资源简介

椭圆与双曲线常见题型归纳
一. “曲线方程+直线与圆锥曲线位置关系”的综合型试题的分类求解
1.向量综合型
例1.在直角坐标系中，点到两点的距离之和为4，设点的轨迹为,直线与交于两点。
（Ⅰ）写出的方程; （Ⅱ）若，求的值。
例1. 解:（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴，
故曲线C的方程为．
（Ⅱ）设，其坐标满足
消去y并整理得，
故．
若，即．
而，
于是，
化简得，所以．
例2．设、分别是椭圆的左、右焦点.
（Ⅰ）若是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值;
（Ⅱ）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且∠为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围
例2．解：（Ⅰ）解法一：易知
所以，设，则

因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值
当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值
解法二：易知，所以，设，则

（以下同解法一）
（Ⅱ）显然直线不满足题设条件，可设直线，
联立，消去，整理得：
∴
由得：或
又
∴
又
∵，即 ∴
故由①、②得或
例3． 设、分别是椭圆的左、右焦点，．
（Ⅰ）若是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值;
（Ⅱ）若C为椭圆上异于B一点，且，求的值；
（Ⅲ）设P是该椭圆上的一个动点，求的周长的最大值.

例3．解：（Ⅰ）易知，所以,设,则

因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值
当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值
（Ⅱ）设C（）， 由得，又 所以有解得
（Ⅲ）因为|P|＋|PB|＝4－|PF2|＋|PB|≤4＋|BF2|∴周长≤4＋|BF2|＋|B|≤8．
所以当P点位于直线BF2与椭圆的交点处时，周长最大，最大值为8．
例4．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为
(1) 求双曲线C的方程；
(2) 若直线l：与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且(其中O为原点)，求k的取值范围。
例4．解：（Ⅰ）设双曲线方程为 由已知得故双曲线C的方程为
（Ⅱ）将
由直线l与双曲线交于不同的两点得
即 ① 设，则
而
于是 ②
由①、②得 故k的取值范围为

例5．已知椭圆（a＞b＞0）的离心率，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为．
（1）求椭圆的方程．
（2）已知定点E（-1，0），若直线y＝kx＋2（k≠0）与椭圆交于C、D两点．问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点?请说明理由．
例5．解析：（1）直线AB方程为：bx-ay-ab＝0．
　　依题意　解得　
∴　椭圆方程为　．…………………4分　　
（2）假若存在这样的k值，由得．
　　∴　．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①
　　设，、，，则　　　　　　　　　　　　②
　　…………………………………………8分
而．
　　要使以CD为直径的圆过点E（-1，0），当且仅当CE⊥DE时，则，即．…………………………………………10分
　　∴　．　　　　　　　　　　　　　　　③
　　将②式代入③整理解得．经验证，，使①成立．
　　综上可知，存在，使得以CD为直径的圆过点E．………………………13分
2．“中点弦型”
例6.已知椭圆，试确定的值，使得在此椭圆上存在不同
两点关于直线对称。
例6.解：设，的中点，
而相减得
即，
而在椭圆内部，则即

例7.已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，离心率，焦距为
（I）求该双曲线方程.
（II）是否定存在过点，）的直线与该双曲线交于，两点，且点是线段 的中点？若存在，请求出直线的方程，若不存在，说明理由.
例7.（1）
（2）设，直线：，代入方程得
（）
则，解得 ，此时方程为，
方程没有实数根。所以直线不存在。
例8．已知椭圆的中心在原点，焦点为F1，F2（0，），且离心率。
（I）求椭圆的方程；
（II）直线l（与坐标轴不平行）与椭圆交于不同的两点A、B，且线段AB中点的横坐标为，求直线l倾斜角的取值范围。
例8．解：（I）设椭圆方程为
解得 a=3，所以b=1，故所求方程为 …………………………4分
（II）设直线l的方程为代入椭圆方程整理得
………………………… 5分
由题意得 …………………………7分
解得 又直线l与坐标轴不平行 ………………………
故直线l倾斜角的取值范围是 …………………………12分
3．“弦长型”
例9．直线y＝kx＋b与椭圆交于A、B两点，记△AOB的面积为S．
(I)求在k＝0，0＜b＜1的条件下，S的最大值；
（Ⅱ)当｜AB｜＝2，S＝1时，求直线AB的方程．
例9(I)解：设点A的坐标为(，点B的坐标为，
由，解得
所以
当且仅当时，．S取到最大值1．
（Ⅱ）解：由得

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①
｜AB｜＝ ②
又因为O到AB的距离　　所以　　③
③代入②并整理，得
解得，，代入①式检验，△＞0
故直线AB的方程是
或或或．
例10．已知向量 =（0，x），=（1，1）， =（x，0），=（y2，1）（其中x，y是实数），又设向量= +，=－，且//，点P（x，y）的轨迹为曲线C.
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设直线与曲线C交于M、N两点，当|MN|=时，求直线l的方程.
例10解：（I）由已知，
…………………………………4分
……………………………………5分
即所求曲线的方程是：……………………………7分
（Ⅱ）由
解得x1=0, x2=分别为M，N的横坐标）.………………9分
由
……………………………………………………11分
所以直线l的方程x－y+1=0或x+y－1=0.…………………………12分
二．“基本性质型”
例11．设双曲线的方程为，A、B为其左、右两个顶点，P是双曲线上的任一点，引，AQ与BQ相交于点Q。
（1）求Q点的轨迹方程；
（2）设（1）中所求轨迹为，、的离心率分别为、，当时，求的取值范围。
例11. 解：（1）设
∵
∴，∵，∴，
∴，化简得：，
经检验，点不合题意，∴点Q的轨迹方程为
（2） 由（1）得的方程为，
，
∵，∴，∴。
例12．P为椭圆上一点，、为左右焦点，若
（1）求△的面积；
（2）求P点的坐标．
例12．[解析]：∵a＝5，b＝3c＝4 （1）设，，则 ①
②，由①2－②得

（2）设P，由得 4，将 代入椭圆方程解得，或或或

例13．已知双曲线与椭圆共焦点，且以为渐近线，求双曲线方程．(12分)
例13 [解析]：由椭圆．
设双曲线方程为，则 故所求双曲线方程为
例14.代表实数，讨论方程所表示的曲线.
例14 .解：当时，曲线为焦点在轴的双曲线；
当时，曲线为两条平行的垂直于轴的直线；
当时，曲线为焦点在轴的椭圆；
当时，曲线为一个圆；
当时，曲线为焦点在轴的椭圆。

展开更多......

收起↑