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第二讲 几何问题总复习（二）
模块一、圆与扇形：
一、相关公式：
圆的面积=πr2；扇形的面积=；
圆的周长=2πr；扇形的弧长=。
二、基本图形：
1．“弓形”：弓形一半不要求求周长，主要求面积。
一般说来，弓形面积=扇形面积?三角形面积。（除了半圆）
2．“弯角”：弯角面积=正方形?扇形；
3．“谷子”：谷子面积=弓形面积×2。
4．圆环：圆环面积=π×(R2?r2)。
例1．求下列图形中阴影部分的面积 ， ， 。（π取3.14）
解：①S1=π×52÷4?5×5÷2=7.125；
②S2=5×5?π×52÷4=5.375；
③S3=2×(π×52÷4?5×5÷2)=14.25.
例2．（1）求图中阴影部分的面积是 平方厘米。（单位：厘米）（π取3.14）

（2）已知图中阴影部分的面积是25cm2，则圆环的面积是 平方厘米。（π取3.14）
解：（1）S1=π×(152?102)=392.5（平方厘米）；
（2）S2=(R2?r2)÷2=25，解得R2?r2=50，
圆环的面积=π×(R2?r2)=157（平方厘米）。
模块二、图形变换技巧：
常用的思想方法：
1．转化思想（复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟悉的）；
2．等积变形（割补、平移、旋转等）；
3．借来还去（加减法）；
4．外围入手（从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的关系）；
5．容斥（实际上容斥的思想是贯穿于加减法始终的。我们把两部分面积加起来，去掉总面积，剩下的就是重叠部分的面积）；
6．差不变。
例3．如图，直角三角形ABC中，AB是圆的直径，且AB=20，阴影甲的面积比阴影乙的面积大7，求BC长。（π取3.14）
解：阴影甲的面积与阴影乙的面积都加上半圆内的空白部分，分别成为半圆和三角形ABC，
所以π×102÷2?20×BC÷2=7，得157?10BC=7，
所以10BC=150，BC=15.
例4．（1）下图中阴影部分的面积为 。（结果保留π）

（2）如图，ABCD是正方形，且FA=AD=DE=EW=1，则阴影部分的面积为，其中a= ，b= 。（π取3）
解：（1）按图所示，将中间的阴影部分分成两部分，分别旋转到对应位置，
则阴影部分成为一个大弓形，
则阴影部分的面积为S=π×42÷4?4×4÷2=4π?8；
（2）如图所示，将弓形BF，旋转到对应位置，
则阴影部分组合在一起，它是梯形减去一个三角形和一个扇形，
所以阴影部分面积S=(1+2)×1÷2?1×1÷2?π×12÷8
=，
所以a=5，b=8.
模块三、旋转与轨迹：
例5．如图，以OA为斜边的直角三角形的面积是24平方厘米，斜边长是10厘米，将它以O点为中心旋转90°，那么三角形扫过的面积是 平方厘米。（π取3）
解：三角形扫过的面积是扇形OAA’加上三角形的面积，
所以S=π×102÷4+24=99（平方厘米）。
例6．一只狗被栓在底座为边长3m的等边三角形建筑物的墙角上（如图），绳子长是4米，则狗所能到的地方的总面积是 平方米。（π取3.14）

解：活动范围是一个半径为4，圆心角为300度的扇形加上两个半径为1圆心角为120度的小扇形，
S==43.96（平方米）。
随 堂 练 习
1．下列各图中阴影部分的面积分别是 平方厘米、 平方厘米、 平方厘米、（图中单位为cm，π取3）
解：①S1=33÷2=； ②S2=π×22÷4?π×12÷2=1.5； ③S3=π×62÷8?62÷4=4.5.
2．已知：如图，大圆半径为R，小圆半径为r，两个同心圆构成一个圆环。以圆心O为顶点，半径R为边长做一个正方形，再以O为顶点，以r为边长做一个小正方形，图中阴影部分的面积为50平方厘米，则圆环面积是 平方厘米（π取3.14）
解：阴影部分面积是R2?r2=50，
圆环面积是S=π×(R2?r2)=50×3.14=157.
3．如图，直角三角形ABC中，AB是圆的直径，且AB=20，BC=15，阴影甲的面积与阴影乙的面积的差为 。（π取3.14）
解：阴影甲的面积与阴影乙的面积的差=π×102÷2?20×15÷2=7.
4．已知：如图所示，四个全等的圆每个半径均为2m，阴影部分的面积是 m2。
解：将阴影圆平分为4个扇形，将其中3个扇形移到另外三个圆中，
这样阴影部分恰好组成一个正方形，正方形的边长为4，所以S阴影=42=16（平方米）。
解2：阴影部分的面积S=4×(2×2?π×22÷4)+π×22=16（平方米）。
5．如图，在一个很大的羊圈中，用一根长3米的绳子把一只羊栓在墙角，羊活动的区域面积是 平方米。（π取3.14）
解：羊的活动范围是以墙角为圆心，绳子长3米为半径的一个90°的扇形。
区域面积S=π×32÷4=7.065（平方米）。

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