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第二讲　三角函数、解三角形
微专题1　三角函数的图象与性质
命 题 者 说

考 题 统 计 考 情 点 击
2018·全国卷Ⅰ·T16·三角函数的最值 2018·全国卷Ⅱ·T10·三角函数的单调性 2018·天津高考·T6·三角函数图象平移、单调性 2018·北京高考·T11·三角函数的图象与性质 2018·江苏高考·T7·三角函数的对称性 高考对本部分内容的考查主要从以下方面进行： 1.三角函数的图象，主要涉及图象变换问题以及由图象确定函数解析式问题，主要以选择、填空题的形式考查，有时也会出现大题。 2.三角函数的性质，通常是给出函数解析式，先进行三角变换，将其转化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式再研究其性质(如单调性、值域、对称性)，或知道某三角函数的图象或性质求其解析式，再研究其他性质，既有直接考查的客观题，也有综合考查的主观题。

考向一 三角函数的图象
【例1】　(1)(2018·天津高考)将函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数(　　)
A．在区间上单调递增
B．在区间上单调递减
C．在区间上单调递增
D．在区间上单调递减
(2)已知函数f(x)＝Asin＋ω(ω>0)的部分图象如图所示，则下列选项判断错误的是(　　)

A．|MN|＝π
B．f＝2
C．f(x)＋f＝1
D．f＝f
解析　(1)把函数y＝sin的图象向右平移个单位长度得函数g(x)＝sin＝sin2x的图象，由－＋2kπ≤2x≤＋2kπ(k∈Z)得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，令k＝1，得≤x≤，即函数g(x)＝sin2x的一个单调递增区间为。故选A。
(2)由图象，可知A＝＝＝1。因为f(x)max＝1＋ω＝2，所以ω＝1，T＝＝2π，f(x)＝sin＋1，|MN|＝＝π，A正确；f＝sin＋1＝1＋1＝2，B正确；f＝sin＋1＝2，故x＝是函数图象的对称轴，D正确；f(x)＋f＝sin＋1＋sin＋1＝sin＋sin＋2＝2，C错误。故选C。
答案　(1)A　(2)C



(1)函数图象的平移法则是“左加右减、上加下减”，但是左右平移变换只是针对x作的变换。
(2)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的图象求解析式。
①A＝，B＝；
②由函数的周期T求ω，即T＝；
③利用“五点法”中相对应的特殊点求φ。
变|式|训|练
1．函数f(x)＝sin(πx＋θ)的部分图象如图所示，且f(0)＝－，则图中m的值为(　　)

A．1 B．
C．2 D．或2
解析　由f(0)＝－，得sinθ＝－，因为|θ|<，所以θ＝－。令πx－＝2kπ＋，k∈Z，则x＝2k＋，k∈Z，所以＝2k＋，k∈Z，所以m＝。故选B。
答案　B
2．将函数y＝sin的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得图象对应的函数解析式为(　　)
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
解析　将函数y＝sin的图象上所有的点向左平移个单位长度，可得y＝sin＝sin的图象，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得图象对应的函数解析式为y＝sin。故选B。
答案　B
考向二 三角函数的性质
微考向1：三角函数的单调性
【例2】　(2018·全国卷Ⅱ)若f(x)＝cosx－sinx在[－a，a]是减函数，则a的最大值是(　　)
A． B．
C． D．π
解析　解法一：因为f(x)＝cosx－sinx＝cos，且函数y＝cosx在区间[0，π]上单调递减，则由0≤x＋≤π，得－≤x≤，因为f(x)在[－a，a]上是减函数，所以所以0解法二：因为f(x)＝cosx－sinx，所以f′(x)＝－sinx－cosx，则由题意，知f′(x)＝－sinx－cosx≤0在[－a，a]上恒成立，即sinx＋cosx≥0，即sin≥0在[－a，a]上恒成立，结合函数y＝sin的图象可知有解得0答案　A



灵活运用“局部整体化”思想是处理好形如y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)，y＝Atan(ωx＋φ)(ω>0)的三角函数问题的关键。具体问题中，首先将“ωx＋φ”看作一个整体，然后活用相关三角函数的图象与性质求解。
变|式|训|练
1．函数f(x)＝sin2x＋2sinxcosx＋3cos2x在上的单调递增区间是(　　)
A． B．
C． D．
解析　f(x)＝sin2x＋2sinxcosx＋3cos2x＝sin2x＋1＋2cos2x＝sin2x＋cos2x＋2＝sin＋2。
解法一：令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，则kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，所以函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z，所以结合选项知函数f(x)在上的单调递增区间为。故选C。
解法二：因为x∈，所以2x＋∈，当<2x＋<时，函数f(x)单调递增，此时x∈。故选C。
答案　C
2．(2018·豫西南联考)已知函数f(x)＝－sin2ωx(ω>0)的图象关于点M对称，且在区间上是单调函数，则ω的值为________。
解析　因为函数f(x)＝－sin2ωx(ω>0)的图象关于点M对称，所以－sinω＝0，所以ω＝kπ，k∈Z，即ω＝k，k∈Z。又f(x)在区间上是单调函数，所以＝≥，即ω≤。又ω>0，所以ω的值为。
答案　
微考向2：三角函数的最值
【例3】　已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则(　　)
A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3
B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4
C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3
D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4
解析　易知f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝3cos2x＋1＝(2cos2x－1)＋＋1＝cos2x＋，则f(x)的最小正周期为π，当x＝kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值，最大值为4。故选B。
答案　B



求三角函数最值的两条基本思路：(1)将问题化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，结合三角函数的性质或图象求解；(2)将问题化为关于sinx或cosx的二次函数的形式，借助二次函数的性质或图象求解。
变|式|训|练
函数f(x)＝sin2x＋cosx－的最大值是________。
解析　f(x)＝sin2x＋cosx－＝1－cos2x＋cosx－＝－2＋1，cosx∈[0,1]，当cosx＝时，f(x)取得最大值1。
答案　1
微考向3：三角函数的奇偶性、周期性、对称性
【例4】　(1)已知f(x)＝2sin2x＋2sinxcosx，则f(x)的最小正周期和一个单调递减区间分别为(　　)
A．2π， B．π，
C．2π， D．π，
(2)设函数f(x)＝cos，则下列结论错误的是(　　)
A．f(x)的一个周期为－2π
B．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称
C．f(x＋π)的一个零点为x＝
D．f(x)在单调递减
解析　(1)f(x)＝2sin2x＋2sinxcosx＝1－cos2x＋sin2x＝sin＋1，则T＝＝π。由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，令k＝0得f(x)在上单调递减。故选B。
(2)函数f(x)＝cos的最小正周期为2π，所以－2π是函数f(x)的一个周期，A正确；当x＝时，x＋＝3π，所以f＝cos＝－1，即f(x)取得最小值，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，B正确；f(x＋π)＝cos＝cos，当x＝时，f＝cos＝cos＝0，C正确；当x∈时，x＋∈，f(x)在上不具有单调性。故选D。
答案　(1)B　(2)D


(1)判断对称中心与对称轴的方法
利用函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数图象与x轴的交点这一性质，通过检验f(x0)的值进行判断。
(2)求三角函数周期的常用结论
①y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为。
②正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期；正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个周期。
变|式|训|练
1．(2018·洛阳联考)已知函数f(x)＝sin(sinx)＋cos(sinx)，x∈R，则下列说法正确的是(　　)
A．函数f(x)是周期函数且最小正周期为π
B．函数f(x)是奇函数
C．函数f(x)在区间上的值域为[1，]
D．函数f(x)在上是增函数
解析　f(x)＝sin(sinx)＋cos(sinx)＝sin，因为f(π＋x)＝sin＝sin≠f(x)，所以π不是函数f(x)的最小正周期，故A错误；f(－x)＝sin＝sin≠－f(x)，故B错误；当x∈时，sinx∈[0,1]，sinx＋∈，所以sin∈，则sin∈[1，]，故C正确；当x∈时，sinx∈，sinx＋∈，而∈，所以函数f(x)在上不是单调函数，故D错误。故选C。
答案　C
2．(2018·江苏高考)已知函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则φ的值是______。
解析　由函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，得sin＝±1，因为－<φ<，所以<＋φ<，则＋φ＝，φ＝－。
答案　－

1．(考向一)(2018·武汉调研)将函数y＝sin2x的图象上的点P按向量a＝(m,0)(m>0)平移后得到点P′。若点P′在函数y＝sin的图象上，则(　　)
A．t＝，m的最小值为
B．t＝，m的最小值为
C．t＝，m的最小值为
D．t＝，m的最小值为
解析　由题可得P′，又P′在y＝sin的图象上，所以t＝sin，即t＝sin2m(m>0)，因为P在函数y＝sin2x的图象上，所以t＝，此时m的最小值为。故选C。
答案　C
2．(考向一)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为________。

解析　由题图可知A＝，
解法一：因为＝－＝，所以T＝π。故ω＝2，因此f(x)＝sin(2x＋φ)，又对应五点法作图中的第三个点，因此2×＋φ＝π，所以φ＝。故f(x)＝sin。
解法二：以为第二个“零点”，为最小值点，列方程组解得故f(x)＝sin。
答案　f(x)＝sin
3．(考向二)(2018·广州调研)将函数y＝2sin·sin的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，所得图象对应的函数恰为奇函数，则φ的最小值为(　　)
A． B．
C． D．
解析　由y＝2sinsin可得y＝2sincos＝sin，该函数的图象向左平移φ个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为g(x)＝sin＝sin，因为g(x)＝sin为奇函数，所以2φ＋＝kπ(k∈Z)，φ＝－(k∈Z)，又φ>0，故φ的最小值为。故选A。
答案　A
4．(考向二)(2018·吕梁一模)将函数f(x)＝2sin的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到g(x)的图象，若g(x1)g(x2)＝9，且x1，x2∈[－2π，2π]，则2x1－x2的最大值为(　　)
A． B．
C． D．
解析　f(x)向左平移个单位，得到2sin＝2sin，再向下平移一个单位，得到g(x)＝2sin－1，其最小值为－3，由于g(x1)·g(x2)＝9，故g(x1)＝g(x2)＝－3，也就是说x1，x2是g(x)的最小值点。要使2x1－x2取得最大值，即x1取最大值，x2取最小值。令2x＋＝2kπ－，2x＝2kπ－，x＝kπ－，令k＝2，得x1＝，令k＝－1，得x2＝－，所以2x1－x2的最大值为2·－＝。故选A。
答案　A
5．(考向二)(2018·濮阳一模)先将函数f(x)＝sinx的图象上的各点向左平移个单位，再将各点的横坐标变为原来的倍(其中ω∈N*)，得到函数g(x)的图象，若g(x)在区间上单调递增，则ω的最大值为________。
解析　g(x)＝sin在区间上单调递增，所以有即12k－4≤ω≤8k＋，k∈Z，由12k－4≤8k＋可得k≤，当k＝1时，ω∈，所以正整数ω的最大值是9。
答案　9
































































































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微专题2　三角恒等变换、解三角形
命 题 者 说

考 题 统 计 考 情 点 击
2018·全国卷Ⅱ·T6·解三角形 2018·全国卷Ⅱ·T15·三角恒等变换 2018·全国卷Ⅲ·T4·三角恒等变换 2018·全国卷Ⅲ·T9·解三角形 1.高考对此部分的考查一般以“二小”或“一大”的命题形式出现。 2.若无解答题，一般在选择题或填空题各有一题，主要考查三角恒等变换、解三角形，难度一般，一般出现在第4～9题或第13～15题位置上。 3.高考对本部分内容的考查主要从以下方面进行： (1)利用各种三角函数公式进行求值与化简，其中降幂公式、辅助角公式是考查的重点。 (2)利用正、余弦定理进行边和角、面积的计算，三角形形状的判定以及有关范围的计算，常与三角恒等变换综合考查。


考向一 三角恒等变换
微考向1：三角函数的定义
【例1】　(2018·北京高考)在平面直角坐标系中，，，，是圆x2＋y2＝1上的四段弧(如图)，点P在其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边。若tanα
A． B．
C． D．
解析　设点P的坐标为(x，y)，利用三角函数的定义可得0，所以P所在的圆弧是。故选C。
答案　C



当题设条件中出现直线与单位圆相交问题时，可根据三角函数的定义，求函数的解析式或者判断函数的图象，有时可以简化解题过程。
变|式|训|练
1．已知角α的终边经过点P(－x，－6)，且cosα＝－，则＋＝________。
解析　因为角α的终边经过点P(－x，－6)，且cosα＝－，所以cosα＝＝－，即x＝。所以P。所以sinα＝－。所以tanα＝＝，则＋＝－＋＝－。
答案　－
2．(2018·全国卷Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos2α＝，则|a－b|＝(　　)
A． B．
C． D．1
解析　由题意知cosα>0。因为cos2α＝2cos2α－1＝，所以cosα＝，sinα＝± ，得|tanα|＝。由题意知|tanα|＝，所以|a－b|＝。故选B。
答案　B
微考向2：三角函数求角
【例2】　(1)已知α为锐角，若cos＝，则cos＝________。
(2)已知sinα＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则角β等于(　　)
A．　　　 B．　　　
C．　　　 D．
解析　(1)因为α为锐角，cos＝>0，所以α＋为锐角，sin＝，而cos＝cos＝cos＝sin2＝2sincos＝2××＝。所以cos＝。
(2)因为α，β均为锐角，所以－<α－β<。又sin(α－β)＝－，所以cos(α－β)＝，又sinα＝，所以cosα＝，所以sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝×－×＝。所以β＝，故选C。
答案　(1)　(2)C



(1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现张冠李戴的情况。
(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解。
变|式|训|练
1．(2018·全国卷Ⅲ)若sina＝，则cos2a＝(　　)
A． B．
C．－ D．－
解析　cos2α＝1－2sin2α＝1－＝。故选B。
答案　B
2．(2018·全国卷Ⅱ)已知sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，则sin(α＋β)＝________。
解析　因为sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，所以sin2α＋cos2β＋2sinαcosβ＝1　①，cos2α＋sin2β＋2cosαsinβ＝0　②，①＋②得sin2α＋cos2α＋sin2β＋cos2β＋2(sinαcosβ＋cosαsinβ)＝1，所以sin(α＋β)＝－。
答案　－
考向二 解三角形
微考向1：利用正、余弦定理进行边角计算
【例3】　(1)(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝(　　)
A．4 B．
C． D．2
(2)(2018·陕西二模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知＝1－，且b＝5，·＝5，则△ABC的面积为________。
解析　(1)因为cosC＝2cos2－1＝2×2－1＝－，所以c2＝a2＋b2－2abcosC＝1＋25－2×1×5×＝32，所以c＝4。故选A。
(2)由＝1－及正弦定理可得＝1－化简可得b2＋c2－a2＝bc，由余弦定理可得cosA＝，故A＝。又·＝5，即bccosA＝5，故bc＝10，所以△ABC的面积为bcsinA＝。
答案　(1)A　(2)



利用正、余弦定理解三角形的思路
(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则考虑两个定理都有可能用到。
(2)关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角恒等变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”。
变|式|训|练
1．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝，则B＝(　　)
A． B．
C． D．
解析　由＝?＝?a2＋c2－b2＝ac?cosB＝＝。因为0答案　C
2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c。若bsinA＋acosB＝0，且ac＝4，则△ABC的面积为(　　)
A． B．3
C．2 D．4
解析　由bsinA＋acosB＝0，得sinBsinA＋sinA·cosB＝0，因为sinA≠0，所以tanB＝－，所以B＝120°，所以△ABC的面积为acsinB＝×4×＝3。故选B。
答案　B
微考向2：几何图形中的边角计算
【例4】如图，在四边形ABCD中，∠ABD＝45°，∠ADB＝30°，BC＝1，DC＝2，cos∠BCD＝，则BD＝________；三角形ABD的面积为________。

解析　在△BCD中，由余弦定理可得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos∠BCD＝1＋4－2×1×2×＝4，则BD＝2。在△ABD中，∠BAD＝180°－30°－45°＝105°，sin105°＝sin(45°＋60°)＝×＋×＝，由正弦定理可得AD＝＝＝2(－1)，则S△ABD＝×2(－1)×2×sin30°＝－1，故BD＝2，△ABD的面积为－1。
答案　2　－1



几何图形中的边、角计算一般要把几何图形分解为若干三角形，在三角形中利用正、余弦定理解决。
变|式|训|练
(2018·成都诊断)如图，在直角梯形ABDE中，已知∠ABD＝∠EDB＝90°，C是BD上一点，AB＝3－，∠ACB＝15°，∠ECD＝60°，∠EAC＝45°，则线段DE的长度为________。

解析　易知∠ACE＝105°，∠AEC＝30°，在直角三角形ABC中，AC＝，在三角形AEC中，＝?CE＝，在直角三角形CED中，DE＝CEsin60°，所以DE＝CEsin60°＝×＝×＝6。
答案　6
微考向3：三角形中的最值与范围问题
【例5】　(1)在锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若满足(a－b)(sinA＋sinB)＝(c－b)sinC，且a＝，则b2＋c2的取值范围是(　　)
A．(5,6] B．(3,5)
C．(3,6] D．[5,6]
(2)已知点O是△ABC的内心，∠BAC＝60°，BC＝1，则△BOC面积的最大值为________。
解析　(1)因为(a－b)(sinA＋sinB)＝(c－b)sinC，所以由正弦定理可得(a－b)(a＋b)＝(c－b)c，可化为b2＋c2－a2＝bc，所以由余弦定理可得cosA＝＝＝。因为A∈，所以A＝，又因为a＝，所以由正弦定理可得＝＝＝2，所以b2＋c2＝(2sinB)2＋2＝3＋2sin2B＋sin2B＝4＋2sin。因为B∈，所以2B－∈，所以sin∈，所以b2＋c2∈(5,6]。故选A。
(2)因为O是△ABC的内心，∠BAC＝60°，所以∠BOC＝180°－＝120°，由余弦定理可得BC2＝OC2＋OB2－2OC·OB·cos120°，即OC2＋OB2＝1－OC·OB。又OC2＋OB2≥2OC·OB(当且仅当OC＝OB时，等号成立)，所以OC·OB≤，所以S△BOC＝OC·OB·sin120°≤，则△BOC面积的最大值为。
答案　(1)A　(2)



解三角形中的最值与范围问题主要有两种解决方法：一是利用基本不等式求得最大值或最小值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围确定所求式的范围。
变|式|训|练
在△ABC中，M是BC的中点，BM＝2，AM＝AB－AC，则△ABC的面积的最大值为(　　)
A．2 B．2
C．3 D．3
解析　设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c。在△ABM中，由余弦定理得cosB＝，在△ABC中，由余弦定理得cosB＝，所以＝，即b2＋c2＝4bc－8，所以cosA＝，所以sinA＝ ，所以S△ABC＝bcsinA＝，所以当bc＝8时，S△ABC取得最大值2。故选B。
答案　B


1．(考向一)如图，角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点A(x1，y1)，角β＝α＋的终边与单位圆交于点B(x2，y2)，记f(α)＝y1－y2。若角α为锐角，则f(α)的取值范围是________。

解析　由题意可知y1＝sinα，y2＝sinβ＝sin，所以f(α)＝y1－y2＝sinα－sin＝sinα＋sinα－cosα＝sinα－cosα＝sin。又因为α为锐角，即0<α<，所以－<α－<，所以－答案　
2．(考向一)已知tan(α＋β)＝，tan＝，则的值为(　　)
A． B．
C． D．
解析　tan(α＋β)＝，tan＝，则＝＝tan＝tan＝＝＝。故选D。
答案　D
3．(考向二)如图所示，在△ABC中，C＝，BC＝4，点D在边AC上，AD＝DB，DE⊥AB，E为垂足，若DE＝2，则cosA＝(　　)

A． B．
C． D．
解析　因为AD＝DB，所以A＝∠ABD，所以∠BDC＝2A。设AD＝BD＝x。在△BCD中，由＝，可得＝①。在△AED中，由＝，可得＝②。联立①②可得＝，解得cosA＝。故选A。
答案　A
4．(考向二)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a2＋b2＝2c2，则角C的取值范围是________。
解析　因为a2＋b2＝2c2≥2ab(当且仅当a＝b时等号成立)，所以c2≥ab，所以由余弦定理可得cosC＝＝≥＝，又因为C∈(0，π)，所以C∈。
答案　
5．(考向二)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若＝sinC，且c＝2，则a＋b的最大值为________。
解析　因为＝sinC，所以＝sinC＝2cosC，可得tanC＝。由C∈(0，π)，得C＝，所以＝＝＝4，所以a＝4sinA，b＝4sinB，则a＋b＝4sinA＋4sin＝4sin。因为A∈，所以A＋∈，所以sin∈，所以a＋b≤4，当A＝时取等号。
答案　4

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