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临界与极值问题
题型一：竖直平面内作圆周运动的临界问题
解决这类问题需要注意：我们不能只盯着最高点，而要对小球作全面的、动态的分析，目的就是找出小球最不容易完成圆周运动的关键点，只要保证小球在这一点上恰能作圆周运动，就能保证它在竖直平面内作完整的圆周运动，如此这类临界问题得以根本解决。这一关键点并非总是最高点，也可以是最低点，或其他任何位置。
［例1］如图所示的装置是在竖直平面内放置光滑的绝缘轨道，处于水平向右的匀强电场中，以带负电荷的小球从高h的A处静止开始下滑，沿轨道ABC运动后进入圆环内作圆周运动。已知小球所受到电场力是其重力的3／4，圆滑半径为R，斜面倾角为θ，sBC=2R。若使小球在圆环内能作完整的圆周运动，h至少为多少？
［解析］小球所受的重力和电场力都为恒力，故可两力等效为一个力F，如图所示。可知F＝1.25mg，方向与竖直方向左偏下37o，从图6中可知，能否作完整的圆周运动的临界点是能否通过D点，若恰好能通过D点，即达到D点时球与环的弹力恰好为零。
由圆周运动知识得：
即：
由动能定理有：
联立①、②可求出此时的高度h。
［变式训练1］如图所示，细杆的一端与一小球相连，可绕过O点的水平轴自由转动。现给小球一初速度，使它做圆周运动，图中、分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是（ ）
A．处为拉力，为拉力
B．处为拉力，为推力
C．处为推力，为拉力
D．处为推力，为推力
题型二：关于摩擦力的临界与极值问题
解决这类问题需要注意：对于临界条件不明显的物理极值问题，解题的关键在于通过对物理过程的分析，使隐蔽的临界条件暴露，从而找到解题的突破口，根据有关规律求出极值。
［例2］如图所示，在电场强度E=5 N/C的匀强电场和磁感应强度B=2 T的匀强磁场中，沿平行于电场、垂直于磁场方向放一长绝缘杆，杆上套一个质量为m=10-4 kg，带电量q=2×10-4 C的小球，小球与杆间的动摩擦因数μ=0.2，小球从静止开始沿杆运动的加速度和速度各怎样变化？
［解析］带电小球在竖直方向上受力平衡，开始沿水平方向运动的瞬间加速度：
a1==8 m/s2
小球开始运动后加速度：
a2=［qE-μ(mg-qvB)］/m，由于小球做加速运动，洛伦兹力F磁增大，摩擦力Ff逐渐减小，当mg=F磁时，Ff =0，加速度最大，其最大值为：a3==10 m/s2.
随着速度v的增大，F磁＞mg，杆对球的弹力N改变方向，又有摩擦力作用，其加速度：a4=［qE-μ(qvB-mg)］/m.可见Ff随v的增大而增大，a4逐渐减小.当Ff=F电时，加速度a5=0，此时速度最大，此后做匀速运动。
由qE=μ(qvB-mg)解得v=15 m/s.
结论：小球沿杆运动的加速度由8 m/s2逐渐增大到10 m/s2，接着又逐渐减小到零，最后以15 m/s的速度做匀速运动
［变式训练2］如图所示，质量M＝4kg的木板长L＝1.4m，静止在光滑水平面上，其上面右端静止一质量m=1kg的小滑块（可看作质点），滑块与木板间的动摩擦因数μ＝0.4，先用一水平恒力F＝28N向右拉木板，要使滑块从木板上恰好滑下来，力F至少应作用多长时间（g=10m/s2）？

变式训练参考答案
［变式训练1］ AB
［变式训练2］s
光学电磁场和电磁波
题型一：折射定律及其应用
解决这类问题需要注意: 通过做光路图挖掘几何关系，从而求解透明体的厚度以及光在透明体里运动的时间。做光路图也是解此类题的关键所在。
【例1】 如图所示，一束光线以60°的入射角射到一水平放置的平面镜上，反射后在正上方与平面镜平行的光屏上留下一光点P 。现将一块上下两面平行的透明体平放在平面镜上，如图中虚线所示，则进入透明体的光线经平面境反射后再从透明体的上表面射出，打在光屏上的光点P′与原来相比向左平移了3.46cm ，已知透明体对光的折射率为。
（1）作出后来的光路示意图，标出P′ 位置；
（2）透明体的厚度为多大？
（3）光在透明体里运动的时间多长？
［解析］（1）光路示意图如图所示（注意出射光线平行，各处光线的箭头）
（2）由sinα = n sinβ ， 得β=30°
设透明体的厚度为d ，由题意及光路有
2 d tan60° ―2 d tan30° = △s
解得d =1.5cm
（3）光在透明体里运动的速度
v =
光在透明体里运动的路程
∴　光在透明体里运动时间s = 2×10－10 s
【变式训练1】半径为R的半圆形玻璃砖横截面如图所示，O为圆心，光线a沿半径方向射入玻璃砖后，恰在O点发生全反射，已知∠aOM=45°，求：
（1）玻璃砖的折射率n；
（2）另一条与a平行的光线b从最高点入射玻璃砖后，折射到MN上的d点，则这根光线能否从MN射出?Od为多少?
题型二：光的色散 全反射
解决这类问题需要注意：（1）色散的实质是由于各种色光在同一介质中传播的速率不同，或同一介质对不同色光的折射率不同而引起的。光的频率越大，折射率越大。红光折射率最小，紫光折射率最大。
（2）全反射的条件是，光从光密介质进入光疏介质，且入射角达到临界角。
【例2】某棱镜顶角θ=41.30°，一束白光以较大的入射角从棱镜的一个侧面射入，通过棱镜后从另一个侧面射出，在光屏上形成由红到紫的彩色光带如右图所示，当入射角i逐渐减小到零的过程中，彩色光带变化情况是（ ）
色光
紫
蓝
绿
黄
橙
红
折射率
1.532
1.528
1.519
1.517
1.514
1.513
临界角
40.75°
40.88°
41.17°
41.23°
41.34°
41.37°
A．紫光最先消失，最后只剩下橙光、红光
B．紫光最先消失，最后只剩下黄光、橙光和红光
C．红光最先消失，最后只剩下紫光、蓝光
D．红光最先消失，最后只剩下紫光、蓝光和绿光
［解析］屏上的彩色光带最上端为红色，最下端为紫色，当入射角i减小时，光线在棱镜右侧面的入射角变大，因紫光临界角最小，所以紫光最先达到临界而发生全反射，故紫色最先在屏上消失，当入射角减小到i′=0时，仅剩下红光和橙光未达到临界角而射出，到达光屏，故选A。
［变式训练2］ 在一个圆形轻木塞的中心插上一根大头针，然后把它倒放在水面上，调节针插入的深度，使观察者不论在什么位置都刚好不能看到水下的大头针，如图所示，量出针露出的长度为d，木塞的半径为r，求水的折射率。
题型三:光的干涉、衍射、偏振
解决这类问题需要注意：准确理解干涉现象的产生条件，产生明显衍射现象的条件。
【例3】能产生干涉现象的两束光是（ ）
A．频率相同、振幅相同的两束光
B．频率相同、相位差恒定的两束光
C．两只完全相同的灯光发出的光
D．同一光源的两个发光部分发出的光
［解析］只有频率相同、相差恒定、振动方向相同的光波，在它们相遇的空间里能够产生稳定的干涉，观察到稳定的干涉图样,所以应选B.
［变式训练3］如图所示是双缝干涉实验装置，屏上O点到双缝S1、S2的距离相等。当用波长为0.75μm的单色光照射时，P是位于O上方的第二条亮纹位置，若换用波长为0.6μm的单色光做实验，P处是亮纹还是暗纹？在OP之间共有几条暗纹？
题型四:电磁场与电磁波
解决这类问题需要注意：准确把握麦克斯韦电磁场理论的基本内容.
【例3】按照麦克斯韦的电磁场理论，以下说法中正确的是
A．恒定的电场周围产生恒定的磁场，恒定的磁场周围产生恒定的电场
B．变化的电场周围产生磁场，变化的磁场周围产生电场
C．均匀变化的电场周围产生均匀变化的磁场，均匀变化的磁场周围产生均匀变化电场
D．均匀变化的电场周围产生稳定的磁场，均匀变化的磁场周围产生稳定的电场
［解析］：选B、D。
［变式训练4］如图所示，让白炽灯发出的光通过偏振片P和Q，以光的传播方向为轴旋转偏振片P和Q，可以看到透射光的强度会发生变化，这是光的偏振现象。这个实验表明（ ）
A. 光是电磁波
B. 光是一种横波
C. 光是一种纵波
D. 光是概率波
变式训练参考答案
变式训练1（1）；（2）能，
变式训练2
变式训练3 暗纹；两条
变式训练4 B
力与物体的平衡
题型一：常规力平衡问题
解决这类问题需要注意：此类题型常用分解法也可以用合成法，关键是找清力及每个力的方向和大小表示！多为双方向各自平衡，建立各方向上的平衡方程后再联立求解。
［例1］一个质量m的物体放在水平地面上,物体与地面间的摩擦因数为μ,轻弹簧的一端系在物体上,如图所示.当用力F与水平方向成θ角拉弹簧时,弹簧的长度伸长x，物体沿水平面做匀速直线运动.求弹簧的劲度系数.
［解析］可将力F正交分解到水平与竖直方向，再从两个方向上寻求平衡关系！水平方向应该是力F的分力Fcos与摩擦力平衡，而竖直方向在考虑力的时候，不能只考虑重力和地面的支持力，不要忘记力F还有一个竖直方向的分力作用！
水平： Fcos=FN ①
竖直：FN ＋ Fsin=mg ②
F=kx ③
联立解出：k=
［变式训练1］ 如图，质量为m的物体置于倾角为θ的斜面上，先用平行于斜面的推力F1作用于物体上，能使其能沿斜面匀速上滑，若改用水平推力作用于物体上，也能使物体沿斜面匀速上滑，则两次力之比F1/F2=?
题型二：动态平衡与极值问题
解决这类问题需要注意：
（1）三力平衡问题中判断变力大小的变化趋势时，可利用平行四边形定则将其中大小和方向均不变的一个力，分别向两个已知方向分解，从而可从图中或用解析法判断出变力大小变化趋势，作图时应使三力作用点O的位置保持不变．
（2）一个物体受到三个力而平衡，其中一个力的大小和方向是确定的，另一个力的方向始终不改变，而第三个力的大小和方向都可改变，问第三个力取什么方向这个力有最小值，当第三个力的方向与第二个力垂直时有最小值，这个规律掌握后，运用图解法或计算法就比较容易了．
［例2］ 如图2-5-3所示，用细线AO、BO悬挂重力，BO是水平的，AO与竖直方向成α角．如果改变BO长度使β角减小，而保持O点不动，角α（α < 450）不变，在β角减小到等于α角的过程中，两细线拉力有何变化？
［解析］取O为研究对象，O点受细线AO、BO的拉力分别为F1、F2，挂重力的细线拉力F3 = mg．F1、F2的合力F与F3大小相等方向相反．又因为F1的方向不变，F的末端作射线平行于F2，那么随着β角的减小F2末端在这条射线上移动，如图2-5-3(解)所示．由图可以看出，F2先减小，后增大，而F1则逐渐减小．
［变式训练2］如图所示，轻绳的一端系在质量为m的物体上，另一端系在一个圆环上，圆环套在粗糙水平横杆MN上，现用水平力F拉绳上一点，使物体处在图中实线位置.然后改变F的大小使其缓慢下降到图中虚线位置，圆环仍在原来位置不动，则在这一过程中，水平拉力F、环与横杆的摩擦力f和环对杆的压力N的变化情况是( )
A.F逐渐减小，f逐渐增大，N逐渐减小?
B.F逐渐减小，f逐渐减小，N保持不变
C.F逐渐增大，f保持不变，N逐渐增大
D.F逐渐增大，f逐渐增大，N保持不变?
［变式训练3］如图所示，小球用细线拴住放在光滑斜面上，用力推斜面向左运动，小球缓慢升高的过程中，细线的拉力将：( )
A.先增大后减小 B.先减小后增大
C.一直增大 D.一直减小
［变式训练4］如图是给墙壁粉刷涂料用的“涂料滚”的示意图．使用时，用撑竿推着粘有涂料的涂料滚沿墙壁上下缓缓滚动，把涂料均匀地粉刷到墙上．撑竿的重量和墙壁的摩擦均不计，而且撑竿足够长，粉刷工人站在离墙壁一定距离处缓缓上推涂料滚，该过程中撑竿对涂料滚的推力为F1，涂料滚对墙壁的压力为F2，以下说法正确的是 （ ）
（A）F1增大 ， F2减小　　　　（B）F1减小， F2 增大
（C）F1、、F2均增大　　　　　　（D）F1、、F2均减小
题型三：连接体的平衡问题
解决这类问题需要注意：由于此类问题涉及到两个或多个物体，所以应注意整体法与隔离法的灵活应用。考虑连接体与外界的作用时多采用整体法，当分析物体间相互作用时则应采用隔离法。
［例3］有一个直角支架AOB，AO是水平放置，表面粗糙．OB竖直向下，表面光滑．OA上套有小环P，OB套有小环Q，两环质量均为m，两环间由一根质量可以忽略、不可伸长的细绳相连，并在某一位置平衡，如图2-5-1所示．现将P环向左移一小段距离，两环再次达到平衡，那么移动后的平衡状态和原来的平衡状态相比较，AO杆对P的支持力FN和细绳上的拉力F的变化情况是：（ ）
A．FN不变，F变大 B．FN不变，F变小
C．FN变大，F变大 D．FN变大，F变小
［解析］选择环P、Q和细绳为研究对象．在竖直方向上只受重力和支持力FN的作用，而环动移前后系统的重力保持不变，故FN保持不变．取环Q为研究对象，其受如图2-5-1(解)所示．Fcosα = mg，当P环向左移时，α将变小，故F变小，正确答案为B．
［变式训练5］如图所示，一个半球形的碗放在桌面上，碗口水平，O是球心，碗的内表面光滑。一根
轻质杆的两端固定有两个小球，质量分别是m1，m2. 当它们静止时，m1、m2与球心的连线跟水平面分别成60°，30°角，则碗对两小球
的弹力大小之比是…………………………………（ ）
A．1：2 B．
C．1： D．：2
题型四：相似三角形在平衡中的应用
［例4］如图2-5-2所示，轻绳的A端固定在天花板上，B端系一个重力为G的小球，小球静止在固定的光滑的大球球面上．已知AB绳长为l，大球半径为R，天花板到大球顶点的竖直距离AC = d，∠ABO > 900．求绳对小球的拉力和大球对小球的支持力的大小．（小球可视为质点）
［解析］小球为研究对象，其受力如图1.4.2(解)所示．绳的拉力F、重力G、支持力FN三个力构成封闭三解形，它与几何三角形AOB相似，则根据相似比的关系得到：==，于是解得F = G，FN = G．
〖点评〗本题借助于题设条件中的长度关系与矢量在角形的特殊结构特点，运用相似三角形巧妙地回避了一些较为繁琐的计算过程．
［变式训练6］如图所示，一轻杆两端固结两个小球A、B，mA=4mB，跨过定滑轮连接A、B的轻绳 长为L，求平衡时OA、OB分别为多长？

［变式训练7］如图所示，竖直绝缘墙壁上固定一个带电质点A，A点正上方的P点用绝缘丝线悬挂另一质点B，A、B两质点因为带电而相互排斥，致使悬线与竖直方向成θ角.由于漏电A、B两质点的带电量缓慢减小，在电荷漏完之前，关于悬线对悬点P的拉力F1大小和A、B间斥力F2在大小的变化情况，下列说法正确的是………………… （ ）
A．F1保持不变 B．F1先变大后变
C．F2保持不变 D.F2逐渐减小
二、复合场中的物体平衡：
题型五：重力场与电场中的平衡问题
解决这类问题需要注意：重力场与电场的共存性以及带电体受电场力的方向问题和带电体之间的相互作用。
［例5］在场强为E，方向竖直向下的匀强电场中，有两个质量均为m的带电小球，电荷量分别为+2q和-q，两小球用长为L的绝缘细线相连，另用绝缘细线系住带正电的小球悬挂于O点处于平衡状态，如图14所示，重力加速度为g，则细绳对悬点O的作用力大小为_______．两球间细线的张力为 .
［解析］2mg+Eq mg－Eq－2kq2/L2
［变式训练8］已知如图所示,带电小球A、B的电荷量分别为QA、QB，OA=OB，都用长为L的丝线悬挂于O点。静止时A、B相距为d，为使平衡时A、B间距离减小为d/2，可采用的方法是（ ）
A ．将小球A、B的质量都增加到原来的两倍
B ．将小球B的质量增加为原来的8倍
C ．将小球A、B的电荷都减少为原来的一半
D ．将小球A、B的电荷都减少为原来的一半，
同时将小球B的质量增加为原来的2倍
题型六：重力场与磁场中的平衡问题
解决这类问题需要注意：此类题型需注意安培力的方向及大小问题，能画出正确的受力分析平面图尤为重要。
［例6］ 在倾角为θ的光滑斜面上，放置一通有电流I、长L、质量为m的导体棒，如图所示，试求:
(1)使棒静止在斜面上，外加匀强磁场的磁感应强度B最小值和方向.
(2)使棒静止在斜面上且对斜面无压力，外加匀强磁场磁感应强度B的最小值和方向.
［解析］(1)，垂直斜面向下 (2)，水平向左
［变式训练9］质量为m的通电细杆ab置于倾角为θ的导轨上，导轨的宽度为d，杆ab与导轨间的摩擦因数为μ.有电流时，ab恰好在导轨上静止，如图所示.图(b)中的四个侧视图中，标出了四种可能的匀强磁场方向，其中杆ab与导轨之间的摩擦力可能为零的图是( ).
答案:AB
［变式训练10］如图（a），圆形线圈P静止在水平桌面上，其正上方悬挂一相同的线圈Q，P和Q共轴.Q中通有变化电流，电流随时间变化的规律如图（b）所示.P所受的重力为G，桌面对P的支持力为N，则（ ）
A.t1时刻N＞G B.t2时刻N＞G C.t3时刻N＜G D.t4时刻N=G
［变式训练11］如图所示，上下不等宽的平行金属导轨的EF和GH两部分导轨间的距离为2L，I J和MN两部分导轨间的距离为L，导轨竖直放置，整个装置处于水平向里的匀强磁场中，金属杆ab和cd的质量均为m，都可在导轨上无摩擦地滑动，且与导轨接触良好，现对金属杆ab施加一个竖直向上的作用力F，使其匀速向上运动，此时cd处于静止状态，则F的大小为（ ）
A．2mg B．3mg C．4mg D．mg
题型七：重力场、电场、磁场中的平衡问题
解决这类问题需要注意：应区分重力、电场力、磁场力之间的区别及各自的影响因素。
［例7］ 如图1-5所示，匀强电场方向向右，匀强磁场方向垂直于纸面向里，一质量为带电量为q的微粒以速度与磁场垂直、与电场成45?角射入复合场中，恰能做匀速直线运动，求电场强度E的大小，磁感强度B的大小。
［解析］由于带电粒子所受洛仑兹力与垂直，电场力方向与电场线平行，知粒子必须还受重力才能做匀速直线运动。假设粒子带负电受电场力水平向左，则它受洛仑兹力就应斜向右下与垂直，这样粒子不能做匀速直线运动，所以粒子应带正电，画出受力分析图根据合外力为零可得，
（1） （2）由（1）式得，由（1），（2）得
［变式训练12］如图所示，匀强磁场沿水平方向，垂直纸面向里，磁感强度B=1T，匀强电场方向水平向右，场强E=10N/C。一带正电的微粒质量m=2×10-6kg，电量q=2×10-6C，在此空间恰好作直线运动，问：（1）带电微粒运动速度的大小和方向怎样？
（2）若微粒运动到P点的时刻，突然将磁场撤去，那么经多少时间微粒到达Q点？（设PQ连线与电场方向平行）

变式训练参考答案
［变式训练1］：按甲图，F1=mgsinθ＋μmgcosθ
　　　按乙图，采用正交分解法
　　　x方向 F2cosθ－f－mgsinθ=0
　　　y方向 N－F2sinθ－mgsinθ=0
　　①上式联立得
　　　
［变式训练2］ B
［变式训练3］B
［变式训练4］ D
［变式训练5］ B
［变式训练6］［解析］：采用隔离法分别以小球A、B为研究对象并对它们进行受力分析（如图所示）可以看出如果用正交分解法列方程求解时要已知各力的方向，求解麻烦．此时采用相似三角形法就相当简单．
△AOE（力）∽△AOC（几何）T是绳子对小球的拉力
4mg/T=x/L1——（1）
△BPQ（力）∽△OCB（几何）
mg/T=X/L2——（2）
由（1）（2）解得：L1=L/5；L2=4L/5
［变式训练7］ AD
［变式训练8］BD
［变式训练9］AB
［变式训练10］AD]
［变式训练11］D
［变式训练12］（1）20m/s 方向与水平方向成60°角斜向右上方
（2）2s
动能定理机械能守恒定律
题型一：应用动能定理时的过程选取问题
解决这类问题需要注意：对多过程问题可采用分段法和整段法
处理,解题时可灵活处理,通常用整段法解题往往比较简洁.
[例1]如图4-1所示,一质量m=2Kg的铅球从离地面H=2m高处自由下落,陷入沙坑h=2cm深处,求沙子对铅球的平均阻力.(g取10m/s2)
［解析］方法一:分段法列式
设小球自由下落到沙面时的速度为v,则mgH=mv2/2-0
设铅球在沙坑中受到的阻力为F,则mgh-Fh=0- mv2/2
代入数据,解得F=2020N
方法二:整段法列式
全过程重力做功mg(H+h),进入沙坑中阻力阻力做功-Fh,
从全过程来看动能变化为0,得 mg(H+h)-Fh=0,代入数值
得F=2020N.
［变式训练1］一个物体从斜面上高h处由静止滑下并紧接着在水平面上滑行一段距离后停止，测得停止处对开始运动处的水平距离为S，如图4-2，不考虑物体滑至斜面底端的碰撞作用，并设斜面与水平面对物体的动摩擦因数相同．求动摩擦因数μ．
题型二:运用动能定理求解变力做功问题
解决这类问题需要注意:恒力做功可用功的定义式直接求解,变力做功可借助动能定理并利用其它的恒力做功进行间接求解.
［例2］如图4-3所示，AB为1/4圆弧轨道,BC为水平轨道, 圆弧的半径为R, BC的长度也是R.一质量为m的物体,与两个轨道间的动摩擦因数都为μ,当它由轨道顶端A从静止开始下落时,恰好运动到C处停止,那么物体在AB段克服摩擦力所做的功为( )
A.μmgR/2 B. mgR/2 C. mgR D.(1-μ) mgR
［解析］设物体在AB段克服摩擦力所做的功为WAB,物体由A到C全过程,由动能定理,有
mgR-WAB-μmgR=0 所以. WAB= mgR-μmgR=(1-μ) mgR 答案为D
［变式训练2］质量为m的小球用长为L的轻绳悬于O点，如右图4-4所示，小球在水平力F作用下由最低点P缓慢地移到Q点，在此过程中F做的功为（ ）
A.FLsinθ B.mgLcosθ
C.mgL（1－cosθ） D.FLtanθ
题型三:动能定理与图象的结合问题
解决这类问题需要注意:挖掘图象信息,重点分析图象的坐标、切线斜率、包围面积的物理意义.
［例3］静置于光滑水平面上坐标原点处的小物块，在水平拉力F作用下，沿x轴方向运动，拉力F随物块所在位置坐标x的变化关系如图4-5所示，图线为半圆．则小物块运动到x0处时的动能为( )
A．0 B． C． D．
［解析］由于水平面光滑,所以拉力F即为合外力,F随位移X的变化图象包围的面积即为F做的功, 设x0处的动能为EK由动能定理得: EK-0=== 答案:C
［变式训练3］在平直公路上，汽车由静止开始作匀加速运 动，当速度达到vm后立即关闭发动机直到停止，v-t图像如图4-6所示。设汽车的牵引力为F，摩擦力为f，全过程中牵引力做功W1，克服摩擦力做功W2，则( )
A．F：f=1：3 B．F：f=4：1
C．W1：W2 =1：1 D．W1：W2=l：3
题型四:机械能守恒定律的灵活运用
解决这类问题需要注意:灵活运用机械能守恒定律的三种表达方式:1.初态机械能等于末态机械能,2.动能增加量等于势能减少量,3.一个物体机械能增加量等于另一个物体机械能减少量.后两种方法不需要选取零势能面.
［例4］如图4-7所示，粗细均匀的U形管内装有总长为4L的水。开始时阀门K闭合，左右支管内水面高度差为L。打开阀门K后，左右水面刚好相平时左管液面的速度是多大？（管的内部横截面很小，摩擦阻力忽略不计）
［解析］由于不考虑摩擦阻力，故整个水柱的机械能守恒。从初始状态到左右支管水面相平为止，相当于有长L/2的水柱由左管移到右管。系统的重力势能减少，动能增加。该过程中，整个水柱势能的减少量等效于高L/2的水柱降低L/2重力势能的减少。不妨设水柱总质量为8m，则，得。
［变式训练4］如图4-8所示，游乐列车由许多节车厢组成。列车全长为L，圆形轨道半径为R，（R远大于一节车厢的高度h和长度l，但L>2πR）.已知列车的车轮是卡在导轨上的光滑槽中只能使列车沿着圆周运动，在轨道的任何地方都不能脱轨。试问：在没有任何动力的情况下，列车在水平轨道上应具有多大初速度v0，才能使列车通过圆形轨道而运动到右边的水平轨道上？
变式训练参考答案
［变式训练1］h/s
［变式训练2］B
［变式训练3］BC
［变式训练4］
原子物理
题型一：动量守恒定律与微观粒子的碰撞相结合的综合性问题
解弹性碰撞的“双守恒式”时，最好能记住碰后的速度的解。碰撞后发生核反应，释放的核能转变成粒子的动能，注意总能量守恒与动量守恒相结合。
［例1］实验室核反应源产生一未知粒子，它与静止的氢核正碰，测出碰后氢核的速度是3.3×107m/s；它跟跟静止的氮核正碰，测出碰后氮核的速度是4.7×106m/s。上述碰撞都是弹性碰撞。求未知粒子（速度不变）的质量数。这是历史上查德威克发现中子的实验。
［解析］m1v＝m1v1+m2v2；m1v2＝m1v12+m2v22。v2＝,对于氢核，对于氮核，得＝1.16,即质量数为1.16。
［变式训练1］用石墨做慢化剂使快中子减速，碳核与中子每次的碰撞都是弹性正碰，且碰前碳核都是静止的，设碰前中子的动能为E。（1）经过一次碰撞，中子的动能变成多少？
［变式训练2］至少经过多少次碰撞，中子的动能才小于10－6E？lg13＝1.114,lg11＝1.041。两个氘核动能均为0.37MeV,做对心相向正碰发生了聚变反应：21H＋21H→32He＋10n。其中氘核质量为2.1036u，氦3的质量为3.1950u，中子的质量为1.0087u。反应中释放的核能全部转化为动能，求所生成的氦核和中子的动能。1u相当于931MeV的能量。
［变式训练3］已知He＋各能级能量的表达式为＝－，静止的He＋从最低激发态跃迁到基态时如考虑到该离子的反冲，发射的光子的波长为λ1；如该离子的反冲忽略不计，发射的光子的波长为λ2。则λ1/λ2＝ 。He＋的质量为m，普朗克常量为h，真空中光速为c。
题型二：利用动量守恒定律解纯动量守恒问题。
系统包含哪些物体，发生了什么相互作用（内力），哪是作用前的动量，哪是作用后的动量，各速度是否相对于同一参考系，正负方向是否确定。
［例2］甲、乙两辆小车质量分别为m1＝50kg和m2＝30kg，质量m＝30kg的小孩站在甲车上。两车在光滑轨道上相向运动，车速V1＝3m/s，V2＝4m/s，为避免两车相撞，小孩至少以多大的水平速度（相对地面）跳到乙车上？
［解析］“跳、落”是常见的内力作用方式，动量是状态量，抓住跳之前和跳之后、落之前和落之后的状态。规定向右为正方向，小孩的速度用u表示。
以甲车、小孩为系统：（m1＋m）V1＝m1V1/＋mu ------------------------------------(1)
以小孩、乙车为系统：mu＋m2（－V2）＝（m＋m2）V2/ ----------------------------(2)
两车不撞：V1/≤V2/ ---------------------------------------------------------(3)
得u≥6.2m/s，即小孩至少以6.2m/s的水平速度跳到乙车上才能避免两车相撞。当然(1)式+(2)式得：（m1+m）V1 +m2（－V2）=m1V1/+（m+m2）V2/ ，即以两车、小孩为系统的守恒式。
［变式训练4］小孩质量m1＝20kg，小车质量m2＝290kg。车原静止，不计车与地面间的摩擦，小孩在地面上奔跑，速度u＝5m/s，并以该速度水平跳到车上，紧接着又以大小5m/s的水平速度（相对地面）向后跳离车子，然后再奔跑跳上车子、跳离车子，……，且每次速度大小不变。问小孩至多跳上车子几次？
变式训练参考答案
［变式训练1］（1）121E/169(2)42次
［变式训练2］1MeV;3MeV
［变式训练3］
［变式训练4］8次
图像问题
一、物理规律在图象中的直接体现类型。
在高中物理教材中有许多知识点涉及到图象,如速度时间图象，振动图象，波动图象，分子间作用力图象，伏安特性曲线图象，电压时间图象，电流时间图象等，这些图象在高考中均有所体现。这种方式考查图象知识是高考中常用的一种方法。
［例1］（07北京）电阻R1、R2交流电源按照图1所示方式连接，R1=10，R2=20。合上开关后S后，通过电阻R2的正弦交变电流i随时间t变化的情况如图2所示。则
A、通过R1的电流的有效值是1.2A B、R1两端的电压有效值是6V
C、通过R2的电流的有效值是1.2A D、R2两端的电压有效值是6V
［解析］：本题考查交流电有效值知识，并利用图象直接给出了所需信息。由图象可知，电路中电流最大值为0.6A，则有效值为0.6A，R1两端电压为6V，R2两端电压为12V，所以本题选B。
【变式训练1】（96上海）物体做平抛运动时，描述物体在竖直方向的分速度vy（取向下为正）随时间变化的图线是下图中的（ ）
二、利用图象中各物理量之间的关系间接求出其他物理量类型。
这种类型一是要知道所求物理量与图象所反映物理量的关系，二是还要能从图象中读出所反映物理量的变化规律。
［例2］质点所受的力F随时间变化的规律如图所示，力的方向始终在一直线上。已知t＝0时质点的速度为零。在图3所示的t1、t2、t3和t4各时刻中，哪一时刻质点的动能最大
A．t1 B．t2 C．t3 D．t4
［解析］：该题可从不同角度去认识理解，可以从力与加速度和速度关系的角度去认识，也可以从动量与动能关系的角度去认识。
①从力与加速度和速度的角度分析看，在该题F－t图象中，从0－t2过程，F的大小虽然有变化，但方向与v的方向始终一致，即a与v的方向也始终一致，因此在该过程中v一直在增大，并在t2时刻达到最大，故动能也最大。
②从动能与动量的角度分析看，解题关键在于能找到EK与P的关系，同时对图象熟悉。在该题的F—t图中，斜线与横轴所包围的面积为冲量I＝Ｆ· t，再由动量定理可知物体所受合外力的冲量等于动量的变化。由图可知在t2时刻动量最大，由动量和动能关系式(2mEk＝p2)可知，在t2时刻动能也达到最大。故选B。
由以上分析可看出从力与加速度和速度关系入手更为直接。
【变式训练2】图甲为一列简谐横波在某一时刻的波形图，图乙为质点P以此时刻为计时起点的振动图象。从该时刻起
A．经过0.35s时，质点Q距平衡位置的距离小于质点P距平衡位置的距离
B．经过0.25s时，质点Q的加速度大于质点P的加速度
C．经过0.15s，波沿x轴的正方向传播了3m
D．经过0.1s时，质点Q的运动方向沿y轴正方向
三、挖掘图象显示的内容，探索物理规律。
这种类型的图象试题对学生提出了较高的要求，一方面对图象要能识别并挖掘内涵，另一方面还要能归纳出物理规律，这需要同学们在日常学习中多练习多总结多思考，才能达到高考要求。对综合性习题，还要主动能利用图象的优势去反映复杂物理过程，反映物理规律，最终达到简化解题过程。
［例3］如图所示，在PQ、QR区域是在在着磁感应强度大小相等、方向相反的匀强磁场，磁场方向均垂直于纸面，bc边与磁场的边界P重合。导线框与磁场区域的尺寸如图所示。从t＝0时刻开始线框匀速横穿两个磁场区域。以a→b→c→d→e→f为线框中有电动势的正方向。以下四个ε-t关系示意图中正确的是


［解析］ ：楞次定律或左手定则可判定线框刚开始进入磁场时，电流方向，即感应电动势的方向为顺时针方向，故D选项错误；1－2s内，磁通量不变化，感应电动势为0，A选项错误；2－3s内，产生感应电动势E＝2Blv＋Blv＝3Blv，感应电动势的方向为逆时针方向（正方向），故C选项正确。
【变式训练3】如图所示，LOO/L/为一折线，它所形成的两个角∠LOO/和∠OO/L/均为450。折线的右边有一匀强磁场，其方向垂直OO’的方向以速度v做匀速直线运动，在t=0时刻恰好位于图中所示的位置。以逆时针方向为导线框中电流的正方向，在下面四幅图中能够正确表示电流—时间（I—t）关系的是（时间以l/v为单位）
四、用图象处理物理实验数据
物理实验中的数据处理一般有三种方式，一是列表法，二是函数关系法，三是图象法，其中用图象法处理实验数据是高考考查学生分问题和解决问题能力的一种方法。
［例4］某同学在做测定小灯泡功率的实验中得到如下一组U和I的数据：
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
U（V）
0.20
0.60
1.00
1.40
1.80
2.20
2.60
3.00
I（A）
0.020
0.060
0.100
0.140
0.170
0.190
0.200
0.205
灯泡发光情况
不亮 微亮 逐渐变亮 正常发光
（1）在图上画出I－U图线；
（2）从图线上可以看出，当功率逐渐增大时，灯丝电阻的变化情况是 。
（3）这表明导体的电阻随温度升高而 。
［解析］：该题主要通过对实验数据的图象处理进而分析图象得出结论以达到考查学生处理信息能力和分析问题能力，这是一道较典型的高考题。
（1）根据U－I的数据，在坐标纸上找出对应的点，连成圆滑的曲线，即I－U图线。
（2）在I－U图线中，任一点斜率倒数即这一状态的电阻值，即，从图线看出斜率越来越小，其倒数越来越大，即灯丝电阻随功率增加而变大，或者说随温度升高而变大。
【变式训练4】在某次实验中测得一只“6V、3.6W”小灯泡的伏安特性曲线如图甲所示。另有一只定值电阻R =16Ω，一只电动势E = 8V的电池组，其内阻不计.
（1）当小灯泡在电路中正常发光时，其电阻值是多大？
（2）若把小灯泡、定值电阻、电池组连接成如图乙所示的电路时，则小灯泡所消耗的电功率是多大？此时小灯泡的电阻又是多大？
带电粒子在电磁场中的运动
题型一：带电粒子在电场中的运动问题
［例1］ 一束电子流在经U＝5000 V的加速电压加速后，在距两极板等距处垂直进入平行板间的匀强电场，如图所示，若两板间距d=1.0 cm，板长l=5.0 cm，那么，要使电子能从平行板间飞出，两个极板上最多能加多大电压?
［解析］在加速电压一定时，偏转电压U′越大，电子在极板间的偏距就越大.当偏转电压大到使电子刚好擦着极板的边缘飞出，此时的偏转电压，即为题目要求的最大电压.
加速过程，由动能定理得 ①
进入偏转电场，电子在平行于板面的方向上做匀速运动
l=v0t ②
在垂直于板面的方向做匀加速直线运动，加速度
③
偏距 ④
能飞出的条件为
y≤ ⑤
解①～⑤式得U′≤ V=4.0×102 V
即要使电子能飞出，所加电压最大为400 V.
［变式训练1］初速度为v0质量为m，电荷量为+q的带电粒子逆着电场线的方向从匀强电场边缘射入匀强电场，已知射入的最大深度为d．求(1) 场强的大小；(2) 带电粒子在电场区域中运动的时间(不计带电粒子的重力) ．
［变式训练2］如图所示的装置，U1是加速电压，紧靠其右侧的是两块彼此平行的水平金属板。板长为L，两板间距离为d，一个质量为m、带电量为－q的粒子，经加速电压加速后沿金属板中心线水平射人两板中，若两水平金属板间加一电压U2，当上板为正时，带电粒子恰好能沿两板中心线射出；当下板为正时，带电粒子则射到下板上距板的左端处，求：（1）为多少?
（2）为使带电粒子经U1加速后，沿中心线射入两金属板，并能够从两板之间射出，两水平金属板所加电压U2应满足什么条件？
题型二：带电粒子在磁场中的运动问题
解决这类问题需要注意：分析带电粒子的受力特点，确定运动规律是关键。在处理圆周运动问题时常常涉及到轨迹半径和时间的确定，要善于运用几何关系。
［例2］真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小B = 0.60T。
磁场内有一块足够大的平面感光平板ab，板面与磁场方向平行。在距ab的距离为l = 10cm
处，有一个点状的α放射源S，它仅在纸平面内向各个方向均匀地发射α粒子。设放射源每
秒发射n = 3.0×104个α粒子，每个α粒子的速度都是
v = 6.0×106m/s。已知α粒子的电荷与质量之比C/kg。求每分钟有多少个α粒子打中ab感光平板？
［解析］α粒子磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动，用R表示轨道半径，有
， 由此得 ， R = 20cm ，
因朝不同方向发射的α粒子的圆轨迹都过S，由此可知，某一圆轨迹以O圆心在图中N的左端与ab相切于P1点，由此O点为能打到感光平板上的α粒子圆轨迹圆心左侧最低位置，设此时α粒子从S射出的方向与SN的夹角为θ， 由几何关系可得 ， θ = 30° ， 同理O′为圆心在图中N的右侧与ab相切于P2点，则此O′点为能打到感光平板上的α粒子圆轨迹圆心右侧最低位置，设此时α粒子从S射出的方向与SN的夹角为θ′， 由上图几何关系可得θ′= 30°， 分析可知∠cSd = 120°方向的α粒子不能打到ab感光平板上，则每分钟能打到ab感光平板上的α粒子数为：个。
［变式训练3］如图所示，空间分布着有理想边界的匀强电场和匀强磁场。左侧匀强电场的场强大小为E、方向水平向右，电场宽度为L；中间区域匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。一个质量为m、电量为q、不计重力的带正电的粒子从电场的左边缘的O点由静止开始运动，穿过中间磁场区域进入右侧磁场区域后，又回到O点，然后重复上述运动过程。求：
（1）中间磁场区域的宽度d；
（2）带电粒子从O点开始运动到第一次回到O点所用时间t。
题型三：带电粒子在复合场中的运动问题
解决这类问题需要注意：受力分析和运动分析要相结合。粒子的电性、重力是否考虑要进行考查。粒子作直线、曲线、圆周运动的条件要清楚。
［例3］如图所示，固定于同一条竖直线上的A、B是两个带等量异种电荷的点电荷，电荷量均为Q，其中A带正电荷，B带负电荷，D、C是它们连线的垂直平分线，A、B、C三点构成一边长为d的等边三角形，另有一个带电小球E，质量为m、电量为+q（可视为点电荷），被长为L的绝缘轻质细线悬挂于O点，O点在C点的正上方。现在把小球E拉到M点，使细线水平绷直且与A、B、C处于同一竖直面内，并由静止开始释放，小球E向下运动到最低点C时，速度为v。已知静电力常量为k,若取D点的电势为零，试求：
（1）在A、B所形成的电场中，M点的电势。
（2）绝缘细线在C点所受到的拉力T。
［解析］（1）电荷E从M点运动到C的过程中，电场力做正功。根据动能定理
qU＋mgL＝mv/2
得M、C两点的电势差为U＝（mv－2mgL）/2q
又，C点与D点为等势点，所以M点的电势为U＝（mv－2mgL）/2q
在C点时A对E的电场力F与B对E的电场力F相等，且为
　　　F＝F＝kqQ/d
又，A、B、C为一等边三角形，所以F、F的夹角为120,故F、F的合力为
　　　F＝kQq/d, 且方向竖直向下。　　　　　　
由牛顿运动定律得　　T－kQq/d－mg＝mv/L
绝缘细线在C点所受的张力为T＝kQq/d＋mg＋mv/L
［变式训练4］如图所示，在xoy平面内，MN和x轴之间有平行于y轴的匀强电场和垂直于xoy平面的匀强磁场，y轴上离坐标原点4 L的A点处有一电子枪，可以沿+x方向射出速度为v0的电子（质量为m，电量为e）。如果电场和磁场同时存在，电子将做匀速直线运动.如果撤去电场，只保留磁场，电子将从x轴上距坐标原点3L的C点离开磁场.不计重力的影响，求：（1）磁感应强度B和电场强度E的大小和方向；
（2）如果撤去磁场，只保留电场，电子将从D点（图中未标出）离开电场，求D点的坐标；
（3）电子通过D点时的动能。
变式训练参考答案
［变式训练1］（1） （2） =
［变式训练2］（1）＝（2）∴
［变式训练3］（1）2R。 （2）
［变式训练4］（1），垂直纸面向里。 ，沿轴负方向。
（2） ， 。 （3）
振动和波8
题型一：简谐运动的判断方法和运动过程
F= - kx是判定一个振动是不是简谐运动的条件。可分三步：首先确定平衡位置；其次判定回复力F是不是与位移x成正比，最后看F与x方向关系是否相反。
［例1］两根质量均可不计的弹簧，劲度系数分别为K1、K2，它们与一个质量为m的小球组成的弹簧振子，如图所示。试证明弹簧振子做的运动是简谐运动。
［解析］以平衡位置O为原点建立坐标轴，当振子离开平衡位置O时，因两弹簧发生形变而使振子受到指向平衡位置的合力。设振子沿X正方向发生位移x，则物体受到的合力为F=F1+F2=-k1x-k2x=-(k1+k2)x=-kx.
所以，弹簧振子做的运动是简谐运动。
［变式训练1］在一根轻弹簧下面挂一质量为m的小物体，上端固定。如图所示，现用一外力把物体往下拉一小段距离，外力撤去后，试证明物体做简谐运动
。
题型二：简谐运动的特性
（1）简谐运动的多解性：做简谐运动的质点，是一个变加速度的运动，它是一个周期性的运动，质点运动相同的路程所需的时间不一定相同.
（2）简谐运动的对称性：简谐振动的物体在振动过程中，其位移、速度、回复力、加速度等式物理量的大小关于平衡位置对称.
［例2］ 一弹簧振子作简谐振动，周期为T，以下说法正确的是（ ）
A．若t时刻和（t＋Δt）时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则Δt一定等于T的整数倍
B．若t时刻和（t＋Δt）时刻振子运动速度的大小相等、方向相反，则上t一定等于T/2的整数倍
C．若Δt=T，则在 t时刻和（t＋Δt）时刻振子运动的加速度一定相等
D．若Δt＝T/2，则在t时刻和（t十Δt）时刻弹簧的长度一定相等
［解析］做简谐运动时，振子由平衡位置到最大位移，再由最大位移回到平衡位置，两次经过同一点时，它们的位移大小相等、方向相同，其时间间隔并不等于周期的整数倍，选项A错误。同理在振子由指向最大位移，到反向最大位移的过程中，速度大小相等、方向相反的位里之间的时间间隔小于T/2，选项B错误。相差T/2的两个时刻，弹黄的长度可能相等，振子从平衡位置开始振动、再回到平衡位置时，弹簧长度相等、也可能不相等、选项D错误。若Δt＝T，则根据周期性，该振子所有的物理量应和t时刻都相同，a就一定相等，所以，选项C正确。
本题也可通过振动图像分析出结果，请你自己尝试一下。
［变式训练2］一个质点在平衡位置O点附近做机械振动，若从O点开始计时，经过3s钟质点第一次经过M点如图所示；再继续运动，又经过2s钟它第二次经过M点，则该质点第三次经过M点还需的时间是（ ）
A、8s　 　 B、4s　 　 C、14s 　　D、s
［变式训练3］如图所示，质量为m的木块放在弹簧上，与弹簧一起在竖直方向上做简谐运动。当振幅为A时，物体对弹簧的最大压力是物体重力的1.5倍，则物体对弹簧的最小弹力是多大？要使物体在振动中不离开弹簧，振幅不能超过多大？
题型三：用简谐运动图象分析问题
在求解图像类问题时，可以从简谐运动图象上直接读出的物理量有：振幅A、周期T、某时刻的位移x及质点的运动方向．
质点运动方向的判断方法是：该时刻的位移与相邻的下一个时刻的位移进行比较，由位移关系可判定速度方向．
简谐运动的图象直接反映了位移随时间的变化规律，它又间接反映了回复力、加速度、速度随时间的变化规律．
［例3］如图所示，为某一质点做简谐振动的图像，由图中可知（ ）
A、t = 0时，质点的位移、速度均为零
B、t = 1s时，质点的位移最大，速度为零，加速度最大
C、t = 2s时，质点的位移为零，速度为负方向
最大，加速度为零
D、质点的振幅为10cm，周期为2s
［解析］在求解图像类问题时，要理解振动图像是反映做简谐振动的质点在不同时刻的位移，不是质点的运动轨迹。对于质点的速度和加速度要结合简谐振动的过程和特点进行分析后作出判断。从图像中可得：振幅，周期及各时刻对应的质点相对于平衡位置的位移。由回复力可知振动物体加速度的大小与位移成正比，方向与位移方向相反。由于简谐振动的机械能守恒，振动物体的位移越大，则势能越大。平衡位置的位移为零，故势能为零，动能最大，速度最大。反之在最大位移处速度为零。所以应选B、C项。
［例4］(2003·江苏高考)一弹簧振子沿x轴振动，振幅为4cm，振子的平衡位置位于x轴上的0点．图9-3-8中的a、b、c、d为四个不同的振动状态：黑点表示振子的位置，黑点上的箭头表示运动的方向．图9-3-9给出的①②③④四条振动图线，可用于表示振子的振动图象( )．
A．若规定状态a时t＝0，则图象为①
B．若规定状态b时t＝0，则图象为②
C．若规定状态c时t＝0，则图象为③
D．若规定状态d时t＝0，则图象为④
［解析］振子在状态a时t＝0，此时的位移为3cm，且向规定的正方向运动，故选项A正确．振子在状态b时t＝0，此时的位移为2cm，且向规定的负方向运动，图中初始位移不对．振子在状态c时t＝0，此时的位移为－2cm，且向规定的负方向运动，图中运动方向不对．振子在状态d时t＝0，此时的位移为－4cm，速度为零，故选项D正确．
［变式训练4］如图所示为一单摆的共振曲线，则该单摆的摆长约为多少？共振时:单摆的振幅多大?摆球的最大加速度和最大速度大小各是多少？（g取10m/s2）
［变式训练5］细长轻绳下端拴一小球构成单摆，在悬挂点正下方摆长处有一个能挡住摆线的钉子A，如图所示．现将单摆向左拉开一个小角度，然后无初速地释放．对于以后的运动，下列说法中正确的是?
A．摆球往返运动一次的周期比无钉子时的单摆周期小?
B．摆球在左、右两侧上升的最大高度一样?
C．摆球在平衡位置左右两侧走过的最大弧长相等?
D．摆线在平衡位置右侧的最大摆角是左侧的两倍?
题型四：学科综合及与实际问题的结合
［例5］在光滑的水平面上有一弹簧振子，弹簧的轻度系数为k，振子质量为M，振子的最大速度为，如图所示，当振子运动到最大位移为A的时刻把质量为m的物体轻放其上，求：
（1）要保持物体和振子一起振动，二者间动摩擦因数至少为多大？
（2）一起振动时，二者过平衡位置的速度多大？振幅又是多大？
［解析］本题在分析时要联系牛顿第二定律和机械能的相关知识进行分析。在放物体前其最大回复力为，振动的机械能为。
（1）放上物体m后，一起振动的最大加速度大小为，对物体而言，所需要的回复力是M施于的静摩擦力，则放上时加速度最大，所需的静摩擦力亦最大，设最大静摩擦力大小为，则当满足时，两者可一起振动，即。
（2）当两者一起振动时，机械能守恒，过平衡位置时，弹簧恢复原长，弹性势能为零，则，，物体和振子在最大位移处，动能为零，势能最大，这个势能与没有放物体前相同，所以弹簧的最大形变是不变的，即振幅仍为A。
［变式训练6］如图所示，有一根用绝缘材料制成的劲度系数为k的轻弹簧，左端固定，右端与小球连接。小球质量为，带电量为+q。开始时小球静止在光滑绝缘水平面上，施加水平向右的匀强电场E后小球开始做简谐运动。小球经过O时加速度为零，A、B为小球能够到达的最大位移处。在小球做简谐运动过程中，下列判断正确的是
A．小球的速度为零时，弹簧伸长量是qE/k
B．小球和弹簧系统的机械能守恒
C．小球做简谐运动的振幅是2qE/k
D．小球由点到点过程中，弹力做功的数值大于电场力做功的数值
题型五：波的基本概念
［例6］简谐机械波在给定的媒质中传播时，下列说法中正确的是（ ）
A．振幅越大，则波传播的速度越快；
B．振幅越大，则波传播的速度越慢；
C．在一个周期内，振动质元走过的路程等于一个波长；
D．振动的频率越高，则波传播一个波长的距离所用的时间越短。
［解析］波在介质中传播的快慢程度称为波速，波速的大小由介质本身的性质决定，与振幅无关，所以A、B二选项错。由于振动质元做简谐运动，在一个周期内，振动质元走过的路程等于振幅的4倍，所以C选项错误；根据经过一个周期T ，振动在介质中传播的距离等于一个波长，所以振动的频率越高，则波传播一个波长的距离所用的时间越短，即D选项正确。
［变式训练7］关于机械波的概念，下列说法中正确的是（ ）
A质点振动的方向总是垂直于波的传播方向
B简谐波沿长绳传播，绳上相距半个波长的两个质点振动位移的大小相等
C任一振动质点每经过一个周期沿波的传播方向移动一个波长
D相隔一个周期的两个时刻的波形相同
［变式训练8］一简谐横波在x轴上传播，在某时刻的波形如图所示。已知此时质点F的运动方向向下，则???
A．此波朝x轴负方向传播
B．质点D此时向下运动
C．质点B将比质点C先回到平衡位置
D．质点E的振幅为零
题型六：波动问题中的系列解和多解问题
波的传播过程中时间上的周期性、空间上的周期性以及传播方向上的双向性是导致“拨动问题多解”的主要原因。两质点见的波形不确定也能形成多解
［例7］如图实线是某时刻的波形图象，虚线是经过0.2s时的波形图象。求：
①波传播的可能距离
②可能的周期（频率）
③可能的波速
④若波速是35m/s，求波的传播方向
⑤若0.2s小于一个周期时，传播的距离、周期（频率）、波速。
［解析］
①题中没给出波的传播方向，所以有两种可能：向左传播或向右传播。
向左传播时，传播的距离为x=nλ+3λ/4=（4n+3）m （n=0、1、2 …）
向右传播时，传播的距离为x=nλ+λ/4=（4n+1）m （n=0、1、2 …）
②向左传播时，传播的时间为t=nT+3T/4得：T=4t/（4n+3）=0.8 /（4n+3）（n=0、1、2 …）
向右传播时，传播的时间为t=nT+T/4得：T=4t/（4n+1）=0.8 /（4n+1） （n=0、1、2 …）
③计算波速，有两种方法。v=x/t 或v=λ/T
向左传播时，v=x/t=（4n+3）/0.2=（20n+15）m/s. 或v=λ/T=4 （4n+3）/0.8=（20n+15）m/s.（n=0、1、2 …）
向右传播时，v=x/t=（4n+1）/0.2=（20n+5）m/s. 或v=λ/T=4 （4n+1）/0.8=（20n+5）m/s. （n=0、1、2 …）
④若波速是35m/s，则波在0.2s内传播的距离x=vt=35×0.2m=7m=1λ，所以波向左传播。
⑤若0.2s小于一个周期，说明波在0.2s内传播的距离小于一个波长。则：
向左传播时，传播的距离x=3λ/4=3m；传播的时间t=3T/4得：周期T=0.267s；波速v=15m/s.向右传播时，传播的距离为λ/4=1m；传播的时间t=T/4得：周期T=0.8s；波速v =5m/s.
点评：做此类问题的选择题时，可用答案代入检验法。
［变式训练9］图中实线和虚线分别是x轴上传播的一列简谐横波在t=0和t=0.03s时刻的波形图，x=1.2m处的质点在t=0.03s时刻向y轴正方向运动，则
Ａ．该波的频率可能是125HZ
Ｂ．该波的波速可能是10m/s
Ｃ．t=0时x=1.4m处质点的加速度方向沿y轴正方向
Ｄ．各质点在0.03s内随波迁移0.9m
［变式训练10］有一列沿水平绳传播的简谐横波，频率为10Hz，振动方向沿竖直方向，当绳上的质点P到达其平衡位置且向下运动时，在其右方相距0.6m处的质点Q刚好到达最高点，由此可知波速和传播方向可能是（ ）
A. 8m/s，向右 B. 8m/s，向左 C. 24m/s，向右 D. 24m/s，向左
变式训练参考答案
变式训练1
解析：m做简谐运动时，回复力由重力和弹力的合力提供。
设弹簧的劲度系数为k，在平衡位置时，回复力F＝0，此时弹簧伸长为x0。
则 ①
以平衡位置为坐标原点，向下为正方向建立坐标，如图所示。
当物体在振动中到达任意点x时，其回复力为
②
由①②得，可见m受的回复力跟偏离平衡位置的位移成正比、方向跟位移相反。即该物体做简谐运动。
变式训练2答案：BD
变式训练3解：⑴0.5mg ⑵2A
变式训练4解：这是一道共振曲线所给信息和单摆振动规律进行推理和综合分析的题目。由题意知，当单摆共振时频率f=0.5Hz,即,振幅A=8cm=0.08m.
由得
根据机械能守恒定律可得：
解得其它的问题自行解决
变式训练5 A、B
变式训练6 A
变式训练7 B、D
变式训练8 A、B
变式训练9 A
变式训练10 B、C
曲线运动与航天
题型一：平抛运动与圆周运动相结合
［例1］雨伞边缘半径为r，且离地面高为h。现让雨伞以角速
度绕伞柄匀速旋转，使雨滴从边缘甩出并落在地面上形成一圆圈，试求此圆圈的半径为。
［解析］所述情景如图所示，设伞柄在地面上的投影为O，雨滴 从伞的边缘甩出后将做平抛运动，其初速度为v0=r，落地时间为t，故。雨滴在这段时间内的水平位移为s= v0 t。由图可知，在直角三角形ABO中，=。
［题后反思］解本题的关键在于把题中所述情景与所学物理知识联系起来，同时注意立体图与平面图的联系。
题型二：圆周运动临界问题
［例2］如图所示，两绳系一质量为m=0.1kg的小球，两绳的另一端分别固定于轴的AB两处，上面绳长l=2m，两绳拉直时与轴的夹角分别为30°和45°，问球的角速度在什么范围内两绳始终有张力?
［解析］设两细线都拉直时，A、B绳的拉力分别为、，小球的质量为m，A线与竖直方向的夹角为，B线与竖直方向的夹角为，受力分析，由牛顿第二定律得：
当B线中恰无拉力时， ①
② 由①、②解得rad/s
当A线中恰无拉力时， ③
④ （3分） 由③、④解得rad/s
所以，两绳始终有张力，角速度的范围是rad/s rad/s
［题后反思］本题以圆周运动为情境，要求考生熟练掌握并灵活应用匀速圆周运动的规律，不仅考查考生对牛顿第二定律的应用，同时考查考生应用多种方法解决问题的能力。比如正交分解法、临界分析法等。综合性强，能考查考生多方面的能力，能真正考查考生对知识的掌握程度。体现了对考生分析综合能力和应用数学知识解决物理问题能力的考查。解决本题的关键，一是利用几何关系确定小球圆周运动的半径；二是对小球进行受力分析时，先假定其中一条绳上恰无拉力，通过受力分析由牛顿第二定律求出角速度的一个取值，再假定另一条绳上恰无拉力，求出角速度的另一个取值，则角速度的范围介于这两个值之间时两绳始终有张力。
［变式训练1］用一根细线一端系一小球（可视为质点），另一端固定在一光滑锥顶上，如图（1）所示，设小球在水平面内作匀速圆周运动的角速度为ω，线的张力为T，则T随ω2变化的图象是图（2）中的（ ）
题型三：万有引力定律的应用
［例3］我国在2007年发射一颗绕月运行的探月卫星“嫦娥1号”。设想“嫦娥1号”贴近月球表面做匀速圆周运动，测得其周期为T。“嫦娥1号”最终在月球上着陆后，自动机器人用测力计测得质量为m的仪器重力为P。已知引力常量为G，由以上数据可以求出的量有（ ）
A．月球的半径 B．月球的质量
C．月球表面的重力加速度 D．月球绕地球做匀速圆周运动的向心加速度
［解析］万有引力提供飞船做圆周运动的向心力，设飞船质量为mˊ，有，又月球表面万有引力等于重力，，两式联立可以求出月球的半径R、质量M、月球表面的重力加速度；故A、B、C都正确。
［题后反思］测试考点“万有引力定律”。本题以天体问题为背景，考查向心力、万有引力、圆周运动等知识。这类以天体运动为背景的题目，是近几年高考命题的热点，特别是近年来我们国家在航天方面的迅猛发展，更会出现各类天体运动方面的题。
题型四：同步卫星问题
［例4］发射地球同步卫星时，可认为先将卫星发射至距地面高度为h1的圆形近地轨道上，在卫星经过A点时点火（喷气发动机工作）实施变轨进入椭圆轨道，椭圆轨道的近地点为A，远地点为B。在卫星沿椭圆轨道运动经过B点再次点火实施变轨，将卫星送入同步轨道（远地点B在同步轨道上），如图所示。两次点火过程都是使卫星沿切向方向加速，并且点火时间很短。已知同步卫星的运动周期为T，地球的半径为R，地球表面重力加速度为g，求：
（1）卫星在近地圆形轨道运行接近A点时的加速度大小；
（2）卫星同步轨道距地面的高度。
［解析］
（1）设地球质量为M，卫星质量为m，万有引力常量为G，卫星在近地圆轨道运动接近A点时加速度为aA，根据牛顿第二定律G=maA
可认为物体在地球表面上受到的万有引力等于重力 G 解得a=
（2）设同步轨道距地面高度为h2，根据牛顿第二定律有：
G=m 由上式解得：h2=
［题后反思］本题以地球同步卫星的发射为背景，考查学生应用万有引力定律解决实际问题的能力。能力要求较高。
题型五：双星问题
[例5]两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做圆周运动，现测得两星中心距离为R，其运动周期为T，求两星的总质量．
此题关键是知道双星运动的特征，即万有引力提供各自的向心力，向心力相同、周期相同、角速度相同。 答案： M1+M2=
变式训练参考答案
［变式训练1］解析：小球离开锥面前，，其中，θ表示悬线与竖直方向的夹角，L表示摆长。小球离开锥面后，。可知C项正确。
答案：C。
【能力训练】本题涉及到圆锥摆运动模型，要求考生通过受力分析和临界分析，抓住向心力的变化情况，从而顺利求解。
牛顿定律在直线运动中的应用
题型一：运动基本概念的辨析与匀变速直线运动基本规律的应用
解决这类问题需要注意：这类习题最大的特点就是解法较多，选择一个较好的方法可以又快又准确地得到回答，关键是对基本概念、基本规律深入的理解与掌握。 虽然这类习题在高考试题中单独出现的可能性较小，但是在综合题中却是非常重要的环节，是完整给出正确答案的基础。
［例1］做匀加速直线运动的物体，依次通过A、B、C三点，位移sAB=sBC，已知物体在AB段的平均速度大小为3m/s，在BC段的平均速度大小为6m/s，那么物体在B点的瞬时速度大小为
A．4m/s B．4.5m/s C．5m/s D．5.5m/s
［解析］设A点的速度为vA、B点的速度为vB、C点的速度为vC，由平均速度的定义可知：AC段的平均速度为，由匀变速直线运动的规律可知：，，。解得：vA=1m/s，vB=5m/s，vC=7m/s。答案为B。
［变式训练1］物体以速度v匀速通过直线上的A、B两点间，需时为t。现在物体由A点静止出发，匀加速（加速度为a1）运动到某一最大速度vm后立即作匀减速运动（加速度为a2）至B点停下，历时仍为t，则物体的
A．vm只能为2v，无论a1、a2为何值 B．vm可为许多值，与a1、a2的大小有关
C．a1、a2值必须是一定的 D．a1、a2必须满足
题型二：追及与相遇的问题
解决这类问题需要注意：画出示意图来表明两个物体追及过程中的空间关系，特别注意的是两个物体相遇时的临界条件。
［例2］在一条平直的公路上，乙车以10m/s的速度匀速行驶，甲车在乙车的后面做初速度为15m/s，加速度大小为0.5m/s2的匀减速运动，则两车初始距离L满足什么条件可以使（1）两车不相遇；（2）两车只相遇一次；（3）两车能相遇两次（设两车相遇时互不影响各自的运动）。
［解析］设两车的速度相等经历的时间为t，则甲车恰能追及乙车，应有，其中，解得：L=25m。若L＞25m，则两车等速时也未追及，以后间距会逐渐增大。若L=25m时，则两车等速时恰追及，两车只相遇一次，以后间距会逐渐增大。若L＜25m，则两车等速时，甲车已运动到乙车的前面，以后还能再相遇一次。
［变式训练2］一木箱可视为质点，放在汽车水平车厢的前部，如图所示，已知木箱与汽车车厢底板之间的动摩擦因数为(。初始时，汽车和木箱都是静止的。现在使汽车以恒定的加速度a0开始启动沿直线运动。当其速度达到v0后做匀速直线运动。要使木箱不脱离车厢，距汽车车厢尾部的距离应满足什么条件？
题型三：牛顿定律与图象的综合应用
解决这类问题需要注意： 利用图象分析研究对象的受力特点是及运动性质，然后结合题意运用牛顿第二定律。
［例3］固定光滑细杆与地面成一定倾角，在杆上套有一个光滑小环，小环在沿杆方向的推力F作用下向上运动，推力F与小环速度v随时间变化规律如图所示，取重力加速度g＝10m/s2。求：
（1）小环的质量m；
（2）细杆与地面间的倾角(。
［解析］（1）前2s： ①
由v—t图象可知
2s以后： ②
由①②得：
（2）由②式，所以(=30°。
［变式训练3］放在水平面上的物块，受到方向不变水平推力F的作用，F与时间t的关系和物块速度v与时间t的关系如图所示，取重力加速度g=10 m/s2。由此两图线可以求得物块的质量m和物块与地面之间的动摩擦因数(分别为
A．m=0.5kg，(=0.4
B．m=1.5kg，(=
C．m=0.5kg，(=0.2
D．m=1kg，(=0.2
题型四：连接体问题
解决这类问题需要注意：若连接体内（即系统内）各物体具有相同的加速度时，应先把连接体当成一个整体（即看成一个质点），分析其受到的外力及运动情况，利用牛顿第二定律求出加速度．若连接体内各物体间有相互作用的内力，则把物体隔离，对某个物体单独进行受力分析（注意标明加速度的方向），再利用牛顿第二定律对该物体列式求解。
［例4］如图所示，一辆汽车A拉着装有集装箱的拖车B，以速度v1＝30 m/s进入向下倾斜的直车道。车道每100 m下降2 m。为了使汽车
速度在s＝200 m的距离内减到v2＝10 m/s，驾驶员必须刹车。假定刹车时地面的摩擦阻力是恒力，且该力的70％作用于拖车B，30%作用于汽车A。已知A的质量m1＝2000 kg，B的质量m2＝6000 kg。求汽车与拖车的连接处沿运动方向的相互作用力。取重力加速度g＝10 m/s2。
［解析］汽车沿倾斜车道作匀减速运动，有：
用F表示刹车时的阻力，根据牛顿第二定律得：
式中：
设刹车过程中地面作用于汽车的阻力为f，依题意得：
用fN表示拖车作用汽车的力，对汽车应用牛顿第二定律得：
联立以上各式解得：。
［变式训练4］如图所示，在粗糙水平桌面上放有A、B两个物体，A、B间用一根轻质硬杆C 相连，已知物体A的质量是m1＝5kg，B的质量是m2＝3kg。A与桌面的动摩擦因数是
μ1=0.2，B与桌面间的动摩擦因数是μ2=0.5。现在A上施加水平向右的拉力F，使它们以v=10m/s的速度沿水平面向右匀速运动。已知g取10m/s2，求：
（1）水平向右的拉力F的大小及轻杆C上的弹力大小；
（2）若在某时刻突然撤去拉力F，则A、B在水平面上滑动的距离是多大？
题型五：弹簧变化过程中运动分析
解决这类问题需要注意： 弹簧的弹力是一种由形变决定大小和方向的力，注意弹力的大小与方向时刻要与当时的形变相对应。一般应从弹簧的形变分析入手，先确定弹簧原长位置、现长位置及临界位置，找出形变量x与物体空间位置变的几何关系，分析形变所对应的弹力大小、方向，弹性势能也是与原长位置对应的形变量相关。从此来分析计算物体运动状态的可能变化。
通过弹簧相联系的物体，有运动过程中经常涉及临界极值问题：如物体的速度达到最大；弹簧形变量达到最大；使物体恰好离开地面；相互接触的物体恰好脱离等。此类问题的解题关键是利用好临界条件，得到解题有用的物理量和结论。
［例5］如图所示，A、B两木块叠放在竖直轻弹簧上，已知木块A、B质量分别为0.42kg和0.40kg，弹簧的劲度系数k=100N/m，若在木块A上作用一个竖直向上的力F，使A由静止开始以0.5m/s2的加速度竖直向上做匀加速运动（g=10m/s2）。求：
（1）使木块A竖直做匀加速度运动的过程中，力F的最大值；
（2）若木块由静止开始做匀加速运动，直到A、B分离的过程中，弹簧的弹性势能减少了0.248J，求这一过程中F对木块做的功。
［解析］此题难点在于能否确定两物体分离临界点。
当F=0（即不加竖直向上F力）时，设木块A、B叠放在弹簧上处于平衡时弹簧原压缩量为x，有
kx=（mA+mB）g
即 ①
对于木块A施加力F，A、B受力如图所示。
对木块A有
F+N–mAg= mAa， ②
对于木块B有kx′–N–mBg= mBa。 ③
可知，当N≠0时，A、B加速度相同，由②式知欲使木块A匀加速度运动，随N减小F增大。当N=0时，F取得了最大值Fm，
即：Fm=mA（g+a）=4.41N。
又当N=0时，A、B开开始分离，由③式知，弹簧压缩量kx′=mB（a+g），
则： ④
木块A、B的共同速度 ⑤
由题知：此过程弹性势能减少了Wp=Ep=0.248J。
设F力所做的功为WF，对这一过程应用功能原理，得
⑥
联立①④⑤⑥式，得WF=9.64×10–2J。
［变式训练5］竖直放置的轻弹簧，上端与质量为3kg的物块B相连接。另一个质量为1kg的物块A放在B上。先向下压A，然后释放，A、B共同向上运动一段路程后将分离。分离后A又上升了0.2m到达最高点，此时B的速度方向向下，且弹簧恰好为原长。则从A、B分离到A上升到最高点过程中，弹簧弹力对B做功的大小及弹簧回到原长时B的速度大小。（取g=10m/s2）
A．12J，2m/s B．0，2m/s
C．0，0 D．4J，2m/s
变式训练参考答案
［变式训练1］1．AD
［变式训练2］2．（1）当a0≤g(时，L＞0；（2）当a0＞g(时，
［变式训练3］3．A
［变式训练4］4．（1）15N，（2）16m
［变式训练5］5．B
电磁学综合
题型一 电场和磁场“拼接起来”对带电粒子作用（质谱仪、显像管、环形加速器、回旋加速器）
[例1] 如图1所示是测量带电粒子质量的仪器——质谱仪的工作原理示意图。设法使某有机化合物的气态分子导入图1中所示的容器A中，使它受到电子束轰击，失去一个电子成为正一价的离子。离子从狭缝S1以很小的速度（即初速度不计）进入电压为U的加速电场区加速后，再通过狭缝S2、S3射入磁感应强度为B的匀强磁场（方向垂直于磁场区的界面PQ）中。最后，离子打到感光片上，形成垂直于纸面且平行于狭缝S3的细线。若测得细线到狭缝S3的距离为d。请导出离子的质量m的表达式。
［解析］若以m、q表示离子的质量和电量，用v表示离子从狭缝S2射出时的速度，粒子在加速电场中，由动能定理得 (1)
射入磁场后，在洛伦兹力作用下离子做匀速圆周运动，由牛顿定律可得
(2)
式中R为圆的半径。感光片上细黑线到S3缝的距离为： d = 2R (3)
联立(1)~(3)式，解得
［变式训练1］显像管的简要工作原理是阴极K发射的电子束经高压加速电场（电压为U）加速后，进入放置在其颈部的偏转线圈形成的偏转磁场中偏转，偏转后的电子轰击荧光屏，荧光粉受激发而发光， 图2—a为电视机显像管原理简图。某同学家中电视机画面的幅度偏小，维修店的技术人员检查后诊断为显像管或偏转线圈出了故障（显像管的偏转线圈如图2—b所示），试分析引起故障的原因可能是（ ）
A、电子枪发射的电子数减少。
B、加速电场的电压过高，电子速度偏大。
C、偏转线圈的电流过小，偏转磁场减弱。
D、偏转线圈匝间短路，线圈匝数减少。
［变式训练2］如图4(a)所示为一种获得高能粒子的装置——环形加速器，环形区域内存在垂直纸面向外、大小可调节的均匀磁场。质量为m、电量为+q的粒子在环中做半径为R的圆周运动。A、B为两块中心开有小孔的极板，原来电势都为零，每当粒子飞经A板时，A板电势升高为+U，B板电势仍保持为零，粒子在两极板间的电场中得到加速。每当粒子离开时，A板电势又降为零，粒子在电场一次次加速下动能不断增大，而绕行半径不变。
⑴设t=0时，粒子静止在A板小孔处，在电场作用下加速，并开始绕行第一圈，求粒子绕行n圈回到A板时获得的总动能En。
⑵为使粒子始终保持在半径为R的圆轨道上运动，磁场必须周期性递增，求粒子绕行第n圈时的磁感应强度Bn。
⑶求粒子绕行n圈所需的总时间tn（设极板间距远小于R）。
⑷在图4(b)中画出A板电势u与时间t的关系（从t=0起画到粒子第四次离开B板）。
⑸在粒子绕行的整个过程中A板电势是否可始终保持+U？为什么？
3、已知回旋加速器的D型盒半径为R=60cm。两盒间距1cm，用它加速质子时可使质子获得4MeV的能量，加速电压为U=2×104V。求（1）该加速器中偏转磁场的磁感应强度；（2）质子在D型盒中运动的时间t；（3）整个过程中，质子在运动的总时间。
题型二 电场和磁场“重叠起来”对带电粒子的作用（速度选择器、磁流体发电机、电磁流量计、电磁泵、霍尔元件）
[例2] 在图8所示的平行板器件中，电场强度E和磁感应强度B相互垂直。具有某一水平速度V的带电粒子，将沿着图中所示的虚线穿过两板间的空间而不发生偏转，具有其他速度的带电粒子将发生偏转。这种器件能把具有上述速度V的带电粒子选择出来，所以叫速度选择器。如果已知粒子A（重力不计）的质量为m、带电量为+q，两极板间距为d，磁场的磁感应强度为B。
（1）试证明带电粒子具有速度时，才能沿着图示的虚线路径通过。
（2）若粒子A从图8的右端两极板中央以-V入射，还能直线从左端穿出吗？为什么？若不穿出而打在极板上，则到达极板时的速度是多少？
（3）若粒子A的反粒子（-q，m）从图8的左端以V入射，还能直线从右端穿出吗？
（4）将磁感应强度增大到某值，粒子A将落到极板上，粒子落到极板时的动能为多少？
［解析］⑴带电粒子A进入场区后，受到库仑力F1=qE和洛伦兹力F2=qVB的作用，如果带电粒子穿过两板间做匀速直线运动不发生偏转，应有F1=F2，即 qE=qVB。所以。
（2）粒子A在选择器的右端入射，电场力与洛伦兹力同方向，因此不可能直线从左端穿出，一定偏向极板。若粒子打在极板上，由动能定理得
又E = BV，所以 。
（3）仍能直线从右端穿出，有（1）可知，选择器（B，E）给定时，与粒子的电性、电量无关，只与速度有关。
（4）增大磁感应强度B为后，有F2 > F1，即qvB > qE，因此粒子A将偏向下极板，最终落到下极板。
由动能定理
得
[变式训练3]目前世界上正在研究的一种新型发电机叫做磁流体发电机。这种发电机可以直接把内能转化为电能，它的发电原理是：将一束等离子体（即高温下电离的气体，含有大量带正电和带负电的微粒，而从整体来说呈中性）喷射入磁场，磁场中A、B金属板上会聚集电荷，产生电压，设A、B两平行金属板的面积为S，彼此相距L，等离子体气体的电导率为σ（即电阻率的倒数），喷入速度为V，板间磁感应强度B与气流方向垂直，与板相连的电阻阻值为R，如图9所示，问流过R的电流I为多少？
［变式训练4］电磁流量计是对管道内部流体流动没有任何阻碍的仪器，广泛应用于测量高粘度及强腐蚀性流体的流量（在单位时间内通过管内横截面的流体的体积）。假设流量计是如图10所示的横截面为长方形的一段管道，其中空部分的长、宽、高分别为图中的a、b、c。流量计的两端与输送流体的管道相连接（图中虚线），流量计的上下两面是金属材料，前后两面是绝缘材料。现在流量计所在处加磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直于前后两面，当导电流体稳定地流经流量计时，在管外将流量计上、下两表面与串接了电阻R的电流表的两端连接，I为测得的电流值。已知液体的电阻率为ρ，不计电流表的内阻，则可求得流量为（ ）
A、 B、
C、 D、
［变式训练5］在原子反应堆中抽动液态金属或在医疗器械中抽动血液等导电液体时，由于不允许传动的机械部分与这些液体相关接触，常使用一种电磁泵，图11为这种电磁泵的结构。将导管放在磁场中，当电流穿过导电液体时，这种液体即被驱动。问：
⑴这种电磁泵的原理是怎样的？
⑵若导管内截面积S = bh，磁场视为匀强磁场，宽度为L，磁感应强度为B，液体穿过磁场区域的电流强度为I，求匀强磁场区域内长度为L的导管两端形成的压强差为多少？
4、磁强计实际上是利用霍尔效应来测量磁感应强度B的仪器。其原理可解释为：如图12所示的一块导体接上a、b、c、d四个电极，将导体放在匀强磁场之中，a、b间通以电流I，c、d间就会出现电势差，只要测出这个电势差U的值，就可测得磁感应强度B。试推导B的表达式。
题型三 带电粒子在电场、磁场、重力场构成的复合场运动
[例3] 在匀强磁场和匀强电场中，水平放置一绝缘直棒，棒上套着一个带正电的小球，如图示，小球与棒间滑动摩擦因数，小球质量M，电量，匀强电场水平向右，E=5N/C，磁场垂直纸面向里，B=2T，取，求：
（1）小球的加速度最大时，它的速度多大？最大加速度多大？
（2）如果棒足够长，小球的最大速度多大？
（3）说明A球达到最大速度后能量转化关系？
［解析］（1）小球开始在电场力作用下向右运动，则A球受重力，水平向右的电场力，垂直杆向上的弹力和洛伦兹力，沿杆水平向左的摩擦力。
则 而，
∴ ∴ 当时，最大
此时
（2）随着小球的增大，洛伦兹力逐渐增大
当后，杆对小球的弹力反向，则
当时，即，
（3）达到最大速度后，小球做匀速运动
洛伦兹力、重力、弹力不做功，电场力做正功，摩擦力做负功。
消耗的电能用于克服摩擦阻力做功产生的焦耳热。
[变式训练6]如图所示，在水平正交的匀强电场和匀强磁场中，半径为R的光滑绝缘竖直直圆环上，套有一带正电小球。已知小球所受电场力和重力大小相等，小球在环顶A处由静止释放，当小球运动到圆弧的几分之几时，所受的磁场力最大？
［变式训练7］如上图所示，匀强电场的场强E=4V/m，方向水平向左；匀强磁场的磁感强度B=2T，方向垂直纸面向里，1个质量为M=1g、带正电的小物块A从M点沿绝缘粗糙的竖直壁无初速下滑，当它滑行h=0.8 m到N点时就离开壁做曲线运动。当A运动到P点时，恰好处于平衡状态，此时速度方向与水平方向成45角，设P与M的高度差H=1.6m，问：（1）A沿壁下滑过程摩擦力做的功是多少？（2）P与M的水平距离s等于多少？(6×10-2J，0.6m)
题型四 电磁感应综合题
电磁感应这部分内容是物理重点内容之一．它在高考试题中比例约占8%—10％，近年来高考对本章内容考查命题频率极高的是感应电流的产生条件、方向判定和导体切割磁感线产生的感应电动势的计算，且要求较高．
[例4]如图所示，半径为r的金属圆环置于水平面内，三条电阻均为R的导体杆Oa、Ob和Oc互成120°连接在圆心O和圆环上，圆环绕经过圆心O的竖直金属转轴以大小为ω的角速度按图中箭头方向匀速转动．一方向竖直向下的匀强磁场区与圆环所在平面相交，相交区域为一如图虚线所示的正方形（其一个顶点位于O处）．C为平行板电容器，通过固定的电刷P和Q接在圆环和金属转轴上，电容器极板长为l，两极板的间距为d．有一细电子束沿两极板间的中线以大小为v0（）的初速度连续不断地射入C．
（1）射入的电子发生偏转时是向上偏转还是向下偏转？
（2）已知电子电量为e，质量为m．忽略圆环的电阻、电容器的充电放电时间及电子所受的重力和阻力．欲使射入的电子全部都能通过C所在区域，匀强磁场的磁感应强度B应满足什么条件？
［解析］（1）射入的电子发生偏转时是向上偏转．
（2）当导体杆处于磁场中时，感应电动势

导体杆转动的平均速度　
所以，
此时，磁场中导体杆的电阻为内电阻，其余的电阻为外电阻，电容器的电压

射入的电子在两极板间运动　
因为，所以
而就是每条导体杆在磁场中运动的时间，因此有部分电子在两极板间运动的时间内，极板间的电场始终存在，这部分电子在极板间的偏转量最大．
设电子恰好能离开通过C，有

而　　　
由以上各式得　
磁感强度B应满足的条件是　
[变式训练8]如图（甲）所示，固定于水平桌面上的金属架cdef，处在一竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度的大小为B0，金属棒 ab 搁在框架上，可无摩擦地滑动，此时 adeb 构成一个边长为l的正方形，金属棒的电阻为r，框架的电阻不计．从 t = 0 时刻起，磁场开始均匀增加，磁感应强度变化率的大小为k（k=△B/△t）.求：
( l ）用垂直于金属棒的水平拉力 F 使金属棒保持静止，写出 F 的大小随时间t变化的关系式，并指出 F 的方向．
( 2 ）如果竖直向下的磁场是非均匀增大的（即 k 不是常数），金属棒以速度v0向什么方向匀速运动时，可使金属棒中始终不产生感应电流？写出该磁感应强度 B 随时间 t 变化的关系式．
( 3 ）如果非均匀变化磁场在 0 ～t1时间内的方向竖直向下，在 tl ～t2时间内的方向竖直向上，若t＝0时刻和t=t1时刻磁感应强度的大小均为 B0、 adeb 的面积均为l2．当金属棒按图（乙）中的规律运动时，为使金属棒中始终不产生感应电流，请在图（丙）中画出变化的磁场的磁感应强度 B 随时间t变化的示意图象．（要写出必要的表达式．已知 tl-0=t2-t1< l/vo ，以竖直向下为正方向）
［变式训练9］如图（a）所示，光滑的平行长直金属导轨置于水平面内，间距为L、导轨左端接有阻值为R的电阻，质量为m的导体棒垂直跨接在导轨上。导轨和导体棒的电阻均不计，且接触良好。在导轨平面上有一矩形区域内存在着竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。开始时，导体棒静止于磁场区域的右端，当磁场以速度v1匀速向右移动时，导体棒随之开始运动，同时受到水平向左、大小为f的恒定阻力，并很快达到恒定速度，此时导体棒仍处于磁场区域内。
（1）求导体棒所达到的恒定速度v2；
（2）为使导体棒能随磁场运动，阻力最大不能超过多少？
（3）导体棒以恒定速度运动时，单位时间内克服阻力所做的功和电路中消耗的电功率各为多大？
（4）若t＝0时磁场由静止开始水平向右做匀加速直线运动，经过较短时间后，导体棒也做匀加速直线运动，其v-t关系如图（b）所示，已知在时刻t导体棒的瞬时速度大小为vt，求导体棒做匀加速直线运动时的加速度大小。
电磁感应中的能量问题
题型一：用能量的观点解决电磁感应综合问题
［例1］如图所示，电动机牵引一根原来静止的、长L为1m、质量m为0.1kg的导体棒MN上升，导体棒的电阻R为1Ω，架在竖直放置的框架上，它们处于磁感应强度B为1T的匀强磁场中，磁场方向与框架平面垂直。当导体棒上升h=3.8m时，获得稳定的速度，导体棒上产生的热量为2J，电动机牵引棒时，电压表、电流表的读数分别为7V、1A，电动机内阻r为1Ω，不计框架电阻及一切摩擦，求：
（1）棒能达到的稳定速度；
（2）棒从静止至达到稳定速度所需要的时间。
［解析］（1）电动机的输出功率为：W
电动机的输出功率就是电动机牵引棒的拉力的功率，
当棒达稳定速度时 感应电流
解得，棒达到的稳定速度为m/s
（2）由能量守恒定律得：解得 t=1s
［变式训练1］图中MN和PQ为竖直方向的两平行长直金属导轨，间距l为0．40m，电阻不计．导轨所在平面与磁感应强度B为0．50T的匀强磁场垂直．质量m为6．0×10-3kg．电阻为1．0Ω的金属杆ab始终垂直于导轨，并与其保持光滑接触．导轨两端分别接有滑动变阻器和阻值为3．0Ω的电阻R1．当杆ab达到稳定状态时以速率v匀速下滑，整个电路消耗的电功率P为0．27W，重力加速度取10m/s2，试求速率v和滑动变阻器接入电路部分的阻值R2．

题型二：交变电流有效值综合问题
［例2］如图所示，ab=25cm，ad=20cm，匝数为50匝的矩形线圈．线圈总电阻 r=1Ω 外电路电阻R =9Ω，磁感应强度B=0．4T，线圈绕垂直于磁感线的OO’ 轴以角速度50rad/s匀速转动．求：
(1)从此位置开始计时，它的感应电动势的瞬时值表达式．
(2)1min内R上消耗的电能．
(3)当从该位置转过时，通过R上瞬时电功率是多少？
(4)线圈由如图位置转过的过程中，R的电量为多少？
［解析］（1）感应电动势的瞬时值表达式为（V）
（2）电动势有效值为，电流
1min内R上消耗的电能为
（3）从该位置转过时，电动势为e=50cos30°= 25（V）
电流为I ==2．5(A) 通过R上瞬时电功率为P = I2R = 168．75(w)
(4) 线圈由如图位置转过的过程中，Δφ=BSsin30°= 0．01（wb）
通过R的电量为 Q = =5×10-2(C)
［变式训练2］如图所示，一个半径为r的半圆形线圈，以直径ab为轴匀速转动，转速为n，ab的左侧有垂直纸面向里(与ab垂直)的匀强磁场，磁感应强度为B，M和N是两个集流环，负载电阻为R，线圈、电流表和连接导线的电阻不计，求：
(1)从图示位置起转过1/4周期内负载电阻R上产生的热量；
(2)从图示位置起转过1/4周期内负载电阻R的电荷量；
(3)电流表的示数．

题型三：感生电动势与动生电动势综合问题
［例3］如图所示，足够长的的两光滑导轨水平放置，两条导轨相距为d，左端MN用阻值不计的导线相连，金属棒ab可在导轨上滑动，导轨单位长度的电阻为r0，金属棒ab的电阻不计。整个装置处于竖直身下的匀强磁场中，磁场的磁感应随时间均匀增加，B=kt，其中k为常数。金属棒ab在水平外力的作用下，以速度v沿导轨向右做匀速运动t=0时，金属棒ab与MN相距非常近。求当t=t0时：
（1）水平外力的大小F；（2）闭合回路消耗的功率。
［解析］(1)闭合回路产生的感应电动势为
当Δt→0时,，安培力。
（2）由，得，回路消耗电能的功率为。
［变式训练3］如图所示，两根平行金属导轨固定在水平桌面上，每根导轨每米的电阻为0.1Ω。导轨的端点P、Q用电阻可忽略的导线相连，两导轨间的距离为0.2m。有随时间变化的匀强磁场垂直于桌面，已知磁感应强度B与时间t的关系为B=0.02t。一电阻不计的金属杆可在导轨上无摩擦地滑动，在滑动过程中保持与导轨垂直，在t=0时刻，金属杆紧靠在P、Q端，在外力作用下，杆以恒定的加速度从静止开始向导轨的另一端滑动，求在t=0.6s时金属杆所受的安培力。
题型四：远距离输电的能量损失问题
［例4］发电厂的输出电压为220V，输出功率为44KW，每条输电线电阻为0.2 ，求用户得到的电压和电功率各是多少？如果发电站先用变压比为1：10的升压变压器将电压升高，经同样输电线路后，再经过10：1的降压变压器降压后供给用户，则用户得到的电压和电功率又各是多少？
［解析］（1）输电线上的电流为
输电线上损失的功率为，电压损失
用户得到的功率为，电压为
（2）输电电压为，输电线上的电流为
输电线上损失的功率为，电压损失
用户得到的功率为
电压为
［变式训练4］一个小型水力发电站，发电机输出电压U0=250V，内电阻可以忽略不计，最大输出功率为Pm=30kW，它通过总电阻R线=2．0Ω的输电线直接向远处的居民区供电。设居民区所有用电器都是额定电压U用=220V的白炽灯，总功率为P用=22kW，不计灯丝电阻随温度的变化。
（1）当居民区的电灯全部使用时，电灯两端的电压是多少伏?发电机实际输出的电功率多大?
（2）若采用高压输电，在发电机端用升压变压器，在用户端用降压变压器，且不计变压器和用户线路的损耗。已知用户变压器的降压比为40：1，当全部用户电灯正常发光时，输电线上损耗的功率多大?
变式训练参考答案
变式训练1 v=4．5m/s 、＝6．0Ω
变式训练2 (1) (2) (3)
变式训练3 1.44X10-3N
变式训练4 （1）131V，14881W （2）12.5W
电路的分析
题型一：直流电路的动态分析
解决这类问题需要注意：按局部（R的变化）→全局（I总、U端的变化）→局部（U分、I分的变化）的逻辑思维进行分析推理。
［例1］在如图1所示的电路中，滑动变阻器的滑动触点向b端移动时（ ）
A．电压表V的读数增大，电流表A的读数减小
B．电压表V和电流表A的读数都增大
C．电压表V和电流表A的读数都减小
D．电压表V的读数减小，电流表A的读数增大
［解析］滑动变阻器的滑动触点向b端移动时,R3接入电路中的阻值变大，使得I总减小，内电压减小，由U=E-Ir得外电压U外增大，即电压表读数增大。电阻R1中的电流减小，电压减小，电阻R2两端的电压（U2=U外-U1）增大，电流也增大，电阻R3中的电流（I3=I总- I2）减小，即电流表读数减小。答案：A。
［变式训练1］在图2所示的电路中，观察三只小灯泡亮度变化和两只电压表变化情况，如果滑动变阻器的滑片P由a端滑至b端，电压表V1示数变化的绝对值为△U1，电压表V2示数变化的绝对值为△U2，则下列说法正确的有（ ）
A．L1、L3变暗，L2变亮
B．L3变暗，L1、L2变亮
C．△U1﹤△U2
D．△U1﹥△U2
2.如图3所示电路中，由于某一电阻发生短路或断路，使A灯变暗，
B灯变亮，则故障可能是（ ）
A．R1短路 B．R2断路 C．R3断路 D．R4短路
题型二：电路中的能量转化
解决这类问题需要注意：一是能量转化的方向问题；二是能量转化量的计算问题。
［例2］环保汽车将为2008年奥运会场馆服务。某辆以蓄电池为驱动能源的环保汽车，总质量=3×103kg。当它在水平路面上以=36km/h的速度匀速行驶时，驱动电机的输入电流=50A，电压=300V。在此行驶状态下，求：
（1）驱动电机的输入功率P电。
（2）若驱动电机能够将输入功率的90％转化为用于牵引汽车前进的机械功率P机，求汽车所受阻力与车重的比值。（取10m/s2）
（3）设想改用太阳能电池给该车供电，其它条件不变，求所需太阳能电池板的最小面积。
已知太阳辐射的总功率P0＝4×1026W，太阳到地球的距离r＝1.5×1011m，太阳光传播到达地面的过程中大约有30％的能量损耗，该车所用太阳能电池的能量转化效率约为15％。
［解析］（1）驱动电机的输入功率＝＝1.5×104W。
（2）在匀速行驶时＝0.9＝＝，＝
汽车所受阻力与车重之比＝0.045。
（3）当太阳垂直电池板入射时，所需电池板面积最小，设其为，距太阳中心为的球面面积＝πr2
若没有能量损耗，太阳能电池板接受到的太阳能功率为，则=，
设太阳能电池板实际接收到的太阳能功率为，则＝（1－30％）所以，由于＝15％，所以电池板的最小面积＝＝101m2。
［变式训练2］如图4所示，电源电动势＝14V，内阻＝1欧，小灯泡L标有“2V，4W”，电动机的内阻＝0.5欧，当变阻器调到＝1欧时，电灯和电动机正常工作。求：
（1）电动机两端电压；
（2）电动机输出的机械效率；
（3）电源的总功率。
题型三：伏安特性曲线应用
解决这类问题需要注意：掌握电源与电阻的伏安特性曲线的物理意义，其交点表示两者电流I相同，电压U也相同，可求出实际功率。
［例3］：小灯泡灯丝的电阻会随温度的升高而变大，某同学为研究这一现象，用实验得到如下数据（和分别表示小灯泡上的电流和电压）：
I(A)
0.12
0.21
0.29
0.34
0.38
0.42
0.45
0.47
0.49
0.50
U(V)
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
1.60
1.80
2.00
（1）在图5甲中画出实验电路图，可用的器材有：电压表、电流表、滑动变阻器（变化范围）、电源、小灯泡、开关、导线若干。
（2）在图3乙中画出小灯泡的曲线。
（3）现有一电池的电动势是1.5V，内阻是2.0。问：将本题中的小灯泡接在该电源的两端，小灯泡的实际功率是多少？（简要写出求解过程；若需作图，可直接画在第（2）小题的方格图中）
［解析］（1）如图6甲所示（提示：测灯泡伏安特性曲线要求电压从零开始，采用分压器）。
（2）如图6乙所示。
（3）由于小灯泡的电阻是变化的，若用代数法计算，则无从算起。据电动势是1.5V，内阻是2.0，作出电源的伏安特性曲线，与灯泡的伏安特性曲线交与V、A，因此，灯泡的实际功率是W。
［变式训练3］如图7甲所示，直线和分别为电源、的路端电压与电流的关系图像。设两个电源的内电阻分别为和，若将一定阻值的电阻分别接到、两电源上，通过的电流分别为和，则（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
［变式训练］：解析：小球离开锥面前，，其中，θ表示悬线与竖直方向的夹角，L表示摆长。小球离开锥面后，。可知C项正确。
答案：C。
题后反思：本题涉及到圆锥摆运动模型，要求考生通过受力分析和临界分析，抓住向心力的变化情况，从而顺利求解。

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