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第三讲 数论问题总复习（二）
模块一、质数、合数、分解质因数
判断一个数是否为质数的方法：
根据定义，如果能够找到一个小于p的质数p（均为整数），使得p能够整除P，那么P就不是质数，所以我们只要拿所有小于P的质数去除P就可以了；但是这样计算量很大，对于不太大的P，我们可以先找一个大于且接近P的平方数K2，再列出所以不大于K的质数，用这些质数去除P，如果没有能够除尽的，那么P就为质数。
分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫作分解质因数。
因数个数定理：设自然数n的质因数分解式如，那么n的个数为
。
例1．（1）分解质因数：160
（2）5×6×10×25×7×75×94的积的末尾共有 个0.
解：（1）160=25×5；
（2）5×6×10×25×7×75×94的乘积中含有6个5，3个2，所以乘积的末尾有3个0.
例2．（1）已知两个自然数的积是180，差不大于5，则这两个自然数的和是 ；
（2）A是一个一位数，B是一个两位数，C是一个三位数，已知A、B、C三个数的积是2004，则A+B+C= 。
解：（1）180=22×32×5=12×15，所以这两个自然数的和是12+15=27；
（2）2004=22×3×167，所以A=1，B=12，C=167，A+B+C=1+12+167=180.
模块二、因数、倍数：
1．最大公因数与最小公倍数有如下一些基本关系：
①A×B=ma×mb=m×mab=(A，B)×[A，B]，即两个数的最大公因数与最小公倍数之积等于这两个数的积；
②最大公因数是A、B、A+B、A?B及最小公倍数的因数。
2．求一组最简分数的最大公因数与最小公倍数：
（1）求一组最简分数的最大公因数：先将各个分数化为假分数，求出各个分数分母的最小公倍数a，再求出各个分数的分子的最大公因数b，即为所求；
（2）求一组最简分数的最小公倍数：先将各个分数化为假分数，求出各个分数分子的最小公倍数a，再求出各个分数分母的最大公因数b，即为所求；
例3．（1）(28，35)，(108，360)，(24，36，90)分别是 ， ， ；
（2）[28，35]，[108，360]，[24，36，90]分别是 ， ， 。
解：（1）(28，35)=7，(108，360)=36，(24，36，90)=6；
（2）[28，35]=140，[108，360]=1080，[24，36，90]=360.
例4．（1）已知A、B两数的最小公倍数是180，最大公因数是30，若A=90，则B= ；
（2）已知两个自然数的积为450，最小公倍数是150，求这两个数的和的最大值是 。
解：（1）A=90=3×30，180=2×3×30，所以B=2×30=60。
（2）450=2×32×52，150=2×3×52，要使的两个数的和尽可能大，则可以使得这两个数的差尽可能大，
取A=2×3×52=150，B=3，所以A+B=153。
模块三、完全平方数：
1．定义：我们把一个自然数平方所得到的数叫做完全平方数或平方数。
如12=1，22=4，32=9，……，112=121，122=144，其中1、4、9、…、121、144、…都叫做完全平方数。平方数分解质因数后，它的质因数必定会成对出现。
2．完全平方数的有关性质：
性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9；
性质2：完全平方数的因数一定有奇数个，反之亦然。因为完全平方数的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶数次。
性质3：如果一个完全平方数的个位是6，则十位是奇数，反之亦然；
性质4：如果一个完全平方数的个位是0，则末尾连续0的个数一定是偶数个。如果一个完全平方数的个位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个；
性质5：如果一个自然数介于两个连续完全平方数之间，则它不是完全平方数；
性质6：平方差公式：a2?b2=(a+b)(a?b)；
性质7：偶数的完全平方数是4的倍数，奇数的完全平方被4除一定余1，任何自然数的平方数不可能被4除余2。
例5．2205乘一个非零自然数a，乘积是一个完全平方数，则a最小为 ，2205除以一个自然数b，商是完全平方数，则b最小为 .
解：2205=32×5×72，取a=5，则2205a是完全平方数，取b=5，则2205÷b是完全平方数。
例6．一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个数是 。
解：设该数为a，则a?100=m2，a?63=n2，两式相减的n2?m2=37，
得(n+m)(n?m)=37=1×37，所以，解得n，
所以a=100+182=424.
随 堂 测 试
1．已知300=2×2×3×5×5，则300一共有 个不同的因数。
解：不同因数的个数是(2+1)×(1+1)×(2+1)=18（个）。
2．把40、44、45、63、65、78、99、105这八个数平分为两组，使每组四个数的乘积相等。
解：40=23×5，44=22×11，45=32×5，63=32×7，65=5×13，78=2×3×13，99=32×11，105=3×5×7，
所以分为两组分别为(44、45、78、105)、(40、63、65、99)。
因数2
因数3
因数5
因数7
因数11
因数13
分组
40
3
1
B
44
2
1
A
45
2
1
A
63
2
2
B
65
1
1
B
78
1
1
1
A
99
2
1
B
105
1
1
7
A
3．已知两个自然数的积为720，最小公倍数为120，则这两个数分别是 。
解：720=24×32×5，120=23×3×5，
取M=23×3×5=120，N=2×3=6 或A=23×3=24，B=2×3×5=30。
4．156×a是完全平方数，则非零自然数a的最小值为 。
解：156=22×3×13，取a=3×13=39，此时156×a是完全平方数。
5．有一个正整数，将它加上15或减去4后都是完全平方数，则这个数是 。
解：设此数为a，则a+15=m2，a?4=n2，两式相减得m2?n2=19，
所以(m+n)(m?n)=19，所以，解得，
所以a=102?15=85.

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