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函数的图象专题
作图方法及常用结论
1利用描点法作图：（1）确定函数的定义域（2）化简函数的解析式（3）研究函数的值域、单调性、奇偶性、周期性、正负区间、坐标轴上的截距等函数性质（4）列表（注意利用函数的对称性）（5）描点连线。
2利用函数变换作图（常见的变换有三种：平移变换、伸缩变换、对称变换）
平移变换：①左右平移
②上下平移
③向量平移、
（2）伸缩变换：①
②
（3）对称变换： ①
②
③
④
⑤
⑥
（4）翻折变换：①
②
3常见的基本函数图象
①






















4、函数自身对称结论：
①为偶函数的图象关于轴对称。
②为奇函数的图象关于原点对称。
③的图象关于直线对称。
④的图象关于对称。
⑤图象关于对称。
5两个函数间的对称与中心对称结论
函数与函数的图象关于直线对称；特例:函数与函数的图象关于直线对称.
②如果函数对于一切，都有或成立，那么函数的图象关于点（）对称.
6与周期性相关的对称结论
①如果函数f(x)有一个对称中心P（a,o）和一条对称轴X=b,则f(x)是以T=4︱a-b︱为周期的周期函数。
②如果函数有两条连线平行于X轴的对称中心A（a,m）B(b,m)且ab, 则f(x)是以
T=2︱a-b︱为周期的周期函数
三、函数图象的应用
1、求函数的定义域、值域、单调区间，解决奇偶性、周期、最值等都可以用函数的图象。
2、方程的解的个数可以转化为函数与的图象交点个数。
3、不等式的解集为的图象位于的图象的上方的那部分点的横坐标的取值范围。
4、研究参数方程的根的问题用到函数图象。
5、用于研究知图选式、知式选图、图象变化等情况。
四、应用举例
1函数作图
例题1：作出下列函数的图象（1），（2），
（3），（4），（5） ，（6）
2解决方程的根的个数问题
例题2：方程的实根共有 个
例题3：若直线与函数（且）的图象有两个公共点，则a的取值范围是 。
相关训练1：方程的根有 个。
相关训练2：方程的根有 个。
相关训练3：关于的方程的解的个数为
A O B 1 C 2 D 4
3由图象求函数解析式
例题4右图是一个函数的图象，
其中A（-1，2），B（0，4），C（1，3）D（2，-1），
A点的左方的图象是指数函数的图象的一部分，
AB是另一指数函数（c为常数）的图象的一部分，曲线BCD是一个二次函数的图象的一部分，
D点右方的对数曲线的一部分，求的解析式。
解：由图的定义域可以分为（，-1）、
、、。
在（，-1）上，设，点A的坐标代入得，所以，即。
在上，，把A、B 两点的坐标分别代入得，所以。
在上设，把B、C、D三点坐标代入得。所以。
在上设，把D点坐标代入得，所以。综合上述得函数解析式为
4与不等式的解有关的函数图象问题
例题5：设奇函数的定义域是，
若时的图象如图：
则不等式的解集为 。
例题5：函数与的定义域均为，
它们的在同一坐标系中的图象如图所示：
则的解集是 。

相关训练1：
5函数图象的对称变换、伸缩变换、平移变换。
例题6：已经知函数且），在同一坐标系中和的图象可能是

例题7：（07年湘潭）给出下列四个命题①若则的图象关于对称。②若则的图象关y轴对称。③函数与的图象关于对称。④函数与的图象关于y轴对称。其中正确的命题是 （填写所有正确的命题序号）。
6应用数形结合求参数范围
例题8：已知曲线C：与直线L： 有两个交点，则实数 m的取值范围是
例题9：函数的图象与直线有且只有两个不同的交点，则实数m的取值范围是
7函数图象的综合应用
例题10：．如图所示，单位圆中弧AB的长为x,f(x)表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的２倍，则函数y=f(x)的图象是














解析：显然当时，阴影部分的面积等于圆的面积减去以圆的半径为腰的等腰直角三角形的面积，，即点在直线的下方，故应在C、D中选择。而当当时，阴影部分的面积等于圆的面积加上以圆的半径为腰的等腰直角三角形的面积，，即点在直线的上方，故应选择D。
点评：该题属于实际应用的题目，结合函数值变化的趋势和一些特殊点函数值解决问题即可。要明确函数图像与函数自变量、变量值的对应关系，特别是函数单调性与函数图象个关系；
例题11：某地一年内的气温(单位：℃)与时间(月份)之间的关系如图所示，已知该年的平均气温为10℃，令表示时间段的平均气温，与之间的函数关系用下图表示，则正确的应该是（ ）


解析：平均气温10℃与函数图像有两个交点，观察图像可知两交点的两侧都低于平均气温， 而中间高于平均气温。时间段内的平均气温，应该从开始持续到平均气温左交点向右一段距离才开始达到平均气温，持续上升一段时间，最后回落到平均气温。答案A。
点评：联系生活，体会变量间的相互关系，重视观察图像的变化趋势，结合导数的知识处理实际问题。

例题12（2002上海文，理16）一般地，家庭用电量（千瓦时）与气温（℃）有一定的关系，如图2—1所示，图（1）表示某年12个月中每月的平均气温.图（2）表示某家庭在这年12个月中每个月的用电量.根据这些信息，以下关于该家庭用电量与其气温间关系的叙述中，正确的是

A．气温最高时，用电量最多
B．气温最低时，用电量最少
C．当气温大于某一值时，用电量随气温增高而增加
D．当气温小于某一值时，用电量随气温渐低而增加
解析：经比较可发现，2月份用电量最多，而2月份气温明显不是最高。因此A项错误。同理可判断出B项错误。由5、6、7三个月的气温和用电量可得出C项正确。
点评：该题考查对图表表达的函数的识别和理解能力，要从题目解说入手，结合图像和实际解决问题。
例题13：设曲线的方程是，将沿轴、轴正方向分别平移、个单位长度后得到曲线，
（1）写出曲线的方程；
（2）证明曲线与关于点对称；
（3）如果曲线与有且仅有一个公共点，证明： (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)
解析：（1）曲线的方程为；
（2）证明：在曲线上任意取一点，
设是关于点的对称点，则有，
∴。
代入曲线的方程，得的方程：。
即可知点在曲线上。反过来，同样证明，在曲线上的点的对称点在曲线上。因此，曲线与关于点对称。
（3）证明：因为曲线与有且仅有一个公共点，
∴方程组有且仅有一组解，
消去，整理得，这个关于的一元二次方程有且仅有一个根，
∴，即得，因为，所以。
点评：充分利用函数图像变换的原则，解决复合问题。





A B





C D



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