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交流电
§5。1、基 本 知 识
5．1．1、交流电的产生及变化规律
如图5-1-1所示，矩形线圈abcd在匀强磁场中匀速转动，闭合电路中产生交流电。
如果从线圈转过中性面的时刻开始计时，那么线圈平面与磁感应强度方向的夹角为，如图5-1-2所示
线圈中产生的瞬时感应电动势按正弦规律变化，

式，称为感应电动势的最大值。
电路中的电流强度也按正弦规律变化，

式中，称为交流电流的最大值。
外电路的电压按正弦规律变化，
式中，称为交流电压的最大值。
5．1．2、表征交流电的物理量
（1）周期和频率
周期和频率是表征交流电变化快慢的物理量。一对磁极交流发电机中的线圈在匀强场中匀速转动一周，电流按正弦规律变化一周。我们把电流完成一次周期性变化所需的时间，叫做交流电的周期T，单位是秒。我们把交流电在1秒钟内完成周期性变化的次数，叫做交流电的频率f，道位是赫兹。
（2）最大值和有效值
交流电流的最大值与交流电压的最大值是交流电在一周期内电流与电压所能达到的最大值。交流电的最大值与可以分别表示交流电流的强弱与电压的高低。
交流电的有效值是根据电流热效应来规定的。让交流电和直流电通过相同阻值的电阻，如果它们在相同时间内产生的热效应相等，就把这一直流电的数值叫做这一交流电的有效值。通常用表示交流电源的有效值, 用I表示交流电流的有效值，用U表示交流电压的有效值。正弦交流电的有效值与最大值之间有如下的关系：
当知道了交流电的有效值，很容易求出交流电通过电阻产生的热量。设交流电的有效值为I，电阻为R，则在时间t内产生的热量。这跟直流电路中焦耳定律的形式完全相同。由于交流电的有效值与最大值之间只相差一个倍数，所以计算交流电的有效值时，欧姆定律的形式不变。
通常情况下所说的交流电流或交流电压是指有效值。
（3）相位和相差
交流发电机中如果从线圈中性面重合的时刻开始计时，交流电动势的瞬时值是。如果从线圈平面与中性面有一夹角时开始计时，那么经过时间t，线圈从线圈平面与中性面有一夹角是，如图5-1-3所示，则交流电的电动势瞬时值是
。
从交流电瞬时值表达式可以看出，交流电瞬时值何时为零，何时最大，不是简单地由时间t确定，而是由来确定。这个相当于角度的量对于确定交流电的大小和方向起重要作用，称之为交流电的相位。是t=0时刻的相位，叫做初相位。在交流电中，相位这个物理量是用来比较两个交流电的变化步调的。
两个交流电的相位之差叫做它们的相差，用表示。如果交流电的频率相同，相差就等于初相位之差，即
，
这时相差是恒定的，不随时间而改变。
两个频率相同的交流电，它们变化的步调是否一致要由相差来决定。如果，这两个交流电称做同相位；如果。，这两个交流电称为反相位；若，我们说交流电比相位超前，或说交流电比相位落后。
5．1．3、交流电的旋转矢量表示法
交流电的电流或电压是正弦规律变化的。这一变化规律除了可以用公式和图像来表示外，还可以用一个旋转矢量来表示。
图5-1-4是正弦交流电的旋转矢量表示法与图像表示法的对照图，左边是旋转矢量法，右边是图像法。
在交流电的旋转矢量表示法中，OA为一旋转矢量，旋转矢量OA的大小表示交流电的最大值，旋转矢量OA旋转的角速度是交流电的角频率，旋转矢量OA与横轴的夹角为交流电的相位，旋转矢量OA在纵轴上的投影为交流电的瞬时值。
交流电的旋转矢量表示法使交流电的表达更加直观简捷，并且也为交流电的运算带来极大的方便。
§5、2 交流电路
5．2．1、交流电路
（1）纯电阻电路
给电阻R加上一正弦交流电，
如图5-2-1所示，其电压u为
电流的瞬时值I与U、R三者关
系仍遵循欧姆定律。
电流最大值，它们的有效值同样也满足
在纯电阻电路中，u、i变化步调是一致的，即它们是同相，图5-2-2甲表示电流、电压随时间变化的步调一致特性。图乙是用旋转矢量法来表示纯电阻电路电流与电压相位关系。
（2）纯电感电路
纯电感电路如图5-2-3所示，自感线圈中产生自感电动势为，电路中电阻R可近似为零，由含源电路欧姆定律有
，所以，自感电动势与外加电压是反相的。
设电路中电流，自感电动势为
由于很短，依三角关系展开上式后，近似处理，
则为
由得
由上面可见：
a.纯电感电路中电压电流关系: ，其中称为感抗（）满足，其中，单位:欧姆。
?b.纯电感电路中，图5-2-4电压、电流相位关系是，电压超前电流，它们的图像和矢量表示如图5-2-5的甲、乙图所示。
(3)纯电容电路
纯电容电路如图5-2-6所示，外加电压u，电容器反复进行充放电，，设所加交变电压，与前面推导方式相同， 时间很短，得到
则
电路中电流有效值为I

称为电容的容抗，，单位是欧姆。在纯电容电路中电流与电压的相位关系是:电流超前电压，图5-2-6甲、乙分别反应电流、电压随时间的变化图线和它们的矢量表示图。
5．2．2位移电流
位移电流不是电荷定向移动的电流。它引起的变化电场，极置于一种电流。为了形象地表明我移电流，可以把它看作是由极板上电荷积累过程即形成的。
1交流电能通过电容器，是由于电容器在充、放电的过程中，电容器极板上的电荷发生变化，引起电场的变化而形成的。连接电容器的导线中有传导电流通过，而在电容器内存在位移电流。
2我移电流在产生磁场效应上和传导电流完全等效，因为二者都都会在周围的空间产生磁场。
3我移电流通过介质时不会产生热效应。
5．2．3、交流电路中的欧姆定律
在交流电路中，电压、电流的峰值或有效值之间关系和直流电路中的欧姆定律相似，其等式为或，式中I、U都是交流电的有效值，Z为阻抗，该式就是交流电路中的欧姆定律。
（2）说明
由于电压和电流随元件不同而具有相位差，所以电压和电流的有效值之间一般不是简单数量的比例关系。
a、在串联电路中，如图图5-2-8所示，以R、L、C为例，总电压不等于各段分电压的和，。因为电感两端电压相位超前电流相位电容两典雅电压相位落后电流相位。所以R、L、C上的总电压，决不是各个元件上的电压的代数和而是矢量和。
以纯电阻而言，

以纯电感而言，

以纯电容而言，

合成的总电压。则
，得。而电压和电流的相位差（图5-2-9）。
b、在并联电路中，如图5-2-10所示，以R、L、C为例，每个元件两端的瞬时电压都相等为U。每分路的电流和两端电压之间关系为

， ， 。
不同元件上电流的相位也各有差异。
纯电感上电流相位落后于纯电阻电流相位，纯电容上电流相位超前纯电阻电流相位。所以分电流的矢量和即总电流


令 得。
5．2．4、交流电功率
在交流电中电流、电压队随时间而变，因此电流和电压的乘积所表示的功率也将随时间而变。
跟交流电功率有关的概念有：瞬时功率、有功功率、视在功率（又叫做总功率）、无功功率、以及功率因素。
a．瞬时功率。由瞬时电流和电压的乘积所表示的功率。，它随时间而变。
在任意电路中，与u之间存在相位差。
在纯电阻电路中，电流和电压之间无相位差，即，瞬时功率。
b．有功功率。用电设备平均每单位时间内所用的能量，或在一个周期内所用能量和时间的比。
在纯电阻电路中，
纯电阻电路中有功功率和直流电路中的功率计算方法表示完全一致，电压和电流都用有效值来计算。
在纯电感电路中（电压超前电流），
在纯电容电路中（电流超前电压），

以上说明电感电路或电容电路中能量只能在电路中互换，即电容与电源、电感与电源之间交换能量，对外无能量交换，所以它们的有功功率为零。
对于一般电路的平均功率

c．视在功率（S）。在交流电路中，电流和电压有效值的乘积叫做视在功率，即。它可用来表示用电器（发电机或变压器）本身所容许的最大功率（即容量）。
d．无功功率（Q）。在交流电路中，电流、电压的有效值与它们的相位差的正弦的乘积叫做无功功率，即。它和电路中实际消耗的功率无关，而只表示电容元件、电感元件和电源之间的能量交换的规模。
有功功率，无功功率和视在功率之间的关系，可用如图5-2-11所示的所谓功率三角形来表示。
e．功率因数。
发电机输送给负载的有功功率和视在功率的比，
。
为了提高电能的可利用程度，必须提高功率因数，或者说减小相位差。
5．2．5、涡流
（1）定义或解释
块状金属放在变化的磁场中，或让它在磁场中运动，金属地内有感应电场产生，从而形成闭合回路，这时在金属内所产生的感生电流自成闭合回路，形成旋涡，所以叫做涡电流。“涡电流”简称涡流，又叫傅科电流。
（2）说明
1涡流的大小和磁通量变化率成正比，磁场变化的频率越高，导体里的涡流也越大。
2在导体中涡流的大小和电阻有关，电阻越大涡流越小。为了减小涡流造成的热损耗，电机和变压器的铁芯常采用多层彼此绝缘的硅钢片迭加而成（材料采用硅钢以增加电阻）。涡流也有可利用的一面。高频感应炉就是利用涡流作为自身加热用，感应加热，温度控制方便，热效率高，加热速度快，在生产生已用作金属的冶炼。在生活上也已被用来加热食品。
涡流在仪表上也得到运用。如电磁阻尼，在磁电式测量仪表中，常把使指针偏转的线圈绕在闭合铝框上，当测量电流流过线圈时，铝框随线圈指针一起在磁场中转动，这时铝框内产生的涡流将受到磁场作用力，抑止指针的摆动，使指针较快地稳定在指示位置上。
5．2．6、自感
由于导体本身电流发生变化而产生电磁感应现象员做自感现象。
导体回路由于自感现象产生的感生电动势叫做自感电动势，自感电动势的大小和电流的变化率成正比，。这是由于电流变化引起了回来中磁通量变化的缘故。式中比例常数L叫做自感系数。
（2）单位
在国际单位制中，自感系数的单位是亨利。
（3）说明
①自感是导体本身阻碍电流变化的一制属性。对于一个线圈来说，自感系数的大小取决于线圈的匝数，直径、长度以及曲线芯材料等性质。在线圈直径远较线圈长度为小时，则（是圈线芯材料的导磁率，是线圈长度，N是线圈匝数，S是线圈横截面积）。
②自感现象产生的原因是当线圈中电流发生变化时，该线圈中将引起磁通量变化，从而产生感生电动势。因此，自感电动势的方向也可由楞次定律确定。当电流减小时，穿过线圈的磁通量也将减小，这时自感电动势的方向应和正在减小的电流方向一致，以障碍原电流的减小。同理，当线圈中电流增大时，则穿过线圈的磁通量也随着增大，因而有时将导体的自感现象与惯性现象作类比，它们都表现为对运动状态变化的障碍，所以自感现象又叫做电磁惯性现象。自感系数又叫做电磁惯量。这也可在能量关系上作一类比，电场能的公式为，那储藏在磁场里的能量公式为，因而L与C（电容）相当，I与U（电压）相当，自感系数L又可叫做电磁容量。但须注意，在线圈中被自感而产生电动势所障碍的是电流的变化，而不是阻碍电流本身。所以线圈中电流变化率越大则线圈两端阻碍电流变化的感生电动势值也越大。与电流的大小无直接关系。
③自感现象也可从能量守恒观点来解释。在自感电路里，接通直流电源，电流逐渐增加，在线圈内穿过的磁通量也逐渐增大，建立起磁场。在电流达到最大值前电源供给的能量将分成两部分，一部分消耗在线路的电阻上转变为热能；另一部分克服自感电动势做功，转化为磁场能。如果线路上热能损耗很小，可以忽略不计，那么在电流达到最大值前，电源供应的能量将全部转化为磁场能。当电流达到最大值时，磁场能也达到最大。当电流达到最大值稳定时，自感电动势不再存在，电源不再供给电能。
④自感系数不仅和线圈的几何形状以及密绕程度有关，而且还和线圈中放置铁芯或磁芯的性质有关，如果空心线圈的自感系数为，放置磁芯后，线圈的自感系数将增大倍，即，式中为磁芯的有效导磁率，它和磁芯材料的的相对导磁率有内在的联系。闭合的环形磁芯和数值相等。它们还和导体中工作电流的大小有关。和也有所区别。至于的大小还与磁芯材料的粗细、长短等几何形状有关，例如，对棒形铁芯或包含有空气隙的环形磁芯来说，。用的锰锌铁氧体材料制作的天线磁棒，其常常不到10。
5．2．7、互感
由于电路中电流的变化，而引起邻近另一电路中产生感电动势的现象叫做互感现象。
导体由于互感现象，在次级线圈中产生感生电动势。感生电动势的大小和初级线圈中电流的变化率成正比，。式中的比例常数叫做互感系数。
（2）单位
在国际单位制中，互感系数的单位是亨利。
（3）说明
互感系数的大小和初、次级线圈的自感系数有关。当两个自感系数分别为L1和L2的线圈有闭合铁芯相连，而且初、次级线圈又耦合得十分紧密的情况下，即可看作是一种理想耦合。在理想耦合时互感系数。在一般情况下，两线圈之间不一定有铁芯相连，它们之间的磁耦合并不很紧密，其中某线圈中电流所激发的磁通量不全部通过另一线圈时，那么，k为耦合系数，它的物理意义是表示为磁耦紧密程度。
K值和两线圈或回路的相对位置以及和周围的介质材料有关。对于k值的选取，由实际需要而定。如果要减小互感干扰，则选取较小的耦合系数；如果要加强互感，则选取较大的耦合系数。
5．2．8、三相交流电
三相交流电发电机原理如图5-2-1所示，其中AX、BY、CZ三组完全相同的线圈，它们排列在圆周上位置彼此差120。角度，当磁铁以角速度匀速转动时，每个线圈中都会产生一个交变电动势，它们位相彼此为，因而有
（1）星形（Y型）连接的三相交流电源如图5-2-8所示，三相中每个线圈的头A、B、C分别引出三条线，称为端线（火线），而每相线圈尾X、Y、Z连接在一起，引出一条线，此线称为中线。因为总共接出四根导线，所以连接后的电源称为三相四线制。
三相电源中，每相线圈中电流为相电流，端线中的电流为相电流，端线中的电流为线电流，每个线圈中电压为相电压，任意两条端线的电压为线电压。则线电压与相电压关系

所以相对有效值而言，有
同理有：
而星形连接后，相电流与线电流大小是一样的，即：
（2）三角形（△形）连接的三相电源如图5-2-9所示，它构成三相三线制电路。由图可知，在此情形下线电压等于相电压，但线电流与相电流是不相等的，若连接负载在对称平衡条件下，
所以有：
（3）三相交流电负载的星形和三角形连接如图5-2-10甲、乙所示，星形连接时，有，电流关系：
若三相负载平衡。即，则有：
，中线可省去，改为三相三线制。
三相负载的三角形连接时，，而负载上电流与线电流不等，当三相平衡时，线电流是相电流的倍。
§5、3电磁振荡与电磁波
5．3．1、电磁振荡
电路中电容器极板上的电荷和电路中的电流及它们相联系的电场和磁场作周期性变化的现象，叫做电磁振荡。在电磁振荡过程中所产生的强度和方向周期性变化的电流称为振荡电流。能产生振荡电流的电路叫振荡电路。最简单的振荡电路，是由一个电感线圈和一个电容器组成的LC电路，如图5-3-1所示。
在电磁振荡中，如果没有能量损失，振荡应该永远持续下去，电路中振荡电流的振幅应该永远保持不变，这种振荡叫做自由振荡或等幅振荡。但是，由于任何电路都有电阻，有一部分能量要转变成热，还有一部分能量要辐射到周围空间中去，这样振荡电路中的能量要逐渐减小，直到最后停止下来。这种振荡叫做阻尼振荡或减幅振荡。
电磁振荡完成一次周期性变化时需要的时间叫做周期。一秒钟内完成的周期性变化的次数叫做频率。
振荡电路中发生电磁振荡时，如果没有能量损失，也不受其它外界的影响，即电路中发生自由振荡时的周期和频率，叫做振荡电路的固有周期和固有频率。
LC回路的周期T和频率f跟自感系数L和电容C的关系是：
。
5．3．2、电磁场
任何变化的电场都要在周围空间产生磁场，任何变化的磁场都要在周围空间产生电场。变化的电场和磁场总是相互联系的，形成一个不可分割的统一的场，这就是电磁场。麦克斯韦理论是描述电磁场运动规律的理论。
变化的磁场在周围空间激发的电场，其电场呈涡旋状，这种电场叫做涡旋电场。涡旋电场与静电场一样对电荷有力的作用；但涡旋电场又与静电场不同，它不是静电荷产生的，它的电场线是闭合的，在涡旋电场中移动电荷时电场力做的功与路径有关，因此不能引用“电势”、“电势能”等概念。
当导体作切割磁感线运动时，导体中的自由电子将受到洛仑兹力而在导体中定向移动，使这段导体两端分别积累正、负电荷，产生感应电动势，这种感应电动势又叫做动生电动势。它的计算公式为
当穿过导体回路的磁通量发生变化时（保持回路面积不变），变化的磁场周围空间产生涡旋电场，导体中的自由电子在该电场的电场力作用下定向移动形成电流，这样产生的感应电动势又叫感生电动势。它的计算公式为
5．3．3、电磁波
如果空间某处产生了振荡电场，在周围的空间就要产生振荡的磁场，这个振荡磁场又要在较远的空间产生新的振荡电场，接着又要在更远的空间产生新的振荡磁场，……，这样交替产生的电磁场由近及远地传播就是电磁波。
电磁波的电场和磁场的方向彼此垂直，并且跟传播方向垂直，所以电磁波是横波。
电磁波不同于机械波，机械波要靠介质传播，而电磁波它可以在真空中传播。电磁波在真空中的传播速度等于光在真空个的传播速度米/秒。
电磁波在一个周期的时间内传播的距离叫电磁波的波长。电磁波在真空中的波长为：
电磁波可以脱离电荷独立存在，电磁波具有能量，它是物质的一种特殊形态。
§5、4 整流和滤波
5．4．1、整流
把交流电变为直流电的过程叫做整流，通常是利用二极管的单位导电特性来实现整流目的，一般的整流方式为半波整流、全波整流、桥式整流。
（1）半波整流
如图5-4-1所示电路为半波整流电路，B是电源变压器，D是二极管，R是负载。当变压器输出正弦交流时，波形如图5-4-2甲所示，当＞0时，二极管D正向导通，设正向电阻为零，则。当＜0时，在交流负半周期，二极管处于反向截止状态，，所以R上无电流，，变化如图5-4-2所示。可见R上电压是单方向的，而强度是随时间变化的，称为脉动直流电。
（2）全波整流
全波整流是用二个二极管、分别完成的半波整流实现全波整流，如图5-4-3所示，O为变压器中央抽头，当＞0时，导通，截止，当＜0时截止，导通，所以R上总是有从上向下的单向电流，如图5-4-4所示。
（3）桥式整流
桥式整流电路如图5-4-5所示，当＞0时， 、处于导通状态，、处于反向截止，而当＜0时，、处于导通，、反向截止，流经R的电流总是从上向下的脉动直流电，它与全波整流波形相似。所不同的是，全波整流时，二极管截止时承受反向电压的最大值为，而桥式整流二极管截止时，每一个承受最大反向电压为。
5．4．2、滤波
交流电经整流后成为脉动直流电，其电流强度大小仍随时间变化。为了使脉动电流为比较平稳的直流，需将其中脉动成份滤去，这一过程称为滤波。滤波电
路常见的是电容滤波、电感滤波和型滤波。
图5-4-6为电容滤波电路，电解电容C并联在负载R两端。由于脉动直流可看作是稳恒直流和几个交流电成份叠加而成，因而电容器的隔直流通交流的性质能让脉动直流中的大部分分交流中的大部分流成份通过电容器而滤去。使得R上获得比较平稳的直流电，如图5-4-7所示。
电感线圈具有通直流阻交流的作用，也可以作为滤波元件，如图5-4-8所示电路中L与R串联，电压交流成份的大部分降在电感线圈上，而L的电阻很小，电压的直流成份则大部分降在负载电阻上，因此R上电压、电流都平稳就多，图5-4-9所示。
把电容和电感组合起来，则可以组成滤波效果更好的η型滤波器，如图5-4-9所示。
§5、5 例题
1、氖灯接入频率、电压为120V的交流电路中共10分钟，若氖灯点燃和熄灭电压，试求氖灯的发光时间。
分析: 氖灯发光时电压应为瞬时值，而接入交流电电压120V是为有效值。所以要使氖灯发光，须使交流电电压瞬时值≥。
解: 氖灯管两端电压瞬时值为
其中，由于交流电周期性特点，如图5-4-10所示，在半个周期内氖灯发光时间，则有：
灯点熄和熄灭时刻，有
120=120
则在0～时间内，有
在一个周期T内，氖灯发光时间
所以在10分钟时间内，氖灯发光时间应占通电时间的一半为5分钟。
2、三相交流电的相电压为220V，负载是不对称的纯电阻，，连接如图5-4-11所示，试求：（1）中线电流。（2）线电压。
分析: 有中线时，三相交流三个相变电压的相位彼此差，振幅相同，因负载为纯电阻，三个线电流的相位也应彼此相差，因负载不对称，三个线电流振幅不同，但始终有。
解: （1）有中线时，三个相电压，彼此相差为，表达式为
三个线电流、、为：
，，
则有
中线电流得：


所以中线电流。
（2）线电压、、应振幅相等，最大值皆为，有效值为380V，彼此相差为。
3、如图5-4-12所示的电路中，三个交流电表的示数都相同，电阻器的阻值都是100，求电感线圈L和电容C的大小。
分析: 、、表读数为电流的有效值，而通过电表的瞬时电流应满足：借助于电流旋转矢量关系可求解：
解: 由电流关系有
又三个电表读数相等，
由（1）推知，对应电流旋转矢量关系是
且，
由电路结构可知，超前，滞后于且相位差都小于，由此超前于，且超前量＜，注意，所以合矢量为
， ，
又：（并联关系）

所以有
电流与端电压间相位差有
所以有

代入（3）式得：
4、某用电区总功率表的读数和总电流表的读数常常是16kW和90A左右，原因是电感性负载增大，总电流相位比总电压相位落后较多造成的，导致功率因素过低，于是在该用电区输入端并联一只电容，结果使该电路的功率因素提高到了0.9，试问并联这一电容规格如何？
分析: 对于一个交流电路，电路的有功功率为，为电流与电压相差，则称为电路的功率因素，由于电路中感性元件较多，因而电流总比电压落后较大相为，如图5-4-13所示，并联电容C后，电容器支路电流超前电压，使干路电流与U落后相差减小，从而提高功率因素。
解: 原来的有功功率，所以功率因素
设并联电容C，相应旋转矢量由图5-4-14可得

，代入得

取电容器耐压值为350V，所以应在输入端并联、350V的电容器。
5、如图5-4-15所示电路中，输入电压，直流电源电动势。
（1）求的波形；
（2）将D反接后，又当如何？
分析: 电阻与电源串联，有分压作用，二极管与电源串联后，跨接在输出端，与负载形成并联关系，这样的连接特点使电路具有削减波幅的功能。
解 （1）＜时，电势＜，D处于反向截止，ab相当于断路，，>时，电势＞，D处于正向导通状态，ab间相当于短路，输出电压的顶部（＞）被削去，如图5-4-16所示。
（2）当D反接时，如图5-4-17所示，当≥时，D截止，；当＜时，D被导通，，ui低于的部分全部被削去，输出波形成为底部在处的正脉动电压，如图5-4-18所示。
6、如图5-4-19所示电路中，电源内阻可略，电动势都是30V，。将K依次接“1”和“2”时，各电阻上的电流强度是多少？两点谁的电势高？
分析 一般情况下，我们总是认为二极管为理想情形，正向导通时，反向截止时，为断路。
解 （1）K接1时，靠直流电源供电，此时导通，截止。有
＞
（2）K接“2”时，交流电源供电，、交替的导通和截止，设
，如图5-4-20所示。
在正半周期，导通，通过电流
在负半周期，导通，截止，通过的电流
由于始终有电流通过，所以、、的电流如图5-4-21甲、乙、丙所示。
的电流有效值
只有在半个周半个周期内通电流，所以可求得其有效值
。
在正半周期 ＞
在负半周期 ＞=
所以d、c两点间总有
＞
7、如果回旋加速器的高频电源是一个LC振荡器，加速器的磁感强度为B。被加速的带电粒子质量m、带电量为q，那么LC振荡电路中电感L和电容C的乘积LC为何值？
分析: 带电粒子子回旋周期加速器中旋转一周两次通过狭缝被加速，所以应使粒子在磁场中回旋周期与高频电源周期相等。
解: 带电粒子在匀强磁场中做匀强磁场中做匀速圆周运动周期
回旋加速器两个D型盒上所接高频电源是一个LC振荡器，其振荡周期
满足带电粒子每次通过D型盒狭缝都被加速，应有
得到
8、在图5-4--22所示的电路中，当电容器上电压为零的各时刻，开关S交替闭合、断开，画出电感线圈L上电压随时间t持续变化的图线，忽略电感线圈及导线上的电阻。
分析: 在图中所描绘的LC振荡电路中。由于S的开闭，使得电容C不断变化，回路电磁振荡的周期、频率以及电压的振幅随之发生变化。
解: 当S闭合，被短路，L和组成的振荡电路的振荡周期
当S被打开时，、串联，总电容C为
它与L组成振荡器振荡周期
因为忽略一切电阻，没有能量损耗，故能量守恒，设当振荡周期时交流电压的最大值为U1和 U2，则
由此得
因为S是上电压为零时刻打开和关闭的，所以L上电压随时间变化图线如图5-14所示。
9、如图5-4-24所示，正方形线圈abcd绕对称在匀强磁场中匀速运动，转数转/分。若已知ab=bc=0.20米，匝数N=20，磁感应强度B=0.2特，求：
（1）转动中的最大电动势及位置：
（2）从图示位置转过90。过程中的平均电动势；
（3）设线圈是闭合的，总电阻R=10欧，线圈转动过程中受到的最大电磁力矩及位置。
分析: 这是一个以交流发电机为原型的计算题。根据导线切割磁感线产生感应电动势的公式，可计算出线圈中产生的最大感应电动势；根据线圈中的磁通量的平均变化率，可计算线圈出线圈在转动过程中受到磁力矩。
解: （1）当线圈平面与磁场方向平行时，线圈的ab、cd边切割磁感线的有效速度最大，产生的感应电动势最大，


伏。
（2）从图示位置转过90。过程中，线圈中发生的磁通量变化，经历的时间为，由法拉第电磁感应定律解得平均感应电动势为
伏
（3）当线圈平面与磁场方向平行时，线圈中产生的感应电动势最大，产生的感应电流最大。此时线圈的ab、cd边受到的安培力最大且与线圈平面垂直，因而磁力矩也就最大，
牛米
10、两个完全相同的电热器，分别通过如图5-4-25甲和乙所示的电流最大值相等的方波交流电流和正弦交流电流，则这两个电热器的电功率之比是多少？
分析: 交流电通过纯电阻R时，电功率，式中I是交流电的有效值。交流电的有效值是交流电流的最大值的，这一结论是针对正弦交流电而言的。至于方波交流电通过纯电阻R时，每时每刻都是大小是的电流通过，只是方向在作周期性变化。而稳恒电流通过电阻时的热功率跟电流的方向无关。所以最大值为的方波交流电通过纯电阻的电功率等于电流强度是的稳恒电流通过纯电阻的电功率。
解:对于方波交流电流流过纯电阻R的电功率为：
。
对于正弦交流电流流过纯电阻R的电功率为：

所以这两个电热器的电功率之比为：
=2：1。 
几 何 光 学
§1.1 几何光学基础
1、光的直线传播：光在同一均匀介质中沿直线传播。
2、光的独立传播：几束光在交错时互不妨碍，仍按原来各自的方向传播。
3、光的反射定律：
①反射光线在入射光线和法线所决定平面内；
②反射光线和入射光线分居法线两侧；
③反射角等于入射角。
4、光的折射定律：
①折射光线在入射光线和法线所决定平面内；
②折射光线和入射光线分居法线两侧；
③入射角与折射角满足；
④当光由光密介质向光疏介质中传播，且入射角大于临界角C时，将发生全面反射现象（折射率为 的光密介质对折射率为的光疏介质的临界角）。
§1.2 光的反射
1.2.1、组合平面镜成像：
1.组合平面镜 由两个以上的平面镜组成的光学系统叫做组合平面镜，射向组合平面镜的光线往往要在平面镜之间发生多次反射，因而会出现生成复像的现象。先看一种较简单的现象，两面互相垂直的平面镜（交于O点）镜间放一点光源S（图1-2-1），S发出的光线经过两个平面镜反射后形成了、、三个虚像。用几何的方法不难证明：这三个虚像都位于以O为圆心、OS为半径的圆上，而且S和、S和、和、和之间都以平面镜（或它们的延长线）保持着
对称关系。用这个方法我们可以容易地确定较复杂的情况中复像的个数和位置。
两面平面镜AO和BO成60o角放置（图1-2-2），用上述规律，很容易确定像的位置：①以O为圆心、OS为半径作圆；②过S做AO和BO的垂线与圆交于和；③过和作BO和AO的垂线与圆交于和；④过和作AO和BO的垂线与圆交于，便是S在两平面镜中的5个像。
双镜面反射。如图1-2-3，两镜面间夹角=15o,OA=10cm，A点发出的垂直于的光线射向后在两镜间反复反射，直到光线平行于某一镜面射出，则从A点开始到最后一次反射点，光线所走的路程是多少？
如图1-2-4所示，光线经第一次反射的反射线为BC，根据平面反射的对称性,，且∠。上述均在同一直线上，因此光线在、之间的反复反射就跟光线沿直线传播等效。设是光线第n次反射的入射点，且该次反射线不再射到另一个镜面上，则n值应满足的关系是<90o，。取n=5，∠，总路程。
2、全反射
全反射光从密度媒质1射向光疏媒质2，当入射角大于临界角时，光线发生全反射。
全反射现象有重要的实用意义，如现代通讯的重要组成部分——光导纤维，就是利用光的全反射现象。图1-2-5是光导纤维的示意图。AB为其端面，纤维内芯材料的折射率，外层材料的折射率，试问入射角在什么范围内才能确保光在光导纤维内传播？
图1-2-5中的r表示光第一次折射的折射角，β表示光第二次的入射角，只要β大于临界角，光在内外两种材料的界面上发生全反射，光即可一直保持在纤维内芯里传播。


只要即可。
例1、如图1-2-6所示，AB表示一平直的平面镜，是水平放置的米尺（有刻度的一面朝着平面镜），MN是屏，三者相互平行，屏MN上的ab表示一条竖直的缝（即ab之间是透光的）。某人眼睛紧贴米尺上的小孔S（其位置如图所示），可通过平面镜看到米尺的一部分刻度。试在本题图上用三角板作图求出可看到的部位，并在上把这部分涂以标志。
分析: 本题考查平面镜成像规律及成像作图。人眼通过小孔看见的是米尺刻度的像。由反射定律可知，米尺刻度必须经过平面镜反射后，反射光线进入人的眼睛，人才会看到米尺刻度的像。可以通过两种方法来解这个问题。
解法一：相对于平面镜AB作出人眼S的像。连接Sa并延长交平面镜于点C，连接与点C并延长交米尺于点E，点E就是人眼看到的米尺刻度的最左端；连接并延长交米尺于点F，且 与平面镜交于D，连接S与点D，则点F就是人眼看到的米尺刻度的最右端。E与F之间的米尺刻度就是人眼可看到部分，如图1-2-7所示。
解法二：根据平面镜成像的对称性，作米尺及屏MN的像，分别是及，a、b的像分别为，如图1-2-8所示。连接Sa交AB于点C，延长并交于点，过点作的垂线，交于点E，此点就是人眼看到的米尺刻度的最左端；连接交AB于点D，延长并交于点，过点作（AB）的垂线交于点F，点F就是人眼看到的米尺刻度的最右端。EF部分就是人眼通过平面镜可看见的米尺部分。
点评：平面镜成像的特点是物与像具有对称性。在涉及到平面镜的问题中，利用这一特点常能使问题得以简洁明晰的解决。
例2、两个平面镜之间的夹角为45o、60o、120o。而物体总是放在平面镜的角等分线上。试分别求出像的个数。
分析：由第一面镜生成的像，构成第二面镜的物，这个物由第二面镜所成的像，又成为第一面镜的物，如此反复下去以至无穷。在特定条件下经过有限次循环，两镜所成像重合，像的数目不再增多，就有确定的像的个数。
解：设两平面镜A和B的夹角为2θ，物P处在他们的角等分线上，如图1-2-9（a）所示。以两镜交线经过的O点为圆心，OP为半径作一辅助圆，所有像点都在此圆周上。由平面镜A成的像用表示，由平面镜B成的像用表示。由图不难得出：
在圆弧上的角位置为
在圆弧上的角位置为
。
其中k的取值为k=1，2，…
若经过k次反射，A成的像与B成的像重合，
则
即
当时，k=4，有7个像，如图1-2-9（a）所示；
当时，k=3，有5个像，如图1-2-9（b）所示；
当时，k=1.5，不是整数，从图1-2-10（d）可直接看出，物P经镜A成的像在镜B面上，经镜B成的像则在镜A面上，所以有两个像。
例3、要在一张照片上同时拍摄物体正面和几个不同侧面的像，可以在物体的后面放两个直立的大平面镜AO和BO，使物体和它对两个平面镜所成的像都摄入照像机，如图1-2-11所示。图中带箭头的圆圈P代表一个人的头部（其尺寸远小于OC的长度），白色半圆代表人的脸部，此人正面对着照相机的镜头；有斜线的半圆代表脑后的头发；箭头表示头顶上的帽子，图1-2-11为俯视图，若两平面镜的夹角∠AOB=72o，设人头的中心恰好位于角平分线OC上，且照相机到人的距离远大于到平面镜的距离。
1、试在图1-2-11中标出P的所有像的方位示意图。
2、在方框中画出照片上得到的所有的像（分别用空白和斜线表示脸和头发，用箭头表示头顶上的帽子）。
本题只要求画出示意图，但须力求准确。
解: 本题的答案如图1-2-13所示。
例4、五角楼是光学仪器中常用的一种元件，如图1-2-14所示。棱镜用玻璃制成，BC、CD两平面高度抛光，AB、DE两平面高度抛光后镀银。试证明：经BC面入射的光线，不管其方向如何，只要它能经历两次反射（在AB与DE面上），与之相应的由CD面出射的光线，必与入射光线垂直。
解: 如图1-2-15所示，以i表示入射角,表示反射角，r表示折射角，次序则以下标注明。光线自透明表面的a 点入射，在棱镜内反射两次，由CD面的e点出射。可以看得出，在DE面的b点；
入射角为
反射角为
在四边形bEAC中，
而
=
于是，
在△cdb中
∠cdb=180o
=180o
这就证明了：进入棱镜内的第一条光线ab总是与第三条光线ce互相垂直。
由于棱镜的C角是直角，=360o-270o-∠dec=90o-∠dec=。设棱镜的折射率为n，根据折射定律有

总是成立的，而与棱镜折射率的大小及入射角的大小无关。只要光路符合上面的要求，由BC面的法线与CD面的法线垂直，又有出射光线总是与入射光线垂直，或者说，光线经过这种棱镜，有恒点的偏转角——90o。
例6、横截面为矩形的玻璃棒被弯成如图1-2-16所示的形状，一束平行光垂直地射入平表面A上。试确定通过表面A进入的光全部从表面B射出的R/d的最小值。已知玻璃的折射为1.5。
分析: 如图1-2-17所示，从A外侧入射的光线在外侧圆界面上的入射角较从A内侧入射的光线入射角要大，最内侧的入射光在外侧圆界面上的入射角α最小。如果最内侧光在界面上恰好发生全反射，并且反射光线又刚好与内侧圆相切，则其余的光都能保证不仅在外侧圆界面上，而且在后续过程中都能够发生全反射，并且不与内侧圆相交。因此，抓住最内侧光线进行分析，使其满足相应条件即可。
解: 当最内侧光的入射角α大于或等于反射临界角时，入射光线可全部从B表面射出而没有光线从其他地方透出。
即要求
而
所以
即
故
点评 对全反射问题，掌握全反射产生的条件是基础，而具体分析临界条件即“边界光线”的表现是解决此类问题的关键。
例7． 普通光纤是一种可传输光的圆柱形细丝，由具有圆形截面的纤芯A和包层B组成，B的折射率小于A的折射率，光纤的端面与圆柱体的轴垂直，由一端面射入的光在很长的光纤中传播时，在纤芯A和包层B的分界面上发生多次全反射。现在利用普通光纤测量流体F的折射率。实验方法如下：让光纤的一端（出射端）浸在流体F中。令与光纤轴平行的单色平行光束经凸透镜折射后会聚在光纤入射端面的中心O。经端面折射进入光纤，在光纤中传播。由于O点出发的光束为圆锥形，已知其边缘光线和轴的夹角为，如图1-2-18所示。最后光从另一端面出射进入流体F。在距出射端面处放置一垂直于光纤轴的毛玻璃屏D，在D上出现一圆形光斑，测出其直径为，然后移动光屏D至距光纤出射端面 处，再测出圆形光斑的直径，如图1-2-19所示。
（1）若已知A和B的折射率分别为与。求被测流体F的折射率的表达式。
（2）若、和均为未知量，如何通过进一步的实验以测出的值？
分析 光线在光纤中传播时，只有在纤芯A与包层B的分界面上发生全反射的光线才能射出光纤的端面，据此我们可以作出相应的光路图，根据光的折射定律及几何关系，最后可求出。
解: （1）由于光纤内所有光线都从轴上的O点出发，在光纤中传播的光线都与轴相交，位于通过轴的纵剖面内，图1-2-20为纵面内的光路图。设由O点发出的与轴的夹角为α的光线，射至A、B分界面的入射角为i，反射角也为i，该光线在光纤中多次反射时的入射角均为i，射至出射端面时的入射角为α。若该光线折射后的折射角为，则由几何关系和折射定可得
90o ①
②
当i大于全反射临界角时将发生全反射，没有光能损失，相应的光线将以不变的光强射向出射端面。而的光线则因在发生反射时有部分光线通过折射进入B，反射光强随着反射次数的增大而越来越弱，以致在未到达出射端面之前就已经衰减为零了。因而能射向出射端面的光线的i的数值一定大于或等于，的值由下式决定：
③
与对应的α值为
④
当，即时，或时，由O发出的光束中，只有的光线才满足的条件下，才能射向端面，此时出射端面处α的最大值为
⑤
若，即时，则由O发出的光线都能满足的条件，因而都能射向端面，此时出射端面处α的最大值为
⑥
端面处入射角α最大时，折射角θ也达最大值，设为，由②式可知
⑦
由⑥、⑦式可得，当时，
⑧
由③至⑦式可得，当时，
⑨
的数值可由图1-2-21上的几何关系求得为
⑩
于是的表达式应为
（11）
（12）
（2）可将输出端介质改为空气，光源保持不变，按同样手续再做一次测量，可测得、、、，这里打撇的量与前面未打撇的量意义相同。已知空气的折射率等于1，故有
当时，
（13）
当时
（14）
将（11）（12）两式分别与（13）（14）相除，均得
（15）
此结果适用于为任何值的情况。
?
§1.3 光的折射
1.3.1、多层介质折射
如图：多层介质折射率分别为则由折射定律得：

1.3.2、平面折射的视深
在水中深度为h处有一发光点Q，作OQ垂直于水面，求射出水面折射线的延长线与OQ交点的深度与入射角i的关系。
设水相对于空气的折射率为，由折射定律得
令OM=x，则
于是
上式表明，由Q发出的不同光线，折射后的延长线不再交于同一点，但对于那些接近法线方向的光线，，则，于是

这时与入射角i无关，即折射线的延长线近似地交于同一点，其深度是原光点深度的。
如图1-3-3所示，MN反射率较低的一个表面，PQ是背面镀层反射率很高的另一个表面，通常照镜子靠镀银层反射成像，在一定条件下能够看到四个反射像，其中一个亮度很底。若人离镜距离，玻璃折射率n，玻璃厚度d，求两个像间的距离。
图中S为物点，是经MN反射的像，若依次表示MN面折射，PQ面反射和MN面再折射成像，由视深公式得
，，，
故两像间距离为。
1.3.3、棱镜的折射与色散
入射光线经棱镜折射后改变了方向，出射光线与入射光线之间的夹角称为偏向角，由图1-3-4的几何关系知


其中
①当，α很小时，即
δ=（n-1）α
厚度不计顶角α很小的三棱镜称之为光楔，对近轴光线而言，δ与入射角大小无关，各成像光线经光楔后都偏折同样的角度δ，所以作光楔折射成像光路图时可画成一使光线产生偏折角的薄平板，图1-3-5。设物点S离光楔L则像点在S的正上方。
h=lδ=（n-1）αl。
②当棱镜中折射光线相对于顶角α对称成等腰三角形时，，。

或者
这为棱镜的最小偏向角δ，此式可用来测棱镜的折射率。
由于同一种介质对不同色光有不同的折射率，各种色光的偏折角不同，所以白光经过棱镜折射后产生色散现象。虹和霓是太阳被大气中的小水滴折射和反射形成的色散现象。阳光在水滴上经两次折射和一次反射如图1-3-6。形成内紫外红的虹；阳光经小滴两次折射和两次反射如图1-3-7，形成内红外紫的霓。由于霓经过一次反射，因此光线较弱，不容易看到。
1.3.4、费马原理
费马原理指出，光在指定的两点之间传播，实际的光程总是为最大或保持恒定，这里的光程是指光在某种均匀介质中通过的路程和该种媒质的折射率的乘积。
费马原理是几何光学中的一个十分重要的基本原理，从费马原理可以推导出几何光学中的很多重要规律。例如光的直线传播、反射定律，折射定律，都可以从光程极小推出。如果反射面是一个旋转椭球面，而点光源置于其一个焦点上，所有反射光线都经过另一个焦点，所有反射光线都经过另一个焦点，便是光程恒定的一个例子。此外，透镜对光线的折射作用，也是很典型的。
一平凸透镜的折射率为n，放置在空气中，透镜面孔的半径为R。在透镜外主光轴上取一点，（图1-3-8）。当平行光沿主光轴入射时，为使所有光线均会聚于点。试问：（1）透镜凸面应取什么形状？（2）透镜顶点A与点O相距多少？（3）对透镜的孔径R有何限制？
解: 根据费马原理，以平行光入射并会聚于的所有光线应有相等的光程，即最边缘的光线与任一条光线的光程应相等。由此可以确定凸面的方程。其余问题亦可迎刃而解。
（1）取坐标系如图，由光线和的等光程性，得
整理后，得到任一点M（x，y）的坐标x，y应满足的方程为
令，，则上式成为

这是双曲线的方程，由旋转对称性，透镜的凸面应是旋转双曲面。
（2）透镜顶点A的位置 应满足

或者
可见，对于一定的n和，由R决定。
（3）因点在透镜外，即，这是对R的限制条件，有

即要求
讨论 在极限情形，即 时，有如下结果：
即点A与点重合。又因

a=0
故透镜凸面的双曲线方程变为
即
双曲线退化成过点的两条直线，即这时透镜的凸面变成以为顶点的圆锥面，如图1-3-9所示。考虑任意一条入射光线MN，由折射定律有，由几何关系
故 ，
即所有入射的平行光线折射后均沿圆锥面到达点，此时的角θ就是全反射的临界角。
例1、半径为R的半圆柱形玻璃砖，横截面如图1-3-10所示。O为圆心。已知玻璃的折射率为。当光由玻璃射向空气时，发生全反射的临界角为45°，一束与MN平面成450的平行光束射到玻璃砖的半圆柱面上，经玻璃折射后，有部分光能从MN平面上射出。求能从MN平面射出的光束的宽度为多少？
分析: 如图1-3-11所示。进入玻璃中的光线①垂直半球面，沿半径方向直达球心，且入射角等于临界角，恰好在O点发生全反射，光线①左侧的光线经球面折射后，射在MN上的入射角都大于临界角，在MN上发生全反射，不能从MN射出，光线①右侧一直到与球面正好相切的光线③范围上的光线经光球面折射后，在MN面上的入射角均小于临界角，都能从MN面上射出，它们在MN上的出射宽度即是所要求的。
解: 图1-3-11中，BO为沿半径方向入射的光线，在O点正好发生全反射，入射光线③在C点与球面相切，此时入射角，折射角为r，则有


即
这表示在C点折射的光线将垂直MN射出，与MN相交于E点。MN面上OE即是出射光的宽度。
讨论 如果平行光束是以45°角从空气射到半圆柱的平面表面上，如图1-3-12所示，此时从半圆柱面上出射的光束范围是多大？参见图1-3-13所示，由折身定律，得，，即所有折射光线与垂直线的夹角均为30°。考虑在E点发生折射的折射光线EA，如果此光线刚好在A点发生全反射，则有，而，即有，因EA与OB平行，所以，所以，即射向A点左边MA区域的折射光（）因在半圆柱面上的入射角均大于45°的临界角而发生全反射不能从半圆柱面上射出，而A点右边的光线（）则由小于临界角而能射出，随着φ角的增大，当时，将在C点再一次达到临界角而发生全反射，此时故知能够从半圆柱球面上出射的光束范围限制在AC区域上，对应的角度为。
点评 正确作出光路图并抓住对边界光线的分析是解答问题的两个重要方向，要予以足够重视。
例2、给定一厚度为d的平行平板，其折射率按下式变化

一束光在O点由空气垂直入射平板，并在A点以角α出射（图1-3-14）。求A点的折射率nA，并确定A点的位置及平板厚度。（设）。
解: 首先考虑光的路线（图1-3-15）。对于经过一系列不同折射率的平行平板的透射光，可以应用斯涅耳定律
，
更简单的形式是

这个公式对任意薄层都是成立的。在我们的情形里，折射率只沿x轴变化，即

在本题中，垂直光束从折射率为n0的点入射，即为常数，于是在平板内任一点有

与x的关系已知，因此沿平板中的光束为

图（1-3-16）表明光束的路径是一个半径为XC=r的圆，从而有

现在我们已知道光的路径，就有可能找到问题的解答。按折射定律，当光在A点射出时，有

因为 ，故有

于是

因此
在本题情形
根据
得出A点的x坐标为x=1cm。
光线的轨迹方程为

代入x=1cm，得到平板厚度为y=d=5cm
例3、图1-3-17表示一个盛有折射率为n的液体的槽，槽的中部扣着一个对称屋脊形的薄壁透明罩A，D，B，顶角为2，罩内为空气，整个罩子浸没在液体中，槽底AB的中点处有一个亮点C。请求出：位于液面上方图标平面内的眼睛从侧面观察可看到亮点的条件。
解: 本题可用图示平面内的光线进行分析，并只讨论从右侧观察的情形。如图1-3-18所示，由亮点发出的任一光线CP将经过两次折射而从液面射出。由折射定律，按图上标记的各相关角度有
（1）
（2）
其中

（3）
如果液内光线入射到液面上时发生全反射，就没有从液面射出的折射光线。全反射临界角γ。应满足条件

可见光线CP经折射后能从液面射出从而可被观察到的条件为
（4）
或 （5）
现在计算，利用（3）式可得

由（1）式可得

由此
又由（1）式
（6）
由图及（1）、（2）式，或由（6）式均可看出，α越大则γ越小。因此，如果与α值最大的光线相应的γ设为，则任何光线都不能射出液面。反之，只要，这部分光线就能射出液面，从液面上方可以观察到亮点。由此极端情况即可求出本题要求的条件。
自C点发出的α值最大的光线是极靠近CD的光线，它被DB面折射后进入液体，由（6）式可知与之相应的；

能观察到亮点的条件为

即
上式可写成

取平方

化简后得

故
平方并化简可得

这就是在液面上方从侧面适当的方向能看到亮点时n与φ之间应满足条件。
例4、如图1-3-19所示，两个顶角分别为和的棱镜胶合在一起（）。折射率由下式给出：
；
其中
1、确定使得从任何方向入射的光线在经过AC面时不发生折射的波长。确定此情形的折射率和。
2、画出入射角相同的、波长为、和的三种不同光线的路径。
3、确定组合棱镜的最小偏向角。
4、计算平行于DC入射且在离开组合棱镜时仍平行于DC的光线的波长。
解: 1、如果，则从不同方向到达AC面的波长为的光线就不折射，即

因而
在此情形下 。
2、对波长比长的红光，和均小于1.5。反之，对波长比短的蓝光，两个折射率均比1.5要大。现在研究折射率在AC面上如何变化。我们已知道，对波长为的光，。
如果考虑波长为而不是的光，则由于，所以 。同理，对蓝光有。现在我们就能画出光线穿过组合棱镜的路径了（图1-3-20）。
3、对波长为的光，组合棱镜可看作顶角为30°、折射率为n=1.5的单一棱镜。
我们知道，最小偏向在对称折射时发生，即在图1-3-21中的α角相等时发生。
根据折射定律，
因而
偏向角为

4、利用图1-3-22中的数据，可以写出
；
消去α后得

经变换后得
这是的二次方程。求解得出

例5、玻璃圆柱形容器的壁有一定的厚度，内装一种在紫外线照射下会发出绿色荧光的液体，即液体中的每一点都可以成为绿色光源。已知玻璃对绿光的折射率为，液体对绿光的折射率为。当容器壁的内、外半径之比r：R为多少时，在容器侧面能看到容器壁厚为零？
分析: 所谓“从容器侧面能看到容器壁厚为零”，是指眼在容器截面位置看到绿光从C点处沿容器外壁的切线方向射出，即本题所描述为折射角为90°的临界折射。因为题中未给出、的大小关系，故需要分别讨论。
解: （1）当时，因为是要求r：R的最小值，所以当时，应考虑的是图1-3-23中ABCD这样一种临界情况，其中BC光线与容器内壁相切，CD光线和容器外壁相切，即两次都是临界折射，此时应该有

设此时容器内壁半径为，在直角三角形BCO中，。当时，C处不可能发生临界折射，即不可能看到壁厚为零；当时，荧光液体中很多点发出的光都能在C处发生临界折射，所以只要满足

即可看到壁厚为零。
（2）当时
此时荧光液体发出的光线将直接穿过容器内壁，只要在CD及其延长线上有发光体，即可看到壁厚为零，因此此时应满足条件仍然是。
（3）当时
因为，所以荧光液体发出的光在容器内壁上不可能发生折射角为90°的临界折射，因此当时，所看到的壁厚不可能为零了。当时，应考虑的是图1-3-24中ABCD这样一种临界情况，其中AB光线的入射角为90°，BC光线的折射角为，此时应该有

在直角三角形OBE中有

因为图1-3-23和图1-3-24中的角是相同的，所以 ，即

将代入，可得当

时，可看到容器壁厚度为零。
上面的讨论，图1-3-23和图1-3-24中B点和C点的位置都是任意的，故所得条件对眼的所有位置均能成立（本段说明不可少）。
例6、有一放在空气中的玻璃棒，折射率n=1.5，中心轴线长L=45cm，一端是半径为=10cm的凸球面。
（1）要使玻璃棒的作用相当于一架理想的天文望远镜（使主光轴上无限远处物成像于主光轴上无限远处的望远系统），取中心轴为主光轴，玻璃棒另一端应磨成什么样的球面？
（2）对于这个玻璃棒，由无限远物点射来的平行入射光束与玻璃棒的主光轴成小角度时，从棒射出的平行光束与主光轴成小角度，求（此比值等于此玻璃棒的望远系统的视角放大率）。
分析: 首先我们知道对于一个望远系统来说，从主光轴上无限远处物点发出的入射光线为平行于主光轴的光线，它经过系统后的出射光线也应与主光轴平行，即像点也在主光轴上无限远处，然后我们再运用正弦定理、折射定律及的小角度近似计算，即可得出最后结果。
解: （1）对于一个望远系统来说，从主光轴上无限远处的物点发出的入射光为平行于主光轴的光线，它经过系统后的出射光线也应与主光轴平行，即像点也在主光轴上无限远处，如图1-3-25所示，图中为左端球面的球心。
由正弦定理、折射定律和小角度近似得
①
即 ②
光线射至另一端面时，其折射光线为平行于主光轴的光线，由此可知该端面的球心一定在端面顶点B的左方，B等于球面的半径，如图1-3-25所示。
仿照上面对左端球面上折射的关系可得
③
?
又有 ④
由②③④式并代入数值可得
⑤
即右端应为半径等于5cm的向外凸面球面。
（2）设从无限远处物点射入的平行光线用a、b表示，令a过，b过A，如图1-3-26所示，则这两条光线经左端球面折射后的相交点M，即为左端球面对此无限远物点成的像点。现在求M点的位置。在中
⑥
又 ⑦
已知、均为小角度，则有
⑧
与②式比较可知，，即M位于过 垂直于主光轴的平面上。上面已知，玻璃棒为天文望远系统，则凡是过M点的傍轴光线从棒的右端面射出时都将是相互平行的光线。容易看出，从M射向的光线将沿原方向射出，这也就是过M点的任意光线（包括光些a、b）从玻璃棒射出的平行光线的方向。此方向与主光轴的夹角即为。
⑨
由②③式可得

则 ⑩
?例7、在直立的平面镜前放置一个半径为R的球形玻璃鱼缸，缸壁很薄，其中心离镜面为3R，缸中充满水。远处一观察者通过球心与镜面垂直的方向注视鱼缸，一条小鱼在离镜面最近处以速度v沿缸壁游动。求观察者看到鱼的两个像的相对速度。水的折射率n=4/3。见图1-3-27和图1-3-28。
解: 鱼在1秒钟内游过的距离为v。我们把这个距离当作物，而必须求出两个不同的像。在计算中，我们只考虑近轴光线和小角度，并将角度的正弦角度本身去近似。
在点游动的鱼只经过一个折射面就形成一个像（图1-3-27）。从点以角度发出的光线，在A点的水中入射角为v，在空气中的折射角为，把出射光线向相反方向延长给出虚像位置。显然

从三角形，有

利用通常的近似
，
于是

所以这个虚像与球心的距离为
水的折射率n=4/3，从而。若折射率大于2，则像是实像。由像距与物距之商得到放大率为

对水来说，放大率为2。
以与速度v相应的线段为物，它位于在E处平面镜前距离为2R处，它在镜后2R远的处形成一个与物同样大小的虚像离球心的距离为5R。在一般情形中，我们设。的虚像是我们通过球作为一个透镜观察时的（虚）物。因此，我们只要确定的实像而无需再去考虑平面镜。
我们需要求出以γ角度从发出的光线在C点的入射角ε，其中在三角形中
，
玻璃中的折射角为

需要算出角。因为

而且与C点和D点的两角之和相加，或与和之和相加，两种情况下都等于180°，因此

即
从三角形，有

此外

因此像距为

若k=5，n=4/3，得

放大率为

若把k=5，n=4/3代入，则放大率为2/3。
综合以上结果，如鱼以速度v向上运动，则鱼的虚像以速度2v向上运动，而鱼的实像以速度向下运动。两个像的相对速度为

是原有速度的8/3倍。
我们还必须解决的最重要的问题是：从理论上已经知道了像是如何运动的，但是观察者在作此实验时，他将看到什么现象呢？
两个像的速度与鱼的真实速度值，从水中的标尺上的读数来看，是一致的。实际上观察到两个反方向的速度，其中一个速度是另一个速度的三倍，一个像是另一个像的三倍。我们应当在远处看，因为我们要同时看清楚鱼缸后远处的一个像和鱼缸前的另一个像。两个像的距离为8.33R。用肉眼看实像是可能的，只要我们比明视距离远得多的地方注视它即可。题目中讲到“在远处的观察者”，是指他观察从两个不同距离的像射来的光线的角度变化。只要观察者足够远，尽管有距离差，但所看到的速度将逐渐增加而接近于8/3。他当然必须具有关于鱼的实际速度（v）的一些信息。
两个像的相对速度与物的原始速度之比的普遍公式为

用一个充满水的圆柱形玻璃缸，一面镜子和一支杆，这个实验很容易做到。沿玻璃缸壁运动的杆代表一条鱼。
§1.4、光在球面上的反射与折射
1.4.1、球面镜成像
（1）球面镜的焦距球面镜的反射仍遵从反射定律，法线是球面的半径。一束近主轴的平行光线，经凹镜反射后将会聚于主轴上一点F（图1-4-1），这F点称为凹镜的焦点。一束近主轴的平行光线经凸面镜反射后将发散，反向延长可会聚于主轴上一点F（图1-4-2），这F点称为凸镜的虚焦点。焦点F到镜面顶点O之间的距离叫做球面镜的焦距f。可以证明，球面镜焦距f等于球面半径R的一半，即
（2）球面镜成像公式 根据反射定律可以推导出球面镜的成像公式。下面以凹镜为例来推导：（如图1-4-3所示）设在凹镜的主轴上有一个物体S，由S发出的射向凹镜的光线镜面A点反射后与主轴交于点，半径CA为反射的法线，即S的像。根据反射定律，，则CA为角A的平分线，根据角平分线的性质有
①
由为SA为近轴光线，所以，，①式可改写为
②
②式中OS叫物距u，叫像距v，设凹镜焦距为f，则

代入①式
化简
这个公式同样适用于凸镜。使用球面镜的成像公式时要注意：凹镜焦距f取正，凸镜焦距f取负；实物u取正，虚物u取负；实像v为正，虚像v为负。
上式是球面镜成像公式。它适用于凹面镜成像和凸面镜成像，各量符号遵循“实取正，虚取负”的原则。凸面镜的焦点是虚的，因此焦距为负值。在成像中，像长 和物长h之比为成像放大率，用m表示，
由成像公式和放大率关系式可以讨论球面镜成像情况，对于凹镜，如表Ⅰ所列；对于凸镜，如表Ⅱ所列。
表Ⅰ 凹镜成像情况
物的性质
物的位置
像的位置
像的大小
像的正倒
像的虚实
?
?
实
物
同侧f
缩小
倒
实
～2f
同侧f～2f
缩小
倒
实
2f
同侧2f
等大
倒
实
2f～f
同侧f～2f
放大
倒
实
f
放大
?
?
f～0
异侧～0
放大
正
虚
虚物
异侧0～f
缩小
正
实
表Ⅱ 凸镜成像情况
物的性质
物的位置
像的位置
像的大小
像的正倒
像的性质
实物
f～
同侧0～f
缩小
正
虚
?
虚
物
～2f
同侧f～2f
缩小
倒
虚
2f
同侧2f
等大
倒
虚
f～2f
同侧～2f
放大
倒
虚
f
?
?
?
f～0
异侧～0
放大
正
实
（3）球面镜多次成像 球面镜多次成像原则：只要多次运用球面镜成像公式即可，但有时前一个球面镜反射的光线尚未成像便又遇上了后一个球面镜，此时就要引进虚像的概念。
如图1-4-4所示，半径为R的凸镜和凹镜主轴相互重合放置，两镜顶点O1 、 O2 相距2.6R，现于主轴上距凹镜顶点O1为0.6R处放一点光源S。设点光源的像只能直接射到凹镜上，问S经凹镜和凸镜各反射一次后所成的像在何处？
S在凹镜中成像，，


可解得 ,
根据题意：所以凹镜反射的光线尚未成像便已又被凸镜反射，此时可将凹镜原来要成像作为凸镜的虚物来处理，
，

可解得
说明凸镜所成的像和S在同一位置上。
1.4.2、球面折射成像
（1）球面折射成像公式
（a）单介质球面折射成像
如图1-4-5所示，如果球面左、右方的折射率分别为1和n，为S的像。因为i、r均很小，行以
①
因为 ，
代入①式可有
②
对近轴光线来说，α、θ、β同样很小，所以有
，，
代入②式可得

当时的v是焦距f，所以

（b）双介质球面折射成像
如图1-4-6所示，球形折射面两侧的介质折射率分别n1和n2，C是球心，O是顶点，球面曲率半径为R，S是物点，是像点，对于近轴光线

， ，，，
联立上式解得

这是球面折射的成像公式，式中u、υ的符号同样遵循“实正虚负”的法则，对于R；则当球心C在出射光的一个侧，（凸面朝向入射光）时为正，当球心C在入射光的一侧（凹面朝向入射光）时为负。
若引入焦点和焦距概念，则当入射光为平行于主轴的平行光（u=∝）时，出射光（或其反向延长线）的交点即为第二焦点，（也称像方焦点），此时像距即是第二焦距，有。当出射光为平行光时，入射光（或其延长线）的交点即第一焦点（即物方焦点），这时物距即为第一焦距，有，将、代入成像公式改写成

反射定律可以看成折射定律在时的物倒，因此，球面镜的反射成像公式可以从球面镜折射成像公式中得到，由于反射光的行进方向逆转，像距υ和球面半径R的正负规定应与折射时相反，在上述公式中令，，，即可得到球面镜反射成像公式，对于凹面镜，，对于凸面镜，，厚透镜成像。
（C）厚透镜折射成像
设构成厚透镜材料的折射率为n，物方介质的折射率为，像方介质的折射率为，前后两边球面的曲率半径依次为和，透镜的厚度为，当物点在主轴上的P点时，物距，现在来计算像点的像距。，首先考虑第一个球面AOB对入射光的折射，这时假定第二个球面AOB不存在，并认为球AOB右边，都为折射率等于n的介质充满，在这种情况下，P点的像将成在处，其像距，然后再考虑光线在第二个球面的折射，对于这个球面来说，便是虚物。
因此对于球面AOB，物像公式为

对于球面AOB，物像公式为
这样就可以用二个球面的成像法来求得透镜成像的像距u。
?
（2）光焦度
折射成像右端仅与介质的折射率及球面的曲率半径有关，因而对于一定的介质及一定形状的表面来说是一个不变量，我们定义此量为光焦度，用φ表示：

它表征单折射球面对入射平行光束的屈折本领。φ的数值越大，平行光束折得越厉害；φ＞0时，屈折是会聚性的；φ＜0时，屈折是发散性的。φ=0时，对应于，即为平面折射。这时，沿轴平行光束经折射后仍是沿轴平行光束，不出现屈折现象。
光焦度的单位是[米-1]，或称[屈光度]，将其数值乘以100，就是通常所说的眼镜片的“度数”。
（3）镀银透镜与面镜的等效
有一薄平凸透镜，凸面曲率半径R=30cm，已知在近轴光线时：若将此透镜的平面镀银，其作用等于一个焦距是30cm的凹面镜；若将此透镜的凸面镀银，其作用也等同于一个凹面镜，其其等效焦距。
当透镜的平面镀银时，其作用等同于焦距是30cm的凹面镜，即这时透镜等效面曲率半径为60cm的球面反射镜。由凹面镜的成像性质，当物点置于等效曲率中心 时任一近轴光线经凸面折射，再经平面反射后将沿原路返回，再经凸面折射后，光线过 点，物像重合。如图1-4-8所示。，，。依题意，，，故。
凸面镀银，光路如图1-4-9所示。关键寻找等效曲率中心，通过凸面上任一点A作一垂直于球面指向曲率中心C的光线。此光线经平面折射后交至光轴于，令则，，，得。
由光的可逆性原理知，是等效凹面镜的曲率中心，f=10cm。
例1、如图1-4-10所示，一个双凸薄透镜的两个球面的曲率半径均为r，透镜的折射率为n，考察由透镜后表面反射所形成的实像。试问物放于何处，可使反射像与物位于同一竖直平面内（不考虑多重反射）。
解: 从物点发出的光经透镜前表面（即左表面）反射后形成虚像，不合题意，无须考虑。
从物点发出的光经透镜前表面折射后，再经透镜后表面反射折回，又经前表面折射共三次成像，最后是实像，符合题意。利用球面折射成像公式和球面反射成像公式，结合物与像共面的要求。就可求解。
球面反射的成像公式为：，其中反射面的焦距为（R为球面半径），对凹面镜，f取正值，对凸面镜，f取负值。
球面折射的成像公式为：
。当入射光从顶点射向球心时，R取正值，当入射光从球心射向顶点时，R取负值。
如图1-4-11甲所示，当物点Q发出的光经透镜前表面折射后成像于，设物距为u，像距为v，根据球面折射成像公式：

这里空气的折射率，透镜介质的折射率，入射光从顶点射向球心，R=r取正值，所以有
（1）
这是第一次成像。
对凸透镜的后表面来说，物点Q经透镜前表面折射所成的风点是它的物点，其物距（是虚物），经透镜后表面反射后成像于，像距为（如图1-4-11乙所示），由球面反射成像公式

将前面数据代入得
（2）
这是第二次成像。
由透镜后表面反射成的像点又作为透镜前
表面折射成像的物点，其物距（是虚物），
再经过透镜前表面折射成像于，像距为，
（见图1-4-11丙所示），再由球面折射成像公式

这时人射光一侧折射率 ，折射光一侧折射率 （是空气），入射光由球心射向顶点，故R值取负值。所以可写出

代入前面得到的关系可得
（3）
这是第三次成像，由（1）、（2）两式可解得
（4）
再把（4）式和（3）式相加，可得
（5）
为使物点Q与像点在同一竖直平面内，这就要求

代入（5）是可解得物距为
说明 由本题可见，观察反射像，调整物距，使反射像与物同在同一竖直平面内，测出物距P，根据上式就可利用已知的透镜折射率n求出透镜球面的半径r，或反过来由已咋的球面半径r求出透镜的折射率n。
例2、显微镜物镜组中常配有如图1-4-12所示的透镜，它的表面是球面，左表面的球心为，半径为，右表面的球心为，半径为，透镜玻璃对于空气的折射率为n，两球心间的距离为。
在使用时，被观察的物位于处，试证明
1、从物射向此透镜的光线，经透镜折射后，所有出射光线均相交于一点Q。
2、????????????????????????????????????? 。
解: 首先考虑面上的折射，由于物在球心处，全部入射光线无折射地通过面，所以对来说，物点就在处。
再考虑到面上的折射。设入射光线与主轴的夹角为θ，入射点为P，入射角为i，折射角为r，折射线的延长线与主轴的交点为Q如图1-4-13，则由折射定律知

在中应用正弦定理得
已知 由此得

所以
设CP与主轴的夹角为α，则有

显然，θ≠0时，r＜α，因此出射线与主轴相交之点Q必在透镜左方。
θ为的外角

在中应用正弦定理，得


的数值与θ无关，由此可见，所有出射线的延长线都交于同一点，且此点与的距离为。
例3、有一薄透镜如图1-4-14，面是旋转椭球面（椭圆绕长轴旋转而成的曲面），其焦点为和；面是球面，其球心C与 重合。已知此透镜放在空气中时能使从无穷远处于椭球长轴的物点射来的全部入射光线（不限于傍轴光线）会聚于一个像点上，椭圆的偏心率为e。
(1)求此透镜材料的折射率n（要论证）；
(2)如果将此透镜置于折射率为的介质中，并能达到上述的同样的要求，椭圆应满足什么条件？
分析: 解此题的关键在于是正确地运用椭圆的几何性质及折射定律。
解: （1）根据题设，所有平行于旋转椭球长轴的入射光线经旋转椭球面和球面两次折射后全部都能会聚于同一像点，可作出如下论证：如果经椭球面折射后射向球面的光线都射向球心C，即射向旋转椭球面的第二焦点，则可满足题设要求。光路图如图1-4-15所示：PA为入射线，AC为经椭球面折射后的折射线，BN为A点处椭球面的法线，i为入射角，r为折射角。根据椭圆的性质，法线BN平分，故与法线的夹角也是r，由正弦定律可得
，
从而可求得

2a为长轴的长度，2c为焦点间的距离；即只要n满足以上条件，任意入射角为i的平行于旋转椭球长轴的入射光线都能会聚于C（即）点。
（2）如果透镜置于折射率为的介质中，则要求

即椭圆的偏心率e应满足
由于椭圆的e＜1，如果就无解。只要 ，总可以找到一个椭球面能满足要求。
例4、（1）图1-4-16所示为一凹球面镜，球心为C，内盛透明液体。已知C至液面高度CE为40.0cm，主轴CO上有一物A，物离液面高度AE恰好为30.0cm时，物A的实像和物处于同一高度。实验时光圈直径很小，可以保证近轴光线成像。试求该透明液体的折射率n。
（2）体温计横截面如图1-4-17所示，已知细水银柱A离圆柱面顶点O的距离为2R，R为该圆柱面半径，C为圆柱面中心轴位置。玻璃的折射率n=3/2，E代表人眼，求图示横截面上人眼所见水银柱像的位置、虚像、正倒和放大倍数。
解: （1）主轴上物A发出的光线AB，经液体界面折射后沿BD方向入射球面镜时，只要BD延长线经过球心C，光线经球面反射后必能沿原路折回。按光的可逆性原理，折回的光线相交于A（图1-4-18）。
对空气、液体界面用折射定律有


当光圈足够小时，B→E，因此有

（2）先考虑主轴上点物A发出的两条光线，其一沿主轴方向ACOE入射界面，无偏折地出射，进入人眼E。其二沿AP方向以入射角i斜入射界面P点，折射角为r。折射光线PQ要能进入人眼E，P点应非常靠近O点，或说入射角i 折射角r应很小。若角度以弧度量度，在小角（近轴）近似下，折射定律可写为。这两条光线反向延长，在主轴上相交于，即为物A之虚像点（图1-4-19）
对用正弦定律，得

在小角（近轴）近似下：
，
上式可写为
解上式得
为了分析成像倒立和放大情况，将水银柱看成有一定高度的垂轴小物体AB，即然是一对共轭点，只要选从B发出的任一条光线经界面折射后，反向延长线与过垂轴线相交于，是点物B虚像点，即是物AB之正立虚像。
选从B点发出过圆柱面轴心C之光线BC。该光线对界面来说是正入射（入射角为零），故无偏折地出射，反向延长BC线交过垂轴线于，从得
放大率=
例5、有一半径为R=0.128m的玻璃半球，过球心O并与其平面部分相垂直的直线为其主轴，在主轴上沿轴放置一细条形发光体（离球心较近），其长度为L=0.020m。若人眼在主轴附近对着平面部分向半球望去（如图1-4-20），可以看到条形发光体的两个不很亮的像（此处可能还有亮度更弱的像，不必考虑），当条形发光体在主轴上前后移动时，这两个像也在主轴上随之移动。现在调整条形发光体的位置，使得它的两个像恰好头尾相接，连在一起，此时条形发光体的近端距球心O的距离为。
试利用以上数据求出构成此半球的玻璃折射率n（计算时只考虑近轴光线）。
解: 1、条形发光体的两个像，一个是光线在平面部分反射而形成的，一个是光线经平面折射进入玻璃，在凹面镜上反射后，又经平面折射穿出玻璃而形成的。
2、求半球外任一个在轴上的光点A的上述两个像。平面反射像在处，（见图1-4-21）
凹面镜反射像D求法如下：
（1）A点发出的光经平面折射后进入玻璃，射向凹面镜，对凹面镜来说，相当于光线从B点射来（1-4-22）。令OB=b，则
（1）
（2）用凹面镜公式

（f为焦距）求凹面镜成的像C的位置。令OC=C，则
，
代入上式

解出C得
（2）
由此可以看出，C点在半球之内。
（3）由C点发出的光线，经折射穿出玻璃外时，由外面观察其像点在D处（见图1-4-23）。令OD=d，则
（3）
D点就是人眼所看到的光点A的像的位置。
由（3）式可知，a越大，d也越大，且
d＜a
3现在，条形发光体经平面反射成的像为，设经凹面镜反射所成的像为。根据（3）式所得的a与d间的关系，可知离球心O比和近。所以当二像恰好头尾相接时，其位置应如图1-4-24所示，即与重合
（4）
即
式中为距球心O的距离。因此得
（5）
代入已知数据：R=0.128m，
，
得
例6、某人的眼睛的近点是10cm，明视范围是80cm，当他配上-100度的近视镜后明视范围变成多少？
解:在配制眼镜中，通常把眼睛焦距的倒数称为焦度，用D表示，当焦距的单位用m时，所配眼镜的度数等于眼镜焦度的100倍。
本题中此人所配的近视眼镜的度数是-100度，此人眼睛的度数，所以此近视镜的焦距为

当此人戴上此眼镜看最近距离的物体时，所成的虚像在他能看清的近点10cm，由

解得物距
因为此人的明视远点是10 cm +80 cm =90 cm，所以此人戴上眼镜以后在看清最远的物体时，所成的虚像在离他90 cm处，再根据透镜公式可解得他能看清的最远物距是：

所以，他戴上100度的近视眼镜后，明视范围是0.11m～9.0m。
说明 不管是配戴近视眼镜还是远视眼镜，他戴上眼镜后，不是把他的眼睛治好了，而是借助把他要看清的物体成虚像到他不戴眼镜时所能看清的明视范围内。
?
§1.5、透镜成像
1.5.1、透镜成像作图
（1）三条特殊光线
①通过光心的光线方向不变；
②平行主轴的光线，折射后过焦点；
③通过焦点的光线，折射后平行主轴。
（2）一般光线作图：对于任一光线SA，过光心O作轴OO’平行于SA，与焦平面 交于P点，连接AP或AP的反向延长线即为SA的折射光线
*像与物的概念：发光物体上的每个发光点可视为一个“物点”即“物”。一个物点上发出的光束，经一系列光学系统作用后，若成为会聚光束，则会聚点为物的实像点；若成为发散光束，则其反向延长线交点为物的虚像点；若为平行光束则不成像。
1.5.2、薄透镜成像公式
薄透镜成像公式是：

式中f、u、v的正负仍遵循“实正、虚负”的法则。若令，，则有

该式称为“牛顿公式”。式中x是物到“物方焦点”的距离，是像到“像方焦点”的距离。从物点到焦点，若顺着光路则x取正，反之取负值；从像点到焦点，若逆着光路则取正值，反之取负值，该式可直接运用成像作图来推导，请读者自行推导，从而弄清的意义。下面用牛顿公式讨论一个问题。
一个光源以v=0.2m/s的速度沿着焦距f=20cm的凸透镜向光心运动，当它经过距光心和的两点时，求像所在的位置及速度。
，
代入牛顿公式得
，，，，
上述、、、意义如图1-5-2所示。
设在△t时间内，点光源的位移为△x，像点的位移为 ，有

当△t→0时△x→0，略去△x的二阶小量，有

将、、、的值代入，求得，。像移动方向与移动方向相同。
*“实正、虚负”法则：凸透镜焦距取正值，凹透镜焦距取负值；实像像距取正值，虚像像距取负值。实物物距取正值，虚物物距取负值。
*实物与虚物：发散的入射光束的顶点（不问是否有实际光束通过此顶点）是实物；会聚的入射光束的顶点（永远没有实际光束通过该顶点）是虚物。假定，P为实物，为虚像使所有光线都循原路沿相反方向进行，如将（a）反向为（b）图所示，则表示光线在未遇凸面镜之前是会聚的，为虚物均为实物。
1.5.3、组合透镜成像
如果由焦距分别为和的A、B两片薄透镜构成一个透镜组（共主轴）将一个点光源S放在主轴上距透镜u处，在透镜另一侧距透镜v处成一像（图1-5-4）所示。对这一成像结果，可以从以下两个不同的角度来考虑。
因为A、B都是薄透镜，所以互相靠拢地放在一起仍可看成一个薄透镜。设这个组合透镜的焦距是f，则应有
①
另一个考虑角度可认为是S经A、B两个透镜依次成像的结果。如S经A后成像，设位于A右侧距A为处，应有
②
因为位于透镜B右侧处，对B为一虚物，物距为，再经B成像 ，所以
③
由②、③可解得
④
比较①、④两式可知

如果A、B中有凹透镜，只要取负的或代入即可。
1.5.4、光学仪器的放大率
实像光学仪器的放大率 幻灯下、照相机都是常见的实像光学仪器。由于此类仪器获得的是物体的实像，因而放大率m一般是指所有成实像的长度放大率，即v=mu。
如果有一幻灯机，当幻灯片与银幕相距2.5m时，可在银幕上得到放大率为24的像；若想得到放大率为40的像，那么，假设幻灯片不动，镜头和银幕应分别移动多少？
根据第一次放映可知

可解得 ，

第二次放映

可解得 ，
比较和，可知镜头缩回1.6mm；比较和，可知银幕应移远1.54m。
虚像光学仪器的放大率 望远镜和显微镜是常见的虚像光学仪器。由于此类仪器得到的是物体的虚像，目的是扩大观察的视角，因此放大率m一般是指视角放大率。如果直接观察物体的视角为α，用仪器观察物体的视角为β，那么
m=β/α
先看显微镜的放大率。如果有一台显微镜，物镜焦距为，目镜焦距为，镜筒长L，若最后的像成在离目镜d处，试证明显微镜的放大率。
显微镜的光路如图1-5-5所示，AB经物镜Ⅰ成一放大实像，物镜的长度放大率

因、相对L都较小，而且B很靠近，所以
，
即
位于目镜Ⅱ的焦点内，经目镜成一放大的虚像（通常让成在观察者的明视距离d上）。因为都是近轴光线，所以此时观察者从目镜中看到的视角β为

若观察者不用显微镜，直接观看AB的视角α为

则显微镜的放大率m

不难看出目镜的长度放大率为

所以有
下面再看天文望远镜的放大率，如果天文望远镜的物镜焦距为，目镜焦距为，试证明天文望远镜的放大率。
望远镜成像光路如图1-5-6所示，远处物体AB由物镜Ⅰ成像，然后再由目镜Ⅱ在远处成一虚像（图中未画出），观察者观察的视角即为图中的β，。若不用望远镜，观察者直接观察距望远镜S远处的物体AB的视角，近似为图中的α

因此望远镜的放大率m为

1.5.5、常见的光学仪器
投影仪器 电影机、幻灯机、印相放大机以及绘图用的投影仪等，都属于投影仪器，它的主要部分是一个会聚的投影镜头，将画片成放大的实像于屏幕上，如图1-5-7。由于物距u略大于焦距f，画片总在物方焦平面附近，像距υ?f，放大率，它与像距v成正比。
一光学系统如图1-5-8所示，A为物平面，垂直于光轴，L为会聚透镜，M与光轴成45°角的平面镜。P为像面，垂直于经平面镜反射后的光轴。设物为A面上的一个“上”字，试在图1-5-9中实像面P上画出像的形状。
眼睛 眼睛是一个相当复杂的天然光学仪器。从结构上看，类似于照像机，图1-5-10为眼球在水平方向的剖面图。其中布满视觉神经的网膜，相当于照像机中的感光底片，虹膜相当于照像机中的可变光阑，它中间的圆孔称为瞳孔。眼球中的晶状体是一个折射率不均匀的透镜，包在眼球外面的坚韧的膜，最前面的透明部分称为角膜，其余部分为巩膜。角膜与晶状体之间的部分称为前房，其中充满水状液。晶状体与网膜之间眼球的内腔，称为后房，其中充满玻璃状液。所以，眼睛是一个物、像方介质折射率不等的例子。聚焦光无穷远时，物焦距f=17.1mm，像方焦距f=22.8。眼睛是通过改变晶状体的曲率（焦距）来调节聚焦的距离。
眼睛肌肉完全松弛和最紧张时所能清楚看到的点，分别称为它调节范围的远点和近点。正常眼睛的远点在无穷远。近视眼的眼球过长，无穷远的物体成像在网膜之前，它的远点在有限远的位置。远视眼的眼球过短，无穷远的物体成像在网膜之后（虚物点）。矫正近视眼和远视的眼镜应分别是凹透镜和凸透镜。所谓散光，是由于眼球在不同方向的平面内曲率不同引起的，它需要非球面透镜来矫正。
视角、视角放大 物体的两端对人眼光心所张的角度叫做视角，视角的大小跟物体的尺寸及物体到人眼的距离有关。当两物点（或同一物体上的两点）对人眼视角大小（约）时，才能被人眼区分。
在看小物体时，为了增大视角就要缩短物眼间距离，但当其小于人眼近点距离时，视网膜上所成的像反而模糊不清。为此，必须使用光学仪器来增大视角。
图1-5-11是人眼（E）通过放大镜观察物体AB的像，当人眼靠近光心时视角。
若物体很靠近焦点，且成像于明视距离，则：
，

若不用放大镜将物体置于明视距离，如图1-5-12，BE=25cm，则视角：
把用光学仪器观察虚像所得视角与将物体放在虚像位置上直接观察的视角φ的比值叫做光学仪器的视角放大率。用β表示视角放大率，即有
对于放大镜，有 。
显微镜 图1-5-13是显微镜成像原理图。被观察物体AB置于物镜焦点外很靠近焦点处，（），成放大实像于目镜焦点内靠近焦点处（），眼睛靠近目镜的光心可观察到位于明视距离的虚像
显微镜的物镜视角放大率

未在图中画出。目镜放大率：

未在图中画出。显微镜的视角放大率：

式中L是镜筒长度。由于?L，因此在计算放大率时用L代表物镜像距。通常显微镜焦距很小，多为mm数量级，明镜焦距稍长，但一般也在2cm以内。
望远镜 望远镜用于观察大而远的物体，如图1-5-14，图1-5-15分别表示开普勒望远镜和伽利略望远镜的光路图。
两种望远镜都是用焦距较长的凸透镜做物镜。远处物体从同点发出的光线可近似为平行光，因此将在物镜的焦平面上成一实像。开普勒望远镜的目镜也是凸透镜，其焦距较短，物方焦平面和物镜的像方焦平面几乎重合。结果，以为物，在无穷远处得到虚像。而伽利略望远镜的目镜则是凹透镜，当它的物方焦平面（在右侧）与物镜的像方焦平面重合时，实像却成了虚物，经凹透镜折射成像于无穷远处。
由图中看出伽利略望远镜观察到的像是正立的，可用于观察地面物体，而开普勒望远镜观察到的像是倒立的，只适合作为天文望远镜。从图中的几何关系还可看出两种望远镜的视角放大率均为：

还有一类望远镜的物镜是凹面镜，称为反射式望远镜。大型的天文望远镜都是反射式望远镜。
例题
例1、如图1-5-16。AB为一线状物体，为此物经透镜所成的像。试用作图法确定此镜的位置和焦距，写出作图步骤。
分析: 像是倒像，所以透镜应是凸透镜。物AB和像不平行，所以物相对于透镜的主轴是斜放的，沿物体AB和其像所引出的延长线的交点必在过光心且垂直于主轴的平面上，这条特殊光线是解答本题的关键光线。
解: 作和的连线，两条连线的交点O就是凸透镜光心的位置。作AB和的延长线交于C点，C点必定落在透镜上。由C、O两点可画出透镜的位置，过O点且与 CO垂直的连线MN就是透镜的主光轴，如图1-5-17所示。过A点作平行于主光轴的直线交透镜于D点，连接，该连线与主光轴的交点F就是透镜的右焦点位置。过作平行于主光轴的直线交透镜于E点，连线EA与主光轴的交点就是透镜左焦点的位置所在。
点评 熟练掌握凸透镜、凹透镜的成像特点和规律，并能灵活运用特
殊光线来作图是解决这一类作图题的关键。
例2、如图1-5-18，MN是凸透镜主光轴，O为光心，F为焦点，图中所画两条光线为点光源S经凸透镜折射的两条光线。用作图法确定光源S与像点的位置。
分析: 经凸透镜折射后的两条出射光线它们看上去是由像点发出来的，所以两条出射光线的反向延长线的交点就是像点的所在位置。由于物点发出的过光心的光线不改变方向，由此可以确定物点S落在直线上，与凸透镜右焦点F的连线交凸透镜于P点，由于物点发出的平行于主光轴的光线经凸透镜折射后过F焦点，所以过P点作与主光轴MN的平行线与相交处就是物点S所在位置。如图1-5-19所示。
解: 反向延长两条出射光线，它们的交点就是像点，分别作和O的连线，和F的连线且与凸透镜交于P，过P点作与MN的平行线PS与交于S，S就是物点所在位置。
点评 正确理解像的物理意义，物与像之间的关系，才能顺利解答这类作图题。
例3、在斯涅耳的档案中有一张光学图（见1-5-20），由于墨水褪色只留下三个点；一个薄透镜的焦点F，光源S和透镜上的一点L。此外还留下一部分从光源S画到其像的直线a。从正文中知道S点比点更靠近透镜，有可能恢复这张图吗？如果可能，把它画出来，并确定图中透镜的焦距。
解: 1、令O为透镜的光学中心；
2、F和O点应位于垂直于透镜的光轴上，因此是直角；
3、连接光源及其像的直线总是通过透镜的光学中心；
4、连接F，L点并以线段FL的中点C为圆心，画一通过F及L点的圆；
5、由于一个圆的直径所对着的圆周角总是直角，可以判定O点位于圆和直线a的交点上；
6、从圆中找到O点的两个可能的位置（和）；
7、恢复出两种可能的示意图，如图1-5-21所示；
8、由于光源S比其像更靠近透镜，可以断定只有透镜符合题意。实际上，对透镜可以看到S到的距离大于二倍焦距，因此到的距离小于二倍焦距。
例4、焦距均为f的二凸透镜、与两个圆形平面反射镜、放置如图1-5-22。二透镜共轴，透镜的主轴与二平面镜垂直，并通过二平面镜的中心，四镜的直径相同，在主轴上有一点光源O。
1、画出由光源向右的一条光线OA（如图1-5-22所示）在此光学系统中的光路。
2、分别说出由光源向右发出的光线和向左发出的光线各在哪些位置（O点除外）形成光源O的能看到的像，哪些是实像？哪些是虚像。
3、现在用不透明板把和的下半部（包括透镜中心）都遮住，说出这些像有什么变化。
?
解: 1、光线OA的第一次往返光路如图1-5-23所示。当光线由图中左方返回经O点后，将继续向右下方进行，作第二次往返。第二次往返的光路在图中未画出，可按图中光路对称于主轴画出。以后，光线重复以上两种往返光路。
2、向右发出的光线：处成实像，右方无限远处成虚像；处成实像；P处（左方处主轴上）成虚像。
向左发出的光线：处成实像；左方无限远处成虚像；处成实像；Q处（右方处主轴上）成虚像。
3、向右发出的光线只在处成实像。向左发出的光线只在处成实像。两像均比未遮住时暗。
例5、一平凸透镜焦距为f，其平面上镀了银,现在其凸面一侧距它2f处，垂直于主轴放置一高为H的物，其下端在透镜的主轴上（图1-5-24）。
（1）用作图法画出物经镀银透镜所成的像，并标明该像是虚、是实。
（2）用计算法求出此像的位置和大小。
分析: 这道题实质是一个凸透镜与一紧密接合的平面镜的组合成像问题。虽然我们画不出光线经透镜折射后射向平面镜的光路，但光路仍然遵守凸透镜与平面镜成像规律，这是我们在具体分析光路时必须牢牢抓住的一点。成像的计算也是遵守凸透镜与平面镜的成像计算方法的。
解: （1）用作图法求得物AP的像及所用各条光线的光路如图1-5-25所示。
说明：平凸透镜平面上镀银后构成一个由会聚透镜L和与它密接的平面镜M组合LM，如图1-5-25所示。图中O为L的光心，为主轴，F和为L的两个焦点，AP为物。作图时利用了下列三条特征光线：
①由P射向O的入射光线，它通过O后方向不变，沿原方向射向平面镜M，然后被M反射，反射光线与主光轴的夹角等于入射角，均为α。反射线射入透镜时通过光心O，故由透镜射出时方向与上述反射线相同，即图中的。
②由P发出且通过L左方焦点F的入射光线PFR，它经过L折射后的出射线与主轴平行，垂直射向平面镜M，然后被M反射，反射光线平行于L的主轴，并向左射入L，经L折射后的出射线通过焦点F，即为图个中RFP。
③由P发出的平行于主轴的入射光线PQ，它经过L折射后的出射线将射向L的焦点，即沿图中的方向射向平面镜，然后被M反射，反射线指向与对称的F点，即沿QF方向。此反射线经L折射后的出射线可用下法画出：通过O作平行于QF辅助线，通过光心，其方向保持不变，与焦面相交于T点。由于入射平行光线经透镜后相交于焦面上的同一点，故QF经L折射后的出射线也通过T点，图中的QT即为QF经L折射后的出射光线。
上列三条出射光线的交点即为LM组合所成的P点的像，对应的即A的像点。由图可判明，像是倒立实像，只要采取此三条光线中任意两条即可得，即为正确的答案。
（2）按陆续成像计算物AP经LM组合所成像的位置、大小。
物AP经透镜L成的像为第一像，取，由成像公式可得像距，即像在平面镜后距离2f处，像的大小与原物相同，。
第一像作为物经反射镜M成的像为第二像。第一像在反射镜M后2f处，对M来说是虚物，成实像于M前2f处。像的大小也与原物相同，。
第二像作为物，再经透镜L而成的像为第三像。这是因为光线由L右方入射。且物（第二像）位于L左方，故为虚物，取物距，由透镜公式可得像距

上述结果表明，第三像，即本题所求的像的位置在透镜左方距离处，像的大小可由求得，即

像高为物高的 。
例6、如图1-5-26所示，凸透镜焦距f=15cm，OC=25cm，以C为圆心、r=5cm为半径的发光圆环与主轴共面。试求出该圆环通过透镜折射后所成的像。
分析: 先考虑发光圆环上任意一点P经透镜所成之像，当P点绕圆环一周时，对应的像点的集合就构成整个发光圆环通过透镜所成的像。因此可用解析几何的方法讨论本题。
解: 如图1-5-27所示，以O点为直角坐标系原点建立坐标系xOy和。考虑发光圆环上任一点P（x，y），则有
①
发光点P（x，y）的像为，根据透镜成像公式及放大率关系可有
②
③
联立②、③式解得
④
⑤
将④、⑤式代入①式中并整理得
⑥
⑥式即为所需求的圆环之像。这是一个对称中心位于光心45cm处，以主光轴为长轴的椭圆。
讨论 如果把发光圆环用一球壳取代，则根据对称性，球壳的像是以圆环的像绕主轴旋转一周行成的一椭圆。
点评 曲线形线状物通过透镜所成的像也是一定曲线状，至于是什么样的曲线，要视具体情况而定。例如本题中的发光圆环所成的像变为一椭圆环就是一例。本题的关键是要建立恰当的物方和像方坐标系来球解问题。
例7、求厚透镜对两个不同波长有同一焦距的条件。并且不同类型的透镜，讨论可行性。
解: 我们必须知道厚透镜的性质。厚透镜由下述数据表征；球形表面的半径和，厚度d和折射n（图1-5-28），焦距f=BF由下式给出

焦距是从主点B算起的。B离表面的距离为

上述公式对任意厚度的厚透镜都成立，但只对近轴光线才给满意结果，因为是在一定的近似下得到的。
光被透镜色散。透镜对波长的折射率是，对波长的折射率是。按折射率n的幂次整理焦距公式，得
这是一个二次方程。给定一个f值，应有两个n值，因此，我们的问题可以解决。
先后以和代入方程，并令其相等

整理后得到

如果半径与厚度d满足这一条件，则对两个不同的波长，即对两不同的折射率来说，焦距是相同的。有趣的是折射率的乘积在起作用，而不是色散（）。因折射率大于1，于是括号内的数值小于1，说明半径之和小于镜厚。这意味着透镜将是相当厚的。
结果讨论：首先，透镜不可以是平凸或平凹的，因为这种透镜有无限大的半径。其次，和之一为负的发散透镜是许可的，但不能是双凹透镜。
如果要求的不是f而是（f-h）对两个折射率有相同的值。实现这一点也是可能的，但却是一个复杂得多的问题。
例7、照相机镜头L前2.28m处的物体被清晰地成像在镜头后面12.0cm处的最相胶片P上，两面平行的玻璃平板插入镜头与胶片之间，与光轴垂直，位置如图1-3-29所示。设照相机镜头可看作一个简单薄凸透镜，光线为近轴光线。
1、求插入玻璃板后，像的新位置。
2、如果保持镜头、玻璃板、胶片三者间距离不变，若要求物体仍然清晰地成像于胶片上，则物体应放在何处？
解: 解法1
1、折射率为n，厚度为d 两面平行的玻璃板，对于会聚在像点的傍轴光束的折射作用可如下方法求出：如图1-3-30，取任一指向点的傍轴光线C，此光线经平行玻璃板折射的光路为CDE，在平板第一面的入射角i与折射角r均为小角度，反向延长E交D点处的法线于F，容易看出，DE为平行四边形，则

平行板厚度d为

得
因为i与r都很小，所以

故得

以上结果对任何会聚于点的傍轴光线均成立，所以向轴上点会聚的傍轴光束经平行玻璃板折射后会聚于轴上点。在这种情形下，平行玻璃板的作用是使像点向远离平板方向移动距离，由题给数据得

故像成在镜头后面12.0+0.3=12.3（cm）处。
2、设照像机镜头焦距为f， 不放玻璃板时有
1/228+1/2=1/f，
可得 f=11.4cm。
插入玻璃板时，若要像仍成在离镜头12cm处的胶片上，应改变物距使不放玻璃板时成像在镜头后面v处，即
v=12.0-0.3=11.7(cm)。
设这时物距为u，则
1/u+1/11.7=1/11.4，
得 u≈4.45m。
即：物体置于镜头前4.45m时，插入玻璃板后，仍可在胶片上得到清晰的像。
解法2
1、对于玻璃板第一面上的折射，其物距为
，，
根据公式 （见图1-5-31）
可得
对于玻璃板第二面上的折射，（见图1-3-32）
其物距为

又根据
可得

故像成在镜头后面的像距为

比原像向后移动△v，即

2、设照像机镜头焦距为f，不插入玻璃板时，
1/f=1/228+1/12，
得 f=11.4cm。
要使放上玻璃板后，像还成在离镜头12cm处的胶片上，可采用个光路可逆性原理从已知像的位置，求此物体应在的位置。
对于玻璃板第二面上的折射：
已知：像距，，，设与之相应的物为，则可得

对于玻璃板第一面上的折射：
已知：像距，，，设与之相应的物为P，则可得


对于凸透镜，像距为v=8.6+3.1=11.7(cm) ，则此时物距为u，则有
1/u+1/11.7=1/11.4，
u=4.45m。
即物体应放在照相机镜头前4.45m处，才能在胶片上得到清晰的像。
?
例8、有两个焦距分别为和的凸透镜。如果把这两个透镜做适当的配置，则可使一垂直于光轴的小物体在原位置成一等大、倒立的像，如图1-5-33所示。试求出满足上述要求的配置方案中各透镜的位置。
分析: 首先，我们应根据题目给出的条件，分析得出物经透镜、所成像的虚、实与大小，从而得出光学系统的配置关系；然后再运用透镜成像公式求出光学系统中物、、位置的具体距离与、的数量关系。
解: 设光线由左向右，先后经过两个凸透镜而成像于题目所要求的位置。反回去考虑，光线经过第2个透镜后将继续向右传播，所以最后成的像必为虚像才能满足题设要求。由此判定，作为透镜2的“物”必在其左侧，物距小于透镜2的焦距，并且是倒立的。再考虑到透镜2的“物”应该是透镜1对给定的傍轴物体所成的像（中间像），它只能是给定物的倒立实像，必然成像在透镜1的右侧。（由于最后的像与原物同样大小，还可以肯定中间像一定是缩小的。）以上分析表明，光线系统的配置如图1-5-28所示。
根据图上标明的两透镜位置和物距、像距，有
①
因最后像为虚像，则
②
又因物、像大小相等，则
③
由③得

代入①②并经过化简可得
，
因题图中要求，故必须。由以上分析可知，要取焦距较小的透镜（即如，取透镜a，反则反之）作透镜，放在物右方距离u处，而把焦距较大的透镜作为透镜放在透镜右方距离d处，就得到题所要求的配置方案。
例9、焦距为20cm的薄凸透镜和焦距为18cm的薄凹透镜，应如何放置，才能使平行光通过组合透镜后成为
1、平行光束；2、会聚光束；3、发散光束；（所有可能的情况均绘图表示）。
解: 设凸透镜主焦点为；凹透镜主焦点为。
1、平行光束
（1）凸透镜在前时，d=2cm，d为两透镜间距离（见图1-5-34）。
（2）凹透镜在前时，d=2cm，根据光路可逆性原理，这相当于把前面的系统反过来。
2、会聚光束。
（1）?凸透镜在前时，20cm＞d＞2cm（图1-5-35）。
（2）??凹透镜在前时d＞2cm（图1-5-36）。
3、发散光束
（1）凸透镜在前时，d＞2cm（图1-5-37）
（2）凸透镜在前时，20cm＞d＞2cm（图1-5-38）
凹透镜在前时，20cm＞d＞2cm（图1-5-39）
10、焦距f的数值均相同的三个薄透镜、与 ，依次为凸透镜、凹透镜与凸透镜，它们构成一个共轴光学系统，相邻透镜间的距离均为d，各透镜的光心分别为，如图1-5-40所示，在透镜左方，位于主光轴上的物点P，经过此光学系统最终成像于透镜右方的Q点 若距离，则物点P与透镜的距离应为多少？
分析: 此题按陆续成像考虑，一个一个透镜做下去也能得出⑥式的解，但列式子时容易出错，不如考虑对称性的解法，有清晰的物理图像，求解主动。
此题的⑦式的解也以用“P经成像”的思路解出最为简明，但能这样想必须以“透镜成像时，若物距为零则像距也为零”作为已知结论才行。
解:（1）该系统对凹透镜而言是一左右对称的光学系统。依题意，物点P与像点Q处于对称的位置上，即对凹透镜而言，物点及经它成像后的像点应分居的两侧，且物距与像距相等。即
1
代入凹透镜的物像公式
2
解得 3
物距与像距均为负值表明：物点P经透镜成像后，作为凹透镜的物点位于它的右侧，因而是虚物，经凹透镜成像于它的左侧，为一虚像，虚像点与虚像点的凹透镜位于对称位置（图1-5-41）
4
代入凸透镜的物像公式
5
解出

（2）由②式，凹透镜的像距可表示为

当物点由右向左逐渐趋近于时，即物距由负值逐渐增大而趋于零时，像距亦由负值逐渐增大趋于零，即像点由左向右亦趋近于。即时，当时，，即对凸透镜而言，像距，参见图1-5-42，代入⑤式

解得：
7
此结果表明，当物点P经过透镜后恰成像于透镜的光心上，由系统的对称性，可知经透镜后，将成像于对称点Q。像距数值为

由此可知⑥式与⑦式均为所求的解，但对⑦式的结果，透镜间距d必须满足条件
8
这也可以从另一角度来考虑，当P通过成像正好在的光心处时，它经过的像仍在原处，即。这样也可得到上面的结果。
例11、一束平行光沿薄平凸透镜的主光轴入射，经透镜折射后，会聚于透镜后f=48cm处，透镜的折射率n=1.5。若将此透镜的凸面镀银，物置于平面前12cm处，求最后所成像的位置。
分析:平凸透镜的凸面镀银后将成为凹面镜，我们可根据平凸透镜平行光汇聚的几何关系求出凸球面的曲率半径R，即求出凹面镜的焦距，根据平面折射成像及凹面镜成像的规律可进一步求出最后所成像的位置。
解:（1）先求凸球面的曲率求径R。平行于主光轴的光线与平面垂直，不发生折射，它在球面上发生折射，交主光轴于F点，如图1-5-43所示，C点为球面的球心，，由正弦定理可得
1
由折射定律知
2
当i、r很小时，，，由以上两式得
3
所以 4
（2）凸面镀银后将成为半径R的凹面镜，如图1-5-44所示令P表示物所在的位置，P点经平面折射成像于，根据折射定律可推出
5
由于这是一个薄透镜，与凹面镜的距离可认为等于，设反射后成像于，则由球面镜成像公式可得
6
因此可解得，可知位于平面的左方，对平面折射来说，是一个虚物，经平面折射后，成实像于点。
7
8
最后所成实像在透镜左方24cm处。
例12、在很高的圆柱形容器的上口平放一个焦距为90mm的凸透镜，在透镜下方中轴线上距透镜100mm处平放一个圆面形光源（如图1-5-45）
1、光源产生一个半径为45mm的实像，求此实像的位置。
2、若往容器中注水，水面高于光源10mm，求此像的位置。
3、继续注水，注满容器但又恰好不碰上透镜。求此时像的大小。
解:1、设u,v,f分别为物距、像距和焦距，由成像公式

得

代入u=100mm,f=90mm，得

又从放大率公式知光源的半径b为

2、注入水后，当水面高于光源h(mm)时，由于水面的折射作用，使光源等效于上浮一段距离，等效光源在距水面处。设i,r分别为入射角和折射角，则，（图1-5-46），对近轴光线

故原来的物距u在注入水后变成等效物距

于是像距为

本小题中，h=100mm,u=100mm，故得

实像在透镜上方1170mm处。
3、当水注满而又恰好不碰上透镜时，仍可用上面的公式，但此时h=100mm，
等效光源已在焦距之内，此时像的半径为

此时所成像是一半径为30mm的正立虚像，位于透镜下方。
例13、有一个由单个凸透镜构成的焦距为12cm，暗箱的最大伸长为20cm的照相机，要用这个照相机拍摄距镜头15cm处的物体，需要在镜头上附加焦距为多少的一个薄透镜，使暗箱最大伸长时，像能清晰地呈现在底片上？（假设两个薄透镜紧贴着，其间距离可以忽略不计）
分析：这是一个组合透镜成像的问题，可以从两个不同角度来考虑求解。（1）依照成像先后顺序，物体经前一个透镜成的像视为后一透镜成像之物，重复运用透镜成像公式来求解；（2）把组合透镜视为一个透镜整体来处理，再根据组合透镜的总焦距与各分透镜之间的关系式来求解。
解法一：将附加薄透镜加在镜头的前面，照相机镜头焦距为12cm，暗箱最大伸长为20cm，设它能拍摄的物体的最近距离为u。
以f=12cm,v=20cm代入透镜成像公式，可以求得u。


设附加镜头的焦距为，它的作用是使距镜头15cm的物体成像在30cm处。
以u=15cm,v=-30cm代入透镜成像公式，可以求得。


所以，是凸透镜，光路图如图1-5-47所示。
图1-5-47（a）表示附加薄透镜的作用是将距镜头15cm的物体在30cm处造成的虚像。图1-5-47（b）表示以为物，经主透镜成像于镜后20cm处底板上成实像。图1-5-47（c）表示附加透镜加在主透镜的前面，距透镜15cm的物体AB，其所发的光线经附加透镜和主透镜折射后在另一侧20cm处得一实像。
解法二：将附加薄透镜加在镜头后面。
无附加透镜时，物距u=15cm,焦距f=12cm，像距为v。
由
得
设附加镜头的焦距为，上述像即附加透镜中的虚物，此时物距为，像距为。
由
得
光路图如图1-5-48所示。
图1-5-48（a）表示距主透镜15cm的物体，在主透镜另一侧成一距透镜60cm的实像。图1-5-48（b）表示附加透镜附于主透镜之后，光线①因通过光心方向不变，由物体射出之光线，经主透镜折射后其中的光线②再经附加透镜的折射，改变方向为光线③因而成像于处。图1-5-48（c）表示距透镜15cm的物体，经主透镜、附加透镜折射后成像于另一侧20cm处。
解法三：照相机镜头焦距f=12cm，附加薄凸透镜焦距为,相当于一个焦距为F的凸透镜，且有

因为
，

所以
把求得的F值代入①式
有

则即为所求附加薄透镜焦距。
点评：透镜与透镜、透镜与平面镜、棱镜、球面镜等一个或多个光学元件构成一个光学系统的成像问题是一类典型的问题，对于这类问题，一方面要注意不同的光学元件各自的成像规律，另一方面要注意成像的先后顺序以及像与物的相对性。即前一光学元件的像视为后一光学元件之物。
例14、长度为4mm的物体AB由图1-5-49所示的光学系统成像，光学系统由一个直角棱镜、一个会聚透镜和一个发散透镜组成，各有关参数和几何尺寸均示于图中。求：
1、像的位置；
2、像的大小，并作图说明是实像还是虚像，是正立还是倒立的。
解: 解法1
1、分析和等效处理
根据棱镜玻璃的折射率，棱镜斜面上的全反射临界角为

注意到物长为 4mm，由光路可估算，进入棱镜的近轴光线在斜面上的入射角大多在45o左右，大于临界角，发生全反射，所以对这些光线而言，棱镜斜面可看成是反射镜，本题光路可按反射镜成像的考虑方法，把光路“拉直”，如图4-3-34的示。
现在，问题转化为正立物体经过一块垂直于光轴、厚度为6cm的平玻璃板及其后的会聚透镜、发散透镜成像的问题。
2、求像的位置
厚平玻璃板将使的近轴光线产生一个向右侧移动一定距离的像，它成为光学系统后面部分光路的物，故可称为侧移的物。利用沿光轴的光线和与光轴成角的光线来讨论就可求出这个移动的距离。
设轴上物点为B，由于厚度平玻璃板的作用而形成的像点（即侧像的物点）为（图1-5-51）。画出厚平玻璃板对光线的折射，由图可知

而
所以
当为小角度时

故得

这也就是物AB与它通过厚平玻璃板所成的像之间的距离。
这个像对透镜来说就是物，而物距

可见，物证好在 的左方焦平面上，像距即为
再考虑透镜，这是平行光线入射情况
所以必成像于这个发散透镜左侧焦平面上（虚像）。

整个光路的最后成像位置就是在 的左侧10cm处。
3、求像的大小和虚、实、正、倒情况
可用作图法求解，如图1-5-52所示（为了图示清楚，图中把物高加大了）。
连接并延长，便得到发自的光线经后的平行光线的方向。过的光心作的平行线，它与交于C点，则即为从出发经过折射又通过光心的光线。反向延长与左侧焦面的交点就是由经所成的像点。令左侧焦面与光轴的焦点为，就是的像。这是一个正立的虚像。由图可得

而 与AB等高，所以像的大小为

解法2
关于物体经棱镜（折射、反射、再折射）后，所成像的位置及大小可采用视深法处理。
如图1-5-53所示，AB发出的与PQ面近乎垂直的小光束经PQ面折射后成像于这是视深问题，与PQ面的距离均为A，B与PQ面的距离的n倍，即
，（像与物的大不相同）
经PQ面的折射成像于，大小不变，且

经PQ面的折射成像于，大小不变，且




由此即可求出这个像作为透镜的物距。其它部分的求解同解法1。
例15、在焦距为20.00cm的薄凸透镜的主轴上离透镜中心30.00cm处有一小发光点S，一个厚度可以忽略的光楔C（顶角很小的三棱镜）放在发光点与透镜之间，垂直于轴，与透镜的距离为2.00cm，如图1-5-54所示，设光楔的折射率n=1.5，楔角=0.028弧度。在透镜另一侧离透镜中心46.25cm处放一平面镜M，其反射面向着透镜并垂直于主轴。问最后形成的发光点的像相对发光点的位置在何处（只讨论近轴光线，小角度近似适用。在分析计算过程中应作出必要的光路图）？
分析:这是一个光具成像问题，厚度可忽略的光楔在成像过程中的作用相当于一使光线产生偏折的薄平板，平面镜使光线反射后再次经凸透镜成像，在这一过程中，我们再根据折射定律、透镜成像公式及有关数学近似进行一系列计算，就可得出最后结果。
解:共有五次成像过程。
（1）光楔使入射光线偏折，其偏向角（出射光线与入射光线方向的夹角）用表示，由图1-5-55可知
，，
对近轴光线，很小，有；
因也很小，同样有

故有

代入数值，得

因与入射角大小无关，各成像光线经光楔后都偏折同样角度。又因光楔厚度可忽略，所以作光路图时可画成一使光线产生偏折角的薄平板，图1-5-56。
光点S经光楔成一虚像点。对近轴光线，在S正上方，到S的距离为h，离光楔距离。

代入数据，得

（2）为透镜L的实物，像点的位置可由下式求出

以u=30.00cm,f=20.00cm代入，得

将视为与光轴垂直的小物，由透镜的放大率公式

可求得
即像点在光轴下方与光轴的距离为0.78cm，与透镜的中心距离为60.00cm处，图1-5-57。
（3）在平面镜之后，对平面镜是虚物，经平面镜成像，像点与对称于平面镜（图1-5-57）

（4）作为透镜的实物，经透镜折射后再次成像，设像点，及与L的距离分别为和，则
，
在透镜左侧，主轴上方，图1-5-58。

（5）第二次经透镜折射后成像的光线还要经光楔偏折，再次成像，像点在正下方，离光楔距离为50cm，离光轴的距离为（见图1-5-58）。

像点在光轴上的垂足与S的距离为

即最后的像点在发光点S左侧光轴上方，到光轴的距离为0.55cm，其在光轴上的垂足到S的距离为22.00cm。


力、物体的平衡
§1.1常见的力
1、1、1力的概念和量度
惯性定律指出，一个物体，如果没有受到其他物体作用，它就保持其相对于惯性参照系的速度不变，也就是说，如果物体相对于惯性参照系的速度有所改变，必是由于受到其他物体对它的作用，在力学中将这种作用称为力。凡是讲到一个力的时候，应当说清楚讲到的是哪一物体施了哪一个物体的力。
一个物体，受到了另一物体施于它的力，则它相对于惯性参照系的速度就要变化，或者说，它获得相对于惯性参照系的加速度，很自然以它作用于一定的物体所引起的加速度作为力的大小的量度。实际进行力的量度的时候，用弹簧秤来测量。
重力 由于地球的吸引而使物体受到的力，方向竖直向下，在地面附近，可近似认为重力不变（重力实际是地球对物体引力的一个分力，随纬度和距地面的高度而变化）
弹力 物体发生弹性变形后，其内部原子相对位置改变，而对外部产生的宏观反作用力。反映固体材料弹性性质的胡克定律，建立了胁强（应力）与胁变（应变）之间的正比例关系，如图所示

式中E为杨氏弹性模量，它表示将弹性杆拉长一倍时，横截面上所需的应力。
弹力的大小取决于变形的程度，弹簧的弹力，遵循胡克定律，在弹性限度内，弹簧弹力的大小与形变量（伸长或压缩量）成正比。
F=-kx
式中x表示形变量；负号表示弹力的方向与形变的方向相反；k为劲度系数，由弹簧的材料，接触反力和几何尺寸决定。
接触反力 —限制物体某些位移或运动的周围其它物体在接触处对物体的反作用力（以下简称反力）。这种反力实质上是一种弹性力，常见如下几类：
1、柔索类（图1-1-2）如绳索、皮带、链条等，其张力
一般不计柔索的弹性，认为是不可伸长的。滑轮组中，若不计摩擦与滑轮质量，同一根绳内的张力处处相等。
2、光滑面（图1-1-3）接触处的切平面方位不受力，其法向支承力
3、光滑铰链
物体局部接触处仍属于光滑面，但由于接触位置难于事先确定，这类接触反力的方位，除了某些情况能由平衡条件定出外，一般按坐标分量形式设定。
（1）圆柱形铰链（图1-1-4,图1-1-5，图1-1-6）由两个圆孔和一个圆柱销组成。在孔的轴线方向不承受作用力，其分力

图中AC杆受力如图，支座B处为可动铰，水平方向不受约束，反力如图。
（2）球形铰链（图1-1-7,图1-1-8）由一个球碗和一个球头组成，其反力可分解为
4、固定端（图1-1-9，图1-1-10）
如插入墙内的杆端，它除限制杆端移动外，还限制转动，需增添一个反力偶。
摩擦力 物体与物体接触时，在接触面上有一种阻止它们相对滑动的作用力称为摩擦力。
不仅固体与固体的接触面上有摩擦，固体与液体的接触面或固体与气体的接触面上也有摩擦，我们主要讨论固体与固体间的摩擦。
1．1．2、摩擦分为静摩擦和滑动摩擦
当两个相互接触的物体之间存在相对滑动的趋势（就是说：假如它们之间的接触是“光滑的”，将发生相对滑动）时，产生的摩擦力为静摩擦力，其方向与接触面上相对运动趋势的指向相反，大小视具体情况而定，由平衡条件或从动力学的运动方程解算出来，最大静摩擦力为
式中称为静摩擦因数，它取决于接触面的材料与接触面的状况等，N为两物体间的正压力。
当两个相互接触的物体之间有相对滑动时，产生的摩擦力为滑动摩擦力。滑动摩擦力的方向与相对运动的方向相反,其大小与两物体间的正压力成正比。
为滑动摩擦因数，取决于接触面的材料与接触面的表面状况，在通常的相对速度范围内，可看作常量，在通常情况下，可不加区别，两物体维持相对静止的动力学条件为静摩擦力的绝对值满足
在接触物的材料和表面粗糙程度相同的条件下，静摩擦因数略大于动摩擦因数。
摩擦角 令静摩擦因数等于某一角的正切值，即，这个角就称为摩擦角。在临界摩擦（将要发生滑动状态下）,。支承面作用于物体的沿法线方向的弹力N与最大静摩擦力的合力F（简称全反力）与接触面法线方向的夹角等于摩擦角，如图1-1-11所示（图中未画其他力）。在一般情况下，静摩擦力未达到最大值，即
因此接触面反作用于物体的全反力的作用线与面法线的夹角，不会大于摩擦角，即。物体不会滑动。由此可知，运用摩擦角可判断物体是否产生滑动的条件。如图1-1-12放在平面上的物体A，用力F去推它，设摩擦角为，推力F与法线夹角为，当时，无论F多大，也不可能推动物块A，只有时，才可能推动A。
摩擦力作用的时间 因为只有当两个物体之间有相对运动或相对运动趋势时，才有摩擦力，所以要注意摩擦力作用的时间。如一个小球竖直落下与一块在水平方向上运动的木块碰撞后，向斜上方弹出，假设碰撞时间为，但可能小球不需要时间，在水平方向上便已具有了与木块相同的速度，则在剩下的时间内小球和木块尽管还是接触的，但互相已没有摩擦力。
如图1-1-14，小木块和水平地面之间的动摩擦因数为，用一个与水平方向成多大角度的力F拉着木块匀速直线运动最省力？
将摩擦力和地面对木块的弹力N合成一个力，摩擦角为
，这样木块受三个力：重力G，桌面对木块的作用力和拉力F，如图1-1-14，作出力的三角形，很容易看出当F垂直于最小，即有F与水平方向成时最小。
例1、????? 如图1-1-15所示皮带速度为，物A在皮带上以速度垂直朝皮带边运动，试求物A所受摩擦力的方向。
解：物A相对地运动速度为，滑动摩擦力f与方向相反如图所示。
例2、物体所受全反力R与法向的夹角的情形可能出现吗？
解：不可能。因为若有则即。，这是不可能的。然而在要判断一个受摩擦物体是否静止时，可事先假定它静止，由平衡求出,有如下三种情形：
?
§1.2力的合成与分解
1．2．1、力的合成遵循平行四边形法则
即力的合力即此二力构成的平行四边形的对角线所表示的力F，如图1-2-1(a)根据此法则可衍化出三角形法则。即：将通过平移使其首尾相接，则由起点指向末端的力F即的合力。（如图1-2-1(b)）
如果有多个共点力求合力，可在三角形法则的基础上，演化为多边形法则。如图1-2-2所示，a图为有四个力共点O，b图表示四个力矢首尾相接，从力的作用点O连接力力矢末端的有向线段就表示它们的合力。而(c)图表示五个共点力组成的多边形是闭合的，即力矢的起步与力矢的终点重合，这表示它们的合力为零。
力的分解是力的合成的逆运算，也遵循力的平行四边形法则，一般而言，一个力分解为两力有多解答，为得确定解还有附加条件，通常有以下
三种情况：
①已知合力和它两分力方向，求这两分力大小。这有确定的一组解答。
②已知合力和它的一个分力，求另一个分力。这也有确定的确答。
③已知合力和其中一个分力大小及另一个分力方向，求第一个合力方向和第二分力大小，其解答可能有三种情况：一解、两解和无解。
1．2．2、平面共点力系合成的解析法
如图1-2-3，将平面共点力及其合力构成力的多边形abcde，并在该平面取直角坐标系Oxy，作出各力在两坐标轴上的投影，从图上可见：
上式说明，合力在任意一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和，这也称为合力投影定理。知道了合力R 的两个投影和，就难求出合力的大小与方向了。合力R的大小为：
合力的方向可用合力R与x轴所夹的角的正切值来确定：
1．2．3、平行力的合成与分解
作用在一个物体上的几个力的作用线平行，且不作用于同一点，称为平行力系。如图1-2-4如果力的方向又相同，则称为同向平行力。
两个同向平行力的合力（R）的大小等于两分力大小之和，合力作用线与分力平行，合力方向与两分力方向相同，合力作用点在两分力作用点的连线上，合力作用点到分力作用点的距离与分力的大小成反比，如图1-2-4(a)，有：
两个反向平行力的合力（R）的大小等于两分力大小之差，合力作用线仍与合力平行，合力方向与较大的分力方向相同，合力的作用点在两分力作用点连线的延长线上，在较大力的外侧，它到两分力作用点的距离与两分力大小成反比，如图1-2-4(b)，有：
1．2．4、空间中力的投影与分解
力在某轴上的投影定义为力的大小乘以力与该轴正向间夹角的余弦，如图1-2-5中的力在ox、oy、oz轴上的投影X、Y、Z分别定义为
这就是直接投影法所得结果，也可如图1-2-6所示采用二次投影法。这时
式中为在oxy平面上的投影矢量，而
力沿直角坐标轴的分解式
§1.3共点力作用下物体的平衡
1．3．1、共点力作用下物体的平衡条件
几个力如果都作用在物体的同一点，或者它们的作用线相交于同一点，这几个力叫作共点力。当物体可视为质点时，作用在其上的力都可视为共点力。当物体不能视为质点时，作用于其上的力是否可视为共点力要看具体情况而定。
物体的平衡包括静平衡与动平衡，具体是指物体处于静止、匀速直线运动和匀速转动这三种平衡状态。
共点力作用下物体的平衡条件是；物体所受到的力的合力为零。
或其分量式：
如果在三个或三个以上的共点力作用下物体处于平衡，用力的图示表示，则这些力必组成首尾相接的闭合力矢三角形或多边形；力系中的任一个力必与其余所有力的合力平衡；如果物体只在两个力作用下平衡，则此二力必大小相等、方向相反、且在同一条直线上，我们常称为一对平衡力；如果物体在三个力作用下平衡，则此三力一定共点、一定在同一个平面内，如图1-3-1所示，且满足下式（拉密定理）：
1．3．2、推论
物体在n(n≥3)个外力作用下处于平衡状态，若其中有n-1个力为共点力，即它们的作用线交于O点，则最后一个外力的作用线也必过O点，整个外力组必为共点力。这是因为n-1个外力构成的力组为共点（O点）力，这n-1个的合力必过O点，最后一个外力与这n-1个外力的合力平衡，其作用线必过O点。
特例，物体在作用线共面的三个非平行力作用下处于平衡状态时，这三个力的作用线必相交于一点且一定共面。
§1.4 固定转动轴物体的平衡
1．4．1、力矩
力的三要素是大小、方向和作用点。由作用点和力的方向所确定的射线称为力的作用线。力作用于物体，常能使物体发生转动，这时外力的作用效果不仅取决于外力的大小和方向，而且取决于外力作用线与轴的距离——力臂(d)。
力与力臂的乘积称为力矩，记为M，则M=Fd，如图1-4-1，O为垂直于纸面的固定轴，力F在纸面内。
力矩是改变物体转动状态的原因。力的作用线与轴平行时，此力对物体绕该轴转动没有作用。若力F不在与轴垂直的平面内，可先将力分解为垂直于轴的分量F⊥和平行于轴的分量F∥，F∥对转动不起作用，这时力F的力矩为M=F⊥d。
通常规定 绕逆时方向转动的力矩为正。当物体受到多个力作用时，物体所受的总力矩等于各个力产生力矩的代数和。
1．4．2、力偶和力偶矩
一对大小相等、方向相反但不共线的力称为力偶。如图1-4-2中即为力偶，力偶不能合成为一个力，是一个基本力学量。对于与力偶所在平面垂直的任一轴，这一对力的力矩的代数和称为力偶矩，注意到，不难得到，M=Fd，式中d为两力间的距离。力偶矩与所相对的轴无关。
1．4．3、有固定转动轴物体的平衡
有固定转轴的物体，若处于平衡状态，作用于物体上各力的力矩的代数和为零。
?
§1.5 一般物体的平衡
力对物体的作用可以改变物体的运动状态，物体各部位所受力的合力对物体的平动有影响，合力矩对物体的转动有影响。如果两种影响都没有，就称物体处于平衡状态。因此，一般物体处于平衡时，要求物体所受合外力为零和合力矩为零同时满足，一般物体的平衡条件写成分量式为
分别为对x轴、y轴、z轴的力矩。
由空间一般力系的平衡方程，去掉由力系的几何性质能自动满足的平衡方程，容易导出各种特殊力系的独立平衡方程。
如平面力系（设在平面内），则自动满足，则独立的平衡方程为：
这一方程中的转轴可根据需要任意选取，一般原则是使尽量多的力的力臂为零。
平面汇交力系与平面平行力系的独立方程均为二个，空间汇交力系和空间平行力系的独立平衡方程均为三个。
§1.6 平衡的稳定性
1．6．1、重心
物体的重心即重力的作用点。在重力加速度为常矢量的区域，物体的重心是惟一的（我们讨论的都是这种情形），重心也就是物体各部分所受重力的合力的作用点，由于重力与质量成正比，重力合力的作用点即为质心，即重心与质心重合。
求重心，也就是求一组平行力的合力作用点。相距L，质量分别为的两个质点构成的质点组，其重心在两质点的连线上，且与相距分别为：


均匀规则形状的物体，其重心在它的几何中心，求一般物体的重心，常用的方法是将物体分割成若干个重心容易确定的部分后，再用求同向平行力合力的方法找出其重心。
物体重心（或质心）位置的求法
我们可以利用力矩和为零的平衡条件来求物体的重心位置。如图1-6-1由重量分别为的两均匀圆球和重量为的均匀杆连成的系统，设立如图坐标系，原点取在A球最左侧点，两球与杆的重心的坐标分别为，系统重心在P点，我们现在求其坐标x。设想在P处给一支持力R，令达到平衡时有：
∴
这样就得出了如图所示的系统的重心坐标。若有多个物体组成的系统，我们不难证明其重心位置为：
一般来说，物体的质心位置与重心位置重合，由上面公式很易得到质心位置公式：
如图1-6-2，有5个外形完全一样的均匀金属棒首尾相接焊在一起，从左至右其密度分别为ρ、⒈1ρ、⒈2ρ、⒈3ρ、⒈4ρ，设每根棒长均为，求其质心位置，若为n段，密度仍如上递增，质心位置又在什么地方？
解：设整个棒重心离最左端距离为x，则由求质心公式有
若为n段，按上式递推得：
将坐标原点移到第一段棒的重心上，则上式化为：
例、如图1-6-3所示，A、B原为两个相同的均质实心球，半径为R，重量为G，A、B球分别挖去半径为的小球，均质杆重量为，长度，试求系统的重心位置。
解：将挖去部份的重力，用等值、反向的力取代，图示系统可简化为图1-1-31所示平行力系；其中
。设重心位置为O，则合力
且即
OC=0.53R
1．6．2、物体平衡的种类
物体的平衡分为三类：
稳定平衡 处于平衡状态的物体，当受到外界的扰动而偏离平衡位置时，如果外力或外力矩促使物体回到原平衡位置，这样的平衡叫稳定平衡，处于稳定平衡的物体，偏离平衡位置时，重心一般是升高的。
不稳定平衡 处于平衡状态的物体，当受到外界的扰动而偏离平衡位置时，如果外力或外力矩促使物体偏离原来的平衡位置，这样的平衡叫不稳定平衡，处于不稳定平衡的物体，偏离平衡位置时，重心一般是降低的。
随遇平衡 处于平衡状态的物体，当受到外界扰动而偏离平衡位置时，物体受到的合外力或合力矩没有变化，这样的平衡叫随遇平衡，处于随遇平衡的物体，偏离平衡位置后，重心高度不变。
在平动方面，物体不同方面上可以处于不同的平衡状态，在转动方面，对不同方向的转轴可以处于不同的平衡状态。例如，一个位于光滑水平面上的直管底部的质点，受到平行于管轴方向的扰动时，处于随遇平衡状态；受到与轴垂直方向的扰动时，处于稳定平衡状态，一细棒，当它直立于水平桌面时，是不稳定平衡，当它平放在水平桌面时，是随遇平衡。
1．6．3、稳度
物体稳定的程度叫稳度，一般说来，使一个物体的平衡遭到破坏所需的能量越多，这个平衡的稳度就越高。稳度与重心的高度及支面的大小有关，重心越低，支面越大，稳度越大。
§1.7 流体静力学
流体并没有一定的开头可以自由流动，但具有一定的密度，一般认为理想流体具有不可压缩的特征。
1．7．1、 静止流体中的压强
(1)静止流体内部压强的特点
在静止流体内任何一点处都有压强，这一压强与方向无关仅与该点的深度有关；相连通的静止流体内部同一深度上各点的压强相等。
关于流体内部的压强与方向无关，可以证明如下：
在静止流体中的某点处任取一个长为的极小的直角三棱液柱，令其两侧面分别在竖直面内和水平面内，作其截面如图1-7-1所示，图中坐标轴x沿水平方向，坐标轴y沿竖直方向，以分别表示此液柱截面三角形的三条边长，且以表示此截面三角形的一个锐角如图1-7-1，又以,分别表示对应侧面上压强的大小，则各侧面所受压力的大小分别为：
由此液柱很小，则其重力将远小于它的一个侧面所受到的压力，故可忽略其重力的作用。则由此液柱的平衡条件知上述三力应互相平衡，乃有：
即
注意到，代入上式便得
说明在流体内部的同一点处向各个方向的压强是相等的。
(2)静止流体内部压强的大小
若静止流体表面处的压强为P。（通常即为与该流体表面相接触的气体的压强），流体的密度为，则此流体表面下深度为h处的压强为
由上式可见，在静止流体内部高度差为的两点间的压强差为
1．7．2、浮力与浮心
浮力是物体在流体中所受压力的合力。浸没在静止流体内的物体受到的浮力等于它所排开流体的重量，浮力的方向竖直向上。这就是阿基米德定律，可表示为

浮力的作用点称为浮心，浮心就是与浸没在流体中的物体同形状、同体积那部分流体的重心，它并不等同于物体的重心。只有在物体密度均匀时，它才与浸没在液体中的物体部分的重心重合。
1．7．3、浮体平衡的稳定性
浮在液体表面的浮体，所受浮力与重力大小相等、方向相反，处于平衡状态。浮体平衡的稳定性，将因所受扰动方式的不同而异。显然，浮体对铅垂方向的扰动，其平衡是稳定的；对水平方向的扰动，其平衡是随遇的。
浮体对于过质心的水平对称轴的旋转扰动，其平衡的稳定性视具体情况而定。以浮力水面的船体为例：当船体向右倾斜（即船体绕过质心O的水平对称轴转动一小角度）时，其浮心（浮力作用点）Q将向右偏离，浮力F与重力G构成一对力偶，力偶矩将促使船体恢复到原来的方位，如图1-7-2(a)所示，可见船体对这种扰动，其平衡是稳定的。但如果船体重心O太高，船体倾斜所造成的力偶矩也可能促使船体倾斜加剧，这时船体的平衡就是不稳的，如图1-7-2(b)所示。
动量 角动量和能量
§4.1 动量与冲量 动量定理
4．1． 1．动量
在牛顿定律建立以前，人们为了量度物体作机械运动的“运动量”，引入了动量的概念。当时在研究碰撞和打击问题时认识到：物体的质量和速度越大，其“运动量”就越大。物体的质量和速度的乘积mv遵从一定的规律，例如，在两物体碰撞过程中，它们的改变必然是数值相等、方向相反。在这些事实基础上，人们就引用mv来量度物体的“运动量”，称之为动量。
4．1．2．冲量
要使原来静止的物体获得某一速度，可以用较大的力作用较短的时间或用较小的力作用较长的时间，只要力F和力作用的时间的乘积相同，所产生的改变这个物体的速度效果就一样，在物理学中把F叫做冲量。
4．1．3．质点动量定理
由牛顿定律，容易得出它们的联系：对单个物体：

即冲量等于动量的增量，这就是质点动量定理。
在应用动量定理时要注意它是矢量式，速度的变化前后的方向可以在一条直线上，也可以不在一条直线上，当不在一直线上时，可将矢量投影到某方向上，分量式为：

对于多个物体组成的物体系，按照力的作用者划分成内力和外力。对各个质点用动量定理：
第1个 外+内=
第2个 外+内=

第n个 外+内=
由牛顿第三定律： 内+内+……+内=0
因此得到：
外+外+ ……+外=（++……+）-（++……）
即：质点系所有外力的冲量和等于物体系总动量的增量。

§4，2 角动量 角动量守恒定律
动量对空间某点或某轴线的矩，叫动量矩，也叫角动量。
它的求法跟力矩完全一样，只要把力F换成动量P即可，故B点上的动量P对原点O的动量矩J为
（）
以下介绍两个定理：
（1）.角动量定理：
质点对某点或某轴线的动量矩对时间的微商，等于作用在该质点上的力对比同点或同轴的力矩，即
（为力矩）。
（2）．角动量守恒定律
如果质点不受外力作用，或虽受外力作用，但诸外力对某点的合力矩为零，则对该点来讲，质点的动量矩J为一恒矢量，这个关系叫做角动量守恒定律 即 r×F=0，则J=r×mv=r×P=恒矢量
?
§4.3动量守恒定律
动量守恒定律是人们在长期实践的基础上建立的，首先在碰撞问题的研究中发现了它，随着实践范围的扩大，逐步认识到它具有普遍意义，
对于相互作用的系统，在合外力为零的情况下，由牛顿第二定律和牛顿第三定律可得出物体的总动量保持不变。
即： ++……+=……
上式就是动量守恒定律的数学表达式。
应用动量守恒定律应注意以下几点：
（1）动量是矢量，相互作用的物体组成的系统的总动量是指组成物体系的所有物体的动量的矢量和，而不是代数和，在具体计算时，经常采用正交分解法，写出动量守恒定律的分量方程，这样可把矢量运算转化为代数运算，
（2）在合外力为零时，尽管系统的总动量恒定不变，但组成系统的各个物体的动量却可能不断变化，系统的内力只能改变系统内物体的动量，却不能改变系统的总动量。在合外力不为零时，系统的总动量就要发生改变，但在垂直于合外力方向上系统的动量应保持不变，即合外力的分量在某一方向上为零，则系统在该方向上动量分量守恒。
（3）动量守恒定律成立的条件是合外力为零，但在处理实际问题时，系统受到的合外力不为零，若内力远大于外力时，我们仍可以把它当作合外力为零进行处理，动量守恒定律成立。如遇到碰撞、爆炸等时间极短的问题时，可忽略外力的冲量，系统动量近似认为守恒。
（4）动量守恒定律是由牛顿定律导出的，牛顿定律对于分子、原子等微观粒子一般不适用，而动量守恒定律却仍适用。因此，动量守恒定律是一条基本规律，它比牛顿定律具有更大的普遍性。
动量守恒定律的推广 由于一个质点系在不受外力的作用时，它的总动量是守恒的，所以一个质点系的内力不能改变它质心的运动状态，这个讨论包含了三层含意：
（1）如果一个质点系的质心原来是不动的，那么在无外力作用的条件下，它的质心始终不动，即位置不变。
（2）如果一个质点系的质心原来是运动的，那么在无外力作用的条件下，这个质点系的质心将以原来的速度做匀速直线运动。
（3）如果一个质点系的质心在某一个外力作用下作某种运动，那么内力不能改变质心的这种运动。比如某一物体原来做抛体运动，如果突然炸成两块，那么这两块物体的质心仍然继续做原来的抛体运动。
如果一个质量为的半圆形槽A原来静止在水平面上，原槽半径为R。将一个质量为的滑块B由静止释放（图4-3-1），若不计一切摩擦，问A的最大位移为多少？
由于A做的是较复杂的变加速运动，因此很难用牛顿定律来解。由水平方向动量守恒和机械能守恒，可知B一定能到达槽A右边的最高端，而且这一瞬间A、B相对静止。因为A、B组成的体系原来在水平方向的动量为零，所以它的质心位置应该不变，初始状态A、B的质心距离圆槽最低点的水平距离为：
。
所以B滑到槽A的右边最高端时，A的位移为（图4-3-2）

如果原来A、B一起以速度向右运动，用胶水将B粘在槽A左上端，某一时刻胶水突然失效，B开始滑落，仍然忽略一切摩擦。设从B脱落到B再次与A相对静止的时间是，那么这段时间内A运动了多少距离？
B脱落后，A将开始做变加速运动，但A、B两物体的质心仍然以速度向右运动。所以在时间内A运动的距离为：
?
§4.4 功和功率
4．4．1功的概念
力和力的方向上位移的乘积称为功。即
式中是力矢量F与位移矢量s之间的夹角。功是标量，有正、负。外力对物体的总功或合外力对物体所做功等于各个力对物体所做功的代数和。
对于变力对物体所做功，则可用求和来表示力所做功，即

也可以用F=F（s）图象的“面积”来表示功的大小，如图4-4-1所示。
由于物体运动与参照系的选择有关，因此在不同的参照系中，功的大小可以有不同的数值，但是一对作用力与反作用力做功之和与参照系的选择无关。因为作用力反作用力做功之和取决于力和相对位移，相对位移是与参照系无关的。
值得注意的是，功的定义式中力F应为恒力。如F为变力中学阶段常用如下几种处理方法：（1）微元法；（2）图象法；（3）等效法。
4．4．2. 几种力的功
下面先介绍一下“保守力”与“耗散力”。
具有“做功与路径无关”这一特点的力称为保守力，如重力、弹力和万有引力都属于保守力。不具有这种特点的力称为非保守力，也叫耗散力，如摩擦力。
（1）重力的功
重力在地球附近一个小范围内我们认为是恒力，所以从高度处将重力为mg的物移到高处。重力做功为：，显然与运动路径无关。
（2）弹簧弹力的功
物体在弹簧弹力F=-kx的作用下，从位置运动至位置
，如图4-4-2（a）所示，其弹力变化F=F（x）如图4-4-2（b）所示则该过程中弹力的功W可用图中斜线“面积”表示，功大小为
（3）万有引力的功
质量m的质点在另一质量M的质点的作用下由相对距离运动至相对距离的过程中，引力所做功为

4．4．3.功率
作用于物体的力在单位时间内所做功称为功率，表达式为
求瞬时功率，取时间则为
式中v为某时刻的瞬时速度，为此刻v与F方向的夹角
§4．5 动能 动能定理
4．5．1． 质点动能定理
质量m的质点以速度v运动时，它所具有动能为:

动能是质点动力学状态量，当质点动能发生变化时，是由于外力对质点做了功，其关系是:
W外=
上式表明外力对质点所做功，等于质点动能的变化，这就是质点动能定理。
4．5．2．质点系动能定理
若质点系由n个质点组成，质点系中任一质点都会受到来自于系统以外的作用力（外力）和系统内其它质点对它作用力（内力），在质点运动时，这些力都将做功。设质点系由N个质点组成，选取适当的惯性系，对其中第i个质点用质点动能定理
外+内=
对所有n个质点的动能定理求和就有
外+内=
若用W外、W内、、分别表示外、内、、
则上式可写成
W外+ W内=-
由此可见，对于质点系，外力做的功与内力做的功之和等于质点系动能的增量，这就是质点系动能定理。和质点动能定理一样，质点系动能定理只适用于惯性系，但质点系动能定理中的W内一项却是和所选的参照系无关的，因为内力做的功取决于相对位移，而相对位移和所选的参照系是无关的。这一点有时在解题时十分有效。
§4．6 势能
4．6．1 势能
若两质点间存在着相互作用的保守力作用，当两质点相对位置发生改变时，不管途径如何，只要相对位置的初态、终态确定，则保守力做功是确定的。存在于保守力相互作用质点之间的，由其相对位置所决定的能量称为质点的势能。规定保守力所做功等于势能变化的负值，即
W保=。
（1）势能的相对性。
通常选定某一状态为系统势能的零值状态，则任何状态至零势能状态保守力所做功大小等于该状态下系统的势能值。原则上零势能状态可以任意选取，因而势能具有相对性。
（2）势能是属于保守力相互作用系统的，而不是某个质点独有的。
（3）只有保守力才有相应的势能，而非保守力没有与之相应的势能。
4．6．2 常见的几种势能
（1）重力势能
在地球表面附近小范围内，mg重力可视为恒力，取地面为零势能面，则h高处重物m的重力势能为

（2）弹簧的弹性势能
取弹簧处于原长时为弹性势能零点，当弹簧伸长（压缩）x时，弹力F=-kx，弹力做的功为

由前面保守力所做功与势能变化关系可知

（3）引力势能
两个质点M、m相距无穷远处，规定，设m从无穷远处移近M，引力做功W，由于F引=，大小随r变化，可采用微元法分段求和方式。如图4-5-1，取质点n由A到B，位移为，引力做功
很小，、差异很小，则
由无穷远至距r处，引力功W为
开始时，最后相对距离为=r
又有

质点与均匀球体间引力势能，在球体外，可认为球体质量集中于球心，所以引力势能为
r≥R R为球半径
质量M，半径为R的薄球壳，由于其内部引力合力为零，故任意两点间移动质点m，引力均不做功，引力势能为恒量，所以质量m质点在薄球壳附近引力势能为
=
?
§4．7 功能原理和机械能守恒定律
4．7．1 功能原理
根据质点系动能定理
当质点系内有保守力作用和非保守力作用时，内力所做功又可分为
而由保守力做功特点知，保守力做功等于势能增量的负值，即

于是得到
用E表示势能与动能之和，称为系统机械能，结果得到
外力的功和非保守力内力所做功之和等于系统机械能的增量，这就是质点系的功能原理。可以得到（外力做正功使物体系机械能增加，而内部的非保守力作负功会使物体系的机械能减少）。
功能原理适用于分析既有外力做功，又有内部非保守力做功的物体系，请看下题：
劲度系数为k的轻质弹簧水平放置，左端固定，右端连接一个质量为m的木块（图4-7-1）开始时木块静止平衡于某一位置，木块与水平面之间的动摩擦因数为。然后加一个水平向右的恒力作用于木块上。（1）要保证在任何情况下都能拉动木块，此恒力F不得小于多少？（2）用这个力F拉木块，当木块的速度再次为零时，弹簧可能的伸长量是多少？
题目告知“开始时木块静止平衡于某一位置”，并未指明确切的位置，也就是说木块在该位置时所受的静摩擦力和弹簧的形变量都不清楚，因此要考虑各种情况。如果弹簧自然伸展时，木块在O点，那么当木块在O点右方时，所受的弹簧的作用力向右。因为木块初始状态是静止的，所以弹簧的拉力不能大于木块所受的最大静摩擦力。要将木块向右拉动，还需要克服一个向左的静摩擦力，所以只要F≥2，即可保证在任何情况下都能拉动木块。
设物体的初始位置为，在向右的恒力F作用下，物体到x处的速度再次为零，在此过程中，外部有力F做功，内部有非保守力f做功，木块的动能增量为零，所以根据物体系的功能原理有
可得
因为木块一开始静止，所以要求
≤≤
可见，当木块再次静止时，弹簧可能的伸长是
≤≤
4．7．2 机械能守恒定律
若外力的与非保守内力的功之和为零时，则系统机械能守恒，这就是机械能守恒定律。
注意：该定律只适用于惯性系，它同时必须是选择同一惯性参照系。在机械能守恒系统中，由于保守内力做功，动能和势能相互转化，而总的机械能则保持不变。
下面介绍一例由机械能守恒推出的重要定理：伯努利方程
理想流体 不可压缩的、没有粘滞性的流体，称为理想流体。
定常流动 观察一段河床比较平缓的河水的流动，你可以看到河水平静地流着，过一会儿再看，河水还是那样平静地流着，各处的流速没有什么变化。河水不断地流走，可是这段河水的流动状态没有改变。河水的这种流动就是定常流动。流体质点经过空间各点的流速虽然可以不同，但如果空间每一点的流速不随时间而改变，这样的流动就叫做定常流动。自来水管中的水流，石油管道中石油的流动，都可以看做定常流动。流体的流动可以用流线形象地表示。在定常流动中，流线表示流体质点的运动轨迹。图4-7-2是液体流过圆柱体时流线的分布。A、B处液体流过的横截面积大，CD处液体流过的横截面积小。液体在CD处流得急，流速大。AB处的流线疏，CD处的流线密，这样，从流线的分布可以知道流速的大小。流线疏的地方，流速小；流线密的地方，流速大。
伯努利方程 现在研究理想流体做定常流动时流体中压强和流速的关系。
图4-7-3表示一个细管，其中流体由左向右流动。在管的处和处用横截面截出一段流体，即处和处之间的流体，作为研究对象。
处的横截面积为，流速为，高度为，处左边的流体对研究对象的压强为，方向垂直于向右。
处的横截面积为，流速为，高度为，处左边的流体对研究对象的压强为，方向垂直于向左。
经过很短的时间间隔，这段流体的左端由移到。右端由移到。两端移动的距离分别为和。左端流入的流体体积为，右端流出的流体体积为，理想流体是不可压缩的，流入和流出的体积相等，，记为。
现在考虑左右两端的力对这段流体所做的功。
作用在液体左端的力，所做的功
。
作用在右端的力，所做的功
。
外力所做的总功
（1）
外力做功使这段流体的机械能发生改变。初状态的机械能是到这段流体的机械能，末状态的机械能是到这段流体的机械能。由到这一段，经过时间，虽然流体有所更换，但由于我们研究的是理想流体的定常流动，流体的密度和各点的流速没有改变，动能和重力势能都没有改变，所以这一段的机械能没有改变，这样机械能的改变就等于流出的那部分流体的机械能减去流入的那部分流体的机械能。
由于，所以流入的那部分流体的动能为

重力势能为
流出流体的动能为

重力势能为
机械能的改变为
（2）
理想流体没有粘滞性，流体在流动中机械能不会转化为内能，所以这段流体两端受的力所做的总功W等于机械能的改变
，即 W= （3）
将（1）式和（2）式代入（3）式，得

整理后得
（4）
和是在流体中任意取的，所以上式可表示为对管中流体的任意处：
常量 （5）
（4）式和（5）式称为伯努利方程。
流体水平流动时，或者高度差的影响不显著时（如气体的流动），伯努利方程可表达为
常量 （6）
从（6）式可知，在流动的流体中，压强跟流速有关，流速v大的地方要强p小，流速v小的地方压强p大。
知道压强和流速的关系，就可以解释本节开始所做的实验了。经过漏斗吹乒乓球时，乒乓球上方空气的流速大，压强小，下方空气的压强大，乒乓球受到向上的力，所以会贴在漏斗上不会掉下来。向两张纸中间吹气，两张纸中间空气的流速大，压强小，外边空气的压强大，所以两张纸将互相贴近。同样的道理，两艘并排的船同向行驶时（图4-7-4）如果速度较大，两船会互相靠近，有相撞的危险。历史上就曾经发生过这类事故。在航海中。对并排同向行驶的船舶，要限制航速和两船的距离。
伯努利方程的应用：
球类比赛中的旋转球和不转球的飞行轨迹不同，是因为球周围空气流动情况不同造成的。图4-7-5甲表示不转球水平向左运动时周围空气的流线。球的上方和下方流线对称，流速相同，上下不产生压强差。现在考虑球的旋转，致使球的下方空气的流速增大，上方流速减小，周围空气流线如图乙所示。球的下方流速大，压强小，上方流速小，压强大。跟不转球相比，图4-1-6乙所示旋转球因为旋转而受到向下的力，飞行轨迹要向下弯曲。
例：如图4-7-6所示，用一弹簧把两物块A和B连接起来后，置于水平地面上。已知A和B的质量分别为和。问应给物块A上加多大的压力F，才可能在撤去力F后，A向上跳起后会出现B对地无压力的情况？弹簧的质量略去不计。
设弹簧原长为，建立如图4-7-7所示的坐标，以k表示弹簧的劲度系数，则有 ①
取图中O点处为重力势能零点，当A受力F由O点再被压缩了x时，系统的机械能为
②
撤去F当A上升到最高处即弹簧较其自然长度再伸长时，系统的机械能为
③
A在x处时，其受力满足
，
以①式的代入上式，乃有
④
当F撤去A上升到处时，弹簧的弹力大小为，设此时B受到地面的支持力为N，则对于B应有

要B对地无压力，即N=0，则上式变为
⑤
因为A由x处上升至处的过程中，对此系统无外力和耗散力作功，则其机械能守恒，即
= ⑥
联立解②~⑥式，可得
。
显然，要出现B对地无压力的情况，应为≥（。当F=（时，刚好能出现B对地无压力的情况，但B不会离开地面；当F＞（时，B将出现离开地面向上跳起的情况。
?
§4．8 碰撞
质量和的两个物块，在直线上发生对心碰撞，碰撞前后速度分别为和及和，碰撞前后速度在一条直线上，由动量守恒定律得到
根据两物块在碰撞过程中的恢复情况，碰撞又可分类为下列几种
（1）弹性碰撞
在碰撞过程中没有机械能损失的碰撞称为弹性碰撞，由动能守恒有
结合动量守恒解得
对上述结果可作如下讨论
①，则，，即交换速度。
②若＞＞，且有=0，则，即质量大物速度几乎不变，小物以二倍于大物速度运动。
③若＜＜，且=0，则，，则质量大物几乎不动，而质量小物原速率反弹。
（2） 完全非弹性碰撞
两物相碰粘合在一起或具有相同速度，被称为完全非弹性碰撞，在完全非弹性碰撞中，系统动量守恒，损失机械能最大。

碰撞过程中损失的机械能为
（3 ）一般非弹性碰撞，恢复系数
一般非弹性碰撞是指碰撞后两物分开，速度，且碰撞过程中有机械损失，但比完全非弹性碰撞损失机械能要小。物理学中用恢复系数来表征碰撞性质。恢复系数e定义为
①弹性碰撞， e=1。
②完全非弹性碰撞 ，e=0。
③一般非弹性碰撞 0＜e＜1。
（4） 斜碰
两物碰撞前后不在一条直线上，属于斜碰，如图4-9-1所示
设两物间的恢复系数为e，设碰撞前、速度为、，
其法向、切向分量分别为、、、，碰后分离速度、，法向、切向速度分量、、、，则有
若两物接触处光滑，则应有、切向速度分量不变 、
若两物接触处有切向摩擦，这一摩擦力大小正比于法向正碰力，也是很大的力，它提供的切向冲量便不可忽略。
§4．9 质心及质心运动
4．9．1 质心及质心位置
任何一个质点系中都存在着一个称为质心的特殊点，它的运动与内力无关，只取决于外力。当需要将质点组处理成一个质点时，它的质量就是质点组的总质量。当需要确定质心的运动时，就设想把质点组所受的全部外力集中作用在质心上。
注意：质心是一个假想的质点。
设空间有N个质点，其质量、位置分别记作、，质量组质心记为C，则质量、位置。
在、、直角坐标系中，记录质心的坐标位置为
4．9．2、质心的速度、加速度、动量
质心速度，在空间直角坐标系中，质心速度可表达为
质心的动量，质心的动量等于质点组中各个质点动量的矢量和。
质心的加速度
由上式可见，当质点组所受合外力为零时，质心将保持静止状态或匀速直线运动状态。
同样，质点组的动量定理也可表述为
外力的冲量的矢量和等于质心动量的增量。
4．9．3、质心的动能与质点组的动能
以二个质点为例，质量、两质点相对于静止参照系速度、，质心C的速度，二质点相对于质心速度是和，可以证明有

即二个质点的总动能等于质心的动能与两质点相对质心动能之和。
?
§4．10天体的运动与能量
4．10．1、天体运动的机械能守恒
二体系统的机械能E为系统的万有引力势能与各天体的动能之和。仅有一个天体在运动时，则E为系统的万有引力势能与其动能之和。由于没有其他外力作用，系统内万有引力属于保守力，故有机械能守恒，E为一恒量，如图4-10-1所示，设M天体不动，m天体绕M天体转动，则由机械动能守恒，有
当运动天体背离不动天体运动时，不断增大，而将不断减小，可达无穷远处，此时而≥0，则应满足E≥0，即
例如从地球发射人造卫星要挣脱地球束缚必有
我们称=11.2km/s为第二宇宙速度，它恰为第一宇宙速度为倍。
另外在上面的二体系统中，由于万有引力属于有心力，所以对m而言，遵循角动量守恒

或
方向的夹角。它实质可变换得到开普勒第二定律，即行星与恒星连线在相等时间内扫过面积等。
?
4．10．2、天体运动的轨道与能量
若M天体固定，m天体在万有引力作用下运动，其圆锥曲线可能是椭圆（包括圆）、抛物线或双曲线。
i）椭圆轨道
如图4-7-1所示，设椭圆轨道方程为
（a>b）
则椭圆长，短半轴为a、b，焦距，近地点速度，远地点速度，则有
或由开普勒第二定律：

可解得
代入E得
ii)抛物线
设抛物线方程为
太阳在其焦点（）处，则m在抛物线顶点处能量为
可以证明抛物线顶点处曲率半径，则有得到
抛物线轨道能量
iii）双曲线
设双曲线方程为
焦距，太阳位于焦点（C，0），星体m在双曲线正半支上运动。如图4-10-3所示，其渐近线OE方程为y=bx/a，考虑m在D处与无穷远处关系，有
考虑到当，运动方向逼近渐近线，焦点与渐近线距为
故有
或
联解得
双曲线轨道能量
小结
椭圆轨道
抛物线轨道
双曲线轨道
以下举一个例子
质量为m的宇宙飞船绕地球中心0作圆周运动，已知地球半径为R，飞船轨道半径为2R。现要将飞船转移到另一个半径为4R的新轨道上，如图4-10-4所示，求
（1）转移所需的最少能量；
（2）如果转移是沿半椭圆双切轨道进行的，如图中的ACB所示，则飞船在两条轨道的交接处A和B的速度变化各为多少？
解: （1）宇宙飞船在2R轨道上绕地球运动时，万有引力提供向心力，令其速度为，乃有

故得

此时飞船的动能和引力势能分别为
所以飞船在2R轨道上的机械能为
同理可得飞船在4R轨道上的机械能为

以两轨道上飞船所具有的机械能比较，知其机械能的增量即为实现轨道转移所需的最少能量，即

（2）由（1）已得飞船在2R轨道上运行的速度为

同样可得飞船4R轨道上运行的速度为

设飞船沿图示半椭圆轨道ACB运行时，在A、B两点的速度分别为。则由开普勒第二定律可得

又由于飞船沿此椭圆轨道的一半运行中机械能守恒，故应有
联立以上两式解之可得
故得飞船在A、B两轨道交接处的速度变化量分别为
例如：三个钢球A、B、C由轻质的长为的硬杆连接，竖立在水平面上，如图4-10-5所示。已知三球质量，，距离杆处有一面竖直墙。因受微小扰动，两杆分别向两边滑动，使B球竖直位置下降。致使C球与墙面发生碰撞。设C球与墙面碰撞前后其速度大小不变，且所有摩擦不计，各球的直径都比小很多，求B球落地瞬间三球的速度大小。
解：
（1）球碰墙前三球的位置
视A、B、C三者为一系统，A、C在水平面上滑动时，只要C不与墙面相碰，则此系统不受水平外力作用，此系统质心的水平坐标不发生变化。以图4-10-6表示C球刚好要碰墙前三球的位置，以表示此时BC杆与水平面间的夹角，则AB杆与水平面间的夹角也为，并令BA杆上的M点与系统质心的水平坐标相同，则应有
故得 ①
由上述知M点的水平坐标应与原来三秋所在的位置的水平坐标相同，故知此刻M点与右侧墙面的距离即为，即M点与C球的水平距离为，由此有，即
。
由上式解得，故有 ②
（2）求三球碰墙前的速度
由于碰墙前M点的水平坐标不变，则在A、C沿水平面滑动过程中的任何时刻，由于图中的几何约束，C点与M点的水平距离总等于A点与M点的水平距离的倍，可见任何时刻C点的水平速度大小总为A点水平速度大小的倍。以、、分别表示图5-2-2中三球的速度，则有
③
又设沿BC方向的分量为，则由于和分别为杆BC两端的小球速度，则此两小球速度沿着杆方向的投影应该相等，即
。
再设沿BA方向的分量为，同上道理可得

注意到BA与BC两个方向刚好互相垂直，故得的大小为
以②③两式带入上式，乃得
④
由于系统与图5-2-1状态到图5-2-2状态的机械能守恒，乃有
。
以①~④式代入上式。解方程知可得
⑤
（3）求C球在刚碰墙后三球的速度
如图4-10-8所示，由于C球与墙碰撞，导致C球的速度反向而大小不变，由于杆BC对碰撞作用力的传递，使B球的速度也随之变化，这一变化的结果是：B球速度沿CB方向的分量与C球速度沿CB方向的分量相等，即
⑥
由于BC杆只能传递沿其杆身方向的力，故B球在垂直于杆身方向（即BA方向）的速度不因碰撞而发生变化，A球的速度也不因碰撞而发生变化，即其仍为。故得此时B球速度沿BA方向的分量满足 ， ⑦
乃得刚碰撞后B球速度大小为
⑧
（4）求B球落地时三球的速度大小
碰撞后，三球速度都有水平向左的分量，可见此后系统质心速度在水平方向的分量应该方向向左，且由于此后系统不受水平外力，则应维持不变。由上解得的三球速度，可得应该满足
。
以③、⑤、⑥、⑦诸式代入上式可解得
⑨
当B球落地时，A、B、C三小球均在同一水平线上，它们沿水平方向的速度相等，显然，这一速度也就是系统质心速度的水平分量。而B小球刚要落地时，A、C两球的速度均沿水平方向（即只有水平分量），B球的速度则还有竖直分量，以落表示此刻B球速度的大小。则由图4-10-8所示的状态到B小球刚要落地时，系统的机械能守恒，由此有
以⑨、⑧、⑤各式代入上式可解得
落= ⑩
综合上述得本题答案为：当B小球刚落地时，A、B、C三球的速度大小分别为
、、和。
原 子 物 理
自1897年发现电子并确认电子是原子的组成粒子以后，物理学的中心问题就是探索原子内部的奥秘，经过众多科学家的努力，逐步弄清了原子结构及其运动变化的规律并建立了描述分子、原子等微观系统运动规律的理论体系——量子力学。本章简单介绍一些关于原子和原子核的基本知识。
§1.1 原子
1．1．1、原子的核式结构
1897年，汤姆生通过对阴极射线的分析研究发现了电子，由此认识到原子也应该具有内部结构，而不是不可分的。1909年，卢瑟福和他的同事以α粒子轰击重金属箔，即α粒子的散射实验，发现绝大多数α粒子穿过金箔后仍沿原来的方向前进，但有少数发生偏转，并且有极少数偏转角超过了90°，有的甚至被弹回，偏转几乎达到180°。
1911年，卢瑟福为解释上述实验结果而提出了原子的核式结构学说，这个学说的内容是：在原子的中心有一个很小的核，叫原子核，原子的全部正电荷和几乎全部质量都集中在原子核里，带负电的电子在核外的空间里软核旋转，根据α粒子散射的实验数据可估计出原子核的大小应在10-14nm以下。
1、1．2、氢原子的玻尔理论
1、核式结论模型的局限性
通过实验建立起来的卢瑟福原子模型无疑是正确的，但它与经典论发生了严重的分歧。电子与核运动会产生与轨道旋转频率相同的电磁辐射，运动不停，辐射不止，原子能量单调减少，轨道半径缩短，旋转频率加快。由此可得两点结论：
①电子最终将落入核内，这表明原子是一个不稳定的系统；
②电子落入核内辐射频率连续变化的电磁波。原子是一个不稳定的系统显然与事实不符，实验所得原子光谱又为波长不连续分布的离散光谱。如此尖锐的矛盾，揭示着原子的运动不服从经典理论所表述的规律。
为解释原子的稳定性和原子光谱的离经叛道的离散性，玻尔于1913年以氢原子为研究对象提出了他的原子理论，虽然这是一个过渡性的理论，但为建立近代量子理论迈出了意义重大的一步。
2、玻尔理论的内容：
一、原子只能处于一条列不连续的能量状态中，在这些状态中原子是稳定的，电子虽做加速运动，但并不向外辐射能量，这些状态叫定态。
二、原子从一种定态（设能量为E2）跃迁到另一种定态（设能量为E1）时，它辐射或吸收一定频率的光子，光子的能量由这种定态的能量差决定，即
=E2-E1
三、氢原子中电子轨道量子优化条件：氢原子中，电子运动轨道的圆半径r和运动初速率v需满足下述关系：
，n=1、2……
其中m为电子质量，h为普朗克常量，这一条件表明，电子绕核的轨道半径是不连续的，或者说轨道是量子化的，每一可取的轨道对应一个能级。
定态假设意味着原子是稳定的系统，跃迁假设解释了原子光谱的离散性，最后由氢原子中电子轨道量子化条件，可导出氢原子能级和氢原子的光谱结构。
氢原子的轨道能量即原子能量，为
因圆运动而有
由此可得
根据轨道量子化条件可得：
，n=1，2……
因，便有
得量子化轨道半径为：
，n=1，2……
式中已将r改记为rn对应的量子化能量可表述为：
，n=1，2……
n=1对应基态，基态轨道半径为
计算可得： =0.529
r1也称为氢原子的玻尔半径
基态能量为
计算可得： E1=eV。
对激发态，有：
，n=1，2…
n越大，rn越大，En也越大，电子离核无穷远时，对应，因此氢原子的电离能为：
电子从高能态En跃迁到低能态Em辐射光子的能量为：
光子频率为 ，
因此氢原子光谱中离散的谱线波长可表述为：
，
试求氢原子中的电子从第n轨道迁跃到n-1第轨道时辐射的光波频率，进而证明当n很大时这一频率近似等于电子在第n轨道上的转动频率。
辐射的光波频率即为辐射的光子频率，应有
将
代入可得
当n很大时，这一频率近似为
电子在第n轨道上的转动频率为：
将
代入得
因此，n很大时电子从n第轨道跃迁到第n-1轨道所辐射的光波频率，近似等于电子在第n轨道上的转动频率，这与经典理论所得结要一致，据此，玻尔认为，经典辐射是量子辐射在时的极限情形。
1、1．3、氢原子光谱规律
1、巴耳末公式
研究原子的结构及其规律的一条重要途径就是对光谱的研究。19世纪末，许多科学家对原子光谱已经做了大量的实验工作。第一个发现氢原子线光谱可组成线系的是瑞士的中学教师巴耳末，他于1885年发现氢原子的线光谱在可见光部分的谱线，可归纳为如下的经验公式
，n=3，4，5，…
式中的为波长，R是一个常数，叫做里德伯恒量，实验测得R的值为1.096776107。上面的公式叫做巴耳末公式。当n=3，4，5，6时，用该式计算出来的四条光谱线的波长跟从实验测得的、、、四条谱线的波长符合得很好。氢光谱的这一系列谱线叫做巴耳末系。
2、里德伯公式
1896年，瑞典的里德伯把氢原子光谱的所有谱线的波长用一个普遍的经验公式表示出来，即
n=1，2，3…，，…
上式称为里德伯公式。对每一个，上是可构成一个谱线系：
，，3，4… 莱曼系（紫外区）
，，4，5… 巴耳末系（可见光区）
，，5，6… 帕邢系（红外区）
，，6，7… 布拉开系（远红外区）
，，7，8… 普丰德系（远红外区）
以上是氢原子光谱的规律，通过进一步的研究，里德伯等人又证明在其他元素的原子光谱中，光谱线也具有如氢原子光谱相类似的规律性。这种规律性为原子结构理论的建立提供了条件。
1、1．4、玻尔理论的局限性：
玻尔原子理论满意地解释了氢原子和类氢原子的光谱；从理论上算出了里德伯恒量；但是也有一些缺陷。对于解释具有两个以上电子的比较复杂的原子光谱时却遇到了困难，理论推导出来的结论与实验事实出入很大。此外，对谱线的强度、宽度也无能为力；也不能说明原子是如何组成分子、构成液体个固体的。玻尔理论还存在逻辑上的缺点，他把微观粒子看成是遵守经典力学的质点，同时，又给予它们量子化的观念，失败之处在于偶保留了过多的经典物理理论。到本世纪20年代，薛定谔等物理学家在量子观念的基础上建立了量子力学。彻底摒弃了轨道概念，而代之以几率和电子云概念。
例题1：设质子的半径为，求质子的密度。如果在宇宙间有一个恒定的密度等于质子的密度。如不从相对论考虑，假定它表面的“第一宇宙速度”达到光速，试计算它的半径是多少。它表面上的“重力加速度”等于多少？（1mol气体的分子数是个；光速）；万有引力常数G取为。只取一位数做近似计算。
解:的摩尔质量为2g/mol，分子的质量为
∴质子的质量近似为
质子的密度 ρ==
设该星体表面的第一宇宙速度为v，由万引力定律，得
，
而
∴

由于“重力速度”
∴
【注】万有引力恒量一般取6.67
例题2：与氢原子相似，可以假设氦的一价正离子（He）与锂的二价正离子（L）核外的那一个电子也是绕核作圆周运动。试估算
（1）He、L的第一轨道半径；
（2）电离能量、第一激发能量；
（3）赖曼系第一条谱线波长分别与氢原子的上述物理量之比值。
解：在估算时，不考虑原子核的运动所产生的影响，原子核可视为不动，其带电量用+Ze表示，可列出下面的方程组：
， ①
， ②
，n=1，2，3，… ③
， ④
由此解得，，并可得出的表达式：
， ⑤
其中米，为氢原子中电子的第度轨道半径，对于He，Z=2，对于Li，Z=3．
， ⑥
其中13.6电子伏特为氢原子的基态能．
． ⑦
，2，3，…
，，…
R是里德伯常数。
（1）由半径公式⑤，可得到类氢离子与氢原子的第一轨道半径之比：
，．
（2）由能量公式⑥，可得到类氢离子与氢原子的电离能和第一激发能（即电子从第一轨道激发到第二轨道所需的能量）之比：
电离能： ，
?
第一激发能：
，
?
。
（其中：表示电子处在第二轨道上的能量，表示电子处在第一轨道上的能量）
（3）由光谱公式⑦，氢原子赖曼系第一条谱线的波长有：
相应地，对类氢离子有：
，
，
因此 ： ，。
例3：已知基态He的电离能为E=54.4Ev，（1）为使处于基态的He进人激发态，入射光子所需的最小能量应为多少？（2）He从上述最底激发态跃迁返回基态时，如考虑到该离子的反冲，则与不考虑反冲相比，它所发射的光子波长的百分变化有多大？（离子He的能级En与n的关系和氢原子能级公式类中，可采用合理的近似。）
分析:第（1）问应正确理解电离能概念。第（2）问中若考虑核的反冲，应用能量守恒和动量守恒，即可求出波长变化。
解:（1）电离能表示He的核外电子脱离氦核的束缚所需要的能量。而题问最小能量对应于核外电子由基态能级跃迁到第一激发态，所以
54.440.8eV
（2）如果不考虑离子的反冲，由第一激发态迁回基态发阜的光子有关系式：
现在考虑离子的反冲，光子的频率将不是而是，为反冲离子的动能，则由能量守恒得
又由动量守恒得
式中是反冲离子动量的大小，而是发射光子的动量的大小，于是，波长的相对变化
=
由于
所以
代入数据
即百分变化为0.00000054%
?
§1、2 原子核
原子核所带电荷为+Ze，Z是整数，叫做原子序数。原子核是由质子和中子组成，两者均称为核子，核子数记为A，质子数记为Z，中子数便为A-Z。原子的元素符号记为X，原子核可表述为，元素的化学性质由质子数Z决定，Z相同N不同的称为同位素。
在原子物理中，常采用原子质量单位，一个中性碳原子质量的记作1个原子单位，即lu=。质子质量：中子质量：电子质量：
1．2．1、结合能
除氢核外，原子核中Z个质子与（A-Z）个中子静质量之和都大于原子核的静质量，其间之差：
称为原子核的质量亏损。式中、分别为质子、中子的静质量。造成质量亏损的原因是核子相互吸引结合成原子核时具有负的能量，这类似于电子与原子核相互吸引力结合成原子时具有负的能量（例如氢原子处于基态时电子轨道能量为-13.6eV）。据相对论质能关系，负能量对应质量亏损。质量亏损折合成的能量：
称为原子核的结合能，注意结合能取正值。结合能可理解成为了使原子核分裂成各个质子和中子所需要的外加你量。称为核子的平均结合能。
1．2．2、天然放射现象
天然放射性元素的原子核，能自发地放出射线的现象，叫天然放射现象。这一发现揭示了原子核结构的复杂性。天然放射现象中有三种射线，它们是：
α射线：速度约为光速的1/10的氦核流（），其电离本领很大。
β射线：速度约为光速的十分之几的电子流（），其电离本领较弱，贯穿本领较弱。
γ射线：波长极短的电磁波，是伴随着α射线、β射线射出的，其电离本领很小，贯穿本领最强。
1．2．3、原子核的衰变
放射性元素的原子核放出某种粒子后，变成另一种新核的现象，叫做原子核的衰变，衰变过程遵循电荷守恒定律和质量守恒定律。用X表示某种放射性元素，z表示它的核电荷数，m表示它的质量数，Y表示产生的新元素，中衰变规律为：
α衰变：通式
例如
β衰变：通式
例如
γ衰变：通式 （γ射线伴随着α射线、β射线同时放出的。原子核放出γ射线，要引起核的能量发生变化，而电荷数和质量数都不改变）
1．2．4、衰变定律和半衰期
研究发现，任何放射性物质在单独存在时，都遵守指数衰减规律
①
这叫衰变定律。式中是t=0时的原子核数目，N（t）是经时间t后还没有衰变的原子核的数目，λ叫衰变常数，对于不同的核素衰变常数λ不同。由上式可得：
②
式中代表在时间内发生的衰变原子核数目。分母N代表t时刻的原子核总数目。λ表示一个原子核在单位时间内发生衰变的概率。不同的放射性元素具有不同的衰变常数，它是一个反映衰变快慢的物理量，λ越大，衰变越快。
半衰期表示放射性元素的原子核有半数发生衰变所需的时间。用T表示，由衰变定律可推得：
③
半衰期T也是反映衰变快慢的物理量；它是由原子核的内部因素决定的，而跟原子所处的物理状态或化学状态无关；半衰期是对大量原子核衰变的统计规律，不表示某个原子核经过多长时间发生的衰变。由①、③式则可导出衰变定律的另一种形式，即
（T为半衰期，t表示衰变的时间，表示衰变前原子核的总量，N表示t后未衰变的原子核数）
或（为衰变前放射性物质的质量，M为衰变时间t后剩余的质量）。
1、2、5、原子核的组成
用人工的方法使原子核发生变化，是研究原子核结构及变化规律的有力武器。确定原子核的组成有赖于质子和中子的发现。
1919年，卢瑟福用α粒子轰击氮原子核而发现了质子，这个变化的核反应方程：
1932年，查德威克用α粒子轰击铍原子核而发现了中子，这个变化的核反应方程是：
通过以上实验事实，从而确定了原子核是由质子和中子组成的，质子和中子统称为核子。某种元素一个原子的原子核中质子与中子的数量关系为：
质子数=核电荷数=原子序数
中子数=核质量数-质子数
具有相同质子数不同中子数的原子互称为同位素，利用放射性同位素可作“示踪原子”，用其射线可杀菌、探伤、消除静电等。
1、2、6、核能
①核能
原子核的半径很小，其中质子间的库仑力是很大的。然而通常的原子核却是很稳定的。这说明原子核里的核子之间一定存在着另一种和库仑力相抗衡的吸引力，这种力叫核力。
从实验知道，核力是一种强相互作用，强度约为库仑力的确100倍。核力的作用距离很短，只在的短距离内起作用。超过这个距离，核力就迅速减小到零。质子和中子的半径大约是，因此每个核子只跟它相邻的核子间才有核力的作用。核力与电荷无关。质子和质子，质子和中子，中子和中子之间的作用是一样的。当两核子之间的距离为时，核力表现为吸力，在小于时为斥力，在大于10fm时核力完全消失。
②质能方程
爱因斯坦从相对论得出物体的能量跟它的质量存在正比关系，即
这个方程叫做爱因斯坦质能方程，式中c是真空中的光速，m是物体的质量，E是物体的能量。如果物体的能量增加了△E，物体的质量也相应地增加了△m，反过来也一样。△E和△m之间的关系符合爱因斯坦的质能方程。
③质量亏损
原子核由核子所组成，当质子和中子组合成原子核时，原子核的质量比组成核的核子的总质量小，其差值称为质量亏损。用m表示由Z个质子、Y个中子组成的原子核的质量，用和分别表示质子和中子的质量，则质量亏损为：
④原子核的结合能和平均结合能
由于核力将核子聚集在一起，所以要把一个核分解成单个的核子时必须反对核力做功，为此所需的能量叫做原子核的结合能。它也是单个核子结合成一个核时所能释放的能量。根据质能关系式，结合能的大小为：
原子核中平均每个核子的结合能称为平均结合能，用N表示核子数，则：
平均结合能=
平均结合能越大，原子核就越难拆开，平均结合能的大小反映了核的稳定程度。从平均结合能曲线可以看出，质量数较小的轻核和质量数级大的重核，平均结合能都比较小。中等质量数的原子核，平均结合能大。质量数为50~60的原子核，平均结合能量大，约为8.6MeV。
1．2．7、核反应
原子核之间或原子核与其他粒子之间通过碰撞可产生新的原子核，这种反应属于原子核反应，原子核反应可用方程式表示，例如
即为氦核（α粒子）轰击氮核后产生氧同位素和氢核的核反应，核反应可分为如下几类
（1）弹性散射：这种过程，出射粒子就是入射粒子，同时在碰撞过程中动能保持不变，例如将中子与许多原子核碰撞会发生弹性散射。
（2）非弹性散射：这种过程中出射粒子也是原来的入射粒子，但在碰撞过程中粒子动能有了变化，即粒子和靶原子核发生能量转移现象。例如能量较高的中子轰击原子核使核激发的过程。
（3）产生新粒子：这时碰撞的结果不仅能量有变化，而且出射粒子与入射粒子不相同，对能量较大的入射粒子，核反应后可能出现两个以上的出射粒子，如合成101号新元素的过程。
（4）裂变和聚变：在碰撞过程中，使原子核分裂成两个以上的元素原子核，称为裂变，如铀核裂变
裂变过程中，质量亏损0.2u，产生巨大能量，这就是原子弹中的核反应。
引起原子核聚合的反应称为聚变反应，如
氢弹就是利用氘、氘化锂等物质产生聚变后释放出巨大能量发生爆炸的。
核反应中电荷守恒，即反应生成物电荷的代数和等于反应物电荷的代数和。核反应中质量守恒，即反应生成物总质量等于反应物总质量。这里的质量指相对论质量，相对论质量m与相对论能量E之间的关系是
因此质量守恒也意味着能量守恒。核反应中质量常采用原子质量单位，记为u.lu相当于931.5MeV。
核反应中相对论质量守恒，但静质量可以不守恒。一般来说，反应生成物总的静质量少于反应物总的静质量，或者说反应物总的静质量有亏损。亏损的静质量记为△m，反应后它将以能量形式释放出来，称之为反应能，记为△E，有
需要注意的是反应物若有动能，其相对论质量可大于静质量，但在算反应能时只计静质量。反应能可以以光子形式向外辐射，也可以部分转化为生成物的动能，但生成物的动能中还可以包含反应物原有的动能。
下面讨论原子核反应能的问题：
在所有原子核反应中，下列物理量在反应前后是守恒的：①电荷；②核子数；③动量；④总质量和联系的总能量等（包括静止质量和联系的静止能量），这是原子核反应的守恒定律。下面就质量和能量守恒问题进行分析。
设有原子核A被p粒子撞击，变为B和q。其核反应方程如下：
A+p→B+q
上列各核和各粒子的静质量M和动能E为
反应前
反应后
根据总质量守恒和总能量守恒可得
由此可得反应过程中释放的能量Q为：
此式表示，反应能Q定义为反应后粒子的动能超出反应前粒子的动能的差值。这也等于反应前粒子静质量超过反应后粒子的静质量的差值乘以。所以反应能Q可以通过粒子动能的测量求出，也可以由已知的粒子的静质量来计算求出。
下面来讨论怎样由动能来求出Q。设A原子核是静止的。由能量守恒可得
根据反应前后动量守恒得
式中为反应前撞击粒子的动量，和是反应后新生二粒子的动量。上式可改为标量
?
由于，上式可改为
从上式求出，代入中得
从上式中的质量改为质量数之比可得：
如果事先测知，再测出和β，即可算得Q。
例1 已知某放射源在t=0时，包含个原子，此种原子的半衰期为30天．
（1）计算时，已发生衰变的原子数；
（2）确定这种原子只剩下个的时刻。
解: 衰变系数λ与半衰期T的关系为
衰变规律可表述为：。
（1）时刻未衰变的原子数为：
已发生衰变的原子数便为：

（2）时刻未发生衰变的原子数为：
由此可解得：
=399天
例2 在大气和有生命的植物中，大约每个碳原子中有一个原子，其半衰期为t=5700年，其余的均为稳定的原子。在考古工作中，常常通过测定古物中的含量来推算这一古物年代。如果在实验中测出：有一古木碳样品，在m克的碳原子中，在△t（年）时间内有△n个原子发生衰变。设烧成木炭的树是在T年前死亡的，试列出能求出T的有关方程式（不要求解方程）。
解: m克碳中原有的原子数为，式中为阿伏加德罗常数。
经过T年，现存原子数为
（1）
在△T内衰变的原子数为
（2）
在（1）、（2）二式中，m、、τ、△T和均为已知，只有n和T为未知的，联立二式便可求出T。
例3.当质量为m，速度为的微粒与静止的氢核碰撞，被氢核捕获（完全非弹性碰撞）后，速度变为；当这个质量为m，速度为的微粒与静止的碳核做对心完全弹性碰撞时，碰撞后碳核速度为，今测出，已知，求此微粒质量m与氢核质量之比为多少？
解: 根据题意有，即有
（1）
又因 （2）
（3）
由（2）式得
（4）
由（3）式得
（5）
由（4）、（5）式得
（6）
（6）m（4）得
所以。此微粒的质量等于氢核的质量。

固体和液体
§3．1 固体的有关性质
固体可以分为晶体和非晶体两大类。岩盐、水晶、明矾、云母、冰、金属等都是晶体；玻璃、沥清、橡胶、塑料等都是非晶体。
(1)晶体和非晶体
晶体又要分为单晶体和多晶体两种。单晶体具有天然规则的几何外形，如雪花的形状总是六角形的。并且，单晶体在各个不同的方向上具有不同的物理性质，即各向导性。如力学性质(硬度、弹性模量等)、热性性质(热胀系数、导热系数等)、电学性质(介电常数、电阻率等)、光学性质(吸收系数、折射率等)。如云母结晶薄片，在外力作用下很容易沿平行于薄片的平面裂开，但在薄片上裂开则要困难得多；在云母片上涂一层薄薄的石蜡，然后用烧热的钢针去接触云母片的反面，则石蜡将以接触点为中心、逐渐向四周熔化，熔化了的石蜡成椭圆形，如果用玻璃片做同样的实验，熔化了的石蜡成圆形，这说明非晶体玻璃在各方向的导热系数相同，而晶体云母沿各方向的导热系数不同。
因多晶体是由大量粒(小晶体)无规则地排列组合而成，所以，多晶体不但没有规则的外形，而且各方向的物理性质也各向同性。常见的各种金属材料就是多晶体。
但不论是单晶体还是多晶体，都具有确定的熔点，例如不同的金属存在着不同的熔点。
非晶体没有天然规则的几何外形，各个方向的物理性质也相同，即各向同性。非晶体在加热时，先逐渐变软，接着由稠变稀，最后成为液体，因此，非晶体没有一定的熔点。晶体在加热时，温度升高到熔点，晶体开始逐渐熔解直到全部融化，温度保持不变，其后温度才继续上升。因此，晶体有一定的熔点。
(2)空间点阵
晶体与非晶体性质的诸多不同，是由于晶体内部的物质微粒(分子、原子或离子)依照一定的规律在空间中排列成整齐的后列，构成所谓的空间点阵的结果。
图3-1-1是食盐的空间点阵示意图，在相互垂直的三个空间方向上，每一行都相间的排列着正离子(钠离子)和负离子(氯离子)。
晶体外观的天然规则形状和各向异性特点都可以用物质微粒的规则来排列来解释。在图3-1-2中表示在一个平面上晶体物质微粒的排列情况。从图上可以看出，沿不同方向所画的等长直线AB、AC、AD上，物质微粒的数目不同，直线AB上物质微粒较多，直线AD上较少，直线AC上更少。正因为在不同方向上物质微粒排列情况不同，才引起晶体在不同方向上物理性质的不同。
组成晶体的粒子之所以能在空间构成稳定、周期性的空间点阵，是由于晶体微粒之间存在着很强的相互作用力，晶体中粒子的热运动不能破坏粒子之间的结合，粒子仅能在其平衡位置(结点处)附近做微小的热振动。晶体熔解过程中达熔点时，它吸收的热量都用来克服有规则排列的空间点阵结构，所以，这段时间内温度就不会升高。
例题:NaCl的单位晶胞是棱长a=5.610m的立方体，如图7-1-3。黑点表示Na位置，圆圈表示Cl位置，食盐的整体就是由这些单位晶胞重复而得到的。Na原子量23，Cl原子量35.5，食盐密度g/m。我们来确定氢原子的质量。
在一个单位晶胞里，中心有一个Na，还有12个Na位于大立方体的棱上，棱上的每一个Na同时为另外三个晶胞共有，于是属于一个晶胞的Na数n=1+=4，Cl数n=4。晶胞的质量m=4(m+m)原子质量单位。a=4(23+35.5)m，得m=1.6710kg。
?
§3．2 固体的热膨胀
几乎所有的固体受热温度升高时，都要膨胀。在铺设铁路轨时，两节钢轨之间要留有少许空隙，给钢轨留出体胀的余地。一个物体受热膨胀时，它会沿三个方向各自独立地膨胀，我们先讨论线膨胀。
固体的温度升高时，它的各个线度(如长、宽、高、半径、周长等)都要增大，这种现象叫固体的线膨胀。我们把温度升高1℃所引起的线度增长跟它在0℃时线度之比，称为该物体的线胀系数。
设一物体在某个方向的线度的长度为，由于温度的变化△T所引起的长度的变化△。由实验得知，如果△T足够小，则长度的变化△与温度的变化成正比，并且也与原来的长度成正比。即△=△T．式中的比例常数称作线膨胀系数。对于不同的物质，具有不同的数值。将上式改写为.。所以，线膨胀系数α的意义是温度每改变1K时，其线度的相对变化。
即：
式中的单位是1/℃，为0℃时固体的长度，为℃时固体的长度，一般金属的线胀系数大约在/℃的数量级。
上述线胀系数公式，也可以写成下面形式

如果不知道0℃时的固体长度，但已知℃时固体的长度，则℃时的固体长度为
于是，这是线膨胀有用的近似计算公式。
对于各向同性的固体，当温度升高时，其体积的膨胀可由其线膨胀很容易推导出。为简单起见，我们研究一个边长为l的正方体，在每一个线度上均有：
。因固体的α值很小，则相比非常小，可忽略不计，则
式中的3α称为固体的体膨胀系数。
随着每一个线度的膨胀，固体的表面积和体积也发生膨胀，其面膨胀和体膨胀规律分别是


考虑各向同性的固体，其面胀系数γ、体胀系数β跟线胀系数α的关系为
γ=2α，β=3α。
例1:某热电偶的测温计的一个触点始终保持为0℃，另一个触点与待测温度的物体接触。当待测温度为t℃时，测温计中的热电动势力为
其中℃-1,mv?℃-2。如果以电热电偶的热电动势ε为测温属性，规定下述线性关系来定义温标，即。并规定冰点的，汽点的，试画出的曲线。
分析:温标以热电动势ε为测温属性，并规定与ε成线性关系。又已知ε与摄氏温标温度t之间的关系，故与t的关系即可求得。系数a和b由规定的冰点和汽点的值求得。
解:已知，得出与t的关系为。
规定冰点的℃，
规定汽点的t=100℃，代入，即可求得系a与b为
b=0,
于是，和t的关系为
曲线如图3-2-1所示，与t之间并非一一对应，且有极值。
例2:有一摆钟在25℃时走时准确，它的周期是2s，摆杆为钢质的，其质量与摆锤相比可以忽略不计，仍可认为是单摆。当气温降到5℃时，摆钟每天走时如何变化？已知钢的线胀系数 ℃-1。
分析:钢质摆杆随着温度的降低而缩短，摆钟走时变快。不管摆钟走时准确与否，在盘面上的相同指示时间，指针的振动次数是恒定不变的，这由摆钟的机械结构所决定，从而求出摆钟每天走快的时间。
解:设25℃摆钟的摆长，周期，5℃时摆长为，周期，则
由于，因此，说明在5℃时摆钟走时加快
在一昼夜内5℃的摆钟振动次数，这温度下摆钟指针指示的时间是。
这摆钟与标准时间的差值为△t，
?
§3．3　液体性质
3．3．1、液体的宏观特性及微观结构
液体的性质介于固体与气体之间，一方面，它像固体一样具有一定的体积，不易压缩；另一方面，它又像气体一样，没有一定的形状，具有流动性，在物理性质上各向同性。
液体分子排列的最大特点是远程无序而短程有序，即首先液体分子在短暂时间内，在很小的区域(与分子距离同数量级)作规则的排列，称为短程有序；其次，液体中这种能近似保持规则排列的微小区域是由诸分子暂时形成的，其边界和大小随时改变，而且这些微小区域彼此之间的方位取向完全无序，表现为远程无序。因而液体的物理性质在宏观上表现为各向同性。
液体分子间的距离小，相互作用力较强，分子热运动主要表现为在平衡位置附近做微小振动，但其平衡位置又是在不断变化的，因而，宏观上表现为液体具有流动性。
3．3．2、液体的热膨胀
液体没有一定的形状，只有一定的体积，因此对液体只有体膨胀才有意义。实验证明，液体的体积跟温度的关系和固体的相同，也可以用下面的公式表示：

式中是在0℃时的体积，是液体在t℃时的体积，β是液体的体胀系数，一般液体的体胀系数比固体大1～2个数量级，并且随温度升高有比较明显的增大。
液体除正常的热膨胀外，还有反常膨胀的现象，例如水的反常膨胀，水在4℃时体积最小，密度最大，而4℃以下体积反而变大，密度变小，直到0℃时结冰为止，正是由于水的这一奇特的性质，使得湖水总是从湖面开始结备，随着气温下降，冰层从湖面逐渐向下加厚，也亏得这一点，水中的生物才安然地度过严冬。
3．3．3、物质的密度和温度的关系
固体和液体的体积随温度而变化，这将引起物体的密度变化，设某物体的质量为m，它在0℃时的体积为，则0℃时该物体的密度是。设物体在t℃时密度，体积，则
。
又有，式中β是固体或液体的体膨胀系数，代入表达式得
。
例1 一支水银温度计，它的石英泡的容积是0.300cm3，指示管的内径是0.0100cm，如果温度从30.0℃升高至40.0℃，温度计的水银指示线要移动多远？(水银的体胀系数/℃)
解：查表可得石英的线胀系数/℃，则其体胀系数为/℃。与水银的体胀系数/℃相比很小可忽略不计，所以当温度升高时，可以认为石英泡的容积不变，只考虑水银的膨胀，水银体积的增量
水银体积的增量△V，这是在水银指示管中水银上升的体积，所谓水银指示线移动的长度，就是水银上升的高度，即
说明　有些仪器，例如液体温度计，就是利用液体体积的热膨胀特性作为测量依据的。由于体胀系数β与测量物质的种类有关，而且即使是同种物质，β还与温度及压强有关，因此在使用这些仪器时，应考虑到由于β的变化而引起的测量误差。例如一支水银温度计，在冰点校准为0℃，在水的沸点校准为100℃，然后将二者间均分100份，刻上均匀刻度。严格地说，这种刻度是不准确的。由于β值随温度的升而增大，所以在高温处刻度应该稀一些，在低温处应该密一些；如果均匀刻度，则在测高温时读数会偏高，而在低温时读数会偏低。不过这种差别并不大，一般可以忽略。
?
§3．4　液体的表面张力
3．4．1、表面张力和表面张力系数
液体下厚度为分子作用半径的一层液体，叫做液体的表面层。表面层内的分子，一方面受到液体内部分子的作用，另一方面受到气体分子的作用，由于这两个作用力的不同，使液体表面层的分子分布比液体内部的分子分布稀疏，分子的平均间距较大，所以表面层内液体分子的作用力主要表现为引力，正是分子间的这种引力作用，使表面层具有收缩的趋势。
液体表面的各部分相互吸引的力称为表面张力，表面张力的方向与液面相切，作用在任何一部分液面上的表面张力总是与这部分液面的分界线垂直。
表面张力的大小与所研究液面和其他部分的分界线长度L成正比，因此可写成
式中称为表面张力系数，在国际单位制中，其单位是N/m，表面张力系数的数值与液体的种类和温度有关。
3．4．2表面能
我们再从能量角度研究张力现象，由于液面有自动收
缩的趋势，所以增大液体表面积需要克服表面张力做功，由图3-4-1可以看出，设想使AB边向右移动距离△x，则此过程中外界克服表面张力所做的功为
式中△S表示AB边移动△x时液膜的两个表面所增加的总面积。若去掉外力，AB边会向左运动，消耗表面自由能而转化为机械能，所以表面自由能相当于势能，凡势能都有减小的趋势，而，所以液体表面具有收缩的趋势，例如体积相同的物体以球体的表面积最小，所以若无其他作用力的影响，液滴等均应为球体。
例 将端点相连的三根细线掷在水面上，如图3-4-2所示，其中1、2线各长1.5cm，3线长1cm，若在图中A点滴下某种杂质，使表面张力系数减小到原来的0.4，求每根线的张力。然后又把该杂质滴在B点，求每根线的张力：已知水的面表张力系数α=0.07N/m。
A滴入杂质后，形成图3-4-3形状，取圆心角为θ的一小段圆弧，该线段在线两侧张力和表面张力共同作用下平衡，则有，式中代入后得。
B中也滴入杂质后，线3松弛即，形成圆产半径cm，仿上面解法得。
3．4．3、表面张力产生的附加压强
表面张力的存在，造成弯曲液面的内、外的压强差，称为附加压强，其中最简单的就是球形液面的附加压强，如图3-4-4所示，在半径为R的球形液滴上任取一球冠小液块来分析(小液块与空气的分界面的面积是，底面积是S，底面上的A点极靠近球面)，此球冠形小液体的受力情况为：
在S面上处处受与球面垂直的大气压力作用，由对称性易知，大气压的合力方向垂直于S面，大小可表示为 。
在分界线上(图中的虚线处)处处受到与球面相切的表面张力的作用，这些表面张力的水平分力相互抵消，故合力也与S面垂直，大小为
球冠形液块的重力mg，但因A点极邻近液面，所以截块很小，mg的数值可忽略。
根据小液块的力学平衡条件可得
将及R、f的表示式代入上式可得
应该指出是上式是在凸液面条件下导出的，但对凹液面也成立，但凹球形液面(如液体中气泡的表面)内的压强p小于外部压强，另外，对球形液泡(如肥皂泡)由于其液膜很薄，液膜的内外两个表面的半径可看成相等，易得球形液泡内部压强比外部压强大数值。
例 当两个相接触的肥皂泡融合前，常有一个中间阶段，在两个肥皂泡之间产生一层薄膜，见图3-4-5所示。
(1)曲率半径和已知，求把肥皂泡分开的薄膜的曲率半径。
(2)考虑的特殊情况，在中间状态形成前，肥皂泡的半径是什么？在中间膜消失后，肥皂泡的半径是什么？我们假定，肥皂泡里的超压只与表面张力及半径有关，而且比大气压小得多，因此泡内的气体体积不会改变。
解 ：(1)设肥皂液的表面张力系数为，则液泡内的超压为，因此半径小的液泡内的超压大，泡内气体的压强也就比较大，所以连体过渡泡的中间隔膜应向半径较大的泡一边凸出。
设中间隔膜的曲率半径为，则该曲面产生的附加压强为，为了使中间状态的隔膜保持平衡，应有
即。
(2)当时，隔膜的曲率半径，即是一个平面，在界线上任取一点A，它受到两个球面及薄膜的表面张力、、均跟各面相切，如图3-4-6所示。由于是同一种液体，故三力大小，平衡时它们的方向彼此夹120o角，应组成等边三角行，“球幅”的高度d=r/2，所以每过过渡泡的体积为
而压强
设生成过渡泡前的肥皂泡半径为R，则
生成大泡半径为，则
依据玻意耳定律有
若考虑到>>，则泡内气体总体积可认为不变，故可近似得出
说明　对本题，比较有意思的是，泡内超压△p比大气压小得多时，气体的总体积保持不变。
3．4．4、浸润和不浸润
液体与固体接触的表面，厚度等于分子作用半径的一层液体称为附着层。在附着层中的液体分子与附着层外液体中的分子不同。若固体分子对附着层内的分子作用力—附着力，大于液体分子对附着层的分子作用力——内聚力时，则附着层内的分子所受的合力垂直于附着层表面，指向固体，此时若将液体内的分子移到附着层时，分子力做正功，该分子势能减小。固一个系统处于稳定平衡时，应具有最小的势能，因此液体的内部分子就要尽量挤入附着层，使附着层有伸长的趋势，这时我们称液体浸润固体。反之，我们称液体不浸润固体。
在液体与固体接触处，分别作液体表面的切线与固体表面的切线，在液体内部这两条切线的夹角θ，称为接触角。图3-4-7中，液体与固体浸润时，θ为锐角；液体与固体不浸润时，θ为钝角。两种理想情况是θ=0时，称为完全浸润；θ=π时，称为完全不浸润。
例如：水和酒精对玻璃的接触角θ≈0o，是完全浸润；水银对玻璃的接触角θ≈140o，几乎完全不浸润。
由于液体对固体有浸润和不浸润的情况，所以细管内的液体自由表面呈现不同的弯曲面，叫做弯月面。若液体能浸润管壁，管内液面呈凹弯月面；若液体不能浸润管壁，管内液面呈凸弯月面。液体完全浸润管壁，则θ=0，弯月面是以管径为直径的凹半球面；液体完全不浸润管壁，则θ=π，弯月面是以管径为直径的凸半球面。
例 在航天飞机中原有两个圆柱形洁净玻璃容器，其中分别装有一定量的水和水银，如图3-4-7(a)和(b)。当航天飞机处于失重状态时，试分别画出这两个容器中液体的形状。
?
分析：在失重情况下，液体的形状取决于表面张力和与玻璃浸润情况。
解：由于水银对玻璃是不浸润的，附着层面积要尽量小，水对玻璃是浸润的，附着层面积要尽量大，因此将形成如图7-4-8所示的形状。
3．4．5、毛细现象
管径很细的管子叫做毛细管。将毛细管插入液体内时，管内、外液面会产生高度差。如果液体浸润管壁，管内液面高于管外液面；如果液体不浸润管壁，管内液面低于管外液面。这种现象叫毛细现象。如图3-4-9所示为浸润液体的情形。设毛细管的半径为r，液体的表面张力系数为α，接触角θ，管内液面比管外液面高h。则凹形液面产生的向上的表面张力是，管内h高的液柱的重力是，固液注平衡，则：
对于液面不浸润管壁的情况，上式仍正确，此时θ是钝角，h是负值，表示管内液面低于管外液面。
如果液体完全浸润管壁θ=0，为凹半球弯月面，表面张力沿管壁身上，。
例 在两端开口，半径1mm的玻璃毛细管内装满水，然后把它竖直放置，这时留在管中水柱有多长？水的表面张力系数。
解：水能完全浸润管壁，留在管内的水柱重量应与上下两个弯月面的表面张力相平衡。
注意：上弯月面θ=0，下弯月面θ=π。
于是
?
§3．5　典型例题分析
例1、绷紧的肥皂薄膜有两个平行的边界，线AB将薄膜分隔成两部分(如图3-5-1)。为了演示液体的表面张力现象，刺破左边的膜，线AB受到表面张力作用被拉紧，试求此时线的张力。两平行边之间的距离为d，线AB的长度为l(l＞πd/2)，肥皂液的表面张力系数为。
解：刺破左边的膜以后，线会在右边膜的作用下形状相应发生变化(两侧都有膜时，线的形状不确定)，不难推测，在l＞πd/2的情况下，线会形成长度为的两条直线段和半径为d/2的半圆，如图3-5-2所示。线在C、D两处的拉力及各处都垂直于该弧线的表面张力的共同作用下处于平衡状态，显然
式中为在弧线上任取一小段所受的表面张力，指各小段所受表面张力的合力，如图3-5-2所示，在弧线上取对称的两小段，长度均为r△θ，与x轴的夹角均为方θ，显然
而这两个力的合力必定沿x轴方向，(他们垂直x轴方向分力的合力为零)，这样
所以
因此
说明　对本题要注意薄膜有上下两层表面层，都会受到表面张力的作用。
例2、在水平放置的平玻璃板上倒一些水银，由于重力和表面张力的影响，水银近似呈圆饼形状(侧面向外凸出)，过圆盘轴线的竖直截面如图3-5-3所示。为了计算方便，水银和玻璃的接触角可按180o计算，已知水银密度，水银的表面张力系数。当圆饼的半径很大时，试估算厚度h的数值大约是多少(取一位有效数字)？
分析：取圆饼侧面处宽度为△x，高为h的面元△S，图3-5-3所示。由于重力而产生的水银对△S侧压力F，由F作用使圆饼外凸。但是在水银与空气接触的表面层中，由于表面张力的作用使水银表面有收缩到尽可能小的趋势。上下两层表面张力的合力的水平分量必与F反向，且大小相等。△S两侧表面张力可认为等值反向的。
解：
由于0<θ<90o,有
例3、在连通器的两端吹出两个相同的球形肥皂泡A和B后，如图3-5-4，关闭活栓K，活栓和则依旧打开，两泡内的空气经管相通，两泡相对平衡。(1)若A泡和B泡的形状小于半球，试证明A泡和B泡之间的平衡是稳定的。若A泡和B泡的形状大于半球，试证明A泡和B泡之间的平衡是不稳定的。(2)若A泡和B泡的形状大于半球，设两管口的半径均为，A泡和B泡的半径均为。试问当A泡和B泡分别变化成何种形状时，两泡能再次达到平衡，设空气因压缩或膨胀所引起的密度变化可以忽略。
分析：开始时，A泡B泡均小于半球，泡半径应大于管半径。若因扰动使A泡缩小，则泡半径增大，表面张力应减小，A泡内压强变小，这时B泡内气体过来补充，使A泡恢复扰动前的形状，重新达到平衡。对于A泡因扰动稍增大，或B泡因扰动稍增大或缩小的情形可作同样分析。
若A、B泡形状相同，均大于半球。因扰动使A泡缩小，则泡半径变小，表面张力相应增加，A泡内压强变大，使气体从A泡到B泡，A泡缩小和B泡增大后，扰动将持续发展。总之，当A泡和B泡的形状大于半球时，其间的平衡是不稳定的。值得注意的是，当A泡缩小到半球形状时，即当时，A泡半径最小。若再收缩使形状小于半球时，A泡半径再度增大，根据上面的分析，A泡内的压强将再度下降。当A泡小于半球，B泡大于半球，而两者的半径相同时，两泡内的压强再次相同，这又是一个新的平衡状态。
解：(1)见上面的分析。
(2)新的平衡状态为A泡小于半球，B泡大于半球，两者半径均为r，图3-5-5，有
解得r=3.04cm
例4、在相互平行的石墨晶格上，原子排成正六角形栅格，即“蜂窝结构”如图1-5-6(a)所示，平面上原子间距为m，若石墨的密度为，求两层平面间的距离。(碳原子量为12)
解：显然应根据晶格模型进行研究，把晶格平面适当平移，使上下层原子正好对齐，这时原子系统可看成如图3-5-6(b)那样，每个原子属于6个不同晶胞，因此一个晶胞中12/6=2个原子，石墨中的原子数是个。晶胞数是上述原子数的一半，故一个晶胞的体积是
晶胞的底面积是
说明在晶格模型的计算中，初学者往往把晶胞所包含的原子数搞错，误认为石墨晶胞包含了12个原子。这里的关键是要分析其中每一个原子是哪几个晶胞所共有，那么每个晶胞仅只能算其1/n个原子。
例5、用圆柱形的杯子做“覆杯”实验，杯子的半径为R，高度为H，假定开始时杯内水未装满，盖上不发生形变的硬板后翻转放手，由于水的重力作用，硬板将略下降，在杯口和平板间形成凹的薄水层，如图3-5-7所示。假定水对玻璃和平板都是完全浸润的，水的表面张力系数为，纸板重为mg，大气压为，水的密度为ρ，则为了保证“覆杯”实验成功，装水时，杯内所留的空气体积不得超过多少？
解：如图3-5-8表示板与杯口间水层的大致形状(为求清晰，图中比例已被夸大)。其中虚线表示整体轮廓，实线则划出其一小片分析其受力，图3-5-9则是俯视平面图。
设内凹的薄水层深度为d，由于完全浸润，它就等于凹面的直径，所取出的水液面宽度为△l，则它受力如下：
f—附着层水对凹面的表面张力，有上(杯沿)下(硬板)两个，其大小为，方向垂直于△l水平向外。
—和划出部分相连的凹面其他部分的水对该液面的作用力，方向沿圆周切线方向，大小为，两力合力大小为
F—液面内外压力差，其方向水平指向圆心，大小为(其中为大气压，p为内部水压强)。
在受力平衡的条件下应有
得 ①
如果以硬板为研究对象，受力如图3-5-10，平衡时有
即 ②
p是水内部的压强，它应等于杯内气体压强加上由水重所引起的压强，若杯内气体压强为，原来装水后空气层厚度为h，则
③
进行覆杯实验后，硬纸板是盖住杯口的，这时杯内气体压强就等于大气压即，体积，“覆杯”放手后，由于硬纸板受重力作用，板下移距离d(即前述水层厚度)，使杯内气体体积变为，压强就变为，由玻意耳定律得
④
把②代入①可求得板重为mg时，水层最大厚度
⑤
由②③④式可得
将⑤式代入即可得到极限情况下杯内原来的空气柱厚度，因式子过繁，就不将d值代入了。
说明　当杯子倒转放手后，如果杯内装满水而无空气，则大气对平板的向上压力将远大于杯内水及平板重，因此平板紧压杯口，但如果原来杯内有空气，其压强等于大气压，翻转杯子并放开平板合，水与板重将使板下移，杯内空气体积增大，压强减小，只要条件合适，大气压力有可能承受住杯内气体压力(小于)与水、板重之和。
然而，气压减小量是与气体体积增大量有关，而体积增大则决定于板与杯口间水层的厚度，而该层最大厚度则与表面张力引起的附加压强有关。据此反推，即可得到解题思路。
实验理论
物理学是一门实验科学，几乎所有的物理定律都来自于物理实验并不断地受到新的物理实验的检验，因此研究物理实验是每个对物理感兴趣的同学必须做的工作，正因为如此，物理实验在物理竞赛中也占有重要的地位，不论是全国物理竞赛，还是国际奥林匹克物理竞赛，实验内容都要占30%—50%的比例。
一、?????????? 有关实验的基础知识
（一）实验误差的概念
1、为什么要讨论测量误差 任何物质都有自身的各种各样的特性，反映这些特征的量所具有的客观真实数值，称为真值。测量的目的就是力图得到真值，但是由于测量的方法、仪器、环境和测量者本身都必然存在着某些不理想情况，所以测量不能无限精确，在绝大多数情况下，测量结果与客观存在的真值之间总有一定的差异，这就是测量误差，测量误差的大小反映我们的测量偏离客观真实数值的大小，反映测量结果的可信程度。
从某种意义上说，不给出测量误差的测量结果是没有意义的，是无法使用的，例如我们测量出某种合金的密度是（3.2，即说明这种合金的密度不会小于，不会大于。如果用这种合金制造飞机，就可以估计出飞机的最大和最小质量。相反，如果测出的密度没有误差范围，是没有实际使用意义的。
测量误差是反映测量结果好坏的物理量，它与实验的各个方面都有密切的关系，例如，我们要根据测量误差的限度制定实验方案，即确定实验原理和步骤，并选用器材，在实验操作过程中，要千方百计减小误差，最后，通过对实验数据的处理，确定实验结果的误差，由此可见，考虑实验误差是贯穿于实验全过程的事。
2、实验误差的分类
（1）绝对误差和相对误差 误差按其表达形式可分为绝对误差和相对误差。
1）绝对误差：测量值与真值之差的绝对值叫绝对误差，定义为：
绝对误差（）=
绝对误差反映了测量值偏离真值的大小。
2）相对误差：绝对误差无法表示测量质量的高低，例如在测量上海到北京的距离时，如果绝对误差是1米，测量质量已很高；但是如果测量百米跑道时产生1米的误差，则测量质量就不好了，为了说明测量质量的高低，我们还要引入相对误差的概念，其定义为：
相对误差（E）= 绝对误差（）真值（A）
相对误差常用百分数的形式来表示：
（2）系统误差和偶然误差 误差按其性质及其产生的原因，又可以分为系统误差和偶然误差两种。
1）系统误差：系统误差的特征是带有确定的方向性，在相同的条件下，对同一量进行多次测量，误差的正负保持不变，如果测量值偏大，则总是偏大；如果测量值偏小，则总是偏小，系统误差的来源主要有以下几个方面：
原理误差：由于测量所依据的理论公式的近似性（不完善性）而造成的误差，例如，单摆的周期公式，它成立的条件是摆角趋近于零，否则就是一个近似公式；又如用伏安法测电阻时，因忽略了电流表的分压作用或电压表的分流作用，测得的结果只能是近似值。
仪器误差：由于测量仪器本身的缺陷而造成的误差，例如尺子过长或过短、秒表零点不准、天平不等臂、砝码不够标准等等。
环境误差：由于测量时周围的环境（温度、压力、湿度等）不理想而造成的误差。例如在20℃时定标的标准电阻在30℃的环境中使用等。
很明显，由于系统误差有固定的偏向性，所以用多次测量求平均值不能减小系统误差，但如果我们找到了某个系统误差产生的原因，就可以采取一定的方法去减小它的影响，或者对测量结果进行修正。
2）偶然误差：偶然误差的特征是带有随机性（因此偶然误差也叫随机误差）。在测量中，如果已经基本消除了引起系统误差的一切因素，而测量结果仍然无规则地弥散在一定的范围内，这种误差叫偶然误差。偶然误差的可能来源是：测量者自身感官（如听觉、视觉、触觉）的分辨能力不尽相同，外界环境的干扰等等。
偶然误差是无法控制的，但它的出现却服从一定的统计规律。常见的一种规律是：大于真值和小于真值的测量值了现的机会相等；而且误差较小的测量值比误差较大的测量值出现的机会多；偏离真值很大的测量值出现的机会趋于零。因此，用增加测量次数求平均值的方法，可以减小偶然误差。
关于因仪器损坏，设计错误，操作不当而造成的测量错误，则不是测量误差。
（二）偶然误差
1、直接测量中偶然误差的估算 所谓直接测量，就是直接用测量仪器进行测量得到结果。
（1）单次测量的误差估算 在物理实验中，有时由于对测量的精度要求不高，或由于测量对象的不可重复性，对一个物理量的直接测量只进行一次，这种测量方法叫做单次测量。
单次测量结果的误差因测量工具的不同常有以下几种确定方法：
1）取测量仪器最小刻度的1/5或1/2作为测量误差，例如毫米刻度尺取0.2mm或0.5mm作为测量误差,一般温度计取0.2℃或0.5℃作为测量误差等等.
2)天平取其感量作为测量误差,例如物理天平可取0.02g,托盘天平可取0.1g作为测量误差.
3)机械秒表的最小分度一般是0.1s,但由于操纵表的人难免按之过早或过迟,因此可取0.1s或0.2s作为测量误差.手动的电子秒表尽管可以显示0.01s,但由于同样的原因也只能取0.1s或0.2s作为测量误差,0.01s位上的数字是没有实际意义的.
4)电表(电压表、电流表)的测量误差有特定的确定方法：每个电表都有一个准确度级别（0.2级、0.5级、1级、2.5级、4级），电表的测量误差不会大于其量程和它的级别的百分阶段之一的乘积. 例如有一个0.5级的电流表,量程为3A,那么其测量误差
5)电阻箱同样也用级别表示误差的大小，但电阻箱级别和电表的级别略有不同。n级电阻箱的测量误差为其当时阻值与n%的乘积。
（2）多次测量结果和误差估算 测量某一个物理量时，为了减小偶然误差，在可能的情况下，应多次重复测量。如果在相同的条件下对某一物理量进行了n次测量，各次测量分别为，那么其平均值
）
根据误差统计误差，可证明在一组测量n次的数据中，其算术平均值最接近于真值，此算术平均值称为测量的最佳值。当测量次数n无限增加时，最佳值将无限接近于真值。一般就将最佳值为多次测量的结果。
严格地说，误差是测量值和真值的差，但由于真值不可能得到，而且当测量次数多时，最佳值很接近于真值，因此可以用最佳值代替真值来估算误差。仍以上例来说明误差的估算方法。
…
（3）测量结果的表示 测量结果应该包括数值、误差和单位三个部分。
通常将测量的结果写成单位。其中是测量值，可以是一次测量值，也可以是多次测量的最佳值，是绝对误差。为了更清楚地表示测量质量的好坏，还应同时写出其相对误差.
这里要说明两点：
①在误差运算的过程中，一般只取一到二位有效数字，最后表示绝对误差的值一般只取一位而且应该和测量最佳值的最末一位对齐，为了确保误差范围的有效性，一般是只入不舍。
②测量结果为并不表示x为两个值，而是表示x一般在这个范围之内。
2、间接测量中偶然误差的估算 所谓间接测量，就是应用直接测量得到的值，经过计算得到自己所需要的结果。例如测一块圆柱体金属的密度，可以先通过直接测量得到它的直径D、高h和质量m，然后用公式
计算出密度。因为计算中所用的直接测量值都是有误差的，所以算出来的间接测量值当然也是有误差的。下面就讨论在不同类型的计算中，怎样由直接测量的误差得到间接测量的误差。
设x为间接测量的量，而A、B、C…为直接测量的量，它们之间满足一定的关系，即x=f(A,B,C…).如果各直接测得量表示为
将这些量代入f(A,B,C…)中，便可以求得

其中为间接测得量的最佳值，是间接测得量的绝对误差。
（1）加法运算中的误差
若x=A+B+C+…
则

其中最佳值
绝对误差
由于A、B、C都是互相独立的，它们的绝对误差可能为正，也可能为负。在最不利的情况下，可能出现的最大误差是。我们规定此可能的最大误差为x的误差。
（2）减法运算中的误差
若x=A-B-C-…
则

其中最佳值
绝对误差
按前面所讲，在最不利情况下，取
由此可见，加减运算结果的绝对误差等于各直接测得量的绝对误差之和。
（3）乘法运算中的误差
若
则

其中最佳值
绝对误差
由于(即比或更小的小量),可以忽略不计,所以,.在最不利的情况下,取,于是相对误差为
(4) 除法运算中的误差
若
则
)
其中最佳值
绝对误差,在最不利的情况下,取.相对误差为


=
由此可见,乘除运算结果的相对误差等于各直接测得量的相对误差之和.这个讨论虽然是从两个因子乘除的运算中推导出来的,但可以推广到任意多个因子乘除的运算中去,如果加、减、乘、除运算中有的因子是公认的理论值或测量值，那么可以不考虑它的误差。
（5）乘方和开方运算中的误差
若。如果n是整数就是乘方运算，如果n是分数就是开方运算。
（6）三角函数运算的误差
若
若
若
若
若
若
上列式中分别表示x和A的绝对误差。限于数学工具，以上公式我们不作推导。
掌握了间接测量的误差传递公式，不但可以在实验结束后估算出实验结果可能的误差，还可以在实验前帮助我们确定实验方案和改进实验操作。请看下面一例：
试用单摆测量某地的重力加速度，可提供的工具除了单摆之外还有米尺、秒表等，要求测得的g的相对误差小于1%。
根据单摆的周期公式
根据误差传递公式可知
因为要求，进行适当的分配，可确定操作目标为：，摆长是用米尺测量的，一般取，因考虑到摆线可能有一定的伸缩性，取较妥（已留有相当的余地）。因此摆长

周期是用秒表测量的，以开、停表都有0.2秒的误差计,,因此总计时
这样我们在实验中用摆长为1m左右的单摆,用秒表测出它摆动100次左右的时间,即可达到题设的要求.
如图11-1所示的比重瓶是一种有准确的固定体积的容器(瓶中装满液体,然后将塞子盖上,多余的液体会从塞子中央的细管中溢出,这
样便保持了瓶中液体一定的体积),要求用此瓶测定一种小金属粒的密度,可提供的仪器还有天平、砝码和蒸馏水。
这个实验的原理不复杂，先测了金属粒的质量，再测出装满水的比重瓶的质量最后将金属粒放进装满水的比重瓶中，测出带金属粒和水的比重瓶的质量。这样，被金属粒排出的水的质量便是，这部分水的体积是，这也就是金属粒的体积，于是金属粒的密度便是
实验操作中一个有待决定的问题是：金属粒是多放一些好还是少放一些好？因为的相对误差
其中有公认值，故可以忽略。
对同一架天平来说,是确定的,不难看出,当金属粒放得比较多时,上面两式的分母都比较大,相对误差就比较小.因此尽量多放些金属粒,能减小实验结果的误差.
(三)有效数字及其运算
1、有效数字 如上所述，用实验仪器直接测量的数值都含有一定的误差，因此测得的数据都只能是近似数，由这些近似数通过计算而求得的间接测量值也是近似数。为了使间接测量结果合理些，对近似数的表示和计算都有一些规则，以便确切地表示测量和运算结果的近似性。
从仪器上读出来的数值，经常有一位数是估计出来的，或多或少存在着误差。例如米尺的最小刻度是mm(0.001m)，那么用米尺测量长度可读到十分之一毫米(0.0001m).0.001m这一位可以从米尺上读出来，是可靠的，0.001m位前面的数都是可靠数，0.0001m这一位是测量者估读出来的，估读的数字因人而异，因此是有疑问的，称为存疑数。由于0.0001m位已存疑，在它以后各位数的估读已无必要。我们把可靠数加上最后一位存疑数，一起记录下来，统称为有效数字。
在应用有效数字进行数据处理时应注意以下几点：
（1）自然数1，2，3，4，5，6，7，8，9如出现在测量中，均为有效数字。“0”出现在其它数字之后或之间为有效数字，如出现在其它数字之前就不是有效数字了，它们只起定位作用。例如0.08020，前面两个零不是有效数字，后面四个数都是有效数字，因此它有四位有效数字。
（2）读数时，必须按照仪器要求读出测量值，即使末位是“0”，也不能任意舍去。在数学中我们认为2.10cm、2.100cm、2.1000cm是相同的，而在物理中却表示了用三种不同的测量工具所测量的结果，其估读的可疑数分别在0.01cm、0.001cm、0.0001cm这些位上，所以我们决不能在测量结果后面任意加上或丢掉“0”。
（3）有效数字是由测量对象和测量仪器所决定的，单位的换算不能改变有效数字的位数，因而必须注意单位换算时的正确表示法。例如将3.70m化成毫米单位，不能写成3700mm而应该用指数表示法写成,仍表示三位有效数字；将280mm换成以米作单位，不能写成2.8m,而要写成2.80m。
2、有效数字的运算法则 在有效数字运算过程中，为了做到不因运算而引进“误差”或损失有效位数，以不影响测量结果的精确度为原则，人们对有效数字的近似运算法则作了统一规定。
（1）有效数字的加减 我们通过下面两个例子的运算，了解一下加、减运算中有效数字的取法。
?
?
计算时，我们在存疑数下面加横线，以使之与可靠数字相区别，在相加结果35.37中，由于第三位数“3”已为存疑数字，后面的一位便毫无意义，按四舍五入的原是处理，本例应向前进位，与成35.4，有效数字为3位。同理，相减的结果应该为22.72，舍去了尾数“4”，有效数字为4位。
在上面的例子中，如果我们按照位数对齐相加或相减诸数，并以其中存疑位数最靠前的量为基准，事先进行四舍五入，取齐诸量的尾数，则可简化运算过程，而结果仍然相同。仍用上面两个算式为例，具体算法如下：
?
?
这个结论可以推广到多个量相加或相减的运算中去。
（2）有效数字的乘除 我们通过下面两个例子的运算，了解一下乘、除运算中有效数字的取法
?
?
?
?
?
?
计算过程中，凡是有存疑数字参于运算而得到的量都是不可靠的。在运算结果中，存疑数字只保留一位，其后面的存疑数字是没有意义的。因此上面两个例子的结果分别为110和173，有效数字都是三位。从以上两个例子中可以看到，两个量相乘（或除）的积（或商）其有效数字与诸因子中有效数字位数最少的相同。这个结论可以推广到我个量相乘除的运算中去。
（3）有效数字的乘方、开方 按照确定乘法运算结果有效位数的方法，可知乘方运算的结果，x的有效位数应与其底数A的有效位数相同。当n是分数时，就是开方运算，也可看作是乘方的逆运算，根的有效位数与被开方数的有效位数相同。
以上这些结论，在一般情况下是成立的，但也有例外/只要我们掌握了有效数字的意义和存疑数了取舍的原则，是不难处理的。
还应该指出，有效数字讲的是实验数据记录和运算的规则，它不能代替绝对误差和相对误差的计算。在实验中，如果两者发生矛盾，以误差计算法则为准。如果因为各项误差的积累，使间接测量的绝对误差较大，这样就便得根据有效数字运算法则算出来的本来应该可靠的位数也产生了误差，那么就将这一位数作为存疑数，后面多余的存疑数全部舍去。
（四）系统误差
系统误差具有确定的方向性，因此找出其产生的原因后，可采取适当的措施减小或消除此之外它。下面讨论几种常见的系统误差及解决的方法。
1、由实验原理的不完善带来的系统误差 以伏安法电阻为例，不论是图11-2（a）所示的电流表外接，还是图11-2（b）所示的电流表内接，
都旧有系统误差的，对此系统
误差，有两种办法处理，一种是对实验结果进行修正，另一种是地实验线路进行补偿。
以图5-2（a）线路为例，如果事先已知电压表的内阻 ，即可对实验结果进行修正，如果电压表和电流表的读数分别为U和I，则可解得
如果电压表的内阻未知，则可改进实验线路，进行电流补偿（图5-3（a））或电压补偿（图5-3（b））。仔细地调节滑动变阻器R，使电流表的读数为零。此时因为a、b两点等势，所以电压表的读数就是的电流，这样就消除了由于电流表分压及电压表分流而带来的系统误差。
注意，图5-3只是电流补偿和电压补偿的原理图，在实际操作中，还须有一些附加部件。例如在电流计上必须串一个滑动变阻器以保护电流计，电路未调平衡时将滑动变阻器置于阻值最大处，随着逐渐调平衡慢慢减小滑动变阻器的阻值直至零。
2、由于测量仪表不准确带来的系统误差 图5-3所示的补偿电路解决了由于实验原理不完善带来的系统误差。但电压表和电流表的准确度是很有限的（一般中学里用的电表都是2.5级的，即使大学专业实验室中的电表也只有0.5级），这会给测量结果带来较大的误差。
为了用准确程度要高得多的电阻代替电表来测量，我们可以这样来分析一下图5-3（a）的电路，将R分画成两个电阻（图5-4）。我们假定有四个电阻‖ ，，根据欧姆定律

这样，如果三个电阻都已知，也就测得了。
将图5-4改画成图5-5，
都用电阻箱。这就是我们熟知的惠斯通
电桥。电阻箱的准确度要比电表高得多
，中学里用的多数为0.2级，稍好一些
的即可达0.02级。
3、由外界环境带来的系统误差 用
量热器做热学实验时，实验系统和外界的热交换是一个比较难解决的问题，此时我们可以用“异号抵消”的思想来减小这一系统误差。
在用混合法测定冰的熔解热的实验中，将量热器假定成一个完美的绝热系统，但这在职实验中是无法做到的，我们采用“异号抵消”法来尽量减小量热器和周围环境之间的热传递给实验结果带来的系统误差。
在实验过程中，环境温度可以认为是不变的。适当选取量热器内水的初温和水、冰的质量，使量热器在实验的前一部分时间内向周围环境放热，在实验的后一部分时间内从周围环境吸热，并尽量使整个实验过程中量热器与环境的热交换前后彼此抵消。这样便可以认为量热器是一个很好的绝热系统。
怎样才能使量热器的放、吸热基本相同呢？我们以时间t为横轴，以量热器温度T为纵轴，可得如图11-6所示的图线。AB是冰块投入前的自散热线，BCD是冰的熔解线，DE是自然吸热线，从这段时间内，量热器的温度高于室温，量热器向周围环境放出来的热量可用BFC这个曲边三角形的面积来表示（暂不作证明）。从这段时间内，量热器的温度低于室温，量热器从周围环境吸收的热量可用曲边三角形CGD的面积来表示，适当地控制水的初温和水、冰的质量，使相差不多，即可认为量热器与外界基本没有热交换。
（五）图线法处理实验数据
1、图线法的作用和优点 物理实验中的图线法，是用作图来得到实验结果，它是一种应用得很广泛的处理实验数据的方法。特别是在有些科学实验的规律和结果还没有完全掌握或还没有找到明确的函数表达式时，采用作出的图线来表示实验结果，能形象、直观地显示出物理量变化的规律。
图线法有取平均的效果。一般的图线是根据许多组数据拟全出来的平滑曲线或直线，这样的图线就有多次测量取平均的作用。
图线法还可以帮助我们发现某些错误。如果在描图过程中发现某个点偏离得特别远，则提示测量或数据计算中可能有错误，应重新测量或进行校对。
2、作图线的规则
（1）作图线必须用坐标纸，我们一般采用毫米方格纸 坐标纸的大小根据实验数据的有效位数来确定，一般的原则是：测量数据中的可靠数字在图线中也应该是可靠的，测量数据中的存疑数字在图线中应该是估画的，即坐标中的最小格对应于测量值的有效数字中可靠数字的最后一位。
（2）坐标轴的坐标与比例 通常以横轴代表自变量，纵轴代表因变量。在坐标轴的末端近旁标明所代表的物理量及单位。作图线时，根据需要横轴和纵轴的标度可以不同，两轴的交点也不一定要从零开始。要力求整个图线比较对称地占据整个图纸，不要偏在一角或一边。
（3）图线的标点与连线 根据测得的数据，用削尖的铅笔在坐标图纸上对应地以“⊙”标出各数据的点。同一坐标纸上如有不同的图线，应当用不同的符号，如“+”，“△”等来标点。当数据点标好后，用直尺或曲线板等作图工具，把它们连成直线或光滑曲线。除特殊情况（如校准曲线）外，绝不允许连成折线，也不允许连成“蛇线”。图线不一定通过每个数据点，但要求数据点在图线两旁有较均匀的分布。
（4）在坐标纸上应标明图的名称，一般要求在图纸上部附近的空旷位置写出简要完整的图名，文字要用仿宋体。
3、用图解法求直线的斜率和截距
如果图线为直线，其函数式为y=kx+b，那么可以从图线上解出其斜率k和截距b。具体求法是在直线上任意取两点两点不能靠得太近，一般取在靠近直线两端的地方。在直线上确定这两点的坐标之后，即可列出方程组
解方程组，得直线斜率


如果x坐标的起点为零，则可直接从图线上读取直线与y轴的交点的y的坐标，就是直线的截距b。如果x坐标轴的起点不为零，则要在图线上再取一点有
要注意的是都要由图线上取得，不可用原来的实验数据点。为了减少误差，这三个点的确良x坐标可取整数，读坐标值时，只要读取它们的y坐标即可。
4、曲线化直 在实验中，会遇到各种各样的函数形式，其中一次函数的图线最容易精确绘制，并且可以根据图线求出所需要的数据（一般是求出图线的斜率k和截距b，然后再根据k和b求出所需实验结果）。所以，我们常通过一些变换，将曲线函数化成直线函数，这一工作可称为“化直”。
物理实验中常遇到下列函数
图线类型
函数式
例子
物理公式
直 线
匀变速运动
抛物线
单摆
双曲线
玻意耳定律
平方反比
库仑定律
指数曲线
阻尼振动
下面具体说明怎样将上述函数“化直”：
（1）抛物线，设y=Y,
（2）双曲线，设y=Y,
（3）平方反比，设y=Y,
（4）指数曲线，设
作了上列变换后，再作~X图线，便可得到直线。
5、图线法求实验结果 图线法求实验结果的一般步骤是：
（1）改变实验条件多次重复测量，得到一系列实验数据；
（2）进行数据变换，得到直线形函数
（3）拟合出图线（直线）；
（4）求出图线的斜率k和截距b；
（5）从k和b中间求出所需要的实验结果。
6、图线法探索物理规律 在已知物理规律（如上例中已知）时，可以用图线法来求实验结果；如果物理规律尚不清楚，也可以用图线法来探索物理规律。
先看一个物理学史上的事例：欧姆当年研究电压、电流和电阻三者之间的关系时，非但没有测量电压、电流、电阻的电表，连电压、电流、电阻的概念都没有。他以导线的长度L代表电阻，以放在通电导线旁边的小磁针的偏转角度代表电流强度，得到如下实验数据：
L（英寸）
2
4
6
10
18
34
66
134
（度）
305
281
259
224
178
125
79
44
0.328
0.356
0.386
0.446
0.561
0.800
1.27
2.27
?
我们可以通过以下步骤来探索当电压一定时，电流（）和电阻（L）的关系。
（1）以纵轴代表，横轴代表L，作出~L图线（图11-8）
（2）根据图11-8初步判断与L成反比关系，因此再算出一系列值，并试作图线（图11-9），得到一条不过原点的直线。这说明与L不成反比关系，但和L却成线性关系。
（3）设,其中k为图线的斜率，b为图线在纵轴上的截距，上式可化成
（4）在图线上取两点：
求出图线的斜率

从图11-9中可直接看出图线的截距，所以
这个式子和我们今天常用的全电路欧姆定律已完全一样了，式中6600代表电动势，20代表内阻。
7、图线法的局限性 由于图线一般都是靠目视而拟合出来的（这种方法叫直觉拟合），因此在拟合过程中人的因素难免要起作用。同一组数据，两个人通过直觉拟合得到的结果一般不可又红又专完全一样，这就说明图线法处理数据的过程又会给实验结果带来一些新的“误差”。因此，直觉拟合作图法是一种比较粗略的数据处理方法，一般不讨论结果的误差。
（六）线性回归法
直觉拟合法最大的缺陷就是无法克服连线时的主观随意性，也就是说，直接拟合很难找到一条离各个数据点最近的图线。那么是否可以通过严格的数学方法找到这条最佳的图线呢？这就是下面要讨论的问题。
1、线性回归法（最小二乘法） 假定变量x和y的关系是线性的
y=kx+b
其图线是一条直线。
在实验中测得n组数据现在的问题是怎样根据这些数据确定上面线性方程中的k和b。为了理论上计算的需要，假定中只有是有误差的。在实际处理实验数据据时，可以把两个变量中相对业说误差较小的变量作为x。
我们对回归直线提了的标准是：要求从各数据点到回归直线的竖直距离平方之和为最小，也就是说，要求出k和b等于什么值时，各数据点到回归直线的竖直距离平方之和取得极小值。由于数学知识的限制，这里不介绍具体推导，只给出结论供使用：
令
那么斜率
截距
式中符号表示求和，如果共有n个数据点，那么
这个计算过程看起来比较复杂，但在职电脑使用日益普及的今天，用电脑来完成这样的工作很方便。一些功能比较齐全的计算器具有二维统计功能，也能自动完成这些计算。
在统计理论中还给出一个叫做相关系数的量，它主要表征x、y两个变量相关的程度。从图线上看，如果x、y的相关程度高，那么数据点都比较靠近拟合出来的图线；如果相关程度低，那么数据点就比较分散。相关系数
当x与y完全不相关时，r=0；当x与y正相关，即回归直线的斜率为正时，r>0;当x与y负相关，即回归直线的斜率为负时，r<0；当所有数据点都在回归直线上时，。所以，r的数值只能在（-1）和（+1）之间。图11-10说明了数据点分布情况不同时的相关系数。
（2）线性回归法的误差 由于线性回归法是建立在严格的统计理论基础上的，因此可以计算回归直线方程的系数k和b的误差，同样由于数学方面的原因，这里只给出计算结果：
k的相对误差：
k的绝对误差：
b的绝对误差：
b的相对误差：
有了k和b的误差，便可以确定k和b的有效位数了：使k和b只保留一位存疑数，即让误差的位数和k、b的最末一位数相同。
3、线性关系显著的标准 由对相关系数r的讨论可知，对一个实际问题，只有当相关系数r的绝对值大到一定程度时，才可以用回归直线来近似地表示变量x和y之间的关系，即可以认为x与y成线性关系。因此，要有一个标准，在这个标准之上，就可以认为x与y线性关系显著。
线性关系显著的标准与数据点的个数有关，下面我们给出两个变量达到线性关系显著标准的相关系数的最小值（此值还与显著性水平有关，这里列出的是显著性水平a=0.01时的相关系数的最小值）。下表中n为数据点个数，r为相关系数的最小值。
n
3
4
5
6
7
8
9
10
11
r
1.000
0.990
0.959
0.917
0.874
0.834
0.798
0.765
0.735
n
12
13
14
15
16
17
18
19
20
r
0.708
0.684
0.661
0.641
0.623
0.606
0.590
0.575
0.561
下面用一个很简单的例子来说明线性回归法处理实验数据的具体做法。
在研究导体上的电流I和导体两端的电压U的关系时，得到如下数据：
U（伏）
0.40
0.60
0.80
0.95
1.10
1.30
1.60
2.00
I（毫安）
2.78
4.10
5.14
6.10
7.45
8.86
10.82
13.10
(1)对以上数据进行线性回归处理

（2）计算相关系数及误差
（3）根据以上计算，可以得到下列结论
①电流I和电压U的相关系数为0.9988,因为0.9988>0.834,因此是显著相关，说明I和U成线性关系。
②回归直线的截距b=0.06953,而，因此可以认为回归直线过原点，说明I和U成正比。
③导体的电阻
?
因此
稳恒电流
§2、1 电 流
2．1 ．1．电流、电流强度、电流密度
导体处于静电平衡时，导体内部场强处处为零。如果导体内部场强不为零，带电粒子在电场力作用下发生定向移动，形成了电流。形成电流条件是：存在自由电荷和导体两端有电势差（即导体中存在电场）。自由电荷在不同种类导体内部是不同的，金属导体中自由电荷是电子；酸、碱、盐在水溶液中是正离子和负离子；在导电气体中是正离子、负离子和电子。
电流强度是描述电流强弱的物理量，单位时间通过导体横截面的电量叫做电流强度。用定义式表示为
电流强度是标量。但电流具有方向性，规定正电荷定向移动方向为电流方向。在金属导体中电流强度的表达式是
n是金属导体中自由电子密度，e是电子电量，v是电子定向移动平均速度，S是导体的横截面积。
在垂直于电流方向上，单位面积内电流强度叫做电流密度，表示为
金属导体中，电流密度为
电流密度是矢量，其方向与电流方向一致。
2．1 ．2、电阻定律导体的电阻为
式中、称为导体电阻率、电导率，由导体的性质决定。
实验表明，多数材料的电阻率都随温度的升高而增大，在温度变化范围不大时，纯金属的电阻率与温度之间近似地有如下线性关系
为0℃时电子率，为时电阻率，为电阻率的温度系数，多数纯金属值接近于℃，而对半导体和绝缘体电阻率随温度 的升高而减小。某些导体材料在温度接近某一临界温度时，其电阻率突减为零，这种现象叫超导现象。
超导材料除了具有零电阻特性外，还具有完全抗磁性，即超导体进入超导状态时，体内磁通量被排除在体外，可以用这样一个实验来形象地说明：在一个浅平的锡盘中，放入一个体积很小但磁性很强的永磁铁，整个装置放入低温容器里，然后把温度降低到锡出现超导电性的温度。这时可以看到，小磁铁竟然离开锡盘表面，飘然升起与锡盘保持一定距离后，悬在空中不动了，如图2-2-1所示。这是由于超导体的完全抗磁性，使小磁铁的磁感线无法穿透超导体，磁场畸变产生一个向上的很大的排斥力，把磁铁托在空中，这就是磁悬浮的道理，这一特性启示了人们用超导材料制造磁悬浮列车。
超导现象是1911年荷兰物理学家昂尼斯首先发现的。他发现在（℃），汞的电阻突然消失，并把这种“零”电阻特性称为“超导电性”。接着他又发现在附近，铅也具有“超导性”。
1933年，迈斯纳发现了超导的“完全抗磁性”，他证明处于磁场中的超导体可以把磁感线完全排斥在体外，从而使自身可以悬浮在磁体之上。这个现象称为“迈斯纳效应”。至今人们仍把“零电阻特性”和“完全抗磁性”作为判定材料达到“超导状态”的两个必要条件。
例1、为了使一圆柱形导体棒电阻不随温度变化，可将两根截面积相同的碳棒和铁棒串联起来，已知碳的电阻率为，电阻率温度系数℃，而铁，℃求这两棒的长度之比是多少？
解： 各种材料的长度和截面积都会随温度变化而变化，但它们电阻率的变化比线度的变化要明显得多（一般相差两个数量级），因此可以忽略线度的变化。
将代入，得
式中为材料0℃时电阻
将碳棒和铁棒串联，总电阻为
要R不随温度变化，必须有
由，可知截面积相同的两棒长度之比为

2. 1 ．3、电流密度和电场强度的关系
通电导体中取一小段长，其两端电压，则有：
得到
上式给出了电流密度与推动电荷流动的电场之间的对应关系，更细致地描述了导体的导电规律，被称为欧姆定律的微分形式。
①对于金属中的电流，上式中的还可有更深入的表示。
当金属内部有电场时，所有自由电子都将在原有的热运动的基础上附加一个逆场强的定向运动，就是所有电子的这种定向运动形成宏观电流。
由于与晶体点阵的碰撞，自由电子定向速度的增加受到限制。电子与晶体点阵碰撞后散射的速度沿各个方向几率相等，这样电子定向运动特征完全丧失，其定向速度为0。这样电子在电场力的作用下从零开始作匀加速运动，设两次碰撞之间的平均时间为，平均路程为，则电子定向运动平均速度。
而，是电子热运动的平均速率。所以
下面我们看电流密度矢量与电子定向运动平均速度的关系。在金属内部，在与垂直方向取一面积为的面元，以为底，为高作一个柱体。设单位体积内自由电子数为n，则单位时间内柱体内的所有为由电子能穿过面而形成电流，面上任一点的电流密度：
的方向以正电荷运动方向为准，电子带负电，的方向与的方向相反
代入，我们得到
对于一定的金属导体，在一定温度下，是一定的，与欧姆定律的微分形式相比，金属的电导率为
②对于导电液体，同样有更细微的表达式。
能够导电的液体称为电解液。电解液中能自由移动的带电粒子是正、负离子。在没有外电场时，正负离子作无规则的热运动。在有外场作用时，液体中正负离子定向移动形成宏观电流，正、负离子的平均定向速度（以称迁移速度）和与所加的电场成正比。若单位体积内有n对正负离子，每个离子带电量q，考虑到负电荷的运动等效于等量的正电荷反方向的运动，则所研究面元的电流密度大小为
定义单位场强下的迁移速度为迁移率，分别用和表示

则
对于一定浓度的某一种电解液，均为恒量，液体导电仍满足欧姆定律。
§2、2电路
2．2 ．1、电路连接与电表改装
（1）串、并联电路的性质
串联电路通过各电阻电流相同，总电压为各电阻两端电压之和，电压的分配与电阻成正比，功率的分配也与电阻成正比，即
串联电路总电阻
并联电路各电阻两端电压相同，总电流为通过各支路电流之后，电流的分配与电阻成反比，功率的分配亦与电阻成反比，即
总电阻：
（2）电表改装
①欲将满偏电流为，内阻为的电流表改装为量程为U的电压表，需将分压电阻R和电流表串联，如图2-2-1所示，所谓量程为U时，就是当电压表两端的电压为U时，通过电流表的电流为，电流表分担的电压为。根据串联电路的规律有

即
电压表内阻
通常，都很大，理想情况下可认为。
②欲将内阻为，满偏电流为的电流表改装为量程为I的电流表时，需将分流电阻R和电流表并联，如图2-2-2所示。同理可推得


通常，R很小，可认为电流表内阻，理想情况下可认为。
③将电流表改装成欧姆表
简易欧姆表接法示意图如图2-2-3所示，为调零电阻，表头内阻为，满偏刻度为。测量前，应先将两表笔短接，调节使流过表头的电流为，若电池的电动势为，内阻为，则
如果在两表笔间接一电阻，则电流减半，指针指表盘中央，因此，称为“中值电阻”，表盘最左刻度对应于，最右边刻度对应于，对于任一阻值，若
得
这就是欧姆表的刻度原理，如欧姆表的中值电阻，表盘满偏处的刻度为，表盘满偏处的刻度为，如图2-2-4所示。
欧姆表的量程改变后，各刻度所对应的电阻值应乘以相同倍率，另外要注意，凡使用欧姆表，必须进行机械调零和欧姆调零，并且，换档后一定要重新进行欧姆调零。
④将电流表改装成交流电压表
交流电压表是直流电压表的基础上改装而成的，在直流电压表上串联一个二极管，就组成交流电压表。串联二极管后，电表显示的是交流电的平均值（它等于有效值的0.45倍）。用U代表某一量程的交流电压有效值，若不考虑二极管正向电阻值，则限流电阻计算公式为
实验指出，二极管是一且非线性元件，它的伏安特性为一条弯曲的图线，如图2-1-5所示，当二极管的正向电阻后，限流电阻R与交流电压U之间的关系不再是线性的。因此，最大量程的交流电压表的表盘刻度是不均匀的，如采用J0411型多用电表测量2.5V以下的交流电压时，要使用表盘上第三条刻度线，它的起始段刻度很密，刻度是不均匀的。这一点，从图2-2-5中可以看得很清楚，在二极管两端电压小于的一段图线上，相同的电压变化（例如V）所对应的电流是不同的：顺次分别为mA、mA、mA、mA。
2．2 ．2、电动势与电功率
（1）电源有保持两极间有一定电压的作用，不同种类的电源，保持两极间有一定电压的本领不同。例如：干电池可保持正、负极间有V的电压；常用的铅锌蓄电池可保持两极间有V的电压。为了表征电源的这种特性，物理学上引入了电动势这个物理量，电源的电动势在数值上等于电源没有接入外电路时两极间的电压。将理想表直接接在电源的两极上测出的电压就是电源的电动势。
（2）电流通过一段路时，自由电荷在电场力作用下发生定向移动，电场力对自由电荷作功。电流在一段电路上所做的功W，等于这段电路两端的电压U、电路中电流I和通电时间t三者的乘积。即
单位时间内电流所做功叫做电功率，用P表示电功率，则。
§2.3、电学基本定律
2．3．1、 焦耳定律
电流在一段只有电阻元件的电路上所做的功等于电流通过这段电路时的所产生的热量Q。焦耳通过实验得到结论：如果通过一段只有电阻元件的电路的电流为I，这段电路的电阻为R，通电时间为t，则
这就是焦耳定律，我们还可推出这段电路中电流的发热功率为。
电流做功的过程，就是电能转化为其他形式的能的过程。一般来讲，人们用电的目的往往不是为了发热。如使用电动机是为了将电能转化为机械能，使用电解槽是为了将电能转化为化学能等等。发热只是副效应，因此，一般说来电热只是电功的一部分，热功率是电功的一部分。
2．3．2、欧姆定律
①部分电路欧姆定律：导体中的电流强度I跟它两端所加的电压U成正比，跟它的电阻R成反比，即
上式适用于金属导电和电解液导电的情况。对非线线元件（如灯丝、二极管）和气体导电等情况不适用。
②一段含源电路欧姆定律：电路中任意两点间的电势差等于连接这两点的支路上各电路元件上电势降落的代数和，其中电势降落的正、负符号规定如下：
a.当从电路中的一点到另一点的走向确定后，如果支路上的电流流向和走向一致，该支路电阻元件上的电势降取正号，反之取负号。
b.支路上电源电动势的方向和走向一致时，电源的电势降为电源电动势的负值（电源内阻视为支路电阻）。反之，取正值。
如图2-3-1所示，对某电路的一部分，由一段含源电路欧姆定律可求得：
③闭合电路欧姆定律和电源输出功率
〈1〉闭合电路欧姆定律
闭合电路欧姆定律公式：
路端电压
对于确定电源、一定，则图线和图线如图2-3-2和2-3-3所示。其中，为电源短路电流。
〈2〉电源输出功率
电源的功率
电源输出功率
当时电源输出功率为最大
此时电源效率 %
电源输出功率P随外电阻R变化如图2-3-4所示，若电源外电阻分别为、时，输出功率相等，则必有
例2、如图2-3-5所示电路，设电源电压不变，问：（1）在什么范围内变化时，上消耗的电功率随的增大而增大？（2）在什么范围内变化时，上消耗的电功率随增大而减小？（3）为何值时，上消耗的电功率为最大？
解： 先求出随变化的表达式。
?

?
?
?
令：



则：


?
（1）当＞时，即＞
?

（2）当＜时，即＞
＜0，
（3）当=时，即=，最大
2．3．3、基尔霍夫定律
①对电路中任何一个节点，流出的电流之和等于流入的电流之和。
或可表达为：汇于节点的各支路电流强度的代数和为零。
若规定流入电流为正，则从节点流出的电流强度加负号。对于有n个节点的完整回路，可列出n个方程，实际上只有个方程是独立的。
②沿回路环绕一周，电势降落的代数和为零，即
对于给定的回路绕行方向，理想电源，从正极到负极，电势降落为正，反之为负；对电阻及内阻，若沿电流方向则电势降落为正，反之为负。若复杂电路包括m个独立回路，则有m个独立回路方程。
例3、如图2-3-6所示电路中，已知
求各支路的电流。
分析： 题中电路共有2个节点，故可列出一个节点方程。而支路3个，只有二个独立的回路，因而能列出两个回路方程。三个方程恰好满足求解条件。
解： 规定正方向如图所示，则有
两个独立回路，有
联解方程得：
＜0，说明实际电流方向与图中所假定电流方向相反。
§2. 4、电路化简
2．4．1、 等效电源定理
实际的直流电源可以看作电动势为，内阻为零的恒压源与内阻r的串联，如图2-4-1所示，这部分电路被称为电压源。
不论外电阻R如何，总是提供不变电流的理想电源为恒流源。实际电源、r对外电阻R提供电流I为
其中为电源短路电流，因而实际电源可看作是一定的内阻与恒流并联的电流源，如图2-4-2所示。
实际的电源既可看作电压源，又可看作电流源，电流源与电压源等效的条件是电流源中恒流源的电流等于电压源的短路电流。利用电压源与电流源的等效性可使某些电路的计算简化。
等效电压源定理又叫戴维宁定理，内容是：两端有源网络可等效于一个电压源，其电动势等于网络的开路电压，内阻等于从网络两端看除电源以外网络的电阻。
如图2-4-3所示为两端有源网络A与电阻R的串联，网络A可视为一电压源，等效电源电动势等于a、b两点开路时端电压，等效内阻等于网络中除去电动势的内阻，如图2-4-4所示。
等效电流源定理 又叫诺尔顿定理，内容是：两端有源网络可等效于一个电流源，电流源的等于网络两端短路时流经两端点的电流，内阻等于从网络两端看除电源外网络的电阻。
?
例4、如图2-4-5所示的电路中，
（1）试用等效电压源定理计算从电源正极流出的电流；（2）试用等效电流源定理计算从结点B流向节点A的电流。
分析： 根据题意，在求通过电源的电流时，可将ABCDE部分电路等效为一个电压源，求解通过的电流时，可将上下两个有源支路等效为一个电流源。
解： （1）设ABCDE等效电压源电动势，内阻，如图2-4-6所示，由等效电压源定理，应有
电源与电源串联，故
＜0，表明电流从负极流出。
（2）将A、B两个节点短接，构成等效电流源（）如图2-4-7所示，由等效电流源定理，为原电路流经A、B短接后的支路电流。因为有两电源，必须用线性叠加原理，所谓叠加原理与力学中“力的独立作用原理”极为相似，其内容为：若电路中有多个电源，则通过任一支路的电流等于各个电动势单独存在时该支路产生的电流之和。
由叠加原理
由和的分流关系
2．4．2、 Y—△变换
在某些复杂的电路中往往会遇到电阻的Y型或△，如图2-4-8所示，有时把Y型联接代换成等效的△型联接，或把△型联接代换成等效的Y型联接，可使电路变为串、并联，从而简化计算，等效代换要求Y型联接三个端纽的电压及流过的电流与△型联接的三个端纽相同。
在Y型电路中有
可解得

在△型电路中
等效即满足：
即 ①
②
类似方法可得 ③
①、②、③式是将Y型网络变换到△型电路中的一组变换。
同样将△型电路变换到Y型电路，变换式可由①、②、③式求得：④、⑤、⑥
④
⑤
⑥
例5、试求如图2-4-9所示电路中的电流。
分析： 这是包含一个Y型电路和一个△型电路的网络，解决问题的方向可将左边Y型网络元变换成△型网络元，或将右侧△型网络元变换成Y型网络元。
解： 将左侧Y型网络换成△型，如图2-4-10
所示已知
则有


由图2-4-10，可进一步电路整理为图2-4-11所示。
将右侧△型网络元换成Y型网络元同样可求得，这里不再叙述。
2．4．3、 对称性原理
①等势节点的断接法
在一个复杂电路中，如果能找到一些完全对称的点，（以两端连线为对称轴），那么可以将接在等电势节点间的导线或电阻或不含电源的支路断开（即去掉），也可以用导线或电阻或不含电源的支路将等电势节点连接起来，且不影响电路的等效性。
例6、用导线连接成如图2-4-12所示的框架，ABCD和ABCE是正四面体，每段导线的电阻都是1。求AB间的总电阻。
解： 设想A、B两点上存在电势差，由于电路的对称性可以知道D、C、两点的电势都应该介乎与的中间，即，所以两点应是等电势的。这样，去掉CD段导线，对A、B间的总电阻不会有影响。当去掉CD段导线后，就成为三路并联，即A—D—B，A—C—B，和AB。于是：
②电流分布法
设有电流I从A点流入、B点流出，应用电流分流的思想和网络中两点间不同路径等电压的思想，（即基耳霍夫定理），建立以网络中各支路的电流为未知量的方程组，解出各支路电流与总电流I的关系，然后经任一路径计算A、B两点间的电压，再由即可求出等效电阻。
例7、10根电阻均为r的电阻丝接成如图2-4-13所示的网络，试求出A、B两点之间的等效电阻。
由结构对称性，要求电流I从A点流入后在A点的电流分布应与电流I从B点流出前的电流分布相同，中间四方形必具有上、下电流分布对称和左、右电流分布对称，因此网络内电流分布应如图2-4-14所示。对图中C点和D点，有电流关联
解得 ①
由A、E两点间不同路线等电压的要求，得
即 ②
解①、②两式得
选择线路AEDB，可得

因此，A、B间等效电阻便为
2．4．4、 无穷网络等效变换法
若 （a＞0）
在求x值时，x注意到是由无限多个组成，所以去掉左边第一个对x值毫无影响，即剩余部分仍为x，这样，就可以将原式等效变换为，即。所以
这就是物理学中解决无限网络问题的基本思路。
例8、如图2-4-15所示，框架是用同种金属丝制成的，单位长度的电阻为，一连串内接等边三角形的数目可认为趋向无穷，取AB边长为a，以下每个三角形的边长依次减小一半，则框架上A、B两点间的电阻为多大？
从对称性考虑原电路可以用如图2-4-16所示的等效电路来代替，同时我们用电阻为的电阻器来代替由无数层“格子”所构成的“内”三角，并且电阻是这样的，，因此
解此方程得到
2．4．5、 电流叠加法
解题步骤是：先考虑一支流入或流出系统的电流，把它看作在给系统充电或放电，利用对称性求出系统中的电荷分布和电流场分布，求出每一支电流造成的分布后进行叠加，使得电荷分布全部抵消，而电流场叠加作为所求的电流场。
例9、有一个无限平面导体网络，它由大小相同的正六边形网眼组成，如图2-4-17所示。所有六边形每边的电阻为，求：
（1）结点a、b间的电阻。
（2）如果有电流I由a点流入网络，由g点流出网络，那么流过de段电阻的电流 Ide为多大。
解： （1）设有电流I自a点流入，流到四面八方无穷远处，那么必有电流由a流向c，有电流由c流向b。再假设有电流I 由四面八方汇集b点流出，那么必有电流由a流向c，有电流由c流向b。
将以上两种情况综合，即有电流I由a点流入，自b点流出，由电流叠加原理可知
（由a流向c）
（由c流向b）
因此，a、b两点间等效电阻
（2）假如有电流I从a点流进网络，流向四面八方，根据对称性，可以设
应该有
因为b、d两点关于a点对称，所以
同理，假如有电流I从四面八方汇集到g点流出，应该有
最后，根据电流的叠加原理可知
以上几种方法可实现电路的化简。其中，电流分布法特别适合于纯电阻电路及求复杂导体和等效电阻，当为纯电容电路时，可先将电容换成电阻为解等效阻值，最后只需将R换成即可。
例10、十个电容为C的电容器按图2-4-17个方式连接，求AB间等效电容。
解： 将电容全部换成阻值为r的电阻，由“电容分布法”中的例题可知
用代替R，则
§2。5、电桥电路，补偿电路和电势差计
2．5．1、 惠斯通电桥
用欧姆表测量电阻虽然方便，但不够精确，而用伏安法测电阻，电表所引起的误差又难以消除，精确地测量电阻，常用惠斯通电桥。
图2-5-1是惠斯通电桥的电路图，当B、D两点的电势相等时，通过检流计的电流强度，此时就称电桥平衡（可通过调节滑动触头D的位置来实现）。根据串联电路中电阻与电压成正比的原理，可知此时应有
一般来讲，和由同一均匀电阻丝组成，其阻值与长度成正比，待测电阻的计算公式为
测出电阻丝长度和之比，再由标准电阻的阻值即可确定待测电阻的阻值。
备注：操作方法见实验部分。
2．5．2、 电势差计
精确地测量电源电动势常采用电势差计。电势差计是根据补偿原理来设计的，补偿法的原理可用图2-5-2所示来说明。
通常情况下，用测量仪器对电源进行测量时，总有电流通过电源，因而造成测量误差。用图2-5-3所示的电路进行测量时，可以使待测电源中的电流为零。图中工作电源与粗细均匀的电阻线A、B相连。适当调节C的位置，当电阻线在A、C段的电势降刚好与待测电源的电动势Ex 相等时，灵敏电流计G内没有电流通过，待测电源中的电流也为零。这时，称待测电路得到了补偿。
若先对一个标准电池实现补偿，就可以对电路进行定标（测得A、C间单位长度相当多少伏电压），然后对某个待测电压实现补偿，即可精确地测定这个电压值。
用这种方法既可以测量电源电动势，还可以测量某段电路两端电压。若再借助于比较法，还可测量电阻值。这种测量方法称为补偿法。
滑线式电势差计的电路如图2-5-4所示。它由三部分组成：工作电源E、开关和变阻器组成“工作电路”；标准电池、灵敏电流计G和保护电阻组成“标准电路”；待测电源、开关、电阻箱、灵敏电流计G和保护电阻组成“测量电路”，三部分之间接有转换开关和由粗细均匀的电阻线AB和滑动触头C。任何电势差计，无论结构多么复杂，都有以上三部分。
测量前，应先对电势差计进行校准，回路中的工作电源电压可取3～4V间某个值。调节变阻器使工作电路中的电流达到规定值。再将转换开关接标准电池，调节滑动触头C，并逐步减小保护电阻，直至等于零时，接通灵敏电流计G，表中也有没电流通过。这时“标准回路”就达到了平衡，记下此时电阻线上段长度。
然后，将调至最大，将转换开关接待测电源，并断开开关。按以上方法再调节“测量电路”使其达到平衡，并记下此时触头位置所对应的电阻线上的长度。在调节过程中，的位置不能动，以保护工作电流不变。此时，由于电阻线的粗细均匀，故有
即

如果要测量待测电源的内阻r，可以合上，用以上方法测得待测电源的路端电压
再根据公式
读出电阻箱的阻值，即可求出电源内阻为
利用电势差计还可以借助于比较法测电阻，测量方法如图2-5-5所示，图中R为标准电阻，为待测电阻，先用电势差计测出两端的电压，再用同样的办法测出标准电阻R两端的电压U，由于电势差计没有分流作用，故
因此
?
§2．6、黑箱问题
此类问题具有智力测试的性质，无明显规律可循，而全凭思维的灵敏性和判断的周密性
例11、如图2-6-1所示，在黑盒内有一个电源和几个阻值相同的电阻组成的电路，盒外有四个连接柱。利用电压表测出每两点间的电压分别为：
。试画出盒内的电路，并要求电阻数不超过5个。
解： 在盒内电阻数不超过5个的条件下，可能的电路有6种，如图2-6-2所示
?
?
?
?
?
?
?
?
?
§2、7 物质的导电性
2．7．1、导体的导电性
（1）金属中的电流
金属导体内的电流强度与自由电子的平均定向运动速率有关。设金属导体的横截面积为S，单位面积内自由电子的数密度为n，自由电子的平均定向运动速率v，电子电量为e，则
由上式可估算出电子的定向运动速率是很小的，一般为数量级，与电子热运动的平均速率（约数量级）和“电的传播速率”（即电场的传播速率，为）不能混为一谈。
（2）。液体中的电流
液体导电包括液态金属导电与电解质导电两种。电解质导电与金属导电的机理不同，固态金属导电跟液态金属（如汞）导电的载流子是自由电子，在导电过程中，金属本身不发生化学变化，而电解质导电的载流子是正负离子，在导电过程中，伴随着电解现象，在正负极板处同时发生化学反应（即电解）。
英国物理学家、化学家法拉第，通过大量的实验，在1833年总结出了两条电解定律。电解质导电时，所析出物质的质量m跟通过电解液的电流强度I成正比，跟通电时间t成正比，就这是法拉第电解第一定律。由于，法拉第电解第一定律也可表述为：电解时析出物质的质量m跟通过电解液的电量Q成正比，用公式表示为
式中比例恒量k叫做电化当量，其物理意义是：通过1C电量时，所析出这种物质的质量。
各种物质的电化当量跟它的摩尔质量M成正比，跟它的化合价n成正比。这就是法拉第电解第二定律。而在化学中，我们常将称为“化学当量”。因此，法拉第电解第二定律又可简述为：各种物的电化当量与它的化学当量成正比，
即
例如一价银的化学当量等于它的摩尔质量，二价铁的化学当量等于它的摩尔质量0.065 546 kg/mol除以它的化合价，得0.031 772 kg/mol。上式中的比例恒量C是一个普通恒量，对各种物质都是相同的，称为“法拉第恒量”，用F表示。因此，法拉第电解第二定律又可以表示为
实验指出，对于任何物质，都有，将上式代入电解第一定律可得
这就是法拉第电解定律的统一表达式。当析出物质的质量m等于该物质的化学当量，则F与Q在数值上相等。
例12、 把的食盐溶解在1L的水中，测得44%的食盐分子发生电离。若钠离子的迁移率（单位电场强度所产生的平均速率）为，氯离子的迁移率为。求食盐溶液的电阻率。
分析： 由于溶液中的电流是正、负离子共同提供的，所以溶液中导电电流微观表达式为
根据欧姆定律、电阻定律可以导出电阻率与钠离子、氯离子迁移率之间的关系，利用分子动理论求出离子体密度，代入数据可求解食盐溶液的电子率。
解： 根据溶液中电流的微观表达式
根据欧姆定律、电阻定律

得：

又由分子动理论，求得离子体密度n
为电离率，M为摩尔质量，N为阿伏加德罗常数。

（3）气体中的电流
①通常情况下，气体不导电。只有在电离剂存在或极强大的电场情况下，气体才会被电离而导电。气体导电既有离子导电，又有电子导电。气体导电不遵从欧姆定律。
②由于引起气体电离的原因不同，可分为被激放电和自激放电。在电离剂（用紫外线、X射线或放射性元素发出的放射线照射或者用燃烧的火焰照射气体）的作用下，发生的气体放电现象叫做被激放电。没有电离剂作用而在高电压作用下发生的气体放电现象叫做自激放电。
各种自激放电形式的区别如下表
?
气体电离原因
阴极发射电子原因
辉光放电
电子碰撞
被正离子轰击
弧光放电
强电流通过时产生的高温
被正离子轰击并保持很高的温度(主要是热电子发射)
火花放电
主要是电子碰撞还有火花本身的辐射
被正离子轰击
电晕放电
很强电场的作用(场致电离和碰撞电离)
?
种种自激放电形式间的联系主要表现在它们之间可以转化。在放电电流很强时，辉光放电可以变成弧光放电。若电源的功率很大时，火花放电可以变成弧光放电。
2．7．2、 半导体的导电性
（1）半导体的导电性
导电性能介于导体和绝缘体之间的一类物质被称为半导体，如硅、锗、氧化亚铜等。以硅为例，硅是四价元素，硅原子最外层四个价电子，在形成单晶硅时，每个原子都以四个价电子与相邻的四个原子联系。相邻的两个原子就有一对共有电子，形成共价键。如图2-7-1所示。共价键中电子是被束缚的。但是由于热运动，极少数电子可能获得足够大能量，挣脱成为自由电子，同时共价键中留下一个空位叫空穴，原子是中性的，失去电子后可以看作空穴带正电，如图2-7-2所示。这个空穴很容易被附近共价键中束缚电子填补，形成新的空穴，束缚电子的填补运动叫空穴运动，在纯净的半导体中，自由电子和空穴是成对出现，叫电子——空穴对。半导体的导电是既有电子导电，又有空穴导电。但由于纯净的半导体中，电子——空穴对数目较少，导电性差。
但采取某些措施如加热或光照，可使更多电子挣脱束缚，形成更多电子一空穴对，导电能力大大增强，这种性质称为热敏特性和光敏特性。同样在纯净半导体中掺入其他元素，也能使半导体的导电性能加强。
（2）N型半导体、P型半导体及P-N结
在纯净的硅中掺入微量的五价元素如磷、砷等，一些硅原子空间位置被五价的原子代替如磷原子。磷在与周围硅原子形成共价键时多出一个电子，很容易成为一个自由电子，相应原子失去电子成为正离子。这类半导体由于磷的掺入自由电子数目显著增多，导致电子浓度比空穴浓度要大得多，因而它主要靠电子导电，叫做电子型半导体或N型半导体。
在纯净的硅中掺入微量三价元素如铟、镓、硼等，同样在晶体中一些硅原子会被它们取代。由于形成共价键时缺少一个电子，附近共价键中电子很容易来填补，使得它们成为负离子，同时形成一个空穴。三价元素的
掺入使空穴的数目增加，这类半导体中空穴浓度要比自由电子浓度大得多，导电主要是空穴导电，因而被称为空穴型半导体P型半导体。
当采用特殊工艺使半导体一侧为P型半导体，另一侧成为N型半导体，由于N型半导体中电子浓度大，而P型半导体中空穴浓度大，结果发生扩散运动，N区由于跑掉电子留下正离子，P区跑掉空穴留下负离子，在它们的交界处附近形成一个电场，如图2-7-3所示，显然这个电场区是阻止它们扩散的，当该阻挡层达稳定时，扩散运动达到动态平衡，这个电场区阻挡层叫PN结。在PN结的N区和P区各引一电极就构成一晶体二极管。晶体二极管对应正、负极及符号如图2-7-4所示。
晶体二极管加正向电压时（P接电源“+”极，N接电源“-”极），外电场与阻挡电场叠加，使PN结阻挡层变薄，这时P区空穴、N区电子又可顺利通过PN结，且外加电压大，这种作用对电子、空穴运动更有利。而电压反向时，会使阻挡层加厚，只有P区自由电子和N区空穴能通过PN结形成反向电流，但是它们的浓度太小，粗略地认为几乎没有反向电流。因而二极管表现为单向导电特性，其伏安特性曲线如图3-2-5所示。
（3）晶体三极管
晶体三极管由两个PN结、三个电极线和管壳构成，分PNP型和NPN型两类，如图2-7-6所示。它的三个电极e、b、c分别称为发射极、基极、集电极。三极管特性是放大作用，联接电路如图2-7-7所示。微小的基极电流变化能引起集电流较大变化。所以在输入端加一个较弱的信号，在输出端Rc 上得到一个放大的强信号。
三极管电流分配关系

放大倍数β
例3、如图2-7-8所示，电阻，电动势，两个相同的二极管串联在电路中，二极管D的特性曲线如图2-7-9所示，试求：
（1）通过二极管D电流；
（2）电阻消耗的功率。
分析： 二极管属于非线性元件，它的电阻是随其不同工作点而不同。所以应当根据电路特点确定由电路欧姆的律找出其关系，在其特性曲线上作出相应图线，两根图线的交点即为其工作点。
解： 设二极管D两端电压，流过二极管电流为，则有
代入数据解得与的关系为
在二极管特性曲线上再
作出上等式图线，如图2-7-10所示。 图3-2-10
由图可见，两根图线交点P就在此状态下二极管工作点。
电阻上的电压为
其功率为
（4）电子电量的确定
按法拉第电解定律
按当今电子论的观点：一个电子所带的电量为e，在电解池中通过电量Q时，阴极板将向溶液提供个电子，这些电子可以使个化合价为的正离子还原。由于每析出N个原子（N是阿伏伽德罗数），可以在极板上得到M克物质。因此电解池通过电量Q时所析出的物质质量为
比较以上二式得
或
上式把法拉第恒量F、电子电量e、阿伏伽德罗数N三者联系起来，只要用实验精确测量出法拉第恒量F、阿伏伽德罗数N，就可以计算出电子的电量了。
有关量子的初步知识
§3. 1、初期量子理论
20世纪之初，物理学家为解释一些经典物理所不能解释的实验规律，提出了量子理论。量子理论经过进一步发展，形成了量子力学，使量子力学成为近代物理学的两大支柱之一。
3．1．1、?????? 普朗克量子论
一切物体都发射并吸收电磁波。物体发射电磁波又称热辐射，温度越高，辐射的能量越多，辐射中短波成份比例越大。完全吸收电磁辐射的物体发射电磁辐射的本领也最强，称这种理想的物体为黑体。研究黑体辐射电磁波长的能量与黑体温度以及电磁波波长的关系，从实验上得出了著名的黑体辐射定律。
假设电磁辐射是组成黑体的谐振子所发出，按照经典理论，谐振子的能量可以连续地变化，电磁波的能量也是可以连续变化的，但是理论结果与实验定律相矛盾。1900年，德国物理学家普朗克提出了量子理论：黑体中的振子具有的能量是不连续的，从而，他们发射或吸收的电磁波的能量也是不连续的。如果发射或吸收的电磁辐射的频率为v，则发射或吸收的辐射能量只能是hv的整倍数，h为一普适常量，称为普朗克常量，普朗克的量子理论成功地解释了黑体辐射定律，这种能量不连续变化的概念，是对经典物理概念的革命，普朗克的理论预示着物理观念上革命的开端。
3．1．2、?????? 爱因斯坦光子理论
因为电磁波理论也不能解释光电效应，在普朗克量子论的基础上，爱因斯坦于1905年提出了光子概念。他认为光的传播能量也是不连续的，而是一份一份的，每一份能量称为一个光子，即光是由光子组成的，频率为v光的光子能量等于hv，h为普朗克常量。光子理论圆满地解释了光电效应。人们对光本性的认识前进了一步：光具有波粒二象性。在经典物理中，波是连续的，粒子是分立的，二者不相容。所以，不能把光看作经典物理中的波，也不能把光看作经典物理中的粒子。故此，有了爱因斯坦光电方程：
W为逸出功，γ为光子频率， m为光电子质量。
3、1、3??? 电子及其他粒子的波动性
我们已经了解到，玻尔把普朗克的量子论和爱因斯坦的光子理论，应用到原子系统上，于1913年提出了原子理论。按照玻尔理论，原子中存在着分立的能级，电子从某一能级向另一能级跃迁时，发射或吸收一个光子。这与经典物理的概念也迥然不同。这就启发人们：组成原子的粒子，如电子，必然不是经典意义下的粒子，所遵从的规律也不同于经典物理的规律。在光具有波粒二象性的启发下，法国物理学家德布罗意提出一个问题：“在光学中，比起波的研究方法来，如果说过于忽视粒子的研究方法的话，那么，在粒子的理论上，是不是发生了相反的错误，把粒子的图象想得太过分，而过分忽视了波的图象呢？”接着，他在1924年提出了一个假说，认为波粒二象性不只是光子才有，一切微观粒子，包括电子、质子和中子，都有波粒二象性。他指出：具有质量m和速度v的运动粒子也具有波动性，这种波长等于普朗克恒量h 与粒子mv动量的比，即λ=h/mv。这个关系式称做德布罗意公式。根据德布罗意公式，很容易算出运动粒子的波长。后来又用原子射线和分子射线做类似的实验，同样得到了衍射图样。质子和中子的衍射实验也做成功了。这就证明了一切运动的微观粒子都具有波粒二象性，其波长与动量的关系都符合德布罗意公式。粒子的波动性又称为德布罗意波或物质波。我们不能把电子等微观粒子视为经典的粒子，也不能把物质波视为经典的波。试验和论理的进一步研究发现，电子等微观粒子的波动性与声波或电磁波的特性并不完全相同，它们遵从的规律也不一样，这就导致了量子力学的诞生。
?
§3、2 量子力学初步
3．2．1、 物质的二象性
①光的二象性：
众所周知，光在许多情况下（干涉、偏振、衍射等）表现为波动性，但在有些情况下（如光电效应、黑体辐射等）又表现为粒子字。因而对光完整的认识应是光具有波粒二象性。
一个光子的能量： E=hv v是光的频率，h是普朗克常数
光子质量：
光子动量：
②德布罗意波
德布罗意把光的波粒二象性推广到实物粒子。他认为，波粒二象性是一切微观粒子共有的特性。第一个实物粒子在自由运动时所具有的能量为E、动量为p，这样的自由粒子必定对应一个振动频率为v、波长为λ的平面简谐波。这两组特征量之间的关系仍是
自由的实物粒子所对应的平面简谐波常称为物质波或德布罗意波，它的客观真实性已为许多实验所证实。
物质波的物理意义究竟是什么？波是振动状态在空间传播形成的，波在空间某处振动状态的强弱可用该处振幅的平方米来表征。对于光波，若某处振幅平方较大，则该处的光较强，光子数较多，这也意味着光子在该处出现的可能性较大，物质波也是如此。物质波若在某处振幅的平方较大，则实物粒子在该处出现的可能性较大，可能性的大小可定量地用数学上的概率大来表述，物质波各处振幅的平方便与粒子在该处出现的概率联系起来，这就是物质波的物理意义。
例1、试估算热中子的德布罗意波长。（中子的质量）热中子是指在室温下（T=300K）与周围处于热平衡的中子，它的平均动能
它的方均根速率，相应的德布罗意波长
这一波长与X射线的波长同数量级，与晶体的晶面距离也有相同的数量级，所以也可以产生中子衍射。
3．2．2、海森伯测不准原理
设一束自由粒子朝z轴方向运动，每一个粒子的质量为m，速度为v，沿z轴方向的动量P=mv。这一束自由粒子对应一个平面简谐波，在与z轴垂直的波阵面上沿任何一个方向（记为x方向）的动量取精确值。波阵面上各处振幅相同，每一个粒子在各处出现的概率相同，这意味着粒子的x位置坐标可取任意值，或者说粒子的x位置坐标不确定范围为。为了在波阵面的某个x位置“抓”到一个粒子，设想用镊子去夹粒子。实验上可等效地这样去做：在波阵面的前方平行地放置一块挡板，板上开一条与x轴垂直的狭缝，狭缝相当于一个并合不够严实的镊子。如果狭缝的宽度为△x，那么对于通过狭缝的粒子可以判定它的x位置不确定范围为△x。△x越小，通过狭缝粒子以x位置就越是确定。然而问题在于物质波与光波一样。通过狭缝即会发生衍射，出射波会在缝的上、下两侧散开，或者说通过狭缝的粒子既有可能继续沿x轴方向运动，也有可能朝x轴正方向或负方向偏转地向前运动。偏向的粒子必对应地取得x方向的非零动量，即有，这表明出射粒子在x方向的动量不再一致地为，因此x方向动量有不确定性，不确定范围可记为。缝越窄，△x越小，粒子的x位置越接近准确，但衍射效应越强，越大，粒子的x方向动量值越不准确。反之，缝越宽，△x越大，粒子的x位置越不准确，但衍射效应越弱，越小，粒子的x方向动量值越准确。总之，由于波动性，使粒子的x位置和x方向动量不可能同时精确测量，这就是测不准原理。
由近代量子理论可导出△x与之间的定量关系，这一关系经常可近似地表述为：
h
对y和z方向，相应地有：
,
有时作为估算，常将上述三式再近似取为：
在经典力学中，运动粒子任意时刻的位置和动量或者说速度都可以精确测定，粒子的运动轨道也就可以确定。在量子理论中，运动粒子在任意时刻的位置和动量或者说速度不能同时精确测定，粒子的运动轨道也就无法确定。微观世界中，粒子的运动轨道既然不可测，也就失去了存在的意义。如在经典力学中，可以说氢原子中的电子绕核作圆轨道或椭圆轨道运动。在量子力学中，只能说粒子在核周围运动，某时刻电子的位置可能在这里，也可能在那里。描述这种可能性的概率有一个确定的分布。即使在这一时刻于某一位置“捕捉”到了该电子，也不能预言下一时刻该电子会出现在什么位置，因为电子的运动没有可供预言的轨道。经典力学中一个粒子可静止在某一确定的位置，量子力学则否定了这种可能性。据测不准原理，如果一个粒子在x、y、z 坐标完全确定，即△x=△y=△z=0，那么它的x、y、z方向动量均不可为零，否则，与上面给出的关系式显然会发生矛盾。
例2、实验测定原子核线度的数量级为。试应用测不准原理估算电子如被束缚在原子核中时的动能。从而判断原子核由质子和电子组成是否可能。
取电子在原子核中位置的不确定量，由测不准原理得
由于动量的数值不可能小于它的不确定量，故电子动量考虑到电子在此动量下有极高的速度，由相对论的能量动量公式
故
电子在原子核中的动能。理论证明，电子具有这么大的动能足以把原子核击碎，所以，把电子禁锢在原子核内是不可能的，这就否定了原子核是由质子和电子组成的假设。
3.2.3???? 量子力学的基本规律——薛定谔方程
波函数是描写微观粒子的基本物理量，波函数所遵从的规律，就是量子力学的基本规律，它将决定粒子函数的特征，从而决定粒子的运动状态。正像在经典力学学里，粒子的位置和动量描写粒子的运动状态，牛顿运动定律决定了粒子的位置和动量如何变化，因而牛顿运动定律是经典力学的基本规律。
奥地利物理学家薛定谔（1887~1961）在1926年找到了遵从的规律，称为薛定谔方程。在应用数学形式描述电子的波粒二象性上，他从麦克斯韦电磁理论得到启发，认为电子的德布罗意波也可以应用类似于光波的方式加以描述。这个方程既描述了电子的波动行为，又蕴涵着粒子性特征。写出并求解薛定谔方程，超出本书的范围。不过，我们可以讨论一下有关结论。
波函数必须满足一些物理条件：作为描写粒子运动状态的应是时空坐标的单值函数，变化应是连续的，不能变为无限大，即应有界。这样，薛定谔方程的解，不但成功地解释了玻尔原子理论所能解释的现象，而且能够解释大量玻尔理论所不能解释的现象。玻尔的基本假设，在量子力学里是从理论上推导出来的必然结果。原来，在薛定谔方程中，只有原子中电子具有某些不连续的能量值时，方程的解才满足上述物理条件。由薛定谔方程解中得出的氢原子中电子能量的可能值，正好就是玻尔原子理论给出的值。
3.2.4???? 概率密度与电子云
我们将以原子的稳定态为例，讨论一下由波函数所决定的电子在原子中的概率密度，这波函数就是由薛定谔方程求解出来的。因为是稳定态，所以和时间无关，说明在任何时候，电子出现在任一处的概率密度都相同。例如，氢原子处在基态时，电子经常出现的概率最大的地方，是以原子核为中心的一个球壳，这个球壳的半径为米，这个数值与玻尔原子理论计算出来的基态轨道半径相同，可见，玻尔的原子轨道只不过电子出现概率最大的地方。
电子核外的运动情况，通常用电子云来形象地描述。用小黑点的稠密与稀疏，来代表电子核外各处单位体积中出现的概率（即概率密度）的大小，这样就可以画出原子的电子云图。图11-8是氢原子基态的电子云。
看一下以核为中心的一层层很薄的球壳中电子出现的概率，在靠近原子核的地方，虽然云雾浓度较大，小黑点稠密，但是靠近原子核的一个薄球壳中包含的小黑点的总数不会很多，即电子出现在这个球壳中的概率不会很大，因为这个球壳的体积较小。在远离原子核的地方，球壳的体积虽然较大，但是小黑点稀疏，因而出现在这个球壳中的概率不会很大。经过计算知道，在半径为米的一薄的球壳中电子出现的概率最大，就是玻尔理论中氢原子基态的轨道半径。
3.2.5 量子学的应用和发展
量子力学建立后，应用它计算氢原子的光谱，获得巨大成功，其理论计算与实验结果完全符合。量子力学不仅可以正确地解释氢原子光谱，而且，还可以说明复杂原子的构造，解释复杂原子的光谱。这确实表明，量子力学是微观粒子所遵从的规律。
在量子力学发展的早期，就认识到它的应用不限于电子，对其它粒子也一样适用。1927年，美国物理学家康登应用量子力学解释了α衰变现象。这又称为隧道效应。在α粒子放射体中α粒子被约束在原子核内，其能量小于核对它的结束能量——势垒，按照经典理论，α粒子是不可能穿出原子核的。但是，按照量子力学，α粒子有穿过势垒的概率。这个概率即使很小，但不为零。对大量的原子核来说，总会有一小部分原子核的α粒子，穿透势垒而发射出来。理论计算为实验数据所证实。
量子力学在建立之初，就用于研究分子的结构。美国物理学家和化学家泡利阐明了化学键的本性，就是以量子力学为依据的。比如，对,CO等分子，原子之间的相互作用是量子力学效应。当两个氢原子互相靠近时，它们能量的减小在于相互吸引作用
而这是由于两个原子共享两个电子造成的。和电子波函数的对称性密切相关。量子力学可以算出分子的平衡距离为米，两个氢原子结合成氢分子时释放的能量为4.52电子伏。同样，量子力学也解释了共价键以外的结合键。这里不作具体介绍。
凝聚态物理，如液体和固体的构造理论，其导电与导热性能的解释，也是建立在量子力学基础之上的。比如研究电子在晶体中的运动，因为晶体点阵的周期性结构。电子受的力也具有空间的周期性，量子力学能揭示电子在晶体中的运动状态，就像一个原子中的电子可以处在不同的能级上，在固体中，电子可以在不同的能带上，能带有一定的宽度，代表一个能量范围。这就是能带理论。应用能带理论，可以成功地解释金属和半导体的导电特性。在近代，其实际应用几乎随处可见。
薛定谔方程是非相对论的，不能应用于高速的微观粒子。1928年，狄拉克建立了相对论的量子力学方程，称为狄拉克方程。它不仅成功地说明电子自旋的存在，而且还证明，对于每一种粒子，都存在相应的反粒子。电子的反粒子带正电，其他性质都和电子相同。1932年，美国物理学家安德森从宇宙射线中发现了正电子，证明了狄拉克理论的正确性，这是基本粒子广泛研究的开始。
基本粒子
§4、1、基本粒子
4．1．1、???? 什么是基本粒子
在古代就有一些哲学家认为物质是由原子组成的，原子是组成物质的最小颗粒，不可再分。有基本的涵义，可称为基本粒子。自19世纪初，英国科学家道尔顿以化学反应为依据，提出物质是由原子组成的学说以来，人们相继发现了电子、质子、中子、正电子、中微子、介子等大量的基本粒子，基本粒子数目的大量增加，使人们认识到它们也不可能是最基本的组分，所以有“基本粒子不基本”的说法。
中微子的发现，中子不是稳定粒子，它衰变为质子和电子：,实验发现此衰变中动量不守恒。经不断实验发现，中子衰变的正确反应应为。v为中微子的符号,为v 反粒子的符号。
4．1．2、 粒子的自旋 到本世纪30年代末，加上在宇宙射线中发现的子，人们认为，电子、质子、中子、中微子、子和光子都是基本粒子。除中子和子是不稳定粒子外，其余都是稳定的。基本粒子的主要特征除质量的电荷外，还有自旋，这是一个量子力学概念，表征粒子的内部属性，相当于经典物概念是微粒的自转。它遵从量子力学的规律，以为单位，只能取整数0、1、2……，或半整数1/2、3/2……。上述6种粒子，除光子自旋为1外，其余都是自旋为1/2的粒子。自旋为整数的粒子又称为玻色子；自旋为半整数的粒子又称为费米子。
4．1．3、 粒子和反粒子 经实验发现，每一种粒子都存在相应的反粒子。反粒子和粒子的质量、自旋都相同，电量相同而符号相反。对不带电的粒子，粒子和反粒子有其它的区分标志，这里不具体描述。在粒子的符号上加一横，代表反粒子，如是反中微子。也有的粒子的反粒子就是自身，而无区别，如光子。1932年安得森发现了正电子，使反粒子的存在第一次得到了证实。其他反粒子也先后被发现。如反质子和反中子分别是1955年和1956年在加速器中发现的。粒子和反粒子是互为反粒子的，只是当初称呼电子、质子等为粒子而已。我们这个世界是由粒子组成的，而不是由反粒子组成的。
4．1．4、 强子——介子和重子 本世纪40年代到50年代，从宇宙射线中又发现了一批粒子。比如发现了π介子和K介子，它们的自旋为零；又发现了与核子（质子和中子）属于同一类而质量更大的粒子，称为超子，有超子、超子和超子，它们都是不稳定粒子。核子和超子统称为重子。介子和重子又统称为强子。因为它们之间的相互作用强大。
4．1．5、 粒子的奇异性 仔细地分析新发现的各种粒子的衰变反应，以及它们参与的其它反应，发现K介子和超子具有产生快，衰变慢和同时产生两个或多个粒子的新特性，与π介子和核子所有的性质不同，当时认为有些奇异，引入了一个称为奇异数的量子数来标志这种奇异性。 介子和介子的奇异数为1;超子的奇异数为-1;超子的奇异数为-2。具有奇异数的粒子，如其奇异数为s，则其反粒子的奇异数为-s。π介子和核子的奇异数为0。在强相互作用中，奇异数守恒。
4．1．6、 基本粒子分类 按照基本粒子之间的相互作用可分为三类：
①强子：凡是参与强相互作用的粒子，分为重子和介子两类。
②轻子：都不参与强相互作用，质量一般较小。
③光子：静质量为零，是传递电磁相互作用的粒子。
4．1．7、 夸克模型 原子不再是基本粒子，原子核一不是基本粒子，介子和重子是否也由更为基本的粒子组成的呢？1964年，美国物理学家盖尔曼和以色列物理学家兹韦格分别提出了夸克模型。
按照夸克理论，一切强子（参与强相互作用的粒子）都是由夸克组成的。初期提出的夸克有三种，分别称为上夸克u，下夸克d和奇夸克s。它们的自旋都是1/2， 属于费米子。夸克的重要特征之一是带有分数电荷。以电子电荷为单位，u的电荷为2/3，d的电荷为-1，s的电荷也是-1/3。此外，s的奇异数为-1。对于重子，有重子数作为标志，上节所述的重子的重子数为1，反重子的重子数为-1。夸克的重子数为1/3。对于每一种夸克，都存在相应的反夸克。反夸克的质量、自旋同于夸克，而电荷、奇异数和重子数的数值相同，符号相反。
夸克之间存在着强相互作用，靠这种相互作用，每一个介子由一个夸克和一和反夸克组成；每一个重子由三个夸克组成，每一个反重子由三个反夸克组成。比如，介子是由u夸克和反下夸克组成的、质子是由u、u和d三个夸克组成的；超子是由u、d和s三个夸克组成的，余此类推。图4-1-1为P、 三个强子的结构示意图。
?
目前已被科学家证实的夸克有：上夸克、下夸克、奇夸克、粲夸克、底夸克和顶夸克等6种。为了符合泡利不相容原理，物理学家还发现了夸克的一种更为深刻的性质：每种夸克都具有（颜）色，可以用红、黄、兰（或红、绿、兰）三种加以区分，这只不过是借光的颜色名字，夸克的色与光波的色完全是两回事。就像粒子带电称为电荷一样，夸克带色，也可以称为色荷。正是色荷间的相互促进作用，才使强子中的夸克互相吸引而束缚在一起。三种不同色的夸克组成不带色的重子，好像三原色组成白色一样。同样，夸克和反色夸克的色互补，它们组成的介子也不带色。这就是为什么强子不带色的原因。在当今看来，强子基础是夸克，夸克是基本粒子。此外，基本粒子族还存在轻子一类。最早发现了电子和电中微子；后来发现了子和中微子；70年代，又发现了子和中微子.子的质量比核子质量还大，它不能由轻重来区它们了。虽然子的质量大，但从其性质上看，仍属于轻子一类。这样，轻子也分6种，类似于夸克的味。时至今日，实验研究还没有发现轻子的内部结构。也就是说，这6种轻子也属于基本粒子。
?
§4.2、基本粒子间的相互作用
4．2．1、 四种基本的相互作用 一切物质归根结底都是由基本粒子组成的。基本粒子间的相互作用属于基本的相互作用。实践证明，基本的相互作用有四种：
1、引力作用 在宏观上，特别是对于天体，引力作用是极其重要的。但是，对于基本粒子来说，比起其他相互作用来，引力作用极其微弱，可不予以考虑。
2、弱相互作用 强度远小于电磁相互作用和强相互作用，存在于除光子外所有粒子之间的一种短程用用。
3、电磁相互作用 直接存在于带电的粒子之间。
4、强相互作用 存在于夸克之间。介子或重子之间的相互作用是夸克间强相互作用的间接表现，核子之间的相互作用即核力属强相互作用。
这四种的基本相互作用，按由强到弱排列，它们的相对强度为
强相互作用 电磁相互作用 弱相互作用 引力相互作用
1
正像电和磁是电磁相互分用的两个不同的表现方面一样，科学家们认为，电磁和弱相互作用两者是电-弱相互作用的两个不同的表现方面。近年来，电弱统一的理论获得了成功。
传递相互作用的粒子 相互作用的本质是什么呢？在电学部分，我们知道，带电粒子是通过电磁场传递力的。电磁场的传播就是电磁波，其量子是光子。所以，带电粒子是通过交换光子发生相互作用的。传递相互作用的粒子又称媒介子。光子是一切带电粒子间电磁相互作用的媒介子。
轻子之间不存在强相互作用。轻子或重子之间都存在弱相互作用。弱相互作用的媒介子又称为中间玻尔色子或弱介子。理论预言有 、、和种弱介子。它们的质量都很大，自旋都等于1，在本世纪80年代，这三种媒介子先后被实验所证实。
夸克之间存在强相互作用。强相互作用的媒介子称为胶子。胶子的静质量为0，电荷为0，自旋等于1，但带有色荷。
夸克或胶子都没有被分离出来而直接观测到。为什么没有单个的夸克出现呢？理论上认为，夸克之间的相互作用随着夸克之间的距离增加而加大，以致巨大的撞击能量未分离开夸克，而产生了两个或三个夸克组成的强子。这个理论又称为夸克的禁闭理论。按照这个理论，单个夸克是不能从强子中分离出来的。
§4、3 其他
4．3．1、、黑洞
黑洞是指光子无法脱离其引力，因而接收不到从它射出的光子，所以称为黑洞。
可以认为光子具有质量。设星体是一个质量为M，半径为R的均匀球。则质量为m的光子在星球表面所受到的引力为
光子以光速c作半径为R的圆周运动的向心加速度。当引力大于向心力时，光子不会外溢，即f>ma有：
从上式可得
可以认为就是黑洞的临界半径（从广义相对论所得结论为）。
对于太阳，可结算它演变成黑洞时的临界半径的数量级为。
假定我们所在的宇宙就是一个黑洞，即我们不可能把光反射到我们的宇宙之外。所以即使在宇宙之外还存在空间，还存在天体的话（这完全是一种假设），那么外面的天体看我们的宇宙就是一个“大黑洞。试从这一假定估算我们宇宙的半径。
解 设宇宙质量为M，半径为R，则
由于黑洞的临界半径为 。
所以 。
4．3．2、引力红移
引力红移是指由于引力作用，我们观察星体的光比星体表面发射的光波变长。因此可见光波长最长的光是红光，也即光谱向红端移动，称为引力红移。
根据广义相对论的等效性原理，引力质量和惯性质量是等价的。光子能量以及光子—地球系统的势能满足能量守恒定律。
即光子的能量如引力势能为常数，而光子的能量E=hv，引力势能为mgz。其中，所以当高度改变 ，频率就会改变
即
这说明频率v发生了红移

机械振动和机械波
§5．1简谐振动
5．1．1、简谐振动的动力学特点
如果一个物体受到的回复力与它偏离平衡位置的位移大小成正比，方向相反。即满足：的关系，那么这个物体的运动就定义为简谐振动根据牛顿第二是律，物体的加速度，因此作简谐振动的物体，其加速度也和它偏离平衡位置的位移大小成正比，方何相反。
现有一劲度系数为k的轻质弹簧，上端固定在P点，下端固定一个质量为m的物体，物体平衡时的位置记作O点。现把物体拉离O点后松手，使其上下振动，如图5-1-1所示。
当物体运动到离O点距离为x处时，有

式中为物体处于平衡位置时，弹簧伸长的长度，且有，因此

说明物体所受回复力的大小与离开平衡位置的位移x成正比。因回复力指向平衡位置O，而位移x总是背离平衡位置，所以回复力的方向与离开平衡位置的位移方向相反，竖直方向的弹簧振子也是简谐振动。
注意：物体离开平衡位置的位移，并不就是弹簧伸长的长度。
5．1．2、简谐振动的方程
由于简谐振动是变加速运动，讨论起来极不方便，为此。可引入一个连续的匀速圆周运动，因为它在任一直径上的分运动为简谐振动，以平衡位置O为圆心，以振幅A为半径作圆，这圆就称为参考圆，如图5-1-2，设有一质点在参考圆上以角速度作匀速圆周运动，它在开始时与O的连线跟轴夹角为,那么在时刻t，参考圆上的质点与O的连线跟的夹角就成为，它在轴上的投影点的坐标
（2）
这就是简谐振动方程，式中是t=0时的相位，称为初相：是t时刻的相位。
参考圆上的质点的线速度为，其方向与参考圆相切，这个线速度在轴上的投影是
） （3）
这也就是简谐振动的速度
参考圆上的质点的加速度为，其方向指向圆心，它在轴上的投影是
） （4）
这也就是简谐振动的加速度
由公式（2）、（4）可得
由牛顿第二定律简谐振动的加速度为
因此有
（5）
简谐振动的周期T也就是参考圆上质点的运动周期，所以
5．1．3、简谐振动的判据
物体的受力或运动，满足下列三条件之一者，其运动即为简谐运动：
①物体运动中所受回复力应满足 ；
②物体的运动加速度满足 ；
③物体的运动方程可以表示为 。
事实上，上述的三条并不是互相独立的。其中条件①是基本的，由它可以导出另外两个条件②和③。
§5.2 弹簧振子和单摆
简谐振动的教学中经常讨论的是弹簧振子和单摆，下面分别加以讨论。
5．2．1、弹簧振子
弹簧在弹性范围内胡克定律成立，弹簧的弹力为一个线性回复力，因此弹簧振子的运动是简谐振动，振动周期
。
（1）恒力对弹簧振子的作用
比较一个在光滑水平面上振动和另一个竖直悬挂振动的弹簧振子，如果m和k都相同（如图5-2-1），则它们的振动周期T是相同的，也就是说，一个振动方向上的恒力不会改变振动的周期。
如果在电梯中竖直悬挂一个弹簧振子，弹簧原长，振子的质量为m=1.0kg，电梯静止时弹簧伸长=0.10m，从t=0时，开始电梯以g/2的加速度加速下降,然后又以g/2加速减速下降直至停止试画出弹簧的伸长随时间t变化的图线。
由于弹簧振子是相对电梯做简谐运动，而电梯是一个有加速度的非惯性系，因此要考虑弹簧振子所受到的惯性力f。在匀速运动中，惯性力是一个恒力，不会改变振子的振动周期，振动周期
因为，所以
因此在电梯向下加速或减速运动的过程中，振动的次数都为
当电梯向下加速运动时，振子受到向上的惯性力mg/2，在此力和重力mg的共同作用下，振子的平衡位置在

的地方，同样，当电梯向下减速运动时，振子的平衡位置在

的地方。在电梯向下加速运动期间，振子正好完成5次全振动，因此两个阶段内振子的振幅都是。弹簧的伸长随时间变化的规律如图5-2-2所示，读者可以思考一下，如果电梯第二阶段的匀减速运动不是从5T时刻而是从4.5T时刻开始的，那么图线将是怎样的？
（2）弹簧的组合 设有几个劲度系数分别为、……的轻弹簧串联起来，组成一个新弹簧组，当这个新弹簧组在F力作用下伸长时，各弹簧的伸长为，那么总伸长

各弹簧受的拉力也是F，所以有

故
根据劲度系数的定义，弹簧组的劲度系数

即得
如果上述几个弹簧并联在一起构成一个新的弹簧组，那么各弹簧的伸长是相同的。要使各弹簧都伸长，需要的外力
根据劲度系数的定义，弹簧组的劲度系数
导出了弹簧串、并联的等效劲度系数后，在解题中要灵活地应用，如图5-2-3所示的一个振动装置，两根弹簧到底是并联还是串联？这里我们必须抓住弹簧串并联的本质特征：串联的本质特征是每根弹簧受力相同；并联的本质特征是每根弹簧形变相同。由此可见图5-2-3中两根弹簧是串联。
当m向下偏离平衡位置时，弹簧组伸长了2 ，增加的弹力为

m受到的合外力（弹簧和动滑轮质量都忽略）

所以m的振动周期
=
再看如图5-2-4所示的装置，当弹簧1由平衡状态伸长时，弹簧2由平衡位置伸长了，那么，由杆的平衡条件一定有（忽略杆的质量）


由于弹簧2的伸长，使弹簧1悬点下降

因此物体m总的由平衡位置下降了
此时m所受的合外力
所以系统的振动周期

（3）没有固定悬点的弹簧振子 质量分别为和的两木块A和B，用一根劲度系数为k的轻弹簧联接起来，放在光滑的水平桌面上（图5-2-5）。现在让两木块将弹簧压缩后由静止释放，求系统振动的周期。
想象两端各用一个大小为F、方向相反的力将弹簧压缩，假设某时刻A、B各偏离了原来的平衡位置和，因为系统受的合力始终是零，所以应该有
①
A、B两物体受的力的大小
②
由①、②两式可解得


由此可见A、B两物体都做简谐运动，周期都是
此问题也可用另一种观点来解释：因为两物体质心处的弹簧是不动的，所以可以将弹簧看成两段。如果弹簧总长为，左边一段原长为，劲度系数为；右边一段原长为，劲度系数为，这样处理所得结果与上述结果是相同的，有兴趣的同学可以讨论，如果将弹簧压缩之后，不是同时释放两个物体，而是先释放一个，再释放另一个，这样两个物体将做什么运动？系统的质心做什么运动？
5．2．2、单摆
一个质量为m的小球用一轻质细绳悬挂在天花板上的O点，小球摆动至与竖直方向夹角，其受力情况如图5-2-6所示。其中回复力，即合力的切向分力为

当<5o时，△OAB可视为直角三角形，切向分力指向平衡位置A，且，所以

（式中）
说明单摆在摆角小于5o时可近似地看作是一个简谐振动，振动的周期为

在一些异型单摆中，和g的含意以及值会发生变化。
（1）等效重力加速度
单摆的等效重力加速度等于摆球相对静止在平衡位置时，指向圆心的弹力与摆球质量的比值。
如在加速上升和加速下降的升降机中有一单摆，当摆球相对静止在平衡位置时，绳子中张力为，因此该单摆的等效重力加速度为=。周期为
再如图5-2-7所示，在倾角为的光滑斜面上有一单摆，当摆球相对静止在平衡位置时，绳中张力为，因此单摆的等效重力加速度为=，周期为
又如一节车厢中悬挂一个摆长为的单摆，车厢以加速度在水平地面上运动（如图5-2-8）。由于小球m相对车厢受到一个惯性力，所以它可以“平衡”在OA位置，，此单摆可以在车厢中以OA为中心做简谐振动。当小球相对静止在平衡位置A处时，绳中张力为，等效重力加速度，单摆的周期

（2）等效摆长
单摆的等效摆长并不一定是摆球到悬点的距离，而是指摆球的圆弧轨迹的半径。如图5-2-9中的双线摆，其等效摆长不是，而是，周期

再如图5-2-10所示，摆球m固定在边长为L、质量可忽略的等边三角形支架ABC的顶角C上，三角支架可围绕固定的AB边自由转动，AB边与竖直方向成角。
当m作小角度摆动时，实际上是围绕AB的中点D运动，故等效摆长

正因为m绕D点摆动，当它静止在平衡位置时，指向D点的弹力为，等效重力加速度为，因此此异型摆的周期
（3）悬点不固定的单摆
如图5-2-11，一质量为M的车厢放在水平光滑地面上，车厢中悬有一个摆长为，摆球的质量为m的单摆。显然，当摆球来回摆动时，车厢也将作往复运动，悬点不固定。
由摆球相对于车厢的运动是我们熟悉的单摆，故取车厢为非惯性系，摆球受到重力mg，摆线拉力N和惯性力的作用，如图
分析摆球
N= ①（忽略摆球向心力）
回复力 ②
分析车厢：
③
因为很小，所以可认为，，
则由①、③式可得
把它代入②
摆球偏离平衡位置的位移
所以
因此摆球作简谐振动，周期

由周期表达式可知：当M?m时，，因为此时M基本不动，一般情况下，
?
§5.3 振动能量与共振
5. 3．1、简谐振动中的能量
以水平弹簧振子为例，弹簧振子的能量由振子的动能和弹簧的弹性势能构成，在振动过程中，振子的瞬时动能为：
振子的瞬时弹性势能为：
振子的总能量为：
简谐振动中，回复力与离开平衡位置的位移x的比值k以及振幅A都是恒量，即是恒量，因此振动过程中，系统的机械能守恒。
如以竖直弹簧振子为例，则弹簧振子的能量由振子的动能、重力势能和弹簧的弹性势能构成，尽管振动过程中，系统的机械能守恒，但能量的研究仍比较复杂。由于此时回复力是由弹簧的弹力和重力共同提供的，而且是线性力（如图5-3-1），因此，回复力做的功（图中阴影部分的面积）也就是系统瞬时弹性势能和重力势能之和，所以类比水平弹簧振子瞬时弹性势能表达式，式中x应指振子离开平衡位置的位移，则就是弹性势能和重力势能之和，不必分开研究。
简谐振动的能量还为我们提供了求振子频率的另一种方法，这种方法不涉及振子所受的力，在力不易求得时较为方便，将势能写成位移的函数，即，。
另有

也可用总能量和振幅表示为
5．3．2、阻尼振动
简谐振动过程的机械能是守恒的，这类振动一旦开始，就永不停止，是一种理想状态。实际上由于摩擦等阻力不可完全避免，在没有外来动力的条件下，振动总会逐渐减弱以致最后停息。这种振幅逐渐减小的振动，称为阻尼振动。阻尼振动不是谐振动。
①振动模型与运动规律
如图5-3-2所示，为考虑阻尼影响的振动模型，c为阻尼器，粘性阻尼时，阻力R=-cv，设m运动在任一x位置，由有
分为 （17）
式中
这里参考图方法不再适用，当 C 较小时，用微分方程可求出振体的运动规律，如图4-22所示。
②阻尼对振动的影响
由图5-3-3可见，阻尼使振幅逐渐衰减，直至为零。同时也伴随着振动系统的机械能逐渐衰减为零。
此外，愈大，即阻尼愈大，振幅衰减愈快。而增大质量m可使n减小。所以，为了减小阻尼，单摆的重球及弹簧振子往往选用重球。
③常量阻力下的振动
例1、如图5-3-4所示，倔强系数为250g/cm的弹簧一端固定，另端连结一质量为30g的物块，置于水平面上，摩擦系数，现将弹簧拉长1cm后静止释放。试求：（1）物块获得的最大速度；（2）物块经过弹簧原长位置几次后才停止运动。
解：振体在运动中所受摩擦阻力是与速度方向相反的常量力，并不断耗散系统的机械能，故不能像重力作用下那样，化为谐振动处理。
（1）设首次回程中，物块运动至弹簧拉力等于摩擦力的x位置时，达最大速度。
由 ，
再由能量守恒：

代入已知数据得
（2）设物体第一次回程中，弹簧的最大压缩量为，则

再设物体第一次返回中，弹簧的最大拉伸量为，则
可见振体每经过一次弹簧原长位置，振幅减小是相同的，且均为
而
故物体经过16次弹簧原长位置后，停止在该处右方。
5．3．3 受迫振动——在周期性策动外力作用下的振动。
例如：扬声器的发声，机器及电机的运转引起的振动。
1、振动模型及运动规律
如图5-3-5所示，为策动外力作用下的振动模型。其中，阻力R=-cv，为常见的粘性阻尼力。
策动力F=Hcospt，为简谐力时。
由，有化为标准标式
式中 ，，
由微分方程理论可求得振子的运动规律
（2）受迫振动的特性
在阻尼力较小的条件下，简谐策动力引起的振动规律如图5-3-6所示。在这个受迫振动过程由两部分组成：一部分是按阻尼系统本身的固有频率所作的衰减振动，称为瞬态振动（图（a））；另一部分按策动力频率所作的稳定振动（图（b））。在实际问题中，瞬态振动很快消失，稳态振动显得更加重要。稳态振动的频率与系统本身的固有频率无关，其振幅与初位相也不由初始条件确定，而与策动频率p密切相关。
5．3．4、共振—当策动力频率p接近于系统的固有频率时受迫振动振幅出现最大值的现象。
如图5-3-7所示的一组曲线，描述了不同阻尼系统的稳态振幅A随策动力频率p改变而引起的变化规律。由图可见：
1、当p接近时振幅最大，出现共振。
2、阻尼越小，共振越大。
3、时，振幅就是静力偏移，即
4、p>>时，振体由于惯性，来不及改变运动，处于静止状态。
§5.4 振动的合成
若一个物体同时受到两个或几个周期性策动力的作用，在一般情况下其中一个力的存在不会对另外一个力产生影响，这时物体的振动就是它在各个策动力单独作用下产生的振动相互叠加后的振动，由各策动力单独产生的振动来求它们叠加后的振动，叫振动的合成。
5. 4．1、 同方向、同频率两简谐运动的合成
当一个物体同时参与同方向的两个振动时，它在某一时刻的位移应为同一时刻两个振动的位移的代数和。当两振动的频率相同时，设此两振动的位移分别为
则合振动的位移应为




上式中

根据以上结论，进一步可以看到
①若（k为整数），则
即合振动的振幅达到最大值，此时合振动的初位相与分振动的初位相同（或相差）
②若或 则
即合振动的振幅达到最小值。此时合振动的初位相取决于和的大小。即当时，合振动的初位相等于；当时，合振动的初位相等于；当时，则A=0，物体不会发生振动。
③一般情况下，可以任意值，合振动的振幅A的取值范围为
≥≥
5. 4．2、 同方向、频率相近的两振动的合成
设物体同时参与两个不同频率的简谐运动，例如
为简单起见，我们已设，这只要适当地选取时间零点，是可以做到的。如果再设，则合振动

由于和相差不多，则有（）比（）大很多，由此，上一合振动可以看成是振幅为（随时间变化）。角频率为的振动。这种振动称为“拍”。拍的位移时间图像大致如图5-4-1所示。由图可见，振幅的变化周期为变化周期的一半，即
或拍频为
5．4．3、同频率相互垂直的两个简谐振动的合成
当一物体同时参与相互垂直的振动时
合振动的轨迹在直角坐标系中的方程为
（6-17）
当时，
得
合成结果仍为简谐振动（沿斜率为的直线作简谐振动）。
当=时，
?
可见，当时，合振动均为椭圆振动，但两者旋转方向不同。
§5.5机械波
5．5．1、机械波
机械振动在介质中的传播形成机械波，波传递的是振动和能量，而介质本身并不迁移。
自然界存在两种简单的波：质点振动方向与波的传播方向垂直时，称为横波；与传播方向一致时，叫纵波，具有切变弹性的介质能传播横波；具有体变弹性的介质可传播纵波，固体液体中可以同时有横波和纵波，而在气体中一般就只有纵波存在了。
在波动中，波上相邻两个同相位质点间的距离，叫做一个波长，也就是质点作一个全振动时，振动传播的距离。由于波上任一个质点都在做受迫振动，因此它们的振动频率都与振源的振动频率相等，也就是波的频率，在波动中，波长、频率与传播速度之间满足
（1）
注意：波速不同于振动质点的运动速度，波速与传播介质的密度及弹性性质有关。
5．5．2、波动方程
如图5-5-1所示，一列横波以速度沿轴正方向传播，设波源O点的振动方程为：

在轴上任意点P的振动比O点滞后时间，即当O点相位为时，P点的相位为，由，，，P点振动方程为


这就是波动方程，它可以描述平面简谐波的传播方向上任意点的振动规律。当波向轴负方向传播时，（2）式只需改变的正负号。由波动方程，可以
（1）求某定点处的运动规律
将代入式（6-14），得

其中为质点作简谐振动的初相位。
（2）求两点与的相位差
将代入（2）式，得两点、的相位差

若为整数），则，则该两点同相，它们的位移和速度都相同。若为整数），则，则该两点相位相反，它们的位移和速度大小相同，速度方向刚好相反。
球面波的波动方程与平面波相比，略有不同，对于球面波，其振幅随传播距离的增加而衰减，设离波源距离为处的振幅为，离波源距离为处的振幅为。则有
即振幅与传播的距离成反比
球面简谐波的方程为

式中A是与波源的距离为一个单位长度处的振幅。
3、波的叠加和干涉
当空间存在两个（或两个以上）振源发出的波时，空间任一点的扰动是各个波在该点产生的扰动的矢量和，这叫做波的叠加原理。
当有频率相同、振动方向相同的两列波在空间叠加时，会出现某些地方振动增强，某些地方振动减弱的现象，叫做波的干涉，这样的两列波叫相干波。
设有两列相干波自振源、发出，两振源的位相相同，空间任一点P至的距离为，至的距离为（图5-5-2），则两列波在P点产生的振动的相位差为

当为整数），即当波程差
时，P点的合振动加强；
当，即当波程差
时，P点的合振动减弱，可见P点振动的强弱由波程差决定，是P点位置的函数。
总之，当某一点距离两同位相波源的波程差等于零或者是波长的整数倍时，该点振动的合振幅最大，即其振动总是加强的；当某一点距离两同位波源的波程差等于半波长或半波长的奇数倍时，该点振动的合振幅最小，即其振动总是削弱的。
4、波的反射、折射和衍射
当波在传播过程中遇到的两种介质的交界面时，一部分返回原介质中，称为反射波；另一部分将透入第二种介质继续传播，称为折射波，入射波的传播方向与交界面的法线成角，（叫入射角），反射波的传播方向与交界面的法线成角（叫反射角）。折射波的传播方向与法线成角（叫折射角），如图5-5-3，则有


式中为波在入射介质中的传播速度，为波在折射介质中的传播速度，（1）式称为波的反射定律，（2）式称为波的折射定律。
弦上的波在线密度不同的两种弦的连结点处要发生反射，反射的波形有所不同。
设弦上有一向上脉冲波，如图5-5-4，传到自由端以后反射，自由端可看成新的振源，振动得以继续延续下去，故反身波仍为向上的脉冲波，只是波形左右颠倒。当弦上有向上脉冲波经固定端反射时，固定端也可看成新的“振源”，由牛顿第三定律，固定端对弦的作用力方向与原脉冲对固定端的作用力方向相反，故反射脉冲向下，即波形不仅左、右颠倒，上、下也颠倒，这时反射波可看成入射波反向延伸的负值（如图5-5-5），将周期波看成一系列连续脉冲，周期波经自由端或固定端的反射也可由此得出。
波在传播过程中遇到障碍物时，偏离原来的传播方向，传到障碍物“阴影”区域的现象叫波的衍射。当障碍物或孔的尺寸比波长小，或者跟波长相差不多时，衍射现象比较明显；当障碍物或孔的尺寸比波长大的时候，衍射现象仍然存在，只是发生衍射的部分跟直进部分相比，范围较小，强度很弱，不够明显而已。此外，在障碍物或小孔尺寸一定的情况下，波长越长，衍射现象越明显。
5．6．5、驻波
驻波是频率相同、振幅相同、振动方向一致、传播方向相反的两列简谐波叠加的结果，如图6-5-6，设弦上传递的是连续的周期波，波源的振动方程为
向左传播的入射波表达式为
设波源到固定端的距离为，则入射波传到反射点时的相位为
考虑到入射波和反射波在连接点的振动相位相反，即入射波在反射时产生了的相位突变，故反射波在反射点的相位为
反射波在原点P的相位为

因而，反射波的波动方程为
合成波为：

合成波的振幅为与x有 关，振幅最大处为波腹，振幅最小处为波节。波腹的位置为
即 如图5-6-6中的D、E、F等处。
波节的位置为
即
如图5-5-7中的O、A、B等处。
相邻两波节（或波腹）之间的间距为。
不同时刻驻波的波形如图5-6-7所示，其中实线表示、T、2T……时的波形；点线表示、……时的波形；点划线表示、时的波形。
5．5．6、多普勒效应
站在铁路旁边听到车的汽笛声，发现当列车迎面而来时音调较静止时为高，而列车迅速离去时音调较静止时为低，此外，若声源静止而观察者运动，或者声源和观察者都运动，也会发生收听频率和声源频率不一致的现象，这种现象称为多普勒效应。下面分别探讨各种情况下多普勒频移的公式：
（1）波源静止观察者运动情形
如图5-5-8所示，静止点波源发出的球面波波面是同心的，若观察者以速度趋向或离开波源，则波动相对于观察者的传播速度变为或，于是观察者感受到的频率为
从而它与波源频率之比为

（2）波源运动观察者静止情形
若波源以速度运动，它发出的球面波不再同心。图5-5-9所示两圆分别是时间相隔一个周期T的两个波面。它们中心之间的距离为T，从而对于迎面而来或背离而去的观察者来说，有效的波长为
观察者感受到的频率为
因而它与波源频率之比为
（3）波源和观察者都运动的情形
此处只考虑波的传播方向、波源速度、观察者速度三者共线的特殊情况，这时有效波速和波长都发生了变化，观察者感受到的频率为
从而它与波源频率之比为
下举一个例
单行道上，有一支乐队，沿同一个方向前进，乐队后面有一坐在车上的旅行者向他们靠近。此时，乐队正在奏出频率为440HZ的音调。在乐队前的街上有一固定话筒作现场转播。旅行者从车上的收音机收听演奏，发现从前面乐队直接听到的声音和从广播听到的声音混合后产生拍，并测出三秒钟有四拍，车速为18km/h，求乐队前进速度。（声速=330m/s）。
解：先考虑车上听到的频率，连续两次应用多普勒效应，有
（为旅行者听到乐队的频率）
得
收音机得到频率为
旅行者听到广播频率为 又拍频为 综上得：=2.98m/s
5．5．7．声波
机械振动在空气中的传播称为声波。声波作用于人耳，产生声音感觉。人耳可闻声波频率是16~20000。频率超过20000的声波叫超声波。超声波具有良好的定向性和贯穿能力。频率小于16的声波称为次声波。在标准情况下，声波在空气中的速度为331m/s。
（1）声波的反射—声波遇障碍物而改变原来传播方向的现象。
回声和原来的声波在人耳中相隔至少0.1秒以上，人耳才能分辨，否则两种声音将混在一起，加强原声。
室内的声波，经多次反射和吸收，最后消失，这样声源停止发声后，声音还可在耳中继续一段时间，这段时间叫交混回响时间。交混回响时间太长，前后音互相重叠，分辨不清；交混时间太短，给人以单调不丰满的感觉，这种房间不适于演奏。
（2）声波的干涉——两列同频率同振幅的声波在媒质中相遇而发生的波干涉现象。
（3）声波的衍射——声波遇障碍物而发生的波衍射现象。由于声波波长在17cm—17m之间，与一般障碍物尺寸可相比拟，可绕过障碍物进行传播。而可见光的波长在0.4—0.8，一般障碍物不能被光绕过去。这就是“闻其声而不见其人”的缘由。
（4）共鸣——声音的共振现象
音叉和空气柱可以发生共鸣。
在一个盛水的容器中插入一根玻璃管，在管口上方放一个正在发声的音叉，当把玻璃管提起和放下，以改变玻璃管中空气柱的长度时，便可以观察到空气柱与音叉发生共鸣的现象。在这个实验中发生共鸣的条件是：，式中L为玻璃管的长度，为音叉发出声波的波长，n为自然数。
5、乐音噪声——好听、悦耳的声音叫乐音，嘈杂刺耳的声音叫噪声。乐音是由作周期性振动的声源发出的，嘈声是由做无规则非周期性振动的声源产生的。
6、音调、响度与音品为乐音三要素。
音调—基音频率的高低，基频高则称音调高。人们对音调的感觉客观上也取决于声源振动的频率，频率高，感觉音调高。
响度—声音的强弱。声源振幅大、声音的声强（单位时间内通过垂直于声波传播方向的单位面积的能量）也大，人感觉到的声音也大。
音品—音色，它反映了不同声源发出的声音具有不同的特色。音品由声音所包含的泛音的强弱和频率决定。
温度和气体分子运动论
§1。1 温度
1．1．1、平衡态、状态参量
温度是表示物体冷热程度的物理量。凡是跟温度有关的现象均称为热现象。热现象是自然界中的一种普遍现象。
热学是研究热现象规律的科学。热学研究的对象都是由大量分子组成的宏观物体，称为热力学系统或简称系统。在不受外界影响的条件下，系统的宏观性质不再随时间变化的状态称为平衡态，否则就称为非平衡态。可见系统平衡态的改变依赖于外界影响(作功、传热)。
系统处于平衡态，所有宏观物理都具有确定的值，我们就可以选择其中几个物理量来描述平衡态，这几个量称为状态参量。P、V、T就是气体的状态参量。
气体的体积V是指盛放气体的容器的容积，国际单位制中，体积的单位是m。
1m=103L=10cm
气体的压强P是气体作用在容器的单位面积器壁上的平均压力，单位是p。
1atm=76cmHg=1.01310p
1mmHg=133.3p
1．1．2、 温标
温度的数值表示法称为温标。建立温标的三要素是：
1、选择某种物质的一个随温度改变发生单调显著变化的属性来标志温度，制作温度计。例如液体温度计T(V)、电阻温度计T(R)、气体温度计T(P)、T(V)等等。这种选用某种测温物质的某一测温属性建立的温标称为经验温标。
2、规定固定点，即选定某一易于复现的特定平衡态指定其温度值。1954年以前，规定冰点为0℃，汽点为100℃，其间等分100份，从而构成旧摄氏温标。1954年以后，国际上选定水的三相点为基本固定点，温度值规定为273.16K。这样0℃与冰点，100℃与汽点不再严格相等，百分温标的概念已被废弃。
3、规定测温属性随温度变化的函数关系。如果某种温标(例如气体温度计)选定为线性关系，由于不同物质的同一属性或者同一物质的不同属性随温度变化的函数关系不会相同，因而其它的温标就会出现非线性的函数关系。
1．1．3、理想气体温标
定容气体温度计是利用其测温泡内气体压强的大小来标志温度的高低的。
T(P)=P
是比例系数，对水的三相点有
T=P=273.16K
P是273.16K时定容测温泡内气体的压强。于是
T(P)=273.16K (1)
同样，对于定压气体温度计有
T(V)=273.16K (2)
是273.16K时定压测温泡内气体的体积。
用不同温度计测量同一物体的温度，除固定点外，其值并不相等。对于气体温度计也有。但是当测温泡内气体的压强趋于零时，所有气体温度计，无论用什么气体，无论是定容式的还是定压式的，所测温度值的差别消失而趋于一个共同的极限值，这个极限值就是理想气体温标的值，单位为K，定义式为
T=T(V)=T(P)
=273.16K=273.16K (3)
1．1．4、热力学温标
理想气体温标虽与气体个性无关，但它依赖于气体共性即理想气体的性质。利用气体温度计通过实验与外推相结合的方法可以实现理想气体温标。但其测温范围有限(1K～1000℃)，T＜1K，气体早都已液化，理想气体温标也就失去意义。
国际上规定热力学温标为基本温标，它完全不依赖于任何测温物质的性质，能在整个测温范围内采用，具有“绝对”的意义，有时称它为绝对温度。在理想气体温标适用的范围内，热力学温标与理想气体温标是一致的，因而可以不去区分它们，统一用T(K)表示。
国际上还规定摄氏温标由热力学温标导出。其关系式是：
t=T-273.15 (4)
这样，新摄氏温标也与测温物质性质无关，能在整个测温范围内使用。目前已达到的最低温度为510K，但是绝对零度是不可能达到的。
例1、定义温标t与测温参量X之间的关系式为t=ln(kX),k为常数
试求：(1)设X为定容稀薄气体的压强，并假定水的三相点，试确定t与热力学温标之间的关系。(2)在温标t中，冰点和汽点各为多少度；(3)在温标t中，是否存在零度？
解：(1)设在水三相点时，X之值是，则有273．16=In(kX)将K值代入温标t定义式，有
(2)
热力学温标可采用理想气体温标定义式，X是定容气体温度计测温泡中稀薄气体压强。故有
(3)
因测温物质是定容稀薄气体，故满足X→0的要求，因而(2)式可写成
(4)
这是温标与温标T之间关系式。
(2)在热力学温标中，冰点，汽点。在温标中其值分别为
(3)在温标中是否存在零度？令=0，有
低于1K任何气体都早已液化了，这种温标中=0的温度是没有物理意义的。
§1-2 气体实验定律
1．2．1、玻意耳定律
一定质量的气体，当温度保持不变时，它的压强和体积的乘积是一个常数，式中常数C由气体的种类、质量和温度决定。
抽气与打气问题的讨论。
简单抽气机的构造由图1-2-1示意，它由一个活塞和两个阀门组成。当活塞向上提升时，a阀门打开，贮气筒与抽气机相通，气体膨胀减压，此时b阀门被关闭。当活塞向下压缩时，b阀门打开，a阀门关闭，抽气机内的气体被压出抽气机，完成一次抽气。贮气筒被抽气的过程，贮气筒内气体质量不断在减小，气体压强也不断减小。设第一次抽气后贮气筒内气压，第n次抽气后贮气筒内气压，则有：
整理得
简单压气机与抽气机的结构相似，但作用相反。图1-2-2示意，当活
塞上提时，a阀门打开，b阀门关闭，外界空气进入压气机中，活塞下压时，压气机内空气被压入贮气筒，而此时阀门a是关闭的，这就完成了一次压气过程。每次压气机压入贮气筒的气体是
，故
1．2．2、盖—吕萨克定律
一定质量的气体，当压强保持不变时，温度每升高1℃，其体积的增加量等于0℃时体积的。若用表示0℃时气体的体积，V表示t℃的体积，则。若采用热力学温标，则273+t为摄氏温度t℃。所对应的热力学温度T，273为0℃所对应的热力学温度。于是，盖—吕萨克定律可写成。若温度为T时，体积为；温度为时，体积为，则有
或。
故盖—吕萨克定律也可表达为：一定质量的气体，当压强保持不变时，它的体积与热力学温标成正比。
1．2．3、查理定律
一定质量的气体，当体积保持不变时，它的压强与热力学温度成正比
式中常数C由气体的种类、质量和体积决定。
汞柱移动问题的讨论：
一根两端封闭、粗细均匀的石英管，竖直放置。内有一段水银柱，将管隔成上下两部分。下方为空气，上方为一种可分解的双原子分子气体。该双原子分子气体的性质为：当＞时，其分子开始分解为单原子分子(仍为气体)。用表示时的双原子分子数，表示时分解了的双原子分子数，其分解规律为当△T很小时，有如下关系：。已知初始温度为，此时下方的气柱长度为，上方气柱长度为，水银柱产生的压强为下方气压的倍。试讨论当温度由开始缓慢上升时，水银柱将上升还是下降。
假设水银柱不动。当温度为时，下方气体压强为，温度升至，气体压强。水银柱压强为，故当T=时，上方气体压强为，当温度升至，有个双原子气体分子分解为个单原子气体分子，故气体分子数由增至个。令此时压强为，管横截面积为S，则有：
解得
，
因△T很小，故项起主导作用，而项的影响较之第一项要小得多，故从分析如下：①当＞时，＜0时，水银柱上升，②当＜时，＞0水银柱下降。③当=时，＞0水银柱下降。
以上三个实验定律只能反映实验范围内的客观事实，它们都具有一定的近似性和局限性。对于一般的气体，只有当压强不太大，温度不太低时，用三个定律求出的结果与实验数据才符合得很好。如果压强很大或温度很低时，用这三个定律求出的结果与实验结果就会有很大的偏差。
1．2．4、理想气体
它是能够准确遵守气体实验定律的一个气体的理论模型。
对查理得律，设P和分别表示和时气体压强，则有
，
对盖—吕萨拉定律，设和分别表示和时气体的体积，则有
，
对理想气体，有
例1、一个质量m=200.0kg、长=2.00m的薄底大金属桶倒扣在宽旷的水池底部(图1-2-3)桶内的横截面积(桶的容积为)，桶本身(桶壁与桶底)的体积，桶内封有高度的空气，池深，大气压强水柱高，水的密度，重力加速度g取。若用图中所示吊绳将桶上提，使桶底能到达水面处，则绳拉力所需做的功有一最小值，试求从开始到绳拉力刚完成此功的过程中，桶和水(包括池水和桶内水)的机械能改变了多少(结果要保留三位有效数字)。不计水阻力，设水温很低，不计其饱和蒸气压的影响，并设水温上下均匀且保持不变。
解：在上提过程中，桶内空气压强减小，体积将增大，从而对桶和桶内空气(空气质量不计)这一整体的浮力将增大。本题若存在桶所受浮力等于重力的位置，则此位置是桶的不稳定平衡点，再稍上提，浮力将大于重力，桶就会上浮。从这时起，绳不必再拉桶，桶会在浮力作用下，上浮到桶底到达水面并冒出。因此绳对桶的拉力所需做的最小功的过程，就是缓慢地将桶由池底提高到浮力等于重力的位置所历的过程。
下面先看这一位置是否存在。如果存在的话，如图1-2-4所示，设在此位置时桶内空气的高度为，因浮力等于重力，应有
(1)
代入已知数据可得
(2)
设此时桶的下边缘距池底的高度H，由玻——马定律可知
(3)
由(2)、(3)式得到
H=12.24m (4)
因为H＜，即整个桶仍浸在水中，可知存在上述浮力等于重力的位置。
现在要求将桶由池底缓慢地提高到H处桶及水的机械能的增量△E。△E包括三部分：(1)桶势能的增量；(2)在H高时桶本身排开的水可看作下降去填充在池底时桶本身所占空间而引起水势能的增量；(3)在H高度时桶内空气所排开的水，可看作一部分下降去填充在池底时空气所占的空间，由于空气膨胀的那部分上升到水池表面，由此引起水势的增量。则
；
；
。
?
§1-3 理想气体状态方程
1．3．1、理想气体状态方程
反映气体在平衡态下状态参量之间规律性联系的关系式称为气态方程。我们知道，理想气体状态方程可在气体实验定律的基础上得到，一定质量的理想气体的两平衡参量之间的关系式为
（5）
在标准状态，，1mol任何气体的体积m3mol-1。
因此vmol气体在标准状态下的体积为，由(5)式可以得出：
由此得到理想气体状态方程或称克拉珀龙方程：
式中R称为摩尔气体恒量，它表示1mol气体在标准状况的的值，其值为
推论：1、1mol的任何物质含有的粒子数，这称为阿伏伽德罗常数。设质量为m、摩尔质量为M的气体，其分子数为N，则此气体的摩尔数为
(6)
同时引用玻耳兹曼常数
k的物理意义：1个分子在标况下的。
将(6)式代入(5)式，可以得到
(7)
或者 (8)
2、气体密度：由(5)式可以得到
(9)
例如空气的平均摩尔质量，在标准状态下空气密度为
由(5)式可知，对于理想气体，可应用气态方程的另一形式，为
(10)
3、气体的分合关系：无论是同种还是异种理想气体，将质量为m，状态为PVT的理想气体被分成若干部分()时，则有
(11)
1．3．2、混合理想气体状态方程
1、道尔顿分压定律指出：混合气体的压强等于各组分的分压强之和。这条实验定律也只适用于理想气体。即
(12)
其中每一部分的气态方程为
(13)
混合理想体气状态方程与单一成分的理想气体状态方程形式相同，但M为平均摩尔质量。
(14)
由于混合气体的摩尔数应是各组分的摩尔数之和。因此混合气体的平均摩尔质量M有
(15)
由(1-20)式和(1-19)式可得混合气体的分压强：
(16)
1．3．3、混合气体的状态方程
如果有n种理想气体，分开时的状态分别为(、、)，(、、)，…，(、、)，将它们混合起来后的状态为P、V、T，那么，有
如果是两部分气体混合后再分成的部分，则有
例1、一根一端封闭的玻璃管长96cm，内有一段20cm的水银柱。当温度为27C且开口端向上时，被封闭的气柱长60cm。试问温度至少为多少度，水银柱才可从管中全部溢出。
解：设气体温度为T时，管内的水银柱高度为x，x＜20cm，大气压强。
(1)
得到
(2)
其中P以cmHg为单位，长度以cm为单位。
要求x有实数解的条件
400+4×(76×96-)≥0
可见≤，≥时，管内气体可以形成平衡状态。反之，T＞因而x＜时，管内气体压强总是(76+x)cmHg，(1)式不再成立，平衡态无法建立而导致非平衡状态，水银柱将全部溢出。
例2、设在恒温0℃下，测得三甲胺的密度随压强变化的数据如下表所示，试根据这些数据要求三甲胺的摩尔质量。
0.2
0.4
0.6
0.8
0.5336
1.0790
1.6363
2.2054
解：为了准确测定气体的摩尔质量，必须把实际气体的压强外推到零(P→0)时应用理想气体状态方程，即由(1-15)式有
(1)
为了求出P→0时()的极限值，可将上述数据作如下变换：
0.2
0.4
0.6
0.8
2.6680
2.6975
2.7272
2.7568
现以为纵坐标，P为横作标，作出-P图形(图1-3-1)，将图中曲线外推到P→0得到
将上述结果代入(1)式可得
即三甲胺的分子量为59.14。
§1.4 气体分子运动论
1. 4.1、 分子运动论的基本点
1、宏观物体由大量分子组成。分子直径的数量级一般为，分子质量为。在标准状态下，气体分子的数密度为
2、物体内的分子永不停息地作无规则运动。这是根据布朗运动和扩散现象得出的结论。实验表明扩散的快慢和布朗运动的激烈程度与温度的高低有明显的关系。由此常把大量子的无规则运动称为热运动，热运动是物质运动的一种基本形式，热现象是它的宏观表现。气体分子热运动的平均速率与温度的关系为

常温下， 。
3、分子之间存在的相互作用力。分子之间同时存在引力和斥力，它们都随距离的增大而减小。其合力具体表现为相吸引还是相排斥，取决于分子间的距离。当时，合力为零，分子间的距离的位置称为平衡位置；当r＞时，分子力表现引力；当r＜时，分子力表现为斥力；当r＞时，分子力可忽略不计。分子力是保守力，存在着由分子和分子间相对位置所决定的势能称为分子力势能。
分子力和热运动是决定物体宏观性质的基本因素。分子力作用倾向于使分子聚集一起，在空间形成某种有序排列；热运动却力图造成混乱存在向外扩散的趋势。
1．4．2、理想气体的微观模型
先来作个估算：在标准状态下，1mol气体体积，分子数，若分子直径，则分子间的平均间距，相邻分子间的平均间距与分子直径相比。
由此可知，气体分子间的距离比较大，在处理某些问题时，可以把气体分子视为没有大小的质点；同时可以认为气体分子除了相互碰撞或者跟器壁碰撞之外，分子力也忽略不计，分子在空间自由移动，也没有分子势能。因此理想气体是指分子间没有相互作用和分子可以看作质点的气体。这一微观模型与气体愈稀薄愈接近于理想气体的宏观概念是一致的。
1．4．3、理想气体的压强
宏观上测量的气体施给容器壁的压强，是大量气体分子对器壁不断碰撞的结果。在通常情况下，气体每秒碰撞的器壁的分子数可达。在数值上，气体的压强等于单位时间内大量分子施给单位面积器壁的平均冲量。
其表达式为

式中n是分子数密度，是分子的平均平动动能，n和增大，意味着单位时间内碰撞单位面积器壁的分子数增多，分子碰撞器壁一次给予器壁的平均冲量增大，因而气体的压强增加。
1．4．4、温度的微观意义
将式代入式后，可以得到气体分子的平均平动动能为

这被称为气体温度公式，温度升高，分子热运动的平均平动动能增大，分子热运动加剧。因此，气体的温度是气体分子平均平动能的标志，是分子热运动剧烈程度的量度。
例1、质量为的圆筒水平地放置在真空中。质量、厚度可忽略的活塞将圆筒分为体积相同的两部分(图1-4-1)，圆筒的封闭部分充有n摩尔的单原子理想气体，气体的摩尔质量为M，温度为，突然放开活塞，气体逸出。试问圆筒的最后速度是多少？设摩擦力、圆筒和活塞的热交换以及气体重心的运动均忽略不计。(，，，氦的摩尔质量为，，)
解：过程的第一阶段是绝热膨胀，膨胀到两倍体积后(图1-4-2)温度将是T。根据绝热方程，有
因此：
圆筒和活塞的总动能等于气体内能的损失，即
根据动量守恒定律，
解上述方程，得过程第一阶段结束时的圆筒速度：
。
由此得出结论，在过程第一阶段的最后瞬间，圆筒以速度向右运动，此时活塞正好从圆筒冲出。
我们把坐标系设置在圆筒上。所给的是一个在真空中开口的圆筒，筒内贮有质量为、温度为T的气体。显然，气体将向左上方流动，并推动圆筒向右以速度运动。气体分子的动能由下式给出：
式中是分子的平均速度[注：指均方根速率]，它由下述关系给定：
平衡状态下各有1/6的分子在坐标轴方向来回运动。在计算气体逸出时，假定有1/6的分子向圆筒的底部运动。这自然只是一级近似。因此，的质量以速度向圆筒底部运动，并与筒底弹性碰撞，之后圆筒以速度、气体以速度运动。对于弹性碰撞，动量守恒定律和机械守恒定律成立。由动量守恒有
由机械能守恒有
解以上方程组，得到气体逸出后的圆筒速度为
气体分子的1/6以速度反弹回来，的绝对值要小于。
气体必然有较低的温度，其一部分内能使圆筒的动能增加。速度相加后得圆筒速度为。代入所给的数据：
;;;
;;.
得圆筒的最后速度为
?
§1.5 理想气体的内能
1．5．1、物体的内能
(1)自由度：即确定一个物体的位置所需要的独立坐标系数，如自由运动的质点，需要用三个独立坐标来描述其运动，故它有三个自由度。
分子可以有不同的组成。如一个分子仅由一个原子组成，称为单原子(例：He等)，显然它在空间运动时具有三个平动自由度。
如一个分子由两个原子组成，称为双原子(例：等)，双原子分子内的两个原子由一个键所连接，确定两个原子共同质心的位置，需三个自由度，确定连键的位置，需两个自由度，即双原子分子共有五个自由度。而对三原子分子(例：等)，除了具有三个平动自由度、两个转动自由度外，还有一个振动自由度，即共计有六个自由度。
(2)物体中所有分子热运动的动能和分子势能的总和称为物体的内能。由于分子热运动的平均动能跟温度有关，分子势能跟体积有关。因此物体的内能是温度和体积的函数。
理想气体的分子之间没有相互作用，不存在分子势能。因此理想气体的内能是气体所有分子热运动动能的总和，它只跟气体的分子数和温度有关，与体积无关。
1．5．2、理想气体的内能
通常，分子的无规则运动表现为分子的平动和转动等形式。对于单原子分子(如He等)的理想气体来说，分子只有平动动能，其内能应是分子数与分子平均平动动能的乘积，即。对于双原子分子(如、)的理想气体来说，在常温下，分子运动除平动外还可以有转动，分子的平均动能为，其内能，因此，理想气体的内能可以表达为

注意：，；对于原单原子分子气体，对于双原子分子气体。
一定质量的理想气体的内能改变量：
此式适用于一定质量理想气体的各种过程。不论过程如何，一定质量理想气体的内能变不变就看它的温度变不变。式中，表示1mol的理想气体温度升高或降低1K所增加或减少的内能。是可以变成

1．5．3、物体的势能
由于分子间存在相互作用而具有的能量叫做分子势能。当分子间距离(为分子力为零的位置)时，分子力是引力，随着分子间距离r的增大，分子势能减小，故处，分子势能最小。而在时，由于分子间的作用力可略，故分子势能变为零，如以无穷远处为势能的零点，定性的分子势能曲线可用图1-5-1表示
1．5．4、重力场中粒子按高度的分布
在重力场中，气体分子受到两种相互对立的作用。无规则的热运动将使气体分子均匀分布于它们所能到达的空间，而重力则要使气体分子聚拢在地面上，当这两种作用达到平衡时，气体分子在空间非均匀分布，分子数随高度减小。根据玻尔兹曼分布律，可以确定气体分子在重力场中按高度分布的规律：
是h=0处单位体积内的分子数，n是高度为h处单位体积内的分子数，n随高度h的增加按指数减小，分子的质量m越大，重力的作用越显著，n的减小就越迅速，气体的温度越高，分子的无规则运动越剧烈，n的减小越缓慢。
式中表示h=0处的压强，M为气体的摩尔质量，上式称为气压公式
因此测定大气压强随高度而减小的量值，即可确定上升的高度。该式不但适用于地面的大气，还适用于浮悬在液体中的胶体微粒按高度的分布。
例1、横截面积为S和αS(α＞1)，长度相同的两圆柱形“对接”的容器内盛有理想气体，每个圆筒中间位置有一个用硬杆想连的活塞，如图1-5-2所示。这时舱Ⅰ内气体压强为，舱Ⅲ内气体压强为，活塞处于平衡，整个系统吸收热量Q，温度上升，使各舱温度相同。试求舱Ⅰ内压强的变化。1mol气体内能为CT(C是气体摩尔热容量)，圆筒和活塞的热容量很小，摩擦不计。
解：设、、分别为第i个舱内气体的体积、压强的摩尔数。容器内气体总摩尔数，因为各舱温度皆为T，利用克拉珀龙方程得
①
取得中打斜线的活塞与硬杆为研究对象，由平衡条件得
②
而由题意 ③
及 、、
得
④
系统吸收热量后，假设活塞不移动，显然Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ舱气体都作等容升温变化，因题中明确三舱升高的温度相同，因而由
可知三舱气体的压强都增加相同的倍数，即方程②仍然满足，这说明升温过程中活塞确实不移动，即方程④也仍然成立。
因
结合④式易得Ⅰ舱内气体压强的变化
。
说明利用②式和③式可得
显然只有当＞1时才有意义。因为压强必须为正值。

热力学第一定律
§2.1 改变内能的两种方式
热力学第一定律
2．1．1、作功和传热
作功可以改变物体的内能。如果外界对系统作功W。作功前后系统的内能分别为、，则有

没有作功而使系统内能改变的过程称为热传递或称传热。它是物体之间存在温度差而发生的转移内能的过程。在热传递中被转移的内能数量称为热量，用Q表示。传递的热量与内能变化的关系是

做功和传热都能改变系统的内能，但两者存在实质的差别。作功总是和一定宏观位移或定向运动相联系。是分子有规则运动能量向分子无规则运动能量的转化和传递；传热则是基于温度差而引起的分子无规则运动能量从高温物体向低温物体的传递过程。
2．1．2、气体体积功的计算
1、准静态过程
一个热力学系统的状态发生变化时，要经历一个过程，当系统由某一平衡态开始变化，状态的变化必然要破坏平衡，在过程进行中的任一间状态，系统一定不处于平衡态。如当推动活塞压缩气缸中的气体时，气体的体积、温度、压强均要发生变化。在压缩气体过程中的任一时刻，气缸中的气体各部分的压强和温度并不相同，在靠近活塞的气体压强要大一些，温度要高一些。在热力学中，为了能利用系统处于平衡态的性质来研究过程的规律，我们引进准静态过程的概念。如果在过程进行中的任一时刻系统的状态发生的实际过程非常缓慢地进行时，各时刻的状态也就非常接近平衡态，过程就成了准静态过程。因此，准静态过程就是实际过程非常缓慢进行时的极限情况对于一定质量的气体，其准静态过程可用图、图、图上的一条曲线来表示。注意，只有准静态过程才能这样表示。
2、功
在热力学中，一般不考虑整体的机械运动。热力学系统状态的变化，总是通过做功或热传递或两者兼施并用而完成的。在力学中，功定义为力与位移这两个矢量的标积。在热力学中，功的概念要广泛得多，除机械功外，主要的有：流体体积变化所作的功；表面张力的功；电流的功。
(1)机械功
有些热力学问题中，应考虑流体的重力做功。如图2-1-1所示，一直立的高2h的封闭圆筒，被一水平隔板C分成体积皆为V的两部分。其中都充有气体，A的密度较小，B的密度较大。现将隔板抽走，使A、B气体均匀混合后，重力对气体做的总功为
(2)流体体积变化所做的功
我们以气体膨胀为例。设有一气缸，其中气体的压强为P，活塞的面积S(图2-1-2)。当活塞缓慢移动一微小距离时，在这一微小的变化过程中，认为压强P处处均匀而且不变，因此是个准静态过程。气体对外界所作的元功，外界(活塞)对气体做功，当气体膨胀时＞0，外界对气体做功W＜0；气体压缩时＜0，外界对气体做功W＞0。
如图2-1-3所示的A、B是两个管状容器，除了管较粗的部分高低不同之外，其他一切全同。将两容器抽成真空，再同时分别插入两个水银池中，水银沿管上升。大气压强皆为P，进入管中水银体积皆为V，所以大气对两池中水银所做功相等，但由于克服重力做功A小于B，所以A管中水银内能增加较多，其温度应略高。
准静态过程可用p-V图上一条曲线来表示，功值W为p-V图中过程曲线下的面积，当气体被压缩时W＞0。反之W＜0。如图2-1-4所示的由A态到B态的三种过程，气体都对外做功，由过程曲线下的面积大小可知：ACB过程对外功最大，AB次之，ADB的功最小。由此可知，在给定系统的初态和终态，并不能确定功的数值。功是一个过程量，只有当系统的状态发生变化经历一个过程，才可能有功；经历不同的过程，功的数值一般而言是不同的。
(3)表面张力的功
液面因存在表面张力而有收缩趋势，要加大液面就得作功。设想一沾有液膜的铁丝框ABCD(图2-1-5)。长为 2αl的力作用在BC边上。要使BC移动距离△x，则外力F作的功为
W=F△x=2αl△x=α△S。
式中α为表面张力系数，α指表面上单位长度直线两侧液面的相互拉力，△S指BC移动中液膜两个表面面积的总变化。外力克服表面张力的功转变为液膜的表面能。
由此可见，作功是系统与外界相互作用的一种方式，也是两者的能量相互交换的一种方式。这种能量交换的方式是通过宏观的有规则运动来完成的。我们把机械功、电磁功等统称为宏观功。
2．1．3、热力学第一定律
当系统与外界间的相互作用既有做功又有热传递两种方式时，设系统在初态的内能，经历一过程变为末态的内能，令。在这一过程中系统从外界吸收的热量为Q，外界对系统做功为W，则△E=W+Q。式中各量是代数量，有正负之分。系统吸热Q＞0，系统放热Q＜0；外界做功W＞0，系统做功W＜0；内能增加
△E＞0，内能减少△E＜0。热力学第一定律是普遍的能量转化和守恒定律在热现象中的具体表现。
2．1．4、 热量
当一个热力学系统与温度较高的外界热接触时，热力学系统的温度会升高，其内能增加，状态发生了变化。在这个状态变化的过程中，是外界把一部分内能传递给了该系统，我们就说系统从外界吸收了热量。如果系统与外界没有通过功来交换能量，系统从外界吸收了多少热量，它的内能就增加多少。热量是过程量。
做功和传递热量都可以使系统的内能发生变化，但它们本质上是有区别的，做功是通过物体的宏观位移来完成的，是通过有规则的运动与系统内分子无规则运动之间的转换，从而使系统的内能有所改变；传递热量是通过分子之间的相互作用来完成的，是系统外物体分子无规则运动与系统内分子无规则运动之间的传递，从而使系统的内能有所改变。为了区别起见，我们把热量传递叫做微观功。
2．1．5、气体的自由膨胀
气体向真空的膨胀过程称为气体的自由膨胀。气体自由膨胀时，没有外界阻力，所以外界不对气体做功W=0；由于过程进行很快，气体来不及与外界交换热量，可看成是绝热过程Q=0；根据热力学第一定律可知，气体绝热自由膨胀后其内能不变，即△E=0。
如果是理想气体自由膨胀，其内能不变，气体温度也不会变化，即△T=0；如果是离子气体自由膨胀，虽内能不变，但分子的平均斥力势能会随着体积的增大而减小，分子的平均平动动能会增加，从而气体温度会升高，即△T＞0；如果是存在分子引力的气体自由膨胀后，其内能不变，但平均分子引力势能会增大，分子平均平动动能会减小，气体温度会降低，即△T＜0。
例1、绝热容器A经一阀门与另一容积比A的容积大得多的绝热容器B相连。开始时阀门关闭，两容器中盛有同种理想气体，温度均为30℃，B中气体的压强是A中的两倍。现将阀门缓慢打开，直至压强相等时关闭。问此时容器A中气体的温度为多少？假设在打开到关闭阀门的过程中处在A中的气体与处在B中的气体之间无热交换。已知每摩尔该气体的内能为E=2.5RT。
分析：因为B容器的容积远大于A的容积，所以在题述的过程中，B中气体的压强和温度均视为不变。B容器内部分气体进入A容器，根据题设，A容器内气体是个绝热过程。外界(B容器的剩余气体)对A气体做功等于其内能的增量，从而求出A气体的最终温度。
解：设气体的摩尔质量为M，A容器的体积V，打开阀门前，气体质量为m，压强为p，温度为T。打开阀门又关闭后，A中气体压强为2p，温度为，质量为，则有
，
进入A气体质量，设这些气体处在B容器中时所占体积为。为把这些气体压入A容器，B容器中其他气体对这些气体做的功为。A中气体内能的变化。根据热力学第一定律有
例2、一根长为76cm的玻璃管，上端封闭，插入水银中。水银充满管子的一部分。封闭体积内有空气，如图2-1-6所示，大气压为76cmHg。空气的摩尔定容热容量，当玻璃管温度降低10℃时，求封闭管内空气损失的热量。
分析：取封闭在管内的空气为研究对象，为求出空气在降温过程中的放热，关键是确定空气在降温过程中遵循的过程方程。由于管内空气压强p等于大气压强与管内水银柱压强之差，因管长刚好76cm，故P与空气柱高度成正比，即封闭气体的压强与其体积成正比。随着温度降低，管内水银柱上升，空气的压强与体积均减小，但仍保持正比关系。
解：设在降温过程中管内封闭空气柱的高度为h，水银柱高度为，则。管内封闭空气的压强为
式中ρ为水银密度，上式表明，在降温过程中，空气的压强p与空气柱高度h成正比，因管粗细均匀，故p与空气体积V成正比，即∝V
这就是管内封闭空气在降温过程中所遵循的过程方程。
空气在此过程中的摩尔热容量 。
本题也可直接由热力学第一定律求解，关键要求得空气膨胀做功。由题给数据，可分析得空气对水银柱做功是线性力做功的情形。
§2.2 热力学第一定律对理想气体的应用
2．2．1、等容过程
气体等容变化时，有恒量，而且外界对气体做功。根据热力学第一定律有△E=Q。在等容过程中，气体吸收的热量全部用于增加内能，温度升高；反之，气体放出的热量是以减小内能为代价的，温度降低。

式中 。
2．2．1、等压过程
气体在等压过程中，有恒量，如容器中的活塞在大气环境中无摩擦地自由移动。
根据热力学第一定律可知：气体等压膨胀时，从外界吸收的热量Q，一部分用来增加内能，温度升高，另一部分用于对外作功；气体等压压缩时，外界对气体做的功和气体温度降低所减少的内能，都转化为向外放出的热量。且有

定压摩尔热容量与定容摩尔热容量的关系有。该式表明：1mol理想气体等压升高1K比等容升高1k要多吸热8.31J，这是因为1mol理想气体等压膨胀温度升高1K时要对外做功8.31J的缘故。
2．2．3、等温过程
气体在等温过程中，有pV=恒量。例如，气体在恒温装置内或者与大热源想接触时所发生的变化。
理想气体的内能只与温度有关，所以理想气体在等温过程中内能不变，即△E=0，因此有Q=-W。即气体作等温膨胀，压强减小，吸收的热量完全用来对外界做功；气体作等温压缩，压强增大，外界的对气体所做的功全部转化为对外放出的热量。
2．2．4、绝热过程
气体始终不与外界交换热量的过程称之为绝热过程，即Q=0。例如用隔热良好的材料把容器包起来，或者由于过程进行得很快来不及和外界发生热交换，这些都可视作绝热过程。
理想气体发生绝热变化时，p、V、T三量会同时发生变化，仍遵循恒量。根据热力学第一定律，因Q=0，有

这表明气体被绝热压缩时，外界所作的功全部用来增加气体内能，体积变小、温度升高、压强增大；气体绝热膨胀时，气体对外做功是以减小内能为代价的，此时体积变大、温度降低、压强减小。气体绝热膨胀降温是液化气体获得低温的重要方法。
例：0.020kg的氦气温度由17℃升高到27℃。若在升温过程中，①体积保持不变，②压强保持不变；③不与外界交换热量。试分别求出气体内能的增量，吸收的热量，外界对气体做的功。
气体的内能是个状态量，且仅是温度的函数。在上述三个过程中气体内能的增量是相同的且均为：
①?????? 等容过程中 ，
②?????? 在等压过程中
③?????? 在绝热过程中 ，
1mol温度为27℃的氦气，以的定向速度注入体积为15L的真空容器中，容器四周绝热。求平衡后的气体压强。
平衡后的气体压强包括两部分：其一是温度27℃，体积15L的2mol氦气的压强；其二是定向运动转向为热运动使气体温度升高△T所导致的附加压强△p。即有
氦气定向运动的动能完全转化为气体内能的增量：
∴
2．2．5、其他过程
理想气体的其他过程，可以灵活地运用下列关系处理问题。
气态方程：
热力学第一定律：
功：W=±(-V图中过程曲线下面积)
过程方程：由过程曲线的几何关系找出过程的P～V关系式。若某理想气体经历V-T图中的双曲线过程，其过程方程为：
VT=C 或者
2．2．6、绝热过程的方程
绝热过程的状态方程是
其中
2．2．7、循环过程
系统由某一状态出发，经历一系列过程又回到原来状态的过程，称为循环过程。热机循环过程在P-V图上是一根顺时针绕向的闭合曲线(如图2-2-1)。系统经过循环过程回到原来状态，因此△E=0。
由图可见，在ABC过程中，系统对外界作正功，在CDA过程中，外界对系统作正功。在热机循环中，系统对外界所作的总功：
(P-V图中循环曲线所包围的面积)而且由热力学第一定律可知：在整个循环中系统绕从外界吸收的热量总和，必然大于放出的热量总和，而且
热机效率表示吸收来的热量有多少转化为有用的功，是热机性能的重要标志之一，效率的定义为
＜1
例1一台四冲程内燃机的压缩比r=9.5，热机抽出的空气和气体燃料的温度为
27℃，在larm=压强下的体积为，如图2-2-2所示，从1→2是绝热压缩过程；2→3混合气体燃爆，压强加倍；从3→4活塞外推，气体绝热膨胀至体积；这是排气阀门打开，压强回到初始值larm(压缩比是气缸最大与最小体积比，γ是比热容比)。(1)确定状态1、2、3、4的压强和温度；(2)求此循环的热效率。
分析：本题为实际热机的等容加热循环——奥托循环。其热效率取决于压缩比。
解：对于绝热过程，有恒量，结合状态方程，有恒量。
(1)状态1，，
得 ，
在状态3，，
用绝热过程计算状态4，由
得 ,。
(2)热效率公式中商的分母是2→3过程中的吸热，这热量是在这一过程中燃烧燃料所获得的。因为在这一过程中体积不变，不做功，所以吸收的热量等于气体内能的增加，即，转化为功的有用能量是2→3过程吸热与4→1过程放热之差：

热效率为：
绝热过程有： ,
因为 ,
故 ,, 而
因此 。
热效率只依赖于压缩比，η=59.34%，实际效率只是上述结果的一半稍大些，因为大量的热量耗散了，没有参与循环。
§2-3 热力学第二定律
2．3．1、卡诺循环
物质系统经历一系列的变化过程又回到初始状态，这样的周而复始的变化过程为循环过程，简称循环。在P-V图上，物质系统的循环过程用一个闭合的曲线表示。经历一个循环，回到初始状态时，内能不变。利用物质系统(称为工作物)持续不断地把热转换为功的装置叫做热机。在循环过程中，使工作物从膨胀作功以后的状态，再回到初始状态，周而复始进行下去，并且必而使工作物在返回初始状态的过程中，外界压缩工作物所作的功少于工作物在膨胀时对外所做的功，这样才能使工作物对外做功。获得低温装置的致冷机也是利用工作物的循环过程来工作的，不过它的运行方向与热机中工作物的循环过程相反。
卡诺循环是在两个温度恒定的热源之间工作的循环过程。我们来讨论由平衡过程组成的卡诺循环，工作物与温度为的高温热源接触是等温膨胀过程。同样，与温度为的低温热源接触而放热是等温压缩过程。因为工作物只与两个热源交换能量，所以当工作物脱离两热源时所进行的过程，必然是绝热的平衡过程。如图2-3-1所示，在理想气体卡诺循环的P-V图上，曲线ab和cd表示温度为和的两条等温线，曲线bc和da是两条绝热线。我们先讨论以状态a为始点，沿闭合曲线abcda所作的循环过程。在abc的膨胀过程中，气体对外做功是曲线abc下面的面积，在cda的压缩过程中，外界对气体做功是曲线cda下面的面积。气体对外所做的净功就是闭合曲线abcda所围面积，气体在等温膨胀过程ab中，从高温热源吸热，气体在等温压缩过程cd中，向低温热源放热。应用绝热方程 和 得
所以
卡诺热机的效率
我们再讨论理想气体以状态a为始点，沿闭合曲线adcba所分的循环过程。显然，气体将从低温热源吸取热量，又接受外界对气体所作的功W，向高温热源传热。由于循环从低温热源吸热，可导致低热源的温度降得更快，这就是致冷机可以致冷的原理。致冷机的功效常用从低温热源中吸热和所消耗的外功W的比值来量度，称为致冷系数，即，对卡诺致冷机而言，。
有一卡诺致冷机，从温度为-10℃的冷藏室吸取热量，而向温度为20℃的物体放出热量。设该致冷机所耗功率为15kW，问每分钟从冷藏室吸取的热量是多少？
令，，则。每分钟作功，所以每分钟从冷藏室中吸热。
2．3．2、热力学第二定律
表述1：不可能制成一种循环动作的热机，只从一个热源吸取热量，使之全部变为有用的功，而其他物体不发生任何变化。
表述2：热量不可能自动地从低温物体转向高温物体。
在表述1中，我们要特别注意“循环动作”几个字，如果工作物进行的不是循环过程，如气体作等温膨胀，那么气体只使一个热源冷却作功而不放出热量便是可能的。该叙述反映了热功转换的一种特殊规律，并且表述1与表述2具有等价性。我们用反证法来证明两者的等价性。
假设表述1不成立，亦即允许有一循环E可以从高温热源取得热量，并全部转化为功W。这样我们再利用一个逆卡诺循环口接受E所作功W(=)，使它从低温热源取得热量，输出热量给高温热源。现在把这两个循环总的看成一部复合致冷机，其总的结果是，外界没有对他做功而它却把热量从低温热源传给了高温热源。这就说明，如果表述1不成立，则表述2也不成立。反之，也可以证明如果表述2不成立，则表述1也必然不成立。
试证明在P-V图上两条绝热线不能相交。
假定两条绝热线Ⅰ与Ⅱ在P-V图上相交于一点A，如图2-3-2所示。现在，在图上再画一等温线Ⅲ，使它与两条绝热线组成一个循环。这个循环只有一个单热源，它把吸收的热量全部转变为功，即η=1，并使周围没有变化。显然，这是违反热力学第二定律的，因此两条绝热线不能相交。
2．3．3、卡诺定理
设有一过程，使物体从状态A变到状态B。对它来说，如果存在另一过程，它不仅使物体进行反向变化，从状态B回复到状态A，而且当物体回复到状态A时，周围一切也都各自回复到原状，则从状态A进行到状态B的过程是个可逆过程。反之，如对于某一过程，不论经过怎样复杂曲折的方法都不能使物体和外界恢复到原来状态而不引起其他变化，则此过程就是不可逆过程。
气体迅速膨胀是不可逆过程。气缸中气体迅速膨胀时，活塞附近气体的压强小于气体内部的压强。设气体内部的压强为P，气体迅速膨胀—微小体积△V，则气体所作的功W，小于p△V。然后，将气体压回原来体积，活塞附近气体的压强不能小于气体内部的压强，外界所作的功不能小于p△V。因此，迅速膨胀后，我们虽然可以将气体压缩，使它回到原来状态，但外界多作功；功将增加气体的内能，而后以热量形式释放。根据热力学第二定律，我们不能通过循环过程再将这部分热量全部变为功；所以气体迅速膨胀的过程是不可逆过程。只有当气体膨胀非常缓慢，活塞附近的压强非常接近于气体内部的压强p时，气体膨胀—微小体积△V所作的功恰好等于p△V，那么我们才能非常缓慢地对气体作功p△V，将气体压回原来体积。所以，只有非常缓慢的亦即平衡的膨胀过程，才是可逆的膨胀过程。同理，只有非常缓慢的亦即平衡的压缩过程，才是可逆的压缩过程。在热力学中，过程的可逆与否和系统所经历的中间状态是否平衡密切相关。实际的一切过程都是不可逆过程。
卡诺循环中每个过程都是平衡过程，所以卡诺循环是理想的可逆循环卡诺定理指出：(1)在同样高温(温度为)和低温(温度为)之间工作的一切可逆机，不论用什么工作物，效率都等于。(2)在同样高低温度热源之间工作的一切不可逆机的效率，不可能高于可逆机，即
≤。
下面我们给予证明。
设高温热源，低温热源，一卡诺理想可逆机E与另一可逆机，在此两热源之间工作，设法调节使两热机可作相等的功W。现使两机结合，由可逆机从高温热源吸热向低温热源放热，其效率。可逆机所作功W恰好提供给卡诺机E，而使E逆向进行，从低温热源吸热，向高温热源放热，其效率为。我们用反证法，先设＞。由此得＜，即＜。当两机一起运行时，视他们为一部复合机，结果成为外界没有对这复合机作功，而复合机却能将热量从低温热源送至高温热源，违反了热力学第二定律。所以＞不可能。反之，使卡诺机E正向运行，而使可逆机逆行运行，则又可证明＞为不可能，即只有=才成立，也就是说在相同的和两温度的高低温热源间工作的一切可逆机，其效率均为。
如果用一台不可逆机来代替上面所说的。按同样方法可以证明＞为不可能，即只有≥。由于是不可逆机，因此无法证明≤。所以结论是≥，即在相同和的两温度的高低温热源间工作的不可逆机，它的效率不可能大于可逆机的效率。
2．3．4、热力学第二定律的统计意义
对于热量传递，我们知道，高温物体分子的平均动能比低温物体分子的平均动能要大，两物体相接触时，能量从高温物体传到低温物体的概率显然比反向传递的概率大得多。对于热功转换，功转化为热是在外力作用下宏观物体的有规则定向运动转变为分子无规则运动的过程，这种转换的概率大，反之，热转化为功则是分子的无规则运动转变为宏观物体的有规则运动的过程，这种转化的概率小。所以，热力学第二定律在本质上是一条统计性的规律。一般说来，一个不受外界影响的封闭系统，其内部发生的过程，总是由概率小的状态向概率大的状态进行，由包含微观状态数目少的宏观状态向包含微观状态数目多的宏观状态进行，这是热力学第二定律统计意义之所在。
例1、某空调器按可逆卡诺循环运转，其中的作功装置连续工作时所提供的功率。(1)夏天室外温度恒为，启动空调器连续工作，最后可将室温降至恒定的。室外通过热传导在单位时间内向室内传输的热量正比于()(牛顿冷切定律)，比例系数A。试用，和A来表示(2)当室外温度为30℃时，若这台空调只有30%的时间处于工作状态，室温可维持在20℃。试问室外温度最高为多少时，用此空调器仍可使室温维持在20℃。(3)冬天，可将空调器吸热、放热反向。试问室外温度最低为多少时，用此空调器可使室温维持在20℃。
分析：夏天，空调机为制冷机，作逆向卡诺循环，从室内吸热，向室外放热，对工作物质作功。为保持室温恒定，空调器从室内吸热等于室外向室内通过热传导传输的热量。冬天刚好相反，空调器为热机，作顺向卡诺循环，从室外吸热，向室内放热。为保持室温恒定，空调器向室内的放热应等于室内向室外通过热传导传输的热量。
解：(1)夏天，空调器为制冷机，单位时间从室内吸热，向室外放热，空调器的平均功率为P，则。对可逆卡诺循环，则有，。通过热传导传热，由得
因空调器连续工作，式中 ，
(2)，，，而所求的是时对应的值，记为，则
解得。
(3)冬天，空调器为热机，单位时间从室外吸热，向室内放热，空调器连续工作，功率为，有，，由热平衡方程得：
=
若空调器连续工作，则当冬天室外温度最低为1.74℃，仍可使室内维持在20℃。
　物态变化
§4.1　相与相变
相:指的是热学系统中物理性质均匀的部分，一个相与其他部分之间有一定的分界面隔离开来。例如冰和水的混合物中，因为冰和水的物理性质不同，故为不同的相，但它们的化学成份相同。一种化学成分称为“一元”，因此冰水混合物称为单元二相系，而水和酒精的混合物就是二元单相系。
相变：不同相之间的相互转变称为相变。
相变特点：伴随物态的变化；要吸收或放出的热量。
相变潜热：相变时吸收或放出的热量统称相变潜热。
称为内潜热，称为外潜热。
三相图：将同一种物质的汽化曲线OK、熔解曲线(熔点随外界压强的变化关系)OL、升华曲线(固体上饱和气压随温度的变化关系)OS同时画在P-T图上，我们就能标出固、液、气三态存在的区域，这称为三相图。每条曲线对应着两态平衡共存的情况。三条曲线的交点O，对应三态平衡共存的状态，称为三相点。
如下图为水的三相图。水的水相点O是水、冰、水蒸气平衡共存的状态，其饱和水汽压、温度T=273.16开0.01℃，这是国际温标规定的基本固定点。因为水的三相点是唯一的，不像冰点和汽点那样会随外界压强的变化而变化。
例 如图4-1-1所示的P-T图线中，表示了一定质量某种物质的不同物相所存在的区域。下面有关这种物质的几个说明中，哪些是正确的？( )
A.当时，可以存在升华现象
B.在凝固过程中体积增大
C.当时，可以存在沸腾现象
D.当时，它是一种稳定的液体
E.以上说法都不对
分析:将液体和固体上方的饱和汽压随温度变化的曲线SK，升华曲线SO，以及熔点随温度变化的熔化曲线SL，同时画在P-T图上(图2-1-1)，我们就能标出固、液、汽三态存在的区域；每条曲线对应着两态平衡共存的情况，三根曲线的交点S，对应着三态平衡共存的惟一状态，称为三相点，图线叫三相图。当时，这种物质从固态必须经过液态才能变化为汽态，所以选项A不正确。在凝固过程中，看固态和液态之间的SL曲线，它们的熔点随压强的增加而升高，熔化过程中体积是膨胀的，凝固过程中体积是细小的，与水的反常膨胀不同，所以选项B也不正确，当时，这种物质不可能以液体存在，不论压强多大，它总不能凝结为液相，所以不存在沸腾现象，临界点的温度已高于任何情况下的沸点温度。选项C也不正确。当时，这种物质只有固态与汽态而不是一种稳定的液体。选项D也不正确。
解:选项E正确。
点评 这是一道考查对物质三态变化的综合题，通过三相图，认识三态之间的变化和三相点与临界点的物理意义。
§4．2　气液相变
物质由液态转变为气态叫汽化，由气态转化为液态的过程叫液化。在一定压强下，单位质量液体变为同温度气体时所吸收的热量称为汽化热，一般用L表示；相应的一定压强下，单位质量的气体凝结为同温度液体时所放出的热量称为凝结热，数值也是L，在汽化和凝结过程中，吸收或放出的热量为
Q=mL
4．2、1、液体的汽化
液体的汽化有蒸发和沸腾两种不同的形式。蒸发是发生在液体表面的汽化过程，在任何温度下都可以进行。沸腾是整个液体内部发生汽化过程，只在沸点下才能进行。
①蒸发
从微观上看，蒸发就是液体分子从液面跑出来的过程。分子从液面跑出来时，需要克服液体表面层中分子的引力做功，所以只有那些热运动动能较大的分子可以跑出来。如果不吸热，就会使液体中剩余分子的平均动能减小，温度降低。另一方面蒸气分子不断地返回到液体中去，凝结成液体。因此液体分子蒸发的数量，是液体分子跑出液面的数量，减少蒸气分子进入液面的数量。
对于液面敞开的情况，影响蒸发快慢的因素，主要有以下三种：一是液面的表面积，二是温度，三是液面上的通风情况。在液面敞开的情况下，液体会不断蒸发，直到液体全部转变为蒸起为止。
在密闭的容器中，随着蒸发的不断进行，容器内蒸汽的密度不断增大，这时返回液体中的蒸气分子数也不断增多，直到单位时间内跑出液面的分子数与反回液面的分子数相等时，宏观上看蒸发现象就停止了。这时液面上的蒸气与液体保持动态平衡，此时的蒸气叫做饱和蒸气，它的压强叫饱和蒸气压。
饱和气压与液体的种类有关，在相同的温度下，易蒸发的液体的饱和汽压大，不易蒸发的液体的饱和汽压小。对于同一种液体，饱和汽压随温度的升高而增大。饱和汽压的大小还与液面的形状有关，对于凹液面，分子逸出液面所需做的功比平液面时小。反之，对于凸液面，如小液滴或小气泡，才会显示出来。饱和汽压的数值与液面上蒸汽的体积无关，与该体积中有无其他气体无关。
在汽化过程中，体积增大，要吸收大量的热量。单位质量的液体完全变成同温度下的蒸汽所吸收的热量，叫做该物质在该温度下的汽化热。如100℃水的汽化热。液体汽化时吸热，一方面用于改变系统的内能，同时也要克服外界压强作功。如果1mol液体和饱和汽的体积分别为，且<<，对饱和汽采用理想气体方程近似处理，
②沸腾
液体内部和容器壁上存有小气泡，它能使液体能在其内部汽化，起着汽化核的作用。气泡内的总压强是泡内空气分压强和液体的饱和汽压之和；气泡外的压强是液面上的外界压强和之和，通常情况下，液体静压强忽略不计。因此，在某一温度下，液内气泡的平衡条件为。当液体温度升高时，增大，同时由温度升高和汽化，体积膨胀，导致下降，这样在新的条件下实现与的平衡。当时，无论气泡怎样膨胀也不能实现平衡，处于非平衡状态。此时骤然长大的气泡，在浮力作用下，迅速上升到液面破裂后排出蒸气，整个液体剧烈汽化，这就是沸腾现象。相应的温度叫做沸点。对于同种液体，沸点与液面上的压强有关，压强越大，沸点越高。沸点还与液体的种类有关，在同一压强下，不同液体的沸点不同。
③双层液体沸腾的分析
在外界压强的条件下，若液体A的沸点77℃，液体B的沸点100℃。现将等质量的互不相容的液体A和B注入一个容器内，形成图4-2-1的双层液体。液体B的表面上再覆盖一薄层非挥发性的，与液体A、B互不相溶的液体C，目的是防止液体B上表面的
自由蒸发。现将此液体缓慢加热，它们的温度始终相等，液体温度随时间t变化关系为图示。
加热刚开始，对应图线左侧斜坡部分，液体B不能经上表面自由蒸发。下面考察系统内部的蒸发，设想在液体A或B内部，或在A、B分界面上各形成一个气泡，仅当泡内压强等于外界压强时，它才能保持上升而逸出此系统。液体A、B内部形成的气泡的内压强，分别等于A、B的饱和汽压，A、B交界面上形成气泡的内压强则为A、B的饱和汽压之和，因为这种气泡同时与A、B接触。因此加热时，液体交界面上形成气泡的压强首先达到温度正是对应这种液体在相互接触区域发生的共同沸腾。低于A、B各自的沸点，如=67℃。当A、B中的一个全部蒸发后，系统的温度便会再次上升，对应图线的第二斜坡。温度即为容器中余留液体的沸点。
谁先全部蒸发呢？这取决于温度时，液体A、B在每个升高气泡中饱和蒸气的质量比，即，式中为温度时A、B的饱和气压。如果，则A先全部蒸发，余留液体B，=100℃.
4．2．2、气体的液化
我们知道，当饱和气的体积减小或温度降低时，它就可以凝结为液体，因此要使未饱和气液化，首先必须使之变成饱和气，方法有二：a、在温度不变的条件下，加大压强以减小未饱和气体积，相应就可以增大它的密度，直至达到该温度下饱和气的密度，从而把未饱和气变为饱和气；b、对较高温度下的未饱和气，在维持体积不变的条件下降低其温度，也可以使它变为在较低温度下的饱和气。
把未饱和气变为饱和气以后，只要继续减小其体积或降低其温度，多余的气就可凝结成液体。
但各种气体有一个特殊温度，在这个温度以上，无论怎样增大压强，都不能使它液化，这个温度就称为该气体的临界温度。
①气液转变的等温线
要使未饱和汽转变成饱和汽并使之液化，在等压条件下，气体通过降温可以转变为液体；在保持温度不变的条件下，通过增大压强减小体积的方式，也可以使气体液化。
图4-2-2为某气体液化的过程曲线AB是液化以前气体的等温压缩过程，气体逐渐趋于饱和状态，B点对应于饱和汽状态，继续压缩就会出现液体；在液化过程BC中，压强保持不变，气液化的总体积减小，BC过程中每一状态都是气液平衡共存的状态，因此为这一温度下的饱和汽压。C点相当于气体全部液化时的状态；CD段就是液体的等温压缩过程。
应该指出：由于各种气体都有一个特殊温度，在这个温度以上，无论怎样增大压强也不能使气体液化，这个温度称为临界温度。因此上述气液等温转变只能在气体的临界度以下进行。若等温转变时饱和汽密度为，BC段液体密度为，系统的总质量为m，当气液平衡共存时的体积为V，其中汽、液的体积分别是，解得：。
②混合气的等温液化
混合气体的等温转变，应分解为各组分气体的等温转变过程来考虑不周。沸点不同的各组分气体，当等温压缩时，达到饱和开始液化的先后不同。同在1atm沸点高的气体，其饱和汽密度要小些，等温压缩它会先达到饱和开始液化。混合气体等温线的转折点，一定是某组分气体物态的转变点。
例：有一体积22.4L的密闭容器，充有温度、压强3atm的空气和饱和水汽，并有少量的水；今保持温度不变，将体积加倍，压强变为2atm，底部的水恰好消失，试问是多少？若保持温度不变，体积增为最多体积的4倍，试问这时容器内的压强是多少？容器内水和空气的质量各是多少？设饱和水汽可看作是理想气体。
解:设初态、中态和末态中空气分压强分别为；初态、中态中的水汽均为温度的饱和汽，设饱和水汽压为；末态中的水汽为温度的未饱和汽，水汽分压为。若末态气体的压强为p，则有
从初态变为中态的过程中，空气质量未变而水汽质量增加，对空气分压可用玻意尔定律
得=1atm，故=373K,=2atm，=1atm。从中态变为末态的过程，水汽和空气的总质量不变，应用玻意耳定律
p=1atm
容器内空气的摩尔数，末态时空气和水汽的总摩尔数
故容器内水和水汽的总摩尔数 。
例：由固态导热材料做成的长方体容器，被一隔板等分为两个互不连通的部分，其中分别贮有相等质量的干燥空气和潮湿空气，在潮湿空气中水汽质量占2%。
(1)若隔板可自由无摩擦地沿器壁滑动，试求达到平衡后干、湿空气所占体积的比值。
(2)若一开始采用能确保不漏气的方式将隔板抽出，试求达到平衡后容器内气体的压强与未抽出隔板时干、湿空气各自的压强这三者的比值(设干、湿空气均可视为理想气体)。
解：(1)隔板平衡的条件是：隔板两侧气体的压强相同，温度也相同(因容器和外界导热)，所以对干空气有
①
而对潮湿空气有
而
故得
②
得
(2)隔板抽出前，干湿空气的体积为，压强分别为，则由克拉伯龙方程得
， ③
， ④
抽出隔板以后，干、湿空气混合以后系统的压强为p，则
⑤
故要求的三个压强之比为
=1.006:1:1.012
说明湿空气在未达到饱和前遵循理想气体状态方程，当然克拉珀方程也适用，而在达到饱和以后，克拉珀龙方程仍可用，但理想气体状态方程则不适用了，因为水气的质量会发生变化。
4．2．3、空气的湿度
①空气的绝对湿度和相对湿度
由于地面水分的蒸发，空气中总会有水蒸气，而空气中所含水汽的多少就决定了空气的潮湿程度。
a、绝对湿度 空气中所含水气的分压强大小。
b、相对湿度 某温度时空气的绝对湿度跟同一温度下水的饱和气压的百分比。
如果B表示相对湿度，Pt表示绝对湿度，P表示同温度下饱和气的压强，则

空气干燥、潮湿程度直接决定于相对湿度，当相对湿度接近100%时，空气中水气接近饱和状态，水分难于蒸发，衣服晾不干，人也觉得十分烦闷，人体感到适中的相对湿度是60—70%。
②露点
空气里的未饱和气在气温降低时会逐渐接近饱和，使空气里的水气恰好达到饱和时的温度，称为露点。
通过测定露点可以测出空气的湿度，因为当空气中水气的密度保持不变时，露点温度下的饱和水气压强就可以认为是空气的绝对湿度。
③露、霜、雾及其他
大气中的水气在气温降低时也同样趋于饱和，白天温度较高时处于未饱和状态的水气，夜里气温下降时如达到露点或露点以下(0℃以上)，则空气中水气将在树叶、草皮上凝结，这就是露。
如果空气中含有较多的尘埃或离子，达到饱和的水气将以尘埃或离子为中心凝结，这就形成雾，开启冰箱门，“冷气”所到之处，常达到露点以下，因此常形成为雾。
地面附近的空气中的水蒸气遇冷(0℃以下)而直接凝华的小冰粒，附着地面物体上成为霜。
湿度计是用来测量空气湿度的仪器。露点湿度计：它通过测定露点，然后查出该露点的饱和水气压和原温度的饱和水气压，即可求出相对湿度。干湿泡湿度计：它在一支温度计泡上包着纱布，纱布下端浸入水中。若空气中水气未饱和，湿纱布的水会蒸发，温度降低。这样湿泡温度计的温度值比干泡温度计的要低些。相对湿度越小，这个差值就越大。利用这个差值的大小可由表检查出空气的相对湿度。毛发湿度计：利用脱脂毛发长度的变化来控制指针偏转，直接指示相对湿度。
例：有一根玻璃毛线管，长为0.600m，内径2.00mm，内有50mm水银柱，水银柱把长细管分成两部分，一部分为真空，另一部分为空气和水气的混合物。倾斜管子，气室的长度可以变化，做实验时，改变倾斜度，得到数据如下表，符号在图4-2-3中示出。每次测量后，要等气体恢复平衡。求管内空气和水各有多少？
521
259
100
68
51
100
200
400
500
600
解:温度不变时，一定质量的理想气体遵循玻意耳定律，即压强p与体积V之间满足，所以对本题表示数据的合适方法是作图。对题中给定的数据适当变换得表格如下：
1.125
2.25
4.5
5.7
6.8
0.611
1.23
3.18
4.69
6.25
利用这些数据作出图线如图8-2-4所
示，这样可发现数据分成两部分，一部分形成通过原点的直线，压强高时数据位于不通过原点的直线上，而只要是水汽没有饱和，水汽也可看作理想气体，当水汽开始凝结时，水汽分压是常数，而空气分压遵循玻意耳定律，这就是形成图示数据关系的原因。
当水汽的分压时，有
或，其中γ为空气(A)或水(W)的摩尔数，另由算出的大于时，实际水气分压为，故满足于
从图上将直线外延求得饱和蒸气压，，然后从标准饱和蒸气压表中查出温度，从图中的两条直线可得
所以，管内空气和水分别有8.6μg的7.9μg。
说明因试题中没有给出温度T，另一个方法是可以假设室温为20℃，因为10℃的温度误差仅引起绝对温度3%的误差，不过这种方法相对于上面的解法相比则不是很好。
例:图4-2-5表示在10℃到30℃范围内水的饱和蒸气压曲线。现将温度为27℃、压强为1atm、相对湿度80%的空气封闭在某一容器中，把它逐渐冷却到12℃。试问：(1)这时空气的压强是多少？(2)温度降到多少时开始有水凝结？这时空气中所含的水蒸气为百分之几？
分析:本题并未给出水的饱和蒸气压随温度变化的函数关系，却提供了水的饱和蒸气压曲线，故用图解法求出水蒸气开始凝结时的温度及饱和蒸气压。显然在降温过程中，尚未凝结的水蒸气作等容变化。这时P与T成正比关系。但我们不妨设从27℃降到12℃过程中水蒸气一直作等容变化，该直线与饱和气由线交点就是水蒸气开始达到饱和时的状态，即图中K点，以后随着温度的降低水蒸气压沿饱和气曲线非线性变小。
解:(1)27℃水的饱和汽压27mmHg。得水蒸气分压，空气分压。
设密闭容器中的空气冷却到12℃的空气分压为，应用盖—吕萨克定律得=701.5mmHg。此温度水蒸气分压℃水的饱和汽压10.3mmHg，故有部分水凝结，故12℃时的空气=701.5+10.3=711.8mmHg。
(2)初态p点为27℃、21.6mmHg，末态点为12℃、20.5mmHg一直线交水的饱和汽压曲线K点为23.0℃、21.3mmHg，此时空气分压为728.1mmHg，这时空气中所含水蒸气百分比为。
§4.3　固液相变与固气相变
4．3．1、固液相变
①熔解物质从固态变成液态，叫做熔解。
对于晶体来说，熔解就是在一定的温度下进行的，该温度叫做这种晶体的熔点。晶体在熔解的过程中要吸收热量，但温度保持在其熔点不变，直至全部熔解为止。
对于大多数晶体，熔解时体积增大，但还有少数的晶体，如冰、铋、灰铸铁在熔解时体积反而缩小。
晶体的熔点与晶体的种类有关，对于同一种晶体，其熔点与压强有关。熔解时体积增大的物质，其熔点随压强的增加而增大，熔解时体积减小的物质，其熔点随压强的增大而减小。
晶体在熔解时，要吸收的热量，单位质量的某种物质，由固态熔解为液态时，所吸收的热量叫做物质的熔解热，记为λ，因此对质量为m的物体全部熔解所需吸收的热量
Q=λm。
②凝固物质由液相变为固相称为凝固。其中晶体的熔液凝固时形成晶体，这个过程又称为结晶。结晶的过程是无规则排列的粒子形成空间点阵的过程，在此期间，固、液两态平衡共存，温度保持不变。
在结晶过程中，单位质量的物质对外释放的热量称为凝固热。它与该物质在同温度下的熔解热相同。
4．3．2、固气相变
物质从固态直接变为气态的过程叫做升华。从气态直接转变为固态的过程叫凝华。常温常压下，干冰、硫、磷等有显著的升华现象。大气中水蒸气分压低于4.6mmHg，气温降到0℃以下，水蒸气便直接凝华成冰晶为结霜。
升华时粒子直接由点阵结构变为气体分子，一方面要克服粒子间的作用力做功，同时还要克服外界压强作功。使单位质量的物质升华时所吸收的热力做功，同时还要克服外界压强做功。使单位质量的物质升华时所吸收的热量称为升华热，它等于汽化热与熔解热之和，即。
例：已知冰、水和水蒸气在一密闭容器内(容器内没有任何其他物质)，如能三态平衡共存，则系统的温度和压强必定分别是℃和。现有冰、水和水蒸气各1g处于上述平衡状态。若保持总体积不变而对此系统缓慢加热，输入的热量Q=0.255kJ。试估算系统再达到平衡后，冰、水和水蒸气的质量。已知此条件下冰的升华热；水的汽化热。
分析:。比较与Q的大小关系，判断出冰不能全部熔化，物态变化过程中始终是三态共存且接近平衡，所以系统的温度和压强均不变。
解:估算在题给温度和压强条件下水蒸气的密度，M是水蒸气的摩尔质量，代入数据，得。
同样条件下水的密度,。水的三个状态在质量相同条件下，水蒸气的体积远大于水和冰的体积之和。又已知冰熔化成水时体积变化不大。在总体积不变的条件下，完全可以认为这系统的物态变化中水蒸气的体积不变，也就是系统再次平衡时水蒸气的质量是1g。这样，系统的物态变化几乎完全是冰熔化为水的过程。
设再次平衡后冰、水、水蒸气的质量分别是x、y、z，则有
z=1gx+y=2g
将Q、数值代入得x=0.25g,y=1.75g。
例：两个同样的圆柱形绝热量热器，高度均为h=75cm。第一个量热器1/3部分装有水，它是预先注入量热器内的水冷却而形成的：第二个量热器内1/3部分是温度=10℃的水。将第二个量热器内的水倒入第一个量热器内时，结果它们占量热器的2/3。而当第一个量热器内的温度稳定后，它们的高度增加了△t=0.5cm。冰的密度，冰的熔解热=340kJ/kg，冰的比热，水的比热。求在第一个量热器内冰的初温。
解:如果建立热平衡后，量热器内物体的高度增加了，这意味着有部分水结冰了(结冰时水的体积增大)，然后可以确信，并不是所有的水都结冰了，否则它的体积就要增大到倍，而所占量热器的高度要增加，其实按题意△t只有0.5cm，于是可以作出结论，在量热器内稳定温度等于0℃。
利用这个条件，列出热平衡方程
①
式中是冰的初温，而△m是结冰的水的质量。
前面已指出，在结冰时体积增大到倍，这意味着
②
式中S是量热器的横截面积，从②式中得出△m代入①式，并利用关系式得到。
由此得
即
代入数据得 =-54.6℃
说明 处理物态变化问题，确定最终的终态究竟处于什么状态十分重要，对本题，就可能存在有三种不同的终态：a、只有冰；b、冰和水的混合物；c、只有水。当然如能用定性分析的方法先确定末状态则可使解题变得较为简捷。
§4。4　热传递
内能从一个物体转移到另一个物体，或者从物体的一部分转移到同一物体的邻近部分的过程叫热传递。
热传递的方式有三种：对流、传导和辐射
①对流 固、液、气都能导热，但在液体和气体中还有另一种传热方式，就是流体中由于温度不同的各部分相互混合的宏观运动所引起的传热现象称为对流。对流分自然对流和强迫对流。自然对流是由于流体存在温差而引起密度差，较热的流体密度小由浮力而上升，较冷的流体密度大而下沉，从而引起对流传热。强迫对流是通过人工方式如风扇等来迫使流体流动的。
②热传导 物体或物体系由于各处温度不同引起的热量从温度较高处传递到温度较低处的现象叫热传导。它是固体中热传递的主要形式，在气体或液体中，热传导过程往往和对流同时发生。
从分子动理论的观点看，温度高处分子的平均热运动能量大，温度低处分子的平均热运动能量小，于是通过分子间的相互碰撞，一部分内能将从温度高处传递到温度低处。
如果导热体各点温度不随时间变化，这种导热过程称为稳定导热，在这种情况下，考虑长度为l，横截面积为S的柱体，两端截面处的温度为，且，则热量沿着柱体长度方向传递，在△t时间内通过横截面S所传递的热量为
式中K为物质的导热系数。固体、液体和气体都可以热传导，其中金属的导热性最好，液体除水银和熔化的金属外，导热性不好，气体的导热性比液体更差。石棉的热传导性能极差，因此常作为绝热材料。
③热辐射 物体因自身的温度而向外发射能量，发射出的是不同波长的电磁波，这种热传递方式的特点是：1、不依靠气体或液体的流动，又不依靠分子之间碰撞来传导，因而在真空环境中也能进行；2、热辐射与周围物体的温度高低是无关的。
有一类物体，能在任何温度下吸收所有的电磁辐射，其表面却并不反射，这类物体称为黑体。黑体是热辐射理想的吸收体和发射体，例如太阳可近似看作黑体。黑体单位表面积的辐射功率为J与其温度的四次方成正比，即
式中，称为斯忒藩常数。
如果不是黑体，单位表面积的辐射功率J记为
式中ε叫表面辐射系数，其值在0和1之间，由物体性质决定。
例：已知地球与太阳的半径分别是，两者相距，若地球与太阳均可看作黑体，估算太阳表面温度。
设太阳和地球的表面温度分别是，则太阳和地球发射的辐射功率
太阳的辐射能只有一小部分落在地球表面上，其比例为。若不计地球本身的热源，根据地球能量平衡，取得太阳表面温度
例 取一个不高的横截面积是的圆筒，筒内装水0.6kg，在阳光垂直照射下，经2min温度升高1℃，若把太阳看成黑体，已知太阳半径和地球到太阳的距离分别为和，并考虑到阳光传播过程中的损失，地球大气层的吸收和散射，水所能吸收的太阳能仅是太阳辐射能的一半，试估算太阳表面的温度。(已知)
解: 筒内水所吸收的热量
①
每平方米水面吸收热功率
②
单位面积上的热功率与距离平方成反比，即
③
斯忒藩公式 ④
联立①②③④得
说明 由斯忒藩公式可知，要估算太阳表面的温度，就应先求出太阳表面每单位面积向外辐射电磁波的功率，而题中所提供的水被辐射晒热的实验可以得地面上所获得的太阳辐射功率，再从距离关系即可求出太阳单位面积的辐射功率。
§4。5典型例题分析
例1 用不导热细管连接的两个相同容器里装有压强为1atn，相对湿度B=50%，温度为100℃的空气。现将其中一个容器浸在温度为0℃的冰中，试问系统的压强改变为多少？每一容器中的相对湿度是多少？已知0℃时水的饱和汽压为4.6mmHg。
分析:当一个容器浸在0℃的冰中，另一容器中的空气与水蒸气将流入这一容器，整个系统的压强将逐步降低。达到平衡时，空气在两容器中的分压也应相等。
解:设平衡时空气在两容器中的分压为每一容器体积，由空气的总摩尔数不变的条件得
解得
由于水蒸气分压不可能比同一温度下饱和蒸气压大，即，若没有水蒸气凝结，则按理想气体方程，在末态的水汽分压应等于321mmHg，因为在初态时空气和水汽的分压是相等的。但比4.6mmHg大得多，说明在0℃的容器中已有水凝结，因而2=4.6mmHg所以在末态的压强故在0℃容器中的相对湿度，而在100℃容器中的相对湿度为。
例1 把质量为的与未知质量的混合，在温度T=77.4K的条件下，让单位体积的混合气体作等温压缩。混合后气体压强和体积关系如图4-5-1所示。(1)确定质量；(2)计算T=77.4K时饱和的压强。
解:说明T=77.4K是在标准大气压下液态氮的沸点，液态氧的沸点更高。
因为液态氧的沸点更高，所以在等温压缩中，氧气先达到饱和气压。从图中可知，从A点起，氧气的压强达到饱和气压，设为由A→B氧气保持不变而质量减少到达B点后，氮气压强达到饱和气压，设为，A→B氮气质量不变，利用状态方程和分压定律得：
在A点：
在B点：
在A→B中，氮气质量不变，有
解得
例2 两个相同的轻金属容器里装有同样质量的水。一个重球挂在不导热的细线上。放入其中一个容器内，使球位于容器内水的体积中心。球的质量等于水的质量，球的密度比水的密度大得多。两个容器加热到水的沸点，再冷却。已经知道：放有球的容器冷却到室温所需时间为未放球的容器冷却到室温所需时间的k倍。试求制作球的物质的比热与水的比热之比
解:在单位时间内通过本系统(容器—水，容器—水—球)与周围媒质的接触面所散失的热量与温度差有关。
式中t是时间，是容器的温度，T是周围媒质的温度，F是温度的某个函数，系数α由本系统与周围媒质的接触条件决定。在本情况中对于两容器来说接触条件相同，所以对于两容器α系数相同。一个容器散失热量△Q致使容器的温度降低了△。
对于装有水的容器有
式中和分别是水的质量和比热，和是容器的质量和比热。对于装有水和球的容器有
式中和分别是球的质量和比热，按照题意<<,，<<。所以可以列出
不难看出，在两个容器里发生温度变化的时间和是不同的，并且
同理可得
即
所以对于两个容器总冷却时间和将满足关系式
由此可得
说明　研究物理问题时，常需建立相关物理量间的关系。而如果这些物理量对于所研究的过程或者状态的整体来说，各个局部的值不相同，因此建立有关物理量的关系时，这个量值便不好确定，这时我们一般可采取将此过程或者状态分为很多微元，先分析单个微元的情况，找出同一物理量之间产生的数量关系，进而再建立相关物理量间的关系，本题就是先找到的关系，然后再找到间关系的。
例4 两个黑体的平面互相平行，一个处于恒定的高温，另一个处于恒定的低温，平面之间为真空。为减小由热辐射形成的热流，在两个平面之间放置一组由两块相互绝热的黑体薄板组成的热障，这两块薄板平行于黑体平面，如所示。求：放置热障后稳定的热辐射能流与放置热障前稳定的热辐射能流间的比值ξ(略去因表面有限线度造成的边缘效应)。
解: 放置热障后达热平衡时的温度和热流分布，应有
其中J为热辐射能流密度，为比例常量，三式相加得
式中为放置热障前达到热平衡时的热辐射能流密度。
最后，可得所求比值为
ξ
物 理 光 学
§2.1 光的波动性
2.1.1光的电磁理论
19世纪60年代，美国物理学家麦克斯韦发展了电磁理论，指出光是一种电磁波，使波动说发展到了相当完美的地步。
2.1.2光的干涉
1、干涉现象是波动的特性
凡有强弱按一定分布的干涉花样出现的现象，都可作为该现象具有波动本性的最可靠最有力的实验证据。
2、光的相干迭加
两列波的迭加问题可以归结为讨论空间任一点电磁振动的力迭加，所以，合振动平均强度为
其中、为振幅，、为振动初相位。

3、光的干涉
(1)双缝干涉
在暗室里，托马斯·杨利用壁上的小孔得到一束阳光。在这束光里，在垂直光束方向里放置了两条靠得很近的狭缝的黑屏，在屏在那边再放一块白屏，如图2-1-1所示，
于是得到了与缝平行的彩色条纹；如果在双缝前放一块滤光片，就得到明暗相同的条纹。
A、B为双缝，相距为d，M为白屏与双缝相距为l，DO为AB的中垂线。屏上距离O为x的一点P到双缝的距离
由于d、x均远小于l，因此PB+PA=2l，所以P点到A、B的光程差为：
若A、B是同位相光源，当δ为波长的整数倍时，两列波波峰与波峰或波谷与波谷相遇，P为加强点（亮点）；当δ为半波长的奇数倍时，两列波波峰与波谷相遇，P为减弱点（暗点）。因此，白屏上干涉明条纹对应位置为暗条纹对应位置为。其中k=0的明条纹为中央明条纹，称为零级明条纹；k=1，2…时，分别为中央明条纹两侧的第1条、第2条…明（或暗）条纹，称为一级、二级…明（或暗）条纹。
相邻两明（或暗）条纹间的距离。该式表明，双缝干涉所得到干涉条纹间的距离是均匀的，在d、l一定的条件下，所用的光波波长越长，其干涉条纹间距离越宽。可用来测定光波的波长。
(2)类双缝干涉
双缝干涉实验说明，把一个光源变成“两相干光源”即可实现光的干涉。类似装置还有
①菲涅耳双面镜：
如图2-1-2所示，夹角α很小的两个平面镜构成一个双面镜（图中α已经被夸大了）。点光源S经双面镜生成的像和就是两个相干光源。
②埃洛镜
如图2-1-3所示，一个与平面镜L距离d很小（数量级0.1mm）的点光源S，它的一部分光线掠入射到平面镜，其反射光线与未经反射的光线叠加在屏上产生干涉条纹。
因此S和就是相干光源。但应当注意，光线从光疏介质射入光密介质，反射光与入射光相位差π，即发生“并波损失”，因此计算光程差时，反身光应有的附加光程差。
③双棱镜
如图2-1-4所示，波长的平行激光束垂直入射到双棱镜上，双棱镜的顶角，宽度w=4.0cm，折射率n=1.5．问：当幕与双棱镜的距离分别为多大时，在幕上观察到的干涉条纹的总数最少和最多？最多时能看到几条干涉条纹？
平行光垂直入射，经双棱镜上、下两半折射后，成为两束倾角均为θ的相干平行光。当幕与双棱镜的距离等于或大于时，两束光在幕上的重叠区域为零，干涉条纹数为零，最少，当幕与双棱镜的距离为L时，两束光在幕上的重叠区域最大，为，干涉条纹数最多。利用折射定律求出倾角θ，再利用干涉条纹间距的公式及几何关系，即可求解．
式中α是双棱镜顶角，θ是入射的平行光束经双棱镜上、下两半折射后，射出的两束平行光的倾角。如图2-1-5所示，相当于杨氏光涉，?D,，而
条纹间距
可见干涉条纹的间距与幕的位置无关。
当幕与双棱镜的距离大于等于时，重叠区域为零，条纹总数为零
当屏与双棱镜相距为L时，重叠区域最大，条纹总数最多
相应的两束光的重叠区域为．其中的干涉条纹总数条。
④对切双透镜
如图2-1-6所示，过光心将透镜对切，拉开一小段距离，中间加挡光板（图a）；或错开一段距离（图b）；或两片切口各磨去一些再胶合（图c）。置于透镜原主轴上的各点光源或平行于主光轴的平行光线，经过对切透镜折射后，在叠加区也可以发生干涉。
(3)薄膜干涉
当透明薄膜的厚度与光波波长可以相比时，入射薄膜表面的光线薄满前后两个表面反射的光线发生干涉。
①等倾干涉条纹
如图2-1-7所示，光线a入射到厚度为h，折射率为的薄膜的上表面，其反射光线是，折射光线是b；光线b在下表面发生反射和折射，反射线图是，折射线是；光线再经过上、下表面的反射和折射，依次得到、、等光线。其中之一两束光叠加，、两束光叠加都能产生干涉现象。
a、???????? b光线的光程差
=
如果i=0，则上式化简为。
由于光线在界面上发生反射时可能出现“半波损失”，因此可能还必须有“附加光程差”，是否需要增加此项，应当根据界面两侧的介质的折射率来决定。
当时，反射线、都是从光密介质到光疏介质，没有“半波损失”，对于、，不需增加；但反射线是从光疏介质到光密介质，有“半波损失”，因此对于、，需要增加。当时，反射线、都有“半波损失”，对于、仍然不需要增加；而反射线没有“半波损失”，对于、仍然必须增加。同理，当或时，对于、需要增加；对于、不需要增加。
在发生薄膜干涉时，如果总光程等于波长的整数倍时，增强干涉；如果总光程差等于半波长的奇数倍时，削弱干涉。
入射角越小，光程差越小，干涉级也越低。在等倾环纹中，半径越大的圆环对应的也越大，所以中心处的干涉级最高，越向外的圆环纹干涉级越低。此外，从中央外各相邻明或相邻暗环间的距离也不相同。中央的环纹间的距离较大，环纹较稀疏，越向外，环纹间的距离越小，环纹越密集。
②等厚干涉条纹
当一束平行光入射到厚度不均匀的透明介质薄膜上，在薄膜表面上也可以产生干涉现象。由于薄膜上下表面的不平行，从上表面反射的光线和从下面表反射并透出上表面的光线也不平行，如图2-1-8所示，两光线和的光程差的精确计算比较困难，但在膜很薄的情况下，A点和B点距离很近，因而可认为AC近似等于BC，并在这一区域的薄膜的厚度可看作相等设为h，其光程差近似为
当i保持不变时，光程差仅与膜的厚度有关，凡厚度相同的地方，光程差相同，从而对应同一条干涉条纹，将此类干涉条纹称为等厚干涉条纹。
当i很小时，光程差公式可简化为。
③劈尖膜
如图2-1-9所示，两块平面玻璃片，一端互相叠合，另一端夹一薄纸片（为了便于说明问题和易于作图，图中纸片的厚度特别予以放大），这时，在两玻璃片之间形成的空气薄膜称为空气劈尖。两玻璃片的交线称为棱边，在平行于棱边的线上，劈尖的厚道度是相等的。
当平行单色光垂直（）入射于这样的两玻璃片时，在空气劈尖（）的上下两表面所引起的反射光线将形成相干光。如图1-2-9所示，劈尖在C点处的厚度为h，在劈尖上下表面反射的两光线之间的光程差是。由于从空气劈尖的上表面（即玻璃与空气分界面）和从空气劈尖的下表面（即空气与玻璃分界面）反射的情况不同，所以在式中仍有附加的半波长光程差。由此
……明纹
……暗纹
干涉条纹为平行于劈尖棱边的直线条纹。每一明、暗条纹都与一定的k做相当，也就是与劈尖的一定厚度h相当。
任何两个相邻的明纹或暗纹之间的距离由下式决定：
式中为劈尖的夹角。显然，干涉条纹是等间距的，而且θ愈小，干涉条纹愈疏；θ愈大，干涉条纹愈密。如果劈尖的夹角θ相当大，干涉条纹就将密得无法分开。因此，干涉条纹只能在很尖的劈尖上看到。
④牛顿环
在一块光平的玻璃片B上，放曲率半径R很大的平凸透镜A，在A、B之间形成一劈尖形空气薄层。当平行光束垂直地射向平凸透镜时，可以观察到在透镜表面出现一组干涉条纹，这些干涉条纹是以接触点O为中心的同心圆环，称为牛顿环。
牛顿环是由透镜下表面反射的光和平面玻璃上表面反射的光发生干涉而形成的，这也是一种等厚条纹。明暗条纹处所对应的空气层厚度h应该满足：

从图2-1-10中的直角三角形得
因R?h，所以<<2Rh，得
上式说明h与r的平方成正比，所以离开中心愈远，光程差增加愈快，所看到的牛顿环也变得愈来愈密。由以上两式，可求得在反射光中的明环和暗环的半径分别为：
随着级数k的增大。干涉条纹变密。对于第k级和第k+m级的暗环
由此得透镜的且率半径
牛顿环中心处相应的空气层厚度h=0，而实验观察到是一暗斑，这是因为光疏介质到光密介质界面反射时有相位突变的缘故。
例1 在杨氏双缝干涉的实验装置中，缝上盖厚度为h、折射率为n的透明介质，问原来的零级明条纹移向何处？若观察到零级明条纹移到原来第k明条纹处，求该透明介质的厚度h，设入射光的波长为λ。
解：设从、到屏上P点的距离分别为、，则到P点的光程差为
当时，的应零级条纹的位置应满足
原来两光路中没有介质时，零级条纹的位置满足，与有介质时相比
，可见零级明条纹应该向着盖介质的小孔一侧偏移。
原来没有透明介质时，第k级明条纹满足
当有介质时，零级明条纹移到原来的第k级明条纹位置，则必同时满足
和
从而
显然，k应为负整数。
例2 菲涅耳双面镜。如图2-1-12所示，平面镜和之间的夹角θ很小，两镜面的交线O与纸面垂直，S为光阑上的细缝（也垂直于图面），用强烈的单色光源来照明，使S成为线状的单色光源，S与O相距为r。A为一挡光板，防止光源所发的光没有经过反射而直接照射光屏P．
(1)若图中∠，为在P上观察干涉条纹，光屏P与平面镜的夹角最好为多少？
(2)设P与的夹角取(1)中所得的最佳值时，光屏与O相距为L，此时在P上观察到间距均匀的干涉条纹，求条纹间距△x。
(3)如果以激光器作为光源，(2)的结果又如何？
解：(1)如图2-1-13，S通过、两平面镜分别成像和，在光屏P上看来，和则相当于两个相干光源，故在光屏P上会出现干涉现象。为在P上观察干涉条纹，光屏P的最好取向是使和与它等距离，即P与的连线平行。
图2-1-13图中和S关于平面镜对称，和S关于平面镜对称，所以，O为顶角为2θ腰长为r的等腰三角形，故光屏P的最佳取向是P的法线（通过O点）与平面镜的夹角等于，或光屏P与平面镜的夹角为90°—．
(2)由图可看出，和之间的距离为，和到光屏P的距离为
，由此，屏上的干涉条纹间距为
(3)如果以徼光器作为光源，由于激光近于平行，即相当S位于无穷远处。上式简化为
若用两相干光束的夹角表示，上式可写成
例3 如图2-1-14所示的洛埃镜镜长l=7.5cm，点光源S到镜面的距离d=0.15mm，到镜面左端的距离b=4.5cm，光屏M垂直于平面镜且与点光源S相距L=1.2m。如果光源发出长的单色光，求：
(1)在光屏上什么范围内有干涉的条纹？
(2)相邻的明条纹之间距离多大？
(3)在该范围内第一条暗条纹位于何处？
分析：洛埃镜是一个类似双缝干涉的装置，分析它的干涉现象，主要是找出点光源S和它在平面镜中的像，这两个就是相干光源，然后就可利用杨氏双缝干涉的结论来求解，但注意在计算光程差时，应考虑光线从光疏媒质入射到光密媒质时，反射光与入射光相位差180。，即发生“半波损失”。
解：(1)如图2-1-14所示，S点光源发出的光一部分直接射到光屏上，另一部分经平面镜反射后再射到光屏，这部分的光线好像从像点发出，因为到达光屏这两部分都是由S点光源发出的，所以是相干光源。这两部分光束在光屏中的相交范围AB就是干涉条纹的范围．由图中的几何关系可以得到：
` ①
②
由①、②两式解得
由图中可知
由③、④两式可知在距离光屏与平面镜延长线交点C相距1.35～3.85cm之间出现干涉条纹。
(2)相邻干涉条纹的距离为
(3)由于从平面镜反射的光线出现半波损失，暗条纹所在位置S和的光程差应当满足
即 ⑤
又因为条纹必须出现在干涉区，从①解可知，第一条暗纹还应当满足
⑥
由⑤、⑥式解得
即在距离C点1.44cm处出现第一条暗条纹。
点评：这是一个光的干涉问题，它利用平面镜成点光源的像S`，形成有两个相干点光源S和，在光屏上出现干涉条纹。但需要注意光线由光疏媒质入射到光密媒质时会发生半波损失现象．
例4 一圆锥透镜如图图2-1-15所示，S，为锥面，M为底面；通过锥顶A垂直于底面的直线为光轴。平行光垂直入射于底面，现在把一垂直于光轴的平面屏P从透镜顶点A向右方移动，不计光的干涉与衍射。
1、用示意图画出在屏上看到的图像，当屏远一时图像怎样变化？
2、设圆锥底面半径为R，锥面母线与底面的夹角为β（3。～5。），透镜材料的折射率为n。令屏离锥顶A的距离为x，求出为描述图像变化需给出的屏的几个特殊位置。
解:1．入射光线进入透镜底面时，方向不变，只要在镜面上发生折射，如图1-3-6所示，由图可见，过锥面的折射角γ满足折射定律
而光线的偏向角，即折射线与轴的夹角δ=γ-β。
行光线的偏向角。
图2-1-16画出在图面上的入射光线经透镜后的折射光束的范围。通这也是所有入射的平过锥面S处和处的折射分别相互平行，构成两个平面光束，交角为。把图图2-1-17绕光轴旋转180。就得到经过透镜后的全部出射光线的空间分布。
下面分析在屏上看到的图像及屏向远处移动时图像的变化。
(1)当屏在A处时，照到屏上的光束不重叠，屏上是一个明亮程度均匀的圆盘，半径略小于R。
(2)屏在A、B之间时，照到屏上的光束有部分重叠，在光束重叠处屏上亮度较不重叠处大，特别是在屏与光轴的交点，即屏上图像中央处，会聚了透镜底面上一个极细的圆环上的全部入射光的折射线，因此这一点最亮。在这点周围是一个以这点为中心的弱光圆盘，再外面是更弱的光圆环，如图2-1-18（a）。
(3)在屏从A到B远移过程中，屏上图像中央的亮点越远越亮（这是因为会聚在这里的入射光细圆环半径增大，面积增大）；外围光圆盘越远越大，再外的弱光圆环则外径减小，宽度减小，直到屏在B点时弱光环消失。
(4)屏在B点时，在中央亮点之外有一亮度均匀的光圆盘，如图2-1-18（b）。
(5)屏继续远移时，图像又一般地如图图2-1-18（a）形状，只是屏越远中央亮点越亮，亮点周围光圆盘越小，再外弱光环越宽、越大。
(6)当屏移到C点时，图像中亮点达到最大亮度。外围是一个由弱光圆环扩大而成的光圆盘。如图2-1-18（c）。
(7)屏移过C点后到达光束缚不重叠的区域，这时屏上图像为中央一个暗圆盘，外围一个弱光圆环，不再有中央亮点。如图2-1-18（d）。
(8)屏继续远移，图像形状仍如图2-1-18（d）只是越远暗盘半径越大，外围弱光环也扩大，但环的宽度不变。
2．在β较小时，γ也小，有，故。略去透镜厚度，则B，C处距A的距离分别为
因此在第1问解答中，
(1)，(2)，(3)，(4)所述的变化过程对应于
(5)，(6)所述的图像变化过程对应于
(7)，(8)所述的图像变化过程对应于
例5 将焦距f=20cm的凸透镜从正中切去宽度为a的小部分，如图2-1-19（a），再将剩下两半粘接在一起，构成一个“粘合透镜”，见图2-1-19（b）。图中D=2cm,在粘合透镜一侧的中心轴线上距镜20cm处，置一波长的单色点光源S，另一侧，垂直于中心轴线放置屏幕，见图2-1-19（c）。屏幕上出现干涉条纹，条纹间距△x=0.2mm，试问
1．切去部分的宽度a是多少？
2．为获得最多的干涉条纹，屏幕应离透镜多远？
解:1、首先讨论粘合透镜的上半个透镜的成像。在图2-1-20中OO是
粘合透镜的中心轴线，在OO上方用实线画出了上半个透镜，在OO下方未画下半个透镜，而是补足了未切割前整个透镜的其余部分，用虚线表示。整个透镜的光轴为．
半个透镜产成像规律应与完整的透像相同。现在物点（即光源）S在粘合透镜的中心轴线上，即在图中透镜的光轴上方处，离透镜光心的水平距离正好是透镜的焦距。根据几何光学，光源S发出的光线，经透镜光心的水平距离正好是透镜的焦距。根据几何光学，光源S发出的光线，经透镜折射后成为一束平行光束，其传播方向稍偏向下方，与光轴（对OO也是一样）成角为。当透镜完整时光束的宽度为：透镜直径透镜直径。对于上半个透就，光事宽度为。
同理，S所发的光，经下半个透镜折射后，形成稍偏向上方的平行光束，与轴成角，宽度也是。
于是，在透镜右侧，成为夹角为θ的两束平行光束的干涉问题（见图2-1-21），图中的两平行光束的重叠区（用阴影表示）即为干涉区。为作图清楚起见，图2-1-21，特别是图12-1-21中的θ角，均远较实际角度为大。
图2-1-22表示的是两束平行光的干涉情况，其中θ是和图2-1-21中的θ相对应的。图2-1-22中实线和虚线分别表示某一时刻的波峰平面和波谷平面。在垂直于中心轴线屏幕上，A、B、C表示相长干涉的亮纹位置，D、E表示相消干涉的暗纹位置，相邻波峰平面之间的垂直距离是波长λ。故干涉条纹间距△x满足
在θ很小的情况下，上式成为。
所以透镜切去的宽度
=
果然是一个很小的角度。
2、由以上的求解过程可知，干涉条纹间距与屏幕离透镜L的距离无关，这正是两束平行光干涉的特点。但屏幕必须位于两束光的相干叠加区才行。图2-1-22中以阴影菱形部分表示这一相干叠加区。因为由(1)式知条纹是等距的，显然当屏幕位于PQ处可获得最多的干涉条纹，而PQ平面到透镜L的距离
?
例6．如图2-1-23所示，薄透镜的焦距f=10cm，其光心为O，主轴为MN，现将特镜对半切开，剖面通过主轴并与纸面垂直。
1．将切开的二半透镜各沿垂直剖面的方向拉开，使剖面与MN的距离均为0.1mm，移开后的空隙用不透光的物质填充组成干涉装置，如图2-1-24所示，其中P点为单色点光源，PO=20cm，B为垂直于MN的屏，OB=40cm。
(1)用作图法画出干涉光路图。
(2)算出屏B上呈现的干涉条纹的间距。
(3)如屏B向右移动，干涉条纹的间距将怎样变化？
2．将切开的二半透镜沿主轴MN方向移开一小段距离，构成干涉装置，如图2-1-25所示，P为单色光源，位于半透镜的焦点外。
(1)用作图法画出干涉光路图。
(2)用斜学标出相干光束交叠区。
(3)在交叠区内放一观察屏，该屏与MN垂直，画出所呈现的干涉条纹的形状。
3．在本题第2问的情况下，使点光源P沿主轴移到半透镜的焦点处，如图2-1-26所示，试回答第2问中各问。
解:1．(1)如图2-1-27，从点光源P引和两条光线，过光心后沿原方向传播。引PO轴助光线，该光线与的主轴平行，若经折射后必通过焦点，沿方向传播，与相交于点，为P经上半透镜成像得到的实像点。同理，是P经下半透镜所成的实像点，连接和，所得P点发出的光束经两半透镜折射后的光束的范围。和是二相干的实的点光源，像线所标的范围为相干光束交叠区。
(2)在交叠区放一竖直的接收屏，屏上呈现出与纸面垂直的明暗相间的条纹，其条纹间距为
(3)屏B向右移动时，D增大，条纹间距增大。
2．(1)如图2-1-28 (a)，从点光源P引和三条光线，过光心和沿直线方向传播，过引平行于的辅助光线经不发生折射沿原方向传播，与过的焦面交于点，连接直线与主轴交于点，该点为P经上半透镜成像所得的实像点；同理可得P经下半透镜所成的实像点，此二实像点沿主轴方向移开。
(2)图2-1-28 (a)中斜线标出的范围为二相干光束交叠区。
(3)在观察屏B上的干涉条纹为以主轴为中心的一簇明暗相间的同心半圆环，位于主轴下方，如图2-1-28（b）所示。
3．(1)如图2-1-29(a)，点光源P移至光线经过透镜后方向仍不变，而光线经上半透镜折射后变成与主轴平行的光线，光线经下半透镜折射后与交于点，为P经下半透镜所成的实像点。
(2)图2-1-29 (a)中斜线所标出的范围为这种情况下的相干光束重叠区域。
(3)这种情况在观察屏B上呈现出的干涉条纹也是以主轴为中心的一簇明暗相间的同心半圆环，但位于主轴上方，如图2-1-29（b）所示。
例7、一束白光以°角射在肥皂膜上，反射光中波长的绿光显得特别明亮。
1、试问薄膜最小厚度为多少？
2、从垂直方向观察，薄膜是什么颜色？
肥皂膜液体的折射率n=1.33
解:1、入射到A点的光束一部分被反射，另一部分被折射并到达B点。在B点又有一部分再次被反射，并经折射后在C点出射。光线DC也在C点反射。远方的观察者将同时观察到这两条光线。
在平面AD上，整个光束有相同的相位。我们必须计算直接从第一表面来的光线与第二面来的光线之间的相位差。它取决于光程差，即取决于薄膜的厚度。无论发生干涉或相消干涉，白光中包含的各种波长的光线都会在观察的光中出现。
光线从A到C经第二表面反射的路程为
在媒质中波长为，故在距离AB+BC上的波数为
光线从D到C经第一表面反射的路程为
在这段距离上，波长为，故波数为
?
我们知道，当光从较大折射率的媒质反射时，光经历180。相位差，故DC段的波数为
如果波数差为整数k，则出现加强，即
经过一些变换后，得到下述形式的加强条件
哪一种波长可得到极大加强，这只取决于几何路程和折射率。我们无法得到纯单色光。这是由于邻近波长的光也要出现，虽然较弱。k较大时，色彩就浅一些。所以如平板或膜太厚，就看不到彩色，呈现出一片灰白。本题中提到的绿光明亮，且要求薄膜的最小厚度。因此我们应取k=0，得到膜层厚度为
2、对于垂直入射，若k=0，呈现极大加强的波长为
用以上的d值，得
对于任何厚度的膜层，可从用同样的方式算出。在本题中
它稍带黄色的绿光相对应。
例8、在半导体元件的生产中，为了测定Si片上的薄膜厚度，将薄膜磨成劈尖形状。如图2-1-31所示，用波长λ=5461的绿光照射，已知的折射率为1.46，Si的折射率了3.42，若观察到劈尖上出现了7个条纹间距，问薄膜的厚度是多少？
解：设图中从上到下依次为空气、和Si，由于的折射率小于Si的折射率，所以光从空气射入劈尖的上、下表面反射时都有半波损失，因此在棱边（劈膜厚度d=0处）为明条纹。当劈膜厚度d等于光在膜层中半波长的奇数倍时（或者膜层厚度d的2倍等于光在膜层中波长的整数倍时）都将出现明条纹。所以明条纹的位置应满足：
因此相邻明条纹对应的劈膜厚度差为
所以在劈膜开口处对应的膜层厚度为
例9、利用劈尖状空气隙的薄膜干涉可以检测精密加工工件的表面质量，并能测量表面纹路的深度。测量的方法是：把待测工件放在测微显微镜的工作台上，使待测表面向上，在工件表面放一块具有标准光学平面的玻璃，使其光学平面向下，将一条细薄片垫在工件和玻璃板之间，形成劈尖状空气隙，如图2-1-32所示，用单色平行光垂直照射到玻璃板上，通过显微镜可以看到干涉条文。如果由于工件表面不平，观测中看到如图上部所示弯曲的干涉条纹。
①请根据条纹的弯曲方向，说明工件表面的纹路是凸起还不下凹？
②证明维路凸起的高度（或下凹的深度）可以表示为 ，
式中λ为入射单色光的波长，a、b的意义如图。
分析：在劈尖膜中讲过，空气隙厚度h与k存在相应关系。若工作表面十分平整，则一定观察到平行的干涉条纹。由于观察到的条纹向左弯曲，说明图中P点与Q点为同一k级明纹或暗纹。且某一k值与厚度h有线性正比关系。故P点与Q点对应的k相等，工件必下凹。
解①单色光在空气隙薄膜的上下表面反射，在厚度x满足：
时出现明条纹，相邻明条纹所对应的空气隙的厚度差 。
可见，对应于空气隙相等厚度的地方同是明条纹，或同是暗条纹。从图中可以看出，越向右方的条纹，所对应的空气隙厚度越大。故条纹左弯，工件必下凹。
②由图中看出，干涉条纹间距为b，对应的空气隙厚度差为。又因为条纹最大弯曲程度为a，因此完所对应的纹路最大深度h应满足h：
所以 。
2.1.3 光的衍射
光绕过障碍物偏离直线传播而进入几何阴影，并在屏幕上出现光强不均匀分布的现象，叫做光的衍射。
1、惠更斯—菲涅耳原理
（1）惠更斯原理
惠更斯指出，由光源发出的光波，在同一时刻t时它所达到的各点的集合所构成的面，叫做此时刻的波阵面（又称为波前），在同一波阵面上各点的相位都相同，且波阵面上的各点又都作为新的波源向外发射子波，子波相遇时可以互相叠加，历时△t后，这些子波的包络面就是t+△t时刻的新的波阵
面。波的传播方向与波阵面垂直，波阵面是一个平面的波叫做平面波，其传播方向与此平面垂直，波阵面是一个球面（或球面的一
部分）的波叫做球面波，其传播方向为沿球面的半径方向,如图2-1-33
（2）菲涅耳对惠更斯原理的改进（惠—菲原理）
波面S上每个面积单元都可看作新的波源，它们均发出次波，波面前方空间某一点P的振动可以由S面上所有面积所发出的次波在该点迭加后的合振幅来表示。
面积元ds所发出各次波的振幅和位相符合下列四个假设：在波动理论中，波面是一个等位相面，因而可以认为面上名点所发出的所有次波都有相同的初位相（可令）。
②次波在P点处的振幅与r成反比。
③从面积元所发出的次波的振幅正比于的面积，且与倾角θ有关，其中θ为ds的法线N与ds到P点的连线r之间的夹角，即从ds发出的次波到达P点时的振幅随θ的增大而减小（倾斜因数）。
④次波在P点处的位相，由光程决定
。
（3）泊松亮斑
当时法国著名的数学家泊松在阅读了菲涅耳的报告后指出：按照菲涅耳的理论，如果让平行光垂直照射不透光的圆盘，那么在圆盘后面的光屏上所留下的黑影中央将会出现一个亮斑。因为垂直于圆盘的平行光照到时，圆盘边缘将位于同一波阵面上，各点的相位相同，它们所发生的子波到达黑影中央的光程差为零，应当出现增强干涉。泊松原想不能观察到这一亮斑来否定波动说，但菲涅耳勇敢地面对挑战，用实验得到了这个亮斑。
2、圆孔与圆屏的菲涅耳衍射
（1）圆孔衍射
将一束光（如激光）投射在一个小圆孔上，并在距孔1～2米处放置一玻璃屏，则在屏上可看到小圆孔的衍射花样。
其中波带改为
其中由圆孔半径P，光的波长λ，圆孔位置（与R）确定。
（2）圆屏衍射
不问圆屏大小和位置怎样，圆屏几何影子的中心永远有光，泊松亮斑即典型。
3、单缝和圆孔的夫琅和费衍射
夫琅和费衍射又称远场衍射，使用的是平行光线，即可认为光源距离为无限远。它不同于光源距离有限的菲涅耳衍射。在实验装置中更有价值。
夫琅和费衍射指用平行光照射障碍物时在无穷远处的衍射图像。由于无穷远与透镜的焦平面上是一对共扼面，所以可以用透镜将无穷远处的衍射花样成像于焦平面上
单缝的夫琅和费衍射装置如图2-1-35所示，S为与狭缝平行的线光源，置于的前半焦平面上，由惠更斯—菲涅耳原理可计算出屏上任一点P的光强为
式中，，λ为波长，b为狭缝宽度，θ为P点对中心轴线所张的角，为中心点光强。
单缝的夫琅和费衍射图像和光强分布如图2-1-36，在衍射光强分布中，可知时，I=0。其中心条纹对应的夹角为，屏上的宽度则为(f为的焦距)。它表明，当狭缝官宽b变小时，中心衍射条纹变宽。
若用点光源和圆孔分别代替图2-1-35中的线光源S和狭缝,在屏便可得到小圆孔的衍射花样, 其光强分布如图2-1-37.D为小圆孔的直径，中央亮圆斑称为爱里斑，爱里斑边缘对中心光轴的夹角为。
圆孔衍射是非常重要的，在光学仪强中，光学元件的边缘一般就是圆孔，对于一物点，由于这元件边缘的衍射，所成的像不再是点，而是一个爱里斑，这将影响光学仪器的分辩相邻物点的能力。根据瑞利判据，当两个爱里斑中心角距离为时，这两个像点刚好可以分辩，小于就不可分辨了。
4、衍射光栅
由大量等宽度等间距的平行狭缝所组成的光学元件称为衍射光栅，将衍射光栅放置在图2-1-35的狭缝位置上，在衍射屏上便可观察到瑞利的亮条纹，这些亮条纹所对应的角度θ应满足
d为两狭缝之间的间距，m称为衍射级数。上式称为光栅方程。从方程中可以看出。不同的波长λ，其亮条纹所对应的θ不同，所以光栅可以用来作光谱仪器的色散元件。
例1、一个由暗盒组成的针孔照相机，其小孔直径为d，暗盒中像成在小孔后距离为D的感光胶片上如图2-1-37，物体位于小孔前L处，所用波长为λ。（1）估计成像清晰时小孔半径的大小。（2）若使用中算出的小孔，试问物体上两点之间的最小距离是多少时？该两点的像是否可分辨？
解：（1）物体上一点在照像底片上成的像由两个因素决定的，一是小孔的几何投影，一是小孔的夫琅禾费衍射（D?d）。几何投影产生物点的像的直径是
衍射效应扩大了几何投影区，所增加的直径大小为

总的像直径为
可见当小孔d小时，则第一项小，第二项大。当d大时，第二项小，第一项大。
当时，最小，其值是
(2)由（1）知，对小孔直径为d的针孔照像机，物上一几何点在底片上所成像的大小为
物上相邻两点AB在底片上要能分辨，根据瑞利判据，其像点中心距离，由几何关系得
即物上两点间的距离要大于时，该两点的像是能分辨的。
例2、用分波带矢量作图方法求出单缝的夫琅禾费衍射分布。
解： 将缝宽为b的狭缝分成N条宽度相等的极窄条，称为子缝，其宽为， N很大，则每一子缝可作为一几何线，这些子缝到屏上某一点P的距离想差很小，所以它们在P点引起的振幅a近似相等。至于位相，每一条子缝到P点是不同的，但相邻两子缝在屏上所引起的位相差为为如图2-1-38（b）所示的光程差，它等于，第一条子缝与最后一条子缝总位相差，见图2-1-38（a）。各子缝在P点产生的振动E；叠加即为整个缝在P点的振动。这振动叠加可借助其矢量作图法来求出，如图2-1-39为矢量量，图中矢量图，图中矢量总长度是相同的，都为Na．
当β=0，即θ=0对应的中心点上，缝上各点波面到达时振动位相同，则各点振幅矢量合成如图2-1-39（a）。代表此点的合振动，这时光强最大（即主最大）．对任一β，缝上相邻各点的振动位相相差，对应的矢量将转动，缝上两边缘的位相差为2β，各矢量构成一圆心角为2β的弧如图（b），它们的合矢量A等于这段弧的弦。由几何关系可得
其强度
当β=π，即时，振幅矢量卷成一圆，故A=0，如图（c）。随着β增大，即θ增大，矢量曲线将越卷越小，合矢量也越来越小，对应的强度也随之减小。
2.1.4、光的偏振
光波是横波，这可以用光的偏振实验来证明。
通过两块偏振片来观察某一普通发光源，旋转其中一块偏振片，我们会发现，每旋转360。，观察到的光强会由暗变亮再变暗再变亮的交替变化两次，下面来解释这一现象。
普通光源是为数众多的分子或原子在发光，虽然每一个原子发出的光只有一个特定的振动方向，但众多的原子发出光振动方向是杂乱的，没有哪一个方向比其他方向更特殊，这种光称为自然光。而偏振片具有让一个方向的振动通过（称为透光方向），另一个垂直方向的振动具有全部吸收的功能。这样，自然光通过偏振片后，只有一个方向振动的及其他方向振动在该方向的分量通过从而形成只有一个振动方向的线偏振光。当该线偏振光通过第二偏振片时，若第二偏振片的透光方向与线偏振方向（第一偏振片的透光方向）成α角，透过第二偏振片的振动时为，其光强为，当α=90。、270。时，；当α为0。、180。时，最大；其他角度在两者之间变化。这种偏振现象只有横波才有。
§2.2、 光的量子性
2.2.1、光电效应
某些物质在光（包括不可见光）的照射下有电子发射出来，这就是光电效应的现象。利用容易产生光电效应的物质制成阴极的电子管称为光电管。
图2-2-1所示的电来研究光电效应的规律。实验发现了光电效应的如下规律：
光电效应过程非常快，从光照到产生光电子不超过，停止光照，光电效应也立即停止。
各种材料都有一个产生光电效应的极限频率。入射光的效率必须高于才能产生光电效应；频率低于的入射光，无论其强度多大，照射时间多长，都不能产生光电效应。不同的物质，一般极限频率都不同。
逸出的光电子的最大初动能可以这样测定，将滑动变阻器的滑片逐渐向左移动，直到光电流截止，读出这时伏特表的读数即为截止电压U。根据动能定理，光电子克服反向电压作的功等于动能的减小，即
实验结果表明，当入射光频率一定时，无论怎样改变入射光的强度，截止电压都不会改变；入射光频率增大，截止电压也随着呈线性增大。这说明，逸出的光电子的
最大初动能只能随入射光频率增大而增大，与入射光强度无关。最大初动能与入射光频率的关系如图2-2-1所示。
在入射光频率一定条件下，向右移动变阻器的滑动片，光电流的强度随着逐渐增大，但当正向电压增大到某一值后继续再增大时，光电流维持一个固定图2-3值不变，此时光电流达到饱和。增大入射光的强度P，饱和光电流也随着成正比地增大。如图2-2-1所示。
2.2.2、光子说
光电效应的四个特点中，只有第四个特点够用电磁来解释，其他特点都与电磁场理论推出的结果相矛盾。爱因斯坦于1905年提出的光子说，完美地解释了这一现象。
光子说指出：空间传播的光（以及其他电磁波）都是不连续的，是一份一份的，每一份叫做一个光子。光子的能量跟它的频率成正比即
E=hv
式中h为普朗克恒量。光子也是物质，它具有质量，其质量等于
光子也具有动量，其动量等于
根据能量守恒定律得出：
上式称为爱因斯坦光电效应方程。式中W称为材料的逸出功，表示电子从物而中逸出所需要的最小能量。某种物质产生光电效应的极限频率就由逸出功决定：
不同物质电子的逸出功不同，所对应的极限频率也不同。
在图2-3中，图线与v轴的交点为极限频率，将图线反身延长与轴的交点对应的数值的绝对值就是W。图线的斜率表示普朗克恒量的数值，因此，图示电路还可以用来测定普朗克恒量。
2.2.3、康普顿效应
当用可见光或紫外线作为光电效应的光源时，入射的光子将全部被电子吸收。但如果用X射线照射物质，由于它的频率高，能量大，不会被电子全部吸收，只需交出部分能量，就可以打出光电子，光子本身频率降低，波长变长。这种光电效应现象称为康普顿效应。
当X射线光子与静止的电子发生碰撞时，可以用p表示入射光子的动量，代表散射光子的动量，代表光电子的动量。则依据动量守恒定律，可以用图2-2-4表示三者的矢量关系。由于，所以
由能量守恒定律得出：
式中表示电们的静止质量，
m表示运动电子的质量，有图2-4
联立上述各式，并将代入整理得
2.2.4、光压
光压就是光子流产生的压强，从光子观点看，光压产生是由于光子把它的动量传给物体的结果

为入射光强，为壁反射系数。
2.2.5、波粒二象性
由理论和实验所得结果证明，描述粒子特征的物理量（E，p）与描述波动特征的物理量（v，λ）之间存在如下关系。

事实上，这种二象性是一切物质（包括实物和场）所共有的特征。
例1、图5-1中纵坐标为光电效应实验中所加电压（U），横坐标为光子的频率（v）。若某金属的极限频率为，普朗克恒量为h，电子电量为e，试在图中画出能产生光电流的区域（用斜线表示）。
分析：在U-v图第一象限中能产生光电流的区域，可根据极限频率很容易地作出。关键在于如何确定第四象限中能产生光电流的区域，但我们可以利用爱因斯坦的光电方程找出这一区域。
解：爱因斯坦的光电方程． ①
根据极限频率可知 ②
由于光电子具有最大初动能为，则它可克服反向电压作功为Ue，故有图5-1
③
将②、③式代入①式可得

此即为图2-2-5中BC斜率的绝对值。据此可作出图2-2-6，图中画有斜线区域即为能产生光电流的区域。
例2、一光电管阴极对于波长的入射光，发射光电子的遏止电压为0.71V，当入射光的波长为多少时，其遏止电压变为1.43V？（电子电量，普朗克常量）。
分析：根据爱因斯坦的光电方程，可知，当加在光电管上的反向电压达到一定值时可有Ue=hv-W，此时光电管无光电流产生，这个电压U即为遏止电压。知道了遏止电压U即可由光电方程求出逸出功W。对于一个光电管，它的阴极逸出功W是不变的，因而也可利用W求出对应不同遏止电压的入射光的频率（或波长）。
解：光电方程为，式中U为遏止电压，W为阴极材料的逸出功，v为入射光的频率。设所求入射光的波长为，将和两次代入光电方程，消去逸出功W，得
代入数据得
例3、一波长为的光子与一运动的自由电子碰撞。碰撞的结果使电子变为静止，并且波长为的光子在与原先方向的夹角为的方向上前进。此光子员另一静止的自由电子碰撞，然后以波长的光子前进，其方向在碰撞后改变了。计算第一个电子在碰撞前的德布罗意波长。（普朗克常数，电子质量，光速）
分析：此题需运用能量守恒与动量守恒求解，但必须应用相对论作必要的变换。
解：对第一次碰撞，能量守恒定律为
①
式中v是光子的频率，是电子的能量。在波长为的光子的出射方向，以及在与它垂直方向上写出动量守恒定律（见图2-2-7）分别为
式是电子的动量。
从上述两方程消去，并把λ写成c/v，有
②
利用相对论关系
③
以及方程①和②得
④
变换后得
⑤
对第二次碰撞可作同样的计算，得如下结果
⑥
⑤⑥两式相减，得
两次碰撞是类似的，利用⑤式得。
分别利用①和③式，可算出电子的能量和动量为
第一个电子的波长为。
例4、一台二氧化碳气体激光器发出的激光功率为P=1000W，射出的光束截面积为A=1.00mm2。试问：
(1)当该光束垂直入射到一物体平面上时，可能产生的光压的最大值为多少？
(2)这束光垂直射到温度T为273K，厚度d为2.00cm的铁板上，如果有80%的光束能量被激光所照射到的那一部分铁板所吸收，并使其熔化成与光束等截面积的直圆柱孔，这需要多少时间？
已知，对于波长为λ的光束，其每一个光子的动量为k=h/λ，式中h为普朗克恒量，铁的有关参数为：热容量，密度，熔点，熔解热，摩尔质量。
分析：光压即光对被照射物产生的压强，而求压强的关键在求出压力。利用动量定理，可由光子的动量变化求出它对被照射物的压力。
解：(1)当光束垂直入射到一个平面上时，如果光束被完全反射，且反射光垂直于平面，则光子的动量改变达最大值
①
此时该光束对被照射面的光压为最大。设单位时间内射到平面上的光子数为n，光压p的数值就等于这些光子对被照射面积A的冲量（也就是光子动量的改变量）的总和除以面积A，即
②
每个光子的能量为，这里c为真空中的光速，v为光的频率，因而
于是，由②式
(2)激光所照射到的质量为M那一小部分铁板在熔化过程中所吸收的热量为
所以
?
高中物理竞赛热学电学教程 第四讲物态变化　第一讲 电场
电场
§1、1 库仑定律和电场强度
1．1．1、电荷守恒定律
大量实验证明：电荷既不能创造，也不能被消灭，它们只能从一个物体转移到另一个物体，或者从物体的一部分转移到另一部分，正负电荷的代数和任何物理过程中始终保持不变。
我们熟知的摩擦起电就是电荷在不同物体间的转移，静电感应现象是电荷在同一物体上、不同部位间的转移。此外，液体和气体的电离以及电中和等实验现象都遵循电荷守恒定律。
1．1．2、库仑定律
真空中，两个静止的点电荷和之间的相互作用力的大小和两点电荷电量的乘积成正比，和它们之间距离r的平方成正比；作用力的方向沿它们的连线，同号相斥，异号相吸
式中k是比例常数，依赖于各量所用的单位，在国际单位制（SI）中的数值为：（常将k写成的形式，是真空介电常数，）
库仑定律成立的条件，归纳起来有三条：（1）电荷是点电荷；（2）两点电荷是静止或相对静止的；（3）只适用真空。
条件（1）很容易理解，但我们可以把任何连续分布的电荷看成无限多个电荷元（可视作点电荷）的集合，再利用叠加原理，求得非点电荷情况下，库仑力的大小。由于库仑定律给出的是一种静电场分布，因此在应用库仑定律时，可以把条件（2）放宽到静止源电荷对运动电荷的作用，但不能推广到运动源电荷对静止电荷的作用，因为有推迟效应。关于条件（3），其实库仑定律不仅适用于真空，也适用于导体和介质。当空间有了导体或介质时，无非是出现一些新电荷——感应电荷和极化电荷，此时必须考虑它们对源电场的影响，但它们也遵循库仑定律。
1．1．3、电场强度
电场强度是从力的角度描述电场的物理量，其定义式为
式中q是引入电场中的检验电荷的电量，F是q受到的电场力。
借助于库仑定律，可以计算出在真空中点电荷所产生的电场中各点的电场强度为
式中r为该点到场源电荷的距离，Q为场源电荷的电量。
?
1．1．4、场强的叠加原理
在若干场源电荷所激发的电场中任一点的总场强，等于每个场源电荷单独存在时在该点所激发的场强的矢量和。
原则上讲，有库仑定律和叠加原理就可解决静电学中的全部问题。
例1、如图1-1-1（a）所示，在半径为R、体电荷密度为的均匀带电球体内部挖去半径为的一个小球，小球球心与大球球心O相距为a，试求的电场强度，并证明空腔内电场均匀。
分析： 把挖去空腔的带电球看作由带电大球与带异号电的小球构成。由公式求出它们各自在的电场强度，再叠加即得。这是利用不具有对称性的带电体的特点，把它凑成由若干具有对称性的带电体组成，使问题得以简化。
在小球内任取一点P，用同样的方法求出，比较和，即可证明空腔内电场是均匀的。采用矢量表述，可使证明简单明确。
解： 由公式可得均匀带电大球（无空腔）在点的电场强度，
，方向为O指向。
同理，均匀带异号电荷的小球 在球心点的电场强度
所以 ，
如图1-1-1（b）所示，在小球内任取一点P，设从O点到点的矢量为，为，OP为。则P点的电场强度为


可见：
因P点任取，故球形空腔内的电场是均匀的。
1．1．5、 电通量、高斯定理、
（1）磁通量是指穿过某一截面的磁感应线的总条数，其大小为，其中为截面与磁感线的夹角。与此相似，电通量是指穿过某一截面的电场线的条数，其大小为
为截面与电场线的夹角。
高斯定量：在任意场源所激发的电场中，对任一闭合曲面的总通量可以表示为
（） 为真空介电常数
式中k是静电常量，为闭合曲面所围的所有电荷电量的代数和。由于高中缺少高等数学知识，因此选取的高斯面即闭合曲面，往往和电场线垂直或平行，这样便于电通量的计算。尽管高中教学对高斯定律不作要求，但笔者认为简单了解高斯定律的内容，并利用高斯定律推导几种特殊电场，这对掌握几种特殊电场的分布是很有帮助的。
（2）利用高斯定理求几种常见带电体的场强
①无限长均匀带电直线的电场
一无限长直线均匀带电，电荷线密度为，如图1-1-2（a）所示。考察点P到直线的距离为r。由于带电直线无限长且均匀带电，因此直线周围的电场在竖直方向分量为零，即径向分布，且关于直线对称。取以长直线为主轴，半径为r，长为l的圆柱面为高斯面，如图1-1-2（b），上下表面与电场平行，侧面与电场垂直，因此电通量
②无限大均匀带电平面的电场
根据无限大均匀带电平面的对称性，可以判定整个带电平面上的电荷产生的电场的场强与带电平面垂直并指向两侧，在离平面等距离的各点场强应相等。因此可作一柱形高斯面，使其侧面与带电平面垂直，两底分别与带电平面平行，并位于离带电平面等距离的两侧如图1-1-3由高斯定律：

式中为电荷的面密度，由公式可知，无限大均匀带电平面两侧是匀强电场。
平行板电容器可认为由两块无限带电均匀导体板构成，其间场强为，则由场强叠加原理可知
③均匀带电球壳的场强
有一半径为R，电量为Q的均匀带电球壳，如图1-1-4。由于电荷分布的对称性，故不难理解球壳内外电场的分布应具有球对称性，因此可在球壳内外取同心球面为高斯面。对高斯面1而言：
；
对高斯面2：
。

④球对称分布的带电球体的场强
推导方法同上，如图1-1-4，
对高斯面1，
；
对高斯面2，
。

⑤电偶极子产生的电场
真空中一对相距为l的带等量异号电荷的点电荷系统，且l远小于讨论中所涉及的距离，这样的电荷体系称为电偶极子，并且把连接两电荷的直线称为电偶极子的轴线，将电量q与两点电荷间距l的乘积定义为电偶极矩。
a.设两电荷连线中垂面上有一点P，该点到两电荷连线的距离为r，则P点的场强如图1-1-5所示，其中

b.若为两电荷延长线上的一点，到两电荷连线中点的距离为r，如图1-1-6所示，则



c.若T为空间任意一点，它到两电荷连线的中点的距离为r，如图1-1-7所示，则在T点产生的场强分量为
，
由在T点产生的场强分量为
故

例2、如图所示，在-d≤x≤d的空间区域内（y，z方向无限延伸）均匀分布着密度为ρ的正电荷，此外均为真空
（1）试求≤d处的场强分布；
（2）若将一质量为m，电量为的带点质点，从x=d处由静止释放，试问该带电质点经过过多长时间第一次到达x=0处。
解： 根据给定区域电荷分布均匀且对称，在y、z方向无限伸展的特点，我们想象存在这样一个圆柱体，底面积为S，高为2x，左、右底面在x轴上的坐标分别是-x和x，如图1-1-8所示。可以判断圆柱体左、右底面处的场强必定相等，且方向分别是逆x轴方向和顺x轴方向。再根据高斯定理，便可求出坐标为x处的电场强度。
（1）根据高斯定律。坐标为x处的场强：
（≤d），x＞0时，场强与x轴同向，x＜0时，场强与x轴反向。
（2）若将一质量为m、电量为的带电质点置于此电场中，质点所受的电场力为：（≤d）
显然质点所受的电场力总是与位移x成正比，且与位移方向相反，符合准弹性力的特点。质点在电场力的运动是简谐振动，振动的周期为
当质点从x=d处静止释放，第一次达到x=0处所用的时间为

?
§1、2电势与电势差
1．2．1、 电势差、电势、电势能
电场力与重力一样，都是保守力，即电场力做功与具体路径无关，只取决于始末位置。我们把在电场中的两点间移动电荷所做的功与被移动电荷电量的比值，定义为这两点间的电势差，即
这就是说，在静电场内任意两点A和B间的电势差，在数值等于一个单位正电荷从A沿任一路径移到B的过程中，电场力所做的功。反映了电场力做功的能力。即电势差仅由电场本身性质决定，与被移动电荷的电量无关；即使不移动电荷，这两点间的电势差依然存在。
如果我们在电场中选定一个参考位置，规定它为零电势点，则电场中的某点跟参考位置间的电势差就叫做该点的电势。通常我们取大地或无穷远处为零电势点。电势是标准量，其正负代表电势的高低，单位是伏特（V）。
电势是反映电场能的性质的物理量，电场中任意一点A的电势，在数值上等于一个单位正电荷A点处所具有的电势能，因此电量为q的电荷放在电场中电势为U的某点所具有的电势能表示为。
1．2．2、 几种常见带电体的电势分布
（1）点电荷周围的电势
如图1-2-1所示，场源电荷电量为Q，在离Q为r的P点处有一带电量为q的检验电荷，现将该检验电荷由P点移至无穷远处（取无穷远处为零电势），由于此过程中，所受电场力为变力，故将q移动的整个过程理解为由P移至很近的（离Q距离为）点，再由移至很近的（离Q距离为）点……直至无穷远处。在每一段很小的过程中，电场力可视作恒力，因此这一过程中，电场力做功可表示为：
……
……
……

所以点电荷周围任一点的电势可表示为：
式中Q为场源电荷的电量，r为该点到场源电荷的距离。
（2）均匀带电球壳，实心导体球周围及内部的电势。
由于实心导体球处于静电平衡时，其净电荷只分布在导体球的外表面，因此其内部及周围电场、电势的分布与均匀带电球壳完全相同。由于均匀带电球壳外部电场的分布与点电荷周围电场的分布完全相同，因此用上面类似方法不难证明均匀带电球壳周围的电势为。
r＞R
式中Q为均匀带电球壳的电量，R为球壳的半径，r为该点到球壳球心的距离。
在球壳上任取一个微元，设其电量为，该微元在球心O处产生的电势。由电势叠加原理，可知O点处电势等于球壳表面各微元产生电势的代数和，。
因为均匀带电球壳及实心导体球均为等势体，因而它们内部及表面的电势均为。

?
1．2．3、电势叠加原理
电势和场强一样，也可以叠加。因为电势是标量，因此在点电荷组形成的电场中，任一点的电势等于每个电荷单独存在时，在该点产生的电势的代数和，这就是电势叠加原理。
例3、如图1-2-2所示，两个同心导体球，内球半径为，外球是个球壳，内半径为，外半径。在下列各种情况下求内外球壳的电势，以及壳内空腔和壳外空间的电势分布规律。
（1）内球带，外球壳带。
（2）内球带，外球壳不带电。
（3）内球带，外球壳不带电且接地。
（4）内球通过外壳小孔接地，外球壳带。
解: 如图1-2-2所示，根据叠原理：
（1）处有均匀的，必有均匀的，处当然有电荷，因此：
内球
外球
电势差
腔内 （＜r＜）
壳外 （r＞）
（2）处有，处有，处有，因此：
内球
外球
电势差
腔内 （＜r＜）
壳外 （r＞）
（3）处有，处有，外球壳接地，外球壳，处无电荷。
内球
电势差
腔内 （＜r＜）
壳外 （r＞）
（4）内球接地电势为零，内球带，处有，处有，先求，因为
解得
内球
外球

腔内
（＜r＜）
壳外
1．2．4、匀强电场中电势差与场强的关系
场强大小和方向都相同的电场为匀强电场，两块带等量异种电荷的平板之间的电场可以认为是匀强电场，它的电场线特征是平行、等距的直线。
场强与电势虽然都是反映场强本身性质特点的物理量，但两者之间没有相应的对应联系，但沿着场强方向电势必定降低，而电势阶低最快的方向也就是场强所指方向，在匀强电场中，场强E与电势差U之间满足
这就是说，在匀强电场中，两点间的电势等于场强大小和这两点在沿场强方向的位移的乘积。
例4、半径为R的半球形薄壳，其表面均匀分布面电荷密度为的电荷，求该球开口处圆面上任一点的电势。
解： 设想填补面电荷密度亦为的另半个球面如图1-2-3所示，则球内任一点的场强均为0，对原半球面开口处圆面上的任一点P而言，也有，而是上、下两个半球在P点产生场强、的合成。另据对称性易知，、的大小必定相等，
而、的合场强为零，说明、均垂直于半球开口平面，故在半球面带均匀电荷的情况下，它的开口圆面应为等势点，即圆面上任一点的电势都等于开口圆面圆心点处的电势。故
说明 虽然场强与电势是描述电场不同方面特性的两个物理量，它们之间没有必然的对应关系，但电势相等的各点构成的等势面应与该处的场强方向垂直，利用这个关系可为求取场强或电势提供一条有用的解题路径。
?
§1. 3、电场中的导体与电介质
一般的物体分为导体与电介质两类。导体中含有大量自由电子；而电介质中各个分子的正负电荷结合得比较紧密。处于束缚状态，几乎没有自由电荷，而只有束缚电子当它们处于电场中时，导体与电介质中的电子均会逆着原静电场方向偏移，由此产生的附加电场起着反抗原电场的作用，但由于它们内部电子的束缚程度不同。使它们处于电场中表现现不同的现象。
1．3．1、 静电感应、静电平衡和静电屏蔽
①静电感应与静电平衡
把金属放入电场中时，自由电子除了无规则的热运动外，还要沿场强反方向做定向移动，结果会使导体两个端面上分别出现正、负净电荷。这种现象叫做“静电感应”。所产生的电荷叫“感应电荷”。由于感应电荷的聚集，在导体内部将建立起一个与外电场方向相反的内电场（称附加电场），随着自由电荷的定向移动，感应电荷的不断增加，附加电场也不断增强，最终使导体内部的合场强为零，自由电荷的移动停止，导体这时所处的状态称为静电平衡状态。
处于静电平衡状态下的导体具有下列四个特点：
（a）导体内部场强为零；
（b）净电荷仅分布在导体表面上（孤立导体的净电荷仅分布在导体的外表面上）；
（c）导体为等势体，导体表面为等势面；
（d）电场线与导体表面处处垂直，表面处合场强不为0。
②静电屏蔽
静电平衡时内部场强为零这一现象，在技术上用来实现静电屏蔽。金属外壳或金属网罩可以使其内部不受外电场的影响。如图1-3-1所示，由于感应电荷的存在，金属壳外的电场线依然存在，此时，金属壳的电势高于零，但如图把外壳接地，金属壳外的感应电荷流入大地（实际上自由电子沿相反方向移动），壳外电场线消失。可见，接地的金属壳既能屏蔽外场，也能屏蔽内场。
在无线电技术中，为了防止不同电子器件互相干扰，它们都装有金属外壳，在使用时，这些外壳都必须接地，如精密的电磁测量仪器都装有金属外壳，示波管的外部也套有一个金属罩就是为了实现静电屏蔽，高压带电作用时工作人员穿的等电势服也是根据静电屏蔽的原理制成。
1．3．2、 电介质及其极化
①电介质
电介质分为两类：一类是外电场不存在时，分子的正负电荷中心是重合的，这种电介质称为非极性分子电介质，如、等及所有的单质气体；另一类是外电场不存在时，分子的正负电荷中心也不相重合，这种电介质称为极性分子电介质，如、等。对于有极分子，由于分子的无规则热运动，不加外电场时，分子的取向是混乱的（如图1-3-2），因此，不加外电场时，无论是极性分子电介质，还是非极性分子电介质，宏观上都不显电性。
②电介质的极化
当把介质放入电场后，非极性分子正负电荷的中心被拉开，分子成为一个偶极子；极性分子在外电场作用下发生转动，趋向于有序排列。因此，无论是极性分子还是非极性分子，在外电场作用下偶极子沿外电场方向进行有序排列（如图1-3-3），在介质表面上出现等量异种的极化电荷（不能自由移动，也不能离开介质而移到其他物体上），这个过程称为极化。
极化电荷在电介质内部产生一个与外电场相反的附加电场，因此与真空相比，电介质内部的电场要减弱，但又不能像导体一样可使体内场强削弱到处处为零。减弱的程度随电介质而不同，故物理上引入相对介电常数来表示电介质的这一特性，对电介质均大于1，对真空等于1，对空气可近似认为等于1。
真空中场强为的区域内充满电介质后，设场强减小到E，那么比值就叫做这种电介质的介常数，用表示，则
引入介电常数后，极化电荷的附加电场和总电场原则上解决了。但实际上附加电场和总电场的分布是很复杂的，只有在电介质表现为各向同性，且对称性极强的情况下，才有较为简单的解。如：
点电荷在电介质中产生的电场的表达式为：
电势的表达式为：
库仑定律的表达式为：
例5、有一空气平行板电容器，极板面积为S，与电池连接，极板上充有电荷和，断开电源后，保持两板间距离不变，在极板中部占极板间的一半体积的空间填满（相对）介电常数为的电介质，如图1-3-4所示。求：
（1）图中极板间a点的电场强度？
（2）图中极板间b点的电场强度？
（3）图中与电介质接触的那部分正极板上的电荷？
（4）图中与空气接触的那部分正极板上的电荷？
（5）图中与正极板相接触的那部分介质界面上的极化电荷？
解： 设未插入电介质时平行板电容器的电容为，则
（1）

（2）
（3）
（4）
（5）因故

解得
负号表示上极板处的极化电荷为负。
1．3．3． 电像法
电像法的实质在于将一给定的静电场变换为另一易于计算的等效静电场，多用于求解在边界面（例如接地或保持电势不变的导体）前面有一个或一个以上点电荷的问题，在某些情况下，从边界面和电荷的几何位置能够推断：在所考察的区域外，适当放几个量值合适的电荷，就能够模拟所需要的边界条件。这些电荷称为像电荷，而这种用一个带有像电荷的、无界的扩大区域，来代替有界区域的实际问题的方法，就称为电像法。例如：
①一无限大接地导体板A前面有一点电荷Q，如图1-3-5所示，则导体板A有（图中左半平面）的空间电场，可看作是在没有导体板A存在情况下，由点电荷Q与其像电荷-Q所共同激发产生。像电荷—Q的位置就是把导体板A当作平面镜时，由电荷Q在此镜中的像点位置。于是左半空间任一点的P的电势为
式中和分别是点电荷Q和像电荷-Q到点P的距离，并且
，此处d是点电荷Q到导体板A的距离。
电像法的正确性可用静电场的唯一性定理来论证，定性分析可从电场线等效的角度去说明。
②一半径为r的接地导体球置于电荷q的电场中，
点电荷到球心的距离为h，球上感应电荷同点电荷q之间的相互作用也可以用一像电荷替代，显然由对称性易知像电荷在导体球的球心O与点电荷q的连线上，设其电量为，离球心O的距离为，如图1-3-6所示，则对球面上任一点P，其电势
整理化简得
要使此式对任意成立，则必须满足
解得
③对（2）中情况，如将q移到无限远处，同时增大q，使在球心处的电场保持有限（相当于匀强电场的场强），这时，像电荷对应的无限趋近球心，但保持有限，因而像电荷和在球心形成一个电偶极子，其电偶极矩。
无限远的一个带无限多电量的点电荷在导体附近产生的电场可看作是均匀的，因此一个绝缘的金属球在匀强电场中受感应后，它的感应电荷在球外空间的作用相当于一个处在球心，电偶极矩为的电偶极子。
例6、在距离一个接地的很大的导体板为d的A处放一个带电量为的点电荷（图1-3-7）。
（1）求板上感应电荷在导体内P点（）产生的电场强度。
（2）求板上感应电荷在导体外点产生的电场强度，已知点与P点以导体板右表面对称。
（3）求证导体板表面化的电场强度矢量总与导体板表面垂直。
（4）求导体板上感应电荷对电荷的作用力，
（5）若切断导体板跟地的连接线，再把电荷置于导体板上，试说明这部分电荷在导体板上应如何分布才可以达到静电平衡（略去边缘效应）。
分析： 由于导体板很大且接地，因此只有右边表面才分布有正的感应电荷，而左边接地那一表面是没有感电荷的。静电平衡的条件是导体内场强为零，故P点处的场强为零，而P点处的零场强是导体外及表面电荷产生场强叠加的结果。
解： （1）因为静电平衡后导体内部合场强为零，所以感应电荷在P点的场强和在P点的场强大小相等，方向相反，即
方向如图1-3-8乙，是到P点的距离。
（2）由于导体板接地，因此感应电荷分布在导体的右边。根据对称原理，可知感应电荷在导体外任意一点处场生的场强一定和感应电荷在对称点处产生的场强镜像对称（如图1-3-8丙），即，而，式中为到的距离，因此，方向如图1-3-8丙所示。
（3）根据（2）的讨论将取在导体的外表面，此处的场强由和叠加而成（如图1-3-8丁所示），不难看出，这两个场强的合场强是垂直于导体表面的。
（4）在导体板内取一点和所在点A对称的点，的场强由和叠加而为零。由对称可知，A处的和应是大小相等，方向相反的（如图1-3-8戍），所以所受的电场力大小为
方向垂直板面向左。
（5）因为和在导体内处处平衡，所以+Q只有均匀分布在导体两侧，才能保持导体内部场强处处为零。
从以上（2）、（3）、（4）的分析中可看出：导体外部的电场分布与等量异种电荷的电场分布完全相似，即感应电荷的作用和在与A点对称的位置上放一个的作用完全等效，这就是所谓的“电像法”。
§1、4 电容器
1．4．1、 电容器的电容
电容器是以电场能的形式储存电能的一种装置，与以化学能储存电能的蓄电池不同。
任何两个彼此绝缘又互相靠近的导体，都可以看成是一个电容器，电容器所带电荷Q与它两板间电势差U的比值，叫做电容器的电容，记作C，即
电容的意义就是每单位电势差的带电量，显然C越大，电容器储电本领越强，而电容是电容器的固有属性，仅与两导体的形状、大小位置及其间电介质的种类有关，而与电容器的带电量无关。
电容器的电容有固定的、可变的和半可变的三类，按极片间所用的电介质，则有空气电容器、真空电容器、纸质电容器、陶瓷电容器、涤纶电容器、云母电容器、电解电容器等。
每个电容器的型号都标明两个重要数值：电容量和耐压值（即电容器所承受的最大电压，亦称击穿电压）。
1．4．2、几种常用电容器的电容
（1）平行板电容器 若两金属板平行放置，距离d很小，两板的正对面积为S、两极板间充满相对介电常数为的电介质，即构成平行板电容器。
设平行板电容器带电量为Q、则两极板间电势差
故电容
（2）真空中半径为R的孤立导体球的电容
由公式可知，导体球的电势为：
因此孤立导体球的电容为
地球半径很大，电容很大，容纳电荷的本领极强。
（3）同轴圆柱形电容器
高H、半径的导体圆柱外，同轴地放置高也为H、内半径为
＞的导体筒，当H时，便构成一个同轴圆柱形电容器。如果-，则可将它近似处理为平行板电容器，由公式可得其电容为
（4）同心球形电容器
半径为的导体球（或球壳）和由半径为的导体球壳同心放置，便构成了同心球形电容器。
若同心球形电容器内、外球壳之间也充以介电常数为的电介质，内球壳带电量为Q，外球壳带 -Q电荷，则内、外球壳之间的电势差为



故电容
当时，同心球形电容器便成为孤立导体（孤立导分是指在该导体周围没有其他导体或带电体，或者这些物体都接地）球形电容器，设，则其电容为
若孤立导体外无电介质，则，即。
例8、如图2-4-1所示，两个竖直放置 的同轴导体薄圆筒，内筒半径为R，两筒间距为d，筒高为L，内筒通过一个未知电容的电容器与电动势U足够大的直流电源的
正极连接，外筒与该电源的负极相连。在两筒之间有相距为h的A、B两点，其连线AB与竖直的筒中央轴平行。在A点有一质量为m、电量为-Q的带电粒子，它以的初速率运动，且方向垂直于由A点和筒中央轴构成的平面。为了使此带电粒子能够经过B点，试求所有可供选择的和值。
分析： 带电粒子从A点射出后，受到重力和筒间电场力的作用。重力竖直向下，使带电粒子在竖直方向作自由落体运动；电场力的方向在垂直筒中央轴的平面内，沿径向指向中央轴。为了使带电粒子能通过B点，要求它在垂直中央轴的平面内以R为半径作匀速圆周运动，这就要求电场力能提供适当的向心力，即对有一定要求。为了使带电粒子经过B点，还要求它从A点沿AB到达B点的时间刚好等于带电粒子作圆周运动所需时间的整数倍，亦即对圆周运动的速度有一定的要求。
解： 带电粒子重力作用下，从A点自由下落至B点所需的时间为
带电粒子在垂直于筒中央轴的平面内，作匀速圆周运动一圈所需的时间为
为了使带电粒子经过B点，要求
……
由以上三式，得
……
带电粒子作匀速圆周运动（速率，半径R）所需的向心力由电场力提供，电场力为
此电场力由内外筒之间的电场提供。因，近似认为内外筒构成平行板电容器，其间是大小相同的径向电场E，设内外筒电势差为，则带电粒子所受电场力应为
由以上两式，得
代入，得
……
因为内、外筒电容器与串联，故有
解得
由公式可知，同轴圆柱形电容器电容
代入，得
……
这就是全部可供选择的。
1．4．3、 电容器的连接
电容器的性能有两个指标；电容和耐压值。在实际应用时，当这两个指标不能满足要求时，就要将电容器串联或并联使用。
（1）串联
几个电容器，前一个的负极和后一个的正极相连，这种连接方式称为电容器的串联。充电后各电容器的电量相同，即…=；第一个电容器的正极与第n个电容器的负极之间的电U为各电容器电压之和，即，因此电容器串联可以增大耐压值。用一个电量为Q，电压为U的等效电容来代替上述n个串联的电容器，则电容为
（2）并联
把n个电容器的正极连在一起，负极连在一起，这种连接方式称为电容器的并联。充电后正极总电量Q等于各电容器正极电量之和，即；正极和负极之间的电压U等于各电容器的电压，即。
用一个电量为Q、电压为U的等效电容器代替上述几个并联的电容器，则电容为
?
§1、5 静电场的能量
1．5．1、 带电导体的能量
一带电体的电量为Q，电容为C，则其电势。我们不妨设想带电体上的电量Q，是一些分散在无限远处的电荷，在外力作用下一点点搬到带电体上的，因此就搬运过程中，外力克服静电场力作的功，就是带电体的电能。该导体的电势与其所带电量之间的函数关系如图1-5-1所示，斜率为。设每次都搬运极少量的电荷，此过程可认为导体上的电势不变，设为，该过程中搬运电荷所做的功为，即图中一狭条矩形的面积（图中斜线所示）因此整个过程中，带电导体储存的能量为
其数值正好等于图线下的许多小狭条面积之和，若取得尽可能小，则数值就趋向于图线下三角形的面积。
上述带电导体的静电能公式也可推广到带电的电容器，因为电容器两板间的电势差与极板上所带电量的关系也是线性的。
1．5．2、 电场的能量
由公式，似乎可以认为能量与带电体的电量有关，能量是集中在电荷上的。其实，前面只是根据功能关系求得带电导体的静电能，并未涉及能量的分布问题。由于在静电场范围内，电荷与电场总是联系在一起的，因此电能究竟与电荷还是与电场联系在一起，尚无法确定。以后学习了麦克斯韦的电磁场理论可知，电场可以脱离电荷而单独存在，并以有限的速度在空间传播，形成电磁波，而电磁波携带能量早已被实践所证实。因此我们说，电场是电能的携带者，电能是电场的能量。下面以平行板电容器为例，用电场强度表示能量公式。
单位体积的电场能量称为电场的能量密度，用来表示
上式是一个普遍适用的表达式，只要空间某点的电场强度已知，该处的能量密度即可求出，而整个电场区的电场能量可以通过对体积求和来求得。
1．5．3、电容器的充电
如图1-5-2所示，一电动势为U的电源对一电容为C的电容器充电，充电完毕后，电容器所带电量
电容器所带能量
而电源在对电容器充电过程中，所提供的能量为
也就是说，在充电过程中，电容器仅得到了电源提供的一半能量，另一半能量在导线和电源内阻上转化为内能，以及以电磁波的形式发射出去。
例7、用N节电动势为的电池对某个电容器充电，头一次用N节电池串联后对电容器充电；第二次先用一节电池对电容器充电，再用两节串联再充一次，再用三节串联再充……直到用N节串联充电，哪一种方案消耗电能多？
解： 第一次电源提供的能量，电容器储能，
消耗的能量 。
第二次充电时，电容器上电量从0→Q1→Q2→Q3……而

电源每次提供能量为

…………
消耗的能量
显然，前一种方案消耗能量多，实际上，头一种方案电源搬运电量Q全部是在电势差条件下进行的。第二种方案中，只有最后一次搬运电量是在电势差下进行的，其余是在小于下进行的。
电磁感应
§3。1 基本磁现象
由于自然界中有磁石()存在，人类很早以前就开始了对磁现象的研究。 人们把磁石能吸引铁`钴`镍等物质的性质称为磁性。 条形磁铁或磁针总是两端吸引铁屑的能力最强，我们把这吸引铁屑能力最强的区域称之为磁极。 将一条形磁铁悬挂起来，则两极总是分别指向南北方向，指北的一端称北极(N表示)；指南的一端称南极(S表示)。 磁极之间有相互作用力，同性磁极互相排斥，异性磁极互相吸引。 磁针静止时沿南北方向取向说明地球是一个大磁体，它的N极位于地理南极附近，S极位于地理北极附近。
1820年，丹麦科学家奥斯特发现了电流的磁效应。 第一个揭示了磁与电存在着联系。 长直通电导线能给磁针作用；通电长直螺线管与条形磁铁作用时就如同条形磁铁一般；两根平行通电直导线之间的相互作用……，所有这些都启发我们一个问题:磁铁和电流是否在本源上一致? 1822年，法国科学家安培提出了组成磁铁的最小单元就是环形电流，这些分子环流定向排列，在宏观上就会显示出N、S极的分子环流假说。近代物理指出，正是电子的围绕原子核运动以及它本身的自旋运动形成了“分子电流”，这就是物质磁性的基本来源。
一切磁现象的根源是电流，以下我们只研究电流的磁现象。
§3。2 磁感应强度
3．2．1、磁感应强度、毕奥萨伐尔定律
将一个长L，I的电流元放在磁场中某一点，电流元受到的作用力为F。 当电流元在某一方位时，这个力最大，这个最大的力和IL的比值，叫做该点的磁感应强度。 将一个能自由转动的小磁针放在该点，小磁针静止时N极所指的方向，被规定为该点磁感应强度的方向。 
真空中，当产生磁场的载流回路确定后，那空间的磁场就确定了，空间各点的也就确定了。 根据载流回路而求出空间各点的要运用一个称为毕奥—萨伐尔定律的实验定律。毕—萨定律告诉我们：一个电流元IL(如图3-2-1)在相对电流元的位置矢量为的P点所产生的磁场的磁感强度大小为，为顺着电流IL的方向与方向的夹角，的方向可用右手螺旋法则确定，即伸出右手，先把四指放在IL的方向上，顺着小于的角转向方向时大拇指方向即为的方向。式中K为一常数，K=韦伯/安培米。载流回路是由许多个IL组成的，求出每个IL在P点的后矢量求和，就得到了整个载流回路在P点的。
如果令，特斯拉米安，那么又可写为
称为真空的磁导率。
下面我们运用毕——萨定律，来求一个半径为R，载电流为I的圆电流轴线上，距圆心O为的一点的磁感应强度
在圆环上选一I，它在P点产生的磁感应强度，其方向垂直于I和所确定的平面，将分解到沿OP方向和垂直于OP方向，环上所有电流元在P点产生的的和为零，
B=（线性一元叠加）
在圆心处，，
3．2．2、 由毕——萨定律可以求出的几个载流回路产生的磁场的磁感应强度
(1)无限长载流直导线
为了形象直观地描述磁场，引进了与电感线相似的磁感线。
长直通电导线周围的磁感线如图3-2-3所示。如果导线中通过的电流强度为I，在理论上和实验中都可证明，在真空中离导线距离为r处的磁感强度
或
式中称为真空中的磁导率，大小为。
(2)无限长圆柱体
无限长载流直导线 r为所求点到直导线的垂直距离。半径为R，均匀载有电流，其电流密度为j的无限长圆柱体
当r＜R，即圆柱体内
当r＞R，即圆柱体外
(3)长直通电螺线管内磁场
长直导电螺线管内磁场如图图3-2-4所示可认为是匀强磁场，场强大小可近似用无限长螺线管内B的大小表示
n为螺线管单位长度的匝数
(4)螺绕环的磁场与长直通电螺线管内磁场的磁场相同。
3．2．3、磁感应线和磁通量
为了形象地描绘磁场的分布，在磁场中引入磁感应线，亦即磁力线。磁力线应满足以下两点：
第一，磁感应线上任一点的切线方向为该点磁感应强度的方向；第二，通过垂直于的单位面积上的磁感应线的条数应等于该处磁感应强度的大小。
图3-2-5的(a)和(b)分别给出了无限长载流导线和圆电流的磁场的磁力线。从图中可看到：磁力线是无头无尾的闭合线，与闭合电路互相套合。磁感线是一簇闭合曲线，而静电场的电感线是一簇不闭合的曲线(或者是从正电荷到负电荷，或者是从正电荷到无穷远处，从无穷远处到负电荷)。这是一个十分重要的区别，凡是感线为闭合曲线的场都不可能是保守场。
磁感强度是一个矢量，如果两个电流都对某处的磁场有贡献，就要用矢量合成的方法。如果有a、b两根长直通电导线垂直于纸面相距r放置，电流的大小，(图3-2-6)那么哪些位置的磁感强度为零呢？在a、b连线以外的位置上，两根导线上电流所产生的磁感强度和的方向都不在一直线 上，不可能互相抵消；在a、b连线上，a左边或b右边的位置上，和的方向是相同的，也不可能互相抵消；因此只有在a、b中间的连线上，和才有可能互相抵消，设离a距离为的P处合磁感应强度为零(图3-2-6)
(矢量式)=
，
通过一给定曲面的总磁力线数称为通过该曲面的磁通量，磁通量的单位是韦伯，1韦伯=1特斯拉1米。图3-2-7(a)中，通过匀磁场中与磁力线垂直的平面的磁通量为；而通过与磁力线斜交的S面的磁通量为：
(角即是两个平面S和S的夹角，也是S面的法线与的夹角)。
而在(b)中，磁场和曲面都是任意的，要求出通过S面的磁通量应把通过S面上每一小面元的磁通量求出后求和，即：
3．2．4、磁场中的高斯定理
考虑到磁力线是无头无尾的封闭曲线，对磁场中任一封闭曲面来说，有多少根磁力线穿入，必有多少根穿出，即通过磁场中任一封闭曲面的磁通量为零。这就是磁场的高斯定理，它表明了磁场一个重要性质，即磁场是无源场，自然界中没有单独的N极或S极存在。
3．2．5、典型例题
例1：图3-2-8所示，两互相靠近且垂直的长直导线，分别通有电流强度和的电流，试确定磁场为零的区域。
分析：建立图示直角坐标系，用安培定则判断出两电流形成的磁场方向后，可以看出在Ⅰ、Ⅲ两象限内，两磁场方向相反，因此合磁场为零区域只能出现在这两个象限内。
解：设P(x、y)点合磁感强度为零，即有得 这就是过原点的直线方程，其斜率为I/I。
例2：如图3-2-9所示，将均匀细导线做成的圆环上任意两点A和B与固定电源连接起来，计算由环上电流引起的环中心的磁感强度。
分析：磁感强度B可以看成圆环上各部分(将圆环视为多个很小长度部分的累加)的贡献之和，因为对称性，圆环上各部分电流在圆心处磁场是相同或相反，可简化为代数加减。
解：设A、B两点之间电压为U，导线单位长度电阻，如图3-2-10所示，则二段圆环电流

磁感强度B可以是圆环每小段部分磁场的叠加，在圆心处，可表达为，所以：
因 故，即两部分在圆心处产生磁场的磁感强度大小相等，但磁场的方向正好相反，因此环心处的磁感强度等于零。
?
§3。3 磁场对载流导体的作用
3．3．1、安培力
一段通电直导线置于匀磁场中，通电导线长L，电流强度为I，磁场的磁感应强度为B，电流I和磁感强度B间的夹角为，那么该导线受到的安培力为电流方向与磁场方向平行时，，或，F=0，电流方向与磁场方向垂直时，，安培力最大，F=BIL。
安培力方向由左手定则判断，它一定垂直于B、L所决定的平面。
当一段导电导线是任意弯曲的曲线时，如图3-3-1所示可以用连接导线两端的直线段的长度作为弯曲导线的等效长度，那么弯曲导线缩手的安培力为
3．3．2、安培的定义
如图3-3-2所示，两相距为a的平行长直导线分别载有电流和。
载流导线1在导线2处所产生的磁感应强度为 ，方向如图示。
导线2上长为的线段所受的安培力为：
=
其方向在导线1、2所决定的平面内且垂直指向导线1，导线2单位长度上所受的力
同理可证，导线?上单位长度导线所受力也为。方向垂直指向2，两条导线间是吸引力。也可证明，若两导线内电流方向相反，则为排斥力。
国际单位制中，电流强度的单位安培规定为基本单位。安培的定义规定为：放在真空中的两条无限长直平行导线，通有相等的稳恒电流，当两导线相距1米，每一导线每米长度上受力为2牛顿时，各导线上的电流的电流强度为1安培。
3．3．3、安培力矩
如图3-3-3所示，设在磁感应强度为B的均匀磁场中，有一刚性长方形平面载流线图，边长分别为L和L，电流强度为I，线框平面的法线与之间的夹角为，则各边受力情况如下：
方向指向读者
方向背向读者
方向向下
方向向上
和大小相等，方向相反且在一条直线上，互相抵消。
和大小相等，指向相反，但力作用线不在同一直线上，形成一力偶，力臂从图3－3－3中可看出为
故作用在线圈上的力矩为：

而为线圈面积S，故
我们称面积很小的载流线圈为磁偶极子，用磁偶极矩来描绘它。其磁偶极矩的大小为平面线圈的面积与所载电流的电流强度之乘积，即，其方向满足右手螺旋法则，即伸出右手，四指绕电流流动方向旋转，大拇指所指方向即为磁偶极矩的方向，如图3-3-4中的方向，则角即为磁偶极矩与磁感应强度的正方向的夹角。这样，线圈所受力矩可表为
我们从矩形线圈推出的公式对置于均匀磁场中的任意形状的平面线圈都适合。
典型例题
例1． 距地面h高处1水平放置距离为L的两条光滑金属导轨，跟导轨正交的水平方向的线路上依次有电动势为的电池，电容为C的电容器及质量为m的金属杆，如图3-3-5，单刀双掷开关S先接触头1，再扳过接触头2，由于空间有竖直向下的强度为B的匀强磁场，使得金属杆水平向右飞出做平抛运动。测得其水平射程为s，问电容器最终的带电量是多少？
分析：开关S接1，电源向电容器充电，电量。S扳向2，电容器通过金属杆放电，电流通过金属杆，金属杆受磁场力向右，金属杆右边的导轨极短，通电时间极短，电流并非恒定，力也就不是恒力。因此不可能精确计算每个时刻力产生的效果，只能关心和计算该段短时间变力冲量的效果，令金属杆离开导轨瞬间具有了水平向右的动量。根据冲量公式，跟安培力的冲量相联系的是时间内流经导体的电量。由平抛的高度与射程可依据动量定理求出，电容器最终带电量可求。
解：先由电池向电容器充电，充得电量。之后电容器通过金属杆放电，放电电流是变化电流，安培力也是变力。根据动量定理：
其中 =s/t，h=gt
综合得
电容器最终带电量

点评：根据动量定理来研究磁场力冲量产生的效果，实际上就是电量和导体动量变化的关系，这是磁场中一种重要的问题类型。
例2 图3-3-6中，无限长竖直向上的导线中通有恒定电流，已知由产生磁场的公式是，k为恒量，r是场点到导线的距离。边长为2L的正方形线圈轴线与导线平行。某时刻线圈的ab边与导线相距2L。已知线圈中通有电流。求此时刻线圈所受的磁场力矩。
分析：画俯视图如图3-3-7所示，先根据右手螺旋法则确定和的方向，再根据左手定则判断ab边受力和cd边受力的方向，然后求力矩。
解：根据右手螺旋法则和左手定则确定和、和的方向，如图3-3-7所示。
，

对轴产生的力矩
对轴产生的力矩
两个力矩俯视都是逆时针同方向的，所以磁场对线圈产生的力矩
点评：安培力最重要的应用就是磁场力矩。这是电动机的原理，也是磁电式电流表的构造原理。一方面要强调三维模型简化为二维平面模型，另一方面则要强调受力边的受力方向的正确判断，力臂的确定，力矩的计算。本题综合运用多个知识点解决问题的能力层次是较高的，我们应努力摸索和积累这方面的经验。
?
§3。4 磁场对运动电荷的作用
3．4．1、洛伦兹力
载流导线所受的安培力，我们可看为是磁场作用给运动电荷即自由电子的力，经自由电子与导体晶格的碰撞而传递给导线的。
根据安培定律，而电流强度与运动电荷有关系，角既是电流元与B的夹角，也可视为带电粒子的速度与之间的夹角，长导线中有粒子数，则每个电子受到的力即洛伦兹力为
洛伦兹力总是与粒子速度垂直，因此洛伦兹力不作功，不能改变运动电荷速度的大小，只能改变速度的方向，使路径发生弯曲。
洛伦兹力的方向从图3-4-1可以看出，它一定与磁场(B)的方向垂直，也与粒子运动()方向垂直，即与、B所在的平面垂直，具体方向可用左手定则判定。但应注意，这里所说的粒子运动方向是指正电荷运动的方向，它恰与负电荷沿相反方向运动等效。
3．4．2、带电粒子在匀强磁场中的运动规律
带电粒子在匀强磁场中的运动规律与粒子的初始状态有关具体如下：
如果带电粒子原来静止，它即使在磁场中也不会受洛伦磁力的作用，因而保持静止。
如果带电粒子运动的方向恰与磁场方向在一条直线上，该粒子仍不受洛伦磁力的作用，粒子就以这个速度在磁场中做匀速直线运动。
带电粒子速度方向与磁场方向垂直，带电粒子在垂直于磁场方向的平面内以入射速度作匀速圆周运动。带电粒子在匀强磁场中作匀速圆周运动的四个基本公式。
(1)向心力公式：
(2)轨道半径公式：
(3)周期、频率和角频率公式，即：
，，
(4) 动能公式：
如图3-4-2所示，在洛伦兹力作用下，一个作匀速圆周运动的粒子，不论沿顺时针方向运动还是沿逆时针方向运动，从A点到B点，均具有下述特点：
(1)轨道圆心(O)总是位于A、B两点洛伦兹力(f)的交点上或AB弦的中垂线与任一个f的交点上。
(2)粒子的速度偏向角等于回旋角，并等于AB弦与切线的夹角(弦切角)的两倍，即。
磁场中带电粒子运动的方向一般是任意的，但任何一个带电粒子运动的速度()都可以在垂直于磁场方向和平行于磁场方向进行分解，得到和两个分速度。根据运动的独立性可知，这样的带电粒子一方面以在磁场方向上作匀速运动，一方面又在垂直于磁场的方向上作速率为的匀速圆周运动。实际上粒子作螺旋线运动(如图3-4-3)，这种螺旋线运动的周期和螺距大小读者自己分析并不难解决。其螺旋运动的周期，其运动规律：
螺旋运动回旋半径：
螺旋运动螺距：
3．4．3、霍尔效应
将一载流导体放在磁场中，由于洛伦兹力的作用，会使带电粒子(或别的载流子)发生横向偏转，在磁场和电流二者垂直的方向上出现横向电势差，这一现象称为霍尔效应。
如图3-4-4所示，电流I在导体中流动，设导体横截面高h、宽为d匀强磁场方向垂直与导线前、后两表面向外，磁感强度为B，导体内自由电子密度为n，定向移动速度
由于洛伦兹力作用，自由电子向上表面聚集，下表面留下正离子，结果上下表面间形成电场，存在电势差U，这个电场对电子的作用力方向向下，大小为
当F与洛伦磁力f相平衡时，上、下表面电荷达到稳定，则有
如果导电的载流子是正电荷，则上表面聚集正电荷，下表面为负电势，电势差正、负也正好相反。
下面来分析霍尔电势差，求出霍尔系数。
在图3-4-5中，设大块导体的长和宽分别为L和d，单位体积自由电荷密度为n，电荷定向移动速率为，则电流。
假定形成电流的电荷是正电荷，其定向移动方向就是电流方向。根据左手定则，正电荷向上积聚，下表面附近缺少正电荷则呈现负电荷积聚，上正下负电压为，正电荷受到跟磁场力反向的电场力的作用。
电场对正电荷向上的偏移积聚起阻碍作用，当最后达到平衡时，可得。可见，理论推导的结果跟实验结果完全一致，系数。
既然k跟n有关，n表征电荷浓度，那么通过实验测定k值可以确定导体或半导体的电荷浓度n，半导体的n值比金属导体小得多，所以k值也大得多。此外根据左手定则还可知，即使电流I就是图3-4-6中的流向，如果参与流动的是正电荷，那么电压就是上正下负；如果参与定向移动的是自由电子，那么电压就是上负下正了。霍尔电势的高低跟半导体是p型的还是n型的有如此的关系：上正下负的是p型半导体，定向载流子是带正电的空穴：上负下正的是n型半导体，如果k值小得多就是金属导体，定向载流子是自由电子。
3．4．4、磁聚焦
运动电荷在磁场中的螺旋运动被应用于“磁聚焦技术”。
如图3-4-7，电子束经过a、b板上恒定电场加速后，进入c、d极板之间电场，c、d板上加交变电压，所以飞出c、d板后粒子速度方向不同，从A孔穿入螺线管磁场中，由于大小差不多，且与B夹角很小，则
由于速度分量不同，在磁场中它们将沿不同半径的螺旋线运动。但由于它们速度分量近似相等，经过后又相聚于点，这与光束经透镜后聚焦的现象有些类似，所以叫做磁聚焦现象。磁聚焦原理被广泛地应用于电真空器件如电子显微镜。
3．4．5、复合场中离子的运动
1．电场和磁场区域独立
磁场与电场不同，磁场中，洛伦磁力对运动电荷不做功，只改变带电粒子速度方向，所以在匀强磁场中带电粒子的运动主要表现为：匀速圆周运动、螺旋运动、匀速直线运动。而电场中，电荷受到电场力作用，电场力可能对电荷做功，因而改变速度大小和方向，但电场是保守场，电场力做功与运动路径无关。处理独立的电场和磁场中运动电荷问题，是分开独立处理。
例：如图3-3-8所示，在平面内，y＞O区域有匀强电场，方向沿-y方向，大小为E，y＜O区域有匀强磁场，方向垂直纸面向里，大小为B，一带电+q、质量为m的粒子从y轴上一点P由静止释放，要求粒子能经过x轴上Q点，Q坐标为(L，O)，试求粒子最初释放点P的坐标。
分析：解决上述问题关键是明确带电粒子的受力和运动特点。从y轴上释放后，只受电场力加速做直线运动，从O点射入磁场，然后做匀速圆周运动，半圈后可能恰好击中Q点，也可能返回电场中，再减速、加速做直线运动，然后又返回磁场中，再经半圆有可能击中Q点，……。那么击中Q点应满足的条件。
2．空间区域同时存在电场和磁场
（1）? 电场和磁场正交
如图3-4-9所示，空间存在着正交的电场和磁场区域，电场平行于纸面平面向下，大小为E，磁场垂直于纸面向内，磁感强度为B，一带电粒子以初速进入磁场，，，设粒子电量+q，则受力：洛=方向向上，F电=qE方向向下。若满足：
=qE
=E/B
则带电粒子将受平衡力作用做匀速直线运动，这是一个速度选择器模型。
若粒子进入正交电磁场速度，则可将分解为，粒子的运动可看成是与两个运动的合运动，因而粒子受到的洛伦兹力可看成是与的合力，而与电场力qE平衡，粒子在电场中所受合力为，结果粒子的运动是以的匀速直线运动和以速度所做匀速圆周运动的合运动。
例：如图3-4-10正交电磁场中，质量m、带电量+q粒子由一点P静止释放，分析它的运动。
分析：粒子初速为零释放，它的运动轨迹是如图3-4-10所示的周期性的曲线。初速为零，亦可看成是向右的与向左-两个运动的合运动，其中大小为：=E/B
所以+q粒子可看成是向右匀速直线运动和逆时针的匀速圆周运动的合运动。电场方向上向下最大位移
一个周期向右移动距离L即PP之距为
代入，得：
最低点Q点速度
（2）? 电场和磁场平行
如图3-4-11所示的空间区域有相互平行的电场和磁场E、B一带电+q粒子以初速射入场区(或B)。则带电粒子在磁场力作用下将做圆周运动，电场力作用下向上做加速运动，由于向上运动速度分量始终与B平行，故粒子受洛伦磁力大小恒为，结果粒子运动是垂直于E(或B)平面的半径R=m/qB的匀速圆周运动和沿E方向匀加速直线运动的合运动，即一个螺距逐渐增大的螺旋运动。
（3）? 电场力、洛伦磁力都与方向垂直，粒子做匀速圆周运动。
例如电子绕原子核做匀速圆周运动，电子质量m，电量为e，现在垂直轨道平面方向加一匀强磁场，磁感强度大小为B，而电子轨道半径不变，已知电场力3倍与洛伦磁力，试确定电子的角速度。
在这里电子绕核旋转，电场力、洛伦磁力提供运动所需向心力，即
电+洛=
而f洛可能指向圆心，也可能沿半径向外的，因而可能是
或
典型例题
例1．在如图3-4-12所示的直角坐标系中，坐标原点O固定电量为Q的正点电荷，另有指向y轴正方向(竖直向上方向)，磁感应强度大小为B的匀强磁场，因而另一个质量为m、电量力为q的正点电荷微粒恰好能以y轴上的点为圆心作匀速圆周运动，其轨道平面(水平面)与平面平行，角速度为，试求圆心的坐标值。
分析：带电微粒作匀速圆周运动，可以确定在只有洛伦磁力和库仑力的情况下除非与O不重合，必须要考虑第三个力即重力。只有这样，才能使三者的合力保证它绕在水平面内作匀速圆周运动。
解：设带电微粒作匀速圆周运动半径为R，圆心的纵坐标为y，圆周上一点与坐标原点的连线和y轴夹角为，那么有
带电粒子受力如图3-4-13所示，列出动力学方程为
mg=F电cosθ (1)
f洛-F电 (2)
f洛= (3)
将(2)式变换得
f洛-F电 (4)
将(3)代入(4)，且(1)÷(4)得
消去R得
例2．如图3-4-14所示，被1000V的电势差加速的电子从电子枪发射出来，沿直线方向运动，要求电子击中在方向、距离枪口5cm的靶M，对以下两种情形求出所用的均匀磁场的磁感应强度B．
（1）磁场垂直于由直线与点M所确定的平面。
（2）磁场平行于TM。
解： （1）从几何考虑得出电子的圆轨道的半径为(如图3-4-15)
按能量守恒定律，电荷Q通过电势差U后的速度v为
即
作用在电荷Q上的洛伦磁力为
这个力等于向心力
故所需的磁感应强度为
用上面的半径和速度值，得到

由于，，所以 B=0.0037T
（2）在磁场施加的力与速度垂直，所以均匀恒定磁场只改变电子速度的方向，不改变速度的大小。
我们把电子枪发射的电子速度分解成两个直线分量：沿磁场B方向的和垂直磁场的，因为在磁场的方向上，磁场对它没有作用力(图3-4-16)。
电子经过d/时间后到达目标M。由于磁场B和垂直的速度分量，电子在圆轨道上运动，由
得到圆半径为
电子在目标M的方向上也具有速度，结果是电子绕B方向作螺旋线运动。电在在d/时间内，在绕了k圈后击中目标。K是一个整数。圆的周长为

由于绕圆周运动的速度是，故绕一周的时间是
这个值乘上整数k，应等于 d/
因此，所需的磁感应强度为
k=1时，电子转一圈后击中目标：k=2时，电子转两圈后击中目标，等等。只要角度相同，磁场方向相反与否，无关紧要。
用给出的数据代入，得 B=k×0.0067T
例3．一根边长为a、b、c(a＞＞b＞＞c)的矩形截面长棒，如图3-4-17所示，由半导体锑化铟制成，棒中有平行于a边的电流I通过，该棒放在垂直于c边向外的磁场B中，电流I所产生的磁场忽略不计。该电流的载流子为电子，在只有电场存在时，电子在半导体中的平均速度，其中为迁移率。
（1）? 确定棒中所产生上述电流的总电场的大小和方向。
（2）? 计算夹c边的两表面上相对两点之间的电势差。
（3）? 如果电流和磁场都是交变的，且分别为，)，求(2)中电势差的直流分量的表达式。
已知数据：电子迁移率，电子密度，I=1. 0A，B=0.1T，b=1.0cm，c=1.0mm，e=1.6×10-19C
分析： 这是一个有关霍尔效应的问题，沿电流方向，导体内存在电场，又因为霍尔效应，使得电子偏转，在垂直电流方向产生电场，两侧面间有电势差的存在
解： (1)因为
所以电场沿方向分量
沿c方向的分量
总电场大小：
电场方向与边夹角，=
(2) 上、下两表面电势差
(3)加上交变电流和交变磁场后，有前面讨论的上、下表面电势差表达式，可得：
=
因此的直流分量为 直=
例4．如图3-4-18所示，空间有互相正交的匀强电场E和匀强磁场B，E沿+y方向，B沿+z方向，一个带正电+q、质量为m的粒子(设重力可以忽略)，从坐标圆点O开始无初速出发，求粒子坐标和时间的函数关系，以及粒子的运动轨迹。
分析：正离子以O点起无初速出发，受恒定电场力作用沿+y方向运动，因为速度v的大小、方向都改变，洛伦兹力仅在xOy平面上起作用，粒子轨迹一定不会离开xOy平面且一定以O为起点。既然粒子仅受的两个力中一个是恒力一个是变力，作为解题思路，利用独立性与叠加原理，我们设想把洛伦兹力分解为两个分力，使一个分力跟恒电场力抵消，就把这个实际受力简化为只受一个洛伦兹力分力的问题。注意此处不是场的分解和抵消，而是通过先分解速度达到对力进行分解和叠加。
我们都知道，符合一定大小要求的彼此正交的匀强复合电磁场能起速度选择器作用。受其原理启发，设想正离子从O点起(此处)就有一个沿x轴正方向、大小为的始终不变的速度，当然在O点同时应有一个沿-x方向的大小也是的速度，保证在O点，则，沿-y方向，qE沿+y方向，彼此抵消，可写成。因任一时刻，所以，或改写成：。始终的三个速度和都在xOy平面上，其物理意义是：正离子在复合场中受的两个真实的力()和F(E)的矢量和，可以用一个洛伦磁力分力来代替，这样做的一个先决条件是把正离子运动看成以下两个分运动的合成：①沿+x方向的=E/B的匀速直线运动；②在xOy平面上的一个匀速圆周运动，其理由是：是平面力，轨迹又是平面的不是三维空间的，所以必与垂直，在O点就是-，之后不对离子作功，大小不变，充当向心力。这个圆周运动特征量是：，，。
解：t=0时刻，正离子位于O点，此时起离子具有两个速度：一是速度方向始终不变、大小为=E/B的速度。由这个速度引起的洛伦磁力跟电场力抵消。另一个速度是在O点时沿-x方向的大小为E/B的速度，该速度引起的洛伦磁力指向(0，+)点，这点就是t=0时的圆心。之后该圆心以速率沿平行于x轴正向的方向无滑动开始平动，正离子是该圆周上的一个点，且t=0是恰好就是该圆与x轴的切点即坐标原点，此后，正离子相对圆心以角速度顺时针绕行。在xOy平面上，粒子的轨迹被称为旋轮线，其坐标值随时间的变化为参数方程：
z=0 (1)
(2)
(3)
有一定数学能力的人不妨尝试把参数t消去得出y与x的关系式，用来表示其轨迹的方法。
点评：设想一个轮子沿地面做无滑动的滚动，轮子边缘用红颜料涂上色，观察这个边缘所得的运动轨迹就是旋轮线。
§3.5 　应用
3．5．1、质谱仪
密粒根油滴实验可测定带电粒子的电量，而质谱仪能测定带电粒子荷质比q/m，两者结合可测定带电粒子质量。如图3-5-1为质谱仪的原理图。
图中粒子源产生质量m、电量q的粒子，由于初始速度很小，可以看做是静止的。粒子经加速电压U后，速度为，由动能定理：
带电粒子进入磁感强度为B匀强磁场中，在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，粒子运动半圈后打在P点的照相底片上，测得，则半径，根据向心力公式
得
3．5．2、磁流体发电机
磁流体发电机是一种不依靠机械传动，而直接把热能转变为电能的装置。
如图3-5-2所示为磁流体发电机原理图。在距离为d的两平行金属板间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感强度为B。从左侧有高速运动的等离子体(含有相等数量正、负离子)射入其间，离子在洛伦磁力作用下发生偏转，正离子向上偏、负离子向下偏，结果M板带正电，N板带负电，使M、N板成为能提供正、负电荷的电源两极，随着电荷的聚集，两板间产生电场阻碍电荷偏转，最终稳定时，射入两板间离子所受洛伦磁力与电场力平衡
两板间场强，两板间电势差为
电键K断开时，此电势差即为磁流体发电机电动势，即：
当电键K闭合时，M、N板放电，对外做功，此时两板间电势差小于电动势。
3．5．3、回旋加速器
回旋加速器是利用带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动周期与速度无关的原理，实现对粒子反复加速的装置。如图3-5-3所示，回旋加速器核心部分是两个D型金属扁盒，两D型盒之间留有狭缝，在两D型盒之间加高频交变电压，于是狭缝间形成交变电场，由于电屏蔽，D型金属盒内电场几乎为零。D型盒置于真空容器中，整个装置又放在巨大电磁铁两极之间。磁场垂直于D型盒。狭缝中心处有粒子源，当发出带电粒子首先通过狭缝被加速，调节高频交变电压变化周期与粒子在D型盒中运动周期相等，使粒子每次通过狭缝时都被电场加速，经过反复加速，粒子速度越来越大，回旋半径也越来越大，趋近盒边缘时粒子加速达到最大速度引出，如图3-5-4．
粒子在磁场中回旋时有：
粒子速度最大时r=R，R为D型盒半径，所以粒子达最大速度为
最大动能
关于回旋加速器：回旋加速器的任务，是使某些微观带电粒子的速率被增加到很大，因而具有足够动能，成为可用于轰击各种靶元素的原子核甚至核内基本粒子的高能炮弹。
早期欧洲核子研究中心的质子同步加速器，造价2800万美元，轨道半径560英尺(1英尺=0.305m)=170.8m，最大磁场为1.4T，质子在其中绕行总路程为5×104英里(1英里=1.6093km)=80465km=2倍赤道周长后引出，最大能量达到2.8×1010eV，每次放出质子1011个。20世纪80年代末该加速器的效果已达到4×1011eV。世界上最大的加速器在美国加利福尼亚，直径几乎达3km，20世纪80年代末，其加速效果达到了1012eV。我国80年代后半期最大的加速器为5×1010eV，在四川省。
课本上说影响回旋加速器的加速能力的主要因素是相对论效应。其涵义是：在极高速运动中，微粒质量随速度增加而显著变大。相对论质量公式是：
是微粒静止质量，是运动质量，c是光速。当＜＜时，，但是当速度接近光速时，，就变得非常大。
事实上，在汤姆逊发现电子后不久，科学家就发现了许多种元素都能自发地放出射线(高速电子流)，但不同元素发射的粒子速率不一样，导致同是电子流，荷质比有差异，速率越大其荷质比越小。用实验测定的荷质比其实不是。而是。其中的一个实验结果见表3-1，再把实验测出的值由换算，所得的的数值确实很接近一个恒量。恰恰是回旋加速器的这一实验结果，最早证实了爱因斯坦相对论的正确。
实验测量的
换算后所得的
0.3173
1.661
1.752
0.3787
1.630
1.761
0.4281
1.590
1.760
0.5154
1.511
1.763
0.6870
1.283
1.767
加速器令粒子质量变大，根据，粒子回旋轨道半径会变大，同时因为周期，或者频率，使周期变大或频率变小，粒子在两个切开的半D形盒内的回旋运动就变的跟加速电压的震荡不同步，不合拍，不再保证粒子每经过一次狭缝就被加速一次。其次，质量越轻的粒子在能量未太高时速度就明显大，质量变大尤其显著，相对论效应对其继续加速的限制就越厉害。还有一个限制就是，根据粒子末能量表达式，，为D形盒的尺寸。比如要在1. 5T的磁场中令质子获得300eV能量(对应速度0.99998c)，需磁场的直径为130m。
上述两个原理上的限制，正在技术上得到逐步克服。措施也大致上有两方面：第一，因为，所以是一个恒量。采用适当的技术能控制加速电压振荡频率随粒子质量变大而成反比地减少，就能做到粒子回旋运动和加速电场同步合拍，这种加速器通常被称为同步加速器。第二，由于，当变大时适当加大磁场B值，可致半径的增大减慢，现代加速器的磁场磁极一般做成环形，就是为了达到这个目的。
典型例题
磁流体发电机的示意图如图3-5-5所示，横截面为矩形的管道长为，宽为，高为b，上、下两个侧面是绝缘体，相距为的前后两个侧面是电阻可以忽略不计的导体，此两导体侧面与一负载电阻R相连。整个管道放在一个匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向垂直于上、下侧面向上。现有电离气体(正、负带电粒子)持续稳定地流经管道，为了使问题简化，设横截面上各点流速相同。已知流速与电离气体所受摩擦阻力呈正比；且无论有无磁场时都维持管两端电离气体的压强差为ρ。设无磁场存在时电离气体的流速为，求有磁场存在时此磁流体发电机的电动势大小。已知电离气体的平均电阻率为ρ。
分析：由于气体流经管道过程中受摩擦和安培力作用，维持气体匀速运动，故必须使管两端存在压力差，以克服上述的阻力，因而本题即可以从力的平衡角度解决问题，也可以从能量守恒的角度来考虑。
解法一：从力平衡角度看，设有磁场存在时，电离气体的流速为。其产生的电动势为
闭合电路中电流 ，
为电源内阻，大小为代入得

管内气体所受安培力
摩擦阻力
稳定平衡时
无磁场时，摩擦阻力，
稳定平衡时
所以有： 
两式比：
解得，综合以上各式得
解法二：从能量观点看，无磁场时，外界压力的功率等于克服摩擦力的功率，即
有磁场时，外界压力的功率等于克服摩擦力的功率加上回路电功率
当气体稳定时，又有
，
代入上式得
同样可求得
?
第四讲 电磁感应
§4．1 电磁感应现象
4．1．1、电磁感应现象
1820年奥斯特发现电流产生磁场后，那磁场是否会产生电流这个逆问题引起人们极大的兴趣，人们做了许多实验，但直到1831年，英国物理学家法拉第才第一次发现了电磁感应现象，并总结出电磁感应定律。
当穿过闭合线圈的磁通量改变时，线圈中出现电流，这个现象称做电磁感应，电磁感应中出现的电流称之感应电流。
线圈中磁通的变化，从激发磁场的来源来看，可以是由永磁体引起的，也可是由电流激发的磁场引起。从磁通量变化的原因来看，可以是磁场不变，闭合线圈改变形状或在磁场中运动引起的，也可以是线圈不动，而磁场变化引起的。总之，大量实验证明：当一个闭合电路的磁通(不论由什么原因)发生变化时，都会出现感应电流。§4．2 法拉第电磁感应定律
楞次定律
4．2．1、法拉第电磁感应定律
当通过闭合线圈的磁通量变化时，线圈中有感应电流产生，而电流的产生必与某种电动势的存在相联系，这种由于磁通量变化而引起的电动势，称做感应电动势。感应电动势比感应电流更能反映电磁感应现象的本质。因为感应电流的大小随线圈的电阻而变，而感应电动势仅与磁通量的变化有关，与线圈电阻无关，特别是当线圈不闭合时，只要有磁通变化，线圈内就有感应电动势而此时线圈内却没有感应电流，这时我们还是认为发生了电磁感应现象。
精确的实验表明：闭合回路中的感应电动势ε与穿过回路的磁通量的变化率Δ/△t成正比。这个结论叫做法拉第电磁感应定律。即：
式中K是比例常数，取决于ε、、t的单位。在国际单位制中，的单位为韦伯，t的单位为秒，ε的单位是伏特，则K=1。
这个定律告诉我们，决定感应电动势大小的不是磁通量本身，而是随时间的变化率。在磁铁插在线圈内部不动时，通过线圈的磁通虽然很大，但并不随时间而变化，那仍然没有感应电动势。
这个定律是实验定律，它与库仑定律，毕奥——萨伐尔定律这两个实验定律一起，撑起了电磁理论的整座大厦。4．2．2、楞次定律
1834年楞次提出了判断感应电流方向的方法，而根据感应电流的方向可以说明感应电动势的方向。
具体分析电磁感应实验，可看到：闭合回路中感应电流的方向，总是使得它所激发的磁场阻止引起感应电流的磁通量的变化。这个结论就是楞次定律。
用楞次定律来判断感应电流的方向，首先判断穿过闭合回路的磁力线沿什么方向，它的磁通量发生什么变化(增加还是减少)，然后根据楞次定律来确定感应电流所激发的磁场沿何方向(与原磁场反向还是同向)；最后根据右手定则从感应电流产生的磁场方向来确定感应电流的方向。
法拉第定律确定了感应电动势的大小，而楞次定律确定了感应电动势的方向，若要把二者统一于一个数学表达式中，必须把磁通和感应电动势看成代数量，并对它的正负赋予确切的含义。
电动势和磁通量都是标量，它们的正负都是相对于某一标定方向而言的。动于电动势的正负，先标定回路的绕行方向，与此绕行方向相同的电动势为正，否则为负。磁通量是通过以回路为边界的面的磁力线的根数，其正负有赖于这个面的法线矢量方向的选取，若与的夹角为锐角，则为正：夹角为钝角，为负。但需要注意，回路绕行方向与方向的选定，并不是各自独立的任意确定，二者必须满足右手螺旋法则。如图4-2-1，伸出右手，大姆指与四指垂直，让四指弯曲代表选定的回路的绕行方向，则伸直的姆指就指向法线的方向。
对电动势和磁通量的方向做以上规定后，法拉第定律和楞次定律就统一于下式：
若在时间间隔△t内的增量为，那么当正随时间增大，或负的的绝对值随时间减小时，，则ε为负，ε的方向与标定的回路方向相反；反之，当正的随时间减小，或负的的绝对值随时间增加。
4．2．3、典型例题
例1.如图4-2-2所示，在水平桌面放着长方形线圈abcd，已知ab边长为，bc边长为，线圈总电阻为R，ab边正好指向正北方。现将线圈以南北连线为轴翻转180。，使ab边与cd边互换位置，在翻转的全过程中，测得通过导线的总电量为。然后维持ad边(东西方向)不动，将该线圈绕ad边转90。，使之竖直，测得正竖直过程中流过导线的总电量为。试求该处地磁场磁感强度B。
分析:由于地磁场存在，无论翻转或竖直，都会使通过回路的磁通量发生变化，产生感应电动势，引起感应电流，导致电量传输。值得注意的是，地磁场既有竖直分量，又有南北方向的分量，而且在南半球和北半球又有所不同，题目中未指明是在南半球或北班球，所以解题过程中应分别讨论。
解:(1)设在北半球，地磁场B可分解为竖见向下的和沿水平面由南指北的，如图4-2-3所示，其中B与水平方向夹角为θ。
当线圈翻转180o时，初末磁通分别为
由
可知：时间通过导体截面电量
。
所以在这一过程中有

竖直时，均有影响，即

于是解得：
当时，或。时，取“+”号。
当时，或。时，取“-”号。
(2)设在南半球，B同样可分解为竖直向上分量和水平面上由南指北分量，如图4-2-4所示。
同上，
竖直立起时
则有：
解得：
所以B大小
方向： 。
例2.如图4-2-5所示，AB是一根裸导线，单位长度的电阻为，一部分弯曲成半径为的圆圈，圆圈导线相交处导电接触良好。圆圈所在区域有与圆圈平面垂直的均匀磁场，磁感强度为B。导线一端B点固定，A端在沿BA方向的恒力F作用下向右缓慢移动，从而使圆圈缓慢缩小。设在圆圈缩小过程中始终保持圆的形状，设导体回路是柔软的，试求此圆圈从初始的半径到完全消失所需时间T。
分析:在恒力F拉动下，圆圈不断缩小，使其磁通量发生变化，产生感应电动势，由于交叉点处导线导电良好，所以圆圈形成闭合电路，产生感应电流。因圆圈缩小是缓慢的，F所作功全部变为感应电流产生的焦耳热，由此可寻找半径r随时间的变化规律。
解:设在恒力F作用下，A 端△t时间内向右移动微小量△x，则相应圆半径减小△r，则有：
在这瞬息△t时间内F的功等于回路电功
可认为是由于半径减小微小量而引起面积变化，有：
而回路电阻R为：
代入得：
显然与圆面积的变化成正比，所以当面积由变化至零时，经历时间T为

例3、如图4-2-6所示，在边长为a的等边三角形区域内有匀强磁场B，其方向垂直纸面向外。一个边长也为a的第边三角形导体框架ABC，在t=0时恰好与上述磁场区域的边界重合，尔后以周期T绕其中心组面内沿顺时针方向匀速运动，于是在框架ABC中产生感应电流。规定电流按A—B—C—A方向流动时电流强度取正值，反向流动时的取负值。设框架ABC的电阻为R，试求从t=0到时间内的平均电源强度和从t=0到时间内的平均电流强度。
分析:根据法拉第电磁感应定律，感应电动势与磁通量变化率成正比，即。由此，在一段时间内感应电动势的平均值为，其中是在时间内磁通量的变化。由，根据欧姆定律可确定回路中的平均电流强度，电流的方向由楞次定律确定。
解: 从t=0到的时间内，导体框架从图2-2-7中的虚线位置转到实线位置，所经时间为，磁通量减小了
。
故感应电动势的平均值为 。
由楞次定律，感应电流方向为A—B—C—A，故平均电流强度为正值，即
，。
感应电动势的平均值为。
细致分析可知，从t=0到过程中，磁通量减小，感应电流沿A—B—C—A方向，电流强度取正值；从到过程中，磁通量增加，感应电流沿A—B—C—A方向，电流强度取负值；故从t=0到过程中，平均电流强度为零。从到时间内，平均电流强度为。
从t=0到时间内，平均电流强度 。
§4．3 动生电磁感应
导体在磁场中做切割线运动，在导体两端产生感生电动势的现象叫动生电磁感应。
其一是不变，a不变，但电路的一部分切割磁力线运动使得回路面积改变，从而使得变；
其二是、S不变，但a变，即回路在磁场中转动，
使得回路所包围的面与的夹角改变，从而使得变。
产生原因：
动生电磁感应的产生是由于洛仑兹力的作用。导体ab在磁场B中做垂直于磁力线的运动，速度图4-3-1为v，导体长度为L。由于导体中所有自由电子也随着导体一起以v向右运动，因此受到洛仑兹力，这样就使导体的b端积累了负电荷，a端积累了正电荷，形成了感生电场(图4-3-1)。这种自由电子的定向移动一直要进行到洛仑兹力和感生电场的电场力相互平衡为止，即
，
。
4．3．1、导体平动切割
其中L是ab的长度，v是ab的速度。这里满足。
若v方向与磁场B方向存在夹角θ，如图4-3-1所示，则电动势为
如果切割磁场的导线并非直线，而是一段弯曲导线，如图4-3-3所示：则其电动势大小应等效于连在AB间直导线切割磁场时电动势的大小。即：
如图4-3-4所示，一根被弯成半径为R=10cm的半圆形导线，在磁感应强度B=1.5T的均匀磁场中以速度v=6m/s沿ac方向向右移动，磁场的方向垂直图面向里。
1、导线上a、b两点的电势差，指出哪一点电势高。
2、求导线上a、c两点的电势差。
解:
1、a、b两点的电势差
b点的电势高
2、a、c两点间的电势差为0。
4．3．2、导体转动切割
一般是来要用积分的方法才能求出整根导体上的动生电动势，但有些特殊情况还是可以用初等数学来解。比如图4-3-5所示的金属杆AB绕O轴在磁场中匀速转动，因为杆上各点的线速度是均匀变化的，所以可用平均速度来求电动势。OB之间的动生电动势
OA之间的动电动势
所以 。
此类问题也可这样分析
如图4-3-5所示，匀强磁场中一段导体棒AB垂直于磁场放置，当导体棒A点在垂直于磁场平面以角速度旋转时，AB中同样会产生电动势，确定其电动势大小，可假想存在一个ABC回路，在时间，AB转过，回路磁通量变化
由法拉第电磁感应定律
动生电动势可用来发电。例如，如图4-3-6所示，在匀强磁场B中，矩形线圈以角速度绕线圈的中央轴旋转，当线圈平面的法线方向n与磁感应强度B的夹角为时，线圈中的感应电动势为
式中S是线圈的面积。若线圈以作匀角速旋转，且t=0时，，
则有式中。
可见随时间简谐式的变化，这就是交流发电机的基本工作原理。
4．3．3、典型例题
例1. 如图4-3-7所示,OC为一绝缘杆，C端固定一金属细杆MN，已知MC=CN，MN=OC=R，∠MCO=60。，此结构整体可绕O点在纸面内沿顺时针方向以匀角速度转动，设磁感强度为B，方向垂直于纸面向里的匀强磁场存在，则M、N两点间的电势差UMN=？
分析:因MN棒上各点切割磁感线的速度各不相同，故直接用公式不甚方便，考虑到UOM与UON极易求到，所以想到对本题进行适当变换。
解:连OM、ON构成一个三角形OMN，在转动过程中，因三角形回路中磁通量不变，故有
，
且 ，
，
所以
说明求感应电动势时，经常会用到各种等效替换，如有效长度的等效替换，切割速度的等效替换及像本题中的线面变换(即将面分割成线、连线构成面)等。
例2.一边长为l的正方形线圈(线圈的横截面积为S，电阻率为ρ)，以匀速v通过均匀磁成45。夹角，如图4-3-8所示。磁场区域的宽为a，高为b。
(1)若bl，a＞l，问线圈通过均匀磁场B后释放多少焦耳热？
(2)如bl，a＜l，问线圈通过均匀磁场B后释放多少焦耳热？
分析:把速度v正交分解成v∥与v⊥(v∥平行于磁场上边界a，v⊥垂直于上边界a)，并注意到线圈的感应电动势等于各边电动势时代数和。
解: (1)当bl，a＞l时，放出的焦耳热为
(2)bl，a＜l时，放出的焦耳热为
例3.如图4-3-9(a)所示，有一匀强磁场，磁感应强度，在垂直于磁场的平面内有一金属棒PQ绕平行于磁场的O轴作逆时针转动。已知棒长L=0.06m，O轴与P端相距l/3。棒的转速n是2.0r/s。
1、求棒中的感应电动势。
2、P、Q两端中哪一端的电势高？为什么？
解: 1、设金属棒PQ在△t时间内绕O轴转过的角度为θ（图4-3-9(b)），则θ=2πn△t。
由扇面形面积公式可算出OQ段和OP段在△t时间内扫过的面积使：
由上列两式和可进一步算出OQ段和OP段在△t时间内切割的磁感应线和
根据法拉第电磁感应定律，可算出在OQ和OP段的感应电动势和的数值
根据右手定则可确定，的方向由Q指向O，的方向由P指向O，两者方向相反，因此，金属棒PQ中的感应电动势为
其方向由Q向P。
如图4-3-10所示的直角坐标中，有一绝缘圆锥体，半锥角为θ,轴线沿z轴方向，顶点在原点处。有一条长为l的细金属丝OP固定在圆锥体的侧面上，与圆锥体的一条母线重合，空间存在着沿正x方向的匀强磁场B。试讨论当圆锥体如图所示方向做角速度为ω的匀角速转动时，OP上感生电动势的情况
2、P端的电势高。因为如果有导线连接P，Q两端，则显然感应电动势将产生从P端经过导线流向Q端的电流。
例4、有的问题中杆的运动方向、杆的轴线方向都和B不垂直，杆上各点的速度又不同，处理起来就比较复杂一些，请看下题。
如图4-3-10所示的直角坐标中，有一绝缘圆锥体，半锥角为θ,轴线沿z轴方向，顶点在原点处。有一条长为l的细金属丝OP固定在圆锥体的侧面上，与圆锥体的一条母线重合，空间存在着沿正x方向的匀强磁场B。试讨论当圆锥体如图所示方向做角速度为ω的匀角速转动时，OP上感生电动势的情况。
解:当P点的x坐标为正时，P点的电势都高于O点的电势；当P点的x坐标为负时，P点的电势都低于O点的电势；当P点的y坐标为0，即OP在xOz平面时，OP上的感生电动势最大。此时OP在垂直于B方向上的有效长度为
,
P点的速度为
而O点的速度为零，所以OP上各点的平均速度为vp/2。因此此时OP上的感生电动势大小为
.
当P点运动到某一位置(图4-3-11)，
P点的x、y坐标都大于零，QP与x轴的
夹角为α时，OP在垂直于B方向上的有图3-2-11效长度为
β为OP在yPz平面上的投影OS与z轴的夹角。
S点绕O点运动的速度为
.
O点的速度始终为零，所以OP上各点在y方向上的平均速度为vs/2。因此此时OP上的感生电动势的大小为
.
据此，可以延伸一下
例5、在如图4-3-12所示的直角作标系中，有一塑料制成的半锥角为θ的圆锥体Oab。圆锥体的顶点在原点处，其轴线沿z轴方向。有一条长为l的细金属丝OP固定在圆锥体的侧面上，金属丝与圆锥体的一条母线重合。整个空间中存在着磁感强度为B的均匀磁场，磁场方向沿X轴正方向，当圆锥体绕其轴沿图示方向做角度为ω的匀角速转动时，
(1)OP经过何处时两端的电势相等？
(2)OP在何处时P端的电势高于O端？
(3)电势差的最大值是多少？
分析:本题的关键是如何处理磁感强度跟棒不垂直的问题。方法有二个：当金属丝OP经过XOZ平面时，设法求出极短时间内切割的磁感线数，即磁通量；或把B分解成跟OP垂直的分量和跟平OP行的分量B∥。
解法一：(1)当OP经过YOZ平面的瞬间，两端的电势相等。因为此时OP的运动方向和磁场方向平行(同向或反向)
(2)、只要OP处于YOZ平面的内侧，P点的电势总是高于O点。
(3)、当OP处于XOZ平面的右侧且运动方向和磁场方向垂直时，即通过XOZ平面的瞬间(如图4-3-13所示)的值最大。其值等于在此瞬间很短时间间隔内，OP切割的磁感线数除以，由几何投影可知，也等于内OP在YOZ平面内的投影切割的磁感线的数目。P点在YOZ平面上的投影为沿Y轴做圆频率为、振幅为Lsin的简谐运动，此简谐运动在Z轴附近时其速度为。因此OP的投影切割的面积为一小三角形()的面积，即
切割磁感线数即磁通量为
=B
根据法拉第电磁感应定律可知
=
方法二：如图4-3-14所示，把磁感强度B正交分解成垂直OP的分量和平行于OP的分量，即
∥=Bsin
当金属丝OP在匀强磁场中绕Z轴转动时，切割磁感线产生的电动势为E=Lv
式中v的为金属丝OP中点的线速度，v=。代入上式得
E=Bcos=
由此得电势差
=
解法三：设想OP是闭合线框OO的一条边。线框绕OZ轴匀速转动产生的最大动生电动势为 E=BS)
因为边O与OO没有切割磁感线，不产生动生电动势，因此OP中的电动势就等于闭合线框OO中的电动势。由此得电势差
=
解比较复杂的电路时，一般除了用到有关电磁感应知识以外，还要用到解复杂电路的回路电压定律和节点电流定律，请看下例：
例6、如图4-3-15所示，一很长的薄导体平板沿x轴放置，板面位于水平位置，板的宽度为L，电阻可忽略不计，aebcfd是圆弧形均匀导线，其电阻为3R，圆弧所在的平面与x轴垂直。圆弧的两端a和d与导体板的两个侧面相接触，并可在其上滑动。圆弧ae=eb=cf=fd=圆周长，圆弧bc=圆周长。一内阻R的体积很小的电压表位于圆弧的圆心O处，电压表的两端分别用电阻可以忽略的直导线与b和c点相连。整个装置处在磁感强度为B、方向竖直向上的匀强磁场中。当导体板不动而圆弧导线与电压表一起以恒定速度v沿x轴方向平移运动时。
(1)求电压表的读数。
(2)求e点与f点的电势差。
分析:怎样求出各段弧线导线(例如bc段)切割磁感线产生的动生电动势呢？可以设想在bc间连接一直导线，与bc间弧线导线构成一闭合回留，它们一起切割磁感线，都产生动生电动势，但回路中的总电动势为零，由此得到bc段弧线导线中的电动势等于bc间直导线中的电动势。用同样的“虚构”回路法，可以求出其他各段弧形导线中的动生电动势。然后根据右手定则判定各段弧线导线中动生电动势的方向。并画出如图4-3-16所示的等效电路，再运用一段含源电路的欧姆定律或基尔霍定律列方程，解出所求的未知数。
解: 当圆弧型导线和电压表的连线在磁场中运动时，各段导线都切割磁感线，都有感应电动势。由图4-3-17可以看出，弧bc段的感应电动势的大小E。弧ae段的感应电动势的大小。弧eb,cf,fd各段的感应电动势的大小都等于E。连接电压表的每根导线中的感应电动势的大小都为E。
由以上分析，可得如图3-2-17所示的等效电路。设各导线中的电流分别为、和，方向如图所示，则有
=- ①
=- ②
=2I ③
以及　 ④
注意到，得图3-2-16
⑤
解⑤式并将代入，得
.
电压表的读数
2、e点与f点的电势差
本题中涉及的电动势、电压和电势差3个概念，在本质上是不同的。
§4．4 感生电磁感应
导体相对磁场静止，由于磁场的变化而引起导体内感生电动势的现象叫感生电磁感应。
即：S、a均不变，但变而使得变。
产生原因：
分析：回路置于变化的磁场里，最简单的方法就是回路平面和磁场垂直，回路中会产生感应电动势，如果回路闭合就有感应电流，如果回路不闭合，感生电动势仍是，不产生感应电流。这是法拉等的发现。由于法拉第自身不可避免的局限，他没有再追究这一现象的深层本质。接过接力棒再创佳绩的是麦克斯韦，他指出感应电动势其实跟导体的性质和种类无关，纯粹是由变化多端的磁场引起的。放置了闭合回路，回路中就有电流，这只是表面现象，不是事情的本质。麦克斯韦相信，即使不在导体回路，变化着的磁场也能在其周围空间激发一种称为涡旋电场的场，涡旋电场和静电场的共同点就是对电荷都有作用力，当然差异点也有不少。例如静电荷它可以单独存在，其电场线是闭合的无头尾无始终。如果恰好变化磁场中有闭合导体回路，变化磁场产生的涡旋电场电场线跟导体不垂直因而分解出与导体相切的分量，导体中的自由电荷受其作用力就会定向移动成为电流。这就是感应电动势的非静电力的来源。麦克斯韦最早分析了这种情况，他敏感地预见到这一现象，表明电场和磁场之间必然有某种当时尚未发现的新关系。
让我们更具体地分析：一个物理场，既呈现某种空间分布又随时间依一定规律变化。我们说这个场是空间和时间的函数。磁场和电场一样，是矢量场。如果说它是匀强的，是指它非稳恒，空间分布状况不变但随时间改变其大小，场线会随时间变密或变疏。本题中变化磁场产生涡旋电场的问题，按麦克斯韦的理论，是一个十分复杂的问题。仅在非常特殊的场合，再附加上非常苛刻的条件，场的分布才是很确定的，中学阶段我们面对的模型几乎都是这样的：磁场被限制在一个圆柱状空间，有理想边界即磁场在边界上突变，在界内匀强，在圆柱外突变为零。磁感线跟圆柱轴线平行，在与磁场垂直的平面上磁场边界是有限大的圆。按麦克斯韦理论：如果磁场随时间均匀变化，那么产生的涡旋电场就不随时间变化；如果磁场随时间是振荡的，那么产生的涡旋电场就是同频率振荡的，如图4-4-1所示。涡旋电场的电场线是一系列环抱磁感线的同心圆。沿这些同心圆的半径方向放置导体，导体上是不可能产生感应电动势的，在这个方向上导体内的带电粒子即受到涡旋电场力作用也不会沿导体定向移动。如果有环形导体恰好与电场线平行，导体上能产生感应电动势，那是确定无疑的。
在上述这些特殊条件下，由变化磁场产生的涡旋电场，其特征是：①空间各点的一定处在与磁场垂直的平面上，即没有跟B平行的分量；②磁场边界内外都有。上面说过的场线是与磁场边界同心封闭圆，任何一个磁场边界同心的圆周上任意一点的沿切线方向；③的指向与磁场变化的关系遵从楞次定律，即的方向就是感应电动势的方向；④的大小，可以从涡旋电场力是非静电力这一点出发来推导，根据电动势定义，电动势应等于单位正电荷从电源负极通过电源内部移往正极，单位正电荷在回路上绕行一周，非静电力做功，此处设该回路半径为r，又根据法拉第电磁感应定律，这两个ε在本质与现象的关系，其实是一回事，数值上应相等，即，所以。该结果仅适用于r≤R的范围(R是磁场边界半径)，其说明大小由两个因素决定：一是磁感应强度变化率；二是r，如果是恒量，那么，在r＞R处，，磁通量中的S，只能计及有磁感线穿过的面积=。请我们关注这个物理量，这是一个非常重要的物理量，以下的每个A类例题和B类例题，我们都要跟打交道。
产生感应电磁现象的原因是由于感生涡旋电场的作用，假如有一个局限在圆柱形范围内的匀强磁场B，B的方向平行于圆柱体的轴。当B的大小在增加时，感生电场的方向如图图4-4-2所示。根据对称性，在回路上各点处的感生电场方向必然与回路想切，感生电场的电场线是一些同心圆。因此，感生电场的电感线是闭合线，无头无尾，像旋涡一样，所以由磁场变化而激发的电场也叫旋涡电场。而静电场的电感线却是起于正电荷而终于负电荷，是有头有尾的。这是一个很重要的区别。
根据电动势和电场的关系，如果磁场区域半径为R，回路的半径为r，回路上的电场强度为E，则
2
因为
所以有
4．4．1、磁场中导体的感生电动势
在一个半径为R的长直螺线管中通有变化的电流，使管内圆柱形的空间产生变化的磁场，且＞0(图4-4-3)。如果在螺线管横截面内，放置一根长为R的导体棒ab，使得，那么ab上的感生电动势是多少？如果将导体棒延伸到螺线管外，并使得呢？
前面已说过：长直通电螺线管内是匀强磁场，而管外磁场为零，所以本题研究的是一个圆柱形匀强磁场。
尽管根据前述E的表达式，可知ab棒所在各点的电场强度，但要根据这些场强来求出却要用到积分的知识，因此，一般中学生无法完成，我们可取个等边三角形面积oab，因为oa和ob垂直于感生电场的电力线，所以oa和ob上没有感生电动势。又根据法拉第电磁感应定律，oab回路上的感生电动势
这也就是的大小。
如果将ab延伸到c，则可研究，根据同样的道理可知
很明显，上面这个问题可以这样解的前提是磁场局限于圆柱形内。如果一根导体棒是放在一个宽广的或是其它范围不规则的磁场内，那是得不出上述结果的，假如将一个导体闭合回路放在磁场中，对磁场就没有那么严格的要求了，这类问题一般说来同学们是熟悉的，但如果是一个比较复杂的电路放在磁场中，处理时就要用一些新的方法。
4．4．2、磁场中闭合电路的感生电动势
解磁场中一个比较复杂的闭合电路的感生电流的问题，一般除了用到有关电磁感应的知识以外，还要用到解复杂电路的回路电压定律和节点电流定律。
将一个半径a、电阻为r的圆形导线，接上一个电阻为R的电压表后按图4-4-4(a)、(b)两种方式放在磁场中，连接电压表的导线电阻可忽略，(a)、(b)中的圆心角都是θ。均匀变化的磁场垂直于圆面，变化率。试问(a)、(b)中电压表的读数各为多少？
因为电压表的读数与它两端的正负无关，所以可以任意假设磁场B的方向和变化率的正负。现在我们设B垂直于纸面向里，且＞0(图4-4-5)。回路的面积，回路的面积。这两个回路单独存在时的感生电流方向相同，都是逆时针的，感生电动势的大小分别为
①
段导线和段导线电阻分别为
②
如图4-4-6中标出的电流，应该有
③
对两个回路分别列出电压方程
④
(R为伏特表的内阻)。 ⑤
由①、②、③、④、⑤可解得
即有
因此
所以图4-4-4(a)的接法中电压表的读数为零。
再看图4-4-4 (b)中的接法：电流设定如图4-4-6，小回路和大回路的感生电动势大小分别为

(R为伏特表的内阻)。
由上述方程可解得
由些可知电压表的读数为
本问题中我们用到的电流方程(如③式)和回路电压方程(如④、⑤式)，实际上就是上一讲中提到过的基尔霍夫方程。在解决电磁感应的问题时，用电压回路方程十分方便，因为电磁感应的电动势是分布在整个回路上的。
附：静电场与感生电场的比较
就产生原因而言，静电场是静止电荷产生的，而感生电场是变化多端的磁场激发的。就性质而言，当单位正电荷绕封闭合回路一周静电场力的功为零。当感生电场驱使单位正电荷绕付线圈一周时，感生电场力的功不为零，其数值恰为副线圈内产生的感生电动势，数值上等于通过副线圈的磁通量对时间的变化率。静电场是保守场，感生电场是非保守场。静电场的电力线是有头有尾的不封闭曲线，而感生电场的电力线是无头无尾的闭合曲线。静电场是有源场，而感生电场是无源场。
典型例题
例1、无限长螺线管的电流随时间作线性变化(常数)时，其内部的磁感应强度B也随时间作线性变化。已知的数值，求管内外的感生电场。
解：如图4-4-7所示为螺线管的横截面图，C表示螺线管的边缘，其半径为R。由于对称性以及感生电场的电力线是一些封闭曲线的性质，可知管内外的感生电场电力线都是与C同心的同心圆，因此：
当r＜R时，
即
当r＞R时
所以
的大小在管内与r成正比，在管外与r成反比。感生电场电力线的方向可由楞次定律确定，当＞0时，电力线方向为逆时针方向。
例2、在一无限长密绕螺线管中有一均匀磁场，磁感应强度随时间线性变化(即常数)，求螺线管内横截面上长为l的直线段MN上的感生电动势。(横截面圆的圆心O到MN的垂直距离为h)
解:求感生电动势有两种方法。
(1)??????????????????? 根据电动势的定义：某一线段上的感生电动势等于感生电场搬运单位正电荷沿此段运动时所做的功。在MN上任选一小段，O点到距离为r，处的如图4-4-8所示，与的夹角为θ，感生电场沿移动单位正电荷所做的功为
， 而 则
而
故
把MN上所有的电动势相加，

(2)用法拉第定律求解。连接OM，ON，则封闭回路三角形OMN的电动势等于其所包围的磁通量的变化率。
OM和ON上各点的感生电场均各自与OM和ON垂直，单位正电荷OM和ON上移动时，感生电场的功为零，故OM和ON上的感生电动势为零，封闭回路OMNO的电动势就是MN上的电动势。
电动势的方向可由楞次定律确定。
例3、两根长度相度、材料相同、电阻分别为R和2R的细导线，围成一直径为D的圆环，P、Q为其两个接点，如图4-4-9所示。在圆环所围成的区域内，存在垂直于圆指向纸面里的匀强磁场。磁场的磁感强度的大小随时间增大，变化率为恒定值b。已知圆环中的感应电动势是均匀分布的。设MN为圆环上的两点，MN间的弧长为半圆弧PMNQ的一半。试求这两点间的电压。
分析：就整个圆环而言，导线的粗细不同，因而电阻的分布不同，但感应电动势的分布都是均匀的。求解时要注意电动势的方向与电势的高低。
解：根据电磁感应定律，整个圆环中的感应电动势的大小为
此电动势均匀分布在整个环路内，方向是逆时针方向。由欧姆定律可知感应电流为
M、N两点的电压
由以上各式，可得
可见，M点电势比N点低
§4．5 自感磁场的能量
4．5．1、自感
(1)自感电动势、自感系数
回路本身的电流变化而在回路中产生的电磁感应现象叫自感现象。在自感现象中回路产生的电动势叫自感电动势。由法拉第电磁感定律
这里磁通是自身电流产生磁场的磁通，按照毕奥—萨尔定律，线圈中的电流所激发的磁场的磁感应强度的大小与电流强度成正比。因而应有。根据法拉第电磁感应定律，可得自感到电动势
式中L为比例系数，仅与线圈的大小、形状、匝数以及周围介质情况有关，称为自感系数。在国际单位制中，自感系数的单位是亨利。式中负号表示自感电动势的方向。当电流增加时，自感电动势与原有电流的方向相反；当电流减小时，自感电动势与原有电流的方向相同。要使任何回路中的电流发生改变，都会引起自感应对电流改变的反抗，回路的自感系数越大，自感应的作用就越强，改变回路中的电流也越困难。因此自感系数是线圈本身“电磁惯性”大小的量度。
(2)典型的自感现象及其规律
如图4-5-1所示电路由电感线圈L和灯泡A，以及电阻R和灯泡B组成两个支路连接在一个电源两端。A、B灯泡相同，当K闭合瞬时，L—A支路中，由于L的自感现象，阻碍电流增大，所以A不能立即发光，而是逐渐变亮，而B立即正常发光。当稳定后，电流不再变化时，L只在电路中起一个电阻的作用。流过L—A支路的电流，此时L中贮存磁场能为
(在后介绍)
当K断开瞬间，L中电流要减小，因而会产生自感电动势ε，在回来L—A—B—R中产生感应电流，从能量观点来看，L释放线圈中磁场能，转变成电能消耗在回路中，所以A、B灯泡应是在K断开后瞬间逐渐熄灭，其回路中电流时间变化如图4-5-2所示。
4．5．2、磁场的能量
见图4-5-3，当K闭合后，回路中电流ι将从零不断增加，而自感系数为L的线圈中将产生自感电动势阻碍电流的增加，和合起来产生电流通过电阻R
即
式中是变化的，方程两边乘以并求和图5-2-1
显然，方程的左边是电源输出的能量，而方程右边第一项是在电阻R上产生的焦耳热，那剩下的一项显然也是能量，是储存在线圈中的磁场能，下面我们求它的更具体的表达式：
K刚闭合时，=0，而当电路稳定后，电流不再变化，自感电动势变为零，稳定电流(忽略电源内阻)，这个求和式的求和范围从0到I，令，y=并以为横作标，y为纵坐标做一坐标系，则y=在坐标系中为第一象限的角平分线。在横作标处取，很小，可认为对应的y为常量，窄条面积，把从0到I的所有窄条面积加起来即为y=与轴所夹三角形面积，故

代入可知储存线圈内的能量。
从公式看，能量是与产生磁场的电流联在一起的，下面我们求出直螺线管的自感系数从而证实能量是磁场的。设长直螺线管长为l，截面积为S，故绕有N匝线圈，管内为真空。当线圈中通有电流I时，管内磁场的磁感应强度，通过N匝线圈的磁通量
与相比较，可得
将代 ，
代入磁场能量式
单位体积的磁场能量为
与电场的能量密度相比较，公式何等相似。从电学、磁学公式中，我们知道对应于，公式的相似来源于电场，磁场的对称性。
磁场的能量密度公式告诉我们，能量是与磁场联系在一起的。只要有磁场，就有，就有能量。另外，公式虽是从长直螺线管的磁场这一特例推导出来，但对所有磁场的均适用。
典型例题
例1、如图4-5-5所示的电路中，电池的电动势，内阻开始时电键K与A接通。将K迅速地由A移至与B接通，则线圈L中可产生的最大自感电动势多大？
分析：K接在A点时，电路中有恒定电流I，当K接至B瞬间时，线圈中自感所产生的感应电动势应欲维持这一电流，此瞬时电流I就是最大值，维持此电流的感应电动势就是最大自感电动势。
解：L为纯电路，直流电阻不计，K接在A时，回路稳定时电流I为
当K接到B点时，线圈中电流将逐渐减小至零，但开始时刻，电流仍为，根据欧姆定律，维持这电流的瞬时自感电动势为
以后电流变小，自感电动势也减小直至零。
例2、由半径毫米的导线构成的半径厘米的圆形线圈处于超导状态，开始时线圈内通有100安培的电流。一年后测出线圈内电流的减小量不足安培，试粗略估算此线圈电阻率的上限。
解：线圈中电流的减小将在线圈内导致自感电动势，故
(1)
式中L是线圈的自感系数
在计算通过线圈的磁统量时，以导线附近即处的B为最大，而该处B又可把线圈当成无限长载流导线所产生的，即

＜
＜ (2)
而 (3)
把式(2)和式(3)代入式(1)，得
＜ (4)
把米，米，安培及
＜安培/秒
代入式(4)得
＜欧姆/米
这就是超导线圈电阻率的上限。
相对论初步知识
相对论是本世纪物理学的最伟大的成就之一，它标志着物理学的重大发展，使一些物理学的基本概念发生了深刻的变革。狭义相对论提出了新的时空观，建立了高速运动物体的力学规律，揭露了质量和能量的内在联系，构成了近代物理学的两大支柱之一。
§2. 1 狭义相对论基本原理
2、1、1、伽利略相对性原理
1632年，伽利略发表了《关于两种世界体系的对话》一书，作出了如下概述：
相对任何惯性系，力学规律都具有相同的形式，换言之，在描述力学的规律上，一切惯性系都是等价的。这一原理称为伽利略相对性原理，或经典力学的相对性系原理。其中“惯性系”是指凡是牛顿运动定律成立的参照系。
2、1、2、狭义相对论的基本原理
19世纪中叶，麦克斯韦在总结前人研究电磁现象的基础上，建立了完整的电磁理论，又称麦克斯韦电磁场方程组。麦克斯韦电磁理论不但能够解释当时已知的电磁现象，而且预言了电磁波的存在，确认光是波长较短的电磁波，电磁波在真空中的传播速度为一常数，，并很快为实验所证实。
从麦氏方程组中解出的光在真空中的传播速度与光源的速度无关。如果光波也和声波一样，是靠一种媒质（以太）传播的，那么光速相对于绝对静止的以太就应该是不变的。科学家们为了寻找以太做了大量的实验，其中以美国物理学家迈克耳孙和莫雷实验最为著名。这个实验不但没能证明以太的存在，相反却宣判了以太的死刑，证明光速相对于地球是各向同性的。但是这却与经典的运动学理论相矛盾。
爱因斯坦分析了物理学的发展，特别是电磁理论，摆脱了绝对时空观的束缚，科学地提出了两条假设，作为狭义相对论的两条基本原理：
1、狭义相对论的相对性原理
在所有的惯性系中，物理定律都具有相同的表达形式。
这条原理是力学相对性原理的推广，它不仅适用于力学定律，乃至适合电磁学，光学等所有物理定律。狭义相对论的相对性原理表明物理学定律与惯性参照系的选择无关，或者说一切惯性系都是等价的，人们不论在哪个惯性系中做实验，都不能确定该惯性系是静止的，还是在作匀速直线运动。
2、光速不变原理
在所有的惯性系中，测得真空中的光速都等于c，与光源的运动无关。
迈克耳孙—莫雷实验是光速不变原理的有力的实验证明。
事件 任何一个现象称为一个事件。物质运动可以看做一连串事件的发展过程，事件可以有各种具体内容，如开始讲演、火车到站、粒子衰变等，但它总是在一定的地点于一定时刻发生，因此我们用四个坐标（x，y，z，t）代表一个事件。
间隔 设两事件（）与（），我们定义这两事件的间隔为
间隔不变性 设两事件在某一参考系中的时空坐标为（）与（），其间隔为
在另一参考系中观察这两事件的时空坐标为（）与（），其间隔为
由光速不变性可得

这种关系称为间隔不变性。它表示两事件的间隔不因参考系变换而改变。它是相对论时空观的一个基本关系。
2、1、3、相对论的实验基础
斐索实验 上世纪人们用“以太”理论来解释电磁现象，认为电磁场是一种充满整个空间的特殊介质——“以太”的运动状态。麦克斯韦方程在相对以太静止的参考系中才精确成立，于是人们提出地球或其他运动物体是否带着以太运动？斐索实验（1851年）就是测定运动媒质的光速实验。其实验装置如图2—1所示；光由光源L射出后，经半透镜P分为两束，一束透过P到镜，然后反射到，再经镜到P，其中一部分透过P到目镜T。另一束由P反射后，经镜、和再回到P时，一部分被反射，亦到目镜T。光线传播途中置有水管，整个装置是固定于地球上的，当管中水不流动时，两光束经历的时间相等，因而到达目镜中无位相差。当水管中的水流动时，两束光中一束顺水流传播，一束逆水流传播。设水管的长度皆为l，水的流速为v，折射率为n，光在水中的速度为。设水完全带动以太，则光顺水的传播速度为，逆水为；若水完全不带动以太，光对装置的速度顺逆水均为；若部分被带动，令带动系数（曳引系数）为k，则顺水为，逆水为，k 多少由实验测定，这时两束光到达目镜T的时差为

斐索测量干涉现象的变化，测得，所以光在介质参考系中的传播速度为

式中θ是光线传播方向与介质运动方向间的夹角。
现在我们知道，匀速运动介质中的光速可由相对论的速度合成公式求得，设介质（水）相对实验室沿X轴方向以速度v运动，选系固定在介质上，在上观察，介质中的光速各方向都是，所以光相对实验室的速度u为
。
由此可知，由相对论的观点，根本不需要“以太”的假说，更谈不到曳引系数了。
迈克尔孙—莫来实验
迈克尔孙—莫来于1887年利用灵敏的干涉仪，企图用光学方法测定地球的绝对运动。实验时先使干涉仪的一臂与地球的运动方向平行，另一臂与地球的运动方向垂直。按照经典的理论，在运动的系统中，光速应该各向不等，因而可看到干涉条纹。再使整个仪器转过900，就应该发现条纹的移到，由条纹移动的总数，就可算出地球运动的速度v。迈克尔孙—莫来实验的装置如图2-1-2所示，使一束由光源S射来的平行光，到达对光线倾斜450角的半镀银镜面M上，被分成两束互相垂直的相干光。其中透射部分沿方向前进，被镜反射回来，到M上，再部分地反射后沿MT进行；反射部分沿方行进行，被镜反射回来后再到达M上，光线部分透过，也沿MT进行。这两束光在MT方向上互相干涉。而在T处观察或摄影，由于臂沿着地球运动方向，臂垂直于地球运动方向，若= =，地球的运动速度为v，则两束光回到M点的时间差为
当仪器绕竖直轴旋转900角，使变为沿地球运动方向，垂直于地球运动方向，则两束光到达M的时差为
我们知道，当时间差的改变量是光波的一个周期时，就引起一条干涉条纹的移动，所以，当仪器转动900后，在望远镜T处看到的干涉条纹移动的总数为
，
式中λ是波长，当l=11米，，所用光波的波长则△N≈0.4，这相当于在仪器旋转前为明条纹，旋转以后几乎变为暗条纹。但是他们在实验中测得△N≈，而且无论是在白天、夜晚以及一年中的所有季节进行实验，始终得到否定的结果，就是说光学的方法亦测不出所在参考系（地球）的运动状态。
§2、2 伽利略变换
2、2、1 伽利略变换
（1） 如图2-2-1所示，有两个惯性
系S和， 它们对应的坐标轴相互平行，且
当t==0时，两系的坐标原点与O重合。
设系相对于S系沿x轴正方向以速度运动。
同一质点P在某一时刻在S系中的时空坐标为(x,y,z,t)，在S`系中的时空坐标为 （x’,y’,z’,t’）
即 或 (1)
x=x＋ｕｔ 即
?
式（1）称为伽利略时空坐标变换公式。
（２）将式（1）中的空间坐标分别对时间求一次导数得：
?
　即　　　
或即 （2）
式（2）称为伽利略速度变换公式。
（3）将式（2）再对时间求一次导数得
即
（3）
式（3）表明在伽利略变换下加速度保持不变。式（3）称为伽利略加速度变换公式。
2、2、2 经典力学的时空观
（1） t=，或Δt=Δ （4）
（2） Δ=，
Δ=。
因
（5）
式（4）表明：在伽利略变换下，任何事件所经历的时间有绝对不变的量值，而与参照系的选择（或观测者的相对运动）无关。式（5）表明：在伽利略变换下，空间任何两点间的距离也有绝对不变的量值，而与参照系的选择测得的同一事件的时间间隔和空间任意两点间的距离都是绝对的不变量。这就是经典力学的时空观或者称之为绝对时空观。用牛顿本人的话来说：“绝对的真实的数学时间，就其本质而言，是永远均匀地流逝着，与任何外界事物无关。”“绝对空间就其本质而应是与任何外界事物无关的，它从不运动，并且永远不变。”按照这种观点，时间和空间是彼此独立、互不相关，并且独立于物质和运动之外的某种东西。
2、2、3、力学规律在伽利略变换下的不变性
（1）伽利略变换下的牛顿第二定律
在s 系中，
在系中， （6）
（2）伽利略变换下的质点动量定理
在s系中，
在s`系中， （7）
（3）伽利略变换下的质点动能定理
在s系中，
在s`系中， （8）
（4）伽利略变换下的功的公式
在s系中，
在s`系中， （9）
若为质点所受的合外力，则有
（10）
（5）伽利略变换下的动量守恒定律
在s系中，若
对两个而点组成的封闭系统的一维动量传递问题则有
在s`系中，若
（11）

（6）伽利略变换下的机械能守恒定律
在s系中，
在s`系中， （12）
综上所述，力学规律在伽利略变换下具有不变性。即力学规律在不同的惯性参照系中具有相同的形式，是规律的形式相同，而不是每一个物理量的数值在不同惯性系中都相同。
?
§2、3 洛仑兹变换
2．3．1、洛仑兹变换
如图18-1-1所示的两个惯性系：S系和S′系。设同一事件的两组时空坐标分别为（X,Y,Z,t） 和(。按洛仑兹变换有
（13）
或
?
式（13）称为洛仑兹坐标变换公式，式中=1/。请注意是X 和t 的函数，t是和的函数，即时间不再与空间无关。
2．3．2、 洛仑兹速度变换公式
或 （14）
式（14）中=1/
§2、4、相对论时空理论
2．4．1、 运动时钟延缓 亦称爱因斯坦延缓。我们考虑晶体振动这样一个物理过程。设晶体在 系中静止，在静止系中测得晶体的振动周期为，若系匀速v 相对S 系沿x轴运动，若晶体相邻两次达到振幅极大值的事件在S系中的坐标为（x,t）,(x,t) ,在系中为（,）,(，)，其中=。由洛仑兹变换可得
-=
因为-=，令-=t,则
t=
这表示在系中同地发生的两事件的时间间隔，由S系观察是延长了。
将同地发生的两事件换为事件发生处钟的读数，就得到两个惯性系中时钟快慢的比较。当系中的一个钟通过S系的两个钟（S系认为已校准的两个钟）时，S系的钟所记时间间隔比系所记的大，即每一个惯性系都测得对它运动着的时钟变慢了。所有发生在运动物体上的物理过程都具有这种延缓，因此它是时空的一种基本属性，与过程的具体性质无关。这种延缓又称为时间膨胀或爱因斯坦延缓。
2．4．2、 运动尺度缩短 设一棍静止在系中，沿 轴放置，且系想对于S系以匀速v沿x方向运动。在系的观察者观察，棍后端的坐标为，前端的坐标为，棍对他没有运动，因此他测得棍长为=-。S系的观察者观察到在同一时刻t，棍后端的坐标为，前端的坐标为，则他测得棍长为=-，根据洛仑兹变换
=,
=.
两式相减，得
,
即
.
这表示物体沿其长度方向运动时，其长度缩短为静止时的倍。这种现象称为洛仑兹收缩。缩短是相对的，每一惯性系都测得对它运动着的物体沿运动方向的长度要缩短。
运动物体沿运动方向的长度缩短是时空的一种基本属性，不但物体的长度缩短，物体间的距离也要缩短，所以这种收缩不是物体内部结构的改变。
2．4．3、 相互作用的最大传播速度和因果律 由同时的相对性可知，事件的先后次序与它们的空间位置和两惯性系间的运动状态有关。在经典的时空理论中，时间的次序是绝对的。在相对论时空观中，是否事件的先后次序没有客观意义呢？显然不是的，如果两事件有因果关系（如农样生产中，先播种后收获，人的先生后死），则它们的先后次序应当是绝对的，不容颠倒，这是事件先后这个概念所必须反映的客观内容。相对论在什么条件下才与这个条件一致呢？
设两事件的时空坐标在S系中为()和() ，在系中为() 和() ，由洛仑兹变换有
.
?
如果两事件有因果关系，而且>，由于它们的次序不能颠倒，必须在系中观察时，亦有。这就要求
,
即
.
因为，满足上式的条件是
.
对于因果事件，正是事件进展的速度，因此因果事件先后次序的绝对性对相对论的要求是：所有物体的运动速度、讯号传输的速度是光速c。
同时的相对性 在惯性系S中异地同时发生两个事件：事件1（），事件2（） ，且（设y，z不变，故事件只用x， t表示）。在另一惯性系中看这两事件的时空坐标为1：()与2：()。由洛仑兹变换关系

=
只要，则。就是说在S系中同时发生的两事件，在系看却不同时，即在某惯性系内不同地点同时发生的两事件，对具有相对运动的另一惯性系内的观察者说来，他所测得的两个事件发生的时刻是不同的，同时是相对的。
§2、5、相对论动力学基础
2．5．1、 相对论质量
式（18-18）中为物体的静止质量，v为物体的运到速度，c为真空中的光速。此式告诉我们在狭义相对论中物体的质量不再是一个恒量，而是一个随速度变化的物理量。当时，，而当时，。因此一个有限大小的力作用于静止质量无论如何小的物体上，其速度不可能趋近于无限大，物体的极限速度为c。
2．5．2、相对论能量
（1）物体的总能量
式（18-19）表明：一定的质量必定联系着一定的能量，反之一定的能量必定联系着一定的质量。这个方程就叫做爱因斯坦质能（联系）方程。既然物体的质量与能量有一定的对应关系，所以在相对论力学中质量守恒与能量守恒等价。
（2）物体的静能
（3）物体的相对论动能
（4）质能变化方程：
上式告诉我们当物体的质量发生的变化时，必同时伴随着能量的变化。
2．5．3、相对论动量
2．5．4、相对论能量、动量的关系
（1）
若以 、表示一直角三角形的两条直角边，则E必构成此直角三角形的斜边。
（2）
2．5．5、相对论的动力学的基本方程
2．5．6、相对论的速度叠加
由于时间和空间的相对性，对于物体的速度，在某一惯性系内观测，要用系的时间和空间坐标表示；在另一惯性系S内观测，要用S系的时间和空间坐标表示。这样，速度叠加公式就不再是绝对时空的速度叠加公式了。假如和S两系的坐标轴相平行，以速度v沿x轴而运动，一质点以相对沿轴而运动，则相对S，其速度u为
这是相对论的速度叠加公式。如果，则u§2、6、广义相对论初步
狭义相对论在惯性系里研究物理规律，不能处理引力问题。
1915年，爱因斯坦在数学家的协助下，把相对性原理从惯性系推广到任意参照系，发表了广义相对论。由于这个理论过于抽象，数学运算过于复杂，这里只做个大概描述。
2．6．1、 非惯性系与惯性力 牛顿运动定律在惯性系里才成立，在相对惯性系做加速运动的参照系（称非惯性系）里，会出现什么情况呢？例如，在一列以加速度做直线运动的车厢里，有一个质量为m的小球，小球保持静止状态，小球所受合外力为零，符合牛顿运动定律。相对于非惯性系的车厢来观测，小球以加速度-向后运动，而小球没有受到其他物体力的作用，牛顿运动定律不再成立。
不过，车厢里的人可以认为小球受到一向后的力，把牛顿运动定律写为。这样的力不是其他物体的作用，而是由参照系是非惯性系所引起的，称为惯性力。如果一非惯性系以加速度相对惯性系而运动，则在此非惯性里，任一质量为m的物体受到一惯性力，把惯性力计入在内，在非惯性里也可以应用牛顿定律。当汽车拐弯做圆周运动时，相对于地面出现向心加速度，相对于车厢人感觉向外倾倒，常说受到了离心力，正确地说应是惯性离心力，这就是非惯性系中出现的惯性力。
2．6．2、 惯性质量和引力质量 根据牛顿运动定律，力一定时，物体的加速度与质量成反比，牛顿定律中的质量度量了物体的惯性，称为惯性质量，以为符号，有

根据万有引力定律，两物体（质点）间的引力和它们的质量乘积成正比。万有引力定律中的质量，类似于库仑定律中的电荷，称为引力质量，以为符号。
惯性质量和引力质量是两个不同的概念，没有必然相等的逻辑关系，它们是否相等，应由实验来检验。本世纪初，匈牙利物理学家厄缶应用扭秤证明，只要单位选择恰当，惯性质量和引力质量相等，实验精度达。后来，人们又把两者相等的实验精度提高到。
设一物体在地面上做自由落体运动，此物体的惯性质量和引力质量分别为和，以代表地球的引力质量，根据万有引力定律和牛顿第二定律，有
,
式中G为万有引力常量，R为地球半径，g为物体下落的加速度。因为，所以，与物体的质量无关。这就是伽利略自由落体实验的结论。
既然惯性质量与引力质量相等，就可以简单地应用质量一词，并应用相同的单位。质量也度量了物质的多少。
2．6．3、 广义相对论的基本原理 爱因斯坦提出广义相对论，主要依据就是引力质量和惯性质量相等的实验事实。既然引力质量和惯性相等，就无法把加速坐标系中的惯性力和引力区分开来。比如，在地面上，物体以的加速度向下运动。这是地球引力作用的结果。设想在没有引力的太空，一个飞船以做直线运动（现在可以做到），宇航员感受到惯性力，力的方向与a的方向相反，这时他完全可以认为是受到引力的作用。匀加速的参照系与均匀引力场等效，这是爱因斯坦提出的等效原理的特殊形式。因为引力质量和惯性质量相等，所以，在均匀引力场中，不同的物体以相同的加速度运动。这也是伽利略自由落体实验的结果。它可一般叙述为：在引力场中，如无其他力作用，任何质量的质点的运动规律都相同。这是等效原理的另一种表述。
由于等效原理，相对于做加速运动的参照系来观测，任一质点的运动规律都是引力作用的结果，具有相同的规律形式。爱因斯坦进一步假设，相对任何一种坐标系，物理学的基本规律都具有相同的形式。这个原理表明，一切参照系都是平等的，所以又称为广义协变性原理。
等效性原理和广义协变性原理是广义相对论的基本原理。
2．6．4、 广义相对论的实验验证 在广义相对论的基本原理下，应建立新的引力理论和运动定律，爱因斯坦完成了这个任务。这样，牛顿运动定律和万有引力定律成为一定条件下广义相对论的近似规律。根据广义相对论得出的许多重要结论，有一些已得到实验证实。下面介绍几例。
1、日点的进动 按照牛顿引力理论，水星绕日作椭圆运动，轨道不是严格封闭的，轨道离太阳最近的点（近日点）也在做旋转运动，称为水星近日点的进动，如图2-6-1所示。理论计算和实验观测的水星轨道长轴的转动速率有差异。牛顿的引力理论不能正确地给予解释，而广义相对论的计算结果与观测值符合。爱因斯坦当年给朋友写信说：“方程给出了进动的正确数字，你可以想象我有多高兴，有好些天，我高兴得不知怎样才好。”
2、光线的引力偏折 在没有引力存在的空间，光沿直线行进。在引力作用下，光线不再沿直线传播。比如，星光经过太阳附近时，光线向太阳一侧偏折，如图2-6-2所示。这已在几次日蚀测量中得到了证实，证明广义相对论的计算偏折角与观测值相符合。
3、光谱线的引力红移 按照广义相对论，在引力场强的地方，钟走得慢，在引力场弱的地方，钟走得快。原子发光的频率或波长。可视为钟的节奏。引力场存在的地方，原子谱线的波长加大，引力场越强，波长增加的量越大，称这个效应为引力红移。引力红移早已为恒星的光谱测量所证实。20世纪60年代，由于大大提高了时间测量的精度，即使在地面上几十米高的地方由引力场强的差别所造成的微小引力红移，也已经精确地测量出来。这再一次肯定了广义相对论的正确性。
4、引力波的存在 广义相对论预言，与电磁波相似，引力场的传播形成引力波。星体作激烈的加速运动时，发射引力波。引力波也以光的速度传播。虽然还没有直接的实验证据，但后来对双星系统的观测，给出了引力波存在的间接证据。
广义相对论建立的初期并未引起人们的足够重视，后来在天体物理中发现了许多广义相对论对天体物理的预言，如脉冲星、致密X射线源、类星体等新奇天象的发现以及微波背景辐射的发现等。这些发现一方面证实了广义相对论的正确性，另一方面也大大促进了相对论的进一步发展。
本章典型例题
例1、放射性物质的原子放射出两个沿相反方向运动的电子。在实验室中测出每个电子的速率为0.6c，c是光速。今以一个电子为参照物，另一个电子的速率是多大？（1）用伽利略变换进行计算；（2）用洛仑兹变换进行计算。并指出哪个不合理。
解: （1）设向右运动的电子为系，则按伽利略变换，在系中看另一电子的速度是v=0.6c+0.6c=1.2c，这与光速不变的实验事实相矛盾，所以是不合理的。
（2）设实验室为参照系S，一个电子参照系为，则相对于S系的速度是0.6c，另一个电子相对于S系的速度为-0.6c，按洛仑兹变换，另一个电子相对于系的速度是，则

=
=

这就是说，以一个电子为参照物看另一个电子的速度是0.88c＜c，即小于光速，与实验相符合，是合理的。
例2、有一条河宽为l，其河水流速是v，船相对河水的速度为，且。今有船A和B分别沿图2-6-4（a）中所示路径往返一次，求各需要时间多少？哪条船需时长些？
解 本题是经典力学问题，用力伽利略变换处和即可。设岸的坐标系为S，河水的坐标系为，如图2-6-4（b）所示，若船相对岸的速度为u，则对于A船
?
，
， .
由伽利略变换知:,则.而
=
=
所以A船往返一次所需时间为
对于B船，相对于岸的往返速度分别为和，所以其往反一次所需要的时间为
因为，所以.按和展为幂级数的公式有
=
=
所以 ,
故，即B往返一次的时间比A船往返一次的时间要长。
例3、一个中微子在惯性系S中沿+y方向以光速c运动，求对S系以速度v沿+x方向运动的观察者所观测到的中微子的速度和方向怎样？
解: 设运动观察者为系，他所看到的中微子的速度分量为， ，，则按洛仑兹变换
=
=
（令）
=
因此，

即运动中的观测者测得中微子的速度仍是c，中微子的运动方向是
即中微子运动方向与轴的夹角。
例4、试证明：物体的相对论能量E与相对论动量P的量值之间有如下关系：
证明：E- pc=(mc)-(mvc)
=mc( c- v)=( c- v)
=c- v)= mc=E
E=pc+ E
读者可试为之，从E- E入手证明它等于pc。
例5、一个静止质量为m的粒子以速率 v=运动，它和一个同类的静止粒子进行完全非弹性碰撞。求：
（1）复合粒子的速率。
（2）复合粒子的静止质量。
解: 在微观领域相对论动量守恒、相对论能量守恒。故有
①
②
③
将③代入②得： ④
③与④代入①得：
即复合粒子的速率为，静止质量为。
例6、求证：在伽利略变换下，质点动量定理具有不变性。
证明：在S系中，
两边同时作定积分得：
这就是S系中质点的动能定理的数学公式。在系中
两边同时作定积分可得：
这就是系中的质点动量定理的数学公式。为回避高等数学，可设一质量为m的质点沿x轴正方向，在平行于x轴的恒定的合外力F作用下作匀加速直线运动。经过时间t，速度从增大到，根据牛顿第二定律在S系中有

整理得：
这就是S系中的质点动量定理。在系中，
即
此即系中的质点动量定理。
例7、一个静止质量为M的物体静止在实验室中，裂变为静止质量为和的两部分，试求裂变产物的相对论动能和。
解：根据相对论能量守恒有
化简得： ①
根据相对论动量守恒有 ②
但
将 和
代入②式化简得:
③
由①、③两式可解得：
,,
例8、爱因斯坦的“等效原理”指出，在不十分大的空间范围和时间间隔内，惯性系中引力作用下的物理规律与没有引力但有适当加速度的非惯性系中的物理规律是相同的。现在研究以下问题。
（1）试从光量子的观点出发，讨论在地面附近的重力场中，由地面向离地面的距离为L处的接收器发射频率为的激光与接收器接收到的频率v之间的关系。
（2）假设地球物体没有引力作用，现在一以加速度a沿直线做匀加速运动的箱子中做一假想实验。在箱尾和箱头处分别安装一适当的激光发射器和激光接收器，两者间的距离为L，现从发射器向接收器发射周期为的激光。试从地面参考系的观点出发，求出位于箱头处的接收器所到的激光周期T。
（3）要使上述两个问题所得到的结论是完全等价的。则问题（2）中的箱子的加速度的大小和方向应如何？
解: （1）对于能量为的光子，其质量，在重力场中，当该光子从地面到达接收器时，增加的重力势能为mgh。由能量守恒得
得
（2）设t=0时刻，箱子从静止开始加速，同时，激光光波的某一振动状态从发射器发出，任何时刻t，发射器和接收器的位置分别为
所考察的振动状态的位置和比该振动状态晚一个周期的振动状态的位置分别为：
x=ct
设所考察的振动状态在时刻到达接收器，则有
解得
比所考察的振动状态晚一个周期发出的振动状态到达接收器的时刻为，则有
解得
接收器接收到的激光的周期为
T=t-t
=(
（3）
比较上述两式得a=g，即“箱子”的加速度a=g方向竖直向上。
例9、考虑不用发射到绕太阳运动的轨道上办法，要在太阳系建立一个质量为m的静止空间站。这个空间站有一个面向太阳的大反射面（反射系数为1），来自太阳的辐射功率L产生的辐射压力使空间站受到一个背离太阳的力，此力与质量为的太阳对空间站的万有引力方向相反，大小相等，因而空间站处于平衡状态。忽略行星对该站的作用力，求：
（1）此空间站反射面的面积A。
（2）平衡条件和太阳与空间站之间的距离是否有关？
（3）设反射面是边长为d的正方形，空间站的质量为千克，确定d之值。已知太阳的辐射功率是瓦。太阳质量为千克。
解: （1）设空间站与太阳的距离为r，则太阳辐射在空间站反射面上单位面积内的功率即光强，太阳光对反射面产生的压强是光子的动量传递给反射面的结果，这一光压为
于是反射面受到的辐射压力

太阳对空间站的万有引力为
式中G为万有引力常数，在空间站处于平衡状态时,,即
这就得到，反射面的面积
（2）由上面的讨论可知，由于辐射压力和太阳引力都与成反比，因而平衡条件与太阳和空间站的距离r无关。
（3）若A=。并以题给数据代入前式得到
运动学
§2.1质点运动学的基本概念
2．1．1、参照物和参照系
要准确确定质点的位置及其变化，必须事先选取另一个假定不动的物体作参照，这个被选的物体叫做参照物。为了定量地描述物体的运动需要在参照物上建立坐标，构成坐标系。
通常选用直角坐标系O–xyz，有时也采用极坐标系。平面直角坐标系一般有三种，一种是两轴沿水平竖直方向，另一是两轴沿平行与垂直斜面方向，第三是两轴沿曲线的切线和法线方向（我们常把这种坐标称为自然坐标）。
2．1．2、位矢 位移和路程
在直角坐标系中，质点的位置可用三个坐标x，y，z表示，当质点运动时，它的坐标是时间的函数
x=X（t） y=Y（t） z=Z（t）
这就是质点的运动方程。
质点的位置也可用从坐标原点O指向质点P（x、y、z）的有向线段来表示。如图2-1-1所示, 也是描述质点在空间中位置的物理量。的长度为质点到原点之间的距离，的方向由余弦、、决定,它们之间满足
当质点运动时,其位矢的大小和方向也随时间而变,可表示为=(t)。在直角坐标系中,设分别为、、沿方向、、和单位矢量，则可表示为
位矢与坐标原点的选择有关。
研究质点的运动，不仅要知道它的位置，还必须知道它的位置的变化情况，如果质点从空间一点运动到另一点，相应的位矢由1变到2，其改变量为
称为质点的位移，如图2-1-2所示，位移是矢量，它是从初始位置指向终止位置的一个有向线段。它描写在一定时间内质点位置变动的大小和方向。它与坐标原点的选择无关。
2．1．3、速度
平均速度 质点在一段时间内通过的位移和所用的时间之比叫做这段时间内的平均速度
平均速度是矢量，其方向为与的方向相同。平均速度的大小，与所取的时间间隔有关，因此须指明是哪一段时间（或哪一段位移）的平均速度。
瞬时速度 当为无限小量，即趋于零时，成为t时刻的瞬时速度，简称速度

瞬时速度是矢量，其方向在轨迹的切线方向。
瞬时速度的大小称为速率。速率是标量。
2．1．4、加速度
平均加速度 质点在时间内，速度变化量为，则与的比值为这段时间内的平均加速度
平均加速度是矢量，其方向为的方向。
瞬时加速度 当为无限小量，即趋于零时，与的比值称为此时刻的瞬时加速度，简称加速度
加速度是矢量，其方向就是当趋于零时，速度增量的极限方向。
2．1．5、匀变速直线运动
加速度不随时间t变化的直线运动称为匀变速直线运动。若与同方向，则为匀加速直线运动；若与反方向，则为匀减速直线运动。
匀变速直线运动的规律为：


匀变速直线运动的规律也可以用图像描述。其位移—时间图像（s～t图）和速度—时间图像（v～t图）分别如图2-1-3和图2-1-4所示。
从(s～t)图像可得出：
(1)任意一段时间内的位移。
(2)平均速度，在（）的时间内的平均速度的大小，是通过图线上点1、点2的割线的斜率。
(3)瞬时速度，图线上某点的切线的斜率值，等于该时刻的速度值。从s～t图像可得出：
从(v～t)图像可得出：
(1)任意时刻的速度。
(2)任意一段时间内的位移，时间内的位移等于v～t图线，时刻与横轴所围的“面积”。这一结论对非匀变速直线运动同样成立。
(3)加速度，v～t图线的斜率等于加速度的值。若为非匀变速直线运动，则v～t图线任一点切线的斜率即为该时刻的瞬时加速度的大小。
§2.2 运动的合成与分解相对运动
2．2．1、运动的合成与分解
(1)矢量的合成与分解
矢量的合成与分解的基本方法是平行四边形法则，即两分量构成平行四边形的两邻边，合矢量为该平行四边形与两分量共点的对角线。由平行四边形法则又衍生出三角形法则，多个矢量的合成又可推导出多边形法则。
同一直线上的矢量的合成与分解可以简化为代数运算，由此，不在同一直线上的矢量的合成与分解一般通过正交分解法进行运算，即把各个矢量向互相垂直的坐标轴投影，先在各轴上进行代数运算之后，再进行矢量运算。
(2)运动的合成和分解
运动的合成与分解是矢量的合成与分解的一种。运动的合成与分解一般包括位移、速度、加速度等的合成与分解。运动的合成与分解的特点主要有：①运动的合成与分解总是与力的作用相对应的；②各个分运动有互不相干的性质，即各个方向上的运动与其他方向的运动存在与否无关，这与力的独立作用原理是对应的；③位移等物理量是在一段时间内才可完成的，故他们的合成与分解要讲究等时性，即各个运动要取相同时间内的位移；④瞬时速度等物理量是指某一时刻的，故它们的合成分解要讲究瞬时性，即必须取同一时刻的速度。
两直线运动的合成不一定就是直线运动，这一点同学们可以证明。如：①两匀速直线运动的合成仍为匀速直线运动；②两初速为零（同一时刻）的匀加速直线运动的合成仍为初速为零的匀加速直线运动；③在同一直线上的一个匀速运动和一个初速为零的匀变速运动的合运动是一个初速不为零的匀变速直线运动，如：竖上抛与竖下抛运动；④不在同一直线上的一个匀速运动与一个初速为零的匀加速直线运动的合成是一个曲线运动，如：斜抛运动。
2．2．2、相对运动
任何物体的运动都是相对于一定的参照系而言的，相对于不同的参照系，同一物体的运动往往具有不同的特征、不同的运动学量。
通常将相对观察者静止的参照系称为静止参照系；将相对观察者运动的参照系称为运动参照系。物体相对静止参照系的运动称为绝对运动，相应的速度和加速度分别称为绝对速度和绝对加速度；物体相对运动参照系的运动称为相对运动，相应的速度和加速度分别称为相对速度和相对加速度；而运动参照系相对静止参照系的运动称为牵连运动，相应的速度和加速度分别称为牵连速度和牵连加速度。
绝对运动、相对运动、牵连运动的速度关系是：绝对速度等于相对速度和牵连速度的矢量和。
这一结论对运动参照系是相对于静止参照系作平动还是转动都成立。
当运动参照系相对静止参照系作平动时，加速度也存在同样的关系：
当运动参照系相对静止参照系作转动时，这一关系不成立。
如果有一辆平板火车正在行驶，速度为（脚标“火地”表示火车相对地面，下同）。有一个大胆的驾驶员驾驶着一辆小汽车在火车上行驶，相对火车的速度为，那么很明显，汽车相对地面的速度为：
（注意：和不一定在一条直线上）如果汽车中有一只小狗，以相对汽车为的速度在奔跑，那么小狗相对地面的速度就是
从以上二式中可看到，上列相对运动的式子要遵守以下几条原则：
①合速度的前脚标与第一个分速度的前脚标相同。合速度的后脚标和最后一个分速度的后脚标相同。
②前面一个分速度的后脚标和相邻的后面一个分速度的前脚标相同。
③所有分速度都用矢量合成法相加。
④速度的前后脚标对调，改变符号。
以上求相对速度的式子也同样适用于求相对位移和相对加速度。
相对运动有着非常广泛的应用，许多问题通过它的运用可大为简化，以下举两个例子。
例 如图2-2-1所示，在同一铅垂面上向图示的两个方向以的初速度抛出A、B两个质点，问1s后A、B相距多远？这道题可以取一个初速度为零，当A、B抛出时开始以加速度g向下运动的参考系。在这个参考系中，A、B二个质点都做匀速直线运动，而且方向互相垂直，它们之间的距离
m
在空间某一点O，向三维空间的各个方向以相同的速度射出很多个小球，球ts之后这些小球中离得最远的二个小球之间的距离是多少（假设ts之内所有小球都未与其它物体碰撞）？这道题初看是一个比较复杂的问题，要考虑向各个方向射出的小球的情况。但如果我们取一个在小球射出的同时开始自O点自由下落的参考系，所有小球就都始终在以O点为球心的球面上，球的半径是，那么离得最远的两个小球之间的距离自然就是球的直径2。
§2.3抛体运动
2．3．1、曲线运动的基本知识
轨迹为曲线的运动叫曲线运动。它一定是一个变速运动。图2-3-1表示一质点作曲线运动，它经过P点时，在P点两旁的轨迹上取两点，过三点可作一圆，当这两点无限趋近于P点时，则圆亦趋近于一个定圆，我们把这个圆叫P点的曲率圆，曲率圆的半径叫P点的曲率半径，曲率圆的圆心叫P点的曲率中心，曲率半径的倒数叫P点的曲率。如图2-3-1，亦可做出Q点的曲率圆。曲率半径大，曲率小，表示曲线弯曲较缓，曲率半径小，曲率大，表示曲线弯曲厉害。直线可认为是曲率半径为无穷大的曲线。
质点做曲线运动的瞬时速度的方向总是沿该点的切线方向。如图2-3-2所示，质点在△t时间内沿曲线由A点运动到B点，速度由V变化到VB，则其速度增量为两者之矢量差，=VB―V，这个速度增量又可分解成两个分量：在VB上取一段AC等于V，则△V分解成△V和△V，其中△V表示质点由A运动到B的速度方向上的增量，△V表示速度大小上的增量。
法向加速度a表示质点作曲线运动时速度方向改变的快慢，其大小为在A点的曲率圆的向心加速度：
其方向指向A点的曲率中心。切向加速度表示质点作曲线运动时速度大小改变的快慢，方向亦沿切线方向，其大小为
总加速度a方法向加速度和切向加速度的矢量和。
2．3．2、抛物运动是曲线运动的一个重要特例
物体以一定的初速度抛出后，若忽略空气阻力，且物体的运动在地球表面附近，它的运动高度远远小于地球半径，则在运动过程中，其加速度恒为竖直向下的重力加速度。因此，抛体运动是一种加速度恒定的曲线运动。
根据运动的叠加原理，抛体运动可看成是由两个直线运动叠加而成。常用的处理方法是:将抛体运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀变速直线运动。
如图2-3-3。取抛物轨迹所在平面为平面，抛出点为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴。则抛体运动的规律为：
其轨迹方程为
这是开口向下的抛物线方程。
在抛出点和落地点在同一水平面上的情况下，飞行时间T，射程R和射高H分别为

抛体运动具有对称性，上升时间和下降时间（抛出点与落地点在同一水平面上）相等（一般地，从某一高度上升到最高点和从最高点下降到同一高度的时间相等）；上升和下降时经过同一高度时速度大小相等，速度方向与水平方向的夹角大小相等。
下面介绍一种特殊的抛体运动——平抛运动：
质点只在重力作用下，且具有水平方向的初速度的运动叫平抛运动。它可以看成水平方向上的匀速运动（速度为v0）与竖直方向上的自由落体运动的合成。
①速度：采用水平竖直方向的直角坐标可得： ，其合速度的大小为，其合速度的方向为（设水平方向夹角为θ），可见，当时，，即表示速度趋近于自由落体的速度。
②位移：仍按上述坐标就有，。仿上面讨论也可得到同样结论，当时间很长时，平抛运动趋近于自由落体运动。
③加速度：采用水平和竖直方向直角坐标系有,，用自然坐标进行分解，如图2-3-4其法向加速度为，切向加速度为，θ为速度与水平向方的夹角，将速度在水平与竖直方向的坐标系中分解可知：
由此可知，其法向加速度和切向加速度分别为：

由上两式可以看出，随着时间的推移，法向加速度逐渐变小趋近于零，切向加速度趋近于定值g，这表示越来越接近竖直下抛运动。在生活中也很容易看到，平抛物体的远处时就接近竖直下落了。
运动的轨迹方程：
从方程可以看出，此图线是抛物线，过原点，且越大，图线张开程度大，即射程大。根据运动的独立性，经常把斜抛运动分解成水平方向匀速直线运动和竖直方向上的竖直上抛运动来处理，但有时也可以用其它的分解分法。
抛体运动另一种常用的分解方法是：分解沿方向的速度为的匀速直线运动和沿竖直方向的自由落体运动二个分运动。
如图2-3-5所示，从A点以的初速度抛出一个小球，在离A点水平距离为s处有一堵高度为h的墙BC，要求小球能越过B点。
问小球以怎样的角度抛出，才能使最小？
将斜抛运动看成是方向的匀速直线运动和另一个自由落体运动的合运动，如图2-3-6所示。
在位移三角形ADB在用正弦定理
①
④轨迹：由直角坐标的位移公式消去时间参数t便可得到直角坐标系中的平抛运
由①式中第一个等式可得
②
将②式代入①式中第二个等式
当有极大值1时，即时，有极小值。
因为 ，
所以
当小球越过墙顶时，y方向的位移为零，由②式可得
③式代入式①：我们还可用另一种处理方法
以AB方向作为x轴（图2-3-7）这样一取，小球在x、y方向上做的都是匀变速运动了，和g都要正交分解到x、y方向上去。
小球运动的方程为
∴
当最大，即时，，有极小值
?
§2.4质点的圆周运动
刚体平面平行运动与定轴转动
2．4．1、质点的圆周运动
(1)匀速圆周运动 如图2-4-1所示，质点P在半径为R的圆周上运动时，它的位置可用角度θ表示（习惯上以逆时针转角正，顺时针转角为负），转动的快慢用角速度表示：
质点P的速度方向在圆的切线方向，大小为
ω（或v）为常量的圆周运动称为匀速圆周运动。这里的“匀速”是指匀角速度或匀速率，速度的方向时刻在变。因此，匀速圆周运动的质点具有加速度，其加速度沿半径指向圆心，称为向心加速度（法向加速度）。
向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小。
(2)变速圆周运动 ω（或v）随时间变化的圆周运动，称为变速圆周运动，描述角速度变化快慢的物理量为角加速度
质点作变速圆周运动时，速度的大小和方向都在变化。将速度增量分解为与平行的分量和垂直的分量，如图2-4-2。相当于匀速圆周运动个的,的大小为
=
质点P的加速度为
其中就是切向加速度和法向加速度。
β为常量的圆周运动，称为匀变速圆周运动，类似于变速直线运动的规律，有
(3)圆周运动也可以分解为二个互相垂直方向上的分运动。参看图2-4-3一个质点A在t=0时刻从x正方向开始沿圆周逆时针方向做匀速圆周运动，在x方向上
在y方向上：
从x和y方向上的位移、速度和加速度时间t表达的参数方程可以看出：匀速圆周运动可以分为两个互相垂直方向上的简谐运动，它们的相位相差
2．4．2、刚体的平面平行运动
刚体平面平行运动的特征是，刚体上的任意质点都作平行于一个固定平面的运动。如圆柱沿斜面的滚动，即为平面平行运动。可取刚体上任意平行于固定平面的截面作为研究对象。
刚体的平面平行运动，常有两种研究方法：一种是看成随基点（截面上任意一点都可作为基点）的平动和绕基点的转动的合运动；另一种是选取截面上的瞬时转动中心S（简称瞬心）为基点。瞬心即指某瞬间截面上速度为零的点。这样，刚体的平面平行运动看成仅作绕瞬心的转动。
确定瞬心的方法有两种：如图2-4-4(a)所示，若已知截面上两点的速度，则与两速度方向垂直的直线的交点即为瞬心。或如图2-4-4(b)所示，已知截面转动的角速度及截面上某一点A的速度，则在与速度垂直的直线上，与A点距离为的点即为瞬心。
注意，瞬心的速度为零，加速度不一定为零。
2．4．3、刚体的定轴转动
刚体运动时，刚体上或其延展部分有一根不动直线，该直线称为定轴，刚体绕这一轴转动。刚体作定轴转动时，其上各点都在与轴垂直的平面内作圆周运动，各点作圆周运动的半径不同，在某一时刻，刚体上所有各点的角位移、角速度和角加速度都是相同的。而各点的线位移、线速度和线加速度则随各点离开转轴的垂直距离不同而不同。
2．4．4、一些求曲率半径的特殊方法
先看椭圆曲线，要求其两顶点处的曲率半径。介绍以下两种方法：
(1)将椭圆看成是半径R=A（设A＞B）的圆在平面上的投影，圆平面和平面的夹角满足关系式（如图2-4-5）
设一个质点以速率v在圆上做匀速圆周运动，则向心加速度，从上图中可以看出，当顶点的投影在椭圆的长轴（x轴）上的P点时，其速率和加速度分别为：
，
当质点的投影在椭圆的短轴（y轴）上的Q点时，其速率和加速度分别为：
。
因此椭圆曲线在P、Q的曲率半径分别为：

(2)将椭圆看成是二个简谐运动的合成，可以把椭圆的参数方程（设A＞B）（如图2-4-6）
可改写为
即可进一步写出x，y二个方程的速度v和加速度a：
那么在长轴端点P处（）的曲率半径：
在短轴端点Q处（）的曲率半径
再把抛物线y=Ax，要求其任意一点的曲率半径（如图2-4-7）因为抛物线可以写作参数方程
其中，这样就可以导出
对任意一个t值： v=
a=acos=a
所以这一点的曲率半径
将t=代入，可得
因为，所以抛物线y=Ax上任意一点的曲率半径
§2．5几种速度的特殊求法
2．5．1、相关的速度
当绳端在做既不沿绳方向，又不垂直于绳方向的运动时，一般要将绳端的运动分解为沿绳方向和垂直于绳方向二个分运动。
如图2-5-1所示的情况，绳AB拉着物体m在水平面上运动，A端以速度v做匀速运动，问m做什么运动？有的同学会将绳的速度v分解成竖直
分速度vsina和水平分速度vcosa，以为木块的速度(u如图2-5-2所示，杆AB沿滑下，A、B二端的速度和也是二个相关的速度。将分解成沿杆方向的分速和垂直于杆的分速。由于杆的长度不会发生变化，所以，即，即
2．5．2、两杆交点的运动 两杆的交点同时参与了二杆的运动，而且相对每一根杆还有自己的运动，因而是一种比较复杂的运动。图2-5-3（a）中的AC、BD两杆均以角速度绕A、B两固定轴在同一竖直面内转动，转动方向如图示。当t=0时，60o，试求t时刻两棒交点M点的速度和加速度。t=0时，△ABM为等边三角形，因此AM=BM=，它的外接圆半径，图2-5-3（b）。二杆旋转过程中，角增大的角度一直等于角减小的角度，所以M角的大小始终不变（等于60o），因此M点既不能偏向圆内也不能偏向圆外，只能沿着圆周移动，因为∠和∠是对着同一段圆弧（）的圆心角和圆周角，所以∠=2∠，即M以2的角速度绕O点做匀速圆周运动，任意时刻t的速度大小恒为
向心加速度的大小恒为
再看图2-5-4（a），一平面内有二根细杆和，各自以垂直于自己的速度和在该平面内运动，试求交点相对于纸平面的速率及交点相对于每根杆的速率。
参考图2-5-4（b），经过时间之后，移动到了的位置，移动到了的位置，和的原位置交于点，和交于点。
=
　　
在中：
因为角和角互补，所以
因此两杆交点相对于纸平面的速度
不难看出，经过时间后，原交点在上的位置移动到了A位置，因此交点相对的位移就是，交点相对的速度就是：
=
用同样的方法可以求出交点相对的速度
因为可以取得无限小，因此上述讨论与是否为常量无关。如果是变量，上述表达式仍然可以表达二杆交点某一时刻的瞬时速度。
如果和的方向不是与杆垂直，这个问题应该如何解决？读者可以进行进一步的讨论。
运动定律
§3.1牛顿定律
3．1．1、牛顿第一定律
任何物体都保持静止或匀速直线运动状态，直到其他物体所作用的力迫使它改变这种状态为止。这是牛顿第一定律的内容。牛顿第一定律是质点动力学的出发点。
物体保持静止状态或匀速直线运动状态的性质称为惯性。牛顿第一定律又称为惯性定律，惯性定律是物体的固有属性，可用质量来量度。
无论是静止还是匀速直线运动状态，其速度都是不变的。速度不变的运动也就是没有加速度的运动，所以物体如果不受到其他物体的作用，就作没有加速度的运动，牛顿第一定律指出了力是改变物体运动状态的原因。
牛顿第一定律只在一类特殊的参照系中成立，此参照系称为惯性参照系。简称惯性系。相对某一惯性系作匀速运动的参照系必定也是惯性系，牛顿第一定律不成立的参照系称为非惯性参照系，简称非惯性系，非惯性系相对惯性系必作变速运动，地球是较好的惯性系，太阳是精度更高的惯性系。
3．1．2．牛顿第二定律
(1)定律内容：物体的加速度跟所受外力的合力成正比，跟物体的质量成反比，加速度的方向跟合外力的方向相同
(2)数学表达式：
(3)理解要点
①牛顿第二定律不仅揭示了物体的加速度跟它所受的合外力之间的数量关系，而且揭示了加速度方向总与合外力的方向一致的矢量关系。在应用该定律处理物体在二维平面或三维空间中运动的问题，往往需要选择适当的坐标系，把它写成分量形式

②牛顿第二定律反映了力的瞬时作用规律。物体的加速度与它所受的合外力是时刻对应的，即物体所受合外力不论在大小还是方向上一旦发生变化，其加速度也一定同时发生相应的变化。
③当物体受到几个力的作用时，每个力各自独立地使物体产生一个加速度，就如同其他力不存在—样；物体受几个力共同作用时，产生的加速度等于每个力单独作用时产生的加速度的矢量和，如图3-1-1示。这个结论称为力的独立作用原理。
④牛顿第二定律阐述了物体的质量是惯性大小的量度，公式反映了对同—物体，其所受合外跟它的加速度之比值是个常数，而对不同物体其比值不同，这个比值的大小就是物体的质量，它是物体惯性大小量度，当合外力不变时，物体加速度跟其质量成反比，即质量越大，物体加速度越小，运动状态越难改变，惯性也就越大。
⑤牛顿第二定律的数学表达式定义了力的基本单位；牛顿（N）。因为，，故，当定义使质量为1kg的物体产生加速度的作用力为1N时，即1N=时，k=1。由于力的单位1N的规定使牛顿第二定律公式
中的k=1，由此所产生的单位制即我们最常用的国际单位制。
⑥在惯性参考系中，公式中的ma不是一个单独的力，更不能称它是什么“加速力”，它是一个效果力，只是在数值上等于物体所受的合外力。
⑦对一个质点系而言，同样可以应用牛顿第二定律。
如果这个质量系在任意的x方向上受的合外力为，质点系中的n个物体（质量分别为）在x方向上的加速度分别为，那么有
这就是质点系的牛顿第二定律。
3．1．3、牛顿第三定律
（1）定律内容：两个物体之间的作用力与反作用力总是大小相等，方向相反，作用在一条直线上。
（2）数学表达式：
（3）理解要点
①牛顿第三定律揭示了物体相互作用的规律，自然界中的力的作用都是相互的，任何一个物体既为受力体，则它一定就是施力体。
②相互作用力必定是同一性质的力，即如果其中一个力是摩擦力，则它的反作用力也一定是摩擦力。
③两个相互作用力要与一对平衡力区分清楚。
④这个相互作用力是指的性质力。对于效果力不一定能找到“整体”的反作用力，如有人说向心力的反作用力就是离心力。这是错误的，因为向心力往往是由多个力作用是共同效果，其中每个力都有其各自的反作用力，故向心力这个合力就不一定有一个所谓反作用力。
3．1．4、关于参照系的问题
（1）惯性参照系：牛顿第一定律实际上又定义了一种参照系，在这个参照系中观察，一个不受力作用的物体将保持静止或匀速直线运动状态，这样的参照系就叫做惯性参照系，简称惯性系。由于地球在自转的同时又绕太阳公转，所以严格地讲，地面不是一个惯性系。在一般情况下，我们可不考虑地球的转动，且在研究较短时间内物体的运动，我们可以把地面参照系看作一个足够精确的惯性系。
（2）非惯性参照系：凡牛顿第一定律不成立的参照系统称为非惯性参性系，一切相对于惯性参照系做加速运动的参照系都是非惯性参照系。在考虑地球转动时，地球就是非惯性系。在非惯性系中，物体运动不遵循牛顿第二定律，但在引入“惯性力”的概念以后，就可以利用牛顿第二定律的形式来解决动力学问题了。（关于惯性力的应用在后边将到）。
§3.2牛顿定律在曲线运动中的应用
3．2．1、物体做曲线运动的条件
物体做曲线运动的条件是，物体的初速度不为零，受到的合外力与初速度不共线，指向曲线的“凹侧”，如图3-2-1，该时刻物体受到的合外力F与速度的夹角满足的条件是0o<<180o。
3．2．2、圆周运动
物体做匀速圆周运动的条件是，物体受到始终与速度方向垂直，沿半径指向圆心，大小恒定的力的作用。由牛顿第二定律可知，其大小为
。
在变速圆周运动中，合外力在法线方向和切线方向都有分量，法向分量产生向心加速度。
切向分量产生切向加速度。
3．2．3、一般曲线运动
与变速圆周运动类似，在一般曲线运动中，合外力在法线方向和切线方向都有分量，法向分量的大小为
R为曲线在该处的曲率半径，切向分量的大小为
?
§3.3 惯性力
应用牛顿定律时，选用的参照系应该是惯性系。在非惯性系中，为了能得到形式上与牛顿第二定律一致的动力学方程，引入惯性力的概念，引入的惯性力必须满足
式中是质点受到的真实合力，是质点相对非惯性系的加速度。
真实力与参照系的选取无关，惯性力是虚构的力，不是真实力。惯性力不是自然界中物质间的相互作用，因此不属于牛顿第三定律涉及的范围之内，它没有施力物体，不存在与之对应的反作用力．
3．3．1．平动加速系统中的惯性力
设平动非惯性系相对于惯性系的加速度为。质点相对于惯性系加速度，由相对运动知识可知，质点相对于平动非惯性系的加速度
质点受到的真实力对惯性系有
对非惯性系
得
平动非惯性系中，惯性力由非惯性系相对惯性系的加速度及质点的质量确定，与质点的位置及质点相对于非惯性系速度无关。
3．3．2、匀速转动系中的惯性力
如图3—3—1，圆盘以角速度绕竖直轴匀速转动，在圆盘上用长为r的细线把质量为m的点系于盘心且质点相对圆盘静止，即随盘一起作匀速圆周运动，以惯性系观察，质点在线拉力作用下做匀速圆周运动，符合牛顿第二定律．以圆盘为参照系观察，质点受力拉到作用而保持静止，不符合牛顿定律．要在这种非惯性系中保持牛顿第二定律形式不变，在质点静止于此参照系的情况下，引入惯性力
为转轴向质点所引矢量，与转轴垂直，由于这个惯性力的方向沿半径背离圆心，通常称为惯性离心力．由此得出：若质点静于匀速转动的非惯性参照系中，则作用于此质点的真实力与惯性离心力的合力等于零．
惯性离心力的大小，除与转动系统的角速度和质点的质量有关外，还与质点的位置有关（半径），
必须指出的是，如果质点相对于匀速转动的系统在运动，则若想在形式上用牛顿第二定律来分析质点的运动，仅加惯性离心力是不够的，还须加其他惯性力。如科里奥里力，科里奥利力是以地球这个转动物体为参照系所加入的惯性力，它的水平分量总是指向运动的右侧，即指向相对速度的右侧。例如速度自北向南，科里奥利力则指向西方。这种长年累月的作用，使得北半球河流右岸的冲刷甚于左岸，因而比较陡峭。双轨铁路的情形也是这样。在北半球，由于右轨所受压力大于左轨，因而磨损较甚。南半球的情况与此相反，河流左岸冲刷较甚，而双线铁路的左轨磨损较甚。由于这个过程极为复杂，涉及微分知识及坐标系建立，这里就不进一步讨论了。
3．3．3、用实验方法证明在非惯性系中加入惯性力的必要性。
在一列以加速度做直线运动的车厢里，有一个质量为m的小球，放在光滑的桌面上，如图3-3-2所示，相对于地面惯性系来观测，小球保持静止状态，小球所受合外力为零，符合牛顿运动定律，相对于非惯性系的车厢来观测，小球以加速度向后运动，而小球没有受到其它物体对他的力的作用，牛顿运动定律不再成立。
不过，车厢里的人可以认为小球受到一向后的力，把牛顿定律写为。这样的力不是其它物体的作用，而是参照系是非惯性系所引起的，称为惯性力．如果一非惯性系以加速度相对惯性系而运动，则在此非惯性系里，任一质量为m的物体都受到一惯性力，把惯性力计入在内，在非惯性里也可以应用牛顿定律．当汽车拐弯做圆周运动时，相对于地面出现向心加速度，相对于车厢人感觉向外倾倒，常说受到了离心力，正确地说应是惯性离心力，这就是非惯性系中出现的惯性力。
如图3-3-3，一物块A放在倾角为的光滑斜面B上，问斜面B必须以多大的加速度运动，才能保持A、B相对静上？
可取B作为参照系，A在此参照系中静止。因为B是相对地面有加速度的非惯性参照系，所以要加一个惯性力f=ma，方向水平向右，a的大小等于B相对地面的加速度。由受力分析图可知
f=ma=mg
∴
?
?
§3.4应用牛顿运动定律解题的方法和步骤
应用牛顿运动定律的基本方法是隔离法，再配合正交坐标运用分量形式求解。
解题的基本步骤如下：
(1)选取隔离体，即确定研究对象
一般在求某力时，就以此力的受力体为研究对象，在求某物体的运动情况时，就以此物体为研究对象。有几个物体相互作用，要求它们之间的相互作用力，则必须将相互作用的物体隔离开来，取其中一物体作研究对象。有时，某些力不能直接用受力体作研究对象求出，这时可以考虑选取施力物体作为研究对象，如求人在变速运动的升降机内地板的压力，因为地板受力较为复杂，故采用人作为研究对象为好。
在选取隔离体时，采用整体法还是隔离法要灵活运用。如图3-4-1要求质量分别为M和m的两物体组成的系统的加速度a，有两种方法，一种是将两物体隔离，得方程为
另—种方法是将整个系统作为研究对象，得方程为
显然，如果只求系统的加速度，则第二种方法好；如果还要求绳的张力，则需采用前一种方法。
(2)分析物体受力情况：分析物体受力是解动力学问题的一个关键，必须牢牢掌握。
①一般顺序：在一般情况下，分析物体受力的顺序是先场力，如重力、电场力等，再弹力，如压力、张力等，然后是摩擦力。并配合作物体的受力示意图。
大小和方向不受其它力和物体运动状态影响的力叫主动力，如重力、库仑力；大小和主向与主动力和物体运动状态有密切联系的力叫被动力或约束力，如支持力、摩擦力。这就决定了分析受力的顺序。如物体在地球附近不论是静止还是加速运动，它受的重力总是不变的；放在水平桌面上的物体对桌面的压力就与它们在竖直方向上有无加速度有关，而滑动摩擦力总是与压力成正比。
②关于合力与分力：分析物体受力时，只在合力或两个分力中取其一，不能同时取而说它受到三个力的作用。一般情况下选取合力，如物体在斜面上受到重力，一般不说它受到下滑力和垂直面的两个力。在—些特殊情况下，物体其合力不能先确定，则可用两分力来代替它，如图3-4-2横杆左端所接铰链对它的力方向不能明确之前，可用水平和竖直方向上的两个分力来表示，最后再求出这两个分力的合力来。
③关于内力与外力：在运用牛顿第二定律时，内力是不可能对整个物体产生加速度的，选取几个物体的组合为研究对象时，这几个物体之间的相互作用力不能列入方程中。要求它们之间的相互作用，必须将它们隔离分析才行，此时内力转化成外力。
④关于作用力与反作用力：物体之间的相互作用力总是成对出现，我们要分清受力体与施力体。在列方程解题时，对一对相互作用力一般采用同一字线表示。在不考虑绳的质量时，由同一根绳拉两个物体的力经常作为一对相互作用力处理，经过不计摩擦的定滑轮改变了方向后，我们一般仍将绳对两个物体的拉力当作一对相互作用力处理。
(3)分析物体运动状态及其变化
①运用牛顿定律解题主要是分析物体运动的加速度a，加速度是运动学和动力学联系的纽带，经常遇到的问题是已知物体运动情况通过求a而求物体所受的力。
②针对不同的运动形式和运用不同的公式，在分析物体运动状态时有不同的要求。对于静力学的问题，其加速度为零，速度为零或常量；对于牛顿运动定律问题，主要是分析加速度，要注意其瞬时性，匀变速运动可任取一点分析，变加速运动则必须找到对应点分析；如果是运用动量定理或动能定理，则必须分析物体所受的力的冲量或所做的功，还要分析运动始末两态的动量或动能。
③要注意物体运动的加速度与速度的大小方向的关系，也要注意两者大小不一定同时为零，如竖直上抛的最高点，速度为零加速度不为零，在振动的平衡位置速度最大加速度为零；两者的方向也不一定相同，如加速上升，两者方向相同，减速上升，两者方向相反。
④对于由几个物体组成的连接体的运动，要分析各个物体的加速度。各个物体的加速度之间的关系的求法是：一般假设各物体初速为零，由公式，再由各物体的位移的比值找出它们加速度之间的关系来。
如图3-4-3，显然有，故有
，
所以
图3-4-4，
故有
如图3-4-5设，我们以地球为参照物，三者的加速度如图所示，为了找出三个加速度大小的关系，我们设由于和的运动，使绳有沿动滑轮边沿的加速度，根据有关的相对运动规律有
两式相减消去得到三个加速度之间的关系式为
⑤若不知加速度a的方向，则可事先假设加速度的方向，按假设算出来的加速度若为正，则说明假设正确；若计算出来的加速度为负，则不能简单地认为加速度的方向与假设的方向相反，一般情况下，应该换一个方向重新计算，因为运动方向不同时，物体所受的力有可能不同，特别是有摩擦力的时候。
(4)建立坐标系
①通常我们采用惯性坐标系，一般不加申明就以地球为参照物，有时为了方便，采用非惯性坐标系。
②坐标也有瞬时性，如圆锥摆所建立的坐标就是指某一瞬间的。
③通常采用直角坐标系，对曲线运动常用自然坐标，即取切向和法向为两坐标轴的方向，切向加速度反映了速度大小的变化，法向加速度反映了速度方向的变化。
④选取坐标轴，最好能以加速度方向为一轴的方向，这样可以使方程较为简洁；如果由于解题需要而两轴都不与加速度同向，则要注意将加速度依坐标分解列入方程。
(5)列方程和解方程
①根据物理意义列出方程，对于正交坐标，一般是对每一个隔离体列出一组坐标数的方程。
②出于解题的需要，一般是方程数与未知数的个数相等，若方程数少于未知数的个数，则要注意题目的隐含条件，或者用特殊方法可以解出。
③不同的题型要注意有不同的解法，有些题目可以一次性的列出方程，有些题目必须走一步看一步，逐步推出结论。
(6)验算作答
①验算是必不可少的一步，要根据物理意义和题设条件剔除多余的根。
②为了快速检验，可以采用检验答案的量纲的方法。
③正负符号在物理问题中有广泛的应用，要特别注意正负号的物理意义。
§3.5力和运动的关系
判断一个物体做什么运动，一要看它受到什么外力，二要看它的初速与外力方向的关系。物体运动某时刻的加速度总与该时刻所受的合外力相对应，而某时刻的速度沿轨迹切线方向，与该时刻所受的力没有直接对应关系。
(1)物体受平衡力的作用：。当时，物体静止：当时，物体以作匀速直线运动。
(2)物体作直线运动：=恒量，恒量，物体作匀变速运动。当时，作初速为零的匀加速直线运动；当时，如果与同向，物体作匀加速直线运动，如果和反向，物体作匀减速直线运动。
=变量，=变量，物体将做变加速运动。如果方向不变大小变，物体作如有空气阻力的竖直上抛运动；若大小和方向都变，物体的运动更要具体分析。
(3)物体作曲线运动
①物体作曲线运动的条件：当物体所受的合外力的方向与物体运动的速度方向不在一条直线上时，物体将作曲线运动。在运动过程中，物体的速度方向是在曲线某点的切线方向上，合力在切线方向的分量产生切向加速度，它描述速度大小改变的快慢；合力在法线方向（径向）的分量产生法向加速度，它描述速度方向改变的快慢。
②抛物线运动：当物体所受的合外力大小和方向都不变，而速度与合外力方向不在同一直线上时，物体作轨迹为抛物线的运动。如物体只受重力作用的抛体运动和带电粒子在匀强电场中的运动。当合力与初速的方向垂直时，物体做类平抛运动；当合力与初速的夹角小于90o时，物体作类下抛运动；当合力与初速的夹角大于90o时，物体作类上抛运动。
③圆周运动：当物体所受的合外力的大小保持不变，而速度与合外力保持垂直，则物体做匀速圆周运动。
在匀速圆周运动中，切向加速度为零，法向加速度即向心加速度，故此时合外力就叫向心力
或
向心力是从力的作用效果命名的力，任何一个力或几个力的合力，只要它的作用效果是使质点产生向心加速度，这个力或这几力的合力就叫向心力。不要在分析物体所受的重力、弹力、摩擦力之外再无中生有地受到一个向心力。
做非匀速圆周运动的质点所受到的合外力，一定在法向上有一个分量，这一分量即为向心力；在切向上也有一个分量，这一分量使速度大小有变化。
所谓离心力是对作圆周运动的物体给提供它的向心力的另一物体的作用力，如果做圆周运动的物体的向心力是由两个或两个以上的物体共同提供的，则离心力必作用在这两个或两个以上的相应的物体上，所以，除了只有一个物体提供向心力的情况外，一般不能把离心力说成是向心力的反作用力。当合外力提供的向心力小于物体所需的向心力时，物体将远离原来的轨道作离心运动；当合力提供的向心力在某时刻消失时，物体将沿该时刻的速度方向飞出，这些现象的实质是物体的惯性所致，而不是所谓离心力的作用。在非惯性系中提出的惯性离心力这一虚拟力，也与上述离心力根本不同，决不能混淆。
如下是一些实际应用问题：
两个或两个以上的物体在某一种力（一般是弹力或摩擦力）作用下一起运动，叫做联接体，解联接体的问题一般要用隔离法，即把某一个物体隔离出来进行分析，有时联接体中的各个物体具有不同的加速度，必须确定它们的加速度之间的关系。
如图3-5-1所示的装置，细绳不可伸长，三个物体的加速度方向如图所示，那么它们的加速度之间有什么关系呢？
先设物体不动，那么当物体下降时物体将上升；再设物体不动，当物体下降物体将上升。当上述两种运动结合起来，则实际上物体下降物体下降物体应是上升。它们对时间的变化率（即速度）之间也有上述关联，即

它们的加速度之间的关系也同样是
再如图3-5-2所示的物体系，由于B球受重力作用，使B球向下做加速运动，同时三角形劈A向左做加速运动，设球和劈在原来的K点接触，经过时间之后，球上的K点移动到了P点处，劈上的K点移到了Q点处，显然△KPQ和劈的剖面三角形是相似的，即∠KQP等于劈的底角θ，因此
同样，任何时刻都有
如图3-5-3所示，一个质量为m的小球沿着抛物线型的轨道从h米高处由静止开始滑下，试求小球到达轨道底部时对轨道的压力。小球到达底部时的速度
根据第二讲的讨论可知，抛物线底部的曲率半径
小球在底部时受到二个力：重力mg和轨道弹力N，因此
两个质量均为m的小球，用细绳连接起来，置于光滑平面上，绳恰好被拉直。用一个恒力F作用在连绳中点，F的方向水平且垂直于绳的初始位置（图3-5-4），F力拉动原来处于静止状态的小球。问：在两小球第一次相撞前的一瞬间，小球在垂直于F的作用线方向（设为y方向）上的分速度多大？
由于绳的张力和方向都在不断改变，因此两小球的运动是比较复杂的，我们应用两种手段使复杂的问题简化。
一是先研究小球在某一方向即F作用的线方向（设为x方向）上的运动：当绳与作用线成角时绳上的张力，这个张力使小球产生的在x方向上的加速度为
可见，无关，即小球在x方向上做匀加速运动（图3-5-5）
二是只考虑小球运动的初、末两个状态：设F的作用点共移动了s距离，则小球在x方向上运动了的距离，小球碰撞前在x方向上的速度为
在这段过程中，F力做的功为，根据动能定理
应该说明的是，因为动能定理是从牛顿第二定律推导出来的，因此只适用于惯性系。虽然相对不同的惯性系，F做功的位移和物体的速度都是不一样的，但动能定理却仍然成立。
?
§3.6 万有引力 天体的运动
3．6．1、万有引力
任何两个物体间存在一种称为万有引力的相互作用力。万有引力是自然界中已发现的四种相互作用（万有引力相互作用、电磁相互作用、弱相互作用和强相互作用）之一。两个质点间的万有引力，其大小与两质点的质量乘积成正比，与两质点距离的平方成反比，方向沿两质点的连线方向，其表示式为
式中G称为万有引力常量，其值为
万有引力公式只适用于质点，当物体的几何线度不能忽略时，可以把它们分割成线度可略的小部分，两物体间每一小部分之间的万有引力的合力便就是两物体间的万有引力。可以证明两个质量均匀的球体之间的引力。可以用万有引力定律计算，只是计算式中的r为两球心间的距离。质量为m的均匀分布的球壳对球壳外任一质点的万有引力，等于质量为m的质点处于球心处与该质点间的万有引力，它对球壳内的任一质点的万有引力则为零。
测得的地球表面上物体所受到的重力，是地球对物体引力的一个分量，由于地球并不严格是个球体，质量分布也不均匀，加之地球的自转运动，使得同一物体，在地球表面不同位置处受到的重力略有不同。
万有引力定律的应用
①天体表面的重力加速度g：设天体质量为M且均匀分布，天体为圆球体且半径为R，物体质量为m，则
故
②关于天体质量和平均密度的计算：设质量为m的行星绕质量为M的恒星作匀速圆周运动的公转，公转的半径为r，周期为T，由牛顿定律，恒星对行星的万有引力就是行星绕恒星作匀速圆周运动的向心力，故有
由此可得恒星的质量为
设恒星的球半径为R，则它的平均密度为
这个公式也适用于卫星绕行星作圆周运动的情况。如设近地人造卫星的周期为T，因有，上式就可以写成
这就很容易求出地球的平均密度了。
3．6．2、天体的运动
开普勒根据前人积累的行星运动观察资料。总结出关于行星运动的三定律——开普勒三定律。
第一定律：行星围绕太阳的运动轨道为椭圆，太阳在椭圆的一个焦点上。
第二定律：行星与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积。
下面举一个例子详加说明：
为用数学式子表述第二定律，设径矢r在时间内扫过的面积为，则面积速度为，由图3-6-1可知，
故面积速度为
常量
式中v为行星运动的线速度，为径矢r与速度v方向之间的夹角。当行星位于椭圆轨道的近日点或远日点时，速度v的方向与径矢r的方向垂直，即=90o，故
第三定律：各行星绕太阳运动的周期平方与轨道半长轴立方的比值相同，即

开普勒定律不仅适用于行星绕太阳的运动。也适用于卫星绕行星的运动。
当半长轴a与半短轴b相等时，椭圆成为圆。由开普勒第二定律可知，圆轨道运动必为匀速圆周运动，万有引力提供向心力。
对于绕地球作半径为r的匀速圆周运动的卫星，由牛顿第二定律和万有引力定律可得
根据地球表面物体重力与引力的关系
R为地球半径卫星速率为
对于贴着地球表面运行的卫星。
这就是第一宇宙速度，也就是发射卫星必须具有的最小速度
利用能量关系，可求出从地球表面发射的宇宙飞般，为能挣脱地球引力的束缚，其发射速度必须满足
称为第二宇宙速度。
下面举一个例子详加说明：
新发现一行星，其星球半径为6400km，且由通常的水形成的海洋覆盖着它的所有表面，海洋的深度为10km。学者们对该行星进行探查时发现。当把试验用的样品浸入行星海洋的不同深度时，各处的自由落体加速度以相当高的精确度保持不变，试求这个行星表面处的自由落体加速度。已知万有引力常数为 。
解1：如图3-6-2以R表示此星球（包括水层）的半径，M表示其质量，h表示其表层海洋的深度，r表示海洋内任一点A到星球中心O的距离，表示除表层海洋外星球内层的半径。则有，且，以表示水的密度，则此星球表层海洋中水的总质量为
①
由于，故①式可略去其中h的高次项面是近似写为
②
根据均匀球体表面处重力加速度的公式，可得此星球表层海洋的底面和表面处的重力加速度分别为
依题述有,即
整理上式可解得
③
由于，故近似取2Rh-,则③式可写为
④
由④和②式得此星球表面的重力加速度为
⑤
以G=、、代入⑤式，得
解2：设行星的内层（即半径为的球体部分）的平均密度为，则可将该半径为的球体视为由一个均匀的水球（密度为、半径为）和一个密度为半径为的球叠加而成。则在水球壳层内的重力加速度应由这两个球分别产生的加速度叠加而成。
如图3-6-2，对于水球壳层中的任一点A，以表示上述水球在该处形成的重力加速度，则有
由上式可见，随r的增加而增加，当r增加为r+△r时，的增加量为
又以表示上述的密度为的球在A点产生的重力加速度，则有
由上式可见，随r的增加而减少，当r增加为r+△r时，的增加量（为一负值，表明其实际上是减少）为
上式演算中利用了近似关系。由于要求在水层内重力加速度g为恒量，即不随r变化而变化，故应有
即
近似取r=，乃得
则行星内层密度为
由上可得此行星内外两层分界面处的重力加速度（亦即行星表面处的重力加速度）为

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