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第十一讲 小初衔接知识点之数与式
模块一、有理数的认识：
一．定义：
整数和分数统称为有理数。
二．两种分类：
三．数轴
1．定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴。
2．数轴三要素：原点、正方向、单位长度(三者缺一不可)。
① 原点：在直线上任取一点表示数0，这个点叫原点；
② 正方向：通常规定直线上从原点向右为正方向；
③ 单位长度：选取适当长度为单位长度(可长可短，同一数轴上的单位长度一旦确定，则不能改动)。
四、相反数
1．定义：只有符号不同的两个数互为相反数。(几何意义：在数轴上，互为相反数的两个数关于原点对称。)
注意：相反数是成对出现的，可以说a的相反数是?a，可以说?a是a的相反数，也可以说a与?a互为相反数；
2．a的相反数是一a：
① 当a=0时，0的相反数是0它本身(易设陷阱考查)；
② 当a≠0时，正数(负数)的相反数是负数(正数)，非零数和它的相反数异号；
3．数轴上表示相反数的两个点关于原点对称；
4．如果a与b互为相反数，那么a+b=0，a=?b，b=?a，当a与b都不为零，那么还有；
5．写出一个数的相反数：正数——加负号；负数——去负号；0——0；
五、倒数：
1．定义：乘积为1的两个数互为倒数。a，b互为倒数，则a×b=1，反之亦然；
注意：倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数。
2．零没有倒数。
3．一个数若有倒数，它的倒数和原数同号。
4．倒数是本身的数有1和?1两个。(容易漏掉?1)
5．求一个非零有理数的倒数：
① 整数——，如3的倒数是；?5的倒数是；
② 分数——分子和分母倒位置(注意：能约分的还要约分)，如的倒数是3。
6．负倒数：乘积为?1的两个数互为负倒数。a，b互为负倒数，则a×b=?1，反之亦然。
六、绝对值：
定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记为|a|，|a|≥0.
，概括为，或
如|99.3|=99.3，|0|=0，|?1.5|=1.5.
例1．将下列各数填在下面的横线上：?3；；?7；?4.2；3.5；0.6；；10；；；6.5.
属于正数的数： ；
属于负数的数： ；
属于整数的数： ；
属于分数的数： ；
属于正整数的数： ；
属于负整数的数： ；
属于正分数的数： ；
属于负分数的数： ；
解：属于正数的数：、3.5、0.6、10、、6.5；
属于负数的数：?3、?7、?4.2、、；
属于整数的数：?3、?7、10；
属于分数的数：、?4.2、3.5、0.6、、、、6.5；
属于正整数的数：10；
属于负整数的数：?3、?7；
属于正分数的数：、3.5、0.6、、6.5；
属于负分数的数：?4.2、、；
例2．用数轴上的点表示下列各数，并将它们按从小到大的顺序排列起来：
?4、2.5、、0、、?0.5
解：
?4、、?0.5、0、、2.5。
例3．（1）写出下列各数：、?7、?(?1.8)、的绝对值分别是 。
（2）2|x?1|+|x?2|的最小值是 。
解：（1）||=、|?7|=7、|?(?1.8)|=1.8、||=；
（2）2|x?1|+|x?2|的最小值在1≤x≤2中取得，
所以当1≤x≤2时，2|x?1|+|x?2|=2(x?1)+2?x=x，
所以当x=1时，取得最小值为1.
模块二、有理数的计算：
七、有理数比较大小
1．借助数轴，数轴上的数，右边的数总大于左边的数；
2．正数>0>负数；
3．两个正数，绝对值大的数大；两个负数，绝对值大的反而小。
八、有理数运算法则：
1．化简——奇负为负，偶负为正，如?(?1.8)=1.8，?[?(?18)=?1.8.
2．加法法则：
(1) 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
(2) 异号两数相加
① 绝对值相等时(即两数互为相反数)和为0；
② 绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
(3) 一个数同0相加，仍得这个数；
(4) 加法交换律和加法结合律仍适用。
3．减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。(减法转换成加法做)
4．乘法法则：
① 定符号：奇负为负，偶负为正；
② 把绝对值相乘。
注意：任何数乘以0，都得0。
5．除法法则：除以一个非零的数等于乘以这个数的倒数。(除法转换成乘法做)
例4．（1）计算：= 。
（2）计算：= 。
= 。
解：（1）=；
（2）=140；
=。
例5．若a、b均为非零的有理数，求的值。
解：当a>0，b>0时，=1?1=0；
当a>0，b<0时，=1+1=2；
当a<0，b>0时，=?1?1=?2；
当a<0，b<0时，=?1?(?1)=0；
例6．若|a|=4，|b|=2，且a解：因为|a|=4，|b|=2，且a 当a=?4，b=2时，a?b=?4?2=?6；
当a=?4，b=?2时，a?b=?4+2=?2.
随 堂 练 习
1．将下列各数分别填在相应的圆圈内：、?7、2.8、?900、、0、+6.4、8。
解：
2．（1）如果+3吨表示运入仓库3吨大米，那么运出5吨大米记作 ?5 吨。
（2）零上13°C记作+13°C，零下2°C克记作 ?2°C °C。
（3）汽车向东行驶5千米记作+5千米，那么汽车向西行驶5千米记作 ?5 千米。
3．出租车司机小李某天下午的营运全都是在东西方向的人民大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午行车里程表示如下：(单位干米)
+15，?2，+5，?1，+10，?3，?2，+12，+4，?5，+6
(1) 将最后一名乘客送到目的地时，小李距下午出车时的出发点 千米，在出发点的 边；
(2) 如果汽车耗油量为0.5升/千米，这天下午小李共耗油 升。
解：（1）+15?2+5?1+10?3?2+12+4?5+6=39，
所以小李距下午出车时的出发点39千米，在出发点的东面。
（2）|+15|+|?2|+|5|+|?1|+|10|+|?3|+|?2|+|12|+|4|+|?5|+|6|=15+2+5+1+10+3+2+12+4+5+6=65，
65×0.5=32.5（升）。
4．= 。
解：原式=
==。
5．= 。
解：原式==1.

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