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有理数的意义，数轴、相反数、绝对值的概念（B）

有理数的意义：0既不是正数，也不是负数。正数大于0，负数小于0，正数和负数可以用来表示具有相反意义的量。如上升和下降，收入和支出等。21世纪教育网版权所有
数轴：数轴的三要素——原点、正方向、单位长度，缺一不可。数轴可以向两端无限延伸，单位长度要统一，数字标注应符合规定。所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但并不是数轴上所有的点都表示有理数（后面还要学习无理数）。21教育网
相反数：只有符号不同的两个数叫互为相反数，是成对出现的，规定0的相反数是0。如3和-3互为相反数;和互为相反数;的相反数是等。应注意符号化简的规则：；；21cnjy.com
绝对值：数轴上表示数的点到原点的距离叫做的绝对值，记作，且，
其中是任意数。一个数的绝对值一定是非负数。求一个数的绝对值时要先判断这个数是正数、负数还是0，再由绝对值的意义去求。如当时，；当时，；当时，21·cn·jy·com
有理数大小的比较（C）
利用数轴比较有理数的大小：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数.
利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.（只适合两个负数比较大小）。例如：因为，所以；www.21-cn-jy.com
科学记数法（B）
科学记数法是表示较大数和较小数的一种简单方法。对于绝对值大于10的数的表示，通常写成，其中为正整数。用科学记数法表示一个位整数，其中的指数是。如（共有14个数位）；（共有9个数位）。【来源：21·世纪·教育·网】
对于绝对值小于1数的表示，通常写成，其中为正整数。的值为原小数中从左数第一个非零数字前所有“0”的个数，包含小数点前的“0”。如（从左开始第一个非零数字是8，前面有10个“0”）；（从左开始第一个非零数字是4，前面有8个“0”）。

有理数的加、减、乘、除、乘方运算（C）
有理数的加法法则：
同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加.②异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不相等时，取绝对值加数较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；③一个数与0相加，仍是这个数。如：；（同号相加）。（异号相加）。
有理数的减法法则：
减去一个数等于加上这个数的相反数，即。如：，把减法转化成加法，按照加法的法则来运算。
有理数的乘法法则：
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0相乘得零。①即当时（异号相乘）；；（同号相乘）。
有理数的除法法则：
除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数，除法可以转化成乘法。
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于零的数都得0。（注意中学阶段的除法通常表示成的形式，应尽量避免使用的形式）。
有理数的乘方法则：
求个相同因数的积的运算叫做乘方。，其中叫做底数，叫做指数，既表示个相乘，又表示个相乘的结果。乘方的结果叫做幂（读作的次方）。①乘方与加、减、乘、除一样，也是一种运算，但是乘方级别高，一个数可以看作它本身的一次方，②当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括上，再写指数。如：不能写成；不能写成；③正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.④有理数的乘方运算首先要确定幂的符号，然后计算幂的绝对值。⑤0的任何非零次幂等于0；任何非零数的0次幂为1；1的任何次幂都为1；即（）；（）； 21·世纪*教育网
有理数的混合运算（以三步以内为主）（C）
进行有理数混合运算时，首先要确定运算顺序，然后再根据有理数加、减、乘、除、乘方运算法则及运算律进行计算。运算顺序:先乘方或开平方，后乘除，再加减，有括号先算括号，括号运算应该从里向外。WWW-2-1-CNJY-COM
有理数的运算律（C）
加法交换律：；加法结合律：；
乘法交换律：；乘法结合律：；
乘法分配律：；
运用有理数的运算解决简单的问题（C）
能在简单的实际问题中对所建立的有理数算式进行正确运算。遵循相关的运算律和运算法则。

平方根、算术平方根、立方根的概念（A）
平方根的概念：如果一个数的平方等于，这个数就叫做的平方根（或二次方根）；即如果，那么叫做的平方根。2-1-c-n-j-y
算术平方根概念：如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数就叫做的算术平方根。负数没有算术平方根。21*cnjy*com
平方根的概念：如果一个数的立方等于，这个数就叫做的立方根（或三次方根）；即如果，那么叫做的立方根。【来源：21cnj*y.co*m】
平方根、算术平方根、立方根的表示（B）
平方根的表示：非负数的平方根表示为（）。负数没有平方根。
算术平方根的表示：非负数的算术平方根表示为（），其中叫做被开方数，且，即非负数的算术平方根具有双重非负性。0的平方根和算术平方根都是0【出处：21教育名师】
立方根的表示：的立方根表示为。0的立方根是0
乘方与开方互为逆运算（A）
求一个数的平方根的运算，叫做开平方；开平方与平方互为逆运算。求一个数的立方根的运算，叫做开立方；开立方与立方互为逆运算。即（）；【版权所有：21教育】
（4）百以内整数的平方根和百以内整数（对应的负整数）的立方根（B）
无理数、实数的概念，实数与数轴上的点一一对应（A）
无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数。有三种形式：①开方开不尽的数，如，等；②无限不循环小数，如；③含有的数，如。2·1·c·n·j·y
实数的概念：无理数和有理数统称为实数。实数与数轴上的点是一一对应关系，任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数。21教育名师原创作品
实数的相反数与绝对值（C）
在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的概念在有理数范围内一样。
相反数：的相反数是，倒数：如果两个实数的乘积是1，则这两个数互为倒数。
用有理数估计无理数的大致范围（C）
能根据不等式和有理数的有关运算知识估算无理数的大致整数范围。如： ，即在整数和之间。21*cnjy*com
（4）近似数（A）
①近似值与它的准确值的差，叫做误差。即误差=近似值—准确值。
②近似数与准确数的接近程度，用精确度表示，根据需要的不同，采取不同的精确度。
③一个近似数精确到的位数，就是它的最后一位数字所在的位数，对于用科学记数法表示的数和形如3.5万这样的近似数，所精确到的位数就是它的最后一位数字在将此数还原所在的位数。如3.5万=35000，再看3.5中最后一个数字“5”所在的数位是在千位，所以3.5万精确到千位。
二次根式、最简二次根式的概念 （A）
二次根式的概念：一般地，式子（）叫做二次根式，即当时，才有意义；二次根式具有两个特征：①带二次根号“”；②被开方数不小于零；二次根式的性质：注意区分（）和
最简二次根式的概念：满足下列两个条件的二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。如，，，等，二次根式运算的结果必须是最简二次根式的形式。
分母有理化的概念：把分母中的根号化去的过程叫做分母有理化；可以有两种形式，如：①， （其中）；
②， （其中）
（2）用二次根式（根号下仅限于数）的加、减、乘、除运算法则进行简单四则运算（B）
二次根式的乘法：二次根式相乘，就是把被开方数相乘，而根号不变，即两个算术平方根的积等于这两个被开方数积的算术平方根。也就是当时，，由等式的对称性得，（）；如：
；运算过程中可以把被开方数中的“完全平方因式（或因数）”，用它的算术平方根代替，由根号内移到根号外。
二次根式的除法：两个数的算术平方根的商等于这两个数的商的算术平方根。即
， 其中；反过来 ，其中也成立。如：
同类二次根式的概念：把各个根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，称这样的二次根式为同类二次根式。如，和就是同类二次根式；，和也是同类二次根式。
二次根式的加减法：①二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简，再把同类二次根式合并，合并同类二次根式与合并同类项类似，所以，二次根式的加减可以类比整式的加减进行。②不是同类二次根式不能合并，多项式的乘法法则和乘法公式同样适用于二次根式的运算。注意区别2和；对于2，而
用字母表示数的意义，代数式（B）
用字母表示数的意义：用字母可以表示我们学过的任何数，可以把一般的数量或具有普遍意义的数量关系正确、简明地表达出来，这就是字母表示的意义——普遍性，简明性；①可以用字母表示规律；②可以用字母表示运算律；③可以用字母表示计算公式；
代数式：用运算符号把数和表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式。只含有运算符号，不含等号或不等号。如，，，等。书写代数式应注意：①数与字母相乘时，数字在前；②除法运算，按分数写法；③代数式后有单位、和、差形式的代数式应添上括号，作为一个整体看待。
代数式的意义：代数意义和几何意义；一般来说代数意义就是按照运算顺序读出来
（2）代数式的值（B）
用数值代替代数式中的字母，按照代数式中指明的运算关系计算得出的结果叫代数式的值。注意：代数式中的字母可以取不同的值，但这些值必须使代数式和它所表示的实际数量关系有意义。可以分两步完成：①“代入”即用数值代替代数式中的字母；②“计算”即按照代数式指明的运算，计算出结果。
整式的概念（B）
整式的概念：单项式和多项式统称为整式；
单项式的概念：由数与字母的乘积组成的式子叫做单项式；如：，等；单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数。①单独的一个数或字母也是单项式；②判断单项式系数时，应注意包括数字前面的符号。如的系数是而不是，次数是5，的系数是，而不是，次数是3。
多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式，①每个单项式叫做多项式的项，单项式的个数就是多项式的项数；不含字母的项叫做常数项，次数为0，单项式的次数是几就叫几次项；如：多项式中有个单项式，次数分别是5,3,2,0，所以分别叫做5次项、3次项、2次项和常数项。②多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数；③一个多项式含有个单项式，次数是，那么这个多项式就叫做次项式。如：含有三个单项式，分别是，，，所以项数是3，三个单项式中，最高次数是4次，所以该多项式的次数是4次，所以这是一个4次3项式.。
整式的加、减运算(C)
同类项的概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项。①同类项与系数大小无关；②同类项与它们所含字母的顺序无关；③所有的常数项都是同类项；
如：与不是同类项；与是同类项。
合并同类项的概念：把多项式中的同类项合并成一项；合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变。如
去括号的概念：括号前是“”号，去括号时连同它前面的“”号一起去掉，括号内各项不变号；括号前是“”号，去括号时连同它前面的“”号一起去掉，括号内各项都要变号。
添括号的概念：添括号后括号前是“”号，括号内各项不变号；添括号后括号前是“”号，括号内各项都要变号。如；
整式的加减：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接，然后去括号、合并同类项。注意：在计算时，多项式是一个整体，必须先用括号括起来，然后再去括号。如：求与的差，应该这样列式：
整数指数幂的意义和基本性质(A)
同底数幂的乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加. ;注意①底数为和、差或其他形式的幂相乘，应把这些和或差看成一个整体；②注意符号也必须参与运算。如：；
幂的乘方：底数不变，指数相乘；即（都是整数）.注意符号参与运算。如：；
积的乘方：积的乘方等于各因式乘方的积。即（为正整数）；三个或三个以上因式的积乘方时这个法则同样适用，即（为正整数）
同底数幂的除法：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即（，都是整数，且）。规定：任何不等于0 的数的0次幂都等于1，即（）；
负整数指数幂的意义：任何不等于0的数的（是正整数）次幂，等于这个数的次幂的倒数，即（，是正整数）；如
乘法公式(C)
平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。
完全平方公式：两个数的和（或差）的平方，等于这两个数的平方和加（或减）这两个数的积的2倍，①两个数和的平方：；②两个数差的平方：
应用这两个公式应具有整体的思想，适当的地方应加括号.同时注意符号参与运算。
（5）整式的乘法运算（多项式相乘仅指一次式之间以及一次式与二次式相乘）(C)
单项式乘（除）单项式：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
单项式相除，把系数，同底数幂分别相除，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.
单项式乘多项式：单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加。要特别注意多项式中不要漏乘常数项，以及各项的符号处理。多项式除以单项式先按法则转化成单项式除以单项式，再把每个商相加.当单项式的系数是负数时，要注意各个商的符号运算.有乘方运算的先算乘方，有括号的混合运算先算括号内。
多项式乘多项式：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加；运算时容易漏乘，故应按照一定顺序计算，不重不漏；一定要注意每一项的符号，因为符号必须参与运算。计算结果必须使最简洁的形式。
因式分解的意义（A）
因式分解的意义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，也叫做把这个多项式分解因式。
因式分解
乘法运算
（分解因式时分解对象是一个多项式，而结果必须是几个整式的乘积的形式，且分解因式不改变多项式的值，是一种恒等变形。）
用提公因式法、公式法进行因式分解（指数是正整数，直接用公式不超过两次）（C）
公因式的的定义：①多项式的每一项都有；②相同的因式。寻找公因式的一般步骤：（1）取多项式各项系数的最大公约数为公因式的系数；（2）取多项式各项都含有的相同字母或因式的最低次幂作为公因式的因子。公因式可以是单项式，也可以是多项式。
公式法分解因式应在熟练运用平方差公式和完全平方公式的基础上；
分式和最简分式的概念（A）
分式的概念：整式除以整式，可以表示成的形式.如果除式中含有字母，那么称为分式.其中叫做分子，叫做分母.。①分式的分母等于0时分式无意义；②分式的分子等于0且分母不等于0时，分式的值才等于0.
最简分式的概念：一个分式的分子、分母没有公因式，这个分式叫做最简分式。
利用分式的基本性质进行约分与通分（C）
分式的基本性质：分式的分子和分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变，即（是整式，且）；
分式的约分：（）通常作为通分的依据；把一个分式的分子和分母的公因式约去，称为约分。方法是：先把分式的分子、分母分解因式（分子、分母为多项式），然后约去它们的公因式。
分式的通分：（）通常作为约分的依据。把异分母的分式化为同分母的分式称为通分；方法是：先求出各个分式的最简公分母，然后将每一个分式的分母都变成最简公分母，同时相应的分子也作出适当变化，注意：分式的分子和分母是多项式时，则首先对多项式进行因式分解，尽可能将能分解因式的部分先分解因式（提公因式法、公式法、十字相乘法）。
最简公分母的确定方法：①取各分母系数的最小公倍数做系数；②取各分母中相同因式的最高次幂做公分母的因式；③各分母中所有的因式都要出现在公分母中。如：
（3）分式的加、减、乘、除运算（C）
分式的乘法：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母，即，在运算的过程中，当分子、分母都是单项式时，可直接约分再计算；当分子、分母都是多项式时，能分解因式的要先分解因式，再约分、计算。分式之间的乘号用“”而不用“”避免与字母混淆。
分式的除法：两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后与被除式相乘，即。分式的除法运算可以转化成分式的乘法运算。
分式的乘除混合运算：应按照运算顺序把除法运算都统一成乘法运算。如计算：；可以按照如下过程进行：
值得注意的是：凡是涉及到分式运算的，运算的结果一定要化成最简分式或者整式。
分式的加减法：对于同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，即；
对于异分母的分式相加减，先通分（需要找出各个分母的最简公分母），化为同分母的分式，然后按照同分母分式加减法法则进行计算。注意：①若分式的分母可以分解因式时，应先分解因式，以便寻找最简公分母和通分；②当算式中出现整式时，应将整式当成一个整体，看成是分母为1的“分式”，再通分变形。最后的计算结果一定要化成最简分式或者整式的形式。
等式的基本性质（C）
等式的基本性质：⑴等式的两边都加上或都减去同一个数或式，所得的结结果仍是等式。⑵等式的两边都乘以或都除以同一个不为零的数或式，所得结果仍是等式.
移项：把方程中的某一项改变符号后，从方程的以边移到另一边，这种变形叫做移项。移项时注意变号。
一元一次方程的解法（C）
⑴去分母：注意不要漏乘不含分母的项；注意将分式中的分子作为整体。
⑵去括号：注意括号前的性质符号，括号前面的系数不是1时，不要漏乘；
⑶移项：移项要变号；⑷合并同类项；⑸系数化为1.
（3）估算方程的解（B）
（4）用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组（C）
用代入消元法解二元一次方程组的步骤：
⑴从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来；【即代入】⑵把⑴中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数；【即消元】
⑶解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值；【即求值】
⑷把所求得的一个未知数的值代入⑴中求得的方程，求出另一个未知数的值，从而确定方程组的解。【即再代入，确定方程组的解】用的形式表示。
用加减消元法解二元一次方程组的步骤：
⑴方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数。
⑵把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。
⑶解这个一元一次方程，求得未知数的值。
⑷将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值。
⑸把所求得的两个未知数的值写在一起，得到原方程组的解，用的形式表示。
（5）可化为一元一次方程的分式方程的解法（C）
解分式方程的步骤：⑴方程两边都乘以最简公分母，约去分母，化分式方程为整式方程；
⑵解这个整式方程；⑶把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否为零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，应舍去；使最简公分母不为零的根才是原方程的根。
牢记：解分式方程必须进行检验，增根应舍去。
（6）数字系数的一元二次方程的解法（公式法、配方法、因式分解法）（C）
一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成的形式，其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项，叫做一次项系数；叫做常数项，其中可以去任意实数。
配方法解一元二次方程：直接开平方法解简单的一元二次方程：如果方程能化为，两边都开平方得：，所以，故，即；如果方程能化为，两边都开平方得：，所以，故，即；其中都是常数，该方法仅适用解简单的一元二次方程。以直接开平方法为基础，用配方法解一元二次方程的步骤如下：⑴把方程化为的标准形式；
⑵方程两边同除以二次项系数，把二次次项系数化为1；并把常数项移到方程的右边；
⑶将方程两边都加上一次项系数一半的平方；⑷把左边配成完全平方的形式，右边合并常数项；
⑸如果右边是非负数，将方程两边开平方并求解；如果右边是一个负数，则确定此方程无实数解。
公式法解一元二次方程：通过对进行配方得：（），这就是一元二次方程且的求根公式；运用求根公式时，必须先把方程整理成一般形式，确定出的值，然后把的值代入求根公式即可。
因式分解法解一元二次方程：
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，得到两个一元一次方程这两个一元一次方程的解都是原一元二次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，问题得到转化，体现了转化思想的运用。
因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
⑴移项，使方程的右边为0；⑵将方程左边进行因式分解，写成乘积的形式；⑶令每个因式分别为0，得到两个一元一次方程；⑷解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解。
一元二次方程的根的判别式：把叫做的根的判别式，用符号“”表示，即；一般地，方程，当时，有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根。以上结论反过来也成立。注意：①根的判别式只对一元二次方程适用，在计算判别式时，应把方程化为一般形式。②当时，方程有实数根，包含两种情况：有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根。③利用根的判别式求字母的取值范围时注意保证二次项系数不等于0.
一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：如果的两根分别为，那么 ， 这个关系称为一元二次方程根与系数的关系。特别的，当一元二次方程二次项系数为1时，它的标准形式为：，设它的两根分别为，则，；注意几个常用的式子：①；②；
③；④；⑤
（7）列方程（组）解应用题，并检验方程（组）的解是否合理（C）
（1）不等式的意义（A）
不等式的意义：在现实生活中，不仅存在着等量关系，也存在着许多的不等关系，等量关系可以用方程来刻画，而不等关系需要用不等式进行刻画，用不等号（“”“”“ ”“ ”）连接的式子叫做不等式；列不等式的步骤是：⑴分析题意，找出题中各种量；⑵寻找各种量之间的不等关系；⑶用代数式表示各量；⑷用适当的不等号将不是不等关系的量连接起来。注意：方程是求未知数的确定数值，而不等式求出的是未知数的取值范围。
（2）不等式的基本性质（B）
不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。
不等式的基本性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等式号的方向不变。
不等式的基本性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。（这与等式有很大不同）如，则，显然不等号的方向已经变化。
不等式的基本性质4（对称性）：如果，那么；
不等式的基本性质5（传递性）：如果，，那么；
利用不等式的基本性质，可以对不等式进行变形
不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。它是指在某一范围内的数，用它代替不等式中的未知数，使不等式成立。
不等式的解集：不等式解的全体叫做不等式的解集，一个含有未知数的不等式的所有解组成不等式的解集。不等式的解集是一个范围。
（3）数字系数的一元一次不等式的解法（C）
一元一次不等式的解法：
⑴去分母（根据不等式的基本性质2或者基本性质3）；⑵去括号；⑶移项；⑷合并同类项；⑸把系数化为1（根据不等式的基本性质2或者基本性质3）；
需要注意的问题是：①去分母时，不等号两边各项都乘以同一个数，不要漏乘不带分母的项；②移项时需要变号，去括号时注意各项的符号；③不等式两边同时乘（或除以）一个负数时，需要改变不等号的方向；
（4）两个一元一次不等式组成的不等式组的解法（C）
两个一元一次不等式组成的不等式组的解法：
解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可直观地表示不等式组的解集。可以分为四种情况（设）：

（大大取较大）所以解集为 （小小取较小）所以解集为

（大小小大中间夹）所以解集为 （小小大大无解集）所以解集为空集
（5）在数轴上表示不等式（组的解集）
不等式解集的表示方法：
⑴用不等式表示——一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，解集是一个范围，这个范围可用简单的不等式表示；如的解集是；
⑵用数轴表示：注意两点，一是定边界点；二是定方向，若解集中包含等号则为实心点，不含等号则为空心圈；大于或大于等于应该向右边画，小于或小于等于应该向左边画。

表示 表示
（6）列不等式解简单的应用题（C）
⑴分析题意，找出不等关系；⑵设未知数，列出不等式组；⑶解不等式组；⑷从不等式组解集中找出符合题意的答案；⑸作答；
（1）常量、变量的意义（A）
常量和变量：在实际问题中，经常遇到一个量随另一个量的变化而变化，在变化的过程中，数值发生变化的量称为变量（切不可认为字母就是变量）；数值始终不变的量称为常量。如若球的体积为，半径为，则，其中变量是和，常量是，而次数3既不是常量，也不是变量。
（2）函数的概念和表示方法（A）
函数的概念：设在一个变化过程中有两个变量，对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么就说是的函数，是自变量，是因变量；①最核心的就是看对于自变量的每个确定的值，是否有唯一确定的因变量的值对应；②函数是指某一个变化过程中两个变量之间的关系，所以函数是研究和刻画变量的一种数学模型。
函数的表示方法：⑴列表法；⑵解析法；⑶图象法；
列表法：通过列出自变量的值与对应函数值的表格来表示函数关系的方法；
（从数的角度来刻画函数）解析法:用数学式子表示函数关系的方法，其中的等式叫做函数的解析式或者函数关系式；解析法准确的反映了函数与自变量之间的对应规律，可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然。
（3）简单实际问题中的函数关系（C）
能通过分析题意，找出问题中涉及的相关量（自变量和因变量），并列出相应的函数关系式，并能指明自变量的取值范围。
（4）简单实际问题中函数自变量的取值范围（C）
在实际问题的函数关系式中，自变量的取值范围必须使函数解析式都有意义：
①函数解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数；如中取任意实数
②函数解析式是分式（分母中含有字母）时，自变量的取值要使分母不为零；如中
③函数解析式是二次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数是非负数；如中
（5）求函数值（B）
求函数值:对于自变量的取值范围内的一个确定的值，如果当时，，那么叫做当自变量的值为时的函数值。关于函数值有如下几类典型问题：
⑴当已知函数解析式时，求函数的值就是求代数式的值；
⑵当已知函数解析式，已给出函数值时，求自变量的值就是解方程；
⑶当给定一个函数值的取值范围，求相应的自变量的取值范围，就是解不等式；
（6）用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系（C）
（7）对变量的变化情况进行初步讨论（C）
（从形的角度来刻画函数）图象法：通过画出直观的函数图象，从图象中获取有关因变量随自变量变化情况的信息。由函数解析式画图象，一般按下列步骤进行：
⑴列表：列表给出自变量和因变量的一些对应值；
⑵描点：以表中对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；描的点越多，图象越准确。
⑶连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑曲线依次连接起来；
应特别注意：
①函数图象可以是直线、射线、线段、曲线等；
②函数图象的读图与识图关键是理清函数图象上的点的意义以及横坐标和纵坐标的意义。
③判断一个点是否在函数图象上的方法是：将这个点的坐标代入函数关系式，若满足，则这个点就在函数图象上；若不满足，则这个点就不在函数图象上；
（1）一次函数的意义（C）
在现实中有很多问题中的变量之间的关系可以用形如（）的一次函数模型来刻画。研究一次函数的特征和图象就可以很好的帮助人们研究这类实际问题中的因变量随自变量的变化规律。
（2）一次函数的表达式（C）
一次函数的定义：若两个变量间的关系式可以表示成（为常数，）的形式，则称是的一次函数（是因变量，是自变量）。特别的，当时，（是常数），这样的函数叫做常数函数，它的图象是一条平行于轴的直线，它不是一次函数。
（3）利用待定系数法确定一次函数的表达式（C）
用待定系数法确定一次函数解析式：用待定系数法确定一次函数解析式至少需要两个条件，因为它有两个待定系数.可以按照如下步骤来进行:
⑴根据已知条件设函数解析式为（为常数，）的形式；
⑵将，的对应值或图象上的几个点的坐标代入上述关系式中得到以待定系数为未知数的方程；
⑶解方程得出未知数；⑷将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式。
（4）一次函数的图象和性质（C）
一次函数图象：根据两点确定一条直线的基本事实，使用两点法画一次函数图象，要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确。
一次函数图象是与坐标轴不平行的一条直线，也叫直线（为常数，），但直线不一定是一次函数图象（如是与轴平行的直线，就不是一次函数图象）。
一次函数性质：对于一次函数（为常数，）有如下性质：
⑴当时，随增大而增大，函数的图象从左到右上升；
⑵当时，随增大而减小，函数的图象从左到右下降；
直线（为常数，）的图象位置与的符号关系如下：

() () () ()
设直线（为常数，）与轴的交点坐标为，所以，解得，即函数与轴交点坐标为；与轴的交点坐标为，所以，解得，即函数与轴交点坐标为；我们把一次函数与轴交点的纵坐标叫做一次函数在轴上的截距。
在实际问题中，当自变量在某一取值范围时，一次函数的图象不再是一条直线，有可能是射线或 者线段。
（5）正比例函数(B)
一次函数（为常数，）中当时，（为常数，）；这时叫做的正比例函数；通过列表、描点、连线的方法画正比例函数的图象，发现正比例函数图象是一条经过原点的直线，所以也叫做直线（为常数，），图象有如下几种情况：

() 图象经过一、三象限 () 图象经过二、四象限
⑴当时，图象必过一、三象限，随增大而增大，函数的图象从左到右上升；
⑵当时，图象必过二、四象限，随增大而减小，函数的图象从左到右下降；
用待定系数法确定正比例函数的解析式只需要一个条件，因为只有一个系数待定。
正比例函数与一次函数的关系：
一次函数（为常数，）的图象是一条直线，其中决定直线的倾斜程度，决定直线与轴交点的位置，直线可以看作由直线平移个单位长度而得到（当时，向上平移；当时，向下平移；）如图所示：

（6）一次函数与二元一次方程的关系(D)
一次函数与一元一次方程的关系：
一般地，一次函数（）的图象与轴的交点横坐标是一元一次方程的解；任何一个一元一次方程的解，就是一次函数（）的图象与轴交点的横坐标。
一次函数与一元一次不等式的关系：
当图象在轴上方时，它上面的点的纵坐标，对应的自变量的取值范围就是不等式的解集；当图象在轴下方时，它上面的点的纵坐标；对应的自变量的取值范围就是不等式的解集解决此类问题关键是仔细观察图形，找出几个关键的点（交点、原点等）做到数形结合。

一次函数与二元一次方程（组）的关系：
⑴任何一个二元一次方程经过变形都可以转化为相应的一次函数。如可以转化为
⑵每个二元一次方程都对应一个一次函数，所以二元一次方程组对应两条直线，在实际问题中应注意自变量的取值范围，同时要明确两直线的交点的意义，弄清楚哪条直线在上方，这条直线对应的函数值就大。
函数图像的交点坐标的求算方法：
⑴与的交点坐标求算：因为交点既在上，又在上，在交点处函数值相等。所以，解得，
⑵与的交点坐标求算：与上述方法类似，，解得，
（7）用一次函数解决实际问题(D)
分段函数：由于自变量的取值范围不同，对应的函数关系不同，在实际问题中，应根据具体的情境，分析不同自变量的取值范围时相应的函数关系。注意结合函数图象，以帮助我们更清晰的理解实际问题。

（1）反比例函数的意义（A）
在实际生活生产中，经常遇到某两个变量的乘积是一个确定的数值，此时，我们称这两个变量之间的关系是反比例函数关系；如电压一定时，电流与电阻之间满足的函数关系就是反比例函数关系：
（2）反比例函数的表达式（C）
⑴一般地，表达式形如（为常数，且）的函数叫做反比例函数；其中是自变量，是的函数，自变量的取值范围是不等于零的一切实数。也可以写成的形式；
⑵确定反比例函数表达式的方法仍然是待定系数法。在反比例函数表达式（为常数，且）中，只有一个待定系数，所以只需给出一组的对应值，代入中即可求出。
（3）反比例函数的图象和性质（C）
反比例函数的图象分为两种情况来考虑：和，如图所示

（） （） 点和点关于原点中心对称
反比例函数图象的性质：⑴反比例函数的图象是双曲线，当时，双曲线位于第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小；当时，双曲线位于第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大；特别要注意比例系数应该作为整体来对待。如反比例函数中，是作为一个整体的。
⑵反比例函数的图象是中心对称图形，其对称中心为坐标原点；双曲线还是轴对称图形，它有两条对称轴，分别是第一、三象限角平分线和第二、四象限角平分线。
⑶过双曲线上任意一点向轴、轴作垂线，所得矩形的面积为；即。
双曲线与一次函数交点的问题：在交点处，函数值相等，所以，解得，，这就是交点的横坐标和纵坐标。
（4）用反比例函数解决简单实际问题（C）
（1）二次函数的意义（A）
在现实的生活和生产中，经常需要解决最大值或者最小值的问题，自变量和因变量之间的函数关系符合二次的关系。形如（为常数，且）的函数叫做的二次函数。
注意：⑴任何一个二次函数都可以转化为（为常数，且）的形式，称为一般式；⑵默认情况下，自变量的取值范围是全体实数。等号右边必须是关于自变量的二次整式的形式。
⑶可以为，当时，;当时，；当时，。
⑷在实际问题中，能够通过情景分析，列出相应的二次函数的表达式。
（2）用描点法画出二次函数的图象（B）
二次函数图象的画法：按照列表—描点—连线（注意用平滑的曲线）的步骤完成。二次函数的图象是一条抛物线，是轴对称图形；二次函数图象上有如下几个重要的概念：
开口方向：二次函数的开口方向由二次项系数决定，时，开口向上；时，开口向下；
对称轴：初中阶段讨论的二次函数的对称轴是一条垂直于轴的直线，一般记作直线，对称轴的位置由二次项系数和一次项系数共同决定；它同时也对应着顶点坐标的横坐标。
顶点坐标（最高点或最低点）：二次函数的顶点坐标是指自变量在对称轴位置时与对应的函数值构成的一对有序实数。
最大值（或最小值）：二次函数的最值就等于函数在顶点处的纵坐标；开口向上有最小值；开口向下有最大值。函数的最值由二次项系数和一次项系数以及常数项共同决定。
（3）二次函数的性质（A）
⑴二次函数（）的性质：

①开口方向：向上 ②对称轴：轴或者直线 ①开口方向：向下 ②对称轴：轴或者直线
③顶点（最低点）坐标： ③顶点（最高点）坐标：
④当时，函数有最小值，最小值为0 ④当时，函数有最大值，最大值为0
⑤当时，随增大而减小，图象在下降； ⑤当时，随增大而增大，图象在上升；
当时，随增大而增大，图象在上升； 当时，随增大而减小，图象在下降；
⑵二次函数（）的性质：
①开口方向：向上 ②对称轴：轴或者直线 ①开口方向：向上 ②对称轴：轴或者直线
③顶点（最低点）坐标： ③顶点（最高点）坐标：
④当时，函数有最小值，最小值为 ④当时，函数有最大值，最大值为
⑤当时，随增大而减小，图象在下降； ⑤当时，随增大而增大，图象在上升
当时，随增大而增大，图象在上升； 当时，随增大而减小，图象在下降；

⑶二次函数（）的性质：

①开口方向：向上 ②对称轴：直线 ①开口方向：向下 ②对称轴：直线
③顶点（最低点）坐标： ③顶点（最高点）坐标：
④当时，函数有最小值，最小值为 ④当时，函数有最大值，最大值为
⑤当时，随增大而减小，图象在下降； ⑤当时，随增大而增大，图象在上升；
当时，随增大而增大，图象在上升； 当时，随增大而减小，图象在下降；
（）与（）的关系
如图所示，（）的图象可以看作是（）向上或者向下平移个单位得到；可以简单记为“上加下减”。例如二次函数是由向下平移3个单位长度得到的。

如图所示，（）的图象可以看作是（）向左或者向右平移个单位得到；可以简单记为“左加右减”。例如二次函数的图象是由向右平移2个单位长度得到的。
综上所述，“上下平移”改变常数项部分，但对称轴位置不变，开口的大小和方向也不变；“左右平移”是改变自变量的部分且对称轴也要发生相应的改变，而开口大小和方向不变的。

⑷二次函数（）的性质（顶点式）：

的图象性质： 的图象性质：
①开口方向：向上 ②对称轴：直线 ①开口方向：向上 ②对称轴：直线
③顶点（最低点）坐标： ③顶点（最低点）坐标：
④当时，函数有最小值，最小值为 ④当时，函数有最小值，最小值为
⑤当时，随增大而减小，图象在下降； ⑤当时，随增大而减小，图象在下降；
当时，随增大而增大，图象在上升； 当时，随增大而增大，图象在上升；

对于的图象性质：请同学们结合图象自己总结；
⑸二次函数（）的性质（两根式）：
设图象与轴交点坐标分别为，，则抛物线的解析式可以写为
，此时，对称轴为直线，顶点坐标为
（4）会用配方法确定二次函数图象的顶点坐标(C)
可以通过配方的方法得到相应的顶点式，配方的过程如下：
可以看出：二次函数写为顶点式之后，对称轴为直线，顶点坐标为，如下图所示；所以将二次函数转化为标准形式之后，可以利用此公式求出对称轴和顶点坐标，应注意符号。例如：二次函数中，，所以对称轴是直线，顶点坐标为：，即如下图（b）所示


（5）二次函数图象的开口方向和对称轴（B）
①二次函数的开口方向由二次项系数决定，②对于顶点式,令，即，所以对称轴是直线；③对于一般式，其对称轴是直线
（6）用二次函数解决实际问题（D）
用二次函数解决实际问题：①图形面积最大问题；②利润最大问题；③利用二次函数的对称性解决简单的实际问题；（应牢记在实际问题中，首先要找出二次函数关系式；其次就是考虑到自变量的取值范围，而且要经常利用数形结合的数学方法进行分析）
（7）用二次函数的图象求一元二次方程的近似解（B）
⑴一元二次方程的根就是对应的二次函数的图像与轴交点的横坐标，且根的个数就是交点的个数。当时，根的情况和交点的对应关系如图所示：

方程有两个不相等的实数根 方程有两个相等的实数根 方程有没有实数根
图像与轴有两个交点 图像与轴有一个交点 图像与轴有无交点
对于时的情况与时情况完全类似，请同学自己分析。
⑵一元二次不等式或的解集就是对应的二次函数图象在轴下方或者在轴上方时对应自变量的取值范围。对于时解集的情况如下图所示：

的解集为空集； 的解集空集； 的解集；
的解集全体实数；的解集全体实数； 的解集；
对于时的情况与时情况完全类似，请同学自己分析。
⑶一次函数图象与二次函数图象交点问题，求交点坐标的方法如下：
在交点处函数值相等，所以，解得；
将分别代入得，即交点坐标为和；另外，交点与其他点连接形成的图形的的面积也是重要的考点。

⑷一次函数与反比例函数的交点问题：求交点坐标的方法如下：
在交点处函数值相等，所以，解得；

将分别代入得，即交点坐标为和；
（8）用待定系数法确定二次函数解析式
①已知函数图象经过三点，且坐标已知，应将解析式设成一般式：
②已知顶点坐标和图像上任意一点的坐标，应将解析式设成顶点式：
③已知图像与轴交点的坐标和任意一点的坐标，应将解析式设成两根式：
（1）几何体、平面、直线、点(A)
几何体：包括多面体和旋转体；组成多面体的各个面都是平面（如棱柱和棱锥等），组成旋转体的面一定有曲面。（如圆柱、圆锥、球等）
几何图形：从实物中抽象出的各种图形叫做几何图形；侧重于研究物体的形状、大小、位置。
平面图形：图形的各部分都在同一个平面内叫做平面图形；（如线段、三角形、梯形、正方形、长方形等）
立体图形：图形的各部分不都在同一个平面内叫做立体图形；（如长方体、正方体、球等）

平面图形和立体图形是两类不同的图形，但它们相互联系；任何几何图形都是由面构成；面包括平面和曲面；面是由无数条线构成的，线是由无数个点构成的；所以，它们的关系是：点动成线；线动成面；面动成体；在初中阶段，主要研究点和线。
直线：直线无限长，用小写字母表示或者直线上的两和大写字母表示，如直线，直线；如图所示：

直线的基本性质：①两点确定一条直线；②两条直线相交，只有一个交点；③条直线相交，最多有个交点。’
（2）线段的长短比较(B)
线段有两个端点，用小写字母表示或者两个端点的大写字母表示，如线段，线段，线段，如图所示；线段有长度。
线段有方向，可以向一方延长，延长线段是指按从到的方向延长；延长线段是指按从到的方向延长（或者说反向延长线段）；如图所示：
（延长线段） （延长线段）
比较线段长短：①度量法（用刻度尺测量出线段的长度，通过比较其数值的大小来确定线段的大小）②叠合法（让两条线段的一个端点重合，另一个端点落在此端点的同侧，看另一个端点的位置）
（3）线段的和、差以及线段的中点(B)
线段的和、差：线段的和、差是指线段的长度之和、之差；如图所示：，；
；
线段的中点：把一条线段分成相等的两条线段的点，叫做这条线段的中点。如图所示，，点把线段分成两条相等的线段，所以或者；也就是说：如果是线段的中点，那么；反之，如果点在线段上，并且有，那么点是线段的中点。
线段的三等分点、四等分点：如果是线段的三等分点，则有或者；如图所示：，类似的有线段的四等分点。
（4）两点确定一条直线(C)
经过两点有且只有一条直线（基本事实1）
（5）两点之间线段最短(C)
连接两点的线中，可能是直的，可能是曲的，直的最短，即两点之间线段最短（基本事实2）
（6）两点间的距离(B)
两点之间线段的长度叫做两点之间的距离；注意不能把两点间的距离说成是线段，因为线段是几何图形，而距离是一个数值。同时还要注意“距离”和“路程”是两个完全不同的概念。
（7）度量两点间的距离(C)
两点间的距离就是用这两点间线段的长度来表示的。
（1）角的概念及表示（B）
角的概念：第⑴种定义：角由两条具有公共端点的射线组成的图形，两条射线的公共端点是这个角的顶点，这两条射线叫做角的边；如图①，第⑵种定义：一条射线绕着它的端点旋转而成的图形；如图②；射线绕着旋转，当终止位置和起始位置成一条直线时，所成的角是平角，大小为；当终止位置和起始位置重合时，所成的角为周角，大小为；

角的表示：角用几何符号“”表示。有三种表示方法：⑴用三个英文大写字母表示，顶点字母要写在中间，两边上的点的字母位置可以交换，如下图所示：

或者 可以用表示 不能用表示
⑵用一个英文大写字母表示，注意在某顶点处只有一个角的时候才能使用。
⑶用一个数字或者一个小写的希腊字母表示。
（2）比较角的大小（C）
角的大小比较：测量法和叠合法；①测量法就是用量角器量出角的度数，再比较大小；②叠合法就是先将每个角的其中一边重合，再来看另一边所在的位置关系；如图所示：，


（3）度、分、秒之间换算（B）
角的单位是“度”，在实际生活中还需要更精密的角度，比度的单位还小的单位是“分”“秒”；
①的为分，记作“”，即；②的为秒，记作“”，即
（4）计算角的和与差（B）
如图所示：，；，，；
角平分线的概念：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线；如图所示：是的角平分线，那么；反之，如果，那么是的角平分线（或者平分）。同理可得角的三等分线、四等分线。
（1）补角、余角、对顶角的概念（B）
余角的概念： 若两个角的和是，那么这两个角互余，其中一个角是另一个角的余角；也就是说如果互余，那么（或者）；
补角的概念： 若两个角的和是，那么这两个角互补，其中一个角是另一个角的补角；也就是说如果互补，那么（或者）；
对顶角的概念： 有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角。
邻补角概念： 只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角；

与互为余角 与互为补角 与互为对顶角；
也是互为邻补角的关系 与互为对顶角
（2）对顶角、余角和补角的性质（C）
⑴对顶角相等，但相等的两个角不一定是对顶角，对顶角一定是成对出现的；⑵互补的两个角不一定是邻补角，邻补角一定是成对出现的；⑶如果两个角相等，那么它们的余角相等（简记为：等角的余角相等），如果两个角相等，那么它们的补角相等（简记为：等角的补角相等）；⑷余角和补角都是成对出现的。
（3）垂线、垂线段、点到直线的距离（B）
垂线： 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。如图所示，直线与直线互相垂直，垂足为。
垂线段： 从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段。
垂线段的性质： 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；
点到直线的距离： 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。

（4）线段垂直平分线的概念（B） （3）
线段垂直平分线的概念： 经过某一条线段的中点,并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）
线段垂直平分线的判定：到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；如上图（3）所示
符号语言：
线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；如上图（3）所示
符号语言：（既垂直又平分）
（5）用三角尺或量角器画直线的垂线（C）
（6）度量点到直线的距离（C）
（7）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直（C）（垂线的性质）
（8）同位角、内错角和同旁内角（A）
段如图所示：，被第三条直线所截，形成8个角；其中是同位角的关系的有：，，，；是内错角的关系有：，；是同旁内角的关系是：，；

（1） （2） （3）
（9）平行线的概念，两直线平行的性质和判定（C）
平行线的概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线。
两直线平行的判定：
⑴在同一平面内，两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；
⑵在同一平面内，两直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行；
⑶在同一平面内，两直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行；
两直线平行的性质：
⑴在同一平面内，如果两条平行线被第三条直线所截，那么同位角相等；
⑵在同一平面内，如果两条平行线被第三条直线所截，那么内错角相等；
⑶在同一平面内，如果两条平行线被第三条直线所截，那么同旁内角互补；
（10）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行（C） （平行公理）
（11）用三角尺和直尺过直线外一点画这条直线的平行线（C）
（12）两条平行线之间的距离（A）
如果两条直线平行，即，那么过直线上任意一点向直线作垂线，则这一点与垂足连成的垂线段长度就是这两条平行线之间的距离。如图所示：平行线之间的距离就是垂线段的长度。

（13）度量两条平行线间的距离（C）
两条平行线之间的距离处处相等。
（14）平行于同一条直线的两条直线平行（A）
如图（2）所示，，，
（15）在同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行。
如图（3）所示，，，
（1）三角形的有关概念（B）
三角形的概念：不在同一条直线山的三条线段首尾顺次连接所组成的图形叫做三角形。如图所示：三角形记作“△”，三条边分别记为 “”“”“”还可以用等小写字母表示；三个内角分别记作“”“”“”； 其中点叫做三角形的顶点；
三角形的分类：按照三角形边的长度划分——三角形中，三条边互不相等的三角形叫做不等边三角形；三角形中，有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；三角形中，三条边都相等的三角形叫做等边三角形或正三角形，等边三角形每个内角都是；按照三角形边的内角划分——三角形中，三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形；三角形中，有一个角是直角的三角形叫做直角三角形，直角三角形一般也可记为△；有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形；


三角形中几条重要线段：三角形的角平分线、三角形的高线、三角形的中线；
⑴三角形中，一个角的角平分线与这个角的对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线；任何三角形都有三条内角平分线，并且都在三角形的内部。我们把三角形三条角平分线的交点叫做内心；如下图所示；三条形三条角平分线分别为
⑵三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线；任何三角形都有三条中线，并且都在三角形的内部。我们把三角形三条中线的交点叫做重心；如下图所示；三角形三条中线分别为：
⑶从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足间的线段叫做三角形的高线；
锐角三角形的三条高线相交于三角形内部一点；直角三角形的三条高线相交于直角顶点；钝角三角形三条高线相交于三角形的外部；如下图所示；三角形三条高线分别为：


几何语言：
（2）三角形的稳定性（A）
只要三角形三条边的长度固定，那么这个三角形的大小和形状也就完全确定，三角形的这种性质叫做三角形的稳定性；
（3）三角形内角和定理（C）
三角形的内角和等于；它的证明方法不唯一，但是证明的思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角，在转化中借助平行线。主要用在求三角形中角的度数：①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数的方法求三个角；③在直角三角形中，已知一个锐角可利用两锐角互余求另一个锐角；
（4）三角形内角和定理的推论（C）
推论1：直角三角形的两个锐角互余；
推论2：有两个角互余的三角形是直角三角形；
三角形的外角：三角形的一条边与另一条边的延长线组成的角，叫做三角形的外角；
三角形的外角和定理：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；如下图所示:
三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角。


（5）三角形的任意两边之和大于第三边（C）
在一个三角形中，任意两边之和与第三边的大小关系是：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；如上图所示：
证明过程如下：根据两点之间线段最短这一基本事实，可知；；；根据不等式的性质：；同理；
（6）全等三角形的有关概念（B）
全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形；
全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形；
全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示。如△≌△，注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上，从而方便对应边和对应角的寻找。
（7）三角形全等的判定（SAS、ASA、SSS、 AAS）和性质（D）
全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等；
找对应边和对应角有以下几种方法：
①在两个三角形中最长边对应最长边，最短边对最短边；最大角对应最大角，最小角对最小角；
②公共角、对顶角必为对应角，公共边必为对应边。
全等三角形的性质是证明线段相等和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边；
全等三角形的判定：全等三角形的判定方法有以下几种：
⑴边角边定理（SAS）：注意是两条对应边及其夹角 ⑵角边角定理（ASA）：注意是两个对应角和夹边
⑶边边边定理（SSS）：注意是三条对应边 ⑷角角边定理（AAS）：
（8）直角三角形全等的判定定理（HL）（C）
⑸斜边、直角边定理（HL）（只适用于直角三角形）
（9）等腰三角形的有关概念（A）
三角形中，有两边相等的三角形叫做等腰三角形，等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线所在的直线就是它的对称轴。如下图所示：


（10）等腰三角形的性质（D）
性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“等边对等角”
几何语言：如上图所示：在△中，；
注意：等边对等角只限于在同一个三角形中使用。
性质2：等腰三角形的顶角平分线垂直平分底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合，简称“三线合一”；
几何语言：如上图所示：在△中，；
（11）等腰三角形的判定（C）
等腰三角形判定定理1：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角对的边也相等，简称“等角对等边”
几何语言：如上图所示：在△中，；
注意：等角对等边只限于在同一个三角形中使用。
等腰三角形判定定理2：如果一个三角形一边上的中线、高线和对角的角平分线互相重合，那么这个三角形是等腰三角形；
几何语言：如上图所示：在△中，；
（12）等边三角形的性质和判定（B）
性质1：等边三角形的三个角相等，且每个角都是；如图所示：
性质2：等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，它得任意一角的平分线都垂直平分对边、三边的垂直平分线是对称轴。
等边三角形判定1：有一个角是的等腰三角形是等边三角形。
等边三角形判定2：三个角都相等的三角形是等边三角形。
（13）直角三角形的概念（A）
三角形中，有一个角是直角的三角形叫做直角三角形；记作“△”如△；
（14）直角三角形的性质和判定（C）
性质1：有一个锐角为的直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半。
几何语言：如下图（1）所示：在△中，；

（1） （2） （3） （4）
性质2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
几何语言：如上图（2）所示：在△中，；
（15）勾股定理及其逆定理（D）
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方；如上图（3）所示
几何语言：如果直角三角形的两条直角边用表示，斜边用表示，那么勾股定理可以表示为 ；
勾股定理逆定理：如果三角形的三边长满足，那么这个三角形就是直角三角形；如上图（3）所示；
（16）角平分线性质定理及其逆定理（C）
角平分线的性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。如上图（4）所示：是的平分线，且；
在应用时应关注：①是不是角平分线上的点；②是不是到角的两边上的垂线段
角平分线判定定理：到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的角平分线上。如上图（4）所示：且；
（17）线段垂直平分线定理及其逆定理（C）
线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两端点的距离相等。
线段垂直平分线的判定：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。
（18）三角形的中位线定理（C）
中位线的定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
三角形中位线定理：三角形两边中点连线平行于第三边，并且等于第三边的一半；
①一个三角形有三条中位线；如下图②三角形中位线定理的使用格式是：
如下图，

（19）三角形重心的概念（A）
三角形的三条中线的交点叫做三角形的重心。
（1）多边形的有关概念（A）
多边形的定义：在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次连接组成的封闭图形叫做多边形；多边形的边：在组成多边形的线段叫做多边形的边； 多边形的顶点：相邻两边的公共端点；
多边形的外角：在顶点处一边与另一边的延长线所组成的角；
多边形的内角：多边形中相邻两边组成的角叫做多边形的内角；
多边形的命名：一般按边数命名，并且用各个顶点的字母顺次排列来表示；如五边形
多边形的对角线：多边形中连接不相邻两个顶点的线段；边形的对角线总条数为
正多边形：各边相等，各个内角都相等的多边形叫做正多边形；
AA
（2）多边形的内角和与外角和（C）
多边形的内角和：设多边形的边数为，连接多边形的对角线将多边形分成个三角形，根据三角形内角和定理可知，多边形的内角和为（其中为不小于的整数）
多边形的外角和：设多边形的边数为，因为每个外角和它相邻的内角互补，所以外角和为（其中为不小于的整数）
（3）四边形的不稳定性（A）
四边形具有不稳定性，也就是说各边长确定后，图形形状不能确定，四边形的不稳定性在生活生产中也有广泛的应用。
（4）平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念（B）
平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形；用符号“ ”表示，平行四边形记作 ，根据定义和平行线的性质可知：平行四边形的对边平行，相邻的内角互为补角；
矩形的概念：有一个角是直角的平行四边形是矩形；矩形就是长方形。
菱形的概念：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
正方形的概念： 有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形。

平行四边形 矩形 菱形 正方形 是平行四边形
重要结论：⑴顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形；如上图分别是四边形各边上的中点，则四边形是平行四边形。
⑵平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段线段相等，那么在其他直线上截得的线段线段也相等。如上图AA所示 几何语言：
推论：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。
（5）平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系（B）

（6）平行四边形的性质和判定（D）
平行四边形性质1：平行四边形的对边平行且相等；如上图所示，
平行四边形性质2：平行四边形对角相等，邻角互补；如上图所示
平行四边形性质3：平行四边形对角线互相平分；如上图所示
平行四边形判定1：平行四边形的定义（两组对边分别平行的四边形）
平行四边形判定2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；如下图（1）所示
平行四边形判定3：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；如下图（2）所示
平行四边形判定4：对角线互相平分的四边形是平行四边形；如下图（3）所示
平行四边形判定5：两组对角分别相等的四边形是平行四边形；如下图（4）所示

（1）一组对边平行且相等（2）两组对边分别相等 （3）对角线互相平分 （4）两组对角分别相等

总结归纳：
（7）矩形、菱形、正方形的性质和判定（D）
矩形性质：矩形具有平行四边形的一切性质，但是还有自己的一些特有性质：①矩形的四个角都是直角；②矩形的两条对角线互相平分且相等。如下图所示：
矩形的对角线把矩形分为两个全等的直角三角形。
矩形判定1：利用定义判断，
如图，
矩形判定2：对角线相等的平行四边形是矩形；如图所示
矩形判定3：对角线互相平分且相等的四边形是矩形。
矩形判定4：三个角是直角的四边形是矩形。
菱形性质：菱形具有平行四边形的一切性质，但是还有自己的一些特有性质：①菱形的四条边相等；②菱形的对角线互相垂直，且菱形面积等于对角线乘积的一半；如下图所示：；，；

菱形判定1：菱形的定义；
如上图所示
矩形判定2：四条边都相等的四边形是菱形；如上图所示
矩形判定3：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。如上图所示
正方形性质：正方形不仅具有平行四边形的一切性质，而且还同时具有矩形和菱形的一切性质：①正方形的四条边相等，四个角都是直角；②正方形的对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；如下图所示：；；，
正方形判定1：正方形的定义
如上图所示
正方形判定2：有一组邻边相等的矩形是正方形；如上图所示
矩形判定3：有一个角是直角的菱形时正方形。如上图所示
矩形判定3：既是矩形又是菱形的四边形是正方形；
（1）圆的有关概念（B）
（2）弧、弦、圆心角的概念（B）
（3）点与圆的位置关系（A）
（4）圆的性质（C）
（5）圆周角定理及其推论（C）
（6）圆内接四边形对角互补（B）
（7）三角形的内心与外心（A）
（8）直线与圆的位置关系（A）
（9）切线的概念（C）
（10）切线与过切点的半径之间的关系（C）
（11）过圆上一点画圆的切线（B）
（12）弧长及扇形面积的计算（A）
（13）正多边形的概念（A）
（14）正多边形与圆的关系（A）
（1）作一条线段等于已知线段 （2）作一个角等于已知角
（3）作一个角的平分线 （4）作一条线段的垂直平分线
（5）过一点作已知直线的垂线 （6）已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形
（7）已知底边及其底边上的高线作等腰三角形 （8）已知一直角边和斜边作直角三角形
（9）过不在同一直线上的三点作圆
（10）作三角形的外接圆、内切圆 （11）作圆的内接正方形和正六边形
注：在尺规作图中要求了解作图的道理，保留作图的痕迹，不要求写出作法。
（1）定义、命题、定理、推论的意义（A）
定义：能明确界定某个对象含义的语句叫做定义。如：“不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形”
命题：对某一事件作出正确或者不正确判断的语句。数学命题具有如下三个特征：
⑴数学命题具有判断性；⑵数学命题有真假之分。正确的命题称为真命题，要判断一个命题是真命题需要进行证明；错误的命题称为假命题，而判断一个命题是假命题只要举出一个反例就可以；⑶数学命题的结构有固定的形式。每个命题都是由题设（条件）和结论两部分构成。
定理：从基本事实或其他真命题出发,用推理方法判断为正确的，并被选作判断命题真假的依据 ,像这样的命题叫做定理。如：同角的补角相等
推论：由基本事实、定理直接得出的真命题叫做推论。如“直角三角形的两个锐角互余”。
演绎推理（也叫证明）：从已知条件出发，依据定义、基本事实、已证定理，并按照逻辑规则，推导出结论，这一方法称为演绎推理。
（2）区分命题的条件和结论（B）
命题通常可以写成“如果┉，那么┉”的形式，也可以写成“若┉，则┉”的形式；其中以“如果”或“若”开始的部分是条件。“那么”或“则”后面的部分是结论。
比如：命题：“同角的余角相等”的条件部分是“两个角是同一个角的余角”，结论部分是“这两个角相等”
（3）原命题及其逆命题的概念（A）
互逆命题：两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件。那么这两个命题叫做互逆命题。其中一个叫做原命题；另一个叫做原命题的逆命题。
（4）识别两个互逆命题，并判断其真假（B）
每个命题都有逆命题，但有些逆命题不是简单地将原命题的条件和结论互换位置，而是需要正确运用数学语言。注意：原命题是真命题，其逆命题不一定是真命题；原命题是假命题，其逆命题不一定是假命题。要判断一个命题是真命题需要进行证明，而判断一个命题是假命题只要举出一个反例就可以；
（5）利用反例判断一个命题是错误的（A）
反例：符合命题的条件，但是不满足命题结论的例子，叫做反例。
命题:“如果，那么”是假命题，举反例：当时，
（6）反证法的含义（B）
反证法：先假设命题的反面成立，然后经过逻辑推理和推导，得出与已知条件或者定理，推论相矛盾的结论，证明这个命题是假命题，从而使原命题得到肯定。例如：
假设，则，这与，所以假设不成立，所以
（7）综合法证明的格式与过程（C）
在证明时，要分清命题的条件和结论，如果问题与图形有关，首先，根据条件画出图形，并在图形上标出有关字母与符号（建议同学们使用铅笔）；再结合图形，写出已知、求证；然后，分析因果关系，找出证明的途径；最后有条理地写出证明过程。应该注意：在证明过程中的每一步都要有依据（可以是定义、定理、推论、基本事实等）。
（1）画基本几何体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图
（2）判断简单物体的三视图，根据三视图描述基本几何体或实物模型
（3）直棱柱、圆锥的侧面展开图（4）中心投影与平行投影
（1）轴对称的概念（2）轴对称的基本性质
（3）画简单平面图形关于给定对称轴的对称图形
（4）等腰三角形、矩形、菱形、正多边形、圆的轴对称性及其相关性质
（5）轴对称图形概念及生活中的轴对称图形
（1）平移的概念
（2）平移的基本性质
（3）作简单平面图形平移后的图形
（4）平移在现实生活中的应用
（1）旋转的概念（2）旋转的基本性质
（3）中心对称、中心对称图形
（4）中心对称的基本性质
（5）线段、平行四边形、正多边形、圆的中心对称性
（6）作简单平面图形旋转后的图形
（7）旋转在现实生活中的应用
（8）利用轴对称、旋转、平移进行图案设计
（1）比例的基本性质（A）
比例的基本性质：如果，那么；如果，那么
合比的性质：如果，那么；
等比的性质：如果，那么
证明：
（2）线段的比、成比例线段（A）
线段的比：用同一单位去度量两条线段，得到他们的长度，我们把这两条线段长度的比叫做这两条线段的比，记作。注意：两条线段的比是有顺序的，不可颠倒，除了外，
成比例线段：对于四条线段，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，即或（），那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
其中，叫做组成比例的项；线段叫做比例外项，线段叫做比例内项。
比例中项：如果作为比例内项的两条线段相等，即线段之间有，那么线段叫做线段的比例中项
判断四条线段是否成比例的方法：先将四条线段按大小进行排序，然后检验最长线段和最短线段的乘积与中间两条线段长度的乘积是否相等，如果相等就成比例，否则不成比例。例如：四条线段，先排序
，然后计算，所以四条线段不成比例。
（3）黄金分割（A）
黄金分割：把一条线段分成两部分，使其中较长线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，分割点叫做这条线段的黄金分割点，比值叫做黄金数。如图下所示：，注意：对于一条线段来说，有两个黄金分割点。
（4）图形相似的概念（A）
相似形：把形状相同的两个图形说成相似形。注意：相似的图形形状一定相同，但是大小不一定相同。要把相似形和全等形区分开。
（5）相似多边形和相似比（A）
相似多边形：如果两个边数相同的多边形对应边长度的比相等，对应角相等，那么这两个多边形叫做相似多边形.，应该注意：判定多边形相似，必须对应边长度的比相等，对应角相等同时满足。
相似比：相似多边形对应边长度的比叫做相似比或者相似系数。如下图（1）所示：△∽△，设相似比为，则

（1） （2） （3）
（6）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例（C）
平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等。如上图（2）所示，两条直线被三条平行线所截，如果，那么
平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行线所截，截得的对应线段成比例；如上图（3）所示，两条直线被三条平行线所截，那么或者 或者，总结为：，必须注意线段之间的对应，同时还要结合比例线段的性质进行综合应用。
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的线段成比例。如下图所示，△中，分别交边于点。那么或者
△中，分别交边的延长线于点。那么或者

（7）相似三角形的概念和性质 （B）
相似三角形的概念：如果两个三角形的对应边长度的比相等，三个角对应相等，那么这两个三角形相似；即在△和△中，如果，，那么△∽△。用符号“∽”表示相似。
注意：如果△∽△，它的相似比为，是指，而△∽△的相似比就不是，而是
相似三角形的性质：如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例；除此之外，还有如下重要性质定理：
相似三角形的性质定理1：相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。

（1） （2） （3）
如图（1）所示，已知△∽△，它们的相似比为，是对应高，求证：
证明：△∽△，
△∽△
如图（2）所示，已知△∽△，它们的相似比为，是对应中线，求证：
证明：△∽△， ，设，则，
，，△∽△，
如图（3）所示，已知△∽△，它们的相似比为，是对应角的平分线，求证：
证明：△∽△，，
，
，△∽△，
相似三角形的性质定理2：相似三角形周长的比等于相似比。
如果△∽△，它们的相似比为，那么，由等比的性质，得
相似三角形的性质定理3：相似三角形面积的比等于相似比的平方。
如果△∽△，它们的相似比为，是对应高，，根据三角形面积计算公式及性质定理1，得
（8）相似三角形的判定定理（B）
直角三角形相似的判定定理：
（9）图形的位似（A）

（10）利用位似将一个图形放大或缩小（B）

（11）利用图形的相似解决一些简单的实际问题（C）

（12）锐角三角函数的意义（B）
（13）30°、45°、60°角的三角函数值 （B）

（14）解直角三角形及其简单的实际问题 （C）
（1）简单图形轴对称变换后对应点的坐标关系

（2）简单图形平移变换后对应点的坐标关系

（3）简单图形位似变换后对应点的坐标关系
（1）数据的收集、整理
（2）抽样、样本

（3）统计图（条形图、折线图、扇形图）
（4）平均数的意义

（5）数据集中趋势
（6）计算众数、中位数、加权平均数

（7）频数的概念
（8）频数分布的意义和作用
（9）画频数直方图

（10）用频数直方图解释数据中蕴涵的信息
（11）数据的离散程度、方差

（12）用样本估计总体
（13）根据统计结果做出简单的判断和预测

（14）通过表格、折线图、趋势图等，感受随机现象的变化
（1）概率的意义
（2）必然事件、不可能事件、不确定事件
（3）用列表、画树状图等方法列出简单随机事件所有可能的结果，
以及指定事件发生的所有可能结果
（4）用频率估计概率

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