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第10讲 巧求周长
姓名:___________
【例题精讲】
【例1】求图中所有线段的总长(单位：厘米)
【例2】如图，正方形的边长为，被分割成如下个小长方形，求这个小长方形的所有周长之和．
【例3】下图表示一块地，四周都用篱笆围起来，转弯处都是直角．已知西边篱笆长米，南边篱笆长米．四周篱笆长多少米？
【例4】一个周长是20厘米的正方形，剪下一个周长是6厘米的正方形，剩下的图形的周长是多少？
【例5】求下图的周长．
【例6】如下图是某校的平面图，已知线段a＝120米，b＝130米，c＝70米，d＝60米，l＝250米．杨老师每天早晨绕学校跑3圈，问每天跑多少米？
【例7】下面两张图中，周长较大的是 ．(在横线上填写表示图名的字母)
【例8】用同样的长方形条砖，在一个盆的周围砌成一个正方形边框，如右图所示．已知外面大正方形的周长是厘米，里面小正方形的面积是平方厘米，每块长方形条砖的长是_________厘米，宽是______厘米．
【回家作业】
1、如图所示，一个大长方形被三条线段分成了四个小长方形，各条线段长度见图(单位：厘米)．求：图中所有长方形的周长之和．
2、如右图，正方形的边长是厘米，过正方形内的任意两点画直线，可把正方形分成个小长方形。这个小长方形的周长之和是多少厘米？
3、求下面图形的周长。
4、求下图的周长．
5、下图的小正方形边长为1厘米．这个图形的外沿的周长是多少厘米？
6、将若干个边长为的正六边形(即单位六边形)拼接起来，得到一个拼接图形，如图：
那么，要拼接成周长等于的拼接图形，需要多少个单位六边形？画出对应的一种图形
7、冯大叔给儿子做玩具用个一样大的小长方形拼图，拼出了如图甲、乙的两种图案：图案甲是一个正方形，图案乙是一个大的长方形；图案甲的中间留下了边长是的正方形小洞．求小长方形的长和宽？
8、下图是一面砖墙的平面图，每块砖长20厘米，高8厘米，像图中那样一层、二层…一共摆十层，求摆好后这十层砖墙的周长是多少？
第11讲 不规则图形的面积
姓名:___________
【例题精讲】
【例1】这是一个楼梯的截面图，高280厘米，每级台阶的宽和高都是20 厘米．问，此楼梯截面的面积是多少？

【例2】有一块菜地长米，宽米，菜地中间留了宽米的路，把菜地平均分成四块，每一块地的面积是多少？

【例3】下图(单位：厘米)是两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面积。
【例4】图中，甲、乙两个正方形的边长的和是厘米，甲正方形比乙正方形的面积大平方厘米．求乙正方形的面积．
【例5】如图所示，厘米，比的面积小平方厘米，求的长为多少厘米？
【例6】如图，平行四边形ABCD种，，直角三角形ECB的边，已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大，求平行四边形ABCD的面积．
【例7】一张长方形纸片，先把长剪去8厘米，这时面积减少了72平方厘米，又把宽剪去5厘米，这时面积又减少了60平方厘米，原来这张长方形纸片的面积是多少平方厘米？
【例8】如图，大正方形的边长为10厘米．连接大正方形的各边中点得小正方形，将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连，那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米？
【例9】已知图中大正方形的面积是22平方厘米，小正方形面积是多少平方厘米？
【例10】甲、乙、丙三个正方形，它们的边长分别是6、8、10厘米，乙的一个顶点在甲的中心上，丙的一个顶点在乙的中心上．这三个正方形的覆盖面积是多少平方厘米？
【回家作业】
1、求图中五边形的面积．
2、右图中甲的面积比乙的面积大多少？
3、右图中，矩形的边为厘米，为厘米，三角形比三角形的面积大平方厘米，求的长．
4、有一个长方形，如果宽减少米，或长减少3米，则面积均减少平方米，求这个长方形的面积？
5、如右图所示，在一个正方形上先截去宽分米的长方形，再截去宽分米的长方形，所得图形的面积比原正方形减少平方分米．原正方形的边长是______分米。
6、一个边长为20厘米的正方形，依次连接四边中点得到第二个正方形，这样继续下去可得到第三个、第四个、第五个正方形．求第五个正方形的面积？
7、如图所示，外侧大正方形的边长是，在里面画两条对角线、一个圆、两个正方形，阴影的总面积为，最小的正方形的边长为多少厘米？
8、如图，平面上是正方形，是等腰梯形，它的上底厘米，下底厘米．求三角形的面积。
第12讲 等积模型
姓名:___________
【知识要点】
我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积底高
从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．
如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)；
如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；
这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的，则三角形面积与原来的一样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．
在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论：
①等底等高的两个三角形面积相等；
②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；
两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；
如左图

③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图；
反之，如果，则可知直线平行于．
④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；
⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比
【例题精讲】
【例1】如图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线上．
⑴ 求三角形ABC的面积是三角形ABD面积的多少倍？
⑵ 求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍？
【例2】长方形的面积为36，、、为各边中点，为边上任意一点，问阴影部分面积是多少？
【例3】如右图，，，已知阴影部分面积为5平方厘米，求的面积。
【例4】图中三角形的面积是180平方厘米，是的中点，的长是长的3倍，的长是 长的3倍．那么三角形的面积是多少平方厘米？
【例5】如图，大长方形由面积是12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四个小长方形组合而成．求阴影部分的面积．
【例6】如图，有三个正方形的顶点、、恰好在同一条直线上，其中正方形的边长为10厘米，求阴影部分的面积．
【例7】已知正方形边长为10，正方形边长为6，求阴影部分的面积．
【例8】)如下图，、分别是梯形的下底和腰上的点，，并且甲、乙、丙个三角形面积相等．已知梯形的面积是平方厘米．求图中阴影部分的面积．
【回家作业】
如右图，和都是矩形，的长是厘米，的长是厘米，那么图中阴影部分的面积是多少？
如图，长方形的面积是平方厘米，点、、分别是长方形边上的中点，为边上的任意一点，求阴影部分的面积
3、在边长为6厘米的正方形内任取一点，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与点连接,求阴影部分面积．
4、如图，在平行四边形ABCD中，EF平行AC，连结BE、AE、CF、BF那么与BEC等积的三角形一共有哪几个三角形？
5、如图，三角形ABC的面积是24，D、E和F分别是BC、AC和AD的中点．求三角形DEF的面积．
6、如图所示，四边形与都是平行四边形，请你证明它们的面积相等．
7、如右图，在平行四边形中，直线交于，交延长线于，若，求 的面积．
8、右图中，和是两个正方形，和相交于，已知等于的三分之一，三角形的面积等于6平方厘米，求五边形的面积．
第13讲 鸟头模型
姓名:___________
【知识要点】
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．
如图在中，分别是上的点如图 ⑴(或在的延长线上，在上)，
则

【例题精讲】
【例1】如图在中，分别是上的点，且，，平方厘米，求的面积．
【例2】如图所示，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，，三角形AFE(图中阴影部分)的面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？

【例3】已知的面积为平方厘米，，求的面积．
【例4】如图所示，正方形边长为6厘米，，，求三角形的面积.
【例5】如图，已知三角形面积为，延长至，使；延长至，使；延长至，使，求三角形的面积．

【例6】如图，四边形的面积是平方米，，，，，求四边形的面积．
【例7】如图，将四边形的四条边、、、分别延长两倍至点、、、，若四边形的面积为5，求四边形的面积
【例8】如图所示，正方形边长为厘米，是的中点，是的中点，是的中点，三角形的面积是多少平方厘米？
【回家作业】
1、如图，三角形中，是的5倍，是的3倍，如果三角形的面积等于1，那么三角形的面积是多少？
2、如图，三角形ABC被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，，，，乙部分面积是甲部分面积的几倍？
3、如图在中，在的延长线上，在上，且，，平方厘米，求的面积．
4、如图，三角形的面积为3平方厘米，其中，，三角形的面积是多少？
5、如图，平行四边形，，，，，平行四边形的面积是， 求平行四边形与四边形的面积比．
6、如图，在中，延长至，使，延长至，使，是的中点，若的面积是，则的面积是多少？
7、如图，，，，，．求．
第1讲 分数的简便运算
姓名:___________
【知识要点】
一、常用运算定律
加法交换律：a＋b＝b＋a
加法结合律：a＋b＋c＝(a＋b)＋c a＋(b＋c)＝(a＋c)+b
乘法交换律：ab＝ba
乘法结合律：abc＝(ab)c＝a(bc)＝(ac)b
乘法分配律：a(b＋c)＝ab＋ac ab＋ac= a(b＋c)
减法的运算性质：a－b－c＝a－(b＋c)
除法的运算性质：a÷b÷c＝a÷(b×c) a÷(b×c)= a÷b÷c=a÷c÷b
a÷b×c＝a÷(b÷c) a÷(b÷c)= a÷b×c
二、分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变。这叫做分数的基本性质。
三、凑整、拆分：将一个比整十、整百、整千稍大或稍小的数写成整十、整百、整千与一个较小分数的和或差的形式；或将一个分数拆成两个数的乘式。
【例题精讲】
类型一、分数的简便运算
【例1】计算：
【例2】计算：
【例3】计算：
【例4】计算：
【例5】计算：
【例6】计算：
【例7】计算：
【例8】计算：
【例9】计算：
【例10】计算：
【例11】计算：
【例12】计算：
【例13】计算：
【回家作业】
1.计算：73×
2.计算：166÷41
3.计算：2004×
4.计算：
5.计算：
6.计算：
7.计算：
8.计算：
第2讲 分数的裂项
姓名:___________
【例题精讲】
【例1】将表示成形如的表达式，其中为不同的非零自然数。
【例2】将表示成形如的表达式，其中为不同的非零自然数。
【例3】计算：
【例4】
【例5】计算：
【例6】计算：
【例7】计算：
【例8】计算：
第3讲 比较大小和估值
姓名:___________
【例题精讲】
【例1】如果a，b，那么a，b中较大的数是哪个？
【例2】 试比较和的大小。
【例3】把下列分数用“”号连接起来： ，，，，
【例4】如果，比较A和B的大小。
【例5】 ，在上式的方框内填入一个整数，使两端的不等号成立，那么要填的整数是多少?
【例6】与相比，哪个更大，为什么？
【例7】求数 的整数部分。
【例8】求数的整数部分是几？
【例9】已知x0.90.990.9990.9999999999．求x的整数部分。
【例10】下式中五个分数都是最简真分数，要使不等式成立，这些分母的和最小是多少？
【回家作业】
1.在，，中，最小的分数是几？
2.设a= ，b= ,比较a和b的大小。
3.的值最接近哪个整数？
4. 求的整数部分是多少?
第4讲 巧用公式计算
姓名:___________
【例题精讲】
【例1】若A*B表示（A＋3B）×（A＋B），求5*7的值。
【例2】[A]表示自然数A的约数的个数.例如,4有1,2,4三个约数,可以表示成[4]=3.计算:= .
【例3】设a,b是两个非零的数,定义a※b.
(1)计算(2※3)※4与2※(3※4).
(2)如果已知a是一个自然数,且a※3=2,试求出a的值.
【例4】计算：
【例5】计算：
【例6】计算：
【例7】计算：
【例8】计算
【回家作业】
1、已知a,b是任意自然数,我们规定: a⊕b= a+b-1,,那么
.
2、表示成;表示成.
试求下列的值:（ ），，
3、计算：
下列数阵中有100个数，它们的和是多少？

计算：
计算：
计算：
在这二百个自然数中，所有能被4整除或能被11整除的数的和是多少？
第5讲 数的整除
姓名:___________
【知识要点】
一、常见数字的整除判定方法
1. 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；
一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；
一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；
2. 一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；
一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；
3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除.
4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除.
【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）
二、整除性质
性质1 如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除．即如果c︱a，
c︱b，那么c︱(a±b)．
性质2 如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除．即如果b∣a，
c∣b，那么c∣a．
用同样的方法，我们还可以得出：
性质3 如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除．即如果bc∣a，那
么b∣a，c∣a．
性质4 如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b
与c的乘积整除．即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么bc∣a．
例如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4) ∣12．
性质5 如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除．如果 b｜a，那么bm｜am（m为非0整数）；
性质6 如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么ac也能被bd整除．如果 b｜a ，且d｜c ，那么bd｜ac
【例题精讲】
【例1】已知道六位数20□279是13的倍数，求□中的数字是几？
【例2】六位数能被99整除，是多少？
【例3】若，则所有满足要求的五位数之和等于几？
【例4】两个七位数和均能被3整除。则C的最小值为几？
【例5】一个六位数能被9和11整除，则这个六位数是几？
【例6】若，则所有满足要求的五位数中，最大的数是几？
【例7】一个五位数，能被91整除，并且末三位组成的三位数与前两位组成的两位数的总和为320，这个五位数是几？
【例8】五位数能同时被11和25整除。这个五位数是多少？
【例9】在235后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，并且要求这个数值尽可能小，这个六位数是多少？
【例10】两个四位数和相乘，要使它们的乘积能被36整除，求A和B。
【回家作业】
1、173□是个四位数字。数学老师说：“我在这个□中先后填人3个数字，所得到的3个四位数，依次可被9、11、6整除。”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少？
2、如果六位数1992□□能被105整除，那么它的最后两位数是多少？
3、在方框中填上两个数字，可以相同也可以不同，使4□32□是9的倍数. ⑴请随便填出一种，并检查自己填的是否正确； ⑵一共有多少种满足条件的填法？
4、一位后勤人员买了72本笔记本，可是由于他吸烟不小心，火星落在帐本上，把这笔帐的总数烧去两个数字.帐本是这样的：72本笔记本，共□□元(□为被烧掉的数字)，请把□处数字补上，并求笔记本的单价。
5、各位数码是0、1或2，且能被225整除的最小自然数是多少？
6、张老师带领同学们去种树，学生的人数恰好等分成三组.已知老师和学生共种树312棵，老师与学生每人种的树一样多，并且不超过10棵.问：一共有多少学生？每人种了几棵树？
7、在865后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个数值尽可能的小。
8、要使能被36整除，而且所得的商最小，那么分别是多少？
第6讲 质数、合数、约数与倍数
姓名:___________
【例题精讲】
【例1】不成倍数的两个自然数a和b。已知（a，b）=6，[a，b]=72，求a+b的值。
【例2】两个数的最大公约数和最小公倍数分别是3和135，则这两个数的差最小是几？
【例3】三个连续自然数的乘积等于39270。这三个连续自然数的和等于多少？
【例4】2001个连续的自然数的和等于，其中为质数，求的最小值。
【例5】为质数，求。
【例6】如果一个数，将它的数字倒排后所得的数仍是这个数，我们称这个数为回文数。如年份数1991，具有如下两个性质：①1991是一个回文数；②1991可以分解成一个两位质数回文数和一个三位质数回文数的积。在1000年到2000年之间的一千年中，除了1991外，具有性质①和②的年份数，有哪些？
【例7】甲乙两数的最小公倍数是90，乙丙两数的最小公倍数是105，甲丙两数的最小公倍数是126，那么甲数是多少？
【例8】有4个不同的正整数，它们的和是1111。请问：它们的最大公约数最大能是多少？
【回家作业】
1、把一张长1米3分米5厘米、宽1米5厘米的纸裁成同样大小的正方形纸块，而没有剩余，问：能裁成最大的正方形纸块的边长是多少？共可裁成几块？
2、一个房间长450厘米，宽330厘米．现计划用方砖铺地，问需要用边长最大为多少厘米的方砖多少块(整块)，才能正好把房间地面铺满？
3、有336个苹果，252个桔子，210个梨，用这些水果最多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，三样水果各多少？
4、把20个梨和25个苹果平均分给小朋友，分完后梨剩下2个，而苹果还缺2个，一共最多有多少个小朋友？
5、两个自然数的和是50，它们的最大公约数是5，试求这两个数的差。
6、一个两位数有6个约数，且这个数最小的3个约数之和为10，那么此数为几？
7、甲、乙两人同时从A点背向出发，沿400米的环形跑道行走，甲每分钟走80米，乙每分钟走50米，两人至少经过多长时间才能在A点相遇？
8、已知两个自然数的积为240，最小公倍数为60，求这两个数。
第7讲 位值原理
姓名:___________
【知识要点】
位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。
位值原理的表达形式：以六位数为例：a×100000+b×10000+c×1000+d×100+e×10+f。
【例题精讲】
【例1】某三位数和它的反序数的差被99除，商等于______与______的差。
【例2】如果一个自然数的各个数码之积加上各个数码之和，正好等于这个自然数，我们就称这个自然数为“巧数”。例如，99就是一个巧数，因为9×9＋(9＋9)＝99。可以证明，所有的巧数都是两位数。请你写出所有的巧数。
【例3】有三个数字能组成6个不同的三位数，这6个三位数的和是2886，求所有这样的6个三位数中最小的三位数。
【例4】一辆汽车进入高速公路时，入口处里程碑上是一个两位数，汽车匀速行使，一小时后看到里程碑上的数是原来两位数字交换后的数。又经一小时后看到里程碑上的数是入口处两个数字中间多一个0的三位数，请问：再行多少小时，可看到里程碑上的数是前面这个三位数首末两个数字交换所得的三位数。
【例5】已知
【例6】一个六位数，如果满足，则称为“迎春数”(例如，则102564就是“迎春数”)。请你求出所有“迎春数”的总和。
【例7】 A是一个两位数，它的6倍是一个三位数B，如果把B放在A的左边或者右边得到两个不同的五位数，并且这两个五位数的差是一个完全平方数(整数的平方)，那么A的所有可能取值之和为多少？
【例8】将四位数的数字顺序重新排列后，可以得到一些新的四位数．现有一个四位数码互不相同，且没有0的四位数，它比新数中最大的小3834，比新数中最小的大4338．求这个四位数。
【回家作业】
1、与的差被9除，商等于______与______的差。
2、把一个两位数的十位与个位上的数字加以交换，得到一个新的两位数．如果原来的两位数和交换后的新的两位数的差是45，试求这样的两位数中最大的是多少？
3、有3个不同的数字，用它们组成6个不同的三位数，如果这6个三位数的和是1554，那么这3个数字分别是多少？
4、在两位自然数的十位与个位中间插入0～9中的一个数码，这个两位数就变成了三位数，有些两位数中间插入某个数码后变成的三位数，恰好是原来两位数的9倍。求出所有这样的三位数。
5、已知一个四位数加上它的各位数字之和后等于2008，则所有这样的四位数之和为多少？
6、如果把数码5加写在某自然数的右端，则该数增加，这里A表示一个看不清的数码，求这个数和A。
7、有一个两位数，如果把数码3加写在它的前面，则可得到一个三位数，如果把数码3加写在它的后面，则可得到一个三位数，如果在它前后各加写一个数码3，则可得到一个四位数．将这两个三位数和一个四位数相加等于．求原来的两位数。
8、某八位数形如，它与3的乘积形如，则七位数应是多少？
第8讲 完全平方数
姓名:___________
【例题精讲】
【例1】 1016与正整数的乘积是一个完全平方数，则的最小值是多少？
【例2】一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个数是多少？
【例3】 已知是一个四位数，若两位数是一个质数，是一个完全平方数，是一个质数与一个不为1的完全平方数之积，则满足条件的所有四位数是多少？
【例4】已知自然数n满足：除以n得到一个完全平方数，则n的最小值是多少？
【例5】 、都是三位数，且是的倍，若将放在的左右两边，可以得到两个六位数，已知这两个六位数的差是一个完全平方数，那么求满足条件的所有的平均数。
【例6】有两个两位数，它们的差是14，将它们分别平方，得到的两个平方数的末两位数(个位数和十位数)相同，那么这两个两位数是多少？
【例7】考虑下列32个数：，，，……，，请你去掉其中的一个数，使得其余各数的乘积为一个完全平方数，划去的那个数是几？
【例8】100名同学，编号为1～100，面向南站成一排，第1次全体同学向后转；第2次编号为2的倍数的同学向后转；第3次编号为3的倍数的同学向后转；……；第100次编号为100的倍数的同学向后转；这时，面向南的同学有多少名？
【回家作业】
1、3个互不相同的自然数之和为55，其中每两个数之和是完全平方数，那么这三个自然数分别是多少？
2、 三个自然数，它们都是完全平方数，最大的数减去第二大的数的差为80，第二大的数减去最小的数的差为60，求这三个数。
3、从1到2008的所有自然数中，乘以72后是完全平方数的数共有多少个？
4、两个完全平方数的差为77，则这两个完全平方数的和最大是多少？最小是多少？
5、A是一个两位数，它的6倍是一个三位数B，如果把B放在A的左边或者右边得到两个不同的五位数，并且这两个五位数的差是一个完全平方数(整数的平方)，那么A的所有可能取值之和为多少？
6、写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数。
7、已知恰是自然数b的平方数，a的最小值是几？
8、能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？
第9讲 余数问题
姓名:___________
【知识要点】
1.余数的加法定理
a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等
于4，即两个余数的和3+1.
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.
2.余数的乘法定理
a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.
3.同余定理
若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。
同余式读作：a同余于b，模m。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：
若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除
用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b)
【例题精讲】
【例1】除以一个两位数，余数是，求出符合条件的所有的两位数。
【例2】甲、乙两数的和是，甲数除以乙数商余，求甲、乙两数。
【例3】求的余数。
【例4】与的和除以7的余数是几？
【例5】除以13所得余数是几？
【例6】有一个自然数，除345和543所得的余数相同，且商相差33，求这个数是多少？
【例7】一个自然数在1000和1200之间，且被3除余1，被5除余2，被7除余3，求符合条件的数。
【例8】一个数除以3、5、7、11的余数分别是2、3、4、5，求符合条件的最小的数。
【回家作业】
1、一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。
2、有两个自然数相除，商是，余数是，已知被除数、除数、商与余数之和为，则被除数是多少？
3、一个两位数除以13的商是6，除以11所得的余数是6，求这个两位数。
4、有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数。
5、两位自然数与除以7都余1，并且，求
6、三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以19,23,31所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数分别是几？
7、一个大于10的数，除以3余1，除以5余2，除以11余7，问满足条件的最小自然数是多少？
8、试求不大于100，且使能被11整除的所有自然数n的和。

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