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第七讲　函数与导数
微专题1　函数的图象与性质
命 题 者 说
考 题 统 计 考 情 点 击
2018·全国卷Ⅱ·T3·函数的图象 2018·全国卷Ⅱ·T11·函数的奇偶性、周期性、对称性 2018·全国卷Ⅲ·T7·函数的图象 1.高考对此部分内容的命题多集中于函数的概念、函数的性质及分段函数等方面，多以选择、填空题形式考查，难度一般。主要考查函数的定义域，分段函数求值或分段函数中参数的求解及函数图象的判断。 2.此部分内容有时出现在选择、填空题压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题结合命题，难度较大。

考向一 函数的概念及其表示
【例1】　(1)(2018·重庆调研)函数y＝log2(2x－4)＋的定义域是(　　)
A．(2,3) B．(2，＋∞)
C．(3，＋∞) D．(2,3)∪(3，＋∞)
(2)(2018·石家庄模拟)已在f (x)＝(0A．－2　　　B．2 C．3　　　　D．－3
解析　(1)由题意，得解得x>2且x≠3，所以函数y＝log2(2x－4)＋的定义域为(2,3)∪(3，＋∞)。故选D。
(2)由题意得，f (－2)＝a－2＋b＝5　①，f (－1)＝a－1＋b＝3　②，联立①②，结合0答案　(1)D　(2)B

(1)函数定义域的求法
求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可。
(2)分段函数问题常见类型及解题策略
①求函数值：弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算。②求函数最值：分别求出每个区间上的最值，然后比较大小。③解不等式：根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提。④求参数：“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程。
变|式|训|练
1．函数f (x)＝的定义域是(　　)
A．(－1，＋∞) B．[－1，＋∞)
C．[－1,2)∪(2，＋∞) D．(－1,2)∪(2，＋∞)
解析　要使f (x)＝有意义，需使即所以函数f (x)的定义域为(－1，2)∪(2，＋∞)。故选D。
答案　D
2．若函数f (x)＝(a>0且a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是________。
解析　当x≤2时，y＝x2－4x＋8＝(x－2)2＋4≥4，符合条件；所以只需使y＝2＋logax(x>2)的值域是[4，＋∞)的子集，即其最小值ymin≥4，故当a>1时，ymin＝2＋loga2≥4，即loga2≥2，解得1答案　(1，]
考向二 函数的图象及应用
微考向1：函数图象的识别(基础型)
【例2】　(2018·全国卷Ⅱ)函数f (x)＝的图象大致为(　　)

解析　因为x≠0，f (－x)＝＝－f (x)，所以f (x)为奇函数，排除A；因为f (1)＝e－e－1>0，所以排除D；x→＋∞时，y→＋∞，所以排除C。故选B。
答案　B

辨识函数图象的两种方法
(1)直接根据函数解析式作出函数图象，或者是根据图象变换作出函数的图象。
(2)利用间接法排除、筛选错误与正确的选项，可以从如下几个方面入手：
①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置。
②从函数的单调性，判断图象的变化趋势。
③从函数的奇偶性，判断图象的对称性：如奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反。
④从函数的周期性，判断图象的循环往复。
⑤从特殊点出发，排除不符合要求的选项。灵活应用上述方法，可以很快判断出函数的图象。
变|式|训|练
(2018·湘东五校联考)函数f (x)＝cosx的图象的大致形状是(　　)

解析　因为f (x)＝cosx，所以f (－x)＝cos(－x)＝－cosx＝－f (x)，所以函数f (x)为奇函数，其图象关于原点对称，可排除A、C，又当x∈时，ex>e0＝1，－1<0，cosx>0，所以f (x)<0，可排除D。故选B。
答案　B
微考向2：函数图象的应用(应用型)
【例3】　已知函数f (x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－x2＋x，x≤1，,logx，x>1，))g(x)＝|x－k|＋|x－1|，若对任意的x1，x2∈R，都有f (x1)≤g(x2)成立，则实数k的取值范围为________。
解析　

对任意的x1，x2∈R，都有f (x1)≤g(x2)成立，即f (x)max≤g(x)min。观察f (x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－x2＋x，x≤1，,logx，x>1，))的图象可知，当x＝时，函数f (x)max＝。因为g(x)＝|x－k|＋|x－1|≥|x－k－(x－1)|＝|k－1|，所以g(x)min＝|k－1|。所以|k－1|≥，解得k≤或k≥。故实数k的取值范围是∪。
答案　∪

对于一些函数与方程、不等式等问题，可通过转化为相应函数，再借助函数图象的特点和变化规律求解有关问题，这样非常直观简洁，也是数形结合思想的充分体现。
变|式|训|练
(2018·南宁摸底)设函数f (x)是定义在R上的偶函数，且f (x＋2)＝f (2－x)，当x∈[－2,0]时，f (x)＝x－1，若在区间(－2,6)内关于x的方程f (x)－loga(x＋2)＝0(a>0且a≠1)有且只有4个不同的根，则实数a的取值范围是(　　)
A． B．(1,4)
C．(1,8) D．(8，＋∞)
解析　因为?x∈R，f (x＋2)＝f (2－x)，所以f (x＋4)＝f (2＋(x＋2))＝f (2－(x＋2))＝f (－x)＝f (x)，所以函数f (x)是一个周期函数，且T＝4。又因为当x∈[－2,0]时，f (x)＝x－1＝()－x－1，所以当x∈[0,2]时，f (x)＝f (－x)＝()x－1，于是x∈[－2，2]时，f (x)＝()|x|－1，根据f (x)的周期性作出f (x)的图象如图所示。若在区间(－2,6)内关于x的方程f (x)－loga(x＋2)＝0有且只有4个不同的根，则a>1且y＝f (x)与y＝loga(x＋2)(a>1)的图象在区间(－2,6)内有且只有4个不同的交点，因为f (－2)＝f (2)＝f (6)＝1，所以对于函数y＝loga(x＋2)(a>1)，当x＝6时，loga8<1，解得a>8，即实数a的取值范围是(8，＋∞)。故选D。

答案　D
考向三 函数的性质及应用
微考向1：函数单调性的应用(应用型)
【例4】　(1)函数f (x)是定义在R上的奇函数，对任意两个正数x1，x2(x1x1f (x2)，记a＝f (2)，b＝f (1)，c＝－f (－3)，则a，b，c之间的大小关系为(　　)
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>b>a D．a>c>b
(2)已知函数f (x)＝(a－2)ax(a>0且a≠1)，若对任意x1，x2∈R，x1≠x2，都有>0，则a的取值范围是________。
解析　(1)因为对任意两个正数x1，x2(x1x1f (x2)，所以>，得函数g(x)＝在(0，＋∞)上是减函数，又c＝－f (－3)＝f (3)，所以g(1)>g(2)>g(3)，即b>a>c。故选B。
(2)当02时，a－2>0，y＝ax单调递增，所以f (x)单调递增。又由题意知f (x)单调递增，故a的取值范围是(0,1)∪(2，＋∞)。
答案　(1)B　(2)(0,1)∪(2，＋∞)

(1)比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决。
(2)对于x1，x2∈[a，b]，x1≠x2，若(x1－x2)·[f (x1)－f (x2)]>0或>0，则f (x)在闭区间[a，b]上是增函数。
(3)若函数f (x)在定义域(或某一区间)上是增函数，则f (x1)变|式|训|练
1．(2018·晋城一模)已知函数f (x)＝loga(－x2－2x＋3)(a>0且a≠1)，若f (0)<0，则此函数的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，－1] B．[－1，＋∞)
C．[－1,1) D．(－3，－1]
解析　令g(x)＝－x2－2x＋3，由题意知g(x)>0，可得－3答案　C
2．(2018·郑州一模)若函数y＝在{x|1≤|x|≤4，x∈R}上的最大值为M，最小值为m，则M－m＝(　　)
A．　　　　B．2 C．　　　　D．
解析　可令|x|＝t，则1≤t≤4，y＝－，易知y＝－在[1,4]上递增，所以其最小值为1－1＝0；最大值为2－＝，则m＝0，M＝，则M－m＝。故选A。
答案　A
微考向2：函数奇偶性、周期性、对称性的应用(综合型)
【例5】　(1)已知f (x)为奇函数，函数f (x)与g(x)的图象关于直线y＝x＋1对称，若g(1)＝4，则f (－3)＝(　　)
A．2　　　B．－2 C．－1　　　D．4
(2)(2018·安徽“江南十校”联考)f (x)是R上的奇函数，对任意实数x都有f (x)＝－f ，当x∈时，f (x)＝log2(2x－1)，则f (2 018)＋f (2 019)＝(　　)
A．0 B．1
C．－1 D．2
解析　(1)因为函数f (x)与g(x)的图象关于直线y＝x＋1对称，点(1,4)与点(3,2)关于直线y＝x＋1对称，又g(1)＝4，则f (3)＝2，因为f (x)为奇函数，所以f (－3)＝－2。故选B。
(2)因为f (x)是R上的奇函数，且f (x)＝－f ，所以f ＝－f (x)。所以f ＝－f ＝f (x)，即f (x＋3)＝f (x)。所以函数f (x)的最小正周期为3，所以f (2 018)＋f (2 019)＝f (672×3＋2)＋f (673×3＋0)＝f (2)＋f (0)＝f (－1＋3)＋f (0)＝f (－1)＋f (0)＝－f (1)＝0。故选A。
答案　(1)B　(2)A

利用函数性质求值的关键是利用函数的奇偶性、对称性以及函数的周期性将自变量转化到指定区间内，然后代入函数解析式求值。记住以下结论：
若对于函数f (x)定义域内的任意一个x都有：
(1)f (x＋a)＝－f (x)(a≠0)，则函数f (x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期。
(2)f (x＋a)＝(a≠0，f (x)≠0)，则函数f (x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期。
(3)f (x＋a)＝－(a≠0，f (x)≠0)，则函数f (x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期。
变|式|训|练
1．(2018·贵阳摸底)函数f (x)＝a＋(a，b∈R)是奇函数，且图象经过点，则函数f (x)的值域为(　　)
A．(－1,1) B．(－2,2)
C．(－3,3) D．(－4,4)
解析　函数f (x)的定义域为R，且函数f (x)为奇函数，所以f (0)＝a＋＝0　①，又因为函数f (x)的图象过点，所以a＋＝a＋＝　②，根据①②可得a＝1，b＝－2，所以f (x)＝1＋。ex＋1>1?－2<<0?－1<1＋<1，所以函数f (x)的值域为(－1，1)。故选A。
答案　A
2．函数y＝f (x)满足对任意x∈R都有f (x＋2)＝f (－x)成立，且函数y＝f (x－1)的图象关于点(1,0)对称，f (1)＝4，则f (2 016)＋f (2 017)＋f (2 018)的值为________。
解析　因为函数y＝f (x－1)的图象关于点(1,0)对称，所以f (x)是R上的奇函数，f (x＋2)＝－f (x)，所以f (x＋4)＝－f (x＋2)＝f (x)，故f (x)的周期为4，所以f (2 017)＝f (504×4＋1)＝f (1)＝4，所以f (2 016)＋f (2 018)＝f (2 016)＋f (2 016＋2)＝f (2 016)－f (2 016)＝0，所以f (2 016)＋f (2 017)＋f (2 018)＝4。
答案　4
考向四 指数函数、对数函数和幂函数的性质
【例6】　(2018·天津高考)已知a＝log2e，b＝ln2，c＝log，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>b>a D．c>a>b
解析　解法一：因为a＝log2e>1，b＝ln2∈(0,1)，c＝log＝log23>log2e>1，所以c>a>b。故选D。

解法二：log＝log23，如图，在同一坐标系中作出函数y＝log2x，y＝lnx的图象，由图知c>a>b。故选D。
答案　D

对数值的大小比较方法
(1)化为同底的对数后利用函数的单调性比较。
(2)利用作差或作商法比较。
(3)利用中间值(0或1)比较。
(4)化为同真数的对数后利用图象比较。
变|式|训|练

解析　

答案　B
2．已知a是大于0的常数，把函数y＝ax和y＝＋x的图象画在同一平面直角坐标系中，不可能出现的是(　　)

解析　因为a>0，所以y＝＋x是对勾函数，若00时，y＝＋x的值大于等于2，函数y＝ax和y＝＋x的图象不可能有两个交点。故选D。
答案　D

1．(考向一)(2018·江苏高考)函数f (x)满足f (x＋4)＝f (x)(x∈R)，且在区间(－2,2]上，f (x)＝则f (f (15))的值为________。
解析　因为函数f (x)满足f (x＋4)＝f (x)(x∈R)，所以函数f (x)的最小正周期是4。因为在区间(－2,2]上，f (x)＝所以f (f (15))＝f (f (－1))＝f ＝cos＝。
答案　
2．(考向二)(2018·重庆六校联考)函数f (x)＝的大致图象为(　　)

解析　易知函数f (x)＝为奇函数且定义域为{x|x≠0}，只有D满足。故选D。
答案　D
3．(考向二)函数f (x)＝与g(x)＝|x＋a|＋1的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围是(　　)
A．R B．(－∞，－e]
C．[e，＋∞) D．?
解析　

设y＝h(x)与y＝f (x)的图象关于y轴对称，则h(x)＝f (－x)＝作出函数y＝h(x)与y＝g(x)的图象如图所示，因为f (x)与g(x)的图象上存在关于y轴对称的点，所以y＝h(x)与y＝g(x)的图象有交点，所以－a≤－e，即a≥e。故选C。
答案　C
4．(考向三)已知函数f (x)＝(x2－2x)sin(x－1)＋x＋1在[－1,3]上的最大值为M，最小值为m，则M＋m等于(　　)
A．4 B．2
C．1 D．0
解析　设t＝x－1，则f (x)＝(x2－2x)sin(x－1)＋x＋1＝(t2－1)sint＋t＋2，t∈[－2,2]，记g(t)＝(t2－1)sint＋t＋2，则函数y＝g(t)－2＝(t2－1)sint＋t是奇函数，由已知y＝g(t)－2的最大值为M－2，最小值为m－2，所以M－2＋(m－2)＝0，即M＋m＝4。故选A。
答案　A
5．(考向四)(2018·洛阳联考)设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则(　　)
A．c>b>a B．b>c>a
C．a>c>b D．a>b>c
解析　因为a＝log36＝log33＋log32＝1＋log32，b＝log510＝log55＋log52＝1＋log52，c＝log714＝log77＋log72＝1＋log72，因为log32>log52>log72，所以a>b>c。故选D。
答案　D
6．(拓展型)(2018·广州调研)对于定义域为R的函数f (x)，若满足①f (0)＝0；②当x∈R，且x≠0时，都有xf ′(x)>0；③当x1<0A．0 B．1
C．2 D．3
解析　f1(0)＝0，f2(0)＝e0－0－1＝0，f 3(0)＝ln1＝0，f4(0)＝0，即四个函数均满足条件①。f 1′(x)＝－3x2＋3x，xf 1′(x)＝x(－3x2＋3x)＝－3x2(x－1)，当x>1时，xf 1′(x)<0，不满足条件②，则函数f 1(x)不是“偏对称函数”；f 2′(x)＝ex－1，xf 2′(x)＝x(ex－1)，当x≠0时，恒有xf 2′(x)>0，故满足条件②；f 3′(x)＝故xf 3′(x)＝故xf 3′(x)>0在x≠0时恒成立，故满足条件②；因为当x≠0时，f4(x)＝x＝x·＝·
，所以f4(－x)＝·＝·＝·＝f4(x)，所以当x≠0时，f4(x)是偶函数，所以当x1<0H(0)＝0，故f 2(x2)－f 2(x1)>0恒成立，所以f 2(x)满足条件③；当x1<00，所以T(x)是(0，＋∞)上的增函数，则当x∈(0，＋∞)时，T(x)>T(0)＝0，故f 3(x2)－f 3(x1)>0恒成立，故f 3(x)满足条件③。综上可知“偏对称函数”有2个。故选C。
答案　C






























































































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微专题2　函数与方程、函数的实际应用
命 题 者 说
考 题 统 计 考 情 点 击
2018·全国卷Ⅰ·T9·函数的零点 2018·全国卷Ⅲ·T15·函数的零点 2018·浙江高考·T11·方程组的实际应用 2017·全国卷Ⅲ·T11·函数的零点 　　从近5年高考情况来看，本部分内容一直是高考的热点，尤其是对函数的零点、方程的根的个数的判定及利用零点存在性定理判断零点是否存在和零点存在区间的考查较为频繁，一般会将本部分内容知识与函数的图象和性质结合起来考查，综合性较强，一般以选择题、填空题形式出现，解题时要充分利用函数与方程、数形结合等思想。

考向一 判断函数零点的个数或所在区间
【例1】　(1)函数f (x)＝log2x－的零点所在的区间为(　　)
A． B．
C．(1,2) D．(2,3)
(2)函数f (x)＝4cos2cos－2sinx－|ln(x＋1)|的零点个数为________。
解析　(1)函数f (x)的定义域为(0，＋∞)，且函数f (x)在(0，＋∞)上为增函数。f ＝log2－＝－1－2＝－3<0，f (1)＝log21－＝0－1<0，f (2)＝log22－＝1－＝>0，f (3)＝log23－>1－＝>0，即f (1)·f (2)<0，所以函数f (x)＝log2x－的零点在区间(1,2)内。故选C。

(2)f (x)＝4cos2sinx－2sinx－|ln(x＋1)|＝2sinx·－|ln(x＋1)|＝sin2x－|ln(x＋1)|，令f (x)＝0，得sin2x＝|ln(x＋1)|。在同一坐标系中作出两个函数y＝sin2x与函数y＝|ln(x＋1)|的大致图象如图所示。令ln(x＋1)＝1，则x＝e－1。观察图象可知，两函数图象有2个交点，故函数f (x)有2个零点。
答案　(1)C　(2)2

(1)函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的类型有：
①函数零点值大致存在区间的确定。
②零点个数的确定。
③两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定。
(2)判断函数零点个数的主要方法：
①解方程f (x)＝0，直接求零点。
②利用零点存在定理。
③数形结合法：对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个能画出的函数图象交点问题。
变|式|训|练
1．(2018·南宁摸底)设函数f (x)＝lnx－2x＋6，则f (x)零点的个数为(　　)
A．3　　　 　B．2 C．1　　　 　D．0
解析　令f (x)＝0，则lnx＝2x－6，令g(x)＝lnx，h(x)＝2x－6(x>0)，在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，如图所示，两个函数图象的交点个数就等于函数f (x)零点的个数，容易看出函数f (x)零点的个数为2，故选B。

答案　B
2．已知函数f (x)满足：①定义域为R；②?x∈R，都有f (x＋2)＝f (x)；③当x∈[－1,1]时，f (x)＝－|x|＋1，则方程f (x)＝log2|x|在区间[－3,5]内解的个数是(　　)
A．5　　　　B．6 C．7　　　　D．8
解析　画出函数图象如图所示，由图可知，共有5个解。故选A。

答案　A
考向二 根据函数的零点求参数的范围
【例2】　已知函数f (x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零点，则a＝(　　)
A．－　　　B． C．　　　D．1
解析　解法一：令f (x)＝0，则x2－2x＝－a(ex－1＋e－x＋1)，设g(x)＝ex－1＋e－x＋1，则g′(x)＝ex－1－e－x＋1＝ex－1－＝，当g′(x)＝0时，x＝1，故当x<1时，g′(x)<0，函数g(x)在(－∞，1)上单调递减，当x>1时，g′(x)>0，函数g(x)在(1，＋∞)上单调递增，当x＝1时，函数g(x)取得最小值2，设h(x)＝x2－2x，当x＝1时，函数h(x)取得最小值－1，若－a<0，h(1)＝－ag(1)时，此时函数h(x)和－ag(x)有一个交点，即－a×2＝－1?a＝。故选C。
解法二：f (2－x)＝(2－x)2－2(2－x)＋a[e2－x－1＋e－(2－x)＋1]＝x2－2x＋a(e1－x＋ex－1)＝f (x)，所以f (x)的图象关于x＝1对称，而f (x)有唯一的零点，则f (x)的零点只能为x＝1，即f (1)＝－1＋2a＝0，解得a＝。故选C。
答案　C

利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法
(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解。
(2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解。
(3)转化为两熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解。
变|式|训|练
已知在区间(0,2]上的函数f (x)＝且g(x)＝f (x)－mx在区间(0,2]内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是(　　)
A．∪
B．∪
C．∪
D．∪
解析　

由函数g(x)＝f (x)－mx在(0,2]内有且仅有两个不同的零点，得y＝f (x)，y＝mx在(0,2]内的图象有且仅有两个不同的交点。当y＝mx与y＝－3在x∈(0,1]相切时，mx2＋3x－1＝0，Δ＝9＋4m＝0，m＝－，结合图象可得当－答案　A
考向三 函数的实际应用
【例3】　(1)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图。

根据该折线图，下列结论错误的是(　　)
A．月接待游客量逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月
D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
(2)某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件该产品需另投入的成本为G(x)(单位：万元)，当年产量不足80千件时，G(x)＝x2＋10x；当年产量不小于80千件时，G(x)＝51x＋－1 450。已知每件产品的售价为0.05万元。通过市场分析，该工厂生产的产品能全部售完，则该工厂在这一产品的生产中所获年利润的最大值是________万元。
解析　(1)通过题图可知A不正确，并不是逐月增加，但是每一年是递增的，从图观察C是正确的，D也正确，1～6月比较平稳，7～12月波动较大。故选A。
(2)因为每件产品的售价为0.05万元，所以x千件产品的销售额为0.05×1 000x＝50x(万元)。①当0答案　(1)A　(2)1 000

解决函数实际应用题的2个关键点
(1)认真读题，缜密审题，准确理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学地抽象概括，将实际问题归纳为相应的数学问题。
(2)要合理选取参变量，设定变量之后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数模型，最终求解数学模型使实际问题获解。
变|式|训|练
1．(2018·昆明调研)下图是1951～2016年我国年平均气温变化图。

根据上图，下列结论正确的是(　　)
A．1951年以来，我国年平均气温逐年增高
B．1951年以来，我国年平均气温在2016年再创新高
C．2000年以来，我国年平均气温都高于1981～2010年的平均值
D．2000年以来，我国年平均气温的平均值高于1981～2010年的平均值
解析　由1951～2016年我国年平均气温变化图可以看出，年平均气温有升高的也有降低的，所以A错误；2016年的年平均气温不是最高的，所以B错误；2012年的年平均气温低于1981～2010年的平均值，所以C错误；2000年以来，只有2012年的年平均气温低于1981～2010年的平均值，所以2000年以来，我国年平均气温的平均值高于1981～2010年的平均值，故D正确。故选D。
答案　D
2．(2018·马鞍山一模)某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入。若该高校2017年全年投入科研经费1 300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长12%，则该高校全年投入的科研经费开始超过2 000万元的年份是________。(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)(　　)
A．2020年 B．2021年
C．2022年 D．2023年
解析　若2018年是第一年，则第n年科研费为1 300×1.12n，由1 300×1.12n>2 000，可得lg1.3＋nlg1.12>lg2，得n×0.05>0.19，n>3.8，n≥4，即4年后，到2021年科研经费超过2 000万元。故选B。
答案　B

1．(考向一)(2018·昆明调研)已知函数f (x)＝则函数f (x)的零点个数为________。
解析　解法一：当x>1时，由log2(x－1)＝0得x＝2，即x＝2为函数f (x)在区间(1，＋∞)上的一个零点；当x≤1时，因为f (x)＝x3－3x＋1，所以f ′(x)＝3x2－3，由f ′(x)＝0得x＝－1或x＝1，因为当x<－1时，f ′(x)>0，当－1≤x≤1时，f ′(x)≤0，所以x＝－1为函数f (x)＝x3－3x＋1在(－∞，1]上的极大值点，因为f (－1)＝3>0，f (1)＝－1<0，且当x→－∞时，f (x)→－∞，所以函数f (x)＝x3－3x＋1在(－∞，1]上有两个不同的零点。综上，函数f (x)的零点个数为3。
解法二：当x>1时，作出函数y＝log2(x－1)的图象如图①所示，当x≤1时，由f (x)＝x3－3x＋1＝0得，x3＝3x－1，在同一个平面直角坐标系中分别作出函数y＝x3和y＝3x－1的图象如图②所示，由图①，②可知函数f (x)的零点个数为3。

答案　3
2．(考向一)(2018·洛阳统考)已知函数f (x)满足f (1－x)＝f (1＋x)＝f (x－1)(x∈R)，且当0≤x≤1时，f (x)＝2x－1，则方程|cosπx|－f (x)＝0在[－1,3]上的所有根之和为(　　)
A．8 B．9
C．10 D．11
解析　方程|cosπx|－f (x)＝0在[－1,3]上的所有根之和即y＝|cosπx|与y＝f (x)在[－1,3]上的图象交点的横坐标之和。由f (1－x)＝f (1＋x)得f (x)的图象关于直线x＝1对称，由f (1－x)＝f (x－1)得f (x)的图象关于y轴对称，由f (1＋x)＝f (x－1)得f (x)的一个周期为2，而当0≤x≤1时，f (x)＝2x－1，在同一坐标系中作出y＝f (x)和y＝|cosπx|在[－1,3]上的大致图象，如图所示。易知两图象在[－1,3]上共有11个交点，又y＝f (x)，y＝|cosπx|的图象都关于直线x＝1对称，故这11个交点也关于直线x＝1对称，故所有根之和为11。故选D。

答案　D
3．(考向二)已知函数f (x)＝－kx2(x∈R)有四个不同的零点，则实数k的取值范围是(　　)
A．(－∞，0) B．(－∞，1)
C．(0,1) D．(1，＋∞)
解析　因为x＝0是函数f (x)的零点，则函数f (x)＝－kx2(k∈R)有四个不同的零点，等价于方程k＝有三个不同的根，即方程＝|x|(x＋2)有三个不同的根。记函数g(x)＝|x|(x＋2)＝由题意y＝与y＝g(x)有三个不同的交点，作图可知(图略)0<<1，所以k>1。故选D。
答案　D
4．(考向二)(2018·四川统考)函数f (x)＝若关于x的方程2f 2(x)－(2a＋3)f (x)＋3a＝0有五个不同的零点，则a的取值范围是(　　)
A．(1,2) B．
C． D．∪
解析　

作出f (x)＝|x|＋1，x≠0的图象如图所示。设t＝f (x)，则原方程化为2t2－(2a＋3)t＋3a＝0，由图象可知，若关于x的方程2f 2(x)－(2a＋3)f (x)＋3a＝0有五个不同的实数解，只有当直线y＝a与函数y＝f (x)的图象有两个不同的公共点时才满足条件，所以10，解得a≠，综上，得1答案　D
5．(考向三)(2018·西城模拟)在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度(单位：mol/L，记作[H＋])和氢氧根离子的物质的量的浓度(单位：mol/L，记作[OH－])的乘积等于常数10－14。已知pH值的定义为pH＝－lg[H＋]，健康人体血液的pH值保持在7.35～7.45之间，那么健康人体血液中的可以为________。(参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48)(　　)
A．　　　　B． C．　　　　D．
解析　因为[H＋]·[OH－]＝10－14，所以＝[H＋]2×1014，因为7.35<－lg[H＋]<7.45，所以10－7.45<[H＋]<10－7.35，所以10－0.9<＝1014·[H＋]2<10－0.7,10－0.9＝>，lg100.7＝0.7>lg3>lg2，所以100.7>3>2,10－0.7<<，所以<<。故选C。
答案　C






























































































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微专题3　导数的简单应用
命 题 者 说
考 题 统 计 考 情 点 击
2018·全国卷Ⅰ·T5·函数的奇偶性、导数的几何意义 2018·全国卷Ⅱ·T13·导数的几何意义 2018·全国卷Ⅲ·T14·导数的几何意义 2017·全国卷Ⅱ·T11·利用导数求函数的极值 2016·全国卷Ⅲ·T15·导数的几何意义 　　1.此部分内容是高考命题的热点内容。在选择题、填空题中多考查导数的几何意义，难度较小。 2.应用导数研究函数的单调性、极值、最值，多在选择题、填空题最后几题的位置考查，难度中等偏上，属综合性问题。有时也常在解答题的第一问中考查，难度一般。

考向一 导数的计算与几何意义
【例1】　(1)(2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x)＝x3＋(a－1)x2＋ax。若f (x)为奇函数，则曲线y＝f (x)在点(0,0)处的切线方程为(　　)
A．y＝－2x B．y＝－x
C．y＝2x D．y＝x
(2)(2018·天津高考)已知函数f (x)＝exlnx，f ′(x)为f (x)的导函数，则f ′(1)的值为________。
解析　(1)解法一：因为函数f (x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，所以f (－x)＝－f (x)，所以(－x)3＋(a－1)(－x)2＋a(－x)＝－[x3＋(a－1)x2＋ax]，所以2(a－1)x2＝0，因为x∈R，所以a＝1，所以f (x)＝x3＋x，所以f ′(x)＝3x2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y＝f (x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x。故选D。
解法二：因为函数f (x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，所以f (－1)＋f (1)＝0，所以(－1＋a－1－a)＋(1＋a－1＋a)＝0，解得a＝1，所以f (x)＝x3＋x，所以f ′(x)＝3x2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y＝f (x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x。故选D。
解法三：易知f (x)＝x3＋(a－1)x2＋ax＝x[x2＋(a－1)x＋a]，因为f (x)为奇函数，所以函数g(x)＝x2＋(a－1)x＋a为偶函数，所以a－1＝0，解得a＝1，所以f (x)＝x3＋x，所以f ′(x)＝3x2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y＝f (x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x。故选D。
(2)由题意得f ′(x)＝exlnx＋ex·，则f ′(1)＝e。
答案　(1)D　(2)e

(1)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点。
(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化。以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解。
变|式|训|练
1．(2018·合肥质检)已知直线2x－y＋1＝0与曲线y＝aex＋x相切(其中e为自然对数的底数)，则实数a的值是(　　)
A．　　　　B．1 C．2　　　　D．e
解析　由题意知y′＝aex＋1＝2，则a>0，x＝－lna，代入曲线方程得y＝1－lna，所以切线方程为y－(1－lna)＝2(x＋lna)，即y＝2x＋lna＋1＝2x＋1?a＝1。故选B。
答案　B
2．(2018·广州调研)已知直线y＝kx－2与曲线y＝xlnx相切，则实数k的值为________。
解析　由y＝xlnx得，y′＝lnx＋1。设直线y＝kx－2与曲线y＝xlnx相切于点P(x0，y0)，则切线方程为y－y0＝(lnx0＋1)(x－x0)，又直线y＝kx－2恒过点(0，－2)，所以点(0，－2)在切线上，把(0，－2)以及y0＝x0lnx0代入切线方程，得x0＝2，故P(2,2ln2)。把(2,2ln2)代入直线的方程y＝kx－2，得k＝1＋ln2。
答案　1＋ln2
考向二 导数与函数的单调性
微考向1：利用导数求函数的单调区间
【例2】　已知函数f (x)＝－lnx＋x2＋5，则其单调递增区间为(　　)
A．(0,1] B．[0,1]
C．(0，＋∞) D．(1，＋∞)
解析　由题意知，函数f (x)的定义域为(0，＋∞)，因为f (x)＝－lnx＋x2＋5，所以f ′(x)＝－＋x＝(x2－1)。由???x>1。故选D。
答案　D

用导数求y＝f (x)的单调区间，应转化为求f ′(x)>0或f ′(x)<0的解集，应注意函数的定义域。如果一个函数具有相同单调性的区间不止一个，那么这些单调区间不能用“∪”连接，应用“，”隔开。
变|式|训|练
已知函数f (x)＝x2＋3x－2lnx，则函数f (x)的单调递减区间为________。
解析　函数f (x)＝x2＋3x－2lnx的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝2x＋3－，令2x＋3－<0，即2x2＋3x－2<0，解得x∈。又x∈(0，＋∞)，所以x∈。所以函数f (x)的单调递减区间为。
答案　
微考向2：利用导数求参数的取值范围
【例3】　(1)设函数f (x)＝在区间(a，a＋2)内单调递增，则实数a的取值范围是________。
(2)已知函数g(x)＝kx3－x－2在区间(1,2)内不单调，则实数k的取值范围是________。
解析　(1)函数f (x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝，由f ′(x)＝>0，解得0(2)依题意g′(x)＝3kx2－1。①当k≤0时，g′(x)＝3kx2－1≤0，所以g(x)在(1,2)内单调递减，不满足题意；②当k>0时，g(x)在内单调递减，在内单调递增。因为函数g(x)在区间(1,2)内不单调，所以1< <2，解得答案　(1)[0，e－2]　(2)

根据函数y＝f (x)在区间(a，b)上的单调性，求参数范围的方法
(1)若函数y＝f (x)在区间(a，b)上单调递增，转化为f ′(x)≥0在区间(a，b)上恒成立求解。
(2)若函数y＝f (x)在区间(a，b)上单调递减，转化为f ′(x)≤0在区间(a，b)上恒成立求解。
(3)若函数y＝f (x)在区间(a，b)上单调，转化为f ′(x)在区间(a，b)上不变号，即f ′(x)在区间(a，b)上恒正或恒负。
(4)若函数y＝f (x)在区间(a，b)上不单调，转化为f ′(x)＝0在区间(a，b)上有解。
变|式|训|练
1．若f (x)＝－x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)内是减函数，则b的取值范围是________。
解析　若f (x)＝－x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)内是减函数，则对任意x∈(－1，＋∞)，f ′(x)＝－x＋≤0，只需b≤x(x＋2)在(－1，＋∞)内恒成立，令y＝x(x＋2)＝(x＋1)2－1，则在(－1，＋∞)内y>－1，所以b的取值范围是b≤－1。
答案　(－∞，－1]
2．若函数f (x)＝x2－ex－ax在R上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是________。
解析　因为函数f (x)＝x2－ex－ax，所以f ′(x)＝2x－ex－a。因为函数f (x)＝x2－ex－ax在R上存在单调递增区间，所以f ′(x)＝2x－ex－a>0有解，即a<2x－ex有解。令g(x)＝2x－ex，则g′(x)＝2－ex，g′(x)＝2－ex＝0，x＝ln2，g′(x)＝2－ex>0，xln2，所以当x＝ln2时，g(x)max＝2ln2－2。所以a<2ln2－2。故实数a的取值范围是(－∞，2ln2－2)。
答案　(－∞，2ln2－2)
微考向3：导数与不等式
【例4】　(2018·德州模拟)设偶函数f (x)定义在∪上，其导函数为f ′(x)，当02f cosx的解集为(　　)
A．∪
B．∪
C．∪
D．∪
解析　令g(x)＝，因为f (x)是定义在∪上的偶函数，所以g(x)是定义在∪上的偶函数，又当02f cosx化为>，即g(x)>g，则|x|<，又x∈∪，所以x∈∪。故选C。
答案　C

本题考查利用导数研究不等式问题。利用导数研究不等式恒成立问题或不等式的解集问题，往往要根据已知和所求合理构造函数，再求导进行求解，如本题中的关键是利用“f ′(x)cosx＋f (x)sinx<0”和“f (x)>2f cosx”的联系构造函数g(x)＝。
变|式|训|练
(2018·益阳、湘潭调研)π是圆周率，e是自然对数的底数，在3e，e3，eπ，π3,3π，πe六个数中，最小的数与最大的数分别是(　　)
A．3e,3π B．3e，eπ
C．e3，π3 D．πe,3π
解析　构造函数f (x)＝，f (x)的定义域为(0，＋∞)，求导得f ′(x)＝，当f ′(x)>0，即0e时，函数f (x)单调递减。故函数f (x)的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e，＋∞)。因为e<3<π，所以eln3π3，在3e，e3，eπ，π3,3π，πe六个数中的最大的数是3π，同理得最小的数为3e。故选A。
答案　A
考向三 导数与函数的极值、最值
【例5】　(1)(2018·河南漯河四模)设函数f (x)在R上可导，其导函数为f ′(x)，且函数y＝(1－x)f ′(x)的图象如图所示，则下列结论一定成立的是(　　)

A．x＝1为f (x)的极大值点
B．x＝1为f (x)的极小值点
C．x＝－1为f (x)的极大值点
D．x＝－1为f (x)的极小值点
(2)(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x)＝2sinx＋sin2x，则f (x)的最小值是________。
解析　(1)绘制表格考查函数的性质如下：
区间 (－∞，－1) (－1,1) (1，＋∞)
1－x符号 ＋ ＋ －
y＝(1－x)f ′(x)的符号 － ＋ －
f ′(x)符号 － ＋ ＋
f (x)的单调性 单调递减 单调递增 单调递增
据此可得，函数f (x)在x＝－1处取得极小值，在x＝1处无极值。故选D。
(2)解法一：因为f (x)＝2sinx＋sin2x，所以f ′(x)＝2cosx＋2cos2x＝4cos2x＋2cosx－2＝4·(cosx＋1)，由f ′(x)≥0得≤cosx≤1，即2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z，由f ′(x)≤0得－1≤cosx≤，即2kπ＋π≥x≥2kπ＋或2kπ－π≤x≤2kπ－，k∈Z，所以当x＝2kπ－(k∈Z)时，f (x)取得最小值，且f (x)min＝f ＝2sin＋sin2＝－。
解法二：因为f (x)＝2sinx＋sin2x＝2sinx(1＋cosx)，所以[f (x)]2＝4sin2x(1＋cosx)2＝4(1－cosx)(1＋cosx)3，设cosx＝t，则y＝4(1－t)(1＋t)3(－1≤t≤1)，所以y′＝4[－(1＋t)3＋3(1－t)(1＋t)2]＝4(1＋t)2(2－4t)，所以当－10；当解法三：因为f (x)＝2sinx＋sin2x＝2sinx(1＋cosx)，所以[f (x)]2＝4sin2x(1＋cosx)2＝4(1－cosx)(1＋cosx)3≤·4＝，当且仅当3(1－cosx)＝1＋cosx，即cosx＝时取等号，所以0≤[f (x)]2≤，所以－≤f (x)≤，所以f (x)的最小值为－。
解法四：f (x)的最小值只能在使得解得cosx＝1，cosx＝－1，cosx＝的这些点处取到，对应的sinx的值依次是：sinx＝0，sinx＝0，sinx＝±。显然，f (x)min＝2××＝－。
答案　(1)D　(2)－

(1)求函数f (x)的极值，需先求方程f ′(x)＝0的根，再检查f ′(x)在方程根的左右函数值的符号。
(2)若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f ′(x)＝0根的大小或存在情况来求解。
(3)求函数f (x)在闭区间[a，b]上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f (a)，f (b)与f (x)的各极值进行比较得到函数的最值。求f (x)在(a，b)的最值需讨论函数的单调性。
变|式|训|练
1．设函数f (x)在(m，n)上的导函数为g(x)，x∈(m，n)，若g(x)的导函数小于零恒成立，则称函数f (x)在(m，n)上为“凸函数”。已知当a≤2时，f (x)＝x3－ax2＋x，在x∈(－1,2)上为“凸函数”，则函数f (x)在(－1,2)上结论正确的是(　　)
A．既有极大值，也有极小值
B．有极大值，没有极小值
C．没有极大值，有极小值
D．既没有极大值，也没有极小值
解析　g(x)＝f ′(x)＝x2－ax＋1。由已知得g′(x)＝x－a<0，当x∈(－1,2)时恒成立，故a≥2，又已知a≤2，故a＝2，此时由f ′(x)＝0，得x1＝2－，x2＝2＋?(－1,2)，当x∈(－1,2－)时，f ′(x)>0；当x∈(2－，2)时，f ′(x)<0，所以函数f (x)在(－1,2)有极大值，没有极小值，故选B。
答案　B
2．(2018·贵州联考)已知函数f (x)＝lnx－，若函数f (x)在[1，e]上的最小值为，则a的值为(　　)
A．－ B．－
C．－ D．e eq \s\up15( )
解析　由题意，f ′(x)＝＋，若a≥0，则f ′(x)>0，函数单调递增，所以f (x)min＝f (1)＝－a＝，矛盾；若－e答案　A

1．(考向一)(2018·全国卷Ⅲ)曲线y＝(ax＋1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为－2，则a＝________。
解析　y′＝aex＋(ax＋1)ex，则f ′(0)＝a＋1＝－2，所以a＝－3。
答案　－3
2．(考向二)(2018·安徽黄山八校联考)已知f (x)为R上的可导函数，且?x∈R，均有f ′(x)<2f (x)，则有(　　)
A．e4 034f (－2 017)e4 034f (0)
B．e4 034f (－2 017)C．e4 034f (－2 017)>f (0)，f (2 017)>e4 034f (0)
D．e4 034f (－2 017)>f (0)，f (2 017)解析　构造函数g(x)＝，g′(x)＝，因为f ′(x)<2f (x)，所以g′(x)<0，即g(x)在R上单调递减，所以g(－2 017)>g(0)，所以>，所以e4 034f (－2 017)>f (0)，同理得g(2 017)答案　D
3．(考向二)(2018·河南联考)若函数f (x)＝mx2－lnx－在(1，＋∞)上单调递增，则实数m的取值范围为________。
解析　因为f ′(x)＝2mx－＋≥0在(1，＋∞)上恒成立，所以m≥的最大值，令y＝，则y′＝＝0，解得x＝，当x＝时，ymax＝，所以m≥。
答案　
4．(考向三)(2018·广东中山二测)设函数f (x)＝xsinx在x＝x0处取得极值，则(1＋x)(1＋cos2x0)的值为(　　)
A．1 B．－1
C．－2 D．2
解析　由题意可得f ′(x)＝sinx＋xcosx；因为f (x)在x＝x0处取得极值，所以f ′(x0)＝sinx0＋x0cosx0＝0；所以x0＝－＝－tanx0，则(1＋x)(1＋cos2x0)＝(1＋tan2x0)·(1＋cos2x0)＝×2cos2x0＝2。故选D。
答案　D
5．(考向三)(2018·汕头质检)已知函数f (x)＝－mx(e为自然对数的底数)，若f (x)>0在(0，＋∞)上恒成立，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－∞，2) B．(－∞，e)
C． D．
解析　因为f (x)＝－mx>0在(0，＋∞)上恒成立，所以m<在(0，＋∞)上恒成立，令g(x)＝，x>0，所以g′(x)＝＝，当02时，g′(x)>0，g(x)单调递增。故当x＝2时，g(x)取得最小值，且最小值为g(2)＝。所以m<。故选C。
答案　C

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