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从自由落体到匀变速直线运动 学案（1）
匀变速直线运动规律的总结：
v平＝（v0＋v）/2 v＝v0+at x＝vot+at2/2 v2－v02 = 2 a s
应用
一辆公交汽车进站停车做匀减速直线运动，初速度为20m/s，加速度大小为4m/s2，求（1）汽车从开始减速起2s内的位移？（2）汽车从开始减速起6s内的位移是多少？
[解析]：汽车做匀减速直线运动，以初速度v0方向为正方向加速度为负，即a=—4m/s2。又知v0=20m/s、t=2s，由位移公式x＝=20m/s×2s +×（—4 m/s2）×（2s）2 = 32m。
[问题探究]：汽车从开始减速起6s内的位移是多少？
有个同学这样来求，你如何评价？
x＝=20m/s×6s +×（—4 m/s2）×（6s）2 = 48m。即汽车在6秒内的位移为48m。
点拔：像汽车刹车、火车进站、飞机着陆等实际的减速直线运动，在速度减为零后将停止运动，要注意物体做减速运动的总时间。此题中汽车刹车总时间为=s = 5s<6s，5s后汽车已停下， 汽车在6秒内的位移就等于5s内的位移，即x＝=20m/s×5s +×（—4 m/s2）×（5s）2 = 50m。
[问题探究]：这时求汽车在5秒内的位移还有什么方法？
点拔：方法1：5s末汽车已停下，末速度为零，x==m=50m。
方法2：
一辆汽车自静止开始以恒定加速度沿直线加速到速度为40m/s，然后立即匀减速到停止，在此全过程中通过700m，问汽车运动共经历了多长时间？
[解析]：汽车分匀加速和匀减速两段运动，两段运动的联系1：加速过程的末速度就是减速过程的初速度。匀加速过程知道：初速度V0=0、末速度 Vt =40 m/s，匀减速运动的已知：初速度Vt=40 m/s、末速度 Vt’ =0；联系2：两段位移之和=700m； 联系3：总时间为两段时间之和。因为不知道加速度a，可选用包括V0、Vt、x、t四个量的公式， 求解:
①
②
=700 ③
∴ =35s
本题还可以用V-t图象求解。如图所示，V-t图线所围面积(三角形面积)表示物体这段时间通过的位移，求三角形面积， S＝４０t／２=700 ∴t=35S?
点评：解决匀变速直线运动的问题，可用公式法，也可用图象求解，用图象法求解有时会更直接、简单。
3. 我们在“研究小车的运动规律”的实验中，有位同学打出的纸带如图所示：
在纸带上从点迹清晰的某点开始取一个起点并记为0，然后每隔4个点取一个计数点，分别记为1、2、3、4、5，测出相邻的两个计数点间的距离分别为xo1=10mm、x12=14mm、x23=18mm、x34=22mm、x45=26mm。
[问题探究1]：看看相邻的两个计数点间的距离有什么规律？
点拔： 相邻的两个计数点间的距离之差为：
x12—xo1=14mm —10mm=4mm
x23—x12=18mm —14mm=4mm
x34—x23=22mm —18mm=4mm
x45—x34=26mm —22mm=4mm
相邻的两个计数点间的距离之差都为4mm，是一个定值。
[问题探究2]：你能证明这个结论吗？试一试。这个定值等于什么？
[方法1]：公式法
设第一个T时间的初速度为v0、末速度为v1、位移为x1，第二个T时间的末速度为v2、位移为xⅡ，位移之差为△x，则
x1=，xⅡ=
△x = xⅡ —x1 =— =
又
所以△x =T2 定值
[方法2]：图象法：如图所示，后面一个T时间内的位移与前面一个T时间内的位移之差在图象上就等于每个阴影矩形的面积。每个阴影矩形的长为T，高为T（就是在T时间内速度的变化），因此每个阴影矩形的面积为T2.
即△x=T2
点拔：对公式△x =T2的理解：
（1）△x是做匀变速直线运动的物体在相邻相等时间内的位移之差。
（2）是匀变速直线运动的加速度，匀加速>0，匀减速<0；T是每个相等的时间间隔。
4.一物体做匀变速直线运动，第2ｓ内的位移为4ｍ，第5ｓ内的位移为10 ｍ，求物体的加速度.
[解析]：把物体的运动过程分成许多时间相等的阶段，每个阶段的时间为1秒，设相邻两秒内的位移之差为△x，则
△x=xⅢ—xⅡ
△x=xⅣ—xⅢ
△x=xⅤ—xⅣ
把各式相加得xⅤ—xⅡ=3△x，即△x= （xⅤ—xⅡ）=2m.
所以=2 m/s2
[问题探究1]：物体在第9秒内的位移为多大？
物体第3秒位移比第2秒位移大1个△x，第4秒位移比第2秒位移大2个△x，第5秒位移比第2秒位移大3个△x……第9秒位移比第2秒位移大7个△x，则第9内物体的位移为
x=7×△x=7×2m=14m.
[问题探究2]：如何求物体在开始计时的初速度？
点拔：[方法1]：根据物体在相邻相等时间内的位移之差是一定值，第1秒位移比第2秒位移小2m，则第1秒位移为2m,对第1秒过程：x=2m、t=1s、=2 m/s2. 由位移公式
即初速度为1m/s。
[方法2]：第2秒位移为4m，则第2秒的平均速度为4m/s，这个速度就是第1.5秒末瞬时速度。对1.5秒过程：t=1.5s、vt=4m/s 、=2 m/s2.由速度公式vt=v0＋t得
v0=vt—t=4m/s—2×1.5 m/s=1m/s。
讨论：此题还有哪些解题方法，先试一试。
三. 初速度为零的匀加速直线运动位移与时间的关系
初速度为零的匀加速直线运动是一种特殊的匀变速直线运动，这种运动的规律公式为：
vt= t， x＝， x＝， =2
1、过程按时间等分
如果把一个初速度为零的匀加速直线运动过程分成许多时间相等的阶段（如第1秒、第2秒、第3秒……），当然每一个阶段的时间不一定是1秒，设每一个阶段的时间T，由位移公式x＝
前1个T内的位移为X1=
前2个T内的位移为X2=
前3个T内的位移为X3=
…………………………
可以看出X1：X2 ：X3：……=12：22：32：……连续的自然数平方比
第1个T内的位移为X1=
第2个T内的位移为XⅡ= X2—X1 =—=
第3个T内的位移为XⅢ= X3—X2 =—=
…………………………
可以看出X1：XⅡ ：XⅢ：……=1：3：5：……连续的奇数比
[问题探究]：你能用图象来推导上面的结论吗？试一试。
[例1]：一个质点做初速度为零的匀加速直线运动，已知质点在第2s内的位移为0.6m，则质点在第5s内的位移为多少？
[解析]：因为XⅡ ：XV=3:9=1:3，所以XV=3×XⅡ=3×0.6m=1.8m.
[问题探究]：质点在前5s内的位移为多少？
2、过程按位移等分
如果把一个初速度为零的匀加速直线运动过程分成许多位移相等的阶段（如图所示），设每一个阶段的时间T，由位移公式x＝
通过前1个X内的时间为t1=
通过前2个X内的时间为t2=
通过前3个X内的时间为t3=
…………………………
可以看出t1：t2 ：t3：……=1：：：……连续的自然数平方根比
通过第1个X内的时间为t1=
通过第2个X内的时间为tⅡ= t2— t1=—=（—1）
通过第3个X内的时间为tⅢ= t3— t2= —=（—）
…………………………
可以看出t1：tⅡ ：tⅢ：……=1：（—1）：（—）：……
[例2]：一物体从斜面顶端由静止开始匀加速下滑，经过1s到达斜面中点，问：还要经过多长时间到达斜面底端？
[解析]：斜面中点把物体运动的位移分为两等份，则t1：tⅡ =1：（—1），所以
tⅡ =（—1）s=0.41s，即物体还要经过0.41s到达斜面底端。
[问题探究]：物体在中点前后两个过程的平均速度之比为多少？
［例3］一个做匀变速直线运动的质点在1—4s内通过的位移分别是24 ｍ，5—8s内通过的位移64 ｍ，求质点的初速度和加速度大小。
[解析]：[方法1]：由位移公式，
将x１＝２４ｍ，x２＝６４ｍ，T=4ｓ代入两式求得v0＝１m/s，=2.5 m/s２.
[方法2]：用公式△x=T２求解：由△x = x２－x１＝T２得== m/s2=2.5 m/s2
再代入x１＝ｖ0Ｔ＋可求得v0＝１m/s.
[方法3]：用时间中点速度等于平均速度求解：
6 m/s 这个速度就是2s末瞬时速度
16 m/s这个速度就是6s末瞬时速度
== m/s2=2.5 m/s2， 再由求得v0=1 m/s.
此题还有其它解法，想一想还有什么方法？

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