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《平面直角坐标系》全章复习与巩固（基础）巩固练习

【巩固练习】
一、选择题
1．点P（0，3）在（ ）.
A．x轴的正半轴上 B．x的负半轴上 C．y轴的正半轴上 D．y轴的负半轴上
2．如图中△ABC到△ABC 经历了如何的变化（ ）.










A．向左平移4个单位
B．向右平移4个单位
C．向左平移3个单位
D．向右平移3个单位
3．将某图形的横坐标减去2，纵坐标保持不变,可将图形（ ）.
A．横向向右平移2个单位
B．横向向左平移2个单位
C．纵向向右平移2个单位
D．纵向向左平移2个单位
4．在平面直角坐标系中，点M（－3，2）关于x轴对称的点在( ).
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．点P的坐标为（3a-2，8-2a），若点P到两坐标轴的距离相等，则a的值是（ ）.
A．或4 B．-2或6 C．或-4 D．2或-6
6. 如图是被墨迹污染的旅游区各景点地图，隐约可见，第一景点的坐标为（0,3），第二景点的坐标为（5,3），景区车站坐标为（0,0），则车站大约在（ ）.

A．点A B．点B C．点C D．点D
7．若点A(m，n)在第二象限，则点B(|m|，-n)在( )．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．点P(m+3，m+1)在直角坐标系的x轴上，则P点的坐标为( )．
A．(0，-2) B．(2，0) C．(4，0) D．(0，-4)
二、填空题
9.如图，若点E坐标为(－2，1)，点F坐标为(1，－1)，则点G的坐标为 ．

10. 点P（－5，4）到x轴的距离是 ，到y轴的距离是 ．
11. 若点M在第二象限，到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，则M的坐标是 ．
12.若点（a，b）在第二象限，则点（b，a）在第 象限.
13.将点P（－1，－2）向下平移2个单位，再向右平移3个单位，得到P1，则点P1的坐标是 ．
14.点B与点C的横坐标相同，纵坐标不同，则直线BC与x轴的关系为 ．
15.在平面直角坐标系中，若点M（1，3）与点N（x，3）之间的距离是5，则x的值是 ．
16.在平面直角坐标系内，已知点A（1-2k，k-2）在第三象限，且k为整数，则 k的值为 ．
三、解答题
17．如图所示，三角形ABC三个顶点的坐标分别是A(-2，3)，B(-2，-4)，C(2，2)．求三角形ABC的面积．

18．(1)在直角坐标系中，用线段依次连接点(1，0)，(1，3)，(7，3)，(7，0)，(1，0)和(0，3)，(8，3)，(4，5)，(0，3)，两组图形共同组成一个什么图形?
(2)如果将上面各点的横坐标都加上1，纵坐标不变，那么用同样方式连接相应各点，所得的图形发生了什么变化?
19.已知A(0，0)，B(9，O)，C(7，5)，D(2，7)，求四边形ABCD的面积．


20.小杰与同学去游乐城游玩，他们准备根据游乐城平面示意图安排游玩顺序．

(1)如果用(8，5)表示入口处的位置，(6，1)表示高空缆车的位置，那么攀岩的位置如何表示？(4，6)表示哪个地点？
(2)你能找出哪个游乐设施离入口最近，哪个游乐设施离入口最远吗?
(3)请你帮小杰设计一条游玩路线，与同学交流，看谁设计的路线最短?
【答案与解析】
一.选择题
1. 【答案】C；
【解析】横坐标为0，说明点在y轴上，又纵坐标大于0，说明点在y轴的正半轴上.
2. 【答案】D；
【解析】看对应点的左边变化即得答案.
3. 【答案】B.
4. 【答案】C；
【解析】关于x轴对称的点的坐标特征是横坐标相同，纵坐标互为相反数.
5. 【答案】D；
【解析】由题意得：，解得：或.
6. 【答案】B；
【解析】根据已知的坐标，可建立平面直角坐标系，如图，由此可得答案.

7. 【答案】D；
【解析】第二象限的点横坐标为负，纵坐标为正，所以m＜0且n＞0，所以|m|＞0，-n＜0，点B(|m|，-n)在第四象限，故选D．
8. 【答案】B；
【解析】在x轴上点的纵坐标为0，所以m+1＝0，可得m＝-1，m+3＝2，所以P点的坐标为(2，0)，故选B．
二.填空题
9. 【答案】(1 ，2)；
【解析】由图可知，点G的横坐标与点F的横坐标相同，均为1，而纵坐标比点E的纵坐标大1，所以点点G的坐标为（1,2）．
10.【答案】4,5.
11.【答案】(－3 ，2).
12．【答案】四；
【解析】由点（a，b）在第二象限，可得a＜0，b＞0，即得点（b，a）的横坐标大于0，而纵坐标小于0，所以点（b，a）在第四象限．
13.【答案】（2，－4）；
【解析】－1+3＝2，－2－2＝-4.
14.【答案】垂直.
15.【答案】-4或6；
【解析】点M、N的纵坐标相等，则直线MN在平行于x轴的直线上，根据两点间的距离，可列出等式|x-1|=5，从而解得x的值．
16. 【答案】1．
【解析】∵点A（1-2k，k-2）在第三象限，∴1-2k＜0，k-2＜0，解得：0.5＜k＜2，
又∵k为整数，∴k=1．
三.解答题
17.【解析】
解：因为AB＝3-(-4)＝7．高h＝2-(-2)＝4，
所以三角形ABC的面积．
18.【解析】
解：如图所示，(1)小房子．(2)形状不变，位置沿水平方向向右平移了一个单位长度．

19.【解析】
解：过点C作CF⊥x轴于点F，过D作DE⊥x轴于点E
则AE=2，DE=7，BF=2，CF=5，EF=5
∴
．
20. 【解析】
解：（1）（-1，7），海底世界；
（2）天文馆离入口最近，攀岩离入口最远；
（3）略．













F

E

G



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《平面直角坐标系》全章复习与巩固(基础)知识讲解

【学习目标】
1. 理解平面直角坐标系及象限的概念，并会在坐标系中根据点的坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标；
2. 掌握用坐标系表示物体位置的方法及在物体平移变化前后点坐标的变化；
3. 通过学习平面直角坐标系的基础知识,逐步理解平面内的点与有序实数对之间的一一对应关系,进而培养数形结合的数学思想．
【知识网络】

















【要点梳理】
要点一、有序数对
把一对数按某种特定意义，规定了顺序并放在一起就形成了有序数对，人们在生产生活中经常以有序数对为工具表达一个确定的意思，如某人记录某个月不确定周期的零散收入，可用(13，2000)， (17，190)， (21，330)…，表示，其中前一数表示日期，后一数表示收入，但更多的人们还是用它来进行空间定位，如：(4，5)，(20，12)，(13，2)，…，用来表示电影院的座位，其中前一数表示排数，后一数表示座位号.
要点二、平面直角坐标系
在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系，如下图：

要点诠释：
（1）坐标平面内的点可以划分为六个区域：x轴，y轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，这六个区域中，除了x轴与y轴有一个公共点（原点）外，其他区域之间均没有公共点.
（2）在平面上建立平面直角坐标系后，坐标平面上的点与有序数对（x，y）之间建立了一一对应关系，这样就将‘形’与‘数’联系起来，从而实现了代数问题与几何问题的转化.
（3）要熟记坐标系中一些特殊点的坐标及特征：
① x轴上的点纵坐标为零；y轴上的点横坐标为零．
② 平行于x轴直线上的点横坐标不相等，纵坐标相等；
平行于y轴直线上的点横坐标相等，纵坐标不相等．
③ 关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数；
关于y轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数；
关于原点对称的点横、纵坐标分别互为相反数．
④ 象限角平分线上的点的坐标特征：
一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等；
二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数．
注：反之亦成立．
（4）理解坐标系中用坐标表示距离的方法和结论：
① 坐标平面内点P(x，y)到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|．
② x轴上两点A(x1，0)、B(x2，0)的距离为AB=|x1 - x2|；
y轴上两点C(0，y1)、D(0，y2)的距离为CD=|y1 - y2|．
③ 平行于x轴的直线上两点A(x1，y)、B(x2，y)的距离为AB=|x1 - x2|；
平行于y轴的直线上两点C(x，y1)、D(x，y2)的距离为CD=|y1 - y2|．
（5）利用坐标系求一些知道关键点坐标的几何图形的面积：切割、拼补.
要点三、坐标方法的简单应用
1．用坐标表示地理位置
(1)建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向；
(2)根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度；
(3)在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称．
要点诠释：
(1)我们习惯选取向东、向北分别为x轴、y轴的正方向，建立坐标系的关键是确定原点的位置．
(2)确定比例尺是画平面示意图的重要环节，要结合比例尺来确定坐标轴上的单位长度．
2．用坐标表示平移
(1)点的平移
点的平移引起坐标的变化规律：在平面直角坐标中，将点(x，y)向右(或左)平移a个单位长度，可以得到对应点(x+a，y)(或(x-a，y))；将点(x，y)向上(或下)平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y+b)(或(x，y-b))．
要点诠释：
上述结论反之亦成立，即点的坐标的上述变化引起的点的平移变换．
(2)图形的平移
在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度．
要点诠释：
平移是图形的整体运动，某一个点的坐标发生变化，其他点的坐标也进行了相应的变化，反过来点的坐标发生了相应的变化，也就意味着点的位置也发生了变化，其变化规律遵循：“右加左减，纵不变；上加下减，横不变”．

【典型例题】
类型一、有序数对
1．数学家发明了一个魔术盒，当任意数对(a，b)进入其中时，会得到一个新的数：．例如把(3，-2)放入其中，就会有32 +(-2)+1＝8，现将数对(-2，3)放入其中得到数m，再将数对(m，1)放入其中，得到的数是________．
【思路点拨】解答本题的关键是正确理解如何由数对得到新的数，只要按照新定义的数的运算，把数对代入求值即可．
【答案】66 .
【解析】解：将(-2，3)代入，，得(-2)2+3+1＝8，
再将(8，1)代入，得82 +1+1＝66，
故填：66．
【总结升华】解答此题的关键是把实数对（-2，3）放入其中得到实数m，解出m的值，即可求出把（m，1）放入其中得到的数．
举一反三：
【变式】我们规定向东和向北方向为正，如向东走4米，再向北走6米，记作(4，6)，则向西走5米，再向北走3米，记作________；数对(-2，-6)表示________．
【答案】 (-5，3)；向西走2米，向南走6米.
类型二、平面直角坐标系
2. (滨州)第三象限内的点P(x，y)，满足|x|＝5，y2＝9，则点P的坐标为________．
【思路点拨】点在第三象限，横坐标＜0，纵坐标＜0．再根据所给条件即可得到x，y的具体值．
【答案】(-5，-3).
【解析】因为|x|＝5，y2＝9．所以x＝±5，y＝±3，又点P(x，y)在第三象限，所以x＜0，y＜0，故点P的坐标为(-5，-3)．
【总结升华】解决本题的关键是记住各象限内点的坐标的符号，第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．

举一反三：
【变式1】 在平面直角坐标系中，点P(-3，4)到x轴的距离为( ) ．
A．3 B．-3 C．4 D．-4
【答案】C.
【变式2】 如图所示，小手盖住的点的坐标可能为( ) ．

A．(5，2) B．(-6，3) C．(-4，-6) D．(3，-4)
【答案】D.
类型三、坐标方法的简单应用
3.如图所示，建立适当的直角坐标系，写出图中的各顶点的坐标．

【思路点拨】建立平面直角坐标系的关键是先确定原点，再确定x轴、y轴，建立不同的直角坐标系，各顶点的坐标也不同．
【答案与解析】
解：建立直角坐标系如图所示，则各点的坐标为(-4，0)，(-3，0)，(-3，-4)，(3，-4)，(3，0)，(4，0)，(0，3)，再建立不同的平面直角坐标系，写出各顶点的坐标．(读者自己试试看)

【总结升华】选择适当的直角坐标系可方便解题，一般尽可能使大多数的点的坐标为整数且易表示出来．

4.已知A（-1，0），B（5，0），C（-2，-4），求△ABC的面积.

【思路点拨】观察图形可知，三角形ABC的边AB在x轴上，根据点A、B两点横坐标的差可计算出AB的长，AB边上的高等于点C的纵坐标的绝对值，由此可计算出△ABC的面积．
【答案与解析】
解：由图可知，AB＝5－（﹣1）＝6，高＝，
所以△ABC的面积＝.
答：△ABC的面积为12平方单位.
【总结升华】本例通过图形的转化，点的坐标与线段长度的转化解决了求图形面积的问题．点的坐标能体现它到坐标轴的距离，于是将点的坐标转化为点到坐标轴的距离，这种应用十分广泛．
5.△ABC三个顶点坐标分别是A(4，3)，B(3，1)，C(1，2)．
(1)将△ABC向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得△A1B1C1的三个顶点坐标分别是什么?
(2)将△ABC三个顶点的横坐标都减去5，纵坐标不变，分别得到A2、B2、C2，依次连接A2、B2、C2各点，所得△A2B2C2与△ABC的大小、形状和位置上有什么关系?
(3)将△ABC三个顶点的纵坐标都减去5，横坐标不变，分别得到A3、B3、C3，依次连接A3、B3、C3各点，所得△A3B3C3与△ABC的大小、形状和位置上有什么关系?
【答案与解析】
解：(1)A1(5，1)，B1(4，-1)，C1(2，0)．
(2)△A2B2C2与△ABC的大小、形状完全相同，在位置上是把△ABC向左平移5个单位得到．
(3)△A3B3C3与△ABC的大小、形状完全相同，在位置上是把△ABC向下移5个单位得到．
【总结升华】此题揭示了平移的整体性，以及平移前后的坐标关系是一一对应的，在平移中，横坐标减小等价于向左平移；横坐标增大等价于向右平移；纵坐标减小等价于向下平移；纵坐标增大等价于向上平移．
举一反三：
【变式】
（1）将点P（,-5）向左平移个单位，再向上平移4个单位后得到的坐标为 .
（2）将点P向左平移个单位，再向上平移4个单位后得到(2，-1)，则点P的坐标为 .
（3）将点P(m-2，n+1)沿x轴负方向平移3个单位，得到 (1-m，2)，则点P坐标 .
(4)把点P1(2，-3)平移后得点P2(-2，3)，则平移过程是________________.
【答案】（1）（2，-1） （2）（,-5） （3）（1,2）
（4）先向左平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度；
类型四、综合应用
6. 三角形ABC三个顶点A、B、C的坐标分别为A（2，-1）、B（1，-3）、C（4，-3.5）．
（1）在直角坐标系中画出三角形ABC；
（2）把三角形A1B1C1向右平移4个单位，再向下平移3个单位，恰好得到三角形ABC，试写出三角形A1B1C1三个顶点的坐标，并在直角坐标系中描出这些点；
（3）求出三角形A1B1C1的面积．
【思路点拨】（1）建立平面直角坐标系，从中描出A、B、C三点，顺次连接即可．
（2）把三角形A1B1C1向右平移4个单位，再向下平移3个单位，恰好得到三角形ABC，即三角形ABC向上平移3个单位，向左平移4个单位，得到三角形A1B1C1，按照平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．写出三角形A1B1C1三个顶点的坐标，从坐标系中画出图形．
（3）把△A1B1C1补成矩形再把周边的三角形面积减去，即可求得△A1B1C1的面积．
【答案与解析】
解：（1）如图1，

（2）如图2，A1（-2，2），B1（-3，0），C1（0，-0.5）；

（3）把△A1B1C1补成矩形再把周边的三角形面积减去，
即可求得△A1B1C1的面积=3×2.5-1-2.5-0.75=3.25．
∴△A1B1C1的面积=3.25．
【总结升华】本题综合考查了平面直角坐标系，及平移变换．注意平移时，要找到三角形各顶点的对应点是关键，然后割补法求出三角形ABC的面积。
举一反三：
【变式】如果矩形ABCD的对角线的交点与平面直角坐标系的原点重合，且点A和点C的坐标分别为(-3，2)和(3，2)，则矩形的面积为( )．
A．32 B．24 C．6 D．8
【答案】B.











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《平面直角坐标系》全章复习与巩固（提高）巩固练习

【巩固练习】
一、选择题
1．（日照）若点P(m，1－2m)的横坐标与纵坐标互为相反数，则点P一定在（ ）.
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知点P(a，b)，ab＞0，a+b＜0，则点P在( )．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．若点P(x，y)的坐标满足xy＝0(x≠y)，则点P必在( )．
A．原点上 B．x轴上 C．y轴上 D．x轴上或y轴上(除原点)
4．线段MN在直角坐标系中的位置如图所示，线段M1N1与MN关于y轴对称，则点M的对应的点M1的坐标为（ ）.

A．(4，2) B．(－4，2) C．(－4，－2) D．(4，－2)
5．设平面直角坐标系的轴以1cm作为长度单位，△PQR的顶点坐标为P（0,3），Q（4,0），R（k，5），其中0A．1 B． C．2 D．
6．如果矩形ABCD的对角线的交点与平面直角坐标系的原点重合，且点A和点C的坐标分别为(-3，2)和(3，﹣2)，则矩形的面积为( )．
A．32 B．24 C．6 D．8
7. (湖北武汉)如图所示，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴或y轴平行，从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…顶点依次用A1，A2，A3，A4…表示，则顶点A55的坐标为( ).

A．(13，13) B．(-13，-13) C．(14，14) D．(-14，-14)
8.（台湾）如图，坐标平面上有两直线、，其方程式分别为y=9、y=-6．若上有一点P，上有一点Q，PQ与y轴平行，且PQ上有一点R，PR：RQ=1：2，则R点与x轴的距离为何（　　）.

A．1 B.4 C. 5 D.10
二、填空题
9．如图，图中O点用（0，0）表示，A点用（2，1）表示．若“A左一进二”表示将A向左平移一个单位，再向上平移两个单位，此时A到达C点，则C点为（1，3）。若将A（2，1）“右二进三”到达D点，在图中确定D的位置，可表示为 ．

10. 如果点M（a＋b，ab）在第二象限，那么点N（a，b）在第 象限．
11.对任意实数x，点P（x，x2－2x）一定不在第 象限．
12.已知点P（2，-3）与Q（x，y）在同一条平行y轴的直线上，且Q到x轴的距离为5，则点Q的坐标为 。
13．已知正方形的对角线的长为4 cm，取两条对角线所在直线为坐标轴，则正方形的四个顶点的坐标分别为________．
14.将点A（1，－3）向右平移2个单位，再向下平移2个单位后得到点B（a，b），则ab＝ ．
15. 如图，正方形ABCD的边长为4，点A的坐标为（-1，1），AB平行于x轴，则点C的坐标为 ．

16.如图，在平面直角坐标系上有点A（1，0），点A第一次跳动至点A1（-1，1），第四次向右跳动5个单位至点A4（3，2），…，依此规律跳动下去，点A第100次跳动至点A100的坐标是 ．

三、解答题
17．如图，点A表示3街与3大道的十字路口，点B表示5街与5大道的十字路口，如果用（3，3）→（4，3）→（5，3）→（5，4）→（5，5）表示由A到B的一条路径，那么请你用同样的方法找出由A到B的其他三种路径．

18．在平面直角坐标系中，点M的坐标为（a，-2a）．
（1）当a=-1时，点M在坐标系的第 象限；（直接填写答案）
（2）将点M向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到点N，当点N在第三象限时，求a的取值范围．
19.在如图所示的直角坐标系中，多边形ABCDEF的各顶点的坐标分别是A(1，0)，B(2，3)，C(5，6)，D(7，4)，E(6，2)，F(9，0)，确定这个多边形的面积，你是怎样做的?

20.已知一个直角三角形纸片OAB，其中∠AOB=90°，OA=2，OB=4．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB交于点C，与边AB交于点D．
(1)若折叠后使点B与点A重合，求D点坐标；(*你还能求出点C的坐标?)

(2)若折叠后点B落在边OA上的点为，且使，此时你能否判断出与的位置关系?若能，给出证明，若不能试说出理由。(*你能求此时点C的坐标吗？还能…？)

【答案与解析】
一、选择题
1. 【答案】D.
2. 【答案】C；
【解析】由ab＞0可知a和b同号，由a+b＜0可知a和b同时为负，所以P(a，b)在第三象限，故选C．
3. 【答案】D；
【解析】由xy＝0，可得x＝0或y＝0，当x＝0时，点P在y轴，当y＝0时，点P在x 轴，故选D．
4. 【答案】D；
【解析】关于y轴对称的点的坐标特征是纵坐标不变，横坐标互为相反数.
5. 【答案】B；
【解析】如图，，,
即，解得.

6. 【答案】B；
【解析】分析：因为以矩形ABCD的对角线的交点为原点，建立平面直角坐标系，则A、B两点关于y轴对称且距离为6，同样B、C两点关于x轴对称且距离为4，所以矩形的面积为24，故选B．
7. 【答案】C；
【解析】观察图形可知，由从内到外的第2个正方形数起：
A5在第三象限，A6在第二象限，A7在第一象限，A8在第四象限，
A9在第三象限，A10在第二象限，A11在第一象限，A12在第四象限，
……
其一般规律是：由从内到外的第n(n为正整数，且n≥2)个正方形算起：
在第一象限，在第二象限，在第三象限，在第四象限．
那么，点A55在哪个象限呢?
因为55为奇数，所以点A55应该是在第一象限或者是第三象限．
具体地，由4n-1＝55，解得n＝14(由4n-3＝55，则n不是整数)
由此可知，A55在第一象限，且在从内到外的第14个正方形的顶点上．
观察图形，结合已知条件又知：
在第一象限的第1个正方形顶点坐标是(1，1)，
在第一象限的第2个正方形顶点坐标是(2，2)，
在第一象限的第3个正方形顶点坐标是(3，3)，
因此，在第一象限的第14个正方形顶点坐标是(14，14)．即A55(14，14)，故选C．
8. 【答案】B；
【解析】由已知直线L上所有点的纵坐标为9，M上所由点的坐标为-6，由PQ与y轴平行即于x轴垂直，可得出PN=9，QN=6，PQ=PN+QN=9+6=15，根据已知PR：PQ=1：2可求出PR，从而求出R点与x轴的距离．
二、填空题
9. 【答案】(4 ，4).
10.【答案】三；
【解析】先根据点M（a+b，ab）在第二象限确定出a+b＜0，ab＞0，再进一步确定a，b 的符号即可求出答案．
11.【答案】二；
【解析】时，则，，，不可能，所以横坐标小于0，而纵坐标永远不可能大于0，所以不可能在第二象限.
12．【答案】（2,5）或(2,-5)；
【解析】点P（2，-3）与Q（x，y）在同一条平行y轴的直线上，可得x＝2，
又且Q到x轴的距离为5，可得y＝±5．
13.【答案】(2，0)，(0，-2)，(-2，0)，(0，2)；
【解析】因为正方形的对角线互相垂直平分，所以取两条对角线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，各点的坐标为(2，0)，(0，-2)，(-2，0)，(0，2)．
14.【答案】－15.
15.【答案】（3，5）；
【解析】用正方形的边长减去点A的横坐标的长度得到点C的横坐标，加上点A的纵坐标的长度得到点C的纵坐标，从而得解．
16.【答案】（51，50）．
【解析】根据图形观察发现，第偶数次跳动至点的坐标，横坐标是次数的一半加上1，纵坐标是次数的一半，然后写出即可．
三、解答题
17.【解析】
解：（3，3）→（3，4）→（3，5）→（4，5）→（5，5）
（3，3）→（4，3）→（4，4）→（5，4）→（5，5）
（3，3）→（3，4）→（4，4）→（4，5）→（5，5）
18.【解析】
解：（1）二；
（2）由题意得，N（a-2,-2a+1）,又N在第三象限，
∴， 即
答：a的取值范围为．
19.【解析】
解：如图所示，多边形ABCDEF的面积

．

点拨：求不规则图形的面积时，通常转化为规则的图形面积的和与差．
20.【解析】
解：（1）D（1，2）


（2），理由：如图，



因为，
所以∠CBB／=∠BB／D，
又因为折叠后点B落在边OA上的点为，
所以∠CBB／=∠BB／C, ∠DBB／=∠BB／D，
所以∠BB／C=∠DBB／，
所以．








B

A



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《平面直角坐标系》全章复习与巩固(提高)知识讲解

【学习目标】
1. 理解平面直角坐标系及象限的概念，并会在坐标系中根据点的坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标；
2. 掌握用坐标系表示物体位置的方法及在物体平移变化前后点坐标的变化；
3. 通过学习平面直角坐标系的基础知识,逐步理解平面内的点与有序实数对之间的一一对应关系,进而培养数形结合的数学思想．
【知识网络】

















【要点梳理】
要点一、有序数对
把一对数按某种特定意义，规定了顺序并放在一起就形成了有序数对，人们在生产生活中经常以有序数对为工具表达一个确定的意思，如某人记录某个月不确定周期的零散收入，可用(13，2000)， (17，190)， (21，330)…，表示，其中前一数表示日期，后一数表示收入，但更多的人们还是用它来进行空间定位，如：(4，5)，(20，12)，(13，2)，…，用来表示电影院的座位，其中前一数表示排数，后一数表示座位号.
要点二、平面直角坐标系
在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系，如下图：

要点诠释：
（1）坐标平面内的点可以划分为六个区域：x轴，y轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，这六个区域中，除了x轴与y轴有一个公共点（原点）外，其他区域之间均没有公共点.
（2）在平面上建立平面直角坐标系后，坐标平面上的点与有序数对（x，y）之间建立了一一对应关系，这样就将‘形’与‘数’联系起来，从而实现了代数问题与几何问题的转化.
（3）要熟记坐标系中一些特殊点的坐标及特征：
① x轴上的点纵坐标为零；y轴上的点横坐标为零．
② 平行于x轴直线上的点横坐标不相等，纵坐标相等；
平行于y轴直线上的点横坐标相等，纵坐标不相等．
③ 关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数；
关于y轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数；
关于原点对称的点横、纵坐标分别互为相反数．
④ 象限角平分线上的点的坐标特征：
一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等；
二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数．
注：反之亦成立．
（4）理解坐标系中用坐标表示距离的方法和结论：
① 坐标平面内点P(x，y)到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|．
② x轴上两点A(x1，0)、B(x2，0)的距离为AB=|x1 - x2|；
y轴上两点C(0，y1)、D(0，y2)的距离为CD=|y1 - y2|．
③ 平行于x轴的直线上两点A(x1，y)、B(x2，y)的距离为AB=|x1 - x2|；
平行于y轴的直线上两点C(x，y1)、D(x，y2)的距离为CD=|y1 - y2|．
（5）利用坐标系求一些知道关键点坐标的几何图形的面积：切割、拼补
要点三、坐标方法的简单应用
1．用坐标表示地理位置
(1)建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向；
(2)根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度；
(3)在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称．
要点诠释：
(1)我们习惯选取向东、向北分别为x轴、y轴的正方向，建立坐标系的关键是确定原点的位置．
(2)确定比例尺是画平面示意图的重要环节，要结合比例尺来确定坐标轴上的单位长度．
2．用坐标表示平移
(1)点的平移
点的平移引起坐标的变化规律：在平面直角坐标中，将点(x，y)向右(或左)平移a个单位长度，可以得到对应点(x+a，y)(或(x-a，y))；将点(x，y)向上(或下)平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y+b)(或(x，y-b))．
要点诠释：
上述结论反之亦成立，即点的坐标的上述变化引起的点的平移变换．
(2)图形的平移
在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度．
要点诠释：
平移是图形的整体运动，某一个点的坐标发生变化，其他点的坐标也进行了相应的变化，反过来点的坐标发生了相应的变化，也就意味着点的位置也发生了变化，其变化规律遵循：“右加左减，纵不变；上加下减，横不变”．
【典型例题】
类型一、有序数对
1．(巴中)如图所示，用点A(3，1)表示放置3个胡萝卜、1棵青菜，用点B(2，3)表示放置2个胡萝卜，3棵青菜．

(1)请你写出点C、D、E、F所表示的意义；
(2)若一只兔子从点A到达点B(顺着方格线走)，有以下几条路线可以选择：①A→C→D→B；②A→E→D→B；③A→E→F→B，问走哪条路吃到的胡萝卜最多?走哪条路吃到的青菜最多?
【思路点拨】（1）根据问题的“约定”先写出坐标，再回答其实际意义；(2)通过比较三条线路吃胡萝卜、青菜的多少回答问题．
【答案与解析】
解：(1)因为点A(3，1)表示放置3个胡萝卜、1棵青菜，点B(2，3)表示放置2个胡萝卜、3棵青菜，可得：
点C的坐标是(2，1)，它表示放置2个胡萝卜、1棵青菜；
点D的坐标是(2，2)，它表示放置2个胡萝卜、2棵青菜；
点E的坐标是(3，2)，它表示放置3个胡萝卜、2棵青菜；
点F的坐标是(3，3)，它表示放置3个胡萝卜、3棵青菜．
(2)若兔子走路线①A→C→D→B，则可以吃到的胡萝卜共有3+2+2+2＝9(个)，吃到的青菜共有1+1+2+3＝7(棵)；
走路线②A→E→D→B，则可以吃到的胡萝卜共有3+3+2+2＝10(个)，吃到的青菜共有1+2+2+3＝8(棵)；
走路线③A→E→F→B，则可以吃到的胡萝卜共有3+3+3+2＝11(个)，吃到的青菜共有1+2+3+3＝9(棵)；
由此可知，走第③条路线吃到的胡萝卜和青菜都最多．
【总结升华】由点A（3，1），点B（2，3）表示的意义及已确定平面直角坐标系，可知坐标系中x轴表示胡萝卜的数量，y轴表示青菜的数量．
类型二、平面直角坐标系
2. (1)若点(5-a，a-3)在第一、三象限的角平分线上，求a的值．
(2)已知两点A(-3，m)，B(n，4)，若AB∥x轴，求m的值，并确定n的范围．
(3)点P到x轴和y轴的距离分别是3和4，求P点的坐标．
【思路点拨】 (1)中在一、三象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标相等；(2)与x轴平行的直线上的点的纵坐标相等；(3)中的点P有多个．
【答案与解析】
解：(1)因为点(5-a，a-3)在第一、三象限的角平分线上，所以5-a＝a-3，所以a＝4．
(2)因为AB∥x轴，所以m＝4，因为A、B两点不重合，所以n≠-3．
(3)设P点的坐标为(x，y)，由已知条件得|y|＝3，|x|＝4，所以y＝±3，x＝±4，所以P点的坐标为(4，3)或(-4，3)或(4，-3)或(-4，-3)．
【总结升华】抓住平面直角坐标系中点的特征和点的特征的意义是解决此类问题的关键．

举一反三：
【变式】已知，点P（-m，m-1），试根据下列条件：
（1）若点P在过A（2，-4），且与x轴平行的直线上，则m= ，点P的坐标为 ．
（2）若点P在过A（2，-4），且与y轴平行的直线上，则m= ，点P的坐标为 ．
【答案】（1）-3，（3,-4）; （2）-2，（2，-3）.
3. (德阳市)如图所示，在平面直角坐标系中，有若干个整数点其顺序按图中“→”方向排列，如(1，0)，(2，0)，(2，1)，(3，2)，(3，1)，(3，0)…，根据这个规律探索可得，第100个点的坐标为________．

【答案】(14，8)
【解析】从特殊情形出发：横坐标为1的整数点有1个，横坐标为2的整数点有2个，横坐标为3的整数点有3个，依次类似，横坐标为n的整数总共有n个．故共有1+2+3+4+…+n＝n·(n+1)个，由题意分析推测：
当横坐标为14即n＝14时，共有×14×(14+1)＝105；
当横坐标为13即n＝13时，共有×13×(13+1)＝91；
故第100个点的横坐标为14，而横坐标为14的点共有14个，按“→”向上方向，故纵坐标13-5＝8．
【总结升华】当我们面临的数学问题比较抽象而无法下手时，可以从个别的、特殊的情形入手，通过对特例的分析、思考寻找解题的途径，这种思考问题的方法值得学习和借鉴．
举一反三：
【变式】(杭州)某校数学课外小组，在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植在处，其中x1＝1，y1＝1，
当k≥2时， [a]表示非负实数a的整数部分，例如[2.6]＝2，[0.2]＝0．按此方案，第2009棵树种植点的坐标为( ).
A．(5，2009) B．(6，2010) C．(3，401) D．(4，402)
【答案】D.
类型三、坐标方法的简单应用
4.如图所示，三角形ABC三个顶点的坐标分别是A(2，-2)，B(1，2)，C(-2，-1)．求三角形ABC的面积．

【思路点拨】观察三角形ABC的三边都不与坐标轴平行，此时可构造一个过三角形三个顶点的正方形ADEF．用正方形ADEF的面积，减去三角形ABD，三角形BCE，三角形ACF的面积即得三角形ABC的面积．
【答案与解析】
解：过点A，C分别作平行于y轴的直线，过点A，B分别作平行于x轴的直线，它们的交点为D，E，F，得到正方形ADEF，则该正方形的面积为4×4＝16．
三角形ABD、三角形BCE、三角形ACF的面积分别是：，，．
所以三角形ABC的面积为16-2-4.5-2＝7.5．
【总结升华】本例通过图形的转化，点的坐标与线段长度的转化解决了求图形面积的问题．点的坐标能体现它到坐标轴的距离，于是将点的坐标转化为点到坐标轴的距离，这种应用十分广泛．

举一反三：
【变式】如果点，，点C在y轴上，且△ABC的面积是4，求C点坐标．
【答案】
解：△ABC的底AB的长为：，
则高为：，即点C的纵坐标为±2，
又点C在y轴上，所以点C的坐标为（0，﹣2）或（0,2）．
5. (上海)如图所示，在直角坐标平面内，线段AB垂直于y轴，垂足为B，且AB＝2，如果将线段AB沿y轴翻折，点A落在C处，那么C的横坐标是_______．

【答案】-2.
【解析】将线段AB沿y轴翻折以后，点A与点C关于y轴对称，则两点的横坐标互为相反数，点A的横坐标为2，则点C的横坐标为-2．
【总结升华】考查平面直角坐标系内图形与坐标的关系以及轴对称的性质．
类型四、综合应用
6.（北京）（1）对数轴上的点进行如下操作：先把点表示的数乘以，再把所得数对应的点向右平移1个单位，得到点的对应点.点在数轴上，对线段上的每个点进行上述操作后得到线段，其中点的对应点分别为．如图1，若点表示的数是，则点表示的数是 ；若点表示的数是2，则点表示的数是 ；已知线段上的点经过上述操作后得到的对应点与点重合，则点表示的数是 ；

（2）如图2，在平面直角坐标系中，对正方形及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘以同一种实数，将得到的点先向右平移个单位，再向上平移个单位（），得到正方形及其内部的点，其中点的对应点分别为.已知正方形内部的一个点经过上述操作后得到的对应点与点重合，求点的坐标.

【思路点拨】（1）根据题目规定，以及数轴上的数向右平移用加计算即可求出点A′，设点B表示的数为a，根据题意列出方程求解即可得到点B表示的数，设点E表示的数为b，根据题意列出方程计算即可得解：
点A′：－3×+1=－1+1=0.
设点B表示的数为a，则a+1=2，解得a=3.
设点E表示的数为b，则b+1=b，解得b=.
（2）先根据向上平移横坐标不变，纵坐标加，向右平移横坐标加，纵坐标不变求出平移规律，然后设点F的坐标为（x，y），根据平移规律列出方程组求解即可.
【答案与解析】

【总结升华】根据题目规定，以及数轴上的数向右平移用加计算即可求出点A′，设点B表示的数为a，根据题意列出方程求解即可得到点B表示的数，设点E表示的数为b，根据题意列出方程计算即可得解.
举一反三：
【变式】 把点P1(m，n)向右平移3个单位长度再向下平移2个单位长度到一个位置P2后坐标为P2 (a，b)，则m，n，a，b之间存在的关系是________________.
【答案】，.











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