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3.3 垂径定理(2)
学习目标 1．经历探索垂径定理的逆定理的过程． 2．掌握定理“平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧”及定理“平分弧的直径平分弧所对的弦”． 3．会运用垂径定理的逆定理解决一些简单的几何问题．
学习过程
垂径定理： 垂径定理的逆命题是什么？
规律
定理1： 证明：
辨一辨 (1)垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧 (2)弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心 (3)圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分 (4)平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 (5)圆内两条非直径的弦不能互相平分 (6)平分弦的直径，平分这条弦所对的弧． (7)平分弦的直线，必定过圆心． (8)一条直线平分弦(这条弦不是直径)，那么这条直线垂直这条弦． (9)弦的垂直平分线一定是圆的直径． (10)平分弧的直线，平分这条弧所对的弦． (11)弦垂直于直径，这条直径就被弦平分．
例3 1300多年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.02 m，拱高(弧的中点到弦的距离，也叫弓形高)为7.23m，求桥拱的半径(精确到0.1m)．
已知：如图，⊙O 中，弦AB∥CD，AB＜CD，直径MN⊥AB，垂足为E，交弦CD于点F． 图中相等的线段有： ． 图中相等的劣弧有： ．
已知：如图，⊙O的直径PQ分别交弦AB，CD于点M，N，AM＝BM，AB∥CD． 求证：DN＝CN．
如图，在直径为130mm的圆形铁片上切下一块高为32mm的弓形铁片，求弓形的弦AB的长．
【活动探究】某一公路隧道的形状如图所示，半圆拱的圆心距离地面2m，半径为1.5m．一辆高3m，宽2.3m的集装箱卡车能顺利通过这个隧道吗？如果要使高度不超过4m，宽为2.3m的大货车也能顺利通过这个隧道，且不改变圆心到地面的距离，半圆拱的半径至少为多少米？
作业题
1．已知：如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB和小圆交于点C，D．求证：AC＝BD．
2．如图，破残的轮子上，弓形的弦AB为4cm，高CD为1cm．求这个轮子的直径长．
3．要在直径为120mm的轴上铣出宽为30mm的一块平面(如图)，吃刀深度h为多少(精确到0.1mm)？
4．如图，一圆弧形钢梁的拱高为8m，跨径为40m．求这钢梁圆弧的半径长．
5．如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE＝3cm，DE＝7cm．求AB的长．
6．已知O的半径为5cm，弦AB∥CD，AB＝6cm，CD＝8cm．求AB与CD之间的距离．


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数学浙教版 九年级上
3.3垂径定理(2)

3.3垂径定理(2)
教学目标
1.经历探索垂径定理的逆定理的过程．
2.掌握定理“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧”及定理“平分弧的直径平分弧所对的弦”．
3.会运用垂径定理的逆定理解决一些简单的几何问题．

重点和难点
本节教学的重点是垂径定理的逆定理．
例3的问题情境较为复杂，是本节教学的难点．

CD平分ADB
CD平分ACB

CD平分弦AB


结论
定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
几何语言：
∵ CD是直径，CD⊥AB，
∴AM=BM，AC =BC，AD=BD．
⌒
⌒
⌒
⌒
条件

垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．

条件

结论1

结论2
逆命题1：平分弦的直径垂直于弦．
逆命题2：平分弧的直径垂直于弧所对的弦．
垂径定理的逆命题是什么？

C
D
AB是⊙O的一条弦，且AM=BM．
过点M作直径CD．
右图是轴对称图形吗？
如果是，其对称轴是什么？
你能发现图中有哪些等量关系？
与同伴说说你的想法和理由．




如果AB是直径，结论还成立么？
探索规律
CD⊥AB
AC=BC
AD=BD
⌒
⌒
⌒
⌒

O

M

A
B





┗
CD是直径
AM=BM
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
过点C作直径CD．
右图是轴对称图形吗？
如果是，其对称轴是什么？
你能发现图中有哪些等量关系？
说说你的想法和理由．


平分弧的直径垂直平分弧所对的弦．
⌒
⌒
⌒
AB是⊙O的一条弧，且AC=BC.
探索规律

C
D

O

M

A
B





CD⊥AB
AM=BM
AD=BD
⌒
⌒
CD是直径
AC=BC
⌒
⌒
如图，对于一个圆和一条直线来说．如果在下列五个条件中:
①CD是直径；② CD⊥AB；③ AM=BM；
④AC=BC；⑤AD=BD.
只要具备其中两个条件，
就可推出其余三个结论．
⌒
⌒

⌒
⌒


C
D

O

M

A
B

┗
规律
（3）
（1）


（2）
（4）
（5）

（2）
（3）


（1）
（4）
（5）
（1）
（4）

（3）
（2）
（5）



（1）
（5）
（3）
（4）
（2）



命题（1）：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
命题（2）：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧
命题（3）：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
①CD是直径；② CD⊥AB；③ AM=BM；
④AC=BC；⑤AD=BD．
⌒
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⌒
⌒
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
逆定理
定理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于 弦，并且平分弦所对的弧
定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦
垂径定理
已知：⊙O的直径CD交弦AB（不是直径）于点E，且AE=BE．
求证：CD⊥AB，AD＝BD，AC＝BC
⌒
⌒
⌒
⌒


证明：连结OA，OB，则OA=OB
∴△AOB是等腰三角形
∵AE=BE
∴CD⊥AB
（等腰三角形三线合一）
（垂径定理）
∴AD=BD，AC=BC
⌒
⌒
⌒
⌒
定理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．




O
A
E
B
D
C

(1)垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧
(2)弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心
(3)圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分
(4)平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
(5)圆内两条非直径的弦不能互相平分
错
对
错
错
对
辨一辨
(11)弦垂直于直径，这条直径就被弦平分．
(6)平分弦的直径，平分这条弦所对的弧．
(7)平分弦的直线，必定过圆心．
(8)一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这
条直线垂直这条弦．
错
错
错
错
错
错
(9)弦的垂直平分线一定是圆的直径．
(10)平分弧的直线，平分这条弧所对的弦．
例3 1300多年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.02 m，拱高(弧的中点到弦的距离，也叫弓形高)为7.23m,求桥拱的半径(精确到0.1m)．
∴OC⊥AB
∴DC就是拱高
∴AD=AB=0.5×37.02=18.51
OD=OC-DC=（R-7.23）
在Rt△OAD中，OA2=OD2+AD2
∴R2=18.512+(R-7.23)2
解得,R≈27.31
答：赵州桥的桥拱半径约为27.31m．
∵C是AB的中点
⌒
解： AB表示桥拱，设AB所在的圆的圆心为O，半径为R，C为AB的中点，连结OC，交AB于点D
⌒
⌒
⌒




A
O
N
M
F
E
D
C
B

已知：如图，⊙O 中，弦AB∥CD，AB＜CD，直径MN⊥AB，垂足为E，交弦CD于点F．
图中相等的线段有： ．
图中相等的劣弧有： ．

已知：如图，⊙O的直径PQ分别交弦AB,CD于点M,N，AM=BM，AB∥CD.
求证：DN=CN.
证明：∵PQ是⊙O的直径，
且AM=BM，
∴PQ⊥AB(平分弦(不是直径)
的直径垂直于弦).
又∵AB∥CD，
∴PQ⊥CD，
∴DN=CN(垂直于弦的直径平分这条弦).

如图，在直径为130mm的圆形铁片上切下一块高为32mm的弓形铁片，求弓形的弦AB的长.
解 过点O作OC⊥AB，连结OA.
∴∠OAC=90°，OA2=AC2+OC2，AB=2AC.
又∵铁片的直径为130mm，
∴OA=65mm，
OC=65-32=33mm，
∴652=AC2+332，
∴AC=56mm，
∴AB=112mm.
课堂小结:
解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。
.



C
D
A
B
O

M
N

E


.

A
C
D
B
O

.


A
B
O
某一公路隧道的形状如图所示，半圆拱的圆心距离地面2m，半径为1.5m.一辆高3m，宽2.3m的集装箱卡车能顺利通过这个隧道吗?如果要使高度不超过4m，宽为2.3m的大货车也能顺利通过这个隧道，且不改变圆心到地面的距离，半圆拱的半径至少为多少米?
解 如图，OB＝1.5，OA＝1.15，
∵ AB2=OB2-OA2，
∴ AB≈0.96m.
∵ 0.96+2＝2.96＜3,
∴高为3m，宽为2.3m的集装箱
车不能顺利通过.
由题意,若OA＝1.15,AB＝4-2＝2,
又∵AB2=OB2-OA2，
∴OB≈2.31m.
∴要使高度不超过4m，宽为2.3m的大货车能顺利通过,半圆拱半径至少为2.31m.

O
B

A
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1．已知：如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB和小圆交于点C，D．求证：AC＝BD．

答案：
证明：过点O作OE⊥AB于E点，则AE＝BE，CE＝DE(垂直于弦的直径平分这条弦)，
∴AE－CE＝EB－ED，即AC＝BD．
2．如图，破残的轮子上，弓形的弦AB为4cm，高CD为1cm．求这个轮子的直径长．

答案：设轮子的半径为r(cm)，则r2＝(r－1)2＋22，解得r＝．
∴这个轮子的直径是5cm．
3．要在直径为120mm的轴上铣出宽为30mm的一块平面(如图)，吃刀深度h为多少(精确到0.1mm)？

答案：
由题意，得602＝(60－h)2＋152，
解得h1＝1.9，
h2＝118.1(舍去)．
∴吃刀深度h约为1.9mm．
4．如图，一圆弧形钢梁的拱高为8m，跨径为40m．求这钢梁圆弧的半径长．

答案：
设钢梁的半径为x(m)，则(x－8)2＋202＝x2，
解得x＝29．
∴钢梁的半径为29m．
5．如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE＝3cm，DE＝7cm．求AB的长．

答案：
连结OB，则OB＝CD＝(CE＋DE)＝5(cm)．
∴OE2＋EB2＝OB2，
∴22＋EB2＝52，
解得EB＝，
∴AB＝2(cm)．
6．已知O的半径为5cm，弦AB∥CD，AB＝6cm，CD＝8cm．求AB与CD之间的距离．
答案：
分两种情况讨论．
(1)若AB与CD在圆心O的同侧，如图．

过点O作AB的垂线，垂足为E，与CO交于点F．
在Rt△OEB中，OE＝＝4(cm)；
在Rt△OFB中，OF＝＝3(cm)；
∴AB与CD的距离EF＝1cm．
(2)若AB与CD在圆心O的两侧，如图．

同理可得，AB与CD的距离EF＝7cm．

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