资源简介

专题一 各种性质的力和物体的平衡
【考纲要求】
内 容
要求
说 明
7、力的合成和分解 力的平行四边形定则（实验、探究）
Ⅱ
力的合成和分解的计算，只限于用作图法或直角三角形知识解决
8、重力 形变和弹力 胡克定律
Ⅰ
弹簧组劲度系数问题的讨论不作要求
9、静摩擦 滑动摩擦 摩擦力 动摩擦因数
Ⅰ
不引入静摩擦因数
10、共点力作用下物体的平衡
Ⅰ
解决复杂连接体的平衡问题不作要求
31、库仑定律
Ⅱ
33、电场强度 点电荷的场强
Ⅱ
电场的叠加只限于两个电场强度叠加的情形
50、安培力 安培力的方向
Ⅰ
51、匀强磁场中的安培力
Ⅱ
计算限于直导线跟B平行或垂直的两种情况，通电线圈磁力矩的计算不作要求
52、洛伦兹力 洛伦兹力的方向
Ⅰ
53、洛伦兹力公式
Ⅱ
【重点知识梳理】
一．各种性质的力：
1．重力：重力与万有引力、重力的方向、重力的大小G = mg (g随高度、纬度、地质结构而变化)、重心（悬吊法，支持法）；
2．弹力：产生条件（假设法、反推法）、方向（切向力，杆、绳、弹簧等弹力方向）、大小F = Kx (x为伸长量或压缩量,K为倔强系数，只与弹簧的原长、粗细和材料有关) ；
3．摩擦力：产生条件（假设法、反推法）、方向（法向力，总是与相对运动或相对运动趋势方向相反）、大小（滑动摩擦力：f= (N ；静摩擦力： 由物体的平衡条件或牛顿第二定律求解）；
4．万有引力：F=G （注意适用条件）；
5．库仑力：F=K (注意适用条件) ；
6．电场力：F=qE (F 与电场强度的方向可以相同，也可以相反)；
7．安培力 ： 磁场对电流的作用力。 公式：F= BIL （B(I） 方向一左手定则；
8．洛仑兹力：磁场对运动电荷的作用力。公式：f=BqV (B(V) 方向一左手定则；
9．核力：短程强引力。
二．平衡状态：
1．平衡思想：力学中的平衡、电磁学中的平衡（电桥平衡、静电平衡、电磁流量计、磁流体发电机等）、热平衡问题等；静态平衡、动态平衡；
2．力的平衡：共点力作用下平衡状态：静止（V=0，a=0）或匀速直线运动（V≠0，a=0）；物体的平衡条件，所受合外力为零。(F=0 或(Fx=0 (Fy=0；推论：[1]非平行的三个力作用于物体而平衡，则这三个力一定共点。[2]几个共点力作用于物体而平衡，其中任意几个力的合力与剩余几个力（一个力）的合力一定等值反向
三、力学中物体平衡的分析方法：
1．力的合成与分解法（正交分解法）；
2．图解法；
3．相似三角形法；
4．整体与隔离法；
【分类典型例题】
一．重力场中的物体平衡：
题型一：常规力平衡问题
解决这类问题需要注意：此类题型常用分解法也可以用合成法，关键是找清力及每个力的方向和大小表示！多为双方向各自平衡，建立各方向上的平衡方程后再联立求解。
［例1］一个质量m的物体放在水平地面上,物体与地面间的摩擦因数为μ,轻弹簧的一端系在物体上,如图所示.当用力F与水平方向成θ角拉弹簧时,弹簧的长度伸长x，物体沿水平面做匀速直线运动.求弹簧的劲度系数.
［解析］可将力F正交分解到水平与竖直方向，再从两个方向上寻求平衡关系！水平方向应该是力F的分力Fcos与摩擦力平衡，而竖直方向在考虑力的时候，不能只考虑重力和地面的支持力，不要忘记力F还有一个竖直方向的分力作用！
水平： Fcos=FN ①
竖直：FN ＋ Fsin=mg ②
F=kx ③
联立解出：k=
［变式训练1］ 如图，质量为m的物体置于倾角为θ的斜面上，先用平行于斜面的推力F1作用于物体上，能使其能沿斜面匀速上滑，若改用水平推力作用于物体上，也能使物体沿斜面匀速上滑，则两次力之比F1/F2=?
题型二：动态平衡与极值问题
解决这类问题需要注意：（1）、三力平衡问题中判断变力大小的变化趋势时，可利用平行四边形定则将其中大小和方向均不变的一个力，分别向两个已知方向分解，从而可从图中或用解析法判断出变力大小变化趋势，作图时应使三力作用点O的位置保持不变．
（2）、一个物体受到三个力而平衡，其中一个力的大小和方向是确定的，另一个力的方向始终不改变，而第三个力的大小和方向都可改变，问第三个力取什么方向这个力有最小值，当第三个力的方向与第二个力垂直时有最小值，这个规律掌握后，运用图解法或计算法就比较容易了．
［例2］ 如图2-5-3所示，用细线AO、BO悬挂重力，BO是水平的，AO与竖直方向成α角．如果改变BO长度使β角减小，而保持O点不动，角α（α < 450）不变，在β角减小到等于α角的过程中，两细线拉力有何变化？
［解析］取O为研究对象，O点受细线AO、BO的拉力分别为F1、F2，挂重力的细线拉力F3 = mg．F1、F2的合力F与F3大小相等方向相反．又因为F1的方向不变，F的末端作射线平行于F2，那么随着β角的减小F2末端在这条射线上移动，如图2-5-3(解)所示．由图可以看出，F2先减小，后增大，而F1则逐渐减小．
［变式训练2］如图所示，轻绳的一端系在质量为m的物体上，另一端系在一个圆环上，圆环套在粗糙水平横杆MN上，现用水平力F拉绳上一点，使物体处在图中实线位置.然后改变F的大小使其缓慢下降到图中虚线位置，圆环仍在原来位置不动，则在这一过程中，水平拉力F、环与横杆的摩擦力f和环对杆的压力N的变化情况是( )
A.F逐渐减小，f逐渐增大，N逐渐减小?
B.F逐渐减小，f逐渐减小，N保持不变
C.F逐渐增大，f保持不变，N逐渐增大
D.F逐渐增大，f逐渐增大，N保持不变?
［变式训练3］如图所示，小球用细线拴住放在光滑斜面上，用力推斜面向左运动，小球缓慢升高的过程中，细线的拉力将：( )
A.先增大后减小 B.先减小后增大
C.一直增大 D.一直减小
［变式训练4］如图是给墙壁粉刷涂料用的“涂料滚”的示意图．使用时，用撑竿推着粘有涂料的涂料滚沿墙壁上下缓缓滚动，把涂料均匀地粉刷到墙上．撑竿的重量和墙壁的摩擦均不计，而且撑竿足够长，粉刷工人站在离墙壁一定距离处缓缓上推涂料滚，该过程中撑竿对涂料滚的推力为F1，涂料滚对墙壁的压力为F2，以下说法正确的是 （ ）
（A）F1增大 ， F2减小　　　　（B）F1减小， F2 增大
（C）F1、、F2均增大　　　　　　（D）F1、、F2均减小
题型三：连接体的平衡问题
解决这类问题需要注意：由于此类问题涉及到两个或多个物体，所以应注意整体法与隔离法的灵活应用。考虑连接体与外界的作用时多采用整体法，当分析物体间相互作用时则应采用隔离法。
［例3］有一个直角支架AOB，AO是水平放置，表面粗糙．OB竖直向下，表面光滑．OA上套有小环P，OB套有小环Q，两环质量均为m，两环间由一根质量可以忽略、不可伸长的细绳相连，并在某一位置平衡，如图2-5-1所示．现将P环向左移一小段距离，两环再次达到平衡，那么移动后的平衡状态和原来的平衡状态相比较，AO杆对P的支持力FN和细绳上的拉力F的变化情况是：（ ）
A．FN不变，F变大 B．FN不变，F变小
C．FN变大，F变大 D．FN变大，F变小
［解析］选择环P、Q和细绳为研究对象．在竖直方向上只受重力和支持力FN的作用，而环动移前后系统的重力保持不变，故FN保持不变．取环Q为研究对象，其受如图2-5-1(解)所示．Fcosα = mg，当P环向左移时，α将变小，故F变小，正确答案为B．
［变式训练5］如图所示，一个半球形的碗放在桌面上，碗口水平，O是球心，碗的内表面光滑。一根
轻质杆的两端固定有两个小球，质量分别是m1，m2. 当它们静止时，m1、m2与球心的连线跟水平面分别成60°，30°角，则碗对两小球
的弹力大小之比是…………………………………（ ）
A．1：2 B．
C．1： D．：2
题型四：相似三角形在平衡中的应用
［例4］如图2-5-2所示，轻绳的A端固定在天花板上，B端系一个重力为G的小球，小球静止在固定的光滑的大球球面上．已知AB绳长为l，大球半径为R，天花板到大球顶点的竖直距离AC = d，∠ABO > 900．求绳对小球的拉力和大球对小球的支持力的大小．（小球可视为质点）
［解析］：小球为研究对象，其受力如图1.4.2(解)所示．绳的拉力F、重力G、支持力FN三个力构成封闭三解形，它与几何三角形AOB相似，则根据相似比的关系得到：==，于是解得F = G，FN = G．
〖点评〗本题借助于题设条件中的长度关系与矢量在角形的特殊结构特点，运用相似三角形巧妙地回避了一些较为繁琐的计算过程．
［变式训练6］如图所示，一轻杆两端固结两个小球A、B，mA=4mB，跨过定滑轮连接A、B的轻绳 长为L，求平衡时OA、OB分别为多长？

［变式训练7］如图所示，竖直绝缘墙壁上固定一个带电质点A，A点正上方的P点用绝缘丝线悬挂另一质点B，A、B两质点因为带电而相互排斥，致使悬线与竖直方向成θ角.由于漏电A、B两质点的带电量缓慢减小，在电荷漏完之前，关于悬线对悬点P的拉力F1大小和A、B间斥力F2在大小的变化情况，下列说法正确的是………………… （ ）
A．F1保持不变 B．F1先变大后变
C．F2保持不变 D.F2逐渐减小
二、复合场中的物体平衡：
题型五：重力场与电场中的平衡问题
解决这类问题需要注意：重力场与电场的共存性以及带电体受电场力的方向问题和带电体之间的相互作用。
［例5］在场强为E，方向竖直向下的匀强电场中，有两个质量均为m的带电小球，电荷量分别为+2q和-q，两小球用长为L的绝缘细线相连，另用绝缘细线系住带正电的小球悬挂于O点处于平衡状态，如图14所示，重力加速度为g，则细绳对悬点O的作用力大小为_______．两球间细线的张力为 .
［解析］2mg+Eq mg－Eq－2kq2/L2
［变式训练8］已知如图所示,带电小球A、B的电荷量分别为QA、QB，OA=OB，都用长为L的丝线悬挂于O点。静止时A、B相距为d，为使平衡时A、B间距离减小为d/2，可采用的方法是（ ）
A ．将小球A、B的质量都增加到原来的两倍
B ．将小球B的质量增加为原来的8倍
C ．将小球A、B的电荷都减少为原来的一半
D ．将小球A、B的电荷都减少为原来的一半，
同时将小球B的质量增加为原来的2倍
题型六：重力场与磁场中的平衡问题
解决这类问题需要注意：此类题型需注意安培力的方向及大小问题，能画出正确的受力分析平面图尤为重要。
［例6］ 在倾角为θ的光滑斜面上，放置一通有电流I、长L、质量为m的导体棒，如图所示，试求:
(1)使棒静止在斜面上，外加匀强磁场的磁感应强度B最小值和方向.
(2)使棒静止在斜面上且对斜面无压力，外加匀强磁场磁感应强度B的最小值和方向.
［解析］(1)，垂直斜面向下 (2)，水平向左
［变式训练9］质量为m的通电细杆ab置于倾角为θ的导轨上，导轨的宽度为d，杆ab与导轨间的摩擦因数为μ.有电流时，ab恰好在导轨上静止，如图所示.图(b)中的四个侧视图中，标出了四种可能的匀强磁场方向，其中杆ab与导轨之间的摩擦力可能为零的图是( ).
答案:AB
［变式训练10］如图（a），圆形线圈P静止在水平桌面上，其正上方悬挂一相同的线圈Q，P和Q共轴.Q中通有变化电流，电流随时间变化的规律如图（b）所示.P所受的重力为G，桌面对P的支持力为N，则（ ）
A.t1时刻N＞G B.t2时刻N＞G C.t3时刻N＜G D.t4时刻N=G
［变式训练11］如图所示，上下不等宽的平行金属导轨的EF和GH两部分导轨间的距离为2L，I J和MN两部分导轨间的距离为L，导轨竖直放置，整个装置处于水平向里的匀强磁场中，金属杆ab和cd的质量均为m，都可在导轨上无摩擦地滑动，且与导轨接触良好，现对金属杆ab施加一个竖直向上的作用力F，使其匀速向上运动，此时cd处于静止状态，则F的大小为（ ）
A．2mg B．3mg C．4mg D．mg
题型七：重力场、电场、磁场中的平衡问题
解决这类问题需要注意：应区分重力、电场力、磁场力之间的区别及各自的影响因素。
［例7］ 如图1-5所示，匀强电场方向向右，匀强磁场方向垂直于纸面向里，一质量为带电量为q的微粒以速度与磁场垂直、与电场成45?角射入复合场中，恰能做匀速直线运动，求电场强度E的大小，磁感强度B的大小。
［解析］: 由于带电粒子所受洛仑兹力与垂直，电场力方向与电场线平行，知粒子必须还受重力才能做匀速直线运动。假设粒子带负电受电场力水平向左，则它受洛仑兹力就应斜向右下与垂直，这样粒子不能做匀速直线运动，所以粒子应带正电，画出受力分析图根据合外力为零可得，
（1） （2）由（1）式得，由（1），（2）得
［变式训练12］如图所示，匀强磁场沿水平方向，垂直纸面向里，磁感强度B=1T，匀强电场方向水平向右，场强E=10N/C。一带正电的微粒质量m=2×10-6kg，电量q=2×10-6C，在此空间恰好作直线运动，问：（1）带电微粒运动速度的大小和方向怎样？
（2）若微粒运动到P点的时刻，突然将磁场撤去，那么经多少时间微粒到达Q点？（设PQ连线与电场方向平行）

【能力训练】
1．如图所示，物体A靠在竖直墙面上，在力F作用下，A、B保持静止．物体A的受力个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
2．如图所示，轻绳两端分别与A、C两物体相连接，mA=1kg，mB=2kg，mC=3kg，物体A、B、C及C与地面间的动摩擦因数均为μ=0.1，轻绳与滑轮间的摩擦可忽略不计，若要用力将C物体匀速拉动，则所需要加的拉力最小为（取g=10m/s2）( )
A．6N B．8N C．10N D．12N
3．如图所示，质量为m的带电滑块，沿绝缘斜面匀速下滑。当带电滑块滑到有着理想边界的方向竖直向下的匀强电场区域时，滑块的运动状态为（电场力小于重力） ( )
A．将减速下滑 B．将加速下滑
C．将继续匀速下滑 D．上述三种情况都有可能发生
4．如图所示，A、B为竖直墙面上等高的两点，AO、BO为长度相等的两根轻绳，CO为一根轻杆，转轴C在AB中点D的正下方，AOB在同一水平面内，(AOB＝120(，(COD＝60(，若在O点处悬挂一个质量为m的物体，则平衡后绳AO所受的拉力和杆OC所受的压力分别为……………………………………………( )
A．mg，mg 　　B．mg，mg
C．mg，mg D．mg，mg
5．如图所示的天平可用来测定磁感应强度.天平的右臂下面挂有一个矩形线圈，宽为l，共N匝.线罔的下部悬在匀强磁场中，磁场方向垂直纸而.当线圈中通有电流I(方向如图)时，在天平左、右两边加上质量各为m1、m2的砝码，天平平衡.当电流反向(大小不变)时，右边再加上质量为m的砝码后，天平重新平衡.由此可知( )
(A)磁感应强度的方向垂直纸面向里，大小为(m1-m2)g/NIl
(B)磁感应强度的方向垂直纸面向里，大小为mg/2NIl
(C)磁感应强度的方向垂直纸面向外，大小为(m1-m2)g/NIl
(D)磁感应强度的方向垂直纸面向外，大小为mg/2NIl

6．如图所示，两个完全相同的小球，重力大小为G．两球与水平地面间的动摩擦因数都为μ．一根轻绳两端固结在两个球上．在绳的中点施加一个竖直向上的拉力，当绳被拉直时，两段绳间的夹角为α，问当F至少多大时，两球将会发生滑动？

7．长为L宽为d质量为m总电阻为R的矩形导线框上下两边保持水平，在竖直平面内自由落下而穿越一个磁感应强度为B宽度也是d的匀强磁场区。已知线框下边刚进入磁场就恰好开始做匀速运动。则整个线框穿越该磁场的全过程中线框中产生的电热是___________。

8．直角劈形木块（截面如图）质量 M =2kg，用外力顶靠在竖直墙上，已知木块与墙之间最大静摩擦力和木块对墙的压力成正比，即fm = kFN，比例系数k = 0.5，则垂直作用于BC边的外力F应取何值木块保持静止．（g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8）

9．在如图所示的装置中，两个光滑的定滑轮的半径很小，表面粗糙的斜面固定在地面上，斜面的倾角为θ＝30°。用一根跨过定滑轮的细绳连接甲、乙两物体，把甲物体放在斜面上且连线与斜面平行，把乙物体悬在空中，并使悬线拉直且偏离竖直方向α＝60°。现同时释放甲乙两物体，乙物体将在竖直平面内振动，当乙物体运动经过最高点和最低点时，甲物体在斜面上均恰好未滑动。已知乙物体的质量为m＝1㎏，若取重力加速度g＝10m/s2。求：甲物体的质量及斜面对甲物体的最大静摩擦力。



专题一参考答案:
［变式训练1］：按甲图，F1=mgsinθ＋μmgcosθ
　　　按乙图，采用正交分解法
　　　x方向 F2cosθ－f－mgsinθ=0
　　　y方向 N－F2sinθ－mgsinθ=0
　　①上式联立得
　　　
［变式训练2］ B
［变式训练3］B
［变式训练4］ D
［变式训练5］ B
［变式训练6］［解析］：采用隔离法分别以小球A、B为研究对象并对它们进行受力分析（如图所示）可以看出如果用正交分解法列方程求解时要已知各力的方向，求解麻烦．此时采用相似三角形法就相当简单．
△AOE（力）∽△AOC（几何）T是绳子对小球的拉力
4mg/T=x/L1——（1）
△BPQ（力）∽△OCB（几何）
mg/T=X/L2——（2）
由（1）（2）解得：L1=L/5；L2=4L/5
［变式训练7］ AD
［变式训练8］BD
［变式训练9］AB
［变式训练10］AD]
［变式训练11］D
［变式训练12］（1）20m/s 方向与水平方向成60°角斜向右上方
（2）2s
【能力训练】
1 ．B 2． C 3． C 4 ．B 5．B 6．
7若直接从电功率计算，就需要根据求匀速运动的速度v、再求电动势E、电功率P、时间t，最后才能得到电热Q。如果从能量守恒考虑，该过程的能量转化途径是重力势能EP→电能E→电热Q，因此直接得出Q=2mgd ]
8．若木块刚好不下滑，Fsin37°+kFNcos37°=Mg，解得F=20N．
若木块刚好不上滑，Fsin37°= Mg+kFNcos37°，解得F=100N，所以取值为20N＜F＜100N．
9．解：设甲物体的质量为M，所受的最大静摩擦力为f，则当乙物体运动到最高点时，绳子上的弹力最小，设为T1， 对乙物体
此时甲物体恰好不下滑，有： 得：
当乙物体运动到最低点时，设绳子上的弹力最大，设为T2
对乙物体由动能定理：
又由牛顿第二定律：
此时甲物体恰好不上滑，则有： 得：
可解得：　 　　　　
专题二 牛顿运动定律在直线运动中的应用
【考纲要求】
内 容
要求
说 明
1．质点 参考系和坐标系
Ⅰ
非惯性参考系不作要求
2．路程和位移 时间和时刻
Ⅱ
3．匀速直线运动 速度和速率
Ⅱ
4．变速直线运动 平均速度和瞬时速度
Ⅰ
5．速度随时间的变化规律（实验、探究）
Ⅱ
6．匀变速直线运动 自由落体运动 加速度
Ⅱ
11．牛顿运动定律及其应用
Ⅱ
加速度不同的连接体问题不作要求；在非惯性系内运动的问题不作要求
12．加速度与物体质量、物体受力的关系（实验、探究）
Ⅱ
【重点知识梳理】
一.物体运动的描述
1．几个易混淆概念的区别
（1）路程与位移：路程是指物体运动__________，位移是表示物体位置变化的物理量，是从________到_________的一条_____线段。
（2）时间与时刻：时刻是时间轴上的一个______，与______（填“状态量”或“过程量”）相对应；时间是时间轴上的一条______，与__________（填“状态量”或“过程量”）相对应。
（3）平均速度与平均速率：平均速度是________与所用时间的比值，是矢量；平均速率是________与所用时间的比值，是矢量。
（4）速度变化、速度变化率、速度快慢：
2．加速度（a）
（1）物理意义：________________________________________________________
（2）定义式：________________________________________________________
（3）决定加速度的因素：__________________________；__________________________。
3．匀变速直线运动的规律：
（1）速度时间公式：_____________________（2）位移时间公式：_____________________
（3）位移速度公式：_____________________（4）中点时刻的瞬时速度：______________________
4．运动图象——读懂物理图象的“三步曲”：
（1）看明白坐标轴的所表示的物理量；
（2）弄清楚纵截距与横截距的物理意义。
（3）研究图线的形状（斜率、面积）；
二．牛顿运动定律
1．牛顿第一定律：定性的描述了力与运动的关系，力不是________________________的原因，是________________________的原因。
2．牛顿第二定律：定量的描述了力与运动的关系：_______________（公式）
3．牛顿第三定律：为我们转换研究对象提供了理论依据。
三．牛顿运动定律与直线运动
1．物体做直线运动的条件：_________________________________。
2．探究加速度与力、质量的关系：实验中应思考解决好以下三个问题：
（1）怎样测量（或比较）物体的加速度
（2）怎样提供和测量物体所受的恒力
（3）怎样由实验数据得出结论。
【分类典型例题】
题型一：运动基本概念的辨析与匀变速直线运动基本规律的应用
解决这类问题需要注意：这类习题最大的特点就是解法较多，选择一个较好的方法可以又快又准确地得到回答，关键是对基本概念、基本规律深入的理解与掌握。 虽然这类习题在高考试题中单独出现的可能性较小，但是在综合题中却是非常重要的环节，是完整给出正确答案的基础。
［例1］做匀加速直线运动的物体，依次通过A、B、C三点，位移sAB=sBC，已知物体在AB段的平均速度大小为3m/s，在BC段的平均速度大小为6m/s，那么物体在B点的瞬时速度大小为
A．4m/s B．4.5m/s C．5m/s D．5.5m/s
［解析］设A点的速度为vA、B点的速度为vB、C点的速度为vC，由平均速度的定义可知：AC段的平均速度为，由匀变速直线运动的规律可知：，，。解得：vA=1m/s，vB=5m/s，vC=7m/s。答案为B。
［变式训练1］物体以速度v匀速通过直线上的A、B两点间，需时为t。现在物体由A点静止出发，匀加速（加速度为a1）运动到某一最大速度vm后立即作匀减速运动（加速度为a2）至B点停下，历时仍为t，则物体的
A．vm只能为2v，无论a1、a2为何值 B．vm可为许多值，与a1、a2的大小有关
C．a1、a2值必须是一定的 D．a1、a2必须满足
题型二：追及与相遇的问题
解决这类问题需要注意：画出示意图来表明两个物体追及过程中的空间关系，特别注意的是两个物体相遇时的临界条件。
［例2］在一条平直的公路上，乙车以10m/s的速度匀速行驶，甲车在乙车的后面做初速度为15m/s，加速度大小为0.5m/s2的匀减速运动，则两车初始距离L满足什么条件可以使（1）两车不相遇；（2）两车只相遇一次；（3）两车能相遇两次（设两车相遇时互不影响各自的运动）。
［解析］设两车的速度相等经历的时间为t，则甲车恰能追及乙车，应有，其中，解得：L=25m。若L＞25m，则两车等速时也未追及，以后间距会逐渐增大。若L=25m时，则两车等速时恰追及，两车只相遇一次，以后间距会逐渐增大。若L＜25m，则两车等速时，甲车已运动到乙车的前面，以后还能再相遇一次。
［变式训练2］一木箱可视为质点，放在汽车水平车厢的前部，如图所示，已知木箱与汽车车厢底板之间的动摩擦因数为?。初始时，汽车和木箱都是静止的。现在使汽车以恒定的加速度a0开始启动沿直线运动。当其速度达到v0后做匀速直线运动。要使木箱不脱离车厢，距汽车车厢尾部的距离应满足什么条件？

题型三：牛顿定律与图象的综合应用。
解决这类问题需要注意： 利用图象分析研究对象的受力特点是及运动性质，然后结合题意运用牛顿第二定律。
［例3］固定光滑细杆与地面成一定倾角，在杆上套有一个光滑小环，小环在沿杆方向的推力F作用下向上运动，推力F与小环速度v随时间变化规律如图所示，取重力加速度g＝10m/s2。求：
（1）小环的质量m；
（2）细杆与地面间的倾角(。
［解析］（1）前2s： ①
由v—t图象可知
2s以后： ②
由①②得：
（2）由②式，所以?=30°。
［变式训练3］放在水平面上的物块，受到方向不变水平推力F的作用，F与时间t的关系和物块速度v与时间t的关系如图所示，取重力加速度g=10 m/s2。由此两图线可以求得物块的质量m和物块与地面之间的动摩擦因数?分别为
A．m=0.5kg，?=0.4
B．m=1.5kg，?=
C．m=0.5kg，?=0.2
D．m=1kg，?=0.2
题型四：连接体问题
解决这类问题需要注意：若连接体内（即系统内）各物体具有相同的加速度时，应先把连接体当成一个整体（即看成一个质点），分析其受到的外力及运动情况，利用牛顿第二定律求出加速度．若连接体内各物体间有相互作用的内力，则把物体隔离，对某个物体单独进行受力分析（注意标明加速度的方向），再利用牛顿第二定律对该物体列式求解。
［例4］如图所示，一辆汽车A拉着装有集装箱的拖车B，以速度v1＝30 m/s进入向下倾斜的直车道。车道每100 m下降2 m。为了使汽车
速度在s＝200 m的距离内减到v2＝10 m/s，驾驶员必须刹车。假定刹车时地面的摩擦阻力是恒力，且该力的70％作用于拖车B，30%作用于汽车A。已知A的质量m1＝2000 kg，B的质量m2＝6000 kg。求汽车与拖车的连接处沿运动方向的相互作用力。取重力加速度g＝10 m/s2。
［解析］汽车沿倾斜车道作匀减速运动，有：
用F表示刹车时的阻力，根据牛顿第二定律得：
式中：
设刹车过程中地面作用于汽车的阻力为f，依题意得：
用fN表示拖车作用汽车的力，对汽车应用牛顿第二定律得：
联立以上各式解得：。
［变式训练4］如图所示，在粗糙水平桌面上放有A、B两个物体，A、B间用一根轻质硬杆C 相连，已知物体A的质量是m1＝5kg，B的质量是m2＝3kg。A与桌面的动摩擦因数是
μ1=0.2，B与桌面间的动摩擦因数是μ2=0.5。现在A上施加水平向右的拉力F，使它们以v=10m/s的速度沿水平面向右匀速运动。已知g取10m/s2，求：
（1）水平向右的拉力F的大小及轻杆C上的弹力大小；
（2）若在某时刻突然撤去拉力F，则A、B在水平面上滑动的距离是多大？

题型五：弹簧变化过程中运动分析
解决这类问题需要注意： 弹簧的弹力是一种由形变决定大小和方向的力，注意弹力的大小与方向时刻要与当时的形变相对应。一般应从弹簧的形变分析入手，先确定弹簧原长位置、现长位置及临界位置，找出形变量x与物体空间位置变的几何关系，分析形变所对应的弹力大小、方向，弹性势能也是与原长位置对应的形变量相关。从此来分析计算物体运动状态的可能变化。
通过弹簧相联系的物体，有运动过程中经常涉及临界极值问题：如物体的速度达到最大；弹簧形变量达到最大；使物体恰好离开地面；相互接触的物体恰好脱离等。此类问题的解题关键是利用好临界条件，得到解题有用的物理量和结论。
［例5］如图所示，A、B两木块叠放在竖直轻弹簧上，已知木块A、B质量分别为0.42kg和0.40kg，弹簧的劲度系数k=100N/m，若在木块A上作用一个竖直向上的力F，使A由静止开始以0.5m/s2的加速度竖直向上做匀加速运动（g=10m/s2）。求：
（1）使木块A竖直做匀加速度运动的过程中，力F的最大值；
（2）若木块由静止开始做匀加速运动，直到A、B分离的过程中，弹簧的弹性势能减少了0.248J，求这一过程中F对木块做的功。
［解析］此题难点在于能否确定两物体分离临界点。
当F=0（即不加竖直向上F力）时，设木块A、B叠放在弹簧上处于平衡时弹簧原压缩量为x，有
kx=（mA+mB）g
即 ①
对于木块A施加力F，A、B受力如图所示。
对木块A有
F+N–mAg= mAa， ②
对于木块B有kx′–N–mBg= mBa。 ③
可知，当N≠0时，A、B加速度相同，由②式知欲使木块A匀加速度运动，随N减小F增大。当N=0时，F取得了最大值Fm，
即：Fm=mA（g+a）=4.41N。
又当N=0时，A、B开开始分离，由③式知，弹簧压缩量kx′=mB（a+g），
则： ④
木块A、B的共同速度 ⑤
由题知：此过程弹性势能减少了Wp=Ep=0.248J。
设F力所做的功为WF，对这一过程应用功能原理，得
⑥
联立①④⑤⑥式，得WF=9.64×10–2J。
［变式训练5］竖直放置的轻弹簧，上端与质量为3kg的物块B相连接。另一个质量为1kg的物块A放在B上。先向下压A，然后释放，A、B共同向上运动一段路程后将分离。分离后A又上升了0.2m到达最高点，此时B的速度方向向下，且弹簧恰好为原长。则从A、B分离到A上升到最高点过程中，弹簧弹力对B做功的大小及弹簧回到原长时B的速度大小。（取g=10m/s2）
A．12J，2m/s B．0，2m/s
C．0，0 D．4J，2m/s
【能力训练】
如图甲所示，某一同学沿一直线行走，现用频闪照相机记录了他行走过程中连续9个位置的图片，请你仔细观察该图片，则在图乙中最能接近真实反映该同学运动的v－t图象的是（ ）

2. 压敏电阻的阻值随所受压力的增大而减小，右位同学利用压敏电阻设计了判断小车运动
状态的装置，其工作原理如图（a）所示，将压敏电
阻和一块挡板固定在绝缘小车上，中间放置一个绝缘
重球。小车向右做直线运动过程中，电流表示数如图
（b）所示，下列判断正确的是（ ）
A．从t1到t2时间内，小车做匀速直线运动
B．从t1到t2时间内，小车做匀加速直线运动
C．从t2到t3时间内，小车做匀加速直线运动
D．从t2到t3时间内，小车做匀速直线运动
3.在秋收的打谷场上，脱粒后的谷粒用传送带送到平地上堆积起来形
成圆锥体，随着堆积谷粒越来越多，圆锥体体积越来越大，简化如
图所示。用力学知识分析得出圆锥体底角的变化情况应该是（ ）
A．不断增大 B．保持不变
C．不断减小 D．先增大后减小
4. 如图所示实线表示处在竖直平面内的匀强电场的电场线，与水平
方向成?角，水平方向的匀强磁场与电场正交，有一带电液滴沿斜
向上的虚线L做直线运动，L与水平方向成?角，且?＞?，则下列
说法中不正确的是（ ）
A．液滴一定做匀速直线运动 B．液滴一定带正电
C．电场线方向一定斜向上 D．液滴有可能做匀变速直线运动
5. 如图所示，光滑水平面上放置质量分别为m和2m
的四个木块，其中两个质量为m的木块间用一不
可伸长的轻绳相连，木块间的最大静摩擦力是
mg。现用水平拉力F拉其中一个质量为2m的木块，
使四个木块以同一加速度运动，则轻绳对m的最大拉力为（ ）
A． B． C． D．
6.球从空中自由下落，与水平地面相碰后弹到空中某一高度，其速
度一时间图象如图所示，则由图可知（ ）
A．小球下落的最大速度为5m/s
B．小球第一次反弹初速度的大小为5m/s
C．小球能弹起的最大高度为0.45m
D．小球能弹起的最大高度为1.25m
7.两辆游戏赛车a、b在两条平行的直车道上行驶。t＝0时两车都
在同一计时处，此时比赛开始。它们在四次比赛中的v－t图如
图所示。哪些图对应的比赛中，有一辆赛车追上了另一辆（ ）

8.如图所示，水平地面上有两块完全相同的木块AB，水平推力F作用在A上，用FAB代表A、B间的相互作用力，下列说法可能正确的是（ ）
A．若地面是完全光滑的，则FAB=F
B．若地面是完全光滑的，则FAB=F/2
C．若地面是有摩擦的，且AB未被推动，可能FAB=F/3
D．若地面是有摩擦的，且AB被推动，则FAB=F/2
9.如图所示，质量为m的滑块在水平面上撞向弹簧，当滑块将弹簧压缩了x0时速度减小到零，然后弹簧又将滑块向右推开。已知弹簧的劲度系数为k，滑块与水平面间的动摩擦因数为μ，整个过程弹簧未超过弹性限度，则（ ）
A．滑块向左运动过程中，始终做减速运动
B．滑块向右运动过程中，始终做加速运动
C．滑块与弹簧接触过程中最大加速度为
D．滑块向右运动过程中，当弹簧形变量时，
物体的加速度最大
10.如图所示，在离坡底距离为l的斜面上的C点竖直固定一直杆，
杆高也是l．杆上A端到斜面底B之间有一绝缘光滑细绳，一个
带电量为q、质量为m的小球穿心于绳上，整个系统处在水平向
右的匀强电场中，已知qE/mg=3/4．若小球从A点由静止开始沿
细绳无摩擦的滑下．若细绳始终没有发生形变，则小球带_____（选填“正”或“负”），小球滑到B点所用的时间____________．
11.如图在平板小车上固定一个大的密绕的通电螺线管，
车上有一框架，通过框架上的绝缘线将一金属杆放入
螺线管内（通过直径），金属杆长L=0.1m，质量
m=0.2kg，电阻R=0.2Ω．现用电动势E=1.5V，内阻
r=0.1Ω的电源为其供电．若小车原初速度v0=4 m/s，
因受水平恒力作用，经5 s小车向前移动10 m，在此
过程中金属棒的悬线恰竖直，杆始终与v0垂直，从上
往下看螺线管电流沿_________方向，其内部磁感强度
B为_______T．
12.在实验中得到小车做直线运动的s-t关系如图所示。
（1）由图可以确定，小车在AC段和DE段的运动
分别为_______
A．AC段是匀加速运动；DE段是匀速运动
B．AC段是加速运动；DE段是匀加速运动
C．AC段是加速运动；DE段是匀速运动
D．AC段是匀加速运动；DE段是匀加速运动
（2）在与AB、AC、AD对应的平均速度中，最接近小车在A点瞬时速度的是_________段中的平均速度。
13.某同学设计了一个探究加速度a与物体所受合力
F及质量m关系的实验，图（a）为实验装置简图。（交流电的频率为50Hz）
（1）图（b）为某次实验得到的纸带，根据纸带可求出小车的加速度大小为_______m/s2。
（保留二位有效数字）
（2）保持砂和砂桶质量不变，改变小车质量m，
分别得到小车加速度a与质量m及对应的1/m，数据如下表：
实验次数
1
2
3
4
5
6
7
8
小车加速度a/m·s–2
1.90
1.72
1.49
1.25
1.00
0.75
0.50
0.30
小车质量m/kg
0.25
0.29
0.33
0.40
0.50
0.71
1.00
1.67
4.00
3.45
3.03
2.50
2.00
1.41
1.00
0.60
请在方格坐标纸中画出a–1/m图线，并从图线求出小车加速度a与质量倒数1/m之间的关系式是 。
（3）保持小车质量不变，改变砂和砂桶质量，该同学根据实验数据作出了加速度a随合力F的变化图线如图（c）所示。该图线不通过原点，其主要原因是 。
14.如图所示，在光滑水平面AB上，水平恒力F推动质量m=1kg的物体从A点由静止开始作匀加速运动，物体到达B点时撤去F，物体经过B点后又冲上光滑斜面（设经过B点前后速度大小不变），最高能到达C点。用速度传感器测量物体的瞬时速度，下表给出了部分测量数据。（重力加速度g＝10 m/s2）
t（s）
0.0
0.2
0.4
…
2.4
2.6
…
v（m/s）
0.0
0.4
0.8
…
2.0
1.0
…
求：（1）恒力F的大小；（2）斜面的倾角(；（3）t＝2.1s时的瞬时速度v。

15.如图甲所示，两根足够长的光滑平行金属导轨，间距为L，与水平面的夹角?=30°，上端接有电阻R；匀强磁场垂直于导轨平面，现将一金属杆垂直于两导轨放置，并对金属杆施加平行于导轨向下的恒力F，杆最终匀速运动；改变恒力F的大小，杆匀速运动速度v与拉力F的关系图线，如图乙所示。不计金属杆和导轨的电阻，取重力加速度g=10m/s2，求：
（1）金属杆的质量；
（2）拉力F=12N时金属杆匀速运动的速度和电路中的电功率。

16.如图是建筑工地常用的一种“深穴打夯机”示意图，电动机带动两个滚轮匀速转动将夯杆从深坑提上来，当夯杆底端刚到达坑口时，两个滚轮彼此分开，将夯杆释放，夯杆只在重力作用下运动，落回深坑，夯实坑底，且不反弹。然后两个滚轮再次压紧，夯杆被提到坑口，如此周而复始。已知两个滚轮边缘的线速度恒为v=4m/s，滚轮对夯杆的正压力FN=2×104N，滚轮与夯杆间的动摩擦因数?=0.3，夯杆质量m=1×103kg，坑深h=6.4m，假定在打夯的过程中坑的深度变化不大可以忽略，g=10m/s2。求：
（1）夯杆被滚轮带动加速上升的过程中，加速度的大小；并在给出的坐标图中，定性画出夯杆在一个打夯周期内速度v随时间t变化的图象；
（2）每个打夯周期中，电动机对夯杆做的功；
（3）每个打夯周期中滚轮与夯杆间因摩擦产生的热量。

17.如图所示，在光滑桌面上叠放着质量为mA=2.0kg薄木板A和质量为mB=3kg的金属块B。A的长度L=2.0m。B上有轻线绕过定滑轮与质量为mC=1.0kg的物块C相连。B与A之间的滑动摩擦因数?=0.10，最大的静摩擦力可视为等于滑动摩擦力。忽略滑轮质量及与轴间的摩擦。起始时令各物体都处于静止状态，绳被拉直，B位于A的左端（如图所示），然后放手，求经过多长时间后B从A的右端脱离（设A的右端距滑轮足够远）（g取10m/s2）

专题二参考答案:
［变式训练］
1．AD
2．（1）当a0≤?g时，L＞0；（2）当a0＞?g时，
3．A
4．（1）15N，（2）16m
5．B
【能力训练】
1．A 2．C 3．B 4．D 5．B
6．AC 7．AC 8．BCD 9．AC
10．正
11．逆时针 0.32
12．（1）C；（2）AB，
13．（1）a=3.2m/s2；（2）图略，；（3）实验前未平衡摩擦力或平衡摩擦力不充分。
14．（1）由前三列数据可知物体在斜面上匀加速下滑时的加速度为
a1＝＝5m/s2，mg sin (＝ma1，可得：(＝30(，
（2）由后二列数据可知物体在水平面上匀减速滑行时的加速度大小为
a2＝＝2m/s2，(mg＝ma2，可得：(＝0.2，
（3）由2＋5t＝1.1＋2（0.8－t），解得t＝0.1s，即物体在斜面上下滑的时间为0.5s，
则t＝0.6s时物体在水平面上，其速度为v＝v1.2＋a2t＝2.3 m/s。
15．（1）m=0.5kg，（2）v=28m/s，P=886W。
16．（1）2m/s （2）7.2×104J （3）4.8×104J
17．4s。
专题三 曲线运动与航天(2课时)

【考纲要求】
内 容
要求
说 明
运动的合成与分解
Ⅱ
抛体运动
Ⅱ
斜抛运动只做定性要求
圆周运动、线速度、角速度、向心加速度
Ⅰ
角速度的方向不作要求
匀速圆周运动、向心力
Ⅱ
开普勒行星运动定律
Ⅰ
定量计算不作要求
万有引力定律及其应用
Ⅱ
三个宇宙速度
Ⅰ
定量计算只限第一宇宙速度
【重点知识梳理】
1．做曲线运动的物体在某点的速度方向，就是曲线在该点的切线方向。曲线运动一定是 运动。做曲线运动的条件：
2．运动的合成与分解均遵循平行四边形法则。合运动的各个分运动具有独立性、等时性。
3．平抛运动是 曲线运动。平抛运动的研究方法是：分解为水平方向的 和竖直方向的 运动．
4．匀速圆周运动是 曲线运动，在相等的时间里通过的 相等。质点
做匀速圆周运动的条件是 。
产生向心加速度的力称为向心力，由牛顿定律可知F= 。
5．天体的圆周运动问题
（1）向心力由万有引力提供。 （2）三个宇宙速度：
第一宇宙速度（环绕速度）： ＝，v=＝＝7.9km/s，是卫星绕地球做圆周运动的最大速度，是近地人造地球卫星的最小发射速度．
第二宇宙速度（脱离速度）：v＝11.2km/s，是使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度．
第三宇宙速度（逃逸速度） v＝16.7km/s，是使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度．
【分类典型例题】
题型一：平抛运动与圆周运动相结合
［例1］雨伞边缘半径为r，且离地面高为h。现让雨伞以角速
度绕伞柄匀速旋转，使雨滴从边缘甩出并落在地面上形成一圆圈，试求此圆圈的半径为。
［解析］所述情景如图所示，设伞柄在地面上的投影为O，雨滴 从伞的边缘甩出后将做平抛运动，其初速度为v0=r，落地时间为t，故。雨滴在这段时间内的水平位移为s= v0 t。由图可知，在直角三角形ABO中，=。
［题后反思］解本题的关键在于把题中所述情景与所学物理知识联系起来，同时注意立体图与平面图的联系。
题型二：圆周运动临界问题
［例2］如图所示，两绳系一质量为m=0.1kg的小球，两绳的另一端分别固定于轴的AB两处，上面绳长l=2m，两绳拉直时与轴的夹角分别为30°和45°，问球的角速度在什么范围内两绳始终有张力?
［解析］设两细线都拉直时，A、B绳的拉力分别为、，小球的质量为m，A线与竖直方向的夹角为，B线与竖直方向的夹角为，受力分析，由牛顿第二定律得：
当B线中恰无拉力时， ①
② 由①、②解得rad/s
当A线中恰无拉力时， ③
④ （3分） 由③、④解得rad/s
所以，两绳始终有张力，角速度的范围是rad/s rad/s
［题后反思］本题以圆周运动为情境，要求考生熟练掌握并灵活应用匀速圆周运动的规律，不仅考查考生对牛顿第二定律的应用，同时考查考生应用多种方法解决问题的能力。比如正交分解法、临界分析法等。综合性强，能考查考生多方面的能力，能真正考查考生对知识的掌握程度。体现了对考生分析综合能力和应用数学知识解决物理问题能力的考查。解决本题的关键，一是利用几何关系确定小球圆周运动的半径；二是对小球进行受力分析时，先假定其中一条绳上恰无拉力，通过受力分析由牛顿第二定律求出角速度的一个取值，再假定另一条绳上恰无拉力，求出角速度的另一个取值，则角速度的范围介于这两个值之间时两绳始终有张力。
［变式训练1］用一根细线一端系一小球（可视为质点），另一端固定在一光滑锥顶上，如图（1）所示，设小球在水平面内作匀速圆周运动的角速度为ω，线的张力为T，则T随ω2变化的图象是图（2）中的（ ）
题型三：万有引力定律的应用
［例3］我国在2007年发射一颗绕月运行的探月卫星“嫦娥1号”。设想“嫦娥1号”贴近月球表面做匀速圆周运动，测得其周期为T。“嫦娥1号”最终在月球上着陆后，自动机器人用测力计测得质量为m的仪器重力为P。已知引力常量为G，由以上数据可以求出的量有（ ）
A．月球的半径 B．月球的质量
C．月球表面的重力加速度 D．月球绕地球做匀速圆周运动的向心加速度
［解析］万有引力提供飞船做圆周运动的向心力，设飞船质量为mˊ，有，又月球表面万有引力等于重力，，两式联立可以求出月球的半径R、质量M、月球表面的重力加速度；故A、B、C都正确。
［题后反思］测试考点“万有引力定律”。本题以天体问题为背景，考查向心力、万有引力、圆周运动等知识。这类以天体运动为背景的题目，是近几年高考命题的热点，特别是近年来我们国家在航天方面的迅猛发展，更会出现各类天体运动方面的题。
题型四：同步卫星问题
［例4］发射地球同步卫星时，可认为先将卫星发射至距地面高度为h1的圆形近地轨道上，在卫星经过A点时点火（喷气发动机工作）实施变轨进入椭圆轨道，椭圆轨道的近地点为A，远地点为B。在卫星沿椭圆轨道运动经过B点再次点火实施变轨，将卫星送入同步轨道（远地点B在同步轨道上），如图所示。两次点火过程都是使卫星沿切向方向加速，并且点火时间很短。已知同步卫星的运动周期为T，地球的半径为R，地球表面重力加速度为g，求：
（1）卫星在近地圆形轨道运行接近A点时的加速度大小；
（2）卫星同步轨道距地面的高度。
［解析］：
（1）设地球质量为M，卫星质量为m，万有引力常量为G，卫星在近地圆轨道运动接近A点时加速度为aA，根据牛顿第二定律G=maA
可认为物体在地球表面上受到的万有引力等于重力 G 解得a=
（2）设同步轨道距地面高度为h2，根据牛顿第二定律有：
G=m 由上式解得：h2=
［题后反思］本题以地球同步卫星的发射为背景，考查学生应用万有引力定律解决实际问题的能力。能力要求较高。
题型五：双星问题
[例5]两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做圆周运动，现测得两星中心距离为R，其运动周期为T，求两星的总质量．
此题关键是知道双星运动的特征，即万有引力提供各自的向心力，向心力相同、周期相同、角速度相同。 答案： M1+M2=
【能力训练】
1．在平直公路上行驶的汽车中，某人从车窗相对于车静止释放一个小球，不计空气阻力，用固定在路边的照相机对小球进行闪光照相。在照相机的闪光灯连续闪亮两次的过程中，通过照相机拍得一张包含小球和汽车两个像的照片。已知闪光灯两次闪光的时间间隔为0.5s，第一次闪光时小球刚好释放、第二次闪光时小球恰好落地。对照片进行分析可知，在两次闪光时间间隔内，小球移动的水平距离为5m，汽车前进了5m。根据以上信息尚不能确定的是（已知g=10m/s2） （ ）
A．小球释放点离地的高度 B．第一次闪光时小车的速度
C．汽车做匀速直线运动 D．两次闪光的时间间隔内汽车的平均速度
2．一航天探测器完成对火星的探测任务后，在离开火星的过程中，由静止开始沿着与火星表面成一倾斜角的直线飞行，先加速运动，再匀速运动。探测器通过喷气而获得推动力。以下关于喷气方向的描述中正确的是（ ）
A．探测器加速运动时，沿直线向后喷气 B．探测器加速运动时，竖直向下喷气
C．探测器匀速运动时，竖直向下喷气 D．探测器匀速运动时，不需要喷气
3．如图所示，质量不计的轻质弹性杆P插入桌面上的小孔中，杆的另一端套有一个质量为m的小球，今使小球在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，且角速度为，则杆的上端受到球对其作用力的大小为（ ）
A． B．
C． D．不能确定
4．2006年10月18日， 世界首位女“太空游客”安萨里乘坐“联
盟号”飞船，成功飞入太空，她在国际空间站逗留了9天，安萨
里参与欧洲航天局的多项重要实验， 国际空间站是进行各种实
验的场所，所用仪器都要经过精选，下列仪器仍然可以在空间站中使用的有( )
A．水银气压计 B．天平 C．摆钟 D．多用电表
5．太阳系中的第二大行星——土星的卫星众多，目前已发现达数十颗。下表是有关土卫五和土卫六两颗卫星的一些参数。则两卫星相比较，下列判断正确的是（ ）
卫星
距土星的距离／km
半径/km
质量/kg
发现者
发现日期
土卫五
527000
765
2.49×1021
卡西尼
1672
土卫六
1222000
2575
1.35×1023
惠更斯
1655
A．土卫五的公转周期更小 　　　　B．土星对土卫六的万有引力更大
C．土卫五的公转角速度小　　 D．土卫五的公转线速度小
6．2003年8月29日，火星、地球和太阳处于三点一线上，上演了“火星冲日”的天象奇观，这是6万年来火星距地球最近的一次，与地球之间的距离只有5 576万公里，为人类研究火星提供了最佳时机．如图所示为美国宇航局最新公布的“火星冲日”的虚拟图，则（　　 ）
A．2003年8月29日，火星的线速度大于地球的线速度
B．2003年8月29日，火星的加速度大于地球的加速度
C．2004年8月29日，必将产生下一个“火星冲日”
D．火星离地球最远时，火星、太阳、地球三者必在一条直线上
7．“神舟”六号载人飞船在运行中，因受高空稀薄空气的阻力作用，
绕地球运转的轨道会慢慢改变。每次测量中飞船的运动可近似看
作圆周运动。某次测量飞船的轨道半径为r1，后来变为r2，r2以Ek1、Ek2表示飞船在这两个轨道上的动能，T1、T2表示飞船在这两个轨道上绕地球运动的周期，则（ ）
A．Ek2＜Ek1，T2＜T1 B．Ek2＜Ek1，T2＞T1
C．Ek2＞Ek1，T2＜T1 D．Ek2＞Ek1，T2＞T1
8． “探路者”号宇宙飞船在宇宙深处飞行过程中，发现A、B两颗天体各有一颗靠近表面飞行的卫星，并测得两颗卫星的周期相等，以下判断正确的是（ ）
A．天体A、B表面的重力加速度与它们的半径成正比 B．两颗卫星的线速度一定相等
C．天体A、B的质量一定相等 D．天体A、B的密度一定相等
9．探测器探测到土星外层上有一个环．为了判断它是土星的一部分还是土星的卫星群，可以测量环中各层的线速度v与该层到土星中心的距离R之间的关系来确定（ ）
A．若v∝R，则该环是土星的一部分 B．若v2∝R，则该环是土星的卫星群
C．若v∝1/R，则该环是土星的一部分 D． 若v2∝1/R，则该环是土星的卫星群
10．组成星球的物质是靠引力吸引在一起的，这样的星球有一个最大的自转速率．如果超过了该速率，星球的万有引力将不足以维持其赤道附近的物体做圆周运动．由此能得到半径为R、密度为ρ、质量为M且均匀分布的星球的最小自转周期T．下列表达式中正确的是（ ）
A．T=2π B．T=2π
C．T= D．T=
11．人造地球卫星可以绕地球做匀速圆周运动，也可以沿椭圆轨道绕地球运动。对于沿椭圆轨道绕地球运动的卫星，以下说法正确的是( ）
A．近地点速度一定大于7.9 km/s B．近地点速度一定在7.9 km/s－11.2 km/s之间
C．近地点速度可以小于7.9 km/s D．远地点速度一定小于在同高度圆轨道上的运行速度
12．一个有一定厚度的圆盘，可以绕通过中心垂直于盘面的水平轴转动，用下面的方法测量它匀速转动时的角速度。
实验器材：电磁打点计时器、米尺、纸带、复写纸片。
实验步骤：
（1）如图所示，将电磁打点计时器固定在桌面上，将纸带
的一端穿过打点计时器的限位孔后，固定在待测圆盘的侧
面上，使得圆盘转动时，纸带可以卷在圆盘侧面上。
（2）启动控制装置使圆盘转动，同时接通电源，打点计时
器开始打点。
（3）经过一段时间，停止转动和打点，取下纸带。
①若打点周期为T，圆盘半径为r，x1，x2是纸带上选定的两点分别对应的米尺上的刻度值，n为选定的两点间的打点数（含两点），则圆盘角速度的表达式为ω=___________。
②若交流电源的频率为50Hz，某次实验测得圆盘半径r=5.50×10-2m，得到纸带的一段如图所示，则角速度为_________rad/s。
13．世界上平均海拔最高的铁路――青藏铁路于2006年7月1日全线贯通。假设某新型国产机车总质量为m，沿青藏铁路运行。已知两轨间宽度为L，内外轨高度差为H，重力加速度为g，如果机车要进入半径为R的弯道，请问，该弯道处的设计速度达多少最为适宜？
14．在用高级沥青铺设的高速公路上，汽车的设计时速是108km/h。汽车在这种路面上行驶时，它的轮胎与地面的最大静摩擦力等于车重的0.6倍。
（1）如果汽车在这种高速路的水平弯道上拐弯，假设弯道的路面是水平的，其弯道的最小半径是多少？
（2）如果高速路上设计了圆弧拱桥做立交桥，要使汽车能够以设计时速安全通过圆弧拱桥，这个圆弧拱桥的半径至少是多少？（取g=10m/s2）
15．如图所示，一小球自平台上水平抛出，恰好落在临近平台的一倾角为α =53°的光滑斜面顶端，并刚好沿光滑斜面下滑，已知斜面顶端与平台的高度差h=0.8m，重力加速度g=10m/s2，sin53° = 0.8，cos53° = 0.6，求
（1）小球水平抛出的初速度v0是多少？
（2）面顶端与平台边缘的水平距离s是多少？
（3）若斜面顶端高H = 20.8m，则小球离开平台后经多长时间t到达
斜面底端？
16．在冬天，高为h=1.25m的平台上，
覆盖了一层冰，一乘雪橇的滑雪爱
好者，从距平台边缘s=24m处以一
定的初速度向平台边缘滑去，如图
所示，当他滑离平台即将着地时的
瞬间，其速度方向与水平地面的夹
角为θ=45°，取重力加速度
g=10m/s2。求：
（1）滑雪者着地点到平台边缘的水平距离是多大；
（2）若平台上的冰面与雪橇间的动摩擦因数为μ=0.05，则滑雪者的初速度是多大？
17.如图甲所示，水平传送带的长度L=5m，皮带轮的半
径R=0.1m，皮带轮以角速度顺时针匀速转动。现
有一小物体（视为质点）以水平速度v0从A点滑上
传送带，越过B点后做平抛运动，其水平位移为s。
保持物体的初速度v0不变，多次改变皮带轮的角速
度，依次测量水平位移s，得到如图乙所示的
s—图像。回答下列问题：
（1）当rad/s时，物体在A、B之间做什
么运动？
（2）B端距地面的高度h为多大？
（3）物块的初速度v0多大？

18．2005年10月12日上午9时，“神州”六号载人飞船发射升空。火箭点火起飞，588秒后，飞船与火箭分离，准确入轨，进入椭圆轨道运行。飞船飞行到第5圈实施变轨，进入圆形轨道绕地球飞行。设“神州”六号飞船质量为m，当它在椭圆轨道上运行时，其近地点距地面高度为h1，飞船速度为v1，加速度为a1；在远地点距地面高度为h2，飞船速度为v2.已知地球半径为R（如图所示）。
求飞船（1）由远地点到近地点万有引力所做的功
（2）在远地点的加速度a2
19．继神秘的火星之后，土星也成了全世界关注的焦点！经过近7年35.2亿公里在太空中风尘仆仆的穿行后，美航空航天局和欧航空航天局合作研究的“卡西尼”号土星探测器于美国东部时间2004年6月30日（北京时间7月1日）抵达预定轨道，开始“拜访”土星及其卫星家族。这是人类首次针对土星及其31颗已知卫星最详尽的探测！若“卡西尼”号探测器进入绕土星飞行的轨道，在半径为R的土星上空离土星表面高的圆形轨道上绕土星飞行，环绕周飞行时间为.试计算土星的质量和平均密度。
20．2005年10月12日，我国成功发射了“神州”六号载人飞船。这是继2003年10月15日神舟五号载人飞船成功发射之后，人类探索太空历史上的又一次重要成就。这次执行任务的长二F型运载火箭，全长58.3 m，起飞质量为479.8 t，刚起飞时，火箭竖直升空，航天员费俊龙、聂海胜有较强的超重感，仪器显示他们对座舱的最大压力达到他们体重的5倍。飞船入轨之后，在115.5 h内环绕地球飞行77圈，将飞船的轨道简化为圆形，求
（1）点火发射时，火箭的最大推力。（g取10m/s2，结果保留两位有效数字）
（2）飞船运行轨道与地球同步卫星轨道的半径之比（可以保留根号）
21．如图所示为宇宙中一恒星系的示意图，A为该星系的一颗行星，它绕中央恒星O运行轨道近似为圆，天文学家观测得到A行星运动的轨道半径为R0，周期为T0。
（1）中央恒星O的质量是多大？
（2）长期观测发现，A行星实际运动的轨道与圆轨道总有一些偏离，且周期性的每隔t0时间发生一次最大的偏离，天文学家认为形成这种现象的原因可能是A行星外侧还存在着一颗未知的行星B（假设其运行轨道与A在同一平面内，且与A的绕行方向相同），它对A行星的万有引力引起A轨道的偏离。根据上述现象和假设，你能对未知行星B的运动得到哪些定量的预测？
专题三参考答案:
［变式训练1］解析：小球离开锥面前，，其中，θ表示悬线与竖直方向的夹角，L表示摆长。小球离开锥面后，。可知C项正确。
答案：C。
【能力训练】本题涉及到圆锥摆运动模型，要求考生通过受力分析和临界分析，抓住向心力的变化情况，从而顺利求解。
1．C（小球做平抛运动，由可确定A选项；由可确定B选项；由可确定D选项。不能确定的是C选项）。
2．C（据物体做直线运动的条件知，探测器加速直线运动时所受重力和推力的合力应沿倾斜直线，故喷气方向应偏离直线向后下方；探测器匀速运动时，探测器所受合力为零，探测器通过喷气而获得推动力应竖直向上，故喷气方向应竖直向下。故正确答案为C）
3．C（对小球进行受力分析，小球受到两个作用力，即重力和杆对小球的作用力，两个力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律就可得C正确。）
4．D 国际空间站绕地球作圆周运动， 处于失重状态. 水银气压计利用空气压力与水银柱重力平衡测定气压， 故水银气压计无法使用; 天平利用两侧重力平衡测定质量， 故天平无法使用; 摆钟摆动的动力为重力， 故摆钟无法使用; 多用电表与重力无关， 故仍可使用。
5．AB（可得土星对土卫六的万有引力更大；有开普勒定律得：，可知土卫五的公转周期更小；根据可知土卫五的公转角速度大；根据土卫五的公转线速度大。）
6．D 万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得，可以确定，离太阳越远向心加速度和线速度都越小，故AB都不正确；由题干提供的信息“这是6万年来火星距地球最近的一次”，可知C选项不正确。故正确答案为D。
7．C （由可知，C正确）
8．AD （由知，A正确；由，因两颗天体半径R不确定，故B不正确。由知，C不正确；由得D正确。故选AD）
9．AD（若该环是土星的一部分，由v=Rω，则v∝R；若该环是土星的卫星群，由GMm/R2=mv2/R，则v2∝1/R。故选项AD 正确。）
10．AD（如果万有引力不足以充当向心力，星球就会解体，据万有引力定律和牛顿第二定律得：GR 得T=2π，又因为M=πρR3，所以T=）
11．CD（本题考查学生对第一宇宙速度的理解，以及对卫星能沿椭圆轨道运动条件的理解。本题极易错选A）
12．①；②6.8rad/s（6.75～6.84都对）
13．解析：机车拐弯处视为圆周运动，此时向心力是由火车的重力 和轨道对火车的支持力来提供的，如图所示。设轨道与水平面的夹角为，则
由向心力公式和几何关系可得：
，
解得：
14．解：（1）汽车在水平路面上拐弯，可视为汽车做匀速圆周运动，其向心力是车与路面间的静摩擦力提供，当静摩擦力达到最大值时，由向心力公式可知这时的半径最小，有
Fm=0.6mg≥
由速度v=30m/s，得弯道半径?r≥150m；
（2）汽车过拱桥，看作在竖直平面内做匀速圆周运动，到达最高点时，根据向心力公式有：mg－FN=
为了保证安全，车对路面间的弹力FN必须大于等于零。有 mg≥
则R≥90m。
15．解：（1）由题意可知：小球落到斜面上并沿斜面下滑，说明此时小球速度方向与斜面平行，否则小球会弹起，所以vy = v0tan53°
vy2 = 2gh
代入数据，得vy = 4m/s，v0 = 3m/s
（2）由vy = gt1得t1 = 0.4s
s =v0t1 = 3×0.4m = 1.2m
（3）小球沿斜面做匀加速直线运动的加速度a = 
初速度 = 5m/s
=vt2 + a t22
代入数据，整理得 4t22 + 5t2 - 26 = 0
解得 t2 = 2s 或t2 = s（不合题意舍去）
所以t = t1 + t2 = 2.4s
16．解析： （1）把滑雪爱好者着地时的速度vt分解为如图所示的v0、vy两个分量
由
解得t=0.5s
则 vy=gt=5m/s
又vy=v0tan45°
解得 v0=5m/s
着地点到平台边缘的水平距离：x= v0t=2.5m
（2）滑雪者在平台上滑动时，受到滑动摩擦力作用而减速运动，由动能定理得

解得：v=7m/s
即滑雪者的初速度为7m/s。　
17。解：（1）物体的水平位移相同，说明物体离开B点的速度相同，物体的速度大于皮带的速度，一直做匀减速运动。
（2）当ω=10rad/s时，物体经过B点的速度为m/s ①
平抛运动： ②
③
解得：t=1s，h=5m ④
（3）当ω>30rad/s时，水平位移不变，说明物体在AB之间一直加速，其末速度
m/s ⑤
根据 ⑥
当0≤ω≤10rad/s时， ⑦
当ω≥30rad/s时， ⑧
解得： ⑨
［题后反思］本题以传送带上物体的运动为背景，涉及到直线运动、牛顿定律、圆周运动、平抛运动等较多知识点，过程多，情景复杂，对考生综合应用能力要求较高。
18．解：（1）由动能定理得，由远地点到近地点万有引力所做的功
①
（2）在近地点，由牛顿第二定律得 ②
在远地点有 ③
由以上两式得 ④
19．解析：设“卡西尼”号的质量为m，土星的质量为M. “卡西尼”号围绕土星的中心做匀速圆周运动，其向心力由万有引力提供.

由题意
所以：．
又
得
20．解：（1）对宇航员进行受力分析，并由牛顿第二定律得
N=5mg，
对火箭应用牛顿第二定律得
由以上两式解得 N
（2）飞船运行周期1.5 h，轨道半径为r1，同步卫星运行周期为T2=24 h，轨道半径为r2，对飞船及同步卫星分别有
解得
代入数据解得
21．解：设中央恒星质量为M，A行星质量为m，则由万有引力定律和牛顿第二定律得 ①
解得 ②
（2）由题意可知，A、B相距最近时，B对A的影响最大，且每隔t0时间相距最近。
设B行星周期为TB，则有： ③
解得： ④
设B行星的质量为mB，运动的轨道半径为RB，则有
⑤
由①④⑤得： ⑥
专题四 动能定理和机械能守恒
【考纲要求】
内 容
要求
说 明
功和功率
Ⅱ
重力势能
Ⅱ
弹性势能
Ⅰ
弹性势能的表达式不作要求
恒力做功与物体动能变化的关系(实验探究)
Ⅱ
动能 动能定理
Ⅱ
机械能守恒及其应用
Ⅱ
验证机械能守恒定律(实验探究)
Ⅱ
能源和能量耗散
Ⅰ
【重点知识梳理】
1．功和功率
（1）功的概念 （2）功的定义式
（3）合力的功计算方法 （4）变力的功计算方法
（5）功率的定义式 （6）平均功率的计算方法
（7）瞬时功率的计算方法 （8）牵引力功率的计算
（9）汽车启动的两种方式
2.机械能
（1）动能的表达式 （2）动能与动量的关系式
（3）重力势能的表达式 （4）弹性势能的概念
3.功和能的关系
（1）功能关系 （2）重力做功与重力势能变化的关系
（3）弹力做功与弹性势能变化的关系 （4）合外力做功与动能变化的关系(动能定理)
(5)除重力弹力外其他力做功与机械能变化的关系
(6)滑动摩擦力做功与摩擦生热的关系
4.守恒定律
(1)机械能守恒定律条件 内容
表达式
(2)能的转化和守恒定律内容
表达式
【分类典型例题】
题型一：应用动能定理时的过程选取问题
解决这类问题需要注意：对多过程问题可采用分段法和整段法
处理,解题时可灵活处理,通常用整段法解题往往比较简洁.
[例1]如图4-1所示,一质量m=2Kg的铅球从离地面H=2m高处自由下落,陷入沙坑h=2cm深处,求沙子对铅球的平均阻力.(g取10m/s2)
［解析］方法一:分段法列式
设小球自由下落到沙面时的速度为v,则mgH=mv2/2-0
设铅球在沙坑中受到的阻力为F,则mgh-Fh=0- mv2/2
代入数据,解得F=2020N
方法二:整段法列式
全过程重力做功mg(H+h),进入沙坑中阻力阻力做功-Fh,
从全过程来看动能变化为0,得 mg(H+h)-Fh=0,代入数值
得F=2020N.
［变式训练1］一个物体从斜面上高h处由静止滑下并紧接着在水平面上滑行一段距离后停止，测得停止处对开始运动处的水平距离为S，如图4-2，不考虑物体滑至斜面底端的碰撞作用，并设斜面与水平面对物体的动摩擦因数相同．求动摩擦因数μ．
题型二:运用动能定理求解变力做功问题
解决这类问题需要注意:恒力做功可用功的定义式直接求解,变力做功可借助动能定理并利用其它的恒力做功进行间接求解.
［例2］如图4-3所示，AB为1/4圆弧轨道,BC为水平轨道, 圆弧的半径为R, BC的长度也是R.一质量为m的物体,与两个轨道间的动摩擦因数都为μ,当它由轨道顶端A从静止开始下落时,恰好运动到C处停止,那么物体在AB段克服摩擦力所做的功为( )
A.μmgR/2 B. mgR/2 C. mgR D.(1-μ) mgR
［解析］设物体在AB段克服摩擦力所做的功为WAB,物体由A到C全过程,由动能定理,有
mgR-WAB-μmgR=0 所以. WAB= mgR-μmgR=(1-μ) mgR 答案为D
［变式训练2］质量为m的小球用长为L的轻绳悬于O点，如右图4-4所示，小球在水平力F作用下由最低点P缓慢地移到Q点，在此过程中F做的功为（ ）
A.FLsinθ B.mgLcosθ
C.mgL（1－cosθ） D.FLtanθ
题型三:动能定理与图象的结合问题
解决这类问题需要注意:挖掘图象信息,重点分析图象的坐标、切线斜率、包围面积的物理意义.
［例3］静置于光滑水平面上坐标原点处的小物块，在水平拉力F作用下，沿x轴方向运动，拉力F随物块所在位置坐标x的变化关系如图4-5所示，图线为半圆．则小物块运动到x0处时的动能为( )
A．0 B． C． D．
［解析］由于水平面光滑,所以拉力F即为合外力,F随位移X的变化图象包围的面积即为F做的功, 设x0处的动能为EK由动能定理得: EK-0=== 答案:C
［变式训练3］在平直公路上，汽车由静止开始作匀加速运 动，当速度达到vm后立即关闭发动机直到停止，v-t图像如图4-6所示。设汽车的牵引力为F，摩擦力为f，全过程中牵引力做功W1，克服摩擦力做功W2，则( )
A．F：f=1：3 B．F：f=4：1
C．W1：W2 =1：1 D．W1：W2=l：3
题型四:机械能守恒定律的灵活运用
解决这类问题需要注意:灵活运用机械能守恒定律的三种表达方式:1.初态机械能等于末态机械能,2.动能增加量等于势能减少量,3.一个物体机械能增加量等于另一个物体机械能减少量.后两种方法不需要选取零势能面.
［例4］如图4-7所示，粗细均匀的U形管内装有总长为4L的水。开始时阀门K闭合，左右支管内水面高度差为L。打开阀门K后，左右水面刚好相平时左管液面的速度是多大？（管的内部横截面很小，摩擦阻力忽略不计）
［解析］由于不考虑摩擦阻力，故整个水柱的机械能守恒。从初始状态到左右支管水面相平为止，相当于有长L/2的水柱由左管移到右管。系统的重力势能减少，动能增加。该过程中，整个水柱势能的减少量等效于高L/2的水柱降低L/2重力势能的减少。不妨设水柱总质量为8m，则，得。
［变式训练4］如图4-8所示，游乐列车由许多节车厢组成。列车全长为L，圆形轨道半径为R，（R远大于一节车厢的高度h和长度l，但L>2πR）.已知列车的车轮是卡在导轨上的光滑槽中只能使列车沿着圆周运动，在轨道的任何地方都不能脱轨。试问：在没有任何动力的情况下，列车在水平轨道上应具有多大初速度v0，才能使列车通过圆形轨道而运动到右边的水平轨道上？
【能力训练】
1.如图4-9所示，水平面上的轻弹簧一端与物体相连，另一端固定在墙上P点，已知物体的质量为m=2.0kg，物体与水平面间的动摩擦因数μ=0.4，弹簧的劲度系数k=200N/m.现用力F拉物体，使弹簧从处于自然状态的O点由静止开始向左移动10cm，这时弹簧具有弹性势能EP=1.0J，物体处于静止状态.若取g=10m/s2，则撤去外力F后( )
A．物体向右滑动的距离可以达到12.5cm
B．物体向右滑动的距离一定小于12.5cm
C．物体回到O点时速度最大
D．物体到达最右端时动能为0，系统机械能不为0
2.一辆汽车在水平路面上原来做匀速运动，从某时刻开始，牵引力F和阻力f随时间t的变化规律如图4-10a所示。则从图中的t1到t2时间内，汽车牵引力的功率P随时间t变化的
关系图线应为图4-10b中的（ ）
3.如图4-11所示,粗细均匀、全长为h的铁链,对称地挂在轻小光滑的定
滑轮上.受到微小扰动后,铁链从静止开始运动,当铁链脱离滑轮的瞬
间,其速度大小为( )
A. B. C. D.
4. 如图4-12所示,两个底面积都是S的圆桶,放在同一水平面
上,桶内装水,水面高度分别为h1和h2,如图所示.已知水的密
度为ρ,现把连接两桶阀门打开,最后两桶水面高度相等,则
在这过程中重力做的功等于( )
A.ρgS(h1一h2) B.
C. D.
5.如图4-13所示，小球自a点由静止自由下落，到b点时与弹簧接触，到c点时弹簧被压缩到最短，若不计弹簧质量和空气阻力，在小球由a→b→c的运动过程中( )
A.小球和弹簧总机械能守恒
B.小球的重力势能随时间均匀减少
C.小球在b点时动能最大
D.到c点时小球重力势能的减少量等于弹簧弹性势能的增加量
6.如图4-14所示，一轻弹簧一端固定于O点，另一端系一重物，将重物
从与悬点O在同一水平面且弹簧保持原长的A点无初速度释放，让它
自由摆下.不计空气阻力，则在重物由A点摆向最低点B的过程中
( )
A．弹簧与重物的总机械能守恒 B．弹簧的弹性势能增加
C．重物的机械能不变 D．重物的机械能增加
7.如图4-15所示，质量为m的物体置于光滑水平面上，一根绳子跨过定滑轮一端固定在物体上，另一端在力F作用下，以恒定速率v0竖直向下运动，物体由静止开始运动到绳与水平方向夹角=45o过程中，绳中拉力对物体做的功为( )
A．mv02 B．mv02 C．mv02 D．mv02
8．如图4-16所示，一物体以一定的速度沿水平面由A点滑到B点，摩擦力做功W1；若该物体从A′沿两斜面滑到B′，摩擦力做的总功为W2，已知物体与各接触面的动摩擦因数均相同，则（ ）
A.W1=W2 B.W1＞W2
C.W1＜W2 D.不能确定W1、W2大小关系
9．有一斜轨道AB与同材料的l／4圆周轨道BC圆滑相接，数据 如
图4-17所示，D点在C点的正上方，距地面高度为3R，现让
一 个小滑块从D点自由下落，沿轨道刚好能滑动到A点，则它再
从A点沿轨道自由滑下，能上升到的距地面最大高度是（不计空
气阻力） ( )
A．R B．2R
C．在0与R之间 D．在R与2R之间
10．一根木棒沿水平桌面从A运动到B，如图4-18所示，若棒与桌面
间的摩擦力大小为f，则棒对桌面的摩擦力和桌面对棒的摩擦力做
的功各为（ ）
A．－fs，－fs B．fs，－fs
C．0，－fs D．－fs，0
11．将一物体从地面竖直上抛，物体上抛运动过程中所受的空气阻力 大小恒定.设物体在地面时的重力势能为零，则物体从抛出到落回原地的过程中，物体的机械能E与物体距地面高度h的关系正确的是图4-19中的（ ）
12.如图4-20所示，质量分别为2 m和3m的两个小球固定在一根
直角尺的两端A、B，直角尺的顶点O处有光滑的固定转动轴。
AO、BO的长分别为2L和L。开始时直角尺的AO部分处于水
平位置而B在O的正下方。让该系统由静止开始自由转动，
求：⑴当A到达最低点时，A小球的速度大小为 ；
⑵ B球能上升的最大高度为 ；
⑶开始转动后B球可能达到的最大速度为
13.如图4-21所示,面积很大的水池,水深为H,水面上浮着一正方体木
块,木块边长为a,密度为水的1/2,质量为m.开始时,木块静止,有一半没
入水中,现用力F将木块缓慢地压到池底,不计摩擦,求:(1)从木块刚好
完全没入水中到停在池底的过程中,池水势能的改变量
为 .(2) 从开始到木块刚好完全没入水的过程中,力F所做
的功为 .
14．在研究摩擦力特点的实验中，将木块放在水平固定长木板上，如图4-22a所示，用力沿水平方向拉木块，拉力从0开始逐渐增大．分别用力传感器采集拉力和木块所受到的摩擦力，并用计算机绘制出摩擦力Ff 随拉力F的变化图像，如图4-22b所示．
已知木块质量为0.78kg．取重力加
速度g=10m/s2，sin37°=0.60，
cos37°=0.80．（1）求木块与长木
板间的动摩擦因数．（2）若木块在
与水平方向成37°角斜向右上方
的恒定拉力F作用下，以a=2.0m/s2
的加速度从静止开始做匀变速直
线运动，如图4-22c所示．拉力大小应为多大？
（3）在（2）中力作用2s后撤去拉力F，求运动过程中摩擦力对木块做的功．
15. 图示4-23装置中，质量为m的小球的直径与玻璃管内径接近，封闭玻璃管内装满了液体，液体的密度是小球的2倍，玻璃管两端在同一水平线上，顶端弯成一小段圆弧。玻璃管的高度为H，球与玻璃管的动摩擦因素为μ（μ＜tg370＝，小球由左管底端由静止释放，试求：（1）小球第一次到达右管多高处速度为零？
（2）小球经历多长路程才能处于平衡状态？
16. 如图4-24所示，一劲度系数为k=800N/m的轻弹簧两端各焊接着
两个质量均为m=12kg的物体A、B。开始时物体A、B和轻弹簧竖
立静止在水平地面上，现要在上面物体A上加一竖直向上的力F，
使物体A开始向上做匀加速运动，经0.4s物体B刚要离开地面，
设整个过程中弹簧都处于弹性限度内，取g=10m/s2 。
求：此过程中外力F所做的功。
17. 如图4-25所示，倾角为θ的光滑斜面上放有两个质量均为
m的小球A和B，两球之间用一根长为L的轻杆相连，下面
的小球B离斜面底端的高度为h。两球从静止开始下滑，不计
球与地面碰撞时的机械能损失，且地面光滑。
求：（1）两球在光滑水平面上运动时的速度大小；
（2）此过程中杆对A球所做的功；（3）分析杆对A球做功的情况。
专题四参考答案:
［变式训练］
1.h/s 2.B 3.BC 4.
【能力训练】
1.BD 2.C 3.C 4.C 5.AD 6.AB 7.B 8.A
9.A 10.C 11.B 12.(1) (8gL/11)1/2 ⑵ L(1+sin160) ⑶(4gL/11)1/2
13. (1)2mg(H-a) (2)3mg/4 14.(1)μ=0.4（2）F=4.5N（3）Wf=-14.4J
15. (1)8μH/(4μ+3) (2)5H/4μ
16. WF = 49.5J
17. （1） (2)
（3）当系统在斜面和水平面上运动时，A、B的运动状态相同，杆中无作用力，杆对A不做功；当B球从斜面进入水平面，而A球仍在斜面上运动时，A、B的运动状态不同，此过程中杆对A球做功。

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