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第四讲 计数问题总复习（二）
模块一、排列组合：
排列数公式：；
全排列公式：；
组合数公式：；
关于组合数的几个重要结论：
；；。
例1．一台晚会上有6个演唱节目和四个舞蹈节目，求：
（1）当4个舞蹈节目要排在一起时，有 种不同的安排方法；
（2）当要求两个舞蹈节目之间至少安排一个演唱节目时，一共有 种不同的安排方法。
解：（1）4个舞蹈节目看做一个大节目，与6个演唱节目排序，同时4个舞蹈节目内部有顺序，
所以一共有=120×24=2880种不同的安排方法；
（2）把4个舞蹈节目插入到排好顺序的6个演唱节目中，
所以一共有种不同的安排方法；
例2．在6名内科医生和4名外科医生中，内科主任和外科主任各一名，现要组成5人医疗小组送医下乡。
（1）若要求有3名内科医生和2名外科医生，则有 种选派方法；
（2）若要求既有内科医生又有外科医生，则有 种选派方法；
（3）若要求至少有一名主任参加，则有 种选派方法；
解：（1）从6名内科医生中选3人，再从4名外科医生中选2人，
有=20×6=120种选派方法；
（2）从10人选5人，有=252种方法，其中若5人全是内科医生的方法有=6种，
所以既有内科医生又有外科医生的方法有252?6=246种；
（3）从10人中任意选派5人的方法中减去没有主任参加的方法种数，
即=252?56=196（种）方法。
例3．（1）10个苹果放入4个不同的盘子里，要求每个盘子至少1个，共有 种不同的方法；
（2）有10个相同的球要分给3个小朋友，保证每个小朋友至少能分到2个球，共有 种不同的分法。
解：（1）把10个苹果排成一排，在中间9个空中插入3块插板，就把10个苹果分成了从左到右的4份，
所以一共有种不同的分法；
解法2：首先每个盘子中先放入1个，剩下的6个苹果再分配：
若6个苹果一起放入其中1个盘子中，有4种分法；
若6个苹果分成两份，有6=5+1、6=4+2、6=3+3，对于前两种分法，各有=12种分法，对于3+3的情况，有=6种分法，这样有12+12+6=30种分法；
若6个苹果分成三份，有6=2+2+2和6=3+2+1，6=4+1+1分别有=4和=24和=12种分法，共有4+24+12=40种分法；
若6个苹果分成4份，有6=3+1+1+1和6=2+2+1+1，分别有=4和=6，共有4+6=10种分法；
综上所述一共有4+30+40+10=84（种）分法。
（2）把10个球中拿出6个，分给3个小朋友，每人2个，
剩下的4个球排成一排，再加入两块插板，这样连球带插板一共有6个位置；
再从这6个位置中任意选2个，放入插板，其他位置放入球，于是这4个球被分成了3份（如果插板在边上，相当于它的空白一边放0个球，若两块插板挨在一起，它们之间也相当于有一个0），
所以共有种分法。
例4．将书架上2本相同的漫画书、2本相同的故事书和3本相同的科学书排成一排，有 种不同的摆法。
解：将7本书排列，其中相同的的书交换位置与原来的没有变化，
所以一共有210（种）不同的摆法。
解2：在7个位置中选出3个位置放置科学书，剩下的4个位置中选2个放置漫画书，最后剩下的2个位置放故事书，有=35×6=210（种）不同的摆法。
模块二、概率问题：
例5．在一个不透明的袋子里，有5个除颜色外其他都相同的小球，其中3个是红球，2个是绿球，每次拿一个球然后放回去，拿2次，则至少有一次取到绿球的概率是 。
解：拿的方法一共有5×5=25种，两次都没有拿绿球的方法有3×3=9种，
所以至少一次取到绿球的概率是P=。
例6．妈妈去家乐福购物，正好碰上橘子、香蕉、葡萄和榴莲大降价。于是她决定从这4种水果中任选一种买回家。爸爸下班时路过集贸市场，发现有苹果、橘子、香蕉、葡萄和梨出售，他也简单任选一种买回家，请问他们买了不同水果的概率是 。
解：相同的水果有橘子、香蕉和葡萄，
他们买了相同的水果的概率是，
所以买了不同水果的概率是P=1?=。
随 堂 练 习
1．用1、2、3、4、5、6六张数字卡片，每次取3张卡片组成三位数，一共可以组成 个不同的偶数（6不能看做9）。
解：从2、4、6中选1张放在个位，在剩下的五张中选2张放在百位和十位，
所以一共有=3×20=60（个）不同的偶数。
2．学校乒乓球队一共有4名男生和3名女生，某次比赛后，他们站成一排照相，请问：
（1）如果要求男生不能相邻，一共有 种不同的站法；
（2）如果要求女生都站在一起，一共有 种不同的站法；
解：（1）4名男生先排队，有种排法，然后3名女生插入到男生之间（正好3个空），有种方法，所以一共有24×6=144种方法；
（2）女生看做一个大团体，与男生排队，女生之间在排列，
所以一共有=120×6=720（种）不同的站法。
3．甲、乙、丙、丁、戊、己六个人站队，如果甲、乙两人之间恰好有两个人，一共有 种站法
解：甲、乙两人先站好，有2种站法，
再从丙、丁、戊、己中选2人站到他们中间（有顺序），有=12种站法，
最后这4人看做一个整体与其余两人排队，有=6种站法；
所以一共有2×12×6=144（种）不同的站法。
4．有2克、5克、20克的砝码个1个，只用砝码和一架已经调节平衡的天平，能称出 种不同的重量。
解：若只用1个砝码，每个砝码能称出1个重量，分别为2、5、20克；
若用两个砝码，如2、5克，则都放在一边，可以称出2+5=7克，若允许放在两边，可以称出5?2=3克，
所以每用两个砝码都可以称出2个重量，这样可以称出2×3=6个重量；
若三个砝码一起用，都放在同一边，可以称出2+5+20=27克，若允许放在两边，有20+5?2=23、20+2?5=17、20?5?2=13，共4个重量，
综上所述，有3+6+4=13（种）不同的重量。
5．约翰和汤姆掷硬币，约翰掷两次，汤姆掷两次，约翰掷两次，……，这样轮流掷下去。若约翰连续两次掷的结果相同，则记1分，否则记0分；若汤姆连续两次掷的结果中至少有1次硬币的正面向上，则记1分，否则记0分；谁先记满10分谁就赢， 赢的可能性较大（请填汤姆或约翰）。
解：约翰得1分的情况有两次都是正面或两次都是反面，概率是=；
汤姆得0分的概率是两次都是反面，所以得1分的概率是=，
所以汤姆赢的可能性较大。

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