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第10点 透析三种力的特点，解决水平面内
匀速圆周运动的临界问题
关于水平面内匀速圆周运动的临界问题，要特别注意分析物体做圆周运动的向心力来源，考虑达到临界条件时物体所处的状态，即临界速度、临界角速度，然后分析该状态下物体的受力特点，结合圆周运动的知识，列方程求解.通常碰到的是涉及如下三种力的作用：
(1)与绳的弹力有关的临界问题
此类问题要分析出绳恰好无弹力这一临界状态下的角速度(或线速度).
(2)与支持面弹力有关的临界问题
此类问题要分析出恰好无支持力这一临界状态下的角速度(或线速度).
(3)因静摩擦力而产生的临界问题
此类问题要分析出静摩擦力达到最大时这一临界状态下的角速度(或线速度).
对点例题　在一水平放置的圆盘上面有一劲度系数为k的弹簧.如图1所示，弹簧的一端固定于轴O上，另一端连接一质量为m的物体A，物体与盘面间的动摩擦因数为μ，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力.现使圆盘绕轴转动，开始时弹簧未发生形变，长度为R，则：
图1
(1)盘的转速n0多大时，物体A开始滑动？
(2)当转速达到2n0时，弹簧的伸长量Δx是多少？(弹簧仍在弹性限度内)
解题指导　当圆盘转速较小时，由静摩擦力提供向心力，当圆盘转速较大时，弹力与摩擦力的合力提供向心力.
(1)圆盘开始转动时，由A所受静摩擦力提供向心力，则有μmg≥mRω.又因为ω0＝2πn0，
由两式得n0≤，
即当n0＝时，物体A开始滑动.
(2)转速增加到2n0时，有μmg＋kΔx＝mrω.
ω1＝2π·2n0，r＝R＋Δx.整理得Δx＝.
答案　(1)　(2)
(多选)质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的A点和B点，如图2所示，a，b两绳都张紧的状态下，绳a与水平方向成θ角，绳b在水平方向且长为l，当轻杆绕轴AB以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，则下列说法正确的是(　　)
图2
A.a绳张力不可能为零
B.a绳的张力随角速度的增大而增大
C.若b绳突然被剪断，则a绳的弹力一定发生变化
D.当角速度ω＞ ，b绳将出现弹力
答案　AD
解析　小球做匀速圆周运动，在竖直方向上的合力为零，水平方向上的合力提供向心力，所以a绳在竖直方向上的分力与重力相等，可知a绳的张力不可能为零，故A正确.
根据竖直方向上平衡得，Fasin θ＝mg，解得Fa＝，可知a绳的拉力不变，故B错误.
当b绳拉力为零时，有＝mω2l，解得ω＝ ，可知当角速度ω＞ 时，b绳出现弹力.故D正确.
由于b绳可能没有弹力，故b绳突然被剪断，a绳的弹力可能不变，故C错误.
第11点　开普勒三定律的理解和应用
开普勒定律不仅适用于行星绕太阳的运动，也适用于卫星绕行星的运动.我们可以从以下三方面应用开普勒定律迅速解决天体运动问题.www.21-cn-jy.com
1.由开普勒第一定律知所有行星围绕太阳运动时的轨道都是椭圆，不同的行星绕太阳运动时的椭圆轨道是不同的，太阳处在椭圆的一个焦点上，如图1所示.该事实否定了圆形轨道的说法，建立了正确的行星轨道理论，而且准确地给出了太阳的位置.【来源：21·世纪·教育·网】
图1
2.由开普勒第二定律知：当离太阳比较近时，行星运行的速度比较快，而离太阳比较远时，行星运动的速度比较慢.21·世纪*教育网
3.由开普勒第三定律知：所有行星的轨道的半长轴的三次方和公转周期的平方的比值都相等.该定律揭示了周期和轨道半径的关系，其中的比例常数与行星无关，只与中心天体有关.
对点例题1　火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知(　　)
A.太阳位于木星运行轨道的中心
B.火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等
C.火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方
D.相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积
解题指导　太阳位于木星运行椭圆轨道的一个焦点上，选项A错误；由于火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，火星和木星绕太阳运行速度的大小变化，选项B错误；根据开普勒行星运动定律可知，火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方，选项C正确；相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积不等于木星与太阳连线扫过的面积，选项D错误.21cnjy.com
答案　C
特别提醒　本题中的D项是学生作答中的易错点.对开普勒三定律理解时要注意对象的同一性，不能张冠李戴将该行星和其他行星的相关量混为一谈.21·cn·jy·com
对点例题2　飞船沿半径为R的圆周绕地球运动，其周期为T.如图2所示，飞船要返回地面，可以在轨道上的某一点A处，将速率降低到适当数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的特殊椭圆轨道运动，椭圆和地球表面在B点相切.如果地球半径为R0，求飞船由A点运动到B点所需的时间.21世纪教育网版权所有
图2
解题指导　由开普勒第三定律知，飞船绕地球做圆周(半长轴和半短轴相等的特殊椭圆)运动时，其轨道半径的三次方跟周期的平方的比值，等于飞船绕地球沿椭圆轨道运动时其半长轴的三次方跟周期平方的比值.2·1·c·n·j·y
飞船椭圆轨道的半长轴为，
设飞船沿椭圆轨道运动的周期为T′，
则有＝，
因此飞船从A点运动到B点所需的时间为
t＝＝ .
答案　
木星绕太阳运动的周期为地球绕太阳运动周期的12倍，那么，木星绕太阳运动轨道的半长轴是地球绕太阳运动轨道的半长轴的多少倍？(可用根式表示)21教育网
答案　2
解析　木星、地球都绕着太阳沿不同的椭圆轨道运动，太阳位于它们的椭圆轨道的一个焦点上.
设木星和地球绕太阳运动的周期分别为T1和T2，
它们椭圆轨道的半长轴分别为R1和R2，
根据开普勒第三定律得：＝，
则＝ ＝＝2.
所以木星绕太阳运动轨道的半长轴是地球绕太阳运动轨道的半长轴的2倍.
第12点　万有引力公式的适用条件
万有引力定律适用于任何两个物体.但公式F＝G只能用来计算两个可看做质点的或可等效为质点的物体间的万有引力.21cnjy.com
1.质点间或可看成质点的物体间
这种情况下可直接利用万有引力公式求两质点间或两物体间的万有引力.
2.两个质量分布均匀的球体间
这种情况下也可以直接利用万有引力公式计算两球间的万有引力，其中的距离r是两球心之间的距离.
3.质量分布均匀的球体与球外质点间
这种情况下可以直接利用万有引力公式计算它们之间的万有引力，此时公式中的r是质点与球心间的距离.
当物体不能看成质点，也不属于以上2、3中的情况时，可以把物体假想分割成无数个质点，求出物体上每一个质点与另一个物体上所有质点间的万有引力，然后求合力，这种情况高中阶段不要求.21教育网
对点例题　理论上已经证明：质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零.假设地球是一个半径为R、质量分布均匀的实心球体，O为球心，以O为原点建立坐标轴Ox，如图1所示.一个质量一定的小物体(可视为质点，假设它能够在地球内部移动)在x轴上各位置受到的引力大小用F表示，则下列选项中的四个F随x的变化关系图正确的是(　　)
图1
解题指导　由题意，物体在地球内部距离球心x的位置时，外面球壳对其引力为0，内部以x为半径的球体对物体的引力为F＝G＝G＝πGρmx，F∝x，图象为过原点的倾斜直线；当x>R时，地球对物体的引力为F＝G＝G，F∝，故选项A正确，选项B、C、D错误.21·cn·jy·com
答案　A
关于万有引力公式F＝G，下列说法中正确的是(　　)
A.当两个物体之间的距离趋近于零时，F趋于无穷大
B.只要两个物体是球体，就可用此式求解万有引力
C.两只相距0.5 m的小狗之间的万有引力可用此式计算
D.任何两个物体间都存在万有引力
答案　D
解析　当两个物体之间的距离趋近于零时，物体不能看成质点，就不能直接用F＝G来计算万有引力，所以距离很近时，不能用此公式推出F趋于无穷大，A选项错误；球体间只有质量分布均匀时，才能用公式F＝G求解万有引力，选项B错误；两只小狗相距0.5 m时，它们之间的距离与它们的尺寸相差不多，故不能看成质点，不可以用F＝G求它们之间的万有引力，选项C错误；由万有引力定律知D正确.21世纪教育网版权所有
第13点　“两个关系”理解重力与万有引力
地球对物体的引力是物体受到重力的根本原因，但重力又不完全等于引力，这是因为地球在不停地自转，地球上的一切物体都随着地球的自转而绕地轴做匀速圆周运动，这就需要向心力，这个向心力来自地球对物体的引力F，它是引力的一个分力，如图1所示，引力F的另一个分力才是物体的重力mg.21cnjy.com
图1
1.重力与纬度的关系
在赤道上时，引力F、重力mg、向心力Fn三力同向，满足F＝Fn＋mg.在两极时，由于向心力Fn＝0，则mg＝F.在其他位置，mg、F与Fn不在一条直线上，遵从平行四边形定则，同一物体在赤道处向心力最大，重力最小，并且重力随纬度的增加而增大.而且重力的方向竖直向下，并不指向地心，只有在赤道和两极，重力的方向才指向地心.21世纪教育网版权所有
2.重力、重力加速度与高度的关系
若不考虑地球自转，地球表面处有mg＝G，可以得出地球表面处的重力加速度g＝.
在距地面高度为h处，重力加速度为g′，
则：mg′＝G
即距地面高度为h处的重力加速度
g′＝＝g.
对点例题　某宇航员在飞船发射前测得自身连同宇航服等随身装备共重840 N，在火箭发射阶段，发现当飞船随火箭以a＝的加速度匀加速竖直上升到某位置时(其中g为地球表面处的重力加速度)，其身体下方体重测试仪的示数为1 220 N.已知地球半径R＝6 400 km.地球表面重力加速度g取10 m/s2(求解过程中可能用到≈1.03，≈1.02).问：
(1)该位置处的重力加速度g′是地面处重力加速度g的多少倍？
(2)该位置距地球表面的高度h为多大？
解题指导　(1)飞船起飞前，对宇航员受力分析有G＝mg，得m＝84 kg.
在h高度处对宇航员受力分析，
应用牛顿第二定律有F－mg′＝ma，
得＝.
(2)根据万有引力公式，在地面处有G＝mg，在h高度处有G＝mg′.
解以上两式得h≈0.02R＝128 km.
答案　(1)　(2)128 km
1.地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，若某高处的重力加速度为，则该处距地面的高度为(　　)
A.R B.(－1)R
C.R D.3R
答案　B
2.某行星的自转周期为T＝6 h，用弹簧测力计在该行星的“赤道”和“两极”处测同一物体的重力，弹簧测力计在“赤道”上的读数比在“两极”上的读数小10%(行星视为球体).
(1)求该行星的平均密度；
(2)设想该行星自转角速度加快到某一值时，在“赤道”上的物体会“飘”起来，求此时的自转周期.
答案　(1)3.0×103 kg/m3　(2)1.9 h
解析　(1)放在行星“两极”处的物体，其万有引力等于重力，即G＝mg.“赤道”上的物体由万有引力提供了其向心力及重力，即在“赤道”上，我们把物体所受到的万有引力分解为自转所需的向心力和重力.21教育网
G＝mg′＋mR
则mg－mg′＝0.1G＝mR
所以该行星的质量为M＝
行星的平均密度为ρ＝＝≈3.0×103 kg/m3.
(2)对物体原来有0.1G＝mR①
当物体“飘”起时，万有引力提供向心力，有
G＝mR②
由①②得：T′＝＝ h≈1.9 h.
第14点　计算天体质量的两条思路
1.“自力更生”法——根据天体表面的重力加速度求解
忽略天体自转的影响，物体的重力近似等于物体所受的万有引力，即mg＝G，得M＝.(式中M、g、R分别表示天体的质量、天体表面的重力加速度和天体的半径).
2.“借助外援”法——根据环绕运转的圆周运动求中心天体的质量
选绕天体运动的另一星体(或人造星体)为研究对象，将星体的运动视为匀速圆周运动，星体绕天体做匀速圆周运动所需的向心力由天体对星体的万有引力提供，利用牛顿第二定律得G＝m＝mω2r＝m.若已知星体的轨道半径r和星体的运行线速度v、角速度ω或周期T，可求得中心天体的质量为M＝＝＝.2·1·c·n·j·y
3.星球密度的计算
根据求得的星球质量，由ρ＝＝可以求得星球的密度.其中R为该星球的半径.
对点例题1　土星周围有美丽壮观的“光环”，组成环的颗粒是大小不等、线度从1 μm到10 m的岩石、尘埃，类似于卫星，它们与土星中心的距离从7.3×104 km延伸到1.4×105 km.已知环的外缘颗粒绕土星做圆周运动的周期约为14 h，引力常量为6.67×10－11 N·m2/kg2，则土星的质量约为(估算时不考虑环中颗粒间的相互作用)(　　)【来源：21·世纪·教育·网】
A.9.0×1016 kg B.6.4×1017 kg
C.9.0×1025 kg D.6.4×1026 kg
解题指导　环的外缘颗粒绕土星做圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式：
G＝mR()2
M＝，其中R为轨道半径，大小为1.4×105 km，T为周期，约为14 h.
代入数据得：M≈6.4×1026 kg.
答案　D
特别提醒　此方法只能求中心天体质量，而不能求周围环绕星(或行星)的质量.
对点例题2　嫦娥五号探测器由轨道器、返回器、着陆器等多个部分组成.探测器预计在2017年由长征五号运载火箭在中国文昌卫星发射中心发射升空，自动完成月面样品采集，并从月球起飞，返回地球，带回约2 kg月球样品.某同学从网上得到一些信息，如表格中的数据所示，请根据题意，判断地球和月球的密度之比为(　　)21世纪教育网版权所有
月球半径
R0
月球表面处的重力加速度
g0
地球和月球的半径之比
＝4
地球表面和月球表面的重力加速度之比
＝6
A. B. C.4 D.6
解题指导　在地球表面，重力等于万有引力，故mg＝G，解得M＝，故地球的密度ρ＝＝＝.同理，月球的密度ρ0＝，故地球和月球的密度之比＝＝6×＝.
答案　B
1.(多选) 有一宇宙飞船到了某行星上(该行星没有自转运动)，以速度v贴近行星表面匀速飞行，测出飞船运动的周期为T，已知引力常量为G，则可得(　　)21教育网
A.该行星的半径为
B.该行星的平均密度为
C.无法求出该行星的质量
D.该行星表面的重力加速度为
答案　AB
解析　由T＝可得R＝，A正确；由＝m可得M＝，C错误；由M＝πR3ρ得ρ＝，B正确；由＝mg得g＝，D错误.21cnjy.com
2.我国首个月球探测计划“嫦娥工程”将分三个阶段实施，大约用十年左右时间完成，2007年10月24日，“嫦娥一号”绕月探测卫星发射成功.以下是某同学就有关月球的知识设计的两个问题，请你解答：21·cn·jy·com
(1)若已知地球质量为M，月球绕地球运动的周期为T，且把月球绕地球的运动近似看做是匀速圆周运动.万有引力常量为G.试求出月球绕地球运动的轨道半径r.
(2)若某位宇航员随登月飞船登陆月球后，在月球某水平表面上方h高处以速度v0水平抛出一个小球，小球落地点与出发点的水平距离为x.已知月球半径为R，万有引力常量为G.试求出月球的质量M月.www.21-cn-jy.com
答案　见解析
解析　(1)由＝m()2r
得r＝ .
(2)由x＝v0t，h＝gt2
得g＝又＝mg
得M月＝.
第15点　双星系统中的三个特点
宇宙中两个靠得比较近的天体，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动而不至因为万有引力的作用吸引到一起，从而使它们间的距离不变，这样的系统称为双星系统，双星系统距离其他星体很远，可以当做孤立的系统处理.www.21-cn-jy.com
双星系统具有的三个特点：
(1)两颗子星的向心力大小相等
由于圆心O处无物体存在，所以这两颗行星做圆周运动所需的向心力只能由它们之间的万有引力互相提供——m2给m1的引力F1使m1做圆周运动；m1给m2的引力F2使m2做圆周运动.根据牛顿第三定律可知F1＝F2，且方向相反，分别作用在m1、m2两颗星上.
(2)两颗子星的圆心相同，且两轨道半径之和等于两星间距
如图1所示，由于F1和F2提供向心力，所以它们都必须永远指向圆心O，又因两颗星的距离总是L，所以两颗星的连线必须始终通过圆心O，于是r1＋r2＝L.【来源：21·世纪·教育·网】
图1
(3)两颗子星的运行周期相同
两颗子星之间的距离总是恒定不变，且圆心总是在两星连线上，两星好像用一根无形的杆连着，所以这两颗星的运行周期必须相等，即T1＝T2.21教育网
对点例题　在天体运动中，将两颗彼此相距较近的星体称为双星.它们在相互的万有引力作用下间距保持不变，并沿半径不同的同心圆轨道做匀速圆周运动.如果双星间距为L，质量分别为M1和M2，引力常量为G，试计算：2-1-c-n-j-y
(1)双星的轨道半径R1、R2；
(2)双星的运行周期T；
(3)双星的线速度v1、v2的大小.
解题指导　因为双星受到同样大小的万有引力作用，且保持距离不变，绕同一圆心做匀速圆周运动，所以具有周期、转速和角速度均相同，而轨道半径和线速度不同的特点.
(1)根据万有引力定律F＝M1ω2R1＝M2ω2R2及L＝R1＋R2可得R1＝L，R2＝L.
(2)同理，G＝M12R1＝M22R2
所以，周期T＝＝
＝2πL .
(3)根据线速度公式有
v1＝＝M2，
v2＝＝M1.
答案　(1)L　L
(2)2πL
(3)M2　M1
1.(多选)宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不至于因万有引力的作用吸引到一起.设两者的质量分别为m1和m2且m1>m2，则下列说法正确的是(　　)21世纪教育网版权所有
A.两天体做圆周运动的周期相等
B.两天体做圆周运动的向心加速度大小相等
C.m1的轨道半径大于m2的轨道半径
D.m2的轨道半径大于m1的轨道半径
答案　 AD
解析　 双星绕连线上的一点做匀速圆周运动，其角速度相同，两者之间的万有引力提供向心力，所以两者周期相同，故选项A正确；由F万＝ma向可知，两者的向心加速度不同，与质量成反比，故选项B错误；由F万＝mω2r可知半径与质量成反比，故选项C错误，D正确.
2.天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星.双星系统在银河系中很普遍.利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量.已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T，两颗恒星之间的距离为r，试推算这个双星系统的总质量.(引力常量为G)21cnjy.com
答案　
解析　设两颗恒星的质量分别为m1、m2，做圆周运动的半径分别为r1、r2，角速度分别为ω1、ω2.根据题意有21·cn·jy·com
ω1＝ω2 ①2·1·c·n·j·y
r1＋r2＝r ②
根据万有引力定律和牛顿第二定律，有
G＝m1ωr1 ③21·世纪*教育网
G＝m2ωr2 ④www-2-1-cnjy-com
联立以上各式解得r1＝ ⑤
根据角速度与周期的关系知ω1＝ω2＝ ⑥
联立③④⑤⑥式解得这个双星系统的总质量
m1＋m2＝.
第16点　抓“两个特点”、按“四个步骤”，轻松解决多星问题
天体运动的形式是多种多样的，除行星围绕恒星、卫星围绕行星运动的形式外，还存在“双星”“三星”等多星运动形式.“多星”问题涉及力的合成与分解、万有引力定律、牛顿运动定律和圆周运动等方面的知识，综合性较强.如果能掌握多星系统的两个特点和分析此类问题的四个步骤，就可以很轻松地解决多星问题.21cnjy.com
1.两个特点
(1)多颗星体共同绕空间某点做匀速圆周运动.
(2)每颗星体做匀速圆周运动的周期和角速度都相同，以保持其相对位置不变.
2.四个步骤
(1)要明确各星体的几何位置，画出示意图；
(2)明确各星体的转动方式，找出各星体共同做圆周运动的圆心位置，确定各星体运动的轨道半径；
(3)受力分析，确定每颗星体向心力的来源；
(4)抓住每颗星体做匀速圆周运动的周期和角速度相同这一特点.
对点例题1　(多选)宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统.其中有一种三星系统如图1所示，三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为R.忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，引力常量为G.则(　　)21·cn·jy·com
图1
A.每颗星做圆周运动的线速度为
B.每颗星做圆周运动的角速度为
C.每颗星做圆周运动的周期为2π
D.每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关
解题指导　任意两个星体之间的万有引力F＝，每一颗星体受到的合力F1＝F
由几何关系知：它们的轨道半径r＝R①
合力提供它们的向心力：＝②
联立①②，解得：v＝ ，故A正确；
由＝
解得：T＝2π ，故C正确；
角速度ω＝＝ ，故B错误；
由牛顿第二定律：＝ma
得a＝，所以加速度与它们的质量有关，故D错误.
答案　AC
对点例题2　宇宙间存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用.已观测到的四星系统存在着一种基本的构成形式是：三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，第四颗星位于圆形轨道的圆心处，已知引力常量为G，圆形轨道的半径为R，每颗星体的质量均为m.求：
(1)中心星体受到其余三颗星体的引力的合力大小；
(2)三颗星体沿圆形轨道运动的线速度大小和周期.
解题指导　四星系统的圆周运动示意图如图所示
(1)中心星体受到其余三颗星体的引力大小相等，方向互成120°.
根据力的合成法则，中心星体受到其他三颗星体的引力的合力为零.
(2)对圆形轨道上任意一颗星体，根据万有引力定律和牛顿第二定律有：
G＋2Gcos 30°＝m
r＝2Rcos 30°
由以上两式可得三颗星体运动的线速度为
v＝
三颗星体运动的周期为T＝＝2πR.
答案　(1)0　(2)　2πR
(多选)宇宙间存在一个离其他星体遥远的四星系统，其中有一种四星系统如图2所示，四颗质量均为m的星体位于正方形的四个顶点，正方形的边长为a，忽略其它星体对它们的引力作用，四颗星都在同一平面内绕正方形对角线的交点O做匀速圆周运动，万有引力常量为G，则(　　)21教育网
图2
A.每颗星做圆周运动的线速度大小为
B.每颗星做圆周运动的角速度大小为
C.每颗星做圆周运动的周期为2π
D.每颗星做圆周运动的加速度与质量m有关
答案　AD
解析　由星体均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动可知，星体做匀速圆周运动的轨道半径r＝a
每颗星体在其他三个星体万有引力的合力作用下围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，由万有引力定律和向心力公式得：21世纪教育网版权所有
G＋2Gcos 45°＝m
解得v＝
角速度ω＝＝
周期为T＝＝2π
加速度a＝＝
故选A、D.
第17点　卫星轨道调整的原理剖析
1.人造卫星沿圆轨道和椭圆轨道运行的条件
图1
当卫星与火箭分离时，设卫星的速度为v，卫星距离地心为r，并设此时速度与万有引力垂直(通过地面控制可以实现)，如图1所示，若卫星以速度v绕地球做圆周运动，则所需要的向心力为Fn＝m，卫星受到的万有引力F＝G21世纪教育网版权所有
(1)当F＝Fn时，卫星将做圆周运动.若此时刚好是离地面最近的轨道，则可求出此时的发射速度v＝7.9 km/s.21教育网
(2)当F(3)当F>Fn时，卫星在引力作用下，向地心做椭圆运动.
因此，星、箭分离时的速度是决定卫星运行轨道的主要因素.
2.人造卫星的轨道调整
如图2所示，以卫星从近地圆轨道Ⅰ变轨到圆轨道Ⅲ为例加以分析.
图2
在圆轨道Ⅰ稳定运行时满足＝m(rA为A到地心的距离).若在A点提高速度(卫星自带推进器可完成这个任务)至vA′则有由此可以看出，卫星由低轨道变到高轨道必须在适当的位置提速，同理，由高轨道变到低轨道必须在适当的位置减速.21·cn·jy·com
对点例题　2013年6月23日10时07分，在航天员聂海胜的精准操控和张晓光、王亚平的密切配合下，“神舟十号”飞船与“天宫一号”目标飞行器成功实现手控交会对接.如果对接前飞船和飞行器在同一轨道上运行，飞船与前面飞行器对接，飞船为了追上飞行器，可采用的方法是(　　)21·世纪*教育网
A.飞船加速追上飞行器，完成对接
B.飞船从原轨道减速至一个较低轨道，再加速追上飞行器完成对接
C.飞船加速至一个较低轨道再减速追上飞行器完成对接
D.无论飞船如何采取措施，均不能与飞行器对接
解题指导　飞船要追上飞行器，应先减速，使它的半径减小，当飞船运动到合适的位置时再加速，使其轨道半径增大，当刚好运动到飞行器所在轨道时停止加速，则飞船的速度刚好等于飞行器的速度，可以完成对接.B正确.www.21-cn-jy.com
答案　B
我国某同步卫星在发射过程中经过四次变轨进入同步轨道.如图3为第四次变轨的示意图，卫星先沿椭圆轨道Ⅰ飞行，后在远地点P处实现变轨，由椭圆轨道Ⅰ进入同步轨道Ⅱ，则该卫星(　　)【来源：21·世纪·教育·网】
图3
A.在轨道Ⅱ上的周期比地球自转周期大
B.在轨道 Ⅱ 上的加速度比在轨道 Ⅰ 上任意一点的加速度大
C.在轨道Ⅰ上经过P点的速度比在轨道Ⅱ上经过P点的速度小
D.在轨道Ⅱ上的速度比在轨道Ⅰ上任意一点的速度大
答案　C
解析　轨道Ⅱ是同步轨道，周期等于地球的自转周期，故A错误；卫星在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ上经过P点时所受的万有引力相等，所以加速度相等，故B错误；卫星在轨道Ⅰ上的P点速度较小，万有引力大于所需的向心力，会做近心运动，要想进入圆轨道Ⅱ，需加速，使万有引力等于所需要的向心力.所以卫星在轨道Ⅰ上经过P点的速度小于在轨道Ⅱ上经过P点时的速度，故C正确，D错误.2·1·c·n·j·y
第18点　透析卫星“追赶”问题
两颗卫星在同一轨道平面内同向绕地球做匀速圆周运动，a卫星的角速度为ωa，b卫星的角速度为ωb，若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点正上方，相距最近(如图1所示).
当它们转过的角度之差Δθ＝π，即满足ωaΔt－ωbΔt＝π时，两卫星第一次相距最远，如图2所示.
　
　　 　　图1　　　 　　　　　图2
当它们转过的角度之差Δθ＝2π，即满足ωaΔt－ωbΔt＝2π时，两卫星再次相距最近.
经过一定的时间，两卫星又会相距最远和最近.
1.两卫星相距最远的条件：ωaΔt－ωbΔt＝(2n＋1)π(n＝0,1,2，…).
2.两卫星相距最近的条件：ωaΔt－ωbΔt＝2nπ(n＝1,2,3…).
对点例题　如图3是在同一平面不同轨道上同向运行的两颗人造地球卫星.设它们运行的周期分别是T1、T2(T1图3
(1)两卫星再次相距最近的时间是多少？
(2)两卫星相距最远的时间是多少？
解题指导　(1)依题意，T1则它们运行的角度之差Δθ＝2π
即t－t＝2π
解得t＝.
(2)两卫星相距最远时，它们运行的角度之差
Δθ＝(2k＋1)π(k＝0,1,2，…)
即t－t＝(2k＋1)π(k＝0,1,2，…)
解得t＝(k＝0,1,2…).
答案　(1)
(2)(k＝0,1,2，…)
设地球的自转角速度为ω0，地球半径为R，地球表面重力加速度为g.某人造卫星在赤道上空做匀速圆周运动，轨道半径为r，且r＜5R(已知同步卫星距地心的距离约为7R).飞行方向与地球的自转方向相同.在某时刻，该人造卫星通过赤道上某建筑物的正上方，则到它下一次通过该建筑物正上方所需时间为(　　)21世纪教育网版权所有
A. B.
C. D.
答案　A
解析　根据＝mrω2得ω＝，同步卫星距地心距离大约为7R，而人造地球卫星r＜5R，所以人造卫星的角速度大于地球自转的角速度.设人造地球卫星下一次通过该建筑物正上方所需时间为t，则ωt－ω0t＝2π，ω＝ ＝ ，所以t＝＝，A正确.21教育网
第19点　从六个方面解读功的概念
1.做功的条件
做功有两个条件：力和物体在力的方向上发生的位移，两个条件对于功而言，缺一不可.
2.功是标量
功是标量，只有大小，没有方向，功的正负既不表示功有方向，也不表示功的数量的大小，正功和负功只表示两种相反的做功效果，既不能说“正功和负功方向相反”，也不能说“正功大于负功”.21世纪教育网版权所有
因功是标量，所以几个力对物体所做的总功等于各个力分别对物体所做的功的代数和.即分别求出每一个力做的功：W1＝F1l1cos α1，W2＝F2l2cos α2，W3＝F3l3cos α3，…，再把各个力做的功求代数和，即W总＝W1＋W2＋W3＋….21教育网
3.决定功大小的因素
由功的定义式W＝Flcos α可以看出，功的大小决定于做功的力的大小及受力物体在力的方向上发生的位移大小，与物体的质量大小、物体所处环境、物体的运动状态等因素无关，即力做功具有独立性.21·cn·jy·com
4.功是过程量
功描述了力的作用效果在空间上的累积，反映了物体受力并运动的效果，它总与一个具体过程相联系.因此，功是过程量.公式W＝Flcos α中的F和l是同一过程中的两个物理量.
5.公式W＝Flcos α的适用范围
公式W＝Flcos α只适用于恒力做功的计算，不能直接用于处理变力做功的问题.
6.功具有相对性
由于位移l与选取的参考系有关，具有相对性，因此，同一个力对同一物体做功，由于选取的参考系不同，从而做功的大小不同.但是，中学阶段计算功时，一般均以地面为参考系.
对点例题　如图1所示，质量为m的物体静止在倾角为θ的斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数为μ.现使斜面水平向左匀速移动距离l，物体与斜面始终保持相对静止.试求：
图1
(1)摩擦力对物体做的功；
(2)斜面对物体的弹力对物体做的功；
(3)重力对物体做的功；
(4)斜面对物体做的功是多少？各力对物体所做的总功是多少？
解题指导　物体的受力情况如图所示，物体相对斜面静止，相对地面水平向左匀速移动l，物体受到重力mg、摩擦力Ff和支持力FN的作用，这些力均是恒力，故可用W＝Flcos α计算各力做的功.21cnjy.com
根据物体的平衡条件，
可得Ff＝mgsin θ，FN＝mgcos θ.
(1)Wf＝Fflcos(180°－θ)＝－mglsin θcos θ；
(2)WN＝FNlcos(90°－θ)＝mglsin θcos θ；
(3)WG＝mglcos 90°＝0；
(4)斜面对物体做的功为斜面对物体施加的力做功的代数和：W斜＝Wf＋WN＝0.
各力对物体所做的总功等于各力做功的代数和，
即W总＝Wf＋WN＋WG＝0.
答案　(1)－mglsin θcos θ　(2)mglsin θcos θ　(3)0　(4)0　0
如图2所示，利用斜面从货车上卸货，每包货物的质量m＝20 kg，斜面倾角α＝37°，斜面的长度l＝0.5 m，货物与斜面间的动摩擦因数μ＝0.2，求货物从斜面顶端滑到底端的过程中受到的各个力所做的功以及合外力做的功.(取g＝10 m/s2)www.21-cn-jy.com
图2
答案　见解析
解析　斜面上的货物受到重力G、斜面支持力FN和摩擦力Ff共三个力的作用.
其中重力G对货物做的功WG＝mglsin 37°＝20×10×0.5×0.6 J＝60 J.
支持力FN对货物没有做功WN＝0.
摩擦力Ff对货物做负功
Wf＝μmgcos 37°·lcos 180°＝－0.2×20×10×0.8×0.5 J＝－16 J.
合外力做的功
W＝F合l＝(mgsin 37°－μmgcos 37°)l
＝(20×10×0.6－0.2×20×10×0.8)×0.5 J＝44 J.
第1点　对曲线运动认识的四个误区
误区1　曲线运动速度的大小一定变化
曲线运动中速度的方向时刻在变，但曲线运动中速度的大小不一定变化，如旋转的砂轮、风扇，旋转稳定后，砂轮、风扇叶片边缘上各点的速度大小不变.21世纪教育网版权所有
误区2　曲线运动中平均速度的大小即为平均速率
在曲线运动中，由于位移的大小和路程不相等，所以，曲线运动中的平均速度的大小不等于平均速率.
误区3　做曲线运动的物体不一定受力
曲线运动中速度的方向时刻在变，所以曲线运动是变速运动.由a＝可知，曲线运动中的加速度不为零，根据牛顿第二定律可以断定，做曲线运动的物体一定受力，且合外力不为零.
误区4　曲线运动的加速度一定变化
物体做曲线运动的条件是合力方向与速度方向不在一条直线上，但合力既可能是变力，也可能是恒力.
例如，将物体水平或斜向上抛出，物体做的是曲线运动，若忽略空气阻力，物体只受重力的作用，重力是恒力，物体运动的加速度大小和方向均不变，这样的曲线运动我们称之为匀变速曲线运动.所以，曲线运动的加速度不一定变化.21教育网
对点例题　(多选)下列对曲线运动的理解正确的是(　　)
A.物体做曲线运动时，加速度一定变化
B.做曲线运动的物体不可能受恒力作用
C.曲线运动可以是匀变速曲线运动
D.做曲线运动的物体，速度的大小可以不变
解题指导　当物体受到恒力作用且力与速度方向不共线时，物体就做加速度恒定的曲线运动，故A、B错误，C正确；当物体受到的力的方向始终与速度方向垂直时，物体做速度大小保持不变的曲线运动，故D正确.21cnjy.com
答案　CD
(多选)下列说法正确的是(　　)
A.判断物体是做曲线运动还是直线运动，应看合外力方向与速度方向是否在同一条直线上
B.物体在恒定外力作用下一定做直线运动
C.判断物体是做匀变速运动还是非匀变速运动应看所受合外力是否恒定
D.匀变速运动的物体一定沿直线运动
答案　AC
解析　当合外力方向与速度方向在同一条直线上时，物体做直线运动，有一夹角时，物体做曲线运动，故A对，B错.物体受到的合外力恒定时，就做匀变速运动，合外力不恒定时就做非匀变速运动，可见匀变速运动可能是直线运动也可能是曲线运动，故C对，D错.
第20点　两组功率概念的对比辨析
1.平均功率和瞬时功率
(1)平均功率
平均功率表示力在一段时间内做功的平均快慢程度.平均功率与一段时间(或过程)相关.计算时应明确是哪个力在哪段时间(或过程)内做功的平均功率.常用P＝求平均功率，如果用P＝Fv求平均功率，公式中的v应为平均速度.21·cn·jy·com
(2)瞬时功率
瞬时功率表示力在一段极短时间内做功的快慢程度，计算时应明确是哪个力在哪个时刻(或状态)的功率.如果用公式P＝Fvcos θ求瞬时功率，公式中的v应为瞬时速度，θ为F与v的夹角.21教育网
2.额定功率和实际功率
(1)额定功率是指动力机械长期正常工作时最大的输出功率，是动力机械重要的性能指标.一个动力机械的额定功率是一定的，通常都在铭牌上标明.机械工作时必须受额定功率的限制.www.21-cn-jy.com
(2)实际功率是机械工作时实际的输出功率，实际功率可以小于等于额定功率，但实际功率长时间大于额定功率会损坏机器.2·1·c·n·j·y
对点例题　质量是2 t、额定功率为80 kW的汽车，在平直公路上行驶中的最大速度为20 m/s.若汽车从静止开始做匀加速直线运动，加速度大小为2 m/s2，运动中的阻力不变.求：
(1)汽车所受阻力的大小；
(2)3 s末汽车的实际功率；
(3)前3 s内汽车的平均功率；
(4)6 s末汽车的实际功率.
解题指导　(1)汽车以最大速度行驶时，牵引力和阻力大小相等，根据P额＝Ffvm，可求得Ff＝4 000 N.【来源：21·世纪·教育·网】
(2)由于3 s末的速度v＝at＝6 m/s，而由F－Ff＝ma得牵引力F＝8 000 N，故此时的功率为P＝Fv＝4.8×104 W＝48 kW.21·世纪*教育网
(3)汽车前3 s内的位移l＝at2＝9 m
前3 s内汽车牵引力所做的功W＝Fl＝72 000 J
前3 s内的平均功率＝＝ W＝24 kW.
(4)若汽车匀加速运动6 s，则此时汽车的速率v′＝at′＝12 m/s，此时汽车实际功率P1＝Fv′＝8 000×12 W＝96 kW.显然，此时的实际功率超过了汽车所允许的额定功率，即汽车匀加速的时间应该小于6 s，当汽车的实际功率等于汽车的额定功率时，汽车开始以额定功率做变加速运动.21世纪教育网版权所有
故汽车6 s末的实际功率P′＝P额＝80 kW.
答案　(1)4 000 N　(2)48 kW　(3)24 kW　(4)80 kW
1.将质量为20 kg的物体从静止开始以1 m/s2的加速度竖直提升2 m.求在此过程中拉力做功的平均功率为多少？到达2 m高处时拉力做功的瞬时功率多大？(g＝10 m/s2)
答案　220 W　440 W
解析　由F－mg＝ma得拉力大小
F＝mg＋ma＝220 N
物体上升2 m所需时间t＝＝2 s
故拉力做功的平均功率
P＝＝＝ W＝220 W
到达2 m高处时拉力做功的瞬时功率
P′＝Fv＝Fat＝220×1×2 W＝440 W.
2. (多选)如图1所示，一质量为1.2 kg的物体从一固定的倾角为30°、长度为10 m的光滑斜面顶端由静止开始下滑.则(　　)21cnjy.com
图1
A.物体滑到斜面底端时重力做功的瞬时功率是60 W
B.物体滑到斜面底端时重力做功的瞬时功率是120 W
C.整个过程中重力做功的平均功率是30 W
D.整个过程中重力做功的平均功率是60 W
答案　AC
第21点　重力势能的“四性”
1.重力势能具有系统性.重力势能是物体和地球所组成的系统共有的，而不是地球上物体独有的，通常所说的物体的重力势能是一种简略的习惯说法.www.21-cn-jy.com
2.重力势能具有相对性.重力势能的数学表达式Ep＝mgh是与参考平面的选择有关的，式中的h是物体重心到参考平面的高度.重力势能是标量，只有大小而无方向，但有正负，当物体在参考平面上方时，重力势能Ep为正值；当物体在参考平面下方时，重力势能Ep为负值.物体重力势能正负的物理意义是表示比零势能大，还是比零势能小，这与功的正负的物理意义是不同的.2·1·c·n·j·y
3.参考平面选择的任意性.根据处理问题的方便而定，一般可选择地面或物体运动时所到达的最低点为零势能参考平面.21世纪教育网版权所有
4.重力势能变化的绝对性.物体从一个位置运动到另一个位置的过程中，重力势能的变化与参考平面的选取无关，它的变化是绝对的.【来源：21·世纪·教育·网】
对点例题　如图1所示，桌面距地面的高度为0.8 m，一物体质量为2 kg，放在桌面上方0.4 m的支架上，g取10 m/s2.求：21·世纪*教育网
图1
(1)以桌面为零势能参考平面，计算物体具有的重力势能，并计算物体由支架下落到地面过程中重力势能减少多少？www-2-1-cnjy-com
(2)以地面为零势能参考平面，计算物体具有的重力势能，并计算物体由支架下落到地面过程中重力势能减少多少？2-1-c-n-j-y
(3)以上计算结果说明什么？
解题指导　(1)以桌面为零势能参考平面，物体距离零势能参考平面的高度h1＝0.4 m，因而物体具有的重力势能21*cnjy*com
Ep1＝mgh1＝2×10×0.4 J＝8 J.
物体落至地面时，重力势能
Ep2＝2×10×(－0.8) J＝－16 J.
因此物体在此过程中重力势能减少量
ΔEp＝Ep1－Ep2＝8 J－(－16) J＝24 J.
(2)以地面为零势能参考平面，物体的高度h1′＝(0.4＋0.8) m＝1.2 m.因而物体具有的重力势能Ep1′＝mgh1′＝2×10×1.2 J＝24 J.21教育网
物体落至地面时重力势能Ep2′＝0.
在此过程中物体重力势能减少量
ΔEp′＝Ep1′－Ep2′＝24 J－0＝24 J.
(3)通过上面的计算可知，重力势能是相对的，它的大小与零势能参考平面的选取有关，而重力势能的变化是绝对的，它与零势能参考平面的选取无关，其变化值与重力对物体做功的多少有关.21cnjy.com
答案　(1)8 J　24 J　 (2)24 J　24 J　(3)见解析
(多选)下列关于重力势能的说法中正确的是(　　)
A.重力势能是物体和地球共同具有的，而不是物体单独具有的
B.在同一高度，将同一物体以v0向不同方向抛出，落地时物体减少的重力势能一定相等
C.重力势能等于零的物体，不可能对别的物体做功
D.在地面上的物体，它的重力势能一定为零
答案　AB
解析　重力势能是物体与地球共有的，具有系统性，故A正确；重力势能的变化，仅与物体位置的变化有关，而与路径无关， 故B正确；重力势能为零的物体，也可能对别的物体做功，故C错误；物体的重力势能是相对于零势能参考平面而言的，如果不选地面为零势能面，地面上的物体的重力势能就不是零，故D错误.21·cn·jy·com
第22点　对动能概念的“四点诠释”
关于动能，可从以下四点来加深理解：
(1)动能具有相对性，参考系不同，速度就不同，所以动能也不等.一般都以地面为参考系描述物体的动能.
(2)动能是状态量，是表示物体状态的物理量.物体的运动状态一旦确定，物体的动能就被唯一地确定了.
(3)动能是标量，动能对应于某一时刻运动的能量，它仅与速度的大小有关，而与速度的方向无关.
(4)动能的变化：动能没有负值，但动能的变化却有正有负.“变化”是指末状态的物理量减去初状态的物理量.动能的变化量为正值，表示物体的动能增加了，对应于合力对物体做正功；动能的变化量为负值，表示物体的动能减小了，对应于合力对物体做负功，或者说物体克服合力做功.21世纪教育网版权所有
对点例题　(多选)关于动能，下列说法中正确的是(　　)
A.动能是机械能中的一种基本形式，凡是运动的物体都有动能
B.公式Ek＝中，速度v是物体相对地面的速度，且动能总是正值
C.一定质量的物体，动能变化时，速度一定变化，但速度变化时，动能不一定变化
D.动能不变的物体，一定处于平衡状态
解题指导　动能就是物体由于运动而具有的能量，是普遍存在的机械能中的一种基本形式，凡是运动的物体都有动能，所以A正确；物体的动能是没有方向的，它是标量，速度v是物体相对参考系的速度，所以B错误；对于一定质量的物体，动能变化时，速度一定是变化的，但速度变化时，动能不一定变化，所以C正确；动能不变的物体，物体速度的大小一定不变，但速度的方向可以变化，比如匀速圆周运动，此时的物体并不一定是平衡状态，所以D错误.
答案　AC
(多选)关于动能的理解，下列说法正确的是(　　)
A.两质量相同的物体，若动能相同，其速度不一定相同
B.物体以相同的速率向东和向西运动，动能大小相等，方向相反
C.当物体以相同的速率做曲线运动时，其动能不断变化
D.动能的大小由物体的质量和速度大小决定，与物体的运动方向无关
答案　AD
解析　质量相同的物体，若动能相同，速度的大小一定相同，但速度方向不一定相同，A选项正确；动能是标量，只有大小没有方向，故B错误；只要速率不变，则物体的动能就不会改变，故C错误；由动能公式可得，动能的大小由物体的质量和速度大小决定，与物体的运动方向无关，故D正确.21教育网
第23点　求解变力做功的“五法”
1.将变力的功转化为恒力功W＝力×路程
当力的大小不变而方向始终与运动方向相同、相反时，这类力所做的功可以采用微元法，将整个过程分成很多小段，在每一小段上应用W＝FΔl求功，整个过程的功等于力和路程的乘积，如滑动摩擦力、空气阻力等做的功.21世纪教育网版权所有
2.变力的功＝平均力×lcos α
当力的方向不变，大小随位移线性变化时，可先求出力的平均值＝，再由W＝lcos α计算.
3.变力的功＝功率×时间
当变力的功率P一定时，可用W＝Pt求功.
4.变力的功＝“面积”
作出变力F随位移l变化的图象，图象与横轴所夹的“面积”即为变力做的功，如图1中阴影部分所示.
图1
5.变力的功＝动能的变化－其他恒力所做的功
当物体受到变力及其他恒力(也可只受变力)作用引起物体的动能发生变化时，根据动能定理知，变力的功等于动能的变化减去其他恒力所做的功.21cnjy.com
对点例题　如图2所示，摩托车做特技表演时，以v0＝10 m/s 的初速度从高台底部冲向高台顶端，然后从高台顶端水平飞出.摩托车在冲向高台顶端的过程中始终以P＝4 kW的额定功率行驶，所经历的时间t＝3 s.人和车的总质量m＝1.8×102 kg，台高h＝5 m，摩托车冲到高台顶端时的速度为v＝11 m/s.取重力加速度g＝10 m/s2.求：21·cn·jy·com
(1)摩托车在冲向高台顶端的过程中牵引力所做的功；
(2)摩托车在冲向高台顶端的过程中克服阻力所做的功.
图2
解题指导　(1)摩托车在冲向高台顶端的过程中牵引力所做的功W＝Pt＝1.2×104 J
(2)设摩托车在冲向高台顶端的过程中克服阻力所做的功为Wf, 根据动能定理
W－Wf－mgh＝mv2－mv
代入数据，可得Wf＝1.11×103 J .
答案　(1)1.2×104 J　(2)1.11×103 J
如图3所示，一质量m＝1.0 kg的物体从半径R＝5.0 m的圆弧的A端，在拉力作用下沿圆弧缓慢运动到B端(圆弧AB在竖直平面内).拉力F的大小始终为15 N不变，方向始终沿物体在该点的切线方向.圆弧所对应的圆心角为60°，BO边沿竖直方向，g取10 m/s2.在这一过程中，求：21教育网
图3
(1)拉力F做的功；
(2)重力G做的功；
(3)圆弧面对物体的支持力FN做的功.
答案　(1)78.5 J　(2)－25 J　(3)0
解析　(1)将圆弧AB分成很多小段l1，l2，…，ln，则拉力在每小段上做的功为W1，W2，…，Wn，因拉力F大小不变，方向始终沿物体在该点的切线方向，所以W1＝Fl1，W2＝Fl2，…，Wn＝Fln，所以WF＝W1＋W2＋…＋Wn＝F(l1＋l2＋…＋ln)＝F·R＝25π J≈78.5 J.
(2)重力G做的功WG＝－mgR(1－cos 60°)＝－25 J.
(3)物体受的支持力FN始终与物体的运动方向垂直，所以WN＝0.
第24点　学会用牛顿运动定律和动能定理两种观点解题
动能定理是从功的定义式出发，结合牛顿第二定律和运动学公式推导出来的.所以，解决物体在恒力作用下的直线运动问题，可以用牛顿第二定律结合运动学公式求解，也可以用动能定理求解.21教育网
应用牛顿第二定律和运动学规律解题时，涉及的有关物理量比较多，对运动过程的细节也要仔细研究，而应用动能定理解题只需考虑外力做功和初、末两个状态的动能，并且可以把不同的运动过程合并为一个全过程来处理.一般情况下，由牛顿第二定律和运动学规律能够解决的问题，用动能定理也可以求解，并且更为简捷.21cnjy.com
对点例题　如图1所示，一个物体从斜面上高h处由静止滑下并紧接着在水平面上滑行一段距离后停止.测得停止处相对开始运动处的水平距离为l，不考虑物体滑至斜面底端的碰撞作用，并认为斜面与水平面和物体的动摩擦因数相同，求动摩擦因数μ.
图1
解题指导　解法一　用动能定理求解
以物体为研究对象，它从静止开始运动，最后又静止在水平面上，整个过程中物体的动能没有变化，即
Ek2＝Ek1＝0
物体沿斜面下滑时，重力和摩擦力对物体做功，支持力不做功，设斜面倾角为α，斜面长为L，则重力和摩擦力的功分别为21世纪教育网版权所有
WG＝mgh
Wf1＝－μmgLcos α
物体在水平面上滑行时，重力和支持力不做功，仅有摩擦力做功，设物体在水平面上滑行的距离为l2，则
Wf2＝－μmgl2
根据动能定理得
WG＋Wf1＋Wf2＝Ek2－Ek1
即mgh－μmgLcos α－μmgl2＝0
又l＝＋l2，h＝Lsin α
解得μ＝＝
解法二　用牛顿第二定律和运动学公式求解
设斜面倾角为α，物体沿斜面下滑时，
由牛顿第二定律得
mgsin α－μmgcos α＝ma1
设斜面长为L，物体滑到斜面底端时的速度为v1，则
v＝2a1L
物体在水平面上滑行时，
由牛顿第二定律得－μmg＝ma2
设物体在水平面上滑行的距离为l2，
则－v＝2a2l2
又l＝＋l2，h＝Lsin α
联立以上各式解得：μ＝＝
答案　
如图2所示，质量为m的物体，从高为h、倾角为θ的光滑斜面顶端由静止开始沿斜面下滑，最后停在水平面上，已知物体与水平面间的动摩擦因数为μ，物体从斜面滑上水平面时速度大小不变，求：21·cn·jy·com
图2
(1)物体滑至斜面底端时的速度大小；
(2)物体在水平面上滑行的距离.
答案　(1)　(2)
解析　解法一　用动能定理求解
(1)由动能定理可得mgh＝mv2，解得v＝.
(2)设物体在水平面上滑行的距离为l，由动能定理得
－μmgl＝0－mv2，
解得l＝＝.
此题也可对整个过程运用动能定理求解：
mgh－μmgl＝0－0
整理得l＝.
解法二　用牛顿运动定律和运动学公式求解
(1)沿斜面下滑的加速度a1＝gsin θ
斜面长l1＝
由2a1l1＝v2得v＝＝.
(2)在水平面上滑行的加速度a2＝－μg
由0－v2＝2a2l
得l＝.
第25点　巧用动能定理求变力的功
利用动能定理求变力的功通常有以下两种情况：
(1)如果物体只受到一个变力的作用，那么W＝Ek2－Ek1.
只要求出做功过程中物体的动能变化量ΔEk，也就等于知道了这个过程中变力所做的功.
(2)如果物体同时受到几个力作用，但是其中只有一个力F1是变力，其他的力都是恒力，则可以先用恒力做功的公式求出这几个恒力所做的功，然后再运用动能定理来间接求变力做的功：W1＋W其他＝ΔEk.21世纪教育网版权所有
对点例题　如图1所示，质量m＝60 kg的高山滑雪运动员，从A点由静止开始沿滑道滑下，然后由B点水平飞出，最后落在斜坡上的C点.已知BC连线与水平方向夹角θ＝37°，A、B两点间的高度差为hAB＝25 m，B、C两点间的距离为L＝75 m，(不计空气阻力，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)求：21cnjy.com
图1
(1)运动员从B点飞出时的速度vB的大小；
(2)运动员从A滑到B的过程中克服摩擦力所做的功.
解题指导　(1)设由B到C平抛运动的时间为t
竖直方向：hBC＝Lsin 37°＝gt2
水平方向：Lcos 37°＝vBt
代入数据，解得vB＝20 m/s.
(2)A到B过程由动能定理有
mghAB＋Wf＝mv
代入数据，解得Wf＝－3 000 J，
运动员克服摩擦力所做的功为3 000 J.
答案　(1)20 m/s　(2)3 000 J
如图2所示，质量为m的物体静止在光滑的水平平台上，系在物体上的绳子跨过光滑的定滑轮，由地面上的人以速度v0水平向右匀速拉动，设人从地面上平台的边缘开始向右行至绳与水平方向夹角为45°处，在此过程中人的拉力对物体所做的功为(　　)
图2
A. B.
C. D.mv
答案　C
解析　人行至绳与水平方向夹角为45°处时，物体的速度为v＝v0cos θ，由动能定理，人对物体所做的功：W＝ΔEk＝mv2＝mv，正确选项为C.21教育网
第26点　应用动能定理分析多过程问题
动能定理虽然是由牛顿第二定律和运动学公式推导出来的，但是动能定理也能解决应用牛顿第二定律无法解决的一些问题，如变力作用下的运动过程问题、曲线运动过程问题等.特别是在多过程问题中更能体现它的优越性.2·1·c·n·j·y
当物体运动过程包含几个不同的物理过程，又不需要研究过程的中间状态时，可以把几个物理过程看做一个整体，巧妙运用动能定理来研究，从而避开每个运动过程的具体细节，大大简化运算.【来源：21·世纪·教育·网】
对点例题　如图1所示，将毛刷均匀粘贴在斜面上，让所有毛的方向均沿斜面向上倾斜，从而使物块M沿斜面的运动有如下特点：①顺着毛的倾斜方向运动时，毛产生的阻力可以忽略，②逆着毛的倾斜方向运动时，会受到来自毛的滑动摩擦力，且动摩擦因数为μ＝0.5.斜面顶端距水平面高度为h＝0.8 m，质量为m＝2 kg的物块M从斜面顶端A由静止滑下，从O点进入光滑水平滑道时无机械能损失，为使物块M制动，将轻弹簧的一端固定在水平滑道延长线B处的墙上，另一端恰位于水平轨道的中点C.已知斜面的倾角θ＝53°，重力加速度取g＝10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6.求：21·世纪*教育网
图1
(1)物块M滑到O点时的速度大小以及弹簧压缩到最短时的弹性势能(设弹簧处于原长时弹性势能为零)；
(2)若物块M能够被弹回到斜面上，则它能够上升的最大高度；
(3)物块M在斜面上下滑动过程中的总路程.
解题指导　(1)由牛顿第二定律得
mgsin θ－μmgcos θ＝ma
滑到O点时的速度v＝
又 sin θ＝
解得v＝ m/s
物块M从斜面顶端A运动到弹簧压缩到最短的过程，由动能定理有mgh－μmgcos θ－Ep＝0
则弹性势能Ep＝mgh－μmgcos θ＝10 J.
(2)设物块M第一次被弹回，上升的最大高度为H，由动能定理得mg(h－H)－μmgcos θ ＝021·cn·jy·com
则H＝h－μcos θ ＝0.5 m.
(3)物块M最终停止在水平面上，对于运动的全过程，由动能定理有mgh－μmgcos θ·s＝0
物块M在斜面上下滑动过程中的总路程
s＝≈2.67 m.
答案　 (1) m/s　10 J　(2)0.5 m　(3)2.67 m
1.将小球自h＝2 m的高度由静止释放，小球与地面碰撞后反弹的高度为h.设碰撞时没有动能的损失，且小球在运动过程中受到的空气阻力大小不变，求：www.21-cn-jy.com
(1)小球受到的空气阻力是重力的多少倍？
(2)小球从开始到停止运动的过程中运动的总路程.
答案　(1)　(2)14 m
解析　设小球的质量为m，所受空气阻力大小为Ff.
(1)小球从h处释放时速度为零，与地面碰撞反弹到h时，速度也为零，
由动能定理得mg－Ff＝0
解得Ff＝mg.
(2)设小球运动的总路程为s，且最后小球静止在地面上，对于整个过程，由动能定理得
mgh－Ffs＝0
s＝h＝7×2 m＝14 m.
2.如图2所示，ABC和DEF是在同一竖直平面内的两条光滑轨道，其中ABC的末端水平，DEF是半径为r＝0.4 m的半圆形轨道，其直径DF沿竖直方向，OE沿水平方向，C、D可看做重合的点.现将一可视为质点的小球从轨道ABC上距C点高为H的地方由静止释放.(g取10 m/s2)21世纪教育网版权所有
图2
(1)若要使小球经C点水平进入轨道DEF且能沿轨道运动，H至少多高？
(2)若小球静止释放处离C点的高度h小于(1)中H的最小值，小球可击中与圆心等高的E点，求h.
答案　(1)0.2 m　(2)0.1 m
解析　(1)小球沿ABC轨道下滑，设到达C点时的速度大小为v，则由动能定理得
mgH＝mv2 ①21教育网
小球能在竖直平面内做圆周运动，在圆周最高点必须满足mg≤②
①②两式联立并代入数据得H≥0.2 m.
(2)若hr＝gt2 ③21cnjy.com
水平方向上有r＝vxt ④
又由动能定理得mgh＝mv ⑤
由③④⑤联立可解得h＝＝0.1 m.
第27点　找准角度，灵活选用机械能守恒定律的表达式
机械能守恒定律的三种不同的表达式，实际上是从三个不同的角度对机械能守恒定律的理解.所以在应对有关机械能守恒的问题时，应该找准角度，选择出最佳的表达式，使问题解决起来更便捷.21教育网
1.从守恒的角度来看，系统初、末两个状态的机械能相等，表达式为E初＝E末.选用这个表达式时，要注意选择合适的零势能参考平面，并说明其位置.【来源：21·世纪·教育·网】
2.从能量转化的角度来看，动能的增加量等于势能的减少量或动能的减少量等于势能的增加量，表达式为ΔEk＝－ΔEp.21·世纪*教育网
这个表达式的优点是不用选择零势能参考平面，而且解决多个物体组成的系统机械能守恒问题很方便.
3.从能量转移的角度来看，A物体机械能的增加量等于B物体机械能的减少量，表达式为ΔEA增＝ΔEB减.www-2-1-cnjy-com
这个表达式常用于解决两个或多个物体组成的系统的机械能守恒问题.
对点例题　如图1所示，质量为m的木块放在光滑的水平桌面上，用轻绳绕过桌边的光滑定滑轮与质量为M的砝码相连.已知M＝2m，让绳拉直后使砝码从静止开始下降h的距离(未落地)时，木块仍没离开桌面，则砝码的速度为多少？21·cn·jy·com
图1
解题指导　解法一　用ΔEk增＝ΔEp减求解.
在砝码下降h的过程中，系统增加的动能为
ΔEk增＝(M＋m)v2
系统减少的重力势能ΔEp减＝Mgh
由ΔEk增＝ΔEp减得： (M＋m)v2＝Mgh
解得v＝ ＝.
解法二　用E初＝E末求解.
设砝码开始离桌面的距离为x，取桌面所在的水平面为参考面，则系统的初始机械能E初＝－Mgx，系统的末机械能E末＝－Mg(x＋h)＋(M＋m)v2.21世纪教育网版权所有
由E初＝E末得：
－Mgx＝－Mg(x＋h)＋(M＋m)v2，解得v＝.
解法三　用ΔEA增＝ΔEB减求解.
在砝码下降的过程中，木块增加的机械能ΔEm增＝mv2，砝码减少的机械能ΔEM减＝Mgh－Mv2.
由ΔEm增＝ΔEM减得：
mv2＝Mgh－Mv2，
解得v＝.
答案　
如图2所示，半径为R、圆心为O的大圆环固定在竖直平面内，两个轻质小圆环套在大圆环上.一根轻质长绳穿过两个小圆环并关于大圆环的竖直对称轴对称，它的两端都系上质量为m的重物.忽略小圆环的大小.将两个小圆环固定在大圆环与圆心O连线和竖直对称轴的夹角θ＝30°的位置上.在两个小圆环间绳子的中点C处，挂上一个质量M＝m的重物，使两个小圆环间的绳子水平，然后无初速度地释放重物M，设绳子与大、小圆环间的摩擦均可忽略，求重物M下降的最大距离.21cnjy.com
图2
答案　R
解析　　解法一　利用E初＝E末
设两小圆环下侧的绳长为L，两重物m所在位置的水平面为零势能参考平面，则初状态的机械能E初＝MgL
重物M下降到最大距离h时速度为零，两重物m的速度也为零，各物体位置关系如图中的虚线所示，则末状态的机械能为www.21-cn-jy.com
E末＝2mg(－Rsin θ)＋Mg(L－h)
又由于E初＝E末，θ＝30°，M＝m
所以h＝R(另解h＝0舍去).
解法二　利用ΔEA增＝ΔEB减
重物M先向下加速，然后向下减速，当重物M速度为零时，下降的距离最大.此时质量为m的重物速度也为零，根据系统机械能守恒，M机械能的减少量等于m机械能的增加量，设下降的最大距离为h.2·1·c·n·j·y
Mgh＝2mg[－Rsin θ]，
解得h＝R(另解h＝0舍去).
第28点　体会应用能量守恒定律解题的简便性
用能量守恒的观点去分析、解决物理问题具有简便、适用范围广等优点，同学们要逐步养成用能量守恒的观点分析、解决问题的习惯.一般应用能量守恒定律解题要分三步走：
第一步：分清有多少种形式的能(如机械能、内能)在变化.
第二步：分别找出所有减少的能量和所有增加的能量.
第三步：利用增加的能量与减少的能量相等列式计算.
对点例题　如图1所示为某探究活动小组设计的节能运动系统.斜面轨道倾角为θ＝30°，质量为M的木箱与轨道间的动摩擦因数为μ＝.木箱在轨道顶端时，自动装货装置将质量为m的货物装入木箱，然后木箱载着货物沿轨道无初速度滑下，在轻弹簧被压缩至最短时，自动卸货装置立刻将货物卸下，然后木箱恰好被弹回到轨道顶端，再重复上述过程.若这种节能运动系统能实现，则M与m需要满足什么关系？21教育网
图1
解题指导　解法一　分阶段应用能量守恒定律
设弹簧压缩至最短时的弹性势能为Ep，在木箱与货物从顶端滑到最低点的过程中，重力势能减少，弹性势能增加，摩擦力做功产生内能，设顶端到最低点的长度为l，由能量守恒定律得
(M＋m)glsin θ＝μ(M＋m)glcos θ＋Ep
在木箱从最低点上滑至顶端的过程中，重力势能增加，弹性势能减少，摩擦力做功产生内能，由能量守恒定律得
Ep＝Mglsin θ＋μMglcos θ
联立两式解得m＝2M.
解法二　全过程应用能量守恒定律
木箱与货物从顶端开始下滑到木箱返回到斜面顶端的全过程中，弹性势能不变，重力势能减少，摩擦力做功产生内能，设顶端到最低点的长度为l，由能量守恒定律得
mglsin θ＝μ(M＋m)glcos θ＋μMglcos θ
解得m＝2M.
答案　m＝2M
1. 如图2所示，一个粗细均匀的U形管内装有同种液体，液体质量为m.U形管的左端开口，右端用盖板A密闭，两边液面高度差为h，U形管内液体的总长度为4h，拿去盖板，液体开始运动，由于管壁的阻力作用，最终管内液体停止运动，则该过程中产生的内能为(　　)
图2
A.mgh B. mgh
C. mgh D. mgh
答案　A
解析　去掉右侧盖板之后，液体向左侧流动，最终两侧液面相平，液体的重力势能减少，减少的重力势能转化为内能.如图所示，最终状态可等效为右侧h的液柱移到左侧管中，即增加的内能等于该液柱减少的重力势能，21世纪教育网版权所有
则Q＝mg·h＝mgh，故A正确.
2.如图3所示，一块足够长的平板静止在光滑的水平面上，其质量M＝2 kg，一滑块以v0＝12 m/s的初速度冲上平板，滑块的质量m＝1 kg，滑块与平板间的动摩擦因数μ＝0.4，g＝10 m/s2.求最终滑块与平板由于摩擦产生的热量.21cnjy.com
图3
答案　48 J
解析　滑块的加速度大小
a1＝＝0.4×10 m/s2＝4 m/s2
平板的加速度大小
a2＝＝ m/s2＝2 m/s2
最终滑块与平板具有共同速度v.
则v＝v0－a1t，v＝a2t
代入数据解得v＝4 m/s
由能量守恒定律知Q＝mv－(M＋m)v2
代入数据得Q＝48 J.
第2点　轨迹弯曲方向与合外力方向互判
做曲线运动的物体，所受合外力方向不仅与速度方向成一夹角，而且总是指向曲线的“凹”侧，即轨迹总是向合外力所指的方向弯曲，轨迹在合外力与速度的夹角之间.因此物体的运动轨迹与合外力的方向可以粗略的互相判断.处理这类问题时应注意以下几点：
(1)物体的轨迹在速度和合外力夹角之间且与速度相切.
(2)物体的运动轨迹向合外力的方向弯曲.
(3)合外力在垂直于速度方向上的分力改变速度方向，合外力在沿着速度方向上的分力改变速度大小.
对点例题　“神舟十号”在飞行过程中，沿曲线从M点向N点飞行的过程中，速度逐渐减小.在此过程中“神舟十号”所受合力方向可能是下列图中的(　　)21世纪教育网版权所有
解题指导　做曲线运动的物体的运动轨迹向合力方向弯曲，A、D错误；“神舟十号”速度减小，表明它所受的合力沿切线方向的分力与速度方向相反，故B错误，C正确.
答案　C
一个物体在光滑水平面上以初速度v0做曲线运动，已知在此过程中物体只受一个恒力F作用，运动轨迹如图1所示.则由M到N的过程中，物体的速度大小将(　　)
图1
A.逐渐增大　　　　　 B.逐渐减小
C.先增大后减小 D.先减小后增大
答案　D
解析　判断做曲线运动的物体速度大小的变化情况时，应从下列关系入手：当物体所受合外力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体做曲线运动的速率增大；当物体所受合外力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体做曲线运动的速率减小；当物体所受合外力方向与速度方向的夹角始终为直角时，物体做曲线运动的速率不变.在本题中，合力F的方向与速度方向的夹角先为钝角，后为锐角，故D选项正确.21教育网
第3点　两种典型运动的合成与分解
1.小船渡河模型
(1)三个速度：v1(船在静水中的速度)、v2(水流速度)、v(船的实际速度).
(2)两个问题：
①渡河时间
a.船头与河岸成θ角时，渡河时间为t＝(d为河宽).
b.船头正对河岸时，渡河时间最短，tmin＝(d为河宽).
②最短航程
a.若v2＜v1，则当合速度垂直于河岸时，航程最短，xmin＝d.船头指向上游与河岸的夹角α满足cos α＝.21教育网
b.若v2＞v1，则合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河.
如图1所示，以v2矢量的末端为圆心、以v1矢量的大小为半径画弧，从v2矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向时航程最短，由图可知cos α＝，最短航程x短＝＝d.21cnjy.com
图1
2.绳(杆)关联速度问题
(1)对“关联速度”问题的理解
用绳、杆相牵连的物体在运动过程中的速度通常不同，但两物体沿绳或杆方向的分速度大小相等.
(2)“关联速度”问题的解题步骤
①确定合速度：牵连物端点的速度(即所连接物体的实际速度)是合速度.
②分解合速度：合运动所产生的实际效果：一方面产生使绳或杆伸缩的效果；另一方面产生使绳或杆转动的效果.两个分速度的方向：沿绳或杆方向和垂直于绳或杆方向.
常见的模型如图2所示：
图2
③沿绳或杆方向的分速度大小相等，列方程求解.
对点例题1　(多选)船在静水中的速度是1 m/s，河岸笔直，河宽恒定，河水靠近岸边的流速为2 m/s，河中间水的流速为3 m/s，以下说法正确的是(　　)21·cn·jy·com
A.船可能沿曲线过河
B.因船速小于水流速度，船不能到达对岸
C.船能垂直到达河正对岸
D.船过河的最短时间是一定的
解题指导　当船头指向始终垂直河岸时，船的合运动方向始终变化，船沿曲线过河，选项A正确；只要船的合速度具有垂直河岸方向的分量，船就能到达对岸，选项B错误；因为船速小于水流速度，船的合速度不可能垂直对岸，所以船不能垂直到达河对岸，选项C错误；当船头垂直河岸渡河时，船过河的时间最短，并且船过河的最短时间是一定的，等于河宽除以船在静水中的速度，选项D正确.21世纪教育网版权所有
答案　AD
对点例题2　如图3所示，有一个直角支架AOB，OA水平放置，OB竖直向下，OA上套有小环P，OB上套有小环Q，两环间由一根质量不计、不可伸长的细绳相连，小环P受水平向右外力作用使其匀速向右平动，在P平动过程中，关于Q的运动情况以下说法正确的是(　　)
图3
A.Q匀速上升
B.Q减速上升
C.Q匀加速上升
D.Q变加速上升
解题指导　小环P、小环Q的合运动与分运动的关系如图所示，若细绳与OB的夹角为α，则v0＝vPsin α，而vQ＝，所以vQ＝vPtan α，由于vP保持不变，α增大，所以vQ增大.Q的加速度向上，但速度不是均匀增大，即Q变加速上升，因此只有选项D正确.
答案　D
1.有一条两岸平直，河水均匀流动、流速恒为v的大河.小明驾着小船渡河，去程时船头指向始终与河岸垂直，回程时行驶路线与河岸垂直.去程与回程所用时间的比值为k，船在静水中的速度大小相同，则小船在静水中的速度大小为(　　)www.21-cn-jy.com
A. B.
C. D.
答案　B
解析　设河宽为d，船在静水中的速度为vc，第一种情况时时间t1＝，第二种情况时时间t2＝，由＝k，可得出选项B是正确的.2·1·c·n·j·y
2.在不计滑轮摩擦和绳子质量的条件下，当小车以速度v匀速向右运动到如图4所示位置时，物体P的速度为(　　)【来源：21·世纪·教育·网】
图4
A.v B.vcos θ
C. D.vcos2 θ
答案　B
解析　如图所示，绳子与水平方向的夹角为θ，将小车的速度分解为沿绳子方向和垂直于绳子方向，沿绳子方向的速度等于P的速度，根据平行四边形定则得，vP＝vcos θ.故B正确，A、C、D错误.21·世纪*教育网
第4点　平抛运动的六个重要结论
1.运动时间：t＝，即平抛物体在空中的飞行时间仅取决于下落的高度，与初速度v0无关.
2.水平射程：x＝v0t＝v0，即落地的水平距离只与初速度v0和下落高度h有关，与其他因素无关.
3.落地速度：v＝，即落地速度也只与初速度v0和下落高度h有关.
4.速度变化量：Δv＝gΔt，即Δv的方向与g的方向相同，总是竖直向下.
5.平抛运动的速度偏角θ与位移偏角α的关系：tan θ＝2tan α.
6.从抛出点开始，平抛物体任意时刻的瞬时速度方向的反向延长线必过水平位移的中点(如图1所示).
图1
对点例题　将某一物体以一定的初速度水平抛出，在某1 s内其速度方向与水平方向的夹角由37°变成53°，则此物体的初速度大小是多少？此物体在这1 s内下落的高度是多少？(g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，结果保留两位有效数字)
解题指导　解法一：如图甲所示，小球经过A点时vA与水平方向的夹角为37°，经过B点时vB与水平方向的夹角为53°.设从初始位置到A点经历时间t，则到B点共经历t＋1 s.21世纪教育网版权所有
vyA＝gt＝v0tan 37°，
vyB＝g(t＋1 s)＝v0tan 53°.
由以上两式解得初速度
v0≈17 m/s，且t＝ s
在这1 s内下落的高度Δh＝yB－yA＝g(t＋1)2－gt2＝×10×2 m－×10×2 m≈18 m.
解法二：如图乙所示，由几何关系可得
Δv＝gΔt＝v0tan 53°－v0tan 37°，
解得v0＝≈17 m/s
根据推导公式有
Δh＝＝≈18 m.
答案　17 m/s　18 m
如图2所示，乒乓球网上沿高出桌面H，网到桌边的距离为L.某人在乒乓球训练中，从左侧处，将球沿垂直于网的方向水平击出，球恰好通过网的上沿落到右侧桌边缘.设乒乓球的运动为平抛运动，则乒乓球(　　)21教育网
图2
A.在空中做变加速直线运动
B.在水平方向做匀加速直线运动
C.在网的右侧运动的时间是左侧的2倍
D.击球点的高度是网高的2倍
答案　C
解析　乒乓球击出后，在重力作用下做平抛运动，其运动可分解为水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动，A、B错误；球在网的左侧和右侧通过的水平距离之比＝＝＝，C正确；设击球点到桌面的高度为h，则击球点到网上沿的高度与击球点到桌面的高度之比为＝＝，所以击球点的高度与网高度之比为＝，D错误.
第5点　平抛运动与斜面结合的问题
解答斜面上的平抛运动问题时要充分运用斜面倾角，找出斜面倾角同位移或速度与水平方向夹角的关系，通过分解位移或速度使问题得到顺利解决.21世纪教育网版权所有
对点例题　一水平抛出的小球落到一倾角为β的斜面上时，其速度方向与斜面垂直，运动轨迹如图1中虚线所示.则小球在竖直方向下落的距离与水平方向通过的距离之比为(　　)
图1
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.tan β B.2tan β C. D.
解题指导　由图可知小球在竖直方向下落的距离y与水平方向通过的距离x之比等于tan α，即＝tan α，21·cn·jy·com
tan θ＝，又由于tan θ＝2tan α.
所以＝tan α＝，故选项D正确.
答案　D
1.(多选)如图2所示，光滑斜面固定在水平面上，顶端O有一小球由静止释放，运动到底端B的时间为t1.若给小球不同的水平初速度，落到斜面上的A点经过的时间为t2，落到斜面底端B点经过的时间为t3，落到水平面上的C点经过的时间为t4，则(　　)
图2
A.t2＞t1 B.t3＞t2
C.t4＞t3 D.t1＞t4
答案　BD
解析　设斜面高为h，倾角为θ，则当小球沿斜面下滑时，其加速度a＝gsin θ，由＝at得t1＝，小球平抛时，由h＝gt2得t3＝t4＝＞t2＝，故t1＞t3＝t4＞t2，选项B、D正确.21cnjy.com
2.如图3为湖边一倾角为θ＝37°的大坝的横截面示意图，水面与大坝的交点为O.一人(身高忽略不计)站在A点处以速度v0沿水平方向扔小石子，已知AO＝50 m，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.则：www.21-cn-jy.com
图3
(1)若要求小石子能直接落到水面上，v0最小是多少？
(2)若小石子不能直接落到水面上，落到斜面时速度方向与水平面夹角的正切值是多少？
答案　(1)16.33 m/s　(2)1.5
解析　(1)若小石子恰能落到O点，v0最小，有AOcos θ＝v0t，AOsin θ＝gt2，解得v0≈16.33 m/s.21教育网
(2)斜面与水平方向夹角θ＝37°，若小石子落到斜面上时，设速度方向与水平面的夹角为α，
则tan θ＝＝，tan α＝，
所以tan α＝2tan θ＝1.5.
第6点　三“确定”解决平抛运动的临界问题
平抛运动中经常出现临界问题，解决此类问题的关键有三点：
(1)确定运动性质——平抛运动.
(2)确定临界位置.
(3)确定临界轨迹，并画出轨迹示意图.
对点例题　女排比赛时，某运动员进行了一次跳发球，若击球点恰在发球处底线上方3.04 m高处，击球后排球以25 m/s的速度水平飞出，球的初速度方向与底线垂直，排球场的有关尺寸如图1所示，试计算说明：(不计空气阻力，g取10 m/s2)21世纪教育网版权所有
图1
(1)此球能否过网？
(2)若此球能过网，球是落在对方界内，还是界外？
解题指导　(1)当排球在竖直方向下落高度Δh＝(3.04－2.24) m＝0.8 m时，所用时间为t1，由Δh＝gt，x＝v0t1，解得x＝10 m＞9 m，故此球能过网.21教育网
(2)当排球落地时，h＝gt，x′＝v0t2.
将h＝3.04 m代入得x′≈19.5 m＞18 m，
故排球落在界外.
答案　(1)能过网　(2)界外
如图2所示，窗子上、下沿间的高度H＝1.6 m，墙的厚度d＝0.4 m，某人在离墙壁L＝1.4 m、距窗子上沿h＝0.2 m处的P点，将可视为质点的小物件以速度v水平抛出，小物件直接穿过窗口并落在水平地面上，取g＝10 m/s2.则v的取值范围是(　　)
图2
A.v>7 m/s B.v<2.3 m/s
C.3 m/s答案　C
第7点　圆周运动的周期性造成多解
匀速圆周运动的多解问题常涉及两个物体的两种不同的运动，其中一个做匀速圆周运动，另一个做其他形式的运动.因匀速圆周运动具有周期性，使得在一个周期中发生的事件在其他周期同样可能发生，这就要求我们在解决此类问题时，必须考虑多解的可能性. 一般处理这类问题时，要把一个物体的运动时间t，与圆周运动的周期T建立起联系，才会较快地解决问题.
对点例题　如图1所示，小球Q在竖直平面内绕O点做匀速圆周运动，当Q球转到图示位置时，O点正上方有另一小球P在距圆周最高点h处开始自由下落，要使两球在圆周最高点相碰，则Q球的角速度ω应满足什么条件？21世纪教育网版权所有
图1
解题指导　设P球自由下落到圆周最高点的时间为t，由自由落体运动规律可得
gt2＝h，
解得t＝ .
经过时间t，Q球由图示位置转至最高点，才能与P球在圆周最高点相碰，其做匀速圆周运动，设周期为T，有
t＝(4n＋1)(n＝0,1,2,3…)
两式联立再由T＝得，
(4n＋1)＝.
所以ω＝(4n＋1)(n＝0,1,2,3…).
答案　(4n＋1)(n＝0,1,2,3…)
1.(多选) 如图2所示，半径为R的水平圆盘中心轴正上方a处有一小球，圆盘以角速度ω做匀速转动，现将小球水平抛出，此时圆盘半径Ob恰好转到如图所示与初速度方向平行的位置，要使小球与圆盘只碰一次，且落点为b，重力加速度为g，小球抛出点a距圆盘的高度h和小球的初速度v0可能的取值为(　　)21教育网
A.h＝，v0＝
B.h＝，v0＝
C.h＝，v0＝
D.h＝，v0＝
答案　BD
解析　因圆盘转动具有周期性，则当小球落到b点时，圆盘转过的角度θ＝2πk(k＝1,2,3，…)，由ω＝，可得圆盘的角速度ω＝(k＝1,2,3，…)，因小球做平抛运动，则小球下落高度h＝gt2＝(k＝1,2,3，…)，初速21cnjy.com
度v0＝＝(k＝1,2,3，…)，将k的取值代入可知，当k取2和4时，B、D项正确.
2. 如图3所示，B物体放在光滑的水平地面上，在水平恒力F的作用下由静止开始向右运动，B物体质量为m，同时A物体从图中位置开始在竖直面内由M点开始逆时针做半径为r、角速度为ω的匀速圆周运动.求力F为多大时可使A、B两物体在某些时刻的速度相同.
图3
答案　(n＝0,1,2…)
解析　因为物体B在力F的作用下沿水平地面向右做匀加速直线运动，速度方向水平向右，要使A与B速度相同，则只有当A运动到圆轨道的最低点时，才有可能.
设A、B运动时间t后两者速度相同(大小相等，方向相同).
对A物体有：
t＝T＋nT＝(n＝0,1,2…)，vA＝rω.
对B物体有：F＝ma，a＝，vB＝at＝t.
令vB＝vA，
得＝ωr.
解得F＝(n＝0,1,2…).
第8点　圆锥摆模型及其拓展应用
1. 圆锥摆结构和运动模型
如图1所示，一根不可伸长的绳，一端固定在O1点，另一端拴一小球(可视为质点)，给小球一水平初速度，不计空气阻力，小球在水平面内做匀速圆周运动.21世纪教育网版权所有
图1
2.提供的向心力
(1)可认为绳子对小球的拉力和小球的重力的合力提供向心力.
(2)也可认为是绳子拉力在水平方向的分量提供向心力.
3. 线速度和绳长的关系(如图2所示)
设小球的质量为m，悬线与竖直方向的夹角为θ，绳长为l，则小球做圆周运动的半径为r＝lsin θ.由牛顿第二定律得mgtan θ＝m.21cnjy.com
所以v＝＝.
图2
4.拓展
(1)光滑漏斗上小球的圆周运动.如图3.
(2)火车转弯问题.如图4.
　　
　　　 　图3　　　　　　　图4
对点例题　长为L的细线，一端固定于O点，另一端拴一质量为m的小球，让其在水平面内做匀速圆周运动(这种运动通常称为圆锥摆运动)，如图5所示，摆线与竖直方向的夹角为α，求：
图5
(1)线的拉力大小；
(2)小球运动的线速度的大小；
(3)小球运动的周期.
解题指导　对小球受力分析如图所示，小球受重力mg和线的拉力FT作用，这两个力的合力mgtan α指向圆心，提供向心力，由受力分析可知，细线拉力FT＝.由Fn＝m＝mω2R＝m＝mgtan α，半径R＝Lsin α，得v＝ ＝ sin α，T＝2π .21教育网
答案　见解题指导
如图6所示，质量为1 kg的小球用长为0.5 m的细线悬挂在O点，O点距地面竖直距离为1 m，如果使小球绕OO′竖直轴在水平面内做圆周运动，若细线最大承受拉力为12.5 N，(g＝10 m/s2)求：21·cn·jy·com
图6
(1)当小球的角速度为多大时，细线将断裂；
(2)线断裂后小球落地点与悬点的水平距离.
答案　(1)5 rad/s　(2)0.6 m
解析　(1)当细线承受的拉力恰为最大时，对小球受力分析，如图所示：
竖直方向FTcos θ＝mg，
解得θ＝37°
向心力F向＝mgtan 37°＝mω2Lsin 37°
解得ω＝5 rad/s.
(2)线断裂后，小球做平抛运动，则其平抛运动的初速度为v0＝ωLsin 37°＝1.5 m/s
竖直方向：y＝h－Lcos 37°＝gt2
水平方向：x＝v0t
解得d＝＝0.6 m.
第9点　绳、杆、桥类模型的临界问题
对于物体在竖直平面内做变速圆周运动的问题，中学物理中只研究物体通过最高点和最低点时的情况，并且经常出现临界状态.这类问题常出现在绳、杆、桥类模型的临界问题中.
1.类绳模型
(1)此类模型的施力特点：只能提供指向圆心的力.
(2)常见的装置：①用绳系物体(如图1甲所示)；②物体沿轨道内侧做圆周运动(如图乙所示).
图1
(3)临界特点：此种情况下，如果物体恰能通过最高点，绳子的拉力或轨道对物体的支持力等于零，只有重力提供向心力，即mg＝，得临界速度v0＝.当物体的速度不小于v0时，才能通过最高点.2·1·c·n·j·y
2.类杆模型
(1)此类模型的施力特点：对物体既能提供指向圆心的力，又能提供背离圆心的力.
(2)常见的装置：①用杆固定的物体(如图2甲所示)；②小球在光滑圆管中(如图乙所示)；③小球穿在光滑圆环上(如图丙所示).21教育网
图2
(3)临界特点：此种情况下，由于物体所受的重力可以由杆、管或环对它的向上的支持力来平衡，所以在最高点时的速度可以为零.当物体在最高点的速度v≥0时，物体就可以完成一个完整的圆周运动.【来源：21·世纪·教育·网】
3.拱桥模型
(1)此类模型的施力特点：对物体只提供背离圆心的力.
(2)常见装置：①拱形桥(如图3甲所示)；②凹凸不平的路面的凸处(如图乙所示).
　　　　
图3
(3)临界特点：此时，如果物体的速度过大，将会脱离圆轨道而做平抛运动.同样，当轨道对物体的支持力等于零时，是物体做圆周运动的临界情况，即v0＝为临界速度.所以只有当物体的速度小于时，它才能沿轨道外侧做圆周运动.21世纪教育网版权所有
对点例题　(多选)用细绳拴着质量为m的小球，在竖直平面内做半径为R的圆周运动，如图4所示.则下列说法正确的是(　　)21·世纪*教育网
图4
A.小球通过最高点时，绳子张力可以为0
B.小球通过最高点时的最小速度为0
C.小球刚好通过最高点时的速度是
D.小球通过最高点时，绳子对小球的作用力可以与小球所受重力方向相反
解题指导　设小球通过最高点时的速度为v，由合力提供向心力及牛顿第二定律得mg＋FT＝m.
当FT＝0时，v＝，故选项A正确；
当v＜时，FT＜0，而绳子只能产生拉力，
不能产生与重力方向相反的支持力，故选项B、D错误；
当v＞时，FT＞0，
小球能沿圆弧通过最高点.可见，
v≥是小球能沿圆弧通过最高点的条件.
答案　AC
1.质量为m的小球在竖直平面内的圆形轨道内侧运动，若经最高点不脱离轨道的临界速度为v，则当小球以2v速度经过最高点时，小球对轨道的压力大小为(　　)
A.0 B.mg C.3mg D.5mg
答案　C
解析　当小球以速度v经内轨道最高点时，小球仅受重力，重力充当向心力，有mg＝m
当小球以速度2v经内轨道最高点时，小球受重力mg和向下的支持力FN，如图所示，合力充当向心力，
有mg＋FN＝m；又由牛顿第三定律得到，小球对轨道的压力与轨道对小球的支持力相等，FN′＝FN；由以上三式得到，FN′＝3mg.故C正确.21cnjy.com
2.如图5甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动.小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为FN，小球在最高点的速度大小为v，其FN－v2图象如图乙所示.则(　　)21·cn·jy·com
图5
A.小球的质量为
B.当地的重力加速度大小为
C.v2＝c时，在最高点杆对小球的弹力方向向上
D.v2＝2b时，在最高点杆对小球的弹力大小为2a
答案　A
解析　由图乙可知，当小球运动到最高点时，若v2＝b，则FN＝0，轻杆既不向上推小球也不向下拉小球，这时由小球受到的重力提供向心力，即mg＝，得v2＝gR＝b，故g＝，B错误；当v2>b时，轻杆向下拉小球，C错误；当v2＝0时，轻杆对小球弹力的大小等于小球的重力，即a＝mg，代入g＝得小球的质量m＝，A正确；当v2＝2b时，由向心力公式得FN＋mg＝，可得杆的拉力大小FN＝mg，故FN＝a，D错误.故选A.www.21-cn-jy.com

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