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《整式的乘法》知识精讲与专项练习
1．同底数幂的乘法
（1）同底数幂的乘法法则，其推到过程是特殊到一般的过程，即由10· 10，3· 3到a· a到a· a，把幂的底数与指数分两步进行概括抽象，要注意推出这一法则每一步的依据
（2）同底数幂的乘法法则是：
同底数幂相乘，底数不变，指数相加
a· a= a（字母m，n表示正整数）
当三个或三个以上的同底数幂相乘时，也具有这样的性质，即：
a· a· a= a（字母m，n，p表示正整数）
说明：
（1）同底数幂相乘，就应用同底数幂的乘法法则；整式加减就要合并同类项。两者不能混淆。
（2）、—a?的底数a，不是—a。计算—a?·a?的结果是—（a?·a?）=—a，而不是（—a）=a。
（3）、若底数是多项式时，要把底数看成一个整体进行计算
2、幂的乘方
（1）、幂的乘方的性质推导
当乘方的运算中底数变成幂时，这种运算就变成一种新的运算：即幂的乘方，其运算法则可由乘方运算的定义和同底数幂的乘法法则推导出来。
（2）、幂的乘方法则
幂的乘方，底数不变，指数相乘。用字母表示就是（a）=a（m、n都是正整数）。如（10）=10
说明：
（1）、幂的乘方是单项式乘除运算的基础，应学会运用乘方的定义及同底数幂乘法推导其运算法则，同时注意与同底数幂乘法法则的区别，应用时不能混淆。
（2）、不管是同底数幂的乘法运算，还是幂的乘方运算，要学会正确识别幂的“底”是什么？幂的指数是什么？乘方的“指数”是什么？若在底数中有负号，则要根据指数的奇偶性决定正负号，即乘方的指数为奇数，负号保留，乘方的指数为偶数，负号去掉。
3、积的乘方
（1）积的乘方
当幂的底数有两个或两个以上数或字母相乘时，就是积的乘方。如（2×3），（abc）等等。
（2）积的乘方法则
积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，用字母表示就是（ab）=ab（n为正整数）。三个或三个以上的积的乘方，也具有这一性质。如（abc）=abc。
说明：
（1）用积的乘方的法则进行计算时，我们要认清“因式有几个？分别是什么？”特别是系数和负号这样的特殊因式不能搞错。
（2）在同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方的混合运算中，要学会灵活正确的分析算式的每一部分和每一种运算，然后采取合理简捷的方法进行运算。
4、 整式的乘法
（1）整式的乘法有3种：单项式与单项式相乘、单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘。其中单项式与单项式的乘法是整式的乘法的基础，其他两种乘法都可以转化为这种运算，所以我们要熟练、牢固地掌握单项式乘以单项式的运算法则。
（2）单项式与单项式相乘的运算法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘的积作为积的因式，其余的字母连同它的指数不变，也作为积的因式
（3）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加，用字母表示为
b·（p+q）=bp+bq或（p+q）·b=bp+bq
（4）多项式与多项式相乘的运算法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项去乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。用字母表示为
（a+m）（b+n）=ab+an+bm+mn
说明：
（1）整式的乘法包括单项式与单项式、单项式与多项式、多项式与多项式的乘法三种。其中单项式与单项式的乘法是整式的乘法的基础，其他两种乘法都可以转化为这种运算，所以我们要熟练、牢固地掌握单项式乘以单项式的运算法则
（2）在学习多项式与多项式的乘法时，要熟练地掌握公式：
（x+a）（x+b）=x+（a+b）x+ab
这可以为以后学习乘法公式打下良好的基础
5、 同底数幂的除法
（1）同底数幂的除法法则
同底数幂相除，底数不变，指数相减
（m、n是正整数且m＞n，a≠0）
（2）规定任何不等于零的数的零次幂为1，即（a≠0）
说明：
（1）始终抓住法则中的二个要素：判定同底，指数相减，并注意过程和运算结果的规范表示
6、单项式除以单项式
（1）一般地，单项式除以单项式有如下法则：
两个单项式相除，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式
说明：
（1）计算的时候分三步：①系数相除②同底数幂相除③只在被除式里的幂不变
7、多项式除以单项式
（1）多项式除以单项式有如下法则：
多项式除以单项式，先把多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加

方法引导
1、幂的运算
例1 下列计算错误的是 ( )
(A)a2·a4=a8 (B)2a3÷a=2a2 (C)(－a3)2=a6 (D)(a－1)2=
难度等级：A
　　解：选A
【知识体验】根据同底数的幂的乘法法则，a2·a4=a2+4=a6，所以A不对，根据单项式除法的运算法则，结合同底数幂的除法法则，2a3÷a=2a3-1=2a2 ，所以B是正确的；根据幂的乘方性质，(－a3)2= a3×2=a6 ， (a－1)2= a－1×2= a－2=，所以C、D都是正确的
【搭配练习】
在下列计算中,正确的是（ ）
A.（ab2）3=ab6 B.（3xy）3=9x3y3 C.（－2a2）2=－4a4 D.（－2）－2=

例2 计算x2y3÷(xy)2的结果是( )
A．xy B． x C ．y D. xy2
难度等级：A
　　解：C
【知识体验】利用单项式除法的运算法则，结合积的乘方运算性质，可以解得，x2y3÷(xy)2= x2y3÷x2y2 = y，故选C.
【搭配练习】
计算：（-2y5）2÷（2y3）

例3 若aa–3=1,则a等于（ ）
A.1，0； B.1，3； C.1，-1； D.1，-1，3.
难度等级：B
　　解：D
【知识体验】此题貌似简单，实际上要想解对并非易事，应该对可能出现的各种情况都考虑到，即采用分类讨论思想.
【解题技巧】
(1)因为任何一个不等于0的数的0次幂都等于1，所以，当a≠0，并且a-3=0时，aa–3=1能成立，解得a=3;
(2)因为1的任何次幂都等于1，所以当a=1时，aa–3=1也能成立；
(3)因为-1的偶数次幂等于1，所以当a=-1时，a-3=-1-3=-4，则aa–3=1也能成立.
综合以上三种情况，可知a=3, 1或者-1. 故选D.
【搭配练习】
若(2x+1)0=1，则( )
A.x≥－ B.x≠－ C.x≤－ D.x≠

例4 计算：
(1)(a＋2b)(3a－7b)；
(2)(16x2y3z+8x3y2z)÷8x2y2
难度等级：A
　　解：（1）(a＋2b)(3a－7b)=3a2-7ab+6ab-14b2=3a2-ab-14b2.
（2）(16x2y3z+8x3y2z)÷8x2y2=2yz+xz.
【知识体验】（1）题是利用多项式乘法法则进行计算；（2）题利用多项式除以单项式的法则进行运算
【解题技巧】在计算的过程，要按照计算的顺序，遇到符号问题时，要进行细节处理，无论是乘法或是除法，在乘或除的时候一定要连同每一项的符号；剩下的就是同底数幂的乘法或除法了。
【搭配练习】
计算
1、(－2ax)2·(－x4y3z3) ÷(－a5xy2)
2、(an+2+2an+1) ÷(－an－1)

2、巧用幂的运算简化计算
例5
(1) 计算：。
(2) 已知3×9m×27 m＝321，求m的值。
(3) 已知x2n＝4，求(3x3n)2－4(x2) 2n的值。
难度等级：B
　　解：（1）

（2）
∵

∴

∴
即1+5m=21
∴m=4
(3) 已知x2n＝4，求(3x3n)2－4(x2) 2n的值
∵
∴

【知识体验】第一道题目使用的是同底数幂的乘法法则a· a= a（m、n都是正整数）；把题目变得简单，后两道题目使用的是同底数幂的乘法，幂的乘方（a）=a（m、n都是正整数）；积的乘方（ab）=ab（n是正整数）。从公式表面来看，公式是从左到右进行的，但按照等式来说，等式从左到右，和从右到左的转化都是等价的，所以公式是可以逆用的
【解题技巧】在看到和公式相似的式子时，要从基本出发，找到题目和公式的联系，遇到较大的数字或指数，肯定是可以利用基本的变形来使式子变得简单
【搭配练习】
1、已知：，求m.
2、若,求的值.
3、已知，求x的值。

例题讲解
(一）题型分类全析
1、整式乘除类型题
例1：下列计算正确的是( )
（A） （B）
（C） （D）
难度等级：A
【思维直现】本题要在四个选项中，选出正确的一个，那就需要把四个式子都计算一遍。
解：D
【阅读笔记】计算的过程中，要注意等号连接的式子之间是否是相等的关系，在从原来的式子都最后化简的结果过程中，每一步都可能出错。
【题评解说】本题主要考察的是同底数幂的乘法，还有互为相反数的底数在偶次幂和奇次幂的时候不同的转化。
【建议】在完成的时候，严格按照同底数幂的乘法法则，认清相同的底数是哪一个，不同的底数之间是否可以转化
【搭配练习】

1、计算:=_____________
2、计算:_____________
3、下列计算中正确的是（ ）
(A)xn+2÷xn+1=x2 (B)(xy)5÷xy3=(xy)2
(C)x10÷(x4÷x2)=x8 (D)(x4n÷x2n) ·x3n=x3n+2

例2：计算:=_____________.
难度等级：B
【思维直现】直接利用幂的乘法公式来计算，先利用积的乘方，在利用同底数幂的乘法，把它看做以10为底数的幂，最后的结果最好以科学记数法的形式表示。
解：

【阅读笔记】数字也是式子的组成部分，所以该题也符合幂的公式，分清底数和指数，按照公式的要求得出结果。
【题评解说】本题实质也是考察幂的运算的应用，解题时应该把10看做平常的底数，然后依次按照积的乘方，同底数幂的乘法来计算，最后的结果如果较大，还应该化为的形式。
【建议】一定要分清底数是10，在做同底数幂乘法时，把幂的式子放在一起，其他系数相乘；结果以科学记数法的形式出现，注意系数一定是在0和1之间
【搭配练习】
计算

2、求值的题型
例3 若，求的值

难度等级：C
【思维直现】给出条件求值，就说明条件是要使用的，所以在化简的式子中一定要出现2x和5y，那么就要把化为以2为底数的幂，化为以2为底数的幂，这样后续也可以用同底数幂的乘法，使式子中出现
解：∵
∴
∴

【阅读笔记】要求出最后的结果，关键是善于利用条件，有x和y的条件只有一个，也就是说具体x、y的值是无法求出的，所以只能利用2x+5y的值来进行代入
【题评解说】本题主要考察的还是同底数幂的乘法、积的乘方的逆用，思考题目的时候要明白题目的意图，发现条件和待求式子之间的联系，找到解题的关键
【建议】最好熟记以2为底数的1-10次幂的结果，以3为底数的1-5次幂的结果，以4为底数的1-4次幂的结果，在看到题目的时候能够很快的反应过来
【搭配练习】
1、xn＝5，yn＝3，则(xy)2n＝　　　　　　，若2x＝m，2y＝n，则8x+y＝　　　　　　.
2、已知，，求的值。

（二）思维重点突破
例4一个长方形的长增加4 cm，宽减少1 cm，面积保持不变；长减少2 cm，宽增加1 cm，面积仍保持不变。求这个长方形的面积
难度等级：C
【思维直现】长方形的面积公式就是长×宽，总共有两种变换方法。按照两句话，可以得出两个式子。
解：设这个长方形的长为a cm，宽为b cm，由题意得
　即
解得
因为ab＝8×3＝24，所以这个长方形面积为24 cm2
【阅读笔记】按照正常的思考模式列出式子就可以了，然后依次进行化简，会发现得出的是普通的二元一次方程，求解就能得出最后结果。
【题评解说】本题是一道多项式乘以多项式和列二元一次方程组解应用题的综合题。列式子的时候不要被它的形式所迷惑，本章整体所讲就是化简，式子原本的形式不是所熟悉的，但经由化简后所得的式子就是以往所学
【建议】解题时，先正向思考，列出复合题目意思的式子，在根据式子本身的特点，选择合适的方法进行化简
【搭配练习】
1、求不等式(x＋16)(x＋4)＞(x＋12)2的解集
2、解方程3(x＋2)2＋(2x－1)2－7(x＋3)(x－3)＝28
3、四个连续自然数中，已知两个大数的积与其余两个数的积的差等于58，求这四个数的和

例5．比较25180，64120，8190的大小
难度等级：C
【思维直现】把这三个数变成同底数的形式无法办到，可以先把变成以5为底的幂，把变成以4为底的幂，变成3为底的幂的，就变成同指数的，再比较大小就很容易了
解：




即
【阅读笔记】要比较大小，通常也是将要比较的两个数化为底数相同或指数相同的形式，再进行比较。
【题评解说】本题主要考的是逆用幂的运算，从复杂的形式转化为所熟悉的形式，即将要解决的问题转化为另一个较易解决的问题或已经解决的问题，这是初中数学中最常用的化归思想方法。
【建议】在把、的底数转化时，要进行筛选，64是化为4为底数，还是2为底数；81是化为9为底数，还是3为底数。
【搭配练习】
1、比较a=233，b=322，c=411的大小
2、比较的大小

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