资源简介

第八单元
数学广角——优化
一、教学目标
1．通过简单的生活事例，使学生初步体会运筹学在解决实际问题中的作用。
2．让学生经历自主探究的过程，体验解决问题策略的多样性，并在寻求解决问题最优方案的过程中积累数学的基本活动经验，感悟优化的数学思想。
3．凸显数学与生活的紧密联系，使学生初步形成从数学的角度发现、提出问题的能力以及分析、解决问题的能力，增强应用意识和实践能力。
二、内容安排及其特点
1．教学内容和作用
本单元教材通过对生动有趣的生活事例及古代
( http: / / www.21cnjy.com )故事的分析，让学生从数学的角度经历在多种解决问题的方案中寻求最优方案的过程，初步体会运筹策略及其在解决实际问题中的应用，进而理解优化的数学思想，感悟优化思想在解决问题的策略中所发挥的重要作用。
本单元具体内容编排如下：
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本单元教学的核心目标是让学生感受并初步理解
( http: / / www.21cnjy.com )优化的数学思想。随着社会的发展，优化思想在工农业、国防、交通、金融、能源、通信等众多领域的应用越来越广泛。例如，如何使有限的材料得到充分利用，如何利用有限的空间使存储量、货运量更大，如何合理安排员工，使工作效率最大化等。又如，生活中我们常遇到出门旅行时需要考虑选择怎样的路线和交通工具，才能使旅行所需费用最少或消耗的时间最短等。
2．教材编排特点
基于学生的认知水平及实验教材的实践经验，与实验教材相比，本单元的内容进行了一些调整，其特点主要体现在以下几个方面：
(1)例题层次合理，利于学生理解、体会数学思想。
本单元编排了3个例题。例1沏茶，思考怎样合
( http: / / www.21cnjy.com )理安排沏茶的各环节才能让客人尽快喝上茶，其中“合理”、“省时”是优化沏茶各程序的思考角度；例2烙饼，在探究烙3张饼怎样省时的基础上，需探索烙更多张饼的最优策略和方法，探究其中的规律且明确道理，难度略深于例1；例3田忌赛马，其中蕴含的策略方法更抽象一些。3个例题的编排顺序由浅人深，层次清晰，符合学生的认知水平和思维水平，有利于学生理解和体会数学思想。
(2)借助图表展现学生操作、探究的过程，为教与学提供支撑。
与实验教材相比，本单元增加
( http: / / www.21cnjy.com )了图示和图表，如例1中的流程图展现了思考的顺序；例2中新增加的图示，展现了烙3张饼的具体操作过程；例3呈现了完整的6种应对策略图表，使学生一目了然，可深刻感悟有序思考的优越性。总之，无论是流程图、图示还是图表不仅展现了操作、探究、思考的过程，而且为教师的教和学生的学提供了一种具体的方法或路径。
(3)注重学生自主探究。
无论是真实的生活情境（沏茶、烙饼），还
( http: / / www.21cnjy.com )是生动有趣的历史故事，都能极大引发学生探究生活中的数学问题的欲望和兴趣。同时，教材中具有启发性的提示语及非结论性的思考问题都为学生提供了自主探究的空间。例如，例1中的“怎样才能尽快让客人喝上茶？”例2中的
“哪种方法比较合理？”“要烙4张饼、5张饼、6张饼……呢？你发现了什么？”例3中的“田忌所用的这种策略是不是唯一能赢齐王的方法？”等探究性问题，为学生指明了动手实践和研究探索的方向。又如，“等待水开的时间可以做点什么呢？”“为什么烙2张饼和1张饼都用6分钟？”等提示语，为学生提供了思考、探究的方法，避免了探究的盲目性和形式化。此外，教材中出现的“每次总烙(
)张饼，别让锅(
)，这样应该最省时间。”这种总结性提示语，更是学生思维提升的节点，引领学生将具体的感性经验上升为理性的数学规律或模型。这些问题和提示为学生提供了开放、探究和思考的空间，不仅提高学生的思维能力，而且可以很好地帮助学生积累丰富的数学活动经验。
三、教学建议
(1)由具体到抽象，循序渐进，发展数学思维，理解优化思想。
本单元教学难点在于如何让学生在具体
( http: / / www.21cnjy.com )问题的解决中感悟抽象的数学思想。解决这个难点的关键就是将“做”与“思”有机结合，循序渐进，发展学生的抽象能力和推理能力。如何让学生经历由具体到抽象这一循序渐进的过程呢？一方面，为学生营造实践感悟的空间，实践中体验解决问题的多种策略，比较中寻求最优策略，体验中感悟优化思想，避免只有直观没有抽象，或直接阐述数学思想而疏漏体验感悟的过程。另一方面可利用图表将外化的“做”浓缩为内隐的“思”，在动手操作中提升思维活动，将行为的感知升华为理性的思维认知，使学生发展思维能力的同时理解抽象的数学思想。
(2)本单元内容建议用3课时教学。《数学广角──优化》教材分析
《数学广角》是人教版教材中一个独有的精致
( http: / / www.21cnjy.com )的小单元。它系统而有步骤地渗透数学思想方法，尝试把重要的数学思想方法通过学生日常生活中最简单的事例呈现出来，并运用操作、实验、猜测等直观手段解决这些问题，重在向学生渗透这些数学思想方法。使他们感受数学思想方法的奇妙与作用，受到数学思维的训练，逐步形成有序地、严密地思考问题的意识，从而达到《标准》中提出的“在解决问题的过程中，使学生能进行简单的、有条理的思考”的目标。
本册数学广角这单元渗透了运筹思想。运
( http: / / www.21cnjy.com )筹思想包括着：优化思想和对策论。本单元主要是通过日常生活中的一些简单事例，让学生尝试从优化的角度在解决问题的多种方案中寻找最优的方案，初步体会运筹思想在实际生活中的应用以及对策论方法在解决问题中的运用。例1分析家里来客人需要沏茶时，怎样安排各种事情能让客人尽快喝上茶；讨论如何用优化的思想选择合理、快捷的解决问题的方法。教材在情境图下给出了沏茶所要做的各种工序，以及做每件事情所需的时间。然后呈现学生们讨论怎样安排的场面。在这些内容中包含了解决这一问题的思考方法：首先要明确沏茶的大致顺序，也就是说哪些事情要先做，然后再考虑还有哪些事情可以同时做，能同时做的事尽量同时做，这样才能节省时间。教材还提示可以用流程图的方式表示解决问题的顺序或方案，教给学生设计方案的具体方法。
例2讨论烙饼时怎样操作最省时间，让学生
( http: / / www.21cnjy.com )体会在解决问题中优化思想的应用。教材首先给出一幅生动有趣的情境图，让学生探索发现：3张饼的烙法，最好的方法是先烙1，2号饼的正面，接着烙1号饼的反面和3号饼的正面，最后烙2，3号饼的反面，这种方法只需9分钟。然后还可以让学生在实验的基础上独立完成：如果要烙的是4张饼，5张饼……10张饼，怎样安排最节省时间？再通过小组讨论交流发现：如果要烙的饼的张数是双数，2张2张的烙就可以了，如果要烙的饼的张数是单数，可以先2个2个的烙，最后3张饼按上面的最优方法烙，最节省时间。例3呈现了“田忌赛马”的故事。这个故事学生可能已经了解，但是并不是从数学的角度去理解的。在这里，通过这个故事让学生体会对策论方法在实际中的应用。教材首先引导学生回忆这个故事，并让学生把田忌在赛马中使用的方法通过表格的形式列出来。
通过比较让学生看到：虽然在同等
( http: / / www.21cnjy.com )级的马中，田忌的马都不如齐王的马；如果拿同等级的马进行比赛田忌一定会输，但是田忌所采用的策略却让他赢了。从而让学生体会到对策论的方法在这场比赛中的重要性。接下来让学生思考：田忌所用的这种策略是不是唯一能赢齐王的方法？并让学生把田忌所有可以采用的策略列出来，通过对照来找到答案。田忌可以采用的策略一共有6种，但只有一种也就是他所使用的方法是唯一可以获胜的。
（田忌1代表他的第一种策略）
最后教材让学生说一说田忌的这种策略在生活中还有哪些应用，让学生体会对策论方法在生活中的应用。（比如乒乓球团体比赛）练习二十
编写意图
(1)第1题是配合例1的练习，需要从两个
( http: / / www.21cnjy.com )方面思考设计行走路线：一是爸爸、妈妈分头办事，计算至少所需时间；二是爸爸先送妈妈到商场后，再办自己的事情，计算所需时间。然后比较两种方案所需时间的长短，此题意在考查学生思考问题的有序性和全面性。
(2)第2题是例2的巩固练习，保证每项检查没有空闲是节省时间的最有效策略。至少要用9分钟。
(3)第3题是配合例3的练习，每队
( http: / / www.21cnjy.com )五人之间的拍球比赛，取胜标准是五局三胜，第2队取胜的策略不唯一，意在训练学生严谨、周密的思维，进一步强化学生对对策论的理解和应用。
教学建议
(1)关注多种策略，在比较中体会优化思想。
第1题可以从两个角度考虑。一是比较两
( http: / / www.21cnjy.com )种情况（如编写意图中所述）所用时间的长短，来确定至少需用的时间；二是抓住“至少”一词进行分析，要保证时间最少，需开车从街心花园到商场。因此，可直接计算所用时间。第3题中获胜策略不唯一，练习时，教师要引导学生对“五局三胜”的理解，即五局中只要胜三局就可以了。
(2)优化探究问题的方法，提高学生的抽象和推理能力。
第2题可注重引导学生通过图示的方法来呈
( http: / / www.21cnjy.com )现检查的顺序；第3题在探究解决问题策略的过程中，为简化环节，可引导学生用字母代表队员的名字，用图示方法简化解决问题的过程，不仅体现符号意识的培养，而且达到提高学生抽象推理能力的目的。
编写意图
(1)第4题是一道开放性的题目，题目中没有提出三位顾客尽快吃上饭的要求，考查学生是否有自觉运用优化思想解决问题的意识。
(2)数学游戏栏目设置目的是
( http: / / www.21cnjy.com )强化优化思想的应用。在寻求获胜的策略和方法时，不仅需要运用本单元学习的优化思想，而且还可以结合学生已有的知识基础，采用灵活多样的方法，培养学生综合运用知识的能力。
教学建议
(1)让学生在对比、交流中形成优化策略和意识。
如第4题，让学生在交流、比
( http: / / www.21cnjy.com )较和评价中，意识到最优方法就是既要保证让三个人尽快吃上菜，又要兼顾三个人来的先后顺序，则两位厨师应先分别给前两个人各炒一菜，然后给第一个人和第三个人各炒一菜，最后再给后两个人各炒一菜。
(2)借助有趣的素材，提高数学思维的深度。
做“数学游戏”时，先让学生明确游戏规则，尝
( http: / / www.21cnjy.com )试游戏。然后带着问题再做游戏，这时要思考：要想获胜，第一次应报几？接下来该怎样报？此题可这样思考：因为每次可报1或2，那么如果一方报1，另一方就可以报2；一方报2，另一方就可以报1，这样总能保证每个回合连续两次报数之和是3。因为谁最后报数使和是10谁获胜，所以一定要设法报数使和是7，这样对方无论怎样接着报数，你都可以保证最后报数使和是10。同理，要想保证报数使和是7，倒推一步就是一定要先报数使和是4。如果两个人都清楚这个策略，那么，谁先报谁获胜。
此题还可利用减法原理来思考解决。《数学广角──优化》重难点突破
由具体到抽象，循序渐进，发展数学思维，理解优化思想
突破建议：
1．根据“数学教学是数学活动的教学”这
( http: / / www.21cnjy.com )一理念，通过课前交流自然引出
“合理安排”这一内容，要让学生建立正确的表象很不容易。因此，在教学中应设计很多实践活动，让学生在动手操作中经历优化的思想，寻找解决问题最优方案，提高学生解决问题的能力。可以通过用硬币摆一摆帮助学生理解。还可以用流程图的方式表示解决问题的顺序或方案，教给学生设计方案的具体方法。
2．对烙饼问题可以打破课本常规，不是先
( http: / / www.21cnjy.com )求1张，2张，3张，这样一直求下去，而是求完2张之后，接着求的4张、6张、8张、10张……双数的张数，再求的3张。3张在这里是重点也是难点，把这个问题放给学生讨论、合作、探究，解决了问题，再接着求5张、7张……这些单数的饼数的时间。这样处理的目的是为了降低题目的难度，有利于学生思考、解决问题。
在众多类不同的问题中，让学生再次的归纳类
( http: / / www.21cnjy.com )比中，发现要统筹规划时间、事情等才能够提高效率！老师给出这就是数学的一个分支运筹学中的“优化思想”。再进一步的发展学生优化思想运用的关键是什么？思考的过程是什么？从而达到触类旁通、举一反三的目的。
但是运筹思想和对策方论的理论都是比较系统、抽
( http: / / www.21cnjy.com )象的数学思想方法，在这里只是让学生通过简单的事例，初步体会运筹思想和对策方法在解决实际问题中的应用，初步培养学生的应用意识，提高解决实际问题的能力。学生只要能从解决问题的多种方案中寻找出最优的方案，初步体会优化思想的应用就可以了，并不要求学生一看到问题就能从优化的角度给出最优的方案。另外老师在教学中也不要使用运筹、优化和对策等数学化的语言进行描述。

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