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八．比和比例 (?http:?/??/?218.22.166.105:8080?/?RESOURCE?/?XX?/?XXSX?/?SXBL?/?BL000024?/?6084_SR.HTM" \t "_blank?)

239．“比”和“比值”这两个概念有什么联系和区别?
　　在除法中，两个数相除时，就叫做两个数的比。一般分为两种情况：
　　（1）比较同类量的倍数关系，表示其中一个数是另一个数的几倍或几分之几。
　　例如：红光小学有女教师40人，男教师12人。表示女教师与男教师人数的比是40∶12（或化简为10∶3），这也表示女教师人数是男教师人数


　　（2）两个不同类量相比，是表示一个新的量。
　　例如：总 价∶数量，表示单价。
　　路 程∶时间，表示速度。
　　总产量∶亩数，表示亩产量。
　　“比”是由前项∶后项组成的，而“比值”是前项除以后项所得的商。如：
　
　　由此可以看出：“比”和“比值”这两个概念是有区别的。但两者之间也是有联系的，因为没有前面的“比”，就不会有后面的“比值”。就一般而言，“比”和“比值”都是一个完整比的组成部分。
　　除此之外，还要看到“比”和“比值”也有着一致性。从广义上解释，两个数的比是两个数的商，这个商也是比值。如：
　　　
　　由于比中的比号相当于分数中的分数线，所以用比的形式表示，就是7∶


240．比、除法、分数这三者之间，有什么联系和区别？
　　在小学数学教材中，从除法到分数，又到比，这不仅是一个发展过程，三者之间也存在着内在的必然联系。在比的教与学中，揭示它们之间的联系，是极其必要的。
　　比的前项相当于除法中的被除数，分数中的他子；后项相当于除法中的除数，分数中的分母；比号柑当于除法中的除号，分数中的分数线；比值相当于除法中的商，分数的分数值。
　　例如：
　
　　　　
在比中，前项÷后项=比值 a∶b=c
　　在除法中，被除数÷除数=商 a÷b=c
　　
　　如上所述，比、除法、分数三者之间有着如此密切的联系，目的在于：有关比的运算，可以转化为除法运算或分数形式，而又需要重新建立比的运算法则。
　　它们之间的区别，从意义上区分有：
　　“比”是表示两个数的倍数；
　　“除法”表示的是一种运算；
　　“分数”则是一个数。
241．“求比值”和“化简比”有区别吗？
　　在比和比例中，求比值是常用的，但也需要把较复杂的整数比（不包括含有分数、小数的比），化成简单的整数比，这两者是有区别的。
　　在区别求比值和化简比时，有一种并不全面的说法，即：求比值时用除法（比的前项除以后项）；而化简比时，运用的是比的基本性质（比的前项和后项同时乘以或除以一个不等于0的数，比值不变）。这只是看到了问题的一个方面，实际上，求比值也可以运用比的基本性质，而化简比也可以用除法。
　　　　
　　　　=3∶60（前项和后项同乘以10）
　　　　=1∶20（前项和后项同除以3）
　　　　
　　　　　
　　　　　
　　　　　
　　由此看来，用什么方法并不是两者的主要区别。应该看到的是下述情况：
　　比有三种表示形式，一是比的一般形式，如5∶6；一是比的分数形式，
　　
　　既可以认为是比，读作：5比6；也可以认为是比值，读作：六分之五。在
　　　
就是说，对两者在这样的情况下，不需要严格区别。
　　在小学数学教材中，作为不同的练习形式，又有着求值与化简比的不同要求。为了使学生明确这不同的要求，就必须加以约定，如果是求比值，就把结果写成数的形式（整数、小数或分数）；如果是化简比，就把结果写成比的一般形式，以表示这两者练习形式上的区别，至于用什么方法，则不一定强求一致。
242．绘图时如何选择比例尺？
　　比例尺是图上距离和实际距离的比。在绘制地图、操场或教室的平面图以及零件图时，要把实物的长度（或实际距离）缩小若干倍后，再画到纸上，这就用到比例尺。涉及到比例尺的问题，通常有三种情况：
　　（1）求比例尺。 图上距离∶实际距离=比例尺
　　（2）求实际距离。 图上距离÷比例尺=实际距离
　　（3）求图上距离。 实际距离×比例尺=图上距离
　　这三类情况，除（1）是求比例尺外，（2）（3）本身都有指定比例尺，因此，计算起来并不困难。但是，在绘图时，比例尺一般是不知道的，这就要视图纸大小这个具体情况，自己确定适当的比例尺。这是因为：如果比例尺选择的太大，图纸就可能不够画；如果比例尺选择的太小，画出的图只占图纸的很小部分，则图纸没有得到充分利用。这样画出的图，即不美观、大方，也不匀称、清楚。所以，在绘图时，选择“适当”的比例尺，则是重要的前提条件。
　　例如：要把一块长50米，宽30米的长方形土地，画在一张长28厘米，宽30厘米的纸上，应该选择怎样的比例尺？
　　光从长考虑，比例尺可以是：
　　28∶5000≈1∶179
　　再从宽考虑，比例尺可以是：
　　30∶3000=1∶100
　　根据一张图纸上只能选用统一的比例尺，对比一下，只能“选小不选大”，因为一旦选大了，图纸则画不下，所以，应选用1∶179的比例尺考虑到在一般情况下，为了画图的准确和方便，实际画图时，实际距离（长、宽、高等）扩大或缩小的倍数，常常是整十、整百、整千、整万……的倍数；同时还要考虑到图案画上后还要留边、画框以及写图的名称和标明比例尺等事项。因此，这张图选用1∶200的比例尺比较合适。按这个标准的比例尺，在纸上画出的图长为25厘米，宽为15厘米，同时也留有余地地满足了有关画图的其他要求。
　　总之，在用比例尺绘图前，首先要了解所画的地形（或实物）在长和宽这两个方向的实际距离是“多长”（以后画立体图时，还要考虑到“高”）；然后再量出图纸在长和宽这两个方向上的尺寸有“多大”。这样，才能根据实际距离的大小和图纸的尺寸，确定选用适当的比例尺。
243．“比”和“连比”一样吗？
　　比和连比是两个不同的概念。从意义上看比是表示两个数的倍数关系（或两个数相除）。连比是两个以上数之间的各自所占的份数比，它不是以上两个数连除的关系。
　　比和连比中的“项”也是不同的：

　　从比值上看：比既然表示两个数的倍数关系，当然可以求出比值来，如：
　　
值。
　　如果把两个比组成连比，必须使第一个比的后项等于第二个比的前项。例如：甲和乙的比是3∶4，乙和丙的比是6∶5，假如把甲、乙、丙的连比写成3∶4∶5则是错误的，写成3∶6∶5也是错误的。因为乙对甲来比是4，对丙来比又是6，这是两个不同标准的比，现在进行连比，乙必须有一个对甲、对丙都一致的数。也就是说，把两个比组成连比，“中项”必须统一。中项统一后，由于中项数字的变化，前项与后项的数字，也要发生相应的变化。
　　甲和乙的比是3∶4，乙和丙的比是6∶5，甲、乙、丙的连比应该是9∶12∶10。其中项统一过程如下：

　　连比的项不限于三项，也可能是若干项。连比的一般形式为a1∶a2∶a3∶…∶an，当连比的项较多时，各项的名称以此为例，a1叫做连比的第一项（也叫首项），a2叫连比的第二项，a3叫连比的第三项，…an叫做连比的第n项（也叫末项）。
244．球赛记分牌上的“2∶0”、“6∶2”等，有没有比的含义？
　　在激烈的足球比赛中，为了表示比赛双方的进球数，记分牌上经常显示“2∶0”或“6∶2”等比分，这些比分都没有数学中“比”的含义。
　　记分牌上的“2∶0”，表示一方踢进对方大门2个球，另一方没有踢进。在篮球比赛中，“2”表示一方得了2分，“0”表示一方没有得分。固然“2∶0”表示比赛的双方相差2分；“6∶2”表示相差4分，但这些比分只表示比赛双方各自的得分和相差的分数，而不表示“比”的含义中的倍数关系。
　　说明球类比赛中“2∶0”不具有“比”的含义，并不因为这个“2∶0”的后项是0，从而根据比的后项不能是0的规定得出的结论。这是因为球类比赛中的比分，所谓的后项不一定都是0。如果按上述结论去说明，当所谓的后项不是0时，岂不又具有“比”的含义吗？
　　例如：球场上的比分为“6∶2”，说明比赛双方相差4分，如果把“6∶2”看作数学中的“比”，“比”是可以化简的，6∶2=3∶1，其结果表明：比赛双方相差2分，这与球场的实际情况是完全不符合的。
　　因此，球赛时记分牌上所表示的比分，只是为了直观，借用了比的符号，而没有数学中的任何比的含义。
245．正比例的性质和反比例的性质有什么区别？
　　正比例的性质和反比例的性质，是相反的两个性质，在学习和运用时，由于表述形式近似，只是个别关键词语的不同，极容易相互混淆，必须正确地加以区分。
　　正比例的性质是：两种相关联的量，其中一种量的任意两个数值的比，等于另一种量对应的两个数值的比。
　　例如：一列火车的速度每小时60千米，如果所行时间与所行路程成正比例关系，那么所行时间的任意两个数值的比，必须与对应所行路程的两个数值的比相等。
　　如下表：

　　从顺向看：时间上2小时与4小时的比为2∶4=0.5；路程上2小时所行的千米数与4小时所行的千米数的比120∶240=0.5。这两个比的比值相等，具备了正比例的性质。
　

　　具备了正比例的性质。
　　反比例的性质是：两种相关联的量，其中一种量的任意两个数值的比等于另一种量对应的两个数值比的反比。
　　例如：完成1200台电视机的生产任务，每天生产的台数和完成的天数成反比例关系，每天产量中任意两个数值的比，等于所对应完成天数的两个数值比的反比。
　　如下表：
　　
　　

　　从逆向看：台数上400台与200台的比为400∶200=2；其对应天数比的反比为6∶3=2。两个比的比值相等，具备了反比例的性质。
246．反比、反比例和反比例关系有什么区别？
　　在比和比例这部分知识中，反比、反比例和反比例关系也是容易混淆的。不正确区分三者的确切含义，就会在凭借概念进行判断和依据性质进行计算上，产生“后遗症”，最后还得溯本求源，从基本概念上进行澄清。因此，从防微杜渐的角度上，一开始就结合教材进行正确区分，是非常必要的。
　　“反比”是与正比相对而言的，它们都不属于比例的范畴。在两个比中，如果一个比的前项和后项，分别是另一个比的后项和前项，这两个比就叫做互为反比。
　　例如：3∶4的反比是4∶3；反过来，4∶3的反比是3∶4。
　　“反比例”是对两种相关联的量对应数值组成比的顺序而言的。两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，据此写出的比例式称为反比例。
　　例如：有一堆煤，每天烧煤2吨，可烧12天，如果每天烧煤4吨，可以烧6天，每天烧6吨，可以烧4天。从条件中的规律可见，煤的总重量一定，每天烧煤量与烧得天数成反比例。
　　“反比例关系”是成反比例的两种量之间的数量关系。如果用字母x、y表示两种相关联的量，用k表示积（一定），其关系式为：x×y=k（一定），在这个式子中，x与y的关系，就是反比例关系。
247．什么叫做按比例分配的应用题？
　　在对物品或任务进行分配时，有时按照平均分配的方法，这种分配的方法也叫“匀分”。另一种分配方法不是平均分配，而是根据需要或其他情况，确定分配对象的不同份额，先找出总份额数（也就是总份数），再求出每份额（每份数）的具体数量，然后根据不同份额求出各自分配到的具体数量。这种分配方法叫按比例分配，用按比例分配的方法去解答的应用题，叫做按比例分配的应用题。
　　例如：光华小学在植树日，需完成植树168棵的任务，按3∶4∶5的比例，分配给四、五、六年级，求每个年级应植树多少棵？
　　此题按一般应用题解法，属于归一问题。
　　解题的过程为：
　　（1）三个年级共多少份？3＋4+5=12（份）
　　（2）平均每份是多少棵？168÷12=14（棵）
　　（3）四年级应植多少棵？14×3=42（棵）
　　（4）五年级应植多少棵？14×4=56（棵）
　　（5）六年级应植多少棵？14×5=70（棵）
　　答：（略）
　　此题用按比例分配方法解，同样要先求出总份数，但不求每份是多少棵，因为分配给三个年级的份额各占总份数的几分之几，也就是三个年级植的棵数各占总棵数（168棵）的几分之几，所以可直接求出三个年级各自应植的棵数。
　　解题过程为：
　　（1）总份数：3＋4＋5=12
　　
　　答：（略）
248．正方形的边长和面积为什么不成比例？
　　在判断比例的练习中，学生常把正方形的边长与面积误判成正比例。造成这种误判，在于对正比例关系缺乏全面理解。对“两种相关的量，一种量变化，另一种量也随着变化”，这句话是记住了，认为边长扩大，正方形的面积也会扩大，但这只是正比例关系含义的一半。另一句话，却被忽略了，即：“如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定”。
　　对其忽略的部分，可通过列出边长与面积的对应数值表，来进行准确的判断。

　　从表中的边长和面积的数值来看，正方形的边长和面积相对应的两个数的比值并不相等。

　　由上边所举数例可以说明：正方形边长的任意两个数值的比与相对应的面积的比，其比值都是不相等的，因此，正方形的边长与面积不能成正比例。
　　除根据正比例的关系来说明正方形的边长和面积不成比例外，还可以根据比例的判定式，来证明正方形的边长和面积是不成比例的。求正方形面积的公式是：

　　无论是成正比例或反比例，其中必有一个量是一定的（或称不变量）。由于正方形的特征之一是：正方形的四条边的长度都相等，在上述公式中，找不出一定的量，如果一个边长扩大了，其他边长也必然相应扩大，否则它就不是正方形了。所以，正方形的边长和面积是不成比例的。
　　同时，还应该看到：正方形的边长和面积固然不成比例，但正方形的边长平方和面积是成正比例的。因为边长平方和相对应面积的两个数的比值是相等的。
　　仍以上表中的数值为例：
　　

249．在正、反比例的应用题中，怎样确定“一定”的量？
　　在成比例的两种相关联的量中，无论是成正比例，还是成反比例，都是这两种量之间的关系。但在形成比例的因素中，事实上还存在着与这两种量密切相关的另一种量，这个量是“一定”的，也就是不变的量。没有这个“一定”的量，只有前面的两种相关联的量，正、反比例的关系都是不能成立的。例如：
　　（1）火车的速度一定，所行的时间和路程成正比例；
　　（2）玉米的亩产量一定，种植玉米的亩数和总产量成正比例；
　　（3）生产机器的总台数一定，生产时间和效率成反比例；
　　（4）全班学生人数一定，分的小组数和每组人数成反比例。
　　上述一些成正、反比例关系的实际问题中，这个“一定”的量比较明显，因此，容易确定；但在另一些成正、反比例的实际问题中，这个“一定”的量比较隐蔽，所以难以确定。揭示出“一定”的量，就成为判断两种量是成正比例还是成反比例的前提条件。例如：
　　（1）正方形的边长和周长成正比例；
　　（2）圆柱体的底面积和高成反比例；
　　（3）圆的直径和周长成正比例；
　　（4）齿轮转动，主动轮、从动轮的齿数和转速成反比例。
　　判断上述比例，在于揭示出比较隐蔽的“一定”的量。根据正、反比例

　　种量则成正比例关系；如果x×y=k（一定），这两种量则成反比例关系。
　
　系的关系式。在这个关系式中，“一定’的量就是k。因此，要揭示隐蔽的“一定”的量，就必须熟练地掌握上面的关系式，从关系式中来确定“一定”的量。
　　前面例举的四道题，其“一定”的量可如下进行确定：
　　（1）∵正方形周长/正方形边长=正方形边数
　　正方形边数是4，这是一定的；
　　∴正方形边数就是此题中的“一定”的量。
　　（2）∵圆柱底面积×高=圆柱体体积，圆柱体体积是已知的；
　　∴圆柱体体积是此题中“一定”的量。
　　（3）∵圆的周长/圆的直径=圆周率
　　圆周率π是一个常数；
　　∴圆周率是此题中“一定”的量。
　　（4）∵齿轮齿数×齿轮转数=转过总齿数，主动轮、从动轮转过的总
　　齿数是一样的；
　　∴转过总齿数是此题中“一定”的量。
　　上面确定“一定”的量的关系式中，有除法关系式，也有乘法关系式，从“积”或“商”的不变中，可以找出比较隐蔽的“一定”的量。除此之外，还可以从熟悉的基本数量关系中，直接用乘法关系式来寻找。
　　即： 因数×因数=积
　　在这个乘法关系式中，当其中的一个因数一定时，另一个因数与积存在着正比例关系；而当积一定时，两个因数之间存在着反比例关系。以常见的速度×时间=路程为例：

　　这样的乘法关系式还有很多，如：长×宽=长方形面积、底×高=平行四边形面积、底面积×高=长方体体积（或圆柱体体积）、单价×数量=总价等，利用这些关系式，可以一式三用地确定出“一定”的量，从而对正、反比例的应用题做出正确的判断。
250．比例应用题有哪些解题思路？
　　在学习比例应用题以前，已经掌握了整数、小数、分数的应用题，以及用方程解的应用题，因此，解比例应用题时，其解题思路就不限于比例本身。通常有以下几个思路：
　　（1）按照正、反比例的关系去思考，用比例的方法；
　　（2）按照数量的对应关系（包括量率对应关系）去思考，用算术的方法；
　　（3）按等量关系去思考，用方程的方法。
　　这三种思路在下面例题中可以看到它们的具体运用：
　　如：一辆汽车2小时行驶64千米，用同样的速度，从甲地到乙地共行驶5小时，甲乙两地之间的路程是多少千米？
　　用比例的方法解：从条件中可知，速度为“一定”的量。

　　设：甲乙两地之间的路程是x千米。

　　答：甲乙两地之间的路程是160千米。
　　用以前学习过的算术方法解：汽车5小时行多少千米，要先求出汽车1小时行多少千米，属于归一问题的思路或倍比问题的思路。
　　归一解：64÷2×5=160（千米）
　　倍比解：64×（5÷2）=160（千米）
　　答：甲乙两地之间的路程是160千米。
　　用方程的思路解：由于汽车的速度前后没变，其等量关系式是：5小时行的千米数÷5=2小时行的千米数÷2
　　实际上是速度=速度。
　　设甲乙两地之间的路程是x千米。
　　x÷5=64÷2
　　x=64÷2×5
　　x=160
　　答：甲乙两地之间的路程是160千米。
　　上述三种思路只是从比例、算术、方程的角度上划分的，事实上在算术的范围内有时还会出现多种解法，而每一种解法都是一种思路。因此，在掌握用比例解法解比例应用题的同时，也鼓励学生在可能的情况下进行“一题多解”，这既是对解题思路的开拓，也是对已学过知识的自觉复习。
251．什么叫做复比例？
　　在两个或若干个比例的各对应项上，实行四则运算，所得到的比例叫做复比例。复比例通常有以下三种情况：
　　（1）比例的加法和减法：由两个或若干个具有相等比值的比例，其对应项相加或相减所成的复比例，也具有原来相等的比值。
　　例如：40∶10=24∶6（比值为4）
　　 12∶3=8∶2（比值为4）
　　经过加减得到的复比例是：
　　（40±12）∶（10±3）=（24±8）∶（6±2）
　　按加法得：52∶13=32∶8
　　按减法得：28∶7=16∶4
　　（2）比例的乘法：从两个或若干个比例各对应项相乘所得到的复比例，它的比值等于已知各比例比值的积。
　　通过乘法得到的复比例是：
　　（3×4）∶（2×2）=（6×2）∶（4×1）
　　12∶4=12∶4（比值为3）
　　
　　由此可知，已知比例的各项自乘所得到的复比例，它得的比值等于已知比值自乘以同次方。
　　
比例各项自乘3次得到复比例为：

　　（3）比例的除法：一个比例的各项除以另一个比例的各对应项所得的复比例，它的比值等于两个已知比例的比值的商。
　　
　　通过除法得到的复比例为：
　　（3÷4）∶（2÷2）=（6÷2）∶（4÷1）
　　
　　
252．什么是复比例应用题？
　　计算两个以上的量成比例的应用题，叫做复比例应用题。
　　例如：6个水管10小时注满10米长、3米宽、1.5米深的水池，用同样的水管8个，要注满9米长、4米宽、2.5米深的水池，需要多少小时？
　　设需要x小时。列出已知条件，使同类量上下对齐：

　　此题中共有五个量，在列出的条件里，“↓”表示所求量与已知量成正比例；“↑”表示所求量与已知量成反比例。
　　在固定其他量“一定’的前提下，判断未知量与每一个量成正比例还是反比例。成正比例的，向下画一个箭头；成反比例的，向上画一个箭头。最后把箭头所指的数及与未知数同一列的数的积作分子，箭尾指着的数的积作分母，所得的分数值，就是题目中所求。
　　　　
　　答：需要15小时。
　　复比例应用题也可以用整数或小数中的“归一”方法解，仍以上题为例：
　　（1）每个水管1小时注水多少立方米？
　　10×3×1.5÷10÷6=0.75（立方米）
　　（2）要注满水的水池容积是多少立方米？
　　9×4×2.5=90（立方米）
　　（3）8个水管1小时注水多少立方米？
　　0.75×8=6（立方米）
　　（4）需要多少小时？
　　90÷6=15（小时）
253．什么是混合比例应用题？
　　把价值不同、数量不等的同类物品相混合，已知各物品的单价及混合后的平均价格（或总价和总数量），求混合量的应用题，叫做混合比例应用题。
　　混合比例应用题在小学数学教材中虽然没有涉及，但在实际生活中，这类问题又是常见的。例如：
　　两种糖果，每千克的价格，甲种4.8元，乙种4.2元，混合后每千克价格为4.6元，已知混合时，甲种糖果比乙种多用2.5千克，求两种糖果各用多少千克？
　　解：设甲种糖果用x千克，乙种糖果用了（x-2.5）千克。
　　（4.8-4.6）∶（4.6-4.2）=（x-2.5）∶x
　　0.2∶0.4=（x-2.5）∶x
　　0.2x=0.4x-1
　　0.2x=1
　　x=5（千克）甲种
　　5-2.5=2.5（千克）乙种
　　验算：甲种糖果5千克价：4.8×5=24（元）
　　乙种糖果2.5千克价：4.2×2.5=10.5（元）
　　两种糖果共价：24＋10.5=34.5（元）
　　两种糖果共重：5＋2.5=7.5（千克）
　　混合后每千克价：34.5÷7.5=4.6（元）
　　又如：买来甲乙两种铅笔若干支作为奖品，甲种每支0.6元，乙种每支0.4元，平均每支0.525元，已知甲种铅笔比乙种多20支，求两种铅笔各多少支？
　　解：设甲种铅笔x支，乙种铅笔（x-20）支。

　　答：甲种铅笔50支；乙种铅笔30支。


二、小数

101.小数是怎样定义的？
　　把分母是10、100、1000、……的十进分数.改写成不带分母形式的数，叫做小数。

　　。象0.1、0.07、2.23、30.079 都是小数。小数中间的圆点“.”叫做小数点。小数点的左边的部分叫做整数部分，小数点的右边部分叫做小数部分。如2.23，“2”是整数部分，“23”是小数部分；30.079，“30”是整数部分，“079”是小数部分。整数部分是零的小数叫做纯小数。纯小数比1小，如0.1、0.07是纯小数；整数部分不为零的小数叫做带小数。带小数比1大，如2.23、30.079是带小数。
　　根据小数的定义可知，认识小数应在认识分数之后，但是，目前小学数学教材里一般把小数的认识分为两个阶段：第一阶段通过认识货币、商品标价，让学生有个初步的认识，不包括十进分数的意义。第二阶段由十进复名数借助直观教具进行抽象概括，使学生认识小数的本质是十进分数。
102.怎样理解小数数位和小数计数单位？
　　在一个小数中，小数部分的各数位，叫做小数数位。小数数位有十分位、百分位、千分位、万分位……。小数部分从小数点算起， 右边第一位叫做十分位，也可以叫做小数第一位。如6.83的“8”就在十分位上。小数点右边第二位叫做百分位，也可以叫做小数第二位。如6.83中的“3”就在百分位上。小数点右边第三位叫做千分位，也可以叫做小数第三位。如4.095中的“5”就在千分位上。
　　小数的计数单位是：在一个小数部分中，十分位上的数字，它的计数单位是十分之一；百分位上的数字，它的计数单位是百分之一；千分位上的数字，它的计数单位是千分之一；……
　　下面列出整数和小数数位顺序表：

　　这个数位顺序表，是读、写小数的依据，是小数四则计算法则的依据，应该使学生熟练掌握。
103.怎样读小数和写小数？
　　小数的读法有两种：
　　（1）直读法：先读出整数部分（按照整数的读法），再读小数点（读作“点”），最后读出小数部分（按照从左到右的顺序读出各位的数字）。
　　例如：436.25，读作四百三十六点二五；0.875，读作零点八七五；0.009，读作零点零零九。
　　用直读法时，应当注意：小数部分的读法是从左到右的顺序读出各位数字，而不读出数位的名称。此外，遇到小数部分连续有几个零和末尾的零都要一一读出来，不能漏读。例如：0.006读作零点零零六，0.40读作零点四零。
　　（2）按照分数的读法来读：

　　法有助于理解小数的意义。但是考虑到这时小学生对于分数还只有初步的认识，这种读法难度较大，所以应不作要求。可以通过小数与分数的相互改写使学生进一步理解。
　　写小数时，整数部分按照整数部分的写法来写（整数部分是零的就写“0”），小数点要写在整数部分的个位的右下角，小数部分顺序写出每一位上的数字。小数点不可写得“居中”，免得与乘号“·”相混。要特别细心，不得把小数点的位置点错，假如点错了位置，那就要相差10倍、100倍、1000倍、……。
　　例如：七点八五，写作7.85；零点六八，写作0.68；四十点零零二，写作40.002；三百点零五，写作300.05。
104.“几位小数”的称呼是怎样规定的？
　　一个数的小数部分在几个数位上有数字，就叫作几位小数。不管它的整数部分有多少位。如：8.025、0.004都是三位小数，71.6、0.2都是一位小数。
　　小数的“位数”的概念，在学习小数四则计算和取小数的近似值时经常要用到。教学时，要让学生把数位、数位上的数和位数区分开来，随时纠正学生口头叙述时出现的错误，要注意区分“一位数”与“一位小数”，“两位数”与“两位小数”，使学生理解“几位小数”只与小数部分有几位有关系，而与整数部分没有关系。
105.给数轴上的点标数，给已知数在数轴上找对应点，目的是什么呢？
　　用数轴上的点表示小数，可以使学生对小数的认识进一步抽象化。小数和整数一样，都是数。每个整数在数轴上都可以找到与它相对应的一个点，每个小数也都可以在数轴上找到与它相对应的一个点。使学生把小数这样的数纳入他们已有的关于数的认知结构之中。通过这样的练习，除可以使学生对小数的认识更加抽象化之外，还可以使学生进一步认识小数同整数1的关系。
　　例如：用箭头指0.2、0.5、0.95、1.6及2.35各数在数轴上的位置。

　　对于这道题里的两位小数，如0.95、2.35，学生可能想到：这个百分之九十五，要在100份中取95份，而在数轴的0与1之间只均分10份（如图），若按照图上的份数去找，总也没有100份，从哪里去取这95份呢？当小学生找不着0.95的对应点的时候，我们可以发现，学生还没有弄清楚小数（指纯小数）同整数1的关系。
　　通过这样的练习，可以使学生认识到：凡是纯小数，十分之几也好，百分之几也好，千分之几也好，万分之几也好，它们在直线上的对应点总是在0与1之间。
　　虽然在所画出的图上，0与1之间只均分10份，但是，可以引导学生想：每一份还可以再均分为10份，这样，整数1就被分成100份了。还可以再均分，再均分，……“1”就被均分成1000份、10000份了。这样，可以丰富学生的想象力，发展学生的思维能力，对小数加深认识。
106.你知道小数有哪些性质？
　　小数的性质有以下两条：
　　（1）小数的末尾添零或去掉零的性质。
　　小数的末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变。
　　例如：0.45=0.450 0.45=0.4500
　　9.600=9.6 9.600=9.60
　　小数的这条性质在除法运算中很有用处。当一个小数被另一个数除而除不尽时，可以在被除数的末尾添零继续除下去。当一个整数被另一个数除而除不尽时，也可以先点小数点，后添零继续除下去。这些添零的作法就是根据这条性质。
　　（2）小数点左右移动的性质。小数的小数点向右移动一位，小数就扩大10倍；向右移动二位，小数就扩大100倍；向右移动三位，小数就扩大1000倍；……；小数点向左移动一位，小数就缩小10倍；向左移动二位，小数就缩小100倍；向左移动三位，小数就缩小1000倍；……。
　　例如 8.625的小数点向右移动一位得86.25，它比8.625扩大10倍。
　　同样的，8.625的小数点向右移动二位得862.5，它比8.625扩大100倍。
　　又如：8.625的小数点向左移动一位得0.8625，它比8.625缩小10倍。同理，0.08625比8.625缩小100倍。
　　小数的这条性质在运算中也很有用处。例如，一个小数乘以10、100、1000、……时，只要把小数点向右移动一位、二位、三位、…… 就可以了；一个小数除以10、100、1000、……时，只要把小数点向左移动一位、二位、三位、……就可以了。
　　整数可以看作是小数部分为“0”的小数。例如，75可以写成75. 0，如果75. 0乘以10，可以把小数点向右移动一位，得750；如果 75.0除以 10，可以把小数点向左移动一位，得 7.5；等等。
107.你会比较小数的大小吗？
　　比较两个小数的大小时，分两步进行。
　　首先，比较两个小数的整数部分。整数部分大的小数比较大。
　　其次，整数部分相等时，看小数部分。十分位上的数字比较大的小数较大。十分位上的数字相同时，比较百分位上的数字，百分位上的数字比较大的小数较大。百分位上的数字相同时比较千分位，……这样比较下去，如果所有小数部分的各位数字都相同，那么这两个小数相等。
　　例如：54.27＞50.98
　　54.27＞54.268
　　54.27=54.27
　　总之，小数的大小比较方法和整数的大小比较在原则上是完全一样的，即最高位上的数大的那个数较大；最高位上的数相同，则次高位上的数大的那个数较大，……。若所有数位上的数都相同，则两个数相等。但在整数中，位数多的数一定较大，而在小数中，却不一定。例如，0.256虽是三位小数，它比两位小数0.42小。
108.怎样理解“四舍五入法”？
　　四舍五入法是截取近似数的一种方法。当把一个数精确到某个数位时，如果这个数位右边相邻数位上的数字所表示的数小于5，则把这个数位右边所有数字去掉，而这个数位上的数字不变，这叫四舍；如果这个数位右边相邻数位上的数字所表示的数等于或大于5，则把这个数位的数字加1，这叫五入。
　　例如：3.14159≈3.14（四舍）
　　3.14159≈3.142（五入）
109.怎样理解准确数与近似数？
　　准确数--在计数、度量和计算过程中，有时得到和实际丝毫不差的真实数值，这种数叫准确数。例如35÷5=7；六年级学生共89人等都是准确数。
　　近似数--在计数、度量和计算过程中，大多数情况下，得到的是与真实数值相近而有一些误差的数（如 22÷7≈3.14），这种数叫作近似数。例如，在度量的时候，由于受到度量工具的精确度和度量技能的限制，或者不需要很精确，这时只能得到一个近似数。比如，一段公路7300米长，7300这个数就是一个近似数。在计算的时候，有时只需要或者只能得到一个与实际大体相符的近似数。例如，23÷3≈7.67，这个商就是近似商。一个近似数，可以用它的不足近似值与过剩近似值表示。
　
　
　　精确到0.1，0.01，0.001，……的不足近似值；如果在上述各数的末一位
　
　　精确到0. 1，0.01，0.001，……的过剩近似值。
110.在求近似数时，有时使用“进一法”，有时使用“去尾法”，这是怎么一回事儿？
进一法--在截取数的近似值时，把舍去的部分去掉后，在保留部分的末位上加1，这种截取数的近似值的方法，叫做进一法。例如，把π=3.14159……用进一法截取到百分位时，近似值为3.15。
　　在日常生活中，针对实际情况需要采取进一法。例如：每条麻袋能装粮食75公斤，现在有1380公斤粮食，需要麻袋多少条？
　　解：1380÷75=18.4（条），
　　或 1380÷75=18（余30）。
　　结果得18.4条，如果按照四舍五入法截取近似值，那么应该得18条麻袋。如果只用18条麻袋的话，余下的30公斤粮食往哪里装呢？根据题意，要用进一法取近似值。即
　　1380÷75=18.4≈19（条）
　　答：需要麻袋19条。
　　去尾法--在截取数的近似值时，把舍去的部分去掉后，所保留的数不变，这种截取数的近似值的方法，叫做去尾法。例如，把π=3.14159……用去尾法截取到千分位时的值为3.141。
　　在日常生活中，针对实际情况需要采取去尾法。例如：每件儿童衣服要用布1. 2米，现有布17.6米，可以做这样的衣服多少件？
　　解：17. 6÷1.2=14.66……
　　或 17.6÷1.2=14（余 0. 8）
　　结果得14. 66……，如果按照四舍五入法截取近似值，那么应该得15件。但是做衣服的事儿，大家都明白，剩下的布虽然能做0.6件，但是不够做成一件的布，只能采取去尾法。即
　　17.6÷1.2=14.66……≈14（件）
　　答：可以做成这样的衣服14件。
111.什么叫做精确度？
　　一个准确值用它的近似数表示时，允许有一定程度的误差，并且误差要根据条件或需要保证必要的精确度，这叫做精确度。例如：圆周率π=3.14159……，用去尾法精确到0.1，0.01，0.001，……的不足近似值为3.1，3.14，3.141，……；用进一法精确到0.1，0.01，0.001，……的过剩近似值是3.2，3.15，3.142，……。这里的0.1，0.01，0.001，……，就表示近似数的精确度。
112.什么叫做绝对误差与相对误差？
　　绝对误差--一个量的准确数与近似数的差的绝对值，叫做这个数的绝对误差。
　　例如：π=3.14159265…，如果取3.141，是π的不足近似值，误差是： 3.14159265…-3.141=0.00059265…；如果取 3.142，是π的过剩近似值，误差是：3.14159265--3.142=-0.00040734…
　　相对误差--一个近似数的绝对误差与它的准确数的比（常用百分率表示），叫做这个近似数的相对误差。
　　例如：测量一块长方形土地，测得长度是500米，绝对误差不超过1米；宽是20米，绝对误差不超过0.05米。哪一个精确度较高？
　　解：长：1÷500=0.2％；
　　宽：0.05÷20=0.25％。
　　答：测量土地的长的精确度较高。
113.取近似值时，是否可以采取连续“入”的办法？
　　用四舍五入法截取某数的近似值时，不能采取连续“入”的办法。例如：用四舍五入法把36.7249保留两位小数。这个数舍去部分的首位数字是“4”，只能“四舍”，得36.72；不能把“4”右边的“9”入上来，假如这样做的话，于是“4”变成“5”，“5”再入，得36.73。而这个题的正确答案是：
　　36.7249≈36.72（保留两位小数）。
114.取近似值时，在保留的小数数位里，小数的末一位或末几位是“ 0”的，这些“0”是否可以划掉？
　　取近似值时，在保留的小数数位里，有时会出现末一位或末几位是“0”的情况，这种情况下的“0”，应当保留，不得划掉。例如：5.4037，保留两位小数，近似值应截取5.40，不应截取为5.4。这时5.40里的末一位的“0”不能去掉。因为5.40的取值范围在5. 395～5.404之间，绝对误差不超过0.005。如果把5.40里的末一位的“0”划掉的话，精确度就相差多了，并且也不符合原题对截取近似值的要求。原题要求是保留两位小数。
115.怎样讲解小数的意义？
　　在讲解小数的意义时，可以做好以下几点工作。
　　（1）由货币单位及商品标价引入小数。例如，一瓶墨水4角8分，可以写成0.48元；一支钢笔2元7角5分，可以写做2.75元。
　　（2）由长度单位引入小数。一般情况下，长度单位以“米”为单位。例如，一根钢条长3米2分米6厘米，以“米”为单位用小数表示就是3. 26米。使学生体会到，小数同复名数的关系是非常密切的，小数在实际生活中的应用是相当广泛的。
　　（3）均分正方形。使学生认识到，纯小数同单位1的关系。如图。

　　通过这样的图解，可以使学生体会到部分同整体的关系。还可以使学生认识到：一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几，……
　　总之，引入小数，常常是从十进位的计量单位引入（包括货币单位），再结合十进分数，作为认识小数的基础。
116.小数加、减法的运算法则是怎样规定的？
　　小数加法的法则和整数加法的法则一样，也是相同的数位对齐，由于小数中有小数点，因此，只要小数点对齐，相同的数位就对齐了。具体步骤是：
　　（1）把各个加数的小数点上下对齐；
　　（2）按照整数加法的法则进行计算，从右边最后一位加起，满十进1；
　　（3）和的小数点要与加数的小数点上下对齐。
　　例如：24＋17.5＋8.96=50.46

　　小数减法的法则和整数减法的法则一样，也是相同的数位对齐，由于小数中有小数点，因此，只要小数点对齐，相同的数位就对齐了。
　　具体步骤是：
　　（1）把被减数和减数的小数点上下对齐；
　　（2）按照整数减法的法则进行计算，从右边最末一位减起，不够减时借1当10；
　　（3）差的小数点要与被减数、减数的小数点上下对齐。
　　例如：64.75--9.948=54.802
　
117.小数乘法的运算法则是怎样规定的？
　　小数乘法的法则可按照以下步骤进行：
　　（1）先按照整数乘法的法则求出积；
　　（2）再看被乘数和乘数一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；
　　（3）如果小数的末尾出现0时，根据小数的基本性质，把小数末尾的0划去。
　　例1：6.49×7.5=48.675

　　例2：取积的近似值（得数保留两位小数）
　　5.46×1.67=9.1182≈9.12

118.小数除法的运算法则是怎样规定的？
　　（1）除数是整数的小数的除法
　　除数是整数的小数除法，可按照以下步骤进行计算：
　　①先按照整数除法的法则去除；
　　②商的小数点要和被除数的小数点对齐；
　　③除到被除数的末尾仍有余数时，就在余数后面添0，再继续除。
　　例1：117÷36=3. 25

　　（2）除数是小数的小数除法
　　除数是小数的小数除法，可按照以下步骤进行计算：
　　①先把除数的小数点去掉使它变成整数；
　　②看除数原来有几位小数，就把被除数小数点向右移动相同的几位（位数不够时补0）；
　　③按照除数是整数的除法进行计算。
　　例2：104.4÷7.25=14.4

　　（3）取商的近似值
　　在实际生活和生产中，常常遇到小数除法不能除尽或所得的
　　商的小数位数太多，但实际又不需要，可以根据要求和具体情况取商的近似值。
　　例 3：122÷16≈7.6（得数保留一位小数）

119.为什么说，分数不能包括所有小数？
　　把分数化为小数的时候，一种情况是，能化成有限小数；另一种情况是，能化成无限循环小数。一个分数，如果不能化为有限小数的话，它一定能化成循环小数。而无限不循环小数，不能用分数表示，是无理数的一种表现形式。所以说，分数不能包括所有的小数。列表如下：
　
120.循环小数是怎样定义的？
　　一个无限小数，如果它的小数部分从某一位起，都是由一个或几个数字，依照一定的顺序不断地重复出现，这样的小数叫做循环小数。
　　例如：0.333……，1.732732……，3.14646……，都是循环小数。
　　一个循环小数的小数部分中，依次重复出现的一个或几个数字，叫做循环节。例如，0. 333……的循环节是“3”，1.732732…的循环节是“732”，3.14646…的循环节是“46”。
　　为了书写方便，一个循环小数只写出不循环的部分和第一个循环节，并在这个循环节的最左和最右的数字上面各记上一个点，这个点叫做循环点。
　　
　　循环节从小数点后的第一位就开始的循环小数，叫做纯循环小数。

　
　　读作：三点一四六，四六循环。
121.你知道循环小数有哪些性质？
　　循环小数的性质有以下三条：
　　（1）循环节的位数增加到原循环节位数的2倍、3倍、……，循环小数的值不变。
　　　　　
　　
　　（2）纯循环小数写成混循环小数的形式，值不变。
　　
　　（3）有限小数也可以写作以0或9为循环节的循环小数。
　　例如：3.27可以写作3.270或者写作3.269（一般不采用以9为循环节的形式）。
　　因为 3.27等于 3加 0.27，为了从简，只写一写小数部分变化的情况。
　　
　　总之，循环小数虽然可以写成不同形式，但是除特别需要时外，一般都写成最简形式。


九、量和计量 (?http:?/??/?218.22.166.105:8080?/?RESOURCE?/?XX?/?XXSX?/?SXBL?/?BL000024?/?6100_SR.HTM" \t "_blank?)

254．怎样理解量、连续量和不连续量的概念？
　　量--客观事物所具有的能区别程度异同的属性叫做量。也就是说，事物的多少、大小、长短、轻重、高低、速度的快慢等客观事物的属性都叫做量。
　　例如，一个集合元素的多少，一个物体表面面积的大小，一条公路的长短，一个物体的轻重，房间里气温的高低，一辆车行驶的快慢等都是量。
　　连续量--连续量有如下特点：它从一种程度到另一种程度是“连续地”变化的，即从一种程度开始，要经过无限多种程度的连续更替才能变化到另一种程度。例如，某物体的温度从13.2℃变化到14.2℃，就必须从13.2℃开始，经过13.3℃、13.4℃、13.5℃……最后才变到14.2℃；而从13.2℃变到13.3℃时要经过13.21℃、13.22℃……13.29℃等各种不同的程度；再进一步，我们还会看到，从13.21℃到13.22℃也不是跳跃地变化的，中间还会有无限多种程度的更替。又如长度、重量、体积、速度、时间等都是连续量。连续量的程度可以用小数来表示。
　　不连续量--不连续量有如下特点：它从一种程度到另一种程度是“跳跃地”变化的，即从一种程度开始，只要经过有限多种程度的逐次更替就能变化到另一种程度。如我们数一个班的学生人数时，从1开始，逐次经过2、3、4、5、……最后变化到45，说明这个班的学生是45人。又如图书馆的图书册数，学校里足球的个数，都是不连续量。不连续量只能用整数来表示其程度，不连续量又叫离散量。
255．怎样理解计量、量数、直接计量和间接计量的概念？
　　计量--把一个量同一个作为标准的同类量进行比较的过程叫做计量。用来作为计量的标准的量叫做计量单位。例如，用米作为计量单位去测定教室的长和宽的过程就是计量。
　　量数--用一个计量单位去计量某一个量，结果得到这个量含有计量单位的若干倍，这个数值就叫做这个量的量数。同一个量，用不同的计量单位去量，所得的量数不同。例如，量一量教室的黑板，如果用“米”作单位去计量，所得的量数是3.2，如果用“厘米”作单位去计量，所得的量数就是320。
　　直接计量--把计量的量同计量单位直接进行比较并且得出结果的计量方法，叫做直接计量。例如，用米去量教室的长和宽，就是直接计量。
　　间接计量--当直接计量是不可能的或者是不方便的情况下，只得采用间接测量的方法。例如，用米尺去度量两个行星间的距离是不可能的；又如，用平方米去度量操场的面积是很不方便的。这就需要间接计量。通过计量其他有关的量，再借助于公式进行计算而得到结果的计量方法叫做间接计量。如测量土地面积、行星之间的距离等都是间接计量。
256．重量和质量有什么区别？
　　重量--由于地心引力的作用，物体具有向下的力，这个力的大小叫做重量。重量在各地区因地心引力的不同而有微小的差别，在地球两极比在赤道大一些，在高处比在低处小一些。
　　质量--物体中所含物质的量，也就是物体惯性的大小。表示质量的单位用克、千克等，一般用天平来称。质量通常是一个常量，不因高度或纬度而改变。
257．度量衡的含义是什么？
　　在我国古代，计量长短称为度，计量容积（容量）称为量，计量轻重称为衡，因此，计量长度、容积、重量，统称为度量衡。
258．名数、单名数及复名数的含义是什么？
　　名数--量数和计量单位的名称合起来叫做名数，或者说数后面带有计量单位名称的叫做名数。例如，6米，3吨80千克。相对于名数，就把通常的数叫做不名数。如9、105、0.7等。
　　名数是由数和计量单位名称两部分组成的，如6米是一个名数，其中6是数，米是单位名称。如果“6米”的米字漏写了，应该说漏写了单位名称，不应说成漏写了名数。
　　单名数--只含有一个单位名称的名数叫做单名数，如6米、25千克、8小时等。
　　复名数--含有两个或两个以上单位名称的名数，叫做复名数。如6米35厘米，2小时40分等。
　　如果相邻两个计量单位之间是“十进”的，那么含有这样的计量单位名称的复名数通常叫做十进复名数。如3厘米6毫米。如果相邻两个计量单位之间不是“十进”的，那么含有这样的计量单位名称的复名数通常叫做非十进复名数，如2小时38分。
259．什么叫做高级单位和低级单位？
　　在同类的计量单位中，较大的计量单位是高级单位，较小的计量单位是低级单位。高级单位和低级单位是相对而言的。例如，分米对于米来说，是低级单位，如果就分米和厘米这两个单位而言，那么分米又是高级单位，厘米是低级单位。
260．什么叫做化法和聚法？怎样进行化法、聚法的教学？
　　化法--把高级单位的单名数或复名数变成低级单位的单名数，叫做化法。
　　例如：12米6厘米=（ ）厘米。
　　12米6厘米=1206厘米。
　　聚法--把低级单位的单名数变成高级单位的单名数或复名数，叫做聚法。
　　例如：20875千克=（ ）吨（ ）千克。
　　20875千克=（20）吨（875）千克。
　　化法是用相应的进率乘以高级单位的量数。例如，5米=？厘米，用进率100乘以5，就得到5米=500厘米，如果是5米70厘米=？厘米，那么在500的基础上再加上70，得5米70厘米=570厘米。
　　聚法是用低级单位的量数除以相应的进率，所得的商就是高级单位的量数；如果有余数，则余数仍是低级单位的量数。根据需要，余数也可以继续除下去，把得到的小数商作为高级单位的量数。例如，75000千克=？吨，用进率1000去除，得到75000千克=75吨，如果是75300千克，就得到75300千克=75吨300千克；根据需要，也可以把300继续除以1000，得到75300千克=75.3吨。
　　由于计量单位之间的进率很多是10、100、1000的，因此，化法和聚法一般用口算就可以了。在口算时，要针对学生容易产生的错误进行练习。例如：
　　（1）学生容易产生漏写0的错误。

　　（2）学生容易产生多写0的错误。

　　有时，学生容易把不同的进率相互混淆，以致造成化聚错误。例如，4.25小时误以为是4小时25分。教学时可以对各种进率进行比较归纳。例如，千米与米，吨与千克，千克与克，升与毫升等单位之间的进率都是1000；小时与分，分与秒之间的进率是60。如果两个相邻长度单位之间的进率就是10，那么与它们相应的面积单位之间的进率就是100，那么与它们相应的体积单位之间的进率就是1000。
261．计量物体的重量常用秤，你会使用常见的秤吗？
　　秤是计量物体重量的器具。常用的秤有杆秤、台秤、弹簧秤、天平秤等。
　　（1）杆秤：杆秤的秤杆上方和内侧有刻度，叫秤花，大秤花表示斤，小秤花表示两。秤杆右端有秤钩和两根秤纽。右手执秤纽称物，左手移动秤锤（秤砣）的系绳，使秤杆平衡。有的杆秤不带秤钩而带有秤盘。

　　（2）台秤：台秤有固定的底座。小型的放在台子上使用（大型的放在地上）。称物品时，移动秤杆上的“活动秤锤”使秤杆平衡，称出物品重量。若只用秤钩不用附加秤锤可称500克以内的重量。称500克（半千克）以上重量的物品时，要在秤钩上附加500克的秤锤，称1000克以上重量的物品时，要在秤钩上附加1000克的秤锤，等等。

　　（3）天平秤：天平秤称物品时，使砝码重量与物品重量相等，根据砝码重量确定物品的重量。
262．买卖黄金等贵重金属常用“盎司”计算，一盎司有多重？
　　盎司（ounce）是英美制重量单位，是一磅的十六分之一。旧称英两或■，是英国、美国计算金属重量的单位之一。现在国际金融市场上，买卖黄金、白银等贵重金属的价格，一般都按盎司计算。这种盎司，通称“金衡盎司”或“特洛伊盎司”，每一“金衡盎司”等于31.103481克。
　　我国过去的旧市两（十六两制），每两等于31.25克，这样，每一金衡盎司等于0.995311市两（十六两制）。
263．国际公制计量制度是怎样确定的？
　　国际公制是一种计量制度，创始于法国，1875年十七个国家的代表在法国巴黎开会议定这种制度为国际通用的计量制度。长度的主单位是米，一米等于通过巴黎的子午线的四千万分之一。标准米尺用铂铱合金制成，断面为Ⅹ形，在0℃时标准米尺上两
　　端所刻的线之间的距离为一米。质量的主单位是千克（公斤），标准千克的砝码是用铂铱合金制成的圆柱体，这个砝码在纬度45℃的海平面上的重量为一千克。容量的主单位是升，一升等于一千克的纯水在标准大气压下4℃（密度最大）时的体积。简称公制，也叫米制。
　　米曾被定义为：米（m）等于氪—86在真空中（在2p10和5d5二能级之间跃迁时）所发射的橙色光波波长的1650763.73倍。

　　路径的长度。
　　1959年我国国务院发布了《关于统一计量制度的命令》，确定国际公制为我国的基本计量制度，在全国范围内推广使用。原来以国际公制为基础所制定的市制，在我国人民的日常生活中已经习惯通用，可以保留。当时公布的《统一公制计量单位中文名称方案》如下表：
　
264．国际单位制SI包含了哪些内容？
　　国际单位制是在米制基础上发展起来的，被称为米制的现代化形式。从米制创立以来，随着科学技术的不断发展，又出现了多种单位制，这些单位制并用，相互间的转换非常麻烦。为了改变这种现象，国际计量大会于1960年通过了一种国际单位制，它的国际符号为SI，目前已被世界各国以及国际性组织广泛采用。
　　国际单位制以长度单位“米”、质量单位“千克（公斤）”、时间单位“秒”、电流单位“安培”、热力学温度单位“开尔文”、物质的量单位“摩尔”、发光强度单位“坎德拉”等七个单位为基本单位，对每个单位都给以严格的理论定义。
　　1984年2月27日，我国国务院发布了《关于在我国统一实行法定计量单位的命令》，决定在采用先进的国际单位制的基础上，进一步统一我国的计量单位。命令的第一条指出：我国的计量单位一律采用《中华人民共和国法定计量单位》。第二条指出：我国目前在人民生活中采用的市制计量单位，可以延续使用到1990年，1990年底以前要完成向国家法定计量单位的过渡。农田土地面积计量单位的改革，要在调查研究的基础上制订改革方案，另行公布。
　　我国的法定计量单位包括：
　　（1）国际单位制的基本单位：见表1。
　　（2）国际单位制的辅助单位：见表2。
　　（3）国际单位制中具有专门名称的导出单位：见表3。
　　（4）国家选定的非国际单位制单位：见表4。
　　（5）由以上单位构成的组合形式的单位。
　　（6）由词头和以上单位所构成的十进倍数和分数单位，词头见表5。
表1 国际单位制的基本单位

表2 国际单位制的辅助单位

表3 国际单位制中具有专门名称的导出单位

表4 国家选定的非国际单位制单位

表5 用于构成十进倍数和分数单位的词头

　　注：1．周、月、年（年的符号为a）为一般常用时间单位；2．[]内的字，是在不致混淆的情况下，可以省略的字；3．（ ）内的字为前者的同义语；4．角度单位度分秒的符号不处于数字后时，用括弧；5．升的符号中，小写字母1为备用符号；6．r为“转”的符号；7．人民生活和贸易中，质量习惯称为重量；8．公里为千米的俗称，符号为km；9．104称为万，108称为亿，1012称为万亿。这类数词的使用不受词头名称的影响，但不应与词头混淆。
265．什么叫做倍数单位及分数单位？
　　倍数单位及分数单位，是泛指某类计量单位的辅助单位。例如，比米大的单位有十米、百米、千米（公里）等，这些单位叫做米的十进倍数单位；比米小的单位有分米、厘米、毫米等，这些单位叫做米的十进分数单位。
266．什么叫做基本单位及导出单位？
　　在一种单位制中，基本量的主单位称为基本单位，它是构成单位制中其他单位的基础。在选定了基本单位之后，由基本单位以相乘、相除的形式构成的单位称为导出单位。例如，面积单位“平方米”就是基本单位米的二次方构成的，速度单位“米/秒”就是由基本单位米除以基本单位秒构成的。
267．容积单位与容量单位有什么区别？
　　我们先谈谈“容积”和“容量”：容积，指的是容器或其他能容纳物质的物体的内部体积，叫做容积。而容量呢，指的是容积的大小叫做容量。
　　测量容器的容积时，用容积单位，而容积单位用的就是体积单位：立方米、立方分米、立方厘米等。容量单位主要有升和毫升。它们之间的进率是1000，即1升=1000毫升。在计量药水、汽油等液体的体积时，常用升和毫升作单位。
　　总之，计量容积或容量，就用体积单位。它们之间的关系是：1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米。
268．什么叫做一拃（zhǎ），一庹有多长？
　　什么叫做一拃呢？张开手掌，大拇指与中指之间的最大距离，通常叫做一庹。
　　一庹的距离到底有多长，它是因人而异，因手掌的大小而异的，不可能是一个固定的长度。
　　为了使学生知道各自一庹的长度，可以由学生自己量一量。把手掌张开，按在桌面上，摆好一个固定的姿势，用同样的力量，从某一点开始往前量。比如量了5拃，先用尺量出总长度，再被5除，求出平均值，就是自己一拃的长度。（如图）
　　有时，为了量一量桌面的长和宽，身边又没有尺子，在不要求十分精确的情况下，倒是可以用拃量一量，也能够量出大约的长度来。这是随身携带的用起来又非常方便的“尺子”。
　　在下面括号里填上适当的数。
　　我自己的一拃长（ ）厘米。
　
269．什么叫做一庹，一庹有多长？
　　什么叫做一庹呢？两臂左右平伸，掌心向前，两手指尖之间的距离，通常叫做一庹。
　　一庹有多长呢？它也是因人而异，因胳膊的长短而异。也不可能是一个固定的长度。
　　为了量出自己一庹的长度，可以利用一根竹竿或木棍，或者利用墙面，两臂左右平伸，不要过于用力，按照同样的姿势，做三、四次，每次都作好记号，量出长度，最后，求出平均数。这就是自己一庹的长度。（如图）

　　有时，要想知道一条绳子有多长，可以用庹量一量，就能知道它大致的长度。要想知道树干的周长，也可以用庹量一量。
　　这也是随身带的“尺子”。
　　我的一庹长（ ）厘米。
270．什么叫做一步，一步有多长？
　　步，就是我们走路时迈步的步。从后脚尖到前脚尖之间的距离，通常叫做一步。也叫做“自然步”。（如图）

　　要想测量自己一步的长度，可以从某一点开始，向正前方走10步或20步，先量出总长度，再求出平均数来，就是自己一步的长度。假如，你向前走了10步，总长度为6米30厘米，那么平均一步的长度就是63厘米。测量时，步子要均匀，不要故意迈大步，精神要放松，要跟平时走路时一样自然。
　　现在我们所说的一步，没有固定的长度，因为人有高矮之别，步有大小之分，只好自己测量自己一步的长度。
　　平时也可以用步测量某段路的距离。例如：测量一下从你家到学校的路程，恰好是1000步，如果你自己一步的长度是63厘米的话，那么，就可以算出这段路程长630米。
　　从前，曾经把一步看作是长度的一个单位，一步等于5尺。当时所说的一步，相当于成年人的两个“自然步”（如上图）。现在，测量长度不再使用“步”这个单位了。
271．一秒钟的时间到底有多长？
　　“儿童节目要开始了！”小鹏一面说着一面打开了电视机。演播时间快到了。荧光屏上已经显示了时刻表，是17（时）39（分）21（秒）。表示秒的数字跳动得很快，由21变成22，由22变成23，又变成24、25、26、……由21秒变成22秒所间隔的时间，就是一秒钟。
　　为了使学生能够体会到一秒钟的时间有多长，周老师特意把大电钟挂在教室里，电钟的秒针挺大，一下一下地走着。秒针移动一小格的时间，就是一秒钟。
　　周老师又把节拍器立在讲桌上，节拍器的指针摆动起来了。达！达！达！声音清脆。周老师对同学们说：“现在这个速度正是一分钟60响，每两个响声之间所延续的时间就是一秒钟。”同学们静静地听着节拍器的响声，同时体会着一秒钟到底有多长。
　　周老师又让大家各自摸着自己的脉搏，默默地数着，在一分钟之内跳动多少次。有的说75次，有的说78次，也有的说70次，还有的说80次。每两次脉搏之间的时间，接近一秒。
　　有的同学，认为一秒钟的时间很短暂，浪费几秒钟算不了什么。其实，它也是有一定的长度的，在一秒钟的时间里，可以做许多这样那样的事情。例如：一般情况下，人可以跑5米远，喷气式飞机可以飞行500米，人造地球卫星可以飞行7900米，声波可以传出340米，光在一秒钟的时间里能走300000千米。
　　教学时，不但要使学生认识“秒”，还应该教育学生珍惜一分一秒，抓紧时间学习。
272．1立方厘米、1C．C．和1毫升有什么关系？
　　用厚纸板做一个正方体空盒，使它内壁的长、宽、深都是1分米，那么，它的容积（容器内部的大小）就是1立方分米。如果按照容量单位来说，这样大的容器。它的容量就是1升。
　　由于，1分米等于10厘米，那么，1立方分米就等于1000立方厘米。如果容积是1立方厘米的容器，按照容量单位来说，它的容量就是千分之一升，叫做1毫升。这样，1升就等于1000毫升。
　　又因为“立方厘米”这个词，用拉丁文来写是：cubic centime-ter。为了书写简便，取其两个字头，写作C．C．，所以，1立方厘米即1C．C．。
　　如果按照体积（或容积）单位来说，就说成若干立方厘米或若干C．C．，同样的容积，如果按照容量单位来说，它的容量就是若干毫升。例如：有的瓶装墨水的包装上印着“60毫升”的字样，以表示所容墨水的量；也有的印着“60C．C．”或者“60立方厘米”的，这是从体积的角度说明所容墨水的体积。
273．什么叫“克拉”？
　　克拉为钻石、猫眼、红宝石、蓝宝石等珍贵珠宝之计量单位。据考，克拉（carat）一词来自于希腊文，是一种角豆树的种子，古代人们认为这种树的种子重量个个相同，因此，古代的珠宝商人用它来作为称量珠宝的砝码。过去，克拉的实际重量比较混乱。1907年巴黎会议规定，每0.2克为一克拉，每克拉为100分，代替以前的64分。从此，100分等于一克拉，5克拉等于一克，这就是目前世界上通用的“公制克拉”。
　　1克=5克拉，1克拉=0.2克。
274．时间单位有哪些？它们之间的进率各是多少？
　　小时、分、秒是计量时间的单位。它们之间的进率是：1小时=60分，1分=60秒。
　　世纪、年、月、日也是计量时间的单位。它们之间的进率如下表：

　　一世纪是100年，如从1700年到1799年属于十八世纪，从1900年到1999年属于二十世纪。一世纪可分为若干小段，每段10年，这就是通常所说的二十年代、三十年代、……九十年代（通常不说十年代）。1980年到1989年这十年属于二十世纪八十年代，而十九世纪六十年代是指1860年到1869年这十年。
275．什么叫做二十四时计时法？
　　半夜是一日的开始，叫做某日零时。 1天的24小时又分为两段，每段12小时。从半夜0时起到中午12时叫做上午，再从中午12时起到半夜12时叫做下午。这种计时法叫做分段计时法（也叫12小时计时法）。生活中通常采用这种计时法。另一种计时法是广播电台、车站、邮电局等部门采用的0到24时计时法，简称24时计时法。按照这种计时法，下午1点就是13点，下午2点是14点，……夜里12点就是24点，又是第二天的0点。
276．什么叫做季度？什么叫做旬？
　　一年有四个季度。一月、二月、三月是第一季度；四月、五月、六月是第二季度；七月、八月、九月是第三季度；十月、十一月、十二月是第四季度。
　　旬，每10天为1旬。一个月分上、中、下三旬。每月的1日到10为上旬；11日到20日是中旬；21日到月底是下旬。
277．时刻和时间在概念上有什么区别？
　　时刻一般用时、分、秒表示，如上午8时，现在是7时25分等，表示出一天内某一确定的时刻。日历上所载的某月某日叫做日期。时间一般指的是两个不同的时刻或日期之间的间隔，通常用“小时”表示时间，而用“时（或点）”表示时刻。例如，上午工作4小时，是指时间；小悦每天6点45分起床，7点30分到校，是指时刻。“时”可以说成“点”。
278．什么叫本初子午线？什么叫日界线？
　　本初子午线是通过伦敦格林威治天文台原址的经线，把它定为0°经线，也叫本初子午线。从0°经线算起，向东向西各分180°，以东的180°属于东经，以西的180°属于西经。
　　下面谈谈日界线。由于地球每天由西向东自转一周，东面总是比西面的地方早进入新的一天。而地球是个球体，哪里算是最东面呢？新的一天究竟从哪里开始呢？为了解决这个问题，国际上规定180°经线（局部地方有调整）为国际日期变更线，简称“日界线”。如果自西向东越过这条线，即从东半球进入西半球，应把日期减去一日；如果自东向西越过这条线，即从西半球进入东半球，应把日期加上一日。


六、分数应用题 (?http:?/??/?218.22.166.105:8080?/?RESOURCE?/?XX?/?XXSX?/?SXBL?/?BL000024?/?6051_SR.HTM" \t "_blank?)

208．在分数应用题中，如何进行聚简为繁的训练？
　　在分数应用题的教与学中，特别是对较复杂的分数应用题，通常采用化繁为简的方法，即：把较复杂的题目逐步分解成若干个有联系的简单应用题。这种分散难点、各个击破的方法，实际上是化繁为简的训练。与此同时，还要进行把简单应用题逐步组合成较复杂应用题的训练，使学生既看到较复杂应用题的分解过程，也看到它的组合过程，后者就是聚简为繁的训练。
　　
　　完成了多少米？
　　这是一道求一个数几分之几是多少的一步应用题，属于早已掌握的旧知识，可以顺利地列式解答。

　　结果求出后，立即提出下题：4天修完6000米，平均每天修了多少米？这是一道除法中求一份数是多少的简单应用题，也比较容易列式解答。
　　6000÷4=1500（米）
　　接着提出第三个问题：按每天修1500米的速度，完成计划的36000米，实际要多少天？这是除法中包含除的简单应用题，列式解答也将是顺利的。
　　36000÷1500＝24（天）
　　在此基础上，提出第四个问题：计划30天完成的任务，实际用了24天，提前几天完成任务？这是减法中求两数差的简单应用题，列式解答为：
　　30－24=6（天）
　　在分散的基础上，把四个熟悉并早已掌握的简单应用题组合起来，就组成了一道四步的较复杂的应用题。即：
　　
　　照这种速度，可以提前几天完成任务？
　　这种聚简为繁的训练，可以帮助学生看到较复杂应用题是如何组成的，也就是较夏杂应用题是怎样一步一步地复杂起来的。这是两步应用题教学中，并题训练的扩大。在此基础上，对进行化繁为简的解答，不但起了促进作用，也起了对较复杂应用题在理解上的相辅相成的作用。从而达到培养学生全面地提高逻辑思维能力的目的。
209．在分数应用题教学中，如何进行一题多变？
　　一题多变是应用题教学中常用的一种教学手段，它是在掌握例题典型性的基础上，充分发挥例题的可变性，通过条件的变化和问题的改换，使知识向纵向和横向延伸。这对于防止学生思维的呆板，摆脱思维定势的羁绊，都是极其有益的。
　　一题多变的方法，一般在练习课、复习课和思维训练课上使用。它不仅可以沟通知识的内在联系；还可以使基本题向深度和广度发展，从而看到较复杂题的来龙去脉。既有利于学生思维灵活性的培养，又在有限的教学时间内加大练习和训练的密度。
　　例如：教师先在黑板上板书两个条件：男生25人，女生20人。然后启发学生：依据这两个条件，在学过分数乘、除法应用题上，可以提出什么问题？开始时，一般提出下面四个问题：
　　（1）男生人数是女生人数的多少倍？

　　（2）女生人数是男生人数的几分之几？

　　（3）男生人数比女生人数多几分之几？

　　　
　　（4）女生人数比男生人数少几分之几？

　　　
　　随着四个答案，教师继续板书，将男生25人用红笔框起来，表示为问题；把女生20人与原来提出的四个问题的答案，作为条件，分别用直线连接。这样就形成了四个新问题：
　
　　
　
　
　　在完成上述四题的口算后，再将女生20人这个条件用红笔框起来，用男生25人与上述四题的结果作为条件。这样又形成了四个新问题：
　
　
　
　
　这时，板书已经形成了以下的网状结构：

　　通过一题多变，将两个基本条件，先后组成了十二道基本应用题，同时揭示了分数乘、除法应用题转化关系。如果把男、女生人数和作为标准量，还可以变化出更多的题目。以上所举的例子，只是横向上的一题多变。如果在一道基本题的基础上，附加条件或引申问题，那就是纵向上的一题多变。
　　运用一题多变，有两个问题应该注意：
　　其一，一题多变不是目的，而是促进学生思维灵活的手段。不能为多变而多变，更不是变得越多越好，要从班级实际情况出发，做到“适可而止”。
　　其二，进行一题多变的基础，是学生清晰而明确地掌握基本数量关系和“量”与“率”的对应关系，不能匆忙起步。否则，仓促的多变，反而会引起部分学生思维上的混乱。
210．在分数应用题教学中，如何进行一题多解？
　　一题多解是应用题教学的一种重要方法。即：在不改变条件和问题的情况下，让学生多角度、多侧面地进行分析和思考，以探求不同的解题思路。在探求的过程中，由于学生的思维发散点不同，因而能找出多种解题途径，收到培养求异思维的效果。
　　进行一题多解的训练，通常采用两种方法：一种是先找出常规解法，然后进行发散性的思考，以探求不同的思路；另一种是摆出条件和问题后，不找常规解法而直接进行发散。前者属于“同中求异”，后者属于“异中求同”。因为这两者的目标是一致的：在发展思维的前提下，“殊途同归”。
　　例如：修路队九月份（按30天计算）计划修路2400米，由于开展向国

　　解法一：按分数应用题的常规思路，确定计划2400米为标准量，求出它

　　两数差。

　　解法二：按方程的思路分析，把提前的天数设为x，其含有未知数的等式为：

　　解法三：按工程问题的思路分析，把计划的2400米看作“1”，

　　“1”里面包含着多少个这样的几分之几，就求出了实际的天数，最后用减法求出提前的天数。

　　解法四：按比例应用题的思路来分析，设提前的天数为x，前6天所对

　　的比值，速度是不变量。
　　设：可提前x天完成。

　　解法五：仍按比例应用题的思路分析，根据速度一定，时间和数量成正


　　个数的几分之几是多少，求这个数的方法，就可求出实际完成的天数，最后用减法求出提前完成的天数。

　　其他的解法从略。
　　在一题多解的训练中，选择恰当的题目是非常重要的。题目要从学生已掌握的知识实际出发，题目中条件与条件、条件与问题之间的关系，都应有一定的广度，要能够为求异思维的展开，提供不同的发散点。思路狭窄的题目，是不能为一题多解选用的。
　　一题多解与一题多变一样，多解也不是目的，目的在于通过思维的发散，开拓解题的思路，发展学生的智力。
211．什么是逆向的思维方法？
　　逆向思维方法是与顺向思维方法相对而言的。在分析、解答应用题时，顺向思维是按照条件出现的先后顺序进行思考的；而逆向思维是不依照题目内条件出现的先后顺序，而是从反方向（或从结果）出发，进行逆转推理的一种思维方法。
　　逆向思维与顺向思维是思维训练的主要的基本形式，也是思维形式上的一对矛盾。正确地进行逆向思维，对开拓分数应用题的解题思路，促进思维的灵活性，都会起到积极的作用。以下面两题为例：
　

　　解：从题意上分析，这是一道典型的“还原法”问题，如果按一般顺向思维的方法进行思考，将难以找到解题的突破口。正确的解题思路就是用逆向思维的方法，从最后的得数出发，一步步地向前逆推。在逆向推理的过程中，对原来题目里的四则运算进行逆向运算。即：加变减、减变加、乘变除、除变乘。
　
　

　　的这个数。列式计算为：
　　
　　　　　　　　　　　　　　　　
　　
　　解：此题如按顺向思维来思考，就是“归一”的思路，先要求出1吨面


　　如果从逆向思维的角度分析，可以形成另外两种不同解法：即：①不着眼于先求1吨面粉需多少吨，而着眼于1吨小麦可磨多少吨面粉，然后再求

　　“倍比”的思路，求出面粉的吨数。列式计算为：
　　　
　　通过以上两例可以看出，掌握逆向思维的方法，遇到问题可以变换角度，进行正、反两方面的思考，在开拓解题思路的同时，也促进了逻辑思维能力的发展。
212．什么是对应的思维方法？
　　对应思维是一种重要的数学思维，也是现代数学思想的主要内容之一。在小学数学的教材中，对应思维所表现的是一般对应和量率对应，一般对应是从一一对应开始的。
　　例如：甲有6个三角，乙有4个三角，甲比乙多几个三角？

　　这里的虚线表示的就是一一对应，即：甲和乙都有同样多的4个三角，而没有虚线的2个，正是甲比乙多的三角。
　　一般对应随着知识的扩展，也表现在以下问题上：
　　　　
　　煤80吨，平均每小时采煤多少吨？
　　这是一道求平均数的应用题。要求出每小时采煤多少吨，必须先求上、下午共采煤多少吨和上、下午共工作多少小时。这里的共采煤吨数与共工作的小时数是相对应的，否则求出的结果就不是题目中所求的解。

　　在简单应用题中，培养与建立对应的思维方法，这是解决较复杂的应用题的基础。因为较复杂的应用题中，间接条件较多，在推导的过程中，利用对应思维所求出的数，虽然不一定是最后结果，但往往是解题的关键所在。在分数乘、除法里，这种对应思维突出表现在数量与分率（或倍数）的对应关系上；正确的解题思路的形成，就建立在清晰、明确的量率对应的基础上。　
　　
　　
　　从题意分析看出，这是一道“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的分数除法应用题。条件中只有20本这唯一具体的量，解题的关键是要找出这个“量”所对应的“率”。
　　如图：
　
　

　　确定“量”所对应的“率”，是解答此类题的唯一思考途径。按照对应的思路，列式计算为：

　　答：书架上原有书240本。
　　从上题的思考过程来看，没有量率对应的思维方法，就不可能找出正确的解题思路。由此可见，在解答分数乘、除法应用题时，对应的思维方法，无疑是一把宝贵的钥匙。
213．什么是假设的思维方法？
　　假设的思维方法是一种推测性很强的思维方法。这种思维在解答应用题的实践中，具有很大的实用性。这是因为有些应用题用顺向思维和逆向思维都不能找到解题途径时，可以将题目中的两个或两个以上的未知条件，假设成相等的数量，也可以把一个未知条件假设成已知条件，从而使题目中隐蔽或复杂的数量关系，趋于明朗化和简单化，这是假设思维方法的突出特点。
　　当“假设”的任务确定后，就按照假设后的条件，依据数量的相依关系，做出相应的调整后，列式计算并求出正确的结果。
　

　　题目中有件数和与用布的米数和，由于上、下衣用布量并不一样，做的件数也不一样，按照常规思路，将是无从下手的。但是运用假设的思维方法，此题并不难解决，并且有两个思路：
　　
　
　
　

　　200-80=120（件）上衣
　　
　　500米，比实际总米数少（520-500=）20米，这个差是由于每件上衣用布数

　　才差20米呢？这也是答案之一。列式计算为：

　　200-120=80（件）下衣
　　通过计算表明：这两个思路都运用了假设的思维方法。在整数应用题里的鸡兔同笼问题，实际上也运用的是这种思维方法。
　　假设的思维方法在较复杂的分数乘、除法应用题中，应用也较广泛。如下题：
　　
各重多少吨？
　　　

　　这样两个标准分率就一样了。用共重的吨数乘以假设后的统一分率，所得的
　　
样就可求出其中一堆的重量，另一堆重量用减法即可求出。

　　30-12=18（吨）第二堆
　　

　　30-18=12（吨）第一堆
　　以上的两个思路都是从率入手的。如果从量入手，又会形成两个思路。无论从量从率入手，都需要假设的思维方法作为解题的前提条件。
214．什么是转化的思维方法？
　　在分数乘、除法应用题中，常出现两个或两个以上的不同标准量，从属于这些标准量的分率，就很难进行分析和比较。运用转化的思维方法，就可以将不同的标准量统一成一个共同的标准量。在此基础上，其不同标准量的分率，也转化为共同标准量下的分率。经过转化后的数量关系，也就变得简单而明朗，既便于果断地确定思路，也利于准确而迅速地安排解题的步骤。
　　建立转化的思维方法，必须具备扎实的基础知识，对基本的数量关系，特别是对量率对应等关系，都能够熟练地掌握和运用，这是建立转化的思维方法的前提条件。
　　运用转化的思维方法的题目，类型较多，以常见的率转化为例：

　　少岁？
　　从题目的条件与问题分析，这是一道和倍应用题，但标准量却有两个（父

　
　这样就转化成分数和倍的基本题。列式计算为：

　
　　解这道题，也可以通过转化，使父子年龄不同标准量统一为子年龄的标

　　转化为先求子年龄的和倍应用题。

　　如果依据题意画出线段图，还可以转化为另一种思路。
　
　

　　一转化，就可以确定父子年龄的倍数关系。
　
　
　　如果在观察图形的相等部分时，转换一下思维的角度，此题也可以转化
　

　　10∶3。有了这个“比”的关系，又有父子年龄的“和”，可以用按比例分配的应用题进行解答。
　　10＋3=13……总份数
　　
　　
　　上述四种解法，不仅思路不同，在算理上也有难有易，但有一个共同点：没有转化的思维方法的参与，每个思路都是难以形成的。
215．什么是消元的思维方法？
　　在一些数量关系较复杂的应用题里，有时会出现两种或两种以上物品组合关系所构成的应用题，而在已知条件中，又只给了这几种物品相互混合后的数量的总价，如果按其他思维方法，很难分析出正确的解题思路来。这就需要运用消元的思维方法，即：依据实际的需要，通过直接加、减或经过乘、除后，再间接加、减的方法，消去一个或一个以上未知数，求出第一个结果，然后再用第一个结果推导出第二个或第三个结果来。
　　消元的思维方法与代数中的消元法是一脉相承的，只不过小学中的消元，不设x，因此，也叫做消去未知数的方法。
　　
　　求一升油和一升奶各重多少千克？
　　按照消元的思维方法，题目中的条件可排列如下：

　　7升油+22升奶→29.31千克
　　从条件排列中可见：两次的油与油、奶与奶的千克数，都存在着倍数关系，如果先消去油的千克数，把第一个条件扩大2倍，减去第二个条件，油固然可以消去，但奶的升数出现了不够减的情况。因此，只能采用第二个缩小2倍的方法，再减去第一个条件，从而把油消去。
　　条件重新排列及消元的过程如下：
　
　
　千克。列式计算为：
　
　　
　油：（29.31-1.03×22）÷7=0.95（千克）
　　答：一升奶重1.03千克；一升油重0.95千克。
　　除上述思路外，按照消元的思维方法，根据它们之间的倍数关系，也可以形成另一种思路。即：把第一个条件都扩大4倍，使
　　
　　这样就可消去奶，而先求出油来。
　　条件排列与思路如下：

　　列算式为：
　　
　　
　　运用消元的思维方法，可以发现解答上述这类题目的规律。由于在解题步骤和分析消元的角度上，并不是唯一的，因此，消元的思维方法也必然会促进整个思维的发散性。
216．什么是发散的思维方法？
　　发散思维的方法是依据题目中条件与条件、条件与问题的相依关系，从不同的角度上去分析，从不同的途径去思考，在推理中寻找解题的线索，在比较中选择最佳思路，从而使学生的求异思维得到锻炼和发展。
　　求同思维是求异思维的前提，没有求同就没有真正的求异， 或者说：就没有真正的发散。但求异思维不是求同思维的自然发展，重要的是有计划、有目的、有重点地进行发散思维方法的培养。让学生在“同中求异”和“异中求同”，使求同思维与求异思维协同配合，做到在发散中的同步发展。
　　以下面的两题为例：
　
　　确的，但思路并不一定是一个，而是从不同角度进行发散思维的结果。
　　　　
　　7个100千克是700千克，再加1000千克，得数是1700千克。
　　　　
千克。
　　
　　数点向右移动三位，得数是1700千克。
　　……
　　上述的三种思路，其所得的结果是一致的，但分析和思考时，与旧知识

　　两部分，采用分别相乘然后相加的方法，在运算中又使用了乘法分配律。思路②是用求一个数是另一个数的几又几分之几倍的分数乘法法则进行计算的。思路③是先将分数化成小数，然后在乘法中，根据小数点移位所引起小数大小变化的规律，从而简便、准确、迅速地求出结果。
　　（2）当分数、百分数应用题学完后，在练习课上，可通过变直接条件为间接条件的表述，来进行发散思维方法的培养。例如：
　　甲储蓄80元，乙储蓄50元，如果把乙储蓄的50元这个直接条件改为间接条件的表述，采用分数或百分数的形式，可能有几种表述方式：
　　
　　
　　
　　
　……
　　如果把甲储蓄的80元转化为间接条件，还用分数或百分数的形式进行表述，可有以下几种表述方式：
　　
　　
　　
　　
　　……
　　类似的表述方法还有许多，解答步骤也会由简到繁。由此可见，发散的思维方法的形式，对于应用题中的数量关系或量率关系，能够进行多角度、多侧面的发散性思考。这种自觉思考习惯的养成，将是一种宝贵的思维品质。
217．什么是联想的思维方法？
　　联想的思维方法是沟通新旧知识的内在联系，在处理新问题的数量关系或量率关系时，能够对已掌握的旧知识与新问题之间，产生丰富的联想，并运用知识的正迁移规律，变换审题的角度，使问题得到更顺利、更简捷的解答。
　　当学完分数应用题和比例应用题之后，可通过一道应用题部分条件的出现，激起学生的联想，从而显示联想的思维方法在开阔思路上的作用。
　　例如：行驶一段路程，甲车与乙车速度的比是5∶4。
　　出现这些部分条件后，稍做停顿，学生可能产生的联想，有以下几种情况：
　　①甲车与乙车的速度比是5∶4，甲车与乙车的时间比则是4∶5。这是依据路程一定，速度与时间成反比关系而联想出来的。如果原题的后面条件是给了甲（或乙）行完这段路程的时间，按原来的速度比去思考，此题将是反比例应用题。通过联想将速度比转化为时间比，此题便由反比例应用题转化为正比例应用题。
　　②甲车与乙车的速度比是5∶4，甲车速度就是乙车速度的（5÷4=）

　　求甲车的速度是多少，就可以用求一个数的几又几分之几倍的方法，将原题的正比例应用题转化成分数乘法的应用题。如果原题给了甲车的速度去求乙车的速度，就可以用已知一个数的几分之几倍是多少，求这个数的方法，将原题转化为分数除法的应用题。
　　
　　分数与比的关系联想的结果。如果后面给了甲车速度，求乙车速度，则转化为求一个数的几分之几是多少的分数乘法应用题。反之，则转化为已知一个数的几分之几是多少，求这个数的分数除法应用题。
　　
　　与除法关系的基础上，联想到求一个数比另一个数多几分之几，把乙车看成

　　差率直接对应，那么用分数除法就可以直接求出乙车的速度。
　　　
　一个数比另一个数少几分之几联想的结果。甲车速度作为标准量“1”，如

　　法直接求出甲车的速度。
　　⑥根据甲、乙车速度比是5∶4，则甲乙两车的速度和为（5＋4=）9，
　
　配应用题进行的联想。如果原题后面给了两车速度和的条件，就可以用分数乘法分别求出甲车速度和乙车速度。
　　⑦根据甲、乙车速度比是5∶4，所需时间比是4∶5，由此联想出甲

　　车分别从两地同时出发，相向而行，求中途的相遇时间，那么，把全程作为“1”，这道题又转化成分数的工程问题。
　　……
　　从上例可以看出，联想面越广，解题思路就越开阔，解题步骤也就越加准确而敏捷。由此可见，联想思维方法所带来的效益，不仅可以促进学生思维能力的发展，也往往从中闪耀出创造性思维的火花。
218．什么是量不变的思维方法？
　　在一些较复杂的分数应用题中，每个量的变化都会引起相关联的量的变化，就如同任何一个分量的变化都会引起总量的变化一样，这种数量之间的相依关系，常常出现以下的情况：在变化的诸量当中，总有一个量是始终固定不变的。
　　有了量不变的思维方法，在纷繁的数量关系中，就能在确定不变量的基础上，理顺它们之间的关系，理清解题的思路，从而准确，迅速地确定解题步骤和方法。在小学的分数应用题中，涉及到量不变的思维方法，一般有以下三种情况：
　　（1）分量发生变化，总量没有变。
　　
　　
　　从分析题意中可知，甲乙两人的存款数（分量）先后都发生了变化，但二人存款的总钱数（总量）却始终未变，可以断定这是一道总量不变的应用题。抓住了总量不变的特点，就抓住了解题的关键。把乙的存款数看作“1”，
　
　
　
　
　　存款数占总存款数的几分之几，然后再求乙存款数占总存款数的几分之几。
　　经过上面的分析，标准量已转化到二人总存款数，乙占总存款数的分率



　　此题中，尽管标准量前后不同，中间并经过几度转化，过程也较复杂，但一旦抓住总量不变这个特点，就保证了思维过程的条理和清晰。
　　（2）总量发生变化，其中一个分量没变。
　　

　　根据题意，又买进了一批科技书，说明总量发生了变化，科技书这个分量也发生了变化，但另一个分量（文艺书）却始终没变。抓住这个不变量的特点，可求出文艺书的本数：

　　文艺书的本数没变，但由于后来又买进了科技书，文艺书所占总本数的

　
　　数前后没变，两次总本数之差720-630=90（本），则是科技书后来又买进的本数。
　　（3）总量和分量都发生了变化，但分量之间的差量没变。
　　
　　张华是36岁时，李丽是多少岁？
　　这是一道差量不变的应用题，因为张华年龄增加的同时，李丽的年龄也在同步增加，两人之间的年龄差却始终未变。与此同时，两人年龄和相应发生变化，张华年龄所占二人年龄和的分率也必然发生变化。抓住了年龄差这个不变量，就找到了解题的突破口。　
　　
时，李丽则是36-8=28（岁）。


七、简易方程 (?http:?/??/?218.22.166.105:8080?/?RESOURCE?/?XX?/?XXSX?/?SXBL?/?BL000024?/?6063_SR.HTM" \t "_blank?)

219．什么叫做代数式和代数式的值？
　　用运算符号加、减、乘、除、乘方、开方把数字和表示数的字母连接起来所得的式子，叫做代数式。特殊的，单独的一个数字或字母也可以叫做代

　　用数代替代数式里的变数字母．计算所得的结果，叫做这个代数式的值。
　　
　　的值是289。
220．什么叫做等式？等式有哪些性质？
　　表示两个数或两个代数式相等关系的式子叫做等式。两个数或两个代数式之间用等号“=”连接起来。例如：27＋23=50，a+b=b+a，4x+6=86。
　　等式的性质有以下几条：
　　（1）等式两边可以调换位置。也就是说，如果a=b，那么b=a。
　　（2）等式两边都加上（或减去）同一个数，所得的等式仍然成立。即如果a=b，那么a±m=b±m。
　　（3）等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为零），所
　　得的等式仍然成立。即如果a=b，那么am=bm，a÷n=b÷n（n≠0）。
221．什么叫做方程和方程的解？
　　含有未知数的等式，叫做方程。例如：3x＋4=10，7x=2.8，ax2＋bx＋c=0（其中a、b、c为已知数，x是未知数）等都是方程。方程是提出一个问题：当未知数取什么数时，等式成立。
使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。例如：x=2是方程3x+4=10的解。x=1.7是方程4x=6.8的解。
222．什么叫做单项式和多项式？
　　不含加、减运算的整式，叫做单项式。特殊的，单独一个数或一个字母

多项式。例如：4x+7，3x2+5，6x2+7x+2等都是多项式。
223．什么叫做同类项及合并同类项？
　　在多项式中，所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做同类项。例如：5x2＋3x+4x2＋6中，5x2与4x2是同类项。
　　把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。例如：5x2＋3x+4x2＋6=9x2+3x+6是合并同类项。

224．方程的基本性质有哪些？
　　方程的基本性质有以下两点：
　　（1）方程的两边都加上（或减去）同一个数或者同一个整式，所得的方程和原方程有共同的解（叫同解方程）。
　　（2）方程的两边都乘以（或除以）不等于零的同一个数，所得的方程和原方程是同解方程。
　　方程的基本性质是解方程的依据。解方程实际上就是把一个较复杂的方程，根据方程的基本性质化成简单的同解方程的过程。最后得到的x=a也是原方程的同解方程。所以a就是原方程的解。在小学里，限于学生的知识基础，解方程不是从方程的基本性质出发，而是根据学生已有的加减之间、乘除之间的逆运算关系来求解的。经过适当的练习，再用“移加变减”与“移减变加”等通俗语言概括出移项的规律，为进一步学习数打下一点基础。
225．什么叫做有理数？
　　整数和分数统称有理数。其中整数含有正整数、零及负整数；分数含有

　　数，且n≠0）。正整数、正分数叫做正有理数；负整数、负分数叫做负有理数；正有理数与零叫做非负有理数；零与负有理数叫做非正有理数。
226．什么叫做相反数？　　
　　
　　任一正数a总有一个确定的负数-a与它相对应，像这样只有符号不同的两个数，叫做相反数。
　　例如：-5与5是相反数，5与-5也是相反数。零的相反数是零。
　　相反数a与-a在数轴上的对应点分别在原点的两侧，并且与原点的距离相等，但方向相反。
　　因此，负数的相反数是正数，正数的相反数是负数，零的相反数还是零。
227．有理数大小的比较法则有哪些？
　　（1）正数都大于零；
　　（2）负数都小于零；
　　（3）正数大于一切负数；
　　（4）两个负数比较，绝对值大的反而小。
228．有理数的混合运算法则是怎样规定的？
　　在代数运算中，加法与减法是一级运算，乘法与除法是二级运算，乘方与开方是三级运算。如果有理数的同级运算在一起，那么按照从左到右的顺序进行计算；如果是不同级运算在一起，那么先算较高级的运算，再算较低级的运算。即先算乘方或开方， 再算乘法或除法，后算加法或减法。有括号时、先算小括号里面的运算，再算中括号，然后算大括号。
229．去括号与添括号的法则指的是什么？
　　去括号的法则是：括号前面是“+”号，去括号时，括号里的各项都不变；括号前面是“-”号，去括号时，括号里的各项都变号。例如；
　　5a+（4b-3a）-（2b+a）=5a+4b-3a-2b-a=a+2b。
　　添括号的法则是：添括号时，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变；括号前面是“-”号，括到括号里的各项都变号。例如：
　　4a-3b-2c=4a-（3b+2c）；
　　7a+2b-5c=7a+（2b-5c）。
230．什么叫做绝对值？
　　数轴上表示一个数的点离开原点的距离，叫做这个数的绝对值。一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。例如：+5和-5的绝对值都是5，通常用|5|表示。又如，一个数是a，它的绝对值表示如下：
　　（1）当a＞0时，|a|=a；
　　（2）当a＝0时，|a|=0；
　　（3）当a＜0时，|a|=-a。
231．什么叫做完全平方数及完全立方数？
　　如果一个正数恰好是另一个有理数的平方，则这个正数叫做完全平方

　　都是完全平方数。
　　如果一个数等于另一个数的立方，则这个数叫做另一个数的完全立方数。例如：27是3的完全立方数，64是4的完全立方数。
232．在科学技术上常用科学记数法，你知道怎样记数吗？
　　把一个正数写成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n比这个正数的整数位数少1。这种记数方法，习惯上叫做科学记数法。例如：

　　这种记数方法便于记大数，易于比较大小，常用在科学技术上。
233．列方程解应用题要做好哪几步工作？
　　用字母代替应用题中的未知数，根据等量关系列出方程，再解所列出的方程，从而得到应用题的答案，这个过程叫做列方程解应用题。解题时要做好以下几步工作：
　　（1）分析题意。认真读题，反复审题，弄清楚应用题中哪些是已知条件，哪些是未知条件，已知条件与未知条件之间有什么等量关系；
　　（2）设未知数。用字母代替应用题中的未知数；
　　（3）列方程，解方程。根据所设的未知数x和题目中的已知条件，按照等量关系列出方程。根据算术四则运算中加法与减法、乘法与除法之间的逆运算关系求出未知数x的值；
　　（4）检验，答题。解方程后，应进行检查验算；针对应用题的所问作出答案。
234．列方程解应用题应进行哪些基础训练？
　　列方程解应用题，应进行如下一些训练：
　　（1）列代数式的训练。正确、迅速地列出代数式是列方程的基础，可以用以下几种形式进行训练：
　　①用数学语言叙述代数式。例如：
　　3x+5（一个数的3倍与5的和）；
　　7×8-4x（7的8倍减去一个数的4倍）。
　　②用代数式表示数量关系。例如：
　　a的6倍（6a）；
　　90减去x的5倍（90-5x）。
　　③根据题意叙述代数式的意义。例如：“学校买来6个小足球，每个a元，又买来8个排球，每个b元。”要求学生叙述以下各式的意义。
　　6a（表示6个足球的价钱），
　　8b（表示8个排球的价钱），
　　6a+8b（表示两种球的总价），等等。
　　反过来，老师提出问题，要求学生列出代数式。
　　（2）找等量关系的训练。找出题目中的等量关系是列方程的关键。教学时，可以让学生找出日常生活事例中的一些等量关系，使学生逐步熟悉。
　　例如：小侠到商店去买笔记本，总价钱是1.6元，小侠付出2元，找回0.4元。把这件事情列出等式。
　　付出的2元-笔记本总价1.6元=找回的0.4元，
　　笔记本总价1.6元+找回的0.4元=付出的2元，
　　付出的2元-找回的0.4元=笔记本总价1.6元。
　　（3）列方程的训练。把列代数式的训练和找等量关系的训练结合起来进行（只要求列出方程，不必解方程）。
　　例1：计划修一条水渠260米，已经修了7天，每天能修x 米，还剩50米没有修。
　　等量关系是：计划米数-已经修的米数=剩下的米数；
　　方程是：260-7x=50
　　例2：农具厂两个车间计划生产720把镰刀。第一车间每天生产镰刀38把，第二车间每天生产镰刀42把，x天完成了任务。
　　等量关系是：第一车间生产数+第二车间生产数=全部任务；
　　或（第一车间工作效率+第二车间工作效率）×x=全部任务。
　　方程是：38x+42x=720，
　　或 （38+42）×x=720。
235．只用一步运算解答的简易方程有哪几种？
　　（1）求未知的加数：解法是从和中减去已知的加数。
　　例1：解方程x+38=90解：90是两个数的和，38是已知加数。所以
　　x+38=90
　　x=90-38
　　x=52
　　（2）求未知的被减数：解法是把差加上已知的减数。例2：解方程x-62=27
　　解：27是差，62是减数。所以
　　x-62=27
　　x=27+62
　　x=89
　　（3）求未知的减数：解法是从被减数中减去差。例3：解方程76-x=19
　　解：76是被减数，19是差。所以
　　76-x=19
　　x=76-19
　　x=57
　　（4）求未知的因数：解法是把积除以已知的因数。例4 解方程5x=240
　　解：240是积，5是已知的因数。所以
　　5x=240
　　x=240÷5
　　x=48
　　（51）求未知的被除数。解法是把商乘以除数。例5：解方程x÷18=34
　　解：34是商，18是除数。所以
　　x÷18=34
　　x=34×18
　　x=612
　　（6）求未知的除数。解法是把被除数除以商。例6：解方程1247÷x=43
　　解：1247是被除数，43是商。所以
　　1247÷x=43
　　x=1247÷43
　　x=29
236．需要用两、三步运算解答的简易方程有哪几种？
　　（1）先把积看成一个数进行运算。
　　例1：解方程3x+24=87
　　解：3x+24=87（先把3x看成一个加数）
　　 3x=87-24
　　 3x=63
　　 x=21
　　例2：解方程100-5x=35
　　解：100-5x=35（先把5x看成一个减数）
　　 5x=100-35
　　 5x=65
　　 x=13
　　例3：解方程7x÷14=9
　　解：7x÷14=9（先把7x看成是一个被除数）
　　 7x=9×14
　　 7x＝126
　　 x=18
　　例4：解方程16x-7×4=148解：16x-7×4=148
　　16x-28=148（先把16x看成是一个被减数）
　　 16x=148+28
　　 16x=176
　　 x=11
　　（2）合并同类项。
　　例5：解方程7.5x+2.5x=64
　　解：7.5x+2.5x=64（先计算7.5x+2.5x）
　　10x=64
　　x=6.4
　　例6：解方程28x-13x=240
　　解：28x-13x=240（先计算28x-13x）
　　15x=240
　　x=16
　　（3）去括号或者把括号里的数看成一个数。
　　例7：解方程16（7+x）=192
　　解法一：16（7+x）=192（去括号）
　　16×7+16x=192（把16x看成一个数）
　　 16x=192-112
　　 16x=80
　　 x=5
　　解法二：
　　16（7+x）=192（把7+x看成一个因数）
　　7+x=192÷16
　　7+x=12
　　x=12-7
　　x=5
237．用方程解应用题时，怎样找等量关系？
　　在解应用题时，常常先找出应用题中数量间的相等关系，也就是通常所说的“等量关系”，然后列方程求解。下面举例说明。
　　（1）只含有三个数量的简单应用题的等量关系和方程。
　　只含有三个数量的简单应用题，已知两个数量，求第三个数量。这类应用题的等量关系比较明显，容易找出。根据三个量间的等量关系，往往可以列出三个等式。在这三个等式里，可选择一个等式作为解答该题的方程，习惯上把未知的数量放在等号的左边，用字母x表示。
　　例1：黄豆和绿豆共重90千克，其中黄豆65千克，绿豆的重量是多个千克？
　　分析：根据这道题里的三个量，可以列出下面三个等式：
　　①共重90千克-黄豆65千克=绿豆重量；
　　②绿豆重量+黄豆65千克=共重90千克；
　　③共重90千克-绿豆重量=黄豆65千克。
　　如果把未知量用x表示，并且把它放在等号的左边，可列出方程：
　　x+65=90或者90-x=65
　　由于题目中说的是“黄豆和绿豆共重90千克”，所以列出的方程以“x+65=90”为好。
　　例2：小侠身高158厘米，比小勇高13厘米。小勇的身高是多少厘米？
　　分析：根据这道题里的三个量，可以列出下面三个等式：
　　①小侠身高158厘米-13厘米=小勇身高；
　　②小侠身高158 厘米-小勇身高=13厘米；
　　③小勇身高+13厘米=小侠身高158厘米。
　　如果把未知量用x表示，按照题目里所说的“小侠的身高是158厘米，比小勇高13厘米”，可列出方程：
　　158-x=13或者x+13=158
　　例3：一辆卡车每小时行驶45千米，几小时可以行驶270千米？
　　分析：根据速度、时间与路程三个量之间常用的数量关系，可以写出下面三个等式：
　　①每小时45千米×小时数=路程270千米；
　　②路程270千米÷每小时45千米=小时数；
　　③路程270千米÷小时数=每小时45千米。
　　如果设x小时走完全程，根据题意可以列出方程：
　　45x=270或者270÷x=45
　　例4：一个长方形的面积是2800平方厘米，它的长是70厘米，宽是多少厘米？
　　分析：有关计算面积、体积的题目的等量关系，就是面积、体积的计算公式。这道题是长方形面积，根据长方形的面积计算公式，可以写出下面三个等式：
　　①长×宽=长方形面积；
　　②长方形面积÷长=宽；
　　③长方形面积÷宽=长。
　　如果设长方形的宽为x厘米，根据题意可列出方程：
　　70x=2800
　　总之，在找等量关系和列方程时，主要是以应用题的数量关系为基础，根据四则运算的意义列成等式。但是，方程解法与算术解法在解题思路上是不同的。算术解法，为了求出未知数，需要把已知数集中起来加以分析，找出未知数与已知数之间的关系，利用已知数与运算符号组成算式，通过计算求出未知数。而列方程解应用题呢，可以用字母表示未知数，例如x、y等，让未知数x和已知数处于同样地位，按照题目中三个数量的等量关系直接参加列式运算。有些在算术中需要“逆解”的题目，用方程解法往往比较容易。
　　（2）含有三个以上数量的应用题的等量关系和方程。
　　遇到含有三个以上数量的应用题，要认真审查题意，弄清题目所说的是怎么一回事，才能分析出已知数量同未知数量间的关系，列出方程。
　　例1：地球绕太阳一周要用365天，比水星绕太阳一周用的时间的4倍多13天。水星绕太阳一周要用多少天？
　　分析：由于列方程解应用题可以让未知数（x）和已知数处于同样地位，直接参加列式运算，我们可以把题目中叙述的条件适当变换一下说法。这道题可以说成：水星绕太阳一周所需时间（x）的4倍再加13天就等于365天。这样，可列出下面的方程：
　　4x＋13=365
　　这道题也可以说成：365天减去水星绕太阳一周所需时间（x）的4倍等于13天。这样，可列出下面的方程：
　　365-4x=13
　　这道题还可以说成：365天减去3天与水星绕太阳一周所需时间（x）的4倍相等。我们把未知数（x）写在等号左边，可列得方程：
　　4x=365-13
　　以上举出的三个不同形式的方程，都是解答这道应用题的方程，在解答这道题时，用哪一个都可以。
　　例2：学校买来5个篮球和7个排球共用去355元，已知每个篮球的价钱是36元，求每个排球的价钱是多少元？
　　分析：这道题，如果按照算术方法去解，是“逆解”的题目； 如果利用方程方法去解，根据题目里的已知条件，就比较容易找出等量关系。

　　已知每个篮球的价钱是36元，如果设每个排球的价钱为x元，那么可列出方程：
　　7x+36×5=355
　　例3：柳长堤小学五、六年级同学今年共植树150棵，六年级植的棵数是五年级的2倍。两个年级各植了多少棵？
　　分析：这道题是常见的一种典型应用题，通常叫“和倍问题”。如果用算术方法解，是有规律的。即：
　　两个数的和÷（倍数+1）=作为1倍的数
　　但是，用方程方法解，可以按照题目里叙述已知条件的顺序直接写出等量关系。

　　为了计算方便，我们常常把“可以作为1份（1倍）”的数设为x，在这道题里，设五年级植树棵数为x棵，那么六年级植树棵数为2x棵。列出方程为：
　　x+2x=150
　　例4：A、B两镇之间的公路长216千米，甲、乙两汽车同时从两镇相对开出，3小时后相遇。甲汽车每小时行38千米，乙汽车每小时行多少千米？
　　分析：甲、乙两辆汽车同时从两镇相对开出，3小时后相遇，这就说明了：甲汽车3小时行的路程+乙汽车3小时行的路程=两镇之间的公路长。设乙汽车每小时行x千米，可列出方程：
　　38×3+3x=216
　　这道题还可以按照下面的等量关系列出方程，即：两镇之间的公路长-乙汽车3小时行的路程=甲汽车3小时行的路程。可列出方程：
　　216-3x=38×3
　　甲、乙两汽车同时开出，相向而行，那么，每小时两辆汽车共走的路程是甲、乙两汽车速度之和。这样，又可以写出一种等量关系，即：甲、乙两汽车速度之和×时间=两镇之间的公路长。可列出方程：
　　（38＋x）×3=216
238．你会用方程解法解应用题吗？
　　举出几例，试用方程解答。
　　例1：四、五年级的学生种向日葵，五年级种的棵数是四年级种的棵数的3倍。又知五年级比四年级多种了90棵。两个年级各种了多少棵？
　　解：设四年级种了x棵，那么五年级种了3x棵。根据题意列出方程，得：
　　3x-x=90
　　2x=90
　　x=45（四年级种的棵数）
　　3x=3×45=135（五年级种的棵数）
　　答：四年级种了45棵，五年级种了135棵。
　　例2：李师傅计划加工150个零件，加工了8小时以后，还剩22个没有加工。求李师傅每小时加工多少个零件？
　　解：设每小时加工x个零件。根据题意列出方程，得：
　　150-8x=22
　　8x=150-22
　　8x=128
　　x=16
　　答：李师傅每小时加工16个零件。
　　这道题还可以列出其他形式的方程。如：8小时加工的零件数加上没有加工的22件，等于原计划加工的150个零件。即8x+22=150。或者，原计划加工的150个零件减去没有加工的22个，就是8小时加工的零件数。即8x=152-22。
　　例3：甲、乙、丙三个数的和是960，甲数是乙数的2倍，乙数是丙数的3倍。甲、乙、丙三个数各是多少？
　　解：设丙数为x，那么乙数为3x，甲数为6x。根据题意列出方程，得：
　　x+3x+6x=960
　　10x=960
　　x=96（丙数）
　　3x=3×96=288（乙数）
　　6x=6×96=576（甲数）
　　答：甲数是575，乙数是288，丙数是96。
　　例4：有一块梯形地，面积是79.2平方米，它的高是7.2米、上底是9.6米，下底是多少米？
　　解：因为，梯形面积=（上底+下底）×高÷2，设下底为x 米，根据梯形面积公式，列出方程，得：
　　（9.6+x）×7.2÷2=79.2
　　（9.6+x）×7.2=79.2×2
　　9.6+x=158.4÷7
　　x=22-9.6
　　x=12.4
　　答：下底是12．4米。
　　例5：学校计划修整操场，原计划每天修整96平方米，50天可以修完。实际上每天比原计划多修24平方米，照这样计算，可以提前几天修完？
　　解：设实际用x天修完，根据题意列出方程，得：
　　（96＋24）x=96×50
　　120x=4800
　　x=40
　　50-40=10（天）
　　答：可以提前10天修完。
　　在解答这道题时，设x表示实际用的天数，而没有按照题目的“问题”设x表示提前的天数。为什么没有设“x”表示提前的天数呢？如果这样设x的话，那么“实际用的天数”就得用（50-x）来表示。这样，所列方程将是如下形式：
　　（96＋24）×（50-x）=96×50
　　解这个方程，比解例题所列的方程麻烦得多。
　　因此，解题时要认真审查题意，弄清数量之间的关系，考虑好怎样设x，可以使所列的方程简便些。通常把例5设x的方法叫做“间接设元”。而例1到例4，是根据题目的“问题”设x的，也就是说，要求的是什么，就把所求的未知数设为“x”，通常把这种设x的方法叫做“直接设元”。


三、整数、小数四则应用题


122.我们经常遇到的用加法、减法解答的一步应用题有哪些？
　　1.用加法解答的一步应用题主要有以下几种情况。
　　（1）求两个数的和。这种情况的题目，根据日常生活中的实际情形，又可分为以下几种。
　　①在原数上添上一个数
　　例：铅笔盒里有3支铅笔，又放进去2支，现在共有几支铅笔？
　　3＋2=5（支）
　　②求两个数的和
　　例：小悦有3支铅笔，小鹏有2支铅笔，他们共有几支铅笔？
　　3＋2=5（支）
　　③求被减数
　　例：开学以来，小勇用了3支铅笔，还剩下2支，他原来有几支铅笔？
　　3＋2=5（支）
　　（2）求比一个数多几的数。这就是已知较小数与大、小两数之差求较大数。这也是用加法解答的一种简单应用题。
　　例：六年级学生栽了8棵柳树，后来又栽杨树，栽的杨树比柳树多4棵，栽了多少棵杨树？
　　8＋4=12（棵）
　　对于上例，可以适当改变已知条件的提法，成为下题的情况。
　　例：六年级学生栽了8棵柳树，后来又栽杨树，栽的柳树比杨树少4棵，栽了多少棵杨树？
　　8＋4=12（棵）
　　2.用减法解答的一步应用题主要有以下几种情况。
　　（1）求剩余。这种情况的题目，根据日常生活中的实际情形，又可分为以下几种。
　　①求剩余
　　例：粉笔盒里原有10支粉笔，用了4支，还剩几支？
　　10-4=6（支）
　　②求另一个加数
　　例：粉笔盒里有红粉笔和白粉笔共10支，其中有红粉笔4支，白粉笔有几支？
　　10-4=6（支）
　　③求减数
　　例：粉笔盒里原有10支粉笔，老师讲一节算术课之后，粉笔盒里还剩下4支粉笔，用了几支粉笔？
　　10-4=6（支）
　　（2）求两个数的差。这是比较两个数的大小，可以求出较大数比较小数多多少，或者求出较小数比较大数少多少。
　　例：五年级学生种了30棵向日葵，四年级学生种了20棵向日葵。五年级比四年级多种几棵？四年级比五年级少种几棵？
　　30-20=10（棵）
　　（3）求比一个数少几的数。这就是已知较大数与大、小两数的差求较小数。这也是用减法解答的简单应用题。
　　例：五年级学生种了30棵向日葵，四年级学生比五年级少种10棵，四年级学生种了多少棵向日葵？
　　30—10=20（棵）
　　总之，加法、减法简单应用题可以分为两组。
　　第一组两个单量同总数之间的关系：
　
　　
　　第二组比较两个数相差多少：
　
　　
123.我们经常遇到的用乘法、除法解答的一步应用题有那些？
　　1.用乘法解答的一步应用题主要有以下几种情况。
　　（1）求几个相同加数的和。根据乘法定义解答这种类型的乘法应用题。
　　例：校园里有3行梧桐树，每行12棵，共有梧桐树多少棵？
　　12×3=36（棵）
　　（2）求一个数的几倍是多少。根据“倍”的概念解答这种类型的乘法应用题。
　　例：四年级的图书角有故事书80册，五年级的图书角有故事书的册数是四年级的3倍。五年级有故事书多少册？
　　80×3=240（册）
　　2.用除法解答的一步应用题主要有以下几种情况。
　　（1）把一个数平均分成几份，求一份是多少。这是用除法解答的一种简单应用题。通常把这种除法应用题，叫等分问题。
　　例：学校买来18个小足球，平均分给6个班，每个班可以得到几个小足球？
　　18÷6=3（个）
　　（2）求一个数里包含几个另一个数。这是用除法解答的一种简单应用题。通常把这种除法应用题，叫包含问题。
　　例：学校买来18个小足球，每班给3个，可以分给几个班？
　　18÷3=6（个班）
　　（3）求一个数是另一个数的几倍。这是用除法解答的一种简单应用题。这种应用题是比较两个数（或量）之间的倍数关系。
　　例：两条水渠，第一条水渠长800米，第二条水渠长400米，第一条水渠的长度是第二条水渠的几倍？
　　800÷400=2（倍）
　　（4）已知一个数的几倍是多少，求这个数。这是用除法解答的一种简单应用题。通常把这种类型的应用题，叫做求一倍的数。
　　例：两条水渠，第一条水渠长800米，它是第二条水渠长度的2倍，求第二条水渠长多少米？
　　800÷2=400（米）
　　总之，乘法、除法简单应用题可以分为两组。
　　第一组相同加数、相同加数的个数同积之间的关系：

　　第二组两个数之间的倍数关系：

124.用综合法解题是怎样的思路？
　　综合法的解题思路，是从已知条件出发，根据数量关系，先选择两个已知数量，提出可以解的问题；然后把所求出的数量作为新的已知条件，与其他的已知条件搭配，再提出可以解的问题；这样逐步推导，直到求出应用题所要求的问题为止。
　　例：某服装厂计划做制服1030套。前5天每天做70套，改进工作方法后，每天可做85套。求改进工作方法后，还需要几天完成？
　　采用综合法，解题思路如下：
　　（1）前5天每天做70套，可以求出已经做的套数；
　　（2）计划做1030套和前5天已经做的套数，可以求出还要做的套数；
　　（3）还要做的套数及以后每天做85套，就可以求出还需要的天数。
　　用图表示如下：

125.用分析法解题是怎样的思路？
　　分析法的解题思路，是从应用题的问题入手，根据数量关系，找出解这个问题所需要的两个条件；然后把其中的一个（或两个）未知的条件作为要解的问题，再找出解这一个（或两个）问题所需要的条件；这样逐步逆推，直到所找的条件在应用题里都是已知的为止。
　　上述（124）例题，采用分析法，解题思路如下：
　　（1）要求出还要做的天数，就必须知道还要做制服的套数（未知的）和以后每天做的套数（85套）；
　　（2）要求出还要做制服的套数，就必须知道计划做的套数（1030套）和已经做的套数（未知的）；
　　（3）要求出已经做的套数，就必须知道已经做的天数（5天）和每天做的套数（70套）。
　　用图表示如下：

126.用综合法或分析法解题时要注意些什么？
　　综合法与分析法的解题思路是相反的。在解题过程中，分析和综合并不是孤立的，而是互相联系的。在解答应用题的时候，两种方法要协同运用。用分析法思考的时候要随时注意应用题的已知条件，也就是哪些已知条件搭配起来可以解决所求的问题，因此，可以说，分析中也有综合。用综合法思考的时候，要随时注意应用题的问题，为了解决所提的问题需要哪些已知条件，因此，综合中也有分析。在解题过程中，两种方法结合使用为好。
127.什么叫做文字式题？
　　用文字表达数与数之间的运算关系的题目，通常叫做文字式题。例如，29乘以5的积，加上540除以9的商，和是多少？列出算式： 29×5＋ 540÷9=？又如，160加上 48乘以3的积，再减去174，差是多少？列出算式：160＋480×3--174=？文字式题也叫文字叙述题。
128.怎样分清增加、增加了、增加到、增加几倍等概念？
　　（1）增加：在原有的基础上加多少，叫做增加。例如，书架上原来有故事书 90本，后来又增加 40本，现在一共有多少本？又如，学校科技小组原有组员 26人，后来又增加 6人，现在共有组员多少人？
　　（2）增加了：比原有的数多了的部分。例如，图书馆原有科技书540本，现在有科技书650本，增加了110本。又如，学校原有小足球18个，现在共有小足球24个，增加了6个。
　　（3）增加到：在原有的基础上增加了一部分之后，所达到的结果。也就是说，原有的数加上增加的数，得出增加到的数。即：
　　原有的数+ 增加的数=增加到的数
　　（4）增加几倍：比原来的数多了几倍。比如，比原数增加 2倍，那么增加后的数就是原数的 3 倍；如果比原数增加n倍，那么增加后的数就是原数的（n＋1）倍。
　　用图表示：
　
129.怎样分清减少、减少了、减少到等概念？
　　（1）减少：从原有的数里去掉一部分，叫做减少。例如，去年种大白菜140亩，今年减少20亩，今年种大白菜120亩。又如：在建筑工地上，原计划安排30人运土，后来减少6人，由24人运土。
　　（2）减少了：比原有的数减少了的部分。例如，第一车间制造一种机器零件，上个月出废品7件，这个月出废品4件，减少了3件。又如，学校锅炉房上个月烧煤1100千克，这个月烧煤950千克，减少了150千克。
　　（3）减少到：从原有的数里减少一部分之后，所得的结果。也就是说，原有的数减去减少的数，得出减少到的数。即：
　　原有的数-减少的数=减少到的数
130.怎样理解扩大、扩大了、扩大到等概念？
　　（1）扩大：在原来的基础上扩展、扩充或放大，叫做扩大。在小学数学教材中，扩大常与“倍”联系起来使用。例如，某数扩大5倍，它的结果就是某数乘以5。如果汽车的时速一定，路程扩大3倍，所用的时间也扩大相同的倍数。
　　（2）扩大了：某数扩大了几倍，指的是扩大了的那一部分相当于原来某数的几倍。例如，学校小操场的面积原来有120平方米，现在又扩大了2倍，这就是说扩大了的面积是240平方米，加上原有的面积共是360平方米。
　　（3）扩大到：扩大到几倍，指的是某数（或量）扩大之后的结果相当于原数（或量）的几倍。例如，学校小操场的面积原来有120平方米，现在扩大到3倍，现在的面积就是（120×3=）360平方米了。
131.怎样理解缩小、缩小了、缩小到等概念？
　　（1）缩小：在原来的基础上由大变小，叫做缩小。在小学数学教材中，缩小常与“倍”联系起来使用。例如，某数缩小4倍，就是某数除以4。如果汽车的时速一定，路程缩小3倍，所用的时间也缩小相同的倍数。
　　（2）缩小了：缩小了几分之几，指的是缩小了的部分相当于原数的几分之几。例如，学校小花园的面积原来有40平方米，现在缩小了五分之二，

　　（3）缩小到：缩小到几分之几，指的是缩小后的结果相当于原数的几分之几。例如，学校小花园的面积原来有40平方米，现在缩小到原来面积的

　　注意：“某数缩小到三分之一’与“某数缩小三倍”是同样的含义。
132.图解法在解题过程中的作用是什么？
　　由于图形直观，用图来表示已知和所求，有助于思考，易于引出解题的线索。画图，是个手段，目的是培养学生学会思考问题。我们的着眼点不能停留在画图上，而着眼于提高学生分析问题的能力。
　　乌克兰有一位教育家，名叫瓦·阿·苏霍姆林斯基（1918--1970），他在数学教学中，要求学生“把应用题画出来”。具体地说，就是在练习本上，从中间分成两半，左边一半用来解答习题，而右边的一半则用来以直观的、示意的办法把应用题画成图解的样子。他的用意，就在于保证学生由具体思维向抽象思维过渡。他曾经说过：“如果哪一个学生学会了‘画’应用题，我就可以有把握地说，他一定能学会解应用题。”
　　学生学会了用图解法解答应用题以后，需要时就能手脑并用，借助操作和直观发现解题方法。
　　画图的形式可以灵活多样。如枝形图（也叫分析图）、线段图、点子图、几何图形等等。要根据题目内容选定画图的形式，只要能够正确表示出数量间的关系就可以了。
　　画图，要准确简明。所谓准确，就是准确地表示出原题的已知和所求；所谓简明，就是简单明了，便于观察思考。画图的过程，正是分析题意理解题意的过程，也正是探索解题方法的过程。
　　总之，培养学生画图能力，是提高学生分析问题和解决问题能力的重要一环。教学时，既要着眼于能够使学生解答现在所学习的应用题，又要着眼于将来能够解答更难一些的题目。培养学生画图能力，要有所安排，并且坚持不懈。
133.为什么说“掌握简单应用题的解法是解答复合应用题的基础”？
　　在学习简单应用题过程中，可以理解加、减、乘、除法的意义以及这些法则在实际中的应用。同时，简单应用题是组成复合应用题的因素，几个有联系的简单应用题组合在一起，就构成了复合应用题。
　　通过解答简单应用题，逐步理解数量之间的关系。从解题的角度来讲，数量之间的关系是确定算法的依据。理解数量之间的关系，主要目的是能够把数量之间的关系同加、减、乘、除的法则联系起来，遇到简单应用题能够正确选择算法，并且正确计算出来。
　　在解答复合应用题的过程中是分解成几个简单应用题来解的，所以说，掌握简单应用题的解法是解答复合应用题的基础。下面，我们解答两道复合应用题，可以看出简单应用题同复合应用题的关系。
　　例1：柳林坨乡修一条长3600米的水渠，原计划30天完成。实际修筑时，每天比原计划多修了30米。求修完这条水渠实际用了多少天？
　　解：（1）原计划每天修多少米？
　　3600÷30=120（米）（工作总量÷时间=工作效率）
　　（2）实际修筑时，每天修多少米？
　　120＋30=150（米）（已知较小数与差，求较大数）
　　（3）实际上用了多少天？
　　3600÷150=24（天）（工作总量÷工作效率=时间）
　　答：修完这条水渠实际用了24天。
　　这道复合应用题，是用三步计算解答的，也就是由三个简单应用题组合而成的。这三个简单应用题是：
　　（1）把一个数平均分成几份，求一份是多少的除法题。
　　（2）求比一个数多几的数的加法题。
　　（3）求一个数里有几个另一个数的除法题。
　　例2：某农具厂原计划每月生产农具250部，技术革新后，9个月的产量比原计划全年的产量还超过150部，求技术革新后平均每月生产多少部？
　　解：（1）原计划全年生产农具多少部？
　　250×12=3000（部）（工作效率×时间=工作总量）
　　（2）技术革新后，9个月共生产多少部？
　　3000＋150=3150（部）（已知较小数与差，求较大数）
　　（3）技术革新后，平均每月生产多少部？
　　3150÷9=350（部）（工作总量÷时间=工作效率）
　　答：技术革新后，平均每月生产350部。
　　这道复合应用题，也是由三个简单应用题组合而成的。这三个简单应用题是：
　　（1）求几个相同加数的和的乘法题。
　　（2）求比一个数多几的数的加法题。
　　（3）把一个数平均分成几份，求一份是多少的除法题。
　　通过以上两例，可以看出，解答复合应用题的过程中是分解成几个简单应用题来解的。这些简单应用题，在实际生活中是经常遇到的，确实是组成复合应用题的因素。也可以把简单应用题看做是基本概念题。因此，学生对于简单应用题应熟练掌握。
134.常说“学会解答两步的应用题是解答多步应用题的关键”，这是怎么一回事呢？
　　两步应用题，它的结构是给出一个直接条件，一个间接条件，还有一个与条件有关的问题。因为其中有一个间接条件，因此，分析时比解答一步应用题要难得多。同一步应用题相比，不仅仅是在解答层次上多了一步，事实上，它同一步应用题隔着一级高高的台阶，要跨大步才能迈得上去。
　　学习解答两步应用题是解答复合应用题的开始，是由一步应用题过渡到三步、四步等较复杂的应用题的桥梁，是非常关键的一个阶段。正如老师们所说的：一步应用题是基础，两步应用题是关键。
　　教学两步应用题，应注意以下两点：
　　（1）使学生认识两步应用题的结构
　　由一步应用题向两步应用题过渡时应使学生弄清楚什么是“间接条件”，间接条件与直接条件的关系，间接条件与问题之间的关系，从而理解两步应用题的结构。
　　例如，一步应用题是：大牛20头，小牛5头，大牛、小牛共有多少头？
　　根据这个题目，教师可以进行启发引导：这道题的两个条件，如果“小牛5头”这个条件不直接给出来，而根据“大牛20头”的关系给出来，应该怎样改编一下这道题呢？
　　学生的思想很活跃，举手争先发言。
　　学生甲：大牛20头，小牛比大牛少15头，大牛、小牛共有多少头？
　　20+（20-15）=25（头）
　　学生乙：大牛20头，大牛比小牛多15头，大牛、小牛共有多少头？
　　20+（20-15）=25（头）
　　学生丙：大牛20头，大牛的头数是小牛的4倍，大牛、小牛共有多少头？
　　20+20÷4=25（头）
　　学生丁：大牛20头，小牛的头数是大牛的四分之一，大牛、小牛共有多少头？
　　20+20÷4=25（头）
　　学生改编的条件都正确。这是在原来的一步应用题的基础上不受任何限制地改编其中的一个条件。不难看出，学生对于两步应用题的结构有了初步的认识。
　　间接条件（也叫隐蔽的条件），是构成两步应用题的重要因素，学会找出间接条件是解答两步应用题的重要一环。
　　（2）根据问题找条件，锻炼学生分析问题的能力。
　　一般情况下，凡遇到“求剩下多少”的时候，必然要找出“原有多少”和“用去多少”，也就是要找出被减数和减数。凡遇到“求平均每小组多少人”的时候，必然要找出“共有多少人”和“分为几个小组”，也就是要找出被除数和除数。这种训练，实际上是培养学生用分析法解答应用题的思路训练。
　　上课时，可以提出一些问题，让学生答出需要的条件。例如：（1）应该找回多少钱？（需要答出：总价是多少，一共给了多少钱？这是一个减法题）
　　（2）两条水渠共长多少米？（需要答出：第一条水渠长多少米？第二条水渠长多少米？这是一个加法题）
　　（3）实际上比原计划提前几天完成？（需要答出：原计划多少天完成？实际上用了多少天？这是一个减法题）
　　（4）平均每个班能借多少本书？（需要答出：共有书多少本？共有几个班？这是一个除法题）
　　这样的训练很重要。可以使学生认识到：特定的问题，必定具备与之相应的条件。提出的条件，可以是直接的，当然也可以是间接的。
　　如果看到所求的问题就能联想到相应的条件，这样训练的目的是为了提高学生分析数量关系的能力。也可以说是培养学生解题能力的一环。
135.怎样解答算术平均数问题？
　　在日常生活中经常需要求“算术平均数”的问题。例如，小麦专业队承包的小麦平均亩产量是318千克，可以看出产量的高低；松林仓小学已统计出三年级学生的身高平均为142厘米，体重平均37.2千克，可以说明学生体质的状况。又如：四年级学生期末考试，数学平均87.4分，语文平均84.5分，说明这个年级学生的学习成绩较好。总之，计算出平均数来，可以说明产量的高低，身体发育的好坏，学习成绩的优劣等。可见，掌握求平均数的方法是非常必要的。
　　求算术平均数的时候，必须具备两个条件：①被均分事物的总量，②要分的总份数。计算时，总量除以相应的总份数，得出“算术平均数”。反之，平均数乘以总份数，得出总量。
　　总数量÷总份数=算术平均数
　　例1：四年级体育小组的学生测量身高，其中3个学生的身高都是146厘米，两个学生的身高都是145厘米，有一个学生身高149厘米，还有一个学生身高152厘米，求这个小组学生的平均身高是多少厘米？
　　分析：为了求出这个小组学生的平均身高是多少厘米，应该先求出这个小组学生身高的总厘米数及这个小组学生的总人数。总厘米数除以总人数得出平均身高的厘米数。
　　计算：
　　（146×3+145×2+149+152）÷（3+2+1+1）
　　=（438+290+149+152）÷7
　　=1029÷7=147（厘米）
　　答：这个小组学生的平均身高是147厘米。
　　例2：农业科学试验小组有两块小麦试验田，一块田是22亩，平均亩产小麦452千克，另一块田是18亩，平均亩产小麦372千克。求这两块试验田平均亩产小麦多少千克？
　　分析：为了求出这两块试验田的平均亩产量，应该先求出两块试验田共产小麦多少千克
　　计算：
　　（452×22＋372×18）÷（22+18）
　　=（9944＋6696）÷40
　　＝16640÷40
　　=416（千克）
　　答：平均亩产416千克。
　　注意：求这两块试验田的平均亩产量时，一定要先求出这两块试验田小麦的总产量及这两块田的总亩数。假如把这两块试验田的各自的平均亩产量加在一起，然后除以2，这样计算行不行呢？不行。因为这两块试验田的亩数不一样，一块是22亩，另一块是18亩，不能一对一地相加。真要是这样计算的话，那将得出错误的答案。即（452＋372）÷2=824÷2=412（千克）。
　　例3：甲、乙、丙三个学生各拿出同样多的钱合买同样规格的练习本。买来以后，甲和乙都比丙多要6本，于是，甲、乙分别给丙人民币0.72元。求每本练习本的价格是多少？
　　分析：既然是拿出同样多的钱就应该各自分得同样多的练习本。实际上呢，甲和乙都比丙多要6本，一共多要了（6×2=）12本。如果甲和乙都不多要，这12本也均分的话，平均每人应分得（12÷3=）4本。可见，甲应退给丙2本，乙也应退给丙2本就可以了。可是都没有退给练习本，而是甲、乙分别退给丙0.72元。可见，这0.72元是2本练习本的价钱。
　　计算：
　　0.72÷（6-6×2÷3）
　　=0.72÷（6-4）
　　=0.72÷2=0.36（元）
　　答：每本练习本的价格是0.36元。
136.怎样解答归一问题？
　　归一，指的是解题思路。一般情况下，在解答过程中常常是先找出“单一的量”，找出“单一的量”之后，以它为标准，再根据其他条件求出结果。所谓“单一的量”，是指单位时间的工作量，单位时间所走的路程，单位面积的产量，每辆车的载重量以及物品的单价等。
　　例1：7辆同样的大卡车运沙土，6趟共运走沙土336吨。现有沙土440吨，要求5趟运完，求需要增加同样的卡车多少辆？
　　分析：为了求出需要增加同样的卡车多少辆，可以先求出一共需要卡车多少辆。为了求出需要多少辆卡车，应该知道所运沙土的任务及每辆卡车的载重量。已知所运沙土的任务是440吨。因此，先要求出每辆卡车的载重量。
　　计算：
　　（1）1辆卡车1次能运沙土几吨？
　　336÷6÷7=56÷7=8（吨）
　　（2）需要增加同样的卡车几辆？
　　440÷5÷8-7
　　=88÷8-7
　　=11-7=4（辆）
　　答：需要增加同样的卡车4辆。
　　例2：3台同样的拖拉机4小时耕地84亩，照这样计算，5台拖拉机7小时能耕地多少亩？
　　计算：
　　84÷3÷4×5×7
　　=7×5×7
　　=245（亩）
　　答：5台拖拉机7小时耕地245亩。
　　例3：100千克花生可以榨油36千克，现在有花生7500千克，可以榨油多少千克？
　　分析：这道题也可以用“归一法”解答。但是1千克花生能榨油0.36千克，当小学生还没有学到“小数”、“分数”的时候，可以更换一种思路--倍比法，来解这类的题目。也就是先求出7500千克相当于100千克的多少倍。
　　计算：
　　36×（7500÷100）
　　=36×75……7500千克是100千克的75倍。
　　=2700（千克）
　　答：可以榨油2700千克。
137.怎样解答归总问题？
　　归总，指的是解题思路。一般情况下，在解答过程中，常常是先找出“总数量”。找出“总数量”之后，再根据其他条件，求出结果。所谓“总数量”，指的是总路程、总产量、工作总量以及物品的总价等等。
　　例1：一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行48千米，5小时可以到达。如果要求4小时到达，每小时需要行多少千米？
　　分析：根据题意，从甲地到乙地的路程是一定的。先求出总路程，再根据其他条件，求出结果。
　　计算：
　　48×5÷4
　　=240÷4
　　=60（千米）
　　答：每小时需要行60千米。
　　例2：大松沟农场用播种机播种，每天每部播种35亩，原计划用3部播种机10天完成任务。为了加快进度，再增加2部播种机，可以比原计划提前几天完成？
　　分析：根据题意可知，这个农场播种的总任务是一定的。为了加快进度，增加播种机，在工作效率不变的情况下，一定可以提前完成任务。
　　计算：
　　10-[35×3×10÷（3＋2）÷35]
　　=10-[1050÷5÷35]
　　=10-6=4（天）
　　答：比原计划提前4天完成任务。
138.相遇问题与追及问题指的是什么？怎样解答这类问题？
　　行路方面的相遇问题，基本特征是两个运动的物体同时或不同时由两地出发相向而行，在途中相遇。基本关系如下：
　　相遇时间=总路程÷（甲速+乙速）
　　总路程=（甲速+乙速）×相遇时间
　　甲、乙速度的和-已知速度=另一个速度
　　相遇问题的题材可以是行路方面的，也可以是共同工作方面的。由于已知条件的不同，有些题目是求相遇需要的时间，有些题目是求两地之间的路程，还有些题目是求另一速度的。相应地，共同工作的问题，有的求完成任务需要的时间，有的求工作总量，还有的求另一个工作效率的。
　　追及问题主要研究同向追及问题。同向追及问题的特征是两131 个运动物体同时不同地（或同地不同时）出发作同向运动。在后面的，行进速度要快些，在前面的，行进速度要慢些，在一定时间之内，后面的追上前面的物体。在日常生活中，落在后面的想追赶前面的情况，是经常遇到的。基本关系如下：
　　追及所需时间=前后相隔路程÷（快速-慢速）
　　有关同向追及问题，在行路方面有这种情况，相应地，在生产上也有这种情况。
　　例1：甲、乙两地相距710千米，货车和客车同时从两地相对开出，已知客车每小时行55千米，6小时后两车仍然相距20千米。求货车的速度？
　　分析：货车和客车同时从两地相对开出，6小时后两车仍然相距20千米，从710千米中减去20千米，就是两车6小时所行的路。又已知客车每小时行55千米，货车的速度即可求得。
　　计算：
　　（710-20）÷6-55
　　=690÷6-55
　　=115-55=60（千米）
　　答：货车时速为60千米。
　　例2：铁道工程队计划挖通全长200米的山洞，甲队从山的一侧平均每天掘进1.2米，乙队从山的另一侧平均每天掘进1.3米，两队同时开挖，需要多少天挖通这个山洞？
　　计算：
　　200÷（1.2+1.3）
　　=200÷2.5
　　=80（天）
　　答：需要80天挖通这个山洞。
　　例3：甲、乙两个学生从学校到少年活动中心去，甲每分钟走60米，乙每分钟走50米。乙走了4分钟后，甲才开始走。甲要走多少分钟才能追上乙？
　　分析：“乙走了4分钟后，甲才开始走”，说明甲动身的时候，乙已经距学校（50×4=）200米了。甲每分钟比乙多走（60-50=）10米。这样，即可求出甲追上乙所需时间。
　　计算：
　　50×4÷（60-50）
　　=200÷10
　　=20（分钟）
　　答：甲要走20分钟才能追上乙。
　　例4：张、李二人分别从A、B两地同时相向而行，张每小时行5千米，李每小时行4千米，两人第一次相遇后继续向前走，当张走到B地，立即按原路原速度返回。李走到A地也立即按原路原速度返回。二人从开始走到第二次相遇时走了4小时。求A、B两地相距多少千米？
　　分析：先画出线段图。

　　从图中可以看到，张、李两人从开始走到第二次相遇，他们所走的路程之和，应是A、B两地距离的3倍。这一点是解答这道题的关键所在。
　　计算：
　　（5＋4）×4÷3
　　=9×4÷3
　　=36÷3=12（千米）
　　答：A，B两地相距12千米
139.植树问题有什么特点？解答时要注意些什么？
　　有关种树以及与种树相似的一类应用题叫做植树问题。植树问题通常有两种形式。一种是在不封闭的路线上植树，另一种是在封闭的路线上植树。经常遇到的数量有：总距离、间隔长及棵数。
　　如果在不封闭的路线上植树，并且首、尾都植的话，也就是两端都要栽1棵。其关系式如下：
　　①总距离÷间隔长+1=棵数
　　②间隔长×（棵数-1）=总距离
　　③总距离÷（棵数-1）=间隔长
　　每两棵树之间的间隔，也可以称作一段。间隔的长度称作间隔长。
　　如果按照周围栽树（沿着圆形水池或方形场地等），也就是在封闭的路线上植树，那么棵数与间隔数（段数）相等。
　　例1：龙泉大道全长1380米，计划在路的两旁每隔12米栽一棵树，两端都栽。共栽树多少棵？
　　分析：按照直线栽树时，一般是两端都栽，树的棵数比间隔数多1。如同自己的5个手指一样，5个手指，有4个间隔。
　　解答这道题时，可以先求出大道一旁所栽树的棵数，随之，即可求出两旁共栽树的棵数了。
　　计算：
　　（1380÷12＋1）×2
　　=（115+1）×2
　　=116×2=232（棵）
　　答：共栽树232棵。
　　例2：花园村小学举行秋季运动会，在圆形跑道的周围安排检查员。周长500米，每隔25米安排一名检查员。求应安排检查员多少名？
　　分析：已知运动场的跑道是圆形的，在周围安排检查员人数同段数相等。
　　计算：500÷25=20（名）
　　答：应安排检查员20名。
　　例3：河津路的一侧原有木质电线杆86根，每相邻的两根相距42米。现在计划全都换成大型水泥电线杆，每相邻的两根相距70米。求需要大型水泥电线杆多少根？
　　分析：为了求出需要大型水泥电线杆的根数，应该求出这条路的全长。已知这条路的一侧原有木质电线杆86根，每相邻的两根相距42米，根据这两个条件，可以求出这条街的全长。但是要注意，间隔数比电线杆的根数少1。
　　求出这条路的全长之后，再根据水泥电线杆每相邻的两根之间相距70米的条件，即可求出需要大型水泥电线杆的根数。
　　计算：
　　（1）这条路全长多少米？
　　42×（86-1）=3570（米）
　　（2）需要大型水泥电线杆多少根？
　　3570÷70+1=52（根）
　　答：需要大型水泥电线杆52根。
140.盈亏问题有什么特点？怎样分析这类问题？
　　盈是多余的意思，亏是不足的意思。平时在分物品时或者安排其他工作时，经常会遇到多余或是不足的情况，可以根据多余以及不足的数量引出解题的线索。这类应用题通常叫做盈亏问题。
　　例1：一个植树小组去栽树，如果每人栽3棵，还剩下15棵树苗；如果每人栽5棵，就缺少9棵树苗。求这个小组有多少人？一共有多少棵树苗？
　　分析：已知如果每人栽3棵，还剩下15棵树苗，也就是说还有15棵树苗没有栽上，树苗余下了；又知如果每人栽5棵，就缺少9棵树苗，这就是说，树苗不够了。按照第一种方案去栽，树苗余下了，若按照第二种方案去栽，树苗不足了。一个是余下一个是不足，这两个方案之间相差多少棵呢？相差（15＋9=）24棵，也就是说，如果按照第二种方案去栽的话，可以比第一种方案多栽24棵树。为什么能多栽24棵树呢？因为每个人多栽（5-3=）2棵。
　　由于每一个人多栽2棵树，一共多栽24棵树，即“2棵树”对应于“1个人”。这样，小组的人数可以求得。随之，树苗的棵数也可以求得。
　　计算：（1）小组的人数：
　　（15＋9）÷（5-3）
　　=24÷2
　　=12（人）
　　（2）树苗的棵数：
　　3×12+15=51（棵）
　　答：这个小组有12人，一共有51棵树苗。
　　在解题时，常常要找两个“差”。一个是总棵数之差，即第一种方案同第二种方案所栽树苗的总差数；另一个是单量之差，即每个人所栽树苗的差。有了这两个差即可求出结果。因此，这种解题的思路也可以称作“根据两个差求未知数”。
　　例2：悦悦每天早晨7点30分从家出发上学去，如果每分钟走45米，则迟到4分钟到校；如果每分钟走75米，则可以提前4分钟到校。求从家出发需要走多少分钟才能准时到校？悦悦的家离学校有多少米？
　　分析：已知如果悦悦每分钟走45米，则迟到4分钟，这就是说，按照规定到校的时刻来说，还距离学校有（45×4=）180米的路；又知如果每分钟走75米，则可以提前4分钟到校，这就是说，到校之后还可以多走出（75×4=）300米的路。这样，一个慢一个快，在同样时间之内，速度快要比速度慢多走出（180+300=）480米的路。又知每分钟多走（75-45=）30米。总之，由于每分钟多走30米，一共多走出480米；因此，从家到学校所需要的时间就可以求出来了，随之，悦悦的家距离学校的米数也可以求出来了。
　　计算：
　　（1）准时到校需要多少分钟？
　　（45×4+75×4）÷（75-45）
　　=480÷30
　　=16（分钟）
　　（2）悦悦家与学校距离多少米？
　　45×16+45×4
　　=720+180
　　=900（米）
　　答：准时到校需要16分钟，悦悦家离学校900米。
　　例3：晶晶读一本故事书，原计划若干天读完。如果每天读11页，可以比原计划提前2天读完；如果每天读13页，可以比原计划提前4天读完。求原计划多少天读完？这本书共有多少页？
　　分析：已知如果每天读11页，可以比原计划提前2天读完，这就是说，如果继续读2天的话，还可以多读（11×2=）22页；又知如果每天读13页，可以比原计划提前4天读完，这就是说，如果继续读4天的话，还可以多读（13×4=）52页。两种情况，虽然都可以多读，但是它们之间有差别。就是说，在一定的日期之内，第二种方法比第一种方法多读（52-22=）30页。为什么能多读30页呢？就是因为每天多读（13-11=）2页。由于每天多读2页，结果一共可以多读30页。这是多少天读的呢，问题不就解决了吗！
　　计算：（1）原计划多少天读完这本书？
　　（13×4-11×2）÷（13-11）
　　=（52-22）÷2
　　=30÷2=15（天）
　　（2）这本书共有多少页？
　　11×（15-2）
　　=11×13=143（页）
　　答：这本书共143页，原计划15天读完。
141.怎样解答和倍问题？
　　和倍问题是已知两个数量的和及它们之间的倍数关系，求这两个数量各是多少的应用题。解答的时候，要以其中的一个数量作为标准，也就是把它看作是一份的数，再根据已知的倍数关系，就可以知道另一个数量占几份。如果是整数倍关系，就把较小的数看作是一份的数为好。
　　例1：果园里有苹果树和梨树共360棵，苹果树的棵数是梨树的3倍。求苹果树、梨树各多少棵？
　　分析：苹果树的棵数是梨树的3倍，如果把梨树的棵数看作1份，那么苹果树的棵数就是3份，两种树的棵数共是（1+3）份。又知两种树共360棵，这就可以先求出每1份的棵数，也就是梨树的棵数。然后求出苹果树的棵数。
　　计算：（1）梨树；360÷（1＋3）
　　=360÷4=90（棵）
　　（2）苹果树：90×3=270（棵）
　　答：苹果树270棵，梨树90棵。
　　例2：五年级两个班学生共种向日葵265棵，其中甲班种向日葵比乙班种的2倍还多25棵。求甲班、乙班各种多少棵？

　　分析：这道题比一般的“和倍问题”的条件有一些变化，即“甲班种的向日葵比乙班种的2倍还多25棵”。假如把这25棵暂时减去，则甲班种的向日葵就恰好是乙班的2倍。
　　计算：（1）乙班种了多少棵？
　　（265-25）÷（2+1）
　　=240÷3
　　=80（棵）
　　（2）甲班种了多少棵？
　　80×2+25=185（棵）
　　答：甲班种了185棵，乙班种了80棵。
　　例3：两箱茶叶共66千克，如果从甲箱取出9千克放入乙箱，则乙箱茶叶的重量是甲箱的2倍。求两箱原来各有茶叶多少千克？
　　分析：不管是从甲箱取出茶叶放入乙箱，还是从乙箱取出茶叶放入甲箱，总之，两箱茶叶的总重量是不变的，仍是66千克。这里可以运用假定的方法，假定已经从甲箱取出9千克放入乙箱了，我们可以把原来的题目说成是：两箱茶叶共66千克，乙箱茶叶的重量是甲箱的2倍，求甲、乙两箱茶叶各多少千克？然后，再求两箱原有茶叶各多少千克？
　　计算：（1）从甲箱取出9千克放入乙箱后，甲箱还有茶叶多少千克？
　　66÷（2+1）=22（千克）
　　（2）甲箱原有茶叶多少千克？
　　22＋9=31（千克）
　　（3）乙箱原有茶叶多少千克？
　　66—31=35（千克）
　　答：甲箱原有茶叶31千克，乙箱原有茶叶35千克。
　　解答和倍问题的关系式如下：
　　总和÷（倍数+1）=较小的数
　　较小的数×倍数=较大的数　或总和-较小的数=较大的数
142.怎样解答差倍问题？
　　差倍问题是已知两个数量的差及它们之间的倍数关系，求这两个数量各是多少的应用题。如果两个数量之间是整数倍关系，还是把较小的那个数量看作是一份为好。解答这类问题时，要注意两个数量的差相当于较小数的几倍。举例如下：
　　（1）如果甲数是乙数的3倍，那么甲、乙两数的差是乙数的（3-1）倍。

　　（2）如果甲数是乙数的5倍，那么甲、乙两数的差是乙数的（5-1）倍。

　　（3）如果甲数是乙数的10倍，那么甲、乙两数的差是乙数的（10-1）倍。
　　解答差倍问题的关系式如下：
　　两数之差÷（倍数-1）=较小的数
　　较小的数×倍数=较大的数
　　或较小的数+两数之差=较大的数
　　例1：六（1）班与六（2）班原有图书的本数一样多，后来，六（1）班又买来新书100本，六（2）班从本班原有书中取出180本送给三年级同学。这时，六（1）班的图书是六（2）班所剩图书的3倍。求两班原有图书各多少本？
　　分析：原来两个班的图书本数一样多，后来，六（1）班买进100本，六（2）班送出180本，这时，两个班相差280本。又知，这时六（1）班的图书是六（2）班所剩图书的3倍，则两班图书的相差数应是六（2）班所剩图书的（3—1）倍，这样，六（2）所剩图书的本数即可求得。随之，原有图书本数也可以求出来了。

　　计算：（1）六（2）班所剩图书多少本？
　　（180＋100）÷（3—1）
　　=280÷2=140（本）
　　（2）两个班原有图书各多少本？
　　140＋180=320（本）
　　答：两个班原有图书各320本。
　　例2：第一粮仓存的小麦比第二粮仓多96吨。后来，从两仓各运出小麦30吨，所余小麦第一仓恰是第二仓的3倍。两仓原来各存小麦多少吨？
　　分析：已知第一粮仓存的小麦比第二粮仓多96吨。又知从两仓各运出小麦30吨，因为运走的是相同的数量，所以，两仓原存小麦的差不变，仍是96吨。
　　运出相同数量的小麦之后，所余小麦第一仓是第二仓的3倍，那么，第一仓比第二仓所多的小麦应该是第二仓余下小麦的（3-1）倍。于是，第二仓余下的小麦吨数即可求得。再加上运出的30吨，就是第二仓原存小麦的吨数。

　　计算：（1）第二仓余下小麦多少吨？
　　96÷（3－1）=48（吨）
　　（2）第二仓原存小麦多少吨？
　　48+30=78（吨）
　　（3）第一仓原存小麦多少吨？
　　78+96=174（吨）
　　答：第一仓原存小麦174吨，第二仓原存小麦78吨。
　　例3：大水池里现在有水880立方米，小水池里现在有水200立方米。计划往两水池里注入同样多的水，使大水池的水量是小水池水量的3倍。求两水池各应注入多少立方米的水？
　　分析：已知“计划往两水池里注入同样多的水，使大水池的水量是小水池水量的3倍”，既然是注入同样多的水，那么原来两水池里的水量之差是不变的。我们可以运用“假定”的思想，假定已经注水完毕，大水池里的水量恰是小水池水量的3倍了，那么大水池比小水池所多的水应该是注水以后小水池水量的（3-1）倍。这样，就可以求出注水以后小水池里的水量了。随之，即可求出注入的水量。

　　计算：（1）注入水以后小水池的水量是多少？
　　（880-200）÷（3-1）
　　=680÷2
　　=340（立方米）
　　（2）注入的水量是多少？
　　340-200=140（立方米）
　　答：两水池各应注入140立方米的水。
143.怎样解答和差问题？
　　和差问题是已知两个数的和及它们的差求这两个数各是多少的应用题。解答的时候，可以把所求的某一个数做为标准。如果把较小的数做为标准，那么，从较大的数里减去两数的差，剩下的数就同较小的数相等。也就是从总和减去两个数的差，剩下的数恰好是较小数的2倍，问题可得到解答。如果把较大的数做为标准，那么，给较小的数加上两个数的差，它就同较大的数相等。也就是两数之和加上两个数的差，得出来的数恰好是较大数的2倍，问题可得到解答。
　　解答和差问题的关系式如下：
　　（和--差）÷2=较小的数
　　（和+差）÷2=较大的数
　　例1：把336分为两个数，使两个数的和是这两个数之差的7倍，求所分成的两个数各是多少？
　　分析：已知这两数的和是336，又知这336是两数之差的7倍，于是可以求出这个“差”来。根据两个数的和与差可以求出这两个数各是多少。
　　计算：（1）两数之差是多少？
　　336÷7＝48
　　（2）较小的数是多少？
　　（336-48）÷2=144
　　（3）较大的数是多少？
　　（336+48）÷2=192
　　或者， 336—144=192
　　或者， 144＋48=192
　　答：较小数是114，较大数是192。
　　例2：甲、乙两筐苹果共65千克。从甲筐里取出6千克放到乙筐里去，结果甲筐的苹果还比乙筐的苹果多3千克，求两筐原有苹果各多少千克？
　　分析：根据已知条件，使我们知道甲、乙两筐苹果的总重量没有变化，仍然是65千克。又知从甲筐取出6千克放到乙筐里去，如果这时两筐苹果相等的话，那么可以知道甲筐一定比乙筐多12千克。但是，仍未相等，甲筐还比乙筐多3千克，可知甲筐的苹果比乙筐的苹果多15千克。这样，我们知道了两个数的和与差，按照解答“和差问题”的思路可以求出两个数各是多少。

　　计算：（1）甲筐原有的苹果比乙筐多多少千克？
　　6×2＋3=15（千克）
　　（2）乙筐原有苹果多少千克？
　　（65--15）÷2=25（千克）
　　（3）甲筐原有苹果多少千克？
　　（65+15）÷2=40（千克）
　　答：乙筐原有苹果25千克，甲筐原有苹果40千克。
144.怎样解答连续数问题？
　　顺次差为1的几个整数叫连续数。如： 5， 6， 7， 8， 9， 10；顺次差为2的几个偶数叫连续偶数。如： 2，4， 6， 8， 10；顺次差为 2的几个奇数叫连续奇数。如：1，3，5，7，9。
　　在算术中，已知几个连续数的和，求这几个连续数各是多少的应用题叫做连续数问题。解答这类问题时，因为连续数顺次的差是1，若从连续数的第二个较大数起顺次加上1，2，3，…，则这几个数就都变成了最大的数，因此，总和加上1+2+3＋…（加数个数比
　　连续数的个数少1个），再用连续数的个数去除，就得到这几个连续数中最大的数；同理，总和减去（1＋2＋3＋…），再除以连续数的个数，就得到这几个连续数中最小的数。
　　例1：9个连续数的和是72，求各数。
　　计算：[72＋（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8）]÷9
　　=[72+36]÷9
　　＝108÷9
　　=12……最大的数
　　连续数的各数是： 4，5，6，7，8，9，10，11，12例2：6个连续偶数的和为126，求各偶数。
　　计算：[126-（2+4＋6＋8+10）]÷6
　　=[126-30]÷6
　　=96÷6
　　=16……最小的数
　　连续偶数的各数是：16，18，20，22，24，26。
145.顺流而下与逆流而上问题指的是什么？怎样解答这类问题？
　　顺流而下与逆流而上问题通常称为流水问题，流水问题属于行程问题，仍然利用速度、时间、路程三者之间的关系进行解答。解答时要注意各种速度的涵义及它们之间的关系。
　　船在静水中行驶，单位时间内所走的距离叫做划行速度或叫做划力；顺水行船的速度叫顺流速度；逆水行船的速度叫做逆流速度；船放中流，不靠动力顺水而行，单位时间内走的距离叫做水流速度。各种速度的关系如下：
　　（1）划行速度+水流速度=顺流速度
　　（2）划行速度-水流速度=逆流速度
　　（3）（顺流速度+ 逆流速度）÷2=划行速度
　　（4）（顺流速度-逆流速度）÷2=水流速度
　　例1：两个码头相距144千米，一艘客轮顺水行完全程需要6小时，已知这条河的水流速为每小时3千米。求这艘客轮逆水行完全程需要几小时？
　　分析：流水问题的数量关系仍然是速度、时间与距离之间的关系。即：速度×时间=距离；距离÷速度=时间；距离÷时间=速度。但是，河水是流动的，这就有顺流、逆流的区别。在计算时，要把各种速度之间的关系弄清楚是非常必要的。这道题求的是逆行所需要的时间，如果能找出逆水行船的速度，问题可得到解决。
　　计算：（1）顺流每小时行多少千米？
　　144÷6=24（千米）
　　（2）逆流每小时行多少千米？
　　24-3-3=18（千米）
　　（3）逆水行完全程需要几小时？
　　144÷18= 8（小时）
　　答：逆水行完全程需要8小时。
　　例2：一条大河，主航道的水流速为每小时10千米，沿岸边的水流速为每小时6千米。一条船从兴塘码头出发，在主航道上顺流而下， 5小时行驶180千米。求这条船沿岸边返回原地，需要多少小时？
　　分析：沿岸边返回原地，指的是逆水上行，求需要行驶的时间。已知行驶的路程为180千米，只需求出逆流速度就可以了。
　　计算：（1）顺流速度：
　　180÷5=36（千米）
　　（2）沿岸边逆流速度：
　　36-10-6=20（千米）
　　（3）沿岸边返回原地所需时间：
　　180÷20=9（小时）
　　答：沿岸边返回原地需要9小时。
　　例3：甲、乙两个码头相距270千米，一艘货轮从乙码头逆水而上，行驶18小时到达甲码头。又知这艘货轮在静水中每小时能行驶21千米。求这艘货轮从甲码头顺流驶回乙码头需要多少小时？（假定装载货物的重量来去相同）
　　分析：求的顺流行完全程需要的时间，而全程为270千米，只要求出顺流速度就可以了。根据已知条件可以求出逆流速度，还可以求出水流速度，于是，顺流速度即可求出。
　　计算：（1）这艘货轮逆水行驶的速度：
　　270÷18=15（千米）
　　（2）这条河的水流速度：
　　21-15=6（千米）
　　（3）顺水行驶的速度：
　　21＋6=27（千米）
　　（4）顺流驶回乙码头所需时间：
　　270÷27=10（小时）
　　答：顺流驶回乙码头需要10小时。
146.列车过桥与通过隧道问题指的是什么？怎样解答这类问题？
　　列车过桥与通过隧道问题属于行程问题，仍然利用速度、时间、路程三者之间的关系进行解答。但是，这类应用题有它自身的特点，计算时要注意到列车车身的长度。
　　例1：一列客车全长224米，每秒行驶24米，要经过长880米的大桥，求全车通过这座大桥需要多少秒钟？
　　分析：所谓“全车通过这座大桥”，指的是从车头上桥算起到车尾离桥为止。这样说来，应把桥长加上车身长作为全距离。解答时，为了便于理解，可以把车尾作为标准点，从这个标准点开始算起，到这个标准点高桥为止，这是全车通过这座桥所行驶路程的全长。

　　计算：（880＋224）÷24
　　=1104÷24
　　=46（秒）
　　答：全车通过大桥需要46秒钟。
　　例2：一列货车全长280米，每秒钟行驶20米，全车通过一条隧道需要57秒钟。求这条隧道长多少米？
　　分析：已知这列货车每秒钟行驶20米，全车通过一条隧道需要57秒钟。知道了行驶速度及行驶的时间，就可以求出行驶的路程。但是，这个路程的长度包含着隧道长与车身长。
　　计算：（1）这列货车57秒钟行驶了多少米？
　　20×57=1140（米）
　　（2）这条隧道长多少米？
　　1140—280=860（米）
　　答：这条隧道长860米。
　　例3：一列客车通过616米长的大桥需要38秒钟，用同样速度穿过910米长的隧道需要52秒钟。求这列客车的速度及车身的长度各多少米？
　　分析：已知这列客车通过大桥用了38秒钟，这38秒钟行驶的距离是桥长加上车身长；又知这列客车用同样速度穿过隧道用了52秒钟，这52秒钟行驶的距离是隧道长加上车身长。把这两组条件列出来，便于引出解答的线索。
　　大桥616米+车身长----用38秒
　　隧道910米+车身长---用52秒
　　通过列出来的两组条件，可以看出所用的时间相差（52-38=）14秒，所行驶的路程相差（910-616=）294米，这就是说，这列客车用14秒钟行驶了294米。这列客车的速度可以求出来了。随之，车身的长度也可以求得。
　　计算：（1）这列客车每秒能行驶多少米？
　　（910-616）÷（52-38）
　　=294÷14=21（米）
　　（2）这列客车的车身长多少米？
　　21×38-616
　　=798-616=182（米）
　　答：这列客车每秒能行驶21米，车身长182米。
147.逆运算问题有什么特点？怎样解答这类问题？
　　逆运算问题是根据题意的叙述顺序由后向前逆推计算。解答这类问题的要点在于“还原”，在计算过程中常采用相反的运算，也就是：原题加了的，逆推时应为减；原题减了的，逆推时应为加；原题乘了的，逆推时应为除；原题除了的，逆推时应为乘。这种解题的方法通常叫做“逆推法”，有关这类的应用题通常叫做“逆运算问题”，也有叫做“还原问题”的。
　　例1：一个小学生把“一个数除以3.7”的题，误算为除以7.3，结果得出18.5，求这个题的正确得数应是多少？
　　分析：已知这个小学生把原数误除以7.3，结果得出18.5，根据这个条件，可以把原数求出来，求出原数之后，再除以3.7，得出正确的结果。
　　计算：（1）原来的那个数是多少？
　　18.5×7.3=135.05
　　（2）正确得数应是多少？
　　135.05÷3.7＝36.5
　　答：正确的得数应该是36.5。
　　例2：一位农民到农贸市场卖鸡蛋。第一次卖出他的全部鸡蛋的一半零8个，第二次卖出余下鸡蛋的一半零9个，第三次卖出再余下的一半零10个，恰好卖完。求这位农民带来鸡蛋多少个？
　　分析：解答这道题，我们采用逆推的思考方法。

　　“卖出一半零10个，恰好卖完”的含义是什么？不管什么物品，卖出去一半，自然还剩一半，这里说的是“卖出一半零10个”，“零10个”是属于另一半里边的，又说“恰好卖完”，这就是说另一半就是10个。
　　计算：（1）第二次卖完之后剩下多少个鸡蛋？
　　10×2=20（个）
　　（2）第一次卖完之后剩下多少个鸡蛋？
　　（20＋9）×2=58（个）
　　（3）原有多少个鸡蛋？
　　（58＋8）×2=132（个）
　　答：这位农民带来132个鸡蛋。
148.怎样运用比较法分析应用题？
　　比较法是分析应用题的一种思考方法。解答时的思想要点是：把已知条件进行比较，发现其中的差别，找到解题的途径。通常把这种解题的方法叫做比较法。
　　例1：学校第一次买来15个凳子与6把椅子共付318元；第二次买来同样的凳子8个与同样的椅子6把共付234元。求凳子与椅子的单价。
　　分析：摆出条件，进行比较：
　　（第一次） 15个凳子 6把椅子共 318元
　　（第二次） 8个凳子 6把椅子共 234元
　　比较两次购物的情况，可以看出，第二次比第一次少买7个凳子，少付出（318-234=）84元。由此可以求出凳子的单价，随之，椅子的单价也可求得。
　　计算：（1）凳子的单价：
　　（318-234）÷（15-8）
　　＝84÷7=12（元）
　　（2）椅子的单价：
　　（234－12×8）÷6
　　＝138÷6＝23（元）
　　答：凳子的单价12元，椅子的单价23元。
　　例2：学校食堂，第一次买来大米30千克及豆油8千克总价57.8元；第二次买来同样的大米25千克及豆油4千克总价35.9元。求大米、豆油每千克各多少元？
　　分析：摆出条件，进行比较：
　　（第一次）大米30千克+豆油8千克---57.8元
　　（第二次）大米25千克+豆油4千克----35.9元
　　由于两次所买的大米数量不同，所买的豆油数量也不同。应设法使某一种物品的数量相同，这样便于比较。
　　把第二次所购物品及所付钱数乘以2，使两次所购的豆油数量相同，然后进行比较。
　　（第一次）大米30千克+豆油8千克----57.8元
　　（第二次）大米50千克+豆油8千克----71.8元
　　计算：（1）大米每千克多少元？
　　（71.8-57.8）÷（50-30）
　　=14÷20=0.7（元）
　　（2）豆油每千克多少元？
　　（57.8-0.7×30）÷8
　　=（57.8-21）÷8=4.6（元）
　　答：大米每千克0.7元，豆油每千克4.6元。
149.怎样从不同的角度和不同的侧面去分析应用题的数量关系？
　　有些应用题，如果按照原来题意进行分析，有时会感到数量关系复杂、抽象，解答起来比较困难。假如改变一种方式进行思考的话，就可以转变为另一种数量关系形式。或者改变思考的角度，转化成另外一种问题，也就是通常所说的转化的思考方法。
　　改变思考角度的方法是一种思路灵活的思考方法。掌握了这种思考方法，就可以用多种方法解答同一问题，就能从不同的角度和不同的侧面去分析应用题中的数量关系，这对理解数量关系和提高思维能力都是有益的。
　　例1：加工一批零件，如果每小时加工35个，可比原计划时间提前1小时完成；如果每小时加工42个，可比原计划时间提前4小时完成。求这批零件共有多少个？
　　思考方法一：前者提前一小时完成，后者提前4小时完成，后者比前者提前（4-1）小时完成。也就是说，当后者完成任务时，前者还要工作3小时才能完成任务。这3小时能做多少个零件呢？能做（35×3=）105个。也可以说，在相同时间内，快者比慢者能够多做出105个零件。又知快者比慢者每小时多做（42－35=）7个，那么，多少小时多做出105个呢？时间求出来了，这批零件的总数即可求得。
　　计算：（1）在相同时间内快者比慢者多做多少个？
　　35×3=105（个）
　　（2）快者完成任务的时间是几小时？
　　105÷（42-35）=15（小时）
　　（3）这批零件共多少个？
　　42×15=630（个）
　　答：这批零件共630个。
　　思考方法二：我们可以从比的角度进行分析。因为前后两种工作效率的比为35∶42=5∶6，那么加工同样个数的零件所需时间的比为6∶5。也就是说，若前者用的时间为6份，那么，后者所用的时间为5份。前者用的时间比后者多1份。根据已知，这1份就是3小时，可见，前者用的时间为18小时，后者用的时间为15小时。求出了工作时间，又知道工作效率，即可求出工作总量。
　　计算：（1）慢者完成任务所需的时间是几小时？
　　（4-1）÷（6-5）×6=18（小时）
　　（2）这批零件共多少个？
　　35×18=630（个）
　　答：这批零件共630个。
　　思考方法三：我们还可以再换一个角度进行分析。每小时加工零件

　　小时，又知，加工同样个数的零件，慢者比快者共多用3小时，这就可以求出加工零件的总数。
　　计算：（1）加工每个零件的时间慢者比快者要多用几小时？

　　（2）这批零件共多少个？

　　答：这批零件共630个。
　　采用不同角度，对数量关系进行分析，可以开阔解题思路。从以上几种解法可以看出，改变思考角度的方法，是解答应用题的重要思维方法。也是重要的解题思路。
　　例2：甲、乙两车分别从A、B两地同时相对开出，经3小时相遇，相遇后各自仍继续前行，又经2小时，甲车到达B地，乙车离A地还有75千米。求A、B两地间相距多少千米？

　　思考方法一：从图中可以看出，甲车2小时走的路，乙车3小时走完，那么甲车1小时走的路，乙车1.5小时走完。于是，甲车3小时走的路，乙车要4.5小时走完。相遇后，甲车又行2小时到达B地，当甲车到达B地时，乙车距A地还有75千米，这75千米，乙车还要走2.5小时。乙车的时速可以求出，于是，A、B两地间的距离即可求得。
　　计算：（1）乙车每小时能行驶多少千米？
　　75÷（1.5×3-2）
　　=75÷2.5=30（千米）
　　（2） A、B两地间的距离是多少千米？
　　30×（3＋4.5）
　　=30×7.5=225（千米）
　　答：A、B两地间相距225千米。
　　思考方法二：从比的角度进行分析，相遇后，甲用2小时走完了乙用3小时走的路，可知，甲、乙时速的比为3∶2，也就是乙的速度相当于甲的是75千米，于是，全路程即可求得。
　　计算：（1）甲乙两车速度的比为3∶2。
　　　
　　（3） A、B两地间的距离：
　　
　　答：A、B两地间相距225千米。
　　思考方法三：已知甲乙两车3小时相遇。可见甲乙两车每小时行完全程
　　
　　
　　米，全程即可求得。
　　计算：（1）乙车每小时行驶全程的几分之几？

　　（2）乙车5小时行驶全程的几分之几？

　　（3） A、B两地间的距离是多少千米？

　　答：A、B两地间相距225千米。
150.怎样运用矩形图示法解答应用题？
　　矩形图示法是应用矩形图表示题目的已知和所求，是帮助我们寻找解题线索的好办法。根据题意画出矩形，可以用矩形的长表示一种量，用矩形的宽表示另一种量，矩形的面积表示这两种量的积。通过矩形图可以把抽象的数量关系变得具体形象，便于寻找解题线索。
　　例1：园园买回0.36元一本和0.28元一本的两种练习本共20本，共用去6.32元。求买回来的两种练习本各多少本？
　　分析：对于这道题可以用假定的方法进行解答。这里，我们运用矩形图示法分析这道题。
　　先画出矩形图，把矩形的长作为练习本的总数，宽作为练习本的单价（作为价钱贵的练习本的单价）。这个图的长表示20本，宽表示每本的单价0.36元；而0.28元可以用宽的一部分表示，0.08元是0.36元与0.28元的差。然后观察图形进行分析：假如这20本练习本都是0.36元一本的，那么总值应该用整个矩形面积表示，而实际的总钱数为6.32元，即矩形面积中的阴影部分。空白部分呢，是假定的总钱数与实际的总钱数的差。利用这个差以及两种练习本的单价之差，就可以求出单价0.28元的练习本的本数。随之，0.36元的练习本的本数也可以求出。

　　计算：（1）假定这20本练习本都是0.36元一本的，总值应是多少元？
　　0.36×20=7.2（元）
　　（2）比实际的总钱数多多少钱？
　　7.2--6.32=0.88（元）
　　（3）每本练习本相差多少钱？
　　0.36-0.28=0.08（元）
　　（4）每本0.28元的练习本多少本？
　　0.88÷0.08=11（本）
　　（5）每本0.36元的练习本多少本？
　　20-11=9（本）
　　例2：第一建筑工程公司建造甲、乙、丙三种不同规格的住房30单元，乙种住房的单元数是丙种住房的2倍。出租时，甲种每单元每月收租金20元，乙种每单元每月收租金16元，丙种每单元每月收租金11元。这三种住房每月租金总数为481元。求三种住房各多少单元？
　　分析：这道题，可以用假定的方法进行解答，也可以运用矩形图示法解答。
　　先画出矩形图。把矩形的长作为住房的单元数，矩形的宽作为每单元每月的租金数。注意乙种住房的单元数是丙种住房的2倍。把租金总数用颜色笔描出，然后观察图形，进行分析。

　　假如这30个单元都是甲种住房的话，那么每月房租总数应该用整个矩形面积表示，而实际每月租金总数为481元，即矩形面积中的阴影部分。空白部分是假定的租金总数与实际租金总数的差，利用这个差以及各种单元房之间租金数的差，就可以求出各种住房的单元数。
　　计算：（1）假定30单元都是甲种住房，每月租金总数应是多少元？
　　20×30=600（元）
　　（2）实际租金总数比600元少多少元？
　　600-481＝119（元）
　　（3）丙种住房有多少单元？　
119÷[（20-16）×2+（20-11）]
　　＝119÷[8+9]
　　=7（单元）
　　（4）乙种住房有多少单元？
　　7×2=14（单元）
　　（5）甲种住房有多少单元？
　　30-7-14=9（单元）
　　答：甲、乙、丙三种住房分别为9单元、14单元及7单元。
151.怎样进行一题多编？
　　采用一题多编的办法，要目的明确，要有针对性，有计划有安排，不能为了多编而多编。下面举例说明。
　　（1）为了锻练逆思考的能力，我们可以把顺解的题目改编成逆思考的题目。
　　例1：三年级学生要栽40棵树，已经栽了25棵，还要栽多少棵？
　　这是顺解的题目。列式：
　　40-25=15（棵）
　　例2：三年级学生已经栽了25棵树，还要栽多少棵，就够40棵了？
　　遇到这个题，常常会这样想：25棵加上多少棵等于40棵呢？然后，反过来想：从40棵里去掉25棵就是所求的数了。这是逆思考题目。列式：
　　40-25=15（棵）
　　例3：三年级学生栽了25棵树，加上四年级学生栽的，一共是40棵。求四年级学生栽了多少棵？
　　这道题是已知两个数的和及其中一个加数求另一个加数的运算，是逆思考的题目。列式仍然是：
　　40-25=15（棵）。
　　（2）为了弄清数量之间的关系，进一步理解某些数学概念，提高解题能力而编的一组题目。
　　例1：六（1）班有男生24人，女生比男生少4人，女生有多少人？
　　这道题知道了较大数，又知道较小数比较大数所少的数，求较小数，用减法计算。列式：24-4＝20（人）
　　例2：六（1）班有男生24人，比女生多4人。女生有多少人？
　　这道题仍然是已知较大数，求的是较小数，应该用减法计算。列式：24-4=20（人）
　　但是这道题里有“比……多”这样的话，容易使我们想到加法。这就需要我们把数量关系弄清楚，特别要弄清“谁比谁多”。不要受个别词语的影响。
　　例3：六（1）班有女生20人，男生比女生多4人，男生有多少人？
　　这道题知道了较小数，又知道较大数比较小数所多的数，求较大数，用加法计算。列式：
　　20＋4=24（人）
　　例4：六（1）班有女生20人，比男生少4人，男生有多少人？
　　这道题仍然是已知较小数，求较大数，应该用加法计算。列式：
　　20＋4=24（人）
　　但是这道题里有“比……少”这样的话，容易使我们想到减法。一定要弄清楚“谁比谁少”，说的是较小数比较大数所少的数，而求的是较大数，当然要用加法计算。
　　（3）为了把零散知识串起来，使知识系统化。下面举出一组分数乘、除法应用题的例子，可以使学生形成认知结构，并且进一步认识“部分与整体”之间的关系，提高解题能力。
　　例1：计划修一条20千米长的路，已经修了15千米，完成了百分之几？

　　例2：计划修一条20千米长的路，已经修了75％，修了多少千米？
　　20×75％=15（千米）
　　例3：计划修一条路，已经修了15千米，恰是全长的75％。这条路全长多少千米？
　　15÷75％=20（千米）
　　例4：计划修一条20千米长的路，已经修了75％，还剩多少千米没有修？
　　20×（1-75％）=5（千米）
　　例5：计划修一条路，已经修了75％，还剩5千米没有修，求这条路全长多少千米？
　　5÷（1-75％）=20（千米）
152.对于一道题，你能从不同的角度，寻求不同的解法吗？
　　有些应用题，可以从不同的角度去分析，采用不同的解答方法，这样练习，可以提高我们解题的能力，还能激发我们学习数学的兴趣。下面试举几例。
　　例1：工人王师傅改造了工具，缩短了制造某种零件的时间，过去制做一个零件要用20分钟，现在只用8分钟。过去每天能制做24个零件，现在每天能制做多少个？（过去和现在每天的工作时间相同）
　　解法一：
　　所求的是现在每天能制做多少个零件，应该知道每天工作时间有多长及制做一个零件所需的时间。现在制做一个零件的时间只需8分钟，这是已知的。于是，再求出每天工作的时间就可以了。根据过去制做零件的情况可以知道：制做一个零件用20分钟，每天能制24个。
　　计算：（1）每天工作的时间：
　　20×24=480（分钟）
　　（2）现在每天能制做零件的个数：
　　480÷8=60（个）
　　答：现在每天能制做零件60个。
　　解法二：
　　过去制做一个零件要20分钟，而现在只需8分钟，过去制做一个零件的时间，现在可以做（20÷8=）2.5个，过去1天能制做24个，现在1天能制做零件的个数即可求得。
　　计算：（1）过去制做一个零件的时间，现在可以制做几个？
　　20÷8=2.5（个）
　　（2）现在每天能制做多少个？
　　2.5×24=60（个）
　　答：（同上）。
　　解法三：
　　从生产效率方面来考虑，过去制做1个零件需要20分钟，那么每分钟能制做（1÷20=）0.05个；现在制做1个零件只需8分钟，那么每分钟能制做（1÷8=）0.125个。过去1天能制做24个零件需要多少时间，需要（24÷0.05＝）480分钟；现在，在这480分钟之内，可以制做的零件数，就是所求。
　　计算：（1）过去，每分钟能制做多少个零件？
　　1÷20=0.05（个）
　　（2）现在，每分钟能制做多少个零件？
　　1÷8=0.125（个）
　　（3）过去，每天制做24个零件，需要多少分钟？
　　24÷0.05=480（分钟）
　　（4）现在，每天工作480分钟，可以制做多少个？
　　0.125×480=60（个）
　　答：（同上）。
　　解法四：
　　求出过去每天制做24个零件需要480分钟之后，再求出480分钟包含多少个8分钟，所得的数即所求。
　　计算：（1）过去，每分钟能制做多少个零件？
　　1÷20=0.05（个）
　　（2）过去，每天制做24个零件，需要多少分钟？
　　24÷0.05=480（分钟）
　　（3）现在，每天工作480分钟，可以制做多少个？
　　480÷8＝60（个）
　　例2：一列快车和一列慢车，同时从南北两站相对开出，3小时后，两车共行的路程与剩下的路程的比是3∶2。已知快车每小时行60千米，慢车每小时行48千米。求南北两站相距多少千米？
　　解法一：
　　分析：已经知道了快车的时速和慢车的时速，还知道了行驶的时间，这样，两车共行的路程可求得。再根据3与2之比，又可以求出剩下的路程。于是，全路程的千米数也可以求出来了。
　　计算：（1）3小时，两车共行多少千米。
　　（60+48）×3=324（千米）
　　（2）剩下的路程是多少千米？
　　324÷3×2=216（千米）
　　（3）南北两站相距多少千米？
　　324+216=540（千米）
　　答：南北两站相距540千米。
　　解法二：
　　分析：用比例方法解。已知两车共行的路程与剩下的路程的比是3∶2，可求出两车共行的路程与全程的比是3∶（3+2），根据这样的比，可以求出全程的千米数。
　　计算：（1） 3小时，两车共行多少千米？
　　（60＋48）×3=324（千米）
　　（2）两车共行的路程与全路程的比。
　　3∶（3＋2）=3∶5
　　（3）南北两站相距多少千米？
　3∶5=324∶x

　　　　　　x=540……全程千米数。
　　答：（同上）。
　　解法三：
　　分析：既然两车共行的路程与剩下的路程的比是3∶2，那么剩下的路程还可以行几小时呢？用比例方法可以求出。这样，行完全程用的时间也可以求出来了。
　　计算：（1）剩下的路程还可以行几小时？
　　3∶2=3（小时）∶x
　　x=2（小时）
　　（2）两车行完全程用几小时？
　　3＋2=5（小时）
　　（3）南北两站相距多少千米？
　　（60＋48）×5=108×5=540（千米）
　　答：（同上）
　　例3：制鞋厂的两个车间，共同生产一批旅游鞋。甲车间每天能生产这
务，
求甲车间每天生产多少双？
　　解法一：

　　游鞋的总数可以求出。随之，甲车间每天生产多少双也可以求出来了。
　　计算：
　　（1）甲车间12天生产这批任务的几分之几？

　　（2）乙车间12天生产多少双？
　　45×12=540（双）
　　（3）这批鞋的任务共是多少双？

　　（4）甲车间每天生产多少双？

　　答：甲车间每天生产30双。
　　解法二：
　　分析：已知甲乙两车间共同生产12天完成了任务，那么平均每天完成这
任务
的几分之几可以求得。问题得到解答了。
　　计算：
　　（1）乙车间每天完成这批任务的几分之几？

　　（2）这批任务是多少？
　
　　（3）甲车间每天能生产多少双？

　　答：（同上）。
　　解法三：
　　分析：先求出乙车间每天的工作量相当于这批任务的几分之几
　　　
　　
　　计算：
　　（1）乙车间每天完成这批任务的几分之几？

　　（2）甲车间每天的工作量相当于乙车间每天工作量的几分之几？

　　（3）甲车间每天生产多少双？

　　答：（同上）。


十、几何初步知识 (?http:?/??/?218.22.166.105:8080?/?RESOURCE?/?XX?/?XXSX?/?SXBL?/?BL000024?/?6126_SR.HTM" \t "_blank?)

279．什么叫做几何学和几何图形？
　　几何学是数学的一门分科，它是研究物体的形状、大小和相互位置关系的科学，也就是研究现实客观世界空间形式和数量关系的一门科学。
　　在我们的周围世界里，各种物体都具有形状、大小和相互之间的位置关系。例如：课桌的桌面是长方形的，魔方的每个面是正方形的，各种车轮的形状是圆的。魔方有大小之分，魔方的面的大小也是不一样的；汽车有大小，自行车也有大小，同样是车轮，大小也不相同。还应该看到，物体与物体之间，有着相互位置关系。例如：上下关系、前后关系和左右关系等。
　　公元前338年，希腊数学家欧几里得总结了劳动人民在实践中获得的几何知识，并加以系统整理，按照图形在平面或空间的形式，在几何学中分出了“平面几何”和“立体几何”两个分支。
　　由于几何学是研究物体的形状、大小和相互位置关系的科学，根据研究结果加以抽象概括，便产生了几何图形。几何图形是由点、线、面结合而成的，也是点、线、面的集合。一个图形所有的点，都在同一平面内，这样的图形叫做“平面几何图形”，如长方形、正方形、三角形、梯形和圆等图形，都是平面几何图形。如果一个图形的点不全在同一平面内，这个图形就叫做“立体几何图形”，如长方体、圆柱体和圆锥体等图形，都属于立体几何图形。
280．什么叫做点、线、面、体？
　　点：在平面上只有位置，没有大小（即没有长、宽、高），不可分割的。线和线相交于一个点。也可以理解为“点”是“线”的界限。

　　在几何中，用大写字母表示点。如，图中的A点、B点、C点。
　　线：如果两个面相交，就会交出一条线来。也就是面和面相交于线。一张纸对折起来的痕迹就是“线”。也可以理解为“线”是“面”的界限。
　　线有直线和曲线等。如：长方体相邻的两个面相交于一条线（也就是长方体的一条棱），就是直线。圆柱体的侧面和一个底面相交的一条线，就是曲线。
　　线只是面与面相交的界限，它没有大小（即粗细），只有长短，或者说，线只有长，而没有宽和高。
　　面：任何物体都占一定的空间，都是用它的表面和周围分割开来。因此，可以说“体”是由“面”围成的。如：课本的封面、黑板的面、粉笔的截面、水桶的侧面和底面等都是“面”。也可以理解为“面”是“体”的界限。
　　由于面是物体的表面，如果放弃物体的本身，只单独想象物体的表面，这样的面就是几何的面。几何里的面是没有厚度的（即：高），所以，面只有长和宽，而没有高。
　　体：当我们只研究一个物体的形状、大小而不研究它的其它性质（如颜色、重量、硬度等）的时候，我们就把这个物体叫做几何体，简称“体”。例如：一块砖与一个和砖完全一样的纸盒，虽然它们的颜色、重量、硬度以及制作材料都不同，只要它们的形状、大小都相同，就可以认为它们是完全相等的两个几何体。就上述的砖和纸盒来说，它们是两个相同的长方体。
281．直线、射线和线段有什么不同？
　　直线、射线和线段是易于混淆的三个概念，它们之间也是有联系的，直线是基础，射线和线段是直线概念的发展。它们也是有区别的，这是它们之间的主要方面。
　　首先看直线，一点在空间沿着一定方向和相反方向运动，所成的图形就是直线。一张纸的折痕、双手拉紧的线，都给人以直线的形象。我们把直线看作可以向两方无限延伸的，直线是无头无尾的，即是没有端点的。
　　直线可以用表示它上面任意两点的两个大写字母来表示。例如，直线AB，或直线BA；也可以用一个小写字母表示一条直线。例如，直线l（如下图）。

　　经过一点，可以画无数多条直线，但是,经过两点却只能画出一条直线，这就是直线的基本性质。
　　除此之外，两条直线相交，只有一个交点。
　　其次看射线，在直线上某一点一旁的部分叫做射线。这一点叫做射线的端点。射线的另一端是可以无限延伸的，因此，没有端点。射线只有一个端点；是一条半直线。类似探照灯光和手电筒所射出的光线，都可以看作射线的实际例子。
　　射线通常用表示它的端点和射线上另外一点的两个大写字母来表示，并且把表示端点的字母写在前面。例如，以点O为端点的射线，可以在射线上再取一点A，记作：射线OA（如图）。

　　最后再看线段，直线上任意两点间的部分叫做线段。具有一定长度的拉直了的细绳，可看作线段的实际例子。线段是有长短的，因此可以进行度量。
　　线段通常用表示它的两个端点的大写字母来表示。例如，线段AB，或者线段BA。也可以用一个小写字母表示。例如，线段a（如下图）。

　　在连结两点的所有线中，线段最短。这就是线段的基本性质。
282．什么叫做“角”？
　　几何中所指的“角”的定义是：从一点画出的两条射线所组成的图形，叫做“角”。这里所说的点（即两条射线的端点），叫做角的“顶点”，构成角的两条射线，叫做角的“边”。
　　角的大小与两边的长短无关，只与角两边的相互位置关系有关。这一点，在初学时很容易混淆，必须引起注意。
　　角用符号“∠”来表示。
　　如：

　　从图2中可以看到：角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而成的。
　　一个角一般有以下三种表示方法：
　　（1）用“∠”与三个大写字母表示角。
　　如：

　　图3中的角记作：∠AOB；
　　图4中的角记作：∠BOC，∠AOB，∠AOC。
　　（2）用“∠”与一个大写字母表示角。
　　这里所指的一个大写字母，应该是角顶上的字母。而且这种用一个大写字母表示角的方法，只适用于单个的角。如图3，用∠O来表示，如果是具有共同顶点的两个或两个以上的角时，则不能用这种方法来表示角。如图4，如果用∠O来表示，就表述不清到底∠O表示哪个角。
　　（3）用“∠”与一个小写希腊字母或一个数字表示角。
　　例如：下图中的角分别记作：∠1、∠2、∠α、∠β。

283．几何中的角可分为哪几种？
　　（1）周角：一条射线绕着它的端点，按逆时针方向旋转，转到这条射线回到它的原来的位置时，就形成了一个周角。
　　如图

　　图中的OA绕它的端点O．按逆时针方向旋转，转到这条射线又回来的位置，形成了一个周角。一个周角等于360°，一个周角是一个平角的2倍。
　　（2）平角：一条射线绕着它的端点，按逆时针方向旋转，转到和原来位置成为一条直线，这时所成的角，叫做平角。
　　如图

　　图中的射线OA绕它的端点O，按逆时针方向旋转，转到射线OB的位置上（射线OA与射线OB构成一条直线），形成一个平角。
　　一个平角等于180度，记作180°。
　　（3）优角：一个大于平角又小于周角的角，叫做优角。优角在小学数学教材中没有出现，但在教学中常常遇到学生提出这样的问题：比周角小又比平角大的角叫什么角？ 181°的角是什么角等等。
　　如图

　　优角大于180°，小于360°。
　　（4）直角：等于平角一半的角，叫做直角。
　　如图

　　直角通常记作“RT∠”。直角的大小通常用d来表示，这样，平角等于2d，周角等于4d。
　　（5）钝角：一个比平角小又比直角大的角叫做钝角。
　　如图

　　钝角的度数大于90°，小于180°。
　　（6）锐角：小于直角的角叫做锐角。
　　如图

　　锐角小于90°。
　　（7）余角：当两个锐角∠AOB与∠BOC之和等于一个直角∠AOC时，其中一个角∠BOC叫做另一个角∠AOB的余角。这两个角叫做互为余角。
　　如图

　　（8）邻角：当两个角有一个公共的顶点，有一条公共的边， 这两个角另外两条边在公共边的两侧，这两个角叫做互为邻角。
　　如图

　　图中的OC是∠AOC与∠COB的公共边，∠AOC是∠COB的邻角；∠BOC也是∠COA的邻角。
　　（9）补角：两个角的和等于平角，这两个角叫做互为补角。也就是说，其中任一个角是另一个角的补角。
　　如图

　　图中的∠1是∠2的补角，∠2是∠1的补角，或者说，∠1与∠2互为补角。
　　（10）对顶角：把一个角的两边分别向相反方向延长，这两条延长线所夹的角，叫做原角的对顶角。
　　如图

　　图中的∠AOD与∠BOC、∠AOB与∠DOC；
　　两对顶角是相等的。图中的∠AOD=∠BOC；∠AOB＝∠DOC；。
　　（11）三线八角：
　　两条直线被第三条直线所截，所得的
　　八个角，叫做三线八角。

　　图中的l1、l2、l3 和∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6、∠7、∠8就是三线八角。按上述
　　八个角的相互位置，给以下列不同名称：
　　①同位角：当形成三线八角时，如果有两个角分别在两条直线的同一方，并且在第三条直线的同一旁，这样的一对角，叫做同位角。
　　如图中的∠1与∠5、∠2与∠6、∠4与∠8、∠3与∠7都是同位角。
　　②内错角：如果两个角都在两直线的内侧，并且在第三条直线的两侧，那么这样的一对角叫做内错角。
　　图中的∠6与∠6、∠4与∠5都是内错角。
　　③外错角：如果两个角都在两直线的外侧，并且在第三条直线的两侧，那么这样的一对角叫做外错角。
　　图中的∠1与∠8、∠2与∠7都是外错角。
　　④同旁内角：如果有两个角都在两条直线的内侧，并且在第三条直线的同旁，那么这样的一对角，叫做同旁内角。
　　图中的∠3与∠5、∠4与∠6都是同旁内角。
　　⑤同旁外角：如果有两个角都在两条直线的外侧，并且在第三条直线的同旁，那么这样的一对角，叫做同旁外角。
　　图中的∠1与∠7、∠2与∠8都是同旁外角。
284．垂直和垂线有什么不同？
　　垂直和垂线是两个不同的概念。垂直的含义是：两条直线相交成直角，这两条直线叫做互相垂直。

　　图中的直线AB与直线CD相交于O，并且它们所成的角等于90°，因此，直线AB与CD互相垂直。
　　在两条相互垂直的直线中，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。它们的交点叫做垂足。
　　垂直通常用符号“⊥”来表示。如图中的AB垂直于CD，可记作AB⊥CD，读作AB垂直于CD。有时为了把垂足也表示出来，也可以写作 AB⊥CD于O，读作： AB垂直于CD于O点。
　　垂线还具有以下两个性质：
　　（1）经过一点且只有一条直线垂直于已知直线；
　　（2）从直线外一点到这条线上的各点所连结的线段中，和这条直线垂直的线段最短。
　　画垂线时的要点是什么？
　　通常画垂线所借助的工具有两种：一种是借助“三角板”画垂线；另一种是借助“直尺、圆规”来画垂线。
　　用三角板画一条直线的垂线，一般所给的条件有两种：
　　（1）过直线外一点画这条直线的垂线。
　　（2）过直线上的一点画这条直线的垂线。
　　如图：

　　例如：已知点P是直线AB外的一点，用三角板过P点作PO垂直于AB。
　　如图①，把三角板一条直角边靠在直线AB上（即把三角板的一条直角边与直线AB重合），并沿AB移动，使另一条直角边靠上P点，固定住三角板，并用铅笔沿着这另一条直角边画一条直线PO，直线PO与直线AB交于O点，这样，PO就是直线AB的垂线。
　　用一个三角板作垂线时，往往在接近垂足O点处的一段不容易作得很好。可以采用另一种方法，如图②所示：用两个三角板，把一个三角板（如虚线中的三角板）先固定住，然后把另一个三角板与它靠紧，再拿去第一个三角板，固定住第二个三角板，用铅笔沿着第二个三角板的一条边（靠上P点的一条边）画一条直线PO。这种方法的关键是第二个三角板靠P点的一条边与直线AB相交，因此，在垂足O处，可以画得准确些。
　　又如：已知点P是直线AB上的一点，用三角板过P点作PC垂直于直线AB。
　　如图：

　　如图①，把三角板的一条直角边靠在直线AB上，沿着AB移动，使另一条直角边靠上P点（即直角顶点靠上P点）时，把三角板固定，并且用铅笔沿这另一条直角边画一条直线PC与直线AB相交于P点，则PC是AB的垂线。
　　与上例相同，也可以按图②所示，用两个三角板，当第一个三角板的一条直角边靠在直线AB上，沿AB移动到另一条直角边靠上P点时，固定住三角板，把第二个三角板的一条边与它靠紧，然后拿掉第一个三角板，用铅笔沿第二个三角板靠P点的一边画一条直线PC，则PC是AB的垂线。
　　用直尺和圆规画一条直线的垂线时，通常有两种情况：
　　（1）过直线AB外的一点P作AB的垂线。
　　（2）过直线AB上的一点P作AB的垂线。
　　如图：

　　如图①，以P为圆心，以大于P到AB的距离为半径作弧，交AB于E、
　
　PD，PD交AB于O，则PD是AB的垂线，垂足为O。
　　如图②，以P点为圆心，以任一长为半径作弧交AB于E、F；以E、
　
　　的垂线，垂足为P。
285．平行与平行线有什么关系？
　　平行与平行线是两个不同的概念，它们之间又有着内在的联系。
　　平行的概念是指直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系。当线与线、线与面、面与面平行时，其共同特点是没有公共点。但一组直线平行，除了直线之间没有公共点之外，这组直线必定在同一个平面上。通常用“∥”表示平行。
　　平行线的概念是指在同一平面内，两条不相交的直线，叫做平行线。
　　如图：

　　直线AB与CD，无论怎样把它们向两方无限地延长出去，这两条直线是永远不会相交的。类似这样的两条直线，就是平行线。
　　可记作 AB∥CD，读作AB平行于CD。
　　平行线具有以下几个性质：
　　（1）经过直线外一点，且只有一条直线平行于这条直线。
　　（2）在同一平面内，如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行。
　　（3）两条平行线被第三条直线所截，它们的同位角相等。
　　（4）两条平行线被第三条直线所截，它们的内错角相等。
　　（5）两条平行线被第三条直线所截，它们的同旁内角互补。
　　（6）如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么它也垂直于平行线中的另一条。
　　依据上述平行线的性质，可以对两条直线是否为平行线进行判定。
286．画平行线时的要点是什么？
　　画平行线时，通常借助的工具是直尺和三角板。其画法的要点是：先把三角板靠在直尺上（如下图）。

　　把三角板顺着直尺滑动，沿着三角板的其它一边，在滑动的不同位置上作两条直线（如图中AB和CD），这两条直线就是平行线。
　　一般情况下，需要通过直线外一点，作已知直线的平行线。其画法的要点是：先把三角板的一条边靠在直线上（如图）：

　　三角板所靠的直线为AB，再把直尺贴在三角板的另一边上，然后再把直尺与三角板一起沿着直线AB移动，使直尺边靠在点P上，这时，固定住直尺，把三角板沿着直尺推到与原直线AB靠在一起的一边的点P上，最后用铅笔在这条边上画一条直线CD，这样，直线CD过P点，并且与直线AB平行。
287．长方形、正方形、菱形都是平行四边形吗？
　　回答这个问题，首先明确一下平行四边形的意义及其性质，才能对此做出肯定或否定的判定。
　　平行四边形的意义是：平面上两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形。
　　
　
　　根据平行四边形的意义，图中四边形ABCD的两组对边 AB∥CD；AD∥BC，因此，四边形 ABCD是
　　个顶点时，要用大写字母依次顺序标出。
　　平行四边形的性质是判定平行四边形的主要依据。这些性质有：
　　（1）对边相等。即：AB=CD，AD＝BC。
　　（2）邻角互补。即：

　　∠A＋∠B=∠B+∠C=180°。
　　（3）对角相等。即：∠A=∠C；∠B=∠D。
　　（4）对角线互相平分。即：AO=OC；BO=OD。
　　根据上述意义和性质，可以对问题做出判定：

　　长方形两组对边分别平行，符合平行四边形的意义，也具备其性质，因此，长方形也属于平行四边形。同时，长方形的四个角都是直角。
　　正方形本身就是特殊的长方形，除了四条边都相等外，具备了长方形的一切特征，因此，正方形也属于平行四边形。
　　菱形的四条边也相等，也具备了平行四边形的意义和性质， 因此，也属于平行四边形。
　　一般情况下，为了突出本身的特征，上述三种图形分别叫它们为长方形、正方形和菱形，从实质上划分，也可以说它们都是特殊的平行四边形。
288．三角形应该如何分类？
　　由于三角形是由不在同一直线上的三条线段所围成的封闭图形，因此，三角形必有三条边和三个角。三角形通常用符号“△”来表示。
　　三角形的分类方法，一般是按“角”和“边”来划分的，角是根据内角的大小，边是根据边的长短。按内角大小来划分，可分为三类：

　　（1）锐角三角形：每个角都是锐角（小于90°）的三角形，叫做锐角三角形。左图中的三角形的三个角都是锐角，所以，△ABC是锐角三角形。

　　（2）直角三角形：有一个内角是直角的三角形，叫做直角三角形。左图中△ABC的内角A是直角，因此，这个三角形是直角三角形。

　　（3）钝角三角形：有一个内角是钝角的三角形，叫做钝角三角形。左图中△ABC的内角A是钝角，因此，这个三角形是钝角三角形。
　　钝角三角形与锐角三角形的合称，叫做斜三角形。
　　如果按三角形的边的长短来划分，也可分为三类：

　　（1）不等边三角形：三条边互不相等的三角形，叫做不等边三角形。
　　左图中△ABC的三条边互不相等，所以，这个三角形是不等边三角形。

　　（2）等边三角形：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形。左图中的△ABC三条边都相等，所以，这个三角形是等边三角形。

　　（3）等腰三角形：有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形。左图中的△ABC的两条边是相等的，即AB=BC，所以，这个三角形是等腰三角形。
　　由于等边三角形ABC中，AB=BC=AC，任选两边都相等，符合等腰三角形的条件，所以，等边三角形也是等腰三角形。
　　上述三角形分类情况如下图所示：

289．什么叫做“勾股定理”？
　　勾股定理是关于直角三角形边与边之间的关系的定理，即：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。
　　如果把一个直角三角形的两条直角边分别记为a、b，把斜边记为c，那么它们之间的关系式是：
　　a2+b2=c2
　　在我国古代，把直角三角形叫做勾股形。
　　如图：

　　一般都把直角三角形中，短的一条直角边叫做“勾”，长的一条直角边叫做“股”，斜边叫做“弦”。所以，我国古代把边与边关系所形成的定理，叫做勾股定理（如图1）。
　　图（2）中的直角三角形ABC中，勾AB=3，股BC=4，弦AC=5。按照勾股定理，所揭示三条边的关系为：
　　32＋42=52
　　这就是我国最古的算书《周髀算经》（约成书于公元前一世纪左右）一开始就指出的：“勾三、股四、弦五”。这是直角三角形的三条边长都是整数时的例证。
　　古希腊数学家毕达哥拉斯（公元前572年--公元前497年）证明了这个定理。所以在国外，常把这个定理称为毕达哥拉斯定理。
290．怎样推导三角形的面积公式？
　　在认识三角形特征的基础上，推导出三角形的面积公式，既是教学的自然发展，也是教学的重点。推导三角形的面积公式，一般有以下三种方法：
　　（1）将两个全等的直角三角形转化成长方形：
　　采用这种方法，可让学生动手实践，先准备一张长方形纸，事先量出它的长和宽，并计算出面积。在课堂上，用剪刀沿长方形的对角线剪开，形成两个全等的直角三角形。
　　如图：

　　通过剪完后的观察，启发学生找出长方形的长相当于三角形的底，长方形的宽相当于三角形的高，而长方形面积则等于两个三角形的面积。由此推导出公式：
　　
　　同理，也可以将两个全等的等腰三角形转化成正方形进行推导。
　　（2）将两个全等的锐角三角形转化成平行四边形：
　　这是一种通常的推导三角形面积的方法。先剪出两个全等的锐角三角形，将这两个三角形一正一反地组成平行四边形。然后对照进行推导。
　　如图：
　
　　转化成平行四边形后，可以观察到：平行四边形的底与三角形的底一样，平行四边形的高与三角形的高也一样，由于平行四边形是两个全等三角形组成，因此，平行四边形面积等于两个三角形面积。由此可推导出公式：
　　
　　也可以将两个全等的锐角三角形转化成长方形进行推导。
　　如图：

　　由图中看到：长方形的长和宽所对应的是三角形的底和高，长方形面积相当于两个全等三角形面积。其公式推导同（1）。
　　（3）将一个三角形转化成长方形：
　　
　　顶点处于同一水平线上，通过割、补即可将这个三角形转化成长方形。
　　如图：
　
　　这种图形割补的演示方法，也可以让学生动手实践进行剪拼。
　　从图形割补可观察到：三角形转化为长方形后，面积大小没有任何改变，长方形的长相当于三角形的高，长方形的宽相当于三角形底的一半（已割去
　　
　　长方形面积= 长 × 宽
　　 ↓ ↓
　　 三角形高 三角形底的一半
　　三角形面积= 高 × 底÷2
　　运用交换律得：底 × 高÷2
291．三角形的中线、三角形的中位线以及三角形的高线有什么区别？
　　这是三个完全不同的概念。三角形的中线是指：连结三角形的一个顶点和这个顶点对边的中点的一条线段，叫做三角形的一条中线。
　　下图中，D是BC的中点，AD则是△ABC的中线。

　　由于三角形有三个角，也必然有三个顶点，每个顶点都可以与这个顶点对边的中点连结成一条线段，因此，每个三角形有三条中线。
　　三角形的中位线是指：三角形两边中点的连线，叫做三角形的一条中位线。

　　左图中，D、E分别是三角形ABC的边AB、AC的中点，在D与E之间作一连线，则DE是△ABC的一条中位线。
　　三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。同理，三角形有三条中位线。
　　三角形的高线是指：从三角形的一个顶点到它的对边所在的直线作垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高线。简称三角形的高。

　　左图中，AD⊥BC于D，线段AD是△ABC的一条高线。同理，三角形中有三条高线。应该注意的是：
　　（1）直角三角形中，有两条高线与直角边重合。
　　（2）钝角三角形中，有两条高线在三角形之外。如图中的钝角三角形ABC，的一个内角∠C是钝角，则AD是BC边上的高线，BE是AC边上的高线。但它们分别与AC、BC的延长线相交于三角形ABC的形外。
292．四边形应该怎样分类？
　　由四条线段围成的封闭图形叫做四边形。如果没有一组对边平行的四边形，就叫做任意四边形。
　　在小学中所涉及的四边形，都是凸的四边形，即：如果延长四边形的任何一边，而整个四边形都在这边延长线的同旁，那么这样的四边形就叫做凸四边形。
　　四边形在教材中包括以下八种（如下图）：

　　从上图中可以看到这些都属于四边形的范畴之内，但各自的名称不相同。1是任意四边形；2是平行四边形；3是长方形；4是正方形；5是菱形；6是直角梯形；7是等腰梯形；8是一般梯形。
　　如果把上面图形归类概括，则四边形可做如下分类：
　
293．怎样认识三角形的三个内角和是180°？
　　三角形的三个内角和是180°，这是三角形内角和的性质。在几何初步知识的教学中，这是一个重要的内容。要通过量一量、折一折、想一想和算一算等实践活动，让学生在掌握内容的同时，培养和发展学生的推理判断能力。
　　教学前，先布置课前作业，要求每个学生剪出六个三角形，即：按角分有直角三角形、锐角三角形、钝角三角形；按边分有等边三角形、不等边三角形和等腰三角。形固定，但数据不做统一要求，这样剪出来的三角形是大小不一的。
　　教师谈话后，先让学生量一量。如：拿出一个直角三角形，让学生量出另外一个角的度数，并报出来，教师立即报出第三个角的度数，然后让学生进行测量核实（用量角器）。如此重复数次，就可以激起学习的兴趣和教学中的悬念。在此基础上，全体学生一起动手测量自制的六个三角形三个内角的度数，并把它们加起来，初步明确：无论是什么样的三角形，也无论它的边是多长和多短，它们内角和都是180°。
　　接着，让学生折一折，以丰富学生的感性认识。
　　方法（1）把三角形的三个内角沿虚线折过去，使其组成一个平角，证明三个内角和为180°。
　　如图：

　　方法（2）先画出一个平角，再将手中的一个三角形的三个角撕下来，拼在平角上，使三个角正好组成一个平角，进一步证明三角形三个内角和是180°。

　　方法（3）把一个正方形沿对角线折成两个三角形，因为正方形四个角都是直角（90°），它的内角和是360°，所以一个三角形的内角和是180°。

　　从以上的实践活动，再通过想一想，上升为理性认识，从而形成概念，这是一个抽象概括、归纳总结的过程。想的过程要通过语言的表述进行检验。
　　最后运用练一练的形式，以达到巩固概念、运用概念的目的。练习内容要分基本型和发展型两类。
　　如：基本型
　　①求出下面每个三角形中未知角的度数。

　　②已知三角形中∠1是45°，∠2是60°，∠3是多少度？发展型：
　　①三角形中 ∠是 62°，∠2是 29°，这
　　是一个什么三角形？

　　②三角形的三个内角和是180°，如果切去一个角，剩下图形的内角和是多少度？
294．梯形怎样分类？
　　梯形的定义是：只有一组对边平行的四边形，叫做梯形。梯形可分为一般梯形、直角梯形和等腰梯形三类：
　　（1）一般梯形：
　　梯形的各部分名称是这样的：互相平行的两条边，叫做梯形的底，通常上面的一条边称作上底；下面的一条边称作下底，不平行的两条边称作腰。

　　梯形底边和腰的夹角，称作梯形的底角。上底边和腰的夹角，称作上底角；下底边和腰的夹角，称作下底角。
　　图中的∠A和∠B是下底角；∠C和∠D是上底角。
　　梯形上、下底之间的距离，叫做梯形的高。图中的DE⊥AB，DE是梯形ABCD的高。
　　（2）直角梯形：

　　只有一腰垂直于底边的梯形，叫做直角梯形。图中的AD⊥AB，因此，梯形ABCD是直角梯形。
　　（3）等腰梯形：

　　两条腰相等的梯形，叫做等腰梯形。如图中，AD=BC，因此，梯形ABCD是一个等腰梯形。等腰梯形还具有以下两个性质：
　　①等腰梯形的上底角相等，下底角也相等。如图中，∠DAB=∠CBA，∠ADC=∠BCD。
　　②等腰梯形的对角线相等。如图中， AC= BD。
295．怎样进行梯形面积公式的推导？
　　梯形的面积公式是在平行四边形面积公式的基础上进行推导的。在此之前，已建立了梯形的概念，因此，在教学前，可先让学生自制两个全等梯形。铺垫性的准备练习后，拿出4平方厘米的测量板，用数方格的方法，算出梯形面积是多少。（梯形面积占满8个方格，每个方格是4平方厘米，梯形面积为32平方厘米。）
　　然后，让学生将事前准备好的两个全等梯形，一正放，一倒放拼在一起，组成一个平行四边形。提出点拔题：这个平行四边形的底是由梯形的什么组成的？②怎样求出平行四边形的面积？③怎样求出一个梯形的面积？
　　如图：

　　由此得出：梯形面积=（上底+下底）×高÷ 2。
　　也可以用一个梯形通过割、拼的方法，转化成平行四边形。
　　如图：

　　通过上图可以清楚地推导出：
　　
　　还可以通过对一个梯形的割、补，使其转化为三角形，运用求三角形面积的公式，对照观察，从而推导出求梯形面积的公式。
　　对转化后的图观察可知，三角形的底为梯形上底加下底的和，三角形的高相当于原来梯形的高。由此可以推导出梯形面积公式：
　
　　
　　在此基础上，抽象成求梯形面积的字母公式为：
　　S=（a＋b）×h÷2。
　　此时，可安排含有具体数字的求梯形面积的练习，以巩固对公式的运用。
　　当推导求梯形面积的第二个公式时，可先让学生在自制的梯形学具上，找出两腰的中点，画出中位线，然后把右下角剪下来，拼在右上方，使梯形转化为平行四边形。
　　如图：

　　割、补后，梯形已转化成平行四边形，面积大小未变。梯形的中位线相当于平行四边形的底，梯形的高也是平行四边形的高。

　　用字母公式表示为：S=m×h。
　　第二个公式除转化成平行四边形推导外，还可以转化成长方形进行推导。
　　有了前面的推导基础，这个推导过程，应以学生自己思考为主。
　　由此也可以推导出梯形面积公式：

296．什么叫做“圆”？
　　在小学数学教材中，圆是平面图形里最后出现的图形。建立圆的概念、明确圆的各部分之间的关系，对于解答圆的周长和面积等实际问题，无疑都是重要的前提条件。
　　圆的概念是：当一条线段绕着它固定的一端（下图中的O点）在平面上旋转一周时，它的另一个端点（下图中的A点）所画成的封闭曲线，叫做圆。
　　到了中学，圆还可以这样下定义：“平面内和一个定点的距离等于定长的点的轨迹”。或者说：“平面内和一个定点的距离等于定长的点的集合。”

　　定点叫做圆的圆心（图中的O点）；连接圆心和图上任意一点的线段，叫做圆的半径（图中的OA）；过圆心的弦，叫做圆的直径（图中的BC）；圆所包围的平面部分，叫做圆面。
　　其表示符号为：圆用符号“⊙”表示，以O为圆心的圆、记作“⊙O”，读作“圆O”；半径用字母“r”表示，直径用字母“d”表示。
　　通过对任意半径和任意直径的测量，可以发现：在同一个圆里，所有的半径都相等，所有的直径都相等，直径等于半径的2倍。
　　其字母公式为：

　　圆是轴对称图形。即：把圆沿着它的任意一条直径对折，直径两边的两个半圆就完全重合在一起。经过圆心的任意一条直线（即直径）都是圆的对称轴。
　　如图：

　　圆又是中心对称图形，圆心就是它的对称中心。
297．什么叫轴对称和轴对称图形？
　　轴对称和轴对称图形是两个有联系的概念。轴对称是指：对于两个几何图形，如果连结他们的对应点之间的线段均被某一定直线垂直平分，这样的两个图形叫做关于这一定直线对称。也就是说，这两个图形轴对称。这一定直线叫对称轴。
　　轴对称图形是指：如果一个图形关于一定直线的对称图形和它自身重合，这样的图形叫做轴对称图形。这条直线叫做这一图形的对称轴。
　　轴对称图形并不仅限于圆，其他象等腰三角形、等边三角形以及菱形等，也都是轴对称图形。如图：

　　如图中，沿着直线MN对折后，三角形ABC全部重合到三角形 A＇B＇ C＇上，三角形 ABC与三角形 A＇B＇ C＇是轴对称图形，直线MN是对称轴。
　　又如右上图中，四边形ABCD沿对角线对折后，对角线两旁的图形能全部重合，所以，四边形ABCD是以对角线AC为对称轴的轴对称图形。
298．什么叫中心对称和中心对称图形？
　　中心对称和中心对称图形，这也是两个有联系的概念。中心
　　对称是指：对于两个几何图形，如果连结它们的对应点之间的线段的中点都和某一定点重合，那么这两个图形就叫中心对称，这一定点，叫做对称中心。
　　中心对称图形是指：如果绕着一个定点旋转180°后，两个图形中的每一个能够与另一个原来的位置互相重合，那么，这个图形叫做以这个定点为对称中心的中心对称图形。
　　如图：

　　图中的三角形A＇B＇C＇绕着定点O旋转180°后，与三角形ABC的原来位置互相重合，因此，三角形 ABC与三角形 A＇B＇C＇是以 O点为对称中心的中心对称图形。
　　除此之外，如果一个图形绕着某一点旋转180°后，能够和原来图形本身位置重合，就称这个图形为中心对称图形。这一点叫做对称中心。
　　以平行四边形为例：

　　图中的四边形ABCD是平行四边形，绕着对角线交点O旋转180°后，能够和原来图形位置重合，因此，平行四边形是以对角线交点O为对称中心的中心对称图形。
299．什么是弦和弧？
　　弦和弧是和圆有关的两个概念，这两个概念是不能混淆的。
　　弦的概念是：对于一个圆，连结圆上任意两点的线段叫做弦。弦里面包括直径，因为通过圆心的弦叫做直径，但弦里面又不限于直径，因为“连结圆上任意两点的线段”并不一定都通过圆心。
　　如图：

　　（l）（ 2）的图中， AB是圆 O上的任意两点，所以，线段 AB是圆O上的一条弦。所不同的是：图（1）中的这条兹是圆O的直径；图（2）中的这条弦则不是。
　　弧的概念是：圆上任意两点间的部分，叫做圆弧，简称弧。一般意义下，弧即指曲线，或曲线的部分。
　　弧用符号“”来表示，如：以点A、B为端点的弧，记作AB，为了避免混淆，有时也记作。见下图：

　　在图中，以AB为端点的弧，记作AB；以AC为端点的弧，记作AC。
　　对于同圆（或等圆）的两段弧，可以加以比较：通过运动，使它们的圆心相重合，两弧的端点也重合，则说这两弧是相等的。圆的任一直径的两个端点分圆成两条弧，每条弧都叫做半圆。如上图，BC是圆的直径，以B、C为端点，把圆分成两个半圆。
　　对于圆弧，把小于半圆的弧，叫做劣弧，把大于半圆的弧，叫做优弧。
300．圆心角和圆周角一样吗？
　　圆心角与圆周角是两个完全不同的概念，前者与圆心有关，后者与圆弧有关。
　　圆心角是指：分别连结圆心到圆弧的两个端点所成的角，叫做这个圆弧的圆心角。
　　在同圆（或等圆）中，如果两个圆心角相等，则该圆心角所夹的弧相等，所对的弦也相等，所对的弦的弦心距（从圆心到弦的距离）也相等。
　　如图：

　　图（1）中，∠AOB的顶点 O即为圆 O的圆心，因此，∠AOB是圆心角。图（2）中OC⊥AB，OC是AB的弦心距。
　　圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。图（1）中，∠AOB的度数=AB的度数。
　　圆周角是指：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角，叫做圆周角。对于一个圆周角，角的内部必然夹了一段圆弧，通常把圆周角说成是这一弧上的圆周角；角的外部也有一段圆弧，有时也把圆周角说成是这一弧所含的圆周角。

　　如图：圆中的∠BAC的顶点A在圆上，并且角的两边AB、AC都与圆相交，因此，∠BAC是圆O的圆周角。
　　圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。如
301．什么是圆和圆的位置关系？
　　圆与圆之间有以下五种位置关系：
　　（1）外离。

　　两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都各在另一个的外部时，叫做这两个圆外离。
　　图中两圆的半径分别为r、 R，圆心距为 d，则 d＞r＋ R外离（其中“”表示等价），即当d＞r+R时，两圆则外离；反之，当两圆外离时，则d＞r+R。
　　（2）外切。

　　两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都各在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切。
　　图中的两圆半径分别为r、R，圆心距d，则d=r+R外切。
　　（3）相交。

　　两个圆有两个公共点时，这两个圆叫做相交。
　　图中两圆半径分别为r、R，圆心距为d，则R-r＜d＜R＋r（r≥r）相交。
　　（4）内切。

　　两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点之外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切。这个公共点叫做切点。
　　图中两圆半径分别为r、R，圆心距为d，则d=R-r，（R＞r）内切。
　　（5）内含。

　　两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内含（如左图）。右图为同心圆，同心圆则是内含的一种特例。
　　图中两个圆的半径分别为r、R，圆心距为d，则d＜R-r（R＞r）内含。
302．圆周长和圆周率有什么关系？
　　这是两个不同的概念。但计算圆周长时，必须明确什么是圆周率，否则，圆周长的公式将无法推导出来。
　　圆周长是指圆的长度，通常用字母C表示。圆周率是指圆的周长C与直径2r的比值。圆周率通常用希腊字母“π”来表示。
　　任何一个圆，不论是大还是小，当用直径去量圆周长时，就会发现圆周长都是它直径的3倍多一点，也就是说，圆的周长和直径的比是一个常数，这个常数是个超越数，或者说：圆周率π是一个无限不循环小数。
　　
　　由于π是无限不循环小数，它的真值是永远写不完的。
　　π＝3．1415926535897932384626……。在实用中，并不需要如此精密，在小学数学教材里，通常取圆周率的近似值为：
　　π＝3．14
　　在明确圆周率的基础上，可以推导出圆周长公式。如果圆周长为c，半径为r，直径为d，那么
　　c=2πr，或c=πd
　　在小学生的数学语言中，圆的周长公式一般概括为：圆的周长=直径×π
　　例（1）已知圆的半径为5厘米，求圆的周长是多少？
　　c= 2πr（或半径×2×π）
　　=2×3．14×5
　　=31．4（厘米）
　　答：圆的周长是31．4厘米。
　　例（2）已知圆的直径为20厘米，求圆的周长是多少？
　　c=πd（或直径×π）
　　= 20 × 3．14
　　=62．8（厘米）
　　答：圆的周长是62．8厘米。
303.π值是如何计算的？
　　我国古代的《周髀算经》里，对于π值曾得出“周三径一”的结论。古希腊的学者阿基米德用“逼近法”从圆内接正六边形，一直到正96边形，得
　　

　　我国魏晋南北朝时代的数学家刘徽，也应用“逼近法”用到圆内接正192边形，得到的π值为3．14，南北朝时代的数学家祖冲之（公元429--500年），计算出π的近似值在3．1415926--3．1415927之间，这是世界上计算π值精确到小数点后七位的第一个人，他还运用两个分数来表示
直到一千多年后的公元1573年，欧州人奥托才求出来。祖冲之在数学上的伟大贡献得到了世界的公认，为了纪念祖冲之这一贡献，将密率称为“祖率”。
　　1959年10月4日，苏联发射了第三枚宇宙火箭，第一次拍摄了月球背面的照片，并把月球上的“火谷”、“平原’都做了命名，把其中一个环形山定名为“祖冲之山”。由此可见，祖冲之在国际上所享有的崇高荣誉。
　　到16世纪，法国人韦达计算出的π值是小数点后10位。1615年德国人鲁道夫算到小数点后35位，即：
　　3．14159265358979323816264338327950288……。他死后，人们还把这个数值刻在他的墓碑上。以后英国人夏普算到小数点后72位，到1946年美国人连契算到小数点后808位，1973年有人算到小数位达100万位，1983年达到了16777216位。
　　最近一位美国科学家使用先进的巨型电脑“克雷-2”仅用了28小时，就算出了小数点后有2936万位的π值，创下了最新的世界记录。如果把这个惊人的位数全部记录下来，长度可达60千米，或者相当于50本500页的长篇小说。在这么长的数字中，出现了一些奇特的情况，即小数点后第710100位起，320465位起，都连续出现七个3--3333333；一千位中连续出现六个相同的数字的有37次。如 762位开始出现999999，从995998位起，出现23456789；但从2747956位起，又出现876543210。
　　至于π值还可以算到小数点后的多少位，还待人们继续耐心地算下去。
304．怎样推导圆的周长公式？
　　推导圆的周长公式是小学数学教学的重要内容之一。这是因为在这部分知识中，不仅要使学生认识圆的周长、理解圆的周长与直径之间的关系；还要掌握圆的周长公式，并能正确计算圆的周长。在这些教学要求中，推导并掌握圆的周长公式，无疑是教学的重点。
　　新课前，教师要安排必要的铺垫性练习，可从复习长、正方形的周长公式入手，结合提问做如下板书：

　　C＝2（a＋b）
　　在长方形周长公式的基础上，出示有关正方形周长的板书：

　　C＝4a
　　随着铺垫性练习教师可让学生以正方形对角线的交点为圆心，用事先准备好的正方形纸画一个最大的圆，然后量出这个圆的直径，并把这个圆剪下来，明确圆周长的概念，进而自然地导入新知识。
　　新知识的实践，讨论可大体上按下列步骤安排：
　　（1）动手实践：用直尺测量圆的周长。将图沿直尺滚动，并用小线围绕圆周，然后进行测量。测量结果填在下表内。

　　（2）激疑设问：教师可通过圆铅笔的截面、黑板画圆和抡动一端系有物品的小线，提问如何测量这些圆的周长，此时还可以通过投影器中的各种圆，启发学生观察圆的周长与直径的关系。
　　（3）概括小结：在组织学生进行同桌或分组议论的基础上，初步概括：圆有周长总是它直径的3倍多。同时指出：在同一个圆里，周长与直径的倍数是固定不变的。这个不变的倍数在数学中叫做“圆周率”。此时可简要介绍祖冲之在圆周率研究上的杰出贡献。
　　圆周率用字母π来表示，在小学中π值取小数点后两位，即3．14。
　　归纳圆周长公式：圆的周长=直径×π
　　抽象成字母公式：c=πd
　　或 c=2πr
　　（4）反馈练习：（略）
　　进行上述安排时，要求课前做好充分的准备，如教师的投影片等其他教具，学生的正方形纸、剪刀等各种学具。在推导圆的周长公式前，要明确建立圆周率的概念，在教学的全过程中，这是一个必须突破的难点。
305．圆面积与扇形面积有什么关系？
　　教材中先安排圆的认识和圆面积的求法，后安排扇形的认识和扇形面积的求法，这是因为扇形是圆的一部分，扇形面积也是圆面积的一部分。从知识上看，前者是整体，后者是部分；从方法上看，前者是基础，后者是发展。
　　圆面积就是指圆内部的大小。圆面积等于半径乘以半径再乘以π。
　　如果圆面积用S表示，半径用r表示，直径用d表示，那么抽象成字母公式为：
　　　

　　通过把一个圆分成若干等份（如16等份），如图甲，来分析圆面积的公式。
　　再把圆剪成16等块（如图乙），把“1”那一块分成两半，把它们拼成近似于长方形的图形（如图丙），这时“长方形”的长是原圆周长的一半，宽是圆的半径，由此可得出字母公式如下：
　　
　　长方形的面积=长×宽
　　=πr×r
　　=πr2
　　∴圆面积公式为：S=πr2
　　例（1）求半径为3厘米的圆的面积。
　　解：S=πr2
　　=3.14×32
　　=28.26（平方厘米）
　　或S=3×3×3.14=28.26（平方厘米）
　　答：这个圆的面积是28.26平方厘米。
　　例（2）求直径为3.5厘米的圆的面积。
　　　
　　答：这个圆的面积是9.61625平方厘米。
　　由于扇形面积是圆面积的一部分，一个圆的周角是360°，只要知道扇形圆心角的度数，扇形的面积就可以由圆的面积公式按照比例通过计算而得到。
　　根据圆的面积=πr2，扇形圆心角的度数用n°来表示，可以得出扇形面积公式为：
　　
　　例如：求半径r=6厘米，圆心角为60°的扇形面积。
　　　　
　　答：这个扇形的面积是18.84平方厘米。
306．同心圆和圆环有什么联系和区别？
　　这是两个不同的概念，但它们又有所联系，既同属于“圆”的范畴，在一定意义上，又有着整体与部分、前提与发展的关系。
　　同心圆是指：圆心相同，半径不相等的圆，叫做同心圆（如图甲）。
　　圆环是指：两个同心圆所夹的部分，叫做圆环（如图乙）。

　　如图甲所示：这两个圆由于具有相同的圆心，但它们的半径分别是r1和r2（r1≠r2），因此它们是同心圆。
　　图乙所示：这两个同心圆所夹的阴影部分，就是一个圆环，也叫做环形。
　　同心圆本身不涉及面积的求法，而圆环可以求出它的面积。由于圆环是两个同心圆的所夹部分，因此，圆环面积就等于大圆面积与小圆面积之差。即：
　　圆环面积=大圆面积-小圆面积
　　如果用字母来表示，则为：

　　字母公式中的r1和r2分别是大圆和小圆的半径。
　　例如：求一个大圆半径为3厘米，小圆半径为2厘米的圆环面积。
　　解：S=π（r21-r22）
　　=3.14×（32-22）
　　=15.7（平方厘米）
　　答：这个圆环的面积是15.7平方厘米。
307．怎样推导圆的面积公式？
　　推导圆的面积公式必须建立在明确圆的面积概念的基础上进行。因此，在教学开始时要先复习什么叫面积？然后过渡到对圆面积的认识。由于教材中关于圆的面积公式是通过割、拼的方法，使圆转化为近似长方形，所以，对长方形的面积公式也要进行必不可少的复习。以达到以旧引新、新旧结合，使新知识纳入旧知识的网络当中。
　　教学中，当明确圆的面积以后，可提出下列问题让学生思考后回答。
　　（1）怎样用字母表示求圆的周长公式？（C=2πr）
　　
　　（3）怎样求长方形的面积？（长×宽）
　　然后教师出示根据教材制作的圆的教具，演示过程可按以下步骤进行：
　　（1）先把圆分成两个半圆，每个半圆各分成8等份，每份分别按顺序编上号（如图）。

　　（2）再将三角形1分成两等份，然后将两个半圆分别散开，附在磁铁黑板上（如图）。

　　（3）在磁铁黑板上，让上半圆向下滑动，拼成长方形（如图）

　　演示至此，让学生观察这个长方形的长和宽各相当于圆的哪部分，然后结合前面提问所形成的板书进行公式推导。
　　
　　公式推导出后，可让学生质疑，然后转入应用式的反馈练习。
　　当把圆分成16等份后，每份是一个假设三角形时，学生可能概括出下列公式，教师要归纳引导，最后通过比较，统一到πr2上来。
　　（1）1个假设三角形的面积×16。
　　
　　（三角形的底）（高）

　　（2）1个假设平行四边形的面积×8。
　　　
　　（平行四边形的底）（高）

　　这个平行四边形由两个假设三角形组成。
　　（3）用1个假设的大三角形面积×4。
　　其公式为：
　　
　　（三角形底）（高）

　　这个大三角形由四个假设的小三角形所组成。
308．什么叫做割补法和分割法？
　　割补法和分割法都是计算平面几何图形面积的推导方法，也是一种思考方法。在面积和体积教学中，都有着广泛的应用。
　　割补法是指：把一个图形的某一部分割下来，填补在图形的另一部分，在原来面积不变的情况下，使其转化为已经掌握的旧的图形，以利于计算公式的推导。平行四边形通过割补可转化为长方形（或正方形），梯形通过割补可转化为平行四边形，圆通过割补可转化为近似长方形等。
　　（1）平行四边形割补后转化为长方形：

　　（2）梯形割补后转化为平行四边形：

　　分割法是指：对一些不规则图形的面积，不能使用割补法，可以利用不规则图形的凹凸特点，将其分割成若干个可以计算的规则图形（如：长方形、三角形、梯形、……），先将各个规则图形的面积计算出来，然后再把这些规则图形的面积加在一起，总面积就是不规则图形的面积。这种计算不规则图形的方法，叫做分割法。
　　下面两个图形就采用了分割法。
　　（1）

　　（2）

　　左图ABDE是一个不规则图形，用分割法可分成一个平行四边形ABCDE，一个三角形BCD，把平行四边形和三角形的面积分别求出来，再把所得的结果加在一起，就是这个不规则图形的面积。
309．体积和容积有什么联系和区别？
　　体积和容积是两个含义不同的概念，但它们之间又有着联系。教材中的不少练习是把求体积和求容积放在一起安徘的，因此，学生极容易注意了计算公式的相同，而忽视了这两个概念的不同含义。
　　一个物体的体积是指这个物体所占有空间的大小。而容积是指一个物体内部空间能够容纳物体的体积。一个容纳物品的器皿，譬如一只木箱，从外面量起，确定长、宽、高，它所占空间的大小，就是这只木箱的体积；如果这只木箱从里面量起，确定长、宽、高（或深），里面所能容纳物体的大小，就是这只木箱的容积。
　　从里面量与从外面量，这当中在长、宽、高上都会出现长度上的差距，这是因为制作这只箱子用的是木板，木板本身有一定的厚度，从外面量，包括了木板的厚度；从里面量，就减去了木板的厚度。对这只木箱来说，从外面量，就是求它的体积；反之，从里面量，就是求它的容积。
　　计算体积和容积的方法是一样的，如果这个物体是长方体，无论是求体积还是求容积，其计算公式都是长×宽×高；如果这个物体是圆柱体，求体积或求容积，使用的公式也都是底面积×高。
　　例如：一个长方体木箱，长80厘米，宽50厘米，高40厘米，这只木箱里面长78厘米，宽48厘米，高38厘米，求这木箱的体积和容积各是多少立方分米？
　　体积：80×50×40=160000（立方厘米）
　　=160立方分米
　　容积：78×48×38=142272（立方厘米）
　　≈142立方分米
　　在区分体积和容积概念时，这两者所使用的单位有时是不同的。体积使用的单位是立方米、立方分米、立方厘米；容积有时（如液体）则使用升和毫升。它们相邻单位之间的进率都是1000；换算时，1立方分米=1升。
　　还应该看到，有些物体如一块长方体的砖，就只能计算它的体积，而不能计算它的容积。但用这些长方体的砖砌成一个游泳池，就可以计算游泳池的容积了。
310．如何区分长方体和正方体？
　　由六个长方形（相对的两个面也可能是正方形）所围成的六面体，叫做长方体。
　　交会于一个顶点的长方体的三条棱，叫做长方体的三度。长方体的三度在小学数学中，叫做长方体的长、宽、高。
　　长方体有六个面，各相对的两个面的面积相等。有十二条棱（就是相邻的面的交线），平行的四条棱的长度相等，有八个顶点（就是每三条棱相交的点），交会于顶点的三条棱，就是长、宽、高。
　　三度相等的长方体，叫做正方体。或者说，长、宽、高都相等的长方体，叫做正方体。
　　与长方体相同的是：正方体也有六个面、八个顶点和十二条棱。
　　与长方体不同的是：正方体的六个面都是全等的正方形，正方体的十二条棱的长度都相等。
　　正方体是特殊的长方体。
311．什么叫做圆柱体和圆锥体？
　　在小学数学教材中，对圆柱和圆锥都没有下明确的定义，为了更好地驾驭教材，作为数学教师，有必要较为确切地掌握圆柱和圆锥概念。
　　圆柱：以矩形的一边所在直线为轴，其余各边绕轴旋转而成的曲面所围成的几何体，叫做圆柱体，简称圆柱。圆柱可以看成一个矩形A1AOO1，统一边O1O旋转一周形成的旋转体（如下图）。O1O称为圆柱的轴，垂直于轴的边旋转而成的两个圆面，叫做圆柱的底面，平行于轴的边旋转而成的曲面，叫做圆柱的侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做圆柱的母线。圆柱两个底面之间的距离，叫做圆柱的高。

　　当两个底面中心的连线垂直于底面时，这种圆柱叫做直圆柱。在小学里，所说的圆柱，一般都指直圆柱。圆柱的侧面展开成的图形是一个长方形。
　　圆柱具有以下几个性质：
　　（1）圆柱的轴过两个底面的圆心，并且垂直于两个底面；
　　（2）用垂直于圆柱的轴的平面去截圆柱，所得的截面是和底面相等的圆；
　　（3）用一个过圆柱的轴的平面去截圆柱，所得的截面是一个矩形，它的两条对边是圆柱的两条母线，另外两条对边，分别是两个底面圆的直径；
　　（4）用一个平行于圆柱的轴的平面去截圆柱，所得的平面是个矩形，它的两条对边是圆柱的两条母线，另外两条对边，分别是两个底面圆的弦。

　　圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为轴，其余两边绕轴旋转而形成的曲面所围成的几何体，叫做圆锥。旋转的轴叫做圆锥的轴，由另一条直角边旋转而成的圆面，叫做圆锥的底面。由斜边旋转而成的曲面，叫做圆锥的侧面。斜边无论旋转到任何位置，都叫圆锥侧面的母线。母线的交点叫做圆锥的顶点。从圆锥顶点到圆锥底面的距离，叫做圆锥的高。
　　上图所示圆锥，是以直角三角形ABO的一条直角边AO为旋转轴旋转而成的，因此，它是一个直圆锥，简称圆锥。
　　圆锥具有以下几个性质：
　　（1）圆锥的底面是一个圆，它所在的平面垂直于圆锥的轴；
　　（2）圆锥的轴经过顶点和底面的圆心，底面圆心和顶点的连线（如图中的AO）就是圆锥的高；
　　（3）圆锥的一切母线都交于圆锥的顶点，并且都相等，各条母线与轴的夹角都相等。
　　（4）用一个过圆锥的顶点，并且和底面相交的平面去截圆锥，所得的截面是一个等腰三角形。
　　（5）垂直于轴的圆锥截面是个圆。
312．怎样推导圆柱的体积公式？
　　学习圆柱的体积公式是在掌握圆柱的侧面积和表面积的基础上进行的。由于圆柱的体积公式与圆面积公式和长方体体积公式紧密相连，因此，在准备练习时，要复习圆面积公式和长方体的体积公式，对圆面积公式要让学生通过教具演示说明公式的推导过程，这是因为圆柱的体积公式与其推导过程是相似的。
　　新课开始时，在提出课题的同时，可安排学生看书自学，教材中有圆柱通过割补法转化为近似长方体的图示（如下图）。

　　自学时，教师要安排适当的自学提纲。
　　如：（1）圆柱是怎样转化为近似长方体的？
　　（2）转化后体积有没有变化？
　　（3）长方体的各部分相当于圆柱的哪几部分？
　　在自学、观察的同时，可围绕自学提纲组织学生进行同桌或小组议论。在此基础上，教师再进行用割补法将圆柱转化为近似长方体的教具演示。如果有条件的话，每个小组都应准备一份教具，让学生亲自动手实践，效果会更好。
　　在割补的过程中，要说明分得的底面扇形的柱体越多，拼起来越接近长方体。
　　演示和讨论中，要使学生明确：
　　（1）转化后的近似长方体，其底面积（近似长方形）与圆柱的底面积（圆）是一样的。可唤起学生对圆面积推导过程的回忆。
　　（2）转化后近似长方体的高，与圆柱的高是一样的。
　　（3）要从长方体的体积公式推导出圆柱的体积公式来。
　　上述的三个问题一旦明确，教师就可结合准备练习时的板书，讲解沟通长方体体积公式与圆柱体积公式的联系。板书的顺序要先出现文字公式，然后再过渡到抽象的字母公式。
　　
　　公式推导出后，可安排应用公式的反馈练习。在练习时，要提醒学生注意以下几个问题：
　　（1）要认真审题（包括审图），看清单位和要求；
　　（2）条件中计量单位不一致时，要先统一单位，然后再按公式进行计算；
　　（3）要按规范的格式书写，并按要求答题。


十一、简单的统计表和统计图 (?http:?/??/?218.22.166.105:8080?/?RESOURCE?/?XX?/?XXSX?/?SXBL?/?BL000024?/?6161_SR.HTM" \t "_blank?)

313．在小学数学中，为什么要学习简单的统计表和统计图？
　　制作统计表和统计图是统计工作的两种主要的统计方法。统计工作是社会主义现代化建设中的必不可少的一项工作。有关统计的知识，无论在生产和生活中，还是在科学研究上，都有着极为广泛的应用。
　　由于统计的概念是：汇集同一范围内的若干事物，进行计算、比较，以观察分析全体现象特征，叫做统计。因此，工厂对每月生产计划的完成情况、产品产量的增长情况、产品成本或利润的上升或下降的情况、职工每天的出、缺勤情况等，都需要进行统计；在农村关于种植亩数的变化情况、亩产量与总产量的增长情况等，也都需要进行统计；在科学研究中，有关实验的各种数据、实验指标的完成情况等，同样也需要进行统计。具体到学校，教职工人数，各年级男、女生人数，考试成绩的结果等，也离不开统计。大至国家对市场经济、计划生育等的宏观控制，小至各行各业一个具体部门的现实与发展，无不和统计有着密不可分的联系。这种统计，经常用统计表和统计图的方法显示出来。
　　在小学阶段，学习简单的统计表和统计图，一方面是渗透统计思想；另一方面是掌握有关统计图表的初步知识和技能，为将来在实际工作和生活中，掌握复杂的统计图表做好准备。
　　这部分知识包括：数据处理、统计表和统计图。要使学生掌握有关统计的一些初步知识，明确统计表和统计图的意义和作用，学会看一些简单的统计图表，并能处理一些简单的统计数据，进而绘制成统计表和统计图。
　　进行这部分的教学，除安排一些事先准备好的数据外，还可组织学生进行社会调查，搜集十年改革开发所发生的对比变化情况，运用搜集到的来自身边的活生生的数据，来绘制统计表和统计图。这样做，既寓德育于数学教学之中；又使学生在潜移默化中受到生动的政治思想教育。
314．有关调查和搜集数据的初步知识有哪些？
　　在进行统计表或统计图的绘制前，需要通过调查来获取有关数据，然后才能进行数据处理。有关调查和搜集数据的初步知识有以下几个方面：
　　（1）全面调查：对于调查和研究的对象的全部进行调查，叫做全面调查。例如：我国进行两次全国人口普查，就是对我国的全部人口进行的一次调查。
　　又如：某郊区所进行的全区乡镇企业普查，就是对全区所有乡镇企业的一次调查。
　　（2）部分调查：对于考察和研究的对象的一部分，甚至极少一部分进行调查，叫做部分调查。例如：在检验产品的质量时，如果属于破坏性检验，就只能检验全部产品中极少的一部分，根据这一部分产品的检验结果来推测全部产品的质量。
　　（3）抽样与抽样调查：从总体（研究对象的全部）中选取一部分个体（总体中的每一个对象）做为样本（总体中取出一部分个体，这些个体的集合），叫做抽样。部分调查也就是抽样调查。
　　例如：要了解一块玉米地里的所有单株玉米的平均产量，从中抽取100株单株玉米，用这100株单株玉米的平均产量，去估计这块地里所有单株玉米的平均产量。玉米地里单株玉米产量的全体是总体，每个单株玉米的产量是个体，所抽取的100株玉米的产量是总体的一个样本。
　　（4）简单随机抽样：简单随机抽样简称随机抽样。它所指的是：选取样本时完全是随意的。例如：对亚运会获得总分的名次进行预测性竞赛时，由于正确的人数超过了预定的获奖名额，采取了抽奖的方法，就是随机抽样。这种抽样的方法只适合于总体中个体数量较少，而且个体的分布也比较均匀的对象。
　　（5）规律性抽样：把总体分成若干组，然后编号，在第一组里随机抽出一个个体，其余各组就根据第一组抽出的个体号码决定，不再随机抽取。
　　（6）阶段性随机抽样：抽样时，根据调查对象的具体情况，分为两个阶段或若干阶段随机抽取。例如：要在100畦白菜田里选取样本，第一阶段先把100畦菜田分成10组，在每组中选取一畦；第二阶段再在所选出的10畦菜田里，各选一定的株数，作为考察的样本。这种方法适合于个体数量较大，而分布没有明显不均匀的对象。
　　（7）分层抽样：当总体是由有明显差异的几部分组成时，可以先把总体按个体的特点分为几部分，这就是分层，然后按各层的比例进行随机抽样。
　　（8）中位数：把调查得到的数据，按大小次序排列起来，中间位置的一个数据，在统计中叫做中位数。中位数也是平均数的一种，如果总体中数据的个数是奇数时，中间位置的数据就是中位数；如果数据的个数是偶数时，一般把中间的两个数据的平均数，作为这些数据的中位数。
315．单式统计表和复式统计表有什么不同？
　　把生产和工作中所遇到的相互关联的数量，按照一定标准加以分类整理，并按照一定的顺序排列起来，制成表格，叫做统计表。统计表中分单式统计表和复式统计表两种，单式统计表统计的项目单一，复式统计表统计的项目则较为复杂。
　　单式统计表是只对某一项目的数量进行统计的表格。例如：
　　××小学各年级人数统计表
　　单位：人 1991年9月

　　复式统计表是统计项目在两个或两个以上的统计表格。复式统计表也叫复合统计表，如果统计表中又含有百分数项目的，也叫做复式的百分数统计表。下例为一般的复式统计表：
　　××小学各年级男、女生人数统计表
　　单位：人 1991年9月
　
　　某县农科站培育水稻良种田统计表
　　1990年

316．制作统计表需要注意些什么？
　　制作统计表不仅格式要规范，设计要合理；而且数字一定要吻合，达到整洁、美观的要求。为此，制作统计表时，需要注意以下几点：
　　（1）根据已获得的统计材料，确定制表的目的和表的样式。
　　在决定表的样式时，对于表格要分多少个项目，每个项目所占纸面的大小以及行间距离等，必须先进行总体设计。务使表格目的明确，眉目清晰，每栏和每行大小适度，使制作的表格不仅整洁美观，而且一目了然。
　　（2）材料的类别、项目要简明，重要的项目列在前面，次要的项目列在后面。如果项目分为大小，那么大的项目在前，小的项目在后。
　　（3）重要项目之间，要用粗线或双线隔开，以加以区分。
　　（4）表内各项所含的内容和数字绝对不能重复，否则在合计或总计栏内就会出现差错。
　　（5）表内项目和数字，要按照从左向右的顺序填写，遇到重要的需要突出的数字，为了醒目，可用粗体填写。
　　（6）总计、平均等项，就列在表的前面或上面，以使看表人先获得整体印象。
　　（7）无论何种表式，最好在表内后面列上“备注”或“附注”一栏。以便在必要时对不属于其他各项的内容，做必要的说明。
　　（8）表的总标题要写在表上的中央位置，标题要简明扼要。
　　（9）如果不是一张表，每张表要标明编号，并把编号写在总标题的一边。
　　（10）要注明制表时间，通常写在总标题的右下方。必要时，要把制表人或填表人的姓名写在表外的右下方。
317．什么是条形统计图？
　　用一个单位长度（如1厘米）表示一定的数量，根据数量的多少，画成长短相应成比例的直条，并按一定顺序排列起来，这样的统计图，叫做条形统计图。条形统计图可以清楚地表明各种数量的多少。条形统计图分为单式、复式两种。
　　例如：李家村农科站试验田1988年至1991年小麦和棉花产量如下：
　　1988年产量：小麦400千克，棉花150千克
　　1989年产量：小麦550千克，棉花250千克
　　1990年产量：小麦700千克，棉花400千克
　　1991年产量：小麦600千克，棉花550千克
　　将上述各年产量制成条形统计图。
　　李家村农科站试验田小麦和棉花产量统计图
　　（1988年—1991年）
　　1992年3月

　　制作条形统计图的步骤是：
　　（1）根据统计资料整理数据。
　　（2）作图定标尺。先画纵轴，确定一定的比例（即标尺），作为长度单位；再画横轴，纵、横轴的长短要适中。
　　（3）画直条。条形的宽度、间隔要一致。
　　（4）写上条形统计图的总标题、制图日期及数量单位。
318．什么是折线统计图？
　　以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化的统计图，叫做折线统计图。与条形统计图比较，折线统计图不仅可以表示数量的多少，而且可以反映同一事物在不同时间里的发展变化情况。折线统计图也有单式、复式两种。
　　例如：某地1991年每月的月平均气温如下表：

　　根据上表中的数据制成折线统计图。
　　某地1991年月平均气温变化统计图

　　制作折线统计图的步骤是：
　　（1）根据统计资料整理数据。
　　（2）先画纵轴，后画横轴，纵、横都要有单位，按纸面的大小来确定用一定单位表示一定的数量。
　　（3）根据数量的多少，在纵、横轴的恰当位置描出各点，然后把各点用线段顺序连接起来。
319．什么是扇形统计图？
　　以一个圆的面积表示事物的总体，以扇形面积占总体的百分数的统计图，叫做扇形统计图。也叫做百分数比较图。扇形统计图可以比较清楚地反映出部分与部分、部分与整体之间的数量关系。
　　例如：某专业户1991年养鸡1300只，养鸭750只，养鹅450只，根据所养的三种家禽各占总只数百分之几的数据，制成扇形统计图。
　　先计算三种家禽各占总只数的百分之几。
　　（1）总只数：1300＋750＋450=2500（只）
　　（2）鸡占：1300÷2500=0．52=52％
　　（3）鸭占：750÷2500=0．3=30％
　　（4）鹅占： 450÷2500=0．18=18％
　　再算出表示三种家禽的三个扇形的圆心角度数。
　　（1）鸡： 360°×52％=187．2°
　　（2）鸭：360°×30％=108°
　　（3）鹅：360°×18％=64．8°
　　用量角器在圆里量出三个圆心角的度数，就可画出下面的扇形统计图。
　　制作扇形统计图的步骤是：
　　（1）根据统计资料，整理或计算出必要的数据（包括部分占整体的百分数）。
　　（2）根据数据，算出各部分扇形圆心角的度数。
　　（3）根据需要，取适当的半径画圆，用量角器依次按圆心角把圆分成几个扇形。
　　（4）标上每部分的内容及占总体的百分数。用虚线、实线或不同颜色将各部分区分开来。
　　某专业户1991年养家禽情况统计图
　　1992年1月

320．制作统计图需要注意些什么？
　　制作统计图除按各自的特点所规定的步骤外，还有一些共性问题需要注意。这表现在以下几点上：
　　（1）作图需从左到右，根据材料（统计好数据）的最高量和最低量，决定在纸面上所占位置的大小。这主要指条形统计图和折线统计图。
　　（2）单位选择要适当，在间隔上一定要合乎比例。
　　（3）要有总标题，标题要简明、概括，总标题的题目要与图中所反映的内容相符。
　　（4）用彩色绘制时，要注意同类量一定要用同一种颜色表示，颜色要均匀，为了突出主要数量，可用最醒目的颜色来表示。
　　（5）在制图前要做好总体设计，避免制作过程中的涂抹，要保持图的整洁和美观。
　　（6）要注明资料的来源与制图的时间。


四、数的整除性 (?http:?/??/?218.22.166.105:8080?/?RESOURCE?/?XX?/?XXSX?/?SXBL?/?BL000024?/?5994_SR.HTM" \t "_blank?)

153.为什么要学习“数的整除性”这部分知识？
　　“数的整除性”在小学数学教学中是一个重要的基础知识。说它重要是因为这部分知识所涉及的基本数学概念不仅多，而且相对集中，如果不能明确、清晰地掌握这些基本数学概念的区别和联系，就会引起混淆，而混淆也必然给以后的数学知识的学习，带来严重的后遗症。
　　例如：约数与倍数、质数与合数、奇数与偶数、公约数与公倍数……这些概念在教学中几乎同时出现，但又有相反的内涵，因此，这些概念必须牢固而又明确地建立起来。
　　还必须看到：“数的整除性”是学习分数的前提和准备。在分数的四则运算中，约分和通分是一定要掌握的基础知识，而构成这些基础知识，是离不开“数的整除性”这部分内容的。
　　例如：不掌握求最大公约数的方法，就不可能进行正确、迅速的约分；不掌握求最小公倍数的方法，也无法进行正确、迅速的通分。从这个意义上讲，学习“数的整除性”是进一步学习数学的需要。
　　除此之外，学生在过去的学习中，已经知道整数与整数的和、差、积都是整数，但整数除整数时，商不一定是整数，有时会是小数，到底在什么情况下，整数与整数相除，商仍然是整数呢？这就需要根据“数的整除性”的知识来进行正确的判断了。
　　在未学习“数的整除性”前，学生是很难准确、迅速地判断出下列各式的商是不是整数。
　87459÷3 65246÷7
　　32846÷11 96375÷25
　　74321÷9 79432÷8
　　由于数字较大，一时难于做出正确的判断，一旦掌握了“数的整除性”这部分知识，这些问题就不难解决了。
154.整除和除尽有什么不同？
　　整除和除尽是两个既有区别又有联系的概念，也是两个易于混淆的概念。可以通过下面两道题的计算过程，来加以说明。

　　这两道题相同的地方是都没有余数，都可以说成是“除尽”。但这两道题又有不同的地方，（1）题中的被除数、除数和商都是整数，这种情况称作“整除”。按原题可以说成是896能被16整除。（2）题中的被除数、除数虽然是整数，但商不是整数，而是小数。这类情况就只能称作“除尽”，而不能称作“整除”。按原题可以说成36能被8除尽，而不能说成36能被8整除。
　　又如：3.5÷0.5=7 824÷41.2=20
　　这两个式子虽然都能除尽，商又是整数，但被除数和除数中， 至少有一个数不是整数，因此，这两个式子只能属于“除尽”情况，而不能称作“整除”。
　　由于在小学数学中，“数的整除性”所涉及的数一般都指的是自然数，不包括0，因此，其定义是：“数a除以数b，除得的商正好是整数而没有余数，我们就说，a能被b整除。”
　　“整除”与“除尽”是两个不同的概念。“除尽”是指在除法中只要除到某一位时没有余数，不管被除数、除数和商是整数还是小数，都可以说是“除尽”。“整除”是指在除法中只有被除数、除数和商都是整数的情况下，才可以说是“整除”。
　　“整除”是整数范围内的除法，而“除尽”则不限于整数范围，只要求余数为零。“整除”与“除尽”的区别和联系在于“整除”也可以称作“除尽”，但是“除尽”不一定是“整除”。“除尽”中包括了“整除”，“整除”只是“除尽”的一种特殊情况。“除尽”与“整除”的关系可用右边集合图来表示。

155.“数的整除性”有哪些性质？
　　“数的整除性”的性质很多，涉及到小学数学内容的有以下几个：
　　（1）如果两个整数a、b都能被c整除，那么a与b的和也能被c整除。
　　例如：42÷7=6 56÷7=8
　　（42＋56）÷7=14
　　42能被7整除，56也能被7整除，那么42与56的和（98）也能被7整除。
　　反之，如果整数a、b中，有一个数能被c整除，而其中一个数不能被c整除，那么a与b的和就一定不能被c整除。
　　例如：36÷9=4 83÷9=9……2
　　（36+83）÷9=13……2
　　36能被9整除，83不能被9整除，那么36与83的和（119）不能被9整除。
　　（2）如果两个整数a、b都能被c整除，那么a与b的差也能被C整除。
　　例如：88÷11=8， 66÷11=6
　　（88-66）÷11=2
　　88能被11整除，66也能被11整除，那么88与66的差（22）也能被11整除。
　　反之，如果整数a、b中，有一个数能被c整除，另一个数不能被c整除，那么a与b的差就一定不能被c整除。
　　例如：91÷13=7 30÷13=2……4
　　（91-30）÷13=4……9
　　91能被13整除，30不能被13整除，那么91与30的差（61）不能被13整除。
　　（3）如果两个整数a、b都不能被c整除。那么a与b的和（或差）能或不能被c整除。这是一个不肯定的结论。
　　例如：65÷7=9……2 33÷7=4……5
　　（65＋33）÷7＝14
　　（65-33）÷7=4……4
　　65不能被7整除，33也不能被7整除，由于两个余数的和（2＋5=7），正好等于除数，因此，65与33的和（98）能被7整除；而65与33的差则不能被7整除。
　　又如：85÷11=7……8 38÷11=3……5
　　（85＋38）÷11＝11……2
　　（85-38）÷11=4……3
　　85不能被11整除，38也不能被11整除，此例中85与38的和（123）或差（47）都不能被11整除。
　　（4）如果整数a能被自然数c整除，那么a的倍数（整数倍）也能被c整除。
　　例如：39÷13=3
　　（39×4）÷13=12
　　39能被13整除，39的4倍（156）也能被13整除。
　　（5）如果a、b、c这三个数中，a能被b整除，b又能被c整除，那么a一定能被c整除（这是整除的传递性）。
　　例如：有84、21、7三个数
　　84÷24=4 21÷7=3
　　84÷7＝12
　　84能被21整除，21又能被7整除，那么84就一定能被7整除。
　　反之，如果a、b、c这三个数中，a与b或b与c之间只要出现一个不能整除的情况，a就一定不能被c整除。
　　例如：有121、11、5三个数
　　121÷11=11 11÷5=2……1
　　121÷5=24……1
　　121能被11整除，但11不能被5整除，那么121就一定不能被5整除。
156.“倍”与“倍数”有什么区别？
　　“倍”与“倍数”虽然只有一字之差，却是两个不同的数学概念，只有真正明确它们各自的内涵和使用范围，才不会在理解和应用上造成混淆。
　　“倍”指的是数量之间的关系，它建立在乘法概念的基础上，在实际教学中，是从“个”和“份”逐步抽象出来的数学概念。
　　例如：白布8米，花布的长度有4个8米；或者说把白布8米看作1份，花布的长度是4份。这里所说的“个”与“份”，换成数学语言就是花布的长度是8米的4“倍”，花布的米数是8×4=32（米）。由此可见，“倍”的出现是从生活中的“个”与“份”逐步抽象出来的，是建立在乘法概念的基础上的。
　　“倍数”指的是数与数之间的联系，它建立在“数的整除性”这个大概念的基础上，是在明确“整除”的前提下，与“约数”同时建立的。
　　例如：28是7的倍数，因为28能被7整除。28÷7=4，28是7的4倍，如果用乘法表示这三个数的数量关系，则7×4=28，7的4倍是28。由此可见，前者的“倍数”是严格限制在“整除”的范围内，而后者的“倍”只体现在乘法的概念当中，这是两者的明确区别。
　　在小学数学教材中，“倍数”的运用还有另一种情况，即在比例教学时，当阐述正、反比例关系所提到的“扩大或缩小相同的倍数”，这里所提到的“倍数”，是一般除法中的概念，而不是“整除”范围内的概念。比例中所出现的倍数，所表示的是两个最相比而得到的数，这个数不一定是整数，也可能是小数。在研究“数的整除性”中的倍数，是不允许出现小数的。
157.约数可以等于因数吗？
　　在“数的整除性”中，约数和因数是两个重要的概念。在小学数学“教”与“学”中，接触因数是在整数乘法时，被乘数与乘数对于积来说，都是因数。约数是在“数的整除性”中出现的，它与倍数是在“整除”概念的前提下，同时建立起来的概念。按照教材中对约数所下的定义：“如果数a能被数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。”假设把商定为c，其算式为：
　　a÷b=c 反之 b×c=a
　　仅从算式来观察，似乎约数与因数已经等同了，实际上并非如此。约数与因数是一个问题在不同范畴内的两种不同提法，两者之间既有联系，也有区别，从上面乘、除法关系的算式中可以看到它们之间的联系，但它们之间的区别则是主要的。
　　以6÷3＝2为例，6能够被3整除，也能被2整除，因此，对6来说，3和2都是它的约数。如果换成乘法算式：3×2=6，对于乘积（6）来说， 3和2都是它的因数。由此可见，只有在“整除”的范畴内，才能谈得上约数，而在乘法中，因数早已经存在了。
　　事实上，6除了能被3和2整除外，还能够被1和6整除，也就是说，6共有1、2、3、6四个约数。至于3×2=6，3和2固然是6的因数；但1×6=6，1和6也是6的因数，这是两个不同的乘法算式，因此，绝不能说成6有1、2、3、6四个因数，否则，1×2×3×6=36，其乘积就不是6，而是36了。
　　约数与因数的另一个区别，还在于各自的应用范围上。约数的应用范围是有限的，它只存在于“数的整除性”这部分知识当中，为学习“公约数”和“最大公约数”做好基础知识上的准备。因数的应用范围则比较广泛，无论整数、小数、分数、百分数，以及到中学后所接触到的负数，只要出现了乘法，就存在着因数的概念。
　　例如：在小数中2.4×0.8=1.92，2.4与0.8都是1.92的因数。
　　
　　在负数中（-5）×7=35，-5和7都是-35的因数。
　　凡此种种，都充分说明：约数与因数是两个不同的概念，是不能等同的。
158.质数一定是奇数吗？偶数一定是合数 吗？
　　质数与奇数，偶数与合数涉及到两组不同的数学概念。质数与合数是相互依存的，奇数与偶数也是相互依存的。因此，质数不一定是奇数，偶数也不一定是合数。
　　这是因为：一个数只有1和它本身两个约数的，这样的数叫做质数（也叫做素数）。而不能被2整除的数叫做奇数。这两个概念的内涵不同，一般来说，是质数的也都是奇数，如：3、13、29、37……。这些数既是质数，也都是奇数。但有一个数是例外的，这就是“2”。2的约数只有1和它本身，因此，它是质数；但2能被2整除，不符合奇数的定义，所以，2不是奇数。按照数学的严密性语言来说：“除2以外的质数都是奇数”，这样的判断才是正确的。
　　还必须看到，“除2以外的质数都是奇数”这个结论虽然正确无误，但反过来说“除2以外，奇数都是质数”则是错误的，如：27、35、143……这些数，虽然都是奇数，但这些数除了1和它本身这两个约数外，还有其他约数，如：27还有3和9，35还有5和7，143还有11和13，都不符合质数的定义，因此，这些数都不是质数。
　　偶数也不一定是合数，因为“能被2整除的数叫做偶数”，而合数的定义是：“除了1和本身，还有别的约数的，这样的数叫做合数。”这里“2”又是一个重要区分点，2是偶数，但不是合数，准确的说法是：“除2以外的偶数都是合数。”
　　与质数和奇数不能反叙述一样，如果说成“除2以外的合数都是偶数”也是错误的。例如：45、87、187……这些数都是合数，但都不是偶数。
159.最小的偶数是几？
　　偶数概念的出现是在“数的整除性”这部分知识里，在小学数学教材中“数的整除性”一般是限制在自然数范围之内的，由于0不是自然数，因此没有涉及到最小偶数是几的问题，但在“教”与“学”中，却常常遇到这个问题，并且说法不一。
　　按照“能被2整除的数叫做偶数”的定义，以及一个数个位上是0、2、4、6、8的数就一定能被2整除的规律，0能够被2整除，0也应该看作是偶数。
　　至于在“教”与“学”中所提出的“最小的偶数是几”的问题，必须限定一个范围，一般来讲，要区分三种情况：
　　（1）如果限定在自然数的范围内，由于已将0排除，最小的偶数是2；
　　（2）如果扩大自然数的范围，把0包括在内，最小的偶数是0。
　　（3）如果限定在整数范围内，这个“整数”概念包括负整数，由于没有最小的负整数，因此，在整数的范围内，也没有最小的偶数。
160.“12是倍数，4是约数”这种说法对不对？
　　研究“倍数”与“约数”的概念，都是在整除的前提下进行的，因此，它们当中的每一个概念都不是单独存在的，而是互相依存的。可以说：没有倍数就没有约数，没有约数也就没有倍数。按照“如果数a能被数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数”的定义，通过下面的例子，就可以回答上面提出的问题了。
　　例如：15÷3=5
　　15能被3整除，15是3的倍数，3是15的约数。
　　24÷8=3
　　24能被8整除，24是8的倍数，8是24的约数。
　　由此可见，12÷4=3，12在能被4整除的情况下，只能说成12是4的倍数，4是12的约数。表述倍数与约数时，必须完整地说明：谁是谁的倍数，谁是谁的约数。如果笼统地说：“谁是倍数，谁是约数”则是孤立的肯定，而失去倍数与约数本身的意义。所以“12是倍数，4是约数”这种说法是不对的。
161.为什么判断一个数能不能被2或5整除，只要看这个数的个位数？
　　判断一个数能不能被2或5整除，在“数的整除性”这个范畴内是一个重要基础知识。教材中是通过自然数乘以2和乘以5的形式，对乘积个位上数的特征的观察，从而得出如下的结论：“个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除。”和“个位上是0或者5的数，都能被5整除。”
　　有关这个结论的算理，可以通过下面数例加以说明。
　　例如：（1）364=300＋60＋4
　　（2）876=800＋70＋6
　　（3）4528=4000＋500＋20＋8
　　任何一个数都可以写成上面的形式，从中可看到：一个数千位、百位、十位上的数字，都表示整千、整百、整十的数，而整千、整百、整十的数都能被2整除（或者说都是2的倍数），这是整除的性质所决定的，那么这个数能不能被2整除的关键，就看个位上的数了。因此，只要个位上是0、2、4、6、8的数，这个数就一定能被2整除。个位上是0的数，必然是10的倍数，10能够被2整除，10的倍数也一定能被2整除。所以个位上是0的数，也一定能被2整除了。
　　又如：（1）485=400＋80＋5
　　（2）3765=3000＋700＋60＋5
　　（3）5970=5000＋900十70＋0
　　同理，千位、百位、十位上的数字，所表示的是整千、整百、整十的数，这些数均能被5整除（或者说都是5的倍数），关键是个位上的数，如果个位上的数能被5整除，这个数必然能被5整除。个位上是5的数，当然能被5整除，个位上是0的数，必然是10的倍数，10能被5整除，10的倍数也必然能被5整除。因此，看一个数能不能被5整除，只要看这个数个位上是0或者5，就能正确、迅速地做出判断。
　　个位上是0的数，是10的倍数，10能被2整除，也能被5整除。因此，个位上是0的数，既能被2整除，又能被5整除。
162.为什么看一个数能不能被3或9整除，就要看这个数各数位上数字的和能不能被3或9整除？
　　一个数只要各数位数字的和是3或9的倍数，就一定能被3或9整除。这个规律可通过下面例子得到证明。
　　例如：判断3576，2549能不能被3整除。
　　3576：∵3＋5+7＋6=21（21是3的倍数）
　　∴3576能被3整除。
　　2549：∵2＋5＋4＋9=20（20不是3的倍数）
　　∴2549不能被3整除。
　　检验：2549÷3=849……2
　　又如：判4212、5282能不能被9整除。
　　4212：∵4+2+1+2=9（9是9的倍数）
　　∴4212能被9整除。
　　5282：∵5+2+8+2=17（17不是9的倍数）
　　∴5282不能被9整除。
　　这个规律主要依据是：
　　（1）凡各位数字是9的数，一定能被3和9整除。如：
　　9÷3=3 9÷9=1
　　99÷3=33 99÷9=11
　　999÷3=333 999÷9=111
　　9999÷3=3333 9999÷9=1111
　　…… ……
　　（2）凡是10的倍数都可以用下列形式表示：10=9+1
　　100=99+1
　　1000=999+1
　　10000=9999+1
　　……
　　80=8×10=8×（9+1）
　　700=7×100=7×（99+1）
　　5000=5×1000=5×（999+1）
　　40000=4×10000=4×（9999+1）
　　……根据以上两点，可以通过下面的等式来说明354能不能被3整除的道理：

　　第一个括号里是9的倍数加上9的倍数，它是能被3或9整除的。因此，这个数能不能被3整除，只要看第二个括号的结果就可以了。而第二个括号里恰恰是354各位数字的和。所以，判断一个数能不能被3或9整除，只要看各位数字的和就可以了。
　　判断结果：3+5+4=12，12能被3整除，因此，354能被3整除。
　　由于9本身能被3整除，所以能被9整除的数，一定能被3整除。而能被3整除的数，却不一定能被9整除。仍以354为例，3+5+4=12，12能被3整除，却不能被9整除，因此，354能被3整除，不能被9整除。
　　用上述方法不但能判断一个数能不能被3或9整除，而且还能判断不能整除时，余数是多少。
　　如：判断7485能不能被9整除。
　　7+4+8+5=24→2+4=6
　　各位数字继续相加
　　从结果看出：把7485的各位数字相加，最后所得的和是6不是9，所以7485这个数不能被9整除。最后得出的6，就是7485除以9的余数。即：
　　7485÷9=831……6
　　又如：判断3478能不能被3整除。　　
　　∵3+4+7+8=22
　　
　　∴3478不能被3整除，余数是1。因为22除以3商7后的余数是1，也就是3478除以3的余数1。
　　检验： 3478÷3=1159……1
163.怎样判断一个数能不能被6整除？
　　判断一个数能不能被6整除，主要看这个数能被2整除，又能被3整除，如果都能，那么这个数就能被6整除。因为把6分解质因数是2×3，或者说2与3的乘积是6，所以能同时被2和3整除的数，就能被6整除。
　　在判断一个数能不能被6整除时，可按照下列步骤进行：
　　（1）首先看这个数是不是偶数，凡是偶数都能被2整除。这就符合了能被6整除的第一个条件。如果这个数不是偶数，那就排除了能被6整除的可能。
　　（2）然后按照能被3整除的数的特征，即：这个数各位数字的和是不是3的倍数，如果是3的倍数，这个数就能被6整除。
　　例如：判断654能不能被6整除。
　　654是偶数，自然能被2整除；654各位数字的和是6+5+4=15，15是3的倍数，因此，654能被6整除。
　　又如：判断274能不能被6整除。274是偶数，但它各位数字的和是2+7+4=13，13不能被3整除，因此，274不能被6整除。
　　如果用图来表示，下面两圆相交部分中的数就是既能被2整除，又能被3整除，也就是能被6整除的数。

164.怎样判断一个数能不能被7整除？
　　判断一个数能不能被7整除，不象判断一个数能不能被2、5、3整除那佯，根据这个数的数字特征就能直接做出判断。一般需要采用割减法。
　　割减法的过程是这样的：把一个数割去末位数字，再从留下来的数中减去所割去数字的2倍，这样一次次减下去，如果最后的结果是7的倍数（包括0），那么原来这个数就一定能被7整除。
　　例1：判断3164能不能被7整除。

　　因为14是7的倍数，所以3164能被7整除。
　　检验：3164÷7=452.
　　对于数字不大的数，使用割减法判断能不能被7整除是比较方便的。

　　这个割减的过程，并不需要笔算，口算就可以完成。关于割减法的算理，即：为什么要先割去末位上的数字，然后再从留下的数字中减去割去数字的2倍？这与能不能被7整除有什么关系？讲清这个算理，先观察一下21的倍数有什么特点。

　　从表中可以看到，21的倍数恰好是前位数字是末尾数字的2倍。那么，把一个数割去末位数字，再从前位减去末位数字的2倍，不正是减去21的倍数吗？如例1中割去84，不就是割去末位数字4的21倍吗？
　　由于21=7×3，21包含3个7，所以减去21的倍数，也就是减去7的倍数。由此可以看出：判断一个数能不能被7整除所用的割减法，其依据就是利用了21的倍数的特点。
　　如果一个数连续减去7的倍数，而余下的数也是7的倍数，那么原来这个数也必然是7的倍数，因而也能被7整除。
　　
　　这个过程不一定书写出来，也可以在口算中进行。
　　因为用割减法连续减去的是21的倍数，如果最后的结果还是21的倍数，那么这个数既能被7整除，还能被21整除，当然也能被3整除。
　　例2：判断2583，5264能不能被7和21整除。

　　2583能被7整除；也能被21整除。
　　检验：2583÷7=369
　　2583÷21=123

　　5264能被7整除，不能被21整除。
　　检验：5264÷7=752
　　5264÷21=250……14
165.怎样判断一个数能不能被4或25整除？
　　判断一个数能不能被4或25整除是比较容易的，这就是：如果一个数的末两位数能被4或25整除，那么这个数就一定能被4或25整除。
　　例如：4750=47×100+50
　　928=9×100+28
　　3800=38×100
　　因为25与4相乘的积是100，100既能被4整除，又能被25整除，因此百位以前的数（100的倍数）可以不考虑，只要这个数的末两位数能被4或25整除，这个数就一定能被4或25整除。由此可以得出：凡是一个数的末两位数都是0（必然是100的倍数），这个数就一定能被4或25整除。
　　4750的末两位数是50，50能被25整除，但不能被4整除，4750只能被25整除，而不能被4整除。
　　928的末两位数是28，28能被4整除，但不能被25整除，928就只能被4整除，而不能被25整除。
　　3800的末两位数都是0，说明3800是100的倍数，因此，3800既能被4整除，也能被25整除。
166.怎样判断一个数能不能被8或125整除？
　　一个数能不能被8或125整除，要看这个数的末三位，这个数的末三位是8或125的倍数，这个数就能被8或125整除。
　　由于1000=8×125，1000既是8的倍数，也是125的倍数，所以，凡是一个三位以上的多位数，只要末三位数都是0，这个数就一定能被8和125整除。
　　例如：

　　6048能被8整除，4375能被125整除，86000既能被8整除，又能被125整除，7594和7300这两个数，既不能被8整除，也不能被125整除。
　　这种根据一个数末三位数来进行判断的方法，其算理是：任何一个三位以上的多位数，都是由1000的倍数和一个三位数组成的。
　　例如：9864=9×1000+864
　　56750=56×1000+750
　　93000=93×1000
　　1000既能被8和125整除，1000的倍数也必然能被8和125整除，因此，一个数末三位左边的数可以不看，只要末三位数能被8或125整除，这个数就能被8或125整除。
　　看末三位数是不是8的倍数，还可以采用简便的方法：
　　（1）先看末位数是奇数还是偶数，倘若是奇数，可以肯定不是8的倍数，因为8的倍数永远是偶数。
　　（2）如果是偶数，用2去除末三位数，看所得的商是4的倍数，这个数就能被8整除。
　　例如：
　　
　　所以7104能被8整除。
　　
　　由于125本身就是三位数，在所有的三位数内，125的倍数只有有限的几个（125、250、375、500、625、750、875、1000），所以，只要熟记这几个数据，就可以准确、迅速地进行判断了。
167.怎样判断一个数能不能被11整除？
　　判断一个数能不能被11整除与判断一个数能不能被7整除一样，都没有直接判断的方法，需要借助间接的方法，这种间接的方法有两种，其一是“割减法”，其二是奇偶位差法。
　　（1）割减法：判断被11整除的割减法与判断被7整除的割减法不同。即：一个数割去末尾数字，再从留下来的数中减去这个末位数字，这样一次一次地减下去，如果最后结果是11的倍数（包括得0），那么这个数就能被11整除；如果最后结果不是11的倍数，那么这个数就不能被11整除。
　　例如：4708……割去末位8

　　因此，4708能被11整除。
　　在判断时，对于数目不大的数，用口算就可以看出结果。

　　通过口算可以得出：891能被11整除；1007不能被11整除。
　　（2）奇偶位差法：把一个数由右边向左边数，将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来，再求它们的差，如果这个差是11的倍数（包括0），那么原来这个数就一定能被11整除。
　　例如①：判断283679能不能被11整除。

　　23-12=11
　　因此，283679能被11整除。
　　②判断480637能不能被11整除。
　
　21-7=14
　　因此，480637不能被11整除。
　　上述这种方法叫做奇偶位差法，算理可通过下列算式说明。
　　9÷9=1 9÷11（不能整除）
　　99÷9=11 99÷11=9
　　999÷9=111 99÷11（不能整除）
　　9999÷9=1111 9999÷11=909
　　99999÷9=11111 9999÷11（不能整除）
　　999999÷9=111111 999999÷11=90909
　　…… ……
　　由以上两算式中可以看到：全部由9组成的任何一个数，都能被9整除，但除以11则不一定，只有当9的个数成偶数时，才能被11整除，当9的个数是奇数时，则不能被11整除。
　　当一个数首尾数字相同，中间都是0，而且0的个数成偶数时，这个数也能被11整除。
　　如：11÷11=1
　　1001÷11=91
　　300003÷11=27273
　　……
　　通过用奇偶位差法的分解来判断8712能不能被11整除，从中也可以进一步理解这种判断方法的算理。
　　8712=8000+700+10+2 ①
　　偶 奇 偶 奇
　　偶位上的数可以写成：
　　8000=8×1000=8×（1001-1） ②
　　10=1×10=1×（11-1） ③
　　奇位上的数可以写成：
　　700=7×100=7×（99+1） ④
　　把②③④式代到①式中去。

　　第一个括号中所得的结果，肯定能被11整除，原数能不能被11整除，决定于第二个括号中所得的数，而第二个括号中的数，恰恰是奇位数字与偶位数字之差，由此而得出了用奇偶位差法来判断一个数能不能被11整除。
168.怎样判断一个数能不能被13整除？
　　一个数能不能被13整除，在判断上也没有直接的方法，需要借助间接的方法，这种间接的方法是：一个多位数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差，这个差如果能被13整除，那么原来的这个多位数就能被13整除。
　　例如：判断383357能不能被13整除。
　　383357这个数的末三位数是357，末三位以前的数字所组成约数是383，这两个数之差是383-357=26。
　　∵26能被13整除，
　　∴383357也能被13整除。
　　又如：判断35062能不能被13整除。
　　35062这个数的末三位数是62，末三位以前的数字所组成的数是35，这两个数之差是：62-35=27。
　　∵27不能被13整除，
　　∴35062也不能被13整除。
　　这个方法也同样适用于判断一个数能不能被7或11整除。
169.怎样判断一个数能不能被17整除？
　　判断一个数能不能被17整除，也没有直接的方法，间接的方法也使用“割减法”。不过这里使用的割减法与判断一个数能不能被7整除的割减法，不完全一样。它也是先割去原来数的末位数字，然后再从留下来的数中减去割去数字的5倍，倘若数字还大，就依照上述步骤继续割减，当最后的结果是17的倍数时，那么原来这个数就一定能被17整除。如果最后结果不是17的倍数时，那么原来这个数就一定不能被17整除。
　　例如：判断9894能不能被17整除。

　　最后结果是51，51能被17整除，所以9894也能被17整除。
　　又如：判断8765能不能被17整除。

　　由于80不能被17整除，因此，8765也不能被17整除。
　　这种判断一个数能不能被17整除的割减法的算理是：先割去末位数字，实际上是减去末尾数字本身的1倍，再从前位减去所割数字的5倍，实际上又减去了所割数字的50倍，加上已经减去的1倍，一共减去所割数字的51倍。因为51=17×3，51既是17的倍数，减得的结果是17或是17的倍数（包括0），都证明原来这个数一定能被17整除，反之，则不能。
　　如果要求判断的数不大，判断过程也完全可以用口算进行。
　　如：判断782和693能不能被17整除。

　　从上述口算过程可以得出：782能被17整除；693不能被17整除。
170.怎样判断一个数能不能被12、15、18、45整除？
　　判断一个数能不能被12、15、18、45整除都没有直接的方法，可以按照前面提到的判断被6整除的做法，从而找出一个间接的方法来。
　　（1）怎样判断一个数能不能被12整除。
　　因为12=3×4 a÷12=a÷3÷4
　　由此可以得出：如果一个数能被3整除又能被4整除，那么这个数就一定能被12整除。判断被3和4整除的数的特征，在前面已经做了解答，只要满足被3和4整除的这两个条件,这个数就一定能被12整除。即：一个数的各位数字的和是3的倍数，末两位的数又是4的倍数，这个数就一定能被12整除。
　　例如：判断3084能不能被12整除。
　　3084的各位数字的和是3+0+8+4=15，
　　15是3的倍数，3084的末两位数是84，84又是4的倍数，所以3084能被12整除。
　　检验：3084÷12=257
　　又如：判断4734能不能被12整除。
　　4734的各位数字的和是4+7+3+4=18，18是3的倍数，但4734的末两位数是34，34不是4的倍数，所以4734不能被12整除。
　　检验：4734÷12=394……6
　　（2）判断一个数能不能被15整除。
　　因为15=3×5 a÷15=a÷3÷5
　　由此可以得出：一个数既能被3整除，又能被5整除，这个数就一定能被15整除。即：一个数的各位数字的和是3的倍数，而它末位数字是0或5，这个数就能被15整除。
　　例如：判断8715能不能被15整除。
　　8715的各位数字的和是8+7+1+5=21，21是3的倍数，8715的末位数字又是5，所以8715这个数能被15整除。
　　检验：8715÷15=581
　　（3）判断一个数能不能被18整除。
　　因为18=2×9 a÷18=a÷2÷9
　　由此可以得出：一个数既能被2整除，又能被9整除，那么这个数就一定能被18整除。即：一个末位数字是0、2、4、6、8的数，而它的各位数字的和又是9的倍数，这个数就能被18整除。
　　例如：判断52416能不能被18整除。
　　52416的末位数字是6，能被2整除，而52416的各位数字的和是5+2+4+1+6=18，18又是9的倍数，因此，52416一定能被18整除。
　　（4）判断一个数能不能被45整除？
　　因为45=5×9 a÷45=a÷5÷9
　　由此可以得出：一个数既能被5整除，又是9的倍数，那么这个数就一定能被45整除。即：一个数的末位数字是5或0，而它的各位数字的和又是9的倍数，这个数就一定能被45整除。
　　例如：判断98865能不能被45整除。
　　98865的末位数字是5，可以被5整除，98865的各位数字的和是9+8+8+6+5=36，36又是9的倍数，因此，98865一定能被45整除。
　　使用上述4种间接判断方法，要特别注意一个问题，即：一个数所分解的两个数，这两个数必须是互质数，否则就会发生判断上的错误。
　　例如：12不能分解成2×6，18也不能分解成3×6。如果12=2×6，2与6并不是互质数，且6=2×3，这样，2就重复考虑了两次，结果就形成了能被6整除的数就能被12整除的错误结论。
　　如果18=3×6，3与6这两个数也不是互质数，6又可以分解成2×3，这样，3又重复考虑了两次。6是3的倍数，也会导致能被6整除的数就能被18整除的错误结论。事实上，如：246、462这些数，都满足能被3和6整除的条件，但却不能被18整除。
171.为什么三个连续数相乘的积一定是6的倍数？
　　三个连续数相乘的积一定是6的倍数，这决定于自然数列的排列规律。因为在自然数列里，所有的偶数都是2的倍数，也就是每隔一个数必是一个2的倍数，而每隔两个数，必是3的倍数。
　　例如：从11起自然数列的顺序是这样的：

　　从上面自然数列中可以看出：无论从任何一个数开始，三个连续数中，必定有2和3的倍数，而2与3的乘积是6，所以在三个连续数的乘积里，必定有6的倍数。或者说：三个连续数相乘的积一定是6的倍数。
　　例如：14、15、16三个连续数。
　　这三个连续数中，14和16是2的倍数，15是3的倍数，因此，这三个连续数相乘的积，一定是6的倍数。14、15、16相乘积是14×15×16=3360，而3360是6的560倍。
172.质数、质因数和互质数有什么区别？
　　质数、质因数和互质数这三个术语的概念极易混淆，因为它们都有“质”和“数”两个字。正确地区分这几个概念，对掌握数的整除性这部分基础知识，有着极其重要的意义。
　　（1）质数：一个自然数，如果只有1和它本身两个约数，这个数叫做质数（也称素数）。
　　例如：
　　1的约数有：1；
　　2的约数有：1，2；
　　3的约数有：1，3；
　　4的约数有：1，2，4；
　　6的约数有：1，2，3，6；
　　7的约数有：1，7；
　　12的约数有：1，2，3，4，6，12；
　　……
　　从上面各数的约数个数中可以看到：一个自然数的约数个数有三种情况：
　　①只有一个约数的，如1。因此，1不是质数，也不是合数。
　　②只有两个约数的（1和它本身），如2，3，7……
　　③有两个以上约数的，如4，6，12……
　　属于第②种情况的，叫做质数。属于第③种情况的，即：除了1和本身以外，还有别的约数，这样的数叫做合数。
　　（2）质因数：一般地说，一个数的因数是质数，就叫做这个数的质因数。
　　例如：18=2×3×3
　　这里的2、3、3都是18的因数，而2和3本身又都是质数，于是我们就把2、3、3叫做18的质因数。这里需要注意的是：18也可以写成3与6的乘积，即：18=3×6，无疑3和6都是18的因数，但3本身是质数，可以称做18的质因数，而6是合数，则不能称做18的质因数。
　　（3）互质数：两个或几个自然数，当它们的最大公约数是1的时候，这两个或几个数，就叫做互质数（也叫互素数）。
　　例如：5和7，4和11，8和9，7、11和15，12、20和35……。
　　上述这几组数，它们的最大公约数都是1，因此，它们都是互质数。在以上两个互质数中，如7、11和15这三个数，7和11是互质数，11和15是互质数，7和15也是互质数。这类情况，我们就叫做这三个数“两两互质”。但12、20和35这组数中，虽然它们也是互质数，但不是两两互质，因为12和35是互质数，至于12和20、20和35都不是互质数。
　　需要注意的是：不管两个数互质或者两个的数以上互质，这些数本身却不一定是质数，如5和7是互质数，它们本身都是质数；4和11是互质数，其中4并不是质数；8和9是互质数，但8和9本身都不是质数。
　　总之，质数是指一个数。譬如说：“2是质数，11是质数”等等。质因数虽然也是指一个数，但是它是针对另一个数而说的。譬如说：“5是35的质因数。”如果离开35，孤立地说：“5是质因数。”则是不妥当的。因此，质因数具有双重身份：第一必须是个质数；第二必须是另一个数的因数。
　　互质数同质数、质因数都不同，它不是指一个数，而是指除了1以外，再没有其他公约数的两个或两个以上的数。
　　由此可见：掌握质数、质因数和互质数这几个术语的概念，其中质数是基础，这三者之间既有联系，又有区别，要透彻理解和正确区分，才能防止混淆。
173.怎样判断一个数是不是质数？
　　正确而迅速地判断一个自然数是不是质数，在数的整除性这部分知识中，是一项重要的基本技能。
　　由于大于2的质数一定是奇数（奇数又不一定都是质数），所以，在判断一个自然数是不是质数时，首先要看它是奇数还是偶数。如果是大于2的偶数，这个数肯定不是质数，而是合数；如果是奇数，那就有可能是质数。在这种情况下，一般使用以下两种方法：
　　（1）查表法：
　　主要是指查“质数表”。编制质数表的过程是：按照自然数列，第一个数1不是质数，因此要除外，然后按顺序写出2至500的所有自然数，这些数中2是质数，把它留下，把2后面所有2的倍数划去，2后面的3是质数，接着再把3后面所有3的倍数划去，如此继续下去，剩下的便是500以内的全部质数。
　　最早使用上述方法来寻求质数的人，是古代希腊数学家埃拉托斯特尼，由于他在开始时，先把自然数写在一块蜡板上，把不是质数的数（合数）分别刺上一个孔，这样，在蜡板上就被刺上了许多象筛子一样的孔，后来，大家就把这种寻求质数的方法叫做“筛法”。
　　下面是用筛法寻找出的500以内质数表：

　　这类的质数表还可以编制成数字范围更大一些的，如1000以内质数表等。判断一个自然数是不是质数，如在表所规定的数字范围内，即可用查表的方法进行判断。
　　（2）试除法：
　　在手头上没有质数表的情况下，可以用试除法来判断一个自然数是不是质数。例如判断143、179是不是质数，就可以按从小到大的顺序用2、3、5、7、11……等质数去试除。一般情况下用20以内的2、3、5、7、11、13、17、19这8个质数去除就可以了。如143，这个数的个位是3，排除了被2、5整除的可能性，它各位数字的和是1+4+3=8，也不可能被3整除，通过口算也证明不能被7整除，当试除到11时，商正好是13，到此就可以断定143不是质数。
　　对179试除过程如下：
　　179÷2=59……2
　　179÷3=66……1
　　179÷5=35……4
　　179÷7=25……4
　　179÷11=16……3
　　179÷13=13……10
　　179÷17=10……9
　　当179÷17所得到的不完全商10比除数17小时，就不需要继续再试除，而断定179是质数。这是因为2、3、5、7、11、13、17都不是179的质因数，因此，179不会再有比17大的质因数，或者说179不可能被小于10的数整除，所以，179必是质数无疑。
　　综上所述，用试除法判断一个自然数a是不是质数时，只要用各个质数从小到大依次去除a，如果到某一个质数正好整除，这个a就可以断定不是质数；如果不能整除，当不完全商又小于这个质数时，就不必再继续试除，可以断定a必然是质数。
174.怎样把一个合数分解质因数？
　　分解质因数在数的整除性这部分知识中，既是整除、约数、质数等基础知识的综合运用，也是后面学习最大公约数和最小公倍数的前提和准备，所以，在数的整除中,它具有承上启下的作用。
　　把一个合数分解质因数，就是把这个合数用质因数相乘的形式表示出来。或者说，把一个合数写成几个质数的连乘积。譬如36是合数，把36分解成因数相乘，会有以下几种情况：
　　（1）36=1×36 （2）36=2×18
　　（3）36=4×9 （4）36=3×12
　　（5）36＝6×6
　　在上面五种分解中，只有（2）式的2和（4）式的3是质数,其他都不是。要分解质因数就要把不是质数的数（1不是质数，也不是合数，排除在外），再分解成质数连乘的形式。如（3）式中的4和9都是合数，4可以分解为：2×2； 9可以分解为： 3 × 3。这样，把 36分解质因数，36=2×2×3×3。事实上，除（l）式外，（2）（4）（5）式继续分解，其最后结果也是同样的。
　　把一个合数分解质因数，具体过程可采用短除法。
　　例如：把420分解质因数。（从最小的质因数开始）

　　由短除式中可以看到，420有2、2、5、3、7五个质因数，420分解质因数的结果是：420=2×2×5×3×7。
　　在进行分解质因数时，最后的书写格式要特别注意，一定要把所要分解的合数写在等号的左边，如：24=2×2×2×3，105=3×5×7等，而不能写在等号的右边，如：2× 2×2×3= 24，这样就与乘法算式相混淆，而不是分解质因数了。
175.怎样找出一个合数所有的约数？
　　把一个合数所有的约数都找出来，对数目不大的合数，可以通过口算找出来，例如：9的约数有1、3、9；15的约数有1、3、5、15；21的约数有1、3、7、21等。对于数目较大的数，单纯靠口算，就有可能会遗漏中间的约数。通常可以先把这个合数分解质因数，再把各个质因数依次搭配结合，就可以找出它的所有约数。
　　例如：找出420的所有约数。
　　先把120分解质因数
　　420=2×2×3×5×7
　　（1）上面这些约数中有质数：2、3、5、7四个。
　　（2）由两个质数结合成的有：
　　2×2=4 2×3=6
　　2×5=10 2×7=l4
　　3×5=15 3×7＝21
　　5×7=35
　　有4、6、10、14、15、21、35七个。
　　（3）由三个质数结合成的有：
　　2×2×3=12 2×2×5＝20
　　2×2×7＝28 2×3×5＝30
　　2×3×7=42 2×5×7＝70
　　3×5×7＝105
　　有12、20、28、30、42、70、105七个。
　　(4）由四个质数结合成的有：
　　2×2×3×5=60 2×2×3×7=84
　　2×2×5×7=140 2×3×5×7=210
　　有60、84、140、210四个。
　　因此，420的约数有4＋7＋7＋4=22（个），再加上1和420本身，共24个约数。
　　除上述方法外，还可以先把一个合数分解质因数，然后把每个质因数的个数加1，连乘起来，所得的积就是这个合数的所有约数的个数，并且包括了1和它本身。
　　仍以420为例：

　　∴420有 24个约数。

　　∴360也有 24个约数。
176.为什么用短除法能求出几个数的最大公约数？
　　求几个数最大公约数的方法，开始时用观察比较的方法，即：先把每个数的约数找出来，然后再找出公约数，最后在公约数中找出最大公约数。
　　例如：求12与18的最大公约数。
　　12的约数有：1、2、3、4、6、12。
　　18的约数有：1、2、3、6、9、18。
　　12与18的公约数有：1、2、3、6。
　　12与18的最大公约数是6。
　　这种方法对求两个以上数的最大公约数，特别是数目较大的数，显然是不方便的。于是又采用了给每个数分别分解质因数的方法。
　　12=2×2×3
　　18=2×3×3
　　12与18都可以分成几种形式不同的乘积，但分成质因数连乘积就只有以上一种，而且不能再分解了。所分出的质因数无疑都能整除原数，因此这些质因数也都是原数的约数。从分解的结果看，12与 18都有公约数 2和 3，而它们的乘积2×3=6，就是 12与18的最大公约数。
　　采用分解质因数的方法，也是采用短除的形式，只不过是分别短除，然后再找公约数和最大公约数。如果把这两个数合在一起短除，则更容易找出公约数和最大公约数。

　　从短除中不难看出，12与18都有公约数2和3，它们的乘积2×3=6就是12与18的最大公约数。与前边分别分解质因数相比较，可以发现：不仅结果相同，而且短除法竖式左边就是这两个数的公共质因数，而两个数的最大公约数，就是这两个数的公共质因数的连乘积。
177.为什么用短除法能求出几个数的最小公倍数？
　　最小公倍数的定义是：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。求几个数最小公倍数的方法，可以用分别分解质因数的方法，先找出几个数公有的质因数，再找出各自独有的质因数，把这些质因数连乘起来，最后得出的积就是这几个数的最小公倍数。
　　例如：求12和20的最小公倍数。

　　12和20的最小公倍数是2×2×3×5=60
　　把分别分解合在一起，就是短除法。这样做，不仅结果一样，还减少了中间计算的层次，通常采用的就是这种方法。
　　仍如上例：

　　短除竖式左边是这两个数的公有质因数，竖式下边是这两个数各自独有的质因数。根据两个数的最小公倍数一定能被这两个数整除，所以，最小公倍数必须包含这两个数里的所有质因数。竖式左边的公有质因数与竖式下边各自独有质因数的连乘积，才是最小公倍数的道理，就在于此。
　　在求三个数的最小公倍数时，两个数中共同的质因数要筛去，如果不筛去，所求出来的虽然也是这三个数的公倍数，但不是最小公倍数。所以，只要有两个数能被同一质数整除，就应该继续除下去，直到除到竖式下边的三个数两两互质为止。
　　例如：求15、30和50的最小公倍数。

　　∴15、 30和50的最小公倍数是5×2×3×5=150。
178.两个数的最大公约数与最小公倍数有什么联系？
　　两个数的最大公约数与最小公倍数是两个完全不同的概念，但它们之间又存在着一定的规律。以12和20的最大公约数与最小公倍数为例：

　　12和20的最大公约数是2×2=4；
　　12和20的最小公倍数是2×2×3×5=60。
　　12与20的积是12×20=240，它们的最大公约数与最小公倍数的积是 4 × 60=240。两个积正好一样，这并非巧合，而是一种规律，即：两个自然数的积等于这两个数的最大公约数与最小公倍数的积。通过原来算式的因数交换可以得到证明：

　　再如：45与105的最大公约数和最小公倍数为：
　
　　45与105的最大公约数是3×5=15；
　　45与105的最小公倍数是3×5×3×7=315。
　　45与105的乘积是45×105=4725，再看最大公约数与最小公倍数的乘积也是15×315=4725。由此可证明，两个数的最大公约数与最小公倍数是有联系的，这种联系是通过以上规律来体现的，这个规律如果用字母公式表示为：
　　一般地，a×b=（a，b）× [a，b]
　　依据这个规律，在求两个数的最大公约数和最小公倍数时，可以推导出新的公式。即：已知12与20的最大公约数是4，求它们的最小公倍数是多少？
　　最小公倍数=两数的乘积/最大公药数=12×20/4=60
　　如果已知12与20的最小公倍数是60，求它们的最大公约数是多少？
　　最大公约数=两数的乘积/最小公倍数=12×20/60=4
179.怎样用求最大公约数和最小公倍数的方法解答实际问题？
　　在实际生活中，有些应用题需要用求最大公约数和最小公倍数的方法去解答，用其他解应用题的方法将无济于事。
　　例1：将一块长24厘米，宽18厘米，厚12厘米的长方体木料，锯成尽可能大的同样大小的正方体木块，可以锯成多少块？
　　由于同样大小的正方体木块，棱长都必须相等，这个棱长的厘米数，应该是长方体木料长、宽、厚厘米数的公约数，因为要求正方体的木块尽可能大，也就是要求正方体木块的棱长尽可能长，所以求的棱长厘米数必然是长方体木料长、宽、厚的最大公约数。

　　24、18和 12的最大公约数是2×3=6。
　　既然正方体木块的棱长最大长度是6厘米，再分别求出长方体木料的长、宽、厚各有几个6厘米，最后就可以求出锯出正方体木块的块数。
　　24÷6=4 18÷6＝3 12÷6=2
　　因此，锯成的块数是 4×3×2=24（块）
　　检验：
　　长方体木料体积：24×18×12=5184（立方厘米）
　　正方体木块体积：6×6×6=216（立方厘米）
　　可以锯成的块数：5184÷216=24（块）
　　答：可以锯成24块。
　　例2：在公共汽车站有三条汽车线，一路车每隔5分钟开出一辆，六路车每隔10分钟开出一辆，八路车每隔8分钟开出一辆。这三路汽车在同一时刻发车后，至少再过多少分钟，又在同一时刻发车？
　　这一、六、八路车在同地同时发车后，由于每路车发车时间的间隔不同，再次同时发车经过的时间，必然是5、10、8分钟的公倍数，根据题意要求，至少再过多少分钟，说明所求的就是5、10、8分钟的最小公倍数。

　　5、8、10的最小公倍数是2×5×1×4×1=40
　　答：至少再过40分钟，又在同一时刻发车。
　　最大公约数与最小公倍数应用题，在实际生活中应用比较广泛。例如，人数不同的教学班，分成人数相等的小组；行星运转轨道不同，在同一直线上开始运转，再次同时运转所需天数等问题，都需要用上述两种方法来解答。
180.怎样用“公倍数法”解“孙子问题”？
　　我国古代的《孙子算经》里，曾提出了这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”
　　翻译成现代语言就是：“现在有许多物品不知道是多少，三个三个地数余二个，五个五个地数余三个，七个七个地数余二个，问这些物品有多少个？”这个问题通常叫做“孙子定理”或“孙子问题”，它的解法很早就流传到国外，被称为“中国剩余定理”。
　　用公倍数法解这道题的思路是这样的：先考虑第一个条件，并使其余数为1，从第二、三个条件入手，5和7的公倍数是35，但35÷3的余数为 2，不是 1，而 35×2= 70， 70÷3的余数正好是1，也就是说：能被5、7整除，而被3除余1的数是70。
　　再考虑第二个条件，也使其余数为1，从第一、三条件入手，3和7的公倍数是21，21÷5的余数正好是1，这说明：能被3和7整除，而被5除余1的数是21。
　　然后考虑第三个条件，从第一、二条件入手，使其余数也是1， 3和5的公倍数是15，15÷7的余数也恰是1，这说明：能被3和5整除，而被7除余1的数是15。
　　因此，被5和7整除，而被3除余2的数是70×2=140；被3和7整除，而被5除余 3的数是： 21×3=63；被 3和 5整除，而被7除余2的数是15×2=30。把满足三个条件的数加起来，所得的和必然是具备被3除余2，被5除余3，被7除余2的特点。
　　140＋63＋30=233，这个结果是正确的，但不是唯一的，因为除数3、5、7的最小公倍数是105，233加上或减去若干个105，所得的结果仍然能满足题目中的全部条件。但减105时，在正整数范围内，差小于105就可以了。
　　如果原题最后一问加上“最少”两个字，即：“最少为几何？”则：233-105-105=23。这个23是满足题目条件的最小的一个数。
　　这个问题的解法，在明朝程大位《算法统宗》里，有如下歌诀：
　　三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，
　　七子团圆正半月，除百零五便得知。
　　这个歌诀所说的计算步骤，与前面叙述过程一样，列出算式为：
　　2×70+3×21+2×15=233
　　233-105-105=23
　　检验：23÷3=7……2 23÷5=4……3
　　23÷7=3……2w
181.怎样解“九宫填数”问题？
　　“九宫填数“也叫“九方数”，古代称为“九宫算”。九宫填数是将九个有效数字填在九个方位格子里，要使每行、每列和每条对角线上的和都相等，即：横的三个数之和、竖的三个数之和与斜的三个数之和，都相等。在解这个题之前，先把九宫的方位问题明确了，以便讲行具体的阐述。
　　这个方位的确定与看地图的方位是一致的。由于要把1—9这九个数填在适当的格子里，这九个数之和是45，无论是横、竖、斜都是三个数，把45平均分成三行，每行三个数的和都是15（包括横、竖、斜）。每三个数的情况：横有3种，竖有3种，斜有2种，共8种。

　　这8种情况（将15分解成的）有：
　　（1） 1， 5， 9； （2） 1， 6， 8；
　　（3） 2， 4， 9； （4） 2， 5， 8；
　　（5） 2， 6， 7； （6） 3， 4， 8；
　　（7） 3， 5， 7； （8） 4， 5， 6。
　　在填数时，其顺序是先把“中数”确定，因为横、竖、斜这8种情况中，有4种情况都包含“中数”，上面8种组合中，只有“5”在4种中都出现了，因此这个中数是5无疑。
　　然后再确定四个角上的“角数”。由于每个“角数”向横、竖、斜发展，都会组成一组数，共三组，因此，每个“角数”必然是上面8组数中三组包含的同一个数。从8组数中观察，这样的数共有四个偶数，即：2，4，6，8。这四个偶数还不能随意填，因为斜着的三个数的和必须是15，这样，两个对角数的和也应该是10，有了这种条件限制，斜线上的三个数是2，5，8或4，5，6。但排列形式上，由于每个角数变换方位，会出现以下8种情况：

　　
　　“中数”和“角数”确定之后，只剩下“边数”的四个奇数了，由于横、竖三个数的和是15，现在已有了其中两个数，剩下的这个数就不难求出了。
　　上述填数的规律确定之后，如果任意指定填上九个连续自然数，那么上述的规律也同样适用。即：先确定“中数”，后确定“角数”和“边数”。这有两种情况：如果“中数”是奇数，那么“角数”必然是偶数，“边数”则是奇数；如果中数是偶数，那么“角数”必然是奇数，边数则是偶数。
　　例如：把下列各组数摆成“九宫数”：
　　（1）5，6，7，8，9，10，11，12，13；
　　（2）6，7，8，9，10，11，12，13，14。

　　（1）式中横、竖、斜各三个数的和为27；
　　（2）式中横、竖、斜各三个数的和为30。
182.什么叫辗转相除法？
　　辗转相除法是求最大公约数的另一种方法。具体做法是：用较小数除较大数，再用出现的余数（第一余数）去除除数，再用出现的余数（第二余数）去除第一余数，如此反复，直到最后余数是0为止。如果是求两个数的最大公约数，那么最后的除数就是这两个数的最大公约数。
　　例如：求112和77的最大公约数。
　　辗转相除法的过程如下；

　　把112和77并列用77去除112，写好，用三条竖线隔商1（写在左边），余数开。35。

　　当最后余数是0时，辗转相除的过程已经完成，最后的除数7就是112和77的最大公约数。
　　辗转相除法的算理是根据：在a=bq+r，中，除数b和余数r能被同一个数整除，那么被除数a也能被这个数整除。或者说，除数与余数的最大公约数，就是被除数与除数的最大公约数；如果反过来说，被除数与除数的最大公约数，就是除数与余数的最大公约数。
　　如果用辗转相除法求两个数的最大公约数时，最后的余数是1，那么这两个数就是互质数，或者说，它们只有公约数1。
183.什么叫哥德巴赫猜想和陈氏定理？
　　1742年，德国数学家哥德巴赫发现了这样的事实；每一个大于或者等于6的偶数，都是两个奇质数之和。例如：
　　6=3＋3 8=3＋5 10=5＋5
　　12=5＋7 14=7＋7 16=3＋13
　　18=5+13 100=3+97 1002＝5+997
　　哥德巴赫对许多偶数进行了检验，都证明这个论断是正确的，有人甚至一个一个的偶数进行验算，一直验算到三亿三千万个之多，也证明这个论断是正确的。然而自然数是无穷的，是不是对所有的自然数，这个论断都正确呢？在数学中还需要从理论上加以证明。
　　由于哥德巴赫自己无法证明，1742年他写信给当时有名的数学家欧拉，请他帮助做出证明。后来欧拉回信，认为哥德巴赫所提的问题是对的，不过他也无法证明。哥德巴赫所提的问题，直到现在还没能证明，因此，不能成为一条定律，只能是一个猜想。哥德巴赫所提的问题，就被称为哥德巴赫猜想，而这一猜想也成为世界著名难题之一。
　　二百多年过去了，这一难题的研究虽然有些进展，但迄今为止，还没有完全得到解决。
　　1920年挪威数学家布朗证明了：每一个很大偶数（或叫大偶数）是九个素数的积加上九个素数的积，简称“9＋9”。1924年法国的拉德巴哈尔证明了：每一个大偶数是七个素数的积加上七个素数的积，简称“7＋7”。随着研究的进展，“6＋6”、“5＋5”……最终还没有完全证明。
　　研究越前进，困难也越大。50年代以来，我国数学家不断在哥德巴赫猜想这一世界难题研究中，取得了良好的成绩。特别是1966年，我国数学家陈景润宣布他已经证明了：每一个充分大的偶数，都可以表示成一个素数加上两个素数的积；即：所谓的（1+2）。
　　例如：8=2+2×3 18=3+3×5
　　98=7＋13×7 1000=7+3×331
　　陈景润的研究成果是研究哥德巴赫猜想的最好的结果，引起了国际数学界的高度重视，对于陈景润的杰出贡献，国外数学家把（1+2）这个证明命名为“陈氏定理”。
　　（1+2）的证明是1973年正式公布的。哥德巴赫猜想这道世界难题的最终解决，还需要人们不断地探索和证明。
184.什么是弃九验算法？
　　弃九验算法又称九余数法。它是依据九余数的特点，用来检验加、减、乘、除四则运算是否正确的一种验算方法。
　　所谓弃九数，就是指：把一个数的各位数字相加（如果相加的结果大于九要减去九），直到和是一位数，这个数就叫做原来数的弃九数。弃九数也可以通过下列方法得到，即：把一个数中的数字9或相加得9的几个数字都划去，将剩下数字相加，得到一个小于9的数，这个数就是原来的弃九数。
　　例如：下列各数的最后数就是弃九数。

　　弃九验算法的实际应用是：
　　（1）检验加法时，如果各个加数九余数之和（如超过9再减去9的倍数）等于和的九余数时，计算结果可能就是正确的。

　　（2）检验减法时，如果被减数的九余数减去减数的九余数所得的差，等于差的九余数时，计算结果可能就是正确的。

　　（3）检验乘法时，如果被乘数的九余数与乘数的九余数之积的九余数，等于积的九余数，计算结果可能就是正确的；反之则是错误的。

　　由于等号两边的数字不一致，可以认定结果是错误的，正确结果应该是：3585437。
　　(4）检验除法时,可以用乘法逆运算的办法进行。即：商×除数=被除数。当商的九余数和除数的九余数之积的九余数，等于被除数的九余数时，计算结果可能是正确的，反之则是错误的。
　　这种弃九验算法的根据是：利用被9整除数的特征。一个数的弃九数就是这个数被9除后的余数（如果弃九数是0，说明能被9整除）。如果等号两边的余数相同，证明原来计算可能是正确的；等号两边的余数不相同，说明计算结果是错误的。

　　弃九验算法是一种并不十分精确的验算方法，它的局限性是：在遇到下列情况时，往往检验不出来计算结果的错误。
　　（1）如果在抄写时，数字颠倒了位置，如：837误抄成873。
　　（2）在数字中出现丢0或多0时，如：8406误写成846或84006。
　　（3）这种验算方法也可以适用于小数四则的计算，验算时也按上述整数四则的方法进行。但是，当小数点点错了位置时，也检验不出来错误的所在。
　　尽管如此，弃九验算法由于具有简便易行的特点，在一般情况下，较之用重复计算或逆运算的方法进行验算，可以省时省力，因此，这种验算方法还是有一定实用价值的。


五、分数和百分数 (?http:?/??/?218.22.166.105:8080?/?RESOURCE?/?XX?/?XXSX?/?SXBL?/?BL000024?/?6027_SR.HTM" \t "_blank?)

185.为什么在分数的教与学中，单位“1”是一个重要概念？
　　单位“1”也称做整体“1”，在分数的教与学中，正确理解单位“1”是正确理解什么是分数的前提。教材中对分数的定义是这样阐述的：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数。由此可见，不理解单位“1”，就不理解如何平均分份；更不理解几分之一或几分之几，因此，单位“1”是分数中最基本也是最重要的一个概念。
　　单位“1”一般情况下，表示一个事物的整体。如：世界的人口数，一个国家的面积，一个县播种小麦的亩数，一段路程，一个果园果树的棵数，一个工厂产品的总产量，一堆煤的重量等，都可以作为单位“1”，也就是把整体看作“1”。
　　但是，整体与部分是相对的，它们之间在一定条件下也是可以相互转化的。当部分转化为整体时，单位“1”也可以表示原来的这个部分。如世界人口是50亿，是个整体，中国人口是11亿，只是它的一部分，当说到北京市人口占全国人口的一百分之一时，中国人口数又成为整体，当说到某区人口是全市人口的十分之一时，全市人口又成了整体等。在这些不同情况下，部分转化为整体时，都可以用单位“1”来表示。
　　例如：
　　（1）我国土地面积约960万平方千米；
　　（2）某县的土地面积约8万平方千米；
　　（3）红星小学全校有学生900人；
　　（4）五一班有学生42人；
　　（5）第二学习小组有学生8人；
　　（6）这条公路全长4800米；
　　（7）一根电线全长8.5米；
　　（8）一堆煤重3.2吨。
　　 ……
　　单位“1”包含的数量可以很大，也可以很小。大到有限数的任何事物，都可以看作单位“1”；小到可分事物的某一部分，也可以看作单位“1”。但是，无限多的事物不能看作单位“1”，因为无限多的事物是不可分的。
　　在分数应用题中，单位“1”又是解题的关键。如：

　　解这道题，要求没修的是多少米，必须知道全长多少米和修了多少米。题目中全长480米已知，未知条件是修了多少米。要求修了多少米，根据题目中

　　如果换一种思路进行分析：要求没修的是多少米，必须先知道没修的米数是全长的几分之几，然后按求一个数的几分之几是多少的方法解答，关键的问


　　综上所述，无论是在分数的基础知识中，还是在解答分数应用题的过程里，单位“1”都是处于前提和关键的位置。因此，单位“1”在分数的教与学中，是一个非常重要的概念。
186.什么是分数的基本计数单位？
　　任何计量都要有单位，长度单位有：毫米、厘米、分米、米、千米等；而重量单位有：毫克、克、千克、吨等。具体到“数”，同样也是有单位的。自然数的计数单位是1，任何一个自然数都是若干个1组成的。
　　例如：8是由八个1组成的；
　　73是由七十三个1组成的。
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　　分数也有分数的计数单位，或称分数单位。根据分数的定义，把单位“1”平均分成若干份，表示这样一份的数（几分之一）就是原来这个分数的分数单位。一个分数，它的分数单位是有个数的。
　　如图：
　
　
　
　
　　分数单位是由单位“1”平均分成份数（分母）所决定的，所表示的份数（分子）是表示有几个的分数单位。
　　
　　由此可以说明，不同分母的分数，其分数单位也是不同的。如果分母用

　　所以，自然数的计数单位与分数计数单位是不一样的，自然数的计数单位永远是1，这是不变的；而分数的计数单位则不是固定不变的，它是随着分数的分母不同而变化的。分母不同，分数单位也不同，分母是几，分数单位就是几分之一，分母越大，分数单位就越小；反之，分母越小，分数单位则越大。
　　明确什么是分数单位和分数单位的大小，在学习分数大小比较、分数加、减法时，都是不可缺少的基础知识。
186.什么是分数的基本计数单位？
　　任何计量都要有单位，长度单位有：毫米、厘米、分米、米、千米等；而重量单位有：毫克、克、千克、吨等。具体到“数”，同样也是有单位的。自然数的计数单位是1，任何一个自然数都是若干个1组成的。
　　例如：8是由八个1组成的；
　　73是由七十三个1组成的。
　　……
　　分数也有分数的计数单位，或称分数单位。根据分数的定义，把单位“1”平均分成若干份，表示这样一份的数（几分之一）就是原来这个分数的分数单位。一个分数，它的分数单位是有个数的。
　　如图：
　
　
　
　
　　分数单位是由单位“1”平均分成份数（分母）所决定的，所表示的份数（分子）是表示有几个的分数单位。
　　
　　由此可以说明，不同分母的分数，其分数单位也是不同的。如果分母用

　　所以，自然数的计数单位与分数计数单位是不一样的，自然数的计数单位永远是1，这是不变的；而分数的计数单位则不是固定不变的，它是随着分数的分母不同而变化的。分母不同，分数单位也不同，分母是几，分数单位就是几分之一，分母越大，分数单位就越小；反之，分母越小，分数单位则越大。
　　明确什么是分数单位和分数单位的大小，在学习分数大小比较、分数加、减法时，都是不可缺少的基础知识。
187.分数和整数除法的关系是什么？
　　在教材中，学生是在学习整数的基础上，先学习小数而后学习分数的。如果把小数划入十进分数的范围，那么分数是小学数学的第二个主要阶段，也是数的一次重要扩展。从整数到分数中间有着密切的联系，特点是分数基本概念的建立，都用到整数除法的知识。
　　例如：在整数范围内，当两个自然数相除不能整除时，由于商无法表示，而不能计算，进入分数领域，这种情况将是不存在的。因为任何除法算式，都可以用分数来表示它们的商。即使在整数范围内，被除数小于除数这种无法计算的情况，用分数表示也不存在任何问题。
　　分数与整数除法的关系，下图可以揭示：

　　在分数中，分子相当于除法算式中的被除数，分母相当于除数，分数线相当于除号，分数值相当于商。
　　还应该看到，分数并不等于除法，两者还有着区别，这就是：分数是一种数，而除法是一种数与数之间的运算。
　　在上述关系的基础上，分数和整数除法的联系，还表现在分数的基本性质上。分数的基本性质是：分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数（零除外），分数的大小不变。这个基本性质来源于整数除法中商不变的性质，即：被除数与除数同时乘以或者除以相同的数（零除外），商不变。
　　除此之外，根据分数与整数除法的关系，假分数可以化为带分数，分子（被除数）除以分母（除数），所得的商即为带分数的整数部分，余数为分子，原来的分母不变。
　　
　　将分数化为小数，或把繁分数化简，也都是依据分数与除法的关系。至于在分数中分母不能是零的道理，只要沟通分数与除法的关系，即：除法中除数不能是零，分数中分母自然不能是零。
　　总之，在分数教与学中，只要在分数与除法间建立起自然的联系和迁移，温故而知新，许多属于算理的问题，都是比较容易得到解决的。
188.“就是一半”这句话对吗？
　　

　　中的单位“1”不仅表示自然数的一个基本计数单位，也表示一切可分的事物。如：一堆苹果的个数、一个班的人数、一堆煤的吨数、一套丛书的册数、一本书的页数等，单位“1”既可表示整体，也可以表示整体的一部分。
　　

　　，一半也就不知道是谁的一半了。按后者说法，其结果很容易引起误解，因
　　不是4个苹果，而是半个苹果。这与原来题意就相距太远了。
　　

　　这句话是不严密的，也是不妥当的。
189．为什么有的分数能够化成有限小数，有的能够化成纯循环小数或混循环小数？
　　把一个分数化成小数，有三种情况：即：有限小数、纯循环小数和混循环小数。至于什么样的分数化成什么样的小数，确有规律可循，这个规律可通过下面各样分数化小数的实例来观察：

　　从上面分数化小数的三种情况看，什么样的分数化什么样小数，关键不在分子，而在分母。因此，在分数化小数时，要观察分母的特点，其规律是：
　　（1）分母只含有质因数2和5，这样的分数就可以化成有限小数。如
?
　　（2）分母里只含有2和5以外的质因数，这样的分数就可以化成纯循
　　（3）分母里既含有质因数2和5，又含有2和5以外的质因数，这样

　　有了上面这个规律，不需要通过计算，就能判断出一个最简分数能化成什么样的小数。
　　例如：
　　

　　

　　

　　掌握了分数化有限小数的规律，可以把常见分数化小数的数据汇集成表，并且能熟练地背诵下来，这对于提高互化的准确度和速度，都是非常有益的。
　　常见的分数与有限小数互化表

　　对于分数化纯循环小数或混循环小数，按照上述规律，可以事前根据分数的分母特点，提早做出判断。
190．为什么分数不能化成无限不循环小数？
　　在不同的情况下，一个分数可以化成有限小数或者无限循环小数（包括纯循环小数和混循环小数），但是不能化成无限不循环小数。　
　　

　　用分子除以分母（7），其余数必定小于分母，每次的余数只能是从1到6之间的一个自然数（如果余数是0，这个分数就能化成有限小数）；或者说，除数是7，余数只能是1、2、3、4、5、6这六个数。如果在除的过程中，有一个余数重复出现一次，那么后面所得的商与余数，也必定要重复出现。也就是说，余数一重复出现，商的相应数位上的数字也重复出现，循环就开始了，所得的商当然是循环小数。原来这个分数化成的是纯循环小数。

　　根据上述分析可以得出，当一个分数化成无限小数时，只能得到循环小数，而不可能化成无限不循环小数。
　　分数虽然不能化成无限不循环小数，但在数学中无限不循环小数还是有的，如圆周率π值就是一个无限不循环的小数。
　　π=3.14159265358979323846……
　　无限不循环小数在数学上叫做无理数。
191．怎样把纯循环小数化成分数？
　　在小学数学课本中，分数与有限小数是可以互化的。分数可以化成纯循环小数，但纯循环小数化成分数，并没有涉及。事实上，两者也是可以互化的，比起有限小数化成分数，纯循环小数化成分数的方法要稍难一些。
　　例如：有限小数化成分数。

　　只要根据小数的最低位是什么数位，用10、100、1000等做分母，就可以直接化成分数，不是最简分数的，要约成最简分数。
　　把纯循环小数化成分数，并不象有限小数那样，用10、100、1000等做分母，而要用9、99、999等这样的数做分母，其中“9”的个数等于一个循环节数字的个数；一个循环节的数字所组成的数，就是这个分数的分子。
　
　
　　
　　
　　
这样，前面的四例可以得到证明。即：
　
192．怎样把混循环小数化成分数？
　　分数既然能化成混循环小数，同样，混循环小数也能化成分数。这种化的方法，比起纯循环小数化成分数的方法，就显得更为复杂一些。
　　混循环小数化成分数的方法是：用第二个循环节以前的小数部分所组成的数，减去不循环部分所得的差，以这个差作为分数的分子；分母的前几位数字是9，末几位数字为0；9的个数与一个循环节的位数相同，0的个数与不循环部分的位数相同。
　　
　　箭头所指是说明：循环节有一位写一个9，不循环部分有一位写一个0。
　　
　　箭头所指说明：循环节有两位写两个9，不循环部分有一位写一个0。
　　
　　箭头所指说明：循环节有两位写两个9，不循环部分有两位写两个0。
　　这种化的方法，比纯循环小数化成分数明显要复杂，但究其算理，仍依据纯小数化成分数的方法。即：先把混循环小数化成纯循环小数的形式，然后再化成分数。上面三个例题通过推导，都可以得到证明。
　　
　　
　　　
　　
　　
　　推导结果与例（3）的中间脱式一致。
　　由此可见，采用先扩大后缩小相同倍数的方法，根据纯循环小数化成分数的方法，证明混循环小数化成分数的方法是完全成立的。
193．为什么分子相同的分数，分母大的分数比较小？
　　在小学数学课本中，涉及到分数大小比较时，经常遇到分子相同的分数进行比较。

　　结论是：分子相同的两个分数，分母小的分数比较大。反过来说，分子相同的两个分数，分母大的分数比较小。由于受到整数或小数大小比较的影响，学生在理解这个结论时，有时会在算理上表现出困惑。解决这种困惑，要从直观和分数单位两方面入手：

　　从圆形图和线段图中观察，凡是分子相同的分数，分母大的分数比较小。这个结论在直观上是能够接受的，但这并非全部的算理。因此，除直观外，还要从分数单位这个角度上进行具体的阐述。
　　根据分数的意义，把单位“1”平均分成若干份，所分的份数是分母，表示取出的份数是分子，既然两个分数的分子相同，说明它们含有各自的分数单位个数是相同的，这时它们的大小就取决于分数单位的大小；而分数单位的大小又取决于分母，分母越大，分数单位就越小。所以，分子相同的分数，分母大的分数比较小。
　　
194．什么是分数的相等和分数的不等？
　　分数的相等是指两个分数的分数值一样。其定义是：如果第一个分数的分子与第二个分数的分母的积，等于第二个分数的分子与第一个分数的分母的积，那么，这两个分数就相等。
　　
　　
　　
　　
　　分数的不等是指两个分数的分数值不一样。其定义是：如果第一个分数的分子与第二个分数的分母的积，大于（或小于）第二个分数的分子与第一个分数的分母的积，那么，第一个分数就大于（或小于）第二个分数。这两个分数就是不等的。
　　
　　
　　
195．有什么简便方法，来比较异分母分数的大小？
　　异分母分数由于分数单位不一致，在比较大小时，一般使用的方法，都是先进行通分，使异分母分数转化成同分母分数，有了相同的分数单位；然后再比较大小。
　　
　　除上述这一般方法外，还有一种较为简便的方法，即：异分母分数大小比较时，不必通分，只要把两个分数的分子、分母交叉相乘，根据这两个乘积进行比较就行了。
　　
　　用第一个分数的分子（5）去乘第二个分数的分母（10），所得的积是5×10=50；再用第二个分数的分子（7）去乘第一个分数的分母（9），所得的积是7×9=63。
　　
　　为什么这种简便方法也能比较异分母分数的大小呢？其算理与一般方法先通分后比较是一样的，只不过是省略了通分的过程。两个分数的分子、分母交叉相乘，所得的积是在取得公分母情况下的各自的分子，分数单位既已一致，分子的大小就可以比较出分数的大小。但在这比较过程中，省略了通分，也就看不到公分母了。
　　
　　按一般方法先通分：
　　
　　
　　
196．同分母分数相加时，为什么原来的分母不变？
　　同分母分数的加法法则是：分子相加的和作分子，原来的分母不变。

　　原来的分母不变的道理，在于分母是把单位“1”平均分成若干份的数，它决定了这个分数的分数单位，只表示每一份的大小，而不表示所取份数的多少；分子表示取了多少份的数，也就是有多少个分数单位。因此，同分母分数相加，由于是同分母，其分数单位也必然相同，相加的实质是几个相同分数单位的相加，只是分子的相加，而分母是不能变的。
　　

如果两个分母5也相加，那么分母就变成了10，这就表示把单位“1”
　

下面线段图，可以说明一旦分母也相加所造成的错误结果。

197．为什么在计算异分母分数加、减法时，要先通分？
　　在进行整数加、减法计算时，对不同计量单位的各个数量，都不能直接进行加、减，必须化成相同单位的量，才能直接进行计算。
　　如：4公顷-30亩=4公顷-2公顷=2公顷
　　或：4公顷-30亩=60亩-30亩=30亩
　　在整数中是这个道理，所以在计算异分母分数加、减法时，要先通分，其理由与上述道理也类似。由于异分母分数的分母不同，因而它们的分数单位也不一样。要直接进行加或减，必须把不同分母的分数转化成同分母分数，才能使分数单位一样，完成这个转化的手段就是通分。
　　　
　　
　　

　　进行计算。

　　从上图可以看到，在进行异分母分数加法时，不经过通分，就无法使不同分数单位的分数转化成相同分数单位的分数。减法也是同样的道理。
198．有没有比较简便的方法来确定最小的公分母？
　　在进行异分母分数加、减法时，必须先通分，使异分母分数转化成同分母分数，然后才能直接计算。通分首先要确定异分母分数的公分母，由于数是无限多的，因此公分母也是无限多的。只有确定最小公分母，才能使计算的过程变得简便。确定最小公分母就是求最小公倍数的应用，通常使用的比较简便的方法有以下几种：
　　（1）当大分母是小分母的倍数时，大分母就是最小公分母。
　　
　　15是5的倍数，最小公分母为15。

　　24是8的倍数，最小公分母为24。
　　（2）当几个分母是互质数时，这几个分母的乘积就是它们的最小公分母。
　　
　　7和5是互质数，最小公分母为（7×5=）35。

　　3、5、7两两互质，最小公分母为（3×5×7=）105。
　　（3）当几个分母有公约数时，这几个分母的最小公倍数，就是它们的最小公分母。
　　
　　8和12的最小公倍数是24，24就是最小公分母。
　　由于在实际计算异分母加、减法时，分母都不会太大，可以通过对分母的观察，采用大分母翻倍法来确定最小公分母。所谓的大分母翻倍法，就是当几个分母有公约数时，不采用求最小公倍数的方法，而是把大分母扩大2倍、3倍、4倍、5倍、……。如果所得的结果是小分母的倍数时，这个结果就是最小公分母。

　　上述确定最小公分母的过程，不要求书写出来，它只是口算过程的表述。由于运用口算可以简化通分的程序，从而使确定最小公分母变得简便，也使异分母分数加、减法的准确计算提高了速度。
199．为什么分数乘以分数时，分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母？
　　在分数乘法中，一般分为三种情况：分数乘以整数、整数乘以分数和分数乘以分数。前两种法则是：整数与分子相乘的积作分子，原来的分母不变。后一种的法则是：分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。实际上前两种法则与后一种法则是一致的，只要统一成分数乘以分数的法则就可以了。
　　
　　由于任何整数都可以写成分母是1的假分数，所以任何整数与分数相乘都可以转化成分数乘以分数的形式。至于分子相乘的积作分子，分母相乘的
　
　
　
　
　　均分成3份，两次均分成15份，根据所分的份数是分母的意义，分母为（5×3=）15；原来取的4份又均分成2份，这样就变成了8份，分子则为（4×2=）8，这8份是15份中的8份。
　　
　　由此可见，分数乘以分数的计算法则，是由分数乘法的意义，即：求一个数的几分之几是多少来决定的。其中分母相乘的积作分母，表示单位“1”一共平均分成的份数；分子相乘的积作分子，表示一共取出的份数。
200．计算分数除法时，为什么要将除数的分子分母颠倒后用乘法计算？
　　分数除法的计算法则是：甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘以乙数的倒数。或者说，被除数不变，除数颠倒变乘。这个算理在“教”与“学”中都是重点和难点。正确地弄清这个算理，可以从以下五方面的任何一个方面入手。
　　（1）从分数除法的原始法则进行分析：
　　分数乘法的法则是：分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。根据乘、除法的关系，分数除法的原始法则是：分子相除的商作分子，分母相除的商作分母。
　　
　　
　　使用这种法则的局限性很大，因为无论是分子相除，还是分母相除，都能整除的情况是很少的，如果不能整除，其结果就会出现繁分数的情况，这就使计算结果变得更为复杂。
　　根据除法中商变化的规律，被除数分子缩小几倍，商（分数值）也缩小相同倍数，要保证商缩小相应的倍数，不采用被除数缩小而采用除数扩大的方法，也同样达到被除数缩小的作用。除数缩小几倍，商反而扩大相同倍数，如果除数不缩小几倍，被除数扩大相应的倍数，商所起的变化也是一致的。除法有不能整除的情况，但换成乘法却没有乘不开的时候。为此，被除数不变，除数一定要颠倒变乘。
　　　　
就可以顺利地进行计算。

　　（2）从分数除法的意义来分析：
　　分数除法的意义是：已知一个数的几分之几是多少，求这个数。以下题为例：
　
　s　
　　从图示中看出，这本书分成4等份，其中的3份是60页，求4份是多少页。按照“归一”应用题的思路，可以得出下列算式：
　　①1份是多少页？60÷3=20（页）
　　②4份是多少页？20×4=80（页）
　　所以，　


　　示的意思也是一样的，先求1份是多少页，再求4份是多少页。
　　由此可以说明除数颠倒变乘的道理。
　　（3）从分数的基本性质来分析：
　　根据分数的基本性质，分数的分子和分母都乘以相同的数（零除外）分数的大小不变；按照分数除法的原始法则，为了使分子和分母都能整除，可以用除数中分子与分母的相乘积，分别去乘被除数的分子和分母。

　　从脱式中可见，②式分子部分的×3与÷3可以消掉；分母部分的×4与÷4也可以消掉，②式转化成③式，再转化成④式，从而证明①式等于④式。这也可以说明除数颠倒变乘的道理。
　　（4）从求一个数的几分之几用乘法来分析：
　　可通过以下两道例题的解法做个比较。
　　①有20米布，平均分成5份，每一份是几米？
　　20÷5=4（米）
　　　　　

　　第①题是整数除法，第②题是分数乘法，这两道题所表述的意义却是一样的，都是把20米布平均分成5份，求一份是多少，其结果也是一样的。
　　
　　

　一个分数，可将这个分数的分子、分母颠倒位置后，用乘法计算。
　　（5）从“互为倒数的两个分数相乘等于1”来分析：
　
　　
　　
　
　　按照乘法的交换律可以得出：

　　从以上五个方面进行分析，分数除法与分数乘法在一定条件下是可以互相转化的，这也是分数除法法则中，被除数不变而除数颠倒变乘的算理。
201．为什么分数除以整数时，整数只乘分母而不乘分子？
　　在分数乘法中，遇到分数乘以整数时，法则规定是只乘分子而不乘分母。按照乘、除法之间的关系，分数除以整数时，也应该只除分子而不除分母，这个法则本身是成立的。
　　
　　
　
　明，只除分子而不除分母是完全可以的。
　　但是，在实际计算中，用上述方法常常遇到整数除分子不能整除，甚至不能除尽的情况，这就给计算留下一个并不明确的结果。

　　其结果为繁分数，繁分数本身又是分数除法，这样只能是越算过程越繁琐。由于受到“分子除以整数一定能整除”这个条件的限制，所以，分子除以整数的方法，就不能应用，如果改用只乘分母的方法，不仅可以得到分子除以整数的同样结果，而且在任何情况下这种方法都可以使用。

　　这样，既解决了分子除以整数不能整除的矛盾，同时也能较简便地得出结果。至于只乘分母不乘分子的道理，可从以下几方面进行分析：
　

　　来的数没有任何改变，剩下的只是分母与整数相乘了。
　
　
　　被除数（分子）不变，除数（分母）扩大3倍，商不是反而缩小3倍吗？从这个意义上讲，分子缩小几倍与分母扩大相同的倍数，所引起商的变化是一致的。
　
　

　　小5倍再缩小3倍，也就是等于把4缩小（5×3=）15倍。根据这个推理和转化，原算式则为：

　　从以上三方面的分析，都可以说明：为什么分数除以整数时，只乘分母而不乘分子的道理。
202．在分数、小数混合运算中，为什么有时把分数化成小数，而有时又把小数化成分数？
　　在分数、小数的四则混合运算中，到底是把分数化成小数，还是把小数化成分数，这不仅影响到运算过程的繁琐与简便，也影响到运算结果的精确度，因此，要具体情况具体分析，而不能只机械地记住一种化法：小数化成分数，或分数化成小数。
　　一般情况下，在加、减法中，分数化成小数比较方便。
　　　　
　　如果把小数化成分数，运算过程则为：
　　　　　
　　从对比中可以看到：在加、减法中，如果分数化成小数，其计算要点只是小数点对齐，而省去了小数化成分数后，中间需要通分的过程，最后的结果，小数没有约分的要求，而分数有时还要约分。
　　不过，在加、减法中，有时遇到分数只能化成循环小数时，就不能把分数化成小数。因为带着循环小数进行运算，不可能得到精确的结果。因此在这种情况下，小数又只能化成分数了。
　　

　　正确的结果就有了一定的误差。
　　在乘、除法中，一般情况下，小数化成分数计算，则比较简便。这是因为化成分数后，中间的过程可以约分，经过约分后，数字也变小，这样既提高了准确性，也提高了计算的速度。
　　
　　此题的分数如化成小数，其过程将是这样的：

　　从形式上看，分数化成小数并不繁琐，实际计算时，有时需要大乘、大除，运用口算是难以完成的，并且计算过程中易于出错。小数化成分数，其过程基本上都是在口算中进行的，所以，在实际计算时要简便得多。
　　上述只是一般情况，有些特殊情况，小数也不一定必须化成分数，这就是小数和分母能直接约分时，小数不用化成分数，而看作整数直接进行约分，但必须注意：小数点一定要保持原来的位置。
　
　　通过以上各种情况的分析，在分数、小数四则混合运算中，要根据具体情况，灵活地选择互化的方法，以达到运算简便，结果正确的目的。
203．在分数四则运算中，经常出现的错误有哪些？
　　在分数四则运算中，基础知识稍有缺欠，就会造成运算过程中的错误，从而导致计算结果的严重误差，这对个别学生来说，则形成了久治不愈的顽症。造成这种现象的原因，主要是单项计算不过关。一般来讲，其原因及形式有以下几个方面：
　　（1）概念不清：

　　这反映出对带分数的概念是不清楚的，带分数是自然数与真分数的和的一种
　

　　来，从而导致了上述错误。
　　（2）法则混淆：
　　运算是凭借法则来进行的，法则一旦发生混淆，是产生错误的普遍性原因。在分数乘、除法中，表现尤为突出。

　　这两道题的结果都是错的，造成错的原因都是法则上的混淆。上题是分数乘以整数，法则是：分子与整数相乘，分母不变； 下题是分数除以整数，法则是：分母与整数相乘，分子不变，从脱式的过程看，这两个法则在运用上都颠倒了。

　　分数除法是将除数的分子、分母颠倒后相乘，结果是一看到第一个运算符号是除号，立即把后面的两个分数的分子、分母都颠倒了，造成了分数乘、除法法则的混淆。
　　（3）粗心大意：
　　由于学习作风的马虎和对计算结果缺乏认真负责的良好品质，出现这类错误也是各式各样的。
　　如：抄错运算符号和数字。
　　

　　计算结果的错误则是必然的了。
　　又如：约分的错误。
　　
　　在42的下面没写6而写成了7。或者分子25和分母15约分时，口中默念三五十五，却在15的下面写了5。这种约分的错误，不仅表现在运算过程中，也表现在最后得数上，不是约分约错，就是该约分而没约分。
　　再如：不等式的错误。

　　第一步脱式就把最后一个数丢掉了，就出现了不等式，在第二步脱式时，

　　除上述三方面的经常性错误外，还有由于基本口算不过关、不注意运算顺序和简便运算的因素等原因所造成的错误。这些错误的出现一般也有规律性，即：数字较大的运算、相近法则的运算、小数和分数的运算、过程复杂的运算等内容，都易于发生上述几方面的错误。因此，在端正学习态度的前提下，针对易于出现的错误，采取预防措施，以减少计算错误的发生。
204．什么是繁分数和繁分数的化简？
　　在一个分数的分子和分母里，至少有一个又含有分数，这样形式的分数，叫做繁分数。

　　繁分数中，把分子部分和分母部分分开的那条分数线，叫做繁分数的主分数线（也叫主分线）。主分线比其他分数线要长一些，书写位置要取中。在运算过程中，主分线要对准等号。如果一个繁分数的分子部分和分母部分又是繁分数，我们就把最长的那条主分线，叫做中主分线，依次向上为上一主分线，上二主分线……；依次向下叫下一主分线，下二主分线……；两端的叫末主分线。
　　如：

　　根据分数与除法的关系，分数除法的运算也可以写成繁分数的形式。

　　把繁分数化为最简分数或整数的过程，叫做繁分数的化简。繁分数化简一般采用以下两种方法：
　　（1）先找出中主分线，确定出分母部分和分子部分，然后这两部分分别进行计算，每部分的计算结果，能约分的要约分，最后写成“分子部分÷分母部分”的形式，再求出最后结果。
　　
　　此题也可改写成分数除法的运算式，再进行计算。
　　　　
　　（2）繁分数化简的另一种方法是：根据分数的基本性质，经繁分数的分子部分、分母部分同时扩大相同的倍数（这个倍数必须是分子部分与分母部分所有分母的最小公倍数），从而去掉分子部分和分母部分的分母，然后通过计算化为最简分数或整数。
　　
　　繁分数的分子部分和分母部分，有时也出现是小数的情况，如果分子部分与分母部分都是小数，可依据分数的基本性质，把它们都化成整数，然后再进行计算。如果是分数和小数混合出现的形式，可按照分数、小数四则混合运算的方法进行处理。即：把小数化成分数，或把分数化成小数，再进行化简。
205．什么叫百分数、百分比、百分率和百分法？
　　表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫做百分数。百分数是分数的一种特殊形式，也可以说，分母是100的分数叫做百分数。
　　在工农业生产和科学研究工作中，人们经常要收集有关数据，以便进行必要的数量统计、数量比较、质量分析和效果检查等各项工作。如果用一般分数形式来表示，由于分母不同，不容易看出精确的变化，而百分数的分母都是100，只要看分子，就能看出数与数之间的明显差别与变化。因此，百分数在各行各业的生产和生活中，都有着广泛的应用。
　　如：（1）家俱厂通过深化改革，今年产量是去年产量的128％。
　　（2）王新全家在调整工资后，收入比以前增加了25％。
　　（3）某县由于计划生育取得成效，今年出生率比去年下降了2％。
　　把两个数的比的后项化成100，就叫做百分比。
　　如：拖拉机厂四月份生产拖拉机225台，五月份生产250台。四、五两月生产台数的百分比是225∶250=90∶100。
　　用100作分母表示成数时，所表示的成数叫做百分率。
　　如：（1）水稻去年亩产比前年亩产增产了二成。这二成就是成数，一成表示十分之一，二成则表示十分之二，也就是20％。
　　（2）某工厂上半年完成了全年计划的六成三。这里的六成三用小数表示是0.63，用百分率表示是63％。
　　百分数、百分比、百分率这三个概念，尽管在不同范围和情况下，表述上略有不同，但所表示的意思却是一致的。
　　用百分率表示事物的数量关系和计算方法，叫做百分法。或者说，求百分率以及应用百分数解决实际问题的方法，叫做百分法。
　　如：（1）六年级（一）班有学生 50人，今天出勤 48人，求出勤人数是应出勤人数的百分之几？
　　48÷50=0.96=96％
　　答：出勤人数是应出勤人数的96％。
　　（2）加工车间有工人120人，今天出勤率是95％，求今天出勤了多少人？
　　120×95％=114（人）
　　答：今天出勤了114人。
206．什么是百分数问题？
　　在小学数学中，有关百分数的应用题，叫做百分数问题。百分数问题通常分为以下三种类型。
　　（1）求一个数是（或比）另一个数的百分之几（或多与少）的应用题。求出勤率、出粉率、合格率等，都属于求一个数是另一个数的百分之几的应用题；求增产率、上升率等均属于求一个数比另一数多百分之几的应用题；求节约率、下降率等均属于求一个数比另一个数少百分之几的应用题。
　　解答这类应用题的方法和规律，与分数除法应用题中，求一个数是另一个数的几分之几的类型完全相同。
　　如①五年级有男生22人，女生20人，求男生人数是女生人数的百分之几？
　　22÷20=1.1=110％
　　答：男生人数是女生人数的110％。
　　②化肥厂91年产量是3.5万吨，92年产量是4.2万吨，求92年比91年增产百分之几？
　　（4.2-3.5）÷3.5=0.7÷3.5=0.2=20％
　　答：92年比91年增产20％。
　　③某地区91年出生人口是12000人，92年出生11400人，92年比91年人口出生下降了百分之几？
　　（12000-11400）÷12000=0.05=5％
　　答：92年比91年人口出生下降5％。
　　（2）求一个数的百分之几是多少的应用题。这类题目与分数乘法应用题中，求一个数的几分之几是多少的应用题，在结构和解答规律上是完全一致的。
　　如：建筑工地需要水泥240吨，已经运来75％，还差多少吨没运？
　　240×（1-75％）=240×25％=60（吨）
　　答：还差60吨没运。
　　（3）已知一个数的百分之几是多少，求这个数的应用题。这类题目与分数除法应用题中，已知一个数的几分之几是多少，求这个数的应用题，在结构和解答规律上，也是一致的。
　　如：一根电线，剪去它的40％，还剩5.4米，这根电线是多少米？
　　5.4÷（1-40％）=5.4÷0.6=9（米）
　　答：这根电线是9米。
207．利率和利息这两个概念一样吗？
　　在小学数学教材中，虽然没有涉及利率和利息这部分知识，但在实际生活中，一般人都要到银行进行储蓄，无论是活期还是定期，必然和利率和利息产生联系。因此，弄清这两个概念的联系和区别，处理好储蓄这个生活中的实际问题，无疑是有实用意义的。
　　到银行去储蓄，储蓄的金额叫做“本金”，简称“本”。银行根据储蓄金额和储蓄时间，付给储蓄人的报酬叫做“利息”。每月（或每年）利息对本金的比，叫做“利率”。也就是说，每月（或每年）获得的利息是依据本金和利率而计算出来的。
　　利率按月来计算的叫月利率，按年来计算的叫年利率。一般情况下，利率是按月计算的，通常用千分数的形式表示。
　　例如：月利率六厘三，写作6.3‰；月利率7.2，写作7.2‰。
　　计算利息和利率的方法是：

　　例如：王老师去银行存款400元，定期半年（6个月），到期取得利息12.24元，求定期存款半年的月利率是多少？

　　答：定期存款半年的月利率是5.1‰（五厘一）。
　　又如：张小国去银行活期存款200元，月利率为4.2‰，6个月后取出，得利息多少元？

　　答：5个月后得利息5.04元。

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