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万有引力教学中应理清的几组概念
湘南中学 钟建军
摘要：
万有引力定律揭示了自然界中物体间普遍存在的一种基本相互作用规律和行星运动的本质原因。同学们在学习这一部分内容时普遍反映公式变化较多 , 各种关系复杂。本文旨在通过复习 , 进一步理清一些相近或相关的概念 , 让同学们真正理清这些概念 , 更好地掌握这一部分内容…
关键词：万有引力 半径 距离 周期 轨道
正文：
万有引力定律揭示了自然界中物体间普遍存在的一种基本相互作用规律和行星运动的本质原因。这一部分内容是高考的热点，也是同学们在学习中感觉到较难的地方，同学们在学习这一部分内容时普遍反映公式变化较多 , 各种关系复杂。本文旨在通过复习 , 进一步理清一些相近或相关的概念 , 让同学们真正理清这些概念 , 更好地掌握这一部分内容。
一、重力和万有引力
重力的定义是由于地球的吸引而使物体受到的力，由此可以知道，重力并不一定等于万有引力。那它们之间有什么关系呢？
1、 在地面上的物体，由于地球的自转，地面上所有物体跟随地球一起做匀速圆周运动，其旋转中心是地轴与圆周平面的交点 O ′，如图 1 所示，旋转时所需的向心力是万有引力在旋转面内的一个分力
F ′ ， F ′= mωR cosθ（式中m为地面上某物体的质量，ω为地球的自转角速度，R 是地球半径，θ为物体所处的纬度）。万有引力
F= （式中 M 为地球质量） 重力 G是万有引力 F 的另一个分力，方向并不指向地心，由于 F ′ 很小，所以 G 的数值非常接近 F 的数值，在粗略计算时可以不作区别。
2、 物体一旦离开地球表面而绕着地心做匀速圆周运动时，地球的自转是不影响物体受力情况的。此时的重力就等于万有引力(F=G)。
【例 1】地球赤道上有一物体随地球的自转而做圆周运动，所受的向心力为F1,向心加速度为a1，线速度为v1，角速度为ω1，绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星（高度忽略）所受的向心力为F2，向心加速度为a2，线速度为v2，角速度为ω2，地球同步卫星所受的向心力为F3，向心加速度为a3，线速度为v3，角速度为ω3，假设三者质量相等，则：（ ）
A F1=F2>F3 B a1=a2>a3
C v1=v2>v3 D ω1=ω3<ω2
【解析】赤道上的物体随地球自转的向心力为万有引力与地面支持力的合力，近地卫星的向心力等于万有引力，同步卫星的向心力就是同步卫星所在处的万有引力，故有F1F3，加速度a1v3，角速度
ω1=ω3<ω2；故选【D】。
二、天体半径和卫星轨道半径
在中学物理中通常把天体看成一个球体，天体半径就是球的半径，反映了天体的大小，卫星的轨道半径是天体的卫星绕天体做圆周运动的圆的半径。一般情况下，天体卫星的轨道半径总大于该天体的半径，当卫星贴近天体表面运行时，可近似认为轨道半径等于天体半径。
【例 2 】一宇宙飞船到某星球上探测，宇航员想知道该星球的密度，而身边只有一块手表，他该怎么办呢？
【解析】当宇宙飞船绕着星球运行时，可将其视为该星球的一颗卫星，根据关系式 F=G
( 这里 r 是宇宙飞船的轨道半径 ，R为星球半径)
因此，要想求得星球的密度，必须使飞船的轨道半径 r=R ，才能得出ρ。所以宇航员只要让飞船贴近该天体的表面绕行一周，用手表测出周期，即可求得星球的密度。
三、距离与轨道半径
在双星问题中天体之间的距离与各天体的轨道半径存在如下关系：
【例 3】我们的银河系的恒星中大约四分之一是双星，某双星由质量未知的星系S1和S2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一点O做匀速圆周运动，如图2所示。由天文观测得其周期为T，S1到O点的距离为r1，S2和S2的距离为r，已知万有引力常量为G。由此求：
（1）S1的质量？
（2）S2的质量？
（3）分析它们的质量与轨道半径的关系。
【解析】(1)研究S2的运动，由万有引力提供向心力得：
①
（2）研究S2的运动，由万有引力提供向心力得：
②
（3）由①/② 得 ③
对③式分析可得：
当 M1≥M2，则（r-r1）≥r1轨道圆心在两星连线上，此时轨道半径小于两星距离。
当 M1>>M2，则（r-r1）>>r1可认为轨道圆心在S1的球心，此时轨道半径等于两星距离。
四、自转周期和公转周期
自转周期是天体绕自身某轴线转动一周的时间，公转周期是卫星绕中心天体做圆周运动一周的时间。一般情况下天体的自转周期和公转周期是不等的，如地球自转周期为 24 小时，公转周期为 365 天，在应用中要注意区别。
【例 4 】已知大阳光射到地球需时 t=500s ，地球同步卫星的高度 h=3 . 6 × km ，已知 T 、 T ' 分别是地球的公转周期和自转周期。试估算太阳和地球的质量。
【解析】设太阳质量为 M 1 ,地球质量为 M 2 ,地球同步卫星质量为 m ．由地球绕太阳做圆周运动：
①
①式中 r=ct ( c 为光速)再根据地球同步卫星绕地球做圆周运动得：
②
①、②代入数据即可求得 M 1 、 M 2 。
当然，也有的天体自转周期和公转周期相同，如月球的自转周期等于它绕地球的公转周期，故月球总是以同一面朝向地球。
五、稳定运行和变轨运行
卫星绕天体稳定运行时万有引力提供向心力。由 , 得 。轨道半径 r 越大，卫星的速度越小。当卫星由于某种原因速度 v 突然改变时， 万有引力和向心力不再相等，因此就不能再根据 来确定 r 的大小。当 F ＞ 时，卫星做近心运动；当 F ＜ 时，卫星做离心运动。
【例5 】 如图3所示， a 、 b 、 c 是在地球大气层外圆形轨道上运行的 3 艘宇宙飞船，下列说法正确的是 [ ]
A b、 c 的线速度大小相等，且大于a的线速度。
B b、c 的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度。
C 如果飞船运动方向都相同（如图），现b要在最短时间内追上c并与之对接，那么b要先减速降低轨道，再加速升高轨道。
D 如果飞船运动方向都相同（如图），现b要在最短时间内追上c并与之对接，那么b要先加速升高轨道，再减速降低轨道。
【解析】根据可知，A选项错；根据，可知，B选项错；轨道越低，角速度越大，所以b要追上c，必须先减速降低轨道，再加速升高轨道，C选项对，D选项错。
O
O′
m
R
θ
图1
ω
F′ˊˋˋˊˊ
F
mg
o
S1
S2
图2
a
图3
b
c

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