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13.2 命题与证明课时作业（4）
姓名：__________班级：__________考号：__________
一、选择题
如图，l∥m，∠1=115°，∠2=95°，则∠3=（　　）
A．120° B．130° C．140° D．150°
如图，△ABC中，∠A=46°，∠C=74°，BD平分∠ABC，交AC于点D，那么∠BDC的度数是（　　）
A．76° B．81° C．92° D．104°
如图，点D在△ABC的边AB的延长线上，DE∥BC，若∠A＝35°,∠C＝24°,则∠D的度数是（?? ）
A.?24°? ?B.?59°??? C.?60°?? D.?69°
如图，已知a∥b，∠1=130°，∠2=90°，则∠3=（　　）
A．70° B． 100° C． 140° D． 170°
如图2，已知AB∥CD，∠C=70°，∠F=30°，则∠A的度数为（　　）
A．30° B．35° C．40° D．45°
如图，已知矩形纸片的一条边经过一个含30°角的直角三角尺的直角顶点，若矩形纸片的一组对边分别与直角三角尺的两边相交，∠2=115°，则∠1的度数是（　　）
A．75° B．85° C．60° D．65°
含30°角的直角三角板与直线l1、l2的位置关系如图所示，已知l1∥l2，∠ACD=∠A，则∠1=（　　）
A．70° B．60° C．40° D．30°
如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ，那么下列式子中正确的是（　　）
A．γ=2α+β B．γ=α+2β C．γ=α+β D．γ=180°﹣α﹣β
二、填空题
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若
∠A=25°，则∠ADE=_____°．
如图，△ABC中，∠A=100°，若BM、CM分别是△ABC的外角平分线，则∠M=______．
如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=20°，则∠C=　　　　　　．
如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，BD与CE交于点M. 若MN⊥BC于N，∠A＝60°，则∠1－∠2=________度.
如图，AB∥CD，CP交AB于点O，AO=PO，若∠A=35°，则∠C=　 　°．
如图，点D，B，C在同一直线上，∠A＝60°，∠C＝50°，∠D＝25°，则∠1＝__________.
如图，∠B＝46°，△ABC的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC的度数为________．
三、解答题
如图,△ABC中,∠A=80°,∠B、∠C的角平分线相交于点O,∠ACD=30°,求∠DOB的度数.
如图，在△ABC中，D是AB上一点，E是AC上一点，BE与CD相交于点O，∠A=60°，∠ABE=15°，∠ACD=25°，求∠COE的度数．
如果，在△ABC中，AD是高，AE是∠BAC的平分线，∠BAC=54°，∠C=70°．求∠EAD的度数．
一天，爸爸带着小刚到建筑工地去玩，看见有如图所示的人字架，爸爸说“小刚，我考考你，这个人字架的夹角∠1等于130°，你能求出∠3比∠2大多少吗？”小刚马上得到了正确答案，他的答案是多少？请说明理由．
已知：△ABC中，记∠BAC=α，∠ACB=β．
（1）如图1，若AP平分∠BAC，BP，CP分别平分△ABC的外角∠CBM和∠BCN，BD⊥AP于点D，用α的代数式表示∠BPC的度数，用β的代数式表示∠PBD的度数
（2）如图2，若点P为△ABC的三条内角平分线的交点，BD⊥AP于点D，猜想（1）中的两个结论是否发生变化，补全图形并直接写出你的结论．
如图，已知平面内有两条直线AB、CD，且AB∥CD，P为一动点．
（1）当点P移动到AB、CD之间时，如图（1），这时∠P与∠A、∠C有怎样的关系？证明你的结论．
（2）当点P移动到AB的外侧时，如图（2），是否仍有（1）的结论？如果不是　　，请写出你的猜想（不要求证明）．
（3）当点P移动到如图（3）的位置时，∠P与∠A、∠C又有怎样的关系？能否利用（1）的结论来证明？还有其他的方法吗？请写出一种．
答案解析
一 、选择题
【考点】三角形的外角性质；平行线的性质．
【分析】先根据两直线平行，同旁内角互补，求出∠4，再求出∠2的邻补角∠5，然后利用三角形外角性质即可求出∠3．
解：∵l∥m，∠1=115°，
∴∠4=180°﹣∠1=180°﹣115°=65°，
又∠5=180°﹣∠2=180°﹣95°=85°，
∴∠3=∠4+∠5=65°+85°=150°．
故选D．
【点评】本题利用平行线的性质和三角形外角的性质求解．
【考点】三角形内角和定理．
【分析】由题意利用三角形内角和定理求出∠ABC度数，再由BD为角平分线求出∠ABD度数，根据外角性质求出所求角度数即可．
解：∵△ABC中，∠A=46°，∠C=74°，
∴∠ABC=60°，
∵BD为∠ABC平分线，
∴∠ABD=∠CBD=30°，
∵∠BDC为△ABD外角，
∴∠BDC=∠A+∠ABD=76°，
故选A
【点评】此题考查了三角形内角和定理，以及外角性质，熟练掌握内角和定理是解本题的关键．
【考点】平行线的性质，三角形的外角性质
【分析】根据三角形外角性质得∠DBC=∠A+∠C，再由平行线性质得∠D=∠DBC.
解：∵∠A=35°，∠C=24°，∴∠DBC=∠A+∠C=35°+24°=59°，
又∵DE∥BC，
∴∠D=∠DBC=59°.
故答案为：B.
【考点】平行线的性质；三角形的外角性质
【分析】延长∠1的边与直线b相交，然后根据两直线平行，同旁内角互补求出∠4，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
解：如图，延长∠1的边与直线b相交，
∵a∥b，
∴∠4=180°﹣∠1=180°﹣130°=50°，
由三角形的外角性质，∠3=∠2+∠4=90°+50°=140°．
故选C．
【考点】平行线的性质
【分析】先根据平行线的性质得∠BEF=∠C=70°，然后根据三角形外角性质计算∠A的度数．
解：∵AB∥CD，
∴∠BEF=∠C=70°，
∵∠BEF=∠A+∠F，
∴∠A=70°﹣30°=40°．
故选C．
故选C．
【考点】 平行线的性质．.
【分析】先根据平行线的性质，得出∠3的度数，再根据三角形外角性质进行计算即可．
解：如图所示，∵DE∥BC，
∴∠2=∠3=115°，
又∵∠3是△ABC的外角，
∴∠1=∠3﹣∠A=115°﹣30°=85°，
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等．
【考点】平行线的性质．
【分析】先根据三角形外角性质得到∠CDB的度数，再根据平行线的性质，即可得到∠1的度数．
解：∵∠ACD=∠A=30°，
∴∠CDB=∠A+∠ACD=60°，
∵l1∥l2，
∴∠1=∠CDB=60°，
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
【考点】三角形外角的性质
【分析】根据三角形的外角得：∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，代入已知可得结论．
解：由折叠得：∠A=∠A'，
∵∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，
∵∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ，
∴∠BDA'=γ=α+α+β=2α+β，
故选：A．
【点评】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键．
二 、填空题
【考点】三角形内角和定理，三角形外角的性质
【分析】根据三角形内角和定理可得∠B=65°，再由折叠可得∠CED的度数，再根据三角形外角的性质可得∠EDA的度数．
解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=25°，
∴∠B=180°-90°-25°=65°，
根据折叠可得∠CED=65°，
∴∠EDA=65°-25°=40°，
故答案为：40．
【点睛】此题主要考查了三角形内角和定理，以及三角形外角的性质，关键是掌握三角形内角和是180°．
【考点】三角形的外角性质．
【分析】由三角形内角和定理可求得∠ABC+∠ACB，再利用邻补角可求得∠DBC+∠ECB，根据角平分线的定义可求得∠MBC+∠MCB，在△BMC中利用三角形内角和定理可求得∠M．
解：∵∠A=100°，
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=80°，
∴∠DBC+∠ECB=180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB=360°﹣（∠ABC+∠ACB）=360°﹣80°=280°，
∵BM、CM分别平分∠DBC和∠ECB，
∴∠MBC+∠MCB=（∠DBC+∠ECB）=×280°=140°，
∴∠M=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣140°=40°，
故答案为：40°．
【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．
【分析】先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理可求出∠B的度数，再根据三角形外角的性质可求出∠ADC的度数，再由三角形内角和定理解答即可．
解：∵AB=AD，∠BAD=20°，
∴∠B===80°，
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=80°+20°=100°，
∵AD=DC，
∴∠C===40°．
【点评】本题涉及到三角形的内角和定理、三角形外角的性质及等腰三角形的性质，属较简单题目．
【考点】角平分线定义，三角形外角性质，三角形内角和定理
【分析】构建方程组即可解决问题.
解:∵∠BMC=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+ ∠A=120°，
∴∠1+∠BMN=120°①，
∵MN⊥BC，
∴∠2+∠BMN=90°②，
①-②得：∠1-∠2=30°．
故答案为:30.
【点睛】本题考查了角平分线定义，三角形外角性质，三角形内角和定理的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．
【考点】平行线的性质．
【分析】先根据三角形外角的性质求出∠POB的度数，再由平行线的性质即可得出结论．
解：∵AO=PO，∠A=35°，
∴∠P=∠A=35°．
∵∠POB是△AOP的外角，
∴∠POB=∠P+∠A=70°．
∵AB∥CD，
∴∠C=∠POB=70°．
故答案为：70．
【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．
【考点】三角形内角和定理，三角形的外角性质
【分析】根据三角形的外角的性质及三角形的内角和定理可求得
解：∵∠ABD是△ABC的外角，
∴∠ABD=∠A+∠C=60°+50°=110°，∴∠1=180°-∠ABD-∠D=180°-110°-25°=45°．【点评】本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，比较简单．
【考点】三角形内角和定理，三角形的外角性质，角平分线的定义
【分析】根据三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形外角定理求得:
∠DAC+∠ACF=（∠B+∠B+∠1+∠2）=113°；最后在△AEC中利用三角形内角和定理可以求得∠AEC的度数．
解：如图：
∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，
∴∠EAC=∠DAC,∠ECA=∠ACF，
∵∠DAC=∠B+∠2，∠ACF=∠B+∠1.
∴∠DAC+∠ACF= (∠B+∠2)+ (∠B+∠1)= (∠B+∠B+∠1+∠2)，
∵∠B=46°(已知),∠B+∠1+∠2=180°(三角形内角和定理)，
∴∠DAC+∠ACF=113°.
∴∠AEC=180°?(∠DAC+∠ACF)=67°.
故答案是：67°.
【点睛】本题考查了三角形内角和定理； 三角形的外角性质：三角形的一个外角等于另外两个内角之和；角平分线的定义；解题的关键在于根据题意熟练运用这些性质、定义、定理.
三 、解答题
【考点】三角形外角的性质，三角形的内角和定理
【分析】已知BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，根据角平分线的性质可得∠ABO=∠CBO、∠BCD=∠ACD=30°，再由三角形的内角和定理求得∠ABC=40°即可得∠CBO =20°，根据三角形外角的性质即可求得∠DOB的度数.
解：∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠ABO=∠CBO，∠BCD=∠ACD=30°，
又∵∠A=80°，
∴∠ABC=180°-∠A-∠ACD-∠BCD=180°-80°-30°-30°=40°，
∴∠CBO =∠ABC=×40°=20°，
∴∠DOB=∠CBO+∠BCD=20°+30°=50°.
【点睛】本题考查了三角形外角的性质及三角形的内角和定理，熟练运用性质和定理是解决问题的关键.
【考点】三角形的外角性质，三角形内角和定理
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠CEO=∠ABE+∠A，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
解：在△ABE中，∵∠A=60°，∠ABE=15°，
∴∠CEO=∠ABE+∠A=15°+60°=75°，
在△COE中，∠COE=180°-∠CEO-∠ACD=180°-75°-25°=80°．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质和三角形内角和定理：三角形内角和等于180°，三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和.
【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质．
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠DAC，根据角平分线定义求出∠EAC，代入∠DAE=∠EAC﹣∠DAC求出即可．
解：∵AD是搞，
∴∠ADC=90°，
∵∠C=70°，
∴∠DAC=20°，
∵AE是∠BAC的平分线，∠BAC=54°，
∴∠EAC=∠BAC=27°，
∴∠EAD=∠EAC﹣∠DAC=27°﹣20°=7°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，垂直定义，角平分线定义的应用，解此题的关键是求出∠DAC和∠EAC的度数，难度适中．
【考点】三角形的外角性质．
【分析】根据邻补角定义求出∠1的邻补角的度数，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和求出∠3﹣∠2等于∠1的邻补角的度数．
解：小刚的答案为50°．
理由如下：如图，
设∠1的邻补角为∠4，
∵∠1=130°，
∴∠4=180°﹣130°=50°，
∵∠3是人字架三角形的外角，
∴∠3=∠2+∠4，
∴∠4=∠3﹣∠2=50°，
∴∠3比∠2大50°．
【点评】本题主要利用两个邻补角的和等于180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和求解．
【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质，角平分线的性质
【分析】根据三角形内角和定理可求出∠CBA+∠ACB，根据邻补角的性质可求出∠MBC+∠NGB，再根据角平分线的性质∠PBC+∠PCB，根据三角形内角和定理算出结果．
解：（1）∵∠BAC+∠CBA+∠ACB=180°，∠BAC=α
∴∠CBA+∠ACB=180°﹣∠BAC=180°﹣α
∵∠MBC+∠ABC=180°，∠NCB+∠ACB=180°
∴∠MBC+∠NGB=360°﹣∠ABC﹣∠ACB=360°﹣（180°﹣α）=180°+α
∵BP，CP分别平分△ABC的外角∠CBM和∠BCN
∴∠PBC=∠MBC，∠PCB=∠NCB
∴∠PBC+∠PCB=∠MBC+∠NCB=（180°+α）=90°+α
∵∠BPC+∠PBC+∠PCB=180°
∴∠BPC=180°﹣（∠PBC+∠PCB）=180°﹣（90°+α）=90°﹣α
∵∠BAC=α，∠ACB=β，∵∠MBC是△ABC的外角
∴∠MBC=α+β
∵BP平分∠MBC
∴∠MBP=∠MBC=（α+β）
∵∠MBP是△ABP的外角，AP 平分∠BAC
∴∠BAP=α，∠MBP=∠BAP+∠APB
∴∠PBD=90°﹣∠APB=90°﹣（∠MBP﹣∠BAP）=90°﹣∠MBP+∠BAP=90°﹣（α+β）+α=90°﹣β；
（2）如图2，若点P为△ABC的三条内角平分线的交点，BD⊥AP于点D，猜想（1）中的两个结论已发生变化
；∠PBD=．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，角平分线，外角的性质．注意知识的灵活运用．　
【考点】平行线的性质；三角形的外角性质．
【分析】（1）延长AP后通过外角定理可得出结论．
（2）利用外角定理可直接得出答案．
（3）延长BA到E，延长DC到F，利用内角和定理解答．
证明：（1）∠P=∠A+∠C，
延长AP交CD与点E．
∵AB∥CD，∴∠A=∠AEC．
又∵∠APC是△PCE的外角，
∴∠APC=∠C+∠AEC．
∴∠APC=∠A+∠C．
（2）否；∠P=∠C﹣∠A．
（3）∠P=360°﹣（∠A+∠C）．
①延长BA到E，延长DC到F，
由（1）得∠P=∠PAE+∠PCF．
∵∠PAE=180°﹣∠PAB，∠PCF=180°﹣∠PCD，
∴∠P=360°﹣（∠PAB+∠PCD）．
②连接AC．
∵AB∥CD，∴∠CAB+∠ACD=180°．
∵∠PAC+∠PCA=180°﹣∠P，
∴∠CAB+∠ACD+∠PAC+∠PCA=360°﹣∠P，
即∠P=360°﹣（∠PAB+∠PCD）．
【点评】本题考查平行线的性质，难度不大，注意图形的变化带来的影响，不要有惯性思维．

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