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4．求变力做功的几种方法
（1）将变力做功转化为恒力做功
我们知道变力做功不能直接用公式来计算，但在某些特殊情况下，将变力做功转换成恒力做功，就可以用求功公式直接求解．
【例9】 如图2—6所示，某人用大小不变的力F拉着放在光滑平面上的物体，开始时与物体相连的绳和水平面间的夹角是，当拉力F作用一段时间后，绳与水平面间的夹角为，已知图中滑轮顶部的高度是h，求绳的拉力T对物体做的功，假定绳的质量，滑轮的质量与滑轮间的摩擦不计．
【解析】 设绳对物体的拉力为T，显然人对绳的拉力F等于T，由于T在对物体做功的过程中，大小不变，但T的方向时刻在改变，因此上述问题是个变力做功问题．但在绳的质量、滑轮的质量及滑轮与绳的摩擦不计的情况下，人对绳的拉力F对绳做的功就等于绳的拉力T对物体做的功．而F的大小与方向都不变，因此，只要计算恒力F对绳做的功，就能解决问题．
设绳的拉力T对物体做的功为WT，人的拉力F对绳做的功为WF，由图2—6可知，在绳与水平夹角由变到的过程中，拉力F的作用点的位移大小为：
由可知：
（2）用动能定理求解变力所做的功
如果我们所要研究的对象所受的一个或几个力中，只有一个变力，而其余都是恒力，而且这些恒力的功比较容易计算，研究对象本身的动能增量也较容易计算时，用动能定理就可以求出这个变力所做的功．
【例10】 质量m=1kg的物体，从轨道的A点由静止下滑，轨道AB是弯曲的，且A点高出B点h=0.8m，如图2—7所示．如果物体在B点的速度为2m/s，求物体在轨道AB上克服摩擦力所做的功．
【解析】物体由A到B过程中，共受三个力作用：重力mg、支持力N、摩擦力f，由于轨道是弯曲的，轨道对物体的支持力是一个变力，摩擦力也是一个变力，但支持力N不做功．只有重力和摩擦力做功，由动能定理得：
故物体在轨道上滑下时克服摩擦阻力所做的功为5.84J．
（3）用机械能守恒定律求变力做的功
如果物体只受重力和弹力作用，或只有重力和弹力做功时，则W外是重力和弹力做功的总和，动能定理就转化成机械能守恒定律．如果重力和弹力中有一个力是变力时，要求这个变力做的功，则可用机械能守恒定律求解．
【例11】 如图2—8所示，质量为m=2kg的小球系在轻弹簧的一端，另一端固定在悬点O处，将弹簧拉至水平位置A，使弹簧无形变由静止释放，小球到达距O点下方h=0.5m处的B点的速度为2m/s．求小球从A到B的过程中弹簧弹力做的功．
【解析】 小球在运动过程中，只受重力和弹力作用，故系统机械能守恒．以B点为重力势能零势面，A点为弹性势能零势面，则在初态A有：
对末态B有：
由机械能守恒定律得：E1=E2
因弹性势能增加，故弹力做负功．
因此，小球从A到B的过程中，弹簧弹力做的功为－6J．
（4）用功能原理求变力所做的功
功能原理的内容是：系统所受的外力和内力（除重力、弹力外）所做的功的代数和等于系统的机械能的增量．如果这些力中，只有一个变力做功，就可用功能原理求变力所做的功．
【例12】 一辆车通过一根跨过定滑轮的绳子PQ提升井中质量为m的物体，如图2—9所示．绳的P端拴在车的挂钩上，Q端拴在物体上，设绳的伸长、绳的质量、定滑轮的质量、滑轮上的摩擦忽略不计．开始时车在A点，左、右两侧绳都已绷紧，并且是竖直的，左侧绳长为H，提升时，车加速向左运动，沿水平方向从A经过B驶向C．设A到B的距离也为H，车在B点时的速度为vB，求车由A到D的过程中，Q端绳子的拉力对物体所做的功．
【解析】 Q端绳子对物体的拉力等于汽车对P端绳子的拉力，这个力是变力，故本题是变力做功问题，可用功能原理求解．
设绳的P端到达B处时，左边绳与水平地面所成的夹角为θ，物体从井底上升的高度为h，速度为v，所求的功为W，则由功能原理有：
因绳的总长不变，故有：
沿车速vB分解成垂直于绳的速度v1和沿绳的方向的速度v2，则有：
又 即
故有：
故Q端绳子对物体做的功为
（5）利用求变力所做的功
【例13】 一辆汽车的质量为105kg，该车从静止开始以恒定功率行驶，经过40s，前进40m，速度达到最大值．如果车受的阻力始终是车重的0.05倍，问车的最大速度是多少？
【解析】 汽车在运动过程中，功率恒定，速度增加，所以牵引力不断减小，当减小到与阻力相等时速度达到最大值．汽车所受阻力是恒力，牵引力是变力．牵引力做功不能直接用公式来求解，但可用公式W=P·t来求解．因为汽车达到最大速度时牵引力等于阻力，故有：
牵引力的功为：
设阻力f做的功为W1，由动能定理得：
即：
将：代入上式得：
故此汽车的最大速度为20m/s．

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