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第五讲　概率与统计
微专题1　统计与统计案例
命 题 者 说
考 题 统 计 考 情 点 击
2018·全国卷Ⅰ·T3·统计图表的应用 2018·江苏高考·T3·茎叶图的应用 2017·全国卷Ⅲ·T3·折线图的识别与应用 　　统计与统计案例的选择题、填空题涉及的内容较为简单，主要有抽样方法、统计图表的应用、用样本的数字特征估计总体、线性回归及统计案例。涉及的分值一般为5分。


考向一 抽样方法
【例1】　(1)从编号为01,02，…，49,50的50个个体中利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行第5列的数开始由左到右依次抽取，则选出来的第5个个体的编号为(　　)
7816 6572 0812 1463 0782 4369 9728 0198
3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481
A．14 B．07
C．32 D．43
(2)某班50名学生中有女生20名，按男女比例用分层抽样的方法，从全班学生中抽取部分学生进行调查，已知抽到的女生有4名，则本次调查抽取的人数是(　　)
A．8 B．10
C．12 D．15
解析　(1)由题意知选定的第一个数为65(第1行的第5列和第6列)，按由左到右选取两位数(大于50的跳过、重复的不选取)，前5个个体编号为08,12,14,07,43。故选出来的第5个个体的编号为43。故选D。
(2)因为50名学生中有女生20名，按男女比例用分层抽样的方法，抽到的女生有4名，所以本次调查抽取的人数是50×＝10。故选B。
答案　(1)D　(2)B

(1)解决此类题目的关键是深刻理解各种抽样方法的特点和适用范围。但无论哪种抽样方法，每一个个体被抽到的概率都是相等的，都等于样本容量与总体容量的比值。
(2)在系统抽样的过程中，要注意分段间隔，需要抽取n个个体，样本就需要分成n个组，则分段间隔即为(N为样本容量)，首先确定在第一组中抽取的个体的号码数，再从后面的每组中按规则抽取每个个体。
变|式|训|练
1．某班有学生60人，将这60名学生随机编号为1～60号，用系统抽样的方法从中抽出4名学生，已知3号、33号、48号学生在样本中，则样本中另一个学生的编号为(　　)
A．28 B．23
C．18 D．13
解析　抽样间隔为＝15，故另一个学生的编号为3＋15＝18。故选C。
答案　C
2．某校有高级教师90人，一级教师120人，二级教师75人，现按职称用分层抽样的方法抽取38人参加一项调查，则抽取的一级教师人数为(　　)
A．10 B．12
C．16 D．18
解析　根据分层抽样性质，设抽取的一级教师人数为m，则＝，解得m＝16。故选C。
答案　C
考向二 用样本估计总体
微考向1：统计图表的应用
【例2】　(1)(2018·全国卷Ⅰ)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番。为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如图所示的饼图：

则下面结论中不正确的是(　　)
A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
(2)(2018·湖北部分重点中学模拟)某商场对某一商品搞活动，已知该商品每一个的进价为3元，销售价为8元，每天售出的第20个及之后的半价出售。该商场统计了近10天这种商品的销量，如图所示，设x(个)为每天商品的销量，y(元)为该商场每天销售这种商品的利润。从日利润不少于96元的几天里任选2天，则选出的这2天日利润都是97元的概率为(　　)

A． B．
C． D．
解析　(1)设新农村建设前的经济收入为M，而新农村建设后的经济收入为2M，则新农村建设前种植收入为0.6M，而新农村建设后的种植收入为0.74M，所以种植收入增加了，所以A项不正确；新农村建设前其他收入为0.04M，新农村建设后其他收入为0.1M，故增加了一倍以上，所以B项正确；新农村建设前养殖收入为0.3M，新农村建设后为0.6M，所以增加了一倍，所以C项正确；新农村建设后养殖收入与第三产业收入的总和占经济收入的30%＋28%＝58%>50%，所以超过了经济收入的一半，所以D正确。故选A。
(2)由题意知y＝即y＝当日销量不少于20个时，日利润不少于96元。当日销量为20个时，日利润为96元，当日销量为21个时，日利润为97元，日利润为96元的有3天，日利润为97元的有2天，故所求概率为＝。故选B。
答案　(1)A　(2)B

(1)饼图显示了各种不同成份所占的比例，但要注意本题的两个饼图总量是不同的，应分别计算出两个饼图的各组成部分的量的大小，才能进行比较。
(2)频率分布直方图中横坐标表示组距，纵坐标表示，频率＝组距×。频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1。
变|式|训|练
1．(2018·南宁摸底联考)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示。为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为(　　)

A．100,20 B．200,20
C．200,10 D．100,10
解析　由题图①可知学生总人数是10 000，样本容量为10 000×2%＝200，抽取的高中生人数是2 000×2%＝40，由题图②可知高中生的近视率为50%，所以高中生的近视人数为40×50%＝20。故选B。
答案　B
2．(2018·贵阳监测考试)在某中学举行的环保知识竞赛中，将三个年级参赛学生的成绩进行整理后分为5组，绘制如图所示的频率分布直方图，图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五小组，已知第二小组的频数是40，则成绩在80～100分的学生人数是(　　)

A．15　　　　B．18
C．20　　　　D．25
解析　根据频率分布直方图，得第二小组的频率是0.04×10＝0.4，因为频数是40，所以样本容量是＝100，又成绩在80～100分的频率是(0.010＋0.005)×10＝0.15，所以成绩在80～100分的学生人数是100×0.15＝15。故选A。
答案　A
微考向2：用样本的数字特征估计总体
【例3】　某班男女生各10名同学最近一周平均每天的锻炼时间(单位：分钟)用茎叶图记录如下：

假设每名同学最近一周平均每天的锻炼时间是互相独立的。
①男生每天锻炼的时间差别小，女生每天锻炼的时间差别大；
②从平均值分析，男生每天锻炼的时间比女生多；
③男生平均每天锻炼时间的标准差大于女生平均每天锻炼时间的标准差；
④从10个男生中任选一人，平均每天的锻炼时间超过65分钟的概率比同样条件下女生锻炼时间超过65分钟的概率大。
其中符合茎叶图所给数据的结论是(　　)
A．①②③ B．②③④
C．①②④ D．①③④
解析　由茎叶图知，男生每天锻炼时间差别小，女生差别大，①正确。男生平均每天锻炼时间超过65分钟的概率P1＝＝，女生平均每天锻炼时间超过65分钟的概率P2＝＝，P1>P2，因此④正确。设男生、女生两组数据的平均数分别为甲，乙，标准差分别为s甲，s乙。易求甲＝65.2，乙＝61.8，知甲>乙，②正确。又根据茎叶图，男生锻炼时间较集中，女生锻炼时间较分散，所以s甲答案　C

平均数与方差都是重要的数字特征，是对数据的一种简明描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义。平均数、中位数、众数描述数据的集中趋势，方差和标准差描述数据的波动大小。
变|式|训|练
1.(2018·江苏高考)已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为________。

解析　由茎叶图可得分数的平均数为
＝90。
答案　90
2．(2018·茂名五大联盟学校联考)甲，乙两组数的数据如茎叶图所示，则甲、乙的平均数、方差、极差及中位数相同的是(　　)

A．极差 B．方差
C．平均数 D．中位数
解析　由题中茎叶图中数据的分布，可知方差不同，极差不同，甲的中位数为＝18.5，乙的中位数为＝16，甲＝＝，乙＝＝，所以甲、乙的平均数相同。故选C。
答案　C
考向三 统计案例
【例4】　(1)(2018·福州四校联考)某汽车的使用年数x与所支出的维修总费用y的统计数据如表：
使用年数x/年 1 2 3 4 5
维修总费用y/万元 0.5 1.2 2.2 3.3 4.5
根据上表可得y关于x的线性回归方程＝x－0.69，若该汽车维修总费用超过10万元就不再维修，直接报废，据此模型预测该汽车最多可使用(不足1年按1年计算)(　　)
A．8年 B．9年
C．10年 D．11年
(2)为大力提倡“厉行节约，反对浪费”，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下的列联表：
做不到“光盘” 能做到“光盘”
男 45 10
女 30 15
附：
P(K2≥k) 0.10 0.05 0.025
k 2.706 3.841 5.024
K2＝。
参照附表，得到的正确结论是(　　)
A．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”
B．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”
C．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”
D．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”
解析　(1)由y关于x的线性回归直线＝x－0.69过样本点的中心(3,2.34)，得＝1.01，即线性回归方程为＝1.01x－0.69，由＝1.01x－0.69＝10，得x≈10.6，所以预测该汽车最多可使用11年。故选D。
(2)由题设知，a＝45，b＝10，c＝30，d＝15，所以K2＝≈3.030。2.706<3.030<3.841。由附表可知，有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”，故选C。
答案　(1)D　(2)C


(1)在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值；回归直线过样本点的中心(，)，应引起关注。
(2)独立性检验问题，要确定2×2列联表中的对应数据，然后代入K2求解即可。
变|式|训|练
1．随机采访50名观众对某电视节目的满意度，得到如下列联表：
单位：人
满意 不满意 总计
男 10 20 30
女 15 5 20
总计 25 25 50
附表和公式如下：
P(K2≥k) 0.100 0.050 0.010 0.001
k 2.706 3.841 6.635 10.828
K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量。
根据以上数据可知(　　)
A．有95%的把握认为对电视节目的满意度与性别无关
B．有99%的把握认为对电视节目的满意度与性别无关
C．有99%的把握认为对电视节目的满意度与性别有关
D．有95%的把握认为对电视节目的满意度与性别有关
解析　由于K2＝≈8.333>6.635，所以有99%的把握认为对电视节目的满意度与性别有关，故选C。
答案　C
2．设某市现代中学的男生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为＝0.95x－99.88，给出下列结论：
①y与x具有正的线性相关关系；
②回归直线过样本点的中心(，)；
③若该中学某男生身高增加1 cm，则其体重约增加0.95 kg；
④若该中学某男生身高为180 cm，则可预测其体重约为71.12 kg。
其中正确的结论是________。
解析　依题意知②正确；因为＝0.95x－99.88，0.95>0，故①正确；若身高x增加1，则其体重约为＝0.95(x＋1)－99.88＝0.95x－99.88＋0.95，约增加0.95 kg，故③正确；若男生身高为180 cm，则其体重约为＝0.95×180－99.88＝71.12 kg，故④正确。
答案　①②③④

1．(考向一)(2018·福州质检)为了解某地区的“微信健步走”活动情况，拟从该地区的人群中抽取部分人员进行调查，事先已了解到该地区老、中、青三个年龄段人员的“微信健步走”活动情况有较大差异，而男女“微信健步走”活动情况差异不大。在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是(　　)
A．简单随机抽样 B．按性别分层抽样
C．按年龄段分层抽样 D．系统抽样
答案　C
2．(考向二)(2018·新余二模)为了解户籍、性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为100的样本，其中城镇户籍与农村户籍各50人；男性60人，女性40人，绘制不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图(如图所示)，其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述中错误的是(　　)

A．是否倾向选择生育二胎与户籍有关
B．是否倾向选择生育二胎与性别无关
C．倾向选择生育二胎的人员中，男性人数与女性人数相同
D．倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数
解析　由题图，可得是否倾向选择生育二胎与户籍有关、性别无关，倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数，倾向选择生育二胎的人员中，男性人数为60×60%＝36，女性人数为40×60%＝24，不相同。故选C。
答案　C
3．(考向二)(2018·榆林模拟)某学校为了调查学生在学科教辅书方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出的钱数在[30,40)的同学比支出的钱数在[10,20)的同学多26人，则n的值为________。

解析　由频率分布直方图可得支出的钱数在[30,40)的同学有0.038×10n＝0.38n个，支出的钱数在[10,20)的同学有0.012×10n＝0.12n个，又支出的钱数在[30,40)的同学比支出的钱数在[10,20)的同学多26人，所以0.38n－0.12n＝0.26n＝26，所以n＝100。
答案　100
4．(考向三)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验。根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归方程为＝0.67x＋54.9。
零件数x(个) 10 20 30 40 50
加工时间y(min) 62 75 81 89
现发现表中有一个数据模糊看不清，则该数据为________。
解析　设表中那个模糊看不清的数据为m。由表中数据得＝30，＝，所以样本点的中心为，因为样本点的中心在回归直线上，所以＝0.67×30＋54.9，解得m＝68。
答案　68
5．(考向三)假设有两个分类变量X和Y的2×2列联表如下：
Y X　　 y1 y2 总计
x1 a 10 a＋10
x2 c 30 c＋30
总计 60 40 100
对同一样本，以下数据能说明X与Y有关系的可能性最大的一组为(　　)
A．a＝45，c＝15 B．a＝40，c＝20
C．a＝35，c＝25 D．a＝30，c＝30
解析　根据2×2列联表与独立性检验可知，当与相差越大时，X与Y有关系的可能性越大，即a、c相差越大，与相差越大。故选A。
答案　A






























































































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微专题2　排列组合与二项式定理、概率
命 题 者 说
考 题 统 计 考 情 点 击
2018·全国卷Ⅰ·T10·几何概型 2018·全国卷Ⅰ·T15·排列与组合 2018·全国卷Ⅱ·T8·古典概型 2018·全国卷Ⅲ·T5·二项式定理 2018·天津高考·T10·二项式定理 1.排列、组合在高中数学中占有特殊的位置，是高考的必考内容，很少单独命题，主要考查利用排列、组合知识计算古典概型。2.二项式定理仍以求二项展开式的特定项、特定项的系数及二项式系数为主，题目难度一般。 3.概率、随机变量及其分布列是高考命题的热点之一，命题形式为“一小一大”，即一道选择或填空题和一道解答题。


考向一 排列与组合
【例1】　(1)(2018·全国卷Ⅰ)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种。(用数字填写答案)
(2)(2018·浙江高考)从1,3,5,7,9中任取2个数字，从0,2,4,6中任取2个数字，一共可以组成________个没有重复数字的四位数。(用数字作答)
解析　(1)解法一：根据题意，没有女生入选有C＝4(种)选法，从6名学生中任意选3人有C＝20(种)选法，故至少有1位女生入选，不同的选法共有20－4＝16(种)。
解法二：可分两种情况：第一种情况，只有1位女生入选，不同的选法有CC＝12(种)；第二种情况，有2位女生入选，不同的选法有CC＝4(种)。根据分类加法计数原理知，至少有1位女生入选的不同的选法有16种。
(2)若取的4个数字不包括0，则可以组成的四位数的个数为CCA；若取的4个数字包括0，则可以组成的四位数的个数为CCCA。综上，一共可以组成的没有重复数字的四位数的个数为CCA＋CCCA＝720＋540＝1 260。
答案　(1)16　(2)1 260

求解排列、组合问题的思路：排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘。具体地说，解排列、组合的应用题，通常有以下途径：
(1)以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素。
(2)以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置。
(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数。
解答计数问题多利用分类整合思想。分类应在同一标准下进行，确保“不漏”“不重”。
变|式|训|练
1．(2018·沈阳教学质量监测)若4个人按原来站的位置重新站成一排，恰有1个人站在自己原来的位置，则不同的站法共有(　　)
A．4种 B．8种
C．12种 D．24种
解析　将4个人重排，恰有1个人站在自己原来的位置，有C种站法，剩下3人不站原来位置有2种站法，所以共有C×2＝8(种)站法。故选B。
答案　B
2．(2018·开封高三定位考试)某地实行高考改革，考生除参加语文、数学、英语统一考试外，还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选考三科。学生甲要想报考某高校的法学专业，就必须要从物理、政治、历史三科中至少选考一科，则学生甲的选考方法种数为(　　)
A．6 B．12
C．18 D．19
解析　解法一：在物理、政治、历史中选一科的选法有CC＝9(种)；在物理、政治、历史中选两科的选法有CC＝9(种)；物理、政治、历史三科都选的选法有1种。所以学生甲的选考方法共有9＋9＋1＝19(种)。故选D。
解法二：从六科中选考三科的选法有C种，其中包括了没选物理、政治、历史中任意一科，这种选法有1种，因此学生甲的选考方法共有C－1＝19(种)。故选D。
答案　D
考向二 二项式定理
【例2】　(1)(2018·全国卷Ⅲ)5的展开式中x4的系数为(　　)
A．10 B．20
C．40 D．80
(2)5的展开式中整理后的常数项为________。
解析　(1)由题可得Tr＋1＝C(x2)5－rr＝C·2r·x10－3r。令10－3r＝4，则r＝2，所以C·2r＝C×22＝40。故选C。
(2)不妨设x>0，5＝10的通项公式：Tr＋1＝C()10－rr＝Cx5－r，令5－r＝0，解得r＝5。所以常数项＝C＝252。
答案　(1)C　(2)252

与二项式定理有关的题型及解法
题型 解法
求特定项或其系数 常采用二项展开式的通项分析求解
系数的和或差 常用赋值法
近似值问题 利用展开式截取部分项求解
整除(或余数)问题 利用展开式求解
变|式|训|练
1．已知(x2＋2x＋3y)5的展开式中x5y2的系数为(　　)
A．60 B．180
C．520 D．540
解析　(x2＋2x＋3y)5可看作5个(x2＋2x＋3y)相乘，从中选2个y，有C种选法；再从剩余的三个括号里边选出2个x2，最后一个括号选出x，有C·C种选法；所以x5y2的系数为32C·C·2·C＝540。故选D。
答案　D
2．(ax＋)5的展开式中x3项的系数为20，则实数a＝________。
解析　展开式的通项为Tr＋1＝C(ax)5－r()r＝a5－rCx eq \s\up15(5－) ，令5－＝3得r＝4，所以a·C＝20，解得a＝4。
答案　4
考向三 古典概型与几何概型
【例3】　(1)(2018·全国卷Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果。哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23。在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是(　　)
A．　　　 B．
C．　　　 D．
(2)正六边形ABCDEF的边长为1，在正六边形内随机取点M，则使△MAB的面积大于的概率为________。
解析　(1)不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，从中随机选取两个不同的数，共有C＝45(种)取法，因为7＋23＝11＋19＝13＋17＝30，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种取法，故概率为＝。故选C。

(2)如图所示，作出正六边形ABCDEF，其中心为O，过点O作OG⊥AB，垂足为G，则OG的长为中心O到AB边的距离。易知∠AOB＝＝60°，且OA＝OB，所以△AOB是等边三角形，所以OA＝OB＝AB＝1，OG＝OA·sin60°＝1×＝，即对角线CF上的点到AB的距离都为。设△MAB中AB边上的高为h，则由S△MAB＝×1×h>，解得h>。所以要使△MAB的面积大于，只需满足h>，即需使M位于CF的上方。故由几何概型得，△MAB的面积大于的概率P＝＝。
答案　(1)C　(2)

(1)解答有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，这常用到计数原理与排列、组合的相关知识。
(2)当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解。
变|式|训|练
1．(2018·四川绵阳二诊)将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，将第一次向上的点数记为m，第二次向上的点数记为n，曲线C：＋＝1，则曲线C的焦点在x轴上且离心率e≤的概率等于(　　)
A． B．
C． D．
解析　因为离心率e≤，所以 ≤，解得≥，由列举法，得当m＝6时，n＝5,4,3；当m＝5时，n＝4,3；当m＝4时，n＝3,2；当m＝3时，n＝2；当m＝2时，n＝1，共9种情况，故其概率为＝。故选D。
答案　D
2．(2018·衡水金卷模拟)我国数学家邹元治利用如图证明了勾股定理，该图中用勾(a)和股(b)分别表示直角三角形的两条直角边，用弦(c)来表示斜边，现已知该图中勾为3，股为4，若从图中随机取一点，则此点不落在中间小正方形中的概率是(　　)

A． B．
C． D．
解析　a＝3，b＝4，由题意得c＝5，因为大正方形的边长为a＋b＝3＋4＝7，小正方形的边长为c＝5，则大正方形的面积为49，小正方形的面积为25，所以满足题意的概率值为1－＝。故选B。
答案　B
考向四 条件概率与相互独立事件的概率
【例4】　(1)如图，ABCD是以O为圆心、半径为2的圆的内接正方形，EFGH是正方形ABCD的内接正方形，且E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点。将一枚针随机掷到圆O内，用M表示事件“针落在正方形ABCD内”，N表示事件“针落在正方形EFGH内”，则P(N|M)等于(　　)

A． B．
C． D．
(2)如图所示，某快递公司送货员从公司A处准备开车送货到某单位B处，有A→C→D→B，A→E→F→B两条路线。若该地各路段发生堵车与否是相互独立的，且各路段发生堵车事件的概率如图所示(例如A→C→D算作两个路段，路段AC发生堵车事件的概率为，路段CD发生堵车事件的概率为)。若使途中发生堵车事件的概率较小，则由A到B应选择的路线是________。

解析　(1)由题意得，圆O的半径为2，所以内接正方形ABCD的边长为AB＝2，则正方形ABCD的面积为S1＝(2)2＝8，因为E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，所以EF＝×2R＝2，所以正方形EFGH的面积为S2＝22＝4，所以P(N|M)＝＝。故选C。
(2)路线A→C→D→B途中发生堵车事件的概率P1＝1－××＝，路线A→E→F→B途中发生堵车事件的概率P2＝1－××＝。因为<，所以应选择路线A→E→F→B。
答案　(1)C　(2)A→E→F→B

求相互独立事件和独立重复试验的概率的注意点
(1)求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，分析复杂事件能转化为几个彼此互斥事件的和事件还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件，然后用概率公式求解。
(2)注意辨别独立重复试验的基本特征：①在每次试验中，试验结果只有发生与不发生两种情况；②在每次试验中，事件发生的概率相同。
变|式|训|练
1．(2018·汕头模拟)甲、乙两人参加“社会主义核心价值观”知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为和，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为(　　)
A． B．
C． D．
解析　根据题意，恰有一人获得一等奖就是甲获得乙没有获得或甲没有获得乙获得，则所求概率是×＋×＝。故选D。
答案　D
2．(2018·厦门二模)袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，则3次中恰有2次抽到黄球的概率是(　　)
A． B．
C． D．
解析　袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，每次取到黄球的概率P1＝，所以3次中恰有2次抽到黄球的概率是P＝C2＝。故选D。
答案　D
3．(2018·南昌模拟)口袋中装有大小形状相同的红球2个，白球3个，黄球1个，甲从中不放回地逐一取球，已知第一次取得红球，则第二次取得白球的概率为________。
解析　口袋中装有大小形状相同的红球2个，白球3个，黄球1个，甲从中不放回地逐一取球，设事件A表示“第一次取得红球”，事件B表示“第二次取得白球”，则P(A)＝＝，P(AB)＝×＝，所以第一次取得红球后，第二次取得白球的概率为P(B|A)＝＝＝。
答案　

1．(考向一)(2018·南昌调研)某校毕业典礼上有6个节目，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起。则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有(　　)
A．120种 B．156种
C．188种 D．240种
解析　解法一：记演出顺序为1～6号，对丙、丁的排序进行分类，丙、丁占1和2号，2和3号，3和4号，4和5号，5和6号，其排法分别为AA，AA，CAA，CAA，CAA，故总编排方案有AA＋AA＋CAA＋CAA＋CAA＝120(种)。故选A。
解法二：记演出顺序为1～6号，按甲的编排进行分类，①当甲在1号位置时，丙、丁相邻的情况有4种，则有CAA＝48(种)；②当甲在2号位置时，丙、丁相邻的情况有3种，共有CAA＝36(种)；③当甲在3号位置时，丙、丁相邻的情况有3种，共有CAA＝36(种)。所以编排方案共有48＋36＋36＝120(种)。故选A。
答案　A
2．(考向二)(2018·湖南湘东联考)若(x＋a)(1＋2x)5的展开式中x3的系数为20，则a＝________。
解析　(x＋a)(1＋2x)5的展开式中x3的系数为C·22＋a·C·23＝20，所以40＋80a＝20，解得a＝－。
答案　－
3．(考向三)(2018·漳州二模)甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加“《论语》知识大赛”，决出第1名到第5名的名次。甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说“虽然你的成绩比乙好，但是你俩都没得到第一名”；对乙说“你当然不会是最差的”。从上述回答分析，丙是第一名的概率是(　　)
A． B．
C． D．
解析　因为甲和乙都不可能是第一名，所以第一名只可能是丙、丁或戊，又考虑到所有的限制条件对丙、丁、戊都没有影响，所以这三个人获得第一名是等概率事件，所以丙是第一名的概率是。故选B。
答案　B
4．(考向三)已知定义在区间[－3,3]上的单调函数f(x)满足：对任意的x∈[－3,3]，都有f(f(x)－2x)＝6，则在[－3,3]上随机取一个实数x，使得f(x)的值不小于4的概率为(　　)
A．　　　 　 B．
C．　　　 　 D．
解析　由题意设对任意的x∈[－3,3]，都有f(x)－2x＝a，其中a为常数，且a∈[－3,3]，则f(a)＝6，f(a)－2a＝a，所以6－2a＝a，得a＝2，故f(x)＝2x＋2，由f(x)≥4得x≥1，因此所求概率为＝。故选C。
答案　C
5．(考向四)(2018·珠海一模)夏秋两季，生活在长江口外浅海域的中华鱼洄游到长江，历经三千多公里的溯流搏击，回到金沙江一带产卵繁殖，产后待幼鱼长大到15厘米左右，又携带它们旅居外海。一个环保组织曾在金沙江中放生一批中华鱼鱼苗，该批鱼苗中的雌性个体能长成熟的概率为0.15，雌性个体长成熟又能成功溯流产卵繁殖的概率为0.05，若该批鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域已长成熟，则其能成功溯流产卵繁殖的概率为(　　)
A．0.05 B．0.007 5
C． D．
解析　设事件A为鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域长成熟，事件B为该雌性个体成功溯流产卵繁殖，由题意可知P(A)＝0.15，P(AB)＝0.05，所以P(B|A)＝＝＝。故选C。
答案　C
6．(考向四)(2018·全国卷Ⅲ)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立。设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D(X)＝2.4，P(X＝4)A．0.7 B．0.6
C．0.4 D．0.3
解析　依题意X～B(10，p)，因为DX＝np(1－p)，所以p＝0.4或p＝0.6，因为P(X＝4)＝Cp4(1－p)60.5。所以p＝0.6，故选B。
答案　B

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