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第六讲　解析几何
微专题1　直线与圆
命 题 者 说
考 题 统 计 考 情 点 击
2018·全国卷Ⅲ·T6·直线与圆位置关系的应用 2018·北京高考·T7·点到直线距离的最值 2017·全国卷Ⅲ·T10·直线与圆的位置关系 2016·全国卷Ⅱ·T4·圆的方程、点到直线的距离 　1.圆的方程近两年为高考全国课标卷命题的热点，需重点关注。此类试题难度中等偏下，多以选择题或填空题形式呈现。2.直线与圆的方程偶尔单独命题，单独命题时有一定的深度，对直线与圆的方程(特别是直线)的考查主要体现在圆锥曲线的综合问题上。


考向一 直线的方程
【例1】　(1)已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与直线l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是(　　)
A．1或3 B．1或5
C．3或5 D．1或2
(2)在△ABC中，A(1,1)，B(m，)(1A． B．
C． D．
解析　(1)当k＝4时，直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率存在，所以两直线不平行；当k≠4时，两直线平行的一个必要条件是＝k－3，解得k＝3或k＝5；但必须满足≠(截距不等)才是充要条件，经检验知满足这个条件。故选C。
(2)由两点间距离公式可得|AC|＝，直线AC的方程为x－3y＋2＝0，所以点B到直线AC的距离d＝，从而△ABC的面积S＝|AC|d＝|m－3＋2|＝，又1答案　(1)C　(2)B

直线方程应用的两个关注点
(1)求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的情况。
(2)求直线方程时应根据条件选择合适的方程形式，同时要考虑直线斜率不存在的情况是否符合题意。
变|式|训|练
1．(2018·江门模拟)已知三条直线l1：4x＋y＝1，l2：x－y＝0，l3：2x－my＝3，若l1关于l2对称的直线与l3垂直，则实数m的值是(　　)
A．－8　　　 B．－
C．8　　　 　 D．
解析　易知直线l1：4x＋y＝1关于直线l2：x－y＝0对称的直线方程为x＋4y＝1，又l3：2x－my＝3。故由题意得1×2＋4×(－m)＝0，所以m＝。故选D。
答案　D
2．(2018·河南名校联考)已知m，n，a，b∈R，且满足3m＋4n＝6,3a＋4b＝1，则的最小值为(　　)
A．　　　　 B．
C．1　　　 　 D．
解析　此题可理解为点A(m，n)和点B(a，b)分别在直线l1：3x＋4y＝6与l2：3x＋4y＝1上，求A、B两点距离的最小值，|AB|＝，因为l1∥l2，所以|AB|min＝＝1。故选C。
答案　C
考向二 圆的方程
【例2】　(1)(2018·珠海联考)已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的标准方程为(　　)
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2
B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
C．(x－1)2＋(y－1)2＝2
D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
(2)(2018·贵阳摸底)过点M(2,2)的直线l与坐标轴的正方向分别相交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积为8，则△OAB外接圆的标准方程是________。
解析　(1)由题意设圆心坐标为(a，－a)，则有＝，即|a|＝|a－2|，解得a＝1。故圆心坐标为(1，－1)，半径r＝＝，所以圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2。故选B。
(2)解法一：设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)，由直线l过点M(2,2)，得＋＝1，又S△OAB＝ab＝8，所以a＝4，b＝4，不妨设A(4,0)，B(0,4)，△OAB外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则将O，A，B的坐标分别代入得解得所以△OAB外接圆的方程为x2＋y2－4x－4y＝0，标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝8。
解法二：设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)，由直线l过点M(2,2)，得＋＝1。又S△OAB＝ab＝8，所以a＝4，b＝4，所以△OAB是等腰直角三角形，且M是斜边AB的中点，则△OAB外接圆的圆心是点M(2,2)，半径|OM|＝2，所以△OAB外接圆的标准方程是(x－2)2＋(y－2)2＝8。
答案　(1)B　(2)(x－2)2＋(y－2)2＝8

求圆的方程的两种方法
(1)几何法：通过已知条件，利用相应的几何知识求圆的圆心，半径。
(2)代数法：用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数。
变|式|训|练
1．抛物线y2＝4x与过其焦点且垂直于x轴的直线相交于A，B两点，其准线与x轴的交点为M，则过M，A，B三点的圆的标准方程为________。
解析　由题意知，A(1,2)，B(1，－2)，M(－1,0)，△AMB是以点M为直角顶点的直角三角形，则线段AB是所求圆的直径，故所求圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝4。
答案　(x－1)2＋y2＝4
2．在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________。
解析　解法一：由题意得：半径等于＝＝≤ ≤，当且仅当m＝1时取等号，所以半径最大为r＝，所求圆为(x－1)2＋y2＝2。
解法二：直线mx－y－2m－1＝0，y＝m(x－2)－1恒过点M(2，－1)，如图，设C(1,0)，则M为切点时半径最大，且rmax＝|CM|＝＝，所以半径最大的圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2。

答案　(x－1)2＋y2＝2
考向三 直线与圆的位置关系
微考向1：直线与圆的相交弦
【例3】　(1)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点，若|MN|＝，则直线l的方程为________。
(2)设直线x－y－a＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，O为坐标原点，若△AOB为等边三角形，则实数a的值为(　　)
A．±　 　B．± C．±3　　 　D．±9
解析　(1)直线l的方程为y＝kx＋1，圆心C(2,3)到直线l的距离d＝＝，由R2＝d2＋2得1＝＋，解得k＝2或，所求直线l的方程为y＝2x＋1或y＝x＋1。
(2)由题意知：圆心坐标为(0,0)，半径为2，则△AOB的边长为2，所以△AOB的高为，即圆心到直线x－y－a＝0的距离为，所以＝，解得a＝±。故选B。
答案　(1)y＝2x＋1或y＝x＋1　(2)B

(1)直线(圆)与圆位置关系问题的求解思路
研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离和半径的比较实现，两个圆的位置关系的判断依据是两圆心距离与两半径差与和的比较。
(2)弦长的求解方法
①根据半径，弦心距，半弦长构成的直角三角形，构成三者间的关系r2＝d2＋(其中l为弦长，r为圆的半径，d为圆心到直线的距离)，弦长l＝2。
②根据公式：l＝|x1－x2|求解(其中l为弦长，x1，x2为直线与圆相交所得交点的横坐标，k为直线的斜率)，或根据l＝|y1－y2|求解。
③求出交点坐标，用两点间距离公式求解。
变|式|训|练
(2018·合肥一模)设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0,3)，且与圆C交于A，B两点，若|AB|＝2，则直线l的方程为(　　)
A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0
B．3x＋4y－12＝0或x＝0
C．4x－3y＋9＝0或x＝0
D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0
解析　当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，圆心到直线l的距离为d＝1，所以|AB|＝2＝2，符合题意。当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋3，因为圆x2＋y2－2x－2y－2＝0即(x－1)2＋(y－1)2＝4，所以圆心为C(1,1)，圆的半径r＝2，易知圆心C(1,1)到直线y＝kx＋3的距离d＝＝，因为d2＋2＝r2，所以＋3＝4，解得k＝－，所以直线l的方程为y＝－x＋3，即3x＋4y－12＝0。综上，直线l的方程为3x＋4y－12＝0或x＝0。故选B。
答案　B
微考向2：直线与圆位置关系的应用
【例4】　(1)(2018·全国卷Ⅲ)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是(　　)
A．[2,6] B．[4,8]
C．[，3] D．[2，3]
(2)(2018·北京高考)在平面直角坐标系中，记d为点P(cosθ，sinθ)到直线x－my－2＝0的距离。当θ，m变化时，d的最大值为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析　(1)因为直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点。所以A(－2,0)，B(0，－2)，则|AB|＝2。因为点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，所以圆心为(2,0)，则圆心到直线的距离d1＝＝2。故点P到直线x＋y＋2＝0的距离d2的取值范围为[，3]。则S△ABP＝|AB|d2＝d2∈[2,6]。故选A。

(2)解法一：因为cos2θ＋sin2θ＝1，所以P点的轨迹是以原点为圆心的单位圆，又x－my－2＝0表示过点(2,0)且斜率不为0的直线，如图，可得点(－1,0)到直线x＝2的距离即为d的最大值。故选C。
解法二：由题意可得
d＝＝
＝
＝
，因为－1≤sin(θ－φ)≤1，所以≤d≤，＝1＋，所以当m＝0时，d取最大值3。故选C。
答案　(1)A　(2)C

利用圆的图形特征求解有关距离的最值问题往往比一些常规的方法简单、便捷。
变|式|训|练
1．(2018·太原五中模拟)已知k∈R，点P(a，b)是直线x＋y＝2k与圆x2＋y2＝k2－2k＋3的公共点，则ab的最大值为(　　)
A．15 B．9
C．1 D．－
解析　由题意得，圆心到直线x＋y＝2k的距离d＝≤，且k2－2k＋3>0，解得－3≤k≤1，因为2ab＝(a＋b)2－(a2＋b2)＝4k2－(k2－2k＋3)＝3k2＋2k－3，所以当k＝－3时，ab取得最大值9。故选B。
答案　B
2．(2018·山西晋中二模)由直线y＝x＋1上的一点P向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为______。
解析　设圆心M到直线y＝x＋1的距离为d，则d＝＝2，所以|PM|的最小值为2。所以切线长l＝≥＝。则切线长的最小值为。
答案　

1．(考向一)已知直线l1：ax＋(a＋2)y＋1＝0，l2：x＋ay＋2＝0，其中a∈R，则“a＝－3”是“l1⊥l2”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析　直线l1⊥l2的充要条件是a＋(a＋2)a＝0，所以a(a＋3)＝0，所以a＝0或a＝－3。故选A。
答案　A
2．(考向二)(2018·安徽“江南十校”联考)已知圆C的圆心在直线x＋y＝0上，圆C与直线x－y＝0相切，且在直线x－y－3＝0上截得的弦长为，则圆C的方程为________。
解析　因为所求圆的圆心在直线x＋y＝0上，所以设所求圆的圆心为(a，－a)。又因为所求圆与直线x－y＝0相切，所以半径r＝＝|a|。又所求圆在直线x－y－3＝0上截得的弦长为，圆心(a，－a)到直线x－y－3＝0的距离d＝，所以d2＋2＝r2，即＋＝2a2，解得a＝1，所以圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2。
答案　(x－1)2＋(y＋1)2＝2
3．(考向三)(2018·郑州外国语中学调研)已知圆C1：(x＋2a)2＋y2＝4和圆C2：x2＋(y－b)2＝1只有一条公切线，若a，b∈R且ab≠0，则＋的最小值为(　　)
A．2　　　 　 B．4
C．8　　　 　 D．9
解析　由题意可知，圆C1的圆心为(－2a,0)，半径为2，圆C2的圆心为(0，b)，半径为1，因为两圆只有一条公切线，所以两圆内切，所以＝2－1，即4a2＋b2＝1。所以＋＝·(4a2＋b2)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，且4a2＋b2＝1，即a2＝，b2＝时等号成立，所以＋的最小值为9。故选D。
答案　D
4．(考向三)(2018·南宁、柳州联考)过点(，0)作直线l与曲线y＝相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于______。
解析　

令P(，0)，如图，易知|OA|＝|OB|＝1，所以S△AOB＝|OA|·|OB|·sin∠AOB＝sin∠AOB≤，当∠AOB＝90°时，△AOB的面积取得最大值，此时过点O作OH⊥AB于点H，则|OH|＝，于是sin∠OPH＝＝＝，易知∠OPH为锐角，所以∠OPH＝30°，则直线AB的倾斜角为150°，故直线AB的斜率为tan150°＝－。
答案　－
5．(考向三)某学校有2 500名学生，其中高一1 000人，高二900人，高三600人，为了了解学生的身体健康状况，采用分层抽样的方法，若从本校学生中抽取100人，从高一和高三抽取样本数分别为a，b，且直线ax＋by＋8＝0与以A(1，－1)为圆心的圆交于B，C两点，且∠BAC＝120°，则圆C的方程为________。
解析　由题意，＝＝，所以a＝40，b＝24，所以直线ax＋by＋8＝0，即5x＋3y＋1＝0，A(1，－1)到直线的距离为＝，因为直线ax＋by＋8＝0与以A(1，－1)为圆心的圆交于B，C两点，且∠BAC＝120°，所以r＝，所以圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝。
答案　(x－1)2＋(y＋1)2＝






























































































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微专题2　椭圆、双曲线、抛物线
命 题 者 说
考 题 统 计 考 情 点 击
2018·全国卷Ⅰ·T8·直线与抛物线位置关系 2018·全国卷Ⅰ·T11·双曲线的几何性质 2018·全国卷Ⅱ·T5·双曲线的渐近线 2018·全国卷Ⅱ·T12·椭圆的离心率 2018·全国卷Ⅲ·T11·双曲线的离心率 圆锥曲线的定义、方程与性质是每年高考必考的内容。以选择、填空题的形式考查，常出现在第4～11或15～16题的位置，着重考查圆锥曲线的几何性质与标准方程，难度中等。


考向一 圆锥曲线的定义与标准方程
【例1】　(1)(2018·衡水中学五调)设F1、F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|－|PF1|的最小值为________。
(2)(2018·天津高考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点。设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为(　　)
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
解析　(1)由椭圆的方程可知F2(3,0)，由椭圆的定义可得|PF1|＝2a－|PF2|。所以|PM|－|PF1|＝|PM|－(2a－|PF2|)＝|PM|＋|PF2|－2a≥|MF2|－2a，当且仅当M，P，F2三点共线时取得等号，又|MF2|＝＝5,2a＝10，所以|PM|－|PF1|≥5－10＝－5，即|PM|－|PF1|的最小值为－5。
(2)由d1＋d2＝6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以b＝3。因为双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，所以＝2，所以＝4，所以＝4，解得a2＝3，所以双曲线的方程为－＝1。故选C。
答案　(1)－5　(2)C

(1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意当焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式。
(2)求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型，后计算”。所谓“定型”，就是指确定类型，所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值，最后代入写出椭圆、双曲线、抛物线的标准方程。
变|式|训|练
1．已知双曲线－y2＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线上，且满足|PF1|＋|PF2|＝2，则△PF1F2的面积为(　　)
A．1 B．
C． D．
解析　在双曲线－y2＝1中，a＝，b＝1，c＝2。不妨设P点在双曲线的右支上，则有|PF1|－|PF2|＝2a＝2，又|PF1|＋|PF2|＝2，所以|PF1|＝＋，|PF2|＝－。又|F1F2|＝2c＝4，而|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，所以PF1⊥PF2，所以S△PF1F2＝×|PF1|×|PF2|＝×(＋)×(－)＝1。故选A。
答案　A
2．(2018·昆明调研)过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F且倾斜角为锐角的直线l与C交于A，B两点，过线段AB的中点N且垂直于l的直线与C的准线交于点M，若|MN|＝|AB|，则l的倾斜角为(　　)
A．15° B．30°
C．45° D．60°
解析　分别过A，B，N作抛物线的准线的垂线，垂足分别为A′，B′，C，由抛物线的定义知|AF|＝|AA′|，|BF|＝|BB′|，|NC|＝(|AA′|＋|BB′|)＝|AB|，因为|MN|＝|AB|，所以|NC|＝|MN|，所以∠MNC＝60°，即直线MN的倾斜角为120°，又直线MN与直线l垂直且直线l的倾斜角为锐角，所以直线l的倾斜角为30°。故选B。
答案　B
考向二 圆锥曲线的几何性质
微考向1：圆锥曲线的简单几何性质
【例2】　(1)已知双曲线C1：－y2＝1与双曲线C2：－y2＝－1，给出下列说法，其中错误的是(　　)
A．它们的焦距相等
B．它们的焦点在同一个圆上
C．它们的渐近线方程相同
D．它们的离心率相等
(2)(2018·福州联考)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别作双曲线的两条渐近线的平行线，若这4条直线所围成的四边形的周长为8b，则该双曲线的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±2x
解析　(1)由题意知C2：y2－＝1，则两双曲线的焦距相等且2c＝2，焦点都在圆x2＋y2＝3上，其实为圆与坐标轴的交点。渐近线方程都为y＝±x。由于实轴长度不同，故离心率e＝不同。故选D。
(2)由双曲线的对称性得该四边形为菱形，因为该四边形的周长为8b，所以菱形的边长为2b，由勾股定理得4条直线与y轴的交点到x轴的距离为＝，又4条直线分别与两条渐近线平行，所以＝，解得a＝b，所以该双曲线的渐近线的斜率为±1，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x。故选A。
答案　(1)D　(2)A

(1)椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系
在椭圆中：a2＝b2＋c2，离心率为e＝＝ ；在双曲线中：c2＝a2＋b2，离心率为e＝＝ 。
(2)双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x。注意离心率e与渐近线的斜率的关系。
变|式|训|练
1．已知双曲线－x2＝1的两条渐近线分别与抛物线y2＝2px(p>0)的准线交于A，B两点，O为坐标原点。若△OAB的面积为1，则p的值为(　　)
A．1 B．
C．2 D．4
解析　双曲线的两条渐近线方程为y＝±2x，抛物线的准线方程为x＝－，故A，B两点的坐标为，|AB|＝2p，所以S△OAB＝·2p·＝＝1，因为p>0，解得p＝，故选B。
答案　B
2．(2018·武汉调研)已知双曲线C：－＝1(m>0，n>0)的离心率与椭圆＋＝1的离心率互为倒数，则双曲线C的渐近线方程为(　　)
A．4x±3y＝0
B．3x±4y＝0
C．4x±3y＝0或3x±4y＝0
D．4x±5y＝0或5x±4y＝0
解析　由题意知，椭圆中a＝5，b＝4，所以椭圆的离心率e＝＝，所以双曲线的离心率为＝，所以＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，即4x±3y＝0。故选A。
答案　A
微考向2：离心率问题
【例3】　(2018·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为(　　)
A． B．
C． D．
解析　

由题意可得椭圆的焦点在x轴上，如图所示，设|F1F2|＝2c，因为△PF1F2为等腰三角形，且∠F1F2P＝120°，所以|PF2|＝|F1F2|＝2c。因为|OF2|＝c，所以点P坐标为(c＋2ccos60°，2csin60°)，即点P(2c，c)。因为点P在过A且斜率为的直线上，所以＝，解得＝，所以e＝，故选D。
答案　D

椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求法
求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求的值。
变|式|训|练
1．(2018·广州调研)在直角坐标系xOy中，设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，P为双曲线C的右支上一点，且△OPF为正三角形，则双曲线C的离心率为(　　)
A． B．
C．1＋ D．2＋
解析　解法一：设F′为双曲线的左焦点，|F′F|＝2c，依题意可得|PO|＝|PF|＝c，连接PF′，由双曲线的定义可得|PF′|－|PF|＝2a，故|PF′|＝2a＋c，在△PF′O中，∠POF′＝120°，由余弦定理可得cos120°＝，化简可得c2－2ac－2a2＝0，即2－2×－2＝0，解得＝1＋或＝1－(不合题意，舍去)，故双曲线的离心率e＝1＋。故选C。

解法二：依题意|OP|＝|OF′|＝c＝|PF|，又△OPF为正三角形，所以∠F′OP＝120°，所以|PF′|＝c，又|PF′|－|PF|＝2a＝c－c，所以e＝＝＝＋1。故选C。
答案　C
2．(2018·豫南九校联考)已知两定点A(－1,0)和B(1,0)，动点P(x，y)在直线l：y＝x＋3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为(　　)
A． B．
C． D．
解析　解法一：不妨设椭圆方程为＋＝1(a>1)，与直线l的方程联立得消去y得(2a2－1)x2＋6a2x＋10a2－a4＝0，由题意易知Δ＝36a4－4(2a2－1)(10a2－a4)≥0，解得a≥，所以e＝＝≤，所以e的最大值为。故选A。

解法二：若求椭圆C的离心率的最大值，因为c＝1，e＝，所以只需求a的最小值。因为P在椭圆上，依定义得|PA|＋|PB|＝2a，而A(－1,0)关于直线l：y＝x＋3的对称点为A′(－3,2)，所以|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|＝2，即2a≥2，所以a≥，所以emax＝＝。故选A。
答案　A
考向三 直线与圆锥曲线的位置关系
【例4】　(2018·全国卷Ⅲ)已知点M(－1,1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点。若∠AMB＝90°，则k＝________。
解析　解法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则所以y－y＝4(x1－x2)，所以k＝＝，取AB中点M′(x0，y0)，分别过点A，B作准线x＝－1的垂线，垂足分别为A′，B′。因为∠AMB＝90°，所以|MM′|＝|AB|＝(|AF|＋|BF|)＝(|AA′|＋|BB′|)。因为M′为AB的中点，所以MM′平行于x轴，因为M(－1,1)，所以y0＝1，则y1＋y2＝2，即k＝2。
解法二：由题意知抛物线的焦点为(1,0)，则过C的焦点且斜率为k的直线方程为y＝k(x－1)(k≠0)，由消去y得k2(x－1)2＝4x，即k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝1。由消去x得y2＝4，即y2－y－4＝0，则y1＋y2＝，y1y2＝－4，由∠AMB＝90°，得·＝(x1＋1，y1－1)·(x2＋1，y2－1)＝x1x2＋x1＋x2＋1＋y1y2－(y1＋y2)＋1＝0，将x1＋x2＝，x1x2＝1与y1＋y2＝，y1y2＝－4代入，得k＝2。
答案　2

将直线方程代入圆锥曲线方程得到一元二次方程，利用根与系数的关系可以解决有关相交问题、弦长问题、中点问题等，有时也可采用设而不求的方法即点差法。
变|式|训|练
1．(2018·潍坊统考)已知抛物线y2＝4x与直线2x－y－3＝0相交于A，B两点，O为坐标原点，设OA，OB的斜率分别为k1，k2，则＋的值为(　　)
A．－ B．－
C． D．
解析　设A，B，易知y1y2≠0，则k1＝，k2＝，所以＋＝，将x＝代入y2＝4x，得y2－2y－6＝0，所以y1＋y2＝2，＋＝。故选D。
答案　D
2．(2018·常德一模)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F的直线l交抛物线C于A，B两点，弦AB的中点M到抛物线C的准线的距离为5，则直线l的斜率为(　　)
A．± B．±1
C．± D．±
解析　由题意知直线l的斜率存在且不为零，设直线l的方程为y＝k(x－1)，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)。由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，所以x1＋x2＝。又因为弦AB的中点M到抛物线C的准线的距离为5，所以＋＝＋1＝5，所以x1＋x2＝＝8，解得k2＝，所以k＝±。故选C。
答案　C

1．(考向一)(2018·惠州调研)设F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则的值为(　　)
A．　　　　B． C．　　　　D．
解析　

如图，设线段PF1的中点为M，因为O是F1F2的中点，所以OM∥PF2，可得PF2⊥x轴，可求得|PF2|＝，|PF1|＝2a－|PF2|＝，＝。故选D。
答案　D
2．(考向一)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为(　　)
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
解析　由y＝x，可得＝。　①由椭圆＋＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，可得a2＋b2＝9。　②由①②可得a2＝4，b2＝5。所以C的方程为－＝1。故选B。
答案　B
3．(考向二)(2018·贵阳摸底)椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点为A，右焦点为F，过点F且垂直于x轴的直线交C于P，Q两点，若cos∠PAQ＝，则椭圆C的离心率e为(　　)
A．　　　　 B．
C．　　　　 D．
解析　解法一：根据题意可取P，Q，所以tan∠PAF＝＝＝＝＝1－e，cos∠PAQ＝cos2∠PAF＝cos2∠PAF－sin2∠PAF＝＝＝＝，故5－5(1－e)2＝3＋3(1－e)2?8(1－e)2＝2?(1－e)2＝。又椭圆的离心率e的取值范围为(0,1)，所以1－e＝，e＝。故选A。
解法二：设∠PAF＝α，则cos∠PAQ＝cos2α＝，cos2α＝＝，cosα＝，所以sinα＝，所以tanα＝＝，所以a(a＋c)＝2b2＝2(a2－c2)，2c2＋ac－a2＝0,2e2＋e－1＝0，解得e＝。故选A。

答案　A
4．(考向二)(2018·洛阳统考)过椭圆＋＝1上一点H作圆x2＋y2＝2的两条切线，A，B为切点。过A，B的直线l与x轴，y轴分别交于P，Q两点，则△POQ(O为坐标原点)的面积的最小值为(　　)
A． B．
C．1 D．
解析　依题意，设H(3cosθ，2sinθ)(sinθcosθ≠0)，由题意知H，A，O，B四点共圆，故以OH为直径的圆的方程为x(x－3cosθ)＋y(y－2sinθ)＝0，即x2＋y2－3xcosθ－2ysinθ＝0，所以两圆方程相减得公共弦AB所在直线的方程为3xcosθ＋2ysinθ－2＝0，所以P，Q，所以S△POQ＝××＝×≥×1＝。故选B。
答案　B
5．(考向三)(2018·郑州质检)设抛物线y2＝4x的焦点为F，过点M(，0)的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于C点，|BF|＝3，则△BCF与△ACF的面积之比＝(　　)
A． B．
C． D．
解析　设点A在第一象限，点B在第四象限，A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为x＝my＋。由y2＝4x得p＝2，因为|BF|＝3＝x2＋＝x2＋1，所以x2＝2，则y＝4x2＝4×2＝8，所以y2＝－2，由得y2－4my－4＝0，由根与系数的关系，得y1y2＝－4，所以y1＝，由y＝4x1，得x1＝。过点A作AA′垂直于准线x＝－1，垂足为A′，过点B作BB′垂直于准线x＝－1，垂足为B′，易知△CBB′∽△CAA′，所以＝＝。又|BB′|＝|BF|＝3，|AA′|＝x1＋＝＋1＝，所以＝＝。故选D。
答案　D

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