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二、小数

101.小数是怎样定义的？
　　把分母是10、100、1000、……的十进分数.改写成不带分母形式的数，叫做小数。

　　。象0.1、0.07、2.23、30.079 都是小数。小数中间的圆点“.”叫做小数点。小数点的左边的部分叫做整数部分，小数点的右边部分叫做小数部分。如2.23，“2”是整数部分，“23”是小数部分；30.079，“30”是整数部分，“079”是小数部分。整数部分是零的小数叫做纯小数。纯小数比1小，如0.1、0.07是纯小数；整数部分不为零的小数叫做带小数。带小数比1大，如2.23、30.079是带小数。
　　根据小数的定义可知，认识小数应在认识分数之后，但是，目前小学数学教材里一般把小数的认识分为两个阶段：第一阶段通过认识货币、商品标价，让学生有个初步的认识，不包括十进分数的意义。第二阶段由十进复名数借助直观教具进行抽象概括，使学生认识小数的本质是十进分数。
102.怎样理解小数数位和小数计数单位？
　　在一个小数中，小数部分的各数位，叫做小数数位。小数数位有十分位、百分位、千分位、万分位……。小数部分从小数点算起， 右边第一位叫做十分位，也可以叫做小数第一位。如6.83的“8”就在十分位上。小数点右边第二位叫做百分位，也可以叫做小数第二位。如6.83中的“3”就在百分位上。小数点右边第三位叫做千分位，也可以叫做小数第三位。如4.095中的“5”就在千分位上。
　　小数的计数单位是：在一个小数部分中，十分位上的数字，它的计数单位是十分之一；百分位上的数字，它的计数单位是百分之一；千分位上的数字，它的计数单位是千分之一；……
　　下面列出整数和小数数位顺序表：

　　这个数位顺序表，是读、写小数的依据，是小数四则计算法则的依据，应该使学生熟练掌握。
103.怎样读小数和写小数？
　　小数的读法有两种：
　　（1）直读法：先读出整数部分（按照整数的读法），再读小数点（读作“点”），最后读出小数部分（按照从左到右的顺序读出各位的数字）。
　　例如：436.25，读作四百三十六点二五；0.875，读作零点八七五；0.009，读作零点零零九。
　　用直读法时，应当注意：小数部分的读法是从左到右的顺序读出各位数字，而不读出数位的名称。此外，遇到小数部分连续有几个零和末尾的零都要一一读出来，不能漏读。例如：0.006读作零点零零六，0.40读作零点四零。
　　（2）按照分数的读法来读：

　　法有助于理解小数的意义。但是考虑到这时小学生对于分数还只有初步的认识，这种读法难度较大，所以应不作要求。可以通过小数与分数的相互改写使学生进一步理解。
　　写小数时，整数部分按照整数部分的写法来写（整数部分是零的就写“0”），小数点要写在整数部分的个位的右下角，小数部分顺序写出每一位上的数字。小数点不可写得“居中”，免得与乘号“·”相混。要特别细心，不得把小数点的位置点错，假如点错了位置，那就要相差10倍、100倍、1000倍、……。
　　例如：七点八五，写作7.85；零点六八，写作0.68；四十点零零二，写作40.002；三百点零五，写作300.05。
104.“几位小数”的称呼是怎样规定的？
　　一个数的小数部分在几个数位上有数字，就叫作几位小数。不管它的整数部分有多少位。如：8.025、0.004都是三位小数，71.6、0.2都是一位小数。
　　小数的“位数”的概念，在学习小数四则计算和取小数的近似值时经常要用到。教学时，要让学生把数位、数位上的数和位数区分开来，随时纠正学生口头叙述时出现的错误，要注意区分“一位数”与“一位小数”，“两位数”与“两位小数”，使学生理解“几位小数”只与小数部分有几位有关系，而与整数部分没有关系。
105.给数轴上的点标数，给已知数在数轴上找对应点，目的是什么呢？
　　用数轴上的点表示小数，可以使学生对小数的认识进一步抽象化。小数和整数一样，都是数。每个整数在数轴上都可以找到与它相对应的一个点，每个小数也都可以在数轴上找到与它相对应的一个点。使学生把小数这样的数纳入他们已有的关于数的认知结构之中。通过这样的练习，除可以使学生对小数的认识更加抽象化之外，还可以使学生进一步认识小数同整数1的关系。
　　例如：用箭头指0.2、0.5、0.95、1.6及2.35各数在数轴上的位置。

　　对于这道题里的两位小数，如0.95、2.35，学生可能想到：这个百分之九十五，要在100份中取95份，而在数轴的0与1之间只均分10份（如图），若按照图上的份数去找，总也没有100份，从哪里去取这95份呢？当小学生找不着0.95的对应点的时候，我们可以发现，学生还没有弄清楚小数（指纯小数）同整数1的关系。
　　通过这样的练习，可以使学生认识到：凡是纯小数，十分之几也好，百分之几也好，千分之几也好，万分之几也好，它们在直线上的对应点总是在0与1之间。
　　虽然在所画出的图上，0与1之间只均分10份，但是，可以引导学生想：每一份还可以再均分为10份，这样，整数1就被分成100份了。还可以再均分，再均分，……“1”就被均分成1000份、10000份了。这样，可以丰富学生的想象力，发展学生的思维能力，对小数加深认识。
106.你知道小数有哪些性质？
　　小数的性质有以下两条：
　　（1）小数的末尾添零或去掉零的性质。
　　小数的末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变。
　　例如：0.45=0.450 0.45=0.4500
　　9.600=9.6 9.600=9.60
　　小数的这条性质在除法运算中很有用处。当一个小数被另一个数除而除不尽时，可以在被除数的末尾添零继续除下去。当一个整数被另一个数除而除不尽时，也可以先点小数点，后添零继续除下去。这些添零的作法就是根据这条性质。
　　（2）小数点左右移动的性质。小数的小数点向右移动一位，小数就扩大10倍；向右移动二位，小数就扩大100倍；向右移动三位，小数就扩大1000倍；……；小数点向左移动一位，小数就缩小10倍；向左移动二位，小数就缩小100倍；向左移动三位，小数就缩小1000倍；……。
　　例如 8.625的小数点向右移动一位得86.25，它比8.625扩大10倍。
　　同样的，8.625的小数点向右移动二位得862.5，它比8.625扩大100倍。
　　又如：8.625的小数点向左移动一位得0.8625，它比8.625缩小10倍。同理，0.08625比8.625缩小100倍。
　　小数的这条性质在运算中也很有用处。例如，一个小数乘以10、100、1000、……时，只要把小数点向右移动一位、二位、三位、…… 就可以了；一个小数除以10、100、1000、……时，只要把小数点向左移动一位、二位、三位、……就可以了。
　　整数可以看作是小数部分为“0”的小数。例如，75可以写成75. 0，如果75. 0乘以10，可以把小数点向右移动一位，得750；如果 75.0除以 10，可以把小数点向左移动一位，得 7.5；等等。
107.你会比较小数的大小吗？
　　比较两个小数的大小时，分两步进行。
　　首先，比较两个小数的整数部分。整数部分大的小数比较大。
　　其次，整数部分相等时，看小数部分。十分位上的数字比较大的小数较大。十分位上的数字相同时，比较百分位上的数字，百分位上的数字比较大的小数较大。百分位上的数字相同时比较千分位，……这样比较下去，如果所有小数部分的各位数字都相同，那么这两个小数相等。
　　例如：54.27＞50.98
　　54.27＞54.268
　　54.27=54.27
　　总之，小数的大小比较方法和整数的大小比较在原则上是完全一样的，即最高位上的数大的那个数较大；最高位上的数相同，则次高位上的数大的那个数较大，……。若所有数位上的数都相同，则两个数相等。但在整数中，位数多的数一定较大，而在小数中，却不一定。例如，0.256虽是三位小数，它比两位小数0.42小。
108.怎样理解“四舍五入法”？
　　四舍五入法是截取近似数的一种方法。当把一个数精确到某个数位时，如果这个数位右边相邻数位上的数字所表示的数小于5，则把这个数位右边所有数字去掉，而这个数位上的数字不变，这叫四舍；如果这个数位右边相邻数位上的数字所表示的数等于或大于5，则把这个数位的数字加1，这叫五入。
　　例如：3.14159≈3.14（四舍）
　　3.14159≈3.142（五入）
109.怎样理解准确数与近似数？
　　准确数--在计数、度量和计算过程中，有时得到和实际丝毫不差的真实数值，这种数叫准确数。例如35÷5=7；六年级学生共89人等都是准确数。
　　近似数--在计数、度量和计算过程中，大多数情况下，得到的是与真实数值相近而有一些误差的数（如 22÷7≈3.14），这种数叫作近似数。例如，在度量的时候，由于受到度量工具的精确度和度量技能的限制，或者不需要很精确，这时只能得到一个近似数。比如，一段公路7300米长，7300这个数就是一个近似数。在计算的时候，有时只需要或者只能得到一个与实际大体相符的近似数。例如，23÷3≈7.67，这个商就是近似商。一个近似数，可以用它的不足近似值与过剩近似值表示。
　
　
　　精确到0.1，0.01，0.001，……的不足近似值；如果在上述各数的末一位
　
　　精确到0. 1，0.01，0.001，……的过剩近似值。
110.在求近似数时，有时使用“进一法”，有时使用“去尾法”，这是怎么一回事儿？
进一法--在截取数的近似值时，把舍去的部分去掉后，在保留部分的末位上加1，这种截取数的近似值的方法，叫做进一法。例如，把π=3.14159……用进一法截取到百分位时，近似值为3.15。
　　在日常生活中，针对实际情况需要采取进一法。例如：每条麻袋能装粮食75公斤，现在有1380公斤粮食，需要麻袋多少条？
　　解：1380÷75=18.4（条），
　　或 1380÷75=18（余30）。
　　结果得18.4条，如果按照四舍五入法截取近似值，那么应该得18条麻袋。如果只用18条麻袋的话，余下的30公斤粮食往哪里装呢？根据题意，要用进一法取近似值。即
　　1380÷75=18.4≈19（条）
　　答：需要麻袋19条。
　　去尾法--在截取数的近似值时，把舍去的部分去掉后，所保留的数不变，这种截取数的近似值的方法，叫做去尾法。例如，把π=3.14159……用去尾法截取到千分位时的值为3.141。
　　在日常生活中，针对实际情况需要采取去尾法。例如：每件儿童衣服要用布1. 2米，现有布17.6米，可以做这样的衣服多少件？
　　解：17. 6÷1.2=14.66……
　　或 17.6÷1.2=14（余 0. 8）
　　结果得14. 66……，如果按照四舍五入法截取近似值，那么应该得15件。但是做衣服的事儿，大家都明白，剩下的布虽然能做0.6件，但是不够做成一件的布，只能采取去尾法。即
　　17.6÷1.2=14.66……≈14（件）
　　答：可以做成这样的衣服14件。
111.什么叫做精确度？
　　一个准确值用它的近似数表示时，允许有一定程度的误差，并且误差要根据条件或需要保证必要的精确度，这叫做精确度。例如：圆周率π=3.14159……，用去尾法精确到0.1，0.01，0.001，……的不足近似值为3.1，3.14，3.141，……；用进一法精确到0.1，0.01，0.001，……的过剩近似值是3.2，3.15，3.142，……。这里的0.1，0.01，0.001，……，就表示近似数的精确度。
112.什么叫做绝对误差与相对误差？
　　绝对误差--一个量的准确数与近似数的差的绝对值，叫做这个数的绝对误差。
　　例如：π=3.14159265…，如果取3.141，是π的不足近似值，误差是： 3.14159265…-3.141=0.00059265…；如果取 3.142，是π的过剩近似值，误差是：3.14159265--3.142=-0.00040734…
　　相对误差--一个近似数的绝对误差与它的准确数的比（常用百分率表示），叫做这个近似数的相对误差。
　　例如：测量一块长方形土地，测得长度是500米，绝对误差不超过1米；宽是20米，绝对误差不超过0.05米。哪一个精确度较高？
　　解：长：1÷500=0.2％；
　　宽：0.05÷20=0.25％。
　　答：测量土地的长的精确度较高。
113.取近似值时，是否可以采取连续“入”的办法？
　　用四舍五入法截取某数的近似值时，不能采取连续“入”的办法。例如：用四舍五入法把36.7249保留两位小数。这个数舍去部分的首位数字是“4”，只能“四舍”，得36.72；不能把“4”右边的“9”入上来，假如这样做的话，于是“4”变成“5”，“5”再入，得36.73。而这个题的正确答案是：
　　36.7249≈36.72（保留两位小数）。
114.取近似值时，在保留的小数数位里，小数的末一位或末几位是“ 0”的，这些“0”是否可以划掉？
　　取近似值时，在保留的小数数位里，有时会出现末一位或末几位是“0”的情况，这种情况下的“0”，应当保留，不得划掉。例如：5.4037，保留两位小数，近似值应截取5.40，不应截取为5.4。这时5.40里的末一位的“0”不能去掉。因为5.40的取值范围在5. 395～5.404之间，绝对误差不超过0.005。如果把5.40里的末一位的“0”划掉的话，精确度就相差多了，并且也不符合原题对截取近似值的要求。原题要求是保留两位小数。
115.怎样讲解小数的意义？
　　在讲解小数的意义时，可以做好以下几点工作。
　　（1）由货币单位及商品标价引入小数。例如，一瓶墨水4角8分，可以写成0.48元；一支钢笔2元7角5分，可以写做2.75元。
　　（2）由长度单位引入小数。一般情况下，长度单位以“米”为单位。例如，一根钢条长3米2分米6厘米，以“米”为单位用小数表示就是3. 26米。使学生体会到，小数同复名数的关系是非常密切的，小数在实际生活中的应用是相当广泛的。
　　（3）均分正方形。使学生认识到，纯小数同单位1的关系。如图。

　　通过这样的图解，可以使学生体会到部分同整体的关系。还可以使学生认识到：一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几，……
　　总之，引入小数，常常是从十进位的计量单位引入（包括货币单位），再结合十进分数，作为认识小数的基础。
116.小数加、减法的运算法则是怎样规定的？
　　小数加法的法则和整数加法的法则一样，也是相同的数位对齐，由于小数中有小数点，因此，只要小数点对齐，相同的数位就对齐了。具体步骤是：
　　（1）把各个加数的小数点上下对齐；
　　（2）按照整数加法的法则进行计算，从右边最后一位加起，满十进1；
　　（3）和的小数点要与加数的小数点上下对齐。
　　例如：24＋17.5＋8.96=50.46

　　小数减法的法则和整数减法的法则一样，也是相同的数位对齐，由于小数中有小数点，因此，只要小数点对齐，相同的数位就对齐了。
　　具体步骤是：
　　（1）把被减数和减数的小数点上下对齐；
　　（2）按照整数减法的法则进行计算，从右边最末一位减起，不够减时借1当10；
　　（3）差的小数点要与被减数、减数的小数点上下对齐。
　　例如：64.75--9.948=54.802
　
117.小数乘法的运算法则是怎样规定的？
　　小数乘法的法则可按照以下步骤进行：
　　（1）先按照整数乘法的法则求出积；
　　（2）再看被乘数和乘数一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；
　　（3）如果小数的末尾出现0时，根据小数的基本性质，把小数末尾的0划去。
　　例1：6.49×7.5=48.675

　　例2：取积的近似值（得数保留两位小数）
　　5.46×1.67=9.1182≈9.12

118.小数除法的运算法则是怎样规定的？
　　（1）除数是整数的小数的除法
　　除数是整数的小数除法，可按照以下步骤进行计算：
　　①先按照整数除法的法则去除；
　　②商的小数点要和被除数的小数点对齐；
　　③除到被除数的末尾仍有余数时，就在余数后面添0，再继续除。
　　例1：117÷36=3. 25

　　（2）除数是小数的小数除法
　　除数是小数的小数除法，可按照以下步骤进行计算：
　　①先把除数的小数点去掉使它变成整数；
　　②看除数原来有几位小数，就把被除数小数点向右移动相同的几位（位数不够时补0）；
　　③按照除数是整数的除法进行计算。
　　例2：104.4÷7.25=14.4

　　（3）取商的近似值
　　在实际生活和生产中，常常遇到小数除法不能除尽或所得的
　　商的小数位数太多，但实际又不需要，可以根据要求和具体情况取商的近似值。
　　例 3：122÷16≈7.6（得数保留一位小数）

119.为什么说，分数不能包括所有小数？
　　把分数化为小数的时候，一种情况是，能化成有限小数；另一种情况是，能化成无限循环小数。一个分数，如果不能化为有限小数的话，它一定能化成循环小数。而无限不循环小数，不能用分数表示，是无理数的一种表现形式。所以说，分数不能包括所有的小数。列表如下：
　
120.循环小数是怎样定义的？
　　一个无限小数，如果它的小数部分从某一位起，都是由一个或几个数字，依照一定的顺序不断地重复出现，这样的小数叫做循环小数。
　　例如：0.333……，1.732732……，3.14646……，都是循环小数。
　　一个循环小数的小数部分中，依次重复出现的一个或几个数字，叫做循环节。例如，0. 333……的循环节是“3”，1.732732…的循环节是“732”，3.14646…的循环节是“46”。
　　为了书写方便，一个循环小数只写出不循环的部分和第一个循环节，并在这个循环节的最左和最右的数字上面各记上一个点，这个点叫做循环点。
　　
　　循环节从小数点后的第一位就开始的循环小数，叫做纯循环小数。

　
　　读作：三点一四六，四六循环。
121.你知道循环小数有哪些性质？
　　循环小数的性质有以下三条：
　　（1）循环节的位数增加到原循环节位数的2倍、3倍、……，循环小数的值不变。
　　　　　
　　
　　（2）纯循环小数写成混循环小数的形式，值不变。
　　
　　（3）有限小数也可以写作以0或9为循环节的循环小数。
　　例如：3.27可以写作3.270或者写作3.269（一般不采用以9为循环节的形式）。
　　因为 3.27等于 3加 0.27，为了从简，只写一写小数部分变化的情况。
　　
　　总之，循环小数虽然可以写成不同形式，但是除特别需要时外，一般都写成最简形式。

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