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第十讲 组合问题总复习（二）
模块一、逻辑推理：
把不同排列顺序的意识进行相关性的推导就是逻辑推理，而我们小学阶段题目多以形式逻辑为主，在既定的情況下，通过对题目条件的分析推导出一个题目设定的结论。
一、真假型：
前提：题目所给的条件有真有假；
方法：假设法，通过有顺序的假设去寻找正确的条件(真命题)，从而推导出题目设定的结论。
假设的结果无外乎两种
有矛盾：重新假设；
无矛盾：推出结论。
特殊：说的正好相反的两句话(两个条件)一定一对一错。
二、条件型：
前提：题目所给的条件全是真命题，即都是真话，可以直接用来推导分析。
方法：列表法。
构造表格：
根据条件在相应的位置画出√和×；
结合对应关系判断(如一行一列有且只有一个√，那其他位置都是×)，在判断不出的位置根据情况少的原则进行合理假设。
例1．在神话王国内，居民不是骑士就是骗子，骑士不说谎，骗子永远说谎，有一天国王遇到该国的居民小白、小黑、小蓝。小白说：“小蓝是骑士，小黑是骗子。”小蓝说：“小白和我不同，一个是骑士，一个是骗子。”国王很快判断出谁是骑士，谁是骗子。请你分析并判断：三人中 是骑士。（小白填1，小黑填2，小蓝填3）
解：如果小白是骑士，则小白说：“小蓝是骑士，小黑是骗子。”都是真的，那么小蓝也是骑士，
而小蓝说：“小白和我不同，一个是骑士，一个是骗子。”矛盾了，所以小白是骗子；
因为小白是骗子，所以他说的都是谎话，四小蓝是骗子，小黑是骑士。
填2.
例2．小王、小张和小李一位是工人，一位是农民，一位是教师。现在只知道：小李比教师年龄大；小王与农民不同岁；农民比小张年龄小，则 是工人； 是农民； 是教师。
解：
小王
小张
小李
工人
×
√
×
农民
×
×
√
教师
√
×
×
容易推出，小李是农民，
再回到题中，农民小李比小张年龄小，农民小李比教师年龄大，
所以小张不是教师，小张是工人，小王是教师。
模块二、容斥原理：
二量重叠：总量等于满足一个条件的减去满足两个条件的，再加上满足零个条件的；
三量重叠：总量等于满足一个条件的减去满足两个条件的，加上满足三个条件的加上满足零个条件的。

例3．某校四年级有102人，其中50人去过北京，48个去过上海，35人去过广州；17人去过北京和上海，8人去过北京和广州，7人去过上海和广州，3个地方都去过的有 1 人；只去过广州的有 21 人。（班里每个人都至少去过上述一个地方）
解：设3个地方都去过的有x人，
则50+48+35?(17+8+7)+x=102，解得x=1，
其中去过广州和北京的8人中有7人去过广州，去过广州和上海的7人中有6人去过广州，
所以只去过广州的有35?7?6?1=21（人）。
例4．在1到2004的所有自然数中，不是2、3、5的倍数的数有 个。
解：在1到2004中，是2的倍数的有1002个，是3的倍数的有668个，是5的倍数的有400个，
既是2的倍数，又是3的倍数的有334个，既是2的倍数，又是5的倍数的有200个，既是3的倍数，又是5的倍数的有133个，既是2的倍数，又是3和5的倍数的有66个，
所以不是2、3、5的倍数的数有2004?(1002+668+400)+(334+200+133)?66=535（个）。
模块三、抽屉原理：
抽屉原理推广到一般情况有以下两种表现形式：
抽屉原理1：将多于n件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于2件；
抽屉原理2：将多于mn件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于(m+1)件。
例5．（1）向阳小学有730个学生，那么至少有 个学生生日是同一天。
（2）把十只小兔放进至多 个笼子里，才能保证至少有一个笼子里有2只或两只以上的小兔。
解：（1）730÷12=60……10，所以至少有61个同学的生日是同一天；
（2）把十只小兔放进至多 9 个笼子里，才能保证至少有一个笼子里有2只或两只以上的小兔。
例6．将400本书随意分给若干名同学，每人至少分得1本，但是不许超过11本，那么至少有 个同学分到的书的本数相同。
解：1+2+3+……+11=66， 400÷66=6……4，所以至少有5名同学分到的书的本数相同。
随 堂 练 习
1．四张卡片上分别写着奥、林、匹、克四个字（一张上写一个字），取出三张字朝下放在桌上，A、B、C三人分别猜每张卡片上是什么字，猜的情况见下表：
第一张
第二张
第三张
A
林
奥
克
B
林
匹
克
C
匹
奥
林
结果有1人一张也没有猜中，1人猜中两张，另1人猜中三张。那么这三张卡片上各写着 ， ，
字。
解：假设A猜中三张，则B猜中两张，而C猜中一张，矛盾；
假设B猜中三张，则A猜中两张，C一张也没有猜中，所以中符合题意。
所以这三张卡片上分别写着“林”、“匹”、“克”。
2．甲说：“乙和丙都说谎。”乙说：“甲和丙都说谎。”丙说：“甲和乙都说谎。”根据三人所说，下面的结论
正确；
（1）三人都说谎；（2）三人都不说谎；（3）三人中只有一人说谎；（4）三人中只有一人不说谎；
解：假设（1）正确，则甲、乙、丙都没说错，与假设矛盾；???
假设（2）正确，则甲、乙、丙都说错了，与假设矛盾；???
假设（3）正确，可是三个人都说有两人说谎，即三人都说错了，与假设矛盾；?
?? 假设（4）正确，推不出矛盾，符合题意。
3．在自然数列1、2、3、……、1000中，能被3或5整除的自然数有 个。
解：在1到1000中，能被3整除的有333个，能被5整除的有200个，同时能被3和5整除的有66个，
能被3或5整除的有333+200?66=467（个）。
4．某学校五年级1班，有20人参加了科技兴趣小组，有17人参加了英语兴趣小组，有9人两个小组都参加了，那么有 人只参加了科技小组而没有参加英语小组。
解：20?9=11，即有11人只参加了科技小组而没有参加英语小组。
5．从1、2、3、……、100这100各个数中任意挑出51个数来，证明在这51个数中，一定有两个数的差为50.
证明：把这100个数分成50组：（1、51）；（2、52）；（3、53）；……；（50、100），
从中挑出51个数，那么至少有2个数在同一小组，这两个数的差为50.

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