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5　平行四边形和梯形
　一、平面内两直线的位置关系 1.同一平面内两条直线的位置关系:相交和不相交。(如下图) 2.平行:在同一个平面内不相交的两条直线叫做平行线,也可以说这两条直线互相平行。 3.垂直:如果两条直线相交成直角,就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线,这两条直线的交点叫做垂足。 如下图: 图1:直线a和直线b互相平行,直线a是直线b的平行线。记作a∥b，读作a平行于b。 图2:直线a和直线b互相垂直;直线a是直线b的垂线;点O是垂足。 4.画垂线的方法。 (1)过直线上一点画这条直线的垂线的方法。 先把三角尺的一条直角边与已知直线重合,再让三角尺上的直角顶点与直线上的点重合,最后用笔沿另一条直角边画出直线即可。(如下图所示) (2)过直线外一点画这条直线的垂线的方法。 先把三角尺的一条直角边与已知直线重合,再让三角尺的另一条边与直线外的点重合,最后用笔沿这条边画出直线即可。(如下图所示) 5.点到直线的距离:从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短,它的长度叫做这点到直线的距离。 6.平行线的画法。 (1)平行线的画法。 用直尺和三角尺画平行线,先把三角尺的一条直角边紧靠直线,再让直尺紧靠三角尺的另一条直角边,这时沿直尺平移三角尺,再画一条直线即可。(如图) (2)端点分别在两条平行线上,且与平行线垂直的所有线段平行且长度都相等。 7.长方形和正方形的画法。 举例:怎样画出一个长3厘米、宽2厘米的长方形? 长方形的对边是互相平行的,邻边是互相垂直的。因此可以用画垂线或平行线的方法画。先画一条长3厘米的线段;再过线段的一端画一条长2厘米的垂线,并过另一个端点也画一条长2厘米的垂线;连接两个端点即可。(如图) 　　二、平行四边形 1.平行四边形的概念:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2.四边形的特性。 四边形容易变形,具有不稳定性的特征。 应用:推拉门 3.平行四边形的底和高:从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线,这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高,垂足所在的边叫做平行四边形的底。平行四边形有无数条高,但是从一个顶点向对边只能画一条高。 三、梯形 1.梯形的概念:只有一组对边平行的四边形叫做梯形。 2.梯形的底、高和腰:从梯形上底上的任意一点向下底引一条垂线,这点和垂足之间的线段叫做梯形的高。互相平行的一组对边分别叫做梯形的上底和下底;不平行的一组对边叫做梯形的腰。 3.特殊的梯形:两腰相等的梯形叫做等腰梯形,有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。 四、四边形之间的分类 用集合图来表示四边形之间的关系(如图)。 五、图形的拼接与分割 1.图形的拼接。 (1)两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形。 (2)两个完全一样的平行四边形可以拼成一个平行四边形。 (3)两个完全一样的长方形可以拼成一个长方形或正方形。 (4)两个完全一样的正方形可以拼成一个长方形。 (5)两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。 (6)两个完全一样的直角梯形可以拼成一个长方形或平行四边形。 2.图形的分割。 (1)平行四边形可以被分割成两个完全相等的三角形、平行四边形或梯形。 (2)梯形可以被分割成两个梯形、一个平行四边形和一个三角形或两个三角形。 　　 易错点: 忽略两直线平行的前提——在同一平面内。 误区: 错例: 如下图,直线a∥b 分析:图中的两条直线虽然没有相交,但是把直线a和b向两端延伸之后,直线a和b会相交,因此不能说直线a∥b。 两条直线相交所成的四个角中,只要有一个角是直角,其余三个角就都是直角。 巧记: 边线重合, 平移到点, 画线标号。 特别提示: 在画垂线的过程中,三角尺不能挪动! 误区:垂直线段是距离。 分析:线段是几何图形,而距离是数量,两者是不同的概念。我们只能说垂直线段的长度是距离,两者不可混淆。 应用举例: 怎样修路最近? 巧记: 一贴、二靠、三移、四画。 两条平行线之间的距离处处相等。 (这个性质可以用来证明长方形对边相等且平行) 要点:用垂直和平行的方法画图,注意标注:长方形要标出一组邻边的长度(长和宽),正方形要标出一条边长的长度;或者在旁边写出“长方形”或“正方形”。 把长方形拉成平行四边形,周长不变,面积变小。 特别提示: 画高要用虚线,并要作出垂直标记。 注意: 梯形有无数条高。但是从底的一个顶点向另一个底只能画出一条高。 等腰梯形不可能是直角梯形,直角梯形也不可能是等腰梯形。 四边形包括平行四边形和梯形。长方形和正方形是特殊的平行四边形。正方形又是特殊的长方形。 方法提示: 先确定中心点,两条对角线的交点就是中心点,然后画一条通过中心点且与平行四边形任意一边平行的虚线,这样就一定能把这个平行四边形平均分成两个完全一样的图形。 误区:两个三角形可以拼成一个平行四边形。 分析:平行四边形的对边是相等的,平行四边形能分割成两个完全相同的三角形,因此在用两个三角形拼接四边形时,不能漏掉前提条件——两个完全一样的三角形。



6　除数是两位数的除法
　　一、口算除法 1.口算方法:整十数除整十数或几百几十数的口算,可以想乘法算除法,也可以先去掉被除数和除数末尾相同个数的0,再计算。 例如:160÷20= ①想:20×8=160,所以160÷20=8。 ②把160和20的末尾各去掉一个0,即16÷2=8,所以160÷20=8。 2.“除以”和“除”的不同:读法、意思有不同。(常作为考点) 例如:120除以30,列式为120÷30=4。 20除130,列式为130÷20=6……10。 3.除法估算的方法:根据被除数和除数的特点,先把不是整十数或几百几十的数看作和它最接近的整十数或几百几十数,再计算。 例如: 　　　÷≈5
先将除数看作和它最接近的整十数60,再将被除数看作和它最接近的整百数300,最后估算出商是5。　　　　　÷≈7
先将除数看作和它最接近的整十数30,再将被除数看作和它最接近的几百几十数210,最后估算出商是7。 　　　÷≈9 先将除数看成70,再将被除数看作和它最接近的70的倍数630,最后估算出商是9。 二、笔算除法 1.除数是整十数的笔算除法。 ①确定商的位置。 ②确定首先商几。 ③把商和除数乘起来再用被除数来减乘积。 ④比除数和余数的大小,余数一定要比除数小。 2.除数接近整十数的除法,一般按“四舍五入”法,把除数看作和它接近的整十数来试商。用“四舍”法试商,商容易偏大,要把商调小;用“五入”法试商,商容易偏小,要把商调大。 3.除数不接近整十数的除法,既可以按照“四舍五入”法试商,也可以采取把除数看作和它接近的几十五的方法。 4.除数是两位数的除法的计算方法。 (1)从被除数的高位除起,先用除数试除被除数的前两位,如果它比除数小,再试除被除数的前三位。 (2)除到被除数的哪一位,就把商写在那一位的上面。 (3)每次除后余下的数必须比除数小。 (4)最后根据竖式补充完横式,注意要写余数。 5.直接判断商是几位数的方法。 三位数除以两位数,比较被除数的前两位与除数的大小。除数大,商就是一位数;除数小,商就是两位数。 三、商的变化规律 1.在除法算式中,除数不变,被除数乘或除以几(0除外),商也要乘或除以几。 2.在除法算式中,被除数不变,除数乘或除以几(0除外),商反而要除以或乘几。 3.在除法算式中,被除数和除数同时乘或除以相同的数(0除外),商不变。这叫做商不变的规律或商不变的性质。 4.运用商不变的规律化简竖式。 当被除数和除数末尾都有0时,可以运用商不变的规律化简竖式,在被除数和除数末尾画掉相同个数的0,按照画掉0后的竖式进行计算,得出的余数如果不是0,还要再添上0,原来各去掉了几个就添上几个。 5.先将除数看作和它相近的整十数,再将被除数看成除数估成的整十数的倍数,以此估算出商。 6.笔算除法验算的方法。 如果是有余数的除法算式,用除数与商相乘,再加上余数,看是否等于被除数。 除法的意义:已知两个因数的积和其中的一个因数,求另一个因数的运算。 除法中的数量关系(有余数的除法): 被除数÷除数=商……余数 被除数=商×除数+余数 (验算方法) 除数=(被除数-余数)÷商 商=(被除数-余数)÷除数 余数=被除数-除数×商 提示:把除数和被除数看作与之最接近的整十数或几百几十数。 巧记: 一看;二试;三乘减;四比。 试商儿歌: 一二丢,八九收; 四六当五来动手; 四舍商大减去一; 五入商小加一好; 同头无除商八九; 除数折半商四五。 典型考题举例: 例如:□38÷53,要使商是一(两)位数,□可以填几?（5、6、7、8、9） 简便记法: 被除数不变时,除数和商是反向变化的,其余都是同向变化的。 举例:


7　条形统计图
　　一、条形统计图的特点 1.统计表和条形统计图都可以清楚地表示出数量的多少,但条形统计图比统计表更形象直观,更能看出数据之间的关系。 2.条形统计图常用1格代表2个单位,有时还要用半格来代表1个单位。如果要表示的数据比较大,那么可以用一格代表5个单位或更多的单位。1格代表几个单位,要根据具体情况来确定,这样比较方便。 二、由统计表画统计图的步骤和注意要点 1.观察表中项目,确定数据项(一般为数量)和类别项(小组名称、年份、时间等) 2.确定横纵轴、刻度及图的类型(横向或纵向)。 3.画条形,标数据,注意条形的高度要符合刻度,纵向统计图的顺序是从左往右,横向统计图的顺序是从下往上。 4.标上标题。 5.检查要素是否齐全。 三、读图 学会从统计图中提取信息,发现问题,进行合理地判断、预测和决策,并能解决生活中的简单问题。 制作条形统计图时,数据比较大时,要选择1格代表多个单位。 注意:绘制条形图时,要根据图纸的大小,画出两条互相垂直的线条,作为纵轴和横轴。 特别提示: 画直条时,条形的宽度要一致,条形之间的间隔要相等。 易错点: 忘记标上数据和标题。 观察纵轴和横轴分别表示什么,再看每个格表示多少个单位。根据直条的变化趋势,进行分析或估测。


8　数学广角—优化
　 　　一、解决合理安排时间问题需要的步骤（沏茶问题） 1.明确完成一项工作要做哪些事情。 2.知道做每项事情各需要多长时间。 3.明确先做什么,后做什么,哪些事情可以同时做,就尽量同时做,这样最省时间。 二、烙饼问题的解决 在每次只能烙两张饼,两面都要烙的情况下: ①烙3张饼:先烙1,2号饼的正面,接着烙1号饼的反面和3号饼的正面,最后烙2,3号饼的反面。如下图所示: ②烙多张饼:如果要烙的饼的张数是双数,2张2张地烙就可以了,如果要烙的饼的张数是单数,可以先2张2张地烙,最后3张饼按上面的最优方法烙,最节省时间。 三、田忌赛马(对策论) 解决同一问题可以用不同的策略,要学会寻找最优方案。在与对方比赛时,要选择一个利多弊少的最优策略,从而获得胜利。 关键:能同时做的事情要同时做。 公式: 烙饼所需的最短时间=烙饼张数×烙每面饼所需的时间(烙一张除外) 注意:如果算出的时间不是整数,采用“进一”法取近似数。 举例: 每面要烙3分钟,求烙5张饼需要的时间。 列式:5×3=15(分)。 每面要烙3分钟,求烙8张饼需要的时间。 列式:8×3=24(分)。

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