资源简介

(共254张PPT)
名师课堂评述，收获分享
聚焦小学数学核心素养，展现不同流派课堂转型
全国小学数学课程与教学观摩研讨会
中国·深圳
名师阵容
深度课堂
吴亚萍 报告：《形计算的教学结构研究》
2
刘 燕 课例：《方程的意义》+说课
3
1
薛石锋 报告:《创高效课堂——把数学课堂还给学生》
5月19日主持嘉宾
中学高级教师，《小学教学》编辑部主任、杂志主编。曾任初中数学教师、小学数学教研员、基础教育科副科长。曾主持河南省教育科学“十五”规划重点课题《小学数学开放式教学的实践与探索》，所写论文获全国小数会论文评比一等奖，并在《小学青年教师》（《小学教学》曾用名）等杂志上发表。主编或参与编写教师用书、学生辅导用书500余万字。被多地聘为“国培计划”、“省培计划”专家，在浙江、江苏、广东、北京、四川、重庆、湖北、安徽、山西等省以及河南省各地做讲座70余场次。
点评风格
殷现宾老师现为《小学教学（数学版）》主编，曾做过小学数学教研员。他的点评精准，视角独到，富有建设性。
报告：《形计算的结构教学研究》
吴亚萍
课堂教研亮点和收获心得分享
形也就是几何图形，吴亚萍教授的报告《形计算的结构教学研究》给我们呈现一种视野和一个理念。
1.传递了一种视野：既见森林，又见树木，还见树叶。吴教授在报告中教给我们打开视野的方法：要会跨年级整体策划即长程结构关联，在单元内会前后转化迁移即单元内结构关联，在一节课内帮助学生学会整体思维即单课结构关联。
课堂教研亮点和收获心得分享
2.分享了一种理念：教师找到教材之间的联系，学生要会发现知识之间的联系。吴亚萍教授在报告中，撷取几何图形这一知识模块，分析不同知识点的联系。例如，长方形和正方形面积计算教学时，教一种方法结构。在长方体和正方体体积的计算教学时，学生就可以主动用上这种方法结构进行探究。从而沟通知识之间的联系，同时实现教学效益的最大化。
课堂教研亮点和收获心得分享
吴教授的报告用案例说话，既有高屋建瓴的分析，又有课堂细节的指点；既有一般方法的介绍，又有教学模式的对比。
专家报告终觉浅，须知此事需恭行！好的理论需要在课堂上进行实践，在实践中我们可以进一步思考：在探索中，方法越多越好吗？需要穷尽每种方法吗？学生只想到一两种方法，其他方法要不要呈现？梯形面积的每种转化方式都适合小学生吗？
课堂教研亮点和收获心得分享
实践后我们才会有更多发现，优秀的理论才能内化成为我们的教学观，先进的理念才能转化成实实在在的课堂行为，让学生享受到最优质的教育，在课堂沐浴生命成长的阳光！
小学数学特级教师、小学数学高级教师（副高）、全国优秀教师、中山市小学数学教研员。
课例:《方程的意义》
教学目标：
1.帮助学生认识方程，了解方程的意义及作用。
2.让学生感悟等价、方程等数学思想。
3.帮助学生体会方程的价值，激发学生学习方程的兴趣。
教学重点：了解方程的意义及作用，认识方程等号两边等价的属性。
教学难点：体会方程的价值，激发学生学习方程的兴趣。
教学过程：
一、在解决问题的过程中创造方程，初步体会方程的意义及其价值。
二、在对比辨析中认识方程的名称和外在形式，并进一步了解方程的意义。
三、介绍方程相关数学文化历史背景，开阔学生视野，并激发学生学习方程的兴趣。
四、借助天平、手势等多元表征，强化认识方程“等号两边等价”的数学属性。
五、巩固练习
1.判断：是否是方程　
２.创造方程
8个
？个
原来盘子里有一些苹果，吃掉了7个，还剩3个，原来盘子里有多少个苹果？
爸爸今年36岁，小红年龄的3倍刚好和爸爸的年龄一样，小红今年多少岁？
一个数加上31，减去56等于320，这个数是多少？
某风景区儿童票价格的2倍多5元，刚好是成人票的价格145元再加10元。儿童票的价格是多少元？
早在三千六百多年前，埃及人就会用方程解决数学问题了。
在我国古代，大约两千年成书的《九章算术》中，就记载了用一组方程解决实际问题的史料。
四百多年前法国数学家韦达在他的《分析法入门》著作中，首次系统地使用了符号表示未知量的值进行运算。
一直到三百年前，法国的数学家笛卡尔第一个提倡用排在字母表后面的 、y、z代表未知数，这种用法成为当今的标准用法，形成了现在的方程。
？克
45g
110g
50g
45g
110g
50g
+ 45 = 110 + 50
110 + 50 = + 45
①
②
③
④
90g
y克
y克
①
②
③
④
90g
y克
y克
+50 ＞100
+50 ＜ 200
+90 =100+50
50+50=100
90g
100g
50g
+ 90 = 100 + 50
？克
400克
150克
50克
50克
800克
每个苹果多少克？
150克
400克
150克
50克
150克
800克
800+150+50=400+2× +150+50
50克
从算术到方程
广东中山市教研室 刘燕
方程学习中的两个现象
学生：不愿、不会
教师：“ = 6 ”是方程吗？
反思：
如何引导学生感悟方程的价值？
方程的本质属性是什么？
在方程中，已知和未知借助等号联立以后，未知可以和已知一样参与运算，享有同样的地位。
——张奠宙
要强调用数学的符号把要说的话（即两件事情等价）表达出来。这个是根本，是学生必须真正掌握的东西……
四则运算是将已知全部写在等号的一边，只不过没有写出“=x”而已，是在已知和未知之间建立了一个桥梁。方程不是这样，方程根本没有经过任何运算，只是阐述了一个事实本身，一个没有经过任何加工的事实本身。方程只是在说明两件事情是等价的。
——史宁中
史宁中：
方程是从现实生活到数学的一个提炼过程，一个用数学符号提炼现实生活中的特定关系的过程。
方程的学习，从一开始就应该让学生接触现实的问题，学习建模，学习把日常生活中的自然语言等价地转化为数学语言，得到方程，进而解决有关问题；而解方程的设计要点在于再现化归的思想方法。
概念的四个方面：名称、定义、例子、属性
我的思考：
方程的描述是重点和难点吗？
外在形式与内在属性谁更重要？
“方程的等号两边相等”与“未知可以和已知一样参与运算，享有同样的地位”谁是更新的增长点？
“用数学的符号把两件事情等价表达出来。这个是根本”,事情能否不拘于天平、更加丰富？
如何体现方程的价值？
环节一：在解决问题的过程中创造方程。
唤醒顺向思维找数量关系的思维经验,突显方程只是阐述没有加工的事实。
初步感受方程的属性（“相同地位”、“等价”）及价值。
环节二：对比分析中认识方程的外在形式。
环节四：多元表征促进对方程等价属性的理解。图到
符号、符号到图、图符变化创造方程。
环节五：总结回顾，梳理对方程的外在形式、内在属性
及其价值的认识，并为后续学习留下伏笔。
环节三：在文化背景的介绍中完善对方程的认识。
教学目标：
1.帮助学生认识方程，了解方程的意义及作用。
2.在教学中渗透抽象、等价思想，让学生体会方程的思想。
3.感受方程价值，激发学生学习方程的兴趣。
重点：
强化方程本质属性的认识，感悟方程的价值。
课堂教研亮点和收获心得分享
刘燕老师给我们呈现了一节精彩的数学课，一节不一样的方程课。
1.重实质，重感悟。一般的方程概念课重在它的描述性定义“含有未知数的等式”，陈重穆先生在《淡化形式，注重实质》一文中指出：对名词、术语重点要放在学生对其实质的领悟上，不必在文字叙述上孜孜以求。刘老师这堂课别出心裁，通过4个现实生活情境中写出原生态的方程，让学生感悟方程的本质。
课堂教研亮点和收获心得分享
2.对比中生成概念。刘老师让学生对比小华和小明每人写的四个式子，理解方程是含有未知数的等式，同时体会方程在解决复杂问题，比如需要逆向思考的问题时的优越性，用方程可以“顺着题目的意思想”、“不用反着想”，让学生从情感上接受方程，有效地解决学生不喜欢用方程的教学现实。
课堂教研亮点和收获心得分享
3.在“画”方程过程中内化概念。刘老师一个创新设计是让学生根据方程画出天平，完成从数学符号世界到现实生活的横向数学化。在画的过程中建立表象，真正内化概念，完成方程意义的建构，让抽象概念形象化。
课堂教研亮点和收获心得分享
4.在方程发展史中完善方程的认识。方程的发展史是人类文明发展的一个缩影，刘老师通过图文资料介绍了古埃及方程的悠久历史，我国九章算术方程法的发现，还有首次用字母表示方程中未知数的韦达，以及笛卡尔对方程发展的巨大贡献。数学文化教育很自然融合在知识技能的学习中。
课堂教研亮点和收获心得分享
5.巧用天平这一重要资源。大部分方程课，都用天平作为课的引入和概念的形成，刘老师匠心独运，以四道算术式和方程的对比引入，天平这一教学资源放在概念形成之后，让学生根据天平创造方程，进一步理解方程。
课堂教研亮点和收获心得分享
“变方程”是一个巧妙的设计，但是基于本课的学习目标考虑，放在后继课怎样解方程是否会更合理一些，这一点值得斟酌。
深圳市龙岗区小学数学教研员，中学高级教师，北京师范大学新世纪版小学数学指导委员会委员，广东教育学会小学数学专业委员会第九届理事会理事，深圳市小学数学专业委员会第十届理事会常务理事。
个人专著：《小学数学难点教学技巧与案例》
在《中小学数学》和《小学数学教育》等专业杂志上发表多篇文章。
薛石锋
报告:《创高效课堂——把数学课堂还给学生》
课堂教研亮点和收获心得分享
薛石锋老师的报告《创高效课堂——把数学课堂还给学生》，分享了四个深度思考的教学案例，介绍他的教育理念和首创的教学方法。怎样才能把课堂真正还给学生？怎样才能让学生做学习的主人？薛老师在报告中给我们指明了三条路径。
课堂教研亮点和收获心得分享
一是给足学生思考的时间。课堂在关键的时候要慢下来，让每个学生都有自己的思考，哪怕是最简单、最原始的想法。课堂不能仅仅成为“明星”学生“舞台秀”。
课堂教研亮点和收获心得分享
二是给够学生思考的空间。课堂留白的艺术非常重要，恰当地留白，学生思维才会有放飞的空间。老师多讲势必挤占学生思考机会，所以老师要少讲，例如《猜数游戏》一课的设计，老师退出一些，学生才会有精彩的发现。
课堂教研亮点和收获心得分享
三是多给学生自由表达的机会。不要怕学生说错，错误是一种宝贵的资源，它是学生真实的想法。从错误到正确，学习才能实实在在地发生。例如《去图书馆》一课中，老师放手让学生大胆地说，哪怕学生说错，也要捍卫他说话的权利！从错误到不完善，最后到完整，这才是真正的学习之路。
课堂教研亮点和收获心得分享
薛老师的报告找准了一线老师的困惑所在，接地气，深受老师们欢迎。正如他在专著中《小学数学难点教学技巧与案例》丰富的案例一样，他的设计精彩独到，令人耳目一新，体现了他的教育思考和教学智慧。
综合实践
黄爱华 课例：《什么是方程》 +微报告
孙敬彬 课例：《认识A4纸》+说课
邵汉民 课例：《圆的魅力》+说课
大问题教学的倡导者和实践者。现任深圳市教育科学研究院教师发展研究中心主任，深圳市首批教育科研专家工作室主持人。获聘为北京大学教育学院特聘专家。曾获全国优秀教师、数学特级教师、深圳市享受政府特殊津贴专家、深圳市十大杰出青年等荣誉称号。学术交流联系方式：检索“深圳黄爱华新浪博客”。
课例：《什么是方程》
课堂教研亮点和收获心得分享
黄爱华老师是大问题教学的积极倡导者，在《方程的意义》一课中，他为大家演绎了什么是大问题教学，展现他充满魅力的课堂艺术。这堂课有几个环节给听课老师留下了深刻的印象。
课堂教研亮点和收获心得分享
1.解读教材到标点符号。教材是教师教和学生学的一种重要资源，只有对教材深度解读，我们对教学才有深刻的理解和不一样的设计。方程概念一课，黄爱华老师对比了苏教版、人教版、西师版和北师大等版本的异同，这是横向比较。同时他也研究了同一种版本新旧的不同，在何处做了改进，以及改进的背后逻辑。这是纵向的比较。
课堂教研亮点和收获心得分享
在课堂上，他问同学们：“大家看看课本上第二幅图，小男孩那句话最后有省略号，省略了什么，你能补充上来吗？”正是这种解读教材到标点符号的功夫，才能成就一位名师、一位专家！
课堂教研亮点和收获心得分享
2.和“华哥”一起“演电视剧”。教材四幅图是方程生成的过程。让孩子看、说，还是老师演示、讲解？被孩子们昵称为“华哥”的黄爱华老师，选择的是孩子们一起“演电视剧”。演的过程，孩子对每幅图有了真正的理解，对方程有了最初的感性认识。枯燥抽象的概念原来可以这样生动有趣地教和学，让人脑洞大开！
课堂教研亮点和收获心得分享
3.一句变三句，形式到本质。黄老师这节课的大问题就是“怎样把书上那句’含有未知数的等式叫方程’说得更明白？”。课堂上通过读图，“演电视剧”，思辨对话，抽象概括，最后引导学生把一句形式化的方程定义，拓展成更注重方程本质的三句话“为了解决问题，找到一种平衡关系，写成的含有未知数的等式，叫方程。”
课堂教研亮点和收获心得分享
4.两手抖一抖，方程立刻有。有了概念，怎样在运用中加深理解？黄爱华老师教孩子用手来“抓”方程：左手模拟抓天平左边的物品，右手抓天平另一边，感受它们的平衡和相等关系。原来方程还可以抓在手中，这与刘燕老师让孩子“画”方程有异曲同工之妙。这一抓一画，抽象的方程在孩子心里就有了质感、动感和画面感。
课堂教研亮点和收获心得分享
5.学生心目中的好课。在最后课堂总结环节，师生的对话是关于课的情感体验的。孩子们不经意间给出了一节好课的5个标准：有趣，互动，边玩边学，师生关系亲密像朋友，思维得到发展。黄爱华老师这节课，不正是这样的好课吗？
课堂教研亮点和收获心得分享
评课是一件见仁见智的事儿，孩子们喜欢的课并非所有的老师喜欢。有的听课老师在微信评课中说出了不一样的看法：《学记》中说“道而弗牵”、“开而弗达”，课堂“牵”味浓厚，甚至让孩子模仿老师的话，一句一读。还有课堂严重超时的问题，等等。有争议的课堂才是真实的课堂，横看成岭侧成峰，你我的好课各不同！
中学高级教师，小学数学特级教师，现任教于北京市海淀区中关村第三小学。多次在全国、省级评优课上获奖，有100多篇教育教学论文在省级刊物上发表。
课例：《认识A4纸》
课前慎思：学习比例后，一直想把A型纸中的比例关系作为一次拓展进行训练，而怎样引入这样的
情境自然就聚焦到学生最熟悉的A4纸上。可是当焦点聚焦后，却发现学生对A4纸的信息了解并不
多，看似寻常的一张纸其中还有很多的教育资源，比如规格、面积、质量、价格、A型纸的标准、
A型纸之间的关系等，其中的一点或某几点都可以作为学生深入学习生活数学的源泉。而当真正走
进A4纸深处，学生收获的并不仅仅是一次“数学好玩”的实践。在对A4纸“身世”的探寻中，已
然把后继深刻转化为一种责任的顺延。
一、提出问题
出示一张A4纸，提问：你认识它吗
追问：那你对它有多少了解，现在如果要来认识它，你会想到关于它的哪些问题？
梳理学生提出的问题，可能涉及到面积、质量、价钱、比例等，引导学生对问题进行分类。
二、初步认识
说明：可以先从包装上看看哪些信息会帮助我们认识A4纸。
出示一包A4纸，观察包装。
提问：说说知道些什么？
结合学生可能对“70克”是一张纸的质量还是一包纸的质量，
展开体验活动。
说明：70克是1平方米这样的纸的重量。
提问：根据这些信息怎样算出一张纸的重量？
结合学生计算，引导学生可以估算A4纸的面积，并让学生说说如何估算。
出示
提问：你能算出一张纸约多少钱吗？
……
三、沟通联系
提问：刚刚我们对A4纸已经有了很多认识，有谁知道它为什么叫A4纸吗？它还有没有其它家人？
结合学生回答说明：其实它的家族挺大的，最初我们造出来的是A0纸（出示一A0纸），它的面积是1平方米，把A0纸沿长边的中点对折一次，中间裁开，就得到了A1纸。把A1纸中间对折，得到A2纸，A2其实就是把A0纸对折几次？那谁再来介绍一下A3纸、A4、A5……
提问：说说这种纸为什么叫A4？
出示A型纸的全家福（见右图）
提问：认真观察这幅A家族的成员图，你又有什么样发现或问题？
共同解决学生提出的问题。
……
四、深化认识
提问：你能根据这张A4纸知道A3、
A5纸是什么样子的吗？让学生通过操作后
说说其中的联系。
……
师：如果A4的宽看作“1”，长看作
“X”，那么A3的长是多少，
宽是多少？可以得到什么样的比例？
五、拓展延伸
提问：谁知道A4纸是怎样来的吗？
出示图片说明一棵这样的杨树可以造3000张A4纸。造一吨纸需要消耗大约17棵马尾松、100吨水、600千瓦时电、1.2吨煤、0.3吨的化学原料。
为A4纸插播一段广告：为世界留一棵树。
总结今天的认识，谈谈你的收获？又有什么新的问题？
……
课后反思：
1.“从头到尾”思考问题的过程如何体现
从熟悉的A4纸处提问，于无疑处生疑，学生最关心的问题是什么？这些问题自发涌出后如何形成有效的学习资源，引领活动深入开展。每一次活动如何让学生“从头到尾”经历问题发现、提出、分析、解决的过程。每一次认识在这样的过程中不断轮回，学生的核心素养是否得到提升？
2.数学好玩”的本质如何凸显
“数学好玩”是理念。学生对数学问题本质的认识如何凸显？面积、重量、价钱以及厚度等实际问题解决时的策略是否关注？A型纸全家集体呈现时如何实现“图”与“数”相联？变中有不变，把长宽之间的直观转换是否会到带来，比例的出现？
3.“学科综合”的价值如何发生
“综合与实践”重综合、重实践。数学是否和生活实际自然相联？不同学科的综合，“加法”是否有效，认识纸的“前世”、“今生”，是否会把节约的意识播种？“教学”向“教育”的转变，数学是否依然参与其中？
课堂教研亮点和收获心得分享
1.看似不经意，实则深思量。孙老师把日常生活中的一张不起眼的A4信手拈来，看似不经意，其实深含他的教学思考。经过他的挖掘，A4里面有着丰富的教学资源，这些恰好是一节好的数学综合实践课所需要的。
课堂教研亮点和收获心得分享
2.一道题与一节课。孙老师选择A4纸原来还与一道题有关，正是出自《小学教学》（数学版）杂志上面一道关于A4纸的题目，启发了他灵感，结果演绎出这样一节令人耳目一新的数学课。给我们启示就是要多读书，多思考，做教学的有心人。
课堂教研亮点和收获心得分享
3. 学问学问，源于思起于问。孙老师在这堂课上，让孩子针对一张纸、一幅图提问，让他们在课堂上通过发现问题，然后提出自己感兴趣的问题。接着，孙老师带领学生一起分析问题，最后解决问题。从而，经历一个完整的“从头到尾”思考问题的过程，提高了四能。
课堂教研亮点和收获心得分享
正如孙老师在课后与主持嘉宾殷现宾主编以及老师互动时所讲，A4、A3纸并不是完全相似的。我们来看看它们的长短边之比：297:210,420:297，这两个比值只是很接近但并不相等，所以不成比例。如果细心的孩子提出这样的问题，教师该如何应对呢？
杭州市萧山区教研室小学数学教研员，中学高级教师，浙江省优秀师，浙江省优秀教研员，曾获得过全国小学数学学会论文与课堂教学评比一等奖。
结合教学实践，先后对“小学数学概率教学”“小学数学文化课程的开发与利用”“小学数学概念教学”“‘预学后教’小学数学课堂教学”等进行专题研究。在教学实践与研究过程中，逐步认识到“了解学生的认知起点与学习能力”“研究数学的形成背景与文化意义”是小学数学教学研究的两个基本着力点，近五年来，围绕这两个基本点，有三十余篇论文在省级及以上论文评比获奖或省级及以上刊物上发表，著有《小学数学史料与数学教学》、《小学数学教学探究（上、中、下）》，并参与编写《小学数学教师N项专业化修炼》、《小学数学教学技能实训》、《数学名人名题故事集》等教师教学技能培训手册与小学数学拓展性课程。
课例：《圆的魅力》
活动构想：
古希腊哲学家毕达哥拉斯和欧洲文艺复兴时期诗人但丁都曾说过：圆是最美的图形。学生经历了带有浓厚的数学文化气息的三堂关于圆的教学，让学生感受到了圆的认识之路是一个充满想像的过程，更是充满智慧的经历。为让学生对圆有一个整体的，更加全面的认识，笔者打算上一堂综合应用课。想通过本节课的活动，进一步沟通圆的知识与圆的应用之间的联系；感受到数学知识真实的形成过程；了解到圆的应用有时要经历一个漫长的过程；感受到“圆”的外在美与内在美。
活动目标：
1.通过回忆交流，全面回顾《圆》这一个单元的基础知识；
2.通过讲述“圆”的数学故事，让学生感受到数学研究的艰辛与曲折，产生积极向上的数学学习心态；
3.通过对有关圆的问题研究，逐步形成灵活应用数学的意识与能力；
4.通过欣赏自然界与生活中的圆的物品，进一步拓展对圆的理解。
活动过程：
一、复习回顾，梳理圆的知识
在大屏幕上出现一个大大的圆，教师提问：看着这个圆，你能回忆起有关圆的哪些知识？根据学生的回答，教师用课件进行演示与归纳。教师做讲述：阿基米德的故事，并建议以后在学习数学时，同学们要带着一种崇敬的心理来学习，因为，数学中的每一个符号、每一个公式的背后都可能包含着一段感人的故事。
二、介绍车轮的历史，了解圆的应用
1.介绍车轮的历史
请学生看一段车轮发明的录像。（录像以时间为线索分别介绍了古埃及人用圆木滚动搬重物，美索不达米亚人最早发明的车轮及以后的不断改进的历史。）看完后学生概括车轮的历史，教师把学生概括的内容在课件中用图片加文字的形式演示。
2.关于圆木的问题
（1）用圆木滚重物
出示问题。
首先让学生推测。绝大数学生可能认为重物也是向前移圆木滚动一周的长度，即3.14×1=3.14（米）。学生推测后教师用教具演示。
再请学生通过观察后得到结论：圆木向前滚一周，上面的重物向前移动了圆木两个周长的距离。学生纠正后教师引导：看来，对于一些数学结论，我们不能只是“想当然地”用公式做，也要“动手实验”。
【意图】学生有一种习惯，解决数学问题就是找数量关系或用公式计算。因此，往往根据条件想当然地得到一个结果这是常有的事。我们想通过本题的公式计算与实践验证，教育学生有一种动手实践验证结果的意识，形成一种真正的科学研究的精神。
（2）地球的周长与直径
教师演示地球模型，得到如下的图示与信息：
赤道周长是40076千米，如果把它的周长再加上12.56米，再围成一个圆。问：两圆之间的空隙能让一个大人通过去吗？
教师引导与组织学生进行交流讨论，采用列式加推导的方法得到解决问题。
最后总结：像这样的一种情况，我们用实验的方法无法解决。但如果综合应用我们的数学知识，并进行“合情推理”，却能得到意想不到的结论。
【意图】这一题与前一题形成一个鲜明的对比。为验证上面一题的正确性，需要通过实验验证。但第二题，不可能通过实验验证来解决问题，需要通过数学推理来完成。从而形成了一个完整的数学思维流程：在应用数学知识解决问题时，不能“想当然”地利用数学知识解决问题，还要通过实验来进行检验。但是，有些不可能实验进行检验，这时我们可以借助数学知识进行推理，并进行必要的抽象概括，发现数学规律。
2 .关于圆片的问题
学生在解决了已知两个圆的半径是2倍，分别说出它们的面积与周长的倍数关系之后，教师演示两个圆的的同时转动来“数出”两个圆的大小关系。
【意图】一般地，在小学数学中，关于圆的半径、周长和面积的倍数关系，都是从静态的角度来计算与推导，这限止了它的现实价值的体现。因此，我们在教学中又补充了用带子连接起两个圆，让学生从动态的角度来分析两个圆转动的快慢与圆的半径、周长等的关系。
3.关于车轮的问题
教师出示“窨井盖、锁芯”请学生思考为什么它们的面也要做成圆的？
【意图】“数学来源于生活而又高于生活”、“根据学生的生活经验为起点组织教学”、“增强学生的应用意识与能力”，这些都是新课程所倡导的数学教学理念，以上的教学环节，就是试图让学生更好地沟通数学与生活的联系。
三、观赏圆形物品，感受圆的内涵
教师分别出示自然界中的“圆”、人们创造的“圆”和富有寓意的圆，引导学生进行欣赏、辨析与概括，让学生感受到圆的内在魅力。
四、回顾活动过程，提炼活动主题
这一节课已经结束了，回顾一下，这节课中我们学习的过程。你能给这节课起个课题吗？学生回答的部分课题可以写在黑板上。教师最后在课件中板书：圆的魅力。从而形成下面的整个课件板书，并结果本次活动。
课堂教研亮点和收获心得分享
1.培养数学文化意识。邵老师在课堂回顾了圆的研究发展史，孩子们在欣赏圆的魅力过程中，很自然地进行数学文化熏陶，培养一种文化意识。
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2.培养科学探究精神。圆木载物，圆木滚动一周，圆木前进了一个周长，上面的重物前进了多少？这是一道有趣的题目，学生想当然说也是一个周长。邵老师引导学生通过实验验证，发现是两个圆的周长，培养学生的科学探究精神，这正是学生需要具备的核心素养之一。
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3.培养应用数学能力。赤道加长12.56米能否过人的问题，又给学生挖了一个坑：那当然不能啦！其实是可以的，这次不能做实验，怎么办？答案是用数学！通过计算，培养了学生应用数学解决问题的意识和能力。这也是一节好的数学综合实践课的标配。
课堂教研亮点和收获心得分享
最后，我们来看看圆木载物前进了几个周长的问题。圆木滚动一圈时，重物相对圆木前进了一个周长，圆木相对于地面也前进一个周长，叠加起来：重物相对于地面其实是前进了两个圆木周长。我们也可以通过画图来说明：
1.假设圆木不转动，只向前平移一个周长，
上面的重物也要向前移动一个周长。
2πr
2πr
2.假设圆木不向前移动，只原地转动一周，像传送带的轮子一样，上面的重物还要向前移动一个周长。
2πr
3. 实际上，圆木既向前平移一周，又自转一周，把这两个运动合成，
上面的重物也就向前移动了两个圆木周长。
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如果你的高中物理是体育老师教的，请直接无视这个问题……
课堂教研亮点和收获心得分享
那么问题来了：这个内容很有趣，也通过实验验证了，但是与小学数学有什么关系？虽然实验做了，但是所有的孩子包括很多老师还是不明白，那么它的教学价值何在？留到高中讲是否会好一些？
课堂教研亮点和收获心得分享
由于飞机原因，钱守旺老师未能赴深参加名思教研，导致实际上课安排和组委会手册安排略有变化。另外，今天下午的“综合实践”模块，还包括了20日下午查人韵老师的《古老的预言》和21日下午华应龙老师的《阅兵中的故事》两节课。今天下午第一节课黄爱华老师《方程的意义》本属于第一个模块“深度课堂”。
课堂教研亮点和收获心得分享
心得分享：
“四月中，小满者，物至于此小得盈满。”在二十四节气中，小满绝对是一个充满哲理的节气。小满者，满而不损也，满而不盈也，满而不溢也。中国传统儒家中庸之道，忌讳“太满”“大满”，有“满招损、谦受益”“物极必反”之说。因此在二十四节气的命名上有一个独特的现象，有小暑必有大暑，有小雪必有大雪，有小寒必有大寒，有小满却独缺大满。
人生小满，足矣。
课堂转型
孙贵合 课例：《数量关系》 +说课
沈俊杰 课例：《用字母表示数》+说课
沈 勇 课例：《长方体的认识》+说课
1982年中师毕业参加工作，曾经担任过中学教师、政教主任、教科室主任、副校长、校长，教师进修学校校长，教育学院科研处处长。现为成都大学师范学院副教授。
主要研究教师教育、课程与教学改革，主持建设国家精品资源共享课“教师职业道德”。曾获全国中小学教师继续教育实验区研究课题一等奖，四川省教学成果一等奖，四川省高等教育教学成果二等奖，成都市第八次、第九次、第十一、第十二次哲学社会科学成果三等奖。“观课议课”的实践和主张在2010年第9期《人民教育》刊发，列为“《人民教育》创60年报道过的最有影响力的事件”（共33件）。

主持嘉宾
评课观点
大伟教授是“观课议课”的首创者，不主张“辩课”。他认为观课最主要的是洞察力和想象力，这节课为什么这样设计，看懂其逻辑和价值所在，如果自己来上会怎样设计。
北京市优秀教师、首都劳动奖章、中国教育学会先进工作者、北京市首批“名师培养对象”、大兴区十佳教师、大兴区十佳青年教师；全国第十届小学数学课堂教学大赛一等奖第一名；北京市课赛特等奖，北京市教师基本功大赛一等奖等，各级奖项200余项，30多篇论文在《小学数学教育》等各级核心刊物上发表，在全国各地讲课讲学150多场，听课老师超过50万人次。
孙贵合
孙贵合
义务教育教科书 四年级 上册
数量关系
9元/罐
3元/支
苹果
8元/千克
55元/袋
苹果
8元/千克
48元/箱
货号 商品名 单价 数量 金额
171996 可乐 6.00 2 12.00
341734 香蕉 14.00 3 42.00
337598 牛奶 66.00 4 264.00
应付金额：318.00
实收金额：350.00 找零： 32.00
超市购物小票
2元/瓶 45元/箱 10元/个
8元/千克 14元/千克 16元/根
超市购物小票
货号 商品名 单价 数量 金额
353678 钢笔水 4.00 2 8.00
259310 汇源果汁 13.00 5 60.00
245983 方便面 6.00 12 48.00
应付金额：116.00
实收金额：150.00 找零： 34.00
下面是学校购买体育器材的记录表。你能把表格填完整吗？并说说你用到了哪个数量关系式。
品 名 单价 数量 金额
篮球 6 480
排球 40 160
短跳绳 5 40
80
4
200
要是买12罐这样的饮料需要多少元？
妈妈买4罐饮料花了8元。
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继《三角形三边关系》，孙贵合老师又为我们奉献一道精神大餐《数量关系》。这节课单价数量总价是新人教版四年级上册常见的数量关系内容之一，另一个常见数量关系是路程时间速度。上课的孩子是三年级的学生，颇具挑战性。最终，孙老师和孩子们的精彩表现，征服了在场听课
的每一位的老师。
1.唤醒经验，让关系从隐性走向显性。单价数量总价是学生生活中最早接触到一种数量关系，但是很具体，关系隐藏在具体情境的数字之间。孙老师在课堂所做的工作，就是帮助孩子们唤醒生活经验，理解单价、数量和总价，以及它们之间的关系。
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2.建立模型，让关系从直觉走向理性。收款收据中的“5只7元的笔总价36元”，是全课浓墨重彩的一个环节。有观课老师还以为是孙老师笔误写错了，其实是他精心设计的一个“梗”。就是要借助这个错误，通过步步追问，让习以为常的相乘关系，明晰起来，知道为什么要乘，是哪
两个量在相乘，所得结果又是哪个量，让关系昭然若揭，模型水到渠成。
孙老师在这个环节“装傻”装得很到位，天真可爱的一群孩子们帮助“傻”老师最终弄明白了“单价×数量=单价”中的原因。这个环节的教学价值，就是让孩子从原来的一种直觉把两个数
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相乘，上升到数量关系的思考中，从而初步建立了一种简单的模型。
3.适时开放，让关系从静态走向动态。
当学生自主建构了单价数量总价之间的数量关系，以及三个关系式后，设计了一个补充记录单的应用环节。正确填完记录单，孙老师没有就此打住，而是这个
表动态开放，让短绳的数量依次从1增加到4，总价从5元增加到20元，让学生观察这两组数据，发现了什么规律，什么在变什么不变。学生在观察和思考的过程中，很自然感悟到最初步的函数思想。
接着，老师出了这样一道题：“妈妈买4罐饮料花了8元。买12罐这样的饮料需要多少元？”
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大部分孩子采用先求每罐的单价，再计算12罐总价的方法。老师问道：“还有别方法吗？”，学生说出另一种方法：
12÷4=3 3×8=24
老师追问为什么这样算，经过几个孩子的不完整的回答后，一个孩子说：“把4罐当作一份，8元就是这份的单价了，12罐里有
3份，总价就是24元。”说到这里，下面的老师掌声响起，自发为这个孩子精彩的回答喝彩。原来单价是可以变的，一罐的价钱是单价，把4罐看成一份，它们的总价就变成了一份的单价了！学生的精彩回答源于孙老师的精巧的设计和课堂恰当地引导，原来单价与所选的单位有关，数量关系由
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静态变成了动态，这是对数量关系更深刻的理解。
昆明市小学数学学科带头人，盘龙区东华小学副校长。荣获中国教育学会小学数学专业委员会举办的第十二届小学数学教学改革观摩交流展示培训活动一等奖、第十六届年会论文一等奖、全国小学数学（人教版）示范课观摩交流会一等奖。先后应邀到北京、广东、广西、浙江、重庆、安徽、河南、贵州、四川等地上示范课和教师培训。
课例:《用字母表示数》
教学内容
人教版课标教材小学数学五年级上册第四单元第52—54页及相关练习。
设计意图
用字母表示数是学习代数初步知识的起步。教材共编排了三道例题，不仅层层递进，而且各有重点，处理得相当细腻。若把三道例题尽可能完整地在这节课中和学生共同体验，更能让学生纵观知识脉络，感受用字母表示数的优越性，体会其便于表达、研究更普遍意义的数量关系。但考虑到含字母式子中，省略乘号的书写方法、“平方”的书写方法以及数与字母相乘的书写习惯内容较多，需在学生的学习体验中逐步规范和巩固。因此，在本节课的设计中暂时没有涉及这部分内容，在今后的学习中逐步学习和练习。
教学目标
1. 使学生初步认识用字母表示数的意义和作用，感受用字母表示数的优越性。
2. 在理解数量关系的基础上，会用含有字母的式子表示数量。会根据字母的取值，求含有字母式子的值。
3. 培养学生的抽象思维能力、归纳概括能力，发展学生的数感与符号化思想。
教学重点
使学生初步认识用字母表示数的意义和作用，感受用字母表示数的优越性。
教学难点
在理解数量关系的基础上，会用含有字母的式子表示数量。
教学过程
一、知识迁移，初步感受用字母表示数的优越性
迁移小学《语文》、《信息技术》、《音乐》中已经用到符号或字母的情形，学生初步感受用字母表示数的优越性。
二、用字母表示数
1．符号或字母可以表示具体数。
2．字母可以表示任意数。
3．字母可以表示变化的数。
三、含有字母的式子可以表示运算和运算定律
1．用含有字母的式子表示运算和运算结果。
2．用含有字母的式子表示运算定律。
四、含有字母的式子可以表示数量和数量关系
1．用含有字母的式子表示数量。
2．根据字母的取值，求含有字母式子的值。
五、巩固提高
1．含有字母的式子分别表示什么？
2．用含有字母的式子表示图中的数量。
六、小结和拓展
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1.跨界引入，激发兴趣。老师由语文中的叠词、音乐中重复的节拍引出字母表示的优点，激发学生学习字母表示数的欲望。
2.在“旅游”中学习，体现数学的价值。老师呈现了昆明的旖旎风光和诱人的美食，然后挖掘出里面的数学素材，让孩子们在“玩”中学，“吃”中学，趣味横生。
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3.老师充满磁性的声音富有感染力。老师的语言精练，声音特别棒，课前的朗读达到播音员级别。
由于这节课安排的学习内容过多，时间显得不够，老师匆忙赶教案，孩子们动手做一做的机会少，而用一问一答来简单代替了。
四川大学附属实验小学（集团）副校长，四川省特级教师、中学高级教师、教育部网络教研特聘专家、全国百佳创新型名师。
课例：《长方体的认识》
【目标预设】
1.在具体的操作和思维活动中，发现认识长方体和正方体的特点。
2.在认识长方体、正方体过程中，经历从“实物—虚物—无物”抽象过程，发展学生空间观念。
3.在学习过程中感受长方体所承载的民族文化，让学生喜欢、热爱数学。
【课前慎思】
方方正正、有棱有角的长方体
“同学们，在我们生活当中，长方体的物体真多！”
这是我2010年上《长方体的认识》结课时对学生说的话。
“老师，为什么我们要把那么多的物体做成长方体的？”
这是课上完后，一个学生认真地问我的问题。
是啊，为什么那么多呢？为什么中国比外国多呢？为什么中国古代比现代多呢？为什么我们没想过孩子们心里会这么想呢？
这是2016年我再次备这一课时对自己提的问题。
一、长方体正方体的特征是很重要的。
形体的特征是表面积、体积学习必须夯实的基础：如果不理解长方体的6个面都是长方形，且相对的面完全相同，就不可能形成长方体表面积的计算方法；如果不建立长方体的长、宽、高的概念，体积公式就是无本之木、无源之水。
二、长方体正方体特征的教学是值得思考的。
1.各种课标版教材对这一内容的安排处理的比较与思考。
北师大版：
人教版：
苏教版：
西师版：
在这四个版本的教材中，相同的地方都是从生活实物中感知抽象出几何形体，以实践操作的方式进行研究，以表格记录其诸多特点。所以，我们有了第一条认识：长方体正方体的特征较多，这些特征很重要！在这一节课的教学中需要特别重视。
但是，几个版本教材中也是有不同的，有的教材是先研究长方体再研究正方体，因为长方体在生活中更多一些，从普通到一般；也有的先研究正方体再研究长方体，因为正方体的特征更简单一些，从特殊到一般。有的对面、棱、顶点，长、宽、高作出了明确的定义，而有的只字未提。如此大的反差其实说明一个问题，对于长方体基本特征的发现认识并不难，难在我们该让一个什么样的长方体进入孩子们的心中？
2.我们该为学生想点什么？
其实，学生在第一学段已直观地认识了长方体和正方体，能够辨识长方体和正方体，对形体的特征已有了一些了解，如果仅是停留在对其数学特征的学习，真是不够！我在对学过且已对这些特征熟记于心的六年级学生的调查中发现，多数学生对长方体正方体并不感兴趣，对当时学习情景的记忆并不深刻！同时，在我们多数成年人的记忆中，立体几何更多的是代表复杂、冰冷！那么，作为学生真正对形体特征学习研究的第一课，我们应为学生多思考点什么呢？我们怎么做才能让长方体正方体真正进入学生头脑中呢？
孩子们的提问其实就是这么一个问题。或许，答案可以是因为长方体很简朴、长方体很坚固、长方体代表着公正，棱角分明……而事实上，具体是哪个答案可能不太重要，重要的是我们这么想过……我们应努力挖掘长方体所承载的民族文化，让长方体活起来。
【教学过程】
一、生活导入，用生活实物引入数学
看图片，感受长方体，引起思考，唤起学生学习的根本动因。
二、实物感知，形成表象
1．形象感知面、棱、顶点
2．深入理解面、棱、顶点
3．直观图上找认面、棱、顶点
三、猜想验证，探究新知
1．提出要求，明确方向
2．小组合作，展开研究
3．汇报交流，自我完善
4、小结整理，拓展延伸
四、回归生活，用数学特征认识生活实物
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1. 沈勇老师这节课留给大家印象最深刻的是切土豆。通过老师现场切土豆，长方体的面、棱、顶点逐一呈现，抽象的数学元素有了具体的表象，为探究长方体特征打下良好的基础。如果让学生分组现场来切土豆，孩子们的认识会更加丰富。
2.沈老师在课堂上提出了很多有价值的问题，有几个问题起着课眼的作用。
一是探索特征前的问题“长方体是怎样形成的？”学生回答可以切出来、折出来、糊起来。引导学生借助生活中不同的长方体物品，从不同的角度思考。
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二是分组探索特征时的提问：“关于长方体的特征，你有什么发现？验证你的发现。”在探索中，引导学生思考并动手操作验证。
三是探索后的提问：“长方体是怎样形成的？”这不是第一次问题的简单重复。而是引导
学生从抽象的角度思考如何通过面的运动得到长方体，发展学生空间思维力和想象力。
学为中心
1
王 娜 课例：《图形的运动(三)》+说课
2
仲广群 课例：《折线统计图整理与复习》+说课
3
查人韵 课例：《古老的预言》+说课
曾被长沙市教育学会小学数学专业委员会评为市级“优秀数学教师”。2015年参加小学数学课堂教学竞赛，从区赛、市赛、到省赛均获得了一等奖第一名的好成绩，代表湖南省参加第十二届小学数学教学改革交流展示培训活动获一等奖。在各级部门举办的多次送教送研活动中均获好评。

图形的运动
人教版五年级下册
A B C D
A B C D
A
线段AB，绕A点，旋转90度
B
线段AB是如何旋转的？
A'
A B
B'
A B
图1
图2
A'
A B
B'
A B
图1
图2
A
C
B
绕不同的点旋转。
三角形ABC ，绕A点，顺时针旋转90度。
A
B
C
B
'
C'
三角形ABC ，
绕A点，
顺时针旋转90度。
A
B
C
B
'
C'
小三角形的面积是大三角形面积的几分之几？
小三角形的面积是大三角形面积的几分之几？
问题一：
怎样才能准确找到旋转中心呢？
问题二：
这条线段可以转到任意位置吗？
问题三：······
问题四：······
······
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1. 这节课学生经历了丰富动手旋转的过程。通过线的旋转，认识旋转的三要素：旋转中心、方向和角度，缺一不可。
2.面的旋转老师采用了不同的教学策略，先用尺子试一试，再画一画。在展示学生作品时，有意挑选出错误的作品，让学生加深对旋转的认识。
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3. 利用旋转知识，设计图案。这个环节，课堂非常安静，但是学生在动脑想、动手画。这是深度学习的另一种状态。
4.最后一道线的旋转问题，难度大，超出教材的要求。学生给出的答案，虽然不是老师想要的答案，但是也有其合理的成分，应给与鼓励并激发更多的想象。
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5. 王老师制作的课件精美，技术含量高，起到了好的教学效果。改变旋转中心来旋转线段采用了插入Flash技术，由于前两个Flash影片没有嵌入到ppt，所以拷给大家课件不能演示，只留下信封图标。
小学数学“助学法”的创建人。硕士研究生，高级教师，江苏省特级教师，南京市瑞金北村小学校长。曾主持过多项省级重点课题研究，获江苏省首届基础教育教学成果评比一等奖。发表学术论文100多篇，并获全国小学数学论文竞赛一等奖。参编教育教学类著作20多部，主编教研专著《讲述：在思考中成长》,出版个人学术专著《数学生态课堂的意蕴》、《教学新密码——小学数学“助学课堂”范式》。现主持的江苏省教育科学“十二五”规划重点课题“小学数学助学课堂研究”，是南京市“金陵新课堂”的重点推广项目，在国内拥有100多所实验学校，数千名名实验教师，并受邀去美国在第七届国际数学教学研究会上做专题报告。
课例：《折线统计图整理与复习》+说课
教学内容：
六年级关于折线统计图部分的复习与整理
教学目标：
通过复习，梳理单式、复式折线统计图的相关知识，并能在原有认知的基础上，达到更加全面。
培养学生的知识梳理能力、数学交流能力，以及合作力、想象力和反省力。
教学重点：
拓宽学生对折线统计图的认知，培养学生的想象力。
教学过程预设：
一、我会整理：
关于“折线统计图”我们知道些什么？能用自己喜爱的方式整理出来么？
①引导学生回顾与整理以前学过的折线统计图方面的知识，并加以梳理概括。
②相机补充相关的知识。
二、我会选择：
找一道关于“折线统计图”的好题，并分析这道题好在哪里？准备明天与同伴交流。
①引导学生学会审题，并像小老师那样介绍自己所找到的好题。
②在学生原有认知的基础上，有所拓展。
③教师相机补充相关的题型，再次提升。
三、我会提醒：
关于“折线统计图”，你有什么要提醒大家注意的？
引导学生学会反思、总结。
江苏省南京市瑞金北村小学 仲广群
整理与复习折线统计图
自己的观点表达清楚后，可以发出这样的邀请：
大家同意我的看法么？
这是我们组的意见，大家有什么要补充的么？
我的看法说完了，希望大家继续与我交流。
与同伴交流时这样说：
我同意你的看法，但我还想补充一下。
我想向你提个问题，你能帮我解答吗？
我不同意你的看法，我是这么想的……
刚才大家形成了好多意见，我想来做个总结。
快乐助学单研究之一：
我会整理：
关于“折线统计图”我们知道些什么？能用自己喜爱的方式整理出来么？
组内合作友情提醒：
1.组员分别介绍自己的观点。
2.对他人的观点进行优化、补充。
3.尝试在讨论结束后做个总结。
南京市最近几天最高气温统计表
日期 4.7 4.8 4.9 4.10 4.11 4.12 4.13 4.14
最高气温 8℃ 14℃ 15℃ 19℃ 20℃ 21℃ 12℃ 19℃
日期 4.7 4.8 4.9 4.10 4.11 4.12 4.13 4.14
最高气温 8℃ 14℃ 15℃ 19℃ 20℃ 21℃ 12℃ 19℃
.
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21
8
14
15
19
20
12
19
2016 5
快乐助学单研究之二：
我会选择：
找一道关于“折线统计图”的好题，并分析这道题好在哪里？准备明天与同伴交流。
1.组员分别介绍自己的好题，说说好在哪儿。
2.推选组内最好的一题，准备到全班介绍。
3.共同商量，如何在全班像老师那样推荐你的好题？
全班交流友情提醒：
小明连续6次数学练习得分情况统计表
次数 1 2 3 4 5 6
得分/分 91 92 93 88 90 95
年 月
2016 5
0
1
2
3
4
5
6
次数
第23-30届奥运会中国金牌数统计图
大竞猜（一）
一位病人的体温变化情况统计图
大竞猜（二）
大竞猜（三）
大竞猜（四）
游戏：看图说“话”
路程：米
时间
由这幅复式折线统计图，你联想到什么童话故事？
快乐助学单研究之三：
我会提醒：
关于“折线统计图”，你有什么要提醒大家注意的？
观点分享
1. 快乐助学单是“先学后教”、“预学后教”、“助学课堂”等教学模式很好的一种工具。能起到通过任务驱动、引导学生有效预学的作用。
2.课前仲老师和学生交流课堂生生互动的方式很有必要。“自己的观点表达清楚后，可以发出这样的邀请”，“与同伴交流时这样说”，这是在教一种结构，有利于课堂生生互动模式的形成。
课堂教研亮点和收获心得分享
观点分享
3. 课堂设计开放，特别是“大竞猜”环节，在应用中培养学生发散思维能力和想象力。
4.复习课最难上的是很难找到新的知识生长点。仲老师这节课最成功的地方，正在于此。学生能在“温故”中“知新”。例如折线统计图的特点，“形象直观（有时蒙人）”，“方便对比（复式）”，“变化趋势（有时）”。
教育硕士，江苏省太仓市实验小学副校长。曾获江苏省优秀青年教师，苏州市优秀教育工作者，苏州市学科带头人，苏州市双十佳青年教师，全国NOC创新大赛教学实践评优一等奖获得者。目前致力于“教在儿童学的起点上”的课题研究，在省内外作教学观摩课三十多节。
课例：《古老的预言》
【教学内容】校本课程，涉及知识点：负数、幻方等。
【教学目标】
1.用魔术的不可思议激发探究欲望，培养良好的数学学习情感。
2.启发学生自主提问，鼓励学生自主解决问题，学生能判断事物出现的随机性与确定性，能用不同方法解决三阶幻方问题，结合负数知识突破难点。
3.创编魔术，让学生融合学到的知识，创造性解决问题，激发学生进一步研究的热情，培养举一反三能力。
【教学过程】
一、魔术展示，自主提问
1.魔术表演
教师表演预言魔术，激发学生兴趣。
2.学生提问
引导学生从魔术表演的几个关键步骤，提出疑问？猜想老师是怎么做到的？
二、回顾魔术，破解难点
1. 讨论切牌、取牌、选牌三个环节的随机性与确定性。发现取牌其实是确定的。
2. 关键问题讨论：怎么摆使每行、每列、每一对角线上的数之和都是15。
（1）用算一算、摆一摆、填一填等方法自主解决难点。
（2）交流思路
3. 小练习：用-4、-3、-2、-1、0、1、2、3、4九个数摆出方阵，使每行、每列、对角线之和都相等。
4. 比较用0~9和用-4~4摆方阵的联系。
三、拓展魔术，文化介绍
小视频介绍幻方历史文化，了解不同的解决幻方的方法，拓展学生思维的广度。
四、创编魔术，延伸课后
如果你是这个魔术的创作者，你还可以怎样设计这个幻方？
相传2300多年前洛水河中浮出一只神龟,
龟背上有一张象征吉祥的图案，
人称「洛书」。
4
3
8
9
5
1
2
7
6
他们发现,
这些图案每一列,每一行及对角线,
加起来的数字和都是一样的,
这就是我们现在所称的 。
在西方被称为：
古往今来，
对幻方的研究不仅仅局限在
数学家或科学领域
德国画家阿尔布莱希特.杜勒 的著作《梅伦可利亚》(Melencolia)（意为“忧郁”），
当时的占星家认为四阶魔方阵可以驱除忧郁，所以他就将这个魔方阵放入作品之中。
16 3 2 13
5 10 11 8
9 6 7 12
4 15 14 1
岫玉雕刻 “奥运幻方”
在北京奥运会开幕的日子，一件精美的玉雕“2008奥运幻方图” 问世。
中间的四阶幻方图横行、竖行、斜行的数字之和均为2008。
南宋数学家杨辉，在他著的《续古摘奇算法》里介绍了这种方法：
③把中部四数各向外面挺出，幻方就出现了。
①将九个自然数按照从小到大的递增次序斜排;
②把上、下两数对调，左、右两数也对调;
①
②
③
④
⑤
⑦
⑧
⑨
⑥
《射雕英雄传》黄蓉口诀
　
九宫之义，
法以灵龟，
二四为肩，
六八为足，
左三右七，
戴九履一，
五居中央。
口诀填写法
一居上行正中央，
1
依次斜填切莫忘，
上出格时往下填，
2
右出格时左边放，
3
排重便在下格填，
4
5
6
角上出格一个样。
7
8
9
-1
-2
3
4
0
-4
-3
2
1
试一试：
请将数-4、-3、-2、-1、0、1、2、3、4分别填入3×3的方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等。
-1
-2
3
4
0
-4
-3
2
1
4
3
8
9
5
1
2
7
6
-1
-2
3
4
0
-4
-3
2
1
1977年，美国发射了旅行者1号和2号宇宙飞船，试图与“外星人”建立联系。如何使地外智慧生命理解地球人的意思，这是个很困难的事情，世界各国的人们纷纷献计献策，美国宇航局采纳了其中一些。最后飞船上携带有两件与数学有关的东西，一个是勾股数，另一个是一个4阶幻方，这个幻方，是耆那幻方(Jaina Square) 。
活动一：
请将数字1-9分别填入3×3的方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等。
2
7
6
9
5
1
4
3
8
在旋转中看
4
2
9
7
6
1
3
8
5
②
2
6
7
1
8
3
9
4
5
③
6
8
1
3
4
9
7
2
5
④
8
4
3
9
2
7
1
6
5
8
7
1
6
①
2
9
4
7
5
3
6
1
8
8
6
1
7
2
9
3
4
5
①
2
4
9
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④
在旋转中看
活动一：
请将数字1-9分别填入3×3的方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等。
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课堂教研亮点和收获心得分享
观点分享
1. 查老师这节课是她设计的校本课程，非常有特色，扑克魔术中嵌套着幻方知识，结构新颖，十分有趣。
2.渗透了我国古代和外国关于幻方的数学文化。例如洛书、杨辉等等，拓展了学生视野，激发学生对数学的热爱。
课堂教研亮点和收获心得分享
观点分享
3. 眼界决定高度。查老师的教学视野没有局限于课本，而是广泛涉猎，积极挖掘教学素材，寻找生活中、古文化中有价值的教学载体。
4.课堂上呈现了幻方的多个解决方法，都以口诀形式出现。口诀只是一种结果，但是教学更重要的是过程，如何更大发挥幻方在启迪智慧方面的教育价值？学生课堂上自主发现幻方答案是一种可以尝试的选择。
5月21日上午
数学好玩
1
朱德江 课例：《尝试与猜想》+说课
2
官 兴 课例：《编码》+说课
3
高 众 课例：《密铺》+说课
深圳市教育科学研究院小学数学教研员，全国知名点评专家，深圳市名教师，深圳市名师工作室主持人，擅长微格点评教学案例。
5月21日上午主持嘉宾
你的课堂你做主！
经典点评语录
教无定法，贵在得法。
教师要会“装傻”“，会”“示弱”。
备课要设计好几道大问题。
第三天了，到会听课的老师依然那么多。为他们点赞！
暴雨如注，浇不灭老师们学习的热情。留下都是真爱！
著名特级教师，全国首批中小学正高级教师，浙江省嘉兴市小数会副会长，浙江省小学数学名师工作站导师，“朱德江名师工作室”主持人，国家义务教育课程标准新世纪小学数学（北师大版）实验教科书编写组成员、分册主编，现担任浙江省嘉兴市南湖区教研室副主任。朱德江老师追寻“蕴育儿童智慧生长的数学教育”，课堂教学“简约而充满灵性”，构建并推广“学导课堂的多元实践”，努力实现“学”与“导”的合理契合，推进“学为中心”课堂转型，有效实现学生的“深度学习”。《小学数学教师》《小学教学》、《新世纪小学数学》、《江西教育》等杂志先后刊出“名师教学特色”专栏。
先后主持“小学生数学素养的构成要素与培养策略”、“中小学生学习力培养路径与策略”等多项省级研究课题，先后出版专著《小学生数学素养培养策略与案例》、《“学为中心”课堂转型实践指南》等，研究成果获得浙江省人民政府基础教育优秀教学成果奖一等奖。200多篇论文在《中国教育报》、《人民教育》、《上海教育科研》、《小学教学》、《小学数学教师》、《新世纪小学数学》等省级以上刊物发表，其中12篇论文被中国人大复印资料全文转载。参与编写小学数学教材和教参18册。
课例：《尝试与猜测》
学习内容：北师大版小学数学教材第九册“尝试与猜测——鸡兔同笼”
课前慎思：
1、“鸡兔同笼”问题是我国古代数学名题，“鸡兔同笼”集题型的趣味性、解题策略的多样性、应用的广泛性于一体。需要思考的是，小学阶段如何定位“鸡兔同笼” 问题的教学价值？
2、以“鸡兔同笼”问题为载体学习解决问题的方法是大家的共识，但“鸡兔同笼”问题有“尝试”解决问题、假设法、列方程解决问题等多种解决问题的方法，主要“学哪一种方法”却“众说纷纭，各有选择”。如何基于四年级学生的学习特征选择适合的方法？如何引领学生学会用适合的方法“想问题”？
3、教材以“鸡兔同笼”问题为载体，主要组织学生学习“尝试”解决问题的方法，并用列表的形式引导学生记录“尝试”的过程，“尝试”方法的关键点有哪些？如何帮助学生找到思考问题的切入点？如何帮助引导学生学会有计划、有顺序地列举和尝试，学会思考、分析和调整？
学习目标：
1、充分经历“尝试—分析—调整”的解决问题过程，学会用列表的方式记录“尝试”的过程与结果，体会列表在解决问题中的作用。
2、能用“尝试”的方法解决“鸡兔同笼”问题以及同类问题，发展推理能力。
3、了解与“鸡兔同笼”问题有关的数学史，感受数学问题的趣味性。
学程预设：
一、谈话导入，呈现问题。
谈话导入，我国古代的《孙子算经》有一个有趣的数学问题：“鸡兔同笼”问题。
二、探索尝试，初步体会用“尝试”的方法解决问题。
1、探索尝试，引导学生用“尝试”解决问题，并用借助表格进行记录。
课件出示：鸡兔同笼，上有9个头，下有26条腿。鸡、兔各有几只
鸡/只 兔/只 腿/条
2、反馈交流。
引导学生分析比较不同的思考方法，初步体会“尝试”解决问题的基本思路。
3、呈现《孙子算经》中的原题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？
引导学生先读懂题意，在此基础上运用“尝试”的方法解决问题，重点体会“分析调整”的思考过程。
4、小结。
三、方法迁移，拓展延伸
1、运用“尝试”的方法解决新问题。
5元和2元的纸币共20张，共55元。5元和2元的纸币分别有几张？
2、拓展延伸。
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心得分享：
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“鸡兔同笼”这课怎样上，如何发挥它的教育价值？大家有不同的选择。北师大版教材安排在五年级上册的“数学好玩”单元里，教材编写者如何来上他们自己编的教材呢？名思教研这次请来了北师大教材的主编之一朱德江特级教师，他为大家奉献了非常有价值的一节数学方法课。
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心得分享：
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在假设法、列表法、画图法和方程法中，朱老师选择了列表法，着眼于数学方法的学习，即列举尝试，再分析调整，最后找到问题的答案，并从中习得一种解决问题的方法，而且是一种人人都能学会的通法。
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01
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心得分享：
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在教学中，朱老师让学生经历自主列表的过程，然后展示学生的作品。通过生生互动，在比较中感悟不同列表的优点，让学生发现列举可以从头开始，也可以从中间开始；可以一个一个列举，也可以跳跃着列举。
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02
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心得分享：
观点分享
找准学生学习的困难所在，教师适时引导，让学生自己发现规律，找到调整的方法。这个环节，老师放慢节奏，学生互相解读对方的表格，慢慢感悟，思维的小窗悄然打开。
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03
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心得分享：
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05
适当拓展，建立一般的数学模型。解决两个鸡兔同笼问题后，朱老师抛出一个问题：“这种方法还可以解决哪些问题？”接着呈现猎人与狗、两种纸币问题，让学生分析它们之间的联系，在这些问题之上建立一般的模型。
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04
小学数学教师，任教于深圳市螺岭外国语实验学校，深圳市教坛新秀，曾在广东省第九届小学数学优质课观摩评比活动中获得“广东省一等奖”，深圳市优秀班主任，深圳市优秀中队辅导员，任教三年初中和三年小学，曾多次在各地展示优秀课例。
课例：《编码》
【教学内容】《编码》（北师大版四年级上册91—92页）
【教学目标】
1．结合具体的问题情境，了解编码的广泛应用，进一步体会“数”在日常生活中的作用，感受数学的文化价值。
2．通过观察、比较、实践来探索数字在编码中所表示的具体含义，体验编码中的一些规则和方法，会运用其规则进行编码。
【教学过程】
一、故事情境导入，引出课题
教师讲述自己的故事经历，通过路灯杆上的数字编码解决了生活中的实际问题。
从而引出本节课的课题——编码。
二、观察身份证号码，自主探索相关信息
1．出示身份证号码，学生通过标一标、画一画、写一写等活动自主探索身份证号码上的相关信息，在独立完成探索的基础上进行小组讨论交流。
学生小组汇报：
身份证号码上的相关信息，六位数字地址码、八位数字出生日期码、顺序码、校验码。
2．通过微课展示身份证上的其他相关信息。
三、联系生活中的编码，总结编码的特点
通过路灯杆上的数字编码、身份证号码、邮政编码、手机号码等生活中的编码，学生总结编码应该具备的特点：唯一、简洁。
四、结合编码的特点，编写学号
学生在全校范围内给自己编一个学号，并且说明编码信息的含义。
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心得分享：
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官兴老师的课从一宗交通事故引入，报警时如何说出自己的位置？课始就紧紧抓住学生。这则来自生活中的真实故事拉近数学与生活之间的距离，同时激发学生的探究欲望。
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心得分享：
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官老师注重学生学习方法的指导，例如提醒孩子在写有身份证上的作业纸上，标一标、画一画、写一写，然后再说一说、议一议，让孩子完全参与到学习中去。
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心得分享：
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创造机会，让孩子思维碰撞出火花。课堂最精彩处，是给学生编学号。学生交流完，老师抛出问题：“有不同的想法吗？”而不是问：“编码可以优化吗？”老师先不给出意见，而是让孩子自由表达真实的想法。学生在辩论中各抒己见，妙语连珠，下面听课的老师一阵阵掌声。
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心得分享：
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“麻辣点评师”李一鸣老师在点评时说出了这节课唯一的不足，就是课堂太顺畅了。顺畅的原因是孩子们已在上学期已经学过这个内容。组委会在安排上课班级时固然有难度，但是要尽量避免这种情况发生。观课老师期待的是最真实的课堂，用字母表示数也是学生早已学过的内容。但愿以后的活动不再出现类似情况。
课堂教研亮点和收获心得分享
从事小学数学教学25年，现任教于深圳市南山区前海学校。
省级小学数学骨干教师，市级数学学科带头人。2007年6月在全国小学数学教学研讨会上执教《长方体的认识》一课获得一等奖；2012年执教的《可能性》一课，获得深圳市小学数学课堂教学比赛一等奖。
曾多次参加省、市级课堂教学比赛、基本功比赛，均取得成绩优异。
课例：《密铺》
教学目标：
1.经历探索平面图形密铺的活动，知道什么是平面图形的密铺，初步了解图形能够密铺的道理。
2.能进行简单的密铺设计，积累相关的活动经验，培养初步空间观念，提高解决问题的能力。
3.结合密铺活动感受数学在生活中的应用，发展学生对数学学习的兴趣。
教学重点：经历平面图形密铺的活动，知道什么是平面图形的密铺。
教学难点：发现图形能够密铺的道理。
教具学具：三角形、四边形、正五边形等平面图形卡片，课件。
教学过程 :
一、什么是密铺？
1.观察小丑图，初步感受密铺的含义。
课件出示小丑图，引导学生观察图片，感知小丑图片能够没有空隙，
又不重叠的拼接成一片的特点。
2.观察生活中的图片
出示生活中含有密铺的图片，进一步体会密铺的含义。
3.总结密铺的含义。
像上面那样，图形之间没有空隙也不重叠是密铺。
4.总结密铺的含义。
像上面那样，图形之间没有空隙也不重叠地铺成一片，就是密铺。
二、鼓励质疑，提出问题
师：关于密铺，你还能提出哪些问题？
根据学生的回答，聚焦问题：“哪些图形可以密铺？”
三、小组合作，探究密铺
解决问题：哪些图形可以密铺？
课件出示以下基本图形：
1、动手实践
学生以4人小组为单位，利用老师给出的基本图形，每组只选择一种图形尝试密铺。
2、交流汇报
各小组把作品展示在黑板上，并进行交流。
能密铺的图形：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形
平行四边形、梯形、一般四边形、房子五边形
不能密铺的图形：正五边形
小结：任意三角形、四边形都可以密铺；正五边形不能密铺。四、深入研究，揭示原理
师：“为什么有的图形可以密铺，有的又不可以？图形可以密铺的原因是什么？”
1、小组讨论，初次探讨
学生结合老师课件上出示的三组图形，通过观察、讨论之后交流。
预设
生1：密铺和边有关，相同长度的边拼在一起就能密铺。
生2：密铺和角有关……
结合正五边形的情况，让学生通过争论、辨析等方式，明确：密铺主要和图形的角有关。
2、巧借学具，验证猜测
师：到底和角有什么关系呢？请大家观察标有数字角的密铺图，看看你发现了什么？(为什么三角形、四边形在拼接点处各个角拼出的总和是360°？)
小组再次实验，借助标好角后的作业纸将发现：能密铺的图形，拼接点处的几个角都能形成360度。
五、拓展延伸，提出疑问
1、给正五边形找搭档。
正五边形不可以密铺，哪种图形能和正五边形共同完成密铺呢？
2、提出疑问。
师：是不是所有的小丑图都能密铺呢？有关密铺值得我们思考的问题还有很多，希望有兴趣的同学能进一步的进行研究。
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一上课，孩子们就爆发出阵阵笑声，原来高众老师在展示小丑图的动态生成过程。高老师的精心准备赢来孩子们天真的笑，这样生动活泼的内容孩子能不喜欢吗？老师找到了数学内容和学生兴趣的交汇点。孩子们在笑声中感悟到了密铺的特征：无缝、不重复。为下面的研究做好铺垫。
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最好的学习是动手做，高老师给了两次机会，让孩子们动手操作。第一次是铺一铺，看哪些图形可以密铺，验证自己的猜想。第二次是探索密铺的原因。两次操作的目的不同，思维含量也不同。老师让孩子们在动手操作中发现，寻找规律，并表达交流，经历数学化的过程。
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密铺的原因探究是教学中的难点，特别是正五边形不能密铺，需要较复杂的计算，其内角度数问题，对孩子来说是未知数。到底要学到什么程度，是操作后发现不能密铺就可以，还是让学生通过计算来推理，值得商榷。从孩子们最后的接受情况和课堂超时来看，还是把探索正五边形不能密铺放到课后，让有兴趣的孩子自由完成较好。
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麻辣点评师——深圳市小学数学教研员李一鸣老师现场点评
追求联系
1
张齐华 课例：《圆的认识》
报告：《数学课堂的“新常态”》
2
华应龙 课例：《阅兵中的数学故事》
报告：《心中有数，无限美好》
当代教育家研究院副院长，《当代教育家》副主编，《小学数学教师》特约副主编，“全课程”教育实验研究中心数学课程专家。工作以来，倡导研究型的公开课，倡导直面“真问题”的写作，力推“辩课进校园”活动，提出“细节思考力”概念，力推“细节重建、同课同构”的教学改进方式。在小学数学教学研究、教研论文写作指导、数学课程建设及教师研训等领域，有一定的研究。
5月21日下午主持嘉宾
年轻帅气的点评师
陈洪杰主编年轻帅气，口才非常了得，观点新颖超前。倡导辩课进校园，提出课时有毒、跨界整合等教学主张。
1997年参加工作，2004年调入南京市北京东路小学工作，现任副校长，特级教师。《江苏教育》、《小学教学》等刊物的封面人物，并在《小学教学》开设专栏。一直致力于数学课堂文化的探索与实践，曾代表江苏省参加全国小学数学专业委员会第七届教学观摩大赛荣获一等奖，《人民教育》、《小学教学》先后对其在数学文化领域的探索给予专题报道，2007年《中国教育报》专题报道了其数学课堂系列教学艺术。参与数学课程标准苏教版小学数学教材的编写，100多篇教育教学论文在省级以上刊物发表，《张齐华与小学数学文化》由北京师范大学出版社正式出版。
课例：《圆的认识》
学习目标：
1、认识圆的各部分名称及其特征，感受圆与其他平面图形的异同。
2、结合圆的认识，初步感受如何从定性和定量两个角度描述、刻画一个图形。
3、感受数学与生活的关联，通过各种渠道发展学生的空间观念，提升学生的数学思维品质。
学习过程：
一、回顾，建立研究方向
回顾：我们已经认识过哪些平面图形？
思考：要确定一个长方形大小，至少需要几个数据？
追问：要确定一个正方形的大小呢？
小结：图形不同，特征就不同，刻画它们大小所需要的数据个数也不同。
二、研究，建构图形认知
感受：用圆规画大小不同的圆，感受并思考，圆的大小由什么决定？为什么？
交流：学生组内交流想法，逐步达成共识。
分享：全班分享认识；教师通过追问，逐步引导学生建立起对半径、直径、圆心以及相互关系的认识，感受圆的大小由半径这一个数据即可确定。
小结：由“圆，一中同长”，进一步感受圆的特征。
三、联想，发展空间观念
联想：这幅学生的画圆作品，让你想到了生活中的什么物品？
思考：车轮为何是圆形的？车轴又为何装在圆心上？
想象：下面的两个圆，可能是什么？你是如何判断的？
“圆，一中同长也。”
——墨子
① 半径=15cm
②直径=135m
数学课堂的“新常态”
张齐华
一、目标：知识技能——核心素养
“10大核心词”
数感、符号意识、空间观念、几何直观
数据分析观念、运算能力、推理能力
模型思想、应用意识、创新意识
“3大核心思想”
：抽象 推理 模型
一、目标：知识技能——核心素养
案例1：《用数对确定位置》
我的儿子在（4，2）
（2,1）
一、目标：知识技能——核心素养
案例2：《圆的认识》
【判断】下面哪些线段是半径，哪些是直径？
一、目标：知识技能——核心素养
案例2：《圆的认识》
【猜想】r=15厘米
d=135米
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01
从精美的课件到3页ppt。张齐华老师全国赛课“认识分数”中精美的课件给我留下深刻的印象。而今天“圆的认识”一课只有3页ppt，简单至极。这正是他课堂转型的一个重要方向：精心预设，更尊重动态生成。用来探究圆特征的素材从哪里来？学生课堂现场画！一个大胆的设计，一种积极的理念。
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02
从师生互动到生生对话。张齐华老师具备演讲家的口才，但是今天这节课，他讲得少，只有几个关键的提问。整堂课，学生与学生的对话才是主旋律。这又是他课堂转型的另一个重要方向：积极引导，更尊重生生对话。“怎样说明圆有无数条半径？”“它们为什么一样长？”老师提问后，课堂交给学生，让学生在对话中感悟，在感悟中发展，在发展中提升。
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03
从完整的题目到藏头露尾。在应用环节，他的题目让人耳目一新。要么只有两幅图，让孩子们说想到了什么；要么只有半径或直径信息，让孩子们猜那是什么。这便是他课堂转型的又一个重要方向：重视知识，更重视综合能力。这些藏头露尾的题目在解决的过程中，既巩固了所学知识，又发展了孩子们的空间想象力、发散思维能力、合情推理能力。
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在课前互动时，学生透露了一个信息：他们是从两个班级挑选出来的。其实前面的课也有这种情况。那么没有选来上课的孩子心理感受是怎样的？要是完整的一个班级上这节课，还有那么多的精彩吗？有老师调侃：最好的医院看最难医的病人，最好的学校教最优秀的学生。老师们在工作中不能挑选学生，不远千里冒雨来，期待听到的是真实课、常态课。
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全国著名特级教师，“苏派名师”，首批“首都基础教育名家”。现任北京第二实验小学副校长，北京教育学院、北京师范大学、教育部小学校长培训中心兼职教授,中国教育学会小学数学教学专业委员会理事、西城区小学数学教学专业委员会理事长。
从教30多年来，致力于探索“化错教学”，荣获西城区委区政府“突出贡献人才”奖、北京市政府教学成果一等奖、首届国家级教学成果二等奖、首届全国教育改革创新奖、首届“明远教育奖”。出版专著有《我就是数学》《我这样教数学》《华应龙和化错教学》。
中央电视台、北京电视台、《人民日报》《光明日报》《北京日报》《中国教育报》《人民教育》等20多家媒体多次报道。2012年、2013年，北京教科院基教研中心和西城区教委、人民教育家研究院和江苏省教研室分别举办了“华应龙教学思想研讨会”。
课例：《阅兵中的数学故事》
【课前慎思】
接到阅兵观礼的通知，我喜不自禁，“漫卷诗书喜欲狂”。能够现场见证这一伟大的时刻，我无比自豪。
我自豪，我的祖国隆重纪念我国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利70周年！没有先辈的抛头颅洒热血，没有国家的振兴安定和谐，我国不可能有这样的第一次庆祝大会。我自豪，我作为教师代表能到天安门观礼！我兴奋，建国五十周年阅兵，我在家里的电视中观看；建国六十周年阅兵，我在长安街边自家的楼顶上观看；今年，抗战胜利七十周年阅兵，我在天安门前观礼！
我该做些什么？我能做些什么？我要做些什么？
看报纸、看电视、闲聊中…..我就特别关注阅兵话题。
有了思考，就发现了一些有趣的数学问题。
9月2日晚，我们参加观礼的代表集中住进了宾馆。我兴奋，一夜没睡好，一直在兴奋的中国梦里……梦里坦克轰隆隆开来，醒来才知道是空调微风发出的声音……
9月3日清晨，我们一车参加观礼的代表大多五十岁左右，大家都说早餐吃不下，夜里没睡踏实……
我在天安门广场聆听习总书记的讲话，热血沸腾，心潮澎湃！习大大的讲话字字铿锵，令人振奋，非常提气！今天的世界仍然很不太平，这提示我们只有万众一心，凝心聚力，提升综合国力，才能赢得世界的尊重和和平。“少年智则国智，少年强则国强，少年独立则国独立，少年雄于地球，则国雄于地球。”只有我们教育工作者以高度的文化自信和文化自觉，立德树人，诲人不倦；只有我们每一个学生都饱满爱国情怀，葆有健体强心，富有创新精神；只有我们的祖国从伟大胜利走向伟大复兴，我们才能自豪地屹立于世界民族之林！“己所不欲，勿施于人”，习总书记宣布中国“永远不称霸”；“靡不有初，鲜克有终”，我们一定将“中国梦”坚持到底！
今天，我与学生分享“阅兵中的数学问题”，并不是要他们现在就能解决这些问题，而是在积累一种感觉，播下一粒种子，懂得要练好数学的“童子功”：发现问题的基本功、提出问题的基本功、分析问题的基本功、解决问题的基本功。阅兵中的数学问题，实际生活中的数学问题，并不像数学课本中的数学问题那样简单、直接，但又是以课本中的数学问题为基础的。解决问题的关键是要有思路，顺着思路，再去寻找对应的数据。
基于以上的定位，我想：这节课不能让学生觉得数学问题真可怕。
翻看人教版教材，例题中没有追及问题，过桥问题倒是有，放在五上总复习的思考题中。五年级上册“简易方程”中安排了一道相遇问题，但重点是分析数量关系，列方程解决问题。相关的练习中有这么一题：两艘轮船同时从上海到青岛，18小时后，甲落后乙57.6千米，已知甲的速度，求乙的速度。这和追及问题很像。总复习最后一题星号题是较复杂的相遇问题：长跑比赛，跑到离起点3千米处折返，已知最快和最慢的速度，求几分钟后两人相遇，距离折返点多远。
这一看，就明白了，想象的课中的问题在课本上都有原型，但都是思考题性质的。而思考题不是要所有学生都掌握的。怎么办？如果课上大部分学生都没有思路，那感受到的是什么？怎么办？如果课上总是那一两个“明星学生”说，也不是我的愿景。怎么办？
突然来了灵感：如果把课题改为“阅兵中的数学故事”，感觉就会不一样。学生都是喜欢听故事的。什么是“数学故事”，那就是有关数学问题的故事，我的叙述，可以顺其自然地给学生引领。
做出一系列“数学故事课”，这是张奠宙先生在2008年听完我的《游戏公平》后，指导我应该去做的。
阅兵中真实的数据带来的计算量较大。“每分钟112步”，带来的是除数是三位数除法，用还是不用计算器？还是用计算器好，这方面的基本功本可以适当弱化，学生有计算器在手，可以有更多的尝试，也可以节省一些时间。
【课中设计】
孩子们，看完阅兵，你是什么感受？我相信上完这节课，你再看阅兵的感觉一定不一样！
因为这一次，我非常荣幸地到天安门广场观礼，所以阅兵前、阅兵中、阅兵后，看电视，看报纸，闲聊的时候，我都特别关注。渐渐地，我发现了阅兵中有好多好玩的数学故事。请听第一个故事——
1. 破解“51”之谜
提问：看完这段文字，你有问题吗？
出示：英模部队方队（25 × 14 ＋2＋7），你又能看出什么呢？同桌交流。
2. 为了神圣的那一刻
踢正步通过检阅区，是震撼和神圣的。那一刻是多长时间呢？整个阅兵过程要求做到“分秒不误，毫厘不差”
现在要计算一个英模方队通过检阅区的时间是多少秒，你觉得需要哪些数据？
旗手脚尖到领队脚尖6 米，领队脚尖到第一排脚尖6米，后面14排都是前一排脚跟到后一排脚尖0.9米，脚长0.3米。
接着追问——
为什么是6米，而不是7米？
一位哲学家的名言：“哪里有数，哪里就有美”
3. 当坦克踩上俄军的脚跟
这次阅兵第一次有外军参加。我在俄罗斯的红场看过俄军踢正步，和我们的正步有
很大的不同。出图——
问题来了：中国士兵每步75cm，俄罗斯士兵每步80cm。假设两个方阵相距20m，
俄罗斯方队多少分钟追上中国方队？
4.全课总结
学生说收获。随机板书：数学使人精细。学而时习之。
本以为令人震撼的阅兵就是拼命苦练出来的，哪知道背后还有这么多的数学在支撑。
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去年，华应龙老师参加了抗战胜利七十周年大阅兵，于是就有了这堂60分钟的综合实践课。华老师在这堂课给我们诠释了什么是化错教育，什么是一节优秀的数学综合实践课。
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02
善于挖掘生活素材，让它们成为重要的学习载体。阅兵仪式看起来与数学没啥关系，但是经过华老师智慧之眼，三军仪仗队、英模方队、俄罗斯方队都变成含有数学味的队列，都能成为小学生研究的数学对象。
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03
善于捕捉知识间的联系，打通题目与题目的壁垒建立模型。经过老师的引导，孩子们发现原来英模方阵长度和植树问题一样，可以归纳到植树模型中去；方阵经过观礼台时间和火车过桥问题一样，可以归纳到火车过桥模型。还有，坦克追上俄罗斯方阵问题不正是追击问题吗？
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02
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04
善于利用学生的错误资源，化错为宝。错误是学生学习的起点，华老师一直践行化错教育，认为“差错即觉悟。”多了一个间隔，多了一个脚步，方阵速度140米/秒，和蔼可亲的老师鼓励孩子大胆说出自己的一个又一个错误，让美妙的错误成为走向正确的阶梯。
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03(共26张PPT)
数学课堂的“新常态”
张齐华
一、目标：知识技能——核心素养
“10大核心词”
数感、符号意识、空间观念、几何直观
数据分析观念、运算能力、推理能力
模型思想、应用意识、创新意识
“3大核心思想”
：抽象 推理 模型
一、目标：知识技能——核心素养
案例1：《用数对确定位置》
我的儿子在（4，2）
（2,1）
一、目标：知识技能——核心素养
案例2：《圆的认识》
【判断】下面哪些线段是半径，哪些是直径？
一、目标：知识技能——核心素养
案例2：《圆的认识》
【猜想】r=15厘米
d=135米
二、关键：教师基本功——教师素养
教师基本功
教师素养
数学素养
教学素养
人文素养
二、关键：教师基本功——教师素养
案例3：《认识1-5》
二、关键：教师基本功——教师素养
案例4：《三角形的稳定性》
二、关键：教师基本功——教师素养
案例5：《认识长方体》
二、关键：教师基本功——教师素养
案例6：《三角形的内角和》
（1）为何我测量的三角形，内角和是182度？
（2）有小组为了研究，测量了好几个形状、大小各不相同的三角形。你觉得有必要吗？
（3）除了测量，还有别的方法也能说明三角形的内角和是180度？
二、关键：教师基本功——教师素养
案例6：《三角形的内角和》
……
1
2
3
二、关键：教师基本功——教师素养
案例6：《三角形的内角和》
（4）三角形的内角和只能是180度吗？
二、关键：教师基本功——教师素养
案例7：《用字母表示数》
二、关键：教师基本功——教师素养
案例7：《用字母表示数》
x
x-26
x
？
x-1
三、主体：教师主导——以生为本
理解学生
支持学习
提升学力
三、主体：教师主导——以生为本
案例8：《角的度量》
（1）比较量角器和直尺，它们有什么异同？
（2）你能想办法画出一个60度的角吗？
三、主体：教师主导——以生为本
案例8：《角的度量》
三、主体：教师主导——以生为本
案例9：《用方向和距离确定位置》
三、主体：教师主导——以生为本
案例9：《用方向和距离确定位置》
三、主体：教师主导——以生为本
案例10：《认识负数》
（1）生活中，你在哪儿见到过负数？
（2）你能把“-2层”“-5℃”“-150米”“-20元”等负数的含义， 通过画简单的示意图表示出来吗？
（3）观察这些负数和示意图，你发现它们有什么共同的地方？
四、结构：精致高效——模糊粗放
目标模糊
边界模糊
结构模糊
关系模糊
四、结构：精致高效——模糊粗放
案例11：《加法运算律》
四、结构：精致高效——模糊粗放
案例11：《加法运算律》
（1）加法交换律和乘法交换律放一起，可以吗？
（2）加法和乘法交换律不学，可以吗？
（3）学生提出减法和除法有没有交换律，可以让他们展开研究吗？
（4）学生提出，多个数相加，任意交换加数的位置，和也不变吗？要不要给出回应？
四、结构：精致高效——模糊粗放
案例12：《认识负数》
（1）这个单元，我只用了一节课，可以吗？
（2）一年级，认识10以内的数，学生初识负数。
（3）二年级，学生学习100以内减法，再识负数。
（4）五年级，学生认识“用数对确定位置”又接触负数。
（5）现实生活中，学生经常遇到负数……
四、结构：精致高效——模糊粗放
案例13：《解决问题的策略》
（1）一年级，渗透画图的策略
（2）一年级，渗透列举的策略
（3）一年级，渗透假设的策略
（4）一年级，渗透倒推的策略
（5）一年级，渗透……(共37张PPT)
深圳市南山区前海学校 高 众
小丑图
小丑图
小丑图
神奇的 小丑图
没有空隙 也不重叠
没有空隙 也不重叠
墙面图
棋盘图
没有空隙 也不重叠
蜂巢图
没有空隙 也不重叠
没有空隙 也不重叠
长方形能密铺
正方形能密铺
图形的密铺
正六边形能密铺
三角形
直角三角形
锐角三角形
钝角三角形
四边形
平行四边形
梯 形
一般四边形
五边形
正五边形
哪些图形可以密铺？
房子五边形
直角三角形
锐角三角形
钝角三角形
平行四边形
梯 形
一般四边形
正五边形
哪些图形可以密铺？
房子五边形
每组拼一种图形
把作品展示在黑板上
哪种图形能密铺
铺一铺
直角三角形
锐角三角形
钝角三角形
平行四边形
梯 形
一般四边形
正五边形
哪些图形可以密铺？
房子五边形
每组拼一种图形
把作品展示在黑板上
哪种图形能密铺
哪些图形可以密铺？
哪些图形可以密铺？
哪些图形可以密铺？
哪些图形可以密铺？
直角三角形
锐角三角形
钝角三角形
哪些图形可以密铺？
三角形可以密铺吗？
三角形可以密铺。
三角形
平行四边形
梯 形
一般四边形
哪些图形可以密铺？
四边形可以密铺吗？
四边形可以密铺。
四边形
正五边形
哪些图形可以密铺？
五边形可以密铺吗？
房子五边形
五边形
五边形有的可以密铺，有的不可以密铺。
哪些图形可以密铺？
五边形有的可以密铺，有的不可以密铺。
三角形、四边形都可以密铺。
结论
直角三角形
（能密铺）
锐角三角形
（能密铺）
钝角三角形
（能密铺）
平行四边形
（能密铺）
梯形
（能密铺）
一般四边形
（能密铺）
正五边形
（不能密铺）
房子五边形
（能密铺）
实验的结果
和
原来的猜想
一样吗？
密铺的原因是什么？
密铺的原因是什么？
图形的密铺和什么有关系呢？
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密铺的原因是什么？
密铺与图形的角有什么关系呢？
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180°
每个拼接点处，各个角的总和形成了360°。
密铺的原因是什么？
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每个拼接点处，各个角的总和形成了360°。
360°
密铺的原因是什么？
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每个拼接点处，各个角的总和形成了360°。
密铺的原因是什么？
为什么正五边形不可以密铺？
108°
108°
108°
108°＋ 108°＋ 108°＝324°
108°＋ 108°＋ 108°＋ 108°＝432°
给正五边形找搭档
给正五边形找搭档
小丑图片都能密铺吗？
M.C.埃舍尔（M. C. Escher，1898~1972），荷兰科学思维版画大师，20世纪画坛中独树一帜的艺术家。
为什么房子五边形可以密铺？
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为什么三角形和四边形能在拼接点上拼出360°？
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1
3(共21张PPT)
相传2300多年前洛水河中浮出一只神龟,
龟背上有一张象征吉祥的图案，
人称「洛书」。
4
3
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2
7
6
他们发现,
这些图案每一列,每一行及对角线,
加起来的数字和都是一样的,
这就是我们现在所称的 。
幻方
在西方被称为：
Magic Square
古往今来，
对幻方的研究不仅仅局限在
数学家或科学领域
德国画家阿尔布莱希特.杜勒 的著作《梅伦可利亚》(Melencolia)（意为“忧郁”），
当时的占星家认为四阶魔方阵可以驱除忧郁，所以他就将这个魔方阵放入作品之中。
16 3 2 13
5 10 11 8
9 6 7 12
4 15 14 1
岫玉雕刻
“奥运幻方”
在北京奥运会开幕的日子，一件精美的玉雕“2008奥运幻方图” 问世。
中间的四阶幻方图横行、竖行、斜行的数字之和均为2008。
南宋数学家杨辉，在他著的《续古摘奇算法》里介绍了这种方法：
③把中部四数各向外面挺出，幻方就出现了。
①将九个自然数按照从小到大的递增次序斜排;
②把上、下两数对调，左、右两数也对调;
①
②
③
④
⑤
⑦
⑧
⑨
⑥
《射雕英雄传》黄蓉口诀
　
九宫之义，
法以灵龟，
二四为肩，
六八为足，
左三右七，
戴九履一，
五居中央。
口诀填写法
一居上行正中央，
1
依次斜填切莫忘，
上出格时往下填，
2
右出格时左边放，
3
排重便在下格填，
4
5
6
角上出格一个样。
7
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-1
-2
3
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0
-4
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2
1
试一试：
请将数-4、-3、-2、-1、0、1、2、3、4分别填入3×3的方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等。
-1
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3
4
0
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＋5
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3
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0
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-3
2
1
＋
1977年，美国发射了旅行者1号和2号宇宙飞船，试图与“外星人”建立联系。如何使地外智慧生命理解地球人的意思，这是个很困难的事情，世界各国的人们纷纷献计献策，美国宇航局采纳了其中一些。最后飞船上携带有两件与数学有关的东西，一个是勾股数，另一个是一个4阶幻方，这个幻方，是耆那幻方(Jaina Square) 。
活动一：
请将数字1-9分别填入3×3的方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等。
2
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6
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5
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8
在旋转中看
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②
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③
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④
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①
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①
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③
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②
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④
在旋转中看
活动一：
请将数字1-9分别填入3×3的方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等。
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2
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6
奇妙的幻方
除了刚刚得出三阶幻方外，你还能写出其他的三阶幻方吗？
还是让我来告诉你吧！
将刚刚的三阶幻方绕中心旋转一定角度，
如：90o、180o等。
你得到新的三阶幻方了吗？
①
②
③
④
⑤
⑦
⑧
⑨
⑥(共22张PPT)
整理与复习折线统计图
自己的观点表达清楚后，可以发出这样的邀请：
大家同意我的看法么？
这是我们组的意见，大家有什么要补充的么？
我的看法说完了，希望大家继续与我交流。
与同伴交流时这样说：
我同意你的看法，但我还想补充一下。
我想向你提个问题，你能帮我解答吗？
我不同意你的看法，我是这么想的……
刚才大家形成了好多意见，我想来做个总结。
快乐助学单研究之一：
我会整理：
关于“折线统计图”我们知道些什么？能用自己喜爱的方式整理出来么？
组内合作友情提醒：
1.组员分别介绍自己的观点。
2.对他人的观点进行优化、补充。
3.尝试在讨论结束后做个总结。
南京市最近几天最高气温统计表
日期 4.7 4.8 4.9 4.10 4.11 4.12 4.13 4.14
最高气温 8℃ 14℃ 15℃ 19℃ 20℃ 21℃ 12℃ 19℃
日期 4.7 4.8 4.9 4.10 4.11 4.12 4.13 4.14
最高气温 8℃ 14℃ 15℃ 19℃ 20℃ 21℃ 12℃ 19℃
.
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21
8
14
15
19
20
12
19
2016 5
快乐助学单研究之二：
我会选择：
找一道关于“折线统计图”的好题，并分析这道题好在哪里？准备明天与同伴交流。
1.组员分别介绍自己的好题，说说好在哪儿。
2.推选组内最好的一题，准备到全班介绍。
3.共同商量，如何在全班像老师那样推荐你的好题？
全班交流友情提醒：
小明连续6次数学练习得分情况统计表
次数 1 2 3 4 5 6
得分/分 91 92 93 88 90 95
年 月
2016 5
0
1
2
3
4
5
6
次数
第23-30届奥运会中国金牌数统计图
大竞猜（一）
一位病人的体温变化情况统计图
大竞猜（二）
大竞猜（三）
大竞猜（四）
游戏：看图说“话”
路程：米
时间
由这幅复式折线统计图，你联想到什么童话故事？
快乐助学单研究之三：
我会提醒：
关于“折线统计图”，你有什么要提醒大家注意的？(共40张PPT)
创高效课堂---把数学课堂还给学生
深圳市龙岗区教育局教研室 薛石锋
个人专著：《小学数学难点教学技巧与案例》
薛石锋
深圳市龙岗区小学数学教研员，中学高级教师，北京师范大学新世纪版小学数学指导委员会委员，广东教育学会小学数学专业委员会第九届理事会理事，深圳市小学数学专业委员会第十届理事会常务理事。
个人专著：《小学数学难点教学技巧与案例》
在《中小学数学》小学版和《小学数学教育》等专业杂志上发表多篇文章。
薛老师好！
下册教材进入最后的出版前审校阶段，请您就三下教材给出宝贵意见。主要指出三点，一是有无科学性错误，二是从一线角度看是否有不合理的地方，三是习题有误不合适的。另外还希望您一定注意保密工作哦。
反馈意见您可以发送侯慧颖老师（apples.687@）和我的邮箱，感谢。
祝好！
数学工作室 莉莉
数学活动是师生共同参与、交往互动、共同发展的过程。有效的数学教学活动是学生学与教师教的统一，学生是数学学习的主体，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。(摘自数学课程标准)
课例1
四上第六单元 除法
怎么样引出速度这个概念？
时间/分 路程/米
松鼠 4 280
猴子 4 240
小兔 3 240
竞走成绩表
小兔每分钟走：240÷3＝80（米
松鼠每分钟走：280÷4＝70（米
小兔走得快。
）
）
/分
/分
快
快
第3名
小兔平均1分走80米，也就是小兔的速度是80米/分。
课例2
（三年级下）
时
秒
60
60
3600
年
月
日
12
29
平365
闰366
28
30
31
分
4个30天，7个31天
小月
大月
1
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5
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10
11
12
一三五七八十腊，
三十一天永不差；
四六九冬三十日；
平年二月二十八，闰年二月把一加。
数学活动是师生共同参与、交往互动、共同发展的过程。有效的数学教学活动是学生学与教师教的统一，学生是数学学习的主体，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。(摘自数学课程标准)
平年
课例3
北师大版 一年级下册 数学好玩
问题
探究
练习
拓展
1
1
2 1
1 3 2
2 1 3
3 2 1
每一行﹑每一列的数字不能重复
每个空格只能填123中的一个
5
5
4
2
2
4
两个空一起考虑
某一行或
某一列缺
一个数
3
5
5
2
2
4
5
3
交叉点
5
5
4
3
5
第三列缺5
我们来回顾一下
5
2
4
某一行或
某一列缺
一个数
5
5
2
4
3
两个空一起考虑
5
5
2
3
交叉点
5
5
4
3
5
第三列缺5
7 6 2 5
2 5 4 6 7
4 3 1 5 6
5 4 1 6
7 1 5
3 6 5 7 2
7 5 2 1
课例4
北师大版 四年级上册 第五单元 方向与位置
问题
探究
练习
拓展
200米
用手指路
200米
笑笑从家向 走 米到游乐场，然后向 走
米到报刊亭，再向 走 米到图书馆。
西
300
北
250
西
900
打电话
发短信
学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索、合作交流等，都是学习数学的重要方式。学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。(摘自数学课程标准)
谢谢你的聆听
个人专著：《小学数学难点教学技巧与案例》中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站
“24时记时法”学习工作纸
思考1.“12时记时法”和“24时记时法”有什么不同？我认为：
思考2.请你找到生活中人们使用“24时记时法”的例子（3个），想一想，人们为什么要用“24时记时法”？我找到的例子：（1）（2）（3）我认为：
我的新思考：
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
午夜
正午
午夜
10111212345678910111212345678910111212
23456789101112131415161718192021222324
昨天
今天
明天
7世仁教育(共5张PPT)
“圆，一中同长也。”
——墨子
① 半径=15cm
②直径=135m
2
TM∈ss
3
765
天
:#(共39张PPT)
记时法
学习工作纸：
思考1.
“12时记时法”和“24时记时法”有什么不同？
袁世恒同学:
思考2.
人们为什么要用“24时记时法”？
梁梓坤同学:
温浩然同学:
12时记时法 24时记时法
起 床 上午 6︰30
上 学 上午 7︰00
午 休 中午 12︰00
放 学 下午 5︰00
晚 饭 晚上 6︰30
做作业 晚上 7︰00
睡 觉 晚上 9︰00
下面是小强作息时间表的一部分，你能用两种记时法来表示吗？
6︰30
7︰00
12︰00
17︰00
18︰30
19︰00
21︰00
王奕彤同学:
24时手表
12时手表
你能看懂加油站的营业时间吗？
7:30-20:30
你能看懂吗？
下午4时爸爸开车走了公交专用车道，他违反交通规则了吗？
爸爸晚上11时下火车，要坐211路夜班车，有车吗？
改错！
施玟君同学:
汪姝媛同学:
郭帅博同学:
马名起同学：
李崇源同学：
这不是没有根据的，
——————————。
人体各器官24小时时间表,良好作息让你美丽永不老!
人体机能状态在一天24小时里有规律可循。
1：00 人体进入浅睡阶段，易醒。此时头脑较清楚，熬夜者想睡反而睡不着。
2：00 绝大多数器官处于一天中工作最慢的状态，肝脏却在紧张工作，生血气为人体排毒。
3：00 进入深度睡眠阶段，肌肉完全放松。
4：00 “黎明前的黑暗”时刻，老年人最易发生意外。血压处于一天中最低值，糖尿病病人易出现低血糖，心脑血管患者易发生心梗等。
5：00 阳气逐渐升华，精神状态饱满。
6：00 血压开始升高，心跳逐渐加快。高血压患者得吃降压药了。
7：00 人体免疫力最强。吃完早饭，营养逐渐被人体吸收。
8∶00各项生理激素分泌旺盛，开始进入工作状态。
9：00适合打针、手术、做体检等。此时人体气血活跃，大脑皮层兴奋，痛感降低。
10：00工作效率最高。
10：00-11：00属于人体的第一个黄金时段。心脏充分发挥其功能，精力充沛，不会感到疲劳。
12：00紧张工作一上午后，需要休息。
12：00-13：00是最佳“子午觉”时间。不宜疲劳作战，最好躺着休息半小时至一小时。
14：00反应迟钝。易有昏昏欲睡之感，人体应急能力降低。
15：00午饭营养吸收后逐渐被输送到全身，工作能力开始恢复。
15：00-17：00为人体第二个黄金时段。最适宜开会、公关、接待重要客人。
16：00血糖开始升高，有虚火者此时表现明显。阳虚、肺结核等患者的脸部最红。
17：00工作效率达到午后时间的最高值，也适宜进行体育锻炼。
18：00人体敏感度下降，痛觉随之再度降低。
19：00最易发生争吵。此时是人体血压波动的晚高峰，人们的情绪最不稳定。
十七、20：00人体进入第三个黄金阶段。记忆力最强，大脑反应异常迅速。
20：00-21：00适合做作业、阅读、创作、锻炼等。
十八、22：00适合梳洗。呼吸开始减慢，体温逐渐下降。最好在十点半泡脚后上床，能很快入睡。
十九、23：00阳气微弱，人体功能下降，开始逐渐进入深度睡眠，一天的疲劳开始缓解。
二十、24：00气血处于一天中的最低值，除了休息，不宜进行任何活动。
大家来预设实现深度对话的问题：
营业时间
储蓄
8：30-17：30（节假日照常营业）
对公
8：30-11：30
15：00-17：30(共23张PPT)
图形的运动
人教版五年级下册
A B C D
A B C D
A
线段AB，绕A点，旋转90度
B
线段AB是如何旋转的？
A'
A B
B'
A B
图1
图2
A'
A B
B'
A B
图1
图2
A
C
B
绕不同的点旋转。
三角形ABC ，绕A点，顺时针旋转90度。
A
B
C
B
'
C'
三角形ABC ，
绕A点，
顺时针旋转90度。
A
B
C
B
'
C'
小三角形的面积是大三角形面积的几分之几？
小三角形的面积是大三角形面积的几分之几？
问题一：
怎样才能准确找到旋转中心呢？
问题二：
这条线段可以转到任意位置吗？
问题三：······
问题四：······
······(共28张PPT)
由数学教学走到数学教育
没有一种数学的思想，以它被发现时的那个样子公开发表出来，一个问题被解决后，相应地发展为一种形式化技巧，结果把求解过程丢在一边，使得火热的发明变成冰冷的美丽。
弗兰登塔尔
(H.Freudenthal,1905-1990)
圆的认识
圆的周长
圆的面积
圆的魅力
由数学教学走到数学教育
冰冷的美丽变为火热的思考
1.在人类的认识史上，圆是怎样被我们逐步认识的？了解圆的认识历史，可以给我们的教学以怎么样的启发？
2.在人们的日常生活与生产中，有许多物品的某一个或几个面做成圆形，它们各是利用了圆的什么特点？能否利用一些学生常见的典型物品的分析，逐步抽象圆的特征？
3.能否以“问题探究为中心”，让学生以一个发现者的角色，体验“圆”的奥妙与神奇？
圆的认识：
体会数学与现实、数学与创造的密切联系
1.观察：圆与其它图形比较，有什么与众不同之处？
对现实世界中具有典型意义的圆进行研究，发现圆的特征，逐步提炼和认识抽象的圆。
2.研究一：车轮为什么要做成圆形？
3.研究二：电风扇的开关是如何调档的？
从比较中，在外形上认识圆的特征。
由现象的自然解释到数学的本质解释。
从发现问题到数学原理探究。
对圆形物体的研究中认识圆，把知识的获得真实地“镶嵌”在相关的事实情境中，使知识成为探究活动的“产品”。
生活事例
发现问题
数学解释
理解生活
出示：
师问：这些图形中哪一个是圆？
师追问：圆与其它的几个平面图形相比，有什么与众不同的地方？
师提问：举例说一说，在我们生活中哪些物品的面是圆形？
师追问：哪些物品的面一定要做成圆形？
车轮为什么都做成圆形呢
车轴
车轴到地
面距离
O
r
圆心
半径
车轮为什么都做成圆形呢
师再问：哪些物品的面一定要做成圆形？
历史上一个国家所算得的圆周率的准确程度，可以作为衡量这个国家当时数学发展水平的指标。
——德国数学史家康托
实验时期
几何时期
分析时期
计算机时期
圆的周长：
体会数学与探究、数学与传承的关系
公元前200年
周三径一
生：圆的周长是直径的3.14倍
物品 名称 周长 （厘米）
硬币
棋子
圆的周长记录表
测量要求：
1.同桌合作，各测量出其中的一个物品的周长；
2.测量测量结果用厘米做单位，保留一位小数；
直径
（厘米）
圆的周长是
直径的倍数
3.计算结果请用合适的方法表示。
3.132628
……
3.105828
……
π
……
周三径一
……
周三径一
3.105828
3.132628
割圆术
割圆术
公元前200年
周三径一
公元460左右
3.1415926与3.1415927之间　　　　
1882年　　 德国数学家林德曼　　　
从1949年起　
祖冲之
正12288边形
2000多亿位
无限不循环小数
约是
生：圆的周长是直径的3.14倍
小学数学教材中的五种直线图形的面积计算，很早就有了与现代相同的面积计算公式，并且，在推导四边形（包括平行四边形）、三角形与梯形的面积计算公式时，创造了“出入相补”原理。
有了这样的经验，人们在推导圆的面积计算公式时，肯定也在思考，是否可以通过“出入相补”原理，把圆转化成等积的长方形或正方形（通常被称为“化圆为方”）。但人们发现，要完成这个转化过程，并不是一件容易的事，因为圆是曲线图形。因此，圆的面积计算公式的推导经历了一个较为漫长探索过程。
圆的面积:
体会数学与思维、数学与想像之间的关系
(1)古埃及人的“化圆为方”
（2）古罗马人的“化圆为方”
d
5/4d
5/8d
o
C
D
（3）古印度人的“化方为圆”
1.“估算思路”下的圆面积计算
2.“极限思想”下的圆面积计算
印度圆法
3.“类比思想”下的圆面积计算
《九章算术》方田章第31题、32题是求圆田面积的两个题例：　
（31）今有圆田，周三十步，径十步，问为田几何？
答曰：七十五[方]步
（32）又有圆田，周一百八十一步，径六十步三分步之一，问为田几何？
答曰：十一亩九十步十二分步之一
术曰：半周半径相乘得积步。
《周髀算经》：“圆出于方，方出于矩，……”
我们的设计

圆并不“圆”
S=
数方格
估
“半周乘
半径”
圆的魅力：
学生经历了带有浓厚的数学文化气息的三堂关于圆的教学，让学生感受到了圆的认识之路是一个充满想像的过程，更是充满智慧的经历。
为让学生对圆有一个整体的，更加全面的认识，我们打算上一堂综合实践活动课。想通过本节课的活动，进一步沟通圆的知识与圆的应用之间的联系。感受到数学知识的形成过程，并不是像书本中所呈现的和课堂中所学习的那么简单；了解到圆的应用有时要经历一个漫长的过程；经过欣赏自然界中的“圆”，赏析人们制造的圆，思考富有寓意的圆这三个步骤，感受到“圆”的外在美与内在美。
体会数学与文化、数学与世界之间的关系
师：对于圆的研究经历了几千年，有无数的数学家对它进行了长时间的探索，才让我们在短短的三节课中学到了这么多关于圆的知识。下面老师向大家特别介绍一位数学家，因为他发现了圆的许多特征，并且为了研究圆，献出宝贵的生命，他就是古腊著名的数学家——阿基米德
师：我们用三节课学习的这些圆知识，你知道它们经历了多长时间才被认识的吗？
数学故事
数学教育
数学精神
车轮的历史
3.14×1=3.14（米）
想当然：
一周
实验：
两周
数学推理
图1
图2
图3
推理
观察
圆是最美的图形
自然界中的圆
创造的圆
有寓意的圆
由数学教学走到数学教育
只有理解人类如何获得某些事实或概念的知识，我们才能对人类的孩子应该如何获得这样的知识作出更好的判断。
—— 乔治·波利亚（G.Polya,1887-1985）
历史是教学的指南 。
—— M.克莱因（M.Kline,1908-1992）
衷心希望得到教育同仁的批评与指导！
谢谢！(共8张PPT)
义务教育教科书 四年级 上册
数量关系
9元/罐
3元/支
苹果
8元/千克
55元/袋
苹果
8元/千克
48元/箱
货号 商品名 单价 数量 金额
171996 可乐 6.00 2 12.00
341734 香蕉 14.00 3 42.00
337598 牛奶 66.00 4 264.00
应付金额：318.00
实收金额：350.00 找零： 32.00
超市购物小票
2元/瓶 45元/箱 10元/个
8元/千克 14元/千克 16元/根
超市购物小票
货号 商品名 单价 数量 金额
353678 钢笔水 4.00 2 8.00
259310 汇源果汁 13.00 5 60.00
245983 方便面 6.00 12 48.00
应付金额：116.00
实收金额：150.00 找零： 34.00
下面是学校购买体育器材的记录表。你能把表格填完整吗？并说说你用到了哪个数量关系式。
品 名 单价 数量 金额
篮球 6 480
排球 40 160
短跳绳 5 40
80
4
200
要是买12罐这样的饮料需要多少元？
妈妈买4罐饮料花了8元。(共35张PPT)
从算术到方程
广东中山市教研室 刘燕
方程学习中的两个现象
学生：不愿、不会
教师：“ = 6 ”是方程吗？
反思：
如何引导学生感悟方程的价值？
方程的本质属性是什么？
在方程中，已知和未知借助等号联立以后，未知可以和已知一样参与运算，享有同样的地位。
——张奠宙
要强调用数学的符号把要说的话（即两件事情等价）表达出来。这个是根本，是学生必须真正掌握的东西……
四则运算是将已知全部写在等号的一边，只不过没有写出“=x”而已，是在已知和未知之间建立了一个桥梁。方程不是这样，方程根本没有经过任何运算，只是阐述了一个事实本身，一个没有经过任何加工的事实本身。方程只是在说明两件事情是等价的。
——史宁中
史宁中：
方程是从现实生活到数学的一个提炼过程，一个用数学符号提炼现实生活中的特定关系的过程。
方程的学习，从一开始就应该让学生接触现实的问题，学习建模，学习把日常生活中的自然语言等价地转化为数学语言，得到方程，进而解决有关问题；而解方程的设计要点在于再现化归的思想方法。
概念的四个方面：名称、定义、例子、属性
我的思考：
方程的描述是重点和难点吗？
外在形式与内在属性谁更重要？
“方程的等号两边相等”与“未知可以和已知一样参与运算，享有同样的地位”谁是更新的增长点？
“用数学的符号把两件事情等价表达出来。这个是根本”,事情能否不拘于天平、更加丰富？
如何体现方程的价值？
环节一：在解决问题的过程中创造方程。
唤醒顺向思维找数量关系的思维经验,突显方程只是阐述没有加工的事实。
初步感受方程的属性（“相同地位”、“等价”）及价值。
环节二：对比分析中认识方程的外在形式。
环节四：多元表征促进对方程等价属性的理解。图到符号、符号到图、图符变化创造方程。
环节五：总结回顾，梳理对方程的外在形式、内在属性及其价值的认识，并为后续学习留下伏笔。
环节三：在文化背景的介绍中完善对方程的认识。
教学目标：
1.帮助学生认识方程，了解方程的意义及作用。
2.在教学中渗透抽象、等价思想，让学生体会方程的思想。
3.感受方程价值，激发学生学习方程的兴趣。
重点：
强化方程本质属性的认识，感悟方程的价值。
8个
？个
原来盘子里有一些苹果，吃掉了7个，还剩3个，原来盘子里有多少个苹果？
爸爸今年36岁，小红年龄的3倍刚好和爸爸的年龄一样，小红今年多少岁？
一个数加上31，减去56等于320，这个数是多少？
某风景区儿童票价格的2倍多5元，刚好是成人票的价格145元再加10元。儿童票的价格是多少元？
早在三千六百多年前，埃及人就会用方程解决数学问题了。
在我国古代，大约两千年成书的《九章算术》中，就记载了用一组方程解决实际问题的史料。
四百多年前法国数学家韦达在他的《分析法入门》著作中，首次系统地使用了符号表示未知量的值进行运算。
一直到三百年前，法国的数学家笛卡尔第一个提倡用排在字母表后面的 、y、z代表未知数，这种用法成为当今的标准用法，形成了现在的方程。
？克
45g
110g
50g
45g
110g
50g
+ 45 = 110 + 50
110 + 50 = + 45
①
②
③
④
90g
y克
y克
①
②
③
④
90g
y克
y克
+50 ＞100
+50 ＜ 200
+90 =100+50
50+50=100
90g
100g
50g
+ 90 = 100 + 50
？克
400克
150克
50克
50克
800克
每个苹果多少克？
150克
400克
150克
50克
150克
800克
800+150+50=400+2× +150+50
50克(共29张PPT)
顶点 面 棱
个数 个数 形状 哪些面完全一样 条数 哪些棱一样长
惊堂木：方方正正，公正、庄严
人民英雄纪念碑：崇高、神圣
水立方：简朴、典雅
天圆地方，朴素和谐
．
面
面
棱
顶点
长
5cm
2cm
3cm
宽
高
６cm
3cm
4cm
6cm
3cm
4cm
8cm
4cm
4cm
4cm
猜猜我是谁
我是你的好朋友，我是一个长方体形状的,长26厘米，宽19厘米,高0.5厘米
32
32
40
40
20
20
①⑧④⑥⑤⑦
填空
(1)长方体有（ ）个面, ( )条棱,
( )个顶点。
(2)长方体相对的面大小( ),
同组内四条棱长度( )。
6
12
8
相等
相等
长
5cm
2cm
3cm
宽
高
长
宽
高
5cm
2cm
3cm

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