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电磁感应现象中一个有用的结论
闭合回路中通过导体的电荷量
电磁感应的题目往往综合性较强，与前面知识联系较多，从众多题目中寻找解题的规律或得出有用结论，对于同学们解题有很大帮助，且看以下几例。
例1：如图1所示，有一边长为L正方形线圈处于磁感应强度为B的匀强磁场中，线圈平面与磁感线方向垂直，当线圈（设线圈总电阻为R）从图示位置，以速率v匀速拉出磁场的过程中，流过导线的电荷量为多少？
图1
解析：线圈cd边出了磁场，ab边在磁场中做切割磁感线运动，产生感应电动势E=BLv，线圈闭合，产生的感应电流，而线圈拉出磁场所需时间，所以流过导线的电荷量。这里的是线圈面积，是通过导线圈的最大磁通量，把线圈从磁场中拉出来，对线圈回路，磁通量的变化量。
例2：如图2所示，导线全部为裸导线，半径为r的圆内有垂直圆平面的匀强磁场，磁感应强度为B，一根长度大于2r的导线MN以速度v在圆环上无摩擦地自左端匀速滑动到右端，电路中的定值电阻为R，其余电阻不计。试求MN从圆环的左端滑到右端的过程中，通过电阻R的电荷量为多少？
图2
解析：MN导线在圆环上做切割磁感线运动，其有效长度在不断变化，用切割式难求得平均感应电动势。事实上，回路上磁通量不断变化，平均感应电动势可由磁通量变化式求得（即法拉第电磁感应定律）。在这里MN导体棒与圆环接触，与R组成一个闭合回路，通过该回路的磁通量为，所以电阻R上的平均电流强度
，完成这一变化的时间，所以通过R的电荷量
。
例3：如图3所示，平行放置的金属导轨MN之间的距离为L，一金属杆长为2L，一端以转轴O固定在导轨N上，并与M无摩擦接触，杆从垂直于导轨位置，在导轨平面内以角速度顺时针匀速转至另一端脱离导轨M，若两导轨间有一磁感应强度为B，方向垂直于纸面向里的匀强磁场，导轨上接一电阻R，导轨与导体棒电阻不计。则在上述的转动过程中，通过R的电荷量为多少？
图3
解析：导体棒在磁场中以O为圆心转动切割磁感线，且有效长度在变，因而在求平均感应电动势时，也只能用磁通量变化式，导体棒与导轨接触且与R组成闭合回路。完成这一变化的时间，所以，流过R的平均电流强度。则通过R的电荷量。，而，即。
综上所述闭合回路中通过导体的电荷量，等于回路中磁通量的变化量与回路总电阻R的比值，与时间t、速率v无关。这样如若求通过导体的电荷量，就可以快速解答。
一般对于N匝线圈的闭合回路，感应电动势大小，通过导线横截面积的电荷量。。
巩固练习
1. 如图4所示，一个直径为d，电阻为R的圆形单匝线圈放在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直线圈平面。现使线圈以为轴从图示位置转过90°角，求在此过程中通过线圈导体横截面的电荷量。
图4
2. 长为L的正方形闭合导体框，处在磁感应强度为B的匀强磁场中，导体框平面与磁场方向垂直，磁场恒定不变，如图5所示，求将此导体框变为圆形导体环的过程中通过导线横截面的电荷量，已知导体框电阻为R。
图5
参考答案
1.
2.
　
模型组合讲解;滑轮模型
【模型概述】滑轮是生活中常见的器具，根据其使用方法有动滑轮与定滑轮，在试题中还有它的“变脸”模型，如光滑的凸面（杆、球、瓶口等）。
【模型讲解】
一、“滑轮”挂件模型中的平衡问题
例1. （2005年烟台市检测题）如图1所示，将一根不可伸长、柔软的轻绳左、右两端分别系于A、B两点上，一物体用动滑轮悬挂在轻绳上，达到平衡时，两段绳子间的夹角为，绳子张力为；将绳子右端移到C点，待系统达到平衡时，两段绳子间的夹角为，绳子张力为；将绳子右端再由C点移到D点，待系统达到平衡时，两段绳子间的夹角为，绳子张力为，不计摩擦，并且BC为竖直线，则（ ）
A. B.
C. D.
图1
解析：由于跨过滑轮上绳上各点的张力相同，而它们的合力与重力为一对平衡力，所以从B点移到C点的过程中，通过滑轮的移动，，再从C点移到D点，肯定大于，由于竖直方向上必须有，所以。故只有A选项正确。
二、“滑轮”挂件模型中的变速问题
例2. 如图2所示在车厢中有一条光滑的带子（质量不计），带子中放上一个圆柱体，车子静止时带子两边的夹角∠ACB=90°，若车厢以加速度a=7.5m/s2向左作匀加速运动，则带子的两边与车厢顶面夹角分别为多少？
图2
解析：设车静止时AC长为，当小车以向左作匀加速运动时，由于AC、BC之间的类似于“滑轮”，故受到的拉力相等，设为FT，圆柱体所受到的合力为ma，在向左作匀加速，运动中AC长为，BC长为
由几何关系得
由牛顿运动定律建立方程：
代入数据求得
说明：本题受力分析并不难，但是用数学工具解决物理问题的能力要求较高。
三、“滑轮”挂件模型中的功能问题
例3. 如图3所示，细绳绕过两个定滑轮A和B，在两端各挂一个重为P的物体，现在A、B的中点C处挂一个重为Q的小球，Q<2P，求小球可能下降的最大距离h。已知AB的长为2L，不计滑轮和绳之间的摩擦力及绳的质量。
图3
解析：选小球Q和两重物P构成的整体为研究对象，该整体的速率从零开始逐渐增为最大，紧接着从最大又逐渐减小为零（此时小球下降的距离最大为h），如图4在整个过程中，只有重力做功机械能守恒。
图4
因重为Q的小球可能下降的最大距离为h，所以重为P的两物体分别上升的最大距离均为。
考虑到整体初、末位置的速率均为零，故根据机械能守恒定律知，重为Q的小球重力势能的减少量等于重为P的两个物体重力势能的增加量，即。
从而解得
【模型要点】“滑轮”模型的特点为滑轮两侧的受力大小相等，在处理功能问题时若力发生变化，通常优先考虑能量守恒规律，也可采用转化法求解。
【误区点拨】注意“死杆”和“活杆”问题。
如：（2006年无锡统考）如图（a）轻绳AD跨过固定在水平横梁BC右端的定滑轮挂住一个质量为M1的物体。∠ACB=30°；图（b）中轻杆HG一端用铰链固定在竖直墙上，另一端G通过细绳EG拉住，EG与水平方向也成30°，轻杆的G点用细绳GF拉住一个质量为M2的物体，求细绳AC段的张力FTAC与细绳EG的张力FTEG之比？
图5
解析：图（a）中绳AC段的拉力FTAC＝M1g
图（b）中由于FTEGsin30°=M2g，解得：
【模型演练】
1. 在图6所示的装置中，绳子与滑轮的质量不计，摩擦不计，悬点a与b之间的距离远大于两轮的直径，两个物体的质量分别为m1和m2，若装置处于静止状态，则下列说法错误的是（）
A. 可以大于
B. 必定大于
C. 必定等于
D. 与必定相等
答案：C
图6
2. （上海徐汇区诊断）如图7所示，质量分别为M和m（M>m）的小物体用轻绳连接；跨放在半径为R的光滑半圆柱体和光滑定滑轮B上，m位于半圆柱体底端C点，半圆柱体顶端A点与滑轮B的连线水平。整个系统从静止开始运动。设m能到达圆柱体的顶端，试求：
（1）m到达圆柱体的顶端A点时，m和M的速度。
（2）m到达A点时，对圆柱体的压力。
图7
答案：（1）
（2）
模型组合讲解;挂件模型
【模型概述】理解静态的“挂件”模型是我们进行正确分析动态类型的基础，因此高考对该部分的考查一直是连续不断，常见题型有选择、计算等。
【模型讲解】
一、“挂计”模型的平衡问题
例1：图1中重物的质量为m，轻细线AO和BO的A、B端是固定的。平衡时AO是水平的，BO与水平面的夹角为θ。AO的拉力F1和BO的拉力F2的大小是（ ）
A. B.
C. D.
图1
解析：以“结点”O为研究对象，沿水平、竖直方向建立坐标系，在水平方向有竖直方向有联立求解得BD正确。
思考：若题中三段细绳不可伸长且承受的最大拉力相同，逐渐增加物体的质量m，则最先断的绳是哪根？
二、“结点”挂件模型中的极值问题
例2：物体A质量为，用两根轻绳B、C连接到竖直墙上，在物体A上加一恒力F，若图2中力F、轻绳AB与水平线夹角均为，要使两绳都能绷直，求恒力F的大小。
图2
解析：要使两绳都能绷直，必须，再利用正交分解法作数学讨论。作出A的受力分析图3，由正交分解法的平衡条件：
图3
①
②
解得③
④
两绳都绷直，必须
由以上解得F有最大值，解得F有最小值，所以F的取值为。
三、“结点”挂件模型中的变速问题
例3：如图4所示，AB、AC为不可伸长的轻绳，小球质量为m=0.4kg。当小车静止时，AC水平，AB与竖直方向夹角为θ=37°，试求小车分别以下列加速度向右匀加速运动时，两绳上的张力FAC、FAB分别为多少。取g=10m/s2。（1）；（2）。
图4
解析：设绳AC水平且拉力刚好为零时，临界加速度为
根据牛顿第二定律
联立两式并代入数据得
当，此时AC绳伸直且有拉力。
根据牛顿第二定律；，联立两式并代入数据得
当，此时AC绳不能伸直，。
AB绳与竖直方向夹角，据牛顿第二定律，。联立两式并代入数据得。
【模型要点】
①物体受到三个共点力的作用，且两力垂直，物体处于平衡状态（静止或匀速直线运动状态）。
②条件是：物体所受到的合外力为零，即。
处理方法：（1）正交分解法：这是平衡条件的最基本的应用方法。其实质就是将各外力间的矢量关系转化为沿两个坐标轴方向上的力分量间的关系，从而变复杂的几何运算为相对简单的代数运算。
即和
具体步骤：①确定研究对象；②分析受力情况；③建立适当坐标；④列出平衡方程。
若研究对象由多个物体组成，优先考虑运用整体法，这样受力情况比较简单，要求出系统内物体间的相互作用力，需要使用隔离法，因此整体法和隔离法常常交替使用。
常用方法：合成（分解）法；多边形（三角形）法；相似形法。
动态平衡的常见问题：①动态分析；②临界问题；③极值分析等。
动态平衡的判断方法：①函数讨论法；②图解法（注意适用条件和不变力）；③极限法（注意变化的转折性问题）。
【误区点拨】
（1）受力分析：①重力是否有（微观粒子；粒子做圆周运动）；②弹力（弹簧弹力的多解性）；③摩擦力（静摩擦力的判断和多解性，和滑动摩擦力Ff并不总等于μmg）；④电磁力。
（2）正确作受力分析图，要注意平面问题的思维惯性导致空间问题的漏解。
解题策略：①受力分析；②根据物体受到的合力为0应用矢量运算法（如正交分解、解三角形法等）求解。③对于较复杂的变速问题可利用牛顿运动定律列方程求解。
【模型演练】
1. （2005年联考题）两个相同的小球A和B，质量均为m，用长度相同的两根细线把A、B两球悬挂在水平天花板上的同一点O，并用长度相同的细线连接A、B两小球，然后用一水平方向的力F作用在小球A上，此时三根细线均处于直线状态，且OB细线恰好处于竖直方向，如图5所示，如果不考虑小球的大小，两球均处于静止状态，则力F的大小为（ ）
A. 0 B. mg C. D.
图5
答案：C
2. 如图6甲所示，一根轻绳上端固定在O点，下端拴一个重为G的钢球A，球处于静止状态。现对球施加一个方向向右的外力F，使球缓慢偏移，在移动中的每一刻，都可以认为球处于平衡状态，如果外力F方向始终水平，最大值为2G，试求：
（1）轻绳张力FT的大小取值范围；
（2）在乙图中画出轻绳张力与cosθ的关系图象。
图6
答案：（1）当水平拉力F=0时，轻绳处于竖直位置时，绳子张力最小
当水平拉力F=2G时，绳子张力最大：
因此轻绳的张力范围是：
（2）设在某位置球处于平衡状态，由平衡条件得
所以即，得图象如图7。
图7
模型组合讲解;运动学
【模型概述】在近年的高考中对各类运动的整合度有所加强，如直线运动之间整合，曲线运动与直线运动整合等，不管如何整合，我们都可以看到共性的东西，就是围绕着运动的同时性、独立性而进行。
【模型回顾】
一、两种直线运动模型
匀速直线运动：两种方法（公式法与图象法）
匀变速直线运动：，几个推论、比值、两个中点速度和一个v-t图象。
特例1：自由落体运动为初速度为0的匀加速直线运动，a=g；机械能守恒。
特例2：竖直上抛运动为有一个竖直向上的初速度v0；运动过程中只受重力作用，加速度为竖直向下的重力加速度g。特点：时间对称（）、速率对称（）；机械能守恒。
二、两种曲线运动模型
平抛运动：水平匀速、竖直方向自由落体
匀速圆周运动：
【模型讲解】
一、匀速直线运动与匀速直线运动组合
例1. （04年广东高考）一路灯距地面的高度为h，身高为的人以速度v匀速行走，如图1所示。
（1）试证明人的头顶的影子作匀速运动；
（2）求人影的长度随时间的变化率。
图1
解法1：（1）设t=0时刻，人位于路灯的正下方O处，在时刻t，人走到S处，根据题意有OS=vt，过路灯P和人头顶的直线与地面的交点M为t时刻人头顶影子的位置，如图2所示。OM为人头顶影子到O点的距离。
图2
由几何关系，有
联立解得
因OM与时间t成正比，故人头顶的影子作匀速运动。
（2）由图2可知，在时刻t，人影的长度为SM，由几何关系，有SM=OM-OS，由以上各式得
可见影长SM与时间t成正比，所以影长随时间的变化率。
解法2：本题也可采用“微元法”。设某一时间人经过AB处，再经过一微小过程，则人由AB到达A”B”，人影顶端C点到达C”点，由于则人影顶端的移动速度：
图3
可见与所取时间的长短无关，所以人影的顶端C点做匀速直线运动。
评点：本题由生活中的影子设景，以光的直进与人匀速运动整合立意。解题的核心是利用时空将两种运动组合，破题的难点是如何借助示意图将动态过程静态化，运用几何知识解答。
二、匀速直线运动与匀速圆周运动组合
例2. （2005年上海高考）一水平放置的圆盘绕竖直固定轴转动，在圆盘上沿半径开有一条宽度为2mm的均匀狭缝。将激光器与传感器上下对准，使二者间连线与转轴平行，分别置于圆盘的上下两侧，且可以同步地沿圆盘半径方向匀速移动，激光器连续向下发射激光束。在圆盘转动过程中，当狭缝经过激光器与传感器之间时，传感器接收到一个激光信号，并将其输入计算机，经处理后画出相应图线。图4（a）为该装置示意图，图4（b）为所接收的光信号随时间变化的图线，横坐标表示时间，纵坐标表示接收到的激光信号强度，图中。
（1）利用图（b）中的数据求1s时圆盘转动的角速度；
（2）说明激光器和传感器沿半径移动的方向；
（3）求图（b）中第三个激光信号的宽度△t3。
图4
解析：（1）由图线读得，转盘的转动周期，
角速度
（2）激光器和探测器沿半径由中心向边缘移动（理由为：由于脉冲宽度在逐渐变窄，表明光信号能通过狭缝的时间逐渐减少，即圆盘上对应探测器所在位置的线速度逐渐增加，因此激光器和探测器沿半径由中心向边缘移动）。
（3）设狭缝宽度为d，探测器接收到第i个脉冲时距转轴的距离为ri，第i个脉冲的宽度为△ti，激光器和探测器沿半径的运动速度为v。
由以上式联立解得
评点：将直线运动与圆周运动组合，在近年高考中出现率极高，如2000年全国高考中“激光束转动测小车的速度”等，破题的关键是抓住时间、空间的关联。
三、匀加速直线运动与匀加速运动组合
例3. （2004年北京高考）如图5是某种静电分选器的原理示意图。两个竖直放置的平行金属板带有等量异号电荷，形成匀强电场，分选器漏斗的出口与两板上端处于同一高度，到两板距离相等。混合在一起的a、b两种颗粒从漏斗出口下落时，a种颗粒带上正电，b种颗粒带上负电。经分选电场后，a、b两种颗粒分别落到水平传送带A、B上。
已知两板间距d=0.1m，板的度，电场仅局限在平行板之间；各颗粒所带电量大小与其质量之比均为。设颗粒进入电场时的初速度为零，分选过程中颗粒大小及颗粒间的相互作用力不计。要求两种颗粒离开电场区域时，不接触到极板但有最大偏转量。重力加速度g取。
图5
（1）左右两板各带何种电荷？两极板间的电压多大？
（2）若两带电平行板的下端距传送带A、B的高度H=0.3m，颗粒落至传送带时的速度大小是多少？
（3）设颗粒每次与传送带碰撞反弹时，沿竖直方向的速度大小为碰撞前竖直方向速度大小的一半。写出颗粒第n次碰撞反弹高度的表达式。并求出经过多少次碰撞，颗粒反弹的高度小于0.01m。
解析：（1）左板带负电荷，右板带正电荷。依题意，颗粒在平行板间的竖直方向上满足
在水平方向上满足：
两式联立得
（2）根据动能定理，颗粒落到水平传送带上满足
（3）在竖直方向颗粒作自由落体运动，它第一次落到水平传送带上沿竖直方向的速度
反弹高度
根据题设条件，颗粒第n次反弹后上升的高度：
当时，
四、匀速圆周运动与匀速圆周运动组合
例4. 侦察卫星在通过地球两极上空的圆轨道上运行，它的运行轨道距地面高为h，要使卫星在一天的时间内将地面上赤道各处在日照条件下的情况全部都拍摄下来，卫星在通过赤道上空时，卫星上的摄影像机至少应拍地面上赤道圆周的弧长是多少？设地球半径为R，地面处的重力加速度为g，地球自转的周期为T。
解析：设卫星周期为T1，那么：
①
又②
有③
地球自转角速度为④
在卫星绕行地球一周的时间T1内，地球转过的圆心角为⑤
那么摄像机转到赤道正上方时摄下圆周的弧长为⑥
由①②③④⑤⑥得
五、匀速圆周运动与平抛运动组合
例5. （05全国高考）如图6所示，一对杂技演员（都视为质点）乘秋千（秋千绳处于水平位置）从A点由静止出发绕O点下摆，当摆到最低点B时，女演员在极短时间内将男演员沿水平方向推出，然后自己刚好能回到高处A。求男演员落地点C与O点的水平距离s。已知男演员质量m1和女演员质量m2之比，秋千的质量不计，秋千的摆长为R，C点比O点低5R。
图6
解析：设分离前男女演员在秋千最低点B的速度为，由机械能守恒定律，
设刚分离时男演员速度的大小为，方向与相同；女演员速度的大小为，方向与相反，由动量守恒，
分离后，男演员做平抛运动，设男演员从被推出到落在C点所需的时间为t，根据题给条件，由运动学规律，
根据题给条件，女演员刚好回A点，由机械能守恒定律，，已知，由以上各式可得。
【模型演练】
（2005年苏、锡、常、镇四市调研）在广场游玩时，一个小孩将一充有氢气的气球用细绳系于一个小石块上，并将小石块放置于水平地面上。已知小石块的质量为，气球（含球内氢气）的质量为，气球体积为V，空气密度为ρ（V和ρ均视作不变量），风沿水平方向吹，风速为v。已知风对气球的作用力（式中k为一已知系数，u为气球相对空气的速度）。开始时，小石块静止在地面上，如图7所示。
（1）若风速v在逐渐增大，小孩担心气球会连同小石块一起被吹离地面，试判断是否会出现这一情况，并说明理由。
图7
（2）若细绳突然断开，已知气球飞上天空后，在气球所经过的空间中的风速v保持不变量，求气球能达到的最大速度的大小。
答案：（1）将气球和小石块作为一个整体；在竖直方向上，气球（包括小石块）受到重力G、浮力F和地面支持力FN的作用，据平衡条件有：
由于式中FN是与风速v无关的恒力，而，故气球连同小石块不会一起被吹离地面。
（2）气球的运动可分解成水平方向和竖直方向的两个分运动，达到最大速度时气球在水平方向做匀速运动，有
气球在竖直方向做匀速运动，有：
气球的最大速度：
联立求解得：
模型组合讲解;先加速后减速模型
【模型概述】物体先加速后减速的问题是运动学中典型的综合问题，也是近几年的高考热点，同学在求解这类问题时一定要注意前一过程的末速度是下一过程的初速度，如能画出速度图象就更明确过程了。
【模型讲解】
例. （2004年全国高考）一小圆盘静止在桌面上，位于一方桌的水平桌面的中央。桌布的一边与桌的AB边重合，如图1所示。已知盘与桌布间的动摩擦因数为，盘与桌面间的动摩擦因数为。现突然以恒定加速度a将桌布抽离桌面，加速度方向是水平的且垂直于AB边。若圆盘最近未从桌面掉下，则加速度a满足的条件是什么？（以g表示重力加速度）
图1
解析：根据题意可作出物块的速度图象如图2所示。设圆盘的质量为m，桌边长为L，在桌布从圆盘下抽出的过程中，盘的加速度为，有
图2
桌布抽出后，盘在桌面上做匀减速运动，以表示加速度的大小，有
设盘刚离开桌布时的速度为，移动的距离为，离开桌布后在桌面上再运动距离后便停下，由匀变速直线运动的规律可得：
① ②
盘没有从桌面上掉下的条件是：③
设桌布从盘下抽出所经历时间为t，在这段时间内桌布移动的距离为x，有：
，而，求得：
，及
联立解得
【模型特征】“先加速后减速”模型的v-t图象中速度为临界点，斜率为加速度、面积为位移。
处理“物体先加速后减速”问题的方法很多，我们可以根据已知条件采用三大定理处理，也可以根据图象快捷处理，借助图象法为我们更加清晰准确的采用全过程法提供了保证。
【热点图象】直线运动的s-t图；直线运动的v-t图；平抛运动的y-x图；机车启动的P-t图；简谐运动的x-t图；简谐波的y-x图；受迫振动的共振曲线；电场线；磁感线；闭合电路的U-I图；闭合电路的P出-R图；部分电路的U-I图；分子力随距离变化的F分-r图；分子势能随距离变化的EP-r图；电磁感应中的Φ-t图；电磁感应中的I-t图；光电效应中的Ekm-γ图。
识图要点：
①运用图象首先要搞清楚纵横轴所代表的物理量，明确要描述的是哪两个物理量之间的关系。如s-t图象与v-t图象在纵轴上的区别；简谐运动图象与简谐波的图象在横轴上的差异等。
②图线并不表示物体实际运动的轨迹。如匀速直线运动的s-t图象是一条斜向上的直线，但实际运动的轨迹可以是任意方向的。
③了解图象的物理意义。从图象的形状看出物理过程，在很多情况下，写出物理量的解析式与图象对照，更有助于理解图象物理意义。
④要特别关注图象中的“点”、“线”、“面”、“斜率”、“截距”等及其对应物理意义。“点”代表状态，描述物体在该状态下所具有的特征；“线”代表过程，描述物体在一段过程中随着横轴所代表的物理量的变化，纵轴代表物理量的变化情况；“面”指的是图线与横轴所围成的面积，表示纵轴所代表的物理量对横轴所代表的物理量的积累；“斜率”指的是，当横轴为时间轴时，斜率表示纵轴所示物理量对时间的变化率；“截距”指的是图线与纵轴的交点，当横轴为时间轴时截距描述初态特征。
【模型演练】
（昆明市高中三年级统一检测）一个质量为m=0.2kg的物体静止在水平面上，用一水平恒力F作用在物体上10s，然后撤去水平力F，再经20s物体静止，该物体的速度图象如图3所示，则下面说法中正确的是（）
A. 物体通过的总位移为150m
B. 物体的最大动能为20J
C. 物体前10s内和后10s内加速度大小之比为2：1
D. 物体所受水平恒力和摩擦力大小之比为3：1
答案：ACD
图3
模型组合讲解;渡河模型
【模型概述】在运动的合成与分解中，如何判断物体的合运动和分运动是首要问题，判断合运动的有效方法是看见的运动就是合运动。合运动的分解从理论上说可以是任意的，但一般按运动的实际效果进行分解。小船渡河和斜拉船等问题是常见的运动的合成与分解的典型问题
【模型讲解】
一、速度的分解要从实际情况出发
例1. 如图1所示，人用绳子通过定滑轮以不变的速度拉水平面上的物体A，当绳与水平方向成θ角时，求物体A的速度。
图1
解法一（分解法）：本题的关键是正确地确定物体A的两个分运动。物体A的运动（即绳的末端的运动）可看作两个分运动的合成：一是沿绳的方向被牵引，绳长缩短。绳长缩短的速度即等于；二是随着绳以定滑轮为圆心的摆动，它不改变绳长，只改变角度θ的值。这样就可以将按图示方向进行分解。所以及实际上就是的两个分速度，如图1所示，由此可得。
解法二（微元法）：要求船在该位置的速率即为瞬时速率，需从该时刻起取一小段时间来求它的平均速率，当这一小段时间趋于零时，该平均速率就为所求速率。
设船在θ角位置经△t时间向左行驶△x距离，滑轮右侧的绳长缩短△L，如图2所示，当绳与水平方向的角度变化很小时，△ABC可近似看做是一直角三角形，因而有，两边同除以△t得：
即收绳速率，因此船的速率为：
图2
总结：“微元法”。可设想物体发生一个微小位移，分析由此而引起的牵连物体运动的位移是怎样的，得出位移分解的图示，再从中找到对应的速度分解的图示，进而求出牵连物体间速度大小的关系。
解法三（能量转化法）：由题意可知：人对绳子做功等于绳子对物体所做的功。人对绳子的拉力为F，则对绳子做功的功率为；绳子对物体的拉力，由定滑轮的特点可知，拉力大小也为F，则绳子对物体做功的功率为，因为所以。
评点：①在上述问题中，若不对物体A的运动认真分析，就很容易得出的错误结果；②当物体A向左移动，θ将逐渐变大，逐渐变大，虽然人做匀速运动，但物体A却在做变速运动。
总结：解题流程：①选取合适的连结点（该点必须能明显地体现出参与了某个分运动）；②确定该点合速度方向（物体的实际速度为合速度）且速度方向始终不变；③确定该点合速度的实际运动效果从而依据平行四边形定则确定分速度方向；④作出速度分解的示意图，寻找速度关系。
二、拉力为变力，求解做功要正确理解
例2. 如图3所示，某人通过一根跨过定滑轮的轻绳提升一个质量为m的重物，开始时人在滑轮的正下方，绳下端A点离滑轮的距离为H。人由静止拉着绳向右移动，当绳下端到B点位置时，人的速度为v，绳与水平面夹角为θ。问在这个过程中，人对重物做了多少功？
图3
解析：人移动时对绳的拉力不是恒力，重物不是做匀速运动也不是做匀变速运动，故无法用求对重物做的功，需从动能定理的角度来分析求解。
当绳下端由A点移到B点时，重物上升的高度为：
重力做功的数值为：
当绳在B点实际水平速度为v时，v可以分解为沿绳斜向下的分速度和绕定滑轮逆时针转动的分速度，其中沿绳斜向下的分速度和重物上升速度的大小是一致的，从图中可看出：
以重物为研究对象，根据动能定理得：
【实际应用】小船渡河
两种情况：①船速大于水速；②船速小于水速。
两种极值：①渡河最小位移；②渡河最短时间。
例3. 一条宽度为L的河，水流速度为，已知船在静水中速度为，那么：
（1）怎样渡河时间最短？
（2）若，怎样渡河位移最小？
（3）若，怎样渡河船漂下的距离最短？
解析：（1）小船过河问题，可以把小船的渡河运动分解为它同时参与的两个运动，一是小船运动，一是水流的运动，船的实际运动为合运动。如图4所示。设船头斜向上游与河岸成任意角θ。这时船速在垂直于河岸方向的速度分量为，渡河所需要的时间为，可以看出：L、v船一定时，t随sinθ增大而减小；当时，（最大）。所以，船头与河岸垂直。
图4
（2）如图5所示，渡河的最小位移即河的宽度。为了使渡河位移等于L，必须使船的合速度v的方向与河岸垂直，即使沿河岸方向的速度分量等于0。这时船头应指向河的上游，并与河岸成一定的角度θ，所以有，即。
图5
因为，所以只有在时，船才有可能垂直河岸渡河。
（3）若，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游，怎样才能使漂下的距离最短呢？
如图6所示，设船头v船与河岸成θ角。合速度v与河岸成α角。可以看出：α角越大，船漂下的距离x越短，那么，在什么条件下α角最大呢？以v水的矢尖为圆心，v船为半径画圆，当v与圆相切时，α角最大，根据
图6
船头与河岸的夹角应为，船沿河漂下的最短距离为：
此时渡河的最短位移：
误区：不分条件，认为船位移最小一定是垂直到达对岸；将渡河时间最短与渡河位移最小对应。
【模型要点】处理“速度关联类问题”时，必须要明白“分运动”与“合运动”的关系：
（1）独立性：一物体同时参与几个分运动时，各分运动独立进行，各自产生效果（）互不干扰。
（2）同时性：合运动与分运动同时开始、同时进行、同时结束。
（3）等效性：合运动是由各分运动共同产生的总运动效果，合运动与各分运动同时发生、同时进行、同时结束，经历相等的时间，合运动与各分运动总的运动效果可以相互替代。
功是中学物理中的重要概念，它体现了力对物体的作用在空间上的累积过程，尤其是变力做功中更能体现出其空间积累的过程。所以在处理变力功可采用动能定律、功能原理、图象法、平均法等。
【模型演练】
（2005祁东联考）小河宽为d，河水中各点水流速度大小与各点到较近河岸边的距离成正比，，x是各点到近岸的距离，小船船头垂直河岸渡河，小船划水速度为，则下列说法中正确的是（ ）
A. 小船渡河的轨迹为曲线
B. 小船到达离河岸处，船渡河的速度为
C. 小船渡河时的轨迹为直线
D. 小船到达离河岸处，船的渡河速度为
答案：A
模型组合讲解;追及、相遇模型
一、追及、相遇模型（同一直线上）
【模型概述】追及和相遇问题是一类常见的运动学问题，从时间和空间的角度来讲，相遇是指同一时刻到达同一位置。可见，相遇的物体必然存在以下两个关系：一是相遇位置与各物体的初始位置之间存在一定的位移关系。若同地出发，相遇时位移相等为空间条件。二是相遇物体的运动时间也存在一定的关系。若物体同时出发，运动时间相等；若甲比乙早出发△t，则运动时间关系为。要使物体相遇就必须同时满足位移关系和运动时间关系。
【模型讲解】
1. 利用不等式求解
例1：甲、乙两物体相距s，在同一直线上同方向做匀减速运动，速度减为零后就保持静止不动。甲物体在前，初速度为v1，加速度大小为a1。乙物体在后，初速度为v2，加速度大小为a2且知v1解析：若是，说明甲物体先停止运动或甲、乙同时停止运动。在运动过程中，乙的速度一直大于甲的速度，只有两物体都停止运动时，才相距最近，可得最近距离为
若是，说明乙物体先停止运动那么两物体在运动过程中总存在速度相等的时刻，此时两物体相距最近，根据，求得
在t时间内
甲的位移
乙的位移
代入表达式
求得
评点：本题是一个比较特殊的追及问题（减速追减速）。求解时要对各种可能的情况进行全面分析，先要建立清晰的物理图景。本题的特殊点在于巧妙地通过比较两物体运动时间的长短寻找两物体相距最近的临界条件。
2. 巧用图象法求解
例2：如图1所示，声源S和观察者A都沿x轴正方向运动，相对于地面的速率分别为和。空气中声音传播的速率为，设，空气相对于地面没有流动。
图1
（1）若声源相继发出两个声信号。时间间隔为，请根据发出的这两个声信号从声源传播到观察者的过程。确定观察者接收到这两个声信号的时间间隔。
（2）请利用（1）的结果，推导此情形下观察者接收到的声波频率与声源发出的声波频率间的关系式。
解析：作声源S、观察者A、声信号P（P1为首发声信号，P2为再发声信号）的位移�时间图象如图2所示图线的斜率即为它们的速度则有：
图2
两式相减可得：
解得
（2）设声源发出声波的振动周期为T，这样，由以上结论，观察者接收到的声波振动的周期为
由此可得，观察者接收到的声波频率与声源发出声波频率间的关系为
评点：图象分速度图象和位移图象，位移图线的斜率为速度，速度图线的斜率为加速度，速度图线与时间轴所围的“面积”值，等于该段时间内的位移大小。
3. 妙取参照物求解
例3：火车甲正以速度v1向前行驶，司机突然发现前方距甲d处有火车乙正以较小速度v2同向匀速行驶，于是他立即刹车，使火车做匀减速运动而停下。为了使两车不相撞，加速度a应满足什么条件？
解析：设以火车乙为参照物，则甲相对乙做初速为、加速度为a的匀减速运动。若甲相对乙的速度为零时两车不相撞，则此后就不会相撞。因此，不相撞的临界条件是：甲车减速到与乙车车速相同时，甲相对乙的位移为d。
即：，
故不相撞的条件为
【模型要点】
追及、相遇问题特点：讨论追及、相遇的问题，其实质就是分析讨论两物体在相同时间内能否到达相同的空间位置问题。一定要抓住两个关系：即时间关系和位移关系。一个条件：即两者速度相等，它往往是物体间能否追上、追不上或（两者）距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。
【特别说明】
1. 匀减速运动的物体追同向匀速运动物体
若二者速度相等时，追赶者仍没有追上被追赶者，则追赶者永远追不上被追赶者，此时二者有最小距离；若二者相遇时，追赶者的速度等于被追赶者的速度，则刚好追上，也是二者避免碰撞的临界条件；若二者相遇时，追赶者的速度仍大于被追赶者的速度，则还有一次被被追赶者追上追赶者的机会，其间速度相等时二者的距离有一个最大值。
2. 初速度为零的匀加速运动的物体追同向匀速运动的物体
只要时间足够长，追赶者一定能追上被追赶者发生碰撞。当二者速度相等时有最大距离。若位移相等即追上（同一地点出发）。
在相遇问题中，同向运动的两物体追到即相遇，解决方法同上；相向运动的物体，各自发生的位移绝对值之和为开始时两物体间的距离时即相遇。
【模型演练】
（2005年徐州模考）在一条平直的公路上，乙车以10m/s的速度匀速行驶，甲车在乙车的后面作初速度为15m/s，加速度大小为0.5m/s2的匀减速运动，则两车初始距离L满足什么条件时可以使（1）两车不相遇；（2）两车只相遇一次；（3）两车能相遇两次（设两车相遇时互不影响各自的运动）。
答案：设两车速度相等经历的时间为t，则甲车恰能追及乙车时，应有
其中，解得
若，则两车等速时也未追及，以后间距会逐渐增大，及两车不相遇。
若，则两车等速时恰好追及，两车只相遇一次，以后间距会逐渐增大。
若，则两车等速时，甲车已运动至乙车前面，以后还能再次相遇，即能相遇两次。（文/孙晋善）
二、追及、相遇模型（不在一条直线上）
【模型概述】不在一条直线上的相遇问题在近年高考中也较为常见，如2000年的上海高考中的“估算出飞机速度”，2004年广西高考“观察者看卫星”等，该类问题其实是两种不在一条直线上的运动或不同运动的组合体，在空间上在某一时刻到达同一位置。
【模型讲解】
例. 有一个很大的湖，岸边（可视湖岸为直线）停放着一艘小船，缆绳突然断开，小船被风刮跑，其方向与湖岸成15°角，速度为2.5km/h。同时岸上一人从停放点起追赶小船，已知他在岸上跑的速度为4.0km/h，在水中游的速度为2.0km/h，问此人能否追及小船？
解析：费马原理指出：光总是沿着光程为极小值的路径传播。据此就将一个运动问题通过类比法可转化为光的折射问题。
如图3所示，船沿OP方向被刮跑，设人从O点出发先沿湖岸跑，在A点入水游到OP方向的B点，如果符合光的折射定律，则所用时间最短。
图3
根据折射定律：
解得
在这最短时间内，若船还未到达B点，则人能追上小船，若船已经通过了B点，则人不能追上小船，所以船刚好能到达B点所对应的船速就是小船能被追及的最大船速。
根据正弦定理
又
由以上两式可解得：
此即小船能被人追上的最大速度，而小船实际速度只有2.5km/h，小于，所以人能追上小船。
【模型要点】
从空间的角度来讲，两物体经过一段时间到达同一位置。必然存在两种关系：一是空间关系，不在一条直线的相遇问题要做好几何图形，利用三角形知识解题。二是时间关系。这是解决该类问题的切入点。
【特别说明】
圆周运动中的相遇、追及：同一圆、同方向追击的物体转过的角度时表明两物体相遇或相距最近；反方向转动的物体转过的角度（n=0、1、2、……）时表明两物体相遇或相距最近。不同一圆、同方向追击的物体转过的角度（n=0、1、2、……）时表明两物体相距最近。
【模型演练】
1. 如图4所示，有A、B两颗行星绕同一颗恒星O做圆周运动，旋转方向相同。A行星的周期为T1，B行星的周期为T2，在某一时刻两行星相距最近，则：（）
A. 经过时间，两行星再次相距最近
B. 经过时间，两行星再次相距最近
C. 经过时间，两行星相距最远
D. 经过时间，两行星相距最远
答案：BD
图4
模型组合讲解;矢量运算模型
［模型概述］
矢量及运算是高中物理的重点和难点之一，常见的矢量有位移、速度、加速度、力、动量、电场强度、磁感应强度等，由于其运算贯穿整个中学物理，所以在进行模块讲解之前，我们有必要熟练掌握矢量的运算规律。
［模型讲解］
例. （2005年安丘市统考）
如图1所示，平行四边形ABCD的两条对角线的交点为G。在平行四边形内任取一点O，作矢量OA、OB、OC、OD，则这四个矢量所代表的四个共点力的合力等于（）
图1
A. 4OG B. 2AB C. 4GB D. 2CB
解析：如图2所示，延长OG至P，使GP＝OG，连结PA、PB、PC、PD，得平行四边形AODP和平行四边形COBP。由力的平行四边形定则知道，矢量OA、OD所代表的两个共点力的合力可用矢量OP表示，即。
图2
同理，矢量OB、OC所代表的两个共点力的合力也可用矢量OP表示，即。
从而，四个共点力的合力。所以A项正确。
评点：由于题中的O点是任取的，各力的大小和方向无法确定，通过直接计算肯定行不通。但考虑到平行四边形的对角线互相平分这一特点问题就解决了。其实对该部分的考查往往是从特殊的角度进行的，如θ＝0°，90°，120°，180°等。
总结：（1）当两分力和大小一定时，合力F随着θ角的增大而减小。当两分力间的夹角θ＝0°时，合力最大，等于；当两分力间的夹角θ＝180°时，合力最小，等于。两个力的合力的取值范围是。
（2）求两个以上的力的合力，也可以采用平行四边形定则，先求出任意两个力的合力，再求出这个合力跟第三个力的合力，直到把所有的力都合成进去，最后得到的就是这些力的合力。为方便某些问题的研究，在很多问题中都采用特殊法或正交分解法。
［误区点拨］
（1）在受力分析时要明确合力与分力的关系。“有合无分，有分无合”，不要多添力或少力。
（2）合力可以大于、等于或小于分力，它的大小依赖于两分力之间的夹角的大小，这是矢量的特点。
（3）有n个力，它们合力的最大值是它们的方向相同时的合力，即，而它们的最小值要分下列两种情况讨论：
①若n个力中的最大力大于，则它们合力的最小值是。
②若n个力中的最大力小于，则它们合力的最小值是0。
［模型要点］
矢量的合成与分解是相互可逆的过程，它是我们进行所有矢量运算时常用的两种方法。
运算法则：遵守平行四边形定则。
物理思想：在合成与分解时贯穿了等效替代的思想。在以后的学习过程中，例如“运动的合成与分解”、“等效电路”、“交变电流有效值的定义”等，都要用到“等效替代”的方法。所以只要效果相同，都可以进行“替代”。
［特别说明］
（1）矢量运算一般用平行四边形法则。但可推广至三角形法则、多边形法则或正交分解法等。而标量运算遵循一般的代数法则，如质量、密度、温度、功、能量、路程、速率、体积、时间、热量、电阻等物理量，无论选取什么坐标系，标量的数值恒保持不变。
（2）矢量和标量的乘积仍为矢量。矢量和矢量的乘积，可构成新的标量，也可构成新的矢量，构成标量的乘积叫标积；构成矢量的乘积叫矢积。如功、功率等的计算是采用两个矢量的标积；洛伦兹力等的计算是采用两个矢量的矢积。
（3）多边形法：将这些矢量的箭尾与箭头依次相连接，然后将第一个矢量的箭尾连到最末一个矢量的箭头的矢量，就是所要求的合矢量。其大小和方向与相加次序无关。矢量减法是矢量加法的逆运算。
（4）矢量的分解虽然是矢量合成的逆运算，但无其他限制，同一个矢量可分解为无数对大小、方向不同的分矢量。因此，把一个矢量分解为两个分矢量时，应根据具体情况分解。如已知两个不平行分矢量的方向或已知一个分矢量的大小和方向，分解是唯一的。
［模型演练］
1. （2005年海淀区期末练习）
如图3所示，三个完全相同的绝缘金属小球a、b、c位于等边三角形的三个顶点上，c球在xOy坐标系原点O上。a和c带正电，b带负电，a所带电荷量比b所带电荷量少。关于c受到a和b的静电力的合力方向，下列判断正确的是（）
图3
A. 从原点指向第I象限
B. 从原点指向第II象限
C. 从原点指向第III象限
D. 从原点指向第IV象限
答案：D
动量守恒的几种类型及应用
正确理解动量守恒的条件是掌握动量守恒定律的前提和基础，更是正确应用动量和能量观点处理动量和机械能相结合的综合问题最为关键的条件。系统动量守恒的类型包括以下几种情况：
1. 系统不受外力或者所受外力之和为零
“人船模型”是这类问题的典型应用。
（1）符合“人船模型”的条件：相互作用的物体原来都静止，且满足动量守恒条件。
（2）“人船模型”的特点：人动“船”动，人停“船”停，人快“船”快，人慢“船”慢，人上“船”下，人左“船”右。
例1. 如图1所示，等臂U形管竖直安装在光滑水平面上放置的轻质小车上，小车和试管的总质量与试管内水的质量相等，均为M。开始时试管底部的阀门K关闭，管的水平部分的水柱与右侧竖直管内的水柱等长，小车静止。打开阀门，水缓慢流动到另一侧，使两竖直管中水面平齐。已知两竖直管轴线间距离为L，则上述过程中，小车向______________移动，移动的距离为_________________。
图1
解析：由题意可知，试管内的水和小车及试管的运动符合“人船模型”的特点，试管内的水相当于“人”，小车及试管相当于“船”，打开阀门后，水缓慢流动到另一侧，最终两竖直管中水面平齐，在处理过程中，相当于右侧（质量为）的水直接运动到左侧管内，把其他部分的水（长度为，质量为）与小车及试管看成一个整体，如图2所示。如此一来，右侧（质量为）的水相当于“人”，长度为、质量为的水与小车及试管相当于“船”，“人”向左运动，故“船”向右运动，“人”与“船”的相对位移为L。
图2
①
而②
∴小车向右移动，移动的距离
点评：
（1）处理“人船模型”类问题首先理解此类模型符合的条件必须是系统的初动量为零且满足动量守恒定律；
（2）解决此类问题的关键是找出系统内每个物体的位移关系；
（3）在深刻理解动量守恒定律的基础上，注意此类模型的拓展变式，如“人车模型”、“物物模型”等。
2. 系统所受外力之和虽不为零，但系统的内力远大于外力时，则系统的动量可视为守恒
高中阶段，碰撞、爆炸、冲击等问题，由于作用时间极短，重力及其他阻力等外力比物体间相互作用的内力要小得多，以至外力冲量对系统动量变化的影响可以忽略，这时可近似认为系统的动量守恒。
例2. 一质量为M的木块从某一高度自由下落，在空中被一粒水平飞行的子弹击中并留在其中，子弹的速度为，质量为m，则木块下落的时间与自由下落相比将（）
A. 不变 B. 变长
C. 变短 D. 无法确定
解析：设木块被子弹击中时的速度为，击中后的水平和竖直速度分别为，子弹对木块的冲力远大于重力，竖直方向动量守恒：，。∴下落时间将变长。
答案：B。
3. 系统所受外力之和不为零，但在某个方向上满足条件1或条件2，则在该方向上动量守恒
例3. 如图3所示，质量为M的槽体放在光滑水平面上，内有半径为R的半圆形轨道，其左端紧靠一个固定在地面上的挡板。质量为m的小球从A点由静止释放，若槽内光滑，求小球上升的最大高度。
图3
解析：设小球由A滑到最低点B时的速度为，上升的最大高度为h。由机械能守恒定律：
①
②
小球在向上运动过程中，M和m组成的系统水平方向总动量守恒，设它们在最高点时水平方向的共同速度为
③
整个过程中系统的机械能守恒：
④
由②~④式得，小球上升的最大高度：
点评：
（1）当系统在某方向上分动量守恒时，应根据速度分解的基本方法找到该方向上各自的分速度，列出分动量守恒方程；
（2）假若同时要和机械能相结合时，应注意，代入动能表达式的速度应是物体的合速度，即实际运动方向的速度；
（3）若出现临界状态，应注意确定临界条件。
核反应中的守恒探析
守恒定律是自然界中普遍成立的规律，是物理学中有效的思维方法。在核反应过程中，虽然发生了质量亏损，但都遵守电荷数守恒，质量数守恒，动量守恒和能量守恒；核碰撞中还遵守动量守恒和能量守恒。应用上述守恒定律是解决原子物理问题的主要依据和有效的思维方法。本文结合实例分类探析核反应中的守恒。
一、核反应中的守恒
1. 电荷数、质量数守恒
例1. 在核反应方程式中（ ）
A. X是中子，
B. X是中子，
C. X是质子，
D. X是质子，
解析：在题目所给的核反应中，由电荷数守恒，设X的质子数为x，则核反应方程的左边质子数为92＋0＝92，右边质子数为38＋54＋x＝92，x＝0，X的质子数为0，所以X为中子；由质量数守恒，左边的质量数为235＋1＝236，右边的质量数为90＋136＋k×1＝236，k＝10，所以k的数值为10，B选项正确。
2. 动量守恒
例2. 光子的能量是，动量为，如果一个静止的放射元素的原子核在发生辐射时只发出一个光子，则辐射后的原子核（）
A. 仍然静止
B. 沿着与光子运动方向相同的方向运动
C. 沿着与光子运动方向相反的方向运动
D. 可能向相反的方向运动
解析：原子核发生γ辐射时只发出一个光子，从核反应方程上来看原子核的电荷数和质量数都没有发生变化，但光子是有动量的，根据动量守恒定律，辐射后的原子核应有一个与光子等大相反的动量，故选C。
3. 能量和动量守恒
例3. 云室处在磁感应强度为B的匀强磁场中，一静止的质量为M的原子核在云室中发生一次α衰变，α粒子的质量为m，电量为q，其运动轨迹在与磁场垂直的平面内。现测得α粒子运动的轨道半径为R，试求在衰变过程中的质量亏损（注：涉及动量问题时，亏损的质量可忽略不计）
解析：设核衰变产生的α粒子的速度为v，则有
用表示衰变后剩余核的速度，则由动量守恒定律有
在衰变过程中，α粒子和剩余核的动能来自核反应过程中所释放的核能，由质能方程和能量守恒定律
结合以上方程可解得
二、碰撞中的动量和动能守恒
例4. 1920年，质子已被发现，英国物理学家卢瑟福曾预言：可能有一种质量与质子相近的不带电的中性粒子存在，他把它叫中子。1930年发现，在真空条件下用α射线轰击铍时，会产生一种看不见的、贯穿能力极强的不知名射线和另一种粒子。经过研究发现，这种不知名射线具有如下特点：①在任意方向的磁场中均不能发生偏转；②这种射线的速度小于光速的十分之一；③由它轰击含有氢核的物质，可以把氢核打出来；由它轰击含有氮核的物质，可以把氮核打出来，并且被打出的是氢核的最大速度vH和被打出的氮核的最大速度vN之比近似等于15:2，若该射线中的粒子均具有相同的能量，氢核和氮核可认为静止，碰撞过程中机械能无损失。已知氢核的质量MH和氮核的质量MN之比等于1:14。
（1）写出α射线轰击铍核的核反应方程。
（2）根据上面所述的各种情况，通过具体分析说明射线是不带电的，但它不是γ射线，而是由中子组成。
解析：（1）核反应方程是：
（2）由①可知，由于该射线在任意方向的磁场中均不能发生偏转，因此该射线不带电，是由电中性的粒子流组成的。由②可知，由于γ射线是光子流，而该射线的速度小于光速的十分之一，因此它不是γ射线。
设组成该射线的粒子质量为m，轰击氢核和氮核时的速度为v，由于碰撞过程中机械能无损失，当被打出的氢核和氮核的速度为最大值时，表明该粒子与氢核及氮核的碰撞为弹性正碰，设与氢核发生弹性正碰后粒子速度为v1，与氮核发生弹性正碰后粒子速度变为v2，根据动量守恒和机械能守恒，在打出氢核的过程中有：
解得
同理，在打出氮核的过程中，有：
解得，
根据vH、vN的表达式及
解得
即该粒子的质量与氢核质量近似相等，因此这种粒子是中子。
自感现象的四个要点和三个状态
一、自感现象的四个要点和三个状态
要点一：电感线圈产生感应电动势的原因是通过线圈本身的电流变化引起穿过自身的磁通量变化。
要点二：自感电流总是阻碍导体中原电流的变化，当自感电流是由于原电流的增强引起的（如通电），自感电流的方向与原电流方向相反；当自感电流是由于原电流的减少引起时（如断电），自感电流的方向与原电流方向相同；
要点三：自感电动势的大小取决于自感系数和导体本身电流变化的快慢。其具体关系为：。其中，自感系数L的大小是由线圈本身的特性决定的。线圈越粗、越长、匝数越密，它的自感系数就越大；线圈中加入铁芯，自感系数增大。
要点四：自感现象的解释。
图1的电路断电时，线圈中产生的自右向左的自感电流，是从稳定时的电流开始减小的。若为线圈的直流电阻），在电键S闭合稳定后，流过电灯的自右向左的电流小于流过线圈的自右向左的电流，在S断开的瞬间，才可以看到电灯更亮一下后才熄灭。若，在S断开的瞬间，电灯亮度是逐渐减弱的。
三个状态：理想线圈（无直流电阻的线圈）的三个状态分别是指线圈通电瞬间、通电稳定状态和断电瞬间状态。在通电开始瞬间应把线圈看成断开，通电稳定时可把理想线圈看成导线或被短路来分析问题。断电时线圈可视为一瞬间电流源（自感电动势源），它可以使闭合电路产生电流。
二、自感现象题型及其分析
1. 判断灯亮度情况的变化问题
例1（1997年高考题）如图2所示的电路中是完全相同的灯泡，线圈L的电阻可以忽略。下列说法中正确的是（）
A. 合上电键S接通电路时，先亮，后亮，最后一样亮
B. 合上电键S接通电路时，始终一样亮
C. 断开电键S切断电路时，立即熄灭，过一会才熄灭
D. 断开电键S切断电路时，都过一会才熄灭
解析 自感线圈具有阻碍电流变化的作用，当电流增加时，它阻碍电流增加；当电流减小时，它阻碍电流减小，但阻碍并不是阻止。闭合电键时，L中电流从无到有，L将阻碍这一变化，使L中电流不能迅速增大；而无电感的电路，电流能够瞬时达到稳定值。故灯后亮，灯先亮，最后两灯电流相等，一样亮。断开电键时，L中产生自感电动势与自身的电流方向相同，该自感电流通过，使过一会儿才熄灭，故选项A、D正确。
点评 本题在断电瞬间，两灯尽管可以过一会熄灭，但看不到更亮一下再熄灭的现象。其原因是，线圈L的电阻可以忽略，电键闭合稳定后，两灯中的电流相等。如果本题的电路改成图3所示，由于电路闭合稳定时，流过线圈的电流大于灯中的电流，亮；当电键断开瞬间，都过一会才熄灭，但会更亮一下。
图3
2. 自感中的电流计算问题
例2 如图4所示，电源电动势E=6V，内阻不计，A和B两灯都标有“6V 0.3A”字样，电阻R和线圈L的直流电阻均为，试通过计算，分析在电键S闭合和断开的极短时间内流过A和B两灯的电流变化情况。
图4
解析 A和B两灯的电阻均为。S刚闭合时，由于L中电流不能突变，只能由零逐渐增大到稳定值，因此L中电流为零相当于断路，此时的电路等效成图5所示。对图5，不难算出流过A、B两灯的电流分别为。
电路稳定后，A、B两灯分别与R、L并联后再串联，此时线圈相当于一个的电阻，根据直流电路知识，容易算出流过A、B两灯的电流均为。
图5
当S断开瞬间，A灯中的电流立即从0.15A变为零。由于发生自感现象，线圈L中的电流不能发生突变，在线圈L与B灯组成的回路中，L中的电流由向右的0.15A开始变小，故B灯中电流从向右流过的0.15A立即变为向左流过的0.15A，然后逐渐减为零。
　
　
理清能量转化过程求解电磁感应问题
电磁感应的本质是不同形式的能量的转化过程。理清能量转化过程，用“能量”的观点研究电磁感应现象，往往比较简便。下面分三个方面举例说明。
1. 恒定的安培力做功问题
例1 如图1所示，电阻为R的矩形导线框abcd，边长ab=L，ad=h，质量为m，从某一高度自由落下，通过一匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，磁场区域的宽度为h。当线框恰好以恒定速度通过磁场时，线框中产生的焦耳热是多少？（不考虑空气阻力）
解法一 以线框为研究对象。线框穿过磁场（设速度为v）的时间 t=2h/v
线框穿过磁场时线框中产生的感应电流
I=BLv/R
由平衡条件可知，线框在穿过磁场时所受的安培力
F=BIL=mg
由焦耳定律，线框中产生的热量
Q=I2Rt
由以上四式解得 Q=2mgh
解法二 根据能量转化与守恒定律，线框以恒定速率通过磁场的过程，重力与线框所受安培力相平衡。因此实质是重力势能转化为内能的过程。所以此过程中线框产生的焦耳热为2mgh。
2. 变化的安培力做功问题
例2 如图2所示，abcd为静止于水平面上宽度为L而长度很长的U形金属滑轨，bc边接有电阻R，其它部分电阻不计。ef为一可在滑轨平面上滑动、质量为m的均匀金属棒。今金属棒以一水平细绳跨过定滑轮，连接一质量为M的重物。一匀强磁场B垂直滑轨面。重物从静止开始下落，不考虑滑轮的质量，且金属棒在运动中均保持与bc边平行。忽略所有摩擦力。则：（1）当金属棒作匀速运动时，其速率是多少？（忽略bc边对金属棒的作用力）。（2）若重物从静止开始至匀速运动时下落的总高度为h，求这一过程中电阻R上产生的热量。
图2
解析 视重物M与金属棒m为一系统，使系统运动状态改变的力只有重物的重力与金属棒受到的安培力。由于系统在开始一段时间里处于加速运动状态，由此产生的安培力是变化的，安培力做功属于变力做功。
系统的运动情况分析可用简图表示如下：
棒的速度v↑棒中产生的感应电动势E↑通过棒的感应电流I↑棒所受安培力棒所受合力棒的加速度a↓
当a=0时，有
解得
题设情况涉及到的能量转化过程可用简图表示如下：
由能量守恒定律有
解得
从求焦耳热的过程可知，此题虽属变化的安培力做功问题，但我们不必追究变力、变电流做功的具体细节，只需弄清能量的转化途径，用能量的转化与守恒定律就可求解。
3. 简单连接体
例3 如图3所示，金属棒a从h高处自静止沿光滑弧形轨道下滑，进入轨道的水平部分以后，在自上而下的匀强磁场中运动，水平轨道也是光滑的，磁场的磁感应强度是B。在轨道的水平部分原来静止地放着一根金属棒b，已知两棒质量相等且等于m，如果a棒始终没有跟b棒相碰，求整个过程中导轨及两棒组成的回路消耗的内能。
图3
解析 a棒切割磁感线在回路中产生感应电流，a棒减速，b棒加速，当两棒速度相等时，它们与导轨构成的回路不再有感应电流，a、b棒以同样的速度运动。视a、b两金属棒为一系统，由于系统在a棒从斜面底端（设速度为）开始运动至a、b棒有共同速度（设为v）的过程中，水平方向上不受外力，动量守恒。设a、b棒的质量均为m，则有
又由于a棒在下滑的过程中机械能守恒，则有
根据能量转化与守恒定律，系统在在a棒开始运动至a、b棒有共同速度的过程机械能（通过安培力作功）部分转化为内能，故回路消耗的内能为
从以上的习题解答可以看出，伴随有安培力做功过程，一定有其他形式的能量与电能（内能）间转化。所以在求解这些问题时，只需把握住能量的转化途径，复杂的问题也就变得简单了。
　
机械能守恒定律“五性”的理解
机械能守恒定律是能量守恒定律的特例。“在只有重力或弹力做功的条件下，系统内的动能和势能相互转化，机械能总量保持不变。”从两个角度理解：（1），即，系统的机械能保持不变，体现的物理思想是“状态=状态”；（2），在系统内动能的增加来源于势能的减少，体现的是“变”的思想，“变”与“不变”的统一构成了“守恒”，即守恒是一个动态的过程。
在理解机械能守恒定律时，应严格把握“五性”：
1. 系统性
势能是系统的概念，只有系统才具有势能，从产生的条件来讲是由于系统内相互作用的物体与相对位置有关而具有的能，即，存在于保守力场中，像重力势能（属于地球和物体系统所有）、弹簧的弹性势能（属于弹簧和与之连接的物体所组成的系统所有）、静电场中的电势能（属于电场和电荷系统所有）、分子势能（属于相互作用的分子系统）等；
2. 相对性
机械能包含动能和势能，中涉及到参考系的选择，中涉及到零势能位置（参考平面）的选取，因此相对于不同的参考系和零势能面描述的结果不相同，涉及到多个物体组成的系统或发生多个物理过程中，要选取统一的参考系和零势能面。
3. 条件性
理解“只有重力或弹力做功”的含义：①对某一个物体系统（物体和地球、弹簧组成的系统），只有重力或弹簧弹力做功，其它力不做功或做功的代数和为零。②对多物体系统（包括地球、弹簧），系统内只有重力或弹力做功；其它内力和外力不做功或做功的代数和为零。所以，运用机械能守恒定律解答问题的关键是判断系统的“条件性”，标定系统初状态和末状态的机械能。
理解“条件性”，还应根据发生的物理过程，在不同的阶段，系统所包含研究对象的不同进行具体的分析。
例1. 如图1所示，轻质弹簧一端固定，另一端系质量为m的小球，由水平位置自由释放，绕悬点O向下摆过过程中，小球的重力势能转化为动能和弹簧的弹性势能（以最低处为零势能面），小球与地球组成的系统机械能不守恒，但与弹簧三者组成的系统机械能守恒。在多个物理过程中，依据物体间的相互作用力，有无做功的过程实现能量的相互转换，根据实际情况选取不同的对象组成系统。
4. 标量性的理解
机械能守恒定律是标量表达式，初、末状态的机械能可以为正值也可以为负值，依据零势能面的选取，重力势能的正负值表明的仅是在选定零势能面的上下方，不代表方向。在某些问题中，选取恰当的零势能面，可简化解题过程，请看例2。
例2. 如图2所示，质量为m的均匀铁链长为L，平放在距离地面高为2L的光滑水平面上，其长度的悬垂于桌面下，从静止开始释放铁链，求铁链下端刚着地时的速度？
方法1：选取地面为零势能面，由机械能守恒得
方法2：选取桌面为零势能面，由机械能守恒得
5. 守恒性的理解
守恒性包含“不变”和“变”两层含义，“不变”是指整个系统机械能不变，“变”是指系统内部动能和势能之间必须发生相互转化，即；或者系统内各物体的机械能发生相互转移，即。系统内动能和势能的相互转化是通过保守力做功（像重力、弹簧的弹力）实现的，不同物体之间机械能的转移是通过系统内弹力做功实现的，但像摩擦力这样的耗散力充当内力时，系统的机械能部分转化为内能，即系统内一物体减少的机械能并不等于另一物体增加的机械能。
例3. 如图3所示，一根长为1m，可绕O轴在竖直平面内无摩擦转动的细杆AB，已知，，质量相等的两个球分别固定在杆的A、B端，由水平位置自由释放，求轻杆转到竖直位置时两球的速度？
思路：A、B球在同一杆上具有相同的角速度，，A、B组成一个系统，系统重力势能的改变量等于动能的增加量，选取AB所在水平面为零势能面，则
有关平面镜成像的几个问题
一. 像的亮度问题
例1. 一点光源S经平面镜M成像于S”，人眼于P点可以观察到S”，如图所示，今在S、M间放一不太大的遮光板N，则：
A. S不能在M中成像；
B. S仍能在M中成像；
C. 人眼观察到S”的亮度将变小；
D. 人眼观察到S”的亮度将不变。
解析：在平面镜成像时，像点是由于物点发出的光线经平面镜的反射而进入到人眼中形成像，故只要反射光线能进入视线，则观察者即可观察到其像点。因遮光板N只是挡住部分光线，其余反射光线仍能通过平面镜成像，故S仍能在平面镜中成像，B正确；因为进入视线的那部分光线没有发生变化，所以像点的亮度不发生变化。正确答案为：BD。
二. 像的方向问题
例2. 如图所示是一架简易的潜望镜，由两个弯成直角的圆筒套住一起而成，E、F是安放在转角处的两块平面镜，与水平放向都成45°角，现使B段保持竖直方向，A段指向南方，转动C段使它水平指向东方，则在A处看到的东方站立的人像是：
A. 竖直方向，头向上；
B. 竖直方向，头向下；
C. 水平方向，头向东；
D. 水平方向，头向西。
解析：由空间立体观可知：从左向右观察，C圆筒处站立的人的左侧成像在平面镜E的内侧，右侧成像在平面镜的外侧，而内侧的反射光线到平面镜F的上端，外侧的反射光线则到达平面镜F的下端，故人通过平面E、F成像后，左侧在上，右侧在下，即所成的像为水平方向；另外人在平面镜成像时，人的上部在平面镜E上部，再通过平面镜F反射时，则反射光线在平面镜F的右侧，故人的上部通过两平面镜成像后向东。正确答案为C。
三. 像的个数问题
例3. 如图3所示，平面镜M以角速度绕垂直于纸面且过O点的轴顺时针转动，AB为一段圆弧屏幕，它的圆心在O点，张角为60°，现有一束来自频闪光源的细平行光线以一个固定方向射向平面镜M上的O点，光源每秒闪12次，则平面镜每转一周在屏幕AB上出现的亮点数最多可能是几个？
解析：根据平面镜成像特点及光的反射定律可知，当平面镜以转动时，反射光线转动的角速度为。因此光线扫过AB弧的时间为，因光源每秒闪12次，在0.5s内将闪6次，若第一次闪光正好照到B点，则屏幕上形成的最后一个光点恰好照到A点，故在AB弧上光点个数最多为7个。
四. 像的运动问题
例4. 如图所示，一发光点S从A点沿AB连线方向向B点做直线运动，与A点相距3m处有一垂直于纸面的轴O，OA垂直于AB，平面镜MN可绕O点在纸平面内旋转，为使S经平面镜成的像S”始终在与AB平行的PO连线上，则当发光点移动3m时，平面镜转过的角度为：（）
A. 15° B. 30°
C. 45° D. 22.5°
解析：由题意可知，要使S”始终在OP上，则与入射光线SO对应的反射光线应与OP在同一直线上。当S在A点时，SO应与MN成45°角，S沿AB向B点移动3m时，入射角与反射角之和增大45°，故平面镜应逆时针旋转22.5°，正确答案为D。
五. 像的观察范围问题
例5. 如图所示，以平面镜的高度为直径作一圆，使圆所在平面与平面镜垂直，在圆周上有三个发光点a、b、c，若a、b、c与圆心的连线与平面镜的夹角分别为，若在圆所在平面内的镜前一定范围内可以看到发光点a、b、c的像，下列判断正确的是：（）
A. 观测到a点像的范围最大；
B. 观测到c点像的范围最大；
C. 观测到a、b、c三点像的范围一样大；
D. 观测到a、b、c三点像的范围不一样大。
解析：由平面镜成像的对称性，分别在圆所在平面内作出a、b、c三发光点所成的像，再由各像点向平面镜的两边缘引线，则两引线在平面镜前所夹的区域即各像点的观测区。因为两连线所成的角是同一圆中的直径所对的圆周角，都为直角，所以观测到a、b、c三点像的范围一样大，正确答案为C。
变压器“变比”功能的延伸
《变压器》是“交变电流”这一章的重点内容之一，高中阶段我们只讨论理想变压器。变压器不但能用来变换交流电压和交流电流，而且还有变化脉动直流电（如人教版教材第224页阅读材料：汽油机点火装置）和变化阻抗的作用（如电视机天线上的阻抗变换器）。在电子线路中经常利用变压器进行隔直耦合和阻抗变换，从而得到最佳负载阻抗，使电路处于最佳工作状态。在高中物理中，也有类似问题出现，下面进行分类讨论。
一. 变压器的变直流作用
变压器的实质是根据电磁感应现象中的互感原理来改变交流电压和电流的。只要原线圈中的磁通量发生变化，副线圈中就能够产生感应电动势，因此变压器虽然不能改变恒定的直流电，但可以改变大小变化的脉动直流电。
例1. 一个脉动电流，它的电流强度随时间的变化图象如图1所示，它是正弦交流电流的正向部分。现让它通过如图2所示的一台理想变压器的原线圈，已知理想变压器原、副线圈的匝数之比。副线圈上接有阻值为的定值电阻R0，求：该电阻的电功率。
解析：先求电流的有效值，但本题不能简单套用正弦交变电流的最大值是有效值的倍的关系。
根据有效值的定义，选择一个周期的时间，利用在相同时间内通过相同的电阻产生相等的热量，由焦耳定律得：
即
解得
由变压器的变比公式：
解得
所以定值电阻的功率为：
二. 变压器的变电阻作用
选择不同的匝数比，利用“变化”公式可以达到增大或减小阻抗的目的。
例2. 理想变压器的原副线圈匝数之比为n：1，副线圈的负载电阻是R，如图3所示，则变压器正常工作时，a、b间的等效电阻是______________。
图3
解析：根据电阻的定义公式，故ab间的等效电阻为。
因为
且，联立以上各式解得：
例3. 如图4所示，加在理想变压器原线圈上的交流电源电动势为E，内阻为r，原副线圈匝数比为n：1，与副线圈相连一负载电阻R，求：当负载电阻R为多大时，负载上获得的功率最大？
图4
解析：据题意，题中所给交流电源的电动势为交流电源的有效值，应用有效值这一概念将问题转化为直流问题来处理。
由于变压器为理想变压器，则负载电阻R上获得的功率P等于交流电源的输出功率，本题就转化为求电源最大输出功率问题，由恒定电流的知识可知：当电路的外电阻和电源内阻相等时，电源输出功率最大。
即当时，功率P有最大值。由例2的结果可得：即时，功率P有最大值。
　
利用E＝BLv时的注意事项
利用公式E＝BLv求电动势这类习题在中学物理中是常见的，但利用此公式时应注意以下几点。
1. 此公式的应用对象是一部分导体在磁场中做切割磁感线运动时产生感应电动势的计算，一般用于匀强磁场（或导体所在位置的各点的磁感应强度相同）。
2. 此公式一般用于导体各部分切割磁感线速度相同的情况，如果导体各部分切割磁感线的速度不同，可取其平均速度求电动势。
例1. 如图1所示，导体棒AB长为L，在垂直纸面向里的匀强磁场中以A点为圆心做匀速圆周运动，角速度为。磁感应强度为B，求导体棒中感应电动势的大小。
图1
解析：导体棒AB在以A点为圆心做匀速圆周运动过程中，棒上每一点切割磁感线的线速度是不同的，我们可以求出导体棒切割磁感线的平均速度为：
则导体棒中感应电动势为：
3. 此公式中的L不是导体棒的实际长度，而是导体切割磁感线的有效长度，所谓有效长度，就是产生感应电动势的导体两端点的连线在切割速度v的垂直方向上投影的长度。
例2. 如图2甲、乙、丙所示，导线均在纸面内运动，磁感应强度垂直纸面向里，其有效长度L分别为：
甲图：
乙图：沿方向运动时，L＝MN，沿方向运动时，L＝0
丙图：沿方向运动时，，沿方向运动时，L＝0，沿方向运动时，L＝R
甲 乙 丙
图2
4. 在匀强磁场里，若切割速度v不变，则电动势E为恒定值，若v为时间t里的平均速度，则E为时间t里的平均电动势。若v为瞬时值，则E为瞬时电动势。
5. 若v与导体棒垂直但与磁感应强度B有夹角时，公式中的v应是导体棒的速度在垂直于磁场方向的分速度。此时，公式应变为：。
例3. 如图3所示，磁感应强度为B，方向竖直向下。一导体棒垂直于磁场放置，导体棒的速度方向与磁场方向的夹角为，大小为v。求导体棒上感应电动势的大小。
图3
解析：把导体棒的速度v沿垂直于磁场方向和平行磁场方向进行分解，得到分速度v1、v2，且。则导体棒上的感应电动势为：。
6. E＝BLv公式中的速度v应是导体棒相对于磁场的速度。
在习题中我们常见的是磁场静止，对于这一种情况，公式中的v就是导体棒的速度v。
例4. 如图4所示，水平面上有两根很长的平行直导轨，导轨间有竖直向下的匀强磁场，磁感应强度B＝2T，磁场运动的速度，方向向左。导轨上有金属棒MN以速度向左运动。设两根直导轨间距L＝1m，求金属棒MN上产生的感应电动势的大小，问哪一端的电势高？
图4
解析：在本题中，磁场的运动速度为，方向向左，金属棒的速度为，方向向左，侧金属棒相对于磁场的速度为v＝2m/s，方向向右。则金属棒上产生的感应电动势为：
即金属棒上产生的感应电动势为4V，由右手定则可判定M点的电势高。
电磁感应中电路的分析与计算
一. 电磁感应与直流电路的综合分析
解题时应注意：
（1）明确切割磁感线的导体或磁通量发生变化回答相当于电源，其他部分为外电路。
（2）用右手定则或楞次定律确定感应电流的方向。在电源（导体）内部，电流由负极（低电势）流向电源的正极（高电势），在外部由正极流向负极。
（3）画出等效电路图。
（4）结合运用闭合电路欧姆定律，串并联电路的性质等有关知识解决相关问题。
例1. 如图1所示，直角三角形导线框ABC固定在匀强磁场中，AB是一段长为L、电阻为R的均匀导线，AC和BC的电阻可不计，AC长度为。磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，现有一段长度为，电阻为的均匀导体棒MN架在导线框上，开始时紧靠AC，然后沿AB方向以恒定速度v向B端滑动，滑动中始终与AC平行并与导线框保持良好接触，则当MN滑过的距离为时，导线AC中的电流为多大？方向如何？
图1
解析：MN滑过的距离为时，它与BC的接触点为P，如图2所示。由几何关系可知，MP的长度为，MP相当于电路中的电源，其感应电动势，内阻。等效电路如图3所示。外电路并联电阻为，由闭合电路欧姆定律可得：MP中的电流，AC中的电流，联立以上各式解得。根据右手定则，MP中的感应电流方向由P流向M，所以电流的方向由A流向C。
图2 图3
答案，方向由A流向C。
点评：处理此类问题的关键在于：①明确产生切割磁感线的导体相当于电源，其电阻是电源的内阻，其他部分为外电路，电源的正负极由右手定则来判定；②画出等效电路图，并结合闭合电路欧姆定律等有关知识解决相关问题。
二. 电磁感应与含电容电路的综合分析
方法：从电场中的带电粒子受力分析入手，综合运用牛顿第二定律；串、并联电路的性质、闭合电路欧姆定律和法拉第电磁感应定律进行分析、计算，注意电容器两端的电压和等效电路。
例2. 如图4所示，光滑的平行导轨P、Q相距，处在同一水平面中，导轨左端接有如图所示的电路，其中水平放置的平行板电容器C两极板间距离，定值电阻，，导轨电阻不计，磁感应强度B＝0.4T的匀强磁场竖直向下穿过导轨平面，当金属棒ab沿导轨向右匀速运动（开关S断开）时，电容器两极之间质量，带电量的粒子恰好静止不动；当S闭合时，粒子以加速度向下做匀加速运动，取，求：
（1）金属棒ab运动的速度多大？电阻多大？
（2）S闭合后，使金属棒ab做匀速运动的外力的功率多大？
图4
解析：（1）带电粒子在电容器两极板间静止时，受向上的电场力和向下的重力作用而平衡，可得电容器两极板间的电压：
由于粒子带负电，可知上极板电势高。由于S断开，R1上无电流，R2、R3上电压等于U1，电路中的感应电流即通过R2、R3的电流强度为：
由闭合电路欧姆定律可知：ab切割磁感线产生感应电动势：，其中r为ab金属棒的电阻即：。
当闭合S后，带电粒子向下做匀加速运动，根据牛顿第二定律有：，可得S闭合后电容器两极板间的电压
这时电路中的感应电流为：
根据闭合电路欧姆定律有：
可得
又因：，即金属棒做匀速运动的速度为3m/s，电阻
（2）S闭合后，通过ab的电流，ab所受安培力，ab以速度匀速运动时，所受外力必与安培力F2大小相等，方向相反，即F＝0.06N。方向向右（与v同向），可见外力F的功率为：
例3. 如图5所示，水平面中的光滑平行导轨P、Q相距，电池电动势，内阻不计；电容，定值电阻；直导线MN的质量，横放在平行导轨上，其中导轨间的电阻；竖直向下穿过导轨面的匀强磁场的磁感应强度；导轨足够长，电阻不计。
图5
（1）闭合开关S，直导线MN由静止开始运动的瞬时加速度多大？MN运动能达到的最大速度多大？
（2）直导线MN由静止开始运动到速度最大的过程中，电容器的带电荷量变化了多少？
解析：（1）S闭合后，电流由M到N通过直导线，电流大小为。MN开始运动（速度为零）时的加速度为，方向水平向右。当MN运动速度为v（方向向右）时，感应电动势大小为，这时通过MN的电流（仍由M到N）为，可见，MN的运动速度增大时I减小，MN所受安培力、加速度也随之减小；当I减小至零时，MN所受安培力、加速度为零。这时，MN速度最大，最大速度为。
（2）S刚闭合时，MN速度为零，电容器两极板间电压为，MN以最大速度运动时，电路中电流为零，电容器两极板间电压为，可见，电容器的带电荷量在MN由开始运动到达最大速度的过程中。
点评：分析含有电容器的电路时，一定要注意区别电容器在不同状态电路中的表现是不同的：在稳定状态下，电容器相当于开路，含有电容的支路中电流为零，在电动势或电压变化的电路中，电容器将不断地充电或放电，含电容支路中电流不为零。
三. 电磁感应与交流电路的分析与计算
处理交流电路问题时，关键是理解并熟练掌握表述交流电的各物理量（特别是有效值）的概念及应用。
例4. 高频焊接是一种常用的焊接方法，其焊接的原理如图6所示。将半径为10cm的待焊接的圆形金属工件放在导线做成的1000匝线圈中，然后在线圈中通以高频的交变电流，线圈产生垂直于工件所在平面的变化磁场，磁场的磁感应强度B的变化率为。工件焊接处的接触电阻为非焊接部分电阻的99倍。工件非焊接部分每单位长度上的电阻为，焊接的缝宽非常小，求焊接过程中焊接处产生的热功率。（取，不计温度变化对电阻的影响）
图6
解析：当线圈中通过高频交变电流时，由于电磁感应，圆形金属工件中产生的感应电动势大小为，其最大值，则有效值E＝100V，工件非焊接部分的电阻，代入数据得，焊接部分的电阻，根据串联电路的电压分配关系，R2两端电压，由得，焊接处产生的热功率，代入数据解得
点评：交流电路中，计算功率、热量等均用有效值代入，对于正弦或余弦交流电，应先计算出最大值，再根据最大值与有效值的关系，计算出有效值。对于此题，极易犯的错误是，在求圆形工件中产生的瞬时感应电动势时，将线圈的匝数（1000匝）当作工件的匝数代入计算。
《冲量和动量》剖析
一、深刻理解动量及动量变化的概念
1. 动量是矢量，其方向与物体的速度方向一致。如果两个动量相等或相同，则它们必须是大小相等，方向相同。
2. 动量的变化：
在计算时，应注意：①此式是矢量表达式，遵循平行四边形法则；②在计算时应先规定正方向，等于物体末动量与初动量的矢量之差；③在中学只要求在同一条直线的情况。
二、深刻理解冲量概念
1. 冲量是矢量，当力的方向不发生变化时，冲量的方向与该力的方向相同；当力的方向发生变化时，冲量的方向要根据动量的变化量的方向来确定。注意：不能说冲量的方向与力的方向相同。
2. 只要有力作用在物体上，该力对物体就一定有冲量，大小就等于这个力与作用时间的乘积，与物体的运动状态、力的方向无关，与选取的参考系无关。一定要注意与功的区别。
3. 冲量是过程量，求冲量时，必须明确是哪一个力在哪一段时间内的冲量。
例1. 质量为m的物块沿倾角为的斜面向上滑动，经过时间到达斜面最高点后向下滑动，又经过时间回到斜面底端，滑块在运动过程中受到的摩擦力大小始终为f，则在整个运动过程中，重力的冲量为______________，支持力的冲量为______________，摩擦力的冲量为______________。
解析：根据冲量的定义可知，重力的冲量，支持力的冲量，摩擦力的冲量。
点评：求冲量时必须要明确是哪一个力在哪一段时间内的冲量，另外，某个阶段内某个力若方向发生改变，应注意整个过程中的冲量等于各阶段冲量的矢量和。
4. I＝Ft只适用于恒力或者可视为恒力的变力的冲量，对于变力的冲量，高中阶段只能利用动量定理通过物体的动量变化或者F－t图象的面积来求解。
例2. 用电钻给建筑物钻孔时，钻头所受的阻力与深度成正比。若钻头匀速钻进时第1秒内所受的阻力的冲量为I1，求5秒内阻力的冲量。
解析：设钻头进入建筑物的深度为x，则钻头受到的阻力为：f＝kx……①，k为比例系数。
钻头匀速钻进深度为：
x＝vt……②
∴f＝kvt……③
在时间t内阻力的冲量可通过如图1所示的F－t图象的面积来求解：
图1
……④
即时，。
三、注意几个概念的区别
1. 某个力的冲量与合外力的冲量区别。
2. 动量的变化与动量的变化率的区别。
动量的变化率，指的是动量的变化量与对应时间的比值，即单位时间内动量的变化。由动量的变化的表达式及牛顿第二定律可知，＝。动量的变化率的大小取决于物体所受的合外力大小，而与物体的初、末动量及动量的变化都无直接的关系。
例3. 如图2所示，两个质量相等的物体从同一高度沿倾角不同的两个光滑斜面由静止自由滑下，到达斜面底端的过程中（ ）
图2
A. 两物体所受重力冲量相同
B. 两物体所受合外力冲量相同
C. 两物体到达斜面底端时动量相同
D. 两物体到达斜面底端时动量不同
解析：物体沿光滑斜面下滑的加速度，从斜面顶端到达底端时间，而，所以。故整个过程中重力的冲量为：
。
由于斜面倾角不同，故两物体所受重力冲量不同，A错；两物体所受合外力大小为，，整个过程中两物体所受合外力冲量大小相同，但由于冲量是矢量，斜面倾角不同，所受合外力方向不同，故合外力冲量不同，B错误；两物体到达斜面底端时速度大小为，所以。但由于斜面倾角不同，两物体到达斜面底端时速度方向不同，故两物体到达斜面底端时动量不同，C错，D对。
答案：D。
点评：本题以冲量和动量的概念以及匀变速直线运动规律为知识依托，重点考查了对冲量和动量的矢量性的理解。
例4. 甲、乙两物体分别在恒力F1和F2的作用下沿同一直线运动，它们的动量随时间的变化关系如图3所示。设甲在t1时间内所受的冲量为I1，乙在t2时间内所受的冲量为I2，则F、I的关系（）
图3
A.
B.
C.
D.
解析：由图可知，甲物体p－t图线的斜率大于乙物体，因，故。甲、乙两物体动量的变化量大小相等，因此。
答案A。
点评：本题主要根据物理图象，考查力、冲量、动量及其变化量、变化率之间的关系。
电磁感应中导体棒类问题归类剖析
电磁感应中的导轨上的导体棒问题是历年高考的热点。其频考的原因，是因为该类问题是力学和电学的综合问题，通过它可以考查考生综合运用知识的能力。解滑轨上导体棒的运动问题，首先要挖掘出导体棒的稳定条件及它最后能达到的稳定状态，然后才能利用相关知识和稳定条件列方程求解。下文是常见导轨上的导体棒问题的分类及结合典型例题的剖析。想必你阅过全文，你会对滑轨上的导体棒运动问题，有一个全面的细致的了解，能迅速分析出稳定状态，挖掘出稳定条件，能准确的判断求解所运用的方法。
一、滑轨上只有一个导体棒的问题
滑轨上只有一个导体棒的问题，分两类情况：一种是含电源闭合电路的导体棒问题，另一种是闭合电路中的导体棒在安培力之外的力作用下的问题。
（一）含电源闭合电路的导体棒问题
例1 如图1所示，水平放置的光滑导轨MN、PQ上放有长为L、电阻为R、质量为m的金属棒ab，导轨左端接有内阻不计、电动势为E的电源组成回路，整个装置放在竖直向上的匀强磁场B中，导轨电阻不计且足够长，并与电键S串联。当闭合电键后，求金属棒可达到的最大速度。
图1
解析 闭合电键后，金属棒在安培力的作用下向右运动。当金属棒的速度为v时，产生的感应电动势，它与电源电动势为反接，从而导致电路中电流减小，安培力减小，金属棒的加速度减小，即金属棒做的是一个加速度越来越小的加速运动。但当加速度为零时，导体棒的速度达到最大值，金属棒产生的电动势与电源电动势大小相等，回路中电流为零，此后导体棒将以这个最大的速度做匀速运动。
金属板速度最大时，有
解得
点评 本题的稳定状态是金属棒最后的匀速运动；稳定条件是金属棒的加速度为零（安培力为零，棒产生的感应电动势与电源电动势大小相等）
（二）闭合电路中的导体棒在安培力之外的力作用下的问题
1. 导体棒在外力作用下从静止运动问题
例2（全国高考题）如图2，光滑导体棒bc固定在竖直放置的足够长的平行金属导轨上，构成框架abcd，其中bc棒电阻为R，其余电阻不计。一质量为m且不计电阻的导体棒ef水平放置在框架上，且始终保持良好接触，能无摩擦地滑动。整个装置处在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直框面。若用恒力F向上拉ef，则当ef匀速上升时，速度多大？
图2
解析 本题有两种解法。方法一：力的观点。当棒向上运动时，棒ef受力如图3所示。当ef棒向上运动的速度变大时，ef棒产生的感应电动势变大，感应电流I=E/R变大，它受到的向下的安培力F安=BIL变大，因拉力F和重力mg都不变，故加速度变小。因此，棒ef做加速度越来越小的变加速运动。当a=0时（稳定条件），棒达到最大速度，此后棒做匀速运动（达到稳定状态）。当棒匀速运动时（设速度为），由物体的平衡条件有
图3
点评 应用力学观点解导体棒问题的程度：(a)分析棒的受力情况，判断各力的变化情况；(b)分析棒的运动情况，判断加速度和速度的变化情况；(c)分析棒的最终运动情况，依平衡条件或牛顿第二定律列方程。
方法二：能量观点。
当导体棒ef以最大速度匀速运动以后，拉力做功消耗的能量等于棒重力势能的增加△和bc部分产生的热量Q之和。设棒匀速运动的时间为t，则有
点评 ①ef棒的运动尽管在达到最大速度以前为变速运动，产生的感应电流及感应电动势都在变化，但达到最大速度以后，感应电流及感应电动势均恒定，故计算热量可以用计算。②求导体棒的最大速度问题，要会抓住速度最大之后速度不变这一关键条件，运用能量观点处理，往往会使运算过程简洁。③求导体棒的最大速度问题，可以运用力的观点和能量观点的任一种，但两种方法所研究的运动过程却不同。力观点研究分析的是棒达到最大速度为止的以前的运动过程，而能量观点研究的是从棒达到最大速度开始以后做匀速运动的一段过程。要注意这两种观点所研究运动过程的不同。
2. 外力作用下有初速问题
例3 如图4所示，匀强磁场竖直向上穿过水平放置的金属框架，框架宽为L，右端接有电阻为R，磁感应强度为B，一根质量为m、电阻不计的金属棒受到外力冲量后，以的初速度沿框架向左运动，棒与框架的动摩擦因数为，测得棒在整个运动过程中，通过任一截面的电量为q，求：（1）棒能运动的距离？（2）R上产生的热量？
解析 （1）在整个过程中，棒运动的距离为S，磁通量的变化
通过棒的任一截面的电量
解得
（2）根据能的转化和守恒定律，金属棒的动能的一部分克服摩擦力做功，一部分转化为电能，电能又转化为热能Q，即有
点评 本题的棒与框架无论有无摩擦，棒的最终状态是静止。不过，无摩擦时，原来棒的动能全部要转变成R上产生的热量。
二、滑轨上有两个导体棒的运动问题
滑轨上有两个导体棒的运动问题，还分为两种：一种是初速度不为零，无安培力之外的力作用下的问题，另一种是初速度为零，有安培力之外的力作用下的问题。
（一）初速度不为零，无安培力之外的力作用的问题
1. 两棒各以不同的初速度做匀速运动问题
例4 如图5所示，相距d的平行光滑金属长导轨固定在同一水平面上处于竖直的匀强磁场中，磁场的磁感应强度为B，导轨上面横放着两条金属细杆ab、cd构成矩形回路，每条金属细杆的电阻为R，回路中其余部分的电阻可忽略不计。已知ab、cd分别以2v、v的速度向右匀速运动，求两金属细杆运动t秒后，共产生多少热量？
解析 以整个回路为研究对象，t秒后
磁通量的变化
回路中的感应电动势
回路中的感应电流
产生的热量
点评 本题的关键，是把两杆及导轨构成的回路作为研究对象，利用法拉第电磁感应定律求电动势E。如果用E=BLv求每杆的电动势，再求回路总电动势，那就要涉及到中学阶段不要求的反电动势问题。
2. 两棒之一有初速度的运动问题
例5 在例4中，两棒的质量均为m。若开始用一水平冲击力使ab获得一冲量I，使其沿轨道向右运动，而cd无初速度。求ab棒在整个过程中产生的焦耳热？
解析 ab棒获得速度，就开始向右切割磁感线，产生感应电流，从而ab棒在磁场力作用下做减速运动，cd棒做加速运动，当两棒速度相等时，两棒产生的感应电动势大小相等，在回路中方向相反，感应电流为零，磁场力也为零。此后两棒以相同的速度v做匀速运动（达到稳定状态）。在这个过程中，两棒组成的系统所受外力之和为零，系统动量守恒，有v=。
在上述过程中，系统损失的动能先转化为电能，电流通过电阻后又转化为焦耳热。又因为两棒电阻相同，产生的焦耳热相等，故有
故ab棒在整个过程中产生的焦耳热
（二）初速度为零，有安培力之外的力作用下的问题
1. 初速度为零，有安培力之外的恒力作用下的问题
例6（03年高考理综卷）两根平行的金属导轨，固定在同一水平面上，磁感应强度B=0.50T的匀强磁场与导轨所在平面垂直，导轨的电阻很小，可忽略不计。导轨间的距离L=0.20m。两根质量均为m=0.10kg的平行金属杆甲、乙可在导轨上无摩擦地滑动，滑动过程中与导轨保持垂直，每根金属杆的电阻为。在t=0时刻，两杆都处于静止状态。现有一与导轨平行、大小为0.20N的恒力F作用于金属杆上，使金属杆在导轨上滑动。
（1）若经过t=5.0s，金属杆甲的加速度为，问此时两金属杆的速度各为多少？
（2）若经过10s，电路中的电功率达到最大值。问第10s末，
①金属杆甲的加速度是多少？
②两金属杆的速度各是多少？
解析 （1）设任一时刻t两金属杆甲、乙之间的?

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