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第八讲 数论问题总复习（三）
模块一、带余除法：
余数的定义：
一般地，如果a是整数，b是整数(b≠0)，若有a÷b=q……r，或者a=b×q+r，0≤r当r=0时，我们称a能被b整除；
当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的商。
2．余数的性质：
① 被除数=除数×商+余数；
除数=(被除数?余数)÷商；
商=(被除数?余数)÷除数。
②余数小于除数：
③如果a，b除以c的余数相同，就称a，b对于除数c来说是同余的，且有a与b的差能被c整除。(a，b，c均为非零自然数)；
例如：17与11除以3的余数都是2，所以(17?11)能被3整除。
④a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以(23+16)除以5的余数等于3+1=4。
注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以(23+19)除以5的余数等(3+4)除以5的余数
⑤ a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积(或这个积除以c的余数)；
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以(23×16)除以5的余数等于3×1=3;
注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以(23×9)除以5的余数等于(3×4)除以5的余数。
例1．一个除法式子里，被除数、除数、商和余数这四个数的和是1996。已知商是12，余数是69，则被除数是 。
解：被除数、除数的和是1996?69?12=1915，
再把被除数减去69得1915?69=1846，
1846÷(12+1)=142，即除数是142，被除数是142×12+69=1773.
例2．14389除以7的余数是 。
解：143÷7=20……3，所以14389除以7的余数等于389除以7的余数，
又32÷7余2，33÷7余6，34÷7余4，35÷7余5，36÷7余1，
有389=(36)14×35，所以389除以7的余数等于35除以7的余数，余数是5.
模块二、同余
若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用同余式表示为a≡b (mod m).
例3．小芳在计算有余数的除法时，把被除数472错看成427，结果商比原来小5，但余数恰好相等，则该题的余数是 。
解：472?427=45，45÷5=9，所以除数是9，即472÷9=52……4，427÷9=47……4，
所以该题的余数是4.
例4．一个大于1的数去除290、235、200时，得余数分别是a、a+2、a+5，则这个自然数是 。
解：235?2=233，200?5=195，290?233=57，233?195=38，(57，38)=19，
所以这个自然数是19.
模块三、剩余：
剩余问题的四大绝招
，求N。
绝招一：减同余。若A?a=B?b=d，则有N+d=[A，B]n，而N的最小值是N=[A，B]?d；
绝招二：加同补。若A+a=B+b=e，则有N?e=[A，B]n，而N的最小值是N=e；
绝招三：中国的剩余定理；
绝招四：逐级满足法。
例5．有一筐苹果，若甲班分，每人3个还剩11个；若乙班分，每人4个还剩10个；若丙班分，每人5个还剩12个，那么这筐苹果至少有 个。
解：设11÷3余2，10÷4余2，12÷5余2，则苹果的数量除以3、4、5都余2个，
[3，4，5]=60，所以这筐苹果最少有62个。
例6．一个自然数在1000到1200之间，且被3除余1，被5除余2，被7除余3，则符合条件的数是 。
解：用中国的剩余定理，即韩信点兵的方法得 1×70+2×21+3×15+n×105=157+n×105，
取n=9，得157+945=1102。
解法2：被3除余1且被5除余2的数最小是7，
所以此数满足的条件是15m+7，再结合条件被7除余3，
15m+7≡3 （mod 7），所以m=3，满足条件的最小数是15×3+7=52，
52+10×105=1102.
随 堂 测 试
1．两数相除，商15余6，被除数、除数、商、余数四个数之和等于139，则被除数是 。
解：139?15?6=118，118是被除数与除数的和，再减去6得118?6=112，
112÷16=7，即除数是7，所以被除数=7×15+6=111.
2．一个两位数除200，余数是13，则这样的两位数是 。
解：200?13=187，187=11×17，因为余数是13，所以除数只能是17.
3．某个整数除67、151得到的余数都是11，那么这个整数可能是 。
解：67?11=56，151?11=140，56=23×7，140=22×5×7，
该数大于11，所以这个数可能是14、28.
4．幼儿园的老师给班里的小朋友送来40个桔子，200块饼干，120粒奶糖。平均分发完毕，还剩4个桔子，20块饼干，12粒奶糖。这个班里共有 位小朋友。
解：40?4=36，200?20=180，120?12=108，(180，108)=36，
所以班里有36位小朋友。
5．一个大于100小于200的数，除以3和除以5都余2，除以7余1，则这个数是 。
解：除以3和除以5都余2的最小自然数是2， 总数为15k+2，它与k+2除以7的余数相同，
要求除以7的余数是1，所以k=6，即15×6+2=92. 92+105=197.
这个数是197.

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