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第一部分 运动的描述 匀变速直线运动的研究
第3讲 运动图象、追及相遇问题(解析版)
理解匀变速直线运动的x－t图象、v－t图象，并会用它们解决问题.
掌握追及与相遇问题的特点以及解决这类问题的一般方法．
一、直线运动的x—t图象
1．图象的意义
反映了做直线运动的物体位移随时间变化的规律。
2．两种特殊的x－t图象
(1)x－t图象是一条平行于时间轴的直线，说明物体处于静止状态。
(2)x－t图象是一条倾斜直线，说明物体处于匀速直线运动状态。
3．x－t图象中的“点”“线”“斜率”“截距”的意义
(1)点：两图线交点，说明两物体相遇。
(2)线：表示研究对象的变化过程和规律。
(3)斜率：x－t图象的斜率表示速度的大小及方向。
(4)截距：纵轴截距表示t＝0时刻的初始位移，横轴截距表示位移为零的时刻。
直线运动的v－t图象
1．图象的意义
反映了做直线运动的物体的速度随时间变化的规律。
2．两种特殊的v－t图象
(1)若v－t图象是与横轴平行的直线，说明物体做匀速直线运动。
(2)若v－t图象是一条倾斜的直线，说明物体做匀变速直线运动。
3．v－t图象中的“点”“线”“斜率”“截距”“面积”的意义
(1)点：两图线交点，说明两物体在该时刻的速度相等。
(2)线：表示速度的变化过程和规律。
(3)斜率：表示加速度的大小及方向。
(4)截距：纵轴截距表示t＝0时刻的初速度，横轴截距表示速度为零的时刻。
(5)面积：数值上表示某段时间内的位移。
三、追及与相遇问题
1．追及与相遇问题的概述
当两个物体在同一直线上运动时，由于两物体的运动情况不同，所以两物体之间的距离会不断发生变化，两物体间距越来越大或越来越小，这时就会涉及追及、相遇或避免碰撞等问题。
2．在追及问题中，若后者能追上前者，则追上时，两者处于同一位置，后者的速度一定大于前者的速度；若后者追不上前者，则当后者的速度与前者相等时，两者相距最近．
3．在相遇问题中，同向运动的两物体追及即相遇；相向运动的物体，当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体之间的距离时即相遇．
1．一遥控玩具汽车在平直路面上运动的位移－时间图象如图1所示，则
图1
A．15 s内汽车的位移为300 m
B．前10 s内汽车的加速度为3 m/s2
C．20 s末汽车的速度为－1 m/s
D．前25 s内汽车做单方向直线运动
【答案】　C
【解析】　因为是位移－时间图象，15 s末的位移为30 m，前10 s内汽车的速度为3 m/s，加速度为零，A、B错误；20 s末汽车的速度v＝－1 m/s，C正确；由x－t图线的斜率表示速度可知，汽车在0～10 s沿正方向运动，10～15 s静止，15～25 s沿负方向运动，D错误。
2．如图2所示的位移－时间图象和速度－时间图象中，给出的四条图线1、2、3、4代表四个不同物体的运动情况．下列描述正确的是 (　　)
图2
A．图线1表示物体做曲线运动
B．x－t图象中t1时刻v1>v2
C．v－t图象中0至t3时间内图线3和图线4的平均速度大小相等
D．图线2和图线4中，t2、t4时刻都表示物体反向运动
【答案】　B
【解析】　x－t图象和v－t图象都是用来描述直线运动的，图象并不是运动轨迹，A项错误；x－t图象的斜率表示速度，所以在t1时刻v1>v2，B项正确；v－t图象与t轴所围的面积表示位移，所以在0～t3时间内图线3的位移小于图线4的位移，图线3的平均速度小于图线4的平均速度，C项错误；图线2中t2时刻表示物体反向运动，图线4中t4时刻不表示反向，只表示速度减小，D项错误．
3．[多选]某物体运动的速度图象如图3所示，根据图象可知(　　)
图3
A．0～2 s内的加速度为1 m/s2
B．0～5 s内的位移为10 m
C．第1 s末与第3 s末的速度方向相同
D．第1 s末与第5 s末加速度方向相同
【答案】AC
【解析】v－t图线在时间轴的上方，故第1 s末与第3 s末的速度方向相同，C正确。图线的斜率大小表示物体运动的加速度大小，正负表示加速度的方向，故0～2 s内的加速度1＝ m/s2＝1 m/s2，方向为正，A正确。第1 s末加速度的大小和方向与0～2 s内的相同，第5 s末加速度的大小和方向与4～5 s内的相同，而4～5 s内的加速度a2＝ m/s2＝－2 m/s2，方向为负，D错误。0～5 s内的位移x＝×(2＋5)×2 m＝7 m，B错误。
4．甲、乙两物体先后从同一地点出发，沿一条直线运动，它们的v－t图象如图4所示，由图可知(　　)
图4
A．甲比乙运动快，且早出发，所以乙追不上甲
B．t＝20 s时，乙追上了甲
C．在t＝20 s之前，甲比乙运动快；在t＝20 s之后，乙比甲运动快
D．由于乙在t＝10 s时才开始运动，所以t＝10 s时，甲在乙前面，它们之间的距离为乙追上甲前的最大距离
【答案】C
【解析】从题图中看到开始甲比乙运动快，且早出发，但是乙做匀加速运动，最终是可以追上甲的，A项错误；t＝20 s时，速度图象中甲的速度图线与时间轴所围的面积大于乙的，即甲的位移大于乙的位移，所以乙没有追上甲，B项错误；在t＝20 s之前，甲的速度大于乙的速度，在t＝20 s之后，乙的速度大于甲的速度，C项正确；乙在追上甲之前，当它们速度相同时，它们之间的距离最大，对应的时刻为t＝20 s，D选项错误。
要点一 运动图象的理解及应用
运动学图象主要有x－t图象和v－t图象，运用运动学图象解题可总结为六看：
1．一看“轴”：先要看清两轴所代表的物理量，即图象是描述哪两个物理量之间的关系．
2．二看“线”：图象表示研究对象的变化过程和规律．在v－t图象和x－t图象中倾斜的线分别表示物体的速度和位移随时间变化的运动情况．
3．三看“斜率”：x－t图象中斜率表示运动物体的速度大小和方向．v－t图象中斜率表示运动物体的加速度大小和方向．
4．四看“面积”：即图线和坐标轴所围的面积，也往往代表一个物理量，这要看两物理量的乘积有无意义．例如v和t的乘积vt＝x有意义，所以v－t图线与横轴所围“面积”表示位移，x－t图象与横轴所围“面积”无意义．
5．五看“截距”：截距一般表示物理过程的初始情况，例如t＝0时的位移或速度．
6．六看“特殊点”：例如交点、拐点(转折点)等．例如x－t图象的交点表示两质点相遇，但v－t图象的交点只表示速度相等．
要点二 追及相遇问题的分析
1．分析追及问题的方法技巧可概括为“一个临界条件”、“两个等量关系”．
(1)一个临界条件：速度相等．它往往是物体间能否追上或(两者)距离最大、最小的临界条件，也是分析判断问题的切入点；
(2)两个等量关系：时间关系和位移关系，通过画草图找出两物体的时间关系和位移关系是解题的突破口．
2．能否追上的判断方法
物体B追赶物体A：开始时，两个物体相距x0.若vA＝vB时，xA＋x0vA＝vB时，xA＋x0＝xB，则恰好不相撞；若vA＝vB时，xA＋x0>xB，则不能追上．
3．若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断追上前该物体是否已经停止运动
4．分析追及与相遇问题常用的方法：
(1)临界条件法：当二者速度相等时，二者相距最远(最近)．
(2)图象法：画出x－t图象或v－t图象，然后利用图象进行分析求解．
(3)数学判别式法：设相遇时间为t，根据条件列方程，得到关于t的一元二次方程，用判别式进行讨论，若Δ>0，即有两个解，说明可以相遇两次；若Δ＝0，说明刚好追上或相遇；若Δ<0，说明追不上或不能相遇．
(4)相对运动法：用相对运动的知识求解追及或相遇问题时，要注意将两个物体对地的物理量(速度、加速度和位移)转化为相对的物理量。在追及问题中，常把被追及物体作为参考系，这样追赶物体相对被追物体的各物理量即可表示为：x相对＝x后－x前＝x0，v相对＝v后－v前，a相对＝a后－a前，且上式中各物理量(矢量)的符号都应以统一的正方向进行确定。
要点一 运动图象的理解及应用
【例题1】设物体运动的加速度为a、速度为v、位移为x、所受合外力为F。现有四个不同物体的运动过程中某物理量与时间的关系图象，如图5所示。已知t＝0时刻物体的速度均为零，则其中表示物体做单向直线运动的图象是
【答案】C
【解析】由A、B项图象可直接看出，两图象中两物体均做往复运动，A、B均错误，画出C、D项的v－t图，分别如图甲、乙所示，可知C项正确、D项错误。
针对训练1．（2018年高考理综全国III卷）（多选）甲乙两车在同一平直公路上同向运动，甲做匀加速直线运动，乙做匀速直线运动。甲乙两车的位置x随时间t的变化如图6所示。下列说法正确的是
图6
A. 在t1时刻两车速度相等
B. 从0到t1时间内，两车走过的路程相等
C. 从t1到t2时间内，两车走过的路程相等
D. 从t1到t2时间内的某时刻，两车速度相等
【答案】 CD
【解析】根据位移图象的物理意义可知，在t1时刻两车的位置相同，速度不相等，乙车的速度大于甲车的速度，Ａ错误；从０到t1时间内，乙车走过的路程大于甲车，Ｂ错误；从t1到t2时间内，两车都是从位置x1位置x2位置，两车走过的路程相等，C正确；根据图象的斜率等于速度可知，从t1到t2时间内的某时刻，两车速度相等，D正确。
要点二　运动图象的应用
【例题2】某同学欲估算飞机着陆时的速度，他假设飞机在平直跑道上做匀减速运动，飞机在跑道上滑行的距离为s，从着陆到停下来所用的时间为t，实际上，飞机的速度越大，所受的阻力越大，则飞机着陆时的速度应是 (　　)
A．v＝ B．v＝
C．v> D.【答案】　C
【解析】　由题意知，当飞机的速度减小时，所受的阻力减小，因而它的加速度会逐渐变小．画出相应的v－t图象大致如图所示。根据图象的意义可知，实线与坐标轴包围的面积为s，虚线(匀减速运动)下方的“面积”表示的位移为：t.应有：t>s，所以v>，所以选项C正确．
针对训练2．（2018年高考理综全国II卷）（多选）甲、乙两汽车同一条平直公路上同向运动，其速度—时间图像分别如图7中甲、乙两条曲线所示。已知两车在t2时刻并排行驶，下列说法正确的是（ ）
图7
A. 两车在t1时刻也并排行驶
B. t1时刻甲车在后，乙车在前
C. 甲车的加速度大小先增大后减小
D. 乙车的加速度大小先减小后增大
【答案】 BD
【解析】在v-t图象中图象包围的面积代表运动走过的位移，两车在t2时刻并排行驶，利用逆向思维并借助面积可知t1时刻甲车在后，乙车在前，故A错误，B正确；图象的斜率表示加速度，所以甲车的加速度先减小后增大，乙车的加速度也是先减小后增大，故C错误，D正确。
要点三 追及和相遇问题
【例题3】甲车以10 m/s的速度在平直的公路上匀速行驶，乙车以4 m/s的速度与甲车平行同向做匀速直线运动．甲车经过乙车旁边时开始以0.5 m/s2的加速度刹车，从甲车刹车开始计时，求：
(1)乙车在追上甲车前，两车相距的最大距离；
(2)乙车追上甲车所用的时间．
【答案】　(1)36 m　(2)25 s
【解析】　(1)当甲车速度减至等于乙车速度时两车的距离最大，设该减速过程所用时间为t，
则有v乙＝v甲－at，解得t＝12 s，
此时甲、乙间距离为v甲t－at2－v乙t＝36 m
(2)设甲车减速到零所需时间为t1，则有t1＝＝20 s
t1时间内，x甲＝＝×20 m＝100 m
x乙＝v乙t1＝4×20 m＝80 m
此后乙车运动时间t2＝＝ s＝5 s
故乙车追上甲车需t1＋t2＝25 s.
针对训练3．如图8所示，直线MN表示一条平直公路，甲、乙两辆汽车原来停在A、B两处，A、B间的距离为85 m，现甲车先开始向右做匀加速直线运动，加速度a1＝2.5 m/s2，甲车运动6.0 s时，乙车开始向右做匀加速直线运动，加速度a2＝5.0 m/s2，求两辆汽车相遇处距A处的距离．
图8
【答案】　125 m或245 m
【解析】　甲车运动6 s的位移为s＝a1t＝45 m
此时甲车尚未追上乙车，设此后再经时间t甲车与乙车相遇，则有a1(t＋t0)2＝a2t2＋85
将上式代入数据并整理得：t2－12t＋32＝0
解得：t1＝4 s，t2＝8 s
t1、t2都有意义，t1＝4 s时，甲车追上乙车；t2＝8 s时，乙车追上甲车再次相遇
第一次相遇地点距A的距离：x1＝a1(t1＋t0)2＝125 m
第二次相遇地点距A的距离：x2＝a1(t2＋t0)2＝245 m.
要点四 分析追及相遇问题的几种常用方法
【例题4】在水平轨道上有两列火车A和B相距x，A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动，而B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动，两车运动方向相同。要使两车不相撞，求A车的初速度v0满足什么条件。
【答案】v0<
【解析】　时其速度最大只能与B车相等。设A、B两车从相距x到A车追上B车时，A车的位移为xA、末速度为vA、所用时间为t；B车的位移为xB、末速度为vB、运动过程如图1－4－7所示，现用四种方法解答如下：
图1－4－7
法一：临界法　利用位移公式、速度公式求解，对A车有xA＝v0t＋×(－2a)×t2，vA＝v0＋(－2a)×t，
对B车有xB＝at2，vB＝at，
两车位移关系有x＝xA－xB，
追上时，两车不相撞的临界条件是vA＝vB，
联立以上各式解得v0＝。
故要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0<。
法二：函数法　利用判别式求解，由解法一可知xA＝x＋xB，即v0t＋×(－2a)×t2＝x＋at2，
整理得3at2－2v0t＋2x＝0。
这是一个关于时间t的一元二次方程，当根的判别式Δ＝(－2v0)2－4·3a·2x<0时，t无实数解，即两车不相撞，所以要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0<。
法三：图象法　
利用v－t图象求解，先作A、B两车的v－t图象，如图1－4－8所示，设经过t时间两车刚好不相撞，则对A车有vA＝v＝v0－2at，
图1－4－8
对B车有vB＝v＝at，
以上两式联立解得t＝。
经t时间两车发生的位移之差为原来两车间的距离x，它可用图中的阴影面积表示，由图象可知
x＝v0·t＝v0·＝，
所以要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0<。
法四：相对运动法　巧选参考系求解。以B车为参考系，A车的初速度为v0，加速度为a＝－2a－a＝－3a。A车追上B车且刚好不相撞的条件是：vt＝0，这一过程A车相对于B车的位移为x，由运动学公式v－v＝2ax得：
02－v＝2·(－3a)·x，
所以v0＝。
即要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0<。
针对训练4．A、B两列火车，在同一轨道上同向行驶，A车在前，其速度vA＝10 m/s，B车在后，速度vB＝30 m/s，因大雾能见度很低，B车在距A车x0＝75 m时才发现前方有A车，这时B车立即刹车，但B车要经过180 m才能停止，问：B车刹车时A车仍按原速率行驶，两车是否会相撞？若会相撞，将在B车刹车后何时相撞？若不会相撞，则两车最近距离是多少？
【答案】　会相撞　在B车刹车后6 s时相撞
【解析】　B车刹车至停下来过程中，
由v2－v＝2ax得aB＝－＝－2.5 m/s2
画出A、B两物体的v－t图象如图所示
根据图象计算出8 s内两列车发生的位移分别为
xB＝×(10＋30)×8 m＝160 m
xA＝10×8 m＝80 m
因xB＞x0＋xA，故两车会相撞
设B车刹车后经过时间t′两车相撞，此时B车速度减为v，如图所示，则有×(v＋30)t′＝10t′＋x0
＝
联立两式并代入数据得t1′＝6 s，t2′＝10 s(舍去)。
随堂巩固
1．（多选）如图9所示为一个质点运动的位移x随时间t变化的图象，由此可知质点在0～4s内(　　)
图9
A. 先沿x轴正方向运动，后沿x轴负方向运动
B. 一直做匀变速运动
C. t=2s时速度一定最大
D. 速率为5m/s的时刻有两个
【答案】 CD
【解析】位移-时间图象切线的斜率表示速度，则0-4s内斜率一直为负，速度为负，说明质点一直沿x轴负方向，故A错误；图象的斜率先增大后减小，说明物体的速率先增大后减小，做变速运动，但不能判断是不是匀变速运动，t=2s时斜率最大，速度最大，故B错误，C正确．因为图线斜率先增大后减小，并且平均速度为5m/s,故在增大和减小的过程中都有一时刻的速度为5m/s,共有两个时刻速度大小为5m/s,故D正确；
2．一物体由静止开始沿直线运动，其加速度随时间变化的规律如图10所示。取物体开始运动的方向为正方向，则下列关于物体运动的v－t图象正确的是
图10
【答案】　C
【解析】　根据加速度随时间变化的图象可得，0～1 s为匀加速直线运动，速度v＝at＝t，速度为正方向，答案D错。第1秒末的速度v＝1 m/s，1～2 s加速度变为负值，而速度为正方向，因此为减速，v′＝1 m/s－a(t－1)，当第2秒末，速度减小为0，答案B错。2～3 s，加速度为正方向，初速度为0，物体为正方向的匀加速直线运动v＝a(t－2)＝t－2，即从第2秒开始又重复前面的运动，图象如C，选项C对、A错。
3．甲、乙两辆汽车在平直的公路上沿同一方向做直线运动，t＝0时刻同时经过公路旁的同一个路标。在描述两车运动的v－t图中(如图11所示)，直线a、b分别描述了甲、乙两车在0～20 s的运动情况。关于两车之间的位置关系，下列说法正确的是(　　)
图11
A．在0～10 s内，两车逐渐靠近
B．在10～20 s内，两车逐渐远离
C．在5～15 s内，两车的位移相等
D．在t＝10 s时，两车在公路上相遇
【答案】C
【解析】　根据v－t图线与时间轴所围面积表示位移可知：在0～10 s内，两车的位移差逐渐增大，即两车在远离，选项A错误；在10～20 s内，甲的速度大于乙的速度，两车在靠近，到20 s末两车相遇，选项B错误；在5～15 s内，由图线的对称关系知两图线在此时间段与时间轴所围面积相等，故两车位移相等，选项C正确；v－t图线的交点表示该时刻速度相等，选项D错误。
4．如图12所示，A、B两物体相距 x＝7 m，物体A以vA＝4 m/s的速度向右匀速运动，而物体B此时的速度vB＝10 m/s，只在摩擦力作用下向右做匀减速运动，加速度a＝－2 m/s2。那么物体A追上物体B所用的时间为(　　)
图12
A．7 s　　　　　　　　　 B．8 s
C．9 s D．10 s
【答案】B
【解析】物体B做匀减速运动，到速度为0时，所需时间t1＝ s＝5 s，运动的位移xB＝＝ m＝25 m。在这段时间内物体A的位移xA＝vAt1＝4×5 m＝20 m；显然还没有追上，此后物体B静止，设追上所用时间为t，则有4t＝x＋25 m，所以t＝8 s。故选B。
5．汽车A在红灯前停住，绿灯亮时启动，以0.4 m/s2的加速度做匀加速运动，经过30 s后以该时刻的速度做匀速直线运动．设在绿灯亮的同时，汽车B以8 m/s的速度从A车旁边驶过，且一直以相同的速度做匀速直线运动，运动方向与A车相同，则从绿灯亮时开始 (　　)
A．A车在加速过程中与B车相遇
B．A、B相遇时速度相同
C．相遇时A车做匀速运动
D．两车不可能相遇
【答案】　C
【解析】　作出A、B两车运动的v－t图象如图所示，v－t图象所包围的
“面积”表示位移，经过30 s时，两车运动图象所围面积并不相等，
所以在A车加速运动的过程中，两车并未相遇，所以选项A错误；
30 s后A车以12 m/s的速度做匀速直线运动，随着图象所围 “面积”越来越大，可以
判断在30 s后某时刻两车图象所围面积会相等，即两车会相遇，此时A车的速度要大于
B车的速度，所以两车不可能再次相遇，选项C正确，选项B、D错误．
课时检测
一、选择题(每小题6分，共54分)
1．辽宁舰航空母舰飞机飞行跑道上配备有拦阻索，这使得国产歼15舰载战斗机在航母上起降成为可能．若该机在甲板上加速起飞过程可看做匀变速直线运动，在某段时间内的x－t图象如图13所示，视歼15舰载战斗机为质点，根据图中所给数据判断该机加速起飞过程中，下列选项正确的是 (　　)
图13
A．经过图线上M点所对应位置时的速度小于2 m/s
B．在t＝2.5 s时的速率等于4 m/s
C．在2 s～2.5 s这段时间内位移等于2 m
D．在2.5 s～3 s这段时间内位移等于2 m
【答案】　B
【解析】　由题图可知，在2 s～3 s这段时间内该机的平均速度＝＝4 m/s，又匀变速直线运动的中间时刻速度等于这段时间内的平均速度，故在t＝2.5 s时的速度等于4 m/s，选项B正确；结合图象可知M点位于t＝2.5 s时刻之后，其速度大于4 m/s，选项A错误；该机在2 s～2.5 s这段时间内的平均速度小于4 m/s，所以位移小于2 m，选项C错误；而在2.5 s～3 s这段时间内，平均速度大于4 m/s，所以位移大于2 m，选项D错误．
2．质点做直线运动的速度－时间图象如图14所示，该质点（ ）
图14
A．在第1 s末速度方向发生了改变
B．在第2 s末加速度方向发生了改变
C．在前2 s内发生的位移为零
D．第3 s末和第5 s末的位置相同
【答案】　D
【解析】　由题图可知0～2 s内，速度为正，运动方向未改变，2 s末时，位移最大，v－t图线斜率表示加速度，1～3 s图线斜率未改变，故第2 s末加速度方向没有变化，A、B、C错误；由v－t图线与时间轴所围面积表示位移知，第3 s末和第5 s末质点位置相同，D正确。
3．(多选)某地在实施人工降雨时，竖直向上发射的气象火箭弹，先以2g的加速度向上匀加速运动，经时间t0后，变为匀速运动，再经时间t0后爆炸。(以向上为正方向下列关于其爆炸前运动的速度图象(v－t图)和加速度图象(a－t图)的描述，正确的是 ( )
【答案】　AC
【解析】　依题意可知，在0～t0时间内火箭弹向上做匀加速直线运动，因此其v－t图线应该是一条向上倾斜的线段，而a－t图线则是一条平行于横轴且在横轴上方的线段；在t0～2t0时间内火箭弹向上做匀速直线运动，因此其v－t图线应是一条平行于横轴的线段，而a－t图象则是一条与横轴重合的线段。
4．(多选)甲、乙两个物体从同一地点、沿同一直线同时做直线运动，其v－t图象如图15所示，则(　　)
图15
A．1 s时甲和乙相遇
B．0～6 s内甲乙相距最大距离为8 m
C．2～6 s内甲相对乙做匀速直线运动
D．4 s时乙的加速度方向反向
【答案】BC
【解析】两物体从同一地点出发，t＝1 s之前乙的速度一直大于甲的速度，故两物体在t＝1 s时不会相遇，A错误；在0～6 s内，在t＝6 s时两物体间距最大，最大距离为8 m，B正确；因2～6 s内甲、乙两物体减速的加速度相同，故v甲－v乙恒定不变，即甲相对乙做匀速直线运动，C正确，D错误。
5．(多选)从同一地点同时开始沿同一方向做直线运动的两个物体A、B的速度—时间图象如图16所示。在0～t0时间内，下列说法中正确的是
图16
A．A、B两个物体的加速度大小都在不断减小
B．A物体的加速度不断增大，B物体的加速度不断减小
C．A、B物体的位移都不断增大
D．A、B两个物体的平均速度大小都大于
6．两辆游戏赛车a、b在两条平行的直车道上行驶。t＝0时两车都在同一计时线处，此时比赛开始。它们在四次比赛中的v－t图象如图17所示，则在比赛中有一辆赛车追上了另一辆的图象是(　　)
图17
【答案】AC
【解析】　由v－t图象的特点可知，图线与t轴所围面积的大小即为物体位移的大小。观察4个图象，只有A、C选项中a、b所围面积的大小有相等的时刻，故选项A、C正确。
7．（多选）甲、乙两物体从同一位置沿同一直线运动，它们的x-t图像如图18所示（乙的图线为抛物线），下列说法正确的是
图18
A. t1时刻，两者相距最远
B. 0～t2时间内，乙的速度先减小后增大
C. t2时刻，甲物体追上乙
D. 乙物体先向负方向运动，t1时刻以后反向向正方向运动
【答案】 ABD
【解析】纵坐标之差表示甲乙之间的距离，由图象可知t1时刻两者相距最远，故A正确；在位移-时间图象中，斜率表示速度，由图象可知乙的斜率先负后正，乙物体先向负方向运动，t1时刻后反向向正方向运动，斜率先减小后增大，乙的速度先减小后增大，故B、D正确；图象交点表示相遇，t2时刻之前甲在乙的前面，则t2时刻乙物体追上甲，故C错误。
8．(多选)t＝0时，甲、乙两汽车从相距70 km的两地开始相向行驶，它们的v－t图象如图19所示。忽略汽车掉头所需时间。下列对汽车运动状况的描述正确的是
图19
A．在第1小时末，乙车改变运动方向
B．在第2小时末，甲、乙两车相距10 km
C．在前4小时内，乙车运动加速度的大小总比甲车的大
D．在第4小时末，甲、乙两车相遇
【答案】　BC
【解析】　第1小时末，图象上的拐点并不表示运动方向改变，而表示由匀加速变为匀减速，A错。由2小时末甲、乙两图线围成的面积，可知乙车位移为30 km，甲车位移也是30 km，B对。v－t图象的斜率表示加速度，从斜率可以看出，4 h内乙车加速度一直比甲车加速度大，C对。v－t图象的交点不表示相遇，只表示速度相等，由图象围成的面积知，甲的位移为120 km，乙的位移为30 km，原来相距70 km，最后相距20 km，D错。
9．[导学号：60810055](多选)将甲、乙两小球先后以同样的速度在距地面不同高度处竖直向上抛出，抛出时间间隔2 s，它们运动的v－t图象分别如图20直线甲、乙所示。则
图20
A．t＝2 s时，两球高度相差一定为40 m
B．t＝4 s时，两球相对于各自抛出点的位移相等
C．两球从抛出至落到地面所用的时间间隔相等
D．甲球从抛出至达到最高点的时间间隔与乙球的相等
二、计算题(共46分)
10．(14分)动物爱好者经过长期观察发现，猎豹从静止开始沿直线奔跑时，经过60 m的距离其速度加速到最大为30 m/s，以后只能维持这一速度4.0 s；羚羊从静止开始沿直线奔跑时，经过50 m的距离其速度加速到最大为25 m/s，并能保持这一速度奔跑较长的时间。一次猎豹在距羚羊x处对羚羊开始发起攻击，羚羊在猎豹发起攻击后1.0 s开始奔跑，结果猎豹在减速前追上了羚羊，试求x值的取值范围(假定猎豹和羚羊在加速阶段分别做匀加速直线运动，且均沿同一直线奔跑)。
图21
【答案】x≤55 m
【解析】设x＝x0时猎豹恰好在即将减速时追上了羚羊，所以猎豹做匀速运动时间t0＝4 s
由v2＝2ax得猎豹和羚羊加速运动时的加速度分别为
a1＝＝7.5 m/s2，a2＝＝6.25 m/s2
由v＝at得猎豹和羚羊加速运动过程所用时间分别为
t1＝＝4 s，t2＝＝4 s
猎豹在减速前发生的位移x3＝x1＋v1t0＝180 m
羚羊在猎豹减速前发生的位移x4＝x2＋v2(t0－1)＝125 m
所以x0＝x3－x4＝55 m
由题意分析可知，要使猎豹在减速前追上羚羊，应有x≤x0即x≤55 m
11．(16分)一辆值勤的警车停在公路边，当警员发现从他旁边以10 m/s的速度匀速行驶的货车有违章行为时，决定前去追赶，经过2 s后警车发动起来，并以2 m/s2的加速度做匀加速运动，试问：
(1)警车在追赶货车的过程中，两车间的最大距离是多少？
(2)若警车能达到的最大速度vm＝12 m/s，达到最大速度后以该速度匀速运动，则警车发动后要多长时间才能追上货车？
【答案】　(1)45 m　(2)28 s
【解析】　(1)警车在追赶货车的过程中，当两车速度相等时，它们间的距离最大，设警车发动后经过t1时间两车的速度相等，则t1＝＝ s＝5 s
此时货车位移x货＝v货t＝(2＋5)×10 m＝70 m
警车位移x警＝at＝×2×52 m＝25 m
所以两车间的最大距离Δx＝x货－x警＝45 m。
(2)当警车刚达到最大速度时，运动时间
t2＝＝ s＝6 s
此时货车位移x货′＝v货t′＝10×(2＋6)m＝80 m
警车位移x警′＝at＝×2×62 m＝36 m
因为x货′>x警′，故此时警车尚未赶上货车，且此时两车距离Δx′＝x货′－x警′＝44 m
警车达到最大速度后做匀速运动，设再用时t3追上，则
vmt3＝Δx′＋v货t3
解得t3＝22 s
警车发动后追上货车所需时间
t总＝t2＋t3＝28 s。
12．(16分)甲、乙两物体从同一地点出发同方向运动，其速度图象如图22所示。求：
图22
(1)从乙物体开始运动经多长时间两物体相遇？
(2)相遇处距出发点多远？
(3)相遇前两物体间的最大距离是多少？
第一部分 运动的描述 匀变速直线运动的研究
第3讲 运动图象、追及相遇问题(原卷版)
理解匀变速直线运动的x－t图象、v－t图象，并会用它们解决问题.
掌握追及与相遇问题的特点以及解决这类问题的一般方法．
一、直线运动的x—t图象
1．图象的意义
反映了做直线运动的物体_________随时间变化的规律。
2．两种特殊的x－t图象
(1)x－t图象是一条平行于时间轴的直线，说明物体处于__________状态。
(2)x－t图象是一条倾斜直线，说明物体处于_______________状态。
3．x－t图象中的“点”“线”“斜率”“截距”的意义
(1)点：两图线交点，说明两物体__________。
(2)线：表示研究对象的变化过程和规律。
(3)斜率：x－t图象的斜率表示_________的大小及方向。
(4)截距：纵轴截距表示t＝0时刻的初始_________，横轴截距表示位移为零的时刻。
直线运动的v－t图象
1．图象的意义
反映了做直线运动的物体的_________随时间变化的规律。
2．两种特殊的v－t图象
(1)若v－t图象是与横轴平行的直线，说明物体做__________________。
(2)若v－t图象是一条倾斜的直线，说明物体做_____________________。
3．v－t图象中的“点”“线”“斜率”“截距”“面积”的意义
(1)点：两图线交点，说明两物体在该时刻的___________相等。
(2)线：表示速度的变化过程和规律。
(3)斜率：表示______________的大小及方向。
(4)截距：纵轴截距表示t＝0时刻的______________，横轴截距表示速度为零的时刻。
(5)面积：数值上表示某段时间内的__________。
三、追及与相遇问题
1．追及与相遇问题的概述
当两个物体在_____________运动时，由于两物体的运动情况不同，所以两物体之间的距离会不断发生变化，两物体间距越来越大或越来越小，这时就会涉及追及、相遇或避免碰撞等问题。
2．在追及问题中，若后者能追上前者，则追上时，两者处于同一位置，后者的速度一定__________前者的速度；若后者追不上前者，则当后者的速度与前者相等时，两者相距最近．
3．在相遇问题中，同向运动的两物体追及即相遇；相向运动的物体，当各自发生的位移大小之和_________开始时两物体之间的距离时即相遇．
1．一遥控玩具汽车在平直路面上运动的位移－时间图象如图1所示，则
图1
A．15 s内汽车的位移为300 m
B．前10 s内汽车的加速度为3 m/s2
C．20 s末汽车的速度为－1 m/s
前25 s内汽车做单方向直线运动
2．如图2所示的位移－时间图象和速度－时间图象中，给出的四条图线1、2、3、4代表四个不同物体的运动情况．下列描述正确的是 (　　)
图2
A．图线1表示物体做曲线运动
B．x－t图象中t1时刻v1>v2
C．v－t图象中0至t3时间内图线3和图线4的平均速度大小相等
D．图线2和图线4中，t2、t4时刻都表示物体反向运动
3．[多选]某物体运动的速度图象如图3所示，根据图象可知(　　)
图3
A．0～2 s内的加速度为1 m/s2
B．0～5 s内的位移为10 m
C．第1 s末与第3 s末的速度方向相同
D．第1 s末与第5 s末加速度方向相同
4．甲、乙两物体先后从同一地点出发，沿一条直线运动，它们的v－t图象如图4所示，由图可知(　　)
图4
A．甲比乙运动快，且早出发，所以乙追不上甲
B．t＝20 s时，乙追上了甲
C．在t＝20 s之前，甲比乙运动快；在t＝20 s之后，乙比甲运动快
D．由于乙在t＝10 s时才开始运动，所以t＝10 s时，甲在乙前面，它们之间的距离为乙追上甲前的最大距离
要点一 运动图象的理解及应用
运动学图象主要有x－t图象和v－t图象，运用运动学图象解题可总结为六看：
1．一看“轴”：先要看清两轴所代表的物理量，即图象是描述哪两个物理量之间的关系．
2．二看“线”：图象表示研究对象的变化过程和规律．在v－t图象和x－t图象中倾斜的线分别表示物体的速度和位移随时间变化的运动情况．
3．三看“斜率”：x－t图象中斜率表示运动物体的速度大小和方向．v－t图象中斜率表示运动物体的加速度大小和方向．
4．四看“面积”：即图线和坐标轴所围的面积，也往往代表一个物理量，这要看两物理量的乘积有无意义．例如v和t的乘积vt＝x有意义，所以v－t图线与横轴所围“面积”表示位移，x－t图象与横轴所围“面积”无意义．
5．五看“截距”：截距一般表示物理过程的初始情况，例如t＝0时的位移或速度．
6．六看“特殊点”：例如交点、拐点(转折点)等．例如x－t图象的交点表示两质点相遇，但v－t图象的交点只表示速度相等．
要点二 追及相遇问题的分析
1．分析追及问题的方法技巧可概括为“一个临界条件”、“两个等量关系”．
(1)一个临界条件：速度相等．它往往是物体间能否追上或(两者)距离最大、最小的临界条件，也是分析判断问题的切入点；
(2)两个等量关系：时间关系和位移关系，通过画草图找出两物体的时间关系和位移关系是解题的突破口．
2．能否追上的判断方法
物体B追赶物体A：开始时，两个物体相距x0.若vA＝vB时，xA＋x0vA＝vB时，xA＋x0＝xB，则恰好不相撞；若vA＝vB时，xA＋x0>xB，则不能追上．
3．若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断追上前该物体是否已经停止运动
4．分析追及与相遇问题常用的方法：
(1)临界条件法：当二者速度相等时，二者相距最远(最近)．
(2)图象法：画出x－t图象或v－t图象，然后利用图象进行分析求解．
(3)数学判别式法：设相遇时间为t，根据条件列方程，得到关于t的一元二次方程，用判别式进行讨论，若Δ>0，即有两个解，说明可以相遇两次；若Δ＝0，说明刚好追上或相遇；若Δ<0，说明追不上或不能相遇．
(4)相对运动法：用相对运动的知识求解追及或相遇问题时，要注意将两个物体对地的物理量(速度、加速度和位移)转化为相对的物理量。在追及问题中，常把被追及物体作为参考系，这样追赶物体相对被追物体的各物理量即可表示为：x相对＝x后－x前＝x0，v相对＝v后－v前，a相对＝a后－a前，且上式中各物理量(矢量)的符号都应以统一的正方向进行确定。
要点一 运动图象的理解及应用
【例题1】设物体运动的加速度为a、速度为v、位移为x、所受合外力为F。现有四个不同物体的运动过程中某物理量与时间的关系图象，如图5所示。已知t＝0时刻物体的速度均为零，则其中表示物体做单向直线运动的图象是
【答案】C
【解析】由A、B项图象可直接看出，两图象中两物体均做往复运动，A、B均错误，画出C、D项的v－t图，分别如图甲、乙所示，可知C项正确、D项错误。
针对训练1．（2018年高考理综全国III卷）（多选）甲乙两车在同一平直公路上同向运动，甲做匀加速直线运动，乙做匀速直线运动。甲乙两车的位置x随时间t的变化如图6所示。下列说法正确的是
图6
A. 在t1时刻两车速度相等
B. 从0到t1时间内，两车走过的路程相等
C. 从t1到t2时间内，两车走过的路程相等
D. 从t1到t2时间内的某时刻，两车速度相等
要点二　运动图象的应用
【例题2】某同学欲估算飞机着陆时的速度，他假设飞机在平直跑道上做匀减速运动，飞机在跑道上滑行的距离为s，从着陆到停下来所用的时间为t，实际上，飞机的速度越大，所受的阻力越大，则飞机着陆时的速度应是 (　　)
A．v＝ B．v＝
C．v> D.【答案】　C
【解析】　由题意知，当飞机的速度减小时，所受的阻力减小，因而它的加速度会逐渐变小．画出相应的v－t图象大致如图所示。根据图象的意义可知，实线与坐标轴包围的面积为s，虚线(匀减速运动)下方的“面积”表示的位移为：t.应有：t>s，所以v>，所以选项C正确．
针对训练2．（2018年高考理综全国II卷）（多选）甲、乙两汽车同一条平直公路上同向运动，其速度—时间图像分别如图7中甲、乙两条曲线所示。已知两车在t2时刻并排行驶，下列说法正确的是（ ）
图7
A. 两车在t1时刻也并排行驶
B. t1时刻甲车在后，乙车在前
C. 甲车的加速度大小先增大后减小
D. 乙车的加速度大小先减小后增大
要点三 追及和相遇问题
【例题3】甲车以10 m/s的速度在平直的公路上匀速行驶，乙车以4 m/s的速度与甲车平行同向做匀速直线运动．甲车经过乙车旁边时开始以0.5 m/s2的加速度刹车，从甲车刹车开始计时，求：
(1)乙车在追上甲车前，两车相距的最大距离；
(2)乙车追上甲车所用的时间．
【答案】　(1)36 m　(2)25 s
【解析】　(1)当甲车速度减至等于乙车速度时两车的距离最大，设该减速过程所用时间为t，
则有v乙＝v甲－at，解得t＝12 s，
此时甲、乙间距离为v甲t－at2－v乙t＝36 m
(2)设甲车减速到零所需时间为t1，则有t1＝＝20 s
t1时间内，x甲＝＝×20 m＝100 m
x乙＝v乙t1＝4×20 m＝80 m
此后乙车运动时间t2＝＝ s＝5 s
故乙车追上甲车需t1＋t2＝25 s.
针对训练3．如图8所示，直线MN表示一条平直公路，甲、乙两辆汽车原来停在A、B两处，A、B间的距离为85 m，现甲车先开始向右做匀加速直线运动，加速度a1＝2.5 m/s2，甲车运动6.0 s时，乙车开始向右做匀加速直线运动，加速度a2＝5.0 m/s2，求两辆汽车相遇处距A处的距离．
图8
要点四 分析追及相遇问题的几种常用方法
【例题4】在水平轨道上有两列火车A和B相距x，A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动，而B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动，两车运动方向相同。要使两车不相撞，求A车的初速度v0满足什么条件。
【答案】v0<
【解析】　时其速度最大只能与B车相等。设A、B两车从相距x到A车追上B车时，A车的位移为xA、末速度为vA、所用时间为t；B车的位移为xB、末速度为vB、运动过程如图1－4－7所示，现用四种方法解答如下：
图1－4－7
法一：临界法　利用位移公式、速度公式求解，对A车有xA＝v0t＋×(－2a)×t2，vA＝v0＋(－2a)×t，
对B车有xB＝at2，vB＝at，
两车位移关系有x＝xA－xB，
追上时，两车不相撞的临界条件是vA＝vB，
联立以上各式解得v0＝。
故要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0<。
法二：函数法　利用判别式求解，由解法一可知xA＝x＋xB，即v0t＋×(－2a)×t2＝x＋at2，
整理得3at2－2v0t＋2x＝0。
这是一个关于时间t的一元二次方程，当根的判别式Δ＝(－2v0)2－4·3a·2x<0时，t无实数解，即两车不相撞，所以要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0<。
法三：图象法　
利用v－t图象求解，先作A、B两车的v－t图象，如图1－4－8所示，设经过t时间两车刚好不相撞，则对A车有vA＝v＝v0－2at，
图1－4－8
对B车有vB＝v＝at，
以上两式联立解得t＝。
经t时间两车发生的位移之差为原来两车间的距离x，它可用图中的阴影面积表示，由图象可知
x＝v0·t＝v0·＝，
所以要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0<。
法四：相对运动法　巧选参考系求解。以B车为参考系，A车的初速度为v0，加速度为a＝－2a－a＝－3a。A车追上B车且刚好不相撞的条件是：vt＝0，这一过程A车相对于B车的位移为x，由运动学公式v－v＝2ax得：
02－v＝2·(－3a)·x，
所以v0＝。
即要使两车不相撞，A车的初速度v0应满足的条件是v0<。
针对训练4．A、B两列火车，在同一轨道上同向行驶，A车在前，其速度vA＝10 m/s，B车在后，速度vB＝30 m/s，因大雾能见度很低，B车在距A车x0＝75 m时才发现前方有A车，这时B车立即刹车，但B车要经过180 m才能停止，问：B车刹车时A车仍按原速率行驶，两车是否会相撞？若会相撞，将在B车刹车后何时相撞？若不会相撞，则两车最近距离是多少？
随堂巩固
1．（多选）如图9所示为一个质点运动的位移x随时间t变化的图象，由此可知质点在0～4s内(　　)
图9
A. 先沿x轴正方向运动，后沿x轴负方向运动
B. 一直做匀变速运动
C. t=2s时速度一定最大
D. 速率为5m/s的时刻有两个
2．一物体由静止开始沿直线运动，其加速度随时间变化的规律如图10所示。取物体开始运动的方向为正方向，则下列关于物体运动的v－t图象正确的是
图10
3．甲、乙两辆汽车在平直的公路上沿同一方向做直线运动，t＝0时刻同时经过公路旁的同一个路标。在描述两车运动的v－t图中(如图11所示)，直线a、b分别描述了甲、乙两车在0～20 s的运动情况。关于两车之间的位置关系，下列说法正确的是(　　)
图11
A．在0～10 s内，两车逐渐靠近
B．在10～20 s内，两车逐渐远离
C．在5～15 s内，两车的位移相等
D．在t＝10 s时，两车在公路上相遇
4．如图12所示，A、B两物体相距 x＝7 m，物体A以vA＝4 m/s的速度向右匀速运动，而物体B此时的速度vB＝10 m/s，只在摩擦力作用下向右做匀减速运动，加速度a＝－2 m/s2。那么物体A追上物体B所用的时间为(　　)
图12
A．7 s　　　　　　　　　 B．8 s
C．9 s D．10 s
5．汽车A在红灯前停住，绿灯亮时启动，以0.4 m/s2的加速度做匀加速运动，经过30 s后以该时刻的速度做匀速直线运动．设在绿灯亮的同时，汽车B以8 m/s的速度从A车旁边驶过，且一直以相同的速度做匀速直线运动，运动方向与A车相同，则从绿灯亮时开始 (　　)
A．A车在加速过程中与B车相遇
B．A、B相遇时速度相同
C．相遇时A车做匀速运动
D．两车不可能相遇
课时检测
一、选择题(每小题6分，共54分)
1．辽宁舰航空母舰飞机飞行跑道上配备有拦阻索，这使得国产歼15舰载战斗机在航母上起降成为可能．若该机在甲板上加速起飞过程可看做匀变速直线运动，在某段时间内的x－t图象如图13所示，视歼15舰载战斗机为质点，根据图中所给数据判断该机加速起飞过程中，下列选项正确的是 (　　)
图13
A．经过图线上M点所对应位置时的速度小于2 m/s
B．在t＝2.5 s时的速率等于4 m/s
C．在2 s～2.5 s这段时间内位移等于2 m
D．在2.5 s～3 s这段时间内位移等于2 m
2．质点做直线运动的速度－时间图象如图14所示，该质点（ ）
图14
A．在第1 s末速度方向发生了改变
B．在第2 s末加速度方向发生了改变
C．在前2 s内发生的位移为零
D．第3 s末和第5 s末的位置相同
3．(多选)某地在实施人工降雨时，竖直向上发射的气象火箭弹，先以2g的加速度向上匀加速运动，经时间t0后，变为匀速运动，再经时间t0后爆炸。(以向上为正方向下列关于其爆炸前运动的速度图象(v－t图)和加速度图象(a－t图)的描述，正确的是 ( )
4．(多选)甲、乙两个物体从同一地点、沿同一直线同时做直线运动，其v－t图象如图15所示，则(　　)
图15
A．1 s时甲和乙相遇
B．0～6 s内甲乙相距最大距离为8 m
C．2～6 s内甲相对乙做匀速直线运动
D．4 s时乙的加速度方向反向
5．(多选)从同一地点同时开始沿同一方向做直线运动的两个物体A、B的速度—时间图象如图16所示。在0～t0时间内，下列说法中正确的是
图16
A．A、B两个物体的加速度大小都在不断减小
B．A物体的加速度不断增大，B物体的加速度不断减小
C．A、B物体的位移都不断增大
D．A、B两个物体的平均速度大小都大于
6．两辆游戏赛车a、b在两条平行的直车道上行驶。t＝0时两车都在同一计时线处，此时比赛开始。它们在四次比赛中的v－t图象如图17所示，则在比赛中有一辆赛车追上了另一辆的图象是(　　)
图17
7．（多选）甲、乙两物体从同一位置沿同一直线运动，它们的x-t图像如图18所示（乙的图线为抛物线），下列说法正确的是
图18
A. t1时刻，两者相距最远
B. 0～t2时间内，乙的速度先减小后增大
C. t2时刻，甲物体追上乙
D. 乙物体先向负方向运动，t1时刻以后反向向正方向运动
8．(多选)t＝0时，甲、乙两汽车从相距70 km的两地开始相向行驶，它们的v－t图象如图19所示。忽略汽车掉头所需时间。下列对汽车运动状况的描述正确的是
图19
A．在第1小时末，乙车改变运动方向
B．在第2小时末，甲、乙两车相距10 km
C．在前4小时内，乙车运动加速度的大小总比甲车的大
D．在第4小时末，甲、乙两车相遇
9．(多选)将甲、乙两小球先后以同样的速度在距地面不同高度处竖直向上抛出，抛出时间间隔2 s，它们运动的v－t图象分别如图20直线甲、乙所示。则
图20
A．t＝2 s时，两球高度相差一定为40 m
B．t＝4 s时，两球相对于各自抛出点的位移相等
C．两球从抛出至落到地面所用的时间间隔相等
D．甲球从抛出至达到最高点的时间间隔与乙球的相等
二、计算题(共46分)
10．(14分)动物爱好者经过长期观察发现，猎豹从静止开始沿直线奔跑时，经过60 m的距离其速度加速到最大为30 m/s，以后只能维持这一速度4.0 s；羚羊从静止开始沿直线奔跑时，经过50 m的距离其速度加速到最大为25 m/s，并能保持这一速度奔跑较长的时间。一次猎豹在距羚羊x处对羚羊开始发起攻击，羚羊在猎豹发起攻击后1.0 s开始奔跑，结果猎豹在减速前追上了羚羊，试求x值的取值范围(假定猎豹和羚羊在加速阶段分别做匀加速直线运动，且均沿同一直线奔跑)。
图21
11．(16分)一辆值勤的警车停在公路边，当警员发现从他旁边以10 m/s的速度匀速行驶的货车有违章行为时，决定前去追赶，经过2 s后警车发动起来，并以2 m/s2的加速度做匀加速运动，试问：
(1)警车在追赶货车的过程中，两车间的最大距离是多少？
(2)若警车能达到的最大速度vm＝12 m/s，达到最大速度后以该速度匀速运动，则警车发动后要多长时间才能追上货车？
12．(16分)甲、乙两物体从同一地点出发同方向运动，其速度图象如图22所示。求：
图22
(1)从乙物体开始运动经多长时间两物体相遇？
(2)相遇处距出发点多远？
(3)相遇前两物体间的最大距离是多少？

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