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3.4 圆心角(2)
学习目标 1．经历探索圆心角定理的逆定理的过程． 2．掌握“在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等”这个圆的性质． 3．会运用关于圆心角、弧、弦、弦心距之间相互关系的定理解决简单的几何问题．
学习过程
一、圆心角定理 二、请把题设中“圆心角相等”与三个结论中任意一个交换，写出新命题． 三、请结合右图判断以上命题是否为真命题． 结论： 几何语言：
例3 如图，等边三角形ABC内接于⊙O，连结OA，OB，OC，延长AO，分别交BC于点P，交弧BC于点D．连结BD，CD．判断四边形BDCO是哪一种特殊的平行四边形，并给出证明．
已知等边三角形ABC的边长为2，求它的外接圆半径．
例4 已知：如图，△ABC为等边三角形，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E． 求证：＝＝．
1．求半径为r的圆的内接等边三角形的边长．
2．已知：如图，在⊙O中，弦AB＝CD， 求证：AD＝BC．
3．根据“等弧对等弦”，小明认为：如图，若＝2，则AB＝2CD．你同意他的说法吗？请说明理由．
作业题
1．如图，AB是⊙O的直径，OC⊥AB，交⊙O于点C．判断△ABC是哪一种特殊的三角形，并说明理由．
2．如图的齿轮有20个齿，每两齿之间间隔相等．相邻两齿间的圆心角α为多少度？如果让这样的齿轮旋转1周，那么在旋转过程中有多少次和原图形重合？
3．已知：如图，AB，DE 是⊙O 的直径，C是⊙O上一点，且＝．求证：BE＝CE．
4．在一根轴的正中位置打一个正三角形孔(如图)，正三角形的边长为15cm，AB长为5cm．求这根轴的直径．
5．如图，在直径为10cm的⊙O中，直径AC与BD所成的角∠AOB＝120°．求四边形ABCD的周长和面积．
6．已知：如图，AB，AC是⊙的两条弦，OA平分∠BAC．求证：＝．


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数学浙教版 九年级上
3.4 圆心角(2)
3.4 圆心角(2)
教学目标
1.经历探索圆心角定理的逆定理的过程.
2.掌握“在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等”这个圆的性质.
3.会运用关于圆心角、弧、弦、弦心距之间相互关系的定理解决简单的几何问题.

重点与难点
本节教学的重点是关于圆心角、弧、弦、弦心距之间的相互关系的性质.
例4需辅助线，思路不易形成，是本节教学的难点.


圆心角所对的弧相等
圆心角所对的弦相等
圆心角所对的弦的
弦心距相等
在同圆或等圆中
如果圆心角相等
一、圆心角定理

新命题一：
二、请把题设中“圆心角相等”与三个结论中任意一个交换，写出新命题．

弧所对的圆心角相等
弧所对的弦相等
弧所对的弦的
弦心距相等
在同圆或等圆中
如果弧相等
新命题二：
二、请把题设中“圆心角相等”与三个结论中任意一个交换，写出新命题．

弦所对的圆心角相等
弦所对的弧(同为劣弧或优弧)相等
弦的弦心距相等
在同圆或等圆中
如果弦相等
新命题三：
二、请把题设中“圆心角相等”与三个结论中任意一个交换，写出新命题．

弦心距所对的弧相等
弦心距所对的弦相等
弦心距所对的
圆心角相等
在同圆或等圆中
如果弦心距相等
结论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等.
几何语言：
如图，∵ ∠AOB=∠COD，
∴ AB=CD，OE=OF，AB=CD．
三、请结合右图判断以上三个命题是否为真命题.


例3 如图，等边三角形ABC内接于⊙O，连结OA,OB,OC，延长AO，分别交BC于点P，交弧BC于点D．连结BD,CD．判断四边形BDCO是哪一种特殊的平行四边形，并给出证明．
解 四边形BDCO是菱形.证明如下：
∵AB=BC=CA，
∴∠AOB=∠BOC=∠COA=120°．
（圆心角定理）
∴∠BOD=180°-∠AOB
=180°-120°=60°．
又∵OB=OD，
∴△BOD是等边三角形．
同理，△COD是等边三角形．
∴OB=OC=BD=CD，即四边形BDCO是菱形．

解 如图所示，连结OA,OB,OC，并延长AO交BC于点D.
∵AB=BC=AC，
∴OD⊥BC，
∴∠BAD=30°，BD== .
∵OB=OC，
∴∠AOB=∠COB=∠AOC=120°.
∴r=2cm.
设OB=r，则OD=r.
已知等边三角形ABC的边长为2，求它的外接圆半径.

∴ +()2=r2，
例4 已知：如图，△ABC为等边三角形，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E．求证：AD=DE=EB.
分析：连结OD,OE.这样我们只要证明∠AOD=∠DOE=∠BOE，就能得到AD=DE=EB.


A
B
O
C
D
E






证明 如图，连结OD,OE，
在等边三角形ABC中，∠A=60°.
∵OA=OD，
∴△AOD是等边三角形.
∴∠AOD=60°.
同理，∠BOE=60°.
∴∠DOE=180°-∠AOD-∠BOE=180°-60°-60°=60°.
∴∠AOD=∠DOE=∠BOE，
∴ AD=DE=EB．


A
B
O
C
D
E



小结
边长为r
1.求半径为r的圆的内接等边三角形的边长．
∴AB-BD=CD-BD，即AD=BC.
∴AB=CD.
2.已知：如图,在⊙O中，弦AB=CD,
求证：AD=BC.

证明：∵AB=CD，
∴AD=BC.








∴AE=EB=CD，
解：取AB的中点E，
∵AB=2CD，
∴AE=EB=CD.
又∵AE+BE>AB，
∴2CD>AB.
3.根据“等弧对等弦”，小明认为：如图，若AB=2CD，则AB=2CD.你同意他的说法吗？请说明理由.








E
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1．如图，AB是⊙O的直径，OC⊥AB，交⊙O于点C．判断△ABC是哪一种特殊的三角形，并说明理由．

解：△ABC是等腰直角三角形．
理由：
∵ ∠AOC＝ ∠BOC，
∴ AC＝BC．
又 ∵ OA＝OB＝OC，
∴ ∠ACB＝Rt∠．
2．如图的齿轮有20个齿，每两齿之间间隔相等．相邻两齿间的圆心角α为多少度？如果让这样的齿轮旋转1周，那么在旋转过程中有多少次和原图形重合？

解：18°，旋转一周的过程中，有20次和原图形重合．
3．已知：如图，AB，DE 是⊙O 的直径，C是⊙O上一点，且＝．
求证：BE＝CE．

证明：如图，连结OC
∵＝，
∴ ∠AOD＝∠COE
又∵ ∠AOD＝∠BOE，
∴ ∠BOE＝∠COE，
∴ BE＝CE．

4．在一根轴的正中位置打一个正三角形孔(如图)，正三角形的边长为15cm，AB长为5cm．求这根轴的直径．

解：10(1＋)cm．
5．如图，在直径为10cm的⊙O中，直径AC与BD所成的角∠AOB＝120°．求四边形ABCD的周长和面积．

解：周长为10(1＋)cm，面积为25cm2．
6．已知：如图，AB，AC是⊙的两条弦，OA平分∠BAC．
求证：＝．

证明：如图，过O点作ODAB于点D，作OEAC于点E．

∵ OA平分∠BAC，
∴ OD＝OE．
∴ AB＝AC．
∴ ＝．

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