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2018-2019学年内蒙古呼和浩特市实验教育集团九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（30分）
1．下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．2x2＝0 B．x2＝x（x﹣1） C．ax2+bx+c＝0 D． +x＝0
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．等边三角形 B．平行四边形 C．正五角星 D．正六边形
3．对于抛物线y＝x2﹣2x﹣1，下列说法正确的是（　　）
A．对称轴是直线x＝﹣1 B．顶点（1，﹣2）
C．与x轴交于（0，﹣1） D．当x＝1时，y有最小值2
4．一元二次方程x2+ax+a﹣1＝0的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有实数根 D．没有实数根
5．如图，将两个全等的直角三角形经过旋转、平移不可以拼成的图形是（　　）

A． B．
C． D．
6．一个长80cm，宽70cm的矩形铁皮，将四个角各剪去一个边长为xcm的小正方形后，剩余部分刚好围成一个底面积为3000cm2的无盖长方体盒子，求小正方形边长xcm时，可根据下列方程（　　）
A．（80﹣x）（70﹣x）＝3000
B．（80﹣2x）（70﹣2x）＝3000
C．80×70﹣4x2＝3000
D．80×70﹣4x2﹣（80+70）x＝3000
7．超市经销一种水果，每千克盈利10元，每天销售500千克，经市场调查，若每千克涨价1元，日销售量减少20千克，现超市要保证每天盈利6000元，每千克应涨价（　　）
A．15元或20元 B．10元或15元 C．10元 D．5元或10元
8．四位同学研究函数y＝x2+bx+c（b，c是常数），甲发现x＝1时，函数有最小值，乙发现函数有最小值﹣4，丙发现1是方程x2+bx+c＝0的一个根，丁发现x＝2时，y＝﹣3；已知这四位同学只有一位同学发现的结论是错误的，则该同学是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
9．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠ACB＝90°，AB＝AD，AC＝2BC，设CD＝x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式为（　　）

A．y＝x2 B．y＝x2 C．y＝x2 D．y＝x2
10．若对于任意非零实数a，抛物线y＝ax2+ax﹣2a总不经过点P（x0﹣3，x02﹣16），则符合条件的点P（　　）
A．有且只有1个 B．有且只有2个
C．至少有3个 D．有无穷多个
二、填空（18分）
11．一元二次方程x2﹣mx﹣n＝0的两实根是x1＝2，x2＝3，则m＝　 　，n＝　 　．
12．点A（3，y+1）与点B（x﹣5，2）关于原点对称，则x＝　 　，y＝　 　．
13．已知A（﹣1，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）三点都在二次函数y＝﹣x2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是　 　．
14．某商品的销售利润与销售单价存在二次函数关系，且二次项系数a＝﹣1，当商品单价为160元和200元时，能获得同样多的利润，要使销售商品利润最大，销售单价应定为　 　元．
15．对于抛物线y＝ax2+（a﹣1）x﹣3，当x＝1时，y＞0，则抛物线的顶点一定在第　 　象限．
16．如图，△OAB中，∠ABO＝90°，∠AOB＝30°，OA＝4，OB边在x轴的正半轴上，将△OAB绕原点O逆时针旋转60°得到△OA'B'，则B'的坐标为　 　．

三、解答题（72分）
17．（9分）解方程：
（1）2x2＝﹣x
（2）（x﹣3）2＝（5﹣2x）2
（3）﹣x2﹣3x+8＝0
18．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2＝0有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
19．（6分）如图，△ABC中，D是BC上一点，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．
（1）求证：四边形AEDF是中心对称图形；
（2）若AD平分∠BAC，求证：点E、F关于直线AD对称．

20．（9分）已知二次函数y＝x2﹣4x+3，图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求图象的对称轴方程及顶点坐标；
（2）画出图象；
（3）若直线BC对应的函数为m＝kx+b（k≠0），根据图象直接写出m＞y时，x的取值范围．

21．（8分）正方形OABC的边长为4，对角线相交于点P，抛物线L经过O、P、A三点，点E是正方形内的抛物线上的动点．
（1）建立适当的平面直角坐标系，
①直接写出O、P、A三点坐标；
②求抛物线L的解析式；
（2）求△OAE与△OCE面积之和的最大值．

22．（8分）观察下面一组一元二次方程
方程（1）x2﹣x+＝0的两个实数根是x1＝1，x2＝
方程（2）x2﹣x+＝0的两个实数根是x1＝，x2＝
方程（3）x2﹣x+＝0的两个实数根是x1＝　 　，x2＝　 　．
………
①请写出第n个一元二次方程及它的两实根方程（n）　 　；
两个实数根是x1＝　 　，x2＝　 　；
②求方程（n）的根的判别式△的算术平方根．
23．（9分）如图，正方形ABCD内有一点P，若PA＝1，PB＝2，PC＝3．
（1）画出△ABP绕点B顺时针旋转90°得到的△CBE；
（2）求∠APB度数；
（3）求正方形ABCD的面积．

24．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x﹣m2＝0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两实根分别为x1、x2，且|x1|＝|x2|﹣2，求m的值及方程的根．
25．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4经过A（﹣3，0），B（5，﹣4）两点，与y轴交于点C，连接AB，AC，BC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求证：AB平分∠CAO；
（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ABM是以AB为直角边的直角三角形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．




2018-2019学年内蒙古呼和浩特市实验教育集团九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（30分）
1．下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．2x2＝0 B．x2＝x（x﹣1） C．ax2+bx+c＝0 D． +x＝0
【分析】根据一元二次方程的定义，逐个判断得结论．
【解答】解：2x2＝0满足一元二次方程的条件，故A是一元二次方程；
x2＝x（x﹣1）整理后不含未知数的二次项，故B不是一元二次方程；
ax2+bx+c＝0缺少二次项系数不为0的条件，故C不一定是一元二次方程；
+x＝0不是整式方程，故D不是一元二次方程．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程需满足：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）整式方程．注意二次项的系数不能为0．
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．等边三角形 B．平行四边形 C．正五角星 D．正六边形
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、等边三角形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、平行四边形，不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、正五角星，是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、正六边形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；
中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
3．对于抛物线y＝x2﹣2x﹣1，下列说法正确的是（　　）
A．对称轴是直线x＝﹣1 B．顶点（1，﹣2）
C．与x轴交于（0，﹣1） D．当x＝1时，y有最小值2
【分析】根据题目中的函数解析式可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：∵y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2，
∴该抛物线的顶点坐标是（1，﹣2），故选项B正确．
对称轴是直线x＝1，故选项A错误．
当x＝1时，y有最小值﹣2，故选项D错误．
当x＝0时，y＝﹣1，则该抛物线与y轴交于点（0，﹣1），故选项C错误．
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
4．一元二次方程x2+ax+a﹣1＝0的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有实数根 D．没有实数根
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出△＝（a﹣2）2≥0，进而可得出方程x2+ax+a﹣1＝0有实数根，此题得解．
【解答】解：∵△＝a2﹣4×1×（a﹣1）＝a2﹣4a+4＝（a﹣2）2≥0，
∴一元二次方程x2+ax+a﹣1＝0有实数根．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△≥0时，方程有实数根”是解题的关键．
5．如图，将两个全等的直角三角形经过旋转、平移不可以拼成的图形是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据旋转和平移的性质即可得到结论．
【解答】解：将两个全等的直角三角形经过旋转、平移不可以拼成的图形是C，
故选：C．
【点评】本题考查了旋转和平移的性质，图形的剪拼，同时考查了学生的动手操作能力和想象观察能力，难度一般．
6．一个长80cm，宽70cm的矩形铁皮，将四个角各剪去一个边长为xcm的小正方形后，剩余部分刚好围成一个底面积为3000cm2的无盖长方体盒子，求小正方形边长xcm时，可根据下列方程（　　）
A．（80﹣x）（70﹣x）＝3000
B．（80﹣2x）（70﹣2x）＝3000
C．80×70﹣4x2＝3000
D．80×70﹣4x2﹣（80+70）x＝3000
【分析】根据题意可知裁剪后的底面的长为（80﹣2x）cm，宽为（70﹣2x）cm，从而可以列出相应的方程，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
（80﹣2x）（70﹣2x）＝3000，
故选：B．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程．
7．超市经销一种水果，每千克盈利10元，每天销售500千克，经市场调查，若每千克涨价1元，日销售量减少20千克，现超市要保证每天盈利6000元，每千克应涨价（　　）
A．15元或20元 B．10元或15元 C．10元 D．5元或10元
【分析】设每千克水果应涨价x元，得出日销售量将减少20x千克，再由盈利额＝每千克盈利×日销售量，依题意得方程求解即可．
【解答】解：设每千克水果应涨价x元，
依题意得方程：（500﹣20x）（10+x）＝6000，
整理，得x2﹣15x+50＝0，
解这个方程，得x1＝5，x2＝10．
答：每千克水果应涨价5元或10元．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
8．四位同学研究函数y＝x2+bx+c（b，c是常数），甲发现x＝1时，函数有最小值，乙发现函数有最小值﹣4，丙发现1是方程x2+bx+c＝0的一个根，丁发现x＝2时，y＝﹣3；已知这四位同学只有一位同学发现的结论是错误的，则该同学是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】假设甲乙都是对的，则：x＝1＝﹣＝﹣，则可以求出函数表达式，再验证丙是错的即可．
【解答】解：①假设甲乙都是对的，则：x＝1＝﹣＝﹣，则：b＝2；
②x＝1时，y＝1+2+c＝﹣4，则：c＝﹣7，函数为：y＝x2+2x﹣7；
③如果丙是对的，则：a+b+c＝1+b+c＝﹣4，故丙是错误的；
④当x＝2时，y＝22+2﹣7＝﹣3，正确；
故选：C．
【点评】本题考查的二次函数综合知识，只能先假设甲乙丙丁中2个是正确的，然后验证其余的中有一个是错误的即可．
9．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠ACB＝90°，AB＝AD，AC＝2BC，设CD＝x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式为（　　）

A．y＝x2 B．y＝x2 C．y＝x2 D．y＝x2
【分析】过D作DE⊥AC与E点，设BC＝a，则AC＝4a，根据等角的余角相等得到∠1＝∠3，易证得△ABC≌△DAE，所以AE＝BC＝a，DE＝AC＝2a，得到EC＝AC﹣AE＝2a﹣a＝a，在Rt△DEC中，根据勾股定理得到DC＝a，所以有x＝a，即a＝x；根据四边形ABCD的面积y＝三角形ABC的面积+三角形ACD的面积，即可解决问题；
【解答】解：过D作DE⊥AC于E点，如图，
设BC＝a，则AC＝2a，
∵∠BAD＝90°，∠AED＝90°，
∴∠1＝∠3，
而∠ACB＝90°，AB＝AD，
∴△ABC≌△DAE（AAS），
∴AE＝BC＝a，DE＝AC＝2a，
∴EC＝AC﹣AE＝2a﹣a＝a，
在Rt△DEC中，DC＝a，
∴x＝a，即a＝x，
又∵四边形ABCD的面积y＝三角形ABC的面积+三角形ACD的面积，
∴y＝×a×2a+×2a×2a＝3a2＝x2，即y与x之间的函数关系式是y＝x2．
故选：B．

【点评】本题考查了三角形全等的判定与性质．也考查了勾股定理以及三角形的面积公式．
10．若对于任意非零实数a，抛物线y＝ax2+ax﹣2a总不经过点P（x0﹣3，x02﹣16），则符合条件的点P（　　）
A．有且只有1个 B．有且只有2个
C．至少有3个 D．有无穷多个
【分析】根据题意可以得到相应的不等式，然后根据对于任意非零实数a，抛物线y＝ax2+ax﹣2a总不经过点P（x0﹣3，x02﹣16），即可求得点P的坐标，从而可以解答本题．
【解答】解：∵对于任意非零实数a，抛物线y＝ax2+ax﹣2a总不经过点P（x0﹣3，x02﹣16），
∴x02﹣16≠a（x0﹣3）2+a（x0﹣3）﹣2a
∴（x0﹣4）（x0+4）≠a（x0﹣1）（x0﹣4）
∴（x0+4）≠a（x0﹣1）
∴x0＝﹣4或x0＝1，
∴点P的坐标为（﹣7，0）或（﹣2，﹣15）
故选：B．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
二、填空（18分）
11．一元二次方程x2﹣mx﹣n＝0的两实根是x1＝2，x2＝3，则m＝　5　，n＝　﹣6　．
【分析】根据根与系数的关系结合方程的两实根是x1＝2，x2＝3，可求出m，n的值，此题得解．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣mx﹣n＝0的两实根是x1＝2，x2＝3，
∴m＝x1+x2＝5，n＝﹣x1?x2＝﹣6．
故答案为：5；﹣6．
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于﹣，两根之和等于”是解题的关键．
12．点A（3，y+1）与点B（x﹣5，2）关于原点对称，则x＝　2　，y＝　﹣3　．
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出x，y的值进而得出答案．
【解答】解：∵点A（3，y+1）与点B（x﹣5，2）关于原点对称，
∴x﹣5＝﹣3，y+1＝﹣2，
解得：x＝2，y＝﹣3．
故答案为：2，﹣3．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键．
13．已知A（﹣1，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）三点都在二次函数y＝﹣x2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是　y3＜y2＜y1　．
【分析】根据二次函数的性质，可以判断y1，y2，y3的大小关系，本题得以解决．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2，
∴当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＜0时，y随x的增大而减小，顶点坐标为（0，0），
∵点A（﹣1，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）三点都在二次函数y＝﹣x2的图象上，0﹣（﹣1）＝1，0﹣（﹣2）＝2，3﹣0＝3，
∴y3＜y2＜y1，
故答案为：y3＜y2＜y1．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
14．某商品的销售利润与销售单价存在二次函数关系，且二次项系数a＝﹣1，当商品单价为160元和200元时，能获得同样多的利润，要使销售商品利润最大，销售单价应定为　180　元．
【分析】根据当商品单价为160元和200元时，能获得同样多的利润，知此二次函数图象的对称轴为x＝＝180，结合a＝﹣1＜0，利用二次函数的性质可得答案．
【解答】解：∵当商品单价为160元和200元时，能获得同样多的利润，
∴此二次函数图象的对称轴为x＝＝180，
又∵二次项系数a＝﹣1，
∴当商品的单价为180元时，销售利润取得最大值，最大利润为180元，
故答案为：180．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的对称性及二次函数的最值问题的求解．
15．对于抛物线y＝ax2+（a﹣1）x﹣3，当x＝1时，y＞0，则抛物线的顶点一定在第　三　象限．
【分析】直接利用当x＝1时，y＞0，得出a的取值范围，进而利用二次函数的性质得出答案．
【解答】解：当x＝1时，y＝a+a﹣1﹣3＝2a﹣4＞0，
解得：a＞2，
∴x＝﹣＜0，
＝＜0，
故抛物线的顶点一定在第三象限．
故答案为：三．
【点评】此题考查抛物线与x轴的交点，关键是得出a的取值范围，利用二次函数的性质解答．
16．如图，△OAB中，∠ABO＝90°，∠AOB＝30°，OA＝4，OB边在x轴的正半轴上，将△OAB绕原点O逆时针旋转60°得到△OA'B'，则B'的坐标为　（，3）　．

【分析】连接BB′．作B′H⊥x轴于H．只要证明△OBB′是等边三角形，即可解决问题；
【解答】解：连接BB′．作B′H⊥x轴于H．

∵OB＝OB′，∠BOB′＝60°，
∴△OBB′是等边三角形，
在Rt△AOB中，∵OA＝4，∠AOB＝30°，∠ABO＝90°，
∴OB＝OA?cos30°＝2，
∵B′H⊥OB，
∴OH＝HB＝，HB′＝3，
∴B′（，3），
故答案为（，3）．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
三、解答题（72分）
17．（9分）解方程：
（1）2x2＝﹣x
（2）（x﹣3）2＝（5﹣2x）2
（3）﹣x2﹣3x+8＝0
【分析】（1）整理成一般式后，利用因式分解法求解可得；
（2）移项后，利用平方差公式分解，再进一步求解可得；
（3）将二次项系数化为1，再利用十字相乘法因式分解，继而进一步求解可得．
【解答】解：（1）∵2x2＝﹣x，
∴2x2+x＝0，
则x（2x+1）＝0，
∴x＝0或2x+1＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣；

（2）∵（x﹣3）2＝（5﹣2x）2，
∴（x﹣3）2﹣（5﹣2x）2＝0，
则（x﹣3+5﹣2x）（x﹣3﹣5+2x）＝0，即（﹣x+2）（3x﹣8）＝0，
∴﹣x+2＝0或3x﹣8＝0，
解得：x1＝2，x2＝；

（3）∵﹣x2﹣3x+8＝0，
∴x2+6x﹣16＝0，
∴（x+8）（x﹣2）＝0，
则x+8＝0或x﹣2＝0，
解得：x1＝﹣8，x2＝2．
【点评】本题考查的是解一元二次方程，在解答此类问题的关键是根据方程的特点选择适当的方法．
18．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2＝0有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
【分析】计算根的判别式△，由题意得到关于k的不等式，求解即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝[﹣（2k﹣1）]2﹣4×1×k2＞0
即﹣4k+1＞0，
∴k＜．
【点评】本题考查了根的判别式，题目比较简单．根的判别式△＝b2﹣4ac．
19．（6分）如图，△ABC中，D是BC上一点，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．
（1）求证：四边形AEDF是中心对称图形；
（2）若AD平分∠BAC，求证：点E、F关于直线AD对称．

【分析】（1）判定四边形AEDF是平行四边形，即可得出四边形AEDF是中心对称图形；
（2）先得出AE＝DE，再根据四边形AEDF是平行四边形，可得四边形AEDF是菱形，即可得到结论．
【解答】解：（1）∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴四边形AEDF是中心对称图形；
（2）∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
又∵DE∥AC，
∴∠CAD＝∠ADE，
∴∠BAD＝∠ADE，
∴AE＝DE，
又∵四边形AEDF是平行四边形，
∴四边形AEDF是菱形，
∴AD垂直平分EF，
∴点E、F关于直线AD对称．
【点评】本题考查了中心对称，平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点．
20．（9分）已知二次函数y＝x2﹣4x+3，图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求图象的对称轴方程及顶点坐标；
（2）画出图象；
（3）若直线BC对应的函数为m＝kx+b（k≠0），根据图象直接写出m＞y时，x的取值范围．

【分析】（1）先化成顶点式，再得出答案即可；
（2）画出图形即可；
（3）根据函数的图象和B、C的坐标得出答案即可．
【解答】解：（1）y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
所以图象的对称轴方程是直线x＝2，顶点坐标是（2，﹣1）；

（2）图象为：；

（3）
当m＞y时，x的取值范围是0＜x＜3．
【点评】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，二次函数的图象和性质等知识点，能正确画出图象是解此题的关键．
21．（8分）正方形OABC的边长为4，对角线相交于点P，抛物线L经过O、P、A三点，点E是正方形内的抛物线上的动点．
（1）建立适当的平面直角坐标系，
①直接写出O、P、A三点坐标；
②求抛物线L的解析式；
（2）求△OAE与△OCE面积之和的最大值．

【分析】（1）以O点为原点，线段OA所在的直线为x轴，线段OC所在的直线为y轴建立直角坐标系．①根据正方形的边长结合正方形的性质即可得出点O、P、A三点的坐标；②设抛物线L的解析式为y＝ax2+bx+c，结合点O、P、A的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）由点E为正方形内的抛物线上的动点，设出点E的坐标，结合三角形的面积公式找出S△OAE+SOCE关于m的函数解析式，根据二次函数的性质即可得出结论．
【解答】解：（1）以O点为原点，线段OA所在的直线为x轴，线段OC所在的直线为y轴建立直角坐标系，如图所示．

①∵正方形OABC的边长为4，对角线相交于点P，
∴点O的坐标为（0，0），点A的坐标为（4，0），点P的坐标为（2，2）．
②设抛物线L的解析式为y＝ax2+bx+c，
∵抛物线L经过O、P、A三点，
∴有，
解得：，
∴抛物线L的解析式为y＝﹣+2x．
（2）∵点E是正方形内的抛物线上的动点，
∴设点E的坐标为（m，﹣ +2m）（0＜m＜4），
∴S△OAE+SOCE＝OA?yE+OC?xE＝﹣m2+4m+2m＝﹣（m﹣3）2+9，
∴当m＝3时，△OAE与△OCE面积之和最大，最大值为9．
【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、正方形的性质、三角形的面积公式以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）建立直角坐标系．①根据正方形的性质找出点的坐标；②利用待定系数法求函数解析式；（2）利用二次函数的性质解决最值问题．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，建立直角坐标系，找出点的坐标，再结合点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．
22．（8分）观察下面一组一元二次方程
方程（1）x2﹣x+＝0的两个实数根是x1＝1，x2＝
方程（2）x2﹣x+＝0的两个实数根是x1＝，x2＝
方程（3）x2﹣x+＝0的两个实数根是x1＝　　，x2＝　　．
………
①请写出第n个一元二次方程及它的两实根方程（n）　x2﹣x+＝0　；
两个实数根是x1＝　　，x2＝　　；
②求方程（n）的根的判别式△的算术平方根．
【分析】根据已知算式得出规律，再得出答案即可．
【解答】解：方程（3）x2﹣x+＝0的两个实数根是x1＝，x2＝，
第n个一元二次方程及它的两实根方程是x2﹣x+＝0，
方程的两个根为x1＝，x2＝，
∵x2﹣x+＝0，
∴△＝[﹣]2﹣4×1×＝[]2，
∴方程（n）的根的判别式△的算术平方根是，
故答案为：，，x2﹣x+＝0，，，．
【点评】本题考查了解一元二次方程和根的判别式，能根据已知算式得出规律是解此题的关键．
23．（9分）如图，正方形ABCD内有一点P，若PA＝1，PB＝2，PC＝3．
（1）画出△ABP绕点B顺时针旋转90°得到的△CBE；
（2）求∠APB度数；
（3）求正方形ABCD的面积．

【分析】（1）作∠QBC＝∠ABP，BP＝BQ＝2，连接QC即可得出△BCQ；
（2）先由△BPQ是等腰直角三角形求出∠BQP的度数，再证明∠PQC＝90°，即可得出∠BQC的度数，进而得出结论．
（3）如图，作CH⊥BQ交BQ的延长线于H．求出BH，CH，利用勾股定理即可解决问题；
【解答】解：（1）作∠QBC＝∠ABP，BP＝BQ＝2，连接QC即可得出△BCQ；

（2）连接PQ，
在Rt△PBQ中
∵BP＝BQ＝2，
∴PQ2＝BP2+BQ2＝22+22＝8，
在△PCQ中，
∵PC＝3，QC＝AP＝1，
∴PC2＝PQ2+QC2，
∴△PCQ是直角三角形，∠PQC＝90°；
∵BP＝BQ＝2，∠PBQ＝90°，
∴△PBQ是等腰直角三角形，
∴∠BQP＝45°，
∵∠PQC＝90°，
∴∠BQC＝∠BQP+∠PQC＝45°+90°＝135°，
∵△BQC由△BPA旋转而成，
∴∠APB＝∠BQC＝135°．

（3）如图，作CH⊥BQ交BQ的延长线于H．
∵∠BQC＝135°，
∴∠CQH＝∠QCH＝45°，
∴CH＝QH，∵CQ＝QP＝1，
∴CH＝QH＝，
∴BH＝BQ+QH＝2+，
在Rt△BCH中，BC＝＝＝，
∴正方形ABCD的面积为5+2．

【点评】本题考查的是作图﹣旋转变换、勾股定理的逆定理及正方形的性质，熟知图形经过旋转后所得图形与原图形全等是解答此题的关键．
24．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x﹣m2＝0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两实根分别为x1、x2，且|x1|＝|x2|﹣2，求m的值及方程的根．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△＝5（m﹣）2+＞0，进而可证出方程总有两个不相等的实数根；
（2）根据根与系数的关系可得出x1+x2＝m﹣1，x1?x2＝﹣m2，当m＝0时，通过解一元二次方程可得出方程的根，由它们不符合|x1|＝|x2|﹣2可得出m＝0不合适；当m≠0时，由x1?x2＝﹣m2＜0可得出方程的两根异号，分x1＞0，x2＜0或x1＜0，x2＞0两种情况求出m的值，将其代入原方程，通过解方程即可求出方程的解．
【解答】（1）证明：△＝[﹣（m﹣1）]2﹣4×1×（﹣m2）＝5m2﹣2m+1＝5（m﹣）2+．
∵（m﹣）2≥0，
∴5（m﹣）2+＞0，即△＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：∵方程的两实根分别为x1、x2，
∴x1+x2＝m﹣1，x1?x2＝﹣m2．
当m＝0时，原方程为x2+x＝0，
∴方程的两根为﹣1和0，不满足|x1|＝|x2|﹣2；
当m≠0时，x1?x2＝﹣m2＜0，
∴方程的两根异号．
若x1＞0，x2＜0，则有x1＝﹣x2﹣2，
∴x1+x2＝m﹣1＝﹣2，
∴m＝﹣1，
∴原方程为x2+2x﹣1＝0，
解得：x＝﹣1±；
若x1＜0，x2＞0，则有﹣x1＝x2﹣2，
∴x1+x2＝m﹣1＝2，
∴m＝3，
∴原方程为x2﹣2x﹣9＝0，
解得：x＝1±．
综上所述：m的值为﹣1或3，方程的根为﹣1±或1±．
【点评】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用根与系数的关系结合|x1|＝|x2|﹣2求出m的值．
25．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4经过A（﹣3，0），B（5，﹣4）两点，与y轴交于点C，连接AB，AC，BC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求证：AB平分∠CAO；
（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ABM是以AB为直角边的直角三角形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）将A（﹣3，0），B（5，﹣4）代入抛物线的解析式得到关于a、b的方程组，从而可求得a、b的值；
（2）先求得AC的长，然后取D（2，0），则AD＝AC，连接BD，接下来，证明BC＝BD，然后依据SSS可证明△ABC≌△ABD，接下来，依据全等三角形的性质可得到∠CAB＝∠BAD；
（3）作抛物线的对称轴交x轴与点E，交BC与点F，作点A作AM′⊥AB，作BM⊥AB，分别交抛物线的对称轴与M′、M，依据点A和点B的坐标可得到tan∠BAE＝，从而可得到tan∠M′AE＝2或tan∠MBF＝2，从而可得到FM和M′E的长，故此可得到点M′和点M的坐标．
【解答】解：（1）将A（﹣3，0），B（5，﹣4）代入得：，
解得：a＝，b＝﹣．
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣4．
（2）∵AO＝3，OC＝4，
∴AC＝5．
取D（2，0），则AD＝AC＝5．

由两点间的距离公式可知BD＝＝5．
∵C（0，﹣4），B（5，﹣4），
∴BC＝5．
∴BD＝BC．
在△ABC和△ABD中，AD＝AC，AB＝AB，BD＝BC，
∴△ABC≌△ABD，
∴∠CAB＝∠BAD，
∴AB平分∠CAO；
（3）如图所示：抛物线的对称轴交x轴与点E，交BC与点F．

抛物线的对称轴为x＝，则AE＝．
∵A（﹣3，0），B（5，﹣4），
∴tan∠EAB＝．
∵∠M′AB＝90°．
∴tan∠M′AE＝2．
∴M′E＝2AE＝11，
∴M′（，11）．
同理：tan∠M′MF＝2．
又∵BF＝，
∴FM＝5，
∴M（，﹣9）．
∴点M的坐标为（，11）或（，﹣9）．
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，全等三角形的性质和判定、锐角三角函数的定义，求得FM和M′E的长是解题的关键．

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