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第六讲 数列数表总复习
模块一、数列问题：
等差数列基本公式：
（1）通项公式：；
（2）项数公式：；
（3）公差：；
（4）数列求和公式：或“和=中间项×项数”。
例1．（1）数列1、3、5、7、…，第18项是 ；
（2）数列2、4、6、8、…，其中256是这个数列的第 项；
（3）2、4、6、8、10、12，…，是个连续偶数列，如果其中五个连续偶数的和是320，则它们中最小的一个是 。
解：（1）第18项是1+2×17=35；
（2）d第256项是256×2=512；
（3）五个偶数中最中间的一个数是320÷5=64，所以它们中最小的数是60。
例2．有一列数2、3、5、8、12、17、23、30、…，问这列数的第101个是 。
解：3=2+1，5=3+2=2+1+2，8=5+3=2+1+2+3，
12=2+1+2+3+4，17=2+1+2+3+4+5，23=2+1+2+3+4+5+6，
30=2+1+2+3+4+5+6+7，
所以第101个数是2+1+2+3+4+5+…+100=5052。，
模块二：数表问题：
数表就是把数列中各项按一定顺序排布成一定形状后形成的表格。
首先数表具有数列的一般特征，即各项与其项数之间具有特定的对应关系，可以用通项公式或递推关系表示出来；
然后数表又不等同于普通数列，由于具有一定的形状，因此各项必须受其所在的位置的限制，这点是需要特别注意的。
1．观察：观察是解决数列数表问题的根本前提，许多数列数表问题首先就是找规律问题，这需要观察出突破口；
2．对应：找准数列的项与其项数及位置的对应关系，必要时要用代数式表示出来；
3．周期性：许多数列数表问题是周期问题，特别是某数在第几行第几列的问题；
4．递推问题：即数列的某项与其前面某些项之间的一种代数关系；
5．利用特殊位置：比如中间项，拐角，最大数或最小数等。
例3．用数摆成如图的三角形，请你观察后回答问题：
（1）这个三角数列有什么规律；
（2）依照规律写出第6行的数列；
（3）推出第15行所有数之和是 。
解：（1）两边都是1，中间的数等于它肩上两个数的和；
（2）第6行的数是1 6 15 20 15 6 1；
（3）第15行所有数的和是215=32×1024=32768
例4．将自然数中的偶数2、4、6、8、10、…，按下表排成五列，则2016在第 列；
解：2016÷4=504，所以2016在第504行，且为最大的一个，
偶数行中最大的一个排在A列，
所以2016在A列。
例5．字母A、B、C、D、E和数字2、0、1、1、分别按下列方式变动其次序
A B C D E 2 0 1 1
B C D E A 0 1 1 2 （第一次变动）
C D E A B 1 1 2 0 （第二次变动）
D E A B C 1 2 0 1 （第三次变动）
…………………………………
问最少经过 次变动后A B C D E 2 0 1 1将重新出现。
解：ABCDE经过五次变动回到原来的位置，2011经过4次变动回到原来的位置，
所以最少经过20次变动，A B C D E 2 0 1 1将重新出现。
例6．如图，从1开始的自然数按某种方式排列起来，请问：
（1）第10行左起第5个数是 ；
（2）100在第 行，100是这一行左起第 个数；
（3）前10行数的总和是 。
解：（1）前9行分别有1、2、3、4、5、6、7、8、9个数，
它们的个数和是1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，
第10行从46开始，左起第5个数是50；
（2）前10行，有45+10=55个数；前11行，有55+11=66行；前12行，有66+12=78个数，
前13行，有78+13=91个数，所以第14行，最小从92开始，100在第14行，是左起第9个数；
（3）前10行共有55个数，它们的和为1+2+3+……+55==1540。
随 堂 测 试
1．对于数列4、7、10、13、16、19、…，第10项是 ，49是这个数列的第 项，第100项与第50项的差是 。
解：数列4、7、10、13、16、19、…，
第10项是4+3×9=31； 49是这个数列的第(49?4)÷3+1=16项；
第100项与第50项的差是3×(100?50)=150.
2．有一列数2、3、5、8、12、17、23、30、…，问这列数的第11个是 。
解：3=2+1，5=3+2=2+1+2，8=5+3=2+1+2+3，
12=2+1+2+3+4，17=2+1+2+3+4+5，23=2+1+2+3+4+5+6，30=2+1+2+3+4+5+6+7，
所以第11个数是2+(1+2+3+……+10)=57。
3．根据下图中数字的排列规律可知“？”所代表的数是 。
解：该数表的规律是上面的数等于它下面两个数的和，
所以“？”所代表的数是13+21=34。
4．将从1开始的自然数按下面的形式排列
1
2 3 4
5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23 24 25
… …
第11行最左边的数是 ，第11行所有数的和是 。
解：第1行有1个数，第2行有3个数，第3行有5个数，……，第10行有19个数，
所以前10行共有1+3+5+……+19=102=100个数，
第11行从101开始，一共有21个数，
所以第11行最左边的数是101，所有数的和是(101+121)×21÷2=2331。
5．如图将从5开始的连续自然数按规律填入数阵中，请问：
第1列 第2列 第3列 ……
5 10 15 ……
6 11 16 ……
7 12 17 ……
8 13 18 ……
9 14 19 ……
123应该排在第 列；第2行第20列的数是 。
解：123?4=119，119÷5=23……4，所以123排在第24列；
从第1列到第19列，共有19×5=95（个）数，从5开始，第95个数是5+95?1=99，
所以第20列的第1个数是100，第2个数，即第2行中第20列的数为101.

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