资源简介

解密17 机械振动与机械波
核心考点
考纲要求
简谐运动
简谐运动的公式和图象
单摆、周期公式
受迫振动和共振
机械波、横波和纵波
横波的图象
波速、波长和频率(周期)的关系
波的干涉和衍射现象
多普勒效应
Ⅰ
Ⅱ
Ⅰ
Ⅰ
Ⅰ
Ⅱ
Ⅰ
Ⅰ
Ⅰ


考点1 简谐运动
一、振动现象
1．回复力：使振动物体返回平衡位置的力。
2．平衡位置：物体在振动过程中回复力为零的位置。
3．位移：由平衡位置指向振动质点所在位置的有向线段，是矢量。
4．振幅：振动物体离开平衡位置的最大距离，表示振动的强弱，是标量。
5．周期和频率：互为倒数，表示振动快慢的物理量。
二、简谐运动
1．定义：
（1）物体在跟位移大小成正比并且总是指向平衡位置的回复力作用下的振动。
（2）质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即质点的位移–时间图象是一条正弦曲线，这样的振动叫做简谐运动。21*教*育*名*师
2．简谐运动的描述
（1）运动学表达式：x=Asin(ωt+φ)=Asin(t+φ)=Asin(2πft+φ)
A为振幅，有|x|≤A，简谐运动的位移最大值为A；
ω==2πf，为简谐运动的圆频率，表示简谐运动的快慢；
T为简谐运动的周期，等于做简谐运动的物体完成一次全振动（即连续两次沿相同方向通过平衡位置）的时间；
f=，为简谐运动频率，等于做简谐运动的物体在单位时间内完成的全振动的次数；
ωt+φ表示简谐运动的相位，相位是描述周期性运动在不同时刻所处的不同状态的物理量；
φ叫做初相，是t=0时的相位。
★特别提示：
简谐运动可等效为，做匀速圆周运动的物体在其运动平面内的一条直线上的投影的运动，圆频率ω即为匀速圆周运动的角速度。
3．简谐运动的特征：
（1）运动学特征：x、v、a均按正弦或余弦规律变化（v、a的变化趋势相反）。
（2）动力学特征：F=–kx，其中负号表示回复力与位移的方向相反，k为回复力大小与位移大小的比例系数。【21·世纪·教育·网】
（3）能量特征：系统的机械能守恒，振幅越大，系统的机械能越大。
★特别提示：
（1）对x=Asin(ωt+φ)两边求导，得v=Aωcos(ωt+φ)，再次求导，得a=–Aω2sin(ωt+φ)
（2）由F=ma，得F=–mAω2sin(ωt+φ)=–mω2x，令mω2=k，可得回复力F=–kx
（3）仅在弹簧振子模型中，比例系数k等于弹簧的劲度系数。
（4）以弹簧振子为例（弹簧质量不计），系统的势能Ep=kx2，系统的动能Ek=mv2，可得系统的机械能E=Ep+Ek=mω2A2=kA2，与振幅的平方A2成正比。
（5）简谐运动的周期T==2π
4．简谐运动的对称性
（1）如图所示，做简谐运动的物体经过关于平衡位置O对称的两点P、P′（OP=OP′）时，速度大小、动能、势能相等，相对平衡位置的位移大小相等。【21cnj*y.co*m】
（2）振子由P到O所用时间t等于由O到P′所用时间t'
（3）振子往复运动过程通过同一段路程（如OP段）所用时间相等，即tOP=tPO
三、简谐运动的图象
1．简谐运动图象不是质点振动的轨迹，而是振动物体的位移随时间变化的图象（x–t图象）。
2．由简谐运动图象可知质点振动的振幅和周期。
3．由简谐运动图象可确定某时刻质点离开平衡位置的位移。
4．由简谐运动图象可确定某时刻质点的回复力、加速度和速度的方向。
回复力和加速度的方向：总是指向平衡位置，即总是指向t轴。
速度的方向：可以通过下一时刻位移的变化来判定。下一时刻位移增大，则振动质点的速度方向远离t轴；下一时刻位移减小，则振动质点的速度方向指向t轴。
如图所示，两木块1、2的质量分别为m、M，竖直轻弹簧劲度系数为k，下端与木块2连接，木块1与弹簧不连接。现将木块1下压一段距离后释放，木块1沿竖直方向做简谐运动，振动过程中，木块1始终没有离开弹簧。求：
（1）木块1振动的振幅的最大值；
（2）木块1以最大振幅振动时，木块2对地面的最大压力。
【参考答案】（1） （2）Mg+2mg
【试题解析】（1）在平衡位置，弹簧的压缩量x0=
要使木块1振动过程中不离开弹簧，木块1在最高点处时由重力充当回复力，弹簧恰好恢复原长
故木块1振动的振幅最大值为x0=
（2）木块1以最大振幅振动时，木块1到最低点时，弹簧的压缩量最大，为2x0
此时弹簧对木块2的压力最大，木块2对地面的压力最大
木块2对地面的压力N=Mg+k·2x0=Mg+2mg
1．下列说法中正确的是
A．做简谐运动的物体，经过同一位置的动能总相同
B．做简谐运动的物体，经过同一位置的速度总相同
C．做简谐运动的物体，在半个周期内回复力做功一定为零
D．做简谐运动的物体，在任意半个周期内速度的变化量一定为零
【答案】AC
的物体的速度大小不变，故速度变化量的大小可能为零，也可能等于始、末位置速率的2倍，D错误。
2．某质点做简谐运动，其位移与时间的关系式为x=3sin(+)(cm)，则
A．质点的振幅为3 cm
B．质点振动的周期为3 s
C．质点振动的周期为s
D．t=0.75 s时，质点回到平衡位置
【答案】ABD
【解析】质点做简谐运动，由位移与时间的关系式可知，振幅为3 cm，圆频率为，周期为3 s，AB正确，C错误；t=0.75 s时，可得位移x=0，故质点在平衡位置，D正确。
3．一弹簧振子做简谐振动，O为平衡位置，从振子经过O点时开始计时，经过0.3 s振子第一次到达M点，再经过0.2 s第二次到达M点，则弹簧振子的周期为
A．0.53 s B．1.4 s C．1.6 s D．3 s
【答案】AC
4．光滑的水平面叠放有质量分别为m和的两木块，下面的木块与一劲度系数为k的轻弹簧相连，弹簧的另一端固定在墙上，如图所示。已知两木块间的最大静摩擦力为f，为使这两个木块组成的系统如一个整体般振动，则系统的最大振幅为21世纪教育网
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对整体，振幅最大时有kA=(m+)a；对上面质量为的物体，振幅最大时有f≥a，联立解得A≤，则系统的最大振幅为，选C。
5．两块质量分别为m1、m2的A、B木板，被一根劲度系数为k的轻质弹簧拴连在一起，A板在压力F的作用下处于静止状态，如图所示。撤去F后，A板将做简谐运动。为了使得撤去F后，A跳起过程中恰好能带起B板，则所加压力F的值为
A．m1g B．(m1+m2)g
C．2m1g D．2(m1+m2)g
【答案】B
考点2 振动图象与波的图象
一、波的图象
1．物理意义：反映了某一时刻介质中各质点相对平衡位置的位移。
2．从波的图象中可得到：
（1）波长λ；
（2）振幅A；
（3）该时刻各质点偏离平衡位置的位移；
（4）如果波的传播方向已知，可判断该时刻各质点的振动方向以及下一时刻的波形；
（5）如果波的传播速度大小已知，可求得波的周期和频率。
二、波的传播方向与质点振动方向的互判方法
1．上下坡法：沿波的传播方向，“上坡”时质点向下振动，“下坡”时质点向上振动。
2．同侧法：波的图象上某点处表示传播方向和振动方向的箭头在图线同侧。
3．微平移法：将波形沿传播方向进行微小的平移，再由对应同一横坐标的两波形曲线上的点来判断振动方向。
三、波的图象与振动图象
1．解波的图象与振动图象综合类问题可采用“一分、一看、二找”的方法：
（1）分清振动图象与波动图象。横轴为x轴，则为波的图象；横轴为t轴，则为振动图象。
（2）看清横、纵坐标的单位，尤其要注意波的图象中横、纵坐标单位的数量级。
（3）找准波的图象对应振动图象中的时刻。
（4）找准振动图象对应波的图象中的质点。
2．常见错误：
（1）振动图象和波的图象混淆不清。
（2）不知道波传播过程中任意质点的起振方向与波源的起振方向相同。
（3）不会区分波的传播位移和质点的振动位移。
（4）误认为质点随波迁移。
3．振动图象与波的图象辨析
振动图象
波的图象
图象
研究内容
一振动质点的位移随时间的变化规律
某时刻所有质点的空间分布规律
图象信息
质点振动周期、振幅
某一质点在各时刻的位移
各时刻速度、加速度的方向
波长、振幅
任一质点在该时刻的位移
任一质点在该时刻的加速度方向
图象变化
随时间推移，图象延续，已有形状不变
随时间推移，波形沿传播方向平移
★特别提示：
波的图象又叫波形图，振动图象又叫波动图象，“动”字表示图象中存在随时间变化的关系。
四、波的多解问题的处理方法
1．造成多解的主要因素：
（1）周期性
时间周期性，时间间隔Δt与周期T的关系不明确；
空间周期性，波传播距离Δx与波长λ的关系不明确。
（2）双向性
传播方向双向性，波的传播方向不确定；
振动方向双向性，质点振动方向不确定。
（3）波形的隐含性形成多解
在波的问题中，有时只给出完整波形的一部分，或给出几个特殊点，其余信息未知。这样，波形就有多种情况，存在多解。21·世纪*教育网
2．解决波的多解问题的思路
一般采用从特殊到一般的思维方法，即先找出一个周期或一个波长范围内内满足题给条件的Δt或Δx
则考虑周期性有t=nT±Δt（n=0,1,2,…），x=nλ±Δx（n=0,1,2,…），其中±表示双向性。
如图所示，甲为沿x轴传播的一列简谐横波在t=0时刻的波形图，乙为其中质点P的振动图象，则下列判断中正确的是21教育网
A．该波的传播速率为4 m/s
B．该波的传播方向沿x轴正方向
C．经过0.5 s时间，质点P沿波的传播方向前进2 m
D．经过0.5 s时间，质点P的位移为零，路程为0.4 m
【参考答案】AD
【试题解析】由甲可知波长λ=4 m，由乙可知周期T=1 s，则波速v==4 m/s，A正确；t=0时刻质点P沿y轴负方向运动，在甲中根据波形平移法可知该波沿x轴负方向传播，B错误；质点只在平衡位置附近振动，并不随波迁移，C错误；经过0.5 s，即半周期时间，质点P又回到平衡位置，位移为零，通过的路程为2×0.2 m=0.4 m，D正确。2-1-c-n-j-y
1．一列沿x轴正方向传播的简谐横波，t=0时刻的波形如图中实线所示，t=0.2 s时刻的波形如图中虚线所示，则下列说法中正确的是【21教育名师】
A．质点P在t=0.2 s时刻向右运动
B．质点P在t=0.2 s时刻向上运动
C．波的周期可能为0.27 s
D．波的频率可能为1.25 Hz
E．波的传播速度可能为150 m/s
【答案】BDE
2．一列简谐横波在某介质中沿直线从a点向b点传播，a、b两点的平衡位置相距2.5 m，如图所示，图中实线表示a点的振动图象，图中虚线表示b点的振动图象，则下列说法中正确的是
A．从0时刻起经过0.4 s，质点a、b运动的路程均为16 cm
B．t=0.45 s时，质点b回到平衡位置
C．0.l~0.15 s时间内，质点b向y轴负方向运动，做加速度逐渐变大的减速运动
D．此波的传播速度可能为1.2 m/s
【答案】AC
【解析】由图可知，周期T=0.2 s，从0时刻起经过0.4 s，即经过两个周期，质点a、b运动的路程均为8A=16 cm，A正确；t=0.45 s时，质点b在波峰位置，B错误；0.l~0.15 s时间内，质点b向y轴负方向运动，且位移逐渐变大，故做加速度逐渐变大的减速运动，C正确；波从a向b传播，则(n+)vT=2.5 m（n=0,1,2,…），波速v=m/s（n=0,1,2,…），波速不可能为1.2 m/s，D错误。
3．一列横波沿x轴传播，在x=0与x=1 cm的两点的振动图线分别如图中实线与虚线所示。由此可知
A．波长一定是4 cm
B．波的周期一定是4 s
C．波的振幅一定是2 cm
D．波的传播速度可能是1 cm/s
【答案】BCD
4．图（a）为一列简谐横波在t=0.025 s时刻的波形图，P是平衡位置在x=1 m处的质点，Q是平衡位置在x=4 m处的质点；图（b）为质点P的振动图象。下列说法中正确的是www.21-cn-jy.com
A．t=0.1 s时，质点P沿y轴负方向运动
B．t=0.25 s时，质点Q的加速度方向沿y轴负方向
C．0.1~0.25 s时间内，该波沿x轴负方向传播了6 m
D．0.1~0.25 s时间内，质点P通过的路程为30 cm
E．质点Q简谐运动的表达式为y=0.1sin(10πt)(m)
【答案】ACD
5．一列简谐横波沿x轴正方向传播，振幅为2 cm，周期为T。已知t=0时刻介质中相距50 cm的两质点a、b的位移大小都是cm、方向相反，其中质点a沿y轴负方向运动，如图所示，则下列说法中正确的是21cnjy.com
A．该列简谐横波波长可能为37.5 cm
B．该列简谐横波波长可能为12 cm x/k..w
C．质点a、b的速度在某一时刻可以相同
D．当质点b的位移为正的2 cm时，质点a的位移为负
E．在t=时刻质点b速度最大
【答案】BCE
【解析】由三角函数可知，sin=sin=，则有+nλ=50 cm（n=0,1,2,…），得λ=cm（n=0,1,2,…），n=4时，λ=12 cm，波长不可能为37.5 cm，A错误，B正确；两质点不为反相点，两质点振动时，可能在某一时刻速度相同，C正确；当质点b的位移为正的2 cm，即到波峰位置时，质点a还未到达平衡位置，位移为正的，D错误；经过时间质点b在平衡位置，速度最大，E正确。
6．一列沿x轴正方向传播的简谐横波，其振幅为2 cm，波速为30 cm/s。在传播过程中有平衡位置相距30 cm的两质点均在x轴上方距离x轴1 cm的位置，此时两质点运动方向相反，如图所示，则下列说法中正确的是2·1·c·n·j·y
A．此波的周期可能为0.5 s
B．此波的周期可能为1.5 s
C．从此时刻起，经过1.25 s质点b可能处于波峰位置
D．质点a速度最大时，质点b速度可能为零
【答案】BC

1．（2017·新课标全国Ⅲ卷）如图，一列简谐横波沿x轴正方向传播，实线为t=0时的波形图，虚线为t=0.5 s时的波形图。已知该简谐波的周期大于0.5 s。关于该简谐波，下列说法正确的是
A．波长为2 m
B．波速为6 m/s
C．频率为1.5 Hz
D．t=1 s时，x=1 m处的质点处于波峰
E．t=2 s时，x=2 m处的质点经过平衡位置
【答案】BCE
2．（2017·天津卷）手持较长软绳端点O以周期T在竖直方向上做简谐运动，带动绳上的其他质点振动形成简谐波沿绳水平传播，示意如图。绳上有另一质点P，且O、P的平衡位置间距为L。t=0时，O位于最高点，P的位移恰好为零，速度方向竖直向上，下列判断正确的是21·cn·jy·com
A．该简谐波是纵波
B．该简谐波的最大波长为2L
C．时，P在平衡位置上方
D．时，P的速度方向竖直向上
【答案】C
【解析】绳波中质点的振动方向与波的传播方向垂直，属于横波，纵波的传播方向和质点的振动方向在同一直线上，故A错误，根据波形图和波的传播方向可知，位移恰好为零且速度方向竖直向上的质点与O点的距离应为，其中n=0、1、2……，波长，可知当n=0时有波长的最大值，为，故B错误；0~内P由平衡位置振动到波峰，~内P由波峰回动到平衡位置，可知时P在平衡位置上方向上振动，时P在平衡位置上方向下振动，故C正确，D错误。
3．（2016·新课标全国Ⅰ卷）某同学漂浮在海面上，虽然水面波正平稳地以1.8 m/s的速率向着海滩传播，但他并不向海滩靠近。该同学发现从第1个波峰到第10个波峰通过身下的时间间隔为15 s。下列说法正确的是www-2-1-cnjy-com
A．水面波是一种机械波
B．该水面波的频率为6 Hz
C．该水面波的波长为3 m
D．水面波没有将该同学推向岸边，是因为波传播时能量不会传递出去
E．水面波没有将该同学推向岸边，是因为波传播时振动的质点并不随波迁移
【答案】ACE
【名师点睛】本题考查了波的基本特点，波的波长、波速、周期三者的关系是考查的重点。还要理解波传播时介质中振动的质点并不随波迁移，只在各自的平衡位置附近振动；波的传播过程也是能量传递过程。【21教育】
4．（2016·新课标全国Ⅲ卷）由波源S形成的简谐横波在均匀介质中向左、右传播。波源振动的频率为20 Hz，波速为16 m/s。已知介质中P、Q两质点位于波源S的两侧，且P、Q和S的平衡位置在一条直线上，P、Q的平衡位置到S的平衡位置之间的距离分别为15.8 m、14.6 m，P、Q开始振动后，下列判断正确的是21-cnjy*com
A．P、Q两质点运动的方向始终相同
B．P、Q两质点运动的方向始终相反
C．当S恰好通过平衡位置时，P、Q两点也正好通过平衡位置
D．当S恰好通过平衡位置向上运动时，P在波峰
E．当S恰好通过平衡位置向下运动时，Q在波峰
【答案】BDE
【解析】根据题意信息可得，，故波长为，找P点关于S
5．（2016·海南卷）下列说法正确的是
A．在同一地点，单摆做简谐振动的周期的平方与其摆长成正比
B．弹簧振子做简谐振动时，振动系统的势能与动能之和保持不变
C．在同一地点，当摆长不变时，摆球质量越大，单摆做简谐振动的周期越小
D．系统做稳定的受迫振动时，系统振动的频率等于周期性驱动力的频率
E．已知弹簧振子初始时刻的位置及其振动周期，就可知振子在任意时刻运动速度的方向
【答案】ABD
【解析】在同一地点，重力加速度g为定值，根据单摆周期公式可知，周期的平方与摆长成正比，故选项A正确；弹簧振子做简谐振动时，只有动能和势能参与转化，根据机械能守恒条件可知，振动系统的势能与动能之和保持不变，故选项B正确；根据单摆周期公式可知，单摆的周期与质量无关，故选项C错误；当系统做稳定的受迫振动时，系统振动的频率等于周期性驱动力的频率，故选项D正确；若弹簧振子初始时刻在波峰或波谷位置，知道周期后，可以确定任意时刻运动速度的方向，若弹簧振子初始时刻不在波峰或波谷位置，则无法确定，故选项E错误。
6．（2016·天津卷）在均匀介质中坐标原点O处有一波源做简谐运动，其表达式为，它在介质中形成的简谐横波沿x轴正方向传播，某时刻波刚好传播到x=12 m处，波形图象如图所示，则
A．此后再经6 s该波传播到x=24 m处
B．M点在此后第3 s末的振动方向沿y轴正方向
C．波源开始振动时的运动方向沿y轴负方向
D．此后M点第一次到达y=–3 m处所需时间是2 s
【答案】AB
7．（2015·海南卷）一列沿x轴正方向传播的简谱横波在t=0时刻的波形如图所示，质点P的x坐标为3m.。已知任意振动质点连续2次经过平衡位置的时间间隔为0.4s。下列说法正确的是
A．波速为4m/s
B．波的频率为1.25Hz
C．x坐标为15m的质点在t=0.2s时恰好位于波谷
D．x的坐标为22m的质点在t=0.2s时恰好位于波峰
E．当质点P位于波峰时，x坐标为17m的质点恰好位于波谷
【答案】BDE
s时振动到平衡位置，C错误；x的坐标为22 m的质点和x的坐标为2 m的质点为同相点，x的坐标为2 m的质点经过t=0.2 s即四分之一周期恰好位于波峰，故x的坐标为22 m的质点在t=0.2 s时恰好位于波峰，D正确；当质点P位于波峰时，经过了半个周期，而x坐标为17 m的质点和x坐标为1 m的质点为同相点，经过半个周期x坐标为1 m的质点恰好位于波谷，E正确。21*cnjy*com

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