．下列三视图所对应的直观图是（ ）
A B C D
例11（十堰）．与左图中的三视图相对应的几何体是（ ）
【解析】：由已知几何体的三视图来判断几何体的名称与已知几何体画出其三视图是正好相反，若考生熟悉各几何体的三视图，则求解此类题目不是难事。
例10．选C， 例11．选B．
从不同方向看立体图形得到平面图形
本节课的主要内容是从不同方向看立体图形得到平面图形，是在我们学习了立体图形和平面图形的概念后，来体验立体图形与平面图形的相互转化．既是发展空间观念，培养几何直观的起始课，又是进一步学习某些立体图形的展开图和三视图的基础，具有承前启后的作用．
教科书在上一节课内容的基础上直接指出：研究立体图形常需要把它们转化为平面图形来研究和处理，并说明从不同方向看立体图形就是一种转化方法，且这种方法在建筑、工程等设计中被常常采用．接着，通过一个L型工件的立体图，设计师们画出从三个不同方向(正面、左面、上面)看它得到的平面图形的实例，说明由立体图形转化为平面图形的过程；同时通过配图说明利用计算机，也可以将设计图(平面图形)合成为立体图形．最后，教科书设计了一个探究，让学生巩固对从不同方向看物体得到平面图形的理解．
本节课的重点是：从正面、左面、上面看一些简单几何体或它们的组合体得到平面图形．难点是：准确画出组合体从不同方向观察所得的平面图形．
从不同方向看立体图形得到平面图形
一、从正面、左面、上面看一些简单几何体或它们的组合体得到平面图形
突破建议：
通过观察实物与具体模型或利用信息技术工具，发挥其从不同方向获得的照片的作用，体会由立体图形转化为平面图形的过程．从不同的方向(正面、左面、上面)看一些简单几何体或它们的组合体，会得到不同的图形，在观察时要注意眼睛与几何体的位置：从正面和左面看时要平视，从上面看时人应从正面的上方观察，这样得到的图形才准确．
教学中，要求学生在理解的基础上熟记几种常见的几何体(如正方体、长方体、三棱锥、圆柱、圆锥、球等)从正面、左面、上面看到的图形．需要注意的是观察一个平放在桌面上的圆锥，从前、后、左、右各个方向看，看到的都是等腰三角形，从顶部往下看，看到的是一个圆和圆心．
例1　如图①，讲台上放着一本数学书，书上面放着一个粉笔盒，若这个组合图形从上面看到的图形如图②，则这个组合图形的从左面看到的图是(　　)．
解析：本题考查从不同方向看物体得到平面图形的能力．图中摆放的是长方体右端略偏上方放置一个正方体，从左边看是下面一个矩形，矩形上面略偏左一个正方形．故选A．
例2　如图的桌子上放着由12个小正方体摆成的图形．桌子的四周坐着四个小朋友，他们分别看到图形的一个面．小红看到的是_____图，小军年到的是_____图，小芳看到的是_____图，小明看到的是_____图．
解析：本题考查从不同方向看物体得到平面图形的能力．观察图形可知，从正面看到的图形是3层，下层3个正方形，中层有2个正方形靠左边，上层有1个正方形靠左边；从后面看到的图形是3层，下层3个小正方形，中层2个靠右边，上层1个靠右边；从侧面看到的图形都是2列，每列都是3个正方形．因此可得：小红看到的是C图，小军和小明看到的是A图，小芳看到的是B图．故答案为：C；A；B；A．
二、准确画出简单组合体从不同方向观察所得的平面图形
突破建议：
画从不同角度看简单的组合体得到的平面图形，可从简单几何体、再到组合体这种循序渐进的方法．
教学中，要教会学生画图技巧．首先要准确分析出组合体是由哪些基本立体图形组成，并弄清各部分上下左右的关系，然后在熟悉常用几何体从不同方向看得到的图形的基础上，根据基本立体图形所处的位置画出其平面图形．
例3　如图是一个由5个正方体组成的立体图形，分别画出从正面、上面和左面观察得到的平面图形．
解析：本题考查画出从不同方向观察简单组合体得到的平面图形的能力．观察图形可知，从正面看到的图形是2列，左边一列是3个正方形，右边一列是1个正方形，在下面；从上面看到的图形是2行，后面一行是2个正方形，前面一行是1个正方形，在左边；从左面看到的图形和从正面看到的图形相同，据此即可画图．
例4　如图，分别从正面、左面、上面观察这个立体图形，请画出你看到的平面图形．
解析：本题考查画出从不同方向观察简单组合体得到的平面图形的能力．观察图形可知，这个立体图形由两部分组成，上面是一个圆锥体，下面是一个圆柱体，它们的底面相同．因此，从正面看到的图形是2层：下层1个长方形，上层1个三角形；从左面看到的图形也是2层：下层1个长方形，上层1个三角形；从上面看到的图形是1个有圆心的圆．据此即可画图．如图所示：
从不同方向看
一、观察下图1、2、3分别得它的主视图、左视图和俯视图，请写在对应图的下边.
图1
图2
图3
二、桌上放着一个长方体和一个圆柱体，说出下面三幅图分别是从哪个方向看到的？
_________　 _________　 ________
三、如图是由一些相同的小正方体构成的主体，图形的三种视图
构成这个立体图形的小正方体的个数是（　　）
A．3 B．4
C．5 D．6
四、如果对一个长方体观察所得的左视图、主视图、俯视图的面积都相同，那么这个长方体是正方体吗？
参考答案
一、图1　俯视图　主视图　左视图
图2　左视图　俯视图　主视图
图3　俯视图　左视图　主视图
二、左视图　俯视图　主视图
三、C　
四、是
4 从三个方向看物体的形状
背景聚焦
横看成岭侧成峰，
远近高低各不同，
不识庐山真面目，
只缘身在此山中。 （庐山彩照）
这一首苏东坡的诗表现了观察庐山的几种方式：横看、侧看、远看、近看、身处山中看，也说明了观察物体是有讲究的，《从不同方向看》这节课就是学习和研究观察物体的数学方法。
两个不同的几何体的三视图可能相同吗？
就现阶段对视图的认识水平和要求看，两个不同的几何体的三种视图可能是相同的，这一点我们在教学中要明白：
如下面两个几何体的主视图、左视图和俯视图都是相同的，但是物体的形状并不相同，甚至几何体A可以由六个小立方块组成，而几何体B是由七个小立方块组成的。
几何体A 几何体B
这说明在目前，我们了解的三视图知识还不够全面，当进一步学习时就会把物体内部结构也在三视图中反映出来，使得不同结构的物体三视图也不同。
《从三个方向看物体的形状》例题讲解与变式
例1 画出下面几何体的主视图、左视图、俯视图。
分析：这是五个立方体的组合体，从正面看刚好看到五个正方形，从左面看是上下两个正方形，从上面看是四个正方形排成一排。
解
其主视图是：
其左视图是：
其俯视图是：
说明：在做这类题时，开始最好能借助模型实际的观察，逐渐来锻炼我们的空间想像力．
变式练习1 画出如图所示立体图形的三视图（相当于在平放着的一块砖的中间靠后又立放着一块砖）．
变式练习2 如图是由6块积木搭成的，这几块积都是相同的小正方体．指出下图中三个平面图形是它的哪个视图．
参考答案：
1、三视图如下：
2、左视图，正视图，俯视图．
例2 选择题
如图（l），是一个几何体的主视图、左视图、俯视图，则它所对应的几何体是（ ）
分析 由主视图可知其对应的几何体可能是B和C；由左视图可知其对应的几何体可能是A和B；由俯视图可知其对应的几何体可能是B和D．所以应选B．
解 选B
说明：这个题也可以采用依次淘汰的方法来确定对应的几何体．由主视图可知A和D不是，由左视图可知C不是，所以只有B是．
变式练习1 如图，根据下列三视图，画出与它对应的立体图形．
变式练习2 根据已知三视图，画与之对应的立体图形（如图）．
变式练习3 如图是由几个小正方体所搭几何体的俯视图．小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数，请画出这个几何体的左视图．
参考答案：
1、解：根据三视图的条件，可知立体图形应是三棱锥．
上图就是满足三视图的立体图形．
2、解：根据图形条件以及三视图，可以判断它是一个正方体与圆台组合而成的立体图形．
依题意，有
如图，就是满足三视图条件的立体图形．
3、如图：


《从三个方向看物体的形状》典型例题
例1 召集几个同伴到一起，共同回忆《盲人摸象》的故事，然后，大家一起交流这个故事给予的启示，并就正在学习的《画立体图形》知识，说一说这个故事对学习数学知识有何帮助．
例2 如图所示的圆锥的三视图是__________．
A．正视图与侧视图是三角形，俯视图是圆
B．正视图与侧视图是三角形，俯视图是圆和圆心
C．正视图是圆和圆心，俯视图和侧视图是三角形
D．正视图和俯视图是三角形，侧视图是圆和圆心
例3一个物体的正视图是三角形，试说出该物体的形状．
例4 根据给出的三视图，确定它们对应的立体图形并画出示意图（如图）．
例5 画出图所示物体的三视图．图中箭头表示画正视图时的观察方向．
例6 试分析如图所示物体的正视图、左视图和俯视图，物体是由什么基本几何体组成的？
参考答案
例1 分析 熟悉故事情节，才能悟透其中的含意，能从语文知识中找到对学数学的启示，这正是综合素质的体现，而这种综合素质正是每一个学生所应具备的．
答案 本题没有固定答案．《盲人摸象》传达了从不同角度感受同一个事物会得到不同结果的内涵，正如同从不同方向看同一个几何体的结果不一样是异曲同工．这也启示我们，若要解决同一个数学问题，思考角度不同，去找到不同的解决方案．
例2 分析 本题考查画立体图形的三视图的能力，由物体摆放的方式、位置可知：正视图和侧视图都是等腰三角形，俯视图为圆．
答案：A
说明：物体摆放的方式位置不同，视图也会有所区别，千万不能因为物体形状相同，就认为它的视图也一样了．
例3 分析 只给出一个视图的条件来判定物体的形状，根据常见的立体图形分类，正视图不可能是球或圆柱，那么可能是圆锥、棱锥或三棱柱，显然，答案不唯一，这是一个开放题．
说明：由视图描述物体的形状要借助于三个视图综合分析、想象，仅仅一个方向的视图只能了解物体的部分信息．同时，合理猜想，结合生活经验估测也非常重要．
例4 解：根据三视图可知，它应是一个带槽的立方体，是在一个长方体中间切下去一个三棱柱．示意图如图．
说明：这是一个在日常生活中也可见到的带凹槽的立体图形，凹下去的槽是什么形状只有靠正视图及俯视图才可以判断．
例5 分析 按箭头所示方向观察这个物体时，只能看这个物体上用阴影表示的两个面．它们都是长方形，但长、高及大小都不相同．两个长方形之间没有空隙，所以正视图（如图）是由两个长方形组成的，二者是互相连接的，一个在上，一个在下．
左视图（如图）也是一上一下两个长方形组成的，二者左侧对齐．
俯视图（如图）是由上向下看到的两个长方形，较小的一个在另一个的内部，且有一条边在较大的长方形的边上．
解
说明 初学者必须注意的一件事是：苦思苦想不如亲身实践，即观察实物．就此题而言，用两个一大一小的纸盒（太小了不利于观察，形状比较接近于图中的长方体更好），按图所示的情况摆好并进行观察，这是很容易办到的事情．实在没有纸盒、木块等，在一块砖上适当立半块砖也可以．总之，要在实践中提高观察力和空间想象力．
例6 分析 不妨先细看俯视图．
俯视图是由一个长方形和一个圆两部分组成的．其中长方形比较大，圆比较小，位于长方形的中央．再与正视图、左视图联系起来进行观察．
正视图与左视图各是由两个长方形组成的．它们中下半部分的长方形比较大，恰好与俯视图中的长方形组成长方体的三视图．
正视图与在视图中的上半部分（小长方形）恰好与俯视图中的圆组成圆柱的三视图．
由正、左视图可以断定，如图所表示的物体是由两部分组成，一上一下，一大一小，之间没有空隙．
上述文字叙述可以用下面图形表示．
解 这个物体是由一个长方体和一个圆柱组成的，圆柱被放置在长方体的上面，其下底面在长方体的上底面的中央．
说明 （1）这类问题的应用价值极大，如建筑施工，机械制造、设备安装等等．
（2）形状比较复杂的物体经常可以看做是由几个形状简单的物体组合而成的．所谓“组合”包括“叠加”（把几个物体连接在一起）和从一个物体上“挖掉”几个立体图形两种情况．无论哪种情况，本题的“分析”都是很有借鉴价值的．
（3）如果没有记住长方体和圆柱的三视图，本题的解出恐怕只能是“愿望”，教学中要注意寻找身边的模型．
几何图形
内容涉及几何研究的对象和主要问题，立体图形、平面图形及其相互转化以及点、线、面、体等有关基本几何概念及它们之间的关系等．《义务教育数学课程标准（2011年版）》对几何图形一节提出的教学要求是：
1．通过实物和具体模型，了解从物体抽象出来的几何体、平面、直线和点等．
2．了解直棱柱、圆锥的展开图，能根据展开图想象和制作实物模型．
几何图形
一、课标要求
，内容涉及几何研究的对象和主要问题，立体图形、平面图形及其相互转化以及点、线、面、体等有关基本几何概念及它们之间的关系等．《义务教育数学课程标准（2011年版）》几何图形一节提出的教学要求是：
1．通过实物和具体模型，了解从物体抽象出来的几何体、平面、直线和点等．
2．了解直棱柱、圆锥的展开图，能根据展开图想象和制作实物模型．
二、课标解读
1．本节有关几何图形知识是在小学第一学段已经能对简单几何体和图形进行分类、会用上、下，左、右，前、后描述物体的相对位置、能根据具体事物、照片或直观图辨认从不同角度观察到的简单物体、从实际物体中抽象出简单几何体和平面图形，了解了一些简单几何体和常见的平面图形，以及小学第二学段学习了一些图形的形状、大小和位置关系，了解了一些几何体和平面图形的基本特征、能辨认从不同方向(前面、侧面、上面)看到的物体的形状图、能认识最简单的几何体(长方体、正方体、圆柱和圆锥)以及认识长方体、正方体和圆柱的展开图后进入初中阶段“图形与几何”领域学习的第一节，主要是图形与几何的一些最基本的概念和图形，这些概念将被广泛应用于后继的学习中，对后面相关知识的学习影响深远．
2．点、线、面、体及其组合构成了丰富多彩的图形世界，它们的概念是图形与几何的基本概念，既是对现实世界进行数学抽象的产物，具有高度的抽象性；又是对图形类别的基本划分，具有高度的概括性．学习这些概念必须注意其与客观现实的联系，了解这些概念的抽象性特点，从而能初步用几何观点认识现实世界．点、线、面、体概念的提出形象地描绘了各种物体的空间形式，剖析了图形的构成要素，使我们对世界的认识更加清晰．
3．点、线、面、体的关系是认识图形本质，发展空间观念的知识基础．需要通过三条线索来认识．第一条是从整体到局部，逐步分解地依次认识体、面、线、点(如“包围着体的是面，面与面相交形成线，线与线相交形成点”)；第二条是从微观到宏观，由简单到复杂，由一维到三维的演变过程，逐步合成地来认识点、线、面、体(如“点动成线、线动成面、面动成体”)；第三条是运用集合观点来认识，使线、面、体概念的外延由多元回归到一元，揭示图形世界多样性表象下的统一性(如“点是构成图形的基本元素”)． 这三条线索中，都蕴含了“具体→抽象→具体”的认识方法，达到对概念意义的同化．
4．了解直棱柱、圆锥的展开图，能根据展开图想象和制作实物模型，反映了立体图形与平面图形的互相转化，渗透了变化和联系的观点．这部分内容涉及“视图与展开图”知识，课标是在“图形的变化”──“图形的投影”中提出的，在此的要求只是初步的，是为说明几何研究的内容服务的，并不涉及“图形的投影”中的具体概念（如“三视图”的概念）和较高的要求．体验立体图形与平面图形的互相转化，是对第一、第二学段所学知识的总结和提升，对激发学生学习几何的热情，初步建立空间观念，培养空间想象力，领悟学习方法有至关重要的作用．
5．在立体图形与平面图形以及点、线、面、体的教学过程中，要注意与小学知识内容的衔接，发挥实物、模型、图片的作用和信息技术的应用，要重视探究活动的开展，注意特殊到一般和类比思想方法的渗透．
1.4从三个方向看物体的形状
易错易混辨析
易错点1 画圆锥的从上面方向得到的图形时，遗漏顶点
易错典例1如图1-4-3，是由两个相同的小正方体和一个圆锥体组成的立体图形，其从上面方向得到的图形是（ ）

易错总结：容易漏掉圆锥的顶点，而导致误选D，正确答案C.
易错点2忽略小正方形上的数字意义
易错典例2如图1-4-4所示是几个小正方体所搭几何体的从上面方向得到的图形，数字代表该位置小正方体的块数，则以下所示的四个选项中是此几何体的从正面方向得到的图形的是（ ）
易错总结：从上面方向得到的图形的作用一是确定几何体的横、纵各有几列；二是根据小正方形上的数字确定每个位置上有几层,本题易因忽略了第二列上“2”的意义而误认为此处只有一个小立方体块而选A，正确答案C.
易错点3由于空间想象能力不够，而忽略了直接看不到的小立方体块
易错典例3如图1-4-5，是一个由相同的小正方体组成的立体图形，它的从正面方向得到的图形是( )
易错总结：第一列第二排有三个立方体块，由于最下边一个不能直接观测到而误认为该位置只有两个导致错选.
1.4从三个方向看物体的形状
新知概览：
知识要点
课标要求
中考考点
从三个方向看物体
会画出从三个方向看物体所得到的图形
确定几何体从三个看到的图形
常见几何体的从三个方向看
理解并会画常见几何体的从三个方向看到的图形
常见几何体与其三个方向看到的图形之间的转化
小立方体搭建的几何体的从三个方向得到的图形的画法
会画小立方体搭建的几何体的从三个方向得到的图形，理解几何体与三个方向看到图形之间的对应关系
推断几何体中小立方体的个数，有上面看到的图形确定另两个方向看到的图形
本节重、难点
1.重点：几何体从三个不同方向看到的图形的识别．
2.难点：推断几何体中小立方体的个数．
知识全解
知识点1从不同方向看物体的形状
知识详解：
从不同方向看物体的形状图分为从几何体正面看到的图形；从几何体左面看到的图形；从几何体上面看到的图形．
知识警示：
从不同方向看物体得到的形状图分别体现了几何体长、高、宽，其中从正面看得到的图形体现了物体的长和高，从左面看得到的图形体现了物体的宽和高，从上面看得到的图形体现了物体的宽和长．
【试练例题1】小杰观察如图1-4-1的热水瓶时，从正面得到得到的是( )，从左面得到得到的是( ), 从上面得到得到的是（ ）
思路引导：从不同方向看物体得到的图形是由观察方位决定图形形状，热水瓶从正面和左面看到瓶盖、瓶颈、瓶体及瓶把的形状，但应注意二者瓶把位置的差异；正上面往下看，看到的一定是热水瓶圆形的上口和圆形的热水瓶底及左侧的杯柄．
解：A，B，C
方法：组合图形的从三个方向看物体形状得到的图形，此时应该认真分析参与组合的几何体的一些重要特征及位置关系，然后通过这些特征做出最终的判断.
知识点2常见几何体的从三个方向看物体形状
知识详解：几种常见几何体的从三个方向看物体形状
知识警示：
（1）所有几何体中正方体、球体的从三个方向看物体形状得到的图形完全相同，即正方体的从三个方向看物体形状得到的图形都是正方形，球体的三中从三个方向得到的图形都是圆；
（2）圆锥的从上面方向得到的图形是圆及中间一点，棱锥的从上面方向得到的图形是多边形及中间一点，且此点和多边形各个顶点相连接．
【试练例题2】下面四个几何体中，从正面方向得到的图形与其它几何体的从正面方向得到的图形不同的是（ ）
思路引导：选项A、B、D的从正面方向得到的图形都是长方形，只有选项C的从正面方向得到的图形是三角形与其它三个几何体的从正面方向得到的图形不同．
解：C
方法：解题的关键是明确从正面方向得到的图形的意义，并能进行立体图形与平面图形的相互转化.
知识点3小立方体搭建的几何体的从三个方向得到的图形的画法
知识详解：
从三个方向得到的图形包括从正面方向得到的图形、从左面方向得到的图形和从上面方向得到的图形，从正面方向得到的图形主要反映物体的长和高，从左面方向得到的图形主要反映物体的宽和高，从上面方向得到的图形主要反映物体的长和宽，因此从正面方向得到的图形与从左面方向得到的图形的高相等，从正面方向得到的图形与从上面方向得到的图形长相等，从左面方向得到的图形与从上面方向得到的图形宽相等，即．由立体图形到三个方向看物体得到的图形的过程，要注意两点：一是长、宽、高的关系；二是上下、左右、前后的关系．
知识警示：三个方向看物体得到的图形与几何体颜色无关，只与几何体形状有关．
【试练例题3】分别画出图1-4-2中几何体的从正面方向得到的图形、从左面方向得到的图形、从上面方向得到的图形．
思路引导：从正面看从左往右4列正方形的个数依次为1，1，3，1；从左面看从左往右3列正方形的个数依次为3，1，1；从上面看从左往右4列正方形的个数依次为1，3，1，1．
解：
方法：画小立方体搭建的几何体的从三个方向看物体形状得到的图形，就是从不同方向看这个几何体有几列，则相应其它方向看物体得到的图形画几列，每列有几层，则相应其它方向看物体得到的图形就画几层.
4 从三个方向看物体的形状
就现阶段对视图的认识水平和要求看，两个不同的几何体的三种平面图形可能是相同的，这一点我们在教学中要明白：
如下面两个几何体从正面看、左面看、上面看所看到的平面图形都是相同的，但是物体的形状并不相同，甚至几何体A可以由六个小立方块组成，而几何体B是由七个小立方块组成的。
几何体A 几何体B
这说明在目前，我们了解的三种平面图形知识还不够全面，当进一步学习时就会把物体内部结构也在三种平面图形中反映出来，使得不同结构的物体三种平面图形也不同。

视图与物体的形状
视图反映了物体形状的某些特征，因此通过视图我们可以想像物体的大致形状．
根据图1、图2、图3的视图，你能分别想像出物体的大致形状吗？根据图4、图5呢？根据图6、图7呢？


由此，你能得到什么结论？
4 从三个方向看物体的形状
教学中，首先呈现了几张照片，让学生从生活实际中感受到从不同的方向看会有不同的效果，从而引入教学内容。




《从三个方向看物体的形状》课程引入
教学中，首先呈现了学校钟楼的几张照片，让学生从生活实际中感受到从不同的方向看会有不同的效果，从而引入教学内容；而其后又选用了学生家庭购房或装修时所用的平面图，以抽象各个侧面所看到的视图。

1.4从三个方向看物体的形状
基础经典全析
题型1根据物体画从三个方向看物体形状得到的图形
【题型典例1】先观察下图（1-4-6）画出它的从正面方向得到的图形、从左面方向得到的图形和从上面方向得到的图形．
思路引导：从正面方向得到的图形是一个圆在长方形的右端，从左面方向得到的图形是一个圆在长方形的左端，从上面方向得到的图形是长方形、内部片右上角有一个圆．
解：
题型2由三个方向看物体得到的图形确定几何体的形状
【题型典例2】下面从三个方向得到的图形(1-4-7)表示的可能是宜昌四种特产：西瓜、蜜橘、梨、土豆中的（ ）
思路引导：由从正面方向得到的图形和从左面方向得到的图形可知，形状相同，均为长方形，由从上面方向得到的图形可知，这个物体为圆形且中间有个点；分析选项中的图形，只有蜜橘符合．
解：B．
题型3与三个方向看物体得到的图形相关的面积的计算
如图1-4-8，桌面上的模型由20个棱长为a的小正方体组成，现将该模型露在外面的部分涂上涂料，则涂上涂料部分的总面积为__________．
思路引导：从正面、上面，后面，左面，右面看都有10个正方形，则共有50个正方形，因为每个正方形的面积为a2，则涂上涂料部分的总面积为50a2．
解：50a2．
方法：一个与三个方向看物体得到的图形的问题，涂上涂料部分的总面积就是从物体各个面看到的物体的各个面的面积总和．
综合创新探究
题型4利用三个方向看物体得到的图形确定几何体中小立方体的个数
在一个仓库里堆积着正方体的货箱若干，要搬运这些箱子很困难，可是仓库管理员要核实一下箱子的数量，于是就想出一个办法：将这堆货物的从三个方向得到的图形画了出来，你能根据图中的从三个方向得到的图形1-4-9，帮他清点一下箱子的数量是______．
思路引导：从图可得小正方体的个数有8个，如图：
解：8个．
方法：从从上面方向得到的图形中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从从正面方向得到的图形和从左面方向得到的图形可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而确定出从上面方向得到的图形每个位置上有几个小正方体，然后算出总的个数．
题型5由从上面方向得到的图形及图中标注的小立方体的个数确定这个几何体的从正面方向得到的图形和从左面方向得到的图形
如图1-4-10是一些小正方块所搭几何体的从上面方向得到的图形，小正方块中的数字表示该位置的小方块的个数，请画出这个几何体的从正面方向得到的图形和从左面方向得到的图形：（要求用直尺或三角板画图）
思路引导：由已知条件可知，从正面方向得到的图形有3列，每列小正方数形数目分别为3，1，3，从左面方向得到的图形有2列，每列小正方形数目分别为3，3．据此可画出图形．
解：如图所示：
方法：本由几何体的从上面方向得到的图形及小正方形内的数字，可知从正面方向得到的图形的列数与俯视数的列数相同，且每每列小正方形数目为从上面方向得到的图形中相应行中正方形数字中的最大数字．
《丰富的图形世界》复习指导
一、复习目标：
能在具体情境中，认识圆柱、圆锥、正方体、长方体、棱柱、球等几何体，并能用自己的语言描述他们的特征。
了解棱柱、圆柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图判断和制作简单的立体图形。
亲身经历切截正方体的过程，体会面与体的转换，提高动手操作的能力。
会从不同方向观察同一个物体，能识别简单物体的三种视图。会画正方体及简单组合的三种视图，并在小正方体内填上表示该位置小立方块的个数。
能在具体情境中认识多边形，拓展思维空间。
二、知识结构网络。
三、重点知识点点击
常见的几何体及其特点
长方体：有8个顶点，12条棱，6个面，且各面都是长方形（正方形是特殊的长方形）正方体是特殊的长方体。
棱柱：上下两个面称为棱柱的底面，其它各面称为侧面，长方体是四棱柱。
圆柱：有上下两个底面和一个侧面，两个底面是半径相等的圆。
圆锥：有一个底面和一个顶点，且侧面展开图是扇形。
球：由一个面围成的几何体
展开与折叠
（1）棱柱：如图1所示的棱柱，上底面是五边形A＇Ｂ＇Ｃ＇Ｄ＇Ｅ＇，下底面是五边形ABCDE，这两个五边形的大小形状都相同，这个棱柱有5个侧面，当它为直棱柱时，5个侧面都是长方形，当它为斜棱柱时，5个侧面都是平行四边形，在棱柱中任何相邻的两个面的交线都叫做棱桂的棱，其中相邻的两个侧面的交线都叫做棱柱的侧棱，图1中的棱柱有15条侧棱，其中有5条侧棱，这5条侧棱的长相等，将这个棱柱展开定一个长方形（图2是图1中棱柱的侧面展开图）反过来可以将一个长方形折叠成一个棱桂的侧面。
当一个棱柱的底面是三角形时，称为三棱柱，当一个棱柱的底面是四边形时，称为四棱柱，（长方体正方体都是四棱柱）当一个棱柱的底面是五边形时，称为五棱柱（图1就是五棱柱）………当一个棱柱的底面是n边形时，称为n棱柱，它有2n个顶点，3n条棱，n十2个面（其中2个底面，n个侧面。）
（2）圆柱和圆锥的侧面展开图：圆柱的侧面展开图是一个长方形，圆柱的底面周长和高分别是这个长方形的长与宽，圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径就是圆锥的母线（即圆锥的顶点与圆锥底面上任意一点的连线长，而扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长，反过来，可以将一个扇形围成一个圆锥的侧面。
3、感悟截一个几何体
用一个截面去截长方体或正方体，截面可能是等腰三角形、等边三角形、但不可能是直角三角形，也可能是正方形，长方形，梯形，五边形等，最多可截得六边形。
用一个截面去截圆柱，截面可能是正方形，长方形，梯形、圆或椭圆。
用一个截面去截圆锥，截面可能是等腰三角、圆、抛物线形或椭圆。
4、关于三视图
我们从不同方向观察物体时，从正面看到的图形叫做主视图，从左边看到的图形叫做左视图，从上面看到的视图叫做俯视图。
如图是一个由小立方块组成的几何体，如下图是这个几何体的三种视图。
四、难点突破
1、亲身经历切截正方体的过程，体会面与体的转换，提高动手操作能力。
用一个平面去截正方体，能得两边相等、三边相等的三角形吗？能截出长方形与梯形吗？
2、从不同方向观察同一物体，画出三视图，并在小正方形内填上表示说位置小立方块的个数。
画出下列立方体的三视图，并在该位置填上小立方块的个数。

下图是用小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形的数字表示该位置的小立方块的个数，请画出它的主视图和左视图。
提示：根据俯视图上小正方形的数字，先确定主视图有3列，然后再根据每一列中最大的数字确定这一列的层次，第一列有3层，第2列有4层，第3列有2层，同理，左视图有2列，第一列有4层，第2列有2层。
五、易错点辨析
例4、图（1）（2）（3）（4）中 折叠后和下图所示正方体一致。
答案：正方体中ABC相邻，在展开图中不可能出现在对面位置，（1）A－－C对面，（2）正确，（3）C－－B对面（4）A－－B对面
例5、有一个正方体的六个面上分别写有1，2，3，4，5，6这6个数，根据图中ABC三个图中所写数字想一想“？”处的数字是什么？
解：1与4，5，2，3相邻，则1的对面是6。所以“？”处是6。
六 例题精析
例6、如图是一个正方体纸盒的展开图，在其中的四个正方形内有数字1，2，3和－3，要在其余正方形内分别填上－1，－2，使得按虚线折成正方体后，相对面上的两数互为相反数，则A处应填
分析：本题通过空间想象，不难发现将这个平面图形折成正方体后，标有数字2的面与字母A的对面是相对的，故A处应填－2。
例7、下列图中不可能围成正方体的是（ ）
分析：本题考查平面图形与立体图形互相转化中的视图变换能力。故选D。
例8、棱长是1cm的小正方体组成如图所示的几何体，那么这几个几何体的表面积是（ ）
A.36cm2 B.33cm2 C.30cm2 D.27cm2
分析：要求几何体的表面积，首先应弄清它是由多少个小立方体构成的。其中看得见的小立方体有6个，看不见的小立方体有4个，或者说从上到下数第一层有一个，第二层有3个，第三层有6个，其次要弄清这10个立方体露在外面的有多少个面，经观察想象应该有36个面，其中第一层有5个，第2层有10个，第三层有21个故正确的结果为A。
引申：像这样摆放10层，其几何体表面积是多少？另外，由若干个相同的立方体，按照不同的摆放，可出现多种不同的几何体，因此，可编制出很多的新颖题。
例9、将一个矩形纸对折再对折（如图）然后沿着图中的虚线剪下，得到 （1）（2）两部分，将（1）展开后得到的平面图形是（ ）
A.三角形 B.矩形 C.菱形 D.梯形
分析：第部分是四个大小完全相同的直角三角形，故将展开后得到的平面图形是菱形故选C
例10、将如图所示放置的一个直角三角形ABC（∠C=90°）绕斜边AB旋转一周，所得到的几何体的正视图是下面图形中的 （只填序号）
分析：将直角三角形ABC绕斜边AB旋转一周得到的几何体是有公共底面的两个圆锥，而圆锥的正视图是等腰三角形，且AC>BC，故符合条件的只有（2）
例11、下图是正方体的表面展开图，折叠成正方体时，与点P重合的两点应该是（ ）
A.S和Z B.T和Y C.O和Y D.T和V
分析：正方体中，面OXUR为背面，则展开图中，面SRUT与面OXYZ为上下面，其余为侧面。答案为D。
《丰富的图形世界》纠错觅源
在解决与本章有关的题目中,最容易出现的错误主要涉及两个方面,一是与展开图有关的问题;二是与三视图有关的问题.
例1如图1所示的一块长方体木头，想象沿虚线所示位置截下去所得到的截面图形是（ ）
（A） （B） （C） （D） 图1
错解：选（A）.
分析:本题主要考查用平面截几何体所得到的截面的形状,由于长方体的上、下两个对面平行，且大小相等，所以沿虚线所示位置截下去所得到的截面图形不可能是梯形，所以（A）、（D）不正确，由于长方体的侧面与上下面垂直，所以截面不可能是平行四边形，所以（C）不正确.
正解：选（B）.
例2 如图2, 圆锥侧面展开图可能是下列图中的（ ）.
图2 （A） （B） （C） （D）
错解：选（B）.
分析：错解的原因是将展开图与用平面截几何体相混淆,实际上,几何体的展开图与用平面截几何体是两种不同的概念,圆锥的侧面展开图是扇形,而用平面截圆锥可以得到等腰三角形.两者有着本质的区别.
正解：选（D）.
例3 我们从不同的方向观察同一物体时，可以看到不同的平面图形，如图34，从图的左面看这个几何体的左视图是 （ ）
图3 （A） （B） （C） （D）
错解：选（A）.
分析：错解的原因就是没有把握住左视图的画法. 相对正面来说,从左面看几何体,前后共两列,后面一列看到的小正方形画在左面,前列看到的小正方形画在右面.
正解：选（B）.
《丰富的图形世界》考点展示
动手实践、自主探索与合作交流是新课程倡导的学生学习数学的三种重要学习方式.近年各地的中考试题中体现新课程概念题崭露头角，现把《丰富的图形世界》一章的考点展示如下：
考点1：生活中的立体图形
例1下列几何体：
都分别填入下面的集合中，请在后面填上各集合名称的代码．
A．柱体；B.锥体；C.球体；D.全部由平面组成；E.至少有一个曲面.
｛（1）、（2）、（4）、（6）、（7）｝（ ）；｛（5）｝（ ）；｛（3）｝（ ）；｛（3）、（4）、（5）｝（ ）；｛（1）、（2）、（6）、（7）｝（ ）.
解析：依次填A、B、C、E、D.
例2下列图形： 分别是由
中的（ ）旋转得到.
A.（1）、（2）、（3）；B. （1）、（3）、（4）；
C.（2）、（3）、（4）；D. （2）、（4）、（3）.
解析：通过观察会发现答案应为D.
评注：解答此类题的关键是：弄清各类几何体的本质特征. 要在具体情景中，通过自己的观察，加深“点动成线、线动成面、面动成体”的认识.
例3 一个正方体的每个面分别标有
1，2，3，4，5，6. 根据图
中该正方体A、B、C三种状态所显示的数字，可推出“？”处的数字是 .
解析：仔细观察正方体A、B、C三种状态，不难发现：标有1的面与标有6的面相对，标有2的面与标有5的面相对，标有3的面与标有4的面相对，且1、2、3所在的三个面两两相交，1、4、5所在的三个面两两相交，所以4、5、6所在的三个面两两相交. 故可推出“？”处的数字是6.
考点2：展开与折叠
例4下列图形中，不是立方体表面展开图的是（ ）
解析：本题主要考查学生的动手能力和空间想象能力，通过自己对这四个图形动手操作，会发现C图不能折合成一个正方体. 故应选C.
例5水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示.如右图,是一个正方体的平
面展开图,若图中的“似”表示正方体的前面,“锦”表示右面,
“程”表示下面.则“祝”、“你”、“前”分别表示正方体_________.
解析：本题也是主要考查学生的动手操作图形的能力和空间想象能力. 弄清楚已知的面，亲自折合成正方体. 不难得到其它的面：“祝”、“你”、 “前”分别表示正方体的后面、上面、左面.
考点3：截一个几何体
例6圆柱的轴截面是（ ）
A、等腰三角形 B、等腰梯形 C、矩形 D、圆
解析：根据截面的概念，不难想象圆柱的轴截面是矩形.
故应选C.
例7如图，把一个边长为2cm的立方体截成八个边长
为1cm的小立方体,至少需截 次.
解析：如图所示（虚线为截线），至少需截3次.
考点4：从不同方向看
例8（1）中几何体的主视图是（ ）
解析：根据主视图的概念知，（1）的主视图应是左边纵排两个正方形，底层横排三个正方形. 故应选D.
例9某物体的三视图是如图所示的三个图形，那么该物体形状是（ ）
A、长方体；B、圆锥体；
C、立方体；D、圆柱体.
解析：四个选项的三视图分别是：
A是长方形、长方形、正方形或长方形；B是三角形、三角形、圆；C是正方形、正方形、正方形；D是长方形、长方形、圆. 故应选D.
例10由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和俯视图.
（1）请你画出这个几何体的一种左视图；
（2）若组成这个几何体的小正方体的块
数为n，请你写出n的所有可能值.
解析：（1）左视图有如下几种：
（2）n = 8，9，10，11.
《丰富的图形世界》重点在线
和本章有关的考试题,主要涉及三个方面的内容: (1)几何体的识别;(2)简单几何体的展开与折叠;(3)简单几何体的三视图.其中(2),(3)方面的题在各类考试题中比较常见,多以选择题的形式出现.下面给同学们予以分类指导.
一、认识简单的几何体
例1将一个半圆形纸片绕直径旋转一周，所得的几何体是______.
析解: 本题主要考查简单接几何体的形成以及识别,根据面动成体，并结合已知图形是一个半圆形可知，绕直径旋转一周，所得的几何体为球.
评注：在考试题中，和几何体的识别有关的试题，一般和面动成体有关，只要涉及圆柱、圆锥和球体三个类型.此类问题多数和三视图联系在一起，题型为根据面动成体确定几何体，根据得到的几何体确定三视图.
二、展开图
例2李明为好友制作一个如图2所示的正方体礼品盒，六面上各有一字，连起来就是“预祝中考成功”，其中“预”的对面是“中”，“成”的对面是“功”，则它的平面展开图可能是（　　）
析解:展开图的形状都是一样的，关键是看哪几个正方形相邻，可用排除法解决,选项A折叠成正方体后, “预”的对面是“考”，“成”的对面是“祝”，排除A; 选项B折叠成正方体后, “预”的对面是“功”，“成”的对面是“中”，排除B; 选项C折叠成正方体后, “预”的对面是“中”，“成”的对面是“功”，C符合题意; ,选项D折叠成正方体后, “预”的对面是“中”，“成”的对面是“考”，排除D;综上本题应选C.
评注：以上例子要求同学们具有从平面展开图经过想象、推理，判断出立方体的思维能力.
三、 简单几何体的截面
例3如图3所示的一块长方体木头，想象沿虚线所示位置截下去所得到的截面图形是（ ）
图3
析解:本题主要考查用平面截几何体所得到的截面的形状,由于长方体的上、下两个对面平行，且大小相等，所以沿虚线所示位置截下去所得到的截面图形不可能是梯形，所以A、D不正确，由于长方体的侧面与上下面垂直，所以截面不可能是平行四边形，所以C不正确. 应选B.
评注：在考试题中，这类问题不是很多.解决这类问题的思路是：仔细观察被截几何体的特征及截面的方向和位置，根据截面与已知几何体各个面之间的位置关系，想象截面的形状.当想象感到困难时，可亲自动手操作来得到正确答案.
四、从不同的方向看
例4由一些大小相同的小正方体组成的几何体的俯视图如图4所示，其中正方形中的数字表示在该位置上的小正方体的个数，那么，这个几何体的左视图是 （ ）
A B C D 图4
析解：观察俯视图所标注的数字可知，该几何体的左视图从左到右共有三列，其中左列从下往上有两个小正方形，中间一列从下往上共有三个小正方形，右列从下往上只有一层，观察四个选项可知正确答案为A.
评注：与三视图有关的选择题，是各级考试题中的重要类型，也是本章重要的知识点之一，试题多以选择题的形式出现，有的是根据几何体选择左视图或主视图或俯视图，有的则根据视图选择几何体，有的则根据俯视图中小正方形所标注的数字选择主视图、左视图等.无论哪种情况，都必须正确把握三视图的概念、画法，充分发挥想象能力和动手操作能力.
字母能表示数
典例解析
商店进了一批货，出售时要在进价基础上加一定的利润，其销售数量x与售价c如下表：
售价数量/千克
售价/元
1
4+0．2
2
8+0．4
3
12+0．6
4
16+0．8
5
20+1
6
24+1．2
（1）写出销售数量x与售价c之间的关系式．
（2）计算当销售数量为3．5千克时的售价．
答案：（1）c=4x+0．2x
（2）当销售数量为3．5千克时的售价：
c=4×3．5+0．2×3．5=14．7（元）
活动与探索
1．观察下列各式：
×2=+2，×3=+3
×4=+4，×5=+5
……
想一想：什么样的两数之积等于这两数之和？设n表示正整数，用关于n的等式表示这个规律为：_____×_____=_____+_____．
过程：让学生观察、动脑，用自己的语言叙述：什么样的两数之积等于这两数之和，然后用字母来表示规律．
结果：n表示正整数，则这个规律用等式表示如下：×（n+1）=+（n+1）．
2．观察下列数表：
根据数表所反映的规律，猜想第6行与第6列的交叉点上的数应为_____，第n行与第n列交叉点上的数应为_____（用含有正整数n的式子表示）．
1　　 2　　 3　　 4　…　第一行
2　　 3　　 4　　 5　…　第二行
3　　 4　　 5　　 6　…　第三行
4　　 5　　 6　　 7　…　第四行
　　 　　 　　
第 第　　第　　第
一　 二　　三　　四
列　 列　　列　　列
过程：本题也是探索规律的一个题，可让学生观察、填数，再找规律，最后总结规律．
结果：第6行与第6列的交叉点上的数应为11，第n行与第n列交叉点上的数应为：2n-1．
《字母表示数》典型例题
例1 举出三个小学已学过的用字母表示数的例子，并说明其中字母的含义。
例2 用字母表示下面实际问题。
（1）行驶中的火车的速度为v米 / 秒，汽车行驶的速度是火车速度的，用v表示汽车速度；
（2）如图，表示圆环的面积；
（3）如图，是用火柴摆出的三角形的图案，当摆n个三角形时，需火柴多少根。
例3 观察等式
1＋2＋1＝4
1＋2＋3＋2＋1＝9
1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16
1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1＝25
（1）写出和上面等式具有同样结构，等号左边最大数是10的式子．
（2）写出一个等式，要求它能代表所有类似的等式，清楚地反映出这类等式的特点．
例4 选择题
（1）如图是L形钢条截面，它的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
（2）一个到火星旅行的计划，来回的行程需要三个地球年（包括在火星上停留a个地球天），已知火星和地球之间的距离为34000000千米．那么，这个旅行的平均速度是每小时多少千米？（说明：地球年、地球天，是指在地球上一年或一天，即一年＝365天，一天＝24小时）
A． B．
C． D．
参考答案
例1 解 （1）加法结合律：；其中、、分别表示三个加数。
（2）长方形面积=，其中、分别表示长方形的长和宽。
（3）圆的面积=，其中表示圆周率，表示圆的半径。
说明：的值是固定不变的。
例2 分析 （1）如果v是一个数，该题就是求v的是多少，可表示为；
（2）分别用R、r把大圆和小圆的面积表示出来，用大圆面积减去小圆的面积就是圆环的面积；
（3）由图可以发现，当第一个三角形摆完之后，每增加一个三角形就要增加2根火柴，所以摆n个三角形需根火柴。
解 （1）汽车的速度可表示为；
（2）圆环的面积为：；
（3）摆成n个三角形需要火柴根。
说明：（1）用含字母的式子表示实际问题时，我们必须弄清实际问题中的数量关系；（2）字母和字母相乘可以把“×”写在“·”或不写，如可写成或；而或，则写成；（3）数乘以字母，或数乘以含有字母的式子，一般省略乘号，并把数写在前面，如写成，不写成，同理，写成。
例3 分析：我们通过观察等式发现，这些式子右边都是一个自然数的平方，左边是一连串自然数相加，其中，最在的自然数的平方恰好是右边的数．即左边最大的数与右边二次幂的底数相同，要表示所有这类式子都具有的这种相等关系，只有使用字母．
解：（1）1＋2＋3＋…＋10＋9＋8＋7＋…＋1＝102．
（2）
说明：题中所给的每一个式子都只是一个特殊的情况，多个这样的式子也能反映出普遍规律，但是比较麻烦．要想用一个式子表示类似许多式子的规律性，只有用字母．
例4 分析：第（1）小题表示的是两个宽都是t的长方形的面积之和，如图，把原图形分为两个长方形，它们的宽都是t，其中一个的长为l，而另一个的长为，可见A不正确，而B正确．
第（2）小题所求速度应为路程除以小时数之商，由此排除A、D（它们的除数分别是千米数与天数），题目中谈的是往返行程，是距离的2倍．
解：（1）B （2）C．
说明：第（1）小题中的C小于实际面积，D是周长的表达式，这些粗心就容易导致错误．
帮你感受用字母表示数
从具体的数字抽象到用字母代替数是数学发展史上的一项重要飞跃，用字母代替数是代数的基本特征，它突破了小学数学中对数的认识，同学们会逐步体会到研究数学问题离不开用字母表示数，它具有更普遍、更一般的规律，下面谈谈用字母表示数的几种情况．
1．用字母表示数学规律
我们知道乘法运算具有这样的规律：2×3=3×2，，…，也就是我们所说的“乘法交换律”，用数学算式一一列举这种规律，不可能穷尽，并且也没必要，如果我们用字母来表示，写成“”，则表示了“两数相乘，交换因数的位置，积不变” 这一事实，简单又明了．可见，用字母表示数，不仅是对具体数的概括和总结，而且这样表示比用文字表达更为简单，使用起来也更方便．我们学过的加法和乘法的五种运算律都可以用字母表示，同学们要掌握这种方法并灵活运用．比如，在学习有理数的加法运算时，知道了“互为相反数的两数之和等于0”这一事实，应该怎样来表示这一数学规律呢？可表示为：，也可以表示为：等等，因为这里表示的是一种确定的规律，用哪个或哪些字母是无关紧要的．另外我们还用字母表示一些运算法则，如有理数减法法则：等．
2．用字母表示公式
公式是一种确定的数量关系，我们可以用字母把这种确定的关系表示出来，然后用它去解决有关的实际问题．例如，行程问题中，路程、速度、时间之间的关系，求路程可表示为：；求时间可表示为：；求速度可表示为：．再如，我们还可以用字母表示圆的周长、面积；正方形、长方形、梯形的周长和面积等．如果不用字母把这些量之间的关系表示出来，我们使用起来就会很不方便．注意：有的公式中的某一个确定的量一般是用确定的字母表示的，不要随意更换，如，在行程公式中的路程、速度、时间，一般习惯于分别用字母、、来表示．
3．用字母表示问题中的数量关系
在实际问题中，涉及到几个量之间的数量关系，要搞清和解决问题，就需要把这些数量表示出来，在以前，我们表示的都是一些数与数之间的数量关系，例如：“每枝圆珠笔1.5元，买4枝共需1.5×4=6元”，如果我们用字母代替数，即“买枝就共需1.5元”．再如，“若用表示任意整数，则与相邻的两个整数的积”可表示为等等．
4．用字母表示未知数
在小学我们学过简易方程，里面就涉及到了用字母表示数，如在中，就是用来表示未知数的字母．
总之，用字母表示数的意义在于“用字母代替数”，它通过对具体问题进行抽象、概括，再选取适当的字母代替某些数或量，使问题更准确、简明，更具有普遍意义．
用字母表示数五注意
1．注意字母具有一般性
用字母可以表示我们已经学过的任意一个有理数，同时随着我们所学知识的深入与需要，数的范围将进一步扩大，字母可以表示今后我们所学到的任何一个数，初学用字母表示数时，同学们一定要深刻理解用字母表示数的这种一般性．比如，字母可以表示正数、负数、零，同学们不要见到就认为是正数，见到–就认为是负数，见到2就认为一定比大，这是对字母表示数的一种极为错误的认识，实际上，不一定就是正数，–不一定就是负数， 2不一定就比大，这要看字母具体代表什么数，当=-2时，-=2，2=-4，即是一个负数，–就是正数， 2反而比要小．
2．注意字母的确定性
它表现在两个方面：一方面是指在同一个问题中，同一个字母只能表示同一个量，不同数量要用不同的字母来表示．比如在同分母分数的加法法则中，虽然、、均表示任意数，但在此等式中，等式两边的、、必须是分别表示同一个数量，即表示相同的分母， 、分别表示两个同分母分数的分子，同样的道理，我们也不能把相同的分母和两个分子用同一个字母来表示；另一方面，在用字母表示数时，一旦式子中的字母的取值确定了，式子的值也就随之确定了，如在圆的周长公式中，如果，那么这个圆的周长就是了．
3．注意字母的不确定性
同一个式子可以表示多种实际问题中的数量关系，如：式子可以表示：“每斤苹果元，买3斤苹果共需3元”，也可以表示：“每枝铅笔元，买3枝铅笔共需3元”等．
4．注意字母的限制性
用字母表示实际问题中的某一个数量时，字母的取值必须使这个问题有意义且符合实际，如“若某型号计算机的单价为元/台，则买台共需元”，这里只能表示正数，只能表示0和正整数．
5．注意字母的抽象性
要逐步理解和接受有些问题的结果可能就是一个用字母表示的式子，如，我们已经习惯于计算“若每小时行30千米，则2小时就会行30×2=60千米”这样的具体结果，因为我们可以想象的到60千米大概有多远．如果换成“若每小时行30千米，则小时就会行30千米”，这样的抽象结果，初学时，有的同学很难接受，因为我们想象不到30千米大概有多远．其实，学习了用字母表示数以后，像30或等这些用字母表示的数，完全可以作为一个结果．
字母表示数
难易度：★★★★
关键词：字母表示数
答案：
分别需要7、10、13、「x+x+（x+1）」根。
【举一反三】
典题：把一张纸片剪成4块，再从所得的纸片中任取若干块，每块又剪成4块，像这样依次地进行下去，到剪完某一次为止。那么2007，2008，2009，2010这四个数中______________可能是剪出的纸片数。
思路导引：第一次（4+3×1）张，第二次（4+3×2）张，…，第n次是（4+3n）张，当纸片数分别为2007、2008、2009、2010时，只有取2008时，n是整数。
标准答案：2008。
字母表示数
难易度：★★★★
关键词：字母表示数
答案：
分别需要7、10、13、「4+3（x-1）」根。
【举一反三】
典题：生物教师在生物实验室做试验时，将水稻种子分组进行发芽试验；第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒……，按此规律，那么请你推测第n组应该有种子数（??? ）粒。
A、???????? B、????????? C、??????????? D、
思路导引：第一组3+0×2，第二组3+1×2，第三组3+2×2，……，第n组3+(n-1)×2，
标准答案：选A。
字母表示数
难易度：★★★★
关键词：字母表示数
答案：
分别需要7、10、13、(1+3x)根。
【举一反三】
典题：观察下列图形，则第个图形中三角形的个数是?????? 。
思路导引：第1图中4×1个三角形，第2图中4×2个，第3图中4×3个，…，依次，
标准答案：4n
字母表示数
难易度：★★★
关键词：字母表示数
答案：
需要901根火柴棒。三种方法需要的火柴棒相同。
【举一反三】
典题：如图是一组有规律的图案，第1个 图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，……，第(n是正整数)个图案中由???????? 个基础图形组成．
-
?
?
?
?
思路导引：用不同的方法来构建图案，就会有不同的计算方法。
标准答案：3n+1
字母表示数
【课后作业】一、P79 随堂检测.
难易度：★★★
关键词：字母表示数
答案：
（1）3v,（2）mn-pq
【举一反三】
某班级中一个小组5人，在一次测试中，小华得了72分，其余4人的平均分为a分，则这个小组的平均分数是 。
思路导引：根据平均数的公式即可列出代数式．
标准答案：
什么是代数式?
难易度：★★★
关键词：代数式
答案：
用运算符号把数和字母连接而成的式子叫代数式，单独一个数或一个字母也是代数式。
【举一反三】
典例：指出下列各式哪些是代数式？哪些不是代数式？
①a；②0；③4+x；④a>b；⑤3+6=9；⑥；⑦；
思路导引：运算符号是指加、减、乘、除、乘方这些运算的符号，“=”“>”“<” 不是运算符号。单独一个数或字母也是代数式。
标准答案：
①是；②是；③是；④不是；⑤不是；⑥是；⑦是
代数式10x+5y还可以表示什么？
难易度：★★★★★
关键词：代数式的实际意义
答案：
用x（元）表示一个苹果的价格，用y(元)表示一个梨的价格，那么10x+5y表示买10个苹果和5个梨所需要的钱。
【举一反三】
典例：如汽车速度为a千米/时，小明步行的速度为b千米/时，请你解释代数式的实际意义。
思路导引： 赋予字母a、b不同的实际意义，代数式就会有不同的意义。表示汽车走5公里所用的时间，表示小明步行1公里所用的时间。
标准答案：表示汽车走5公里和小明步行1公里所用的总时间。
代数式求值五注意
代数式求值就是指用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算进行计算的结果．在求代数式的值时要注意以下几点：
一、注意求值步骤
代数式求值的步骤一般是：
1．把给定的字母的数值代入代数式；
2．计算结果．
二、注意书写格式
代数式求值的解题格式一般是：“当……时”，用此来表示该代数式的值是在字母取这样的数值的情况下求得的．例如：当x＝－3，y＝4时，求的值．
解题的步骤和格式是：
解：当x＝－3，y＝4时，
＝＝9－12＝－3．
注意不要写成：
解：＝＝9－12＝－3．
因为这样的书写格式会给人误为求代数式的值时，字母的取值可以随意．
三、注意补上乘号
由于代数式的乘号往往被省略，当字母用数值代替时要注意补上乘号．如当a＝2，b＝1时，求3a－2b的值．
这里3与a，2与b之间分别都是相乘，当a、b用数值代替时，要注意补上乘号．即：当a＝2，b＝1时，3a－2b＝3×2－2×1＝6－2＝4．不要写为32－21＝11．
四、注意添上括号
当字母的取值为分数或负数时，一般要加上括号．如当m＝时，求3＋m的值．正确的解法是：
解：当m＝时，
3＋m＝3
＝3×＝2．
而不是3＋m＝3×．
五、注意求值的技巧
如果代数式求值是以选择题形式出现，则应运根据选择题特征，灵活运用技巧．例如：已知a＝20＋，b＝19＋，c＝21＋，那么－ab－bc－ca的值是（　　）
A．4；B．3；C．2；D．1．
这是河南省年中考题，许多人的解法是将代数式变形为，把已知变形，这样不仅浪费时间，而且犯了“小题大做”的错误．从选择支的答案可以看出，代数式的值与x的值无关，故可以对x取一个适当的特殊值．如果取x＝0，虽然很容易求出a，b，c的值，但代数式的值却不易求．x究竟取多少才合适呢？显然，取x＝－400是比较合适的，此时a＝0，b＝－1，c＝1，从而－ab－bc－ca＝0＋1＋1－0＋1－0＝3，选B．
代数式求值的几种策略
求代数式的值，除了掌握常用的求值代入的方法外，还应注意一定的策略，下面介绍几种，供参考．
整体策略
例1 （1）已知：m－n=－2，求2（m－n）－m+n+7的值
（2）已知x3－y3=19，x2y+xy2=21，
求（x3+2y3）－2（x3－2xy2+x2y）+（y3+4x2y－2xy2－2x3）的值．
分析：（1）中已知m－n=－2，要想求出m，n的具体值，显然行不通，注意到－m+n=－（m－n），故要用整体代入法求值，（2）先去括号，再考虑求值．
解：（1）∵m－n=－2
∴原式=2（m－n）－（m－n）+7=（m－n）+7=－2+7=5
（2）原式=x3+2y3－2x3+4xy2－2x2y+y3+4x2y－2xy2－2x3
=－3x3+3y3+2xy2+2x2y
=－3（x3－y3）+2（xy2+x2y）
∵x3－y3=19，x2y+xy2=21
∴原式=－3×19+2×21=－15
评注：合理地添加括号，可使有些代数式与已知条件之间的关系更加清晰，这给计算求值问题带来很大方便．
部分策略
例2 已知a2+a－1=0，求代数式a3+2a2+8的值．
分析：已知中只有a2+a－1=0，就我们现有的知识无法求出a的值，若把已知条件变形为a2=1－a等形式，部分代入，变形抵消含字母a的项即可求值．
解：∵a2+a－1=0，∴a2=1－a
∴原式=a·a2+2a2+8
=a（1－a）+2a2+8
=a－a2+2a2+8
=a2+a+8
=1－a+a+8=9
消元策略
例3 已知3x+y+2z=3，x+3y+2z=1，则2x+z的值等于 ．
分析：所求式中不含y，不妨将已知两等式变形消去y，求出2x+z的值．
解：∵3x+y+2z=3，∴y=3－3x－2z代入x+3y2z=1得
x+3（3－3x－2z）+2z=1
x+9－9x－6z+2z=1
－8x－4z=－8
－4（2x+z）=－8
2x+z=2
主元策略
例4 如果a2+ab=4，ab+b2=－1，那么a2+3ab+2b2等于多少？
分析：若选ab为主元，那么已知两等式都可用ab表示，然后代入所求式求值．
解：由已知得a2=4－ab，b2=－1－ab，把它们代入所求式有：
a2+3ab+2b2=4－ab+3ab+2（－1－ab）=4－ab+3ab－2－2ab=2
减少字母策略
例5 若m+n+p=0，m4+n4+p4=1，则m（n+p）3+n（p+m）3+p（m+n）3的值为（ ）
A、1 B、－1 C、0 D、以上都不是
分析：所求式中有（n+p）3、（p+m）3、（m+n）3，可从已知条件m+n+p=0中用一个字母表示n+p、p+m、m+n，然后代入所求代数式求值．
解：由已知m+n+p=9得n+p=－m，p+m=－n，m+n= －p
∴m（n+p）3+n（p+m）3+p（m+n）3
=m（－m）3+n（－n）3+p（－p）3
=－（m4+n4+p4），
∵m4+n4+p4=1，∴原式=－1，应选B．
取特殊值策略
例6 设a+b+c=0，abc＞0，++的值是（ ）
A、－3 B、1 C、3或－1 D、－3或1
分析：本题是选择题，由已知条件不易定a、b、c符号，故可取特殊值代入计算．
解：∵a+b+c=0，abc＞0，不妨设a=2，b=c=－1
∴所求代数式= ++=1，应选B．
评注：在取特殊值时，所取的特殊值一是要满足题设条件，如本例中a、b、c的取值既要满足a+b+c=0，又要满足abc＞0；二是要使运算简便，使字母取值的绝对值尽可能小且尽可能为整数．
谈谈代数式的“读”与“写”
代数式是初中数学的一块重要的基础知识，对于代数的读与写有着严格的要求，下面与同学谈一谈有关代数的“读”与“写”应注意的事项：
一、关于代数式的“写” ：
在书写代数式时应当注意以下五个问题：
1.代数式中出现的乘号，特别是字母与字母、数字与字母的乘积，通常简写为“? ”或省略不写，如a×b应写作“a?b”或“ab”，10×b应写作“10?b”或“10b”。
2.数与字母相乘时，一般将数字写在字母的前面，如x×3应写作3?x或3x，如果是带分数与字母相乘时，带分数还要化成假分数的形式，如，要写作“或”；而数字与数字相乘，一般仍用“×”号。
3.在代数式中出现了除法运算时，一般按照分数的写法来写，被除数作分子，除数作分母，“÷”转化为分数线。如，而的形式。
4.在一些实际问题中，表示某一数量关系有理数代数式里往往是有单位名称的，如果代数式是积或商的形式，就将单位写在式子后面即可，如，此时单位km不用加括号；而如果代数式是和或差的形式，则必须把代数式括起来，再将单位名称写在式子的后面，如。
5.在作字母表示实际问题时，还须注意一个字母只能代表一个数量，不同的量应当用不同的字母表示。字母表示实际问题中的某一量时，字母的取值必须使这个问题有意义，并且符合实际意义。如在路程s,时间t,速度v的数量关系式中，v应为正数，即。
二、关于代数式的“读”：
代数式的读法一般有两种方式：第一种方式是按照运算关系读。第二种方式是按照运算结果读。如，分别读作“a加b”或“a与b的和”，“x减5”或“x与5的差”，“s除以t”或“s与t的商”，“m乘以n”或“m与n的积”。
读代数式还应注意以下问题：
1.对于不含括号的代数式一般按从左到右的顺序来读，同时还要注意运算顺序。如读作a与b的平方的和，由于是先计算的，所以要整体读出。则读作“x与y两数的平方和”，突出平方。
2. 对于含有括号的代数式，应当将括号中的式子视为一个整体，按运算结果读出来。如读作“a,b两数的平方和”，不能读作a加b的平方。
3.由于分数具有括号和除号的双重作用，因此在读有分数的代数式时，无论是按分数读，还是按除法读都必须分子、分母分别视为一个整体去读。如读作“n与m+2的商”，不能读作n除以m加2。
4.应注意代数式的侧重点，即最后一种运算。如应读作“与的积”，或“a与5的和与它们的差的积”，在此应强调“积”。再如应读作“x与y的平方差” 在此应强调“差”；而应读作“x与y的差的平方”，强调平方。
《代数式》典型例题
例1 列代数式，并求值．
有两种学生用本，一种单价是0.25元，另一种单价是0.28元，买这两种本的数分别是m和n．（1）问共需要多少元？（2）如果单价是0.25元的本和单价是0.28元的本分别买了20和25本，问共花了多少钱？
例2 某城市居民用电每千瓦时（度）0.33元，某户本月底电能表显示数m，上月底电能表显示数为n，（1）用m和n把本月电费表示出来；（2）若本月底电能表显示数是1601，上月底电能表显示数为1497，问本月的电费是多少？
例3 春节前夕，铁路为了控制客流，使其卧铺票票价上浮20％，春节期间按原价下浮10％，若某地到北京的卧铺票原价是x元，如果在春节期间乘坐要比春节前少花多少钱，用x表示出；当时，求这个代数式的值。
例4 可以解释为___________．
例5 一个三位数，百位数上的数是a，十位上的数是b，个位上的数是c．
（1）用代数式表示这个三位数．
（2）把它的三位数字颠倒过来，所得的三位数又该怎样表示？
例6 选择题
1．x的3倍与y的2倍的和，除以x的2倍与y的3倍的差，写成的代数式是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，正方形的边长是a，圆弧的半径也是a，图中阴影部分的面积是（ ）
A． B．
C． D．
例7 通过设来计算：
例8 按给的例子，把输出的数据填上
例9 对于正数，运算“*”定义为，求．
参考答案
例1 分析 已知单价和商品数量，求商品的总价，就是用单价乘以商品数量．
解：（1）共需要（元）；
（2）把代入上式，得
（元）
所以，共花了12元钱．
说明：在列代数式时经常要用到小学学过的常用数量关系，然后和小学列算式基本相似，把数量关系中的各量用已知数和表示该量的字母表示出来，就列出了代数式．
例2 分析：根据电费＝电费 / 度×电量，就可以把本月的电费表示出来．
解：（1）本月电费可表示为元；
（2）把代入上式，得
（元）．
说明：本月底电能表显示的电量应包含以前的用电费，所以才是本月的用电量．
例3 分析：把春节前夕的票价和春节期间的票价分别用x表示出来，就可求出春节期间乘坐比春节前夕乘坐少花的钱数。
解：
当时，
说明：像这个代数式以后将可以化简。
例4 分析：该式从整体看是两个数的差，而被减数和减数都是数的平方，所以可以解释为两个数的平方差．
解：a和b的平方差
说明：在解释代数式时，必须准确反应运算关系，这和小学的读算式比较类似，要按代数式中给定的运算顺序去读．
例5 分析：a、b、c都是小于10的大于0的整数，把a放在百位上之后，它表示的意义将是a的100倍，把b放在十位上之后，它表示的是b的10倍．
解：（1） （2）．
说明：初学者容易把百位上是a、十位上是b、个位上是以c的三位数表示为，学过本节之后，见到代数式应该马上想到它表示的是a、b、c三个数的乘积．
上面所谈的错误也说明对各种问题应该多想一想．
例6 分析：1．“除以x的2倍与y的3倍的差”不同于“除以x的2倍的商与y的3倍的差”．前者的分母是，后者的分母是．
2．阴影部分面积等于正方形的面积与空白部分的面积之差．空白部分的面积等于以a为半径的圆的面积等于以a为半径的圆的面积的，可以利用圆和正方形的面积公式来解．
解：（1）A （2）D．
说明：审题必须细心．
例7 分析：设，就是说把看做是一个整体，看做和一个字母a是一回事，从而就可以把2001个分数的和用a来表示，b的情形与此相似．
解：原式

说明：上面计算中利用了分配律，还利用了相同的两个数的差是0（），读者可暂不追求对此运算过程的透彻理解．这里只是为了使读者对字母表示数的意义“略见一斑”．如果不利用字母表示数，简直不敢设想这道题怎么去算，写出运算过程又该是多么冗长。
例8 分析：从输出的例子可以发现，输入的元素，在方程中按给定的运算，经加工后输出，而给定的运算就是2（输入的元素）2＋3（输入的元素）＋4．
解：
例9 分析：这里“*”告诉我们一个运算关系，，就是说：数*数，按这个运算求．
解：因为
所以
说明：（1）“*”就应理解成给出的运算，具体运算就是；（2）在具体做题时应注意“*”和“×”不能混淆．
列代数式的方法归纳
列代数式是我们中学生应该掌握的基本功之一，也是我们进一步学好数学的基础。下面列举几种列代数式的方法，供同学们在学习时参考。
一.抓“的”字，分层翻译法
一般说来，一个“的”字就代表一个层次。抓住“的”字，按顺序分层地把语言文字翻译成数学式子——代数式。
例1.设甲数为x，乙数为y，用代数式表示：甲数的倍与乙数的a分之一的差的倒数。
分析：本题有四个“的”字，因而可看成有四个层次：第一层：“甲数的倍”用代数式表示为；第二层：“乙数的a分之一”用代数式表示为；这两层是并列关系。第三层：“甲数的倍与乙数的a分之一的差”用代数式表示为－；第四层：“甲数的倍与乙数的a分之一的差的倒数”用代数式表示为。 解：。
二.抓“等量关系”设“元”法
对于较明确的等量关系，可用设“元”法列等式，再推导出所求的代数式。
例2.用代数式表示：与2a＋3的和是b的数
分析：设未知数为x，由题意，x＋（2a＋3）＝b，即x＝b－（2a＋3）
解：b－（2a＋3）
三.抓关键词，确定数量关系法
在题目中经常会出现如“和、差、倍、几分之几”以及“大、小、多、少、倒数、相反数”等关键词，同学们在做题中应仔细审题，抓住这些关键词，从而确定它们的数量关系，列出代数式。
例3.某人上月的收入为a元，本月的收入比上月的2倍还多5元，本月的收入是 元？
分析：本题中的关键词是“倍、多”，上个月的2倍用代数式表示为2a，“比2a多5元”可表示为2a＋5。
答：2a＋5。
四.利用相关知识，列出代数式
要正确列出代数式，还应熟练掌握相关的数学知识，如（1）常见几何图形的周长、面积、体积公式；（2）实际问题，如转折问题、利润问题、储蓄问题、工程问题、行程问题中的数量关系；（3）数字问题，如a表示整数，则2a表示偶数，2a＋1或2a－1表示奇数；若a、b、c分别表示一个三位数的百位数字、十位数字和个位数字，则这个三位数可表示成100a＋10b＋c。
例4.完成一项工作，甲单独做需要a天完成，乙单独做需要b天可以完成，如果甲、乙合做需要多少天完成？（用代数式表示）
分析：这是一道工程问题，解决这类问题时常设总工作量为1，则甲的效率为，乙的效率为，甲乙合做的效率为，再由公式：知，甲乙合做需要的天数为。解：
学好代数式应注意的问题
字母表示数是从算术到代数的重要标志,体会字母表示数的意义,学好代数式,将会为我们开辟出一片崭新的代数天地.那么如何才能学好呢?
一、明确字母表示数的意义
学习中,通过用字母表示以前学过的运算律、运算法则、计算公式, 以及数学问题中的其它数量关系等,体会并明确字母表示数的意义:用字母表示数既能高度概括数学问题的本质规律,又能使数学问题的表达变得简单明了,具有简明性、普遍性、抽象性及广泛的应用性等优点.
二、弄清代数式的含义
用基本的运算符号把数与表示数的字母连接而成的式子就是代数式.如ab,2x+y,,a2等都是代数式.
温馨提示:
(1)单独的一个数或一个字母也是代数式.如-2,x等.
(2)代数式与公式、等式不同,代数式中不含有“＝”、“≠”、“＜”、“＞”等符号
(3)根据问题要求,用具体数值代替代数式中的字母,就可以求出代数式的值.
三、正确书写代数式
书写代数式时要注意如下几点:
(1)字母与字母相乘用“·”或直接省略不写,如a×b应写作a· b或ab;相同字母相乘时,写成幂的形式,如a×a×a应写成a3;数与字母相乘时,数写在字母前面并省略乘号,若带分数与字母相乘,则要把带分数化成假分数;数与数相乘,仍用“×”不能省略.
(2)代数式中出现除法运算,除号一般改用分数线.如:m除以n的商应表示为,而不是m÷n.
(3)最后结果为和差形式,并且后面有单位名称时代数式要加括号.如(a+b)米,(10x+5)元等.
四、学会列代数式
用含有数、字母和运算符号的式子把问题中与数量有关的词表示出来,就是列代数式.
(1)正确理解题中的数量关系是列代数式的基础.抓住题中的“和、差、积、商、倍、分、多、少”等词语,弄清各量之间的关系,把文字叙述的数量用相应的字母来表示.
(2)理清运算顺序是列代数式的关键.运算符号是连接数与字母的纽带,但不注意运算顺序,就易出错,一般书写顺序与语言叙述顺序是一致的,可按照先读的先写、后读的后写的原则直接列出代数式.
(3)熟悉已学的数学公式及实际问题中常用的数量关系是列代数式的重要保证.现实生活中有许多基本的数量关系,如:单价×数量=总价;速度×时间=路程;工作效率×工作时间=工作总量等,根据这些基本的数量关系,可迅速列出代数式;而与图形的面积等有关的问题,可以先把所求图形的面积看成几个常见图形的面积的和或差,再据有关公式列出代数式.
巧求计算机里的代数式的值
随着社会的发展，电脑已进入了寻常百姓家，为既能培养学生学习电脑的兴趣，又能培养学生的应用意识，各地中考试题出现了以计算机为背景的许多题目，解决这类题目的关键在于搞清计算机程序与数学之间的联系，本文以“求代数式的值”为例加以说明，供同学们参考．
例1． 下面是一个简单的数值运算程序，当输入的值为2时，输出的数值是 ．
析解：根据运算程序，若输入x最后输出的代数式是：-x+3，然后当x=2时，计算的结果为1
例2． 小王利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表：
输入
…
1
2
3
4
5
…
输出
…
…
那么，当输入数据为8时，输出的数据为　　　　　　．
析解：由1 ，2 ，3 ，不难发现规律：n ，
所以当输入的数是8时，输出的数是．
例3． 按下列程序计算，把答案写在表格内：

(1)填写表格：
输入n
3
－2
－3
…
输出答案
1
1
1
1
…

(2)请将题中计算程序用代数式表达出来，并给予化简．
析解：本题是一道以计算机程序为背景的探究题，背景新颖独特，只要按照程序的流程就能写出符合要求的代数式，然后再进行计算、填表，最后再利用整式的除法法则进行验证，答案为：代数式为：
化简结果为：1
例4． 根据如图的程序，计算当输入时，输出的结果 ．
析解：将这个流程图转化为数学表达式，可能同学们就会感觉比较亲切了，即：
，由于x=3，所以，y=-x+5= -3+5=2
例5． 定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为3n＋5；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n＝26，则：
若n＝449，则第449次“F运算”的结果是_________．
析解：根据运算程序提供的信息，可以发现循环的规律，最后计算出结果为：8
用代数式解图形问题
例1 一套住房的平面图如右图所示，其中卫生间、厨房的面积和是（ ）.
（A）4 （B） 3 （C）2 （D）
解析：结合图形，分别计算出卫生间和厨房的长和宽，然后算出面积的和.具体作法是：卫生间的长为，宽为，因此面积为；厨房的长为，宽为，因此面积为2.所以面积的和是3，选择答案（B）.
例2 一天，需要小明计算一个L形花坛的面积，在动手测量前，小明依花坛形状画了如图2所示的示意图，并用字母表示了将要测量的边长，小明在列式进行面积计算时，发现还需要再测量一条边的长度，你认为他还需测哪条边的长度？请你在图中标示出来，并用字母n表示，然后再求出花坛的面积.
解析：如图3所示，可以用两种方法量以下部位的尺寸.即L型花坛的面积为:(1)am+(b－m) n＝am+bn－mn，(2)ab－n(b－m)＝ab－bn+mn.
例3　某学校欲建如图4所示的草坪（阴影部分），请你计算一下一共需要铺设草评多少平方米？如果每平方米草坪需100元，则学校为铺设草坪一共需投资多少元（单位：米）？

　
解析：图中阴影部分的面积为a·3a+2a·3a+ a·4a+ 2a·4a＝21a2（平方米），则学校为铺设草坪一共需投资2100a2 元.
例4 窗户形状如图5，上部是半圆形，下部是边长相同的四个小正方体，计算：
（1）窗户的面积及窗框的总长.
（2）当a=50厘米时，窗户的面积及窗框的总长的值分别是多少？（结果精确到0.1厘米）
分析：窗户的面积包括两大部分，上面的半圆的面积和下面四个正方形的面积，半圆的半径是a，而窗框的总长应包括所有框架的长.
解：（1）面积为：4a2+，窗框的总长为15a+πa.
（2）当a=50厘米，窗户的面积是4a2+=4×502+=13925.0平方厘米;窗框的总长为15a +πa=15×50+3.14×50=907.0厘米.
盘点代数式的书写格式
利用代数式正确的表示数量关系，要注意书写的规范性。
一、数字与数字相乘时，中间的乘号不能用“· ”代替，更不能省略不写。
如：4乘5，写作4×5，不能写成4·5，更不能写成45
二、数字与字母相乘时，中间的乘号可以省略不写，并且数字放在字母的前面。
如：的5倍，写作5，不要写成5。
三、两个字母相乘时，中间的乘号可以省略不写，字母无顺序性
如：乘，写成或
四、当字母和带分数相乘时，要把带分数化成假分数。
如：乘 写作，不要写成
五、含有字母的除法运算中，最后结果要写成分数形式，分数线相当于除号。
如：5除以 写作，不要写成5÷；除以写作，不要写成÷
六、如果代数式后面带有单位名称，是乘除运算结果的直接将单位名称写在代数式后面，若代数式是带加减运算且须注明单位的，要把代数式括起来，后面注明单位。
如：甲同学买了5本书，乙同学买了本书，他们一共买了（5+）本
例：下列各式中符合代数式书写各式的是（ ）
÷ -1 7+厘米
解：是正确的，应写成分数形式，应把带分数化成假分数
应是（7+）厘米
初等代数介绍
初等代数是研究数字和文字的代数运算理论和方法，更确切的说，是研究实数和复数，以及以它们为系数的多项式的代数运算理论和方法的数学分支学科。
??初等代数是更古老的算术的推广和发展。在古代，当算术里积累了大量的，关于各种数量问题的解法后，为了寻求有系统的、更普遍的方法，以解决各种数量关系的问题，就产生了以解方程的原理为中心问题的初等代数。
??代数是由算术演变来的，这是毫无疑问的。至于什么年代产生的代数学这门学科，就很不容易说清楚了。比如，如果你认为“代数学”是指解ax2+bx+c=0这类用符号表示的方程的技巧。那么,这种“代数学”是在十六世纪才发展起来的。
??如果我们对代数符号不是要求象现在这样简练，那么，代数学的产生可上溯到更早的年代。西方人将公元前三世纪古希腊数学家丢番图看作是代数学的鼻祖。而在中国，用文字来表达的代数问题出现的就更早了。
??“代数”作为一个数学专有名词、代表一门数学分支在我国正式使用，最早是在1859年。那年，清代数学家里李善兰和英国人韦列亚力共同翻译了英国人棣么甘所写的一本书，译本的名称就叫做《代数学》。当然，代数的内容和方法，我国古代早就产生了，比如《九章算术》中就有方程问题。
??初等代数的中心内容是解方程，因而长期以来都把代数学理解成方程的科学，数学家们也把主要精力集中在方程的研究上。它的研究方法是高度计算性的。
? 要讨论方程，首先遇到的一个问题是如何把实际中的数量关系组成代数式，然后根据等量关系列出方程。所以初等代数的一个重要内容就是代数式。由于事物中的数量关系的不同，大体上初等代数形成了整式、分式和根式这三大类代数式。代数式是数的化身，因而在代数中，它们都可以进行四则运算，服从基本运算定律，而且还可以进行乘方和开方两种新的运算。通常把这六种运算叫做代数运算，以区别于只包含四种运算的算术运算。
?? 在初等代数的产生和发展的过程中，通过解方程的研究，也促进了数的概念的进一步发展，将算术中讨论的整数和分数的概念扩充到有理数的范围，使数包括正负整数、正负分数和零。这是初等代数的又一重要内容，就是数的概念的扩充。
?? 有了有理数，初等代数能解决的问题就大大的扩充了。但是，有些方程在有理数范围内仍然没有解。于是，数的概念在一次扩充到了实数，进而又进一步扩充到了复数。
?? 那么到了复数范围内是不是仍然有方程没有解，还必须把复数再进行扩展呢？数学家们说：不用了。这就是代数里的一个著名的定理—代数基本定理。这个定理简单地说就是n次方程有n个根。1742年12月15日瑞士数学家欧拉曾在一封信中明确地做了陈述，后来另一个数学家、德国的高斯在1799年给出了严格的证明。
??? 把上面分析过的内容综合起来，组成初等代数的基本内容就是：
??? 三种数——有理数、无理数、复数
??? 三种式——整式、分式、根式
??? 中心内容是方程——整式方程、分式方程、根式方程和方程组。
?? 初等代数的内容大体上相当于现代中学设置的代数课程的内容，但又不完全相同。比如，严格的说，数的概念、排列和组合应归入算术的内容；函数是分析数学的内容；不等式的解法有点像解方程的方法，但不等式作为一种估算数值的方法，本质上是属于分析数学的范围；坐标法是研究解析几何的……。这些都只是历史上形成的一种编排方法。
?? 初等代数是算术的继续和推广，初等代数研究的对象是代数式的运算和方程的求解。代数运算的特点是只进行有限次的运算。全部初等代数总起来有十条规则。这是学习初等代数需要理解并掌握的要点。
??? 这十条规则是：
??? 五条基本运算律：加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、分配律；
??? 两条等式基本性质:等式两边同时加上一个数，等式不变；等式两边同时乘以一个非零的数，等式不变；
??? 三条指数律：同底数幂相乘，底数不变指数相加；指数的乘方等于底数不变指数想乘；积的乘方等于乘方的积。
?? 初等代数学进一步的向两个方面发展，一方面是研究未知数更多的一次方程组；另一方面是研究未知数次数更高的高次方程。这时候，代数学已由初等代数向着高等代数的方向发展了。
代数式
典例解析
［例1］一种树苗的高度与生长年数之间的关系如下表所示：（树苗原高是100 cm）
生长年数a
树苗高度h/cm
1
115
2
130
3
145
4
（1）填出第4年树苗可能达到的高度．
（2）请用含a的代数式表示高度h．
（3）用你得到的代数式求生长了10年后的树苗可能达到的高度．
分析：这个题是实际树苗的生长的一种近似描述，即树苗在某一段生长期内，其高度的变化与年数大致成正比例，因此本题首先应找到比值，然后找出一般化的规律，最后用数值代入．
解：（1）第4年树苗可能达到的高度是160 cm．
（2）h=100+15a
（3）将a=10代入100+15a，得
100+15×10=100+150=250 （cm）
因此，这种树苗生长10年后可能达到的高度是250 cm．
［例2］某电影院有20排座位，已知第一排有18个座位，后面一排比前一排多2个座位，请写出计算第n排的座位数，并求出第19排的座位数．
分析：可将排数与对应的座位数列表，然后从中找规律，最后得到座位数与排数之间的数量关系．
排数（n）
每排座位数
1
18
2
20
3
22
4
24
5
26
第一排为［18+2（1-1）］个座位；第二排为［18+2（2-1）］个座位；第三排有［18+2（3-1）］个座位……由此可知座位数与排数之间的关系．
解：第n排的座位数是［18+2（n-1）］个
将n=19代入［18+2（n-1）］中，得
18+2×（19-1）=54．
因此，第19排的座位数为54个．
活动与探求
1．如下图所示，由一些点组成形如三角形的图形，每条边（包括两个顶点）有n（n>1）个点，每个图形总的点数S是多少？当n=5，7，11时，S是多少？
过程：让学生充分观察所给图形，每边有n个点，但每个点要用两次，因此，解题时，要考虑把每条边减去一个顶点，这样就没有重复的点了．
结果：S=3（n-1）
将n=5，7，11分别代入S=3（n-1）中，得
S1=3×（5-1）=12
S2=3×（7-1）=18
S3=3×（11-1）=30
因此，当n=5，7，11时，S分别是：12，18，30．
什么叫单项式？
难易度：★★★
关键词：单项式
答案：
代数式中，数字或字母的乘积叫单项式（单独的一个数字或字母也是单项式）。
【举一反三】
典题：下列各式是否是单项式，如果不是，请说明理由。
???? （1）x+3;(2);(3) ;(4) ;(5) ;(6)xy;(7)-abc;(8)
思路导引： 先结合对单项式概念的理解：数与字母的乘积、字母与字母的乘积、单独的数、单独的字母都是单项式来判断是否为单项式，
标准答案：
1. 不是。理由：它是数与字母的和而不是积。
2. 不是。理由：它是数与字母的商而不是积。
3. 是。
4. 是。
5. 是。
6. 是。
7. 是。
8. 是。
《整式》典型例题
例1 把下列各式填在相应的集合里：
，，，，，，，0，．
单项式集合：{ …}；
多项式集合：{ …}；
整式集合：{ …}；
例2 指出下列单项式的系数和次数：
，，，．
例3　说出下列多项式的项数、次数、最高次项系数，常数项。
（1）
（2）
（3）
（4）
例4 当m为何值时，是四次多项式．
例5 判断下列各说法是否正确，错误的改正过来；
（1）单项式的系数是，次数是2次．（ ）
（2）单项式的次数是1次．（ ）
（3）任何两个单项式的和是多项式．（ ）
（4）是单项式．（ ）
（5）不是单项式．（ ）
（6）的系数是，次数是1次．（ ）
（7）没有系数．（ ）
（8）多项式是一次二项式．（ ）
（9）是二次三项式．
例6 下列代数式中，哪些是单项式，哪些是多项式？
，，，，，，，，，．
例7 指出下列各单项式的系数和次数：
，，，，．
例8 下列多项式各是几次几项式，分别写出各多项式的项．
（1）； （2）
（3）； （4）；
（5）； （6）
参考答案
例1 解：单项式集合：{，，，0，…}；
多项式集合：{，…}；
整式集合：{，，，，，0，，…}．
说明：要注意单项式、多项式、整式的概念，特别是它们所包含的运算，另外，要注意所给式子的原始形式．如可化简为1，但它不是整式．
例2
单项式
系数
-1
次数
1
3
6
2
说明：要特别注意只含字母的单项式和系数是1或－1，只不过此时“1”省略不。
例3 分析：多项式的项是单项式，对每个单项式都有系数，因此对多项式的每一项来讲有系数，一般对常数项不说系数，对整个多项式也没有系数概念。
多项式的每一项都有次数（常数项的次数视为零次），而多项式的次数是多项式中次数最高项的次数。
解：（1）是二次三项式，最高次项系数是4，常数项是9。
（2）是三次四项式，最高次数项系数是－1，常数项是。
（3）是二次三项式，最高次项系数是1、2、1，无常数项。
（4）是三次四项式，最高次项系数是，常数项是。
例4 分析：对于多项式的次数，要充分把握住它是由组成多项式的各单项式中次数最高项的次数来表示的．因此，本例中此项应该是．
解：因为和－3分别是三次项和常数项．因此，只有当是四次项时，原多项式才是四次多项式．
所以，，
解得．
即当时，原多项式是四次多项式。
例5 解：（1）错．的系数是－，次数是3次．
（2）错．单项式的次数是3次．
（3）错．任何两个单项式的和不一定是单项式；
（4）错．是多项式．
（5）错．是单项式．
（6）对
（7）错．的系数是1．
（8）错．）多项式是三次二项式．
（9）对
说明：单项式的次数是单项式中所有字母的指数和，如的次数是次．任何两个单项式的和不一定是多项式，如单项1与单项式的和为，而为单项式．可写成，因此多项式是二次三项式．
例6 解：单项式有：，，，
多项式有：，，，．
说明：不是单项式，因为单项式只含有乘法运算或数字作除数的除法运算．可写成，因此是多项式．
例7 解：的系数是，次数是2；
的系数是，次数是3次；
的系数是1，次数是1次；
的系数是1，次数是1次；
的系数是，次数是7次；
说明： 的次数是1而不是0次，是一个分数，是一个无限不循环的分数，、都是数字因数，所以是单项式的系数．
例8 解：（1）是三次二项式，它的项分别是：，－1；
（2）是二次三项式，它的项分别；
（3）是三次四项式，它的项分别是：；
（4）是四次二项式，它的项分别是：，；
（5）是三次二项式，它的项分别是：1，；
（6）是六次三项式，它的项分别是：，，．
说明： 确定多项式的项及其系数时应包括它前面的符号．比如（3）题各项分别是，，，，而不是，，，
单项式教材分析
本节内容分为两个部分，一是单项式的相关概念，二是识别单项式的系数和次数．课本在上一节课内容的基础上设置了一个“思考”栏目，要求观察引言与例1中的5个式子的共同特点，进而自然、巧妙地引出单项式、单项式的系数和次数等概念．为了巩固概念，课本设计了例3，例题中包括5个实际问题，要求用含字母的式子（单项式）表示．通过这个例题，巩固了单项式、单项式的系数和次数等概念，也让学生进一步熟悉分析实际问题中的数量关系，并用单项式表示，为下一章学习列方程奠定基础．
本节课的教学重点是单项式、单项式的系数和次数的概念．用单项式表示简单的数量关系，是上一节用含字母的式子表示数及数量关系的延续，也是下一节学习多项式、整式及其加减，以及今后学习列方程解应用题的基础．正确地识别单项式、会找出单项式的系数和次数，既是下一节学习多项式的需要，又是进行整式的加减（合并同类项）的需要．
单项式重难点突破
1．单项式的概念
　　突破建议：
（1）从具体的数到用字母表示数或数量关系，可以揭示一些普遍存在的规律和共性，形式上更简洁，使用上更方便，更具一般性和代表性．
（2）数或字母的积组成的式子叫做单项式．单独的一个数或一个字母也是单项式．单项式是构成整(多项)式最小的元素．
（3）用字母表示数或数量关系时，同一个字母在不同的式子里表示的含义可以不一样，但相同的字母在同一个式子里应该表示相同的含义．
例1 在，，，，中，属于单项式的有(　　)．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：因为只含有数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式，据此可以判断，，，(圆周率，是常数)是单项式，，不是单项式，答案应选C．
例2 观察一列单项式：，，，，，，，…，则第2013个单项式是 ．
解析：从两个方面观察这一列单项式，一是看系数的变化规律，依次为1，3，5，7，9，11，13，…，可见第个单项式的系数为，则第2013个单项式的系数为即4025；二是看的指数的变化规律，的指数依次是1，2，2，1，2，2，1，…，可见每三个单项式其次数循环，而，所以第2013个单项式中的指数为2，所以第2013个单项式是．
2．单项式的系数、次数
突破建议：
（1）单项式的系数：单项式中的数字因数．
在判别单项式的系数时，要注意包括数字前面的“符号”，对形如或这样的单项式，不要认为它们没有系数，它们的系数分别是和．
（2）单项式的次数：一个单项式中所有字母的指数的和．
单项式的次数只与单项式中字母的指数有关，而与单项式的数字因数的指数无关，如单项式的次数是5，而不是9．一个单项的次数是几，通常称这个单项式是几次单项式．
例3 单项式的次数是(　　)．
A．3 B．2 C．4 D．-4
解析：根据单项式次数的定义可知，单项式中所有字母指数的和是2+1=3，∴此单项式的次数为3，答案应选A．
例4 单项式的系数是 ．
解析：根据单项式系数的定义可知，单项式中数字因数是，∴此单项式的系数为．
换个角度考整式
　　整式的基本概念，是中考中常见的考点，知识点虽然小，但考查的方式多样，形式新颖．除了常见的单项式及多项式的概念、单项式的系数与次数、多项式的次数、项与常数项等考点外，还有不同的考查角度与形式．
　　一、逆向开放型
例1 对单项式“5x”，我们可以这样解释：香蕉每千克5元，某人买了x千克，共付款元.请你对“5x”再给出另一个实际生活方面的合理解释：　　　．
解析：本题答案不惟一，合理即可.例如：某人以5千米/时的速度走了小时，他走的路程是千米．
中考中常见的题型是“用含有字母的式子表示数量关系”，根据整式给出一个实际生活方面的合理解释的比较少见，但充分考查了同学们的逆向思维与开放思维能力．
　　二、运算程序型
　　例2 下面是一个简单的数值运算程序，当输入的值为2时，输出的数值是 ．
　　解析：本题应该是求整式的值，答案为0．
　　三、数形结合型
　　例3 有一种石棉瓦如图1所示，每块宽60cm，用于铺盖屋顶时，每相邻两块重叠部分的宽都为10cm，那么n（n为正整数）块石棉瓦覆盖的宽度为（　　）
A．60n厘米 B．50ncm
C．（50n＋10）cm D．（60n－10）cm
　　解析：因为每相邻两块石棉瓦都有宽为10cm的重叠部分，如果我们不考虑前一块的重叠部分，则每块石棉瓦的宽可视为60－10＝50（cm），但最后一块没有与下一块的重叠部分，仍然是60cm，所以n（n为正整数）块石棉瓦覆盖的宽度为（50n＋10）cm.故选（C）.
四、探索规律型
例4 如图所示，图2－1中多边形（边数为12）是由等边三角形“扩展”而来的，图2－2中多边形是由正方形“扩展”而来的，，依次类推，则由正边形“扩展”而来的多边形的边数为　　　　　　．
解析：由等边三角形“扩展”而来的多边形的边数为3×4＝12，由正方形“扩展”而来的多边形的边数为4×5＝20，由正五边形“扩展”而来的多边形的边数为5×6＝30，由正六边形“扩展”而来的多边形的边数为6×7＝42，…，依次类推，由正边形“扩展”而来的多边形的边数为n（n+1）．
教学引入的建议
下面给出了三种整式课题引入的形式，供参考使用：
1．“请您欣赏”引入
首先，让学生欣赏几幅豪华而且优雅的室内布置．如图1是房间窗户的装饰物，当然，可以搜集更合适、更贴近教科书的图片．
图1
（假如没有多媒体教学设施的话，教师可以收集几张室内布置图画，以供学生欣赏，欣赏完之后，再参照教科书的题目，求小明房间窗户的装饰物的面积，进行教学活动．）
学生欣赏完这几幅图片后，教师这时问道：这些布置漂亮吗？是不是很豪华、很漂亮呢？
下面我们再看一下豪华、漂亮的室内布置的一个窗户．（多媒体银幕上出现了图1．）
如果如图形式装饰请你算一下大概需要多少窗帘布？
2．比赛引入
因为这是新学期的第一节新课，所以教师可以首先以比赛的形式，回忆字母表示数以及代数式的有关知识．
（1）某校学生总数为x，其中男生人数占总数的，男生人数为________；
（2）一个长方体的底面是边长为a的正方形，高是h，则它的体积为________；
（3）小英有a本书，小花的书本比小英的2倍还多b本，则两人一共有多少本书？
（4）我们共有m个苹果，有a个同学来分，每个同学分b块．还剩下多少个苹果？
学生回忆并求解这几道题．（这四个题目都相当容易，学生在较短的时间内就会解答出来．）然后，让学生边回答自己的答案，教师边板书：
（1） （2） （3）本 （4）个
然后，让学生分组讨论（1）、（2）和（3）、（4）的区别与联系，进而引出单项式、多项式以及整式的概念，引入课题．
3．“鲜花寓意”引入
用多媒体展示一幅鲜花（百合花）彩图．（假如没有多媒体设施，可以直接提问学生各种鲜花的寓意．）
我们看一下这束美丽的鲜花，哪位同学可以告诉我这是什么花？这种花代表什么？也就是有什么寓意？
（展示完这幅图后，学生的兴趣会很高，这样，就起到了激发学生兴趣的作用．）
知道这些“鲜花寓意”后，不要忘了给自己的长辈以及亲朋好友在恰当的节日送恰当的鲜花啊！你们看小明和爸爸是怎样送花的：
小明想春节送给每位老师一束康乃馨，他想了想，需要送给9位老师．而小明的爸爸要送给奶奶和爷爷各一束康乃馨，送给妈妈一束玫瑰花，送给三位很不错的战友各一束百合花；每束康乃馨的价格为a元，每束玫瑰花的价格为b元，每束百合花的价格为c元．你能帮助小明计算一下小明和爸爸各需要多少钱？两人共需要多少钱吗？
学生用代数式将结果表达出来后，再找出两个代数式的区别与联系，从而引出单项式、多项式以及整式的概念，引入课题．
《整式的加减》要点梳理
1．同类项：所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项.
注意：同类项与其系数及字母的排列顺序无关. 例如：与是同类项；而与却不是同类项，因为相同的字母的指数不同.
2．合并同类项
（1）概念：把多项式中相同的项合并成一项叫做合并同类项.
注意：①合并同类项时，只能把同类项合并成一项，不是同类项的不能合并，如显然不正确；②不能合并的项，在每步运算中不要漏掉.
（2）法则：合并同类项就是把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数保持不变.
注意：①合并同类项，只是系数上的变化，字母与字母的指数不变，不能将字母的指数相加；②合并同类项的依据是加法交换律、结合律及乘法分配律；③两个同类项合并后的结果与原来的两个单项式仍是同类项或者是0.
3．去括号与填括号
（1）去括号法则：括号前面是“＋”，把括号和它前面的“＋”去掉，括号内的各项都不变号；括号前面是“－”，把括号和它前面的“－”去掉，括号内的各项都改变符号.
注意：①去括号的依据是乘法分配律，当括号前面有数字因数时，应先利用分配律计算，切勿漏乘；②明确法则中的“都”字，变符号时，各项都变；若不变符号，各项都不变. 例如：；③当出现多层括号时，一般由里向外逐层去括号，如遇特殊情况，为了简便运算也可由外向内逐层去括号.
（2）填括号法则：所添括号前面是“＋”号，添到括号内的各项都不变号；所添括号前面是“－”号，添到括号内的各项都改变符号.
注意：①添括号是添上括号和括号前面的“＋”或“－”，它不是原来多项式的某一项的符号“移”出来的；②添括号和去括号的过程正好相反，添括号是否正确，可用去括号来检验. 例如：
4．整式的加减
整式的加减实质上是去括号和合并同类项，其一般步骤是：
（1）如果有括号，那么先去括号；（2）如果有同类项，再合并同类项.
注意：整式运算的结果仍是整式.
整式的加减课标要求
整式的加减一节主要内容包括合并同类项、去括号法则、整式加减的运算法则和求多项式的值等．《义务教育数学课程标准（2011年版）》对整式加减相关内容提出的教学要求是：
1．掌握合并同类项和去括号的法则，能进行简单的整式加法和减法运算．
2．会求整式的值；能根据特定的问题查阅资料，找到所需要的公式，并会代入具体的值进行计算．
整式的加减课标解读
一、课标要求
整式的加减一节主要内容包括合并同类项、去括号法则、整式加减的运算法则和求多项式的值等．《义务教育数学课程标准（2011年版）》对整式加减相关内容提出的教学要求是：
1．掌握合并同类项和去括号的法则，能进行简单的整式加法和减法运算．
2．会求整式的值；能根据特定的问题查阅资料，找到所需要的公式，并会代入具体的值进行计算．
二、课标解读
1．整式的加减是学生进入第三学段后最先遇到的有关式子的运算，是由具体的数字运算发展到代数式运算的转折点．整式的加减运算是今后学习整式的乘除、分式的化简等涉及（代数）式运算的基础．由于整式中的字母可以表示任意有理数，因此整式的加减运算可以类比和应用有理数的运算与加法、乘法的运算律来学习，进一步体会“（有理）数”与“（整）式”运算的相通性．
2．整式的加减法运算的实质是“合并同类项”，需要应用到去括号、加法和乘法的运算律等相关知识．因此，整式加减的学习通常从“同类项”的概念和“去括号”的法则开始．同类项是继单项式、多项式等概念后，另一个研究整式的加减运算需要学习的重要概念．判断两个单项式是否为同类项，关键要紧扣两个条件：一是含有相同的字母，二是相同字母的指数分别相同，它们缺一不可。同时需要注意，同类项与单项式的系数是否相同无关，与单项式所有字母的排列顺序无关．所有的常数项都是同类项．这些是判别同类项的基本要领．
3．合并同类项是整式加减运算的基础，也是以后学习解方程、解不等式的基础．合并同类项的根据是加法的交换律、结合律及乘法的分配律．合并同类项的法则是类比有理数的加减法运算得到的，因此，合并同类项是有理数加减法运算的延伸与拓广，具有承上启下、由（有理）数运算过渡到（整）式运算的桥梁作用．
4．去括号是数式运算重要的基础知识和基本方法，在今后代数式运算、分解因式、解方程（组）与不等式（组）等问题中经常用到．去括号的法则打破了有理数混合运算“有括号先算括号里面的”限制，使某些运算变得更加简便，如计算45-（-35+8），若先算括号里面的，则相对较为繁杂，而先去括号再进行加减运算则相对容易得出结果．去括号法则对七年级学生来说，在理解和应用上应该有一个逐步深入的思维过程，初次接触应该有一定的难度，是本节教学的重点与难点．
5．用字母可以表示数或数量关系，也可以表示特定意义的公式或具有某些规律的数．用整式表示和分析实际问题中的数量关系，能使数量之间的关系更简明，更具有普遍意义．当整式中所含字母的取值确定后，可以求得此时整式的值，通常的做法是，先将整式化简，即先去括号、合并同类项，再将字母的值代入计算，这样可以化繁为简，使运算简便，这也说明，式的运算更具有一般性，数的运算是式的运算的特殊情形．
6．同类项概念的产生源于生活中的归类思想．同类项概念及合并同类项法则的产生，都是因为数式运算的需要．由有理数概念与运算的学习，过渡到整式的相关概念与运算的学习，集中体现了由特殊到一般、由具体到抽象的认知过程，学生通过本小节内容的学习，能够感受到数学知识、思想和方法的形成和发展过程，逐步增强自身的数学思维能力．
《探索与表达规律》典型例题
例1 观察下列数表：
1 2 3 4 ……第一行
2 3 4 5 ……第二行
3 4 5 6 ……第三行
4 5 6 7 ……第四行
第 第 第 第
一 二 三 四
列 列 列 列
根据数表所反映的规律，猜想第六行第六列的交叉点上的数是多少？第n行第n列交叉点上的数是多少？
例2 用含n（n为自然数）的等式表示你对下列等式隐含的规律性的估计：
13＝1
13＋23＝9
13＋23＋33＝36
13＋23＋33＋43＝100
… … … …
例3 计算：1＋2－3－4＋5＋6－7－8＋9＋10－11－12＋…＋1993＋1994－1995－1996＋1997．
例4 （江西省中考题）
如图用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律，拼成若干个图案：
（1）第4个图案中有白色地面砖__________块；
（2）第n个图案中有白色地面砖__________块．
例5 下表为杨辉三角系数表，它的作用是指导读者按规律写出形如（其中n为正整数）展开式的系数，请你仔细观察下表中的规律，填出展开式中所缺的系数．
则
例6 （广西中考试题）
阅读下列一段话，并解决后面的问题．
观察下面一列数：
1，2，4，8，……
我们发现，这一列数从第2项起，每一项与它前一项的比都等于2．
一般地，如果一列数从第2项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数，这一列数就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比．
（1）等比数列5，－15，45，……的第4项是________；
（2）如果一列数，……是等比数列，且公比为q，那么根据上述的规定，有
，……
所以 ，
，
，
……
（用与q的代数式表示）
（3）一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项．
参考答案
例1 分析：从左上角到右下角数的排列是1，3，5，7…，所以，第六行第六列的交叉点上的数是11，第n行第n列交叉点上的数是．
解：第六行第六列的交叉点上的数是11，第n行第n列交叉点上的数是．
说明：一个偶数可以写成2n形式，一个奇数可以写成形式，其中n是整数．
例2 分析：等号右边分别是12，32，62，102，…，由1＋2＝3，1＋2＋3＝6猜想左边各底数之和，恰为右边写为幂的形式后的底数，而第四个等式恰与此猜想相符。
解：
说明：读者已经在第二章见到过类似的题目，这里得到的结果更具有普遍性。
例3 分析：通过观察可以发现，如果从前开始四个数合为一组，每一组都是连续四个自然数，前两个自然数的和减去后面两个自然数，最后再加上1997，像这样四个数一组共有1996÷4＝499组．
而当我们设每一组第一个数是n时，其中任何组都可以写成：，由此可求出结果．
解：设其中的一组中最小的数为n，则这一组就可以写成．
所以1＋2－3－4＋5＋6－7－8＋9＋10－11－12＋…＋1993＋1994－1995－1996＋1997＝（－4）×1996÷4＋1997＝1．
说明：（1）这类项很多的式的运算一般都是有规律可循的；（2）当我们设一组中最小数是n时，我们是把每一组四个数看成是正数的加减混合运算；（3）这四个数中任意一个设为n都可以求出相同的结果．
例4 分析：第1个图案中有白色地面砖6块；第2个图案中有白色地面砖（6＋4）块；第3个图案中有白色地面砖（6＋4×2）块；……由此可推迟出第n个图案中有白色地面砖的块数．
解：（1）第4个图案中有白色地面砖：
6＋4×3＝18（块）；
（2）第n个图案中有白色地面砖：
（块）．
说明：解答本题的关键在于寻找规律，其方法有多种，下面我们从另一视角去观察：第1个图案中有白色地面砖（4＋2）块；第2个图案中有白色地面砖（4×2＋2）块；第3个图案中有白色地面砖（4×3＋2）块；……由此可推，第4个图案中有白色地面砖（4×＋2＝18）块；第n个图案中有白色地面砖块．
例5 解 由杨辉三角形所给出的部分中，不难发现，下一行第二个数是上一行第一、二两数之和，笼统地讲，下一行中间的数均是上一千该数上方两数之和．由此，可猜测第五行的数字规律为1，4，6，4，1．从而则．故横线上应填4．
说明：能过观察题设中所提供的信息，认真分析，找出其中规律是解答这类题的关键所在．
例6 解：（1）－135
（2）
（3），
∴
又
∴
说明：本例呈现的是等比数列通项公式的发现与推理过程，得出公式后，再运用公式计算，考查了考生的自学与理解能力．
探索规律
活动与探究
1．将一张等腰三角形的纸片对折，使折出的两部分正好重合，按照这种方法继续对折下去：
（1）连续对折两次；你能得到多少个三角形？3次呢？4次呢？
（2）连续对折n次，你能得到多少个正方形？请说明理由．
过程：让学生动手折叠，折一次为2个，对折两次为4个，即22个，对折三次为8个，即23．……
猜想：对折n次能得到2n个正方形．
经验证：规律正确．
结果：（1）连续对折两次，能得到4个三角形，连续对折三次，能得到8个三角形，连续对折四次，得到16个三角形．
（2）连续对折n次，得到2n个三角形，因为：
对折次数
得到的三角形个数
1
2=21
2
4=22
3
8=23
4
16=24
…
…
n
2n
所以由表中数据即可得出规律：连续对折n次，得到2n个三角形．
活动与探究
1．将边长为20厘米的一张正方形纸片，剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的一个再按同样的方法剪成四个小正方形，再将其中的一个小正方形剪成四个小正方形，如此循环进行下去，①剪6次一共剪出多少个小正方形，剪18次呢？n次呢？②要剪出28个小正方形需要剪多少次？③能不能将原来的正方形剪成2001个小正方形呢？为什么？④将剪完的所有正方形，拼成原来的正方形；并画出平面图形，通过观察这个图形你发现了什么规律？
过程：让学生利用正方形纸片、剪刀，动手操作，把结果填在一表格中，以便学生发现规律，验证规律．
剪的次数（n）
1
2
3
4
5
6
……
正方形个数S
4
7
10
13
16
19
……
结果：（1）剪6次一共剪出19个小正方形．
剪18次一共剪出55个小正方形．
剪n次一共剪出（3n+1）个小正方形．
（2）要剪出28个小正方形，需要剪9次．
因为：3n+1=28，所以n=9．
（3）因为3n+1=2001，没有自然数解，所以不能将原正方形剪成2001个小正方形．
（4）每次剪得的正方形的边长都是前一次剪得的小正方形边长的一半．
每次剪出的小正方形的面积都是前一个正方形面积的四分之一．
典型题目
1．观察下列算式．
12-02=1+0=1
22-12=2+1=3
32-22=3+2=5
42-32=4+3=7
52-42=5+4=9
……
若用字母n表示自然数，请你把观察出的规律用含n的式子表示出来．
答案：用字母n表示自然数，则算式规律为：n2-（n-1）2=n+n-1=2n-1
2．将正偶数按下表排成5列：
第1列 第2列 第3列 第4列 第5列
第1行 　2 　4 　6　　　　　　8
第2行　　16 14　　　　　 12　　　　 10
第3行　　　　　　　 18　　　　　 20　　　　 22　　　　　　24
…　　　　　　　　　 …　　　　　 28　　　　 26
根据上面排列规律，则2000应在（　）
A．第125行第1列　　
B．第125行第2列
C．第250行第1列
D．第250行第2列
答案：C
3．
上图是由矩形和正方形从左到右逐个交替并连而成，请观察图形并填下表（表中n为正整数）
矩形与正方形的个数
1
2
3
4
5
6
…
2n-1
2n
图形周长
6
8
12
14
18
答案：20　6n　6n+2
观察日历图的矩形套色方框中的9个数之间有什么关系？
难易度：★★★
关键词：探索规律
答案：
每行中，后一个数比前一个数大1，没列中，下列的数依次比上列的数大14，处于对角线位置上的
数相差8.
【举一反三】
典例：有一组数：1，2，5，10，17，26，…，请观察这组数的规律，用你发现的规律确定
第8个数是??????????? 。
思路导引：探索4规律有三步：一是观察，观察数的变化，二是猜想，猜想变化的规律，三是
验证，用每个数进行验证，特别是首项和末项。
标准答案：
试着探索与表达规律
在小学中，我们学习的大都是很具体的数，也有些抽象化的数，如圆的周长公式中，l＝2πr，这个r可代表1cm、2cm、3cm等.用字母表示一类规律，显得简明扼要！学了《整式》后，有许多提供数字形式的问题，要我们探索并能用字母来表达出一般性的规律.
如何探索和表达出规律呢？可从以下三个层次来突破：
一是寻找数量关系；二是用式子表示出规律；三是验证规律.
寻找式子中的数量关系，关键在于把题中提供的每一项都转化成相同的结构，再看哪些项不变，哪些项变，变的项和相应的序号之间有什么关系.
例1　观察1×3＝3，3×5=15，5×7=35，…， 你发现了什么规律，请用含n的式子表示出来.
分析：我们把上式改写成①1×3＝22－1，②3×5=42－1，③5×7=62－1，….
先看每一项的数字特征，再看整体结构.发现左边是两个连续奇数相乘，右边正好是这两个连续奇数所夹的偶数的平方再减去1.左边两个连续的奇数分别表示为(2n－1)、(2n＋1).
解：所发现的规律为(2n－1)（2n+1）＝（2n）2－1（n≥1的整数）.
验证：当n＝2时，代入后正好是3×5=42－1＝15.
点评：学会个别观察，再进行整体观察，就能探索出规律！
例2　两个相同的数字，不许使用运算符号，能摆成的最大的数字是多少？有个同学从“若是两个6，它们可排成66和66两种形式，显然66＜66”，得出＜aa这个结论，你认为呢，试用字母表示出你发现的规律.
分析：我们用具体的数来试验，看其中有什么特点.好在两个相同的数字不多，我们可一一列举.
解：若是两个1，它们可排成11和11两种形式，显然11＞11；
若是两个2，它们可排成22和22两种形式，显然22＞22；
　　若是两个3，它们可排成33和33两种形式，显然33＞33；
若是两个4，它们可排成44和44两种形式，显然44＜44；
若是两个5，它们可排成55和55两种形式，显然55＜55；
若是两个6，它们可排成66和66两种形式，显然66＜66；
若是两个7，它们可排成77和77两种形式，显然77＜77；
　　若是两个8，它们可排成88和88两种形式，显然88＜88；
若是两个9，它们可排成99和99两种形式，显然99＜99.
我们发现，结论前后不是按同一种规律变化.在表示时，需要分段来表达.
设a是表示从1到9的自然数，表示它写成两位数的形式，则当a是1、2、3时， ＞aa；当a是4～9时，＜aa.
点评：用列举法来寻求规律，是一种常用方法，但我们要考虑是否在不同的阶段，有不同的变化.
这里我们还可以用方程法来推理，＝10a＋a，则＞aa变成11a＞aa，两边都约去a，得11＞aa＝1，则只有a是1、2、3时才成立！
同学们，你们能把它推广到三个相同的数字的情况吗？
用字母表示出一类规律，要多观察、善比较，才可能找出规律，并且验证找到的规律是否适用于所有形式．找到了规律，就能借用它来解题了.
中考“有理数”考点例析
“有理数”是中学数学最基础的知识，在中考中占有一定的比例，且是必考内容。综观近几年各地中考题，主要考点有以下几种类型。
考点一：考查正、负数的意义
例1 如果水位下降3 m记作－3m，那么水位上升4 m记作（ ）
A、 1m B、 7m C、 4m D、 －7m
析解：本例主要考查具有相反意义的量，应选C。个别同学易同有理数加法相混而误选A。
考点二：考查有理数加减的意义
例2 已知甲地的海拔高度是300 m，乙地的海拔高度是－50 m，那么甲地比乙地高
m。
析解：由有理数减法的意义易知甲地比乙地高300－（－50）=350（m）。
考点三：考查基本概念
例3 已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值等于1，求a＋b＋x2－cdx的值。
析解：考查相反数、倒数与绝对值的概念，由已知易得a＋b=0，cd=1，又由|x|=1可知x=±1。
当x=1时，原式=0＋12－1×1=0，
当x=－1时，原式=0＋（－1）2－1×（－1）=2.
所以a＋b＋x2－cdx的值是0或2。
例4 已知p与q互为相反数，且p≠0，那么p的倒数是（ ）
A、 B、 － C、3q D、 －3q
析解：由已知有p＋q =0，所以p=－q，从而= －，故应选B。
考点四：考查有理数大小的比较方法
例5 下表是我国四个城市某年某日的平均气温 ：
北京
乌鲁木齐
上海
广州
－7.6℃
－20.8℃
0.5℃
12.7℃
请将以上各城市这一日的平均气温按从低到高的顺序排列 。
析解：应注意两个负数比较大小时,绝对值大的反而小.由|－20.8|＞|－7.6|可知从低到高排列应为－20.8℃＜－7.6℃＜0.5℃＜12.7℃。
例6 在1，—1，—2这三个数中任意两数之和的最大值是（ ）
A、1 B、 0 C、 —1 D、—3
析解：先求出任意两数之和再比较，由题意应有如下三个值1+（－1）=0；1＋（－2）=－1；（－1）＋（－2）=－3。故易知应选B。
考点五：考查科学记数法、近似数等
例7 2003年6月1日9时，举世瞩目的三峡工程正式下闸蓄水，首批4台机组率先发电，预计年内可发电5500000000度，这个数用科学记数法表示，记为 度。近似值0.30精确到 位，有 个有效数字。
析解：本题主要考查了科学记数法的概念及近似数的有关知识，另外试题注意了学科知识的渗透及用数学的意识。5500000000=5.5×109；近似数0.30精确到百分位（即精确到0.01），有两个有效数字。（注意是从左边第1个不是零的数字起到最末一位止的所有数字）。
考点六：考查有理数的运算
例8 （1）计算：－9＋5×（－6）－（－4）2÷（－8）；
（2）计算：（－1）5―[―3×（―）2―1÷（－2）2].
析解：计算此类题目，应注意运算顺序，光算乘方，再算乘除，最后算加、减。如果有括号就先算括号里面的。
（1）原式=－9＋5×（－6）－16÷（－8）
=－9－30＋2=－37；
（2）原式=－1―[―3×―÷4]
=－1－（―－）=－1－（－）
=－1＋= .
考点七：考查非负数的性质
例9 若有理数a、b满足|3a－1|＋(b-2)2=0，则ab的值为 。
析解：由绝对值及平方的非负特征，可知|3a－1|≥0，(b-2)2≥0，又|3a－1|＋(b-2)2=0。故只能有|3a－1|=0，(b-2)2=0，所以 a= ，b=2。
∴ ab=（）2= 。
考点八：考查数学思想方法
例10 设a是大于1的有理数，若a，，在数轴上对应的点分别记作A、B、C，则A、B、C三点在数轴上自左至右的顺序是（ ）
A． C、B、A B. B、C、A C. A、B、C D. C、A、B
析解：本题考查有理数大小的比较方法，同时考查常用数学方法的灵活应用。如本题采用取特殊值法进行比较，则显得简捷明快。
因为a＞1，所以不妨取a=4，则=2，=3，由2＜3＜4知＜＜a。故应选B。
例11 如下图，若数轴上A、B两点表示的数为a、b，则下列结论正确的是（ ）
A、 b－a＞0 B、a－b＞0 C、2a＋b ＞0 D、a＋b＞0
析解：本题主要考查能否应用数形结合的思想并结合加、减法则进行判断，由图形知a＜－1，0＜b＜1，a＜b； 所以b－a = b＋(－a) ＞0；a－b＜0；显然2a＋b＜0；a＋b＜0。所以只有A正确，故选A。
（注：此题也可由图形取特殊值。如取a=－2，b=0.5等，通过计算验证。）
例12 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非。”在一个边长为1的正方形纸版上，依次贴上面积为，，，…，的矩形彩色纸片（n为大于1的整数），请你用“数形结合”的思想，依数形变化的规律，计算＋＋＋…＋= 。
析解：本题启示我们，运用数形结合思想构造几何图形，常可巧解代数题。如右图，事实上，这样一直贴下去，即是面积分别为、、、…、的小矩形面积之和，而这恰好等于边长为1的大正方形的面积，故＋＋＋…＋=1。
考点九：考查数学思维能力
例13 已知|ab－2|与（b－1）2互为相反数，试求代数式＋＋＋…＋的值。
析解：由已知仿例9可知|ab－2|=0，（b－1）2=0，所以ab－2=0，b－1=0，从而a=2，b=1。
则原式=＋＋＋…＋＋
=(1－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＋(－)
=1－= .
注：应予以本题用到了逆向思维的思想（逆用分数加减法则），应予以重视。
例14 从2开始，连续的偶数相加，和的情况如下：
2=2=1×2，
2＋4=6=2×3，
2＋4＋6=12=3×4，
2＋4＋6＋8=20=4×5，
……
（1）请推测从2开始，n个连续偶数相加，和是多少？
（2）取n=6，验证（1）的结论是否正确？
析解：（1）观察已知的等式，可以发现，等号右边第一个因数是左边偶数的个数，而第二个因数比第一个因数大1，故n个连续偶数相加，和是n(n＋1)。
（2）当n=6时，2＋4＋6＋8＋10＋12=42，n(n＋1)=6×(6＋7)=6×7=42。
∴当n=6时，（1）的结论成立。
例15 先观察下列算式，再填空：
32－12=8×1，52－32=8×2
（1）72－52=8×( )， （2）92－( )2=8×4
（3）( )2－92=8×5，（4）132－( )2=8×( )……。
通过观察归纳，写出反映这种规律的一般结论： 。
析解：通过计算或根据规律可得应填数据。（1）3，（2）7，（3）11，（4）11，6。
结论：两个连续奇数的平方差能被8整除。
评注：本章内容在中考中大多以填空题，选择题的形式命题。综观近几年各省市中考题，考查的重点内容是相反数、倒数、非负数、绝对值的概念及有关性质，有理数的大小比较，近似数与科学记数法，另有与之相应的创新、探究型问题，但万变不离其宗，关键是理解并掌握基本概念及运算性质。我省这部分内容每年的分值均在4分左右，且较简单。
2.12　用计算器进行运算
1．初步了解计算器
(1)计算器面板的构造
计算器的面板由键盘和显示器两部分构成．显示器的功能是显示输入数据和结果．键盘的每个键都有不同的功能．
(2)计算器常用键盘的功能及使用方法介绍
功能键：
①是开启计算器键．按下这个键，计算器就处于开机状态．
②是删除键，删除光标所在位置的数字或符号.键是清除键，清除全部显示及本次操作内容，与键是有区别的．
③是第二功能键，如在计算器的面板中，直接按下键，计算器直接执行第一功能，即完成运算或执行指令；先按键，再按键，执行第二功能．键盘上有些键的上边注明了这个键的第二功能．
④ 是关闭计算器键，按一下这个键，计算器就处于关闭状态．
⑤（键，）键是左右括号键，可以输入左右括号．
⑥的功能是使录入的数据或计算的结果取负值．
⑦的功能是完成运算或执行指令．
运算键：
①是运算键，按一下这个键，计算器就执行加法运算．与之类似的还有，，各键．
②是平方运算键．如输入62，先输入，再按键，最后按键．
③键(不同型号的计算器标志不一样)：键可以执行乘方运算，使用方法是先按底数，再按键，最后按指数．例如输入63时，先按底数，再按，最后按指数.
④键：键的功能是将数值在小数(D)形式与标准(S)形式(分数、π)之间转换．
谈重点 应用计算器的前提　记住键盘上各个键的功能和输入方法，是应用计算器解题的基础．
【例1】 计算器上的键的功能是(　　)．
A．开启计算器 B．关闭计算器
C．清除刚输入的内容 D．计算乘方
解析：归零是清除现有数据重新输入，是清除全部数据结果和运算符号．
答案：C
2．用计算器进行数的简单运算
用计算器进行加、减、乘、除、乘方等运算主要有三种形式，一是给出键入的各个键及其顺序，要求填写答案；二是给出较繁杂的计算式子，要求用计算器计算；三是给出简单的算式及几种键入的方案，要求判断正确性．
科学计算器能够先乘方、再乘除、最后加减，所以做混合运算时，按键顺序与书写顺序完全一样．
输入错误时的改正：用左右方向键将光标移到你要改正的位置，按键消除目前光标键所在位置的数字，修改后，再按光标键返回原来的位置．
谈重点 使用计算器前要看说明书　不同型号的计算器的显示屏，键盘的形状、键的名称和功能，以及运算的按键方法都不一定相同，要看说明书．
【例2－1】 用计算器计算(－3)2，正确的按键方法是__________．
解析：用计算器计算(－3)2，应当先输入底数，再输入键，最后按键．
答案：（ （一） 3 ） 　
【例2－2】 用计算器计算：≈__________(精确到0.001)．
解析：键入
，显示0.095 091 595 58≈0.095.
答案：0.095
警误区 应用计算器计算最常见的错误　应用计算器计算最常见的错误是漏掉括号，造成运算顺序错乱．对于分数型计算题，当分子或分母含有加减运算时，为了确保分子、分母的整体性及运算的正确顺序，务必对分子、分母添加括号．
3．用计算器计算
在利用计算器计算时，一定要按照算式的书写顺序输入，即按从左到右的顺序输入，而不能按有理数的运算顺序输入．
不同型号的计算器可能会有不同的按键顺序．如输入负数－5，有的计算器是 或 ，有的则为 .
对于加、减、乘、除和乘方的混合运算，只要按算式的书写顺序输入，计算器会按要求算出结果．
对于小于1的小数，可以省略0，直接从小数点开始输入．
平方或立方运算在输入时，有不同的方法，要多加体会．
警误区 用计算器计算时不要漏掉括号　用计算器计算时，不要漏掉括号，由于一个括号往往不是同时出现的，所以也不要漏掉括号的某一部分．
【例3】 用计算器计算：
(1)(－31.2)÷(－0.4)；
(2)－25×2＋15÷0.75；
(3)(3.1－4.4)×32－＋(－1.1)2×10.
分析：按从左到右的顺序直接输入，注意括号是成对出现的，要成对的在正确的位置输入．同时要区别负号和减号的不同．
解：(1)按键顺序为 ，显示：78，所以(－31.2)÷(－0.4)＝78.
(2)按键顺序为 ，显示结果为－30，所以－25×2＋15÷0.75＝－30；
(3)按键顺序为
，显示结果为0，所以(3.1－4.4)×32－＋(－1.1)2×10＝0.
4．借助计算器探究规律
利用计算器可以解决中考中的一些探究规律的新型题，解题时，一般要通过计算器求几个特殊算式的结果，从而类推得到一个较一般的结论．不仅考查同学们运用计算器的操作能力，还考查同学们的思考、分类和找规律的能力．
用计算器进行有理数的规律探究，可以方便快捷地寻找到运算内在的规律，但在解题时，一定要细心观察，同时每按一次键都要注意显示屏上显示的运算符号和结果，以免出现漏按或按不对而出现的运算错误．
【例4】 用计算器计算下列各式，将结果填写在横线上．
99 999×11＝__________；99 999×12＝__________；
99 999×13＝__________；99 999×14＝__________.
(1)你发现了什么？
(2)不用计算器，你能直接写出99 999×19的结果吗？
分析：用计算器计算，得99 999×11＝1 099 989；99 999×12＝1 199 988；99 999×13＝1 299 987；99 999×14＝1 399 986.
解：1 099 989　1 199 988　1 299 987　1 399 986
(1)通过计算观察可发现以下规律：如果n是11,12，13，…，20中的任何一个数，则99 999×n＝(n－1)9 998(20－n)，其中(n－1)9 998(20－n)是1个7位数，前2位是n－1，个位是20－n，中间4个数字总是9 998.
(2)根据以上规律可直接写出：99 999×19＝1 899 981.
《用计算器进行运算》典型例题
例1 用计算器计算：（0.7－2.3－4.8）＋（－0.4）
分析 我们应按题的要求输入这个算式，再按执行键就可以计算出结果。
解 用计算器按键的顺序是：
，显示16，所以（0.7－2.3－4.8）÷（－0.4）＝16。
说明：现在很多计算器可以显示输入的数据，所以在输入完数据之后我们应该注意检查一遍是否有误，当确信输入无误时，我们再按执行键算出结果来。
例2 用计算器计算：
分析 按算式从左到右的顺序把算式所要求的数据输入计算器内，这时的可以按分数的形式输入，也可以看成是3÷5按除法形式输入。
解 用计算器按键的顺序是：
显示：－51.56
所以：
＝－51.56
说明： 有时为了使输入比较简单，有时比较容易口算的也可以直接输入一部分的结果，从而减少输入量。如上题我们可以如下输入：
例3 用计算器计算：为了了解初三（一）班学生的营养状况，随机抽取了8位学生的血样进行血色素检测，测得结果如下：（单位：克）
13.8 12.5 10.6 11 14.7 12.4 136. 12.2，求这八个数的平均数．
分析 只需求出八个数的和再除以8，按算式的书写顺序输入．
解 算式为（13.8＋12.5＋10.6＋11＋14.7＋12.4＋13.6＋12.2）÷8
按键顺序为
显示结果为12.6
答：这八名学生血色素的平均数为12.6克．
说明 充分发挥计算器的优点，减少不必要的时间损耗．
初学有理数的常见错误剖析
对于初学有理数者，在解题中出现错误是难免的，也是正常的，但必须弄清产生错误的原因，掌握正确的解答方法，只有这样才能逐步形成数学基本技能和能力，本文就有理数这一部分中的解题易犯错误归纳剖析如下．
一．答案不完整
例1．若一个有理数的：①倒数②绝对值③平方④立方，等于它本身，则这个数分别是⑴ ；⑵ ；⑶ ；⑷ ．
错误答案：⑴ 1 ⑵正数 ⑶1 ⑷±1 ．
分析：给出的答案不完整，漏掉了一些符合条件的数，产生错误的原因主要是把数的认识局限在正数范围之内，忽视0和才引进的负数，对数的范围的拓宽不适应，另外由于对负数、倒数、绝对值等概念没有完全正确理解而造成的错误．
正确答案是：⑴ ±1 ⑵ 正数和0 ⑶ 1和0 ⑷±1和0．
二．分类不明确
例2．有理数中，⑴最小的正整数是　　　　；⑵最小的整数是　　　　　；⑶绝对值最小的数是　　　；⑷最小的正数是　　　　　　．
错误答案：⑴ 0 ⑵ 1 ⑶ 1 ⑷ 1 ．
分析：产生错误的原因，一是对有理数的分类没有弄清楚，二是“任意两个有理数之间总至少存在一个有理数”的性质不理解，当然也有一部分同学因“正数”和“整数”的概念混淆而导致错误．
正确答案：⑴ 1 ⑵ 不存在 ⑶ 0 ⑷ 不存在 ．
三．概念不清晰
例3．判断正误：
（1）任何一个有理数的相反数和它的绝对值都不可能相等（ ）
（2）任何一个有理数的相反数都不会等于它的倒数（ ）
错误答案：⑴ ∨ ⑵ × ．
分析：第（1）小题失误原因，一是误认为一个有理数a的相反数－a总是负数；二是误认为能够等于a，而得到≠－a，究其根源是对“相反数”和“绝对值”的概念还没弄明白．第（2）小题失误原因是对一个有理数和它的倒数，以及相反数的符号之间的关系不清晰所致．
正确答案：⑴ × ⑵∨．
四．运算不准确
1．运算符号错误
例4．计算
错解：原式=25－8=17．
剖析：此解将120前面的“－”号既视为运算符号，又视为性质符号，以致出错．应当注意“－”号在运算中只能当作二者中的一种．
正解：原式=25－（－8）=33．
例5．计算
错解：原式=16＋6－5=17．
剖析：此解忽略了与的区别，表示4的平方的相反数，其结果为－16，表示两个－4相乘，其结果为16。应该注意“平方的相反数”与“相反数的平方”之间的区别与联系．
正解：原式=－16+6－5=－15．
2．运算顺序错误
例6．计算
错解：原式=（－2）÷（－2）=1．
剖析：此解法中的错误是违背了运算顺序，乘除为同一级运算，在同级运算中，应从左到右的顺序依次进行。而这里先做了乘法，后做除法．
正解：原式=．
例7．计算．
错解：原式=4+9+0×（－1）=13．
剖析：上面解法错在没有注意运算顺序，按从左到右的顺序依次计算。在中，先算了减法，后算乘法．
正解：原式=4+9++=14．
3．运算性质错误
例8．计算．
错解：原式=．
剖析：上面解法中，出现了三个运算性质上的错误：一是；二是；三是．
正解：原式=．
4．滥用运算律
例9．计算36÷（－－）．
错解：原式=36÷－36÷－36÷．
剖析：对于乘法有分配律a(b+c)=ab+ac，但除法却没有相应的分配律，即a÷(b+c)≠a÷b＋a÷c，上述解法错在乱造公式，乱套公式．
以上所列错误，究其原因，主要是对有理数的有关概念不明，运算性质、运算法则不熟所致，因此，在学习有理数时，一定要正确理解概念，准确运用运算性质，熟练使用运算法则，提高解题能力．
计算器进行数的简单计算
【问题】二、如何应用计算器进行混合运算？
难易度：★★★★
关键词：计算器进行数的简单计算
答案：
按照运算顺序按键。
【举一反三】
用计算器计算124× ，按键的顺序为（ ）。
思路导引：分别根据计算器的基础知识，用计算机计算出124× 即可，按键的顺序：对于含有幂指数的，应先按底数所指的那个键、按xy那个键、按指数所指的那个键、按×键，对于 ，应按1、ab/c、1、ab/c 5，由此可求出其按键顺序．
标准答案：12xy4×1ab/c1ab/c5=
《用计算器进行运算》教法建议与教材分析
教法建议
1．在教学中，可以要求学生统计班级中所使用的同自己相同型号的计算器的同学，并组成一个临时小组，上课时由每个小组推举一人介绍所使用的计算器的型号，并尽可能提供一些现实问题或探索规律的问题，使学生熟悉计算器的用法，同时有机会设计简化程序．
2．要使学生知道计算器引入的主要目的是解决实际问题中的复杂运算，并能探索一些有趣的数学规律．
3．在教学中，应鼓励学生自己探索计算器的用法．并尽可能提供现实问题或探索规律的问题，使学生熟悉计算器的用法．
教学目标
1．学会使用计算器进行有理数的加、减、乘、除、乘方运算．
2．经历运用计算器探求规律的活动，发展合情推理能力．
3．能运用计算器进行实际问题的复杂运算．
教学重点难点
本节教学的重点和难点是计算器的使用．
计算器具有运算快、操作简便、体积小、携带方便等特点.在信息高速发展的时代，它已成为人们广泛使用的计算工具.计算器上的每个键都有其各自的功能，不同的计算器的功能、使用方法会有一些不同，这点需要学生熟悉自己的计算器，通过练习逐步熟练．计算器的使用，也是学生动手操作能力的一种体验，除进行有理数的运算外，还可以涉及一些其它的功能，培养其自主研究的学习方法．
有理数的意义错题解析
例1　 小学学过的数的前面添上“－”号，得到的数都是负数．这句话对吗？若不对，怎样改正？
错解　 这句话是对的．
诊断
这句话是不对的．因为小学学过的数除自然数、正分数(小数可以化成分数)外，还有0．在0的前面添上“－”号仍是0，而0既不是正数，也不是负数．
正确解答　 这句话不对．改为：小学学过的数(0除外)的前面添上“－”号，得到的数都是负数．
例2　 有理数包括哪些数？
错解　 有理数包括正数、零和负数．
诊断　 零当然是有理数，但正数和负数中，还有不是有理数的数，只不过我们现在还没有学罢了．
正确解答　 有理数包括整数和分数．
把有理数6.4、-9、25，－100
按正整数，负整数，正分数，负分数分成四个集合．
错解
正整数：｛＋10，1，25，…｝
负整数：｛－9，－100，…｝
诊断
题目是要求把给出的10个数分成四个集合，显然每个集合中的有理数是有限个．上述解答把每个集合中的有限个数全部写出来之后，又写上了省略号，把有限个变成了无限个，这显然是错的．
说明　 省略号是表示还有许多没有写出来的数，或者表示无穷个数．
例4　 最小的正整数是几？最大的负整数是几？
错解　 最小的正整数是零，最大的负整数不存在．
诊断
零是整数，但它既不是正数也不是负数，因而最小的正整数应该是1．解题者由于受“不存在最大正整数”负迁移作用的影响，导致出不存在最大的负整数的错误结论．事实上，根据两个负数，绝对值小的反而大，可以得到最大的负整数是－1．
例5　 －a一定是负数吗？
错解　 －a一定是负数．
诊断
之所以出现上面的错误，其原因是解题者对字母表示数的认识肤浅，加上解题者又从形式上看问题．事实上，如果a表示－5，那么－a表示－(－5)=5；如a表示0，那么－a也表示0．
正确解答　 －a不一定是负数，可以是正数，也可以是0．
说明　 0经常出现在各种数学问题中，在思考问题时，要注意考虑0这一特殊情况．
例6　 数轴的三要素是什么？
错解　 数轴的三要素是指原点、正方向、长度单位．
诊断
上面的回答错在混淆了“单位长度”和“长度单位”这两个概念．看起来只有词序不同，但实际意义不一样．“长度单位”是一个确定的量，如厘米、分米等．而“单位长度”不是确定的，它的大小可根据实际需要适当选取．当然还可用一个或若干个长度单位来作为一个“单位长度”．
正确解答　 数轴的三要素是原点、正方向和单位长度．
例7　 在数轴上记出下列各数：
＋5.5，－6，4，－3.5，1．5．
错解　 如图2－1．
诊断　 只有标明了原点、正方向和单位长度的直线，才是数轴．上面画的数轴错在没有标出原点和单位长度．
正确解答　 如图2－2．
例8　 任何一个有理数与它的相反数不相等．这话对吗？
错解　 这话是对的．如7的相反数是－7，7与－7不相等．
诊断
这句话不对．其原因是把零排除在有理数之外了．因为任何一个有理数包括正有理数、负有理数和零，而零的相反数是零，即零和它的相反数相等．
正确解答　 这话不对．应改为：任何一个不等于零的有理数与它的相反数不相等．
例9　 写出绝对值不大于5的整数．
错解　 绝对值不大于5的整数是：－4，－3，－2，－1，1，2，3，4．
诊断
上面解答错误有两处：其一，把符合条件的零排除在整数集合之外；其二，对“不大于”的含义认识模糊．事实上，“不大于”包括“小于”或“等于”两层意思，不能把“等于”排除在外．
正确解答　 绝对值不大于5的整数有：－5，－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4，5．
例10　 什么数的绝对值是它的相反数？
错解　 负数的绝对值是它的相反数．
诊断
上面解答错在漏掉了零．因为零的绝对值和零的相反数都是零．进入有理数后，零这个角色越来越重要了，我们对它要加倍注意．
正确解答　 零和负数的绝对值是它的相反数．
例11　 比较下列每对数的大小：
(2)－|－3|和－(－2)；
(3)－(＋3.25)和－|－3.245|．
(2)因为－|－3|的绝对值是3，－(－2)的绝对值是2，根据“两个负数，绝对值大的反而小”的法则，
所以－|－3|＜－(－2)．
(3)因为－(＋3.25)=－3.25，
－|－3.245|=－3.245，而－3.25＞－3.245，
所以－(＋3.25)＞－|－3.245|．
为绝对值大的负数反而小．
(2)的解答最后的结论是根据“两个负数绝对值大的反而小”得到的．但－|－3|和－(－2)不都是负数，因而以“两个负数，绝对值大的反而小”为根据，就错了．事实上，－|－3|=－3，－(－2)=2，因为正数大于一切负数，所以－|－3|＜－(－2)．
(3)的解答中的错误在于－3.25不大于－3.45，其原因是由于解题者还停留在正数比较大小上．事实上，－(＋3.25)和－|－3.245|都是负数，应该用两个负数比较大小的法则．即－3.25的绝对值是3.25，－3.245的绝对值是3.245，而3.25＞3.245，所以－3.25＜－3.245，即－(＋3.25)＜－|－3.245|．
例13　 比较a与(－a)的大小．
错解　 因为a是正数，－a是负数．
所以a＞－a．
诊断
这里不加分析就断定a是正数，－a是负数，这是毫无根据的．我们知道，字母a可以表示正数，也可以表示负数，还可以表示0．因此a与－a的大小要依a的取值范围而定．
正确解法　 (1)当a＞0时，a是正数，－a是负数，
所以a＞－a；
(2)当a＜0时，a是负数，－a是正数，
所以a＜－a；
(3)当a=0时，a与－a均为零；
所以a=－a．
例14　 如果a＜0，b＜0，且|a|＞|b|，试比较a与b的大小．
错解　 a＞b．
诊断
上面解答出现错误的原因是：解题者对两个负数大小比较法则的语言叙述与数学符号表达式之间不能互相翻译、转换．事实上，由a＜0，b＜0知a，b两数都是负数，又由|a|＞|b|知负数a的绝对值比负数b的绝对值大．再根据两个负数大小比较的法则就不难得出a＜b．
例15　 已知a＞0，b＜0，a＜|b|，试把－a，－b，a，b用＜连结起来．
错解　 －a＜b＜－b＜a．
诊断
解题者对这类较抽象的数的大小比较，常常不知道从何处下手，往往凭主观猜想乱写结论．上面解答之所以出错，主要是解题思想方法不对所造成的．即未把－a和－b所对应的点在数轴上标出来．事实上，a和－a是互为相反数，它们分别在原点的两侧，且到原点的距离相等，b和－b也是如此．因此在数轴上标出有理数a，－a，b，－b，那么这四个数的大小关系就一目了然．
正确解法
画数轴．由a＞0，b＜0知表示a，b的点分别在数轴上原点的右边和左边，且由a＜|b|和a＞0知|a|＜|b|，所以表示a的点离原点较近．因－a，－b与a，b互为相反数和a＜|b|，再找出－a，－b两点(如图)．显然，b＜－a＜a＜－b．
例16　 |x|=±x吗？
错解　 |x|≠±x．如|2|=2≠±2．
诊断
出现上述错误的原因是：解题者对绝对值的定义没有理解透彻．我们知道，要去掉绝对值符号，应从绝对值的定义出发，根据x的不同取值情况加以讨论．
正确解法
当x＞0时，|x|=x；
当x=0时，|x|=x；
当x＜0时，|x|=－x．
例17　 x为何值时，|x＋1|=－(x＋1)．
错解　 当x＋1＜0，即x＜－1时，上式成立．
诊断　 根据绝对值定义，|a|=－a成立的条件是a≤0．上面解答忽视了x＋1=0的可能性，使解题失去完整性．
正确解法　 当x≤－1时，|x＋1|=－(x＋1)．
例18　 某同学归纳出求一个数的绝对值的方法如下：“因为－3的
这个数前面的符号去掉，就得到它的绝对值”．这样的方法对吗？
错答　 对．
诊断
这样求绝对值的方法不对．用这样的方法求绝对值容易出错．如求－a的绝对值，如果用上面的方法，那么就有|－a|=a．事实上，|－a|不一定等于a．因为|－a|是一个非负数，即是正数或0．当a是负数时，|－a|却是一个正数，显然正数不等于负数．因此，求－a的绝对值，应分a＞0，a＜0，a=0这三种情况讨论，并根据绝对值的定义写出结果．一般地，求一个有理数的绝对值的正确方法是：首先判断这个数是正数，还是负数还是零，然后再根据绝对值的定义去写出结果．如求－3的绝对值时，应这样思考，因为－3是负数，根据“负数的绝对值等于它的相反数”可知，|－3|=－(－3)=3．
例19　 下列说法中错误的是[　　　 ]
A．|x|＋1一定大于零．
B．|a|一定是非负数．
C．若|b－1|取最小值，则b=1．
D．|a|＋|b|一定是正数．
错解　 选(C)．
诊断
这里的解答之所以选错，原因有两点：一是对绝对值的本质属性——非负性认识模糊；二是对若干个非负数的和的性质理解不清．事实上，任何有理数的绝对值是非负数．所谓“非负数”，即“不是负数”，亦即是“正数或零”．因此，若干个非负数的和仍是非负数，由此可知|a|＋|b|是正数或零，这就说明选(D)才是对的．至于选(C)为什么不对？因为|b－1|是正数或零，当|b－1|取最小值时，则b－1=0，故b=1是正确的．
例20　 已知|a|=8，|b|=2，且|a－b|=b－a，求a和b的值．
错解
因为|a|=8，所以a=±8，
因为|b|=2，所以b=±2．
则有a=8，b=2或a=8，b=－2或a=－8，b=2或a=－8，b=－2．
诊断
我们将a=8，b=2代入等式|a－b|=b－a的两边，显然两边就不相等了．这是因为在解答此题的过程中没有运用|a－b|=b－a这个条件．事实上，由|a－b|=b－a及|a－b|≥0，知b－a≥0，即b≥a．因此，上面得到的a=8，b=2或a=8，b=－2是不符合条件的．
所以，只有a=－8，b=2或a=－8，b=－2才为所求．
说明　 学习有理数这一节应注意的几个问题：
一、要正确理解“＋”“－”号的意义．
1．理解为性质符号，如＋5，－3，分别读作“正5”、“负3”．
2．理解为运算符号，如(＋2)＋(－3)中(＋2)与(－3)之间的“＋”就表示加，在(－8)－(－3)中(－8)与(－3)之间的“－”就表示减．
3．既可理解为性质符号又可以理解为运算符号．如4－7＋6，其中的“＋”“－”若理解为性质符号，就读作为“4，负7，正6的和”，若理解为运算符号，则读作为“4减7加6”．但－2－3中－2前面的“－”一定要理解为性质符号，不能读成“减2减3”或“减2负3”，应读成“负2，负3的和”或“负2减3”．
二、要正确理解绝对值概念
1．为什么要引入绝对值概念？
引入正、负数的目的是为了区别具有相反意义的量，但有时又不需要考虑量是否意义相反，而只注意其数量的大小，因此，需要引出一个与正负数相关而又能反映其数量大小的概念——绝对值．
此外，引入了正负数后，如何进行它们的加减乘除等运算？为了把带有“＋”“－”性质符号的数的运算转化为小学里所学过的数的运算．于是，也需要引出一个新的概念——绝对值．
2．绝对值的性质．
①每个有理数都有唯一确定的绝对值，它是一个非负数．
②在有理数范围内，绝对值最小的数是0．
③绝对值等于已知正数a的数有两个，分别是＋a和－a，它们互为相反数．
④绝对值等于它本身的数是正数或0．
3．绝对值的几何意义．
一个数的绝对值等于数轴上表示这个数的点到原点的距离，离原点较远的点表示的数的绝对值较大．
三、要明确相反数的如下结论
1．0的相反数是0．
2．互为相反数的两数的和是0．
3．互为相反数的两数绝对值相等．
4．相反数等于它本身的数是0．
四、要注意利用数轴解题
有了数轴．任何一个有理数都可以用数轴上的点表示，因此，解决数的问题时，要注意借助数轴思考，前面例15就是借助数轴来解答的．
计算器的使用
典例解析
1．一支考古队在某地挖掘出一枚正方体的古代金属印章，其棱长为4.5 cm，质量为1069克，求这枚印章每立方厘米约重多少克？（结果精确到0．01克）
解：正方体的棱长为4.5 cm，所以其体积为4.53 cm3．因重量为1069克，因此这枚印章每立方厘米约为：
1069÷4.53≈11.73（克）
2．利用计算器探索规律：任选1，2，3，…，9中的一个数字，将这个数乘7，再将结果乘15873，你发现了什么规律？你能试着解释一下理由吗？
解：设1，2，3，…，9中的任一数字为m，则根据题意得：
m×7×15873=mmmmmm．
因为15873×7=111111，所以只要选1，2，3，…，9中任一数字，结果都是六位数且这六个数位上的数字都相同．
活动与探究
1．计算下列各式（可以用计算器）
6×7=_____
66×67=_____
666×667=_____
6666×6667=_____
66666×66667=_____
观察上述结果，你发现了什么规律？能尝试说明理由吗？
过程：让学生先用计算器计算，然后找规律．
6×7=42
66×67=4422
666×667=444222
6666×6667=44442222
66666×66667=4444422222
因为：
6×7=2×3×7=2×21
66×67=2×3×11×67=22×201
666×667=2×3×111×667=222×2001
6666×6667=2×3×1111×6667=2222×20001
66666×66667=2×3×11111×66667=22222×200001
所以：
结果：使学生进一步懂得找规律的方法
运用计算器的利与弊是什么？
在当今这个高度的信息时代，使用计算器好处很多，新课标和新教材提倡使用计算器，如：（1）使用计算器进行计算（初等计算均可完成）；（2）利用计算器进行估算，如：在八年级上册用有理数逼近无理数的思想，就需要借助计算器用有理数近似表示无理数；在九年级下册，研究一元二次方程的近似解都借助计算器更快捷；（3）利用计算器进行探索规律，如在七年级上使用计算器验证、探索“黑洞数”的规律；（4）利用计算器处理较复杂的数据。计算器为数学应用提供了先进的计算工具，更便于处理实际数据，特别是处理随机实验得来的数据，使数学应用在中学有了广阔的空间；如在八年级下册鼓励学生用计算器方便地计算一组数据的标准差与方差，这对分析数据，研究数据的波动大有好处。（5）利用计算器产生随机数进行模拟实验。如在九年级上册“生日相同的概率”一节内容就可以利用计算器产生随机数进行模拟实验,可见计算器可以把静态的变成动态的，把抽象的东西具体化，直观化，使人们的思维得到一定程度的延伸。可见，使用计算器是一种先进的计算工具，即可以节省学生许多时间学习其他更有价值的内容，又可引发学习兴趣。
同时，我们还应当看到使用计算器也带来了一定的负面影响，人们普遍反映新课程下的学生计算能力欠缺，这与过早的使用计算器不无关系，因此，我们建议在初一上学期学习有理数运算时，只教会学生使用计算器进行有理数四则运算，但首先要会手算，七年级教材中的例习题数据绝大多数都比较简单，学生不必使用计算器运算，除非有明确说明的题目才可以使用计算器。使用计算器要有一定的度，教师要帮助学生把好基本的运算关。
近似数
1．准确数和近似数的意义
(1)准确数：与实际完全符合的数叫做准确数．
例如某校初中部有38个教学班，其中七年级有13个班，每班均有50人．这里的38,13,50都是准确的．
(2)近似数：与实际接近的数叫近似数．
近似数主要是从计算和度量中产生出来的，主要包括以下几种：
①在计算时，有时只能得到近似数．如10÷3得近似商3.33；
②在度量时，由于受测量工具和测量技术的局限性影响，一般只能得到近似数．如现有最小刻度分别是厘米、毫米的尺子各一把，用它们分别测量同一个人的身高就会得到不完全相同的结果；
③在计算和测量中有时并不需要很准确的数，只需要一个近似数即可．如地球的表面积为5.1亿平方千米，某市有50万人等，这里的5.1亿，50万都是近似数．
(3)近似数识别的方法：
①语句中带有“约”“左右”等词语，里面出现的数据都是近似数．
如：“某城市约有100万人口”、“这篇文章有2 000字左右”，这两个语句中的100万和2 000都是近似数．
②诸如“温度”“身高”“体重”“长度”等这些词语用数据来描述时，这些数都是近似数．
如：“现在的气温是－2 ℃”，“小明的体重是55千克”这两个语句中的－2和55都是近似数．
谈重点 近似数的取值范围　近似数M的近似值是m(整数)，则M的取值范围：m－0.5≤M＜m＋0.5.
【例1】 下列各题中的数据，哪些是准确数？哪些是近似数？
(1)某字典共有1 234页；
(2)我们班级有97人，买门票大约需要800元；
(3)小红测得数学书的长度是21.0厘米．
分析：(1)字典的页数是不需要估计或测量的，有多少页是固定的，所以1 234是一个准确数；(2)一个班级的人数是不需要估计的，而是确定的，所以97是一个准确数，买门票大约需要800元是一个估计值，所以800是一个近似数；(3)测量的结果都是近似的，所以21.0是一个近似数．
解：(1)1 234是准确数；(2)97是准确数，800是近似数；(3)21.0是近似数．
2．近似数精确到哪一位
(1)近似数的精确数位
四舍五入法：对要精确的数精确到数位后的一位数字，采用满五进一，不足五舍去的办法，所求出的近似数．
一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，我们就说这个数精确到哪一位．
如一个近似数M精确到十分位后的近似值是3.3，那么这个近似数M的取值范围是：3.25≤M＜3.35.具体的做法是一个近似数要求精确到哪一位，只要从它的下一位四舍五入即可，按要求求近似数不能连续从末位向前四舍五入．
如将数3.024 6四舍五入到百分位，应从4开始四舍五入得3.02，而不是从6开始得3.03.
(2)近似数的表示方法
若一个近似数M的值是3.56，则它可记作M≈3.56，这里的“≈”应读作“近似于”或“约等于”，但绝不能读作“近似”，特别地，近似数小数点后的0不能随便省掉，以便区别其精确度．
如1.302表示这个数精确到0.001，即精确到千分位；而1.302 0表示这个数精确到0.000 1，即精确到万分位．
【例2】 用四舍五入法，按括号中的要求对下列各数取近似数．
(1)0.030 49(精确到0.001)；
(2)199.5(精确到个位)；
(3)48.396(精确到百分位)；
(4)67 294(精确到万位)．
分析：四舍五入法是指把要求确定到某一位的后一位数四舍五入，大于或等于5的就进一位，小于5就舍去．(1)精确到0.001，即精确到千分位，由于万分位上的数是4，故这位及后面的9全部舍去，所以0.030 49≈0.030.(2)精确到个位，由于十分位上的数是5，故应向个位进1，所以199.5≈200.(3)精确到百分位，由于千分位上的数是6，故应向百分位进1，所以48.396≈48.40.(4)精确到万位，由于千位上的数是7，故应向万位进1，所以67 294≈70 000，为了不让人误以为70 000精确到个位，所以结果应写成7×104，或7万．
解：(1)0.030 49≈0.030；
(2)199.5≈200；
(3)48.396≈48.40；
(4)67 294≈7×104.
警误区 取近似数需要注意的问题　近似数的舍入，只考虑紧挨着这一数位后面的第一个数字，且近似数小数点后末位数是0时千万不能省掉．
3．精确度的确定
一个近似数四舍五入到哪一位，我们就说这位数精确到哪一位．
①普通数直接判断；
②科学记数法形式(形如a×10n)．这类数先还原成普通数，再看a最右边的数字处在什么数位上，处在什么数位上就是精确到什么数位．
③带有“文字单位”的近似数，在确定它的精确度时，分两种情况：当“文字单位”前面的数是整数时，则近似数精确到“文字单位”；当“文字单位”前面的数是小数时，则先将近似数还原成原来的数，再看最右边的数字的位置．
【例3－1】 12.30万精确到(　　)．
A．千位　　　　　　　　 B．百分位
C．万位 D．百位
解析：12.30万还原成原来的数是123 000，所以精确到的数位是百位，故选D.
答案：D
【例3－2】 由四舍五入法得到的近似数3.20×105，下列说法中正确的是(　　)．
A．精确到百位 B．精确到个位
C．精确到万位 D．精确到千位
解析：用科学记数法表示的近似数3.20×105，精确度的确定，要把用科学记数法表示的数还原成原数，即3.20×105＝320 000，所以精确到千位．故选D.
答案：D
解技巧 较大的数精确数位的确定方法　较大的数取近似值时，常用×万，×亿等等来表示，而它精确到的位数不一定是“万”或“亿”．对于不熟练的学生，应当写出原数之后再判断精确到哪一位，例如9.03万＝90 300，因为“3”在百位上，所以9.03万精确到百位．
4.求近似数的范围
求近似数的取值范围时，只要把原近似数加上(减去)精确到的最后一个数位的半个单位即可得到近似数的取值范围．
如果一个数x的近似数为a，那么x可能取值的范围是：a－M≤x＜a＋M，其中M为原近似数精确到的最后一个数位的半个单位．
如近似数1.20所表示的准确数x的取值范围是1.20－0.005≤x＜1.20＋0.005，即1.195≤x＜1.205；
又如近似数4.7×103所表示的准确数x的取值范围是4 700－50≤x＜4 700＋50，即4 650≤x＜4 750.
【例4】 若k的近似值为4.3，求k的取值范围．
分析：一个数的近似值为4.3，表明这个近似值是精确到十分位的近似数．十分位上的数字3是由下一位即百分位上的数字四舍五入得到的，如果百分位上的数字是0,1,2,3,4中的任意一个，根据四舍五入取近似值的方法，应该把百分位上的数字舍去，那么就要求k的十分位上的数字必须是3，才能保证近似数是4.3.若k的百分位上的数字是5,6,7,8,9中的任意一个，根据四舍五入取近似值的方法，应该把百分位上的数字去掉后，在十分位的数字上加1，那么就要求k的十分位上的数字必须是2，才能得到近似数4.3.综上所述，k只能取大于或等于4.25且小于4.35之间的数，才能保证得到精确到0.1的近似值是4.3.
解：∵4.3－0.05≤k＜4.3＋0.05，
∴4.25≤k＜4.35.
5．在实际问题中取近似数的方法
取近似数的方法一般用四舍五入法，另外在特殊情况下还可以用去尾法和进一法．
(1)在大量的数学问题中，都会遇到近似数的问题．使用近似数，就有一个近似程度的问题，也就是精确度的问题，一般用四舍五入法取值，对四舍五入要有深入理解；
(2)有时候一些近似值并不一定都是按照四舍五入法得到的．
如100名学生，用30座客车运送，需要100÷30＝3.333……≈4次才能运完．这里用的就不是四舍五入法，而是进一法．
再如用100元钱去买单价为30元的书包，能买100÷30＝3.333……≈3个书包，这里用的也不是四舍五入法，而是去尾法．
总之，取近似数的方法主要有三种：四舍五入法、进一法和去尾法．
【例5－1】 全班51人参加100米跑测验，每6人一组，问至少要分几组？
分析：由于51÷6＝8(组)……3(人)，即分成8组后还剩下3人，所以采用进一法，分成9组．
解：51÷6＝8(组)……3(人),8＋1＝9(组)，
所以至少要分9组．
【例5－2】 一辆汽车要装4只轮胎，50只轮胎能装配几辆汽车？
分析：由于50÷4＝12(辆)……2(只)，即装配12辆汽车后还剩下2只轮胎，所以采用去尾法，能装配12辆汽车．
解：50÷4＝12(辆)……2(只)，
所以能装配12辆汽车．
【例5－3】 一根方便筷子的长、宽、高大约为20 cm，0.5 cm，0.4 cm，估计1 000万双方便筷子要用多少木材？这些木材要砍伐半径为0.1米、高10米(除掉不可用的树梢)的大树多少棵？(保留2个有效数字)
分析：长方体的体积公式V＝abc，圆柱的体积公式V＝πr2h.解：一双筷子的体积为2×0.4×0.5×20≈8(cm3)，1 000万双筷子的体积为1 000×10 000×8＝8×107(cm3)＝80(m3)，一棵大树的体积为π×0.12×10≈0.314(m3)，1 000万双筷子要砍伐大树棵数为80÷0.314≈255(棵)．
用计算器进行数的简单计算
【课后作业】六、P71问题解决4.
难易度：★★★
关键词：用计算器进行数的简单计算
答案：
对折26次后。
【举一反三】
典例：若运用湘教版初中数学教材上使用的某种电子计算器进行计算，则按键的结果为（ ）。
思路导引：利用科学记算器按照按键顺序进行计算即可．
标准答案：按照5、x2、+、2、yx、3的按键顺序计算后显示结果为33，
用计算器进行数的简单计算
【课后作业】五、P71问题解决3.
难易度：★★★
关键词：用计算器进行数的简单计算
答案：
答案略。
【举一反三】
典例：在计算器上依次按键后，显示器显示的结果为（ ）。
思路导引：能熟练应用计算器，熟悉计算器的各个按键的功能．
标准答案：在计算器上依次按键转化为算式为80÷8-30×3，计算可得结果为-80．
用计算器进行数的简单计算
【课后作业】四、P71问题解决2.
难易度：★★★
关键词：用计算器进行数的简单计算
答案：
总能得到6174这个结果。
【举一反三】
典例：用计算器计算：（-3.75）2+4.83÷（-2.76）≈ 12.3（保留三个有效数字） 。
思路导引：熟练应用计算器，对计算器给出的结果，根据有效数字的概念用四舍五入法取近似数．
标准答案：原式=14.062 5-1.75=12.312 5≈12.3．
故本题答案为12.3．
用计算器进行数的简单计算
【课后作业】一、P69随堂练习.
难易度：★★★
关键词：用计算器进行数的简单计算
答案：
（1）-5.32，（2）371293，（3）-3723875，（4）190.46293.
【举一反三】
用计算器计算，按键顺序是3，xy，3，=，显示的结果是（ ）。
思路导引：根据题意得出xy=33，求出即可结果．
标准答案：根据题意得：33=27，
用计算器进行数的简单计算
【课后作业】二、P70随堂练习2.
难易度：★★★
关键词：用计算器进行数的简单计算
答案：
计算结果是各个数位为相同数字的九位数。
【举一反三】
如果进行加、减、乘、除和乘方的混合运算时，只要按算式的 书顺序输入，计算器就会按要求算出结果．
思路导引：根据计算器的运算程序的特点（先算乘方，后算乘除，最后算加减）来输入．
标准答案：计算器是先做乘方、再做乘除法，最后做加减法的，所以，只要按照算式的书写顺序输入即可．
《应用一元一次方程——“希望工程”义演》典型例题
例1 有甲乙两种学生用本，甲种本的单价是0.25元，乙种本的单价是0.28元，两种本共卖了100本，卖了26.65元，问两种本各卖出多少？

例2 某城市为了鼓励居民节约用水，对自来水用户按如下标准收费：若每月每户用水不超过12吨，按每吨1.8元收费；若超过12吨，则超过部分按每吨3.6元收费．如果某户居民某月交水费50.4元，问该户共用了多少吨水？

例3 （中考题）
张大伯从报社以每份0.4元的价格购进了份报纸，以每份0.5元的价格售出了份报纸，剩余的以每份0.2元的价格退回报社，则张大伯卖报收入________元．
例4 某商店售货时，在进价的基础上加上一定利润，其数量与售价的关系如下表，如果数量是x，请根据表中提供的信息，把售价用含有x的代数式表示出来；如果售价是952.4元，请求出售出该货的数量．
例5 某人共收集邮票若干张，其中是2000年以前的国内外发行的邮票，是2001年国内发行的，是2002年国内发行的，此外尚有不足100张的国外邮票．求该人共有多少张邮票．
参考答案
例1 分析 由题意可知有如下相等关系：
（1）卖出甲种本的个数＋卖出乙种本的个数＝100；
（2）卖甲种本得的钱＋卖乙种本得的钱＝26.65．
若我们设甲种本卖了x个，我们就必须用x把乙种本卖出的个数表示出来，而卖甲种本的钱数是0.25x，则卖乙种本获得的钱数就是26.65－0.25x，所以卖乙种本的个数就是，这样就可以得出方程，我们也可以用第二个相等关系列出方程，请读者试一试．
解 设甲种本卖出x个，依题意，得
解这个方程，得
所以， 100－45＝55
答：卖出甲种本45个，乙种本55个．
说明：如果利用第二个相等关系列方程，而求出的是甲或乙卖得的钱，还需求出甲、乙各类多少本．
例2 分析 由题意可知，用水总量超过12吨，所以总的水费有如下关系：l.8 ×12＋3.6×（超过12吨的吨数）＝水费
若及该户用水x吨，则可得方程
解 设该户用水x吨，依题意，得
解方程，得
答：该户共用了20吨水．
说明：在列方程之前我们应根据总的水费情况，估计该户用水量是否超过12吨．
例3 分析：张大伯售出1份报纸，可赚（0.5－0.4）元钱；剩下的报纸退回报社，每退1份报纸（0.4－0.2）元钱．
解：
（元）
答：张大伯卖报收入为元．
说明：“盈”与“亏”是一对具有相反意义的量，在数学中对应着“正数”与“负数的概念．中考命题不仅关注知识技能，更加关注过程与方程，尤其是知识的形成背景，数学源于生活，源于自然，我们要善于用数学的眼光看世界．
例4 分析 从表中很容易看出售价中前面的整数恰是数量中数的8倍，而小数不变，所以售价可表示为，而当售价是952.4元，就是，容易求出数量x．
数量
售价（元）
1
8＋0.4
2
16＋0.4
3
24＋0.4
4
32＋0.4
5
40＋0.4
……
……
解 由题意可知，售价可以表示为：，当时，
即如果售价是952.4元时，售出该货的数量是119．
说明：这个题的关键是通过对表的观察，找出售价和数量之间的关系．
解 设该人共有国内外邮票m张，其中国外邮票n张（），依题意得
，
化简得
因为152和87互质（最大公约数是1），而均为正整数，所以
答：该人共有152张邮票．
说明： 这里是不定方程，m、n可取任意值（开放），探究符合要求的值．
5 应用一元一次方程—“希望工程”义演问题
【课后作业】二、P149数学理解1.
难易度：★★★
关键词：一元一次方程的应用
答案：
可能，288张
【举一反三】
典例：某农场原有水田400公顷，旱田150公顷，为了提高单位面积产量，准备把部分旱田改为水田，改完之后，要求旱田占水田的10%，则应把???????? 公顷旱田改为水田．
思路导引：本题的等量关系为：改造后的旱田的面积=水田的面积×10%，据此可得出方程求出解．
标准答案：设应把x公顷的旱地改为水田，由题意得：
150-x=（400+x）×10%，
解得：x=100．
故应把100公顷的旱地改为水田．
“希望工程”义演
活动与探究
小张在商店中买了14瓶汽水，又知每3个空汽水瓶可换1瓶汽水，问小张最多能够喝到多少瓶汽水？
过程：乍看题目觉得甚为简单，有同学就认为是18瓶汽水，原因是14瓶水喝完后可换4瓶，故可喝18瓶．那么4瓶喝完后呢？应该是4瓶喝完后，总共还有6个空瓶可换2瓶汽水，总共可喝20瓶．其实这还不是最多，最后2个空瓶虽不能换一瓶汽水，但我可以用“先借后还”的方法多喝一瓶汽水，即先借商店一瓶汽水喝完，还三个瓶，换一瓶汽水，再将那一瓶汽水还掉．
结果：通过分析，我们会发现最后的14个空瓶，通过先借后还，实际总共可换七瓶汽水即平均2个空瓶换1瓶汽水．
游泳趣题三则
［例1］小王沿河流逆流游泳而上，途中不慎将水壶掉进河中，沿河流漂走．10秒钟后发现水壶失落，小王立即返身回游，问小王返身回游多少秒可以追上水壶？
解析一：设x秒后追上水壶．设小王游泳速度为v1米/秒，水流速度为v2米/秒，如图所示，水壶在A处掉入水中，小王从A处游到B处时，已游了10(v1-v2)米．这时掉入水中的水壶已漂流了10v2米到达C处．小王从B处开始到D处追上水壶，共行了(v1+v2)x米，显然有下面等量关系：10(v1-v2)+10v2+v2x=(v1+v2)x，解得x=10．
解析二：选取水中的水壶为参照物，则水相对于水壶是静止的．由于小王的游泳速度不变，故人相对于水壶是静止的．由此看出，水壶离开人后，水壶静止在原地，人向前游，待人发现水壶掉水，以原速度回水壶处，这一前进一返回的时间应该相等．故小王返身回游10秒钟可以追上水壶．
［例2］甲、乙二人分别从游泳池的左右两边同时出发来回游泳．他们第一次在离池右边20米处相遇．游到池边立即掉头回游又再次相遇．当他们第三次相遇时，两人恰好都游到了池的右边．问甲游的路程是多少？(假定二人游速不变，且掉头时间不计)．
解析一：根据题意，作出运动简图，设甲、乙速度分别为v甲，v乙，池的长度为S，
①÷②，得2S2-100S=0，解得S=50．
∴甲游过的路程为50×3=150米．
解析二：充分借助整体思想．
观察图形，设甲游过的路程为3S，那么乙游过的路程为2S(S为池长)，于是S甲∶S乙=3∶2．
又当乙游20米时，甲游30米，故S=50米．
因此，甲游的路程为S甲=50×3=150米．
［例3］小李由A码头到B码头，顺水游泳需6分钟；由B码头到A码头，逆水游泳需8分钟．若小李带上不加任何外力的救生圈，按顺水由A码头漂流到B码头，需多少分钟？
分析：本题虽是常规的流水应用题，但在叙述上作了一些变动．把常规的求水流速度，改为求救生圈顺水漂流的时间，又在条件中未给出A、B两码头的距离(路程)，但我们可像工程问题那样，设路程为1，这样就可建立方程，从而获解．
解：设小李按顺水速度由A码头带救生圈漂流到B码头，需x分钟，根据速度的相等关系，有．
解得x=48(检验略)．
答：小李带救生圈按水流速度由A码头漂流到B码头，需48分钟．
5 应用一元一次方程—“希望工程”义演问题
【课后作业】三、P149问题解决2.
难易度：★★★
关键词：一元一次方程的应用
答案：
A种3.8元，B种2.8元。
【举一反三】
典例：某小组计划做一批“中国结”，如果每人做5个，那么比计划多了9个；如果每人做4个，那么比计划少了15个，小组成员共有?? ???名，他们计划做?????? ??个“中国结”．
思路导引：设小组成员共有x名，由题意可知计划做的中国结个数为：（5x-9）或（4x+15）个，令二者相等。
标准答案：设小组成员共有x名，则：
计划做的中国结个数为：（5x-9）或（4x+15）个
∴5x-9=4x+15
解得x=24
∴5x-9=111
答：小组成员共有24名，计划做111个中国结．
5 应用一元一次方程—“希望工程”义演问题
【课后作业】四、P149问题解决3.
难易度：★★★
关键词：一元一次方程的应用
答案：
数学书50本，语文书40本
【举一反三】
典例：新学期初，语文陈老师给写作兴趣小组的小明，小聪，小慧三位同学分别发若干本参考书，发给每人的书相等．为了相互共享资源，一个月后，他们互换参考书．如果小明给小聪6本书，小慧给小聪3本书，然后小聪又把一部分书给了小慧，结果小慧的书比小聪给她前增加了一倍多2本，则小聪有??????? 本书．
思路导引：先设出他们原来每人有a本，在交换过程中书的总量不变，以小聪交换为界限，求出校聪交换前各人所有的书，再求出小聪交换后各自有的书，然后根据小慧的书比小聪给她前增加了一倍多2本列出小聪的书本数，进而得出小聪的书本数．
标准答案：设原有每人a本，只有小聪未换前，小明（a-6）本，小聪（a+9）本，小慧（a-3）本。小聪换后，小明（a-6）本，小聪（a+9）-（a-3+2）本，小慧（a-3+a-3+2）本，小聪（a+9）-（a-3+2）=10本
答：此时小聪有10本书．
6 应用一元一次方程
【课后作业】一、P149随堂练习.
难易度：★★★
关键词：一元一次方程的应用
答案：
单价为18元的书9本，单价为10元的书1本。
【举一反三】
典例：有甲．乙两个牧童，甲对乙说：“把你的羊给我一只，我的羊数就是你的羊数的2倍．”乙回答说：“最好是把你的羊给我一只，我们的羊数就一样了”．甲牧童有 ?????? 只羊．
思路导引：由乙说的话可得甲的羊比乙的羊多2只，可根据甲的话来列等量关系：甲的羊数+1=2（乙的羊数-1），把相关数值代入求解即可．
标准答案：设乙有x只羊，则甲有（x+2）只羊，
x+2+1=2（x-1），
解得x=5，
∴x+2=7．
故答案为7．
《应用一元一次方程——打折销售》典型例题
例1 一种蔬菜加工后出售，单价可提40％，但重量要降低20％，现有未加工的这种蔬菜1000千克，加工后共卖了1568元，问不加工每千克可卖多少钱？1000千克能卖多少钱？比加工后少卖多少钱？

例2 某企业生产一种产品，每件成本价400元，销售价510元，为了进一步扩大市场，该企业决定降低销售价的同时降低生产成本．经过市场调研，预计下季度这种产品每件销售价降低4%，销售量将提高10％，要使销售利润保持不变，该产品每件的成本价应降低多少元？

例3 （中考题）某商品的标价是1100元，打八折（按标价的80％）出售，仍可获利10％，则此商品的进价是________元．
例4 某商品按进价的百分之几标价，然后再8折优惠销售，这件商品的获得率仍为20％．
参考答案
例1 分析 本题的关键是第一问，第一问求出其他问题就解决．由题意可知如下相等关系：
加工后的蔬菜重量×加工后的蔬菜单价＝1568元
而加工后的蔬菜重量＝1000×（1－20％），如果设加工前这种蔬菜每千克可卖x元，则加工后这种蔬菜每千克为（1＋40％）x元，故可得方程．
解 设不加工每千克可卖x元，依题意，得
解方程得：
所以
答：不加工每千克可卖1.4元，1000千克能卖1400元，比加工后少卖168元．
说明：在计算数比较难算的题时，我们可以借助于计算器进行计算．
例2 分析 由已知可得如下相等关系
调整成本前的销售利润＝调整成本后的销售利润
若设该产品每件的成本价应降低x元，假定调整前可卖m件这种产品，则调整前的销售利润是（510－400）m，而调整后的销售阶为510（l－4％），调整后的成本价为 400－x．调整后的销售数量m（l＋10％），所以调整后的销售利润是：，由相等关系可得方程
解 设该产品每件的成本价应降低x元，降价前可销售该产品m件，依题意，得
解方程，得
答：该产品每件的成本价应降低10.4元．
说明：这里的m也可以不设，以一件为例去研究这一问题，就可直接列出方程：
例3 分析：根据“利用＝销售价－进货价，利润率＝利润÷进货价×100％”，假设商品的进价为a元，则商品的售价为元时，可获利10％．
解：设商品的进价为a元．
则
答：此商品的进价是800元．
说明：打折销售是我们身边的数学事实，每个人都应了解它，关键是掌握“进货价”“销售价”“利润”等名词术语的意义，理解有关数量关系．
例4 解 设该商品的进价为元，按进价的％标价可满足要求．
根据题意，得
解得．
答：按进价的150％（即1.5倍）标价，然后再8折销售，获利率为20％．
说明：解应用题中的“打折销售”问题，首先要熟悉“进价”、“标价”、“售价”、“打折”、“利润”、“利润率”这些商业名词的含义，另外还要清楚反映进行、标价、售价、打折、利润、利润率之间关系的公式才能准确的列出方程．
（1）在我们现实生活中，购买商品和销售商品中，经常会遇到进价、标价、售价、打折、利润、利润率等概念．
（2）基本关系式：①利润＝售价—进价 ②售价=标价×折数 ③利润率＝．由①②可得出④利润＝标价×折数－进价．由③④可得出⑤利润率＝．
第五章 一元一次方程 4 应用一元一次方程—打折销售
难易度：★★★
关键词：一元一次方程的应用
答案：
答案略，只要是打折 销售均可。
【举一反三】
典例：一件衣服进价为108元，若标价设为a，以9折销售，还可获利10%，则这件衣服的标价a是（　　）
思路导引：等量关系为：标价×90%=进价×（1+10%），把相关数值代入求解即可．
标准答案：设该服装的标价是a元．
a×90%=108×（1+10%），
解得a=132
问题解决
难易度：★★★
关键词：一元一次方程的应用
答案：
250元
【举一反三】
典例：某公司销售一种进价为24元的产品，按标价的九折销售，则可获利20%，则此产品的标价为 ?????????元．
思路导引：按照等量关系“标价×0.9-进价=进价×20%”，列出一元一次方程即可求解．
标准答案：设产品的标价为x元，
由题意得：0.9x-24=24×20%
解得：x=32
∴这种电子产品的标价为32元．
故答案为32．
?
第五章 一元一次方程 4 应用一元一次方程—打折销售
【课后作业】四、P146问题解决3.
难易度：★★★
关键词：一元一次方程的应用
答案：
10台
【举一反三】
典例：某品牌商品，按标价九折出售，仍可获得20%的利润．若该商品标价为28元，则商品的进价为 ???????元．
思路导引：设商品的进价为x元，由已知按标价九折出售，仍可获得20%的利润，可以表示出出售的价格为（1+20%）x元，商品标价为28元，则出售价为28×90%元，其相等关系是售价相等．由此列出方程求解．
标准答案：设商品的进价为x元，根据题意得：
（1+20%）x=28×90%，
1.2x=25.2，
x=21．
故答案为：21元．
?
第五章 一元一次方程 4 应用一元一次方程—打折销售
【课后作业】一、P146随堂练习.
难易度：★★★
关键词：一元一次方程的应用
答案：
50元
【举一反三】
典例：某商品按成本价提高40%后标价，又以八折出售可获得利润60元．若按七五折（即75%）出售则可获得利润（　　）。
思路导引：若想求出五折（即75%）出售则可获得利润，必需先求出成本价，一般代入公式：利润=售价-成本就可求得解．
标准答案：设商品的成本价为x，
（1+40%）x?80%-x=60，
x=500，
500（1+40%）×75%-500=25．
3 应用一元一次方程——水箱变高了
1．几何图形中常用的公式
(1)常用的体积公式
长方体的体积＝长×宽×高；
正方体的体积＝棱长×棱长×棱长；
圆柱的体积＝底面积×高＝πr2h；
圆锥的体积＝×底面积×高＝πr2h.
(2)常用的面积、周长公式
长方形的面积＝长×宽；
长方形的周长＝2×(长＋宽)；
正方形的面积＝边长×边长；
正方形的周长＝边长×4；
三角形的面积＝×底×高；
平行四边形的面积＝底×高；
梯形的面积＝×(上底＋下底)×高；
圆的面积＝πr2；
圆的周长＝2πr.
【例1】 用7.8米长的铁丝做成一个长方形框架，使长比宽多1.2米，求这个长方形框架的宽是多少米？设长方形的宽是x米，可列方程为( )．
A．x＋(x＋1.2)＝7.8 B．x＋(x－1.2)＝7.8
C．2[x＋(x＋1.2)]＝7.8 D．2[x＋(x－1.2)]＝7.8
解析：根据长方形的周长公式列方程即可．长方形的周长＝2×(长＋宽)，故可列方程为2[x＋(x＋1.2)]＝7.8.
答案：C
2．形积变化问题中的等量关系
形积变化问题中，物体的形状和体积会发生变化，但问题中一定有相等关系．分以下几种情况：
(1)形状发生了变化，体积不变．其相等关系是：变化前物体的体积＝变化后物体的体积．
(2)形状、面积发生了变化，周长不变．其相等关系是：变化前图形的周长＝变化后图形的周长．
(3)形状、体积不同．根据题意找出体积之间的关系，即为相等关系．
【例2】 有一位工人师傅要锻造底面直径为40 cm的“矮胖”形圆柱，可他手上只有底面直径是10 cm，高为80 cm的“瘦长”形圆柱，试帮助这位师傅求出“矮胖”形圆柱的高．
分析：圆柱的形状由“瘦长”变成“矮胖”，底面直径和高度都发生了变化，在不计损耗的情况下不变量是它们的体积，抓住这一不变量，就得到等量关系——锻造前的体积＝锻造后的体积．
解：设锻造成“矮胖”形圆柱的高为x cm，
根据题意，得
π·52·80＝π·202·x.
解这个方程，得
x＝5.
答：“矮胖”形圆柱的高为5 cm.
3．等长变形问题
等长变形，是指用物体(一般用铁丝)围成不同的图形，图形的形状、面积发生了变化，但周长不变．
解答此类问题，可以利用周长不变设未知数，寻找相等关系列出方程．
面积问题中常常会用到特殊图形的周长和面积公式．如三角形、平行四边形、长方形、正方形、梯形、圆等；记住常见的几何图形的面积公式，抓住周长不变的特征是解决等长变形问题的关键．
【例3】 如图所示是用铁丝围成的一个梯形，将其改成一个长和宽比为2∶1的长方形，那么该长方形的长和宽分别为多少？
分析：根据“梯形的周长＝长方形的周长”列方程求解．
解：设长方形的宽为x，则长为2x.
由题意，得2(x＋2x)＝5＋6＋9＋13，
解这个方程，得x＝5.5，所以2x＝11.
答：该长方形的长和宽分别为11,5.5.
《应用一元一次方程——水箱变高了》典型例题
例1 用内径为90毫米的圆柱形玻璃杯装满水，向一个底面积为131×131（毫米）2，内高为81毫米的长方体容器倒水，玻璃杯里的水恰好倒满该容器，问玻璃杯的内高是多少（取3.14）。
例2 现有铁篱笆120米，靠墙围成一个长方形菜地（墙可做菜地的一个长边，其他三面用铁篱笆围成），要使菜地的长是宽的2倍，则菜地的长和宽各是多少米。
例3 如图“□”“△”“○”各代表一种物质，其质量的关系由下面两个天平给出，如果“○”的质量是一千克，求“□”和“△”的质量．
例4 一个长方形如图所示，恰好分成六个正方形，其中最小的正方形面积是1，求这个长方形的面积．
例5 某农民准备利用一面旧墙围一长方形鸡舍，他编好了6米竹篱笆，考虑三种方案．
（1）要使长比宽多0.6米，此时长方形的长和宽及面积各是多少？
（2）要使长比宽多0.3米，此时长方形的长和宽及面积各是多少？
（3）要使长和宽相等，此时长方形的边长是多少米？
参考答案
例1 分析 由题意可知，有如下相等关系：
圆柱形玻璃杯的容积＝长方体容器的容积
若把玻璃杯的内高用x表示出来，就可以得方程。
解 设玻璃杯的内高是x毫米，依题意，得
解方程，得
答：玻璃杯的内高大约是218.61毫米。
说明：在列一元一次方程解应用题时，设和答必须标明单位，而解出的x是一个数不需要再标单位。如上题是，不要写成毫米。
例2 分析 由题意可知，相等关系是：
某地的长边＋菜地的宽×2＝120米
题中又给出了长和宽的关系，易得方程。
解 设菜地的宽是x米，则菜地的长就是2·x米，依题决，得
解方程，得
所以
答：菜地的长是60米，宽是30米。
说明：这题给出了墙是菜地的长边，可得上面方程，如果没有说明墙是长边，还是宽，我们就必须分两种情况进行讨论。
例3 分析 由图形可以发现，如果“□”“△”“○”直接用它们表示它们的质量，我们可以发现2△＝3○，2□＝3△，若设△的质量是x，则有，由此求出的质量．
解 设“△”的质量是x千克，依题意，得 ，所以．
又由题意可知 □＝△＝，所以□＝．
答：“□”的质量是千克，“△”的质量是千克．
说明： 这类型的题，关键是通过观察图形，找出等量关系．
例4 分析 本题要求长方形的面积，只要求出这个长方形的长与宽．本题中仅知其中最小正方形的面积是1，即其边长为1cm．结合题设的正方形条件，可推出其他正方形的边长，如“正方形E的边长＝正方形F的边长”，“正方形D的边长＝正方形E的边长＋1”等．
解 设正方形E的边长为cm，则原长方形长为cm，宽为cm，根据题意，得
解这个方程，得
当时，
所以
答：这个长方形的面积为143．
说明：与几何图形相关的问题，要观察、分析图形中隐含的等量关系，此时要结合几何图形的性质考虑．另外，几何图形的面积、体积公式应牢记．
例5 解 如图所示，设长方形的宽为米，
（1）根据题意，得，
解得
这时长方形的长是2.4米，宽1.8米，面积是4.32平方米．
（2）根据题意，得，
解得
这时长方形的长是2.2米，宽是1.8米，面积是4.18平方米．
（3）根据题意，得，
这时长方形的边长是2米，面积是4平方米．
说明：当材料一定时，三种方案所围成的面积不同，其中第一种方案面积较大，值得选择，这是一个用解方程探究最优方案的问题．
数学理解
难易度：★★★
关键词：一元一次方程的应用
答案：
x=1表示第一个容器中的水溢出，如果第一个容器的高度增加1cm，恰好能盛下。
【举一反三】
典例：有A、B两桶油，从A桶倒出到B桶后，B桶比A桶还少6㎏，B桶原有30㎏油，则A桶原有油（　　）。
思路导引：找出等量关系是A桶剩下的等于B桶原有的加上从A桶倒出的再加上6kg，设A桶原有xkg，表示出A桶剩下的和从A桶倒出的，列方程求解．
标准答案：设A桶原有xkg，根据题意得：
（1-）x=30+x+6．
解方程得：
x=72．
问题解决
难易度：★★★
关键词：一元一次方程的应用
答案：
第一块2200平米，第二块700平米.
【举一反三】
典例：用直径为4cm的圆钢，铸造三个直径为2cm，高为16cm的圆柱形零件，则需要截取的圆钢长?????? 。
思路导引：在此题中要知道圆柱体的体积公式即：底面积×高，同时根据铸造前后的体积相等即可列出方程求解．
标准答案：设截取的圆钢长xcm．
根据题意得：π×()2x=3×π×()2×16，
解得：x=12．
问题解决
难易度：★★★
关键词：一元一次方程的应用
答案：
80平方厘米
【举一反三】
典例：图1是边长为30cm的正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图2所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的2倍，则它的体积是 ??????????? cm3．
?
?
?
?
?
思路导引：设长方体的高为xcm，然后表示出其宽为30-4x，利用宽是高的2倍列出方程求得小长方体的高后计算其体积即可．
标准答案：长方体的高为xcm，然后表示出其宽为30-4x，
根据题意得：30-4x=2x
解得：x=5
故长方体的宽为10，长为20cm
则长方体的体积为5×10×20=1000cm3．
故答案为1000．
《应用一元一次方程——追赶小明》典型例题
例1 某校新生列队去学校实习基地锻炼，他们以每小时4千米的速度行进，走了小时时，一学生回校取东西，他以每小时5千米的速度返回学校，取东西后又以同样速度追赶队伍，结果在距学校实习基地1500米的地方追上队伍，求学校到实习基地的路程．

例2 某初一学生在做作业时，不慎将墨水瓶打翻，使一道作业题只看到如下字样：“甲、乙两地相距40千米，摩托车的速度为45千米/时，运货汽车的速度为35千米/时，__________？”（横线部分表示被墨水覆盖的若干文字）请将这道作业题补充完整，并列出方程．
例3 甲骑自行车从A地出发，以每小时12千米的速度驶向B地，经15分钟后乙骑自行车从B地出发，以每小时14千米的速度驶向A地，两人相遇时，乙已超过中点1.5千米，求A、B两地的距离．

参考答案
例1 分析 该题可以有如下相等关系：
一学生从学校追上队伍走的路程＝队伍走过的路程
如果设当学生追上队伍时，队伍走了x小时，则队伍走过的路程可以表示为4x，学生离开队伍到追上队伍共走了小时，所以学生从学校追上队伍走过的路程可以表示为，所以可得方程
解 设从队伍出发到学生追上队伍所用的时间是x小时，根据题意，得
解这个方程，得 ，所以学校到实习基地的路程是：
答：学校到实习基地的路程是10.5千米．
说明：该题也可以直接设学校到实习基地的路程是x千米，有兴趣的读者可以自己试一试．
例2 分析 可以进行不同的构思．比如：相遇问题、追及问题等．
解法一 补充：若两车分别从两地同时开出，相向而行，经几小时两车相遇？
解答：设经x小时两车相遇，根据题意，得
解法二 补充：如果两车同时从甲地出发，当摩托车到达乙地时，运货汽车距乙地还有多远？
解答：设运货汽车距乙地还有x千米，依题意得
解法三 补充：两车同时从甲地出发，摩托车到达乙地后立即返回，两车在距甲地多少千米处相遇？
解答：设两车在距甲地x千米处相遇，依题意得
请和你的同学一起研究，争取写出更多的补充部分，列出更多的方程．
说明： 这里是条件开放，探究需要补充什么条件求解．
例3 分析 （1）首先我们可以从行驶时间和行驶路程两个角度寻找相等关系．
1）从行驶时间角度考虑，有下列相等关系：
①乙从出发到相遇所行时间＝甲从出发到相遇所行时间－甲提前经过的时间；
②乙从出发到相遇所行时间＋甲提前经过的时间＝甲从出发到相遇所行时间；
③从整体考虑，乙出发到相遇所行时间二甲、乙两人以速度和行驶全程（两地距离）与甲提前15分钟行驶路程的差所用时间．
2）从行驶路程角度考虑，有下列等量关系：
①甲行驶的路程＝全程一半－1.5千米；
②乙行驶的路程＝全程一半＋1.5千米．
（2）本题也可以通过间接设元法来找到答案．
甲、乙两人的速度已知，行驶时间未知，我们可以从行程中找到等量关系．根据本题特点，A、B两地的半程、全程、甲行程、乙行程都存在相应的数量关系，我们利用这些等量关系，也可以顺利解出本题．
解法一 设A、B两地距离为2x千米，依时间关系①，得
，
即，
两边乘以4，得，
去分母，得，
解这个方程，得
答：A、B两地的距离为81千米．
为节省篇幅，对以下不同解法，只给出方程，不再给出求解的过程．
解法二 设A、B两地的距离为2x千米，依时间关系②，得
解法三 设A、B两地的距离为2x千米，依时间关系③
解法四 设乙出发x小时后与甲相遇，则A、B两地相距千米，依路程关系①，得
解这个方程，得
，
答：A、B两地相距81千米．
解法五 设甲出发x小时后与乙相遇，则A、B两地相距千米，依路程关系②，得
解这个方程，得，
说明： 这里介绍五种解法，目的启发同学创新意识，并运用创新意识求解应用问题，其他解法不一一列举，均大同小异．
6 应用一元一次方程—追赶小明
活动与探究
8个人分别乘两辆小汽车赶往火车站，其中一辆小汽车在距离火车站15千米的地方出了故障，此时离火车站停止检票的时间还有42分钟，这时惟一可以利用的交通工具只有一辆小汽车，连司机在内限乘5人，这辆小汽车的平均速度为60千米/时．这8个人能赶上火车吗？
过程：这是开放性的问题，为学生提供了思维的空间．可以分多种情形讨论．
第一种情形：小汽车分2批送8个人．如果第2批人在原地不动．
第二种情形：如果在汽车送第一批人的同时，其他人先步行，可节省一点时间．
第三种情形：如果这辆汽车行驶到途中一定位置放下第一批人，然后掉头再接另一批人使得两批人同时到达火车站，比较省时．
结果：第一种情形：小汽车需来回走15×3=45(千米)，所需时间为45÷60=(小时)=45分>42分．因此单靠汽车来回接送无法使8人赶上火车．
第二种情形：如果设这些步行的速度为5千米/时，汽车送完第1批人后，用了x小时与第二批人相遇，根据题意有：5x+60x=15-×5，解得x=，从汽车出故障开始，第二批人到达火车站要用+2×=小时<42分．因此不计其他时间的话，这8人能赶上火车．
第三种情形：如果这辆汽车行驶到途中，一定位置放下第一批人，然后掉头再接另一批人，使得两批人同时到达火车站，那么比较省时，需要37分．
(一)学会解开放题
随着素质教育的不断深入，考查学生灵活运用的综合能力成为热点．而开放性问题有利于培养学生灵活运用能力和创造性思维能力．
［例1］按要求运用数字135和25%编一道应用题，要求：(1)要联系市场经济，其解符合实际．(2)数25%要用两次．(3)列出的方程是一元一次方程，写出这道应用题的整个解的过程．
解：依据题目要求可编出应用题：
某个体商店同时出售两件衣服，每件售价都是135元，按进价核算，其中一件盈利25%，另一件亏本25%．试问在这次销售中，商店是亏还是赚？
解这道应用题，设其中一件进价x元，另一件进价y元，由题意，得
x(1+25%)=135，则x=108；
y(1-25%)=135，则y=180．
∴2×135-(x+y)=-18
因此是亏，亏了18元．
根据题目要求还可编出一道应用题：
某商店降价25%后，又提价25%，该商品现价为135元，问该商品原价多少元？
解：设该商品原价x元，则
(1-25%)(1+25)x=135．
解，得x=144
所以该商品原价是144元．
［例2］下面是工厂各部门提供的信息：
人事部：明年生产工人不多于800人，每年每人工时按2400工时计算；
市场部：预测明年的产品销量是10000~12000件；
技术部：该产品平均每件需用120工时，每件需要装4个某种主要部件；
供应部：今年年终库存某种主要部件6000个，明年可采购到这种部件60000个．
请判断：(1)工厂明年的生产量至多为多少件？(2)为减少积压，至多裁减多少人用于开发其他新产品．
解：(1)据人事部、技术部、供应部的信息，明年生产量为x件，则
4x=6000+60000，解得x=16500
120x=800×2400，解得x=16000
受工时限制x应取16000．
(2)据市场部信息，设应裁减y人，则
2400(800-y)=12000×120
解，得y=200．应裁减200人．
(二)参考练习
列方程解应用题
1．甲、乙两人骑自行车，同时从相距65千米的两地相向而行，甲的速度为17．5千米/时，乙的速度为15千米/时，经过几小时两人相距32．5千米？
2．在一直的长河中有甲、乙两船，现同时由A地顺流而下，乙船到B地时接到通知需立即返回到C地执行任务，甲船继续顺流航行，已知甲、乙两船在静水中的速度都是每小时7．5千米，水流速度为每小时2．5千米，A、C两地间的距离为10千米．如果乙船由A地经B地再到达C地共用了4小时，问乙船从B地到达C地时，甲船驶离B地有多远？
答案：1．解：(1)相遇前经过x小时，甲、乙二人相距32．5千米，根据题意，得：
(17．5+15)x+32．5=65
x=1
(2)相遇后甲乙继续前进，设从出发到相遇后经过x小时相距32．5千米，根据题意，得
(17．5+15)x-32．5=65
x=3
所以经过1小时或3小时甲、乙两人相距32．5千米．
2．解：设乙船由B地航行到C地用了x小时，那么甲、乙两船由A地航行到B地都用了(4-x)小时．
(1)若C地在A、B两地之间，有
(4-x)(7．5+2．5)-x(7．5-2．5)=10
解，得x=2
10×2=20千米
(2)若C地不在A、B两地之间，有
x(7．5-2．5)-(4-x)(7．5+2．5)=10
解，得x=
10×千米．
所以乙船从B地到达C地时甲船驶离B地有20千米或千米．
6 应用一元一次方程—追赶小明
【课后作业】一、P151数学理解1.
难易度：★★★
关键词：一元一次方程的应用
答案：
给定方程，编应用题。答案略。
【举一反三】
典例：给定方程3（14-x）+x=34，请联系实际编应用题。
思路导引：观察方程，含未知数的两项14-x，x。是考虑的重点。
标准答案：中国足球超级联赛规定每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某队前14场保持不败，共得34分，该队前14场比赛共平了几场？
?
能追上小明吗
活动与探究
8个人分别乘两辆小汽车赶往火车站，其中一辆小汽车在距离火车站15千米的地方出了故障，此时离火车站停止检票的时间还有42分钟，这时惟一可以利用的交通工具只有一辆小汽车，连司机在内限乘5人，这辆小汽车的平均速度为60千米/时．这8个人能赶上火车吗？
过程：这是开放性的问题，为学生提供了思维的空间．可以分多种情形讨论．
第一种情形：小汽车分2批送8个人．如果第2批人在原地不动．
第二种情形：如果在汽车送第一批人的同时，其他人先步行，可节省一点时间．
第三种情形：如果这辆汽车行驶到途中一定位置放下第一批人，然后掉头再接另一批人使得两批人同时到达火车站，比较省时．
结果：第一种情形：小汽车需来回走15×3=45(千米)，所需时间为45÷60=(小时)=45分>42分．因此单靠汽车来回接送无法使8人赶上火车．
第二种情形：如果设这些步行的速度为5千米/时，汽车送完第1批人后，用了x小时与第二批人相遇，根据题意有：5x+60x=15-×5，解得x=，从汽车出故障开始，第二批人到达火车站要用+2×=小时<42分．因此不计其他时间的话，这8人能赶上火车．
第三种情形：如果这辆汽车行驶到途中，一定位置放下第一批人，然后掉头再接另一批人，使得两批人同时到达火车站，那么比较省时，需要37分．
(一)学会解开放题
随着素质教育的不断深入，考查学生灵活运用的综合能力成为热点．而开放性问题有利于培养学生灵活运用能力和创造性思维能力．
［例1］按要求运用数字135和25%编一道应用题，要求：(1)要联系市场经济，其解符合实际．(2)数25%要用两次．(3)列出的方程是一元一次方程，写出这道应用题的整个解的过程．
解：依据题目要求可编出应用题：
某个体商店同时出售两件衣服，每件售价都是135元，按进价核算，其中一件盈利25%，另一件亏本25%．试问在这次销售中，商店是亏还是赚？
解这道应用题，设其中一件进价x元，另一件进价y元，由题意，得
x(1+25%)=135，则x=108；
y(1-25%)=135，则y=180．
∴2×135-(x+y)=-18
因此是亏，亏了18元．
根据题目要求还可编出一道应用题：
某商店降价25%后，又提价25%，该商品现价为135元，问该商品原价多少元？
解：设该商品原价x元，则
(1-25%)(1+25)x=135．
解，得x=144
所以该商品原价是144元．
［例2］下面是工厂各部门提供的信息：
人事部：明年生产工人不多于800人，每年每人工时按2400工时计算；
市场部：预测明年的产品销量是10000~12000件；
技术部：该产品平均每件需用120工时，每件需要装4个某种主要部件；
供应部：今年年终库存某种主要部件6000个，明年可采购到这种部件60000个．
请判断：(1)工厂明年的生产量至多为多少件？(2)为减少积压，至多裁减多少人用于开发其他新产品．
解：(1)据人事部、技术部、供应部的信息，明年生产量为x件，则
4x=6000+60000，解得x=16500
120x=800×2400，解得x=16000
受工时限制x应取16000．
(2)据市场部信息，设应裁减y人，则
2400(800-y)=12000×120
解，得y=200．应裁减200人．
(二)参考练习
列方程解应用题
1．甲、乙两人骑自行车，同时从相距65千米的两地相向而行，甲的速度为17．5千米/时，乙的速度为15千米/时，经过几小时两人相距32．5千米？
2．在一直的长河中有甲、乙两船，现同时由A地顺流而下，乙船到B地时接到通知需立即返回到C地执行任务，甲船继续顺流航行，已知甲、乙两船在静水中的速度都是每小时7．5千米，水流速度为每小时2．5千米，A、C两地间的距离为10千米．如果乙船由A地经B地再到达C地共用了4小时，问乙船从B地到达C地时，甲船驶离B地有多远？
答案：1．解：(1)相遇前经过x小时，甲、乙二人相距32．5千米，根据题意，得：
(17．5+15)x+32．5=65
x=1
(2)相遇后甲乙继续前进，设从出发到相遇后经过x小时相距32．5千米，根据题意，得
(17．5+15)x-32．5=65
x=3
所以经过1小时或3小时甲、乙两人相距32．5千米．
2．解：设乙船由B地航行到C地用了x小时，那么甲、乙两船由A地航行到B地都用了(4-x)小时．
(1)若C地在A、B两地之间，有
(4-x)(7．5+2．5)-x(7．5-2．5)=10
解，得x=2
10×2=20千米
(2)若C地不在A、B两地之间，有
x(7．5-2．5)-(4-x)(7．5+2．5)=10
解，得x=
10×千米．
所以乙船从B地到达C地时甲船驶离B地有20千米或千米．
6 应用一元一次方程—追赶小明
【课后作业】二、P151问题解决2.
难易度：★★★
关键词：一元一次方程的应用
答案：
? （1）10s（2）5s
【举一反三】
典例：某人从甲地到乙地，水路比公路近40千米，但乘轮船比汽车要多用3小时，已知轮船速度为24千米/时，汽车速度为40千米/时，则水路和公路的长分别为（　　）。
思路导引：此题中数量关系比较多，先可以设水路长为x千米，公路长则为（x+40）千米，由时间=距离÷速度得：轮船用时为千米/时，汽车速度用时为千米/时，再有乘轮船比汽车要多用3小时，列方程即可解的．
标准答案：设水路长为x千米，根据题意得：=+3
解得：x=240，
则水路长240千米，公路长280千米．
?
6 应用一元一次方程—追赶小明
【课后作业】三、P151问题解决3.
难易度：★★★
关键词：一元一次方程的应用
答案：
小时
【举一反三】
典例：某机械厂的总工程师张青家距厂部很远，每天都由厂部小客车接送，厂车到接送停靠站接到张青立即返程，根据厂车的出车时间和速度，张青总能算准时间，通常是他到停靠站时，厂车正好到达，这样，双方均不必等候．有一次，张青因挂念厂里的科研课题，提前一小时到停靠站后没有等汽车，而是迎着厂车来的方向走去，遇到厂车后，他乘车到达厂部，比平时早20分，则汽车的速度是张青步行速度的（　　）。
思路导引：由厂车往返（节省）20分钟，可知厂车提前10分钟遇到张青，从即相遇到停车点这段路程厂车需要行驶10分钟，相遇到停车点这段路程张青步行（60-10）分钟．根据速度比等于时间的反比，所以汽车的速度是张青步行速度的5倍．
标准答案：厂车往返（节省）20分钟，即厂车提前10分钟遇到张青，相遇到停车点这段路程厂车需要行驶10分钟，相遇到停车点这段路程张青步行（60-10）分钟．
设相遇到停车点的距离为x，根据题意可得：
张青的速度=，汽车的速度=，则汽车的速度÷张青步行速度=÷=5，
即汽车的速度是张青步行速度的5倍．
《普查和抽样调查》典型例题
例题01 为了了解全校学生的身高情况，小明、小华、小宸三个同学分别设计了三个方案：
（1）小明：测量出全班每个同学的身高，以此推算出全校学生的身高．
（2）小华：在校医室发现了1900年全校各班的体检表，从中摘录了全校的身高情况．
（3）小宸：在全校每个年级的一班中，抽取了学号为5的倍数的10名学生，记录他们的身高，从而估计全校学生身高情况．
这三种做法哪一种比较好？为什么？

例题02 在下面两个事件中，你如何完成收集数据的任务：
（1）学校为全校同学制了校服，要了解每位学生的衣服及裤子的型号．
（2）要了解各家每周丢弃的塑料袋数量，准确地在全班同学中调查丢弃塑料袋的情况．

例题03 下列调查中，分别采取了哪种调查方式？
A．某商场为了了解“五一”黄金周的销售量，对5月1号到7号的销售量进行调查；
B．要了解甲、乙两种安眠药的药效，对10只动物在相同条件下服用两种药物后延长的睡眠时间进行调查；
C．为了解全校初二学生平均每周上网时间，对初二（3）班学生上网时间进行调查统计；
D．中国为有效控制禽流感的蔓延，对所有发病区域进行监控；
E．为了检查一批零件的质量，从中抽查10件进行称量；
F．为尽快确定出“非典”的传播途径，北京市对全市所有的“非典”患者和疑似病人进行隔离调查．
例题04 （北京西城区，2002年）在北京市“危旧房改造”中，小强一家搬进了回龙观小区． 这个小区冬季用家庭燃气炉取暖．为了估算冬季取暖第一月使用天然气的开支情况，从11月15日起，小强连续八天晚上记录了天然气表显示的读数，如下表［注：天然气表上先后两次显示的读数之差就是这段时间内使用天然气的数量（单位：）：
日 期
15日
16日
17日
18日
19日
20日
21日
22日
天然气显示读数
220
229
241
249
259
270
279
290
小强妈妈11月15日买了一张600元的天然气使用卡，已知每天然气1.70元，请你估算这张卡够小强家用一个月（按30天计算）吗？为什么？
参考答案
例题01 解答 小宸的方案比较好，因为小明的方案只代表这个年级学生的身高情况，不代表其他年级的身高情况，小华的方案调查的是15年前学生身高的情况，用以说明目前的情况误差比较大，小宸的方案从全校中广泛地抽取了各年级的学生，随机地抽取部分学生，这样的调查有代表性．
例题02 解答 （1）要采取普查的方法，量出每一个同学衣服及裤子的型号，这样才能保证每个同学穿上合体的服装．
（2）可以用抽样的方法了解每周丢弃塑料袋的情况，如确定星期二、星期六两天，全班同学都记录下自己家这两天内丢弃的塑料袋情况，利用这些数据统计出一周内每家丢弃塑料袋的情况．
也可以在班级中确定一个小组的同学，记录下这一周内各家丢弃的塑料袋的情况，利用这些数据统计出一周内每家丢弃塑料袋的情况．
例题03 分析 全面调查与抽样调查是调查的两种方式，其各有自己的特点。在调查实际生活中的相关问题时，要灵活处理，既要考虑问题本身的需要，又要考虑实现的可能性和所付出的代价的大小
解答 甲生：属于全面调查的项有：A、D、F．
乙生：属于抽样调查的项有：B、C、E．
说明 全面调查和抽样调查的方法在于：全面调查是对考察对象的全面调查，它要求对考察范围内的所有个体进行一个不漏的逐个准确统计；而抽样调查则只是对总体中的部分个体进行调查，以样本来估计总体的情况．
例题04 分析首先我们必须认识到小强用到了抽样调查的方式，用一周中平均每天使用天然气的情况估计这一月中每天使用天然气的情况
解答 设小强这一周的平均消耗天然气的量为W，则
由此可估计小强家冬季取暖第一个月使用天然气的总量约为，
又由于，
故这张卡小强家能用一个月．
说明 要判断这张天然气使用卡是否够用，我们必须先求出平均每天所消耗的天然气的量，确定一个月的总消耗量，再乘以单价即为实际支出。再只需要比较计划支出与实际支出即可．
扇形统计图
活动与探究
一个扇形的面积与对应圆的面积的比等于扇形的圆心角的度数n与360的比，S扇∶S圆=n∶360．
根据上面提供的公式计算一个半径为10厘米的圆中，一个圆心角为60°的扇形的面积．
过程：我们知道扇形就是一段弧和过这段弧的两个端点的半径所组成的图形．这段弧所对的的以圆心为顶点的角就是圆心角．
如果我们把以圆心为顶点的周角360等份，就得到了面积相等的圆心角为1°的360个扇形．所以含1°的圆心角的扇形的面积是S圆．含n°的扇形的面积则为S圆．
［结果］1°的圆心角的扇形的面积是S圆，n°的圆心角的扇形的面积是S圆，即S扇=S圆．S扇形∶S圆 =n∶360．
当R=10 cm，n=60时．
S扇=×π×102=π(cm2)
走进生活
(一)让我们拿掉眼镜
如今走进校园，我们会发现许多同学架着各式各样的眼镜，看似斯文，有学问，有气派．那么戴眼镜究竟好不好呢？我们带着这个问题对40位不同年龄层次的人进行问卷调查和采访活动．
1．你什么时候戴眼镜的？得到下面扇形统计图：
2．眼镜度数有多深？扇形统计图如下．
3．戴眼镜有何感受？
觉得麻烦(100%)．不麻烦(0)
4．分析以上统计图，总结出戴眼镜有下列麻烦：
①不断地更换眼镜，可谓麻烦；
②影响正常的学习、生活可谓麻烦．
③影响自己身体素质的提高．可谓麻烦；
④目前眼镜价格太贵．
5．解决问题：
根据医生的指导，我们明白了许多有关近视的知识．
有一种近视只需休息调整，就能自动恢复视力，这样的近视叫“假性近视”．如果纠正了错误的用眼习惯，并适当的使用药物，视力通常是可以恢复的．
那么，什么是“真性近视”呢？就是指眼睛的前后直径超过24毫米的正常长度，一般来说，就不容易恢复了，也就意味着提高视力的方法只有戴眼镜了．
我们平常在学习过程中，眼睛很容易疲劳，按时做眼保健操，是一种非常有效的调节方式．
其实，想拥有一双明亮的眼睛，最重要的是用眼卫生，让我们拿掉眼镜吧！
抽样调查
一、抽样调查的概念和程序
抽样调查的概念
抽样调查：就是从调查对象的总体中抽取一部分单位作为样本，并以对样本进行调查的结果来推断总体的方法。
总体：是指所要调查研究对象的全部单位。如，要研究北京市居民户的生活 质量，那么北京市所有的居民就是此次调查的总体。
抽样：从总体中选取一部分的方法代表的过程就是抽样；
抽样框：编制抽样单位的目录，成为抽样框。抽样框的范围与被调查总体的范围一致。抽样框可分为
1、名单抽样框
2、区域抽样框
3、时间标抽样框
样本：是指从总体中抽取出来进行调查的一部分单位。总体是所要研究的对象，样本是所要观察的对象。样本的大小，即样本单位数，称为样本容量，用n表示。
抽样调查的主要特点：
（1）它的调查对象只是作为样本的一部分单位,而不是全部单位，也不是个别或少数单位；
（2）调查样本一般按照随机原则抽取,而不由调查者主观确定；
（3）调查目的不是说明样本本身，而是从数量上推断总体、说明总体；
（4）随机抽样的误差是可以计算的，误差范围是可以控制的。
抽样的一般程序
（1）设计抽样方案
（2）界定调查总体
（3）选择抽样方法
（4）编制抽样框
（5）抽取调查样本
（6）评估样本质量
二、非随机抽样的具体方法
非随机抽样概念：非随机抽样又称非概率抽样，就是调查者根据自己的方便或主观判断抽取样本的方法。常见的方法有：
1）任意抽样，也称方便抽样、便利抽样、偶遇抽样 。从便利的目的出发，依靠现成的研究对象获取样本就是按调查者的方便任意抽样。如在街头、路口、商场等，随便选择某些行人、顾客等作为抽样对象进行访问调查。
2）判断抽样，又称立意抽样，就是依据调查者的主观判断来选择样本 。样本个体的选择不是根据某一概率，而是依据研究者或调查人员的判断
3）配额抽样，也称定额抽样，就是根据统计报表等已知情况，按照一定标准和比例分配样本数额，然后由调查者在各个组成部分内根据配额的多少采用偶遇抽样或判断抽样方法抽取样本。
4）滚雪球抽样，它是指由于对调查总体情况不甚了解，根本无法采取上述各种抽样方法抽取样本，因而只能先找少量的、甚至个别的调查对象进行访问，然后通过他们再寻找新的调查对象，这样就像滚雪球一样寻找越来越多的调查对象，直至达到调查目的为止
非随机抽样调查的优、缺点：
缺点：代表性、客观性较差，样本调查资料不能从数量上推断总体。
优点：简便、易行，可以获得对于调查对象的大致了解。故在那些不可能或不需要从数量上推断总体的调查课题中经常被采用。
随机抽样的具体方法
随机抽样的概念：所谓随机抽样又叫概率抽样，是指以概率原理为基础，按随机原则抽取样本的抽样方法。
随机抽样的具体方法，主要有下列几种：
（一）简单随机抽样：有直接抽样、抽签法或抓阄法、随机数表法。
（二）等距随机抽样
（三）类型随机抽样
（四）整群随机抽样
多段随机抽样
（一）简单随机抽样 ：又称纯随机抽样，即对总体单位不进行任何组合，仅按随机原则直接抽取样本。
1．直接抽样法
2．抽签法或抓阄法
3．随机数字表法
简单随机抽样的优、缺点：
优点：在抽样中完全排除了主观因素的干扰，最符合随机原则，众多抽样方法中最简单，操作方法最容易理解
缺点：(1)简单随机抽样需要把总体中每一个体编上号码，如果总体很大，这种编号几乎是不可能的，故它只适用于单位数量不多的调查对象。(2)这种抽样方法常常忽略总体已有的信息，降低了样本的代表性 。如，对某一地区的学生进行抽样，测试该地区学生的智力水平，重点学校与一般学校的学生是有差异的，如果不考虑这个因素，则所抽取的样本很可能重点学校的学生多些，或根本没有重点学校的学生。这样样本的代表性是不理想的，若充分考虑并利用重点与一般存在差异这一已有信息，可以设计出更好的抽样方法（见后面的分层随机抽样） (3)抽取的样本可能比较分散或过分集中，这将给实际调查工作带来许多困难。
（二）等距随机抽样 ：也叫机械随机抽样或系统随机抽样。（随机＋等距）它是先将总体各单位按一定标志顺序排列，编上号，然后用总体单位数除以样本单位数，求得抽样间隔，并在第一个抽样间隔内随机抽取一个单位作为第一个样本单位，最后按抽样间隔做等距抽样，直到抽取最后一个样本单位为止。
优点：样本在总体中的分布比较均匀，具有较高的代表性，抽样误差小于简单随机抽样，而且比较简单易行，只要确定了第一个样本单位，整个样本也就确定了。更适合大样本的使用；样本分布比较分散
缺点：调查总体的单位不能太多，而且要有完整的登记注册，否则难以进行。
但是，如果总体具有某一种周期性变化，则等距抽样的代表性远不如简单随机抽样。另外，等距抽样同简单抽样一样也容易忽略已有信息
（三）类型随机抽样 ：
又称分层随机抽样。具体做法是按照总体已有的基本特征，将总体分成几个不同的部分（每一部分叫一层），然后，根据各类型（或层次）所包含的抽样单位数与总体单位数的比例，确定从各类型中抽取样本单位的数量；最后，再分别在每一部分中随机抽样
例：要了解某市800个私营企业的生产经营情况，决定分类抽取100个作为样本进行调查。首先分类，第一产业80个，占10％；第二产业320个，占40％；第三产业400个，占50％。
需要分层的情况
?总体的不同部分(层)之间有明显差异时
?调查结果中要求有各个子总体的各自结果时
?总体中大部分的差异不大，但极个别的局部与其它部分差异很大时，将这个别的局部单独作为一个层
类型随机抽样的评价：
优点：比简单随机抽样更精确
适用于总体单位数量较多，单位之间差异较大的调查对象
便于管理与实施控制
缺点:必须对总体各单位的情况有较多的了解，否则无法科学分类，抽样难度加大
分层的收益与组内相关成正比，选择正确的分层标准很重要
（四）整群随机抽样
又叫聚类随机抽样或集体随机抽样，先将总体各单位按一定标准分成许多群体，并将每一个群体看作一个抽样单位；然后，按照随机原则从这些群体中抽出若干群体作为样本；最后对样本群体中的每个单位逐个进行调查。
例：某中学有1200个学生，分为6个年级24个班。采取整群随机抽样方法调查该校学生健康状况。随机抽六个班调查。
优点：样本单位比较集中，调查动作比较方便，可以节省人力、物力、财力和时间。
缺点：样本分布不均匀、代表性差，与上述几种抽样方法相比较，在样本数量相同的情况下抽样误差较大。
（五）多段随机抽样
又称多级随机抽样或分段随机抽样，就是把从总体中抽取样本的过程分成两个或两个以上阶段进行的抽样方法。
方法
第一步：先将总体各单位按一定标志分成若干群体，作为抽样的第1级单位。然后将第1级单位又分成若干小群体，作为抽样的第2级单位。以此类推，还可以分为第3级、第4级单位。
第二步：依随机原则，先在第1级单位中抽出若干群体作为第1级样本，然后再在第1级样本中抽出第2级样本，以此类推，还可以抽出第3级样本、第4级样本。
第三步：对最后抽出的样本单位逐个进行调查。
例：假定某县有20个乡镇，平均每个乡镇有10个行政村，每个行政村有10个自然村，每个自然村有50户．这样全县共有200个行政村、 2000个自然村、 10万户．现在决定采用随机抽样方法对该县计划生育状况按户做5％的抽样调查，共抽取样本500户．
首先，确定抽样单位，根据该县社会组织的4个层次，即乡镇、行政村、自然村、和户，应采取4段随机抽样方法抽取样本，并确定乡镇为第一级单位，行政村为第二级单位，自然村为第三级单位，户为第四级单位．然后采取不同的抽样方法，分四阶段逐步抽取样本．
一段抽样，从县抽乡镇．20个乡镇经济发展较好的4个，一般的12个，较差的4个．
确定样本数量．一级单位抽25％的单位即5个乡镇．
较好1个
一般的3个
较差的1个．
二段抽样，从乡镇抽行政村．采用等距．
5个乡镇50个行政村，抽20％，即10个行政村
三段抽样，从行政村到自然村．整群随机
10个行政村所属的100个自然村，两个临近50个群体，抽10个群体
四段抽样，从自然村到户．简单随机抽烟，编制10个群体，20个自然村，1000户的名单，编号，每个群体抽50户，10个群体，抽出500户．
优点：
?有利于把各种抽样方法的优点综合起来，从而达到以最小的人财物消耗和最短的时间获得最佳调查效果的目的。
?特别适合于调查总体范围大、单位多、情况复杂的调查对象。
?样本个体相对集中，易于实施操作
?缺点：
样本量相同的情况下，抽样误差较大
什么是普查
　　普查是为了某种特定的目的而专门组织的一次性的全面调查。普查一般是调查属于一定时点上的社会经济现象的总量，但也可以调查某些时期现象的总量，乃至调查一些并非总量的指标。普查涉及面广，指标多，工作量大，时间性强。为了取得准确的统计资料，普查对集中领导和统一行动的要求最高。
　　普查主要用以搜集重要国情国力和资源状况的全面资料，为政府制定规划、方针政策提供依据，如人口普查、科技人员普查、工业普查、物资库存普查等。普查多半是在全国范围内进行的，而且所要搜集的是经常的、定期的统计报表所不能提供的更为详细的资料，特别是诸如人口、物资等时点的数据。
　　普查中应注意的问题：
普查的项目必须简明；
普查的标准时间必须统一；
普查的现场登记时间必须选择恰当；
普查的现场登记工作应该尽快完成；
普查应该尽可能按一定周期进行。
普查的方式
　　普查的组织方式一般有两种：
　　1、建立专门的普查机构，配备大量的普查人员，对调查单位进行直接的登记，如人口普查等。
　　2、利用调查单位的原始记录和核算资料，颁发调查表，由登记单位填报，如物资库存普查等。
　　这种方式比第一种简便，适用于内容比较单一、涉及范围较小的情况，特别是为了满足某种紧迫需要而进行的“快速普查”，就可以采用这种方式，它由登记单位将填报的表格越过中间一些环节直接报送到最高一级机构集中汇总。
　　例如：我国采取第一种方式普查的有：1953年第一次全国人口普查，1995年私营商业及饮食业普查，1964年第二次全国科技售货员普查，1977年全民所有制单位实际用工人数普查，1978年全国科技人员普查，1982年第三次全国人口普查，1990年全国第四次人口普查，2000年第五次人口普查等，采取上述第二种方式普查的有：1954年黑色金属、有色金属和木材库存普查，1954年以后所进行的多次物资库存普查，1985年第二次全国工业普查等。
普查的特点
　　普查作为一种特殊的数据搜集方式，具有以下几个特点：
　　1、普查通常是一次性的或周期性的
　　由于普查涉及面广、调查单位多，需要耗费大量的人力、物力和财力，通常需要间隔较长的时间，一般每隔10年进行一次。如我国的人口普查从1953年至2000年共进行了五次。今后，我国的普查将规范化、制度化，即每逢末尾数字为“0”的年份进行人口普查，每逢“3”的年份进行第三产业普查，每逢“5”的年份进行工业普查，每逢“7”的年份进行农业普查，每逢“1”或“6”的年份进行统计基本单位普查。
　　2、规定统一的标准时点
　　标准时点是指对被调查对象登记时所依据的统一时点。调查资料必须反映调查对象的这一时点上的状况，以避免调查时因情况变动而产生重复登记或遗漏现象。例如，我国第五次人口普查的标准时点为2000年11月1日零时，就是要反映这一时点上我国人口的实际状况；农业普查的标准时点定为普查年份的1月1日0时。
　　3、规定统一的普查期限
　　在普查范围内各调查单位或调查点尽可能同时进行登记，并在最短的期限内完成，以便在方法和步调上保持一致，保证资料的准确性和时效性。
　　4、规定普查的项目和指标
　　普查时必须按照统一规定的项目和指标进行登记，不准任意改变或增减，以免影响汇总和综合，降低资料质量。同一种普查，每次调查的项目和指标应力求一致，以便于进行历次调查资料的对比分析和观察社会经济现象发展变化情况。
　　5、普查的数据一般比较准确，规范化程度也较高，因此它可以为抽样调查或其他调查提供基本依据。
　　6、普查的使用范围比较窄，只能调查一些最基本及特定的现象。
普查既是一项技术性很强的专业工作，又是一项广泛性的群众工作。我国历次人口普查都认真贯彻群众路线，做好宣传和教育工作，得到群众的理解和配合，因而取得令世人瞩目的成果。
普查的优缺点
　　普查的优点：
由于是调查某一人群的所有成员，所以在确定调查对象上比较简单；
所获得的资料全面，可以知道全部调查对象的相关情况，准确性高；
普查所获得的数据为抽样调查或其他调查提供基本依据。
　　普查的缺点：
工作量大，花费大，组织工作复杂；
调查内容有限；
易产生重复和遗漏现象；
由于工作量大而可能导致调查的精确度下降，调查质量不易控制。
收视率的概念及其测量方法
收视率，指在某个时段收看某个电视节目的目标观众人数占总目标人群的比重，以百分比表示。现在一般由第三方数据调研公司，通过电话，问卷调查，机顶盒或其他方式抽样调查来得到收视率。节目平均收视率指观众平均每分钟收看该节目的百分比，收视总人口指该节目播出时间内曾经观看的人数（不重复计算），所以有时会出现收视率较低，收视人口较高的状况，但排名仍以收视率为准。
采集方法
目前采用的收视率数据采集方法有两种，即日记法和人员测量仪法。
日记法
是指通过由样本户中所有4岁及以上家庭成员填写日记卡来收集收视信息的方法。样本户中每一家庭成员都有各自的日记卡，要求他们把每天收看电视的情况（包括收看的频道和时间段）随时记录在自己的日记卡上。日记卡上所列的时间间隔为15分钟。每一张日记卡可记录一周的收视情况。
人员测量仪
　　人员测量仪法是指利用“人员测量仪”来收集电视收视信息的方法，是目前国际上最新的收视调查手段。样本家庭的每个成员在手控器上都有自己的按钮，而且还留有客人的按钮。当家庭成员开始看电视时，必须先按一下手控器上代表自己的按钮，不看电视时，再按一下这个按钮。测量仪会把收看电视的所有信息以每分钟为时间段（甚至可以精确到秒）储存下来，然后通过电话线传送到总部的中心计算机(或通过掌上电脑入户取数据)。
　　收视率多久能够出来？有的是一周，有的是两周，有的是一天。刘燕南说，这主要取决于采用什么样的测量方法，如果采用日记法，因为要对数据进行收集和分析，最快需要一周，一般需要两周；如果采用人员测量仪法，因为电话线可以即时回传数据，因此能够做到隔一天就能够提供收视数据，只是人员测量仪成本比较高。 如果采用日记法，因为要对数据进行收集和分析，最快需要一周，一般需要两周，显然有一定的滞后性，而且在精确度方面也不容乐观；如果采用人员测量仪法，因为电话线可以即时回传数据，因此能够做到隔一天甚至更快的时间就能够提供收视数据，测量仪成本自然就比较高。
收视率，指在一定时段内收看某一节目的人数（或家户数）占观众总人数（或总家户数）的百分比，即收视率＝收看某一节目的人数（或家户数）/观众总人数（或总家户数）。当然，除了节目的收视率，还有时段收视率等相关的统计指标。
如何测量
　　调查机构（一般是独立的调查机构，也有电视台自己做的）按照样本分布选定一些用户，付费安装一些“监测设备”，用来记录用户的换台情况，定期搜集这些数据做出收视率统计， 即时收视率调查一般是通过电话寻访指定用户得出的，这个速度较快，因为并不是随机调查而是签约的按照样本分布事前选定的指定用户。 你不知道是因为你没有被选上啊 与国外相比，中国视听率调查起步较晚。我国的收视率调查始于上个世纪80年代中期，在90年代中后期进入快速发展阶段。1986年中央电视台进行了一次全国28个城市观众抽样调查，这次调查被认为是中国首次大范围、专门的观众调查。1987年，中央电视台会同各省市电视台一起，进行了我国第一次城乡范围的电视观众调查，以后全国性的电视观众调查每隔5年进行一次。在进行电视观众调查的同时中央电视台和一些地方电视台开始进行收视率统计工作。 进入90年代中后期，随着电视台及电视频道数量的迅猛扩张和电视媒介市场化的快速发展，电视收视市场的竞争加剧，收视率作为反映电视观众收视行为和偏好的主要指标在节目编排、广告投放决策以及电视节目评估中的作用越来越被业内人士认可，在这种背景下，中国收视率调查得以快速发展。其主要标志是1997年12月4日，由原央视调查咨询中心和法国索福瑞（Sofres）集团合作正式成立了央视－索福瑞媒介研究（CSM）。经过短短几年的发展，CSM已成为中国最具权威的收视率调查专业公司。CSM目前拥有世界上最大的电视观众收视调查网络，至2003年11月份，CSM在全国拥有1个全国调查网（测量仪）、17个日记卡省网、2个测量仪省网、73个城市日记卡调查网，19个城市测量仪调查网，样本总规模达到29,240户，对全国近800个主要电视频道的收视情况进行全天候不间断的监测。除CSM外，在中国收视率调查业中另一家较重要的公司是AC尼尔森公司，该公司采用测量仪方法在全国10多个城市进行收视率调查。 ??中国的收视率调查虽然起步较晚，但发展速度很快，仅用十几年的时间便走完了西方发达国家半个多世纪的发展历程，目前我国的收视率调查，无论是在抽样方法上，还是在调查技术上都已与国际最新发展保持同步。
收听率
与收视率调查相比，收听率调查在中国起步更晚。从上个世纪90年代中期开始，陆续有部分广播电台（如中央人民广播电台、北京、上海、天津等地人民广播电台）开始听众调查。这些调查大多采用随机抽样、问卷调查的方法，主要调查内容为居民收听设备拥有情况、听众收听广播的地点、习惯和偏好、各广播频率的收听情况以及对节目的满意程度等。严格来说，这些调查还不是真正意义上的收听率调查。央视－索福瑞媒介研究（CSM）于2000年在北京、深圳、杭州和成都四个城市进行真正意义收听率调查的试点，从2002年开始正式在北京、上海和广州三大城市进行收听率调查。在每个城市中每年进行三次连续调查，每次调查持续4周。每个城市的样本规模为300户，样本户的抽取方法为二阶段、概率与规模成比例（PPS）抽样，对抽中的被访者采用日记卡方法调查其收听行为。CSM收听率调查城市在2004年计划进一步扩展到北京、上海、广州、深圳、天津、重庆、杭州、成都、武汉、青岛、沈阳、大连、南京、哈尔滨、福州、济南、长春、郑州、西安、长沙20个城市。除CSM外，央视市场研究（CTR）从2000年9月起开始为某广播电台进行广播收听率调查，1年进行6次，每次样本户持续填写一周的日记卡。收听率调查的快速发展及收听数据的广泛应用，对广播电台节目调整、节目质量的提高和促进我国广播媒体的良性发展具有巨大的推动作用。
如今，越来越多的电视剧在提供收视率时采用这样的提法：某一部电视剧的收视率仅次于《新闻联播》，刘燕南认为这种比较方法不具有科学性，两者没有可比性，首先电视剧和《新闻联播》不在同一个播出时段；其次，两者面临的不是同一个市场，《新闻联播》面向全国，而更多的电视剧是区域性的，面向一个省或者一个城市，“之所以会出现这样的提法，主要是在大家的印象中《新闻联播》的收视率很高，想以此来证明该电视剧的收视率很高，但最好不要做这样的比较。”其次，刘燕南介绍，在某些地方，一部电视剧的收视率可能高于《新闻联播》，比如《还珠格格》在某些地方的收视率达到60%，因为《新闻联播》是面向全国的，统计的基数太大。
那应该拿什么数据作为某一部电视剧收视率的比较标准呢？刘燕南说，业内一般都是以央视一套黄金时段所播电视剧的收视率作为比较的标准，或者以某一部有代表性的、曾经创造过收视神话的电视剧作为衡量标准。
统计调查教材习题解析
1．解析：本题主要考查学生能够通过划记进行粗略统计．答案是：
略
2．解析：本题主要考查判断提问式抽样调查，不能有个人观点．答案是：
（2）的提问更好．因为（1）的提问明显透露了提问者的个人观点．
3．解析：本题主要考查区分抽样调查和全面调查。答案是：
（1）全面调查? （2）抽样调查? （3）抽样调查
4．解析：本题主要考查扇形统计图及扇形圆心角的计算．在扇形统计图中，每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°的比．答案是：
由图可知，亚洲和非洲占了世界陆地面积的一半，亚洲的面积最大，约占世界陆地面积的30%，世界上面积最小的洲是大洋洲，其次是欧洲．
5． 解析：本题考查了折线统计图的知识，解决此类题目的关键是正确的识图并从折线统计图中整理出进一步解题的信息．答案是：
解：（1）根据折线统计图可以得到近六届奥运会获得金牌数分别为：32、28、54、50、59、63，100
∴最近六届奥运会上，我国体育健儿共获得32+28+54+50+59+63+100=386枚金牌；
（2）如图
6．解析：此题考查了条形统计图，弄清题意是解本题的关键．答案是：
解：根据题意得：等级A的有3个；等级B的有7个；等级C的有19个；等级D的有4个；等级E的有3个，做出统计图，如图所示：由中位数为19，得到甜点的甜度适中．
7．解析：此题考查扇形统计图，弄清题意是解本题的关键．答案是：
解：（1）根据题意得：115+62+40+8=225（人），
×100%≈51%； ×100%≈27%；×100%≈18%，
则全校赞成方案一、二、三的百分数分别为51%，27%，18%；
（2）根据题意得：放弃的百分数为1-（51%+27%+18%）=4%，
作出扇形统计图，如图所示：
4%
?
18%
?
51%
?
27%
?
8．解析：本题主要考查选择合适的统计图，需要学生了解各种统计图的特点，选用折线图不仅易于对进出口额进行比较，而用有利于了解出口额随时间变化的趋势。选用条形图易于比较，在反映进出口额变化趋势上没有折线图好．答案是：用折线图和条形图描述如下：
9．解析：本题考查的是通过样本去估计总体，总体平均数约等于样本平均数．答案是：
解：
（1．3+1．7+2．4+1．1+1．4+1．6+1．6+2．7+2．1+1．5+0．9+3．2+1．3+2．1+2．6+2．1+1．0+1．8+2．2+1．8）÷20=36．4÷20
=1．82（万元）；
1．82×130=236．6（万元）；
13÷20×100%=65%．
答：村中住户的平均年收入1．82万元、整村的年收入236．6万元，村中户年收入超过1．5万元的百分比为65%．
10．解析：本题主要考查抽样合理性的问题。答案是：
答：不合理。因为小明调查的30个家庭中都至少有一个小孩在上学，所以其教育费用支出对整个小区来说不具有代表性．可以进行简单随机抽样调查，例如对小区内各门牌号进行抽签，然后按抽中的签号入户调查．这样得到的样本比小明直接调查同学的家庭会更具有代表性．
11．解析： 本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
解：（1）图（2）更好反映两省在校中学生总数；
（2）图（1）更好地比较A（B）省城镇和农村在校中学生人数；
（3）图（1）更直观地反映本省城镇与农村在校中学生人数的差别；
图（2）更好反映两省在校中学生总数的差别．
故答案为：（2）；（1）．
12．略
统计调查 教材分析 第1课时
本节课学习的是统计调查，在章前言中列举了几个涉及统计数据的具体实例，让学生感受到生活中经常遇到统计方面的的内容，激发学生的积极性．教材从实际问题中让学生体会全面调查的意义，初步学会简单的数据收集，整理以及会用条形统计图、扇形统计图直观地描述数据．
统计调查 课标内容
课标要求是通过数据的收集——全面调查和抽样调查，数据的整理——频数分布表，数据的描述——统计图表，数据的分析得出结论的一般过程．数据的收集、整理、描述是重点，数据的分析是难点．
统计调查课标解读
1．本节的统计调查是在小学所学统计知识的基础上，学习收集数据的基本方法，从而进一步学习如何整理数据，并用统计图表直观形象地描述数据，从中发现数据蕴含的规律，获取我们需要的信息．
2．了解全面调查的概念以及全面调查所适合的调查对象，会设计简单的问卷调查，掌握划记法，会用表格整理和统计数据．
3．理解用条形图、扇形图和折线图描述数据的意义和各自的特点：条形图反映事物的具体数目，扇形图反映部分与整体的关系，折线图反映事物的变化趋势．能读懂条形图、扇形图和折线图所蕴含的所有信息，并会用条形图、扇形图和折线图来描述数据．
4．经历了统计调查的过程，理解一般的统计调查包括收集数据、整理数据、描述数据、分析数据四个步骤．
5．理解抽样调查的必要性和代表性，掌握样本、个体、总体、样本容量的概念，了解样本尽可能具有代表性，样本的容量要恰当，要简单随机抽样，初步体验用样本估计总体的思想．
6．让学生感受到全面调查和抽样调查是收集数据的两种方式，比较归纳全面调查和抽样调查的优缺点，全面调查收集到的数据全面、准确，但花费多、耗时长，而且某些调查不宜用全面调查，抽样调查花费少又省时，但抽取的样本是否具有代表性，直接关系到对总体估计的准确程度。要根据不同的调查对象选取恰当的方式进行调查．
7．对于样本容量大，个体差异程度大的问题，需要分层抽样的方法确定样本，这样的样本更具有代表性．
8．经历了复杂问题的初处理，让学生感受分层抽样的必要性，掌握分层抽样的方法，学会从样本中分析、归纳出较为正确的结论，增强用统计方法解决问题的意识．
统计调查 重难点突破 第1课时
本节课重点是了解数据的收集、整理、描述的过程，能用扇形图秒出数据，难点是用扇形描述数据．
一、全面调查
突破建议:
1．从多个实例中理解考察的对象是全体对象，这样的调查为全面调查，也称之为普查；2．全面调查的使用情况一般为总体的个体数量较少，有时为调查的特殊性和特殊要求等；例如教材中的问题一“要了解全班同学对五类电视节目的喜爱情况”其中考察的总体的个体数量少；发射火箭的零件调查，其中的每个零件都至关重要，具有特殊性；2010年我国进行的第六次人口普查是对要求每一个人口的调查等均为全面调查；
3．全面调查的结果反映的是总体、总体中的每一个个体的结果，具有准确性．
例题：下列调查中，适合用全面调查的是（?? ）
A．电视机厂要了解一批显像管的使用寿命；
B．要了解我市居民的环保意识；
C ．要了解我校的数学教师的年龄情况；
D． 要了解我市的“水蜜桃”的甜度和含水量．
解析：由全面调查的特征性，适用性，可行性．故C
二、数据的收集
突破建议：
1．数据收集的形式多种多样，可以是访问、邮寄、电话访问、互联网调查等，要根据实际情况进行选择。
2．设计调查问卷分为以下三步：①确定调查目的；②选择调查对象；③设计调查问题．要注意调查问卷的方便性，合理性，可行性。
三、统计图
突破建议
1．统计图的类型在我们现所学的有条形图，折线图，扇形图三种．
2．统计图的特点：
①条形统计图能清楚地表示出每个项目中具体数目，易于比较数据之间的差别；
②扇形统计图中用扇形的面积表示出部分在总体所占的百分比，易于比较数据之间的差别；
③折线统计图能清楚反映事物的变化情况，显示数据变化趋势．
各种类型的统计图都有自身的特点，根据不同的要求去选择统计图．
四、制作扇形统计图的方法和步骤
突破建议：
（1）计算：各部分在总体中所占的百分数和圆心角的度数．
（2）画图：画出圆并用量角器按各圆心角的度数画出个扇形．
（3）表示：在扇形内标出相应的名称和百分数．
例题：某班50名同学本次数学测试成绩如下：
94,? 120? ,68,? 119,? 95? ,76,? 100? ,84,? 101， 82，76,?? 57, 103 ,72,? 120,106, 118,? 94,? 71,??? 73
81? ,117? ,95,? 49? ,73,?? 119,??? 95 ，60,??? 96,??? 93，106,? 120, 98,? 76? ,99,? 94,? 112，81 ,92,??? 88，89,??? 82,? 95,??? 105, 108,? 94,? 120,? 89，91, 109
（1）请制作适当的统计表，以反映各分段的学生人数所占的百分比．
（2）请制作扇形统计图来描述这组数据．
解析：先可用化记法进行统计整理数据，并根据每部分的数据计算出百分比和扇形圆心角的度数，然后制作扇形统计图．（答案略）
扇形统计图
概念
扇形统计图是用整个圆表示总数（单位“1”），用圆内各个扇形的大小表示各部分量占总数量的百分之几，扇形统计图中各部分的百分比之和等于“1”。通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系，而不是反应变化趋势。

作用
　　作用:能清楚地了解各部分数与总数之间的关系与比例。
　　扇形面积与其对应的圆心角的关系是：
　　扇形面积越大，圆心角的度数越大。
　　扇形面积越小，圆心角的度数越小。
　　扇形所对圆心角的度数与百分比的关系是：圆心角的度数=百分比×360度
扇形统计图还可以画成圆柱形的。
画扇形统计图的步骤：
　　1.根据所给的部分量和总量，求出各部分量占总量的百分比。
　　2.用360度乘以相应百分比，得出扇形统计图中各部分所对扇形的圆心角度数。
　　3.画一个半径适当的圆，根据圆心角度数画出对应扇形。（注意各部分扇形加起来必须是整个圆）
4.分别在各个扇形中标出对应部分的名称和百分比。
特点
　　通过扇形的大小来反映各个部分占总体的百分之几。
扇形统计图可以更清楚的了解各部分数量同总数之间的关系。 扇形统计图可以让一些杂乱无章的数据变得清晰透彻，使人看上去一目了然，利于计算各种数据，变得更加方便，快捷！
怎样做　
　　扇形统计图是说明事物的结构、比例的图形。所以它的制作步骤是：
　　1、把各组的数值在总量中所占比率计算出来。
　　2、再用各组的比率乘以360°，得出该组在统计图中扇面的角度。
　　3、根据各组扇面的角度，在圆形图上画出来。
数据的表示课后拓展
活动与探究
某水文站每小时记录河流水位，标准水位为10厘米，现记录一日情况，如下，它们与标准水位的差分别是：－1，3，0，－2，－1，－3，1，－2，0，1，－1，3，－4，2，3，1，－2，1，－3，3，－5，0，2，4．
(1)问今天的平均水位是多少？
(2)今天超过标准水位的时间，低于标准水位的时间，分别是多少？它们占一天时间的百分比分别是多少？请画出扇形统计图反映这些百分比？(精确到1%)．
［过程］我们通过所给的数据进行统计，整理，确定超过标准水位的时间是11小时，低于标准水位的时间是10小时，则算出它们占一天时间的百分比，再算出相应的扇形的圆心角的度数，画出扇形统计图即可．
［结果］(1)今天的平均水位是：10+［－1+3+0－2－1－3+1－2+0+1－1+3－4+2+3+1－2+1－3+3－5+0+2+4］=10+×0=10厘米．
(2)超过标准水位的时间是11小时，占一天时间约46%；低于标准水位的时间约42%；标准水位的时间为12%．
下面计算各部分对应的扇形圆心角的度数：
低于标准水位：42%×360°≈151°；
高于标准水位：46%×360°≈166°
标准水位：12%×360°≈43°
画出如下扇形统计图：
一天水位情况统计图
练习设计
1．对某城市1000户家庭人口数做一次随机抽样调查，得到以下数据．
(1)计算出各类家庭占1000户家庭人口数的百分比．
(2)根据百分比，计算出各类家庭所对应的扇形的圆心角的度数．
(3)制作扇形统计图
家庭
二口之家
三口之家
四口之家
五口之家
其他
户数
180
420
200
90
110
2．根据下表制作扇形统计图，表示各种气体占空气总体的百分比．
100升空气中含各种气体体积统计表
气体名称
体积(升)
氮气
78
氧气
21
稀有气体
0．94
二氧化碳
0．03
其他气体
0．03
(1)计算各种气体占空气总体积的百分比；
(2)借助计算器，计算各种气体对应扇形圆心角的度数；(精确到0．1°)
(3)画出扇形统计图．
(4)估计一下你所在教室里空气中所含氧气的多少？
答案：略
读一读
最新发现：月球上有水，人类定居月球不是梦．
最近，美国航空航天局正式宣布，“月球勘探者”号无人驾驶探测器发回的初步数据显示，月球上存在水的可能性很大，这些水在月球上是以冰冻形式出现的．
根据“月球勘探者”号提供的最新数据，美国航空航天局方面对月球上有水的结论已相当肯定．航天局正式发布的新闻稿称：“科学家已获得月球上存在由水构成的冰的确切证据．并据此对冰的数量，所处位置以及分布情况作了估计．”
值得庆幸的是，探测的结果中确实在月球的南北两极发现了显示水分子“特征”的数据信号．科学家指出水分子或许并不完全集中在月球极地的冰层中．恐怕还存在于许多该区域由陨石撞击留下的陨石坑内．
月球上的水之所以能在南北极留存下来，是因为月球极地区域不受太阳的照射，温度低，蒸发量小．据估计，水与月球表面浮土的混合比例为0．3%至1．0%，地下0．5米深度以上的水量为1000万吨至3亿吨之间，在月球南极介于5000至2万平方公里之间．
月球上发现了水源，使人类定居月球的梦想又增加了些许可行性．单纯从费用角度考虑，如果从地球向月球输送人类生存所必需的饮用水和生活用水，不足500克就需要耗费大约1万美元，而人均用水量一般每天需要35公斤，其费用可想而知，如果在月球能“就地取材”，则费用可望降低到1/10．
频数直方图
一、频数直方图概念
1．频数：数字出现的次数有的多有的少，或者说它们出现的频繁程度不同，我们称每个对象出现的次数为频数。
　　注：在统计频数多少的时候，我们一般通过数“正”字的方法累计．
　　2．频率：每个对象出现次数与总次数的比值为频率。
　　3．组数：把全体样本分成的组的个数称为组数．
　　4．组距：把所有数据分成若干个组，每个小组的两个端点的距离。
5．极差：是指一组数据中最大数据与最小数据的差。组距=极差除以组数
二、列频数分布表的注意事项
　　运用频数分布直方图进行数据分析的时候，一般先列出它的分布表，其中有几个常用的公式：各组频数之和等于抽样数据总数；各组频率之和等于1；数据总数×各组的频率=相应组的频数。
画频数分布直方图的目的，是为了将频数分布表中的结果直观、形象地表示出来，其中组距、组数起关键作用，分组过少，数据就非常集中；分组过多，数据就非常分散，这就掩盖了分布的特征，当数据在100以内时，一般分5~12组。
三、直方图的特点
　　通过长方形的高代表对应组的频数与组距的比（因为组距是一个常数，为了画图和看图方便，通常直接用高表示频数），这样的统计图称为频数分布直方图．
它能：①清楚显示各组频数分布情况；②易于显示各组之间频数的差别．
四、制作频数分布直方图的步骤
　　1．找出所有数据中的最大值和最小值，并算出它们的差．
　　2．决定组距和组数．
　　3．确定分点
　　4．列出频数分布表．
5．画频数分布直方图．
五、频数分布折线图的制作
我们可以在直方图的基础上来画，先取直方图各矩形上边的中点，然后在横轴上取两个频数为0的点，这两点分别与直方图左右两端的两个长方形的组中值（矩形宽的中点）相距一个组距，将这些点用线段依次联结起来，就得到了频数分布折线图．
六、条形图和直方图的区别
　　1．条形图是用条形的高度表示频数的大小，而直方图实际上是用长方形的面积表示频数，当长方形的宽相等的时候，把组距看成“1”，用矩形的的高表示频数；
　　2．条形图中，横轴上的数据是孤立的，是一个具体的数据，而直方图中，横轴上的数据是连续的，是一个范围；
3．条形图中，各长方形之间有空隙，而直方图中，各长方形是靠在一起的，中间无空隙
七、与统计图有关的数学思想方法
　 1．数形结合：从统计图中，能看出各组数据的特点，可进一步应用这些数据特点解决实际问题．通过整理数据，根据要求绘制统计图，可进一步分析数据、做出决策．
　　2．类比：绘制频数分布直方图和绘制条形图类似，如果长方形的宽一样，那么长方形的高度之比就是各组内数据个数之比．
《统计图的选择》典型例题
例1 有一所高中为了更好地安排学生的早自习时间，对高三年级的600名学生如何到校的问题进行了一次调查，调查结果如下表：
学生总数
骑自行车
坐公交车
步行
其他
600
250
300
40
10
（1）分别制成扇形统计图和条形统计图；
（2）观察图形，回答下面问题：
①哪种统计图能清楚看出以每种方式到校的学生数；
②哪种统计图能清楚看出以每种方式到校的学生数占总学生数的百分比．

例2 某农民搞科学养殖，对一头猪五个月的增重情况记录如下：
猪增重情况统计表：（单位：千克）
饲养月数
1
2
3
4
5
6
猪重量
20
55
90
110
125
135
选择适当的统计图表示出来；通过这个图或统计表说明了什么？

例3 下面是10粒种子在5天之内开始发芽的情况。
10粒种子发芽情况
天数
1
2
3
4
5
发芽数
1
7
1
0
0
（1）用统计图说明该种子的发芽率；
（2）用统计图说明种子发芽哪天最多；
（3）把种子的发芽规律用折线图表示出来。
例4 某市晚报社为了密切与广大市民的联系，更好地为全体市民服务，也为了扩大报纸的发行量，设立了“百姓热线”电话，对群众提出的问题尽量给予让人满意的答复，在某一个星期中，该报社的“百姓热线”共接电话80个，其中，介绍刚刚发生的奇闻轶事，供编辑部考虑是否采访、报道的5个；对交通、道路存在的问题提出整改建议的13个．对在日常生活消费中利益受到损害的投诉电话17个，就环境保护方面的问题提意见的建议25个，讲购房方面问题的7个，介绍市内出现的好人好事，希望报社宣传报导的13个．
（1）列出“百姓热线”在这一星期中所接电话的统计表．
（2）请绘制在这一星期中“百姓热线”所接各类电话的条形统计图．

例5 如图，看图回答下列问题
（1）由图①你看到了什么？
（2）由图②你看到了什么？
（3）由图①图②你看到了什么？
（4）能否说明A城市中学的男教师比B城市小学的男教师多，并说明理由．
例6 如图是我国运动员从1984～2000年在奥运会上获得奖牌数的统计图，请你根据统计图提供的信息，回答下列问题．
（1）从1984～2000年的五届奥运会我国运动员共获奖牌多少校？
（2）哪届奥运会我国运动员获得的奖牌总数量多？
（3）根据以上统计，预测我国运动员在2004年奥运会上大约能获得多少枚奖牌？
（4）根据上述数据制作折线统计图表示我国运动员从1984～2000年在奥运会上获得的金牌数统计图．
（5）你不妨再依据上述制作扇形统计图，比较一下，体会三种统计图的不同特点．
例7 下表是近年来我国城乡居民家庭人均收入增长变化的统计表：
年 份
1985
1995
1998
2001
城镇居民家庭人均收入（元）
739
4283
5425
6860
农村居民家庭人均收入（元）
397
1577
2160
2366
试用一幅折线统计图表示上表中数据．
例8 如图是2000年10万人中受教育程度统计图．
（1）根据上图制作扇形统计图，表示2000年10万人中受教育程序分布．
（2）比较两幅统计图的不同．
例9 制作适当统计图表示下列数据．
（1）2000年平均每人每月消费性支出446元，其中食品占40.6％，衣着12.2 ％，家庭设备及日用品7.0％，医疗保健占5.9％，交通和通讯8.7％，娱乐教育文化服务占12.7％，居住占8.6％，杂项商品占4.3％。
（2）
年份
1952
1962
1970
1980
1990
2000
国内生产总值（亿元）
679
1149.3
2252.7
4517.8
18547.9
89404
（3）孵化期统计表：
动物
鸡
鹅
鸭
鸽子
天数
21
30
30
16
参考答案
例1 分析 先按要求画出两种统计图，而条形统计图反映的是以每种方式到校的学生数；扇形统计图反映的是以每种方式到校的学生数占总数的百分比．
解 （1）统计图如图所示：
（2）从条形统计图可以清楚看出以各种方式到校的学生数；扇形统计图能清楚看到以各种方式到校的学生数，分别占总数的百分比．
说明：当数据之间彼此是独立的，这时我们应选条形统计表，当给出的数据是整体的百分比时，这时做扇形图比较方便；但当数据统计时允许多选就没有办法画扇形图．
例2 分析 各数据之间彼此联系着，所以要用折线统计图，通过对统计图的观察，或统计表的分析从仔猪开始第2、3、4个月是猪增重较快的时期，而从第4个月以后，猪的增重速度就逐渐放慢．
解 统计图如图所示：
从图可以发现从第二个月到4个月猪增重速度快，并比较均衡，从第5个月增重速度就逐渐放慢．
例3 分析 （1）五天内共有9粒种子发芽，是10粒种的90％，用扇形图表示。（2）条形统计图表示最为明显。（3）画出该统计图的折线图。
解 如下图
说明：在利用折线统计图时，应把第一天和第二天的发芽种子数累加起来是第二天发芽的种子数，以此类推。
（1）
（2）
（3）
例4 分析 题目中的电话共分为6类，因此在所画条形统计图中应该有6个“条形”，每条的高度应与相应的频数成正比，可先考虑最高的一条的高度，以保证图形美观，又便于观察与比较．
解 “百姓热线”该周所接电话的统计表和条形统计图分别如下：
电话类别
次数
奇闻轶事
5
交通道路
13
日常消费投诉
17
环境保护
25
房屋建筑
7
好人好事
13
说明 （1）上面统计图的大小是由数据的大小与纸张大小两方面因素确定的，表示1次电话的长度不宜过小．否则不便于观察．
（2）本题不适于利用折线统计图表示，如果利用扇形统计图也可以；但是画扇形统计图比较费力，而且这里只反映一个星期中电话的情况，画扇形统计图的必要性就不大了．
例5 分析 在看图时首先要注意图的整体表示什么，部分表示什么．
解 （1）由图①可以看出B城市小学女教师占B城市小学教师总数的85％，小学男教师占教师总数的15％．
（2）由图②可以看出A城市中学教师中，男教师占教师总数的30％，女教师占教师总数的70％．
（3）从两个图的对比来看A城市中学中男教师占中学教师总数的百分比，要比小学男教师占小学教师总数的百分比大．
（4）不能说明，因为中学的男教师所占的百分比是和所有中学教师进行比较的，小学的男教师所占的百分比是和小学所有教师进行比较的，由于两个总体不同，且没有给出两个整体的具体数值，就没法根据两个整体的部分所占的百分比要比较部分．
说明 （1）在观察统计图时，应注意把能反映现实中问题的主要信息反映出来．
（2）在比较部分时，一是统一看部分占整体的多少来比较部分；二是如果可以算出需要比较的部分的值也可以比较部分．
例6 解 （1）213枚；（2）2000年；（3）约60枚左右；（4）如图．
（5）①条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目；
②折线统计图能清楚地反映事物的变化情况；
③扇形统计图能清楚地表示出各部分在选择中所占的百分比．
说明： 本例展示三种统计图的特点，制作方法，以及在反映事物规律时的优缺点，应从中体会到．对具体数据处理时要充分利用它们的特点，进行优势互补，以达到合理选择和运用它们来描述数据，进而作出合理的预测与决断．这里是认识分析统计图，并作出判断．
例7 解 为了清楚反映两类家庭收入变化情况，根据三种统计图的特点，本题的统计图应选择折线统计图，如图所示．
说明： 这里由数画形．
例8 解 （1）如图所示．
（2）条形统计图能清晰地表示出每个项目的大小，扇形统计图能清晰地表示出各部分在总体中占的百分比．
说明： 这里是把条形图转化为扇形图，主要通过数转化，由“形”转化“形”，后者更直观易读．
例9 分析 先观察三组数据，仔细分析：
第一组数据表示的是各部分所占百分比，宜用扇形统计图；
第二组数据表示的是国内生产总值随年份变化的情况，宜用折线统计图；
第三组数据表示的是每种动物的孵化期具体天数，宜用条形统计图。
解 如图所示，
（1）40.6％×360°≈146°，
12.2％×360°≈44°，
7.0％×360°≈25°，
5.9％×360°≈21°，
8.7％×360°≈31°，
12.7％×360°≈46°，
8.6％×360°≈31°，
4.3％×360°≈15°。
（2）如图所示。
（3）如图所示。
说明：这里选择恰当的统计图表示实际问题，是应用创新的体现。
如何让综合应用几种统计图解决实际问题？
难易度：★★★
关键词：数据的收集
答案：
掌握各种统计图的特点，从统计图中获取正确的信息。综合地利用来解决生活中的实际问题。
【举一反三】
某中学九年级学生在社会实践中，向市区的中小学教师调查他们的学历情况，并将调查结果分别用下图的扇形统计图和折线统计图（不完整）表示．
?
（1） 求这次调查的教师总数；
（2） 补全折线统计图．
思路导引：从扇形统计图中获取本科55%，从折线统计图中知道本科275人，即可求出总人数。再根据百分比就求出了其他学历的人数。作图就很直观。
标准答案：
（1）总人数＝人
（2）教师中专科学历的人数＝人
怎样根据调查的需要绘制适当的统计图？
难易度：★★★
关键词：数据的收集
答案：
根据调查的需要，选用适当的数据表示方式。
【举一反三】
为了反映长江水位的变化情况，你认为选择的统计图是（ ）。
A．条形统计图 B．扇形统计图 C．折线统计图 D．都可以
思路导引：因为是反映“变化情况”，符合折线统计图的特点。
标准答案：C
4 统计图的选择
【课后作业】二、P177知识技能1.
难易度：★★★
关键词：数据与图表
答案：
（1）条形统计图（2）扇形统计图（3）合理建议略。
【举一反三】
典例：阳光学校对“大课间活动”中最喜欢的项目作一次调查（每个学生只选一个项目），
项目
跳绳
长跑
篮球
排球
毽子
其他
所占百分比
24.5%
9.5%
33%
24.6%
6.4%
2%
为了解各项目学生喜欢的人数比例，得到下表各数据，则用（　　）表示这些数据比较恰当．
思路导引：此题根据扇形统计图、折线统计图、条形统计图各自的特点来判断到底是用哪一种统计图合适．
标准答案：各个数据表示的是部分在总体中所占的百分比，没有具体的数据，所以用扇形统计图比较合适；
4 统计图的选择
【课后作业】三、P178知识技能2.
难易度：★★★
关键词：数据与图表
答案：
（1）2010年原料支出金额6万，工资支出金额12万，（2）2009年工资支出9万，2010年与2009年相比，工资支出金额增多。
【举一反三】
典例：下表为100粒种子的发芽情况：
天数
1
2
3
4
5
发芽率
10
65
15
5
0
用想统计图说明该种子的发芽率，可选择?????? 统计图；要想说明哪天种子发芽最多，可
选择????? 统计图；反映种子的发芽规律，可选择?????? 统计图．
思路导引：根据各类统计图的特点即可求出答案．
标准答案：：∵扇形统计图能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比，
∴说明该种子的发芽率，可选择扇形统计图；
∵条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目，
∴说明哪天种子发芽最多，可选择条形统计图；
∵折线统计图能清楚地反映事物的变化情况，
∴反映种子的发芽规律，可选择折线统计图，
故答案为：扇形；条形；折线．
统计图的选择
活动与探究
如图，图中折线表示一辆自行车离家的路程与时间的关系，骑车者九点离开家，十五点到家，根据这个折线图提供的信息，回答下列问题：
(1)到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？
(2)他何时开始第一次休息？休息了多长时间？
(3)他在何时至何时停止前进并休息吃午餐？
(4)何时距家22千米
［过程］首先要明白这幅折线图所表示出来的信息，随着时间的变化，离家的距离也不同，这幅折线图就表示骑自行车的人离家的距离与时间的关系．例如10点钟，骑自行车的人离家10千米等．
［结果］由图可知：
(1)到达离家最远的地方是12点．
(2)这个人10点30分开始第一次休息，他休息了半个小时．
(3)他在12点至13点时休息吃午餐．
(4)11点10分和13点半时距家22千米．
统计小知识
1．恩格尔定律和恩格尔系数．
19世纪德国统计学家恩格尔根据统计资料，对消费结构的变化得出一个规律：一个家庭收入越少，家庭收入中(或支出中)用来购买食物的支出所占的比例就越大，随着家庭收入的增加，家庭收入中(或支出中)用来购买食物的支出则会下降．推而广之，一个国家越穷，每个国民的平均收入中(或平均支出中)用于购买食物的支出所占的比例就越大，随着国家的富裕，这个比例成下降趋势．恩格尔定律的公式：
食物支出对总支出的比率(R1)=
或食物支出对收入的比率(R2)=．
R2又称为食物支出的收入弹性．
恩格尔定律是根据经验数据提出的，它是在假定其他一切变量都是常数的情况下才适用的，因此在考察中食物支出在收入中所占的比例变动的问题时，还应当考虑城市化程度、食品加工，饮食业和食物本身结构变化等因素会影响家庭食物支出增加．只有达到相当高的平均食物消费水平时，收入的进一步增加才不对食物支出发生重要影响．
恩格尔系数是根据恩格尔定律得出的比例数，是表示生活水平高低的一个指标．其计算公式如下：
恩格尔系数=
除食物支出外、衣着、住房、日用必需品等支出，也同样在不断增长的家庭收入或总支出中，所占比重上升一段时间后，呈递减趋势．
统计图的特点
（1）条形统计图：条形统计图是用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少画成长短不同的直条，然后把这些直条按照一定的顺序排列起来。
作用：从条形统计图中很容易看出各种数量的多少。
（2）拆线统计图：折线统计图是用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段顺次连接起来。
作用：折线统计图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量增减变化的情况。
（3）扇形统计图：扇形统计图是用整个圆表示总数，用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数。
作用：通过扇形统计图可以很清楚地表示各部分数量同总数之间的关系。
折线统计图不但能反映数据（量）的多少，更能反映某一项目在某一时间内的数据(量)增减变化情况
4 统计图的选择
【课后作业】一、P177随堂练习.
难易度：★★★
关键词：数据与图表
答案：
（1）条形（2）折线（3）扇形
【举一反三】
典例：某学校七年级3班40位同学都订阅了杂志，50%的同学订阅《科学画报》，40%的同学订阅《作文通讯》，30%的同学订阅《英语画刊》，20%的同学订阅其他杂志．能表示上述数据的统计图是（　　）
A．条形统计图??????? B．折线统计图????????? C．扇形统计图???????? D．以上答案均不对
思路导引：扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；折线统计图表示的是事物的变化情况；而条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目．
标准答案：本题易求订阅了杂志的人数，根据统计图各自的特点，条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目．
故选A．

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