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质心守恒定律及其应用
湖北省黄冈中学 徐辉
物理竞赛中经常涉及到反冲运动与碰撞类的问题，这类问题的常规分析方法是由动量守恒和能量守恒联合分析。如果此类问题中涉及到物体距离的变化，而在运动的某一方向动量又守恒的话，那么直接利用质心守恒定律来求解是比较方便的，特别是在涉及到系统的初状态动量为零时，利用质心守恒定律求解，能使问题得到简化。
一、质心与质心运动
1、质心及质心位置：即质点系质量分布的平均位置，若质点系由N个质点组成，则质心C的位置矢量一般表示为
式中mi（i=1，2，3……N）为各质点的质量；（i=1，2，……N）为各质点的位置矢量；m为质点系总质量。
2、质心的动量：相对于选定的参照系，质心的位置随时间的变化也有一定的速度，即质心速度（vc），因此质心的动量一般表示为
=
式中vi为各质点的速度，其他物理量的含义与上相同。
二、质心守恒定律
若系统所受的外力为零，即系统的动量守恒时，质心的动量不变，因而质心速度也保持不变，若初状态系统动量为零，则质心的位置也保持不变，此即质心守恒定律。
三、质心守恒定律的应用
例1 如图所示，等腰直角三角形的匀质板，已知斜边长AB=12cm，使AB铅垂静立于光滑水平面上。若三角块保持在铅垂平面内滑倒，试求直角边BC的中点M的运动轨迹。
分析和解：由于板在水平方向不受外力，故质心在水平方向的运动状态不变，因水平方向初动量为零，所以质心0只会沿着原来所处位置直线上，我们建立图示坐标轴，就可以确定任意位置的竖直线下降，注意到因为A、O、M同在一条直线上，我们建立图示坐标轴，就可以确定任意位置M点坐标。
设三角板下滑到了图中虚线所示位置，直线AOM与水平方向的夹角为，则M点的坐标可表示为：
x=OMcos，y=AMsin．
即＋．
由几何知识可求得OM2=10，AM2=90．
因而可得．
这是一个椭圆方程，即M点在三角板下滑的过程中，将沿上式确定的椭圆轨迹运动．
例2 质量为1kg的箱子静止在光滑水平面上，箱底长度为l=1m，质量为1kg的小物体从箱子中央以v0=5m/s的速度开始运动，如图所示，物体与箱底的动摩擦因数为0.05，物体与箱壁发生完全弹性碰撞，问小物体可与箱壁发生多少次碰撞？当小物体在箱中刚达到相对静止时，箱子在水平面上的位移是多少？
分析和解：以小物体和箱子所组成的系统为研究对象，系统所受的合外力为零，因而系统的动量守恒。由质心守恒定律，系统的质心速度将保持不变，求出质心速度vc，再根据作用时间t，就可求出质心运动的位移，注意到整个过程中，能量变化的关系，即物体从开始运动到与箱子相对静止的过程中，系统损失的机械能全部转化为系统的内能。
设两者相对静止时的共同速度为v，两者的相对位移为s相。由动量守恒定律和功能原理可得
mv0=2mv．
μ·mg·s相=．
代入数据后解得 v=2.5m/s，s相=12.5m．
由题设条件可知，小物体与箱壁碰撞12次后将停在箱的左端．
设整个运动过程的时间为t，对小物体利用动量定理得
－μmgt=mv－mv0．
解得 t=5s．
设质心运动的速度为vc，由质心守恒定律有
2mvc=mv0．
解得 vc=2.5m/s．
所以质心运动的位移为xc=vct=12.5m．
因为开始时质心在箱底中央，末态时质心在箱底中央左端0.25m处，所以箱子的实际位移为
x=xc－0.25m=12.25m．
由以上两例的分析可知，质心守恒定律在动量守恒中的应用是有其独特的优势的。同学们要掌握其分析方法与应用。

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