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高中数学100个常用公式及常用结论(文)
1． 集合
的子集个数共有个；真子集有–1个；非空子集有–1个；非空的真子集有–2个.
2.真值表
ｐ ｑ 非ｐ ｐ或ｑ ｐ且ｑ
真 真 假 真 真
真 假 假 真 假
假 真 真 真 假
假 假 真 假 假
3.常见结论的否定形式

原结论 反设词 原结论 反设词
是 不是 至少有一个 一个也没有
都是 不都是 至多有一个 至少有两个
大于 不大于 至少有个 至多有（）个
小于 不小于 至多有个 至少有（）个
对所有， 成立 存在某， 不成立 或 且
对任何， 不成立 存在某， 成立 且 或

4.四种命题的相互关系

原命题　　　　　　　互逆　　　　　　　逆命题
若ｐ则ｑ　　　　　　　　　　　　　　　若ｑ则ｐ
　　　　　　　互　　　　　　　互
　　互　　　　　　　　为　　　为　　　　　　　　互
　　否　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　否
　　　　　　　　　　　逆　　　逆　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　否　　　　　　 否
否命题　　　　　　　　　　　　　　　逆否命题　　　
若非ｐ则非ｑ　　　　互逆　　　　　　若非ｑ则非ｐ

5.充要条件
（1）充分条件：若，则是充分条件.
（2）必要条件：若，则是必要条件.
（3）充要条件：若，且，则是充要条件.
注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.
6.函数的单调性
(1)设那么
上是增函数；
上是减函数.
(2)设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数.
7.如果函数和都是减函数,则在公共定义域内,和函数也是减函数; 如果函数和在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数是增函数.
8．奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．
9.对于函数(),
恒成立,则函数的对称轴是;
两个函数与 的图象关于直线对称.
10.两个函数图象的对称性
(1)函数与函数的图象关于直线(即轴)对称.
(2)函数和的图象关于直线y=x对称.
11.几个常见的函数方程
(1)正比例函数,.
(2)指数函数,.
(3)对数函数,.
(4)幂函数,.
(5)余弦函数,正弦函数，.
12.几个函数方程的周期(约定a>0)
（1），则的周期T=a；
（2），或，或,
则的周期T=2a；
13.分数指数幂
(1)（，且）.(2)（，且）.
14．根式的性质
（1）.（2）当为奇数时，；当为偶数时，.
15．有理指数幂的运算性质
(1) .(2) .
(3).
16.指数式与对数式的互化式： .
17.对数的换底公式 ： (,且,,且, ).
推论： (,且,,且,, ).
18．对数的四则运算法则：若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则
(1);(2) ;
(3).
19.数列的同项公式与前n项的和的关系
( 数列的前n项的和为).
20.等差数列的通项公式：；
其前n项和公式为：.
21.等比数列的通项公式：；其前n项的和公式为
或.
22．常见三角不等式
（1）若，则.(2) 若，则.
23.同角三角函数的基本关系式 ：，=
24.正弦、余弦的诱导公式


25.和角与差角公式
;;
.=
26.二倍角公式
..
.
27.三角函数的周期公式
函数，x∈R及函数，x∈R(A,ω,为常数，且A≠0，ω＞0)的周期；函数，(A,ω,为常数，且A≠0，ω＞0)的周期.
28.正弦定理?：.
29.余弦定理：;;.
30.面积定理：（1）（分别表示a、b、c边上的高）.
（2）.(3).
31.三角形内角和定理 在△ABC中，有
.
32.平面向量基本定理：
如果e1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
33．向量平行的坐标表示：
设a=,b=，且b0，则ab(b0).
a与b的数量积(或内积) a·b=|a||b|cosθ．
34. a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．
35.平面向量的坐标运算
(1)设a=,b=，则a+b=.
(2)设a=,b=，则a-b=.
(3)设A，B,则.
(4)设a=，则a=.
(5)设a=,b=，则a·b=.
36.两向量的夹角公式
(a=,b=).
37.平面两点间的距离公式
=(A，B).
38.向量的平行与垂直
设a=,b=，且b0，则a||bb=λa .
ab(a0)a·b=0.
39.三角形的重心坐标公式 ：△ABC三个顶点的坐标分别为、、,则△ABC的重心的坐标是.
40.常用不等式：
（1）(当且仅当a＝b时取“=”号)．
（2）(当且仅当a＝b时取“=”号)．
（3）
（4）柯西不等式

（5）.
41.利用基本不等式求最值：
已知都是正数，则有：
（1）若积是定值，则当时和有最小值；
（2）若和是定值，则当时积有最大值.
42.一元二次不等式
，如果与同号，则其解集在两根之外；如果与异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.；.
43.含有绝对值的不等式 当a> 0时，有
.
或.
44.直线的五种方程
（1）点斜式 (直线过点，且斜率为)．
（2）斜截式 (b为直线在y轴上的截距).
（3）两点式 ()(、 ()).
(4)截距式 (分别为直线的横、纵截距，)
（5）一般式 (其中A、B不同时为0).
45.两条直线的平行和垂直
(1)若，①;②.
(2)若,,且A1、A2、B1、B2都不为零,
①；②；
46．四种常用直线系方程
(1)定点直线系方程：经过定点的直线系方程为(除直线),其中是待定的系数; 经过定点的直线系方程为,其中是待定的系数．
(2)共点直线系方程：经过两直线,的交点的直线系方程为(除)，其中λ是待定的系数．
(3)平行直线系方程：直线中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程．与直线平行的直线系方程是()，λ是参变量．
(4)垂直直线系方程：与直线 (A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是,λ是参变量．
47.点到直线的距离 ：(点,直线：).
48. 圆的四种方程
（1）圆的标准方程 .
（2）圆的一般方程 (＞0).
（3）圆的参数方程 .
（4）圆的直径式方程 (圆的直径的端点是、).
49. 圆系方程
(1)过点,的圆系方程是

,其中是直线的方程,λ是待定的系数．
(2)过直线:与圆:的交点的圆系方程是,λ是待定的系数．
(3) 过圆:与圆:的交点的圆系方程是,λ是待定的系数．
50.点与圆的位置关系
点与圆的位置关系有三种：若，则点在圆外;点在圆上;点在圆内.
51.直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系有三种:;;.
其中.
52.两圆位置关系的判定方法：
设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，
;;
;;
.
53.圆的切线方程
已知圆．①过圆上的点的切线方程为;
②斜率为的圆的切线方程为.
54.椭圆的参数方程是.
55.双曲线的方程与渐近线方程的关系
(1）若双曲线方程为渐近线方程：.
(2)若渐近线方程为双曲线可设为.
(3)若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在x轴上，，焦点在y轴上）.
56.直线与圆锥曲线相交的弦长公式
或
（弦端点A，由方程 消去y得到，,为直线的倾斜角，为直线的斜率）.
57. 斜棱柱的直截面：
已知斜棱柱的侧棱长是,侧面积和体积分别是和,它的直截面的周长和面积分别是和,则①.②.
58．棱锥的平行截面的性质
如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比．
59.欧拉定理(欧拉公式) ：(简单多面体的顶点数V、棱数E和面数F).
60.球的半径是R，则其体积,其表面积．
61. 球与正四面体的组合体:
棱长为的正四面体的内切球的半径为,外接球的半径为.
62．柱体、锥体的体积：
（是柱体的底面积、是柱体的高）.
（是锥体的底面积、是锥体的高）.
63.古典概型：（）
求基本事件个数：列举法、图表法
64．几何概型：
注：试验出现的结果无限个
65．加法公式：若事件和互斥，则

互斥事件:不可能同时发生的事件
对立事件:不同时发生，但必有一个发生的事件
66．用样本估计总体
众数：出现次数最多的数据
中位数：按从小到大，处在中间的一个数据（或中间两个数的平均数）
平均数：
67.方差 标准差
68．频率分布直方图
小长方形面积=组距×=频率
各小长方形面积之和为1
众数—最高矩形中点的横坐标
中位数—垂直于轴且平分直方图面积的直线与轴交点的横坐标
69.茎叶图：由茎叶图可得到所有的数据信息如 众数、中位数、平均数等

70.回归直线方程
，其中.
71.相关系数
.
|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小.

72．独立性检验：

随机变量越大，说明两个分类变量，关系越强，反之，越弱。
73.归纳推理：
由某类食物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理，简称归纳。
注：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。
74.类比推理：
由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理，简称类比。
注：类比推理是特殊到特殊的推理。
75演绎推理：从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理叫演绎推理。
注：演绎推理是由一般到特殊的推理。
76.“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：⑴大前提---------已知的一般结论；⑵小前提---------所研究的特殊情况；⑶结 论---------根据一般原理，对特殊情况得出的判
77.直接证明
⑴综合法
一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。综合法又叫顺推法或由因导果法。
⑵分析法
一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、定理、公理等），这种证明的方法叫分析法。分析法又叫逆推证法或执果索因法。
78．间接证明------反证法
一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这种证明方法叫反证法。
79.极坐标系的概念：
在平面内取一个定点，叫做极点；自极点引一条射线叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。
80．点的极坐标：
设是平面内一点，极点与点的距离叫做点的极径，记为；以极轴为始边，射线为终边的叫做点的极角，记为。有序数对叫做点的极坐标，记为.
极坐标与表示同一个点。极点的坐标为.
81.若,则,规定点与点关于极点对称，即与表示同一点。
82.如果规定，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标表示；同时，极坐标表示的点也是唯一确定的。




83．极坐标与直角坐标的互化：



84.圆的极坐标方程：
在极坐标系中，以极点为圆心，为半径的圆的极坐标方程是 ；
在极坐标系中，以 为圆心， 为半径的圆的极坐标方程是 ；
在极坐标系中，以 为圆心，为半径的圆的极坐标方程是；
85.在极坐标系中，表示以极点为起点的一条射线；表示过极点的一条直线.
在极坐标系中，过点，且垂直于极轴的直线l的极坐标方程是.
86.导数定义：在点处的导数记作；．
87. 函数在点处的导数的几何意义
函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，相应的切线方程是.
88.几种常见函数的导数
(1) （C为常数）.(2) .
(3) .(4) .
(5) ；.(6) ; .
89.导数的运算法则
（1）.（2）.
（3）.
90.复合函数的求导法则
设函数在点处有导数，函数在点处的对应点U处有导数，则复合函数在点处有导数，且，或写作.
91.判别是极大（小）值的方法：
当函数在点处连续时，
（1）如果在附近的左侧，右侧，则是极大值；
（2）如果在附近的左侧，右侧，则是极小值.
92. 求函数在上的最大值与最小值的步骤是：
求函数在内的极值；
将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
93．复数概念：
(1) z=a+bi∈Rb=0 (a,b∈R)z= z2≥0；
(2) z=a+bi是虚数b≠0(a,b∈R)；
(3) z=a+bi是纯虚数a=0且b≠0(a,b∈R)z＋＝0（z≠0）z2<0；
(4) a+bi=c+dia=c且c=d(a,b,c,d∈R)；
94.复数的相等：
.（）
95.复数的模（或绝对值）：
==.
96.复数的四则运算法则：
(1);
(2);
(3);
(4).
97． ；
98. 性质：
T=4；；
99. 。
100.复平面上的两点间的距离公式
（，）.


(n为偶数)

(n为奇数)

(n为偶数)

(n为奇数)





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