资源简介 中小学教育资源及组卷应用平台 3.3 垂径定理(1)学习目标 1．经历探索垂径定理的过程． 2．探索并掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧(垂径定理)． 3．会运用垂径定理解决一些简单的几何问题．学习过程在白纸上任意作一个圆和这个圆的任意一条直径CD，然后沿着直径所在的直线把纸折叠，你发现了什么？ 结论 思考：如图，AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O直径． (1)该图是轴对称图形吗？ (2)能不能通过改变AB、CD的位置关系，使它成为轴对称图形？ 在刚才操作的基础上，令AB与CD相交于点E，然后沿着直径CD所在的直线把纸折叠，你发现哪些点、线互相重合？ 结论 垂径定理 基本图形 定理的几何语言 如图，AB是⊙0的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结论中不一定成立的是（ ） A．∠COE＝∠DOE B．CE＝DE C．OE＝BE D．＝例1 已知，用直尺和圆规作这条弧的中点． 求弧AB的四等分点． 如图，M为⊙O内的一点，利用尺规作一条弦AB， 使AB过点M．并且使AM＝BM． 你能画过点M最长的弦呢？ 你还能画过点M最短的弦呢？ 例2 如图，一条排水管的截面．已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝16．求截面圆心O到水面的距离OC． 已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点． 求证：AC＝BD． 如图，CD为圆O的直径，弦AB交CD于E，∠CEB＝30°，DE＝9㎝，CE＝3㎝，求弦AB的长． 小结 拓展题1、过⊙O内一点M的最长弦长为10cm，最短弦长为8cm，那么OM长为（ ） A．3 B．6cm C． cm D．9cm 2、如图，⊙O的直径为10，弦AB长为8，M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范围是（ ） A．3≤OM≤5 B．4≤OM≤5 C．3＜OM＜5 D．4＜OM＜53、已知⊙O的半径为10，弦AB∥CD，AB＝12，CD＝16，则AB和CD的距离为_________________．4、已知⊙O的半径为13cm，圆心O到弦AB的弦心距为5cm，求弦AB的长． 5、在半径为50㎜的圆O中，有长50㎜的弦AB，计算： (1)点O与AB的距离； (2)∠AOB的度数． 作业题1．⊙O的弦AB的长为8cm，弦AB的弦心距为3cm，则⊙O的半径为（ ） A．4cm B．5cm C．8cm D．10cm．2．如图，在⊙O中，半径OC⊥AB于点D．已知⊙O的半径为2，AB＝3．求DC的长(精确到0.01)． 3．过已知⊙O内一点A作弦，使A是该弦的中点，然后作出弦所对的两条弧的中点． 4．如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC． (1)求∠C的度数． (2)若⊙O的半径为r，求弦AB的长． 5．一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内液体的最大深度CD＝2cm(如图)．求截面圆中弦AB的长． 6．点A在⊙O内，过点A作一条弦BC，使BC是所有过点A的弦中最短的弦． 21世纪教育网(www.21cnjy.com)数学浙教版 九年级上3.3垂径定理(1)3.3垂径定理(1)教学目标1.经历探索垂径定理的过程．2.探索并掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧（垂径定理）．3.会运用垂径定理解决一些简单的几何问题．重点和难点本节教学的重点是圆的轴对称性的重要体现——垂径定理．垂径定理的导出过程有一定难度，是本节教学的难点．请观察下列三个银行标志有何共同点？结论：圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴.强调：1.圆的对称轴是直线，不能说每一条直径都是圆的对称轴．2.圆的对称轴有无数条．OCD在白纸上任意作一个圆和这个圆的任意一条直径CD，然后沿着直径所在的直线把纸折叠，你发现了什么？思考：如图，AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O直径．(1)该图是轴对称图形吗？(2)能不能通过改变AB、CD的位置关系，使它成为轴对称图形？OCDABE 在刚才操作的基础上，令AB与CD相交于点E，然后沿着直径CD所在的直线把纸折叠，你发现哪些点、线互相重合？ 如果把能够重合的圆弧叫做相等的圆弧，那么在右图中，哪些圆弧相等？ 请用命题的形式表述你的结论．ABEOCD理由如下：∵∠OEA=∠OEB=Rt∠，根据圆的轴对称性，可得射线EA与EB重合，∴点A与点B重合，AC和BC重合，AD和BD重合．∴ EA=EB，AC=BC，AD=BD．结论AE=BE，AD=BD，AC=BC．思考：你能利用等腰三角形的性质，说明OC平分AB吗？OCDABE分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点．ABCDOE垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．定理的几何语言∵ CD为直径，CD⊥AB∴ EA=EB，AC=BC，AD=BD．⌒⌒⌒⌒OC⊥AB条件CD为直径CD⊥ABCD平分弧 ADBCD平分弧 ABCD平分弦 AB结论EDCOABDOBCAOBCADOBACDOBAC垂径定理的几个基本图形ABCODE 如图，AB是⊙0的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结论中不一定成立的是（ ）A．∠COE=∠DOE B．CE=DE C．OE=BE D．BD=BC⌒⌒C例1 已知AB，用直尺和圆规作这条弧的中点．作法1.连结AB．2.作AB的垂直平分线CD，交弧AB于点E.点E就是所求作的弧AB的中点．求弧AB的四等分点．CDABEFGmn●O●M你能画过点M最长的弦呢？你还能画过点M最短的弦呢？如图，M为⊙O内的一点，利用尺规作一条弦AB，使AB过点M．并且使AM=BM．例2 如图，一条排水管的截面．已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16．求截面圆心O到水面的距离OC．解：由题意得OC⊥AB,AC=BC=AB=0.5×16=8由勾股定理得：=6圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距．如上图中的OC的长就是弦AB的弦心距．答：截面圆心O到水面的距离为6．.ACDBOE已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．求证：AC＝BD．如图，CD为圆O的直径，弦AB交CD于E，∠CEB=30°，DE=9㎝，CE=3㎝，求弦AB的长．解：作OF⊥AB于F，连接OA，CD=DE+CE=9+3=12cm，即圆O的直径为12cm．OE=OC-CE=6-3=3cm，在Rt△OEF中，∠CEB=30°，OF=OE=×3=cm．在Rt△OFA中，AF===cm．∴ AB=2AF=3cm．F谈谈你的收获、感受！１、本节课主要内容：（1）圆的轴对称性；（2）垂径定理．2、垂径定理的应用：（1）作图；（2）计算和证明．3、解题的主要方法：（1）画弦心距是圆中常见的辅助线；（2）半径（r)、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：弦长AB=2．A1、过⊙O内一点M的最长弦长为10cm，最短弦长为8cm，那么OM长为（ ） A．3 B．6cm C． cm D．9cm 2、如图，⊙O的直径为10，弦AB长为8，M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范围是（ ） A．3≤OM≤5 B．4≤OM≤5 C．3＜OM＜5 D．4＜OM＜5A3、已知⊙O的半径为10，弦AB∥CD，AB=12，CD=16，则AB和CD的距离为_________________.2或144、已知⊙O的半径为13cm，圆心O到弦AB的弦心距为5cm，求弦AB的长．5、在半径为50㎜的圆O中，有长50㎜的弦AB，计算：(1)点O与AB的距离； (2)∠AOB的度数．谢谢21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站 有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？欢迎加入21世纪教育网教师合作团队！！月薪过万不是梦！！详情请看：https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php 中小学教育资源及组卷应用平台 1．⊙O的弦AB的长为8cm，弦AB的弦心距为3cm，则⊙O的半径为（ ）A．4cm B．5cm C．8cm D．10cm．答案：B2．如图，在⊙O中，半径OC⊥AB于点D．已知⊙O的半径为2，AB＝3．求DC的长(精确到0.01)．答案：0.68．3．过已知⊙O内一点A作弦，使A是该弦的中点，然后作出弦所对的两条弧的中点．答案：作法：如图．(1)作直线OA，交⊙O于点E，F．(2)过点A作OA的垂线，交圆于C，D两点，弦CD就是所求的弦，E，F分别是弦CD所对的两条弧的中点．4．如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC．(1)求∠C的度数．(2)若⊙O的半径为r，求弦AB的长．答案：(1)60°．(2)r．5．一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内液体的最大深度CD＝2cm(如图)．求截面圆中弦AB的长．答案：8cm．6．已知：如图，在⊙O中，弦AB∥CD．求证：＝．答案：证明：过点O作OE⊥AB，交⊙O于点E．∵AB∥CD，∴OE⊥CD，则＝，＝∴ －＝－，即＝．7．点A在⊙O内，过点A作一条弦BC，使BC是所有过点A的弦中最短的弦．答案：连结OA，过点A作OA的垂线，交⊙O于B，C，所得弦BC就是最短的弦．设EF是过点A不与OA垂直的弦，OD⊥EF，于点D．由OA＞OD，可得DF＞AC，EF＞BC．21世纪教育网(www.21cnjy.com) 展开更多...... 收起↑ 资源列表 3.3 垂径定理（1）.docx 3.3 垂径定理（1）.pptx 作业题答案.docx
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