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8.1二元一次方程组
教学目标：
1、使学生了解二元一次方程的概念，能把二元一次方程化为用一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，能举例说明二元一次方程及其中的已知数和未知数；
2、使学生理解二元一次方程组和它的解等概念，会检验一对数值是不是某个二元一次方程组的解。
3、学会用类比的方法迁移知识，体验二元一次方程组在处理实际问题中的优越性。
教学重点：了解二元一次方程(组)及其解的定义；
教学难点：会列二元一次方程组，并检验一组数是不是某个二元一次方程组的解．
教学过程：
新知引入
想一想：一元一次方程的概念；什么是方程的解？
用你回忆的知识解决以下问题：判断下列式子是不是一元一次方程，并说明你的判断依据。
（1）3+2=5 （2）x+2y=0 （3）3-4x
（4）x2=9 （5）=4 （6）x+=5
二、新知讲解
●知识1 二元一次方程的定义
问题一：篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分.如果某队为了争取较好名次，想在全部10场比赛中得16分，那么这个队胜负场数应分别是多少?
1.问题中包含了那些必须同时满足的条件？你能用学过的一元一次方程能解决此问题吗？？
胜 负 合计
场数 x 10
积分 16
⑴、若设胜x场，则：

列方程得：

2.能不能根据题意直接设两个未知数
胜 负 合计
场数 x y 10
积分 16
⑵、若设胜x 场，负y场，则：
可以列出的方程是：


观察⑵中的两个方程有什么特点？与⑴中一元一次方程有什么不同？
归纳：每个方程都含有_ ____个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 ___，像这样的方程叫做二元一次方程．
巩固练习：
1、请帮下列各等式找到自己的家。请将你的结论填入下面的每一个小房子的横线上。
x+y=11 (2)m+1=2 (3)x2+y=5 (4)3X－π=11
－5x=4y+2 (6)7+a=2b+11c (7)7x+=13

2、你能自己编一个二元一次方程吗？
3、如果xa－1＋5y＝100是二元一次方程,求a的值。

方法总结：二元一次方程必须符合以下三个条件：(1)方程中只含有2个未知数；(2)含未知数的项的最高次数均为一次；(3)方程是整式方程．
●知识2 二元一次方程组的定义
引言中的问题包含了两个必须同时满足的条件，也就是未知数x，y必须同时满足方程x+y=10和2x+y=16．把两个方程合在一起，写成就组成了一个方程组．这个方程组含有几个未知数？含有未知数的项的次数是多少？
归纳：二元一次方程组的定义

巩固练习：
下列方程组中，哪些是二元一次方程组_______________

●知识3 二元一次方程组的解
问题二：
探究⑴满足方程x＋y＝10，且符合问题意义的x、y的值有哪些？把它们填在表中．
X … 1 2 3 4 5 6 …
y … …
若不考虑实际意义当x＝－1时 y＝ x＝0.5时y＝ 它的解通常记为：
探究⑵上表中哪对x、y的值还满足方程2x+y=16？
不难发现x=6,y=4既是 x+y=10的解，也是2x+y=16的解，也就是说是这两个方程的公共解，我们把它们叫做方程组的解。

同时满足方程（1）和（2）的一对未知数的值叫___________
想一想：
你是如何理解“公共解”的？

章引言中问题的解是什么？
下列各组数中，哪几组是方程x-3y=2解_______，哪几组是方程2x-y=9的解_______;
则方程组的解是（ ）

三、例题讲解
例、甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为试计算a2014＋(－b)2015的值．





方法总结：利用方程组的解确定字母参数的方法是将方程组的解代入它适合的方程中，得到关于字母参数的新方程，从而求解．
巩固练习：
1、若方程x|a|－1＋(a－2)y＝3是二元一次方程，则a的取值范围是( )
A．a＞2 B．a＝2
C．a＝－2 D．a＜－2
2、方程y＝1－x与3x＋2y＝5的公共解是( )
A. B.
C. D.
3、植树节这天有20名同学种了52棵树苗，其中男生每人种树3棵，女生每人种树2棵．设男生有x人，女生有y人，根据题意，下列方程组正确的是( )
A. B.
C. D.
4、若是方程2x＋y＝0的解，则6a＋3b＋2＝ ．
5、已知甲种物品每个重4 kg，乙种物品每个重7 kg，现有甲种物品x个，乙种物品y个，共重76 kg.
(1)列出关于x，y的二元一次方程；
(2)若x＝12，则y＝ ；
(3)若乙种物品有8个，则甲种物品有 个；
(4)写出满足条件的x，y的全部整数解．








四、课堂小结（以提问进行）：
（1）、二元一次方程（组）的特征是什么？
（2）、二元一次方程组的解要满足什么条件？
五、布置作业
教材90页2、3、4题




当堂测评
1．下列各式，属于二元一次方程的个数有（ ）
①xy+2x－y=7； ②4x+1=x－y； ③+y=5； ④x=y； ⑤x2－y2=2
⑥6x－2y ⑦x+y+z=1 ⑧y（y－1）=2y2－y2+x
A．1 B．2 C．3 D．4
2．下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A． HYPERLINK "http://www.czsx.com.cn"
3．二元一次方程5a－11b=21 （ ）
A．有且只有一解 B．有无数解 C．无解 D．有且只有两解
4．方程y=1－x与3x+2y=5的公共解是（ ）
A．
5．已知方程2x+3y－4=0，用含x的代数式表示y为：y=_______；用含y的代数式表示x为：x=________．
6．以为解的一个二元一次方程是_________．
7．当y=－3时，二元一次方程3x+5y=－3和3y－2ax=a+2（关于x，y的方程）有相同的解，求a的值．





8．如果（a－2）x+（b+1）y=13是关于x，y的二元一次方程，则a，b满足什么条件？






9．根据题意列出方程组：
（1）明明到邮局买0.8元与2元的邮票共13枚，共花去20元钱，问明明两种邮票各买了多少枚？


（2）将若干只鸡放入若干笼中，若每个笼中放4只，则有一鸡无笼可放；若每个笼里放5只，则有一笼无鸡可放，问有多少只鸡，多少个笼？











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8.1二元一次方程组
教学目标：
1、使学生了解二元一次方程的概念，能把二元一次方程化为用一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，能举例说明二元一次方程及其中的已知数和未知数；
2、使学生理解二元一次方程组和它的解等概念，会检验一对数值是不是某个二元一次方程组的解。
3、学会用类比的方法迁移知识，体验二元一次方程组在处理实际问题中的优越性。
教学重点：了解二元一次方程(组)及其解的定义；
教学难点：会列二元一次方程组，并检验一组数是不是某个二元一次方程组的解．
教学过程：
新知引入
上学期我们学习过方程、等式，你们还记得吗？谁能帮我想一想：一元一次方程的概念；什么是方程的解？
用你回忆的知识解决以下问题：判断下列式子是不是一元一次方程，并说明你的判断依据。
（1）3+2=5 （2）x+2y=0 （3）3-4x
（4）x2=9 （5）=4 （6）x+=5
看来同学们对已学的知识掌握的很好，如果一个等式中遇到两个未知数，那会是什么方程呢？我们又该如何解？今天我们一起来学习二元一次方程组。
二、新知讲解
●知识1 二元一次方程的定义
问题一：篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分.如果某队为了争取较好名次，想在全部10场比赛中得16分，那么这个队胜负场数应分别是多少?
1.问题中包含了那些必须同时满足的条件？你能用学过的一元一次方程能解决此问题吗？？
胜 负 合计
场数 x 10
积分 16
⑴、若设胜x场，则：

列方程得：

2.能不能根据题意直接设两个未知数
胜 负 合计
场数 x y 10
积分 16
⑵、若设胜x 场，负y场，则：
可以列出的方程是：


观察⑵中的两个方程有什么特点？与⑴中一元一次方程有什么不同？
归纳：每个方程都含有_ ____个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 ___，像这样的方程叫做二元一次方程．
同学们你们认得到方程这个大家庭中的新成员了吗？下面我们来看看谁能帮它们找到自己的家。
巩固练习：
1、请帮下列各等式找到自己的家。请将你的结论填入下面的每一个小房子的横线上。
x+y=11 (2)m+1=2 (3)x2+y=5 (4)3X－π=11
－5x=4y+2 (6)7+a=2b+11c (7)7x+=13

2、你能自己编一个二元一次方程吗？
3、如果xa－1＋5y＝100是二元一次方程,求a的值。（a=2）
方法总结：二元一次方程必须符合以下三个条件：(1)方程中只含有2个未知数；(2)含未知数的项的最高次数均为一次；(3)方程是整式方程．
●知识2 二元一次方程组的定义
引言中的问题包含了两个必须同时满足的条件，也就是未知数x，y必须同时满足方程x+y=10和2x+y=16．把两个方程合在一起，写成就组成了一个方程组．这个方程组含有几个未知数？含有未知数的项的次数是多少？(由小组之间讨论，巩固知识，最后师归纳结论)
归纳：二元一次方程组的定义
含有两个未知数，每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组．
巩固练习：
下列方程组中，哪些是二元一次方程组_______________（3）（5）（6）

●知识3 二元一次方程组的解
问题二：
探究⑴满足方程x＋y＝10，且符合问题意义的x、y的值有哪些？把它们填在表中．
X … 1 2 3 4 5 6 …
y … …
若不考虑实际意义当x＝－1时 y＝ x＝0.5时y＝ 它的解通常记为：
探究⑵上表中哪对x、y的值还满足方程2x+y=16？
不难发现x=6,y=4既是 x+y=10的解，也是2x+y=16的解，也就是说是这两个方程的公共解，我们把它们叫做方程组的解。

同时满足方程（1）和（2）的一对未知数的值叫___________
想一想：
你是如何理解“公共解”的？
一般地，组成二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
章引言中问题的解是什么？这个队在10场比赛中胜6场、负4场．
巩固练习：
下列各组数中，哪几组是方程x-3y=2解_______，哪几组是方程2x-y=9的解_______;
则方程组的解是（ ）答案：AB BD B

三、例题讲解
例、甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为试计算a2014＋(－b)2015的值．
解析：由方程组解的定义知：甲看错了方程①中的a得到方程组的解为说明是方程②的解；同样是方程①的解．
解：把代入②，得－12＋b＝－2，所以b＝10.把代入①，得5a＋20＝15，所以a＝－1.所以a2014＋(－b)2015＝(－1)2014＋(－×10)2015＝1－1＝0.
方法总结：利用方程组的解确定字母参数的方法是将方程组的解代入它适合的方程中，得到关于字母参数的新方程，从而求解．
巩固练习：
1、若方程x|a|－1＋(a－2)y＝3是二元一次方程，则a的取值范围是(C)
A．a＞2 B．a＝2
C．a＝－2 D．a＜－2
2、方程y＝1－x与3x＋2y＝5的公共解是(B)
A. B.
C. D.
3、植树节这天有20名同学种了52棵树苗，其中男生每人种树3棵，女生每人种树2棵．设男生有x人，女生有y人，根据题意，下列方程组正确的是(D)
A. B.
C. D.
方法总结：要判断哪个方程组符合题意，可从题目中找出两个相等关系，然后代入未知数，即可得到方程组，进而得到正确答案．

4、若是方程2x＋y＝0的解，则6a＋3b＋2＝2．
5、已知甲种物品每个重4 kg，乙种物品每个重7 kg，现有甲种物品x个，乙种物品y个，共重76 kg.
(1)列出关于x，y的二元一次方程；
(2)若x＝12，则y＝4；
(3)若乙种物品有8个，则甲种物品有5个；
(4)写出满足条件的x，y的全部整数解．
解：(1)4x＋7y＝76.
(4)由4x＋7y＝76，得x＝.
又由题意得y为正整数，当y＝0时，x＝19；
当y＝1时，x＝＝，不合题意；
当y＝2时，x＝＝，不合题意；
当y＝3时，x＝＝，不合题意；
当y＝4时，x＝＝12；
当y＝5时，x＝＝，不合题意；
当y＝6时，x＝＝，不合题意；
当y＝7时，x＝＝，不合题意；
当y＝8时，x＝＝5；
当y＝9时，x＝＝，不合题意；
当y＝10时，x＝＝，不合题意；
当y＝11时，x＝<0，不合题意．
∴满足x，y的全部整数解是
四、课堂小结（以提问进行）：
（1）、二元一次方程（组）的特征是什么？
（2）、二元一次方程组的解要满足什么条件？
五、布置作业
教材90页2、3、4题




当堂测评
1．下列各式，属于二元一次方程的个数有（ ）
①xy+2x－y=7； ②4x+1=x－y； ③+y=5； ④x=y； ⑤x2－y2=2
⑥6x－2y ⑦x+y+z=1 ⑧y（y－1）=2y2－y2+x
A．1 B．2 C．3 D．4
2．下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A． HYPERLINK "http://www.czsx.com.cn"
3．二元一次方程5a－11b=21 （ ）
A．有且只有一解 B．有无数解 C．无解 D．有且只有两解
4．方程y=1－x与3x+2y=5的公共解是（ ）
A．
5．已知方程2x+3y－4=0，用含x的代数式表示y为：y=_______；用含y的代数式表示x为：x=________．
6．以为解的一个二元一次方程是_________．
7．当y=－3时，二元一次方程3x+5y=－3和3y－2ax=a+2（关于x，y的方程）有相同的解，求a的值．








8．如果（a－2）x+（b+1）y=13是关于x，y的二元一次方程，则a，b满足什么条件？






9．根据题意列出方程组：
（1）明明到邮局买0.8元与2元的邮票共13枚，共花去20元钱，问明明两种邮票各买了多少枚？


（2）将若干只鸡放入若干笼中，若每个笼中放4只，则有一鸡无笼可放；若每个笼里放5只，则有一笼无鸡可放，问有多少只鸡，多少个笼？


当堂测评答案：
1．C 解析：根据二元一次方程的定义来 (?http:?/??/?www.czsx.com.cn?)判定，含有两个未知数且未知数的次数不超过1次的整式方程叫二元一次方程，注意⑧整理后是二元一次方程．

2．A 解析：二元一次方程组的三个必需条件：①含有两个未知数，②每个含未知数的项次数为1；③每个方程都是整式方程．
3．B 解析：不加限制条件时，一个二元一次方程有无数个解．
4．C 解析：用排除法，逐个代入验证．
5． HYPERLINK "http://www.czsx.com.cn"
6．x+y=12 解析：以x与y的数量关系组建方程，如2x+y=17，2x－y=3等，
此题答案不唯一．
7．解：∵y=－3时，3x+5y=－3，∴3x+5×（－3）=－3，∴x=4，
∵方程3x+5y=－3和3x－2ax=a+2有相 (?http:?/??/?www.czsx.com.cn?)同的解，
∴3×（－3）－2a×4=a+2，∴a=－．
8．解：∵（a－2）x+（b+1）y=13是关于x，y的二元一次方程，
∴a－2≠0，b+1≠0，∴a≠2，b≠－1
解析：此题中，若要满足含有两个未知数，需使未知数的系数不为0．
（若系数为0，则该项就是0） (?http:?/??/?www.czsx.com.cn?)
9．（1）解：设0．8元的邮票买了x枚，2元的邮票买了y枚，根据题意得．
（2）解：设有x只鸡，y个笼，根据题意得．












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8.1二元一次方程组
人教版 七年级下
新知导入
判断下列式子是不是一元一次方程，并说明你的判断依据。
（1）3+2=5 （2）x+2y=0 （3）3-4x

（4） （5） （6）
√
×
×
×
×
×
新知讲解
篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分.如果某队为了争取较好名次，想在全部10场比赛中得16分，那么这个队胜负场数应分别是多少?
用学过的一元一次方程能解决此问题吗？
新知讲解
2x +(10－x)=16
你能设一个未知数(比如设胜x场,) ,根据题意列出一元一次方程吗？
(10－x)
10
(10－x)
x
16
2x
你能设两个未知数(比如设胜x场,负y场) ,根据题意列出方程吗？
思考
y
10
y
x
16
2x
胜 负 合计
场数
积分
胜 负 合计
场数
积分
新知讲解
x + y = 10
2x + y = 22
观察上面两个方程,是否为一元一次方程?
这两个方程有什么共同特点?
,
,
判断点：1、未知数几个？
判断点：2、每个未知数最高次数是几次？
判断点：3、等式两边都是
2个
1次
整式
归纳：
二元一次方程
含有两个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程.
巩固练习
(1)x+y=11
(3)x2+y=5
(2)m+1=2
(4)3X－π=11
(5) －5x=4y+2
(6)7+a=2b+11c
请帮下列各等式找到自己的家。
巩固练习
1、你能自己编一个二元一次方程吗？
2、如果xa－1＋5y＝100是二元一次方程,求a的值。
试一试:
a=2
新知讲解
含有两个未知数，每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组．
　引言中的问题包含了两个必须同时满足的条件，也就是未知数x，y必须同时满足方程x+y=10和2x+y=16．把两个方程合在一起，写成 就组成了一个方程组．

这个方程组含有几个未知数？
含有未知数的项的次数是多少？
巩固练习
下列方程组中，哪些是二元一次方程组_______________
（3）
（5）
（6）
三个要素：
整式方程
含有两个未知数
含有未知数的项的次数为1
新知讲解
我们再来看例题中的方程 ，符合问题实际意义的 x 、y 的值有哪些？
一般地，一个二元一次方程有无数个解。
使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解
1
9
2
8
3
7
4
6
5
5
6
4
x …
y …
新知讲解
满足方程2x+y=16且符合问题的实际意义的x 、y的值如下表：
x 0 1 2 3 … 6 … 8
y
16 14 12 10 … 4 … 0
新知讲解
　你是如何理解“公共解”的？
一般地，组成二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
　章引言中问题的解是什么？
这个队在10场比赛中胜6场、负4场．
想一想
巩固练习
下列各组数中，哪几组是方程x-3y=2解 ，哪几组是方程2x-y=9的解 ;
B
A
D
B
B
例题讲解
例题讲解
巩固练习
1、若方程x|a|－1＋(a－2)y＝3是二元一次方程，则a的取值范围是( )
A．a＞2 B．a＝2
C．a＝－2 D．a＜－2
2、方程y＝1－x与3x＋2y＝5的公共解是( )
C
B
巩固练习
3、植树节这天有20名同学种了52棵树苗，其中男生每人种树3棵，女生每人种树2棵．设男生有x人，女生有y人，根据题意，下列方程组正确的是( )
D
2
巩固练习
5、已知甲种物品每个重4 kg，乙种物品每个重7 kg，现有甲种物品x个，乙种物品y个，共重76 kg.
(1)列出关于x，y的二元一次方程；
(2)若x＝12，则y＝______；
(3)若乙种物品有8个，则甲种物品有______个；
(4)写出满足条件的x，y的全部整数解．
4
5
解：(1)4x＋7y＝76.
巩固练习
巩固练习
巩固练习
课堂总结
谈谈本节课你有哪些收获？
定义1：含有两个未知数，且含未知数的项的
次数为1的整式方程叫做二元一次方程。
定义2：含有两个未知数的两个一次整式方程
组成的方程组，叫做二元一次方程组。
定义4：使二元一次方程组的两个方程左、右两
边的值都相等的两个未知数的值叫二元
一次方程组的解。
关于二元一次方程组的四个定义：
定义3：使得二元一次方程两边的值相等的两个未
知数的值叫二元一次方程的解。
作业布置
教材90页2、3、4题
谢谢
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